METODOS NUMERICOS EDO

CLCULO NUMRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano [email protected]

Aula 22 Resoluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias 07/2014

Aula 6 Resoluo de EDOs Clculo Numrico 3/58

Objetivo: Resolver Equaes Diferenciais Ordinrias utilizando

mtodos numricos


Pndulo Oscilante

O movimento de um pndulo oscilante, sob certas hipteses simplificadoras descrito pela equao diferencial de segunda ordem:

onde: L o comprimento do pndulo; g a constante gravitacional (g 9,8 m/s2); o ngulo que o pndulo faz com a vertical.

d 2dt2 +

gL sen = 0


Pndulo Oscilante

O movimento de um pndulo oscilante, sob certas hipteses simplificadoras descrito pela equao diferencial de segunda ordem:

Problema de Valor Inicial (PVI):

d 2dt2 +

gL sen = 0

t0( ) =0 ' t0( ) =0 '


Pndulo Oscilante

Para valores pequenos de , a aproximao pode ser utilizada para simplificar o problema, para um problema linear, que pode ser resolvido analiticamente:

Com condies iniciais:

d 2dt2 +

gL = 0

t0( ) =0, ' t0( ) = '0

= sen


Pndulo Oscilante

Para valores maiores de , a soluo se torna mais complexa e fogem do contexto de um curso bsico de EDO. Neste caso, aconselhvel a aplicao de um mtodo numrico.

O valor da funo e suas

derivadas so especificados no mesmo ponto;

O valor da funo e suas derivadas so dados em pontos distintos.


Mtodos de Passo Simples


So resolvidas equaes diferenciais ordinrias do tipo:

:

onde: yi+1 o novo valor; a inclinao; yi o antigo valor; h o tamanho do passo.

dydx = f x, y( )

yi+1 = yi +ih


A estimativa da inclinao usada para extrapolar de um valor antigo yi para um valor novo yi+1 em uma distncia h.


Mtodo de Euler


Mtodo de Euler

A abordagem mais simples de estimativa da inclinao usar a equao diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em xi.

i = f xi, yi( )

yi+1 = yi +ih


Exemplo 1

Use o mtodo de Euler para integrar numericamente a equao:

de x = 0 a x = 4 com um tamanho de passo de 0,5. A condio inicial em x = 0 y = 1. Lembre-se de que a soluo exata dada por:

dydx = 2x

3 +12x2 20x +8,5

y = 0,5x4 + 4x3 10x2 +8,5x +1


Resultados do Exemplo 1

Global = t =ytrue yEuler

ytrue


Comparao da soluo verdadeira com a soluo numrica usando o mtodo de Euler para o exemplo.

Observe Apesar dos clculos

capturarem a tendncia geral dos dados, o erro

considervel.


Erro para o Mtodo de Euler

O erro pode ser reduzido diminuindo-se o tamanho do passo.


Exerccio 1

Repita os clculos do Exemplo 1, mas use um tamanho de passo de 0,25.


Mtodo de Heun


Mtodo de Heun

Neste mtodo, determinamos para o

intervalo, uma no ponto inicial e outra no ponto final.

A inclinao utilizada ser a mdia das duas inclinaes.


Mtodo de Heun

Preditor


Mtodo de Heun

A ser:

que uma previso intermediria. Esta equao ser usada para estimar a

do intervalo:

yi+1k( ) = yi + f xi, yi( )h

y 'i+1k( ) = f xi+1, yi+1k( )( )


Mtodo de Heun

Corretor


Mtodo de Heun

Combinando as duas inclinaes, temos uma no intervalo:

E assim, teremos:

y ' = y 'i + y 'i+1k( )

2 =f xi, yi( )+ f xi+1, yi+1k( )( )

2

y k+1( )i+1 = yi + y 'h


Etapas do Mtodo de Heun

Inclinao no incio do intervalo:

Equao preditora:

Inclinao na extremidade final:

Inclinao mdia:

Equao corretora:

yi ' = f xi, yi( )

yi+1k( ) = yi + y 'i hy ' i+1k( )= f xi+1, yi+1k( )( )

y ' = yi' + yi+1' k( )2

yi+1k+1( ) = yi + y 'h


Mtodo de Heun

Por ser um mtodo iterativo, temos que estabelecer um :

t =yi+1k+1( ) yi+1k( )yi+1k+1( )

100%


Exemplo 3

Use o mtodo de Heun para integrar y = 4e0,8x 0,5y de

x = 0 a x = 4 com tamanho de passo 1.

A condio inicial em x = 0 y = 2.


Resultados Exemplo 3


Comparao da soluo verdadeira com solues numricas usando os mtodos de Euler e de Heun para a integrao de: y = -2x3 + 12x2 - 20x + 8,5.


Mtodo do Ponto Mdio


Mtodo do Ponto Mdio

xi+1/2


Etapas do Mtodo do Ponto Mdio

y no ponto mdio do intervalo:

Inclinao no ponto mdio:

Clculo de yi+1:

yi+1 2 = yi + f xi, yi( )h2

y 'i+1 2 = f xi+1 2, yi+1 2( )

yi+1 = yi + f xi+1 2, yi+1 2( )h


Mtodos de Runge-Kutta



A forma geral dos mtodos de Runge-Kutta :

Em que chamada , que

representa a inclinao em um intervalo.

De forma geral, ser:

yi+1 = yi + xi, yi,h( )h

= a1k1 + a2k2 +!+ ankn

xi, yi,h( )

1( )



Em que os as so constantes e os ks so: com ps e qs constantes.

= a1k1 + a2k2 +!+ ankn

k1 = f xi, yi( )k2 = f xi + p1h, yi + q11k1h( )k3 = f xi + p2h, yi + q21k1h+ q22k2h( )

kn = f xi + pn1h, yi + qn1,1k1h+ qn1,2k2h+!+ qn1,n1kn1h( )!



O que diferencia cada mtodo de Runge-Kutta

da funo incremento.

Escolhido o valor de n, iguala-se a equao (1) a termos da

expanso em Srie de Taylor e acham-se os as, ps e qs.

O mtodo de Runge-Kutta de (n = 1) o

.


Mtodos de R-K de Segunda Ordem

O mtodo de Runge-Kutta de (n = 2) ser:

onde:

yi+1 = yi + a1k1 + a2k2( )h

k1 = f xi, yi( )

k2 = f xi + p1h, yi + q11k1h( )



Para determinar as constantes a1, a2, p1 e q11 temos que igualar:

Srie de Taylor de segundo grau para yi+1 em termos de yi e f (xi , yi):

yi+1 = yi + f xi, yi( )h+f ' xi, yi( )2! h

2

yi+1 = yi + a1k1 + a2k2( )h



Comparando a forma geral do mtodo de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expanso em srie de Taylor, vemos que:

a1 + a2 =1

a2p1 = 12

a2q11 = 12

3 equaes 4 incgnitas

Soluo NO nica

Existe uma famlia de Mtodos de Runge Kutta de segunda ordem



Comparando a forma geral do mtodo de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expanso em srie de Taylor, vemos que:

a1 + a2 =1

a2p1 = 12

a2q11 = 12

3 equaes 4 incgnitas

Variao de a2

a1 =1 a2

p1 = q11 = 12a2


Mtodo de Heun com um nico corretor (a2 = ); que o mtodo de Heun sem iteraes.

em que:


yi+1 = yi +12 k1 +

12 k2

!

"#

$

%&h

k1 = f xi, yi( )

k2 = f xi + h, yi + k1h( )


Mtodo do Ponto Mdio (a2 = 1).

em que:


yi+1 = yi + k2h

k1 = f xi, yi( )

++= hkyhxfk ii 12 21,

21


Mtodo de Ralston (a2 = 2/3). Este valor de a2 fornece um limitante mnimo para o erro de

truncamento.

em que:


yi+1 = yi +13 k1 +

23 k2

!

"#

$

%&h

k1 = f xi, yi( )

k2 = f xi +34 h, yi +

34 k1h

!

"#

$

%&


Exemplo 4

Use o mtodo do ponto mdio e o mtodo de Ralston para integrar numericamente a equao:

f (x,y) = -2x3 + 12x2 20x + 8,5 de x = 0 a x = 4 usando um tamanho de passo de 0,5. A condio inicial em x = 0 y = 1.


Exemplo 4

Comparao da soluo verdadeira com solues numricas usando trs mtodos de RK de 2a ordem e o mtodo de Euler.

y ' = 2x3 +12x2 20x +8,5


Mtodos de R-K de Quarta Ordem

So os mtodos de Runge-Kutta .

Assim como os de segunda e terceira ordem, existe um nmero de verses.

O mtodo de RK de parecido com a abordagem de Heun, no fato que so desenvolvidas

para se chegar a uma inclinao mdia melhorada no intervalo.


Mtodos de R-K de Quarta Ordem

Inclinaes Estimadas:


Mtodo de R-K de 4a Ordem Clssico

em que:

yi+1 = yi +h6 k1 + 2k2 + 2k3 + k4( )

k1 = f xi, yi( ) k2 = f xi + 12 h, yi +12 k1h

!

"#

$

%&

k3 = f xi +12 h, yi +

12 k2h

!

"#

$

%& k4 = f xi + h, yi + k3h( )


Use o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem clssico para integrar:

de x = 0 a 0,5, utilizando um tamanho de passo h = 0,5 e uma condio inicial de y = 2 em x = 0.

Exemplo 6

y ' x, y( ) = 4e0,8x 0,5y


Exerccio 2


Sistemas de Equaes


Sistemas de Equaes

muito comum termos que resolver problemas envolvendo um sistema de equaes diferenciais ordinrias ao invs de uma nica equao.

Para resolv-los, qualquer um dos mtodos apresentados aqui pode ser aplicado.

Em cada caso, o procedimento para resolver o sistema de EDOs envolve simplesmente a aplicao da tcnica de passo nico em todas as equaes para cada passo, antes de prosseguir para o prximo passo.


Exemplo 1

Resolva o seguinte conjunto de equaes diferenciais usando o mtodo de Euler, supondo que, em x = 0, y1 = 4 e y2 = 6. Integre at x = 2 com um tamanho de passo de 0,5.

e dy1dx = 0,5y1

dy2dx = 4 0,3y2 0,1y1


Mtodo de Euler

A abordagem mais simples de estimativa da inclinao usar a equao diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em xi.

= f xi, yi( )

yi+1 = yi +h


Exemplo 1

Resultados para todos os passos, at x = 2,0.


Sistemas de Equaes

preciso tomar cuidado na determinao das inclinaes,

quando aplicar os mtodos de RK de ordem superior, ou

seja, primeiro desenvolvemos inclinaes para todas as

variveis no valor inicial. Essas inclinaes (um conjunto de

ki s) so, ento, usadas para fazer previses da varivel

independente no ponto mdio do intervalo.


Exemplo 2

Resolva o sistema de equaes do exemplo anterior usando o mtodo de R-K de quarta ordem, supondo que, em x = 0, y1 = 4 e y2 = 6. Integre at x = 2 com um tamanho de passo de 0,5.

e dy1dx = 0,5y1

dy2dx = 4 0,3y2 0,1y1


Mtodo de R-K de 4a Ordem Clssico

em que:

yi+1 = yi +h6 k1 + 2k2 + 2k3 + k4( )

k1 = f xi, yi( ) k2 = f xi + 12 h, yi +12 k1h

!

"#

$

%&

k3 = f xi +12 h, yi +

12 k2h

!

"#

$

%& k4 = f xi + h, yi + k3h( )


Exemplo 2

Resultado para todos os passos, at x = 2,0.

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