METODOS NUMERICOS EDO

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CALCULO NUMERICO

Text of METODOS NUMERICOS EDO

  • CLCULO NUMRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br

  • Aula 22 Resoluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias 07/2014

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 3/58

    Objetivo: Resolver Equaes Diferenciais Ordinrias utilizando

    mtodos numricos

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 4/58

    Pndulo Oscilante

    O movimento de um pndulo oscilante, sob certas hipteses simplificadoras descrito pela equao diferencial de segunda ordem:

    onde: L o comprimento do pndulo; g a constante gravitacional (g 9,8 m/s2); o ngulo que o pndulo faz com a vertical.

    d 2dt2 +

    gL sen = 0

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 5/58

    Pndulo Oscilante

    O movimento de um pndulo oscilante, sob certas hipteses simplificadoras descrito pela equao diferencial de segunda ordem:

    Problema de Valor Inicial (PVI):

    d 2dt2 +

    gL sen = 0

    t0( ) =0 ' t0( ) =0 '

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 6/58

    Pndulo Oscilante

    Para valores pequenos de , a aproximao pode ser utilizada para simplificar o problema, para um problema linear, que pode ser resolvido analiticamente:

    Com condies iniciais:

    d 2dt2 +

    gL = 0

    t0( ) =0, ' t0( ) = '0

    = sen

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 7/58

    Pndulo Oscilante

    Para valores maiores de , a soluo se torna mais complexa e fogem do contexto de um curso bsico de EDO. Neste caso, aconselhvel a aplicao de um mtodo numrico.

    O valor da funo e suas

    derivadas so especificados no mesmo ponto;

    O valor da funo e suas derivadas so dados em pontos distintos.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 8/58

    Mtodos de Passo Simples

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 9/58

    So resolvidas equaes diferenciais ordinrias do tipo:

    :

    onde: yi+1 o novo valor; a inclinao; yi o antigo valor; h o tamanho do passo.

    dydx = f x, y( )

    yi+1 = yi +ih

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 10/58

    A estimativa da inclinao usada para extrapolar de um valor antigo yi para um valor novo yi+1 em uma distncia h.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 11/58

    Mtodo de Euler

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 12/58

    Mtodo de Euler

    A abordagem mais simples de estimativa da inclinao usar a equao diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em xi.

    i = f xi, yi( )

    yi+1 = yi +ih

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 13/58

    Exemplo 1

    Use o mtodo de Euler para integrar numericamente a equao:

    de x = 0 a x = 4 com um tamanho de passo de 0,5. A condio inicial em x = 0 y = 1. Lembre-se de que a soluo exata dada por:

    dydx = 2x

    3 +12x2 20x +8,5

    y = 0,5x4 + 4x3 10x2 +8,5x +1

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 14/58

    Resultados do Exemplo 1

    Global = t =ytrue yEuler

    ytrue

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 15/58

    Comparao da soluo verdadeira com a soluo numrica usando o mtodo de Euler para o exemplo.

    Observe Apesar dos clculos

    capturarem a tendncia geral dos dados, o erro

    considervel.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 16/58

    Erro para o Mtodo de Euler

    O erro pode ser reduzido diminuindo-se o tamanho do passo.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 17/58

    Exerccio 1

    Repita os clculos do Exemplo 1, mas use um tamanho de passo de 0,25.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 18/58

    Mtodo de Heun

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 19/58

    Mtodo de Heun

    Neste mtodo, determinamos para o

    intervalo, uma no ponto inicial e outra no ponto final.

    A inclinao utilizada ser a mdia das duas inclinaes.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 20/58

    Mtodo de Heun

    Preditor

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 21/58

    Mtodo de Heun

    A ser:

    que uma previso intermediria. Esta equao ser usada para estimar a

    do intervalo:

    yi+1k( ) = yi + f xi, yi( )h

    y 'i+1k( ) = f xi+1, yi+1k( )( )

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 22/58

    Mtodo de Heun

    Corretor

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 23/58

    Mtodo de Heun

    Combinando as duas inclinaes, temos uma no intervalo:

    E assim, teremos:

    y ' = y 'i + y 'i+1k( )

    2 =f xi, yi( )+ f xi+1, yi+1k( )( )

    2

    y k+1( )i+1 = yi + y 'h

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 24/58

    Etapas do Mtodo de Heun

    Inclinao no incio do intervalo:

    Equao preditora:

    Inclinao na extremidade final:

    Inclinao mdia:

    Equao corretora:

    yi ' = f xi, yi( )

    yi+1k( ) = yi + y 'i hy ' i+1k( )= f xi+1, yi+1k( )( )

    y ' = yi' + yi+1' k( )2

    yi+1k+1( ) = yi + y 'h

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 25/58

    Mtodo de Heun

    Por ser um mtodo iterativo, temos que estabelecer um :

    t =yi+1k+1( ) yi+1k( )yi+1k+1( )

    100%

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 26/58

    Exemplo 3

    Use o mtodo de Heun para integrar y = 4e0,8x 0,5y de

    x = 0 a x = 4 com tamanho de passo 1.

    A condio inicial em x = 0 y = 2.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 27/58

    Resultados Exemplo 3

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 28/58

    Comparao da soluo verdadeira com solues numricas usando os mtodos de Euler e de Heun para a integrao de: y = -2x3 + 12x2 - 20x + 8,5.

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 29/58

    Mtodo do Ponto Mdio

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 30/58

    Mtodo do Ponto Mdio

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 31/58

    Mtodo do Ponto Mdio

    xi+1/2

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 32/58

    Etapas do Mtodo do Ponto Mdio

    y no ponto mdio do intervalo:

    Inclinao no ponto mdio:

    Clculo de yi+1:

    yi+1 2 = yi + f xi, yi( )h2

    y 'i+1 2 = f xi+1 2, yi+1 2( )

    yi+1 = yi + f xi+1 2, yi+1 2( )h

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 33/58

    Mtodos de Runge-Kutta

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 34/58

    Mtodos de Runge-Kutta

    A forma geral dos mtodos de Runge-Kutta :

    Em que chamada , que

    representa a inclinao em um intervalo.

    De forma geral, ser:

    yi+1 = yi + xi, yi,h( )h

    = a1k1 + a2k2 +!+ ankn

    xi, yi,h( )

    1( )

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 35/58

    Mtodos de Runge-Kutta

    Em que os as so constantes e os ks so: com ps e qs constantes.

    = a1k1 + a2k2 +!+ ankn

    k1 = f xi, yi( )k2 = f xi + p1h, yi + q11k1h( )k3 = f xi + p2h, yi + q21k1h+ q22k2h( )

    kn = f xi + pn1h, yi + qn1,1k1h+ qn1,2k2h+!+ qn1,n1kn1h( )!

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 36/58

    Mtodos de Runge-Kutta

    O que diferencia cada mtodo de Runge-Kutta

    da funo incremento.

    Escolhido o valor de n, iguala-se a equao (1) a termos da

    expanso em Srie de Taylor e acham-se os as, ps e qs.

    O mtodo de Runge-Kutta de (n = 1) o

    .

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 37/58

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    O mtodo de Runge-Kutta de (n = 2) ser:

    onde:

    yi+1 = yi + a1k1 + a2k2( )h

    k1 = f xi, yi( )

    k2 = f xi + p1h, yi + q11k1h( )

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 38/58

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    Para determinar as constantes a1, a2, p1 e q11 temos que igualar:

    Srie de Taylor de segundo grau para yi+1 em termos de yi e f (xi , yi):

    yi+1 = yi + f xi, yi( )h+f ' xi, yi( )2! h

    2

    yi+1 = yi + a1k1 + a2k2( )h

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 39/58

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    Comparando a forma geral do mtodo de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expanso em srie de Taylor, vemos que:

    a1 + a2 =1

    a2p1 = 12

    a2q11 = 12

    3 equaes 4 incgnitas

    Soluo NO nica

    Existe uma famlia de Mtodos de Runge Kutta de segunda ordem

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 40/58

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    Comparando a forma geral do mtodo de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expanso em srie de Taylor, vemos que:

    a1 + a2 =1

    a2p1 = 12

    a2q11 = 12

    3 equaes 4 incgnitas

    Variao de a2

    a1 =1 a2

    p1 = q11 = 12a2

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 41/58

    Mtodo de Heun com um nico corretor (a2 = ); que o mtodo de Heun sem iteraes.

    em que:

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    yi+1 = yi +12 k1 +

    12 k2

    !

    "#

    $

    %&h

    k1 = f xi, yi( )

    k2 = f xi + h, yi + k1h( )

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 42/58

    Mtodo do Ponto Mdio (a2 = 1).

    em que:

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    yi+1 = yi + k2h

    k1 = f xi, yi( )

    ++= hkyhxfk ii 12 21,

    21

  • Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 43/58

    Mtodo de Ralston (a2 = 2/3). Este valor de a2 fornece um limitante mnimo para o erro de

    truncamento.

    em que:

    Mtodos de R-K de Segunda Ordem

    yi+1 = yi +13 k1 +

    23