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DIOGO CERVELIN
MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADO: DESENVOLVIMENTO E
APLICAO EM ANLISE NO-
LINEAR UTILIZANDO ELEMENTO DE PRTICO ESPACIAL DE ALTA ORDEM
Curitiba 2014
-
DIOGO CERVELIN
MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADO: DESENVOLVIMENTO E
APLICAO EM ANLISE NO-
LINEAR UTILIZANDO ELEMENTO DE PRTICO ESPACIAL DE ALTA ORDEM
Dissertao aprovada como requisito parcial para obteno do grau de
Mestre em Engenharia, Curso de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica,
Escola Politcnica, Pontifcia Universidade Catlica do Paran.
Orientador: Roberto Dalledone Machado, D. Eng.
Curitiba 2014
-
Dados da Catalogao na Publicao Pontifcia Universidade Catlica do
Paran
Sistema Integrado de Bibliotecas SIBI/PUCPR Biblioteca
Central
Cervelin, Diogo C419m Mtodo dos elementos finitos generalizado :
desenvolvimento e aplicao 2014 em anlise no-linear utilizando
elemento de prtico espacial de alta ordem ; orientador, Roberto
Dalledone Machado. 2014. 102 f. : il. ; 30 cm Dissertao (mestrado)
Pontifcia Universidade Catlica do Paran, Curitiba, 2014
Bibliografia: f. 99-102 1. Engenharia mecnica. 2. Mtodo dos
elementos finitos. 3. Polinmios. I. Machado, Roberto Dalledone. II.
Pontifcia Universidade Catlica do Paran. Programa de Ps-Graduao em
Engenharia Mecnica. III. Ttulo. CDD 20. ed. 620.1
-
DEDICATRIA
Dedico este trabalho aos meus familiares e minha esposa.
-
AGRADECIMENTOS
Deus, Nossa Senhora do Perptuo Socorro e um esprito amigo, pela
luz divina.
Aos meus familiares, pelo amor e apoio nos momentos de desanimo
e dificuldade.
minha esposa Maria Eugnia, pelo amor, carinho e pacincia durante
esta importante e difcil etapa.
Ao professor Roberto Dalledone Machado, pela amizade e
orientao.
Ao professor Shang, pelas sugestes e ensinamentos que me
ajudaram no desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus amigos, pela amizade.
PUCPR, pela oportunidade de desenvolver o meu trabalho de
mestrado.
-
SUMRIO
1. INTRODUO
..........................................................................................
19
1.1 MOTIVAO
.................................................................................................
21
1.2 OBJETIVO GERAL
........................................................................................
23
1.3 OBJETIVO ESPECFICO
...............................................................................
23
1.4 REVISO BIBLIOGRFICA
........................................................................
24
1.5 ORGANIZAO DO TRABALHO
...............................................................
28
2. REVISO TERICA
.................................................................................
30
2.1 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
...................................................... 30
2.2 MECNICA DO CONTNUO
.......................................................................
35
2.3 PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
................................................ 36
2.4 FORMULAO DE ELEMENTO DE VIGA DE EULERBERNOULLI .. 42
2.5 RELAO DEFORMAO DESLOCAMENTO
..................................... 44
2.6 ELEMENTO DE
PRTICO............................................................................
48
2.7 MATRIZES DE DEFORMAO
DESLOCAMENTO.............................. 51
2.8 ANLISE NO-LINEAR
...............................................................................
53
2.8.1 TENSES PRINCIPAIS
..........................................................................
56
2.8.2 PLASTICIDADE
.....................................................................................
57
2.8.3 MTODO DE NEWTON-RAPHSON
.................................................... 60
3. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADO
...................... 64
3.1 MTODO DA PARTIO DA UNIDADE
................................................... 64
3.2 FUNES DE ENRIQUECIMENTO
............................................................ 68
3.3 MONTAGEM DAS FUNES DE ENRIQUECIMENTO
........................... 74
4. APLICAES
...........................................................................................
77
4.1 RELAO CONSTITUTIVA
........................................................................
78
4.2 ANLISE NO-LINEAR DE BARRA SOB TRAO
............................... 80
-
4.3 ANLISE LINEAR DE VIGA
.......................................................................
81
4.4 ANLISE NO-LINEAR DE VIGA
.............................................................
84
4.5 ANLISE SELETIVA
....................................................................................
87
4.6 ANLISE NO-LINEAR DE VIGA BI APOIADA SOB MOMENTO
CONCENTRADO
......................................................................................................
91
4.7 AVALIAO DO EFEITO DO MEFG NO CLCULO DE TENSES ...... 93
5. CONCLUSO
............................................................................................
97
REFERENCIAS
................................................................................................
99
-
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Subdiviso do Domnio: a) Caso Real; b) Discretizao do
espao de
elementos finitos representao das condies de contorno.
............................. 31
Figura 2: Representao de corpo rgido.
...............................................................
35
Figura 3: Referencial Lagrangeano Total.
...............................................................
38
Figura 4: Referencial Lagrangeano Atualizado.
..................................................... 39
Figura 5: Tpico de uma Viga de Euler-Bernoulli
.................................................... 43
Figura 6: Elemento de prtico tridimensional.
......................................................... 48
Figura 7: Classificao das Anlises.
.......................................................................
55
Figura 8: Superfcie de escoamento aps carregamento no material
que
apresenta encruamento isotrpico.
...........................................................................
58
Figura 9: Superfcie de escoamento no espao de tenses.
............................... 59
Figura 10: Projees das superfcies de escoamento de Tresca e Von
Mises: a)
Plano-; b) Plano 1-3 | 2-3.
.................................................................................
60
Figura 11: Ilustrao do processo de iterao de Newton-Raphson em
uma
soluo genrica de um sistema de um nico grau de
liberdade........................ 62
Figura 12: Efeito Snap-Through.
...............................................................................
63
Figura 13: Efeito Snap-Back.
.....................................................................................
63
Figura 14: Cobertura {i} do domnio .
..................................................................
65
Figura 15: Subdomnio e funes PU para uma malha de elemento
unidimensionais do MEFG.
........................................................................................
68
Figura 16: Configurao da partio da unidade do MEF convencional
(hi MEF),
funo de enriquecimento (I) e funo enriquecida (hi MEFG) para o n
inicial
( = -1) na direo do Eixo X1.
...................................................................................
70
Figura 17: Configurao da partio da unidade do MEF convencional
(hi
MEF), funo de enriquecimento (I) e funo enriquecida (hi MEFG)
para o n
intermedirio ( = 0) na direo do Eixo X1.
............................................................ 70
Figura 18: Configurao da partio da unidade do MEF convencional
(hi MEF),
funo de enriquecimento (I) e funo enriquecida (hi MEFG) para o n
final
(=1) na direo do Eixo
X1........................................................................................
71
-
Figura 19: Configurao da partio da unidade do MEF convencional
(hi
MEF), funo de enriquecimento (I) e funo enriquecida (hi MEFG)
para o n
inicial ( = -1) na direo dos Eixos X2 e X3.
........................................................... 72
Figura 20: Configurao da partio da unidade do MEF convencional
(hi
MEF), funo de enriquecimento (I) e funo enriquecida (hi MEFG)
para o n
intermedirio ( = 0) na direo dos Eixos X2 e X3.
............................................... 72
Figura 21: Configurao da partio da unidade do MEF convencional
(hi
MEF), funo de enriquecimento (I) e funo enriquecida (hi MEFG)
para o n
final (=1) na direo dos Eixos X2 e X3.
.................................................................
73
Figura 22: Funes enriquecidas para os graus de liberdade, para
barra e viga,
de deslocamentos nas trs direes.
.......................................................................
73
Figura 23: Graus de Liberdade Nodais acrescidos de 1 (um) nvel
de
enriquecimento.
............................................................................................................
74
Figura 24: Graus de Liberdade Nodais acrescidos de 2 (dois) nvel
de
enriquecimento.
............................................................................................................
75
Figura 25: Casos analisados em condio linear e no-linear; a)
Trao em
viga engastada; b) Flexo em viga bi apoiada.
...................................................... 78
Figura 26: Diagrama Tenso x Deformao.
.......................................................... 79
Figura 27: Deslocamento axial x Log NGL para barra sob trao em
anlise
no-linear.
.....................................................................................................................
80
Figura 28: Deslocamento vertical x Log NGL para viga sob flexo
em anlise
linear.
.............................................................................................................................
82
Figura 29: Deslocamento vertical na viga biapoada em anlise
linear
considerando 1000 passos de carga, para 45 graus de
liberdade...................... 83
Figura 30: Deslocamento vertical x Log NGL para viga sob flexo
em anlise
no-linear.
.....................................................................................................................
84
Figura 31: Deslocamento vertical na viga biapoada em anlise
no-linear
considerando 1000 passos de carga, para 45 graus de
liberdade...................... 86
Figura 32: Seletividade de um subdomnio para enriquecimento.
....................... 87
Figura 33: Erro absoluto de deslocamentos em relao ao nmero de
graus de
liberdade para anlise linear para 1 passo de carga.
............................................ 88
Figura 34: Erro absoluto de deslocamentos em relao ao nmero de
graus de
liberdade para anlise linear para 10 passos de carga.
........................................ 89
-
Figura 35: Erro absoluto de deslocamentos em relao ao nmero de
graus de
liberdade para anlise linear para 1000 passos de carga.
................................... 89
Figura 36: Erro absoluto de deslocamentos em relao ao nmero de
graus de
liberdade para anlise no-linear para 10 passos de carga.
................................ 90
Figura 37: Erro absoluto de deslocamentos em relao ao nmero de
graus de
liberdade para anlise no-linear para 100 passos de carga.
............................. 90
Figura 38: Erro absoluto de deslocamentos em relao ao nmero de
graus de
liberdade para anlise no-linear para 1000 passos de carga.
........................... 91
Figura 39: Modelo de duto analisado.
......................................................................
92
Figura 40: Deslocamento vertical no duto em funo do carregamento
de
momento concentrado.
...............................................................................................
93
Figura 41: Tenso de Von Mises ao longo da viga biapoiada.
............................ 94
Figura 42: Tenso de Von Mises ao longo do elemento considerando
2 nveis
de enriquecimento.
......................................................................................................
95
-
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Classificao de Anlises No-Lineares.
............................................... 54
Tabela 2: Foras aplicadas nas anlises de trao e flexo, linear e
no-linear.
........................................................................................................................................
77
Tabela 3: Valores para Diagrama Tenso x Deformao.
.................................... 79
Tabela 4: Erro relativo do deslocamento axial com o valor
analtico em funo
do nmero de elementos.
...........................................................................................
81
Tabela 5: Erro relativo do deslocamento vertical com o valor
analtico em
funo do nmero de elementos no caos de anlise linear de viga.
.................. 82
Tabela 6: Deslocamento vertical na viga biapoada, para ltimo
passo de carga,
em anlise linear considerando 1000 passos de carga, para 45
graus de
liberdade.
.......................................................................................................................
84
Tabela 7: Erro relativo do deslocamento vertical com o valor
analtico em
funo do nmero de elementos no caso de anlise no-linear de viga.
.......... 85
Tabela 8: Deslocamento vertical na viga biapoada, para ltimo
passo de carga,
em anlise no-linear considerando 1000 passos de carga, para 45
graus de
liberdade.
.......................................................................................................................
86
Tabela 9: Tenso de Von Mises.
...............................................................................
96
-
LISTA DE SIGLAS
MEF Mtodo dos Elementos Finitos
MEFG Mtodo dos Elementos Finitos Generalizado
MPU Mtodo da Partio da Unidade
PU Partio da Unidade
-
LISTA DE SMBOLOS
a Vetor de acelerao de campo
A rea
aij Graus de liberdade nodal
b Vetor de foras de campo atuantes no elemento
bij Graus de liberdade de campo
j Fator multiplicador da funo de enriquecimento associado ao
nvel de
enriquecimento j
LtB0 - Matriz linear de deformao-deslocamento no tempo t
NLt B10 - Matriz no-linear de deformao-deslocamento no tempo
t
NLt B20 - Matriz no-linear de deformao-deslocamento no tempo
t
NLt B30 - Matriz no-linear de deformao-deslocamento no tempo t C
Matriz de coeficiente de amortecimento
tCEP Componentes da Matriz Constitutiva Elastoplstica
D Matriz de relao constitutiva do material
Vetor de deformao global
i Vetor de deformao nodal
Deformao na direo x1 no eixo centroidal
- Deformao incremental linear axial no eixo centroidal no tempo
zero da
configurao de referncia
- Deformao incremental no-linear axial no eixo centroidal no
tempo zero
da configurao de referncia
-
E Mdulo de Young
Et Mdulo Tangente
; Superfcie de Escoamento F Vetor de foras globais
Fi Vetor de foras nodais
Feq - Fora axial equivalente
FAS Fora incremental da mola de solo longitudinal no tempo t
FBS Fora incremental de compresso da mola de solo de base no
tempo t
FUS Fora incremental de compresso da mola de solo de
levantamento no
tempo t
FRLS Fora incremental de compresso da mola de solo lateral
direita no tempo
t
t+tfiB - Componente das foras externas aplicadas por unidade de
volume
analisadas no tempo t+t
t+tfiS - Componentes das foras de trao externas aplicadas por
unidade de
rea analisadas no tempo t+t
Ht0 Matriz das funes de forma de elementos finitos
htH0 Matriz das funes de forma de elementos finitos
generalizado
I1, I2, I3 Invariantes do Tensor de Tenses de Cauchy
J1, J2, J3 Invariantes do Tensor Deviatrio de Tenses
j Nvel de enriquecimento
K Matriz de rigidez de corpo rgido
Constante de rigidez da mola de solo longitudinal no tempo t
Constante de rigidez da mola de solo de base no tempo t
Constante de rigidez da mola de solo de levantamento no tempo
t
-
Constante de rigidez da mola de solo lateral esquerda no tempo
t
Constante de rigidez da mola de solo lateral direita no tempo
t
Deformao incremental da mola de solo longitudinal no tempo t
Deformao incremental da mola de solo de base no tempo t
Deformao incremental da mola de solo de levantamento no tempo
t
Deformao incremental da mola de solo lateral esquerda no tempo
t
- Deformao incremental da mola de solo lateral direita no tempo
t L Operador Linear
M Matriz de massa do corpo
Momento equivalente em relao direo x2
Momento equivalente em relao direo x3
N Vetor de funes interpoladoras de elementos finitos
Vetor de tenses de Cauchy
esc Tenso de Escoamento
m Tenso Mdia
(n) Tenso Normal de superfcie direo n
t - Tempo
Tenso de Cisalhamento direo n
Componentes do Tensor de Tenses de Cauchy no tempo t
Densidade
t - Densidade no tempo t
0 Densidade na configurao inicial
Sij Tensor Deviatrio de Tenses
-
Componentes do segundo tensor de tenses de Piolla-Kirchoff no
tempo
t+t com referncia configurao inicial
- Componentes do tensor de deformaes de Green-Lagrange no
tempo
t+t com referncia configurao inicial
t(n) Foras de Trao de Superfcie na direo n
ni, nj Vetor unitrio na direo i e j
Vetor de acelerao global do corpo rgido
Vetor de velocidade global do corpo rgido
Vetor de deslocamento global do corpo rgido
Ui Vetor de deslocamento nodal do corpo rgido
Coeficiente de Poisson
t u0, t v0, t w0 - Componentes de deslocamentos do eixo
centroidal no tempo t em
relao configurao de referncia
u, v, w - Componentes de deslocamento
eMEFu Deslocamento nodal de elementos finitos
eENRIQu - Deslocamento nodal de enriquecimento
ehu - Deslocamento nodal aproximado pelas funes de
enriquecimento
- Rotao incremental em torno do eixo x2 no tempo t em relao
configurao de referncia
- Rotao incremental em torno do eixo x3 no tempo t em relao
configurao de referncia
Curvatura incremental no-linear em torno do eixo x3 Curvatura
incremental no-linear em torno do eixo x2
Curvatura incremental linear em torno do eixo x3
-
Curvatura incremental linear em torno do eixo x2
Curvatura incremental em torno do eixo x2 no tempo t em relao
configurao de referncia.
Curvatura incremental em torno do eixo x3 no tempo t em relao
configurao de referncia.
- Domnio
i Funes Partio da Unidade
{i} Subcobertura do domnio relacionada s funes partio da
unidade
j Funes de enriquecimento
x1, x2, x3 - Coordenadas cartesianas locais
, , - Coordenadas cartesianas globais - Coordenada natural
axial
Wint Energia Potencial Interna
Wext Energia Potencial Externa
-
RESUMO
Cervelin, D. Mtodo dos Elementos Finitos Generalizado:
Desenvolvimento e
Aplicao em Anlise No-Linear Utilizando Elemento de Prtico
Espacial de
Alta Ordem. Dissertao (Mestrado) Escola Politcnica, Programa de
Ps-
Graduao em Engenharia Mecnica, Pontifcia Universidade Catlica
do
Paran, Curitiba, 2014.
O Mtodo dos Elementos Finitos utilizado em diversas aplicaes
da
engenharia, mais usualmente aplicado no estudo de problemas com
elevados
gradientes de tenso, trincas, analises de vibrao, entre outros,
buscando maior
confiabilidade no projeto de estruturas. Devido ao elevado grau
de complexidade
de alguns problemas, o tempo computacional demandado pode
ser
consideravelmente alto. Na busca pela obteno de resultados de
picos de
tenses ou deslocamentos, pode-se enriquecer o campo de
deslocamentos do
MEF. Um destes procedimentos chamado MEFG Mtodo dos
Elementos
Finitos Generalizado. O principal objetivo deste trabalho
desenvolver uma
formulao de enriquecimento de um elemento de elevada ordem
polinomial, de
viga, que seja capaz de aprimorar os resultados numricos da
aproximao
convencional. Alguns exemplos so modelados para mostrar a
performance do
MEFG e os resultados so comparados com software comercial e com
solues
analticas. So testados tambm diferentes nveis de enriquecimento
bem como
a seletividade de elementos a serem enriquecidos. O MEFG
desenvolvido para
um elemento de viga de Euler-Bernoulli 3D com funes polinomiais
de elevada
ordem. Os resultados encontrados mostram que o mtodo mais
eficiente na
obteno de resultados de tenses ao invs de deslocamentos. Alm
disso,
melhores resultados com a utilizao do MEFG foram obtidos em
anlises com
consideraes de no-linearidade material.
Palavras-Chave: Funes de Enriquecimento, MEFG, Elevada Ordem
Polinomial, Viga de Euler-Bernoulli, Partio da Unidade.
-
ABSTRACT
Cervelin, D. Generalized Finite Element Method: Development and
Application in
Non-Linear Analysis Using a High Order Space Frame Element.
Dissertao
(Mestrado) Escola Politcnica, Programa de Ps-Graduao em
Engenharia
Mecnica, Pontifcia Universidade Catlica do Paran, Curitiba,
2014.
The Finite Element Method is used in several engineering
problems and more
usually applied for the study of problems with high stress
gradients, cracks,
vibration analysis and so on, looking for more reliability in
design of structures.
Due the complexity of some problems, the computational time
demanded can be
very high. In order to obyain the peak of stress or
displacements, it should enrich
the FEM displacement field. One of these procedures is called
GFEM -
Generalized Finite Element Method. The main objective of this
work is to develop
a formulation that is able to enrich a high polynomial order
beam element in order
to improve the numerical results of the conventional approach.
Some examples
are modeled to show the performance of GFEM and the results are
compared
with commercial software and analytical solutions. Also are
tested different
enrichment levels as well as only some elements are enriched
instead of all
element. The GFEM is developed for 3D Euler-Bernoulli beam
element with high
order of polynomial functions. Results shows that the proposed
method is more
efficient than FEM when tensions results are obtained instead of
displacement
results. Furthermore, better results using GFEM was obtained on
analysis with
material non-linearity considerations.
Keywords: Enriched Functions, GFEM, High Order Polynomial
Functions, Euler-Bernoulli Beam, Partition of Unity.
-
19
1. INTRODUO
Constantemente mquinas, peas, estruturas metlicas,
edificaes,
veculos, ferramentas, entre outros, esto sujeitos a
carregamentos e esforos
das mais diversas naturezas. Os projetos, sejam eles de qualquer
disciplina,
eltrica, mecnica ou civil, tendem a ser cada vez mais otimizados
e com foco
na reduo de custo de fabricao e/ou produo, manufatura.
Com a evoluo do mercado e da dificuldade das empresas em buscar
o
desenvolvimento prprio devido elevados custos operacionais e
baixo retorno
financeiro pelas vendas, os novos investimentos desejados pelas
indstrias
tendem a ser caracterizados por baixo custo de investimento
inicial, conciliado
com rapidez de execuo do projeto com confiabilidade e qualidade.
Isto faz dos
projetos mais otimizados e prximos dos limites dimensionais e de
fatores de
segurana admitidos. Tudo isto faz com que a excelncia na execuo
do projeto
seja alcanada de forma a se evitar problemas futuros, aps posta
em marcha
de tais equipamentos, mquinas, ferramentas, etc. As constantes
mudanas
climticas pelas quais o planeta est atravessando, devido
principalmente pelo
constante e gradual aumento do crescimento global, torna as
estruturas mais
exigidas sofrendo esforos de vibrao, dilatao trmica, entre
outros.
Da mesma forma como a medicina evolui no desenvolvimento de
vacinas,
remdios, pesquisas na cura de determinadas doenas ou da mesma
forma
como o direito busca a regulamentao e atualizao das normas
legais dos
pases, a engenharia precisa buscar o desenvolvimento de
ferramentas e
processos que otimizem a indstria seja isso da maneira que for
conveniente e
necessria. Entenda-se melhoria contnua em processos
operacionais, busca
pela excelncia na execuo de projetos, processos de manufatura,
dentre
outros.
Umas das principais ferramentas utilizadas por engenheiros so
as
chamadas ferramentas computacionais, softwares capazes de
executar clculos
e anlises complexas em um curto espao de tempo que levariam
muito tempo,
ou at mesmo seriam impossveis e inviveis, de serem realizados
mo. A
pesquisa e desenvolvimento destes de extrema importncia,
tornando-as
rpidas, fceis de se manipular e eficazes, com alta eficincia e
confiabilidade.
-
20
O Mtodo dos Elementos Finitos muito usado na indstria para
execuo de projetos e otimizaes dos mesmos. Anlises de fadiga e
fratura,
anlises estticas com linearidade e no-linearidade geomtrica e de
material e
anlises dinmicas so algumas das aplicaes deste mtodo. Diversos
so os
softwares comerciais disponveis no mercado os quais utilizam a
Teoria do
Mtodo dos Elementos Finitos, como por exemplo: Algor, Ansys,
Catia, Solid
Works, Solid Edge, Pro-E, Hyper Mesh, etc.
Apesar de ser um mtodo consagrado e eficiente, em algumas
situaes
pode-se encontrar algumas limitaes na utilizao destes softwares.
Problemas
da mecnica da fratura, mecnica do dano, problemas com
consideraes de
concentrao de tenso, entre outros, demandam elevado esforo
computacional em funo das particularidades de cada problema,
como o caso
da mecnica da fartura por exemplo, onde a obteno do efeito da
singularidade
na ponta de trincas requer malhas de elementos finitos
extremamente refinadas.
Em diversos casos na utilizao do MEF faz-se necessrio uma
correta e
precisa criao da malha de elementos finitos devido ao grau de
complexidade
do problema tornando a simulao onerosa e tambm reduzindo a
eficincia do
mtodo, em outras palavras, a malha de elementos finitos deve ser
to refinada
quanto necessria de forma a se alcanar o menor erro da soluo.
Outro fator
impactante o fato de que a cada refino de malha um novo conjunto
de matrizes
de rigidez deve ser recriado e recalculado, aumento assim ainda
mais a
demanda de tempo de processamento.
Tendo isto em vista, desenvolveu-se (Melenk e Babuska (1996),
Babuska
et. al (2000), entre outros) o Mtodo da Partio da Unidade e em
seguida o
Mtodo dos Elementos Finitos Generalizado os quais tornaram
possvel a
incluso na formulao do MEF funes de efeitos conhecidos de forma
a
capturar comportamentos determinados, tais como singularidades,
oscilaes de
valores no tempo, entre outros. Este mtodo permitiu o
enriquecimento no campo
de variveis com caractersticas de refinamento hierrquico,
reduzindo a
demanda computacional e aumentando a eficincia nas simulaes,
principalmente em situaes com elevado grau de complexidade.
Sendo assim, este trabalho prope o estudo e desenvolvimento de
uma
formulao adaptada atravs do Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado
que seja capaz de avaliar os efeitos causados em vigas por foras
estticas, as
-
21
quais podem levar o material ao regime plstico. Uma das aplicaes
da
formulao ser na anlise de dutos, pois sabe-se que estas
estruturas so
submetidas a esforos extremos e constantes. Nos prximos captulos
sero
realizadas revises bibliogrficas e tericas a respeito deste
tema.
1.1 MOTIVAO
A principal motivao deste trabalho a possibilidade de adaptao
do
mtodo dos elementos finitos convencional, um mtodo consagrado,
atravs da
tcnica de enriquecimento das funes de forma com o uso do Mtodo
da
Partio da Unidade para a soluo de equaes diferenciais em
problemas da
mecnica. Este mtodo tambm conhecido como Mtodo dos Elementos
Finitos Generalizado.
Algumas das principais vantagens em torno da implementao do
Mtodo
dos Elementos Finitos Generalizado so:
Possibilidade de considerar o comportamento prvio de uma
determinada
soluo no espao de aproximao de elementos finitos atravs da
incluso de funes de enriquecimento na formulao de elementos
finitos;
Obteno de efeitos ou comportamentos localizados;
A habilidade de construir um espao de elementos finitos com
qualquer
que seja a sua regularidade e/ou comportamento;
A no necessidade de criao de uma complexa malha de elementos
finitos para resoluo de problemas com elevado grau de
complexidade,
pelo fato da possibilidade de implementao de diferentes nveis
de
enriquecimento no modelo, tcnica esta ser revisada nas sees
seguintes;
O fato de este mtodo possuir caractersticas hierrquicas;
De acordo com alguns trabalhos presentes na literatura, como
por
exemplo, Babuska et. al (2000), Osborn et. al (2002), entre
outros, percebe-se
que o MEFG pode proporcionar bons resultados e resoluo de
determinados
-
22
problemas que o mtodo clssico de elementos finitos falha ou
extremamente
demandado e com baixa eficincia, tais como problemas da mecnica
da fratura
problemas da dinmica das estruturas, entre outros. Esta boa
eficincia do
mtodo se d basicamente pelo fato de que possvel a incluso de
informaes
analticas do problema dentro do espao de elementos finitos.
Diversas so as aplicaes do MEFG presentes na literatura como,
por
exemplo: Anlise dinmica com foras variveis no tempo, anlise de
vibrao,
mecnica do dano, mecnica da fratura, entre outros. No foram
encontrados
ainda estudos que mostrem a implementao deste mtodo em
anlises
estticas com consideraes de no-linearidade geomtrica e material
utilizando
elemento com funes de ordem elevada.
-
23
1.2 OBJETIVO GERAL
Este trabalho tem como objetivo principal o desenvolvimento
e
implementao do Mtodo dos Elementos Finitos Generalizado em um
cdigo
computacional para a obteno de efeitos localizados em estruturas
sujeitas a
carregamentos diversos em anlises com consideraes de
no-linearidade
material. O elemento implementado est baseado nos trabalhos de
Meja (2003),
Souza (2005) e Shang (2009), e admite a ocorrncia de efeitos no
lineares
produzidos pela plastificao do material. O programa base foi
desenvolvido em
linguagem FORTRAN a partir do cdigo adaptado por Shang (2009),
designado
por APC3D_Multilinear.
1.3 OBJETIVO ESPECFICO
Os objetivos especficos deste trabalho so:
Adaptar o cdigo computacional APC3D_Multilinear
implementando a Teoria do Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado;
Avaliar o efeito das funes de enriquecimento em anlises com
consideraes de linearidade e no-linearidade material;
Modelagem de duto avaliando o comportamento de deslocamentos
e tenses locais;
-
24
1.4 REVISO BIBLIOGRFICA
O Mtodo dos Elementos Finitos um mtodo muito utilizado em
anlises
computacionais e projetos diversos. Os resultados obtidos por
este mtodo so
em geral precisos e confiveis. Pesquisas esto sendo
desenvolvidas e alguns
mtodos mais eficientes esto sendo descobertos, dentre eles est o
Mtodo
dos Elementos Finitos Generalizado. O presente estudo se baseia
no trabalho
desenvolvido por Shang (2009). Este utilizou o programa escrito
em linguagem
FORTRAN, sob o nome de APC3D_Multilinear, para realizar anlises
do efeito
de concentrao de tenses em dutos corrodos atravs de elemento de
prtico
uniaxial tridimensional. Foram considerados efeitos de
no-linearidade fsica na
formulao do elemento. Baseado nesta referncia, o presente
trabalho prope
a adaptao do programa atravs do Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado.
O Mtodo dos Elementos Finitos Generalizado foi introduzido
inicialmente
por Babuska et. al (2000) e baseado no Mtodo da Partio da
Unidade, o qual
foi apresentado na literatura pelo mesmo autor. Melenk e Babuska
(1996)
apresentaram a fundamentao matemtica bsica do MPU analisando
e
definindo os mtodos de escolha das parties da unidade para
enriquecimento
do espao de elementos finitos. Mostrou-se nestes trabalhos a
eficcia deste
novo mtodo quando desenvolvido para problemas Laplacianos,
problemas da
elasticidade e problemas de Helmholtz.
No trabalho de Babuska, Banerjee e Osborn (2002) foram
apresentadas
diversas formulaes para o Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado
(MEFG) e suas consequncias na soluo de problemas de equaes
diferenciais. Uma noo quantitativa de robustez do mtodo
apresentada e
discutida alm de conclurem que funes polinomiais so muito
eficientes na
implementao do campo de enriquecimento.
Por sua vez, Barros, Proena e Barcellos (2002) propuseram um
estimador de erros utilizado no procedimento de soluo de
equaes
diferenciais de Newton-Raphson, com aplicao em problemas
no-lineares de
vigas de concreto armado abrangendo a formulao do MEFG. Os
resultados
mostraram a eficincia do mtodo enriquecido sendo pontuado como
principal
-
25
vantagem a simplicidade com que o refinamento p no-homogneo pode
ser
realizado, sem a necessidade de imposio de condies de contorno
para as
funes de aproximao.
Barros (2002) analisou algumas formulaes de mtodos sem
malha,
dentre eles o mtodo das nuvens. Alm disso analisou o MEFG e
apresentou as
vantagens de cada mtodo. Os mtodos foram aplicados em anlises
onde
estruturas chegam ao regime de comportamento no-linear fsico no
estudo da
Mecnica do Dano Contnuo. Constatou-se uma grande flexibilidade
no uso do
MEFG pelo fato da independncia da malha e pelo fato da
possibilidade de refino
do sistema apenas no subdomnio desejado. Ainda, notou-se uma
vantagem
expressiva no uso de funes de aproximao tipo trigonomtrica em
relao s
funes polinomiais.
Torres (2003) realizou anlises tridimensionais de modelos
slidos
considerando efeitos no-lineares, empregando o Mtodo dos
Elementos Finitos
Generalizado. Baseado nas anlises realizadas, conclui que o MEFG
possui
tima capacidade de aproximao dos resultados em subdomnios ou
locais de
interesse, no s em picos de resultados mas tambm na captura de
gradientes
de deformao e tenso na regio de interesse.
Chessa e Belytschko (2003) apresentam um mtodo enriquecido no
qual
a interface entre a parcela de enriquecimento e a parcela de
elementos finitos
convencional pode se mover arbitrariamente por entre a malha sem
a
necessidade de criao de nova malha de elementos finitos. O
enriquecimento
implementado pelo Mtodo dos Elementos Finitos Estendido
modelando
descontinuidades no gradiente de velocidades na regio de
interface atravs de
partio da unidade local.
Santana (2004), em uma anlise de propagao de trincas no contexto
da
mecnica da fratura linear elstica, estudou o emprego dos mtodos
sem malha,
os quais dispensam o uso da discretizao atravs de elementos
sendo esta
realizada atravs do emprego de ns distribudos sobre o domnio,
bem como
estudou o MEFG. Em seu trabalho, avalia as diferenas entre o
MEF
convencional, o Mtodo de Galerkin Sem Elementos (MGSE) e o MEFG
em
formulao uni e bidimensional. Constatou que o MEF captura de
forma muito
imprecisa os efeitos localizados. Para conseguir bons resultados
o refino da
malha deve ser alto, o que demanda muito tempo computacional. O
MGSE
-
26
captura com mais eficincia os resultados locais, se comparado
com o MEF
tradicional, porm sua aproximao demanda maior esforo
computacional, pelo
fato das funes de forma serem obtidas atravs da soluo de um
sistema de
equaes em cada ponto do domnio, ao contrrio do MEF convencional,
o qual
obtm as funes de forma apenas nos ns do elemento. Pode ser
uma
formulao vantajosa para anlises tridimensionais onde a geometria
e recriao
de malhas pode se tornar onerosa. Constatou tambm que com o MEFG
a
captura dos efeitos locais muito precisa com a tcnica de
enriquecimento das
funes pelo fato de se escolher funes de enriquecimento que
representam o
resultado esperado. O MEFG baseado no conhecimento a priori da
natureza
da soluo, ou seja, as funes de enriquecimento representam o
conhecimento
prvio do comportamento da estrutura sujeita a determinado
carregamento.
Concluiu-se em uma comparao entre os mtodos que as solues
numricas
com o MEFG resultam no melhor custo-benefcio para o problema
de
propagao de trincas.
Souza (2005) estudou o comportamento de dutos enterrados atravs
de
um modelo de viga. Algumas aplicaes deste trabalho sero
reproduzidas no
presente estudo atravs do mtodo de elementos finitos
generalizado para efeito
de validao do modelo proposto.
O estudo de Mangini (2006) traz o Mtodo dos Elementos
Finitos
Generalizado aplicado na anlise de estruturas em casca de
revoluo. Funes
de enriquecimento polinomiais, exponenciais e trigonomtricas
foram propostas
para o enriquecimento do MEF convencional e observou-se que o
mtodo
proposto possui uma taxa de convergncia dos resultados
significantemente
maior que o mtodo convencional.
O MEFG tambm pode ser aplicado no estudo da Mecnica da
Fratura,
como o caso do trabalho de Duarte e Kim (2008). O estudo aplica
a tcnica de
enriquecimento em problemas com mltiplas trincas no domnio e
demonstra que
a preciso do mtodo pode ser controlada usando um nmero fixo de
graus de
liberdade e de funes de enriquecimento.
Arndt (2009) estudou o Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado
aplicado em anlise de vibrao livre de estruturas reticuladas.
Funes
aproximadoras, tambm chamadas de funes de enriquecimento,
foram
propostas para elementos de barra e de viga de Euler-Bernoulli.
Os diferentes
-
27
tipos e composio de funes foram analisadas para cada caso
avaliando os
erros relativos em relao s anlises via MEF convencional. Pode-se
concluir
neste trabalho tambm que o refino p gerou resultados mais
precisos que o refino
h. Outro resultado importante que o MEFG permite encontrar
resultados
precisos e com eficincia os quais no so possveis de se obter via
MEF
convencional, em situaes especficas.
Torii (2012) aplicou o MEFG em anlise dinmica de barras,
trelias,
vigas, prticos, equao da onda bidimensional e estado plano de
tenses.
Anlises modal e transiente foram realizadas. Os resultados foram
comparados
com o MEF convencional polinomial. Observou-se que, em geral, o
MEFG foi
mais eficiente em problemas que envolvem os modos mais elevados
de
vibrao, os quais so de extrema importncia em problemas
relativos
propagao de ondas no domnio, indicando assim o potencial do
mtodo dos
elementos finitos generalizado.
Muitas anlises requerem um grau de preciso tal que o mtodo
dos
elementos finitos convencional no consegue alcanar ou, quando
alcana,
demanda um esforo computacional muito grande atravs do alto
refino da
malha de elementos finitos. Em algumas situaes isto pode se
tornar
inconveniente em funo do tempo disponvel para as anlises, em
funo das
ferramentas ou equipamentos disponveis, etc. Problemas que levam
em
considerao a no-linearidade fsica ou geomtrica, problemas da
mecnica da
fratura, problemas de vibrao, problemas temporais, entre outros,
requerem tal
esforo computacional muitas vezes no disponvel. A tcnica de
enriquecimento
(MEFG) vem contribuir nestas situaes reduzindo o esforo
computacional bem
como aumentando a eficincia nas anlises com um considervel ganho
na
preciso dos resultados. Alm disso, situaes e comportamentos
especficos
ao problema podem ser simulados com mais eficincia atravs do
MEFG.
Os trabalhos encontrados na literatura aplicam a tcnica em
elementos de
barra, viga, prtico, entre outros, bem como em situaes de
linearidade e no-
linearidade fsica do modelo. O presente trabalho prope o emprego
deste
mtodo em um elemento de prtico uniaxial tridimensional de
elevada ordem.
Sero propostas algumas funes trigonomtricas para o
enriquecimento das
funes interpoladoras do mtodo dos elementos finitos e aplicadas
em anlises
-
28
linear e no-linear. A seguir ser feita uma breve reviso terica
para servir de
base ao trabalho.
1.5 ORGANIZAO DO TRABALHO
O presente trabalho est divido basicamente em 4 captulos
principais
sendo em sequncia: Reviso Terica, Mtodo dos Elementos
Finitos
Generalizado, Aplicaes e Concluses.
O captulo 2 apresenta uma reviso terica a qual formar uma base
de
estudo e referncia para o desenvolvimento do Mtodo dos Elementos
Finitos
Generelizado. Nesta seo sero tratados assuntos como a essncia do
Mtodo
dos Elementos Finitos e da Mecnica do Contnuo. Ser apresentado
tambm o
elemento finito que ser utilizado no desenvolvimento do
trabalho, bem como
suas caractersticas e formulaes. Uma breve reviso dos conceitos
de
plasticidade e mtodos de integrao numrica ser realizada.
O captulo 3 tratar a respeito do Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado tendo em vista a sua teoria bsica, derivada do
Mtodo da Partio
da Unidade, seu mtodo de adaptao ao MEF convencional e das
tcnicas de
implementao. Alm disso sero propostas funes de enriquecimento
para
implementao de cdigo computacional desenvolvido na
plataforma
FORTRAN.
Por sua vez, o captulo 4 destinado s aplicaes do Mtodo dos
Elementos Finitos Generalizado. Ser avaliado o modelo
implementado com o
uso de elemento de viga de Euler-Bernoulli com formulao
enriquecida e
aplicada na anlise de vigas com seo transversal circular sob
carregamento
axial e transversal, avaliando efeitos de linearidade e
no-linearidade material.
Uma anlise de validao do modelo proposto com referncia em um
caso
avaliado por Souza (2005) ser efetuada. Alm disso ser discutido
a
seletividade do enriquecimento do domnio, ou seja, as diferenas
entre
enriquecimento de todo o domnio ou de apenas parte do domnio nos
resultados
de deslocamento. As solues sero ento discutidas. Por fim ser
avaliado o
efeito do enriquecimento na anlise de tenses ao longo de um
elemento,
comparando os resultados com o MEF convencional.
-
29
Os resultados e concluses deste trabalho sero discutidos no
captulo 5,
bem como proposies para trabalhos futuros sero feitas. A seguir
d-se incio
reviso terica do presente trabalho.
-
30
2. REVISO TERICA
Esta seo se destina uma reviso terica de alguns temas que so
importantes para o estudo do Mtodo dos Elementos Finitos
Generalizado,
formando assim uma base terica para a implementao da formulao.
A
reviso terica iniciar tratando o Mtodo dos Elementos
Finitos.
2.1 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) consiste em uma tcnica
aproximativa para soluo de problemas das mais variadas formas.
Esta tcnica
amplamente aplicada, via anlise computacional, em casos onde uma
soluo
analtica no pode ser obtida, sendo ento a soluo por aproximao a
mais
indicada.
Trata-se de um procedimento numrico para analisar estruturas e
meios
contnuos, sendo formulado atravs de equaes diferenciais e
sujeito a
condies de contorno, sendo ento muito utilizado em Problemas de
Valor de
Contorno.
A tcnica consiste em subdividir, ou representar, o problema real
em um
domnio finito, subdivido em n partes. Cada subdiviso chamada de
elemento.
Quanto maior o nmero de elementos (i.e. mais subdivises no
domnio) melhor
ser a soluo encontrada. Este procedimento ser demonstrado nas
sees a
seguir.
A Figura 1 exemplifica como realizada esta subdiviso. Na Figura
1.a)
representado uma situao real, no caso um forno rotativo
utilizado na indstria
cimenteira e a Figura 1.b) representa a subdiviso do domnio de
elementos
finitos representando o caso real analisado.
-
31
Figura 1: Subdiviso do Domnio: a) Caso Real; b) Discretizao do
espao de elementos
finitos representao das condies de contorno.
Os passos bsicos em uma anlise via Mtodo dos Elementos
Finitos,
usando o mtodo por deslocamentos, so:
1. Subdividir a estrutura como um todo em pequenos elementos
interconectados estruturalmente por pontos, denominados ns;
2. Identificar as condies de contorno do sistema, impondo-as ao
estudo
de forma que correspondam correta resposta do sistema, em termos
de
deslocamento;
3. Incorporar ao sistema as relaes constitutivas relacionadas
anlise;
4. Formular as equaes de equilbrio correspondentes e
resolv-las;
5. Com os deslocamentos conhecidos e as relaes constitutivas
pr-
definidas, calcular a distribuio interna de tenses dos
elementos;
6. Interpretar os resultados encontrados e compar-los com o
resultado
esperado do caso real.
A Equao de Equilbrio do Movimento que descreve o Mtodo dos
Elementos Finitos, em funo do tempo, para um caso genrico, dado
por:
-
32
(1)
Em que M a massa total do sistema, C representa o amortecimento
do
sistema dinmico, a acelerao total, a velocidade e U o
deslocamento total do sistema, em consequncia das foras globais
aplicadas F. Desconsiderando os efeitos inerciais e dinmicos,
tem-se para a anlise esttica
a seguinte Equao de Equilbrio simplificada:
; (2)
Um elemento finito tpico e, conforme mostrado na Figura 1.1 para
o
estado plano de tenses, definido pelos ns i, j, m, etc.
conectados por linhas
entre si. Sejam os deslocamentos u em qualquer ponto dentro do
elemento
aproximados por:
, ,
; (2.1)
Figura 1.1: Domnio no estado plano de tenses dividido em
elementos finitos.
-
33
Em que os componentes de N so funes prescritas, conhecidas como
funes de forma ou de interpolao, e ue representam a lista de
deslocamentos nodais para um elemento particular.
No caso do estado plano de tenses, os deslocamentos horizontal
e
vertical correspondentes a um n i podem ser escritos como:
,, (2.2)
De tal forma que, reescrevendo a equao (2.1):
(3)
E substituindo-a na equao (2), tem-se:
(4)
Onde K a matriz de rigidez do sistema, U o vetor de
deslocamentos global do sistema, ui o vetor de deslocamentos
nodais, F o vetor de foras globais, Fi o vetor de foras nodais e N
a matriz das funes interpoladoras.
As condies de contorno essenciais so incorporadas em F de forma
que os deslocamentos possam ser ento calculados da seguinte
maneira:
(5)
Com os deslocamentos conhecidos em todos os pontos dentro do
elemento, as deformaes podem ser obtidas da seguinte
maneira:
(6)
Em que L um operador linear. Usando a equao (3), a equao (6)
pode ser aproximada como:
-
34
(6.1)
Sendo,
; (6.2)
A partir das deformaes determinadas e com as relaes
constitutivas D previamente conhecidas, pode-se ento obter as
tenses atuantes no elemento. Em geral, o material dentro do
contorno do elemento pode estar sujeito
a deformaes iniciais sejam elas de natureza quaisquer. Tais
deformaes so
chamadas de 0, sendo ento as tenses causadas pela diferena entre
a deformao atual e inicial. Em adio a isto, pode-se assumir que o
corpo em
anlise esteja sob efeitos de tenses iniciais residuais 0 e que
devem ser incorporadas na definio geral. Logo, assumindo um
comportamento linear
elstico qualquer, a relao linear entre tenses e deformaes
escrita na
forma:
(7)
Uma boa interpretao do Mtodo dos Elementos Finitos dada pela
Equao (3), a qual relaciona o deslocamento global de um
determinado domnio
com os deslocamentos nodais atravs das chamadas Funes
Interpoladoras
ou Funes de Forma N. Estas funes polinomiais interpolam valores
nodais subsequentes atravs de um sistema de equaes para obteno dos
resultados
globais. Desta maneira, entende-se que malhas refinadas possuem
mais
funes de forma interpolando valores nodais mais prximos entre
si, obtendo
assim resultados mais precisos do que malhas menos refinadas, ou
seja, com
menos elementos e por consequncia menor nmero de ns.
-
35
2.2 MECNICA DO CONTNUO
Esta seo far uma rpida reviso a respeito da Mecnica do
Contnuo
levantando os principais conceitos a serem considerados como
referncia no
presente trabalho.
De acordo com LUBLINER (2006), a mecnica do contnuo
conhecida
como sendo o estudo das foras e movimentos. Um determinado corpo
rgido,
sujeito a foras externas, pode deslocar-se no tempo ou ento
sofrer
deformaes elsticas e plsticas. O comportamento do corpo descrito
pelas
equaes variacionais, sejam elas, Princpio do Trabalho Virtual ou
Princpio da
Energia Potencial Total Estacionria. Estas formulaes buscam o
equilbrio
global do slido por meio da energia interna do corpo e das foras
e reaes
externas impostas ao slido, podendo ser analisadas em situaes
de
linearidade total e no linearidade fsica e/ou geomtrica. O
estudo das anlises
no-lineares ser discutido nas sees seguintes.
Dado um corpo rgido no domnio , de volume dV, superfcie dS,
foras
externas F e condies de contorno R, conforme Figura 2:
Figura 2: Representao de corpo rgido.
-
36
definido, pela equao denominada Equao do Movimento de Euler,
ou Balano de Momento Linear ou Equao de Fora Global:
(8)
Onde a densidade (massa por unidade de volume), b o vetor de
foras de campo (com dimenso de fora por unidade de massa) e a o
vetor de acelerao de campo. As foras externas so representadas
pela
componente t(n) denominada Foras de Superfcie. Este componente
no definido como sendo um componente de campo pois no depende
apenas da
localizao, mas tambm depende de uma orientao da superfcie do
corpo/elemento como definido pelo valor local (Direo) de n. A
dependncia das foras t com as direes n pode ser explicada pelo
Tetraedro de Cauchy. Estas foras podem ser ainda separadas em
Tenso
Normal e de Cisalhamento, respectivamente:
(9)
| | (10)
A Equao (8) representa o equilbrio de um corpo rgido submetido a
uma
variedade de carregamentos e restries.
2.3 PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Uma das formas de se determinar a estabilidade de um corpo
mensurando a energia total do mesmo. Um dos princpios utilizados
em anlise
via Elementos Finitos o Princpio da Energia Potencial Total.
Quando a
variao da Energia Potencial Interna se iguala variao da Energia
Potencial
Externa, tem-se ento um corpo em estado de equilbrio elstico,
isto , todo
corpo em equilbrio no possui variao em sua energia total:
-
37
(11)
Sendo Wint e Wext a variao da energia potencial interna e
externa,
respectivamente. A partir do momento em que um desbalanceamento
de
energias ocorre, o sistema entra em desiquilbrio e o fenmeno de
no
linearidade fsica e/ou geomtrica deve ser levada em considerao.
Neste
momento, um problema de valor de contorno s poder ser
solucionado atravs
de processos iterativos e consideraes de no-linearidade fsica e
geomtrica
na formulao do elemento finito.
Um problema de elementos finitos pode ser baseado na
formulao
Lagrangeana ou Euleriana. A formulao Euleriana muito empregada
em
problemas relativos transferncia de calor, dinmica dos fludos,
entre outros,
pois neste caso a malha de discretizao se mantm fixa e
estacionria em
relao um ponto referencial, enquanto o problema se desloca em
relao a
este mesmo ponto. Para problemas de valor de contorno da mecnica
dos
slidos, a formulao mais empregada a Lagrangeana. Esta se
caracteriza
pelo fato da malha de discretizao se mover em conjunto com o
corpo em
relao a um ponto referencial, o que resulta em melhores
resultados quando se
reproduz anlises no-lineares. Segundo Bathe (1996), em uma
anlise no-
linear podem-se adotar duas formas de referenciais Lagrangeanos,
sendo eles:
Referencial Lagrangeano Total (LT): Os deslocamentos so medidos
em
relao configurao inicial deformada no tempo 0 (zero),
conforme
Figura 3;
Referencial Lagrangeano Atualizado (LA): Todas as variveis
estticas e
cinemticas so medidas em relao ltima configurao de equilbrio
obtida no processo incremental, ou seja, em relao a um
referencial que
atualizado a cada incremento de carga, conforme ilustrado na
Figura 4:
-
38
Figura 3: Referencial Lagrangeano Total.
Nota-se que no Referencial Lagrangeano Total a referncia se
desloca
com o sistema ao haver incremento de tempo e carregamento sem
que haja
gerao de novo sistema referncia, sendo os deslocamentos medidos
em
relao a configurao deformada inicial. No caso de Referencial
Lagrangeano Atualizado, conforme ilustrado na Figura 4, a
referncia
atualizada a cada incremento de carga e tempo sendo que os
deslocamentos
so medidos em relao s novas referncias.
-
39
Figura 4: Referencial Lagrangeano Atualizado.
Neste trabalho ser adotada uma notao para a formulao do
problema
o qual segue a seguinte regra no que se refere aos ndices das
variveis:
ndice superior esquerdo Denota a configurao na qual ocorre a
varivel;
ndice inferior esquerdo Denota a configurao de referncia na
qual
ocorre a varivel;
ndice inferior direito Denota os componentes do vetor ou do
tensor de
segunda ordem;
ndice inferior direito seguido de vrgula Denota em relao a
qual
varivel ocorre a diferenciao.
Sendo assim, para a determinao da energia total de um corpo pode
ser
utilizado o Princpio dos Trabalhos Virtuais, em termos de
deslocamentos, na
formulao Lagrangeana Total, o qual dado por:
-
40
(12)
Onde o lado esquerdo da expresso representado pelo trabalho
virtual
interno, em termos do Segundo Tensor de Tenses de Piola-Kirchoff
( S ) no tempo t+t referido configurao inicial 0 e do Tensor de
Deformaes
de Green-Lagrange ( ). O lado direito da expresso representado
pelo
trabalho virtual externo (t+tR).
O Segundo Tensor de Tenses de Piola-Kirchoff e de Deformaes
de
Green-Lagrange no tempo t so definidos, respectivamente,
como:
, , (13)
, , , , (14)
No qual o Tensor de Tenses de Cauchy e a densidade aparente
do material utilizado.
O trabalho virtual externo t+tR descrito por:
(15)
Onde:
t+tfiB Componente das foras externas aplicadas por unidade de
volume
analisadas no tempo t+t;
t+tfiS Componentes das foras externas aplicadas por unidade de
rea
analisadas no tempos t+t;
t+tSf Superfcie no tempos t+t na qual as foras externas de trao
so
aplicadas;
uiS - ui avaliado na superfcie t+tSf.
-
41
As tenses e deformaes incrementais, respectivamente, so
calculadas
como:
(16)
(17)
Tomando como premissa os componentes de tenso e deformao para
um
elemento viga-duto, consideraes de interao solo-estrutura,
quando
aplicvel, e as relaes constitutivas do material, a equao do
trabalho virtual
incremental para um elemento solo-duto, segundo Meja (2003) e
reescrito por
Shang (2009), posta como:
(18)
Sendo que a primeira parcela do lado esquerdo em conjunto com a
segunda
parcela do lado direito calcula a matriz incremental que
descreve o
comportamento no-linear geomtrico da estrutura para grandes
deslocamentos
e pequenas deformaes. A segunda parcela do lado esquerdo calcula
a matriz
de rigidez no tempo t com a matriz constitutiva varivel, sendo
calculado neste
termo a no-linearidade fsica. Os trs termos restantes do lado
esquerdo e os
trs ltimos termos do lado direito representam o trabalho virtual
das molas de
solo. O primeiro termo do lado direito o trabalho virtual
externo originado pelas
cargas aplicadas.
-
42
2.4 FORMULAO DE ELEMENTO DE VIGA DE
EULERBERNOULLI
Este captulo apresenta uma formulao do modelo de viga de
Euler-
Bernoulli aplicada anlise de dutos. Em termos prticos, dois
tipos de
modelos so utilizados para modelagem de dutos: modelos que usam
elemento
de casca/slido ou modelos unidimensionais de elemento de viga.
Os elementos
de casca/slido apresentam capacidade em analisar o caso de
dutos
carregados, considerando a flambagem local, causas frequentes
para ruptura de
duto. Para dutos com defeitos quaisquer, o modelo geomtrico ,
por natureza,
tridimensional. Os elementos tridimensionais so ideais para
anlise de efeitos
locais, tais como flambagem local, plastificao na regio de
corroso, ou
interao de diversas colnias de defeitos. Porm, mesmo modelando
um duto
num trecho de comprimento limitado, os elementos de casca ou
slido requerem
maior esforo computacional, por que so elementos de elevado
nmero de
graus de liberdade. No caso de anlise de dutos com longo
comprimento e que
apresentam ramificaes, a malha de elementos de casca/slido no
indicada.
Nestes casos, o elemento de viga recomendado apesar da sua
simplicidade.
Uma das limitaes a excluso do efeito de flambagem local. Alm
disso, a
ovalizao na seo transversal e fratura local no so inclusos.
Assim, algumas
hipteses so consideradas para que a formulao do modelo de viga
seja
possvel.
As equaes de equilbrio so determinadas atravs do princpio de
trabalhos virtuais. A descrio cinemtica do modelo inclui efeitos
de no
linearidade geomtrica, devido possibilidade de desenvolvimento
de grandes
deslocamentos e pequenas deformaes. Tal descrio baseada na
Formulao Lagrangeana Total. O efeito de no linearidade fsica
tambm
incorporado no modelo considerando que o duto teria
comportamento elasto-
plstico multilinear, com caractersticas de material
isotrpico.
Considerando um duto carregado com cargas externas e a
presso
interna, o modelo permite calcular trs tipos de tenses:
longitudinal, radial e
tangencial. A tenso radial a menor dentre todas. A tenso
longitudinal
calculada atravs da lei constitutiva do material. Em cada
incremento, a
-
43
deformao calculada atravs das equaes deduzidas pela descrio
cinemtica, na seo transversal de cada ponto de integrao de
Gauss. Devido
a no linearidade fsica e geomtrica do modelo, a variao da
tenso
longitudinal calculada para cada passo de incremento. A tenso
tangencial
calculada pela equao de Lam com o incremento de presso em cada
passo.
No desenvolvimento do modelo matemtico considerada a hiptese
fundamental de que a viga formulada segundo teorema de Viga
Euler-Bernoulli.
A viga caracterizada pelo suporte de cargas transversais que
produzem
efeitos de flexo no corpo. Estas foras de flexo produzem esforos
de trao
e compresso nas faces superior e inferior da viga, dependendo da
direo das
foras aplicadas. A seo da viga subdividida em duas partes pela
linha neutra,
a qual coincide com o eixo centroidal da mesma onde neste ponto
as tenses
so nulas. A Figura 5 ilustra esquematicamente o comportamento de
uma viga
Euler-Bernoulli sob carregamento.
Figura 5: Tpico de uma Viga de Euler-Bernoulli
Algumas hipteses so adotadas para a formulao de um elemento
com
base na Teoria da Viga de Euler-Bernoulli, como segue:
1. A existncia da linha neutra onde a viga no sofre trao nem
compresso
na flexo pura;
-
44
2. A seo transversal que era originalmente perpendicular ao
eixo
longitudinal permanece plana e perpendicular ao eixo
longitudinal aps a
deformao;
3. Hiptese de viga esbelta;
4. No duto submetido presso interna, existem as tenses
tangenciais e
radiais. A tenso mxima segundo a soluo de Lam para cilindros
de
parede fina a tangencial. Em funo desta concluso, no modelo
em
estudo, a tenso radial desprezada, devido ao seu valor
relativamente
menor comparado com outras tenses;
5. Admite-se um comportamento elasto-plstico do material com
endurecimento isotrpico. A expanso de superfcie de
escoamento
dada de acordo com critrio de Von Mises.
2.5 RELAO DEFORMAO DESLOCAMENTO
Os deslocamentos do eixo centroidal, em coordenadas globais,
so
obtidos a partir dos deslocamentos incrementais, como segue:
(19)
(20)
(21)
Os componentes de deslocamento, para qualquer ponto P(x1,x2,x3)
do
corpo na seo transversal deste, com referncia no tempo t, podem
ser
descritas de acordo com as expresses:
(22)
(23)
-
45
(24)
Os quais, e so os deslocamentos do eixo centroidal no tempo
de referncia t.
Os deslocamentos totais acumulados no sistema de coordenada
global
ento descrito como:
(25)
(26)
(27)
O tensor de deformaes empregado o Tensor de Deformaes de
Green-Lagrange, definido conforme Equao 14, onde os termos na
forma
expandida so escritos conforme:
, ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , (28)
Expandindo a Equao 14 e considerando que s existe a deformao
longitudinal ento se tem:
, , , , , , , , , (29)
Substituindo as Equaes de (28) na Equao 29, pode-se expressar
os
componentes de deformao longitudinal como segue:
-
46
,
(30)
Desprezando os termos x2x3, x2 e x3, a equao acima
simplificada
para:
,
(31)
Da expresso acima podemos retirar as parcelas de deformao,
curvatura e rotao incremental linear (Representado pela letra L
no canto
superior direto) em termos das coordenadas locais:
Deformao incremental: (32)
Curvatura incremental em X3: (33)
Curvatura incremental em X2: (34)
Rotao incremental em torno do eixo X3: (35)
Rotao incremental em torno do eixo X2: (36)
A substituio do conjunto de equaes (32) (36) na equao (31),
resulta em:
-
47
(37)
Pode-se ento decompor a equao (37) em duas parcelas, sendo
parcela linear e no-linear, respectivamente:
(38)
Tal que:
(39)
(40)
Sendo a parcela de deformao no-linear inicial representada
por:
; ; (41)
Fazendo:
(42)
(43)
(44)
E substituindo-as na equao (38), tem-se por fim:
(45)
-
48
2.6 ELEMENTO DE PRTICO
Para o estudo de dutos ser utilizado um elemento de prtico
tridimensional, uniaxial, com seo transversal circular vazada.
Este elemento
foi desenvolvido por Meija e Rohel (2005) e aplicado por Souza
(2005) e Shang
(2009). O elemento possui funes de forma de ordem elevada,
com
comprimento L, conforme Figura 6. O elemento possui 3 ns e 6
graus de
liberdade por n, sendo estes: deslocamentos nas direes X1, X2 e
X3 e
rotao em torno dos eixos X1, X2 e X3. O elemento prev a
possibilidade de
plastificao da seo transversal em uma anlise no linear
fsica.
Figura 6: Elemento de prtico tridimensional.
Conforme descrito por Bathe (1996), de acordo com a formulao
isoparamtrica de deslocamentos, as funes interpoladoras para o
elemento de
-
49
prtico tridimensional de 3 ns, considerando as coordenadas
locais, so
definidas como:
Deslocamento Axial (Eixo X1):
22
2000
1 h (46)
2007 1 h (47)
22
2000
13 h (48)
Deslocamento Transversal (Eixos X2 e X3):
200200302 14341 hh (49)
20200908 11 hh (50)
20020015014 14341 hh (51)
Rotao - Flexo (Eixos X2 e X3):
2000200605 1181 Lhh (52)
202000012011 1121 Lhh (53)
200020018017 1181 Lhh (54)
-
50
Rotao - Toro (Eixos X1):
22
2000
4 h (55)
20010 1 h (56)
22
2000
16 h (57)
Na qual representa a coordenada local do elemento, o ndice
superior
esquerdo (Zero) remete configurao inicial do elemento e L o
comprimento
do mesmo. Este elemento apropriado para a anlise de dutos
sujeitos a
presses internas ou externas. Entretanto, desconsideram-se as
deformaes
devidas a esforos de toro, pois anlises com pequenas deformaes
da
seo transversal no so objeto de estudo. Sendo assim, pode-se
expressar na
forma matricial os deslocamentos incrementais, da seguinte
forma:
ettt
t
t
t
uH
qwvu
0
(58)
1616101044
171715151111995533
181814141212886622
13137711
qhqhqhhwhhwhhwh
hvhhvhhvhuhuhuh
qwvu
tttY
ttY
ttY
ttZ
ttZ
ttZ
tt
ttt
t
t
t
t
(59)
Nas expresses anteriores tu representa os deslocamentos axiais,
tv
representa os deslocamentos no Eixo X2, tZ representa rotaes
transversais
no Eixo X3, tw representa os deslocamentos no Eixo X3, tY as
rotaes
transversais no Eixo X2 e tq representa as rotaes no Eixo X1.
Desprezando-se
o efeito de toro no eixo do elemento por esta ter participao
desprezvel na
-
51
plastificao do material, bem como admitindo-se que no haja
empenamento
da seo do elemento, a equao (59) pode ser reescrita da seguinte
maneira:
ettt
t
t
uHwvu
0
(60)
No qual a matriz das funes de interpolao pode ser escrita
como:
000000000000
000000000000000000000000000
170150110905030
180140120806020
1307010
0
hhhhhhhhhhhh
hhhH
tttttt
tttttt
ttt
t (61)
2.7 MATRIZES DE DEFORMAO
DESLOCAMENTO
Pode-se obter a deformao axial linear Lot0 e as rotaes e
curvaturas
lineares Lzt0 e
Ly
t0 atravs da formulao descrita na sesso anterior e descreve-
las como sendo:
17"1715
"1511
"119
"95
"53
"3
18"1814
"1412
"128
"86
"62
"2
13'137
'71
'1
0
0
00
ztt
ytt
ytt
ztt
ztt
ztt
ttt
Ly
t
Lz
t
Lt
hwhhwhhwhhvhhvhhvh
uhuhuh
(62)
Em que h e h representam as derivadas primeira e segunda,
respectivamente, das funes interpoladoras em relao coordenada
local .
A forma matricial acima tambm pode ser representada da seguinte
maneira:
etLtLy
t
Lz
t
Lt
uB00
0
00
(63)
-
52
Na qual Lt B0 se resume :
04
04
000404
0004
04
00
4000404000
40
400040
000002000002000002
20
"17
20
"15
20
"11
20
"9
20
"5
20
"3
20
"18
20
"14
20
"12
20
"8
20
"6
20
"2
0
'13
0
'7
0
'1
0
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
BLt (64)
Conforme descrito por Bathe (1996), a deformao axial incremental
no-
linear pode ser descrita da seguinte maneira:
etNLtTNLtTetNLt uBBu 0101000 21
(65)
No qual:
02
02
0002
02
0002
02
00
2000202000
20
200020
000002
000002
000002
0
'17
0
'15
0
'11
0
'9
0
'5
0
'3
0
'18
0
'14
0
'12
0
'8
0
'6
0
'2
0
'13
0
'7
0
'1
10
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
BNLt (66)
A partir disso pode-se escrever a parcela da variao da deformao
axial
incremental no-linear:
etNLtTNLtTetNLt uBBu 01010000 21 (67)
A curvatura incremental no-linear NLzt0 escrita como sendo:
etNLtTLtTetLztLtNLzt uBBu 020000 (68) No qual:
-
53
000000000000000000
000002
000002
000002
4000
40
4000
40
4000
40
0
'13
0
'7
0
'1
20
"18
20
"14
20
"12
20
"8
20
"6
20
"2
20 Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
BNLt (69)
De forma anloga, a curvatura incremental no-linear NLyt0 obtida
atravs
da seguinte equao:
etNLtTLtTetLytLtNLyt uBBu 030000 (70)
Em que:
000002000002000002000000000000000000
04
04
000404
0004
04
00
0
'13
0
'7
0
'1
20
"17
20
"15
20
"11
20
"9
20
"5
20
"3
30
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
BNLt (71)
2.8 ANLISE NO-LINEAR
Frequentemente anlises com consideraes de no-linearidade
material
so realizadas. importante a identificao do tipo de problema
analisado de
forma a empregar as corretas consideraes e mtodos de clculo. A
Tabela 1
mostra uma classificao clara dos tipos de anlises no-lineares
considerando
separadamente efeitos de no-linearidade material e efeitos de
no-linearidade
cinemtica.
-
54
Tabela 1: Classificao de Anlises No-Lineares.
Fonte: Adaptado de Bathe (1996).
TIPO DE ANLISE DESCRIO FOMULAO
TPICA
MEDIO DE TENSO E
DEFORMAO
No-Linearidade
Material Apenas
Deformaes e
Deslocamentos
Infinitesimais; A
relao Tenso x
Deformao no-
linear
No-Linearidade
Material
Tenses e
deformaes de
engenharia
Grandes
Deslocamentos /
Grandes Rotaes /
Pequenas
Deformaes
Grandes
deslocamentos e
rotaes das fibras,
mas mudanas de
ngulo e
alongamentos entre
fibras so pequenas; A
relao Tenso x
Deformao pode ser
linear ou no-linear
Lagrangeana Total
(LT)
Lagrangeana
Atualizada (LA)
Segundo Tensor de
Tenses de Piola-
Kirchhoff
Tensor de
Deformaes de
Green-Lagrange
Tensor de Tenses
de Cauchy
Tensor de
Deformaes de
Almansi
Grandes
Deslocamentos /
Grandes Rotaes /
Grandes Deformaes
Alongamentos e
ngulo de rotao
entre fibras podem ser
grandes. Grandes
deslocamentos e
rotaes nas fibras
tambm podem
ocorrer; A relao
Tenso x Deformao
pode ser linear ou no-
linear
Lagrangeana Total
(LT)
Lagrangeana
Atualizada (LA)
Segundo Tensor de
Tenses de Piola-
Kirchhoff
Tensor de
Deformaes de
Green-Lagrange
Tensor de Tenses
de Cauchy
Deformaes
Logartimicas
A Figura 7 apresenta um esboo de alguns tipos de problemas que
so
encontrados, conforme listados na Tabela 1.
-
55
a) Linear Elstica (Deslocamento Infinitesimal).
b) No-Linearidade Material Apenas (Deslocamentos infinitesimais
No-linearidade na
relao Tenso x Deformao).
c) Grandes Deslocamentos e Rotaes com pequenas Deformaes.
Comportamento de
linearidade ou no-linearidade material.
Figura 7: Classificao das Anlises.
Tendo em vista a grande diversidade de problemas na engenharia,
deve-
se ficar atento ao modelo a ser adotado para que tempo
computacional no seja
desperdiado, bem como no se perca a confiabilidade da soluo.
-
56
Na sequncia so apresentados alguns outros conceitos a respeito
de
anlises com consideraes de no-linearidade material.
2.8.1 TENSES PRINCIPAIS
possvel a determinao de direes na qual as tenses cisalhantes
se
anulem, tornando as tenses normais mximas. Os valores de tenses
normais
mximas so interessantes quando anlises visam um resultado
muito
especfico, ou seja, um resultado em uma determinada direo. Estas
tenses
so chamadas de Tenses Principais. As tenses principais tambm
so
utilizadas nos critrios de escoamento utilizados em anlises no
lineares.
Os principais invariantes de tenso so definidos como:
(72)
(73)
(74)
Tenso Mdia ou Tenso Hidrosttica: (75)
Em que 1, 2 e 3 representam a primeira, segunda e terceira
tenso
principal, respectivamente.
A Tenso Deviatria ou Tensor Deviatrio de Tenses sij definido
como:
(76)
Em que ij representa o Delta de Kronecker. Sendo os
principais
invariantes do tensor deviatrio:
(77)
-
57
(78)
(79)
As tenses deviatrias principais podem ser relacionadas com as
tenses
principais atravs das seguintes expresses:
(80)
(81)
(82)
2.8.2 PLASTICIDADE
Nos problemas de engenharia comum a premissa da condio de
elasticidade para projeto de mquinas e estruturas, isto pois no
de se esperar
que uma mquina, viga, duto, etc., plastifique quando estiver
exercendo sua
funo, seja ela qual for. No entanto, em algumas situaes
necessrio a
verificao do projeto levando a estrutura condio de plasticidade
de forma a
verificar at que ponto a estrutura pode ser submetida a tais
esforos. Para isto
preciso conhecer alguns conceitos bsicos.
Um dos principais pontos a ser levado em considerao ao realizar
uma
anlise com presena de efeitos de no-linearidade o tipo de
material que ser
estudado. Algumas classificaes para tal so definidas, como
segue:
Material Anisotrpico: Possui 21 coeficientes e as propriedades
so
totalmente diferentes em todas as direes;
-
58
Material Ortotrpico: Possui 9 coeficientes e as propriedades
so
diferentes nas 3 direes, porm iguais entre si em cada direo;
Material Transversalmente Isotrpico: Possui 5 coeficientes e
isotrpico
por lminas, ou seja, as propriedades so iguais nas 3 direes
porm
diferente entre as lminas;
Material Isotrpico: Possui 2 coeficientes e as propriedades so
iguais em
todas as direes.
Este estudo leva em considerao o uso de materiais com
comportamento
isotrpico. Estes materiais, quando em escoamento plstico, tm sua
superfcie
de escoamento sendo expandida sem distoro e translao, como
mostra a
Figura 8:
Figura 8: Superfcie de escoamento aps carregamento no material
que apresenta
encruamento isotrpico.
Ou seja, conforme descrito por Lubliner (2006), dada uma funo
continua
f(,T,) tal que exista uma regio no espao de tenses no qual
(dados valores
para T e ) f(,T,)
-
59
Figura 9: Superfcie de escoamento no espao de tenses.
A plastificao do material comandada principalmente pelas
tenses
deviatricas, sendo que para tornar possvel a determinao da
superfcie de
expanso de escoamento para um material com endurecimento
isotrpico
necessrio o clculo de tais tenses atravs de critrios de
escoamento.
adotado neste trabalho o Critrio de Von Mises como critrio
de
escoamento. Conforme descrito em Lubliner (2006), a condio de
escoamento
determinada por este critrio no tempo t+t dada por:
(83)
Em que a tenso de escoamento no tempo t+t e o
tensor de tenses deviatrias no tempo t+t.
Outro modo de representar o critrio de Von Mises atravs das
tenses
principais. A superfcie de escoamento pode ento ser escrita
como:
; (84)
-
60
Onde J2 o segundo invariante do tensor deviatrio de tenses Sij e
k()
a Tenso de Escoamento Cisalhante. Desta forma, pode-se
representar a
superfcie de escoamento como sendo:
(85)
Ou,
(86)
De forma grfica, o critrio de Von Mises definido como mostra
a
Figura 10:
Figura 10: Projees das superfcies de escoamento de Tresca e Von
Mises: a) Plano-; b)
Plano 1-3 | 2-3.
Fonte: Lubliner (2006).
No qual k representa a Mxima Tenso de Escoamento Cisalhante.
2.8.3 MTODO DE NEWTON-RAPHSON
Em anlises com presena de efeitos de no-linearidade fsica e
geomtrica h a necessidade de se realizar determinados
procedimentos de
-
61
integrao numrica atravs de mtodos incrementais iterativos de
forma a se
alcanar os limites da curva Tenso x Deformao. Um dos mtodos
mais
empregados para este tipo de soluo o Mtodo de
Newton-Rapshon.
Como j discutido, a equao bsica a ser resolvida em analises
no-
lineares, no tempo t+t, :
(87)
Esta a equao de equilbrio do elemento finito a ser resolvida,
onde so as cargas nodais aplicadas e o vetor de foras nodais
equivalente s tenses no elemento.
Uma vez que o vetor de foras nodais depende no-linearmente
dos
deslocamentos nodais, necessrio a iterao da soluo da equao
de
equilbrio do elemento. Assume-se que o processo de iterao de
Newton-
Raphson independente das deformaes e resolvido da seguinte
maneira,
para i=1,2,3,...
(88)
(89)
(90)
Com,
; (91)
Em que so os incrementos de deslocamentos e a matriz de rigidez
tangente. Estas equaes so obtidas pela linearizao da resposta
do sistema de elementos finitos nas condies do tempo t+t e
iterao (i-1). Em
cada iterao calculado um novo vetor de carga no qual um
incremento de
deformao aplicado, sendo o processo contnuo at o momento em que
os
-
62
incrementos de carga e deformaes sejam suficientemente pequeno.
Este
processo demonstrado pela Figura 11.
Figura 11: Ilustrao do processo de iterao de Newton-Raphson em
uma soluo genrica
de um sistema de um nico grau de liberdade.
Uma caracterstica deste processo que a cada incremento de carga
uma
nova matriz de rigidez tangente calculada. Logo entende-se que
quanto maior
o nmero de passos de carga, mais preciso tende a ser o resultado
encontrado.
O processo iterativo finalizado quando um determinado critrio
de
convergncia alcanado.
Alguns problemas em anlises no-lineares podem ser encontrados
e
bons mtodos iterativos devem ser capazes de superar estes
pontos. Exemplos
de casos tpicos sos os chamados Snap-Through e Snap-Back,
problema de
salto dinmico sob controle de carga e sob controle de
deslocamento
respectivamente, conforme Figuras 12 e 13.
-
63
Figura 12: Efeito Snap-Through.
Figura 13: Efeito Snap-Back.
Algumas desvantagens so encontradas neste mtodo, mas a
principal
o fato da necessidade de armazenamento da matriz de rigidez
calculada em
cada iterao, o que demanda mais tempo computacional.
-
64
3. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADO
At o momento foi realizada uma breve reviso terica a respeito do
Mtodo
dos Elementos Finitos Generalizado, plasticidade, mecnica do
contnuo,
mtodo de Newton-Rapshon para integrao numrica e efeitos de
no-
linearidade material. Nesta seo ser discutido o Mtodo dos
Elementos Finitos
Generalizado em uma reviso terica e em seguida em uma proposio
de
implementao do mtodo.
O Mtodo dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG) baseado no
Mtodo da Partio da Unidade, proposto por Melenk e Babuska
(1996). um
mtodo de Galerkin que tem por objetivo o enriquecimento do
elemento finito
atravs da construo de um subespao de funes aproximadoras de
soluo
pr-estabelecida. Este subespao tem por objetivo melhorar os
resultados locais
e globais, quando comparado com o MEF convencional.
Busca-se a aplicao do MEFG em problemas onde resultados locais
so
difceis de serem capturados atravs do MEF. A seguir sero
apresentados os
conceitos bsicos desta tcnica e algumas aplicaes desta
teoria.
3.1 MTODO DA PARTIO DA UNIDADE
O Mtodo da Partio da Unidade (MPU) pode ser entendido como
uma
generalizao do Mtodo dos Elementos Finitos convencional usado
para gerar
um campo de aproximao com propriedades e comportamentos de
conformidade e regularidade qualquer, como definido por Melenk e
Babuska,
(1996). O Mtodo definido como apresentado a seguir (Melenk e
Babuska,
1996).
A Partio da Unidade definida como: Seja Rn um conjunto aberto,
{i} uma cobertura aberta de satisfazendo uma condio de sobreposio
em
cada ponto:
| (92)
-
65
A Figura 14 (Duarte, Babuska e Oden, 2000) representa as
subcoberturas
i de forma que [{i}], ressaltando que o conceito de cobertura
tambm aplicado nos mtodos sem malha.
Figura 14: Cobertura {i} do domnio .
Fonte: Duarte, Babuska e Oden (2000).
O parmetro M controla o nmero de subcoberturas que podem se
sobrepor
em um mesmo ponto dentro do domnio . Seja {i} uma partio da
unidade
Lipschitziana subordinada cobertura {i} satisfazendo as
seguintes condies:
ifechamento ii sup (93)
Esta equao mostra que as funes Lipschitzianas devem ser no
nulas
apenas dentro da subcobertura s quais esto vinculadas.
emi
i 1 (94)
Esta representao indica que a soma das funes i pertencentes
PU
deve resultar na unidade. Esta a caracterstica fundamental do
mtodo da
partio da unidade.
-
66
.; cteCCnRLi (95)
.; cteCdiamC
gi
gRLi n
(96)
As equaes 95 e 96, respectivamente, mostram que as funes que
compem a PU (Funes i) devem ser limitadas, bem como possuir
derivadas
limitadas.
Logo {i} chamada de Partio da Unidade PU(M,C,Cg) subordinada
cobertura {i}, sendo seus subdomnios chamados de subcoberturas.
A partio
da unidade possui grau mN0 se{i}Cm(Rn). Diversas so as formas de
se obter as funes i, pois quaisquer funes que, quando somadas,
resultem na
unidade no domnio e sejam conformes s condies propostas nas
equaes
(95) e (96), satisfazem os pr-requisitos para formar uma partio
da unidade.
Uma forma simples de representar estas funes utilizar as funes
de forma
convencionais do MEF.
Com a definio da Partio da Unidade, ento possvel apresentar
a
definio do espao de aproximao do MPU (Melenk e Babuska, 1996).
Pode-
se obter um conjunto de funes SiH1(i) sobre cada subdomnio i de
tal forma que os deslocamentos u possam ser bem aproximados
neste
subdomnio, ento o espao global S utilizado para aproximar u em
obtido
da seguinte forma:
1| HSsSSS ijii
jii
iii (97)
Ou seja, a soluo aproximada para deslocamentos em qualquer ponto
x do
domnio dada por:
i Ss
ijj
iihi
ji
axsxu (98)
-
67
No qual aij so os graus de liberdade de campo. Demonstra-se
ainda (Melenk
e Babuska, 1996) que, se em cada subdomnio i, u pode ser
aproximado
por jis Si tal que:
)(1 1
isuL
ji (99)
)()( 2 1
isuL
ji (100)
Ento, a soluo aproximada uh descrita na Equao (98) satisfaz:
2/12
1)(
isLh
iCMuu (101)
2/1
22
221
2
)()(2)(
iCidiamC
Muui i
GsLh
(102)
Conforme Arndt (2009), o exposto acima: Estabelece que o espao
global
S herda as propriedades de aproximao dos espaos locais Si, ou
seja, u pode
ser aproximado em pelas funes de S to bem quanto pode ser
aproximado
em i pelo espao local Si.
Verifica-se ento que o MPU permite a construo de um subespao
de
aproximao de forma desejada sem prejudicar o espao e
propriedades inicial,
herdando as propriedades de aproximao local com garantia de
conformidade.
De forma prtica, no MEFG a cobertura {i} representa a malha
de
elementos finitos, sendo que as subcoberturas i representam
subdomnios de
formados pela unio de elementos que compartilham o mesmo n sobre
tais
subcoberturas, como mostra a Figura 15.
-
68
Figura 15: Subdomnio e funes PU para uma malha de elemento
unidimensionais do MEFG.
Fonte: Adaptado de Arndt (2009).
Sendo que as funes i podem ser as prprias funes interpoladoras
do
MEF convencional. Na prxima sesso sero apresentadas as funes
de
enriquecimento propostas no presente trabalho.
3.2 FUNES DE ENRIQUECIMENTO
As funes de enriquecimento do MEFG devem ser
