Métodos Numéricos na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

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esse é uma tese de fim de curso defendida na UNICV(Cabo Verde) em 09/12/09,

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KELTON JORGE GARCIA SANTOS Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs Aplicaes com MATLAB Licenciatura em ensino de Matemtica UNICV, 2009 ii KELTON JORGE GARCIA SANTOS Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs Aplicaes com MATLAB TrabalhocientficoapresentadonaUNICV paraaobtenodograudeLicenciadoem EnsinodeMatemticasobaorientaodo Engenheiro, Aurlio Vicente. Licenciatura em ensino de Matemtica UNICV, 2009 iii O Jri O Orientador O Arguente O Presidente UNICV, Praia aos ---------/----------/2009iv Dedico este trabalho minha famlia que sempre me apoiou e me incentivou durante todo esse tempo. v Agradecimentos Minha imensa gratido a Deus por ter conseguido chegar at essa etapa. AgradeoaomeuorientadorAurlioVicentepelaconfiana,pacinciae disponibilidade que demonstrou para comigo durante a realizao desse trabalho. Finalmente,agradeoatodososmeuscolegaseprofessoresquedeformadirectaou indirectamente contriburam para que eu chegasse at essa etapa. vi NDICE INTRODUO/CONTEXTUALIZAO ........................................................................................ 8 1. Nota Introdutria .......................................................................................................................................... 8 2. Objectivos ......................................................................................................................................................... 9 3. Importncia do Estudo ............................................................................................................................... 9 4. Metodologias ................................................................................................................................................ 10 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS ................................................................................ 11 1.1 Introduo .................................................................................................................................................. 11 1.2 Soluo de uma EDO .............................................................................................................................. 13 1.2.1 Soluo Geral e Soluo particular duma EDO ............................................................................... 14 1.3 Mtodos Analticos para a resoluo de EDO de 1 ordem................................................. 15 1.3.1 Equaes Diferenciais de Variveis Separveis ............................................................................. 15 1.3.2 Diferencial Exacta ...................................................................................................................................... 16 1.3.3 Equaes diferenciais Lineares de 1 ordem.................................................................................. 17 1.4 Problema de Valores Iniciais e Problemas de Valores na Fronteira .............................. 17 1.4.1 Interpretao Geomtrica ...................................................................................................................... 18 1.4.2 Existncia e Unicidade de Soluo de PVIs ..................................................................................... 20 1.5 Solues Numricas de PVIs ............................................................................................................. 21 MTODOS DE PASSO SIMPLES ................................................................................................... 23 2.1 Mtodos da srie de Taylor ................................................................................................................ 24 2.1.1 Metodos de Euler ................................................................................................................................. 25 2.1.1.1 Mtodo de Euler Explcito (ou Progressivo) .......................................................................... 25 2.1.1.2 Metodo de Euler Implcito (ou Regresivo) .............................................................................. 27 2.1.1.3 Erros dos mtodos de Euler .......................................................................................................... 29 2.1.2 Mtodo de Heun ................................................................................................................................... 30 2.1.2.1 Erros do mtodo de Heun ................................................................................................................... 31 2.1.3 Mtodos de Taylor de ordem mais elevada ............................................................................ 31 2.1.3.1 Erros ........................................................................................................................................................ 32 2.1.4 Anlise da Consistncia dos mtodos da srie de Taylor ................................................ 32 2.2 Mtodos de Runge Kutta (RK) .......................................................................................................... 34 2.2.1 Mtodos de Runge Kutta de primeira ordem ............................................................................ 37 2.2.2 Mtodos de Runge Kutta de terceira ordem .............................................................................. 37 Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs.7 2.2.3 Mtodo de Runge Kutta de 4 ordem ............................................................................................ 38 2.2.4 Erros dos mtodos de Runge Kutta .................................................................................................... 39 2.3 Anlise da Convergncia dos mtodos de passo simples .................................................... 41 MTODOS DE PASSO MLTIPLO .............................................................................................. 43 3.1 Mtodos de Adams Bashforth (AB) ................................................................................................ 45 3.2 Mtodos de Adams Moulton (AM) .................................................................................................. 48 3.3 Processo preditor corrector............................................................................................................... 51 3.3.1 Consideraes .............................................................................................................................................. 51 CONCLUSO ..................................................................................................................................... 55 Referncias Bibliogrficas ......................................................................................................... 57 Bibliografia ...................................................................................................................................... 58 ANEXO ................................................................................................................................................ 59 vii Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs.8 INTRODUO/CONTEXTUALIZAO

1. Nota Introdutria VriosfenmenosnoscamposdaFsica,Engenharia,Economia,Biologiaetc.,so modelados e resolvidos matematicamente por meio das equaes diferenciais. Existem vrios mtodos analticos para solucionar Equaes Diferenciais Ordinrias (EDOs),masessesmtodosnosoaplicveisparatodososproblemas,daa necessidade de recorrer a tcnicas numricas para obter solues aproximadas para tais problemas.nessapticaquevamostrabalharotemaacimareferido,ondevamosapresentar osprincipaismtodosnumricosutilizadosparasolucionar(aproximadamente)EDOs de primeira ordem com valores iniciais (PVIs). Algunsdosmtodosapresentadosseroacompanhadosporrotinasdesenvolvidas emMATLAB,queparaalmdeserumsoftwarequeutilizaumalinguagemde programao muito acessvel, possibilita o estudo e anlise dos resultados obtidos pelos vriosmtodos,bemcomoajudaaminimizaroserroscometidosnasaproximaes Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs.9 (pois no MATLAB temos a oportunidade de utilizar nmeros com vrias casas decimais, o que ajuda e diminuir os erros de arredondamento). 2. Objectivos

Pretendemos com a realizao deste trabalho: Apresentar tcnicas numricas para a resoluo de PVIs; Analisar os erros de aproximao;FazerConfrontaoentreosvriosmtodos,identificandoasvantagense desvantagens de cada um; Desenvolver algoritmos em MATLAB para alguns mtodos apresentados. 3. Importncia do Estudo AoestudarasEDOs,observamosqueumagrandepartedelasnopodemser resolvidaspelosmtodosanalticosconhecidos,ealgumasqueconseguimosresolver apresentam solues extremamente complexas.Destemodo,naausnciadesoluesanalticas,oproblemasolucionado, recorrendo a solues aproximadas, obtidas numericamente. Essastcnicasapresentamgrandepotencialdeutilizaoparaadisciplinade AnliseNumrica,podendoserutilizadasporestudantesdevriasreastaiscomo: Engenharia, Fsica, Biologia, Qumica etc. Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs.10 4. Metodologias Paraumtrabalhodestegnerocomonormal,ametodologiautilizadafoi basicamentedepesquisasbibliogrficas,mastambmainternetfoiumauxlio importante para a realizao do referido trabalho. O software MATLAB serviu de suporte no s para a implementao e execuo dos algoritmos,mastambmparaacomparaodosresultadosobtidospelosdiferentes mtodos (os que foram implementados). Mtodos Numricos na Resoluo de PVIs.11 CAPTULO I EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS 1.1 Introduo A origem do estudo das Equaes Diferenciais coincide com a do Clculo Diferencial eIntegralintroduzidasnosc.XVIIporIsaacNewtoneGottfriedLeibnitz.AsEquaes Diferenciaistaiscomoasqueconhecemoshojeforamintroduzidasposteriormentepor Gottfried Leibnitz. Dosc.XVIIIatosc.XXasEquaesDiferenciaiseramutilizadasSomenteno estudo de fenmenos Fsicos, mas precisamente na Mecnica Clssica. ActualmenteexistemvriasreastaiscomoaFsica,Biologia,Ecologia,Qumica, Economiaetc.,quefazemusodasequaesDiferenciaiscomomeioparasolucionar vrios problemas inerentes s referidas reas. Problem