Metodos numericos Scilab

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  • METODOS NUMERICOS CON SCILAB

    Hector Manuel Mora Escobar

    hectormora@yahoo.com hmmorae@unal.edu.co

    www.hectormora.info

    3 de enero de 2013

  • Indice general

    NOTACION VII

    1. Preliminares 1

    1.1. Repaso de algunos conceptos de calculo . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.4. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.5. Teorema espectral para matrices simetricas . . . . . . . . . . . 12

    1.6. Notacion O grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.7. Orden de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.8. Numeros en un computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.9. Truncamiento y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.10. Error absoluto y relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.11. Errores lineal y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.12. Condicionamiento de un problema . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.13. Teorema de punto fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2. Sistemas de ecuaciones lineales 25

    2.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.2. Notacion para submatrices en Scilab . . . . . . . . . . . . . . 27

    i

  • ii INDICE GENERAL

    2.3. Metodos ingenuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4. Sistema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5. Sistema triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5.1. Numero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.6. Sistema triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.7. Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.7.1. Numero de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.8. Factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.9. Metodo de Gauss con pivoteo parcial . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.10. Factorizacion LU=PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.11. Metodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.11.1. Matrices definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.11.2. Factorizacion de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.11.3. Numero de operaciones de la factorizacion . . . . . . . 63

    2.11.4. Solucion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    2.12. Solucion por mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    2.12.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    2.12.2. Ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    2.13. Sistemas tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.14. Calculo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3. Metodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 84

    3.1. Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    3.2. Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.2.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    3.3. Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    3.3.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    ii

  • iii INDICE GENERAL

    3.4. Condicionamiento de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    3.5. Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    3.6. Metodo iterativo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    3.7. Metodo de sobrerrelajacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    3.8. Metodos de minimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    3.9. Metodo del descenso mas pendiente . . . . . . . . . . . . . . . 118

    3.10. Metodo del gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    4. Ecuaciones no lineales 128

    4.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    4.2. Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    4.2.1. Orden de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    4.3. Metodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    4.4. Metodo de la biseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    4.5. Metodo de Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    4.6. Modificacion del metodo de Regula Falsi . . . . . . . . . . . . 148

    4.7. Metodo de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    4.7.1. Modificacion del metodo de punto fijo . . . . . . . . . . 156

    4.7.2. Metodo de punto fijo y metodo de Newton . . . . . . . 157

    4.8. Metodo de Newton en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    4.8.1. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    4.8.2. Formula de Newton en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    4.9. Metodo de Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    4.10. Metodo de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

    5. Interpolacion y aproximacion 179

    5.1. Interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    5.1.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    iii

  • iv INDICE GENERAL

    5.1.2. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    5.2. Interpolacion polinomial de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 185

    5.2.1. Polinomios de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    5.2.2. Existencia, unicidad y error . . . . . . . . . . . . . . . 189

    5.3. Diferencias divididas de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    5.3.1. Tabla de diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . . 195

    5.3.2. Calculo del valor interpolado . . . . . . . . . . . . . . . 197

    5.4. Diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    5.4.1. Tabla de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    5.4.2. Calculo del valor interpolado . . . . . . . . . . . . . . . 204

    5.5. Trazadores cubicos, interpolacion polinomial por trozos, splines 207

    5.6. Aproximacion por mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 215

    6. Integracion y diferenciacion 221

    6.1. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

    6.2. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    6.3. Formula del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

    6.3.1. Errores local y global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    6.4. Formula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

    6.4.1. Errores local y global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

    6.5. Otras formulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

    6.5.1. Formulas de Newton-Cotes abiertas . . . . . . . . . . . 235

    6.6. Cuadratura adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

    6.7. Cuadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    6.7.1. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

    6.7.2. Cuadratura de Gauss-Laguerre y Gauss-Hermite . . . . 245

    6.8. Derivacion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

    iv

  • v INDICE GENERAL

    6.8.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

    6.8.2. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

    7. Ecuaciones diferenciales 254

    7.0.3. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

    7.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

    7.2. Metodo de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

    7.3. Metodo del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

    7.4. Metodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

    7.5. Deduccion de RK2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

    7.6. Control del paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

    7.7. Orden del metodo y orden del error . . . . . . . . . . . . . . . 277

    7.7.1. Verificacion numerica del orden del error . . . . . . . . 279

    7.8. Metodos multipaso explcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

    7.9. Metodos multipaso implcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

    7.10. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 290

    7.10.1. En Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

    7.11. Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . 294

    7.12. Ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera . . . . . 297

    7.13. Ecuaciones lineales con condiciones de frontera . . . . . . . . 301

    8. Ecuaciones diferenciales parciales 306

    8.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

    8.2. Elpticas: ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

    8.3. Parabolicas: ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    8.3.1. Metodo explcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

    8.3.2. Metodo implcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

    8.3.3. Metodo de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . 322

    v

  • vi INDICE GENERAL

    8.4. Hiperbolicas: ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

    8.4.1. Metodo explcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

    8.4.2. Metodo implcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

    9. Valores propios 335

    9.1. Preliminares . . . . . . . . . . .