Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos ... · Aos funcionários do Departamento de Estruturas da Escola de ... viabilizadores das idas e vindas Minas ... 5.4 Análises

Métodos Sem Malha e Método dos Elementos FinitosGeneralizados em Análise Não-Linear de Estruturas

Felício Bruzzi Barros

Tese apresentada à Escola de Engenharia de

São Carlos da Universidade de São Paulo,

como parte dos requisitos para a obtenção do

título de Doutor em Engenharia de Estruturas.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Sergio Persival Baroncini Proença

São Carlos

2002

À minha família: Dora, pais e irmão.

Agradecimentos

Ao Prof. Sergio Persival Baroncini Proença pela orientação precisa e competente,

pelo tempo dedicado e amizade concedida. Por compreender as particularidades de

minhas viagens e se preocupar com algo mais do que apenas o doutorado.

Ao Prof. Clovis Sperb de Barcellos pela paciência e disponibilidade guiando-me

pelo “matematiquês” da formulação do Método dos Elementos Finitos.

Aos funcionários do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São

Carlos e, especialmente, à Maria Nadir Minatel pela relação cordial e simpatia nos

auxílios prestados.

Àqueles que conheci e que foram mais do que simplesmente colegas de curso.

Agradeço, de modo particular, às minhas colegas de sala, Cristina, Maria Cristina e

Ana Rita pela amizade sincera e companheirismo, concedendo um significado especial

aos anos dedicados ao doutorado.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

Aos meus Pais pelo apoio integral, fonte inesgotável de incentivos e conselhos,

viabilizadores das idas e vindas Minas-São Paulo. Ao meu irmão, Paulo José, pela

amizade enriquecida à distância e a mão estendida em qualquer ocasião.

À Dora pelo tempo de namoro e casamento ainda que intermitente, pelos tele-

fonemas, visitas e sonhos compartilhados. Pela espera conduzida com muito amor e

delicadeza.

A Deus por enriquecer minha vida com tantas pessoas e possibilidades. Por tudo

que tenho a agradecer, entre vitórias e fracassos.

Resumo

BARROS, F. B. (2002).Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos Gene-

ralizados em Análise Não-Linear de Estruturas. São Carlos. 222p. Tese (Dou-

torado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, compartilha importan-

tes características dos métodos sem malha. As funções de aproximação do MEFG,

atreladas aos pontos nodais, são enriquecidas de modo análogo ao refinamentop reali-

zado no Método das Nuvenshp. Por outro lado, por empregar uma malha de elementos

para construir as funções partição da unidade, ele também pode ser entendido como

uma forma não convencional do Método dos Elementos Finitos. Neste trabalho, ambas

as interpretações são consideradas. Os métodos sem malha, particularmente o Método

de Galerkin Livre de Elementos e o Método das Nuvenshp, são introduzidos com o

propósito de estabelecer os conceitos fundamentais para a descrição do MEFG. Na

seqüência, apresentam-se aplicações numéricas em análise linear e evidenciam-se ca-

racterísticas que tornam o MEFG interessante para a simulação da propagação de des-

continuidades. Após discutir os modelos de dano adotados para representar o compor-

tamento não-linear do material, são introduzidos exemplos de aplicação, inicialmente

do Método das Nuvenshpe depois do MEFG, na análise de estruturas de concreto. Os

resultados obtidos servem de argumento para a implementação de um procedimento

p-adaptativo, particularmente com o MEFG. Propõe-se, então a adaptação do Método

dos Resíduos em Elementos Equilibrados à formulação do MEFG. Com vistas ao seu

emprego em problemas não-lineares, algumas modificações são introduzidas à formu-

lação do estimador. Mostra-se que a medida obtida para representar o erro, apesar de

fundamentada em diversas hipóteses nem sempre possíveis de serem satisfeitas, ainda

assim viabiliza a análise não-linearp-adaptativa. Ao final, são enumeradas propostas

para a aplicação do MEFG em problemas caracterizados pela propagação de defeitos.

Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos; Métodos sem Malha; Análise não-

linear; Mecânica do Dano; Estimador de Erro; Adaptatividade.

Abstract

BARROS, F. B. (2002).Meshless Methods and Generalized Finite Element Method in

Structural Nonlinear Analysis. São Carlos. 222p. Thesis (Doctoral) - São Carlos

School of Engineering, University of São Paulo.

The Generalized Finite Element Method, GFEM, shares several features with the

so called meshless methods. The approximation functions used in the GFEM are as-

sociated with nodal points like in meshless methods. In addition, the enrichment of

the approximation spaces can be done in the same fashion as in the meshlesshp-Cloud

method. On the other hand, the partition of unity used in the GFEM is provided by

Lagrangian finite element shape functions. Therefore, this method can also be unders-

tood as a variation of the Finite Element Method. Indeed, both interpretations of the

GFEM are valid and give unique insights into the method. The meshless character of

the GFEM justified the investigation of meshless methods in this work. Among them,

the Element Free Galerkin Method and thehp-Cloud Method are described aiming to

introduce key concepts of the GFEM formulation. Following that, several linear pro-

blems are solved using these three methods. Such linear analysis demonstrates several

features of the GFEM and its suitability to simulate propagating discontinuities. Next,

damage models employed to model the nonlinear behavior of concrete structures are

discussed and numerical analysis using thehp-Cloud Method and the GFEM are pre-

sented. The results motivate the implementation of ap-adaptive procedure tailored

to the GFEM. The technique adopted is the Equilibrated Element Residual Method.

The estimator is modified to take into account nonlinear peculiarities of the problems

considered. The hypotheses assumed in the definition of the error measure are someti-

mes violated. Nonetheless, it is shown that the proposed error indicator is effective for

the class ofp-adaptive nonlinear analysis investigated. Finally, several suggestions are

enumerated considering future applications of the GFEM, specially for the simulation

of damage and crack propagation.

Keywords: Finite Element Method; Meshless Method; Nonlinear Analysis; Damage

Mechanics; Error Estimator; Adaptivity.

Sumário

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas vii

Lista de Símbolos viii

1 Introdução 1

1.1 Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Quanto aos Métodos Numéricos: Sem Malha e dos Elementos

Finitos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Quanto à Mecânica dos Materiais . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Organização do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Fundamentos dos Métodos Numéricos 8

2.1 Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MMQM) . . . . . . . . . . 9

2.2 Famílias de Funções do Método das Nuvenshp (=k,pN ) . . . . . . . . . 12

2.3 Formulação de Galerkin para Problemas de Valor de Contorno e Em-

prego dos Métodos Sem Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Método dos Elementos Finitos Generalizados . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 A Formulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Experimentos Numéricos em Análise Linear 23

3.1 Métodos Sem Malha Aplicados no Estudo da Associação Contínua de

Painéis Parede e Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Análise numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Problemas de Elasticidade Linear Estática - Análise Bi-Dimensional

pelo MEFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

Sumário ii

3.2.1 Efeito da Distorção da Malha de Elementos . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Chapa com Orifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.3 Cisalhamento de uma Chapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.4 Chapa em L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.5 Considerações Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Modelo Constitutivo 54

4.1 Conceitos da Mecânica do Dano Contínuo . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Modelo de Mazars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Modelo de La Borderie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Abordagem Não-Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Experimentos Numéricos em Análise Não-Linear 65

5.1 Viga em Concreto Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Análise pelo Método das Nuvenshp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.1 Problema Não-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.2 Integração Numérica na Seção Transversal . . . . . . . . . . 71

5.2.3 Análise Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Análise Bi-dimensional com do MEFG . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.1 Análise Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Chapa de Concreto Tracionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Estimador de Erro 88

6.1 Conceitos e Definições para o Estudo de Erro . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Estimadores de Erro e Adaptatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.1 Estimadores de Erro no MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.2 Estimadores de Erro no MEFG . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.3 Estimador de erro no MEFG - Escolha e Justificativa . . . . . 98

6.3 Método dos Resíduos em Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4 Equilíbrio dos Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.1 Estratégia de Equilíbrio de Ladevèze & Maunder . . . . . . . 107

6.4.2 Algoritmo Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.5 Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.5.1 Viga Engastada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.5.2 Chapa com Orifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Sumário iii

6.6 Medida de Erro em Análise Não-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.6.1 Estratégia de Estimativa do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.6.2 Algoritmo Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.6.3 Considerações sobre a Transferência das Variáveis . . . . . . 136

6.7 Exemplo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.7.1 Chapa de Concreto Comprimida . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.7.2 Chapa com Entalhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7 Considerações Finais 152

7.1 Síntese e Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.2 Dano e Fratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.3 Outras Propostas de Futuros Desenvolvimentos . . . . . . . . . . . . 158

Referências Bibliográficas 161

A Formulação Tangente para o Modelo de Mazars 1

B Partição da Unidade 4

C Solução do Sistema de Equações no MEFG 6

D Espaço de Aproximação Polinomial 10

E Discussão Sobre o ErroA Priori 11

F Detalhes da Implementação do MEFG 13

F.1 Convergência no Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . 13

F.2 Consideração da armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

G Interpretação do Estimador do MRE 16

H Equilíbrio do Vetor de Forças Generalizadas 18

I Transferência de Valores Associados aos Pontos de Gauss 21

J Solução na Vizinhança de Trinca em Elasticidade Bi-Dimensional 23

Lista de Figuras

2.1 Método dos Mínimos Quadrados Móveis . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Representação das nuvens emR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Setores da função de formaφj - parâmetros empregados:m = 3,

Rj = 1,6h, h → distância entre os nós - Observar queφj verifica

a condição doδji para o caso ilustrado em quem = n, o que nem

sempre é verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Partição da Unidade a partir dos elementos finitos emR1 . . . . . . . 19

2.5 Esquema de enriquecimento da Partição da Unidade . . . . . . . . . . 20

3.1 Associação parede-pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Discretização da associação parede e pórtico . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Influência da rigidez relativaKr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Geometria das estruturas propostas - sem unidades . . . . . . . . . . 36

3.5 Discretizações propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Chapa com orifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7 Gráficos comparativos MEF x MEFG . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8 Estudo quanto ao travamento de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.9 Análise quanto ao travamento de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10 Chapa em L - geometria e malhas utilizadas nas seqüências de refina-

mento consideradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.11 Análises para diversos tipos de refinamento . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Elemento de volume representativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Relação constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Representação das diferenças entre análise local e não-local. Curvas

de forçaF e deslocamento no meio do vãou, com a respectiva distri-

buição de dano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

iv

Lista de Figuras v

4.4 Análise não-local em estrutura com simetria . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Viga em concreto armado - geometria e armação - medidas em cm . . 66

5.2 Abordagem uni-axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Sistema de estratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Análises estáticas - resultados experimentais de ÁLVARES (1993) . . 74

5.5 Análises dinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.6 Condições de contorno e malha de elementos adotadas . . . . . . . . 77

5.7 Curvas deσ × ε variando-seAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.8 Análise estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.9 Mapa da distribuição do dano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.10 Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em

mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.11 Malhas utilizadas para a análise - medidas em mm . . . . . . . . . . . 85

5.12 Mapa da distribuição do dano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.13 Superfície representativa do dano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1 Decomposição deΘK

j = aΘK

j + bΘK

j . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2 Processo de balanceamento das forçasΘK

j respeitando-se o equilíbrio

nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Malha formada por 10 elementos regulares quadrangulares . . . . . . 117

6.4 Índices locais de efetividade da malha da Figura 6.3, para cada elemento119

6.5 Índice de efetividade de MRE2 para uma seqüencia de 3 malhas ani-

nhadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.6 Índices locais de efetividade - Malha de elementos distorcidos . . . . 122

6.7 Malha de elementos adotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.8 Índices locais de efetividade - malha com aproximação linear . . . . . 123

6.9 Erro relativo para as iterações dos refinamentos adaptativos . . . . . . 125

6.10 Resultado final do refinamentop-adaptativo, MREp+1 . . . . . . . . . 125

6.11 Interpretação geométrica para a estimativa do erro no caso uni-axial . 129

6.12 Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em

mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.13 Relação uni-axial tensão× deformação . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.14 Malhas utilizadas - medidas em mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.15 Resposta global da estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Lista de Figuras vi

6.16 Mapa da distribuição do dano no passo 41 . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.17 Índice de efetividade global em cada passo . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.18 Chapa de concreto com entalhe - geometria e solicitação - medidas em

mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.19 Malha e condições de contorno utilizadas para a análise . . . . . . . . 147

6.20 Resposta global da estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.21 Discretizações definidas pelo algoritmo adaptativo . . . . . . . . . . . 150

6.22 Distribuição do dano ao final do carregamento (F = 18,5 kN) . . . . 151

7.1 Malha e condições de contorno utilizadas para a análise . . . . . . . . 155

7.2 Confrontação dano× fratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3 Zona de processo de danificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

D.1 Monômios representados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

F.1 Aço embutido nos elementos finitos com o material concreto . . . . . 15

Lista de Tabelas

3.1 Tempo de processamento para as várias distribuições nodais (NN) com

os métodos sem malha –Kr = 20, p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Esforço cortante no pórtico -Kr = 20, baseP k=3 . . . . . . . . . . . 30

3.3 Esforço momento fletor na parede-Kr = 20, baseP k=2 . . . . . . . . 31

3.4 Esforço cortante no pórtico -Kr = 20, família=k=0,p=2N . . . . . . . . 31

3.5 Esforço momento fletor na parede -Kr = 20, família=k=0,p=2N . . . . 32

3.6 Resultados para o MEF de LEE; BATHE (1993) e MEFG . . . . . . . 39

3.7 Resultados comparativos para a energia de deformação normalizada,

entre o MEF, SZABÓ; BABUŠKA (1991) e o MEFG,(UpE/σ

2∞a

2t).

Solução analítica exata normalizada de SZABÓ; BABUŠKA (1991)

UE/σ2∞a

2t = 7, 69365. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8 Análises pelo MEFG enriquecido polinomialmente. Paraν = 0,3000

tem-seU = 0,130680N ×mm e paraν = 0,4999, U = 0,127035N ×mm, DUARTE (1991). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.9 Resultados numéricos comparativos para a energia de deformação nor-

malizada,(UpE/A

21a

2λ1t), entre o MEF, SZABÓ; BABUŠKA (1991)

e o MEFG. Solução analítica exata deUE/A21a

2λ1t = 4, 15454423

obtida de SZABÓ; BABUŠKA; CHAYAPATHY (1989) . . . . . . . . 49

3.10 Resultados para a energia de deformação,(UE/A2

1a2λ1t

), através do

MEFG. Solução analítica exata, SZABÓ; BABUŠKA; CHAYAPATHY

(1989)UE/A21a

2λ1t = 4, 15454423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Parâmetros do material (c→ concreto es→ aço) . . . . . . . . . . 66

6.1 Índices globais de efetividade para as iterações dos refinamentos adap-

tativos - MREp+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

vii

Lista de Símbolos

Aα parâmetros do material no modelo de La Borderie a ser identificado

AC ,BC parâmetros característicos do material na compressão uni-axial para o modelo de Ma-zars

AT ,BT parâmetros característicos do material na tração uni-axial para o modelo de Mazars

Bα parâmetros do material no modelo de La Borderie a ser identificado

biy parâmetros nodais de deslocamentos generalizados, das funções enriquecedoras

C,C∞ eCG constantes usadas na estimativaa priori do erro

Ck Espaço de funções com derivadas contínuas até a ordemk

C l0 Espaço de funções com derivadas de suporte compacto e contínuas até a ordeml

Cmin(k,l)0 Espaço de funções com derivadas de suporte compacto e contínuas até a ordem

min(k, l)

ci parâmetros nodais generalizados das funções teste enriquecedoras

cxjα e cyjα parâmetros associados às funções de trinca para o modo II

D variável escalar de dano

D1 eD2 variáveis de dano à tração e compressão do modelo de La Borderie

da tamanho do maior agregado no concreto

DC dano associado ao estado uni-axial de compressão no modelo de Mazars

Dn Variável de dano segundo a direção do vetor~n

DT dano associado ao estado uni-axial de tração no modelo de Mazars

dxjα edy

jα parâmetros associados às funções de trinca para o modo I

dxj edy

j parâmetros associados às funções não polinomiais introduzidas ao enriquecimento

E0 módulo de elasticidade do material íntegro

F força concentrada

f função prescrita emΩ para o PVC

viii

Lista de Símbolos ix

Fα critério de evolução deDα (α = 1, 2)

Ff parcela da forçaF absorvida pelo pórtico

Fw parcela da forçaF absorvida pela parede

fd função que descreve as condições de abertura e fechamento das micro-fissuras no mo-delo de La Borderie

G módulo de elasticidade transversal

g(x) função de ponderação empregada na análise não-local

G1(z1) eG2(z2) funções de encruamento no modelo de La Borderie

Gj conjuntos abertos que definem o suporte das funções da PU

gk funções prescritas em∂Ω para o PVC

H altura da estrutura formada pela associação parede e pórtico

h dimensão característica da discretização do domínio

hmin minj=1,··· ,N

hj

hj dimensão característica associada à nuvemωj

ifim contador que se for igual ao número de nuvens ou elementos indica a divergência doprocedimento adaptativo

J(x) funcional do erro ponderado de aproximação emx

jw regidez à flexão

Kr equivale akrH

kr rigidez relativa entre o pórtico e a parede

Lα tamanho do ladoα do elemento finito

lc comprimento característico do material

Lji corresponde à i-ésima função que multiplica a PU do nóxj , podendo ser polinomialou não

m número de funções que forma a baseP

N número de pontos nodais do conjuntoQN

n(x) número de pontos nodais do sub-conjuntoQn(x) definido com relação ax

nυ variável que se for igual a 0 indica queυ deve ser diminuído

pK ordem polinomial mais baixa das funções de aproximação das nuvens que contêm oelementoK

pi função da baseP

Lista de Símbolos x

pωj ordem polinomial da aproximação da nuvemωj

q força distribuída

qf parcela da forçaq absorvida pelo pórtico

qj(p) número de funções enriquecedoras no Método das Nuvenshp e MEFG para a nuvemωj

qj(p) número de polinômios enriquecedores no Método das Nuvenshp e MEFG para a nu-vemωj e com a ordem polinomialp máxima que se deseja representar

qw parcela da forçaq absorvida pela parede

Rj raio da região de influência ou nuvem do pontoxj

rnl raio da análise não-local

Sβ conjunto de funções obtidas pelo produto deIj pela PU no elementoβ

sf rigidez ao cisalhamento

t tempo

TOLerro tolerância admitida para o erro relativo global

TOLU tolerância para a energia de deformação usada para o controle do equilíbrio no Métodode Newton-Raphson

u(x) Função contínua

uxi parâmetros nodais de deslocamentos generalizados

uj valores queu(x) assume emx = xj

up(x) Função aproximadora que representa exatamente o espaço de polinômios com graumáximop

ux euy funções de deslocamentos nas direçõesx ey

u′x derivada primeira dos deslocamentos emx, com relação à direçãox

u′′x derivada segunda dos deslocamentos emx, com relação à direçãox

u′y derivada primeira dos deslocamentos emy, com relação à direçãox

u′′y derivada segunda dos deslocamentos emy, com relação à direçãox

v funções de teste do Método de Galerkin

V (rnl) volume do material compreendido dentro de uma região de raiornl

vi parâmetros nodais generalizados das funções teste

vx evy funções de teste nas direçõesx ey

w(xj) peso do pontoxj da quadratura de Gauss

Lista de Símbolos xi

Wj função peso do método dos MQM

Yi variável associada aDi (i = 1, 2) no modelo de La Borderie

Yoα parâmetros do material no modelo de La Borderie a ser identificado

z1 ez2 medidas de dano acumulado no modelo de La Borderie

Zα variável associada azα (α = 1, 2)

A(x) matriz empregada na formulação do método dos MQM

AN matriz obtida das funções PU e que estabelece a relação entrebθ ecΘ

b força de volume

bθ vetor que contém as tensões nodaisaθK

j

Bj(x) vetor empregado na formulação do método dos MQM

C matriz das propriedades constitutivas

C0 matriz com as propriedades elásticas do material íntegro

cΘ vetor que contém as forças nodaisaΘKj

E tensor de deformações

ei erro aproximado da iteraçãoi do procedimento de Babuška

ep função de erro da aproximaçãoup

G sub-matriz deM nos métodos sem malha, oriunda da aplicação do Método dos Multi-plicadores de Lagrange

H vetor que representa a derivada da variável dano com relação às deformações principais

I matriz identidade

IK vetor dos indicadores de erro nodais generalizados

Iωj parâmetros da função indicadora de erroep associados à nuvemωj

KK matriz de rigidez do elemento para ordemp

KKer matriz de rigidez para o problema de cálculo do indicador de erro no MRE

Kε matriz gerada da perturbação deK no procedimento de Babuška

MKj momento no elementoK das forças nodais generalizadasF j para cada nível de enri-

quecimento

n versor que descreve a orientação do contorno

P base de funções

p conjunto de funçõespi

Lista de Símbolos xii

P k conjunto de monômios que geram o espaçoPk

P p conjunto de monômios que geram o espaçoPp

RK vetor das forças residuais nodais generalizadas

rΓ função dos resíduos do PVC no contornoΓN

rΩ função dos resíduos do PVC no domínioΩ

ri resíduo da iteraçãoi do procedimento de Babuška

t Σn, tensão sobre o contorno normal an

U vetor dos parâmetros (deslocamentos) generalizados do problema aproximado

u[ux uy

]T, o vetor das funções de deslocamentos nas direçõesx ey

U i solução da iteraçãoi do procedimento de Babuška

Ux eUy vetor dos parâmetros nodais dos deslocamentos generalizados na direçãox ey

V vetor das parâmetros generalizados das funções de teste

v[vx vy

]T, o vetor das funções de teste nas direçõesx ey

x posição do domínioΩ

xp posição do centróide das massas(ma,mb,mc,md)

F vetor de forças generalizadas para os método sem malha

K matriz de rigidez generalizada para os método sem malha

M matriz de massa consistente generalizada para os métodos sem malha

U vetor que contém os parâmetros nodais generalizadosU e os multiplicadores de La-grangeλ nos métodos sem malha

tIK vetor dos indicadores de erro nodais generalizados no passot

tKKer matriz de rigidez para o problema de cálculo do indicador de erro no MRE no passot

tRK vetor das forças residuais nodais generalizadas no passot

trΓ função dos resíduos do PVC no contornoΓN para o passot

trΩ função dos resíduos do PVC no domínioΩ para o passot

F ext vetor de forças externas generalizadas no MEFG

F int vetor de forças internas generalizadas no MEFG

tu(it)(x) valor da funçãou na iteraçãoit do passo de tempot

K matriz de rigidez

Lista de Símbolos xiii

(ma,mb,mc,md) pesos atrelados a cada um dos lados de um elemento quadrilátero para oequilíbrio do resíduo

F vetor obtido a partir deF , pela normalização da diagonal deK, no procedimento deBabuška

K matriz obtida pela normalização da diagonal deK, no procedimento de Babuška

U vetor obtido a partir deU , pela normalização da diagonal deK, no procedimento deBabuška

Ux e Uy vetor dos parâmetros nodais das acelerações generalizados na direçãox ey

ux aceleração na direçãox

uy aceleração na direçãoy

D taxa de dano

ux velocidade na direçãox

uy velocidade na direçãoy

u e t deslocamento e tração prescritos

ep estimativa para o função de erro da aproximaçãoup

E(K) indicador de erro local definido para o elementoK

E(ωj) indicador de erro local definido para a nuvemωj

u(x) Função aproximadora

F ext vetor de forças externas generalizadas nos método sem malha

F int vetor de forças internas generalizadas nos método sem malha

tF ext vetor de forças externas generalizadas nos métodos sem malha no instantet

tF int vetor de forças internas generalizadas nos métodos sem malha no instantet

tU vetor de deslocamentos generalizados nos métodos sem malha no instantet

tF ext vetor de forças externas generalizadas no MEFG no instantet

tF int vetor de forças internas generalizadas no MEFG no instantet

tU vetor de deslocamentos generalizados no MEFG no instantet

xFKj e yFK

j componentes nodaisj nas direçõesx e y da contribuição do elementoK para ovetor de forças generalizadasF

tb forças de volume no passot

tt tensões de superfície no passot

tK(it)

sec matriz de rigidez generalizada dos métodos sem malha, na forma secante, no instantede tempot e iteraçãoit

Lista de Símbolos xiv

tK(it)

tg matriz de rigidez generalizada nos métodos sem malha, na forma tangente, no instantede tempot e iteraçãoit

tep erro da soluçãotup ao final do passot

tK(it)sec matriz de rigidez generalizada no MEFG, na forma secante, no instante de tempot e

iteraçãoit

tu solução exata obtida ao final do passot

tup solução aproximada obtida ao final do passot

tep aproximação para o erro da soluçãotup ao final do passot

=k,pN família de funções Nuvens-hp formada pela PUφj(x)N

j=1 geradora do espaçoPk ecom capacidade de representar de forma exata polinômios do espaçoPp

F eG funções auxiliares para o cálculo da lei de evolução do dano no modelo de Mazars

FT , FC , GT eGC funções auxiliares para o cálculo da lei de evolução do dano no modelo deMazars para a tração e compressão

H espaço de Hilbert

Ij conjunto de funçõesLji

K elemento finito

K∗ elemento vizinho ao elementoK

Nj funções de forma do MEF e empregadas como PU no MEFG

Pk espaço polinomial de grau máximok

Pp espaço polinomial de grau máximop

Q conjunto de pontos nodais

RKx eRK

y resultantes das forças que agem sobre o elementoK, na direçãox e y respectiva-mente

U energia de deformação

U energia de deformação

Wext trabalho realizado pelas forças externas

Rη conjunto dos números reais com dimensãoη = 1, 2 ou3

Ω sub-conjunto aberto deRη

U energia de deformação da solução aproximada

X sub-espaço de dimensão finita deH

Qn(x) sub-conjunto deQN

Lista de Símbolos xv

αC coeficiente do dano na compressão no modelo de Mazars

αi parâmetro da combinação linear no MMQM

αT coeficiente do dano na tração no modelo de Mazars

εeq valor não-local da deformação equivalente

β1 eβ2 parâmetros do material relacionados à formação de deformações residuais no modelode La Borderie

χ Energia livre de Gibbs

δS área da interseção entre o elemento representativo de volume e qualquer um de seusplanos normais a~n

δSD parcela deδS que não resiste às solicitações internas

∆u(it)(x) acréscimo da funçãou na iteraçãoit

∆b(it)ji acréscimo do parâmetrobji na iteraçãoit

∆t passo de tempo

∆u(it)j acréscimo do parâmetrouj na iteraçãoit

δ medida de abertura do entalhe

∆U(it)

acréscimo do vetor de deslocamentos generalizados nos métodos sem malha na itera-çãoit

δij Delta de Kronekcer,δij = 1 sei = j e δij = 0 sei 6= j

∆U (it) acréscimo do vetor de deslocamentos generalizados na iteraçãoit

ε perturbação dada à matrizK no procedimento de Babuška

Γ contorno do domínioΩ

ΓN região do contorno em que as condições de Neumman são definidas

Γu região do contorno em que as condições de Dirichlet são definidas

κ parâmetro que depende do coeficiente de Poisson e vale3−4ν para EPD e(3−ν)/(1+ν) para EPT

λu1 multiplicador de Lagrange para deslocamentos associado ao nó 1

λθ multiplicador de Lagrange para as derivadas dos deslocamentos (rotações)

λθ1 multiplicador de Lagrange para rotações associado ao nó 1

λu multiplicador de Lagrange para os deslocamentos

λk multiplicadores de Lagrange

E% erro relativo global

Lista de Símbolos xvi

ν coeficiente de Poisson do material íntegro

ωj região de influência ou nuvem das aproximações associadas à PU do nóxj

φj(x) função de aproximação associada ao nóxj

Π energia potencial total

ψ classe de funções que define uma PU

ρ número inteiro que corresponde à quantidade mínima da sobreposição das nuvens

ρx eρy funções das distâncias emx e emy de cada posição do domínioΩ com relação a(x0, y0)

ρxj eρy

j distâncias emx e emy entre o nóxj e uma posição qualquer(x0, y0) do domínioΩ

σef tensão efetiva

σf tensão de fechamento das micro-fissuras no modelo de La-Borderie

θ índice de efetividade

θK índice de efetividade para o elemento finitoK

υ parâmetro que controla a velocidade do refinamento no processo adaptativo

εi deformação principali

εd0 deformação equivalente limite para o material íntegro

εd deformação equivalente limite para a evolução do dano nos pontos já danificados

εeq deformação equivalente

(Φ0p+1)

Tωj

funções de aproximação da função indicadora de erroep associadas à nuvemωj

α vetor contendo os parâmetrosαi

Φ vetor das funções de aproximação

φj vetor das funções de forma associadas ao nóxj

ψj vetor das funções resultantes do enriquecimento deNj

σdef= σx σy σxy vetor de tensões definido para problemas de estado plano

σtg forma compacta do tensor de tensões obtida pela forma tangente da relação constitutiva

ΘK vetor de forças nodais generalizadas de correção para o equilíbrio

θK tensões de correção do equilíbrio para o elementoK

εdef= εx εy γxy vetor de deformações definido para problemas de estado plano

εe eεa parcela de deformações elástica e anelástica

ε vetor das taxas de variação das deformações principais com o tempo

Lista de Símbolos xvii

Π funcional modificado deΠ com a introdução dos multiplicadores de Lagrange

Σ tensor de tensões

Ω domínio fechado e limitado emRη

λux e λ

uy vetor dos parâmetros nodais dos multiplicadores de Lagrange para os deslocamen-tosux euy

λux e λ

uy vetor dos parâmetros nodais da segunda taxa de variação no tempo dos multiplica-dores de Lagrange

σ taxas do tensor de tensões

ε taxas do tensor de deformações

ΘKj vetor com os valores deΘ

Kassociados ao nóxj

M momento das forças atuantes sobre o elementoK

∂Ω contorno suave deΩ

E% erro relativo estimado global

αθK tensõesθK na faceα do elementoK

αθKj valor queαθK assume no ponto nodalxj

aΘKj parcela deΘ

Kj atuante sobre a facea do elementoK

Operadores

(·) produto interno

[t(•)] operador do salto das tensões calculadas na face comum a dois elementosK eK∗ ondese tem o campo de deslocamento aproximado por• e•∗

B(•, •) forma modificada deB(•, •) após a aplicação do método dos Multiplicadores de La-grange

l(·) forma modificada del(·) após a aplicação do método dos Multiplicadores de Lagrange

a⊗ b notação para o produto diádico ou tensorial, produzindo o tensorTij = aibj

B LΦT , operador de transformação: deslocamento generalizado-deformação

Bp operadorLΦTp

B0p+1 operadorL

(Φ0

p+1

)T

L matriz de operadores diferenciais que determina o campo de deformações a partir dosdeslocamentos

∇[

∂

∂x1

∂

∂x2

]T

Lista de Símbolos xviii

⟨•, ?, · · ·

⟩representa o espaço gerado pelas funções•, ?, · · ·

Λ(•, ?) funcional através do qual as condições de contorno essenciais são impostas no Métododos Multiplicadores de Lagrange

〈t(•)〉m operador da média das tensões calculadas na face comum a dois elementosK e K∗onde se tem o campo de deslocamento aproximado por• e•∗

〈•〉+ parte positiva de(•)

〈•〉− parte negativa de(•)

||w||U norma energia definida para funçõesw ∈ H1

||•||L2 normaL2

||•||L∞(Ω) = max|•| norma uniforme ou de Chebyshev

||•||U norma energia de•

||u||Lp(Ω) norma emLp

|u|Hm(Ω) semi-norma no espaçoHm

B(•, •) forma bi-linear emH ×H → R

BtgK(•, •) parcela de contribuição no elementoK paraBtg(•, •)

BK(•, •) parcela de contribuição no elementoK paraB(•, •)

LK(•) operador linear com os dados para a aproximação de Galerkin da forma variacional doPVC do erro em cada elemento

max(•, ?, . . .) operador que retorna o maior valor de• entre osm existentes

min(•, ?, . . .) função que retorna o menor valor entre•, ?, . . .

\ operador de exclusão;Ψ \Υ é o mesmo queΨ− (Ψ ∩Υ)

def= é definido como

span espaço gerado por

Bk ·m−1k=0 operadores lineares diferenciais sobre o contorno

A • operador linear diferencial de ordem2m

l(•) forma linear emV → R1

Tr(•) traço de um tensor

Abreviaturas

DEM Difuse Element Method

EFGM Element Free Galerkin Method

Lista de Símbolos xix

EPD Estado plano de deformação

EPT Estado plano de tensão

FPM Finite Point Method

GFEM Generalized Finite Element Method

MDC Mecânica do Dano Contínuo

MED Método dos Elementos Difusos

MEFG Método dos Elementos Finitos Generalizados

MEFPU Método dos Elementos Finitos da Partição da Unidade

MGLE Método de Galerkin Livre de Elementos

MMQ Método dos Mínimos Quadrados

MMQF Método dos Mínimos Quadrados Fixos

MMQM Método dos Mínimos Quadrados Móveis

MPF Método dos Pontos Finitos

MRE Método dos Resíduos em Elementos

MREp+1,p+2 Método do Resíduo em Elementos em que o erro é aproximado emX0p+1,p+2

MREp+1 Método do Resíduo em Elementos em que o erro é aproximado emX0p+1

MREP Método de Recuperação pelo Equilíbrio das Parcelas

MRS Método dos Resíduos em Sub-domínios

NG número de pontos de integração, seja na quadratura de Gauss-Legendre, seja na deGauss-Lobatto

NGL número de graus de liberdade

PUFEM Partition of Unity Finite Element Method

PVC Problemas de Valor de Contorno

RKPM Reproducing Kernel Particle Method

SPH Smoothed Particle Hydrodynamics Method

1

Capítulo 1

Introdução

1.1 Considerações Iniciais

Neste trabalho, são apresentados resultados e conclusões de uma pesquisa reali-

zada sobre certas categorias de métodos numéricos, os sem malha e o dos elementos

finitos generalizados, aplicados a problemas com não-linearidade física.

A pesquisa foi desenvolvida segundo duas linhas: uma de caráter numérico, rela-

cionada ao desenvolvimento dos métodos e a outra voltada às aplicações na mecânica

dos materiais, mais precisamente, na mecânica do dano contínuo. Essas duas linhas,

em princípio independentes, combinam-se quanto à aplicação na simulação dos efeitos

da formação e propagação de descontinuidades em estruturas.

Procura-se mostrar, ao longo do texto, como as alternativas numéricas, protago-

nistas do estudo realizado, podem ser melhor exploradas para fins de análise estrutural,

especialmente em problemas cujo o comportamento não-linear é governado pela evolu-

ção do dano contínuo. O principal objetivo, contudo, é demonstrar a viabilidade do uso

dos métodos mencionados para a solução de problemas com propagação de desconti-

nuidades, salientando-se não apenas suas vantagens como também algumas deficiên-

cias e como contorná-las. O trabalho desenvolvido não se conclui em si mesmo mas,

ao contrário, representa os primeiros passos na direção de se obter uma ferramenta

numérica especialmente talhada para aplicações no campo da propagação de defeitos.

O emprego de aproximações de simples implementação, mas eficientes para o tipo de

problema estudado, a caracterização de particularidades dos métodos segundo a aná-

lise realizada, a definição de medidas de erro para se avaliar a qualidade da solução e

posterior adaptatividade, são algumas das questões para as quais se buscam respostas

Capítulo 1. Introdução 2

neste trabalho. As respostas obtidas, se por um lado ajudam na melhor compreensão

dos fenômenos físicos simulados, bem como trazem contribuições para as formulações

utilizadas, por outro lado não são inteiramente conclusivas permanecendo abertas para

futuros desenvolvimentos.

1.1.1 Quanto aos Métodos Numéricos: Sem Malha e dos Elemen-

tos Finitos Generalizados

Métodos sem malha,Meshless, podem ser entendidos, de acordo com o trabalho

de DUARTE (1995), como métodos numéricos para a solução de problemas de valor

de contorno, PVC, cujas equações básicas de governo do modelo discreto independem,

ou quase, da definição de uma malha de elementos finitos. Em resumo, a solução

aproximada do problema, em um espaço de dimensão finita, é construída sem que a

conectividade entre os pontos nodais desta aproximação seja pré-estabelecida.

No método dos elementos finitos, MEF, a aproximação é definida mediante inter-

polações locais em cada elemento, sendo, por isto, válida apenas nesse sub-domínio. A

continuidade da aproximação fica garantida com o pré-estabelecimento de uma conec-

tividade entre os nós. Já nos procedimentos sem malha, dada a ausência dos elementos,

a aproximação é construída em cada posição do domínio global, sendo, portanto, defi-

nida de modo dinâmico; mantém-se, entretanto, seu caráter local conforme a definição

de domínios de influência, denominados nuvens em DUARTE; ODEN (1995). Tal

estratégia admite que, em cada posição de interesse, novas relações de conectividade

nodal sejam estabelecidas, possibilitando com que a aproximação do domínio seja feita

sem a necessidade de se definir elementos, mas apenas a partir de uma distribuição de

pontos nodais.

Diversas são as variações dos Métodos Sem Malha, podendo ser reunidas da se-

guinte maneira:

• Hidrodinâmica de Partículas Suavizado (Smoothed Particle Hydrodynamics-

SPH), de MONAGHAN (1982), (1994);

• Métodos baseados diretamente nas aproximações de mínimos quadrados mó-

veis:

– Método dos Elementos Difusos, MED (Difuse Element Method- DEM),

introduzido em NAYROLES; TOUZOT; VILLON (1992);


– Método de Galerkin Livre de Elementos , MGLE (Element Free Galerkin

Method- EFGM), BELYTSCHKO; LU; GU (1994);

– Método dos Pontos Finitos, MPF (Finite Point Method- FPM), desenvol-

vido em OÑATE; IDELSOHN; ZIENKIEWICZ (1995), OÑATE (1996a)

e OÑATE (1996b)

• Método das Partículas Reprodutoras do Núcleo (Reproducing Kernel Particle

Method- RKPM), de W. K. LIU; ZHANG (1995); LIU (1995);

• Métodos baseados na definição da Partição da Unidade:

– Método das Nuvenshp (hp-Clouds Method), de DUARTE; ODEN (1995);

DUARTE (1996); DUARTE; ODEN (1996a), (1996b);

– Método dos Elementos Finitos Partição da Unidade, MEFPU (Partition of

Unity Finite Element Method- PUFEM), descrito em MELENK (1995),

MELENK; BABUŠKA (1996) e BABUŠKA; MELENK (1997);

• Método de Galerkin das Ondas Pequenas (Wavelet Galerkin Method), proposto

por AMARATUGA; WILLIAMS (1997);

Não é objetivo deste trabalho apresentar uma revisão de todos esses métodos e,

por isso, apenas o MGLE e o Método das Nuvenshp, utilizados para as experimen-

tações numéricas, são discutidos a seguir. Para maiores detalhes sobre os métodos

sem malha, além dos artigos já citados, podem ser incluídas as revisões realizadas em

DUARTE (1995) e BELYTSCHKO (1996).

No MGLE, utiliza-se, para a obtenção das funções de forma, as funções de apro-

ximação do Método dos Mínimos Quadrados Móveis, MMQM, de acordo com o tra-

balho de LANCASTER; SALKAUSKAS (1981). Os elementos essenciais desse pro-

cedimento são uma base de funções geralmente polinomiais, funções de ponderação,

e uma distribuição de pontos. As constantes que aparecem na função aproximadora

são determinadas impondo-se a minimização do erro entre a função aproximadora e

a solução exata. Caso seja necessário que se enriqueça a aproximação, monômios de

ordem mais alta são adicionados à base de funções, o que, na maioria das vezes, deve

ser acompanhado pela introdução de novos pontos nodais à discretização.

No Método das Nuvenshp, por sua vez, procura-se generalizar as idéias desen-

volvidas no MGLE, reconhecendo-se que as funções de forma devam constituir uma

Partição da Unidade, PU, ODEN; REDDY (1976), podendo ser enriquecidas sem que a


base de funções dos MMQM seja alterada, ou seja, sem a necessidade de novos pontos

nodais.

Para que um conjunto de funções constitua uma PU, é necessário que a soma

de seus valores seja igual à unidade em cada posição do domínio. Entre as funções

que compartilham dessa propriedade estão aquelas obtidas via MMQM e, entre elas,

as Funções de Shepard, SHEPARD (1968); também pertencem a essa categoria várias

das funções de forma empregadas no MEF. As funções de Shepard, apesar de gera-

rem aproximações pobres, são particularmente interessantes ao serem utilizadas para a

construção das funções de aproximação pelo Método das Nuvenshp.

O enriquecimento da aproximação na formulação do Método das Nuvenshp é

realizado a partir da multiplicação das funções de PU por um conjunto de funções line-

armente independentes. Não há, portanto, a necessidade de se introduzir novos pontos

ao domínio. A estratégia de enriquecimento torna o Método das Nuvenshp vantajoso

ao ser aplicado em procedimentos adaptativos do tipop, bem como em problemas cuja

solução apresente elevados gradientes.

Cabe, ainda, ressaltar que ambos os métodos comentados originam-se de uma

mesma formulação, proposta no MED. Por essa razão, seria mais correto denominá-

los como processos. Sua qualificação como método, entretanto, é avalizada pelo uso

corrente na literatura e, dessa maneira, também será adotada neste texto.

Ainda que não se encaixe exatamente na definição de método sem malha, o Mé-

todo dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, proposto como uma formulação

híbrida do MEF em ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ (1998) e fundamentado em

STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000), até poderia ser mencionado dentro

desse contexto. Utilizando-se de conceitos do MEFPU e do Método das Nuvenshp, no

MEFG, estabelece-se uma malha que serve apenas para se definir uma partição da uni-

dade, sobre a qual é realizado o enriquecimento das funções de forma, responsável pela

qualidade do método. A aproximação é construída em uma formulação que minimiza a

importância da malha de elementos finitos. Empregando estratégias dos métodos sem

malha dentro da estrutura do MEF, mais simples e tradicionalmente mais difundido,

o MEFG pode também ser entendido como uma “ponte” entre estas diversas aborda-

gens. Permite, desse modo, uma maior flexibilidade na resolução numérica de PVC,

viabilizando a introdução de diferentes especializações de implementação conforme

seja mais interessante em cada caso de aplicação.


1.1.2 Quanto à Mecânica dos Materiais

Um dos pontos de interesse deste trabalho refere-se à aplicação dos métodos sem

malha, incluindo-se o MEFG, na simulação do comportamento não-linear de estruturas

decorrente da evolução de um processo de plastificação e microfissuração do material.

Nesse sentido, deve ser considerado um importante conceito, o dano, KRAJCINOVIC;

LEMAITRE (1987) e PROENÇA (1991).

O dano de materiais é aqui entendido como o resultado de um processo de evolu-

ção de micro-defeitos e fissuras que, no limite, conduz à ruptura local do elemento de

“volume representativo”, em torno de um ponto, LEMAITRE; CHABOCHE (1990).

Em uma análise fenomenológica, a evolução do dano produz perdas de resistência e

de rigidez do material. No caso do concreto, por exemplo, a formação e o crescimento

de microfissuras têm influência direta sobre a resposta mecânica. Já no caso de metais,

o processo de danificação é precedido pela plastificação, e reduz, significativamente, a

ductilidade do material.

A fratura discreta pode ser entendida como resultante da localização do dano evo-

lutivo em uma certa região do corpo. A Mecânica do Dano Contínuo, MDC, diz res-

peito, portanto, a fenômenos que ocorrem em uma fase anterior àqueles descritos pela

Mecânica da Fratura. Na MDC, lida-se com modelos constitutivos aptos a descrever

o comportamento dos materiais penalizados pela danificação, mas ainda considerados

como meios contínuos. Na Mecânica da Fratura, trata-se das condições de propagação

de uma ou mais descontinuidades, as trincas, em um meio contínuo. As formulações

sobre a localização de deformações, segundo as propostas de OLIVER (1995) e MAN-

ZOLI; OLIVER; CERVERA (1998), procuram estabelecer uma transição entre as duas

abordagens.

Em uma análise tradicional de propagação de fratura, via MEF, é necessária uma

série de artifícios numéricos, em particular a redefinição da malha, para que as sin-

gularidades presentes sejam simuladas de forma adequada. Exemplos desses procedi-

mentos podem ser encontrados em ORTIZ; LEROY; NEEDLEMAN (1987); DVOR-

KIN; CUITIÑO; GIOIA (1990) e OLIVER (1995). Por outro lado, a flexibilidade no

enriquecimento das aproximações, característica do método das nuvens e do MEFG,

permite com que se vislumbre um campo fértil para sua aplicação naquele tipo de

problema. Envolvendo a aplicação do Método das Nuvenshp e do MGLE, diver-

sos trabalhos já foram propostos no âmbito da análise de fratura, HEGEN (1997),

ODEN; DUARTE (1997a) e BELYTSCHKO; LU; GU (1993) e de outros tipos de sin-


gularidade, como em CORDES; MORAN (1996), KRYSL; BELYSTSCHKO (1997),

ODEN; DUARTE (1997b) e KRONGAUZ; BELYTSCHKO (1998). Com o MEFG,

podem ser destacados: DUARTE (2001) e, sob a denominação de MEFX (Método

dos Elementos Finitos Extendidos), encontram-se BELYTSCHKO; BLACK (1999),

MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999), DOLBOW (1999) e, aplicado de modo

específico a placas, DOLBOW; MOËS; BELYTSCHKO (2000).

Já quanto ao processo de danificação do meio, não foram encontradas na bi-

bliografia disponível, aplicações do Método das Nuvens, do MGLE e do MEFG. É,

portanto, nesse contexto que se insere a presente pesquisa: procura-se oferecer con-

tribuições ao estudo da viabilidade de novas abordagens numéricas, especialmente do

MEFG, para a simulação do comportamento não-linear de estruturas decorrente do

fenômeno de formação e propagação de descontinuidades.

1.2 Organização do Texto

No capítulo 2, as formulações do MGLE, Método das Nuvens e MEFG são apre-

sentadas, buscando-se mostrar a relação que existe entre esses métodos. A ordem em

que são introduzidos é proposital, não apenas para respeitar a seqüência cronológica

em que surgiram na literatura científica, mas também como uma maneira de ilustrar a

sua evolução no sentido do MEFG.

Experimentações com esses três métodos em problemas de análise linear são reu-

nidas no capítulo 3. O MGLE e o Método das Nuvens são aplicados para a solução de

um problema de associação plana entre estruturas, painéis de edifícios altos simulados

pela técnica do meio contínuo. Utiliza-se deste exemplo para se discutir a convergência

dos métodos e a influência dos parâmetros utilizados. O MEFG, por sua vez, é em-

pregado em problemas de elasticidade bi-dimensional. Nos problemas selecionados,

a resposta numérica é averiguada com relação ao tipo de malha, convergência da so-

lução, travamento de Poisson e presença de singularidades. Em todos estes exemplos,

procura-se mostrar vantagens conferidas pela estratégia de enriquecimento, polinomial

ou não.

O conceito de dano é discutido no capítulo 4, apresentando-se também algumas

definições da Mecânica do Dano Contínuo. Em seguida, os dois modelos adotados

para as análise não-lineares são descritos resumidamente. Ao final, o emprego de

uma abordagem não-local é justificada como uma maneira de garantir a aplicação dos


modelos constitutivos de dano contínuo.

No capítulo 5, são apresentadas novas experimentações numéricas, agora em aná-

lise não-linear. Um problema de uma viga de concreto armado é, primeiramente, ana-

lisado com o Método das Nuvenshp, considerando-se a teoria de vigas de Bernoulli.

Resultados de análises estática e dinâmica, para os modelos de dano adotados, são

utilizados para ilustrar a aplicação do método. Algumas conclusões sobre o comporta-

mento do material e a viabilidade do emprego dos modelos são salientadas. O mesmo

problema é aproximado pelo MEFG e os resultados da análise estática com discreti-

zação bi-dimensional são utilizados para chamar atenção sobre alguns detalhes de sua

implementação e justificar a necessidade de um procedimento adaptativo de solução.

Adaptatividade e estimativa de erro são os assuntos do capítulo 6. Uma pequena

revisão a esse respeito é realizada com o objetivo de conduzir o leitor até a introdução

de uma técnica de análise adaptativa para o MEFG. O Método dos Resíduos em Ele-

mentos Equilibrados é descrito segundo a abordagem de enriquecimento da PU e dois

exemplos são apresentados. Em seguida, o estimador de erro é discutido em análise

não-linear. Um algoritmo adaptativo é introduzido e considerações sobre transferência

de variáveis na formulação do MEFG são realizadas. O capítulo se encerra com dois

exemplos relativos a problemas não-lineares. O primeiro deles é convenientemente es-

colhido para assegurar hipóteses admitidas na discussão sobre o estimador em análise

não-linear, sendo utilizado para avaliar as medidas de erro ao final de cada passo de

carregamento da estrutura. O segundo e último exemplo, bem mais complexo, é resol-

vido adaptativamente, comprovando-se a viabilidade das medidas de erro estabelecidas

e do algoritmo de erro adotado.

O capítulo 7 reúne as considerações finais e conclusões obtidas durante esta pes-

quisa, embasadas nos resultados e observações apresentados ao longo do texto. Dessa

discussão originam-se propostas para trabalhos futuros, visando o aperfeiçoamento da

técnica numérica empregada para análise da propagação de defeitos em meio contínuo.

Ao final da tese, alguns tópicos de assuntos diversos são reunidos como apên-

dices. Sua leitura, contudo, não é essencial para o entendimento do texto, podendo

ser consultados para o esclarecimentos de detalhes relacionados com a formulação e

implementação dos métodos numéricos estudados.

8

Capítulo 2

Fundamentos dos Métodos Numéricos

Várias são as razões para dedicar um capítulo à descrição dos métodos numéricos

discutidos neste trabalho e, entre elas, duas merecem ser destacadas. A primeira delas,

e a mais óbvia, é a oportunidade de registrar toda uma revisão bibliográfica realizada

sobre um tema relativamente recente e que vem atraindo considerável atenção no meio

científico. Com esse intuito, procura-se completar as discussões iniciadas no capítulo 1

apresentando, dentro de um certo formalismo, fundamentos dos métodos empregados

neste trabalho, o MGLE, o Método das Nuvenshp e o MEFG. A segunda razão para

a existência deste capítulo consiste em apresentar bases teóricas para os desenvolvi-

mentos descritos ao longo do texto; introduzindo-as sob um enfoque em que o MEFG

é interpretado como uma particularização, à estrutura do MEF, de conceitos oriundos

das formulações sem malha.

O primeiro assunto apresentado refere-se ao MMQM, entendido como uma téc-

nica de construção dinâmica de aproximações. Em seguida, a família de funções de-

nominada genericamente por Nuvens-hpé discutida como uma generalização das fun-

ções do MMQM em que o enriquecimento da aproximação é realizado aplicando-se

o conceito de PU. O MGLE e o Método das Nuvenshp são introduzidos como siste-

matizações das aplicações dessas estratégias na aproximação de Galerkin para o PVC.

Ao final, o MEFG é introduzido como uma particularização do Método das Nuvens

hp, estabelecendo a “ponte”, já citada no capítulo 1, entre as abordagens sem malha e

finitos convencional.

Capítulo 2. Fundamentos dos Métodos Numéricos 9

2.1 Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MMQM)

O Método dos Mínimos Quadrados Móveis, MMQM, é um método de aproxi-

mação numérica. Através dele, procura-se encontrar uma função que melhor se ajuste

a um conjunto de dados, associados a pontos nodais. Este procedimento foi introdu-

zido em LANCASTER; SALKAUSKAS (1981), como uma variação do já bastante

difundido Método dos Mínimos Quadrados, MMQ, RIVLIN (1969). Basicamente, a

diferença entre esses dois métodos está na utilização de uma função de ponderação

que, no MMQM, acompanha o ponto onde se deseja definir a aproximação.

Figura 2.1: Método dos Mínimos Quadrados Móveis

Para melhor entender o MMQM, considera-se o problema de uma função contí-

nuau(x) : Ω → Rη, (η = 1), que deve ser aproximada conhecendo-se apenas seus

valoresuj em um conjunto de pontos nodaisQN = xjNj=1, xj ∈ Ω. Na Figura 2.1

esse problema é ilustrado como um ajuste de curvas em campo uni-dimensional; em

uma descrição geral, vale, contudo,Ω emRη, paraη = 1, 2 ou 3.

Em cada posiçãox do domínio, uma aproximação local,u(x), deve ser definida

empregando-se um sub-conjunto den(x) ≤ N pontos vizinhosQn(x) ⊂ QN . Tal

aproximação pode ser expressa na forma de uma combinação linear de uma base de

funçõesP = pimi=1, (m ≤ n(x)), segundo os parâmetrosαi:

u(x) ≈ u(x) =m∑

i=1

pi(x)αi(x) = pT (x)α(x) (2.1)

A menos de aplicações específicas, emprega-se uma base de monômios,P k, geradora

de um espaço de polinômios completos até o grauk.

Seja, também,Wj uma função peso que assume valores não-nulos apenas na

vizinhança do pontoxj. Tal função apresenta, portanto, o suporte compacto, ou seja,


Wj ∈ C l0(ωj), ondel representa a continuidade deWj, ωj a vizinhança dexj em que

a função peso é definida e o zero indica que a função tem valor não-nulo apenas no

interior deωj. A vizinhança é denominada suporte, região de influência ou mesmo

nuvem do pontoxj, sendo limitada por uma medida de referência1 Rj e representada

porωj = x ∈ Ω; ||x− xj|| ≤ Rj, Figura 2.2.

Figura 2.2: Representação das nuvens emR2

Na abordagem do MMQM, os coeficientesα(x) são determinados minimizando-

se uma funçãoJ(x) que reúne as distâncias entreu(x) eu(x), ponderadas pelas fun-

çõesWj.

J(x) =

n(x)∑j=1

Wj(x− xj)uj − u(xj)2 (2.2)

Observa-se que apenas osn(x) pontos nodaisxj, cuja região de influênciaωj contenha

a posiçãox, participam da somatória acima. A relação que determina os coeficientes

α(x) resulta:

α(x) =

n(x)∑j=1

A−1(x)Bj(x)uj (2.3)

onde:

A(x) =

n(x)∑r=1

Wr(x− xr)p(xr)pT (xr) (2.4)

1Rj é um parâmetro de extrema importância, pois é responsável pelo caráter local da aproximação.Quanto maiorRj , maior o número de pontos nodais cujos valores deuj contribuem para se construir aaproximação.


Bj(x) = Wj(x− xj)p(xj) (2.5)

Dessa maneira, a aproximação (2.1), passa a ser escrita como:

u(x) ≈ u(x) =

n(x)∑j=1

φj(x)uj = ΦTU (2.6)

sendoφj um elemento genérico da base de funções de aproximação, com o mesmo

suporteωj das funções peso, e dado por:

φj(x) = pT (x)A−1(x)Bj(x) (2.7)

Nota-se que, para a representação vetorial, são definidos os seguintes vetores de parâ-

metros nodais e de funções de forma:

UT def=

[u1 u2 · · · uN

](2.8)

ΦT def=

[φ1 φ2 · · · φN

](2.9)

A existência da inversa deA(x) depende da conveniente definição dosRj de

modo que respeite a condiçãon(x) ≥ m. Tal condição é necessária mas não suficiente,

DUARTE (1996), e, de certo modo, acaba por restringir a liberdade de definição da

distribuição nodal. Por sua vez, o enriquecimento polinomial da aproximação pode ser

obtido aumentando-se o grau máximo do espaço de polinômios gerado pela baseP k

com a introdução de novos termos. Este procedimento, entretanto, produz matrizes

A(x) de elevada ordem encarecendo computacionalmente a técnica de aproximação.

A forma e o tipo das funções de ponderaçãoWj têm grande influência na cons-

trução da aproximação, sendo diretamente responsáveis, em combinação com a base

P , pela sua continuidade. Pode-se demonstrar que:

u(x) ∈ Cmin(k,l)0 (ωj) se

P ∈ Ck(ωj)

Wj(x) ∈ C l0(ωj)

(2.10)

Uma discussão ampla sobre as propriedades das aproximações do MMQM, bem como

estudos sobre a influência da forma e continuidade das funções de ponderação, podem

ser encontrados, por exemplo, em BELYTSCHKO; LU; GU (1994) bem como em

MENDONÇA; BARCELLOS; DUARTE (2000).


Por último, considera-se o caso específico de se ter uma base de funçõesP 0 =

1. Das definições deA(x), (2.4), eBj(x), (2.5), resultam:

A(x) =

n(x)∑r=1

Wr(x− xr)1[1] =

n(x)∑r=1

Wr(x− xr) (2.11)

Bj(x) = Wj(x− xj)1 = Wj(x− xj) (2.12)

Substituindo-se estas expressões em (2.7), recupera-se uma importante classe de fun-

ções denominadas funções de Shepard, SHEPARD (1968):

φ0j(x) =

Wj(x− xj)∑n(x)r=1 Wr(x− xr)

(2.13)

Apesar de poderem representar, de modo exato, apenas constantes, produzindo, por

isso, uma aproximação bastante pobre, estas funções são utilizadas com sucesso na

família de funções do Método das Nuvenshp, como mostrado na próxima seção.

2.2 Famílias de Funções do Método das Nuvenshp (=k,pN )

Em DUARTE (1996), foi proposta uma nova classe de funções de aproxima-

ção, denominada família de Nuvens-hp. Tal classe pode ser construída a partir do

enriquecimento das aproximações do MMQM multiplicadas por funções, geralmente

polinomiais, linearmente independentes. Justifica-se esse procedimento pelo fato des-

tas funções formarem uma Partição da Unidade, PU, cujo o conceito é discutido no

apêndice B.

Considera-se que as funções de aproximação (2.7) tenham sido obtidas a partir

de uma baseP k = pimi=1 dem monômios que geram o espaço polinomial de grau

máximok, denominadoPk. Para se construir uma funçãou(x) que aproxime qualquer

polinômio de ordem menor ou igual ap > k, definem-se as funções que constituem a

família de Nuvens-hp, =k,pN , como:

=k,pN

def= φj(x)N

j=1 ∪ φj(x)pi(x)Nj=1;

i = m+ 1, · · · , q(p); pi ∈ Pp − Pk; p ≥ k(2.14)

ondePp é o espaço polinomial de grau máximop gerado pela baseP p = piq(p)i=1 for-

mada porq(p) monômios. Observa-se que, teoricamente, não existe nenhuma restrição


à forma dos monômios dePp − Pk. É, contudo, aconselhável que sejam normaliza-

dos, e anulados nos pontos nodais associados às funções da PUφj(x)Nj=1. Evita-se,

assim, que a aproximação, apesar de construída nas coordenadas globais, seja sensível

às dimensões do problema. EmR2, por exemplo, o polinômio de graur emx e s em

y, que enriquece a PU associada a um nóxj, é representado por:

pji(x) =

(x− xj

hxj

)r (y − yj

hyj

)s

(2.15)

sendohxj ehy

j dimensões características da nuvem nas direçõesx ey.

Deve-se, ainda, ressaltar que dependendo das características da função que se

quer aproximar, podem ser introduzidos termos não polinomiais na baseP p.

Substituindo-se as funções definidas em (2.14) na aproximação (2.6) tem-se a

expressão final para a função aproximadora do Método das Nuvenshp:

up(x) =N∑

j=1

φj(x)

uj +

qj(p)∑i=m+1

pji(x)bji

= ΦTU (2.16)

onde, assim como para o MGLE, são definidos os vetores de parâmetros nodais e das

funções de forma:

UT def=

[u1 b1 m+1 · · · b1q1 · · · uN bN m+1 · · · bNqN

](2.17)

ΦT def=

[φ1 p1 m+1φ1 · · · p11q(p)φ1 · · · φN pN m+1φN · · · pNqN (p)φN

]sendobji, i = m + 1, · · · , qj(p) novos parâmetros associados axj devido ao enri-

quecimento que, por sua vez pode variar para cada nó. Por essa razão, a quantidade

de funções vinculadas ao nóxj é representada porqj(p), ou seja, é função do nó e da

ordem polinomial máximap que se deseja representar.

Pela forma com que a aproximação (2.16) é construída, pode-se notar o cará-

ter hierárquico do enriquecimento empregado, simplificando bastante a implementa-

ção de procedimentos de refinamentop-adaptativo. Em DUARTE; ODEN (1996b)

demonstra-se que, se o conjuntoφj(x)Nj=1 forma uma PU, a funçãoup(x) pode

aproximar exatamente qualquer elemento do espaço dePp. Na seção 2.5, esse assunto

é retomado mas sob o enfoque do MEFG. O emprego da notaçãoup(x) no lugar de

u(x) em (2.16) tem, portanto, o intuito de informar que a aproximação construída re-


presenta exatamente polinômios de grau máximop. Esta será a representação adotada

neste trabalho, inclusive para as aproximações do MGLE. A formau(x) será reservada

para os casos gerais, referindo-se também às aproximações capazes de reproduzir fun-

ções não-polinomiais, isto é, quando outros tipos de funções estiverem multiplicando

a PU. Nesse caso a expressão (2.16) é substituída por:

u(x) =N∑

j=1

φj(x)

uj +

qj∑i=1

Lji(x)bji

= ΦTU (2.18)

ondeLji corresponde à “i-ésima” função que multiplica a PU do nóxj, podendo ser

polinomial ou não. Jáqj representa o número de funçõesLji utilizadas. Para essa

representação geral, o vetor das funções de forma é definido como:

ΦT def=

[φ1 L11φ1 · · · L1q1φ1 · · · φN LN1φN · · · LNqN

φN

](2.19)

Finalmente, é preciso ressaltar que nas aplicações das aproximações de Nuvens-

hp, DUARTE (1996) e DUARTE; ODEN (1996b), por exemplo, é usual o emprego de

funções de Shepard, (2.13), para se construir a PUφj(x)Nj=1. Como já foi observado

na seção anterior, tais funções geram aproximações bastante pobres. Por outro lado,

apresentam como vantagens a facilidade de implementação em qualquer dimensão, e

o baixo custo computacional, pois não há necessidade de se inverter a matrizA(x)

em cada posição de cálculo da aproximaçãou(x). As funções de Shepard simplifi-

cam, portanto, o processo de construção da PU a ser enriquecida, por sua vez, pela

multiplicação de funções adequadas ao tipo de aproximação procurada. Consegue-se

assim, um desempenho computacional superior ao das funções de MMQM sem perda

da qualidade da aproximação.

2.3 Formulação de Galerkin para Problemas de Valor

de Contorno e Emprego dos Métodos Sem Malha

Considera-se o seguinte problema de valor de contorno:

Encontraru tal que:

Au = f emΩ

Bku = gk sobre∂Ω 0 ≤ k ≤ m− 1(2.20)


em queΩ é um sub-conjunto aberto emRη, de contorno suave∂Ω, A é um operador

linear diferencial de ordem2m, Bkm−1k=0 são operadores lineares diferenciais sobre o

contorno, enquanto quef egk são funções prescritas.

Seja, também, o seguinte problema variacional associado:

Encontraru ∈ H tal que:B(u, v) = l(v) ∀ v ∈ Hm (2.21)

ondev são funções de teste pertencentes ao espaço de Hilbert de ordemm, Hm, B(•, •)é uma forma bi-linear deHm ×Hm → R e l(•) uma forma linear emHm → R

1.

Pelo procedimento de Galerkin, ODEN; REDDY (1976), a solução aproximada

do PVC deve ser procurada em sub-espaçosX de dimensão finita, de tal maneira que

se tenhaX ⊂ H. Em NAYROLES; TOUZOT; VILLON (1992), propõe-se, pela pri-

meira vez, o emprego das funções do MMQM como geradoras desses espaços. O

método, dessa maneira formulado, foi designado de MED. Em BELYTSCHKO; LU;

GU (1994), o MGLE é introduzido como uma formulação aperfeiçoada do MED, espe-

cialmente quanto à derivação das funções do MMQM e à imposição das condições de

contorno essenciais, ou de Dirichlet. Para entender melhor esse último ponto, deve-se

observar que uma das principais características desses métodos, que os diferenciam do

MEF, é que a aproximação resultante não é, necessariamente, uma interpolação. Como

conseqüência, não satisfaz as condições do delta de Kronecker, ou seja,φj(xi) 6= δij

e, por isso, as condições de Dirichlet não podem ser impostas diretamente. O espaço

X contém, portanto, funções que não são cinematicamente admissíveis e, por isso, as

condições de contorno de Dirichlet são introduzidas na formulação fraca do problema.

Em BELYTSCHKO; LU; GU (1994) sugere-se o emprego do Método dos Multiplica-

dores de Lagrange, ODEN; REDDY (1976). O problema (2.21) pode, dessa maneira,

ser reescrito como:

Encontraru ∈ X tal que:

B(u, v) = l(v) ∀ v ∈ X

sendo

B(u, v) = B(u, v) + Λ(λk, Bku− gk)

(2.22)

ondeΛ(•, ?) é o funcional através do qual as condições de contorno essenciais são

impostas,λk são multiplicadores de Lagrange eX é o espaço gerado pelas funções de

aproximaçãou(x) de (2.10).


No Método das Nuvenshp, o espaçoX é obtido utilizando-se a família de Nuvens-

hp, (2.14). Devido ao emprego das funções do MMQM na construção da PU, o mesmo

problema, apresentado pelo MGLE com relação à imposição das condições de con-

torno de Dirichlet é observado. O Método dos Multiplicadores de Lagrange é, por-

tanto, novamente utilizado, resultando em uma expressão equivalente à (2.22) para a

aproximação de Galerkin do PVC.

Para que o problema (2.22) possa ser reduzido à solução de um sistema de equa-

ções, são introduzidas as aproximações (2.6) e (2.18), conforme a formulação seja do

MGLE ou Método das Nuvenshp. Como também as funções teste são aproximadas

no espaçoX, suas representações são análogas às aproximações deu(x), ou seja:

v(x) ≈ v(x) = ΦTV (2.23)

sendo:

• para o MGLE:

V T def=

[v1 v2 · · · vN

](2.24)

• para o Método das Nuvenshp:

V T def=

[v1 c1 m+1 · · · c1q1 · · · vN cN m+1 · · · cNqN

](2.25)

Chega-se, então, ao seguinte sistema de equações:

B(ΦTU ,ΦTV

)= l

(ΦTV

)(2.26)

cuja a solução deve ser levada em (2.6) no caso do MGLE ou em (2.18) no caso do

Método das Nuvens, para se construir a aproximação.

2.4 Integração Numérica

A construção da aproximação via MMQM produz, como mostrado na seção (2.1),

uma função que deve ser recalculada em cada posiçãox, impossibilitando a sua descri-

ção analítica. Sendo assim, para as integrações no domínio e no contorno do sistema de


equações (2.26), deve-se sempre recorrer à uma aproximação numérica. Em BELYTS-

CHKO; LU; GU (1994), para possibilitar o cálculo das integrais numéricas através da

quadratura de Gauss, sugere-se a divisão do domínio em células de integração, onde

são distribuídos os pontos de Gauss. Uma explicação detalhada sobre a maneira se-

gundo a qual estas células são distribuídas ao longo do domínio pode ser encontrada

em HEGEN (1997).

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

φ j-1 φ j+1φ j

ωj-1

j

j-1 j+1

ωj

ωj-2

ωj-3

ωj+1

ωj+2

ωj+3

Figura 2.3: Setores da função de formaφj - parâmetros empregados:m = 3, Rj = 1,6h,h → distância entre os nós - Observar queφj verifica a condição doδji para ocaso ilustrado em quem = n, o que nem sempre é verdadeiro.

Cabe lembrar que a definição de um número do pontos de Gauss para que a inte-

gral seja calculada de maneira exata em cada célula não é direta como no MEF. Nesse

método, as funções interpoladoras empregadas fazem com que o integrando seja um

polinômio e, conseqüentemente, sempre existe um número de pontos de Gauss grande

o suficiente para que a integração numérica seja exata. No MGLE e no Método das

Nuvenshp, independentemente de se ter a base de funçõesP e/ou a função de pon-

deraçãoWj polinomiais, a aproximação resultante é geralmente uma função racional


(quociente de polinômios), devido à inversão da matrizA(x) na expressão (2.7). Os

integrandos de (2.26) não são portanto polinomiais e, por isso, não há como se ter uma

integração exata através da quadratura de Gauss.

Outra fonte de erro para a integração numérica está no desalinhamento entre as

células de integração e o suporte das funções de forma que se sobrepõem para construir

a função de aproximação. Para melhor explicar esse fato é necessário que se retorne à

expressão (2.7). Para cada posiçãox, uma diferente expressão paraA−1(x) é obtida,

influenciada, apenas, pelas nuvens que contêmx. As funções de form, portanto, são

construídas por setores formados pelas diversas sobreposições de nuvens, conforme

exemplifica-se através da Figura 2.3. Em DOLBOW (1998) procura-se fazer com que

os contornos das células acompanhem tais setores de sobreposição. A estratégia ado-

tada restringe, todavia, a definição da aproximação pois exige que os suportes sejam

retangulares, além de não resolver o problema do caráter não-polinomial das aproxi-

mações.

2.5 Método dos Elementos Finitos Generalizados

O MEFG, segundo DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000), foi proposto de forma

independente por:

• Babuška e colegas sob a denominação de Método dos Elementos Finitos Es-

peciais, BABUŠKA; CALOZ; OSBORN (1994), e como Método Partição da

Unidade, MELENK; BABUŠKA (1996); BABUŠKA; MELENK (1997);

• Duarte e Oden a partir de trabalhos como DUARTE; ODEN (1995), DUARTE

(1996), DUARTE; ODEN (1996b) e DUARTE; ODEN (1996a) corresponden-

tes à formulação do método das Nuvens e ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ

(1998) como uma formulação híbrida do MEF.

Seu emprego sob a denominação atual de Método dos Elementos Finitos Gene-

ralizados surge, contudo, pela primeira vez em MELENK (1995).

A estratégia utilizada no MEFG é bastante simples e consiste em empregar as fun-

ções de forma do MEF como PU. Para problemas de elasticidade plana, por exemplo,

são empregadas as funções lagrangianas bi-lineares. A dimensão original do espaço de

elementos finitos é, em seguida, ampliada através do enriquecimento obtido à maneira

do Método das Nuvenshp.


2.5.1 A Formulação

De um estudo realizado em DUARTE (1996) sobre o desempenho do MGLE e do

Método das Nuvenshp, quando comparados ao MEF convencional, argumenta-se que

a integração numérica do sistema (2.26) encarece computacionalmente esses métodos,

pelas razões já discutidas na seção 2.4. Além desses fatos, pode também ser incluído o

problema relacionado à imposição das condições de contorno essenciais pelos multipli-

cadores de Lagrange, que torna o método instável. Em vista desse quadro, justifica-se

o retorno ao tipo de construção das aproximações do MEF procurando-se aproveitar,

contudo, avanços obtidos nas formulações sem malha. É o caso do enriquecimento

proposto através das famílias de Nuvens-hp.

Com o MEFG, os problemas acima são resolvidos. As funções de aproximação

típicas do MEF passam a ser interpretadas como PU, cujas nuvens são formados por

conjuntos de elementos finitos que concorrem nos pontos nodaisxj. ParaR1, por

exemplo, empregando-se as funções de Lagrange lineares mostradas na Figura 2.4, o

suporteωj da funçãoNj(x) corresponde à união dos elementosβ − 1 e β. Para uma

posição no interior do elementoβ, a aproximação inicial pertence ao espaço gerado

pelas duas funções de aproximação dos pontos nodaisxj exj+1, ou seja:

u(x) ∈⟨

Nj,Nj+1

⟩(2.27)

onde

⟨•, ?, · · ·

⟩representa o espaço gerado pelas funções•, ?, · · · .

Figura 2.4: Partição da Unidade a partir dos elementos finitos emR1

O enriquecimento, à maneira do Método das Nuvenshp, permite que esse espaço

seja ampliado, como por exemplo pela multiplicação da função base de cada nóxj,

pertencente ao elementoβ, por um novo conjunto de funções linearmente indepen-

dentesIj =1, Lj1, Lj2, . . . , Ljqj

. Desse modo, para o elementoβ da Figura 2.4


obtém-se:

u(x) ∈⟨ qj⋃

i=1

NjLji,

qj⋃i=1

Nj+1Lj+1 i

⟩=

⟨Sβ

⟩(2.28)

ondeSβ representa as funções obtidas do produto deIj pela PU no elementoβ.

As funçõesLji são, a princípio, quaisquer, podendo formar conjuntos de mo-

nômios completos ou não, ou mesmo ser definidas a partir de um conhecimentoa

priori da solução. São aproximações locais que devem representar bem a solução

sobre o suporte a elas associado. Uma vez que a PU permite, como se demonstra

em DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000), que as funções introduzidas possam ser

reproduzidas a partir de combinações lineares das funções de aproximação definidas

em (2.28), tem-se:

Lji, Lj+1 iqj

i=1 ∈⟨Sβ

⟩(2.29)

Utiliza-se, assim, a PU para “gerar” espaços de aproximação local, cujas funções

podem ser reproduzidas em cada elemento como parte da aproximação global.

Função Produto

Aproximação Local

Partição da Unidade

z

x

yxj

jω

Figura 2.5: Esquema de enriquecimento da Partição da Unidade

A generalização dessa formulação paraR2 pode ser melhor entendida a partir da

Figura 2.5. Nela, encontram-se representados a PU de ordem1 (função bi-linear) gera-

dora de uma aproximaçãoC0, uma função especial arbitrária e o resultado do produto


entre essas duas funções. Essa última apresenta as características aproximadoras da

função especial, ao mesmo tempo que herda o suporte compacto da PU. Consegue-se,

assim, que a aproximação global, obtida em um dado elemento pela combinação das

funções produto relativas a cada nó, seja construída sem penalizar a continuidade (no

caso do tipoC0) entre os elementos, que, portanto, se mantêm conformes.

Seguindo-se o mesmo formalismo empregado no Método das Nuvenshppode-se

definir a família de Nuvens-hppara o MEFG:

=k=1N = Nj(x)N

j=1 ∪ Nj(x)Lji(x)Nj=1 |i ∈ Ij (2.30)

utilizada para construir a seguinte aproximação:

u(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uj +

qj∑i=1

Lji(x)bji

= ΦTU (2.31)

em que:

UT def=

[u1 b11 · · · b1qj

· · · uN bN1 · · · bNqj

](2.32)

ΦT def=

[φ1 L11N1 · · · L1qj

N1 · · · φN LN1NN · · · LNqjNN

]Empregando-se essa função em (2.22) para definir o espaçoX , chega-se à se-

guinte aproximação de Galerkin, na abordagem do MEFG, para o PVC (2.20):

Encontraru ∈ X tal que:

B(u, v) = l(v) ∀ v ∈ X(2.33)

que resulta no seguinte sistema de equações:

B(ΦTU ,ΦTV

)= l

(ΦTV

)(2.34)

onde:

V T def=

[v1 b11 · · · c1qj

· · · vN cN1 · · · cNqj

](2.35)

A exemplo do que foi comentado para o Método das Nuvenshp, caso as funções

Lij sejam todas polinomiais definindo a família=k=1,pN como em (2.14), a aproximação

u será representada de modo particular como:


up(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uj +

qj(p)∑i=1

pji(x)bji

= ΦTU (2.36)

sendo:

ΦT def=

[φ1 p11N1 · · · p1qj(p)N1 · · · φN pN1NN · · · pNqj(p)NN

](2.37)

Pela maneira com que se realiza o enriquecimento, chega-se a uma aproximação

sem “costura”, DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000), ou seja, sem a necessidade de

se estabelecer, como ocorre no MEF hierárquico, DEMKOWICZ (1989), condições

de restrição que garantam a continuidade dos campos aproximadores entre cada ele-

mento. O emprego das funções do MEF para a PU evita problemas encontrados com as

funções do MMQM, como aquele relativo à integração numérica, pois os integrandos

de (2.34) tornam-se polinomiais; a menos, é claro, nos casos de elementos distorcidos

ou quando o enriquecimento não for polinomial. Outra vantagem consiste na possibi-

lidade de se impor diretamente as condições de contorno essenciais, pois se recupera o

caráter interpolador da aproximação.

Um problema proveniente dessa estratégia de enriquecimento é a possibilidade

de se ter a família=k=1,pN formando um conjunto de funções linearmente dependentes,

DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000). Isso ocorre, basicamente, quando se enriquece

com monômios uma PU polinomial. O mesmo não acontece para o Método das Nu-

venshp, em que a PU é construída por funções não polinomiais, ou polinomiais por

setores. A conseqüência imediata desse fato é que o sistema de equações (2.34) passa

a apresentar uma matriz de rigidez semi-definida positiva, mesmo após a eliminação

dos movimentos de corpo rígido. Tal problema pode ser contornado empregando-se

as estratégias numéricas sugeridas em STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000),

entre elas um método iterativo aqui denominado de procedimento de Babuška. Mais

detalhes sobre esse assunto podem ser encontrados no apêndice C.

A obtenção de uma matriz de rigidez singular é, entretanto, um preço razoável a

ser pago se comparado à potencialidade do MEFG. De fato, além da facilidade com

que se realiza o enriquecimento, novas funções podem ser introduzidas na aproximação

conforme o tipo de aplicação desejada. Abre-se assim, a possibilidade de se empregar

o MEFG, de maneira eficiente, em problemas em que o campo de tensões apresente

singularidades, como no caso de meios com presença de descontinuidades.

23

Capítulo 3

Experimentos Numéricos em Análise

Linear

Neste capítulo, são reunidos exemplos de problemas em análise linear de estru-

turas, resolvidos através do MGLE, do Método das Nuvens e do MEFG. Uma das

razões para a presença desses problemas é, naturalmente, didática. Pretende-se com-

partilhar, com interessados neste trabalho, as experimentações numéricas que possibi-

litaram uma melhor compreensão dos novos conceitos introduzidos com as formula-

ções sem malha e de finitos generalizados. Para isso, resultados da literatura, obtidos

com o MEF, são recuperados e contrapostos às análises aqui apresentadas. Procura-se,

também, evidenciar alguns aspectos da implementação numérica, nem sempre muito

claros nos artigos revisados para este trabalho.

Sendo assim, inicia-se com o exemplo uni-dimensional no qual as implemen-

tações para o MGLE e o Método das Nuvenshp são descritas e os resultados nu-

méricos apresentados para diferentes situações de análise. O MEFG, por sua vez,

é empregado na solução de problemas da elasticidade linear estática em domínio bi-

dimensional. São exemplos selecionados especialmente para estabelecer um confronto

entre o MEFG e o MEF, no que se refere à convergência da solução e influência do tipo

de malha empregado. Procura-se mostrar que a estratégia de enriquecimento do MEFG

confere ao método uma certa independência com relação à discretização. Tal caracte-

rística simplifica bastante sua aplicação em um procedimentop adaptativo de correção

da solução, discutido no capítulo 6. O último exemplo, em especial, ilustra a versa-

tilidade que o método adquire com a possibilidade de se enriquecer a aproximação

com funções não-polinomiais. O objetivo final é justificar sua escolha para o estudo da

propagação de descontinuidades, especialmente no regime de transição dano-fratura.

Capítulo 3. Experimentos Numéricos em Análise Linear 24

3.1 Métodos Sem Malha Aplicados no Estudo da Asso-

ciação Contínua de Painéis Parede e Pórtico

Na Figura 3.1, encontra-se representada a estrutura de um edifício alto mediante

a associação plana de elementos estruturais denominados painéis parede e pórtico, dis-

postos em série e ligados por meio de barras bi-articuladas de rigidez axial infinita.

Tais barras simulam aproximadamente, de acordo com a Técnica do Meio Contínuo,

STAMATO (1972), o efeito das lajes, supostas continuamente distribuídas ao longo da

altura e de rigidez infinita no seu plano. O carregamento externo é constituído, con-

forme ilustra a Figura 3.1(a), por uma força concentradaF aplicada no topo e uma

força distribuídaq ao longo da altura da associação. Tal carregamento será absorvido

pelos painéis de parede e pórtico, nas parcelasqw e Fw, Figura 3.1(b) eqf e Ff , Fi-

gura 3.1(c), respectivamente.

(a) Geometria e carregamento (b) Painel parede (c) Painel pórtico

Figura 3.1: Associação parede-pórtico

Considerando-se as hipóteses de que a parede se deforma por flexão e o pórtico

por cortante, tomando-seF = 0 e desprezando-se a contribuição dos deslocamen-

tos axiais, formula-se o funcional de energia potencial total, SAVASSI (1975), para o

problema em questão como:

Π =

U︷︸︸︷H∫

0

[1

2jw (u′′)

2+

1

2sf (u′)

2

]dz−

Wext︷︸︸︷H∫

0

qudz (3.1)

ondejw e sf correspondem às rigidezes à flexão e ao cisalhamento respectivamente,


u(z) é o deslocamento horizontal,U a energia de deformação eWext o trabalho das

forças externas.

As condições de contorno essenciais do conjunto correpondem a se ter desloca-

mento e rotação nulos paraz = 0, ou seja,u (0) = 0 eu′ (0) = 0.

Substituindo-seu(z) pela aproximaçãou(z), construída sobre um conjunto deN

nós, como em (2.6) para o MGLE ou como em (2.16) para o Método das Nuvenshp,

obtém-se a seguinte forma discreta para o funcional (3.1):

Π =

H∫0

[1

2jw

(Φ′′TU

)2+

1

2sf

(Φ′TU

)2 − q(ΦTU

)]dz (3.2)

Deve-se lembrar, contudo, que a funçãou(z), obtida pelo MMQM, é apenas uma

aproximação. Desse modo, como discutido na seção 2.3, não há como impor direta-

mente as condições de contorno essenciais. Recorre-se assim, ao Método dos Multi-

plicadores de Lagrange que satisfaz as condições de contorno dentro da formulação

fraca do problema. Para isso, define-se um novo funcionalΠ obtido como:

Π = Π +

∫Γu

λu(z)(u(z)− 0)dz +

∫Γu

λθ(z)(u′(z)− 0)dz (3.3)

ondeλu(z) e λθ(z) são multiplicadores de Lagrange vinculados ao deslocamento e à

sua derivada, respectivamente. JáΓu (na verdade,z = 0) corresponde à região do

contornoΓ onde se encontram prescritas as condições essenciais. Para a obtenção da

representação discreta paraΠ, os multiplicadores de Lagrange são descritos através de

valoresλu1 eλθ

1 definidos no ponto nodal 1 localizado emz = 0:

λu(0) = λu1

λθ(0) = λθ1

(3.4)

A forma final aproximada para o funcionalΠ pode ser, então, representada como:

Π = Π + λu1 (ΦTU − 0)

∣∣z=0

+ λθ1 (Φ′TU − 0)

∣∣z=0

(3.5)

Aplicando-se o princípio da estacionaridade, chega-se ao seguinte PVC, equiva-

lente à formulação do Método de Galerkin definida em (2.22):


δΠ = 0 ⇒ δUT

H∫

0

[jw

(Φ′′Φ′′T )

+ sf

(Φ′Φ′T )]

dz U +

H∫0

qΦdz + Φ|z=0 λu1 + Φ′|z=0 λ

θ1

+

δλu

1 ΦT∣∣z=0

+ δλθ1 Φ′T ∣∣

z=0

U = 0

(3.6)

Como a expressão (3.6) deve ser válida para quaisquer valores deδU , δλu eδλθ,

deve-se ter separadamente: H∫0

jw(Φ′′Φ′′T )

dz +

H∫0

sf

(Φ′Φ′T )

dz

U −H∫

0

Φqdz+

Φ|z=0λu1 + Φ′|z=0λθ

1 = 0

ΦT

∣∣z=0

U = 0

Φ′T ∣∣

z=0

U = 0

(3.7)

A equação (3.6) pode, portanto, ser escrita em formulação compacta da seguinte

maneira:

K de[(N∗+2)×(N∗+2)]︷︸︸︷K Gu Gθ

(Gu)T 0 0(Gθ

)T0 0

U de[N∗+2]︷︸︸︷

U

λu1

λθ1

=

F de[N∗+2]︷︸︸︷f

0

0

(3.8)

onde:

• Kij =

H∫0

[jw(Φ′′Φ′′T )ij

]dz +

H∫0

[sf (Φ

′Φ′T )ij

]dz;

• fi =

H∫0

[qΦi(z)] dz;

• Gui = Φi(0); Gθ

i = Φ′i(0); parai, j = 2, · · · , N∗

• N∗ é o número de funções de forma empregado (número de graus de liberdade).

Caso a análise esteja sendo feita pelo MGLE,N∗ = N . Por outro lado, sendo


empregado o Método das Nuvenshp, N∗ depende do número de funções enri-

quecedoras, ou seja,N∗ =∑N

j=1 qj, sendoqj definido na seção 2.2.

Cabe ainda observar que os parâmetrosui obtidos com a solução deU não de-

finem, diretamente, os deslocamentos nodais, pois a aproximação não corresponde,

necessariamente, a uma interpolação. Caso se queira determinar os deslocamentos

nodais, deve-se realizar um pós-processamento empregando-se, novamente, as expres-

sões (2.6) para o MGLE e em (2.16) para o Método das Nuvenshp.

Com relação à parcelaKij da matriz de rigidez, é interessante notar que sua

largura de banda depende do tamanho dos domínios de influênciaωi de cada ponto

nodal zi. Quanto maior o raio deωi maior o número de pontos presentes em cada

nuvem e, conseqüentemente, maior a largura de banda da matriz de rigidez.

3.1.1 Análise numérica

Figura 3.2: Discretização da associação parede e pórtico

Na Figura 3.2, encontram-se representados o carregamento e a distribuição nodal

adotados para o problema de associação parede-pórtico. A solução exata do problema,

obtida em STAMATO (1972), é:

u(z) =1

k4rjw

[C1 + C2krz + C3e

krz + C4e−krz − q

k2rz

2

2

](3.9)

onde: kr =√sf/jw; Kr = krH; C = 2 cosh Kr; S = 2 sinh Kr;

C2 = Krq; C1 = − 1

C(2q + C2S); C3 =

1

C

(q − C2e

−Kr); C4 =

1

C

(q + C2e

Kr)


Para a realização da análise numérica através do MGLE e do Método das Nuvens,

adotam-sesf = 1, H = 1 e q = 1, todos valores adimensionais, considerando-se

ainda:

ordem da base polinomial : como em (3.7) aparecem derivadas de segunda ordem

das funções de forma, a aproximação deve representar de modo exato, no mí-

nimo, polinômios completos do segundo grau para que a convergência monotô-

nica da solução seja garantida (completidade). Desse modo, adotou-se para o

MGLE bases de monômiosP k=2 =

1 z z2

e para o Método das Nuvens

hp famílias de funções=k=0,p=2N , em que a base empregada para a construção

das funções de formaφj foi P k=0 =

1

(funções de Shepard) enriquecidas

pelas basesP p=2 =

1 z z2

;

aproximação do domínio : uma vez que a solução a ser aproximada é suave, os nós

foram distribuídos uniformemente ao longo dez, Figura 3.2. Foi utilizada uma

seqüência de malhas comN = 6, 11, 21 e 41 nós, representando os diferentes

níveis de refinamentoh da solução;

função de ponderação: para a construção das funções de aproximação do MMQM,

foi empregada uma função do tipospline cúbica, já utilizada em DOLBOW;

BELYTSCHKO (1998):

Wj(z − zj) ≡ f(r) =

2

3− 4r2 + 4r3 para r ≤ 1

24

3− 4r + 4r2 − 4

3r3 1

2< r ≤ 1

(3.10)

onder =|z − zj|Rj

. Estas funções sãoC20(ωj), o que faz com que as funções de

forma também o sejam, satisfazendo, portanto, as exigências relativas à regula-

ridade da aproximação para um problema que é de classeC1. Para o Método das

Nuvens adotou-seRj = h, ∀j, garantindo-se que nenhum ponto de integração

pertença a apenas uma nuvem. Alías, essa condição é necessária, segundo MEN-

DONÇA; BARCELLOS; DUARTE (2000), para que a taxa de convergência do

método não seja comprometida. Já para o MGLE, que exige um mínimo de

3 nuvens cobrindo cada ponto de integração para contrabalançar o número de

monômios da baseP k, deve-se terRj ≥ 2h. Após alguns testes com diferentes

valores para ao raio, adotou-seRj = 10h;


integração numérica : a integração numérica dos termos deK foi realizada através

da quadratura de Gauss-Legendre. Como células de integração, foram defini-

das as regiões localizados entre cada nó, nas quais os pontos da quadratura são

distribuídos. Como a aproximação é obtida pela sobreposição de diversos po-

linômios, um grande número de pontos de Gauss é necessário. A partir de20

pontos (NG = 20) observou-se que o erro na integração numérica não compro-

mete mais a solução.

análise quanto à convergência: para a análise da convergência utilizou-se a norma

L2 do erro da aproximação,||u − u||L2 = ∫ H

0[u − u]21/2dz. A funçãou é

calculada pela expressão (3.9). Jáu é definida pelas aproximações (2.6) ou (2.16)

conforme a solução tenha sido obtida pelo MGLE ou pelo Método das Nuvens

hp respectivamente. A taxa de convergência para o refinamentoh 1 corresponde

à inclinação do trecho assintótico da curva que relacionalog(||u − u||L2) com

log(h).

Os gráficos das Figuras 3.3(a) e 3.3(b) mostram as taxas de convergênciah para

o MGLE e o Método das Nuvens quando se varia a relação de rigidez medida por

Kr. Segundo OLIVEIRA (1982), casoKr < 5, o comportamento da estrutura está

mais próximo ao de uma viga engastada, cuja solução exata é um polinômio do quarto

grau. Já paraKr ≥ 5 a rigidez ao cisalhamento do pórtico torna-se preponderante

e a solução perde o caráter polinomial. Por essa razão, um erro maior é introduzido

na aproximação numérica, como se observa em ambos os gráficos para os maiores

valores deKr. As taxas de convergência, entretanto, não são perturbadas, mantendo-

se equivalentes às encontradas para o MEF, ou seja, em torno de3 2.

Na tabela 3.1 são apresentados os tempos do processamento para as análises com

Kr = 20 realizadas pelo MGLE e o Método das Nuvens. Como neste trabalho não

houve a preocupação em se utilizar um algoritmo otimizado, estes tempos fornecem

apenas informações quanto à ordem de grandeza da duração de tais análises. Além

disso, podem também ser utilizados com o intuito de se comparar as análises por esses

dois métodos sem malha. Os tempos obtidos permitem concluir por um maior esforço

1A convergênciah refere-se à introdução de novos pontos nodais, de forma análoga ao MEF, em quenovos elementos são acrescentados no refinamento do tipoh.

2De ODEN; REDDY (1976), para um PVC homogêneo de ordem2m, aproximado por Galerkin esob certas condições, deve-se esperar que||u − u||Hα(Ω) ≤ Chυ||f ||Hλ(Ω), ondeC é uma constanteindependente deh, λ é função do grau de regularidade def , p é a ordem polinomial máxima capaz deser aproximada poru eυ = min(p+1−α, 2(p+1−m), 2m+λ−α). Para a análise, como o problemaé regularυ = p+ 1− α = 3 para normaL2 (α = 0).


computational exigido com o MGLE. Esse fato já era esperado pelas necessidades

de se inverter a matrizA, (2.4), e de envolver um maior número de pontos para a

construção da aproximação no MGLE. Em análises bi e tri-dimensionais espera-se

que tal observação seja potencializada em favor do Método das Nuvens.

NN MGLE Nuvens

6 0,513 s 0,313 s11 0,750 s 0,607 s21 1,207 s 0,823 s31 2,763 s 1,923 s

Tabela 3.1:Tempo de processamento para as várias distribuições nodais (NN) com os métodossem malha –Kr = 20, p = 2

Já nas Tabelas (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), os resultados obtidos paraKr = 20,

com diferentes distribuições nodais, são confrontados com as análise feitas através do

MEF em OLIVEIRA (1982), no qual adotou-se uma aproximação do terceiro grau.

Para isso, foram utilizadas aproximações cúbicas tanto no MGLE (P k=2) quanto para

o Método das Nuvens (=k=0,p=3N ). Optou-se por comparar as soluções dos esforços

cortante no pórtico e momento fletor na parede. Tais esforços estão relacionados às

derivadas de ordens primeira e segunda dos deslocamentos respectivamente e, por isso,

devem apresentar um erro de aproximação maior do que aquele que seria observado

parau(z).

O método que mais se afastou dos resultados analíticos foi o MGLE, particular-

mente para 6 pontos nodais. Com a introdução de novos pontos, essa diferença se

reduz rapidamente comprovando a boa taxa de convergência observada no gráfico da

Figura 3.3(a). No Método das Nuvenshp, os resultados mostram-se, em geral, mais

próximos da solução analítica, mesmo para os 6 pontos nodais.

Posição 6 nós 11 nós 21 nós Soluçãoz MGLE MEF MGLE MEF MGLE MEF analítica

0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,2 0,8312 0,7549 0,8262 0,7806 0,7809 0,7816 0,78170,4 0,6414 0,5979 0,5884 0,5996 0,6008 0,5996 0,59970,6 0,3340 0,4000 0,3851 0,4000 0,3990 0,4000 0,40000,8 0,2260 0,2021 0,2280 0,2009 0,2001 0,2009 0,20091,0 0,0063 0,0469 0,0731 0,0496 0,0501 0,0499 0,0500

Tabela 3.2:Esforço cortante no pórtico -Kr = 20, baseP k=3


-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0

Log(h)

Log

da n

orm

a L2

K = 5 taxa de 3,06K = 10 taxa de 2,62K = 20 taxa de 3,58

r

r

r

(a) MGLE-P k=2

-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0

Log(h)

Log

da n

orm

a L2

K = 5 taxa de 2,98K = 10 taxa de 2,93K = 20 taxa de 2,77

r

r

r

(b) Método das Nuvenshp-=k=0,p=2N

Figura 3.3: Influência da rigidez relativaKr

Posição 6 nós 11 nós 21 nós Soluçãoz MGLE MEF MGLE MEF MGLE MEF analítica

0,0 0,0194 0,0295 0,0309 0,0393 0,0465 0,0446 0,04750,2 0,0029 -0,0010 -0,0036 -0,0016 -0,0016 -0,0016 -0,00160,4 -0,0055 -0,0024 -0,0030 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,00250,6 -0,0015 -0,0025 -0,0022 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,00250,8 -0,0020 -0,0028 -0,0042 -0,0024 -0,0026 -0,0024 -0,00251,0 -0,0037 -0,0009 0,0030 -0,0004 0,0002 -0,0001 0,0000

Tabela 3.3:Esforço momento fletor na parede-Kr = 20, baseP k=2

Posição 6 nós 11 nós 21 nós Soluçãoz Nuvens MEF Nuvens MEF Nuvens MEF analítica

0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,2 0,7705 0,7549 0,7808 0,7806 0,7816 0,7816 0,78170,4 0,5971 0,5979 0,5996 0,5996 0,5997 0,5996 0,59970,6 0,3997 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,40000,8 0,2015 0,2021 0,2010 0,2009 0,2009 0,2009 0,20091,0 0,0499 0,0469 0,0500 0,0496 0,0500 0,0499 0,0500

Tabela 3.4:Esforço cortante no pórtico -Kr = 20, família=k=0,p=2N


Posição 6 nós 11 nós 21 nós Soluçãoz Nuvens MEF Nuvens MEF Nuvens MEF analítica

0,0 0,0425 0,0295 0,0464 0,0393 0,0474 0,0446 0,04750,2 0,0000 -0,0010 -0,0013 -0,0016 -0,0015 -0,0016 -0,00160,4 -0,0021 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,00250,6 -0,0024 -0,0025 -0,0025 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,00250,8 -0,0024 -0,0028 -0,0024 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,00251,0 -0,0003 -0,0009 -0,0001 -0,0004 0,0000 -0,0001 0,0000

Tabela 3.5:Esforço momento fletor na parede -Kr = 20, família=k=0,p=2N

3.2 Problemas de Elasticidade Linear Estática - Aná-

lise Bi-Dimensional pelo MEFG

Todos os problemas analisados nesta seção são regidos pelas equações da elasti-

cidade linear estática (pequenas deformações e deslocamentos), variando-se, é claro, a

geometria, material e condições de contorno. Uma resumida formulação é apresentada

a seguir, visando-se chegar ao problema variacional aproximado por Galerkin. Maiores

detalhes com relação às equações da elasticidade podem ser encontrados, por exemplo,

em MALVERN (1969) e TIMOSHENKO; GOODIER (1980).

Seja, então, o seguinte PVC que exprime, em forma forte e em função dos deslo-

camentos, o equilíbrio em um ponto genérico do domínio aberto e limitadoΩ ∈ R2:

Encontraru tal que:

∇TΣ(u) + b = 0 emΩ

u = u emΓD

t(u) = t emΓN

(3.11)

sendo:

• uT def=

[ux uy

]o vetor das componentes de deslocamentos nas direções dos

eixosx ey;

• ΓD região do contorno em que as condições de Dirichlet são definidas;

• ΓN região do contorno em que as condições de Neumman são definidas;

• Σ tensor de tensões de segunda ordem;

• ∇T =

[∂

∂x1

∂

∂x2

];


• b força de volume;

• t = Σn, vetor de forças superficiais no contorno∂Ω;

• u e t vetores de deslocamento e tração prescritos;

• n versor que descreve a orientação do contorno∂Ω.

A correspondente forma variacional pode, então, ser descrita como:

Encontraru ∈ H1 tal que:B(u,v) = l(v) ∀ v ∈ H1 (3.12)

onde:

• H1 é o espaço de Hilbert de ordem 13;

• os operadores variacionais são definidos como:

B(u,v) =

∫∫Ω

εT (v)σ(u) lz dx dy

l(v) =

∫∫Ω

vTblz dx dy +

∫ΓN

vT t lz ds

• vT def=

[vx vy

]é o vetor das funções teste de deslocamentos emx ey;

• σdef= σx σy σxy e ε

def= εx εy γxy são representações vetoriais

compactas dos campos de tensão e deformação, cuja relaçãoσ = Cε é estabe-

lecida pela matriz de propriedades constitutivas elásticasC;

• lz a dimensão do corpo elástico na direçãoz aqui tomada como constante.

A aproximação de Galerkin, através das funções do MEFG, corresponde à solu-

ção do seguinte problema, projetada no sub-espaço de dimensão finitaX:

Encontraru ∈ X tal que:B(u, v) = l(v) ∀ v ∈ X (3.13)

em queu e v são definidas, cada uma, a partir da expressão (2.31), paraR2, ou seja:

3Na forma variacional do PVC da elasticidade, a máxima derivada presente é de ordem 1. Torna-se,portanto, necessário que a aproximação e sua primeira derivada (emx ey) sejam, no mínimo, integráveisno domínioΩ.


u(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uj +

qj∑i=1

Lji(x)bji

⇒ u = ΦTU (3.14)

v(x) =N∑

j=1

Nj(x)

vj +

qj∑i=1

Lji(x)cji

⇒ v = ΦTV (3.15)

Nas relações anteriores foram empregadas as seguintes representações para os deslo-

camentos, funções de teste e funções de aproximação:

UT def=

[ux

1 uy1 bx11 by11 · · · bx1q1

by1q1· · · ux

N uyN · · · bxNqN

byNqN

](3.16)

V T def=

[vx

1 vy1 cx11 cy11 · · · cx1q1

cy1q1· · · vx

N vyN · · · cxNqN

cyNqN

](3.17)

ΦT def=

[N1 0 L11N1 0 · · · 0 L1q1N1 0 · · ·0 N1 0 L11N1 0 · · · 0 L1q1N1 0

(3.18)

0 NN 0 LN1NN 0 · · · 0 LNqNNN 0

· · · 0 NN 0 LN1NN 0 · · · 0 LNqNNN

]

Para o caso em que estiverem sendo usadas as seguintes funções aproximadora e

de teste:

up(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uj +

qj(p)∑i=1

pji(x)bji

⇒ u = ΦTU (3.19)

vp(x) =N∑

j=1

Nj(x)

vj +

qj(p)∑i=1

pji(x)cji

⇒ v = ΦTV (3.20)

o espaçoX é substituído porXpdef= up ∈ H1;up|K ∈ Pp,K ∈ Ω, ondeup|K refere-

se à restrição da funçãoup ao elemento finitoK pertencente ao domínioΩ. Define-

se, então, a seguinte matriz das funções de aproximação, em que a PUNjNj=1 é

enriquecida pelos monômiospji de (2.15):


ΦT def=

[N1 0 p11N1 0 · · · 0 p1q1(p)N1 0 · · ·0 N1 0 p11N1 0 · · · 0 p1q1(p)N1 0

0 NN 0 pN1NN 0 · · · 0 pNqN (p)NN 0

· · · 0 NN 0 pN1NN 0 · · · 0 pNqN (p)NN

]

Introduzindo-se, então, a matriz de operadores diferenciais que determina o campo

de deformações a partir dos deslocamentos:

Ldef=

∂/∂x 0

0 ∂/∂y

∂/∂y ∂/∂x

(3.21)

e o operador que relaciona os deslocamentos generalizadosU às deformaçõesε:

B = LΦT (3.22)

pode-se chegar, após algum algebrismo, à forma final para o sistema de equações a ser

resolvido:

KU = F (3.23)

onde:

K =

∫∫Ω

BTCB lz dx dy (3.24)

F =

∫∫Ω

Φb lz dx dy +

∫ΓN

Φt lz ds (3.25)

Nos problemas apresentados a seguir, o sistema de equações (3.23) foi resolvido

pelo procedimento de Babuška, apêndice C, com perturbaçãoε = 10−12 na diagonal

principal deK e tolerânciaTOL = 10−10. Resultados semelhantes, a menos de

algum erro de precisão numérica, foram obtidos para testes realizados com o pacote

MA27, DUFF; REID (1983), que implementa um método direto de solução conforme

se discute no apêndice C.


3.2.1 Efeito da Distorção da Malha de Elementos

(a)L = 100, c = 10

(b) L = 20, c = 10 (c)L = 10, c = 20

Figura 3.4: Geometria das estruturas propostas - sem unidades

Neste exemplo, procura-se averiguar a influência da distorção dos elementos na

qualidade da aproximação via MEFG. Os problemas propostos são os mesmos apre-

sentados em LEE; BATHE (1993), correspondendo a uma viga submetida a uma força

aplicada em sua extremidade, como uma carga distribuída do tipo parabólica:

qy =120y

L− 120y2

cL(3.26)

Para que o problema em estado plano de tensões simule o comportamento de

uma viga engastada, também as reações de apoio são impostas, como condições de

contorno naturais, aplicando-se na facex = 0 a reação de cisalhamento no valor de

−qy e de flexão através da distribuição:

qx =240y

c− 120 (3.27)

A estrutura encontra-se, portanto, auto-equilibrada e os vínculos introduzidos servem

apenas para eliminar os movimentos de corpo rígido.

Três geometrias diferentes, parametrizadas segundoL e c, são analisadas con-

forme é ilustrado nas Figuras 3.4(a), 3.4(b) e 3.4(c). Os dados para as propriedades


do material são apresentados a seguir, sem a adoção de unidades, conforme aparecem

em LEE; BATHE (1993):

• Módulo de ElasticidadeE = 1, 0 · 107;

• coeficiente de Poissonν = 0, 3;

• espessurat = 1, 0;

Também em LEE; BATHE (1993) são fornecidas as seguintes expressões analíti-

cas para as funções de deslocamentos:

ux =1

E

(120

cLx2y − 92

cLy3 − 60

Lx2 − 240

cxy +

138

Ly2 + 120x− 46c

Ly

)(3.28)

uy =1

E

(− 40

cLx3 − 36

cLxy2 +

120

cx2 +

36

Lxy +

36

cy2 +

46c

Lx− 36y

)(3.29)

Para as três geometrias, diversos tipos de malha são propostas, como mostram as

Figuras 3.5(a) até 3.5(f), através das quais são estudados os efeitos de dois tipos de

distorção:

• angular - malhas das Figuras 3.5(a), 3.5(b) e 3.5(c);

• devido à curvatura de uma face do elemento - malhas das Figuras 3.5(d), 3.5(e),

3.5(f) e 3.5(g).

Nas análises realizadas com o MEFG através das malhas V e VII foi empregado,

para descrever a geometria curva da face dos elementos, o método das “funções de

mistura” (blending function method). Esta estratégia bastante utilizada na versãop

do MEF, é proposta por GORDON; HALL (1973) e permitinde a representação de

diferentes tipos de contornos sem que seja necessária a utilização de uma grande quan-

tidade de elementos. Basicamente, consiste em se introduzir no mapeamento das co-

ordenadas físicas dos elementos com relação ao elemento mestre uma expressão para

a forma curva considerada.

O emprego das “funções de mistura” torna o integrando de (3.24) não-polinomial

e, por isso, a integração numérica é realizada com5 × 5 pontos de Gauss-Legendre,

no caso das análises com as malhas V e VII. Para as demais análises foram adotados

3× 3 pontos para a quadratura numérica.

Na Tabela 3.6, encontram-se os resultados obtidos através das análises feitas com

o MEFG e os respectivos graus de liberdade (NGL) antes de se considerar os víncu-

los nodais. Estes resultados são confrontados com os apresentados em LEE; BATHE


(a) Malha I

(b) Malha II

(c) Malha III

(d) Malha IV (e) Malha V

x(y) = 10− 8y10

(1− y

10

)

(f) Malha VI (g) Malha VII

y(x) = 10− 8x10

(1− x

10

)

Figura 3.5: Discretizações propostas


(1993) para o MEF isoparamétrico, com interpolações cúbicas Serendípeta e Lagrangi-

ana. A solução analítica para o problema da Figura 3.4(a) éuy(100, 0) = 8,046 · 10−3,

para o da Figura 3.4(b) éuy(20, 0) = 3,660 · 10−4 e para o problema da Figura 3.4(c)

éuy(10, 0) = 1,320 · 10−4.

Para que somente aos efeitos da distorção sejam considerados, a aproximação

adotada para o MEFG deve representar exatamente as soluções (3.28) e (3.29) com

um único elemento não distorcido, malhas I, IV e VI (o mesmo ocorre com as inter-

polações Serendípeta e Lagrangiana, ambas cúbicas). Para isso, a PU definida pelas

funções Lagrangianas bi-lineares, é enriquecida, como estabelecido em (3.19) e (3.20),

em que o vetor de funções de forma associado a cada nóxj é dado por:

ΦTj

def=

Nj 0x− xj

hj

Nj 0y − yj

hj

Nj 0

0 Nj 0x− xj

hj

Nj 0y − yj

hj

Nj

(3.30)(x− xj

hj

)2

Nj 0

(y − yj

hj

)2

Nj 0

0

(x− xj

hj

)2

Nj 0

(y − yj

hj

)2

Nj

sendohj adotado como a maior distância entre o nóxj e os demais nós pertencen-

tes à nuvemωj4. Com tal enriquecimento, as funções de aproximaçãoΦ resultantes

geram um espaço de polinômios equivalente ao obtido com as aproximações Seren-

dípetas cúbicas (em elemento regular), ou seja, o espaçoP3 conforme se descreve no

apêndice D.

Interpolação SerendípetaInterpolação Lagrangiana MEFGMalha 12 nós 16 nós 4 nós

NGL uy NGL uy NGL uy

1 24 8,046 · 10−3 32 8,046 · 10−3 40 8,046 · 10−3

2 40 3,444 · 10−3 56 8,046 · 10−3 60 8,046 · 10−3

3 64 0,585 · 10−3 104 8,046 · 10−3 80 8,046 · 10−3

4 24 3,660 · 10−4 32 3,660 · 10−4 40 3,660 · 10−4

5 40 3,534 · 10−4 56 3,659 · 10−4 60 3,653 · 10−4

6 24 1,320 · 10−4 32 1,320 · 10−4 40 1,320 · 10−4

7 36 1,320 · 10−4 56 1,314 · 10−4 60 1,306 · 10−4

Tabela 3.6:Resultados para o MEF de LEE; BATHE (1993) e MEFG

4Outro procedimento poderia ser adotado para se definirhj , inclusive definindo-se valores diferentesnas direçõesx ey, como é sugerido na expressão (2.15) para o Método das Nuvenshp


Os resultados obtidos permitem mostrar o excelente desempenho das aproxima-

ções construídas pelo MEFG. Assim como no MEF com interpolação Lagrangiana, no

MEFG a distorção angular não compromete a aproximação, obtendo-se, exatamente,

a solução analítica. A presença de elementos com faces curvas perturba um pouco os

resultados, mas ainda assim podem ser considerados bastante bons, especialmente se

comparados aos obtidos para o caso da interpolação Serendípeta.

Em BATHE (1996), mostra-se que os elementos Serendípetos com 12 nós ao

apresentar distorção angular deixam de representar exatamente polinômios completos

de grau 3, restringindo-se, apenas, aos polinômios lineares. Esta deficiência resulta

do mapeamento das funções de forma que são definidas para o elemento mestre, qua-

drangular, devendo ser mapeadas para as coordenas físicas do problema. Devido à

distorção angular dos elementos empregados na discretização, o mapeamento deixa

de ser linear e a aproximação é empobrecida ao ser descrita nas coordenadas físicas.

Com os elementos Lagrangianos de 16 nós, também ocorre uma penalização com re-

lação à capacidade de reproduzir os mesmos polinômios originalmente representados

no elemento mestre. A dimensão do espaço definido pelas interpolações Lagrangia-

nas é, contudo, bem superior à dimensão do espaço das interpolações Serendípetas.

Por essa razão, a penalização proveniente da distorção angular não chega a impedir

que as aproximações sejam capazes de representar exatamente polinômios completos

até o terceiro grau. Explica-se, assim, diferença dos resultados obtidos para as duas

formas de aproximação com o MEF. No MEFG, apenas as funções bi-lineares da PU

são construídas no elemento mestre. As funções utilizadas para o enriquecimento da

aproximação, (2.15), são descritas diretamente nas coordenadas físicas do problema,

permitindo-se que a capacidade de representação de polinômios completos até o grau

3 não seja penalizada com o mapeamento.

O polinômio completo de maior grau que a aproximação pode representar de

forma exata determina, para problemas de solução suave, a taxa de convergência do

método, SZABÓ; BABUŠKA (1991). Como no MEFG apesar da distorção da malha

ainda assim a aproximação continuou a produzir de forma exata polinômios cúbicos

completos é de se esperar que as aproximações não tenham a convergência pertur-

bada. Adquire-se, portanto, uma certa independência da malha de elementos graças

à estratégia de enriquecimento. Esta observação deve ser, contudo, considerada com

bastante cautela. A independência total da malha encontrada neste exemplo para o

caso da distorção angular, deve-se ao fato de que a solução exata também é polino-


mial. Por essa razão, como a aproximação do MEFG utilizada continua reproduzindo

exatamente polinômios cúbicos completos, seja qual for o grau de distorção angular

dos elementos, obtém-se a própria solução exata. Entretanto, se os polinômios repro-

duzidos pela aproximação não são capazes de representar a resposta do problema, o

erro encontrado pode ser ampliado em função do grau de distorção da malha. Para ex-

plicar esse fato deve-se recorrer às estimativas de erro “a priori” da aproximação com

o MEFG, discutidas no apêndice E. A taxa de convergência, contudo, não é penalizada

pois, como já comentado, não há perda de termos dos polinômios representados pelas

funções de forma enriquecidas. A independência com relação à malha no MEFG deve,

portanto, ser relativizada e interpretada como se referida à sua taxa de convergência.

Por último, algum comentário deve ser registrado com relação ao número de

graus de liberdade exigido nas análises realizadas com as três primeiras malhas. Para

um único elemento, malha I, o número de funções de forma do MEFG é superior ao

utilizado no MEF com interpolação Lagrangiana, enquanto que essa situação inverte-

se para a malha III. A explicação é bastante simples e está relacionada à maneira com

que as funções de forma são definidas no MEFG, associadas exclusivamente aos nós.

Sendo assim, cada grau de liberdade é compartilhado por todos os elementos perten-

centes à nuvem correspondente. No MEF com interpolação Lagrangiana por sua vez,

os nós internos pertencem a um único elemento e os nós de face são compartilhados

por dois elementos no máximo. Este fato pode vir a compensar a maior quantidade de

funções definidas para um elemento no MEFG, fazendo com que, no somatório geral

em malhas de vários elementos, as aproximações possam ser descritas com um menor

NGL do que no MEF. Este fato depende é, claro, do número de elementos por nuvem.

Em análises tri-dimensionais com elementos tetraédricos, por exemplo, esse efeito é

mais acentuado, como se observa em DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000).

3.2.2 Chapa com Orifício

A chapa, cuja a geometria é mostrada na Figura 3.6(a) encontra-se submetida a

uma tensão uniformeσ∞ a uma distância razoavelmente grande do seu orifício. A aná-

lise via MEFG foi realizada para o domínioABCDE, Figura 3.6(b), para um quarto

da região correspondente à vizinhança do orifício. As condições de contorno essenciais

reproduzem a simetria do problema. Para sua imposição é necessário que, não apenas

os deslocamentos nodais, como também os parâmetros das funções enriquecidas que

contribuem para o deslocamento ao longo das faces dos elementos coincidentes com


o contorno de Dirichlet sejam anulados. Por sua vez, as condições de contorno de

Neumman são representadas pela seguinte distribuição de tensões, obtida da solução

elástica clássica, TIMOSHENKO; GOODIER (1980):

σx = σ∞

[1− a2

r2

(3

2cos 2θ + cos 4θ

)+

3a4

2r4cos 4θ

](3.31)

σy = σ∞

[−a

2

r2

(1

2cos 2θ − cos 4θ

)− 3a4

2r4cos 4θ

](3.32)

τxy = σ∞

[−a

2

r2

(1

2sen2θ + cos 4θ

)+

3a4

2r4cos 4θ

](3.33)

que produz o campo de deslocamentos descrito a seguir:

ux =σ∞a

8G

r

a(κ+ 1) cos θ +

2a

r[(1 + κ) cos θ + cos 3θ]− 2a3

r3cos 3θ

(3.34)

uy =σ∞a

8G

r

a(κ− 3) senθ +

2a

r[(1− κ) senθ + sen3θ]− 2a3

r3sen3θ

(3.35)

ondeκ é um parâmetro que depende do coeficiente de Poisson e é definido como:

κdef=

3− 4ν para Estado plano de deformação3− ν

1 + νpara Estado plano de tensão

(3.36)

eG é o módulo de elasticidade transversal:

G =E

2(1 + ν)(3.37)

Para a análise foi considerado o estado plano de deformação comν = 0,3 eE = 1,0

MEF,SZABÓ; BABUŠKA (1991) MEFGp NGL UpE/σ

2∞a

2t E%(%) NGL UpE/σ2∞a

2t E%(%)

1 8 7,36762 20,59 8 7,36763 20,592 20 7,54738 13,79 28 7,55896 13,233 32 7,62008 9,78 48 7,63790 8,514 48 7,65904 6,71 80 7,67227 5,275 68 7,67875 4,40 124 7,68941 2,356 92 7,68805 2,70 180 7,69229 1,337 120 7,69165 1,61 - - -8 152 7,69295 0,95 - - -

Tabela 3.7:Resultados comparativos para a energia de deformação normalizada, entre o MEF,SZABÓ; BABUŠKA (1991) e o MEFG,

(UpE/σ

2∞a

2t). Solução analítica exata

normalizada de SZABÓ; BABUŠKA (1991)UE/σ2∞a

2t = 7, 69365.


(a) Geometria

(b) Discretização

Figura 3.6: Chapa com orifício


A malha de elementos da Figura 3.6(b) foi empregada para definir a PU, sobre a

qual foram realizados diversos níveis de enriquecimento polinomialp, de tal maneira

que a aproximaçãoup obtida, conforme representação em (3.19), gerasse o espaçoPp.

No que se refere à curvatura do contornoEA, essa foi considerada empregando-se,

para o mapeamento, o método das “funções de mistura”.

Na Tabela 3.7, os resultados para energia de deformação aproximadaUp, ob-

tidos com o MEFG, são contrapostos aos obtidos em SZABÓ; BABUŠKA (1991)

com o MEF hierárquico. Cada linha da Tabela corresponde a uma diferente ordem

de aproximaçãop do espaçoPp. NGL corresponde, neste exemplo, ao número de

graus de liberdade da discretização após a imposição dos vínculos nodais. Na coluna

E%, encontram-se os erros relativos da solução aproximada de cada análise, definidos

como:

E%def=

||e||U||u||U

100% (3.38)

onde são utilizadas as seguintes normas de energia:

||e||Udef=

√B(u− up,u− up) =

√2U− 2Up (3.39)

||u||Udef=

√B(u,u) =

√2U (3.40)

Para comparar a convergência de ambos os métodos, são utilizados dois gráficos

em que o erro relativo é contraposto à ordem polinomial, Figura 3.7(a), e ao número de

graus de liberdade, Figura 3.7(b). Nota-se uma razoável equivalência entre as análises.

Este fato já era esperado, pois, também no MEF hierárquico, representa-se para cada

ordemp o mesmo espaço polinomial do tipoPp representado no MEFG. Dado o grande

número de graus de liberdade redundantes introduzidos pelo MEFG, seu desempenho

mostrou-se levemente inferior no gráfico da Figura 3.7(b) . Tal diferença, contudo,

é muito pequena, se comparada às vantagens de implementação do método e outros

fatores que serão averiguados posteriormente. Além disso, como já foi observado na

seção 3.2.1, com a presença de um maior número de elementos, a tendência é que

sejam necessários menos graus de liberdade para a mesma aproximaçãop.

3.2.3 Cisalhamento de uma Chapa

O problema a seguir, encontra-se representado na Figura 3.8(a) e corresponde a

uma chapa em estado plano de deformação sujeita às seguintes condições de contorno:


-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

MEFMEFG

(a) Quanto ap

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

MEFMEFG

(b) Quanto ao NGL

Figura 3.7: Gráficos comparativos MEF x MEFG

• deslocamento verticaluy = 0 ao longo dos ladosFG eEC;

• deslocamento horizontalux = −1mm ao longo do ladoFG;

• deslocamento horizontalux = 1mm ao longo do ladoEC;

A chapa encontra-se, portanto, solicitada por cisalhamento. Apenas o primeiro qua-

drante foi considerado e a discretização adotada está representada na Figura 3.8(b).

Para o módulo de elasticidade adotou-se,E = 1 MPa e o valor dea = 2m.

ν = 0, 3 ν = 0, 4999p Up E% Up E%

1 0,1411 28,23 0,1665 55,772 0,1328 12,81 0,1421 34,493 0,1325 11,73 0,1418 34,114 0,1316 8,53 0,1323 20,405 0,1312 6,40 0,1298 14,876 0,1310 5,04 0,1288 11,84

Tabela 3.8:Análises pelo MEFG enriquecido polinomialmente. Paraν = 0,3000 tem-seU =0,130680N×mm e paraν = 0,4999, U = 0,127035N×mm, DUARTE (1991).

Duas análises com enriquecimento polinomialp, da mesma forma que na seção

3.2.2, foram realizadas variando-se os valores do coeficiente de Poisson,ν = 0,3


(a) Geometria (b) Discretização

Figura 3.8: Estudo quanto ao travamento de Poisson

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Figura 3.9: Análise quanto ao travamento de Poisson

e 0,499 9. Os resultados para estas análises, quanto à energia de deformaçãoUp

encontram-se reunidos na Tabela 3.85 e Figura 3.9. Para ambos os valores deν não

ocorreu alteração quanto à taxa de convergência, não havendo, portanto, interferência

do travamento. Observou-se, contudo, uma diferença na posição das curvas, ou seja,

paraν = 0,4999 os resultados estão sempre acima daqueles obtidos para um mesmo

p comν = 0,3000, análoga à encontrada para o MEF hierárquico, como é verificado,

por exemplo, em DUARTE (1991).

5Para esse problema, como a estrutura é submetida a deslocamentos impostos, à medida que suaaproximação é melhorada, tornando-se mais flexível, as tensões resultantes são reduzidas. Como con-seqüência, ocorre uma diminuição da energia de deformação interna, mas o princípio da estacionaridadeda energia potencial permanece válido.


3.2.4 Chapa em L

Neste problema, procura-se mostrar como a estratégia de enriquecimento utili-

zada no MEFG pode simplificar bastante a análise de problemas com a presença de

singularidades. Para isso, considera-se a chapa em forma de L da Figura 3.10(a), soli-

citada ao longo dos ladosAB,BC, EF eFA pelo seguinte campo de tensões:

σx = A1λ1rλ1−1 [2−Q1 (λ1 + 1)] cos (λ1 − 1) θ − (λ1 − 1) cos (λ1 − 3) θ (3.41)

σy = A1λ1rλ1−1 [2 +Q1 (λ1 + 1)] cos (λ1 − 1) θ + (λ1 − 1) cos (λ1 − 3) θ (3.42)

τxy = A1λ1rλ1−1 (λ1 − 1) sen(λ1 − 3) θ +Q1 (λ1 + 1) sen(λ1 − 1) θ(3.43)

que produz deslocamentos nas direçõesx ey dados por:

ux =A1

2Grλ1 [κ−Q1 (λ1 + 1)] cosλ1θ − λ1 cos (λ1 − 2) θ (3.44)

uy =A1

2Grλ1 [κ+Q1 (λ1 + 1)] senλ1θ + λ1sen(λ1 − 2) θ (3.45)

onde:

• A1 é uma constante equivalente ao fator de intensidade de tensões no modo I em

mecânica da fratura elástica;

• λ1 = 0, 544483737 eQ1 = 0, 543075579 são constantes determinadas para que

as soluções (3.44) e (3.45) satisfaçam tanto o equilíbrio quanto as condições de

tensão nula ao longo dos ladosCD eDE;

• considera-se a condição de estado plano de deformação e, por isso,κ = 3− 4ν;

Maiores detalhes sobre a obtenção das expressões para o campo de tensões de

deslocamento podem ser encontradas, por exemplo, em SZABÓ; BABUŠKA (1991).

Um aspecto relevante da chapa em questão, e explicado por sua forma geomé-

trica característica, é a elevada concentração de tensões na vizinhança do pontoD. O

campo de tensões é, na verdade, singular, o que penaliza a taxa de convergência dos

métodos que se utilizam do enriquecimento polinomial para aproximar a solução. Para

ilustrar esse fato, uma seqüência de aproximações polinomiais,up, são empregadas da

mesma forma que na seção 3.2.2. A malha utilizada para definir a PU é descrita na

Figura 3.10(b). Os resultados referentes à energia de deformação e ao erro relativoE%,

para cada nível de refinamento polinomial são apresentados na Tabela 3.9, sob a de-

nominação de Seqüência I. Para confrontação, são também apresentados os resultados


(a) Geometria (b) Seqüência I

(c) Seqüência II (d) Seqüência III

Figura 3.10: Chapa em L - geometria e malhas utilizadas nas seqüências de refinamento con-sideradas


das análises de SZABÓ; BABUŠKA; CHAYAPATHY (1989) para o MEF hierárquico

com a mesma seqüência de refinamento. No gráfico da Figura 3.11 exibe-se a curva

que relaciona o erroE% com o NGL empregado. Observa-se uma convergência algé-

brica para as análises realizadas com os dois métodos. A convergência exponencial,

típica dos refinamentos polinomiais, é portanto penalizada devido a singularidade no

campo de tensões, SZABÓ; BABUŠKA (1991).

Para recuperar a taxa exponencial emprega-se uma seqüência de “malhas geomé-

tricas”, SZABÓ; BABUŠKA (1991), reunidas sob denominação de Seqüência II. O

refinamento realizado é do tipohp, em que, juntamente com o refinamentoh graduado

conforme se mostra na Figura 3.10(c), é realizado um enriquecimentop não-uniforme

para o qual, com origem no ponto nodalD, o grau da aproximação aumenta linear-

mente a partir da unidade. Os resultados destas análises são também apresentados na

Tabela 3.9 e gráfico da Figura 3.11, verificando-se sua independência com relação ao

grau de singularidade da solução.

MEF MEFGSeqüência I Seqüência I Seqüência II

NGL Up E% NGL Up E% NGL Up E%

39 3,7702104 30,42 39 3,7702105 30,42 13 3,5024183 39,62103 3,9524576 22,06 123 3,9524575 22,06 41 3,7850141 29,82167 3,9751308 20,78 207 4,0214464 17,90 111 4,0988735 11,57255 4,0334329 17,07 333 4,0590699 15,16 223 4,1471773 4,21367 4,0718450 14,11 501 4,0913034 12,34 391 4,1532979 1,73503 4,0952969 11,94 711 4,1054160 10,87 - - -663 4,1105439 10,29 963 4,1171284 9,49 - - -847 4,1202816 9,08 1257 4,1250942 8,42 - - -

Tabela 3.9:Resultados numéricos comparativos para a energia de deformação normalizada,(UpE/A

21a

2λ1t)

, entre o MEF, SZABÓ; BABUŠKA (1991) e o MEFG. Solução

analítica exata deUE/A21a

2λ1t = 4, 15454423 obtida de SZABÓ; BABUŠKA;CHAYAPATHY (1989)

Uma alternativa interessante de aplicação do MEFG refere-se à utilização das

próprias soluções (3.44) e (3.45) para o enriquecimento da aproximação. Desse modo,

em um nóxj qualquer, a PU, pode ser enriquecida com os seguintes conjuntos de

funções:

Ixj =

1, 1− ux(x)

ux(xj), p1, p2, · · · , pqj(p)

(3.46)

Iyj =

1, 1− uy(x)

uy(xj), p1, p2, · · · , pqj(j)

(3.47)


Observe que o enriquecimento polinomialpi é utilizado juntamente com as novas fun-

çõesux e uy. As aproximações nas direçõesx e y são, portanto, obtidas conforme a

expressão (2.31):

ux(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uxj +

qj(p)∑i=1

pibxji +

[1− ux(x)

ux(xj)

]dx

j

(3.48)

uy(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uyj +

qj(p)∑i=1

pibyji +

[1− uy(x)

uy(xj)

]dy

j

(3.49)

ondedxj edy

j são parâmetros associados às novas função não polinomiais introduzidas

ao enriquecimento.

Nota-se que, no caso de se enriquecer diretamente com as funções (3.44) e (3.45),

as aproximações em um pontoxj, por exemplo, seriam definidas como:

ux(xj) = uxj + ux(xj) d

xj (3.50)

uy(xj) = uyj + uy(xj) d

yj (3.51)

os parâmetrosuxj e uy

j perderiam o significado físico de deslocamentos nodais e, por

isso, não haveria como se impor diretamente as condições de contorno essenciais no

ponto nodalxl. Para evitar a aplicação do Método dos Multiplicadores de Lagrange,

como na seção 2.3 para os métodos sem malha, optou-se por modificar as funções

(3.44) e (3.45), introduzindo-as da maneira descrita em (3.48) e (3.49). Dessa maneira,

os parâmetros nodaisuxj e uy

j voltam a corresponder diretamente aos deslocamentos,

permitindo com que as condições de contorno sejam impostas diretamente. Este arti-

fício em nada prejudica a qualidade da solução como poderá ser mostrado através dos

resultados numéricos apresentados a seguir.

Duas seqüências de aproximações, variando-se o enriquecimento polinomialp,

foram utilizadas para ilustrar a estratégia acima descrita. Em todas elas a PU é definida

sobre a malha da Figura 3.10(d). Na primeira delas, referenciada como IIIa, apenas

o nóD é enriquecido com o conjunto de funções (3.46) e (3.47), enquanto que na

segunda, denominada Seqüência IIIb, todos os nós são enriquecidos. Os resultados de

tais análises encontram-se reunidos na Tabela 3.10 e gráfico da Figura 3.11.

A partir dos resultados apresentados, observa-se que as taxas de convergências

obtidas com os enriquecimentos especiais, (3.46) e (3.47), superam os resultados das

malhas geométricas. Para o caso da Seqüência IIIb a solução é praticamente a exata


MEFGSeqüência IIIa Seqüência IIIb

NGL U E% NGL U E%

14 3,9341859 23,03 21 4,1545434 0,0446 4,1328609 7,22 61 4,1545434 0,0478 4,1466355 4,36 93 4,1545434 0,04126 4,1522908 2,33 133 4,1545434 0,04190 4,1534645 1,61 197 4,1545434 0,04

Tabela 3.10:Resultados para a energia de deformação,(UE/A2

1a2λ1t

), através do

MEFG. Solução analítica exata, SZABÓ; BABUŠKA; CHAYAPATHY (1989)UE/A2

1a2λ1t = 4, 15454423

desde o início do refinamentop. Este fato já era esperado, pois a própria solução

exata está sendo empregada em todo o domínio, e não apenas para eliminar o efeito da

singularidade. O pequeno erro encontrado para esse caso é proveniente da imprecisão

na integração numérica comentada no próximo parágrafo.

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,01,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

MEF - Seqüência IMEFG - Seqüência IMEFG - Seqüência IIMEFG - Seqüência IIIaMEFG - Seqüência IIIb

Figura 3.11: Análises para diversos tipos de refinamento


A integração numérica torna-se um ponto importante para os enriquecimentos

com funções não-polinomiais realizados para problemas desse tipo. Quando são uti-

lizadas funções com elevados gradientes, a quadratura de Gauss torna-se insuficiente

para se aproximar exatamente a integral procurada. Procedimentos adaptativos de in-

tegração numérica devem, então, ser empregados, como é observado, por exemplo,

em DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000). Em particular, no trabalho de STROU-

BOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000), sugere-se o algoritmo DECUHR introduzido

em ESPELID (1994), baseado em sub-divisões não-uniformes do elemento finito, na

direção do ponto em que se encontra a singularidade. Para o presente trabalho, nenhum

desses procedimentos foram implementados. Dessa forma, uma elevada quantidade de

pontos de Gauss-Legendre teve que ser utilizada para cada um dos três elementos das

malhas das Seqüências IIIa e IIIb (NG = 50× 50).

3.2.5 Considerações Complementares

A possibilidade de conferir à aproximação o comportamento de uma função sin-

gular abre caminho para estudos no campo da Mecânica da Fratura Elástica.

Recentemente, o grupo de Belytshcko, desenvolvedor do MGLE, re-direcionou

os estudos para o enriquecimento da PU, obtida pelo MEF, com funções que simu-

lam o campo de tensões ao redor da trinca. Em BELYTSCHKO; BLACK (1999) e

MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999) denomina-se essa estratégia de Método

dos Elementos Finitos Extendido, MEFX (Extended Finite Element Method- XFEM).

Tal abordagem é, contudo, equivalente à proposta em MELENK; BABUŠKA (1996)

e ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ (1998) e que, mais tarde, originou o MEFG.

Como contribuição, podem ser destacadas as estratégias criadas para se considerar a

propagação da trinca, DOLBOW (1999), MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999)

e STOLARSKA (2001).

Em STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000), por sua vez, referencia-se di-

retamente o MEFG, e uma abordagem bastante genérica é apresentada para introdução

de vazios e descontinuidades no meio, sem que a malha de elementos seja alterada. Já

em DUARTE (2001), o MEFG é empregado para simular a propagação dinâmica de

trinca em um meio sob representação tri-dimensional. Funções especiais, a exemplo

do que foi utilizado na seção 3.2.4, são adotadas para aproximar o campo de tensões ao

redor da trinca. Para que a propagação da fratura possa ser simulada sem alterações na

malha de elementos, funções de Shepard são combinadas com as funções Lagrangianas


na construção da PU.

Estratégias para a aplicação do MEFG em problemas da Mecânica da Fratura

Elástica já se encontram, portanto, em franco desenvolvimento. Um caminho ainda

não explorado corresponde ao estudo da propagação de fratura em meios com dano.

Nesse contexto, ocorre um abatimento da concentração de tensões na extremidade da

trinca devido à formação de uma zona de processo. Outro ponto de interesse consiste

na simulação da transição entre a formação e distribuição de micro-fissuras e o surgi-

mento da trinca macroscópica. Através do MEFG, torna-se bastante simples modificar

a descrição da solução durante a análise, pois o enriquecimento não introduz nenhum

nó adicional. Dessa forma, a análise pode ser realizada com o enriquecimento poli-

nomial para a fase em que o dano é o processo dominante e, no instante de transição

para a fratura, novas funções podem ser introduzidas. A ferramenta numérica talhada

para esse tipo de aplicação existe, portanto. Resta, contudo, que seja adaptada para

tal. Neste trabalho, procura-se estabelecer as bases para tal desenvolvimento. An-

tes, porém, é necessário que alguns conceitos da Mecânica do Dano Contínuo sejam

introduzidos.

54

Capítulo 4

Modelo Constitutivo

A teoria do dano tem como domínio de estudo os fenômenos de deterioração

incidentes sobre o material, compreendidos entre o que seria um estado virgem, sem

a presença de imperfeições, e a formação das primeiras trincas macroscópicas. Tais

fenômenos abrangem o processo de ”nucleação” e crescimento de cavidades e de trin-

cas microscópicas, distribuídas ao longo do volume e da superfície do material. A

Mecânica do Dano Contínuo procura descrever o processo de danificação do material

real a partir do comportamento mecânico macroscópico de um meio equivalente con-

siderado contínuo. Para isso, introduzem-se variáveis para quantificar a deterioração

desse meio e que penalizam suas propriedades elásticas. Detalhes sobre a Mecânica

do Dano Contínuo, fundamentada hoje na termodinâmica dos processos irreversíveis,

podem ser encontrados em KRAJCINOVIC; LEMAITRE (1987), LEMAITRE; CHA-

BOCHE (1990) e LEMAITRE (1992).

Existem atualmente, dentro da Mecânica do Dano Contínuo, diversos modelos

matemáticos que se aplicam à simulação do comportamento físico não-linear de es-

truturas em concreto. Nas próximas seções, após discorrer sobre alguns conceitos

fundamentais, são apresentados dois desses modelos constitutivos conhecidos como

Modelo de Mazars e Modelo de La Borderie1. Tais modelos foram utilizados neste

trabalho devido à sua simplicidade e aplicabilidade aos tipos de problemas estudados.

Para o caso particular das análises realizadas relativamente a estados planos de tensão

e de deformação, apenas o Modelo de Mazars, em sua formulação não-local, foi em-

pregado. Alguns detalhes de tal formulação, bem como a razão para seu emprego são

abordados ao final deste capítulo.

1Ambos os modelos são conhecidos pelo nome dos pesquisadores que os propuseram, MAZARS(1984) e LA BORDERIE (1991)

Capítulo 4. Modelo Constitutivo 55

4.1 Conceitos da Mecânica do Dano Contínuo

Não é o objetivo deste trabalho aprofundar-se nos fundamentos da Mecânica do

Dano Contínuo, mas alguns de seus conceitos merecem ser registrados para uma me-

lhor compreensão dos modelos constitutivos adotados para as análises numéricas. São

eles:

• elemento de volume representativo;

• tensão efetiva;

• princípio da deformação equivalente.

O elemento de volume representativo é definido como uma região do material

grande o suficiente para representar a média dos micro-processos presentes e não tão

pequena para que, assim, as equações da Mecânica do Contínuo mantenham seu signi-

ficado, LEMAITRE (1992), Figura 4.1.

Figura 4.1: Elemento de volume representativo

Tomando-se um ponto no interior do volume representativo, o estado de deterio-

ração, segundo uma dada direção definida pelo versor~n, é quantificado pela variável

Dn, através da razão:

Dn =δSD

δS(4.1)

ondeδS é a área da interseção entre o elemento e o plano normal a~n no ponto. JáδSD

representa a parcela deδS que corresponde aos vazios ou descontinuidades geométri-

cas. Dessa maneira, definem-se:

• Dn = 0 ⇒ elemento de volume íntegro;

• Dn = 1 ⇒ elemento de volume totalmente danificado.


Considera-se, agora, que o elemento de volume esteja solicitado na direção~n

por uma forçaF , de tal maneira que nesta direção tenha-se a tensão nominal dada por

σ = F/δS. Se no lugar deδS for usada a área que realmente resiste à solicitação,

δS − δSD, obtém-se a tensão efetiva presente em um ponto da parte íntegra deδS:

σef =F

δS − δSD

(4.2)

O princípio da deformação equivalente estabelece que o estado de deformação

em qualquer ponto do meio danificado, segundo a direção~n, possa ser obtido pela

deformação elástica da parte íntegra, LEMAITRE; CHABOCHE (1990). Isto significa

que, para o elemento de volume representativo descrito acima, é possível calcular a

deformaçãoε como:

ε =σef

E0

=σ

E0(1−Dn)(4.3)

sendoE0 o módulo de elasticidade da parte íntegra.

Nota-se que o princípio da deformação equivalente permite com que a tensão

nominal (σ) possa ser empregada para qualquer estado de deterioração, bastando que

se penalize o módulo de elasticidade pela grandeza1 − Dn. No caso geral de so-

licitação multi-axial, o dano e sua lei de evolução adquirem direções preferenciais

segundo a orientação de~n. Dentro de certos limites, porém, pode-se adotar a hipótese

de homogeneidade do processo de danificação, o que torna o problema muito simples

uma vez que em todas as direções a medida da danificação será a mesma, ou seja:

Dn = D, ∀ ~n.

4.2 Modelo de Mazars

Comparado aos demais modelos empregados para o concreto, o modelo de Ma-

zars apresenta como vantagem sua simplicidade e um número relativamente pequeno

de parâmetros a identificar. O estado de danificação local é representado pela variável

escalar de danoD, o que é suficiente para representar, de modo satisfatório, o compor-

tamento do concreto sob solicitações especiais. As hipóteses básicas do modelo são as

seguintes:

• o concreto em processo de dano evolutivo é considerado como um meio elás-

tico sem deformações residuais, Figura 4.2(b), diferentemente do que se obtém

experimentalmente, Figura 4.2(a);


• apenas as extensões, nas direções principais de deformação, contribuem para a

formação e evolução real do dano;

• o carregamento é proporcionalmente crescente (radial);

• o dano preserva a isotropia inicial do meio;

• o processo de danificação inicia-se localmente quando a grandeza denominada

deformação equivalente, e representada porεeq, for superior a um certo valor de

referênciaεd0.

(a) Comportamento real (b) Modelo de Mazars

Figura 4.2: Relação constitutiva

O danoD penaliza diretamente a rigidez elástica do material e a relação consti-

tutiva do modelo é expressa através da hipótese de deformações equivalentes. Resu-

mindo, o modelo de Mazars leva à seguinte relação secante para o caso de carrega-

mento proporcional:

σ = (1−D)C0ε (4.4)

em queC0 corresponde à matriz das propriedades elásticas do material íntegro, que

estabelece a relação constitutiva entre os campos de tensão e deformação em sua forma

compacta de representação vetorial.

Segundo a abordagem de PEREGO (1989), a variávelD é definida através da

combinação linear:

D = αTDT + αCDC (4.5)


em queDT eDC representam o dano associado a estados uni-axiais de tração e com-

pressão respectivamente, dados por:

DT = 1− εd0(1− AT )

εeq

− (1− AT )

eBT (εeq−εd0); DC = 1− εd0(1− AC)

εeq

− (1− AC)

eBC(εeq−εd0)

onde:

• AT , BT , AC eBC são parâmetros característicos do material e que podem ser

identificados em ensaios uni-axiais, ÁLVARES (1993);

• αT eαC são coeficientes obtidos a partir do estado de deformação em cada ponto

do corpo, tendo-se sempreαT + αC = 1. Naturalmente, para a tração pura

αT = 1 e para a compressão puraαC = 1;

• εeq =√〈ε1〉2+ + 〈ε2〉2+ + 〈ε3〉2+ é denominada deformação equivalente obtida

em função da parte positiva das componentes de deformações principais. Sendo

〈·〉+ = 1/2(·+ | · |);

• εd0 é um valor de referência para a deformação equivalente, característico do

material, acima do qual ocorre o início da danificação. Por analogia a esse pa-

râmetro, define-seεd, variável que governa a evolução do dano. Em cada ponto

do material, tem-se, inicialmente,εd = εd0. À medida que a deformação equiva-

lente ultrapassa esse valor em algum ponto, a variávelεd passa a ser atualizada

com tal deformação.

Em sua formulação em taxas, a relação constitutiva passa a ser expressa por:

σ = (1−D)C0ε− DC0ε (4.6)

A taxa de dano expressa em função da taxa de deformação envolve, entretanto,

uma expressão complexa, gerando uma matriz de rigidez não-simétrica para uso na

aproximação de Galerkin do PVC, apêndice A. Por essa razão, e já tendo-se em vista

o procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson, seção 5.2.1, para a solução

do PVC, utiliza-se a formulação secante dada por:

∆σ = (1−D)C0∆ε (4.7)

ou seja:

∆σ = C∆ε (4.8)


sendo:

C = (1−D)C0 (4.9)

4.3 Modelo de La Borderie

Estruturas cujo o material é o concreto fissuram quando tracionadas. Apresen-

tam, porém, a propriedade de recuperar a rigidez, caso o carregamento presente seja

invertido, COMI (2000). Este aspecto, bastante peculiar, é denominado “efeito uni-

lateral” e pode ser explicado, conforme descrito em seguida, à partir do mecanismo

de deterioração do meio. Sob solicitação, surgem, no concreto, micro-fissuras perpen-

dicularmente às direções de alongamento, produzindo, como resposta macroscópica,

uma perda de rigidez da estrutura. Com a inversão do sinal da solicitação, tais fissuras

tendem a se fechar e, como conseqüência, ocorre o fenômeno de enrijecimento. No

modelo de Mazars, tal fenômeno não é considerado e, por isso, sua aplicação não é

indicada nos casos de solicitações de carregamento cíclico.

Em LA BORDERIE (1991) é sugerido um modelo adequado à simulação do

“efeito unilateral”, através da introdução de duas variáveis,D1 eD2, relacionadas aos

danos de tração e compressão respectivamente. Diferentemente do modelo de Mazars,

estas variáveis não são combinadas, e seu processo de evolução é definido através

do controle sobre o sinal das tensões principais. Descreve-se assim, com sucesso, o

fenômeno do fechamento e abertura das fissuras simulando-se o “efeito unilateral” do

concreto.

A apresentação do modelo é feita através da abordagem do método do estado lo-

cal, descrito em LEMAITRE; CHABOCHE (1990), partindo-se do seguinte potencial

de estado dado pela energia livre de Gibbsχ:

χ =(〈Σ〉+ · 〈Σ〉+)

2E(1−D1)+

(〈Σ〉− · 〈Σ〉−)

2E(1−D2)+ν

E

[(Σ ·Σ)− Tr2(Σ)

]+

(4.10)β1D1

E(1−D1)fd(Tr(Σ)) +

β2D2

E(1−D2)Tr(Σ) +G1(z1) +G2(z2)

em queν é o coeficiente de Poisson,〈Σ〉+ e 〈Σ〉− representam as partes positiva e

negativa do tensor de tensõesΣ, Tr(Σ) = Σii, β1 e β2 são parâmetros do material

relacionados à formação de deformações residuais,G1(z1) e G2(z2) são funções de

encruamento dez1 e z2 (medidas de dano acumulado) efd é uma função que assume


valores de acordo com as condições de abertura e fechamento das micro-fissuras, sendo

definida por:

fd(Tr(Σ))def=

Tr(Σ) quando Tr(Σ) ∈ (0,+∞][

1 +Tr(Σ)

2σf

]Tr(Σ) quando Tr(Σ) ∈ (−σf , 0]

−σf

2Tr(Σ) quando Tr(Σ) ∈ (−∞,−σf ]

(4.11)

sendoσf a tensão de fechamento das micro-fissuras.

O tensor de deformaçõesE pode ser obtido derivando-se o potencial (4.10) com

relação as tensõesΣ:

E =∂χ

∂Σ(4.12)

Em problemas bi-dimensionais de estado plano, por questão de simplicidade,

os tensoresΣ e E podem ser substituídos pelas formas vetoriais compactasσ e ε.

Adotando-se tal representação em (4.10), o vetor de deformações totaisε pode ser

obtido de maneira idêntica a (4.12):

ε =∂χ

∂σ= εe + εa (4.13)

Observa-se que o campo de deformações é dividido em duas parcelas, uma elásticaεe

e outra anelásticaεa:

εe =〈σ〉+

E(1−D1)+

〈σ〉−E(1−D2)

+ν

E[σ − Tr(σ)] I (4.14)

εa =β1D1

E(1−D1)

∂f(Tr(σ))

∂σ+

β2D2

E(1−D2)I (4.15)

permitindo-se que, diferentemente do modelo de Mazars, deformações residuais de-

correntes do dano sejam consideradas.

As variáveis associadas ao dano são dadas por:

Y1 =∂χ

∂D1

(4.16)

Y2 =∂χ

∂D2

(4.17)


O critério de dano pode ser expresso pelas leisFα = Yα − Zα, α = 1, 2, onde

Zα são as variáveis termodinâmicas associadas às variáveiszα e obtidas da seguinte

forma:

Zα =∂Gα(zα)

∂zα

=

[Yoα

1

Aα

(Dα

1−Dα

)1/Bα]

(α = 1, 2) (4.18)

sendoAα, Bα e Yoα parâmetros do material a serem identificados. Considerando-se,

então, o critérioFα, a evolução do dano pode ser caracterizada como:

Se Yα < Zα ⇒ Dα = 0 resposta elástica-linear

Se Yα = Zα e Yα > 0 ⇒ Dα 6= 0 eDα = 1− 1

1 + [Aα (Yα − Yoα)]Bα

(4.19)

Nas análise não-lineares, emprega-se para a solução do problema a relação cons-

titutiva em sua forma incremental expressa por:

∆σ = (1−Dα)C0∆ε (4.20)

ondeDα é substituído porD1 ouD2, de acordo com campo de tensões atuante. Mai-

ores detalhes a esse respeito podem ser encontrados em LA BORDERIE (1991), ou

mesmo em PAULA (2001) para o caso da implementação do modelo para problemas

uni-dimensionais.

4.4 Abordagem Não-Local

O fenômeno de deterioração do meio que se busca reproduzir pela Mecânica do

Dano Contínuo é, por hipótese, difuso. Esta abordagem contrapõe-se à Mecânica da

Fratura em que se considera uma falha local ou trinca macroscópica. Existe, portanto,

um limite para o campo de aplicação dos modelos de dano, devendo-se observar o

instante em que o fenômeno de ruptura deixa de ser associado apenas à danificação

evolutiva, transformando-se em propagação de uma fratura. A teoria da localização

de deformações, discutida em OLIVER (1995) e MANZOLI; OLIVER; CERVERA

(1998) por exemplo, permite estabelecer uma ligação entre estas duas abordagens.

Alguma discussão a esse respeito é realizada no capítulo 7, no qual se vislumbra, por

meio de uma análise numérica, um interessante caminho a ser trilhado. A atenção


no momento, contudo, restringe-se unicamente à aplicação dos modelos de dano e é

dentro dessa perspectiva que a análise do tipo não-local necessita ser introduzida.

Em COMI (2000), salienta-se que a presença do fenômeno de amolecimento (sof-

tening), induzido pelos modelos de dano, faz com que o problema de valor de contorno

torne-se mal-posto, introduzindo perda de objetividade nos resultados numéricos. Uma

das conseqüências é a dependência da resposta numérica à malha de elementos, DA-

VENNE; SAOURIDIS; PIAU (1989), o que, nos métodos sem malha, corresponderia a

uma dependência ao suporte das funções aproximadoras. Como resultado, quanto me-

nor o suporte dessas funções, menor a região em que o dano tende a ficar confinado,

antecipando a localização de deformações.

A abordagem não-local é uma técnica de regularização que limita a zona de lo-

calização de deformações, fixando uma largura mínima para a concentração do dano.

Consegue-se, assim, dependendo da largura adotada, uma melhor distribuição para o

dano, necessária para que os modelos de dano possam ser aplicados sem perda de ob-

jetividade. Com os exemplos das Figuras 4.3(a) e 4.3(b) procura-se ilustrar a diferença

entre análises realizadas através das abordagens local e não-local respectivamente. Na

Figura 4.3(a) ocorre, para um determinado nível de força, a concentração do dano, por-

que o modelo tende a reproduzir a descontinuidade, representada na curva de resposta

estrutural, decorrente da formação de uma fissura e a conseqüente perda momentânea

da capacidade de carga. Realizando-se a mesma análise, em uma abordagem não-local,

obtém-se uma resposta global equivalente, mas através de um distribuição difusa para

o dano.

(a) Análise local (b) Análise não-local

Figura 4.3: Representação das diferenças entre análise local e não-local. Curvas de forçaF edeslocamento no meio do vãou, com a respectiva distribuição de dano


Um aspecto significante em uma análise não-local é a definição da largura mínima

para a concentração do dano. Este parâmetro está relacionado a um caráter não-local

da deformação devido à heterogeneidade do meio e responsável pela maneira com

que as micro-fissuras se distribuem. Em BAZANT; PIJAUDIER-CABOT (1989), o

parâmetrolc, denominado comprimento característico do material, é introduzido como

grandeza representativa dessa heterogeneidade. Em outras palavras,lc define o volume

representativo do material e, segundo MAZARS; PIJAUDIER-CABOT (1994), é da

ordem de3da, sendoda o “tamanho” do maior agregado no concreto.

Uma maneira de se introduzir o caráter não-local, consiste em se empregar, local-

mente, uma média ponderada das variáveis de dano ou do campo de deformações nas

vizinhanças de um ponto. Adota-se neste trabalho, a média das deformações, conforme

estratégia apresentada em DAVENNE; SAOURIDIS; PIAU (1989) para o modelo de

Mazars.

Assim sendo, como a evolução do dano depende da variávelεeq, essa passa a ser

calculada não mais localmente mas como uma média ponderada,εeq, dos valores que

assume em uma vizinhança,V (rnl) de raiornl ≈ 0,5 lc, correspondente ao elemento

de volume representativo do material. Fisicamente, tal abordagem mostra-se mais co-

erente, uma vez que a danificação local é governada pelos mecanismos presentes em

uma determinada região representativa do meio.

Dessa forma, tem-se:

εeq(xi) =

∫V (rnl)

g(x− xi)εeq(x)dV

∫V (rnl)

g(x− xi)dV(4.21)

sendog(x) uma função de ponderação que deve assumir o valor unitário emx = xi.

Nas análises numéricas adotou-se a seguinte função exponencial:

g(x− xi) =

e−

(2(x−xi)

rnl

)2

parax− xi ≤ rnl

0 parax− xi > rnl

(4.22)

A implementação numérica da análise não-local é relativamente simples, substituindo-

se a forma integral da expressão (4.21) pela razão entre somatórios, tem-se a deforma-

ção equivalente em um determinado ponto de integraçãoxi dada por:


εeq(xi) =

∑xj∈V (rnl)

g(xj − xi)w(xj)εeq(x)

∑xj∈V (rnl)

g(xj − xi)w(xj)(4.23)

Observe quexj corresponde aos pontos da integração numérica pertencentes à região

definida pelo raiornl e com centro emxi. A definição desses pontos pode ser feita

em um pré-processamento, para evitar que, a todo momento de cálculo do dano, as

vizinhanças de cada ponto sejam novamente construídas. Jáw(xj) refere-se à parcela

de área (ou volume) do domínio vinculada ao pontoxj. Tal parcela corresponde ao

peso do pontoxj na quadratura de Gauss multiplicado pelo respectivo jacobiano.

Ainda em DAVENNE; SAOURIDIS; PIAU (1989), observa-se que algum cui-

dado deve ser tomado em análises em que a simetria da geometria e do carregamento

é explorada. Como se mostra na Figura 4.4, pontos fictícios devem ser considerados,

para que a resposta numérica seja equivalente àquela que seria obtida para uma análise

em que toda a estrutura esteja representada.

Figura 4.4: Análise não-local em estrutura com simetria

65

Capítulo 5

Experimentos Numéricos em Análise

Não-Linear

Este capítulo reúne aplicações dos métodos sem malha, no caso o Método das

Nuvenshp, e do MEFG no estudo do comportamento não-linear de estruturas, decor-

rente do fenômeno de danificação do meio. Assim como no capítulo 3, procura-se

evidenciar aspectos de implementação, especialmente aqueles introduzidos para a ade-

quação dos métodos aos modelos constitutivos admitidos. Para isso, são apresentadas

as análises de dois problemas. O primeiro deles corresponde a uma viga em concreto

armado e é resolvido pelo Método das Nuvenshp e pelo MEFG. O segundo problema

corresponde a uma chapa de concreto submetida a deslocamentos impostos, através

da qual procura-se avaliar a capacidade do enriquecimento polinomial do MEFG para

aproximar a presença da localização do dano.

A escolha do Método das Nuvenshpexplica-se por abranger, em sua formulação,

o MGLE. Para a simulação da resposta não-linear da estrutura são empregados os dois

modelos constitutivos, Mazars e La Borderie, descritos anteriormente. Seguindo-se a

mesma abordagem da seção 3.1, a representação adotada é uni-axial. Os resultados

de análises estática e dinâmica são apresentados salientando-se não apenas detalhes da

formulação numérica como também algumas interessantes discussões sobre o compor-

tamento do material.

As análises estáticas feitas através do MEFG são bi-dimensionais, a exemplo dos

problemas da seção 3.2. Devido à simplicidade de implementação e pelo fato de não

haver inversão de carregamento, emprega-se o Modelo de Mazars para a simulação

do comportamento do material. Aspectos de implementação do método para a análise

não-linear são discutidos juntamente com os resultados encontrados.

Capítulo 5. Experimentos Numéricos em Análise Não-Linear 66

5.1 Viga em Concreto Armado

O problema selecionado encontra-se representado na Figura 5.1, e corresponde a

uma viga de concreto armado bi-apoiada, com seção transversal retangular e submetida

a duas forças verticaisF posicionadas simetricamente com relação ao meio do vão. O

momento constante, que solicita a região entre as duas forças, induz uma distribuição

difusa de micro-fissuras ao longo deste trecho. O mecanismo de deterioração do meio

é, portanto, bastante semelhante àquele esperado para a simulação pelos modelos de

dano contínuo, capítulo 4.

Figura 5.1: Viga em concreto armado - geometria e armação - medidas em cm

Na tabela 5.1, são apresentados os dados relativos às propriedades do aço e do

concreto e entre eles, os parâmetros dos modelos de Mazars e de La Borderie que

caracterizam o meio:

AT = 0,995 BT = 8000 AC = 0,85 BC = 1050εd0 = 0,00007 Ec = 29200 MPa Es = 196000 MPa νc = 0,2νs = 0,3 Yo1 = 3,05 · 10−4 MPa A1 = 3,50 · 103 MPa−1 B1 = 0,95

β1 = 1,0 MPa Yo2 = 5,0 · 10−3 MPa A2 = 6,80 MPa−1 B2 = 0,7705β2 = −10,0 MPa σf = 2,60 MPa ρc = 2500 kg/m3 ρs = 7850 kg/m3

Tabela 5.1:Parâmetros do material (c→ concreto es→ aço)

ondeρc e ρs correspondem à densidade do concreto e do aço respectivamente. Os

parâmetros para o Modelo de Mazars foram obtidos por identificação paramétrica em

ensaios apresentados em ÁLVARES (1993), onde também se encontram os resultados

experimentais utilizados para confronto. Já os parâmetros utilizados no Modelo de La

Borderie foram determinados ajustando-os às curvas de tensão e compressão axial do

Modelo de Mazars, PITUBA; PROENÇA; ÁLVARES (1999). Com relação ao aço,

considerou-se o comportamento perfeitamente elástico.


5.2 Análise pelo Método das Nuvenshp

A Figura 5.2(a) representa as condições de contorno e a discretização adotadas

para a análise com o Método das Nuvens. Por se tratar de uma análise uni-axial

arbitrou-se que os apoios e as cargas estivessem aplicados sobre o eixox, posicionado

sobre o centróide da seção transversal retangular.

(a) Geometria e condições de contorno adotadas

(b) Discretização

Figura 5.2: Abordagem uni-axial

A hipótese cinemática é a da teoria de vigas de Bernoulli para um campo de

deformações dado pela combinação das derivadas primeira e segunda do campo de

deslocamentos,εx = u′x − yu′′y. O funcional de energia, em uma análise dinâmica sem

amortecimento, resulta:

Π =

U︷︸︸︷L∫

0

h∫

0

E(u′x − yu′′y)2dy

lz dx−Wext︷︸︸︷

(F · uy|x=a + F · uy|x=L−a) (5.1)

−L∫

0

h∫

0

uxρux + uyρuy dy

lz dx︸︷︷︸Win


ondeux e uy são os deslocamentos dos pontos localizados no eixo, nas direçõesx

e y respectivamente,lz é a espessura,L representa o comprimento da viga eWin é o

trabalho devido às forças inerciais, consideradas como forças de volume pelo princípio

de d’Alembert, BATHE (1996). As condições de contorno essenciais sãoux|x=0 = 0

e uy|x=0 = uy|x=L = 0. Para a análise dinâmica, deve-se fazer também com que as

aceleraçõesux|x=0 = 0 e uy|x=0 = uy|x=L = 0 no instante de tempot = 0.

Aplicando-se o princípio da estacionaridade e introduzindo-se as expressões apro-

ximadas dos deslocamentos vertical e horizontal, obtidas do MMQM, (2.6), e da fa-

mília de Nuvens-hp (2.16), chega-se à seguinte aproximação de Galerkin para a forma

variacional do PVC, emt = 0:

δΠ =

L∫0

δUTx Φ′

xΦ′xTUx

H∫0

E b dy + δUTx Φ′

xΦ′′yTU y

H∫0

E y lz dy

+ δUTy Φ′′

yΦ′xTUx

H∫0

E y lz dy + δUTy Φ′′

yΦ′′yTU y

H∫0

E y2 lz dy

dx

− (δU y)T Φy

∣∣∣x=0

P − (δU y)T Φy

∣∣∣x=L

P

−L∫

0

δUT

x ΦxΦTx Ux

H∫0

E lz dy + δUT

x ΦxΦ′yTU y

H∫0

E y lz dy (5.2)

+ δUT

y Φ′yΦ

Tx Ux

H∫0

E y lz dy + δUT

y Φ′yΦ

′yTU y

H∫0

E y2 lz dy

dx

+ (δλux1 )T ΦTUx

∣∣x=0

+ δUTx Φλux

1

∣∣x=0

+ δλuy

1 ΦTU y

∣∣x=0

+ δUTy Φλ

uy

1

∣∣x=0

+ λuxN ΦTUx

∣∣x=L

+ δUTx Φλux

N

∣∣x=L

+(δλux

1

)T

ΦT Ux

∣∣∣x=0

+ δUT

x Φλux1

∣∣∣x=0

+(δλ

uy

1

)T

ΦT U y

∣∣∣x=0

+ δUT

y Φλuy

1

∣∣∣x=0

+(δλux

N

)T

ΦT Ux

∣∣∣x=L

+ δUT

x ΦλuxN

∣∣∣x=L

= 0

ondeH representa a altura da viga e os subscritosx e y particularizam os vetores ge-

neralizados dos parâmetros nodais, das funções de aproximação, e dos multiplicadores

de Lagrange (estes relacionados aos nós extremos 1 e N), com relação às direções ho-


rizontal e vertical, respectivamente. Nota-se que, além dos parâmetros nodaisUx e

U y, também encontram-se aproximadas e, da mesma forma, suas derivadas segundas

com relação ao tempo, representadas porUx e U y. Para a imposição dos valores ini-

ciais do vetor de acelerações generalizadas,a, o procedimento é o mesmo que para

as condições de contorno, empregando-se a segunda taxa de variação no tempo dos

multiplicadores de Lagrange,λ1ux

, λ1uy

, λNux

e λNuy

.

Simplificando-se, então, a equação (5.2), chega-se ao seguinte sistema de equa-

ções:

K de ordem[(2N∗+3)×(2N∗+3)]︷︸︸︷

Kxij Kxy

ij Gx11 Gy

11 GyN∗N∗

Kxyji Ky

ij 0 0 0

Gx11 0 0 0 0

Gy11 0 0 0 0

GyN∗N∗ 0 0 0 0

·

U de ordem[2N∗+3]︷︸︸︷

(Ux)i

(Uy)i

λux1

λuy

1

λuy

N∗

=

F de ordem[2N∗+3]︷︸︸︷

0

fi

0

0

0

+

Mxij Mxy

ij Hx11 Hy

11 HyN∗N∗

Mxyji My

ij 0 0 0

Hx11 0 0 0 0

Hy11 0 0 0 0

HyN∗N∗ 0 0 0 0

︸︷︷︸

M de ordem[(2N+3)×(2N+3)]

·

(Ux)i

(Uy)i

λux1

λuy

1

λuy

N∗

︸︷︷︸U de ordem[2N∗+3]

(5.3)

em que:

Kxij =

L∫0

Φ′xΦ

′xT

h∫0

E lz dy

dx Kyij =

L∫0

Φ′′yΦ

′′yT

h∫0

E y2 b dy

dx

Kxyij =

L∫0

δΦ′′yΦ

′xT

h∫0

E y lz dy

dx fi = P(Φy|x=a + Φy|x=L−a

)

Mxij =

L∫0

ΦxΦTx

h∫0

E b dy

dx Myij =

L∫0

Φ′yΦ

′yT

h∫0

E y2 lz dy

dx


Mxyij =

L∫0

δΦ′yΦ

Tx

h∫0

E y lz dy

dx Gx11 = Φx

1(0)

Gy11 = Φy

1(0) GyN∗N∗ = Φy

1(L)

Hx11 = Φx

1(0) Hy11 = Φy

1(0) HyN∗N∗ = Φy

1(L)

parai, j = 1, · · · , N∗, ondeN∗, assim com no exemplo da seção 3.1, depende do grau

de enriquecimento escolhido para a análise e a matrizM recebe a denominação de

matriz de massa consistente. Observa-se, ainda, que a relação constitutiva está sendo

representada pela variávelE, que assume valores iguais ao módulo de elasticidade,

E0, para o material íntegro ou a um valor penalizado pelo dano,E = (1−D)E0, nos

pontos em que o material encontra-se deteriorado.

5.2.1 Problema Não-Linear

Em análise não-linear, procura-se estabelecer, para cada instante de tempot de

aplicação do carregamento, o equilíbrio entre os vetores das forças generalizadas ex-

terna,tF ext = F + M U e interna,tF int, esse obtido a partir das tensões calculadas

nos elementos e definido como:

FT

int =

L∫0

h∫0

Φ′xσxb dy dx −

L∫0

h∫0

yΦ′′yσxb dy dx 0 0 0

− Ma︸︷︷︸forças inerciais

(5.4)

Dessa forma, deve-se ter:

tF ext− tF int = 0 (5.5)

No procedimento de resolução do método de Newton-Raphson, BATHE (1996),

assume-se como conhecida a soluçãotUpara um instantet e procura-se verificar o

equilíbrio emt+ ∆t. As equações usadas no processo iterativo são as seguintes:


Parait = 1, 2, 3, · · ·

ψ(it−1) = t+∆tF ext−t+∆t F(it−1)

int

t+∆tK(it−1)

tg ∆U(it)

= ψ(it−1)

t+∆tU(it)

= t+∆tU(it−1)

+ ∆U(it)

(5.6)

tendo como condições iniciais:

t+∆tU(0)

= tU ; t+∆tK(0)

tg = tK tg;t+∆tF

(0)= tF

em que:

tK tg =∂ tF

∂ tU(5.7)

é a forma tangente da matriz de rigidez1.

Com a primeira equação de (5.6), calcula-se o desequilíbrio,ψ(it−1) entre os

vetores de forçat+∆tF ext e t+∆tF(it−1)

int que, na segunda equação, produz o acréscimo

de deslocamentos,∆U(it)

. Este acréscimo nos deslocamentos é utilizado na última

equação de (5.6) para a atualização do vetor dos deslocamentos até o passo de tempo

t+ ∆t, t+∆tU(it)

. Este processo iterativo é repetido até queψ(it−1) e/ou∆U(it)

sejam

suficientemente pequenos.

Sob condições adequadas2, o emprego da forma tangente da matriz de rigidez

permite com que se tenha uma convergência quadrática para o método de Newton-

Raphson. Se no lugar da forma tangente for utilizada a forma secante,tKsec, tal efici-

ência é perdida e a convergência pode se tornar bastante lenta.

5.2.2 Integração Numérica na Seção Transversal

Nas equações (5.2) e (5.4), estão presentes as integrais nas direçõesx e y. As

primeiras são calculadas numericamente através da quadratura de Gauss-Legendre.

Para problemas lineares, em que não ocorrem variações nas propriedades do material,

as integrais emy são normalmente calculadas analiticamente. Para a presente análise,

seja através do modelo de Mazars ou La Borderie, o dano penaliza a rigidez da estrutura

tanto na direção longitudinal quanto ao longo da altura da viga. Não há, por essa

1Maiores detalhes da construção da matriz de rigidez tangente ou mesmo sua simplificação em matrizsecante podem ser encontrados no apêndice A.

2Tais condições são descritas em BATHE (1996) e consistem em se tertK tg não singular e satisfa-zendo a continuidade de Lipschitz, além de se ter um passo de tempo suficientemente pequeno.


razão, como calcular analiticamente as integrais ao longo dey nas equações (5.2) e

(5.4). Emprega-se, então, uma técnica de integração ao longo da altura, utilizada,

por exemplo, em ÁLVARES (1993). A seção transversal da viga em cada elemento é

dividida em camadas, também denominadas estratos e, para cada uma, adota-se como

constante o valor penalizado deE = E0(1 −D) calculado em seu centróide. Quanto

maior o número de camadas, maior a precisão da integração emy. Em PAULA (2001),

discute-se melhor esse assunto, chegando-se à conclusão que é necessário um número

superior a10 estratos para que se garanta a qualidade da resposta numérica.

Figura 5.3: Sistema de estratos

Na Figura 5.3, encontra-se representada a seção transversal da viga dividida em

estratos. Nota-se que, diferentemente da técnica utilizada por ÁLVARES (1993) e

PAULA (2001), emprega-se uma variação linear paraE ao longo de cada camada.

Obtém-se, assim, uma melhor aproximação para a integração ao longo da altura. No

contexto do Método das Nuvenshp, por não serem definidos elementos, a divisão em

camadas é realizada em cada célula de integração. A integração emy das expressões

(5.2) e (5.4) pode, então, ser reformulada considerando-se:

h∫0

E lz dy =n∑

i=1

lz2

(Ei+1 + Ei)(yi − yi+1)

h∫0

E y lz dy =n∑

i=1

lz6

[(Ei+1(y

2i + yiyi+1 − 2y2

i+1)+

+Ei(2y2i + yiyi+1 − y2

i+1)]

(5.8)h∫

0

E y2 lz dy =n∑

i=1

lz12

[(Ei+1(y

3i + y2

i yi+1 + yiy2i+1 − 3y2

i+1)+

+Ei(3y3i − y2

i yi+1 − yiy2i+1 − y2

i+1)]


ondeEi = E0(1−Di) eDi corresponde ao dano calculado emy = yi.

O aço, por sua vez, é considerado, separadamente, como um meio puramente

elástico. As barras da armadura que ocupam uma certa posiçãoy são substituídas por

uma camada de aço equivalente, sobreposta às camadas de concreto.

5.2.3 Análise Numérica

Para a realização da análise numérica pelo Método das Nuvenshp, adotou-se:

ordem da base polinomial: no sistema de equações (5.3) aparecem derivadas de se-

gunda ordem das funções de formaΦy e de primeira ordem paraΦx. Para que

a convergência da solução esteja garantida (completidade), as aproximações de

uy e ux devem representar no mínimo polinômios completos do segundo e pri-

meiro grau respectivamente. Sendo assim, para a presente análise foram utili-

zadas as famílias de Nuvens-hp=k=0,p=3N e=k=0,p=1

N para as aproximações nas

direçõesy e x. Tais famílias foram construídas a partir das funções de She-

pard, 2.13, enriquecidas pelas bases de monômiosP p=3 =

1 x x2 x3

e

P p=1 =

1 x

;

distribuição de pontos: foi empregada uma distribuição uniforme de pontos, mos-

trada na Figura 5.2(b), com a distância entre pontosh = 40cm. A função de

ponderação empregada para a construção das funções de Shepard é a do tipo

splinecúbica, já empregada na seção 3.1.1, comRj = h, ∀j;

integração numérica: para melhor captar a distribuição do dano, foram emprega-

dos20 pontos de quadratura por célula para a integração numérica de Gauss-

Legendre ao longo dex, e10 estratos para a integração na alturay;

não-linearidade física: apenas o concreto tem comportamento não-linear, simulado

pelos modelos de Mazars e La Borderie. O aço foi considerado elástico linear e

perfeitamente aderente ao concreto. O problema não-linear físico foi resolvido

aplicando-se o Método de Newton-Raphson, BATHE (1996). Para o Modelo de

Mazars foi empregada a formulação tangente, expressão (4.6) e para o Modelo

de La Borderie a secante, (4.20);

análise dinâmica: a solução do sistema de equações (5.3) foi obtida através do mé-

todo de integração implícita de Newmark, adotando-se o algoritmo utilizado em


ARGYRIS; MLEJNEK (1991) para análise não-linear física. Detalhes da imple-

mentação desse algoritmo, em que são combinados os procedimentos de New-

mark e de Newton-Raphson, podem ser encontrados em RODRIGUES (1997) e

PAULA (2001);

equilíbrio: a convergência do algoritmo em cada passo incremental foi averiguada

pela norma de energia incremental, com tolerância de10−10 e da normaL2 do

resíduo dos deslocamentos, com tolerância relativa de10−6;

simetria: as análises numéricas foram conduzidas para a estrutura completa, sem que

a simetria fosse considerada. Tal fato se deve à análise dinâmica e não a alguma

limitação do método sem malha.

0

10

20

30

40

50

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0U (mm)

F (k

N)

Experimental 1

Experimental 2

Método das Nuvens (Mazars)

Método das Nuvens (La Borderie)

y

Figura 5.4: Análises estáticas - resultados experimentais de ÁLVARES (1993)

No gráfico da Figura 5.4 confrontam-se os resultados experimentais e numéricos

para a análise estática. Para a solução do problema não-linear com ambos os modelos,

Mazars e La Borderie, foram utilizados 20 passos de força no valor de2,25 kN. A

divergência das curvas após o nível de força de35 kN ocorre devido à plastificação

das barras, que não é considerada nas análises numéricas. Para valores inferiores,

os resultados podem ser considerados bons, observando-se uma equivalência entre a

resposta obtida para os dois modelos adotados.

Para o problema dinâmico, adotou-se um passo de tempo∆t = 1 · 10−5s e foram

consideradas duas situações de solicitação, vibração forçada, Figura 5.5(a), para uma

força F (t) = 25 kN, de t = 0 a t → ∞ e vibração livre, Figura 5.5(b), para um


deslocamento inicial de1mm. Nestas duas situações, as respostas não-lineares da

estrutura foram contrapostas à resposta elástica-linear sem dano. Devido ao processo

de danificação, observa-se um aumento no período de vibração, com ambos os modelos

e para os dois tipos de solicitação. Este aumento é, contudo, mais pronunciado para

o Modelo de Mazars. Para o caso de vibração livre, a diferença entre as respostas

dos dois modelos é ainda maior. Para a análise feita com o Modelo de La Borderie,

observou-se uma redução bastante significativa da amplitude da curva, que passa a

vibrar ao redor de uma posição diferente da de repouso.

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05tempo (s)

u (m

m)

Modelo elástico Modelo de Mazars Modelo de La Borderie

(a) Vibração forçada

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05tempo (s)

u (m

m)

Modelo elástico Modelo de Mazars Modelo de La Borderie

(b) Vibração livre

Figura 5.5: Análises dinâmicas

Dois fatores são importantes para explicar as respostas numéricas obtidas. Pri-

meiramente, deve-se lembrar que, diferentemente do Modelo de Mazars, as deforma-

ções residuais são consideradas no Modelo de La Borderie, seção 4.3. Dessa forma,

para ambos os tipos de solicitação dinâmica, após um período inicial de evolução do

dano, a estrutura governada pelo Modelo de Mazars comporta-se como um meio elás-

tico com uma rigidez inferior à inicial. Para a simulação através do Modelo de La Bor-

derie, a vibração livre passa a ocorrer em uma nova posição, definida pelo estado de

deformações residuais. Outro fator importante refere-se ao comportamento uni-lateral

do concreto que é levado em conta apenas no Modelo de La Borderie. Nesse caso, o

fechamento das fissuras inibe a evolução do processo de danificação o que explica as

menores amplitudes de vibração observadas nos dois gráficos. Este efeito é melhor

observado na análise da vibração livre, pois nessa situação ocorre não apenas o descar-

regamento, como também a inversão da solicitação. A estrutura recupera a rigidez para

um nível inferior de energia e, por isso, vibra menos. Uma discussão bem mais deta-


lhada sobre esse tema pode ser encontrada em PAULA (2001), onde a viga de concreto

armado é analisada pelo MEF, com os mesmos modelos constitutivos, incluindo-se o

amortecimento do material e o comportamento plástico da armadura. Conclui-se que,

apesar da ausência da comprovação experimental para as análises dinâmicas, o Modelo

de La Borderie simula de forma mais adequada o comportamento do concreto. Para

uma análise estática, entretanto, em que o carregamento é proporcional e não ocorre

inversão de solicitação, a equivalência entre as simulações feitas com os dois modelos

e a simplicidade de implementação do Modelo de Mazars acabaram sendo decisivas

para o seu emprego nas experimentações numéricas bi-dimensionais realizadas, nas

próximas seções, com o MEFG.

Finalmente, resta salientar que uma análise através do MGLE não se diferencia

muito do que foi realizado para o Método das Nuvenshp, a menos do tipo de dis-

tribuição de nós. Para que resultados semelhantes sejam obtidos com o MGLE, uma

basePk=3 deve ser adotada, construindo-se, assim, uma aproximação para polinômios

de ordem cúbica. Como conseqüência, torna-se necessária a utilização de um número

bem superior de nós para a aproximação do domínio.

5.3 Análise Bi-dimensional com do MEFG

A análise estática do problema da viga de concreto armado através do MEFG foi

realizada no domínioR2. O funcional de energia e o sistema de equações resultante

para o PVC são representados pelas mesmas expressões da seção 3.2. O problema

não-linear, proveniente da propagação do dano, é resolvido, a exemplo da seção 5.2.1,

em cada passo de carga, pelo método de Newton-Raphson através das seguintes ex-

pressões, adaptadas à estrutura do MEFG:

Parait = 1, 2, 3, . . . , it, . . . , imaxt

ψ(it−1) = t+∆tF ext−t+∆t F(it−1)int

t+∆tK(it−1)sec ∆U (it) = ψ(it−1)

t+∆tU (it) = t+∆tU (it−1) + ∆U (it)

(5.9)

tendo como condições iniciais:

t+∆tU (0) = tU ; t+∆tK(0)sec = tKsec;

t+∆tF (0) = tF


Observa-se que para a matriz de rigidez, no lugar da forma tangente, foi utilizada

a forma secante3. A razão para isso está no emprego do modelo de Mazars, conforme

já explicado na seção 4.2.

De forma geral, a estrutura para a solução do problema não-linear é idêntica à

usada tradicionalmente no MEF. Excetua-se, é claro, a maneira com que os vetores e

matrizes, presentes nas expressões acima, são montados, seção 3.2. Existem, porém,

alguns detalhes em que o algoritmo da análise não-linear do MEFG diferencia-se do

MEF, tendo sido reunidos no apêndice F.

5.3.1 Análise Numérica

(a) Malha I -688 elementos -NGL = 1376

(b) Malha II - 24 elementos -NGL = 392

Figura 5.6: Condições de contorno e malha de elementos adotadas

Duas análises estáticas bi-dimensionais foram realizadas para a viga de concreto

armado da seção 5.1. As malhas de elementos finitos empregadas encontram-se repre-

sentadas na Figura 5.6. Na Malha I, com um grau razoável de refinamento, a aproxima-

ção é linear e corresponde à análise convencional pelo MEF. Já na Malha II, empregada

3Ao final do apêndice A, é apresentada a expressão para a matriz de rigidez secante.


na aplicação do MEFG, foram utilizados poucos elementos mas com enriquecimento

nodal de ordem polinomial superior. A seguir são listadas as considerações admitidas

para tais análises:

discretização: como já observado, nas Figuras 5.6(a) e 5.6(b), encontram-se repre-

sentadas as malhas de elementos empregadas. O reduzido número de elementos

da Malha II é compensado pelo enriquecimento polinomial de ordem máximap,

realizado em todas as nuvens, mas concentrado, especialmente, nas regiões em

que se espera uma maior danificação, ou seja, na metade inferior da viga, entre

as duas forças aplicadas;

condições de contorno:de acordo com SZABÓ; BABUŠKA (1991), as restrições no-

dais não são admissíveis em problemas de estado plano, exceto quando impostas

para impedir os movimentos de corpo rígido em um corpo solicitado por um

carregamento auto-equilibrado. Por essa razão, o apoio articulado móvel da Fi-

gura 5.1 é substituído por um apoio distribuído em uma pequena região com

dimensão emx de 1,5 cm, como ilustram as Figuras 5.6(a) e 5.6(b). De ma-

neira análoga e pelas mesmas razões, a força concentrada é substituída por um

carregamento distribuído equivalenteq 4;

simetria: a forma geométrica da viga, a distribuição do carregamento e das condições

de contorno são simétricas com relação ao meio do vão; por essa razão, apenas

metade da estrutura foi aproximada;

aproximação das armaduras: utilizou-se para as malhasI e II, a técnica de embu-

timento da armadura, descrita em RANJBARAN (1991) e discutida no apên-

dice F.2. Apenas a armadura positiva foi considerada. Testes em que a armadura

negativa foi discretizada mostraram que sua contribuição à rigidez da estrutura

era insignificante5. Para simular o comportamento físico adotou-se o modelo

elástico-linear com perfeita aderência ao concreto;

distorção dos elementos:a Malha II foi construída tendo como base 18 elementos

relativamente grandes, se comparados com a discretização da Malha I. Para a in-

trodução das condições de contorno, seis novos elementos de dimensões bastante

4Assim como as restrições nodais, as forças concentradas fazem sentido na formulação matemáticada teoria de vigas. São, na verdade, representações simplificadas de um carga distribuída ao longo deuma superfície de dimensões bastante pequenas se comparadas às demais dimensões do problema.

5Tal observação refere-se, naturalmente, ao caso específico estudado de uma viga sub-armada


reduzidas foram incluídos, provocando a distorção angular dos elementos próxi-

mos às regiões do apoio e de aplicação da força. Como conseqüência, ocorre um

empobrecimento da aproximação linear nestas regiões, provocado pelo mapea-

mento entre as coordenadas naturais e físicas dos elementos distorcidos. Com

base nas observações do exemplo da seção 3.2.1, pode-se esperar que o efeito

nocivo de tal mapeamento seja anulado com o enriquecimento realizado nas nu-

vens que contêm esses elementos;

integração numérica: realizada através da quadratura de Gauss-Legendre. Para a

Malha I foram utilizados2× 2 pontos por elemento. Já para para a Malha II, foi

utilizado um conjunto de4 × 4 pontos para os elementos próximos do apoio e

da forçaq. Para os demais elementos, de dimensões maiores, foram empregados

6× 6 pontos de integração para melhor representar a distribuição do dano. Este,

aliás, é um número superior ao exigido por qualquer uma das aproximações de-

finidas na Malha II. Deve-se lembrar que a evolução do dano faz com que os

termos a serem integrados na matriz de rigidez deixem de ser polinomiais e, por

isso, não há um número preciso de pontos que permita realizar a integração exa-

tamente. Considerando-se esse fato, foram realizados vários experimentos com

diferentes ordens de integração. Concluiu-se que, para a solução procurada, a

ordem acima descrita permite uma boa aproximação aliada a um menor esforço

computacional;

análise não-local: foi adotado um raio de3 cm para a análise não-local. Análises

realizadas comrnl = 0 cm ernl = 1,5 cm produziram resultados bastante ins-

táveis no intervalo de carregamento de12 a 14 kN. Para esses níveis de força

concentrada, ocorre uma tendência de concentração do dano, correspondente ao

aparecimento de fissuras na região de momento positivo no meio do vão. A uti-

lização dernl = 3 cm tem um efeito regularizador maior, fazendo com que o

dano se espalhe, permitindo com que o modelo continue sendo utilizado para

reproduzir a resposta global da estrutura;

não-linearidade física: como já comentado anteriormente, o comportamento do con-

creto foi simulado através do Modelo de Mazars. Os parâmetros utilizados fo-

ram na maioria os mesmos empregados para a análise uni-axial através do Mé-

todo das Nuvenshp, tabelas 5.1. No lugar deAT = 0,995, contudo, adotou-se

AT = 0,7. Este é um artifício válido, empregado para retardar uma evolução


muito acelerada do dano associada à descrição do ramo do amolecimento que

seria obtida comAT = 0,995, gráfico da Figura 5.7. Um efeito equivalente

poderia ser obtido aumentando-se ainda mais o raio para a análise não-local.

Nesse caso, porém, existiria a possibilidade de se ter uma resposta muito mais

rígida do que a observada experimentalmente. Em PEREGO (1989), o tema da

identificação paramétrica com o modelo de Mazars é discutido em detalhes;

ε

σ

A =0,995

A =0,7T

T

Figura 5.7: Curvas deσ × ε variando-seAT

equilíbrio: o Método de Newton-Raphson foi empregado para a solução do problema

não-linear físico. Como critério de convergência do algoritmo de solução ite-

rativa, adotou-se a norma de energia incremental com tolerância de0,5% com

relação à norma obtida para primeiro passo elástico. Deve-se salientar que o em-

prego de uma tolerância inferior a0,5% consiste em uma condição muito forte

para a convergência da análise realizada com a Malha I, especialmente para o

intervalo de força entre12 e 14 kN. O mesmo não ocorre para a Malha II pois,

como será observado posteriormente, o enriquecimento polinomial suaviza a dis-

tribuição do dano produzindo uma resposta global mais estável. Os primeiros4

passos incrementais do carregamento representaram, cada um,9% da força total

aplicada (30 kN), sendo seguidos por um passo com4%, 26 passos com1% e os

17 últimos passos com2%. Esta forma adotada para aplicação do carregamento

se deve à elevada não-linearidade observada a partir de12 kN;

montagem da matriz de rigidez: na montagem da matriz de rigidez adotou-se a for-

mulação secante. Para evitar o mal-condicionamento da matriz de rigidez, para


efeitos de sua atualização o dano foi limitado (D ≤ 0,87);

procedimento para a solução do sistema de equações:na análise feita com a Malha

I foi utilizado o método direto de eliminação de Gauss com pivotação parcial.

Já para a análise com a Malha II, empregou-se o procedimento de Babuškca,

apêndice C, com tolerância de10−10 e pertubação da diagonal principalε =

10−8. Valores inferiores deε bem como o emprego da rotina MA27, HSL (2000),

produziram resultados inconsistentes. Um explicação para esse fato consiste nos

altos níveis locais de danificação que podem elevar o número de condição da

matriz de rigidez (mesmo com a limitação do dano a0,87). É, portanto, um

problema relacionado com o modelo constitutivo adotado;

0

10

20

30

40

50

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0u (mm)

F (

kN)

Experimental 1

Experimental 2

Malha I

Malha II

y

Figura 5.8: Análise estática

Os resultados experimentais de ÁLVARES (1993) são confrontados com os resul-

tados das análises numéricas no gráfico da Figura 5.8. As curvas descrevem a história

do carregamentoF , (equivalente à resultante da carga distribuídaq) relacionando-o ao

deslocamento verticaluy (medido no meio do vão, na face inferior da viga). Pode-se

afirmar que as respostas numéricas globais da estrutura são, praticamente, coincidentes

para as duas análises com as malhas I e II, aproximando-se satisfatoriamente dos resul-

tados experimentais. A partir do nível de força de30 kN a convergência torna-se mais

lenta, mesmo para incrementos de força bastante pequenos contribuindo, por isso, a

adoção da limitação do dano para fins de avaliação de matriz de rigidez global. Além


disso, é acima de30 kN que se observa a plastificação da armadura, não considerada

para a análise, e a resposta numérica deixa de aproximar o resultado experimental. Por

estas razões, optou-se por interromper a análise nesse ponto.

As Figuras 5.9(a) e 5.9(b) representam os mapas de distribuição do dano para o

nível de forçaF = 14,4 kN, correspondentes ao13o¯passo das análises com as malhas I

e II respectivamente. Nota-se que a região de distribuição do dano, obtida com as duas

malhas, é bem semelhante. Na Figura 5.9(a), porém, ocorre uma maior concentração,

o que pode ser explicado pelo elevado nível de discretização da Malha I se comparado

ao da Malha II. Testes realizados com aproximações polinomiais de ordem inferior e

superior à apresentada na Figura 5.6(b) indicaram que à medida que se eleva a ordem

polinomial da aproximação, mais próxima a distribuição do dano fica do observado na

Figura 5.9(a).

(a) Análise através da Malha I -F = 14,4 kN

(b) Análise através da Malha II -F = 14,4 kN

Figura 5.9: Mapa da distribuição do dano

Com base nesses resultados, averigua-se a viabilidade de se usar um malha gros-

seira enriquecida polinomialmente em problemas cujo comportamento não-linear de-

corre da evolução do dano. Basta, para isso, que se utilize uma estratégia eficiente

para considerar a armadura e que a aproximação não seja prejudicada pela presença

de elementos distorcidos, necessários para a introdução das condições de contorno. O

primeiro quesito é verificado através da técnica de embutimento do aço de RANJBA-


RAN (1991). Com relação à distorção dos elementos, essa não interfere na qualidade

de aproximação desde que a nuvem de elementos distorcidos seja enriquecida polino-

mialmente pela estratégia empregada para o MEFG, por exemplo.

Naturalmente, respostas semelhantes poderiam ser obtidas com o MEF, utilizando-

se elementos de ordem polinomial superior. Uma das opções consiste na utilização dos

elementos Lagrangianos. Tal procedimento, entretanto, introduziria, para a malha uti-

lizada, um número total de graus de liberdade superior ao do MEFG, como já discutido

na seção 3.2.1. Além disso, tal formulação não é adequada à introdução de estratégias

de refinamento adaptativo. Por outro lado, pode-se usar a versão hierárquica do MEF,

SZABÓ; BABUŠKA (1991) e DEMKOWICZ (1989). Pelas mesmas razões apresen-

tadas para a formulação Lagrangianas, com o MEF hierárquico o número de graus de

liberdade é superior ao do MEFG para uma malha bastante discretizada. Soma-se a

esse fato, a facilidade de implementação da estratégia de enriquecimento do MEFG,

sem a necessidade de se compatibilizar as aproximações de elementos vizinhos com

ordem polinomial diferente.

Comprovada a viabilidade de se usar o MEFG para a análise de problemas se-

melhantes ao apresentado, resta, ainda, estabelecer a melhor maneira de se definir o

nível de enriquecimento exigido para a solução que se queira encontrar. A solução

encontrada com a malha da Figura 5.6(b) representou bem o comportamento global da

estrutura. Não há, todavia, como saber, a menos da realização de novas análises, se

tal aproximação é a ideal, ou seja, aquela que melhor aproxima o problema para uma

menor quantidade de graus de liberdade. Para responder esta questão é necessário que

se estabeleça, primeiramente, um critério de erro. Com essa informação, torna-se pos-

sível introduzir uma abordagem adaptativa, em que a qualidade da solução é testada

automaticamente e, caso seja necessário, uma nova aproximação é construída. É esse

o assunto do próximo capítulo em que um estimador de erro e um algoritmo adaptativo

são descritos para o contexto do MEFG.

5.4 Chapa de Concreto Tracionada

Como última experimentação numérica deste capítulo utiliza-se um problema

bastante simples, um chapa de concreto tracionada, para avaliar a capacidade da apro-

ximação enriquecida polinomialmente de representar o fenômeno de localização do

dano.


Na Figura 5.10 estão representadas a geometria e as condições de contorno da

chapa de concreto com10 cm de espessura . O vínculo no pontoB, correspondente ao

deslocamento vertical, é inserido, simplesmente, para eliminar movimentos de corpo

rígido. A solicitação de tração da estrutura é definida impondo-se o afastamento, na

direção horizontal, das facesAB eCD. Os deslocamentos correspondentes a um afas-

tamento de6 × 10−2 mm são impostos de forma incremental possibilitando a análise

não-linear pelo método de Newton-Raphson. O modelo constitutivo é o de Mazars

com abordagem não-local, para o qual foram adotados os seguintes parâmetros:

AT = 0,7 BT = 8 000 AC = 0,85 BC = 1 050

εd0 = 0,000 1 E = 29 200 MPa ν = 0,2

Figura 5.10: Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em mm

Dois tipos de malha foram utilizadas. A malha da Figura 5.11(a) é formada por

600 elementos quadrangulares de 4 nós, com interpolação linear, sendo utilizada na

análise convencional pelo MEF. As análises feitas com o MEFG empregam a malha

da Figura 5.11(b). O enriquecimento da aproximação, expressões (3.19) e (3.20), é

realizado de acordo com os índicesp1 e p2 associados a cada nó e correspondentes à

ordem máxima do polinômio que se pode reproduzir com as funções de forma desse

nó. Foram testadas cinco discretizações, variando-sep2 = 1, · · · , 5 e mantendo-se

p1 = 1 constante.

Para as análises em estado plano de tração foram admitidos:

montagem da matriz de rigidez: da mesma forma que no exemplo da viga de con-

creto armado, adotou-se a formulação secante e o dano limitado a0,87 na cons-

trução da matriz de rigidez;


(a) Malha com 600 elementos, aproximação linear (b) Malha com enriquecimento polinomial

Figura 5.11: Malhas utilizadas para a análise - medidas em mm

solução do sistema de equações:na análise com a malha da Figura 5.11(a) utiliza-

se o método direto de eliminação de Gauss com pivotação parcial. Nas demais

análise, o procedimento de Babuška foi adotado com tolerância de1 × 10−10 e

perturbação da diagonal principalε = 1× 10−8;

análise não-local: o raio adotado da análise não-local valernl = 1,5 cm. Este valor

foi escolhido para que coincidisse com largura da faixa de localização do dano;

localização do dano:para provocar a localização do dano optou-se por reduzir o pa-

râmetroεd0 para0,000 095 nos pontos de Gauss localizados entre210 e240 mm

da faceAB. Na malha da Figura 5.11(a) esses pontos pertencem às duas colunas

centrais de elementos;

integração numérica: foi adotada a quadratura de Gauss-Legendre. Para a malha da

Figura 5.11(a) foram utilizados2× 2 pontos de Gauss. Por sua vez, na malha da

Figura 5.11(b), foram empregados8 × 8 pontos de integração nas duas colunas

centrais de elementos e nos demais2 × 2 pontos. Dessa forma, consegue-se ter

na região de localização do dano um número equivalente de pontos segundo a

direçãox;

equilíbrio: para a aplicação do Método de Newton-Raphson, utilizou-se no critério

de convergência em energia, uma tolerância relativa de0,1% com relação ao

primeiro passo elástico. Os deslocamentos impostos foram divididos ao longo

de 13 passos, dos quais o primeiro corresponde a70% do valor final e cada um

dos demais passos representam um acréscimo de2,5%.


(a) Malha com 600 elementos (b) Malha com 8 elementos,p1 = 1 p2 = 1

(c) Malha com 8 elementos,p1 = 1 p2 = 2 (d) Malha com 8 elementos,p1 = 1 p2 = 3

(e)Malha com 8 elementos,p1 = 1 p2 = 4 (f) Malha com 8 elementos,p1 = 1 p2 = 5

Figura 5.12: Mapa da distribuição do dano


Na Figura 5.12 encontram-se representadas as distribuições do dano, para cada

uma das 6 análises, ao final da processo incremental de deslocamento. Observa-se, à

medida que se aumentap2, para as análises com a malha de 8 elementos, uma conver-

gência da faixa de localização do dano para a largura de3 cm, encontrada com a malha

de 600 elementos. Uma pequena diferença, contudo, entre os resultados da análise do

MEF e do MEFG comp2 = 5 merece ser salientada, podendo ser melhor observada

na Figura 5.13. Enquanto que na distribuição de dano obtida para a malha de 600 ele-

mentos a transição entre os valores máximos e mínimo é brusca, o mesmo não ocorre

na malha com enriquecimento polinomial. Explica-se esse fato pela suavização da

aproximação induzida pelo emprego do refinamento polinomial. Ainda assim, pode-se

dizer que o fenômeno de concentração do dano pôde ser bem representado com MEFG

através da técnica de enriquecimento da PU.

(a) Malha com 600 elementos, aproximação linear (b) Malha com 8 elementos,p1 = 1 p2 = 5

Figura 5.13: Superfície representativa do dano

Também com o MEF seria possível utilizar funções de grau polinomial mais ele-

vado. Estas, porém, exigiriam uma compatibilização das aproximações entre elemen-

tos caso o grau do polinômio variasse como neste exemplo. Esta preocupação não

existe quando a análise é realizada com o MEFG, conforme discutiu-se na seção 2.5.1.

88

Capítulo 6

Estimador de Erro

No exemplo da seção 5.3.1, foram necessários poucos elementos para aproxi-

mar a resposta não-linear de uma viga de concreto armado. Isto somente foi possí-

vel graças ao enriquecimento polinomial não uniforme realizado sobre as funções da

PU e que se concentrou na região de maior evolução do dano. A escolha de como

e quanto enriquecer cada nuvem foi resultado de uma seqüência de enriquecimentos

definidos de maneira intuitiva e testados para o problema. Utilizou-se, portanto, de

um processo meramente comparativo, não havendo garantias de se ter chegado a uma

descrição “ótima”, ou seja, aquela que, para um dado número de graus de liberdade,

permite obter o melhor resultado possível. Com esse intuito, porém, torna-se neces-

sário o emprego de medidas de erro que forneçam informações sobre a qualidade da

solução aproximada e em quais regiões ela precisa ser melhorada. Em uma aborda-

gem adaptativa, tais informações podem ser usadas para modificar automaticamente o

enriquecimento da PU, otimizando o processo de construção da aproximação.

No MEFG, a maneira como enriquecimento é realizado faz com que a introdução

de uma estratégia adaptativa torne-se bastante atraente. O sucesso desse empreendi-

mento depende, entretanto, da medida de erro adotada. Neste capítulo, são discuti-

dos uma medida de erro e os algoritmos adaptativos utilizados para as análises com o

MEFG, sejam elas lineares ou não-lineares, estas últimas governadas pelo fenômeno

de danificação. A medida utilizada para avaliar o erro da aproximação é obtida do

Método dos Resíduos em Elementos Equilibrados, adaptado à formulação do MEFG.

Antes, porém, são apresentados alguns conceitos essenciais, juntamente com uma pe-

quena revisão das pesquisas no tema erro e adaptatividade. Com essa revisão, não se

tem a pretensão de exaurir o assunto mas, apenas, apresentar o seu estágio atual de

desenvolvimento no qual este trabalho se insere.

Capítulo 6. Estimador de Erro 89

6.1 Conceitos e Definições para o Estudo de Erro

A seguir, são apresentados algumas definições e conceitos comumente usados

no estudo do erro. Para maiores detalhes, podem ser consultados DUARTE (1991),

SZABÓ; BABUŠKA (1991), BABUŠKA (1994a) e BABUŠKA (1994b) por exemplo.

erro: Seja a forma variacional do PVC definida em (3.12) e cuja a solução exata é

representada pela função vetorialu. Considera-se, também, a correspondente

aproximação de Galerkin (3.13) e a respectiva soluçãoudef= up ∈ Xp. Define-se

a função de erro da aproximaçãoup como:

epdef= u− up (6.1)

Em DUARTE (1991), observa-se que essa função não representa o erro total

da solução pois não leva em conta os erros de arredondamento, da integração

numérica, da representação do carregamento e da geometria;

condição de ortogonalidade do erro:Sendovp ∈ Xp ⊂ H1, a equação (3.12) pode

ser reescrita como:

B(u,vp) = l(vp) (6.2)

Subtraindo-se, então, (3.13) de (6.2) e pelo fato do funcionalB(•, •) ser bi-

linear, chega-se a seguinte expressão, ODEN; REDDY (1976):

B(u− up,vp) = B(ep,vp) = 0 (6.3)

que é interpretada como uma condição de ortogonalidade, ou seja, a função erro

ep da aproximação de Galerkin pertence ao espaço ortogonal aXp no sentido da

métrica definida pelo funcionalB(•, •);

norma energia: medida associada à forma bi-linearB(•, •) e definida como:

||w||Udef=

√B(w,w), ∀w ∈ H1 (6.4)

Observa-se que||w||2U corresponde ao dobro da energia de deformação,U, arma-

zenada na estrutura quando sujeita a um campo de deslocamentosw ∈ H1. No

contexto do MEF, a norma energia pode também ser definida para cada elemento

finito K como:


||w||U(K)def=

√BK(w,w), ∀w ∈ H1(K) (6.5)

em queBK(•, •) corresponde à restrição do operadorB(•, •) ao elementoK.

O valor da norma de energia para todo o domínio pode ser obtido a partir de

contribuições calculadas em cada elemento finito, ou seja:

||w||2Udef=

∑K∈Ω

BK(w,w) (6.6)

norma energia do erro: o erro de aproximação definido pela expressão (6.1) tem

como norma energia de (6.4):

||ep||U =√

B(ep, ep) (6.7)

Utilizando-se da condição de ortogonalidade (6.3) pode-se mostrar que para pro-

blemas lineares:

||ep||U =√

B(u,u)−B(up,up) (6.8)

estimador de erro global: medida do erro definida em termos de uma conveniente

norma. Empregando-se a norma energia, o estimador de erro global, também

denominado simplesmente de estimador de erro, é representado por:

||ep||U (6.9)

O símboloep é utilizado no lugar deep para lembrar que a medida em questão

corresponde a uma estimativa da norma do erro da aproximaçãoup, pois não

se conhece, em geral, a solução exatau. Na seção 6.3, em que o Método dos

Resíduos em Elementos, MRE, é apresentado,ep é obtido localmente sendo

denominado função indicadora de erro;

indicador de erro: medida representativa do erro local, limitada ao domínio do ele-

mento no contexto do MEF e definida de forma análoga à do estimador global. É

denominado indicador pois é empregado para indicar, no processo adaptativo, as

regiões em que o refinamento da solução deve ser realizado. No caso do MRE,


é definido pela norma de energia das funções indicadoras de erro e assume a

seguinte representação:

EK = ||ep||K (6.10)

contribuindo para o cálculo do estimador de erro global segundo o somatório

(6.6) para cada elemento finito:

||ep||2Udef=

∑K∈Ω

E2K (6.11)

erro relativo global: corresponde à razão entre as normas do erroep e da soluçãou,

calculadas para todo o domínioΩ. Empregando-se a norma energia tem-se:

E%def=||ep||U||u||U

× 100% (6.12)

No caso de se conhecer apenas a estimativa para o erro, representada por||ep||,bem como uma solução aproximadaup, a seguinte definição é empregada para

o erro relativo global estimado:

E%def=

||ep||U√(||up||U)2 + (||ep||U)2

× 100% (6.13)

erro relativo local: de forma consistente com a definição global, o erro relativo local

representa a razão entre as normas do erroep e da soluçãou em um elemento

finito K. Para o caso da norma energia define-se:

EK%

def=||ep||U(K)

||u||U(K)

× 100% (6.14)

Já o erro relativo estimado local é definido como:

EK%

def=

||ep||U(K)√(||up||U(K)

)2+

(||ep||U(K)

)2× 100% (6.15)

índice de efetividade: medida empregada para aferir a qualidade do estimador de


erro, sendo definido, globalmente, como:

θdef=||ep||U||ep||U

(6.16)

Pode-se também calcular o índice de efetividade para cada elementoK como:

θKdef=||ep||U(K)

||ep||(K)

(6.17)

O índice de efetividade somente pode ser obtido para problemas de soluções

conhecidas. O ideal, segundo SZABÓ; BABUŠKA (1991) é que se tenha0,8 ≤θ ≤ 1,2 e queθ → 1 quando||ep|| → 0. Nesse caso, o estimador é denominado

exato assintoticamente.

6.2 Estimadores de Erro e Adaptatividade

O estudo de erro e de procedimentos adaptativos corresponde a um capítulo à

parte no estudo dos Métodos Numéricos. Basicamente, define-se como adaptativo,

qualquer processo que se utilize de resultados intermediários, gerados durante a solu-

ção, para aprimorar, de modo ótimo, a resposta numérica. Várias são as estratégias

adaptativas utilizadas, em particular no MEF, e que podem ser estendidas aos métodos

numéricos em geral. Em todas elas, adotam-se, isoladamente ou combinados entre si,

os seguintes processos:

processoh: os elementos da malha são subdivididos em elementos menores, simul-

taneamente ou não. Tal processo corresponde, no Método das Nuvenshp e no

MGLE, à introdução de novos nós sobre o conjunto existente no domínio. No

MEFG não há diferenças com relação ao MEF;

processop: caracteriza-se pelo aumento no grau polinomial da aproximação em um

conjunto de elementos, ou mesmo em toda a malha. No MGLE, isso somente é

obtido com a introdução de novos monômios de ordem superior na base de fun-

çõesP responsável pela geração das funções originais. No Método das Nuvens

hp e no MEFG o enriquecimento polinomial é vinculado às nuvens e não mais

aos elementos, sendo obtido pela multiplicação das funções PU por monômios;


processor: os nós são redistribuídos ao longo do domínio. Tal definição é válida

também para o MGLE, para o Método das Nuvens e para o MEFG.

Pode-se ainda destacar o processos, proposto por FISH (1992) e FISH (1994),

em que novos elementos são sobrepostos à malha original, enriquecendo-a de maneira

hierárquica.

Por outro lado na seção 3.2.4, foi mostrada, por meio de um exemplo numé-

rico, a possibilidade de se melhorar a aproximação do MEFG através da multiplicação

da PU por funções não polinomiais. Abre-se, assim, a possibilidade de se ter um

novo tipo de processo adaptativo, em que a aproximação é enriquecida por funções

“especiais”. Para isto, é necessário que se tenha um banco de dados contendo tais

funções, bem como um critério vinculado, por exemplo, ao tipo de geometria, carrega-

mento e propriedades do material, que podem mudar durante a análise dependendo do

tipo de problema. Uma interessante discussão a esse respeito pode ser encontrada em

STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000) e, da mesma forma, em STROUBOU-

LIS; COPPS; BABUŠKA (2001).

Nas estratégias adaptativas, procura-se garantir, minimamente, a qualidade da

aproximação, mediante alguma medida de erro global. Quando essa medida é baseada

em informações extraídas da própria solução aproximada tem-se o estimador de erro

a posteriori. Uma medida bastante usada, especialmente para problemas elípticos, é a

estimativa da norma energia do erro global, representada em (6.9) por||ep||U. Por sua

vez, o refinamento da aproximação através de um dos processos adaptativos descritos

anteriormente, é deflagrado por medidas de erro locais, denominadas indicadores de

erro. Estas medidas indicam as regiões do domínio em que a discretização deve ser

melhorada. Como idéia básica adota-se, geralmente, o princípio da eqüidistribuição

de erro, discutido para o MEF em BABUŠKA; RHEINBOLDT (1979). Segundo esse

princípio, a aproximação é considerada “ótima” caso o erro medido na norma energia

seja constante em todos elementos do domínio. Dessa forma, a aproximação é refi-

nada nas regiões em que os indicadores de erro fornecerem valores bem superiores aos

encontrados no restante do domínio. Em SZABÓ; BABUŠKA (1991), afirma-se que,

mesmo apresentando um índice de efetividade pobre, expressão (6.17), os indicadores

podem ser utilizados com sucesso no processo adaptativo. Outro papel, muitas vezes

desempenhado pelos indicadores, é na construção do estimador de erro global. No

MRE, por exemplo, já citado na seção 6.1, o estimador global é obtido pela expressão

(6.11), através do somatório dos indicadores calculados em cada elemento finito.


No âmbito mais geral, abrangendo outros métodos numéricos, vários são os pro-

cedimentos difundidos na literatura para se ter um eficiente estimador. A maioria des-

ses procedimentos podem ser reunidos em dois grandes grupos, conforme a técnica

usada seja baseada em:

estimativa do resíduo: o estimador é construído a partir do resíduo da solução apro-

ximada e mede o quanto a solução obtida falha em satisfazer as equações dife-

renciais e as condições de contorno que governam o PVC;

pós-processamento dos gradientes da solução:sua idéia principal, bastante simples,

consiste em utilizar a diferença entre o gradiente da solução aproximada e uma

função recuperada de um pós-processamento dessa solução. A técnica de obten-

ção destas funções recuperadas, ou suavizadas, como muitas vezes são denomi-

nadas, varia entre as diversas versões presentes nessa categoria de estimadores.

Além dos estimadores reunidos nestas duas categorias, outros poderiam ser cita-

dos, tais como os métodos duais, métodos de interpolação e de análise assintótica.

6.2.1 Estimadores de Erro no MEF

Estimativas baseadas no resíduo da solução estão entre as primeiras técnicas a

considerar o erro de aproximação do MEF. Fundamentada nos trabalhos pioneiros de

Babuška e colaboradores, entre eles BABUŠKA; RHEINBOLDT (1978a), (1978b),

(1979), essa estratégia foi desenvolvida inicialmente na versão explícita em que as esti-

mativas de erro são calculadas diretamente das normas das funções de resíduo. Por sua

vez, a versão implícita do método teve sua formulação introduzida em trabalhos como

DEMKOWICZ; ODEN; STROUBOULIS (1984) e BANK; WEISER (1985). Nessa

abordagem, as funções determinadas pelo resíduo da solução são empregadas como

dados para PVC associados aos erros locais. A solução de cada um desses proble-

mas define as funções de erro empregadas para se construir o estimador de erro global

e também utilizadas como indicadores do procedimento adaptativo. Quando tais in-

dicadores são definidos em sub-regiões ou parcelas do domínio aproximado, tem-se o

Método dos Resíduos em Sub-domínios (MRS), BABUŠKA; RHEINBOLDT (1978a).

Por outro lado, quando o problema do erro é formulado para cada elemento isolada-

mente define-se o Método dos Resíduos em Elementos (MRE). Um importante estudo

a esse respeito pode ser encontrado em ODEN (1989).


Mais recentes que os métodos baseados no resíduo da aproximação, os estima-

dores obtidos do pós-processamento do gradiente da solução foram introduzidos em

ZIENKIEWICZ; ZHU (1987). Nesse trabalho, uma função contínua global é obtida a

partir da projeção dos gradientes da solução no espaço das funções de interpolação do

MEF. A técnica de projeção é do tipoL2, usada segundo ODEN; BRAUCHLI (1971).

Em ZIENKIEWICZ; ZHU (1992a) e ZIENKIEWICZ; ZHU (1992b) as funções suavi-

zadas passam a ser determinadas localmente por meio de um ajuste por mínimos qua-

drados dos valores obtidos em pontos do domínio denominados super-convergentes1.

Em razão da dificuldade de se obter tais pontos para diferentes tipos de aproxima-

ção, é proposto o Método de Recuperação pelo Equilíbrio das Parcelas (Recovery by

Equilibrium of Pathches), MREP, BOROOMAND; ZIENKIEWICZ (1997). Diversos

outros trabalhos, envolvendo estimadores baseados no pós-processamento do gradiente

da solução, podem ser, ainda, citados tais como BLACKER; BELYTSCHKO (1994),

CARSTENSEN; FUNKEN (2000a) e CARSTENSEN; FUNKEN (2000b).

Mais detalhes sobre os estimadores de erro no MEF podem ser encontrados por

exemplo em ODEN (1989), DUARTE (1991) e STROUBOULIS; HAQUE (1992).

Recomenda-se, também, a leitura da monografia de AINSWORTH; ODEN (1997),

onde uma vasta bibliografia é listada a esse respeito. Segundo os autores, a estru-

tura formal do MEF adaptativo para problemas elípticos lineares está, atualmente, bem

fundamentada, tendo alcançado sua maioridade. Diversas pesquisas, como em BA-

BUŠKA (1994a) e BABUŠKA (1994b), têm sido realizadas no intuito, apenas, de se

averiguar limites e eficiência dos diversos estimadores de erro existentes. Nota-se,

contudo, que o mesmo estágio de desenvolvimento não é observado para problemas

não-lineares e os estudos voltados para tais aplicações encontram-se, ainda, em franco

desenvolvimento.

O trabalho de RHEINBOLDT (1985) talvez seja um dos primeiros a utilizar a

teoria de estimadores de erro, no caso formulações baseadas no resíduo da solução, em

problemas com não-linearidade física. Também nessa linha, encontram-se experimen-

tações realizadas em RAMM; CIRAK (1997) para problemas de estruturas de paredes

finas com não-linearidade física ou geométrica.

Ainda em RAMM; CIRAK (1997) e particularmente CIRAK; RAMM (2000),

1Os pontos super-convergentes são posições do domínio em que se pode esperar que o gradiente daaproximação tem melhor taxa de convergência do que a própria solução aproximada, AINSWORTH;ODEN (1997). Tais pontos existem em condições muito especiais, e um extenso debate, ainda hoje, étravado a esse respeito como se verifica, por exemplo, em HILLER; BATHE (2001).


a partir do resíduo da solução e aplicando-se o teorema da reciprocidade de Betti e

Rayleigh, obtém-se um problema dual para a estimativa de erro em pontos de equilíbrio

do PVC não-linear. O carregamento para tal problema é determinado em analogia ao

conceito de linhas (ou superfícies) de influência, relacionando o erro de aproximação

em todo o domínio com uma variável considerada isoladamente. Campos de tensões e

deformações suavizadas são empregados em CIRAK; RAMM (2000) para calcular o

resíduo da solução.

Outro estimador baseado em técnicas duais pode ser encontrado no trabalho de

RANNACHER; SUTTMEIER (1999), proposto a partir da abordagem geral desenvol-

vida em JOHNSON; HANSBO (1992). Uma forma dual global e linearizada para o

PVC não-linear é estabelecida para o funcional representativo de uma quantidade física

de interesse, pontual ou não. A solução desse novo problema é utilizada como função

de ponderação dos resíduos locais do PVC, definindo um estimador de erro ponderado

para a quantidade física selecionada.

Nas abordagens baseadas no pós-processamento dos gradientes da solução po-

dem ser citados os trabalhos de BOROOMAND; ZIENKIEWICZ (1999) bem como

CARSTENSEN; ALBERTY (2000), ambos para problemas elasto-plásticos. No pri-

meiro, emprega-se o MREP para a condução do processoh-adaptativo em cada passo

do processo de solução incremental. Por sua vez, CARSTENSEN; ALBERTY (2000)

é um artigo de cunho teórico em que se procura mostrar a confiabilidade da classe de

estimadores desenvolvida por Zienkiewicz e Zhu.

Em GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (1996) e, posteriormente complemen-

tada em GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (2000) é proposta uma medida de erro

global associada à relação constitutiva e capaz de abranger não apenas o erro de apro-

ximação da malha, como também o erro devido à discretização no tempo, introduzido

pelo método incremental de solução do problema não-linear físico. Utiliza-se para

isso do postulado de estabilidade de Drucker, CHEN; HAN (1988), e de técnicas para

a construção de campos de tensões admissíveis.

Problemas com localização de deformação apresentam uma dificuldade a mais

com relação aos demais problemas com não-linearidade física: a perda da elipsidade

das equações de governo. Como os métodos baseados no resíduo da solução são for-

mulados para problemas elípticos, não podem ser aplicados nessa situação. Em OR-

TIZ; QUIGLEY, IV (1991), entretanto, define-se uma estratégia adaptativa na qual

procura-se refinar (tipoh) os elementos em que a variação da solução é observada den-


tro de uma certa tolerância prescrita. Também aplicado a problemas de localização,

destaca-se o trabalho de PERIC; YU; OWEN (1994), onde é apresentado um estima-

dor baseado na estratégia de suavização da solução de ZIENKIEWICZ; ZHU (1987),

adequadamente modificada para considerar o fenômeno estudado.

Existem, naturalmente, diversos outros estudos para o desenvolvimento de esti-

madores e estratégias adaptativas em problemas não-lineares. Os artigos citados são,

apenas, uma amostra do vasto campo de pesquisa existente. Juntamente com as in-

formações apresentadas na próxima seção, esta pequena revisão é, contudo, suficiente

para situar o leitor em que contexto a implementação de uma formulação adaptativa

para o MEFG é introduzida.

6.2.2 Estimadores de Erro no MEFG

O emprego de estimadores de erro juntamente com o MEFG é um campo ainda

pouco explorado. Explica-se esse fato mais pelo caráter recente do método do que por

“possíveis” diferenças em relação ao MEF.

Em DUARTE; ODEN (1996a), ainda na formulação do Método das Nuvenshp,

uma abordagem semelhante ao do método dos resíduos na versão explícita é empre-

gada para a solução de um problema de Poisson emR2. O erro estimado é utilizado na

condução de procedimentos adaptativos do tipoh, p ehp. No assim chamado MEFPU,

uma discussão teórica a esse respeito é conduzida, mas em um contexto em que a PU

é construída de forma genérica, seja pelo MMQM ou através de polinômios como no

MEF, BABUŠKA; MELENK (1997). Em ambos os trabalhos, o indicador de erro é

calculado em cada nuvem e não mais em elementos. Para isso, considera-se que as

funções de aproximação sejam regulares o suficiente para que as derivadas da solução

aproximada sejam contínuas ao longo de todo o domínio. Evita-se, assim, que saltos

nas derivadas tenham de ser calculados no interior das nuvens e no seu contorno.

Para o MEFG, propriamente dito, podem ser citados dois trabalhos em que os

estimadores de erro são discutidos, primeiramente em BABUŠKA (1997) e mais tarde

em STROUBOULIS; COPPS; BABUŠKA (2001). No primeiro deles, a solução do

MEFG para um problema de Laplace emR2 tem o seu erro estimado mediante dois

procedimentos: o MRE equilibrado e a diferença entre os gradientes da solução e de

seu valor recuperado a partir de um ajuste realizado por mínimos quadrados. Discute-

se, apenas, a eficiência dos estimadores sem introduzi-los em um procedimento adap-

tativo. Em STROUBOULIS; COPPS; BABUŠKA (2001), por sua vez, um problema


de Laplace emR2 é, novamente, analisado, considerando-se a presença de vazios no

domínio. A abordagem dada aos estimadores de erro tem relação com a técnica de pós-

processamento dos gradientes mas, ao contrário do que é geralmente adotado naquela

técnica, a função suavizada, ou recuperada,urecp , está associada, nesse caso, à própria

soluçãoup e não ao gradiente. Funções especiais podem ser incluídas e uma diferente

solução suavizada,urec,ωj , é obtida para cada nuvemωj, utilizando-se de ajuste por

mínimos quadrados. Obtêm-se, então, diversas descrições deurec,ωj que se sobrepõem

nas regiões de intercessão das nuvens. A “costura” entre estas descrições é realizada

através das funçõesNjNj=1 definidoras da PU, da seguinte maneira:

urecp =

N∑j=1

Njurec,ωjp (6.18)

Chega-se, então, à uma função suavizada globalurecp , que é empregada para o cálculo

dos indicadores de erro. Tais indicadores e o estimador correspondente são usados

dentro de um processo adaptativo do tipoh. A possibilidade de se utilizar um enrique-

cimentop-adaptativo não é explorada.

6.2.3 Estimador de erro no MEFG - Escolha e Justificativa

Desde o princípio deste trabalho, procurou-se priorizar a utilização de aproxi-

mações o máximo possível independentes de uma malha. Foi essa a razão da opção

inicial pelo Método das Nuvenshp e pelo MGLE, nos quais é suficiente a existência

de pontos nodais distribuídos de forma adequada para a construção da aproximação.

No MEFG, como já discutido no capítulo 2, a PU volta a ser definida sobre uma ma-

lha de elementos finitos. Por outro lado, pelos exemplos apresentados no capítulo 3,

mostrou-se que a estratégia de enriquecimento reduz significativamente a importân-

cia da malha, especialmente no que se refere à convergência da aproximação. Dentro

desse contexto, é natural que o algoritmo adaptativo implementado no MEFG procure

preservar a configuração inicial da malha e utilize o enriquecimento polinomial para

melhorar a aproximação. O estimador de erro deve, portanto, ser aplicável a esse tipo

de abordagem seja qual for o grau polinomial da aproximação. Sendo assim, para a

escolha do método de estimativa de erro foram consideradas as seguintes observações:

• Em BABUŠKA (1994a) são realizados extensivos testes numéricos com o mé-

todo dos resíduos, nas versões explícita e implícita, bem como com os métodos

de recuperação do gradiente da solução na versão inicial de ZIENKIEWICZ;


ZHU (1987) e na versão super-convergente de ZIENKIEWICZ; ZHU (1992a),

sendo esse último o que apresentou melhores resultados. Esta estratégia, entre-

tanto, não se aplica com a mesma eficiência quando o grau do polinômio repro-

duzido pelo espaço das aproximações for de ordem mais elevada. Nos testes

citados, por exemplo, foram utilizados somente elementos com aproximações li-

near e quadrática. Trabalhos como BOROOMAND; ZIENKIEWICZ (1997) e

CARSTENSEN; FUNKEN (2000b) discutem interessantes alternativas a esses

problemas, mas o assunto ainda se encontra em aberto;

• para a implementação de um procedimento adaptativo do tipop ou mesmohp

o MRE é perfeitamente aplicável, o que pode ser averiguado, por exemplo em

AINSWORTH; ODEN (1997) e ODEN (1989). Sua formulação, na qual a fun-

ção de erro é projetada em espaços polinomiais mais enriquecidos, está direta-

mente ligada à possibilidade de se realizar refinamentos do tipop;

• novamente em BABUŠKA (1994a), conclui-se que entre os estimadores de resí-

duo testados, o MRE na versão euilibrada é o mais robusto;

Diante das observações citadas, foi adotado, para a aplicação em análises adap-

tativas do tipop, o MRE na versão equilibrada. A próxima seção é dedicada à des-

crição dessa estratégia de estimativa de erro, apresentada segundo a formulação bi-

dimensional da elasticidade já empregada na seção 3.2.

6.3 Método dos Resíduos em Elementos

Por se tratar de uma aproximação, a solução numérica do problema variacional

(3.13) não verifica, exatamente, as equações do PVC (3.11). Surge, então, a questão

de se determinar, ou pelo menos estimar, o erro da solução obtida.

No MRE, funções resíduo, que medem a incapacidade da aproximação em veri-

ficar o PVC, são utilizadas para determinar os indicadores e o estimador de erro. A

seguir, tal estratégia é apresentada de forma conceitual, com o objetivo de introduzir

as expressões necessárias para sua implementação. O formalismo matemático, através

do qual demonstra-se a convergência do estimador para o erro exato da solução, pode

ser encontrado em ODEN (1989).

Considera-se, portanto, que o problema (3.13) tenha sido aproximado por fun-

ções pertencentes ao espaçoXp. Sejam, assim, a solução aproximadaup e o erro de


aproximaçãoep. Representando-se a solução exata sob a seguinte forma:

u = ep + up (6.19)

e utilizando-a em (3.11), tem-se que:

∇TΣ(ep + up) + b = 0 emΩ

ep + up = u emΓD

t(ep + up) = t emΓN

(6.20)

Ainda que não seja essencial para a formulação, assume-se que as condições de

contorno de Dirichlet sejam satisfeitas de maneira exata pela aproximaçãoup con-

forme AINSWORTH; ODEN (1997). Isto implica em se terup = u, ou seja,ep = 0

emΓD. Chega-se, então, a um novo PVC:

Encontrarep tal que:

∇TΣ(ep) + rΩ(up) = 0 emΩ

ep = 0 emΓD

t(ep) = rΓ(up) emΓN

(6.21)

onde são definidas os seguintes vetores resíduo no domínio e no contorno:

rΩ(up) = ∇TΣ(up) + b em Ω

rΓ(up) = t− t(up) em ΓN

(6.22)

Observa-se queup ∈ Xp ⊂ H1, não havendo garantias que∇TΣ(ep) exista em todas

as regiões do domínio (na fronteira dos elementos por exemplo). Por essa razão, o

problema (6.21) passa a ser interpretado a partir de sua forma fraca, isto é, o erroep

tem significado apenas como solução da forma variacional associada. Para encontrá-la,

parte-se, então, do seguinte problema:

Encontrarep ∈ H1 tal que:∫∫Ω

vT∇TΣ(ep) + rΩ(up)

lz dx dy = 0 ∀ v ∈ H1

(6.23)

ondev são funções teste de erro. Aplicando-se o teorema da divergência e escrevendo-


se as integrais a partir das contribuições por elementoK, tem-se que:

∑K∈Ω

∫

∂K

vT t(ep) lz ds−BK(ep,v) +

∫∫K

vTrΩ(up) lz dx dy

= 0

ondeBK(ep,vp) =

∫∫K

εT (v)σ(ep)lz dx dy, corresponde à parcela de contribuição

no elementoK paraB(ep,v).

Empregando-se, então, a definição det(ep) obtida de (6.21), chega-se a:

∑K∈Ω

BK(ep,v) =∑K∈Ω

∫

∂K∩ΓN

vTrΓ(up) lz ds+

∫∂K\∂Ω

vTp t(ep) lz ds

+

∫∫K

vTrΩ(up) lz dx dy

(6.24)

onde∂K \ ∂Ω refere-se à parte do contorno∂K do elementoK que não está contida

no contorno∂Ω do domínioΩ.

A princípio, o problema acima poderia ser aproximado por Galerkin, para um

espaço com dimensão superior à deXp em que a soluçãoup é definida. O custo

envolvido para a resolução de tal problema seria, contudo, equivalente ao de se repetir

a análise para uma melhor discretização, o que inviabilizaria tal procedimento. Por

essa razão, procura-se substituir (6.24) por problemas locais independentes, definidos

para cada elementoK. Surge, então, na fronteira entre elementos vizinhos uma nova

condição de contorno natural a ser considerada:

t(ep) = t(u)− t(up) em∂K \ ∂Ω (6.25)

Como não se conhece a funçãot(u), emprega-se como uma estimativa, a tensão média

atuante sobre as faces do elementoK. Dessa forma, em uma face qualquer deK

pertencente, também, ao elemento vizinhoK∗, o valor médio das tensões é definido

como:

〈t(up)〉mdef=

1

2

t(u∗p) + t(up)

=

1

2

σ(u∗p)n

K + σ(up)nK

(6.26)

onde o versornK é normal às faces deK, definido de modo a apontar para fora do

elementoK, eu∗p é a aproximação para os deslocamentos no elementoK∗. A condição


de contorno (6.25) é, então, substituída por:

t(ep) = 〈t(up)〉m − t(up) = [t(up)] em∂K \ ∂Ω (6.27)

onde[t(up)] é à metade do salto das tensões na face entre os elementosK eK∗:

[t(up)]def=

1

2

t(u∗p)− t(up)

(6.28)

Introduzindo-se a expressão (6.27) em (6.24), o seguinte problema de Neumman

pode ser estabelecido para cada elementoK:

Encontrarep ∈ H1(K) tal que:

BK(ep,v) =

∫∂K∩ΓN

vTrΓ(up) lz ds+

∫∂K\∂Ω

vT [t(up)] lz ds

+

∫∫K

vTrΩ(up) lz dx dy

(6.29)

Com base na condição (6.3), sabe-se que o erro é sempre ortogonal ao espaço

das aproximações,Xp, no sentido do operadorB(•, •). Por esta razão, o ideal seria

procurar a solução para o problema (6.29) em um espaço ortogonal aXp. Em face das

dificuldades de fazê-lo, procura-se utilizar aproximações consistentes do próprio erro.

O espaço adotado em ODEN (1989) para se construir a aproximação deep é for-

mado pelas funções bolhas do MEF hierárquico2, apresentando como características:

X0p+1(K) =

v0

p+1 ∈ Xp+1(K); Πp(v0p+1) = 0; v0

p+1 = 0 em∂K ∩ ΓD

(6.30)

ondeXp+1(K) representa, de forma genérica, um espaço de funções definidas emK

e com dimensão maior do que o espaçoXp(K) onde a soluçãoup é determinada. Na

definição deX0p+1(K) é utilizado o operador de interpolação localΠp, que projeta

funções do espaçoH1 restritas ao elementoK emXp(K), ou seja:

Πp : H1(K) → Xp(K)

vp|K= Πp(v)(6.31)

2Tais funções são denominadas em ODEN (1989) comobubble-like functionse abrangem as funçõesda formulação hierárquica do MEF, associadas aos nós de face e internos. Na verdade, apenas as funçõesassociadas aos nós internos apresentam, realmente, a forma de uma bolha no elemento finito.


Sendo assim, as funçõesv0p+1 devem se anular emΓD e pertencer ao espaçoXp+1(K),

além de serem ortogonais aXp(K) no sentido definido porΠp. No apêndice G a

escolha desse espaço de funções recebe uma maior atenção. Neste momento, porém,

basta entender que a função de erroep está sendo aproximada por um conjunto de

funçõesep ∈ X0p+1(K) definidas para cada elementoK e obtidas do seguinte problema:

Encontrarep ∈ X0p+1(K) tal que:

BK(ep,v0p+1) =

∫∂K∩ΓN

(v0p+1)

TrΓ(up) lz ds

+

∫∂K\∂Ω

(v0p+1)

T [t(up)] lz ds+

∫∫K

(v0p+1)

TrΩ(up) lz dx dy

(6.32)

A presença derΩ em (6.32) implica no envolvimento de derivadas de segunda ordem

da funçãoup. Para evitar a perda de informação, especialmente quandoup for linear,

propõe-se, em DUARTE (1991), uma simplificação de (6.32), integrando-se por partes

a parcela do resíduo. Chega-se, assim, à descrição final da aproximação de Galerkin

do problema (6.29):

Encontrarep ∈ X0p+1(K) tal que:

BK(ep,v0p+1) = LK(v0

p+1) ∀ v0p+1 ∈ X0

p+1(K)(6.33)

onde

LK(v0p+1)

def=

∫∫K

(v0p+1)

Tb lz dx dy −BK(up,v0p+1)

+

∫∂K∩ΓN

(v0p+1)

T t lz ds+

∫∂K\∂Ω

(v0p+1)

T 〈t(up)〉m lz ds

(6.34)

Até este ponto, as formulações do MRE foram apresentadas para o MEF hierár-

quico. Um problema equivalente pode ser definido se o espaço de funções bolha (6.30)

for construído a partir das funções de forma do MEFG. Neste texto, o espaço gerado

por tais funções é também referido como espaço de funções bolha e representado, de

forma análoga, porX0p+1(K). Deve-se observar, entretanto, que as funções de enri-

quecimento do MEFG não apresentam exatamente a forma de uma bolha. Anulam-se,

contudo, nos vértices assim como as funções do MEF hierárquico. Além disso, a repre-


sentação adotada restringe o espaço ao elementoK, quando na realidade as funções de

enriquecimento são associadas às nuvens, sendo construídas globalmente. O problema

(6.33), entretanto, continua a ser resolvido para o elemento e, por isso, o espaço de fun-

ções utilizado no MEFG mantém a mesma representação do MEF, ou seja,X0p+1(K),

em alusão ao elemento em que se calcula a função erro aproximada.

As funçõesep ev0p+1 podem, portanto, ser obtidas pelas funções do MEFG como:

ep = (Φ0p+1)

TI (6.35)

v0p+1 = (Φ0

p+1)TV 0 (6.36)

onde os seguintes vetores e matrizes são definidos, sendo o primeiro deles denominado

vetor dos indicadores de erro nodais:

(IK)T def=

[bx1q1(p)+1 by1q1(p)+1 · · · bx1q1(p+1) by1q1(p+1) · · ·

(6.37)

bxNqN (p)+1 byNqN (p)+1 · · · bxNqN (p+1) byNqN (p+1)

]

(V 0)T def=

[cx1q1(p)+1 cy1q1(p)+1 · · · cx1q1(p+1) cy1q1(p+1) · · ·

(6.38)

cxNqN (p)+1 cyNqN (p)+1 · · · cxNqN (p+1) cyNqN (p+1)

]

(Φ0p+1)

T def=

[p1q1(p)+1N1 0 · · · p1q1(p+1)Nq1(p+1)

0 p1q1(p)+1N1 · · · 0

0 · · · pNqN (p)+1NN 0

p1q1(p+1)Nq1(p+1) · · · 0 pNqN (p)+1NN

(6.39)

· · · pNqN (p+1)NpN (p+1) 0

· · · 0 pNqN (p+1)NpN (p+1)

]

Observa-se que(Φ0p+1) é obtido a partir da definição (3.18), eliminando-se das funções

de forma(Φp+1) os termos presentes em(Φp)T , que representam polinômios comple-

tos de graup+ 1 ep respectivamente.


O seguinte sistema de equações deve então ser resolvido para cada elementoK:

KKerI

K = RK (6.40)

onde são definidos de forma análoga à seção (3.2):

• matriz de rigidez:

KKer =

∫∫K

(B0p+1)

TCB0p+1 lz dx dy (6.41)

• vetor de forças residuais nodais generalizadas:

RK =

∫∫K

(Φ0p+1)b lz dx dy −KKU +

∫∂K∩ΓN

(Φ0p+1)t lz ds

+

∫∂K\∂Ω

(Φ0p+1) 〈t(up)〉m lz ds

(6.42)

• matriz de rigidez do elemento:

KK =

∫∫K

(B)TCB lz dx dy (6.43)

• operador:

B0p+1 = L

(Φ0

p+1

)T(6.44)

Conhecida então a funçãoep, para cada elementoK, pode-se determinar de (6.5),

a norma energia local:

EKdef= ||ep||U(K) = [BK(ep, ep)]

1/2 (6.45)

em queEK são os indicadores de erro, (6.10) e, por analogia, as funçõesep são deno-

minadas de funções indicadoras de erro. O estimador de erro global é obtido através da

expressão (6.6) pela contribuição dos indicadores locais, como já mostrado em (6.11)

e repetido a seguir:


||ep||U =

√∑K∈Ω

E2K (6.46)

Na abordagem do MEFG, torna-se interessante que se defina uma medida de erro

associada a cada nuvemωj, uma vez que o enriquecimento está vinculado aos nós e

não mais aos elementos. Como o sistema (6.40) é resolvido para cada elementoK, a

parcelaIωjdeIK associada à nuvemωj somente é válida no respectivo elementoK.

Para os elementos vizinhos deK e que também pertençam à nuvemωj haverá outros

valores paraIωj. Não existe, portanto, coerência em se calcular a norma energia de

uma função que estaria associada a cada nuvemωj e definida de maneira múltipla para

cada elemento dessa nuvem3. Para se ter tal medida, optou-se, então, por calcular a

média ponderada dos indicadores de erro, (6.45), de todos os elementosK contidos na

nuvemωj, usando, como peso, o volumeVK desses elementos. Dessa forma, define-se

o indicador de erro por nuvem como:

Eωj

def=

∑K∈ωj

VK||ep||U(K)

Vωj

(6.47)

ondeVωj=

∑K∈ωj

VK corresponde ao volume total da nuvemωj.

6.4 Equilíbrio dos Resíduos

O problema (6.32), que origina (6.33), corresponde para elementos no interior

de Ω a um problema de Neumman pois apresenta apenas as condições de contorno

naturais. Por essa razão, dependendo de como as expressões do lado direito são cons-

truídas, uma solução única pode não ser definida. O emprego do espaçoX0p+1 resolve,

em parte, esse problema, eliminado-se componentes da funçãoep que corresponde-

riam a modos equivalentes aos movimentos de corpo rígido. A formulação, entretanto,

permanece deficitária e, segundo AINSWORTH; ODEN (1997), é necessário que o

problema seja bem posto. Para isso, os dados,(rΩ, rΓ, [t(up)]), utilizados para o PVC

do erro devem ser alterados de tal maneira que se tornem auto-equilibrados.

Várias são as propostas para se impor o equilíbrio entre os dados calculados no

contorno e aqueles definidos no domínio de cada elemento. Entre elas podem ser cita-

das as de OHTSUBO; KITAMURA (1992), OHTSUBO; KITAMURA (1990) e LA-

3Uma alternativa que talvez merecesse atenção consiste em se definir o problema (6.23) não maispara o elemento mas para a nuvem, o que conduziria diretamente ao indicador de erro por nuvens.


DEVÈZE; MAUNDER (1996). Nos dois primeiros trabalhos, o equilíbrio é realizado

isoladamente em cada elemento, e é descrito, na formulação do MEF, para aproxima-

ções Lagrangianas e Serendípetas. Uma técnica de otimização é aplicada para corrigir

o vetor das forças residuais (6.42) que passa a ter componentes nulas de força e mo-

mento no elemento finito correspondente. Sua implementação é bastante simples e

implica em pequeno custo computacional. Não é, contudo, aplicável à versão hie-

rárquica do MEF pois nem todas as componentes do vetor equilibrado correspondem

fisicamente a forças. Também no caso de LADEVÈZE; MAUNDER (1996), a estra-

tégia sugerida é aplicada sobre o vetor de forças residuais, mas procurando-se, indire-

tamente, equilibrar os dados do problema. Em uma formulação hierárquica, é possível

equilibrar apenas as componentes deRK que mantêm a correspondência física com as

forças. O processo de equilíbrio em cada elemento envolve, entretanto, todos os seus

elementos vizinhos o que torna sua implementação mais onerosa do ponto de vista

computacional.

Como a construção das funções de aproximação no MEFG também se dá de

forma hierárquica, optou-se pela implementação da estratégia de Ladevèze & Maun-

der, sendo esse o assunto da próxima seção.

6.4.1 Estratégia de Equilíbrio de Ladevèze & Maunder

Em LADEVÈZE; MAUNDER (1996) utiliza-se do conceito de forças nodais e

do diagrama de forças de Maxwell para apresentar, geometricamente, uma estratégia

que recupera, no elemento finito, um campo de tensões equilibradas. Aplicada aos

resíduos de forças no contorno e no domínio, tal estratégia torna possível alterar o

vetorRK para o problema (6.40) tornando-o bem posto. Não é objetivo deste trabalho

esmiuçar esse assunto e, por isso, apenas uma idéia geral será apresentada.

Sabe-se da seção 6.3, que o vetorRK, (6.42), é construído a partir da expressão

(6.32) em que participam os dados de resíduorΩ, rΓ, calculados no elementoK, e

do salto de tensões nas faces deK, representado por[t(up)]. Geralmente, esse último

dado não se encontra em equilíbrio com os primeiros e, por isso, torna-se necessário

que tensões de correção,θK, sejam distribuídas ao longo dos lados do elementoK, de

modo que se tenha resultante nula para as forças:


∫∫K

rΩ lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

rΓ lz ds+

∫∂K\∂Ω

[t(up)] lz ds+

∫∂K

θK lz ds = 0 (6.48)

e para o momento:

∫∫K

(ρyrxΩ + ρxry

Ω) lz dx dy +

∫∂K∩∂Ω

(ρyrxΓ + ρxry

Γ) lz ds

+

∫∂K\∂Ω

(ρy [tx(up)] + ρx [ty(up)]) lz ds+

∫∂K

(ρyθK

x + ρxθKy

)lz ds = 0

(6.49)

onde é assumido o sentido horário como positivo para o momento eρx eρy são as dis-

tâncias emx e emy entre um pontox deK e uma posição qualquerx0 do domínioΩ.

Encontrar as distribuições de tensõesθK que corrijam o equilíbrio em cada ele-

mentoK e que não violem o balanço de forças dos nós não é tarefa simples de ser

realizada. Procurando realizá-la e também buscando reduzir o problema à solução de

um conjunto finito de equações, Ladevèze & Maunder utilizam-se, fundamentalmente,

do conceito de forças nodais equivalentes.

Dessa forma, para uma aproximaçãoup, o vetor de forças equivalentes de um nó

xj no elementoK pode ser definido como:

FKj

def=

∫∫K

φjrΩ lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

φjrΓ lz ds+

∫∂K\∂Ω

φj [t(up)] lz ds (6.50)

ondeφTj é uma sub-matriz de (3.21) que contém as funçõesφj associadas ao nóxj nas

direçõesx ey:

φTj =

[Nj 0 Lj1Nj · · · Ljqj

Nj 0

0 Nj 0 · · · LjqjNj

](6.51)

As componentes deFKj representam, então, os dados(rΩ, rΓ, [t(up)]) através de

valores nodais, podendo-se mostrar que:

∑K∈ωj

FKj = 0 (6.52)


ou seja, as forças nodais que incidem sobre o nóxj, computadas a partir dos elementos

que o contêm, estão sempre em equilíbrio.

No apêndice H, demonstra-se que se os vetoresFKj tiverem resultantes nulas

em força e momento, o equilíbrio do conjunto de dados(rΩ, rΓ, [t(up)]) fica também

assegurado. Com base nessa observação, as tensõesθK podem ser definidas como

aquelas que verificam a seguinte expressão, para cada nó do elementoK:

ΘKj +

∫∫K

φjrΩ lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

φjrΓ lz ds+

∫∂K\∂Ω

φj [t(up)] lz ds = 0 (6.53)

sendo:

ΘKj

def=

∫∂K

φj θK lz ds (6.54)

Observa-se que o equilíbrio é total, inclusive para o momento, pois todas as com-

ponentes de (6.53) para todos os nós deK são anuladas. Caso isso se verifique, o novo

conjunto de dados(rΩ, rΓ, [t(up)] ,θ

K)

fica, portanto, indiretamente equilibrado. No

apêndice H, mostra-se, também, que as componentes deΘKj vinculadas às funções

de aproximação enriquecidas pelo MEFG não alteram as condições de equilíbrio, mas

apenas aquelas associadas diretamente com a PU. Não é necessário, portanto, quando

houver o enriquecimento, que a distribuiçãoθK anule todas as componentes em (6.50).

Por essa razão, um novo vetorΘK

j , denominado vetor das forças nodais de correção

do equilíbrio, é definido:

ΘK

jdef=

∫∂K

N jθK lz ds (6.55)

onde é empregada a sub-matriz com as funções de interpolação do nóxj do ele-

mentoK:

N =

[Nj 0

0 Nj

](6.56)

A expressão (6.53) pode ser, então, reescrita como:


ΘK

j +

∫∫K

N jrΩ lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

N jrΓ lz ds+

∫∂K\∂Ω

N j [t(up)] lz ds = 0 (6.57)

Figura 6.1: Decomposição deΘKj = aΘ

Kj + bΘ

Kj

Uma segunda etapa do procedimento, por assim dizer, é agora introduzida e con-

siste em se obter, em cada face compartilhada por dois elementos vizinhos, uma mesma

distribuição de tensões de correção. Para isso, considera-se o elemento quadrilátero,

K = E, da Figura 6.1. Em cada vérticej, ΘE

j pode ser divido em duas parcelasaΘE

j

e bΘE

j , associadas a cada um dos dois ladosa e b que contêm o nóxj. Para se garantir

a definição única das tensões de correção, é necessário que tais parcelas sejam defini-

das com o mesmo módulo mas de sentido contrário às correspondentes nos elementos

vizinhos. Este processo de balanceamento não pode se restringir a um único elemento,

devendo ser considerada a interação entre todos os elementos da nuvem que contém o

nóxj, como ilustra a Figura 6.2(a).

Para melhor entender esse processo, recorre-se a uma representação geométrica

através do diagrama de Maxwell. Na Figura 6.2(b), por exemplo, encontram-se pre-

sentes as forças nodais de correção e sua decomposição em parcelas para cada lado dos

elementos que compartilham o nóxj. Seja qual for a posiçãoxp, as parcelas de força

assim obtidas garantem a continuidade das tensões de correção entre elementos. Uma

alternativa é se calcular o pontoxp como o centróide das massas(ma,mb,mc,md)

que são, na realidade, pesos escolhidos conforme a estratégia adotada. Para as análi-

ses numéricas apresentadas nas seções (6.5) e (6.7) adota-se, conforme utilizado em

LADEVÈZE; MAUNDER (1996):

mα =1

L2α

(6.58)


(a) Nuvemωj e a decomposição das forças residuais nodais

(b) Equilíbrio nodal - Diagrama de Maxwell

Figura 6.2: Processo de balanceamento das forçasΘKj respeitando-se o equilíbrio nodal


ondeLα corresponde ao tamanho do ladoα = a, b, c, d

Conhecendo-se, então, as parcelas de forças nodaisαΘKj , para as facesα =

a, b, c, d que compartilham o nóxj retorna-se à expressão (6.55), obtendo-se, para

cada elementoK = C,D,E, F :

αΘK

j =

∫α

N jαθK lz ds (6.59)

ondeαθK corresponde à distribuição de tensãoθ presente na faceα do elementoK.

Assume-se que cada uma dessas tensões sejam geradas pelas funções da PU, ou seja:

αθK = NKj

αθKj + NK

iαθK

i (6.60)

sendoi e j os vértices da faceα.

Chega-se, então, para cada faceα, ao seguinte sistema de equações:

ANbθ = cΘ (6.61)

sendo:

AN =

∫α

(NK

j

)2lz ds

∫α

(NK

j NKi

)lz ds 0 0

∫α

(NK

i NKj

)lz ds

∫α

(NK

j

)2lz ds 0 0

0 0

∫α

(NK

j

)2lz ds

∫α

(NK

j NKi

)lz ds

0 0

∫α

(NK

j NKi

)lz ds

∫α

(NK

j

)2lz ds

cΘ =

(αΘK

j

)x(

αΘKi

)x(

αΘKj

)y(

αΘKi

)y

bθ =

(αθK

j

)x(

αθKi

)x(

αθKj

)y(

αθKi

)y


onde(•)

xe

(•)

ycorrespondem às componentes nas direçõesx e y e αΘK

j e αθKj são

elementos dos vetoresαΘK e αθK respectivamente.

Conhecidos os valores deαθKj para cada faceα e nóxj do elementoK, as tensões

de correçãoθK são construídas através da expressão (6.60). O novo conjunto de dados

(rΩ, rΓ, [t(up)] ,θK) pode ser, então, empregado para o problema (6.32), gerando o

seguinte sistema de equações, agora bem posto:

KKIK = RKequi (6.62)

em que:

RKequi =

∫∫K

(Φ0p+1)b lz dx dy −KKU +

∫∂K∩ΓN

(Φ0p+1)

T t lz ds

+

∫∂K\∂Ω

(Φ0p+1)〈t(up)〉m lz ds+

∫∂K

(Φ0p+1)θ

K lz ds

(6.63)

6.4.2 Algoritmo Adaptativo

Os algoritmos adaptativos utilizados, 6.1 e 6.2, correspondem à versãop, utili-

zado em DUARTE (1991) e ODEN (1989), e fundamentam-se no princípio da eqüi-

distribuição da norma do erro pelo domínio aproximado. O erro é controlado em dois

níveis, um global através do estimador (6.46) e outro local por meio de indicadores de

erro. O procedimento adaptativo prossegue enquanto o erro relativo estimado global

E%, (6.13), for superior a uma tolerânciaTOLerro adotada para o problema. A determi-

nação das regiões que devem ser enriquecidas é conduzida pelos indicadores de erro,

EK, (6.45), ouEωj, (6.47), que podem estar vinculados aos elementos ou às nuvens

respectivamente. Define-se um parâmetro,υ, que caracteriza a velocidade de conver-

gência do procedimento adaptativo. Primeiramente, calcula-se o indicador de maior

valor, Emax. Determina-se, então, que se realize o refinamento em todas as regiões que

apresentarem os indicadores superiores aυEmax4. Dessa forma, se uma determinada

região tem a aproximação caracterizada pelo grau polinomialp, o refinamento, caso

seja necessário, deve ser tal que a nova aproximação seja de ordemp+ ip, sendoip um

4O parâmetroυ é responsável pela velocidade da convergência do procedimento adaptativo. Quantomenorυ maior o número de regiões refinadas em cada passo. Como conseqüência, chega-se à tolerânciaadmitida para o erro com um menor número de passos mas a aproximação final fica mais distante daótima, DUARTE (1991)


valor pré-estabelecido. Por outro lado, sep for igual a um valor máximopmax, adotado

para a análise adaptativa, a respectiva região não deve ser refinada. Esta estratégia visa

limitar o graup da aproximação para que esse não aumente indefinidamente. Se todas

as regiões determinadas pelo indicador para serem refinadas já apresentaremp = pmax,

então é necessário reduzir o parâmetroυ. Dessa forma o processo adaptativo pros-

segue, incrementando a aproximação de novas regiões, e possibilitando a redução do

erro global. Caso não existam outras regiões disponíveis para o refinamento, ou seja,

se em todas elasp = pmax, não há como se reduzir a norma energia do erro estimado,

através do refinamento polinomial, para a malha de elementos adotada. O algoritmo é,

portanto, interrompido. Para o controle desse processo são empregados o contadorifim

e a variávelnυ, conforme é mostrado nos algoritmos 6.1 e 6.2.

Na descrição acima, optou-se por usar, propositadamente, o termo “regiões” para

se definir como o refinamento é conduzido. Dessa forma, a descrição dada permanece

válida para as duas estratégias esquematizadas nos algoritmos 6.1, e 6.2, em que o pro-

cedimento adaptativo é baseado, exclusivamente, em indicadores associados às nuvens

e aos elementos respectivamente. É preciso que se entenda que o cálculo do estimador

global, em ambos os algoritmos, permanece sendo realizado a partir dos indicadores

locais em elementos, expressão (6.46). No algoritmo 6.1, entretanto, os indicadores

em elementos são utilizados, também, para se definir os indicadores em nuvens,Eωj

através da expressão (6.47). Como visto na seção 2.5.1, o enriquecimento da aproxi-

mação no MEFG é definido em cada nuvem e não mais nos elementos, como ocorre

com o MEF. Por essa razão, é natural que se utilize como indicador de erro para as

N nuvensωj que aproximam o domínioΩ, a medidaEωj. É esse o esquema adotado,

portanto, no algoritmo 6.1.

Por outro lado, ainda que o refinamento continue sendo realizado para as nuvens,

é o indicador de erro do elemento,EK, que conduz o processo adaptativo no Algo-

ritmo 6.2. Dessa forma, se em um determinado elementoK tem-seEK > υEmax,

as quatro nuvens associadas aos vértices do elemento devem ser enriquecidas. Tal

procedimento precisa, contudo, que seja restringido para evitar que combinações de

indicativos de refinamento entre elementos vizinhos produza um enriquecimento des-

necessariamente elevado. Para isso, define-se o controladorpK, que armazena o grau

polinomial mais baixo definido pelas funções associadas aos nós do elementoK. Ne-

nhuma nuvem deK, cuja função de aproximação já tenha alcançado ordem superior

a pK, pode ser novamente enriquecida. Dessa forma, em um dado elemento, apenas


Algoritmo 6.1 Algoritmo Adaptativop - análise linear - versão em nuvensLeitura dos dados geométricos, da aproximação e do carregamentoLeitura deυ, TOLerro, pmax, iprepita

MontaK, FResolve o sistemaKU = Fpara K = 1 atéNEL faça

MontaKK, θK eRKequi

Resolve o sistemaKKIK = RKequi

CalculaEK = ||ep||U(K)

||ep||2U = ||ep||2U +(EK

)2

fim para||ep||U =

√||ep||2U

E% = ||ep||U/||up||UseE% ≤ TOLerro então

Finaliza o algoritmo Convergência do procedimento adaptativosenão seE% > TOLerro entãonυ = 0ifim = 0repita

para ωj = 1 atéN façaCalculaEωj

=∑

K∈ωjVKEK/Vω|

fim paraEmax = max

(Eωj

, ωj = 1, · · · , N)

para ωj = 1 atéN façaseEωj

≥ υEmax entãosepωj

< pmax entãopωj

= pωj+ ip Enriquecimento da nuvemωj

nυ = 1senãoifim = ifim + 1

fim sefim se

fim paraseifim = N então

Interrompe a análise Não há como se alcançarTOLerrosenão senυ = 0 entãoυ = 0,9υ

fim seaténυ = 1

fim sefim repita


Algoritmo 6.2 Algoritmo Adaptativop - análise linear - versão em elementosLeitura dos dados geométricos, da aproximação e do carregamentoLeitura deυ, TOLerro, pmax, iprepita

MontaK, FResolve o sistemaKU = Fpara K = 1 atéNEL faça

MontaKK, θK eRKequi

Resolve o sistemaKKIK = RKequi

CalculaEK = ||ep||U(K)

||ep||2U = ||ep||2U +(EK

)2

fim para||ep||U =

√||ep||2U

Emax = max(EK,K = 1, · · · , NEL

)E% = ||ep||U/||up||UseE% ≤ TOLerro então


para K = 1 atéNEL façaseEK ≥ υEmax então

para ωj ∈ K façase(pωj

< pmax) e (pωj≤ pK) então

pωj= pωj

+ ip Enriquecimento da nuvemωjnυ = 1

fim sefim parasenenhuma nuvem deK foi enriquecidaentãoifim = ifim + 1

fim sefim se

fim paraseifim = NEL então


fim seaténυ = 1

fim sefim repita


as nuvens de grau polinomial mais baixo são enriquecidas. Se no elemento vizinho

um novo enriquecimento for exigido, aquelas nuvens anteriormente enriquecidas já se

encontram com aproximação de grau superior aopK do presente elemento. Evita-se,

assim, que a mesma nuvem seja enriquecida repetidamente para cada verificação por

elemento.

6.5 Exemplos Numéricos

Nas duas seções seguintes, são apresentados dois exemplos numéricos, utilizados

para se averiguar a implementação do estimador de erro e do procedimento adaptativo

na abordagem do MEFG. Os problemas selecionados foram introduzidos no capítulo 3.

Em todas as análises foi utilizado o MRE com o equilíbrio imposto pela estratégia

de Ladevèze & Maunder, seção 6.4. Os sistemas de equações (3.23) e (6.62) foram

resolvidos pelo procedimento de Babuska adotando-seTOL = 10−10 e ε = 10−12.

O objetivo principal do primeiro exemplo consiste em mostrar a boa qualidade do

erro estimado nos níveis local e global. O problema (6.33) é resolvido considerando-

se não apenas o espaçoX0p+1(K) mas tambémX0

p+1,p+2(K) que contém o primeiro e

inclui novas funções de forma do MEFG utilizadas na representação de polinômios

de graup + 2. Estes dois espaços são novamente empregados para estimar o erro no

segundo exemplo. Além disso, são também apresentados os resultados para as aná-

lises adaptativas realizadas segundo os algoritmos 6.1 e 6.2. Não se pretende aqui

estabelecer conclusões adicionais às encontradas na literatura do MEF no contexto de

estimadores de erro. A finalidade é mostrar a validade das estratégias de erro e como

estas podem ser empregadas na abordagem do MEFG, salientando-se suas peculiari-

dades e influência nos resultados das análises numéricas.

6.5.1 Viga Engastada

Figura 6.3: Malha formada por 10 elementos regulares quadrangulares


O problema da viga engastada da seção 3.2.1 é aproximado pela malha de elemen-

tos apresentada na Figura 6.3. Recorda-se, que os vínculos utilizados servem somente

para eliminar os movimentos de corpo rígido pois, como já foi observado naquela se-

ção, a estrutura é equilibrada pelas condições de contorno naturais. A aproximação

utilizada é linear (p = 1), não havendo, portanto, funções enriquecidas.

Na seção 6.3, o espaço utilizado para a aproximação de Galerkin do problema

(6.33) foi definido de forma genérica comoX0p+1(K). O índicep + 1 significa que as

funções presentes nesse espaço representam polinômios de grau superior àqueles re-

presentados pelas funções da aproximaçãoup. Teoricamente, quanto maior a dimensão

do espaço das funções bolha melhor deve ser a estimativa do erro. Normalmente, en-

tretanto, são usados espaços cujas funções reproduzem polinômios de um grau a mais

apenas, daí a representaçãoX0p+1(K). Em DUARTE (1991) sugere-se a ampliação

desse espaço para dois graus a mais, ou seja:

X0p+1,p+2(K) =

v0

p+1,p+2 ∈ Xp+2(K) ⊂ H1;

Πp(v0p+1,p+2) = 0, v0

p+1,p+2 = 0 emΓD

(6.64)

Possibilita-se, assim, que novas componentes do erro, que não seriam consideradas no

espaçoX0p+1(K) venham a ser aproximadas.

Neste exemplo, os dois espaçosX0p+1(K) eX0

p+1,p+2(K) são empregados, definindo-

se os dois estimadores descritos a seguir:

MRE2 : o procedimento é o mesmo descrito na seção 6.3, em que o problema (6.33)

é construído para o espaçoX02, ou seja, uma ordem superior à empregada para

análise. As funções bolha empregadas em cada nóxj são portanto:

(Φ0

2

)T

j=

Nj

(x− xj

hj

)0 Nj

(y − yj

hj

)0

0 Nj

(x− xj

hj

)0 Nj

(y − yj

hj

) (6.65)

MRE2,3 : as funções locais do erro são aproximadas no espaçoX02,3, ou seja, uma e

duas ordens acima da empregada na fase de análise. Sendo assim, às funções

bolha de (6.65) são acrescentados mais alguns termos, resultando em:


(Φ0

2,3

)T

j=

Nj

(x− xj

hj

)0 Nj

(y − yj

hj

)0

0 Nj

(x− xj

hj

)0 Nj

(y − yj

hj

)(6.66)

Nj

(x− xj

hj

)2

0 Nj

(y − yj

hj

)2

0

0 Nj

(x− xj

hj

)2

0 Nj

(y − yj

hj

)2

Como a solução analítica é conhecida, (3.28) e (3.29), torna-se possível determi-

nar, os valores global e para cada elementoK das normas exatas||ep||U e ||ep||U(K)

respectivamente. Estes valores são utilizados no cálculo do índice de efetividade do

erroθ para toda a estrutura, (6.16), e por elemento, (6.17). Os resultados, para os dois

estimadores de erro, são exibidos na Figura 6.4.

No que se refere à integração numérica, existe a possibilidade de serem adotadas

diferentes ordens de quadratura para a construção do sistema (3.23), na fase de análise,

e do sistema (6.62) na fase de estimativa do erro. Optou-se, entretanto, por empregar

NG = 3 × 3 pontos de Gauss-Legendre, correspondente ao número necessário para

uma integração exata na fase de estimativa do erro.

(a) MRE2 - Valor globalθ = 0,820

(b) MRE2,3 - Valor globalθ = 0,878

Figura 6.4: Índices locais de efetividade da malha da Figura 6.3, para cada elemento

Analisando-se os resultados, Figura 6.4, nota-se que a norma do erro foi melhor

representada pelo estimador obtido através do MRE2,3. Este fato já deveria ser espe-


rado, uma vez que se ampliou o espaço para a aproximação do erro. A diferença entre

as duas estimativas, entretanto, é pequena o que possibilita concluir que a parcela mais

significativa do erro é quadrática, apenas um grau a mais do que aproximação linear

da solução. Por outro lado, no elemento localizado na extremidade direita da viga, em

que se registra a maior diferença entre os índices de efetividade, a componente cúbica

do erro adquire maior importância.

Outro fator importante a ser considerado na definição de qual espaço aproximar

as funções locais de erro corresponde ao custo computacional envolvido na solução

do problema (6.33). Quanto maior a dimensão do espaço de funções bolha, maior o

número de graus de liberdade para se descrever a aproximação das funções de erro

e, conseqüentemente, maior o custo computacional exigido. Das expressões (6.65) e

(6.66), observa-se que ocorre um acréscimo de duas funções por nó. Em um processo

p-adaptativo, em que elevadas ordens polinomiais são empregadas na aproximação da

solução, esse acréscimo pode ser ainda maior. DeX04(K) paraX0

4,5(K), por exemplo,

pode-se mostrar que são4 funções a mais e deX05(K) paraX0

5,6(K) são introduzidas7

novas funções. Para um problema com um elevado número de elementos o custo com-

putacional do estimador de erro pode ser, portanto, bastante inflacionado pela projeção

do erro em espaços do tipoX0p+1,p+2(K).

Resumindo, a diferença entre as duas estimativas de erro, para o exemplo apre-

sentado, não é tão grande a ponto de prejudicar, por exemplo, uma análise adaptativa.

Torna-se, então, mais interessante que espaços de menor dimensão comoX0p+1(K) se-

jam empregados. Deve-se, entretanto, ter sempre em consideração que os estimadores

obtidos com espaçosX0p+1,p+2(K) são mais robustos por serem menos passíveis de

falhar em problemas cuja a solução apresente caráter predominantemente par ou ím-

par, DUARTE (1991). Por estas razões na escolha de qual espaço aproximar o erro,

é sempre importante que sejam levados em conta a qualidade da estimativa e o custo

computacional para obtê-la.

Um outro experimento numérico realizado consiste na análise do estimador MRE2

com relação à convergência do índice de efetividade. Para isso, foi utilizada uma

seqüência de três malhas “aninhadas”. Tendo-se como original a malha da Figura 6.3,

cada malha subseqüente é obtida dividindo-se em quatro os elementos da malha an-

terior. Sendo assim, o erro estimado global foi calculado para malhas com 10, 40 e

160 elementos e os resultados para os correspondentes índices de efetividade, (6.16),

são apresentados na Figura 6.5. O refinamento é caracterizadas pela dimensãoh, cor-


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,301/h

θθ

Figura 6.5: Índice de efetividade de MRE2 para uma seqüencia de 3 malhas aninhadas

respondente ao raio das nuvens empregadas, ou seja, à diagonal do elemento quadran-

gular. Pelo comportamento da curvaθ × 1/h conclui-se que, para esse problema, o

estimador de erro MRE2 é assintoticamente exato.

Como último teste, os dois métodos MRE2 e MRE2,3 foram avaliados com uma

malha em que os elementos se encontram bastante distorcidos, Figura 6.6(a). As mes-

mas considerações feitas anteriormente, para a análise e estimativa de erro, são adota-

das, exceto com relação à integração numérica. Devido à distorção da malha o jacobi-

ano do mapeamento entre os elementos mestre e real torna-se racional e, por isso, as

integrações numéricas realizadas no interior dos elementos exigem um maior número

de pontos da quadratura. Outro fator que deve ser comentado refere-se ao equilíbrio

dos resíduos. Caso a ordem da quadratura na fase de análise seja diferente daquela

usada na fase de estimativa de erro a integral do jacobiano não fornecerá o mesmo

valor. Como conseqüência, o equilíbrio nodal deixa de ser averiguado na fase de es-

timativa de erro, pois esse foi imposto durante a análise, com base nas integrações

numéricas então realizadas. O método de equilíbrio de Ladevèze & Maunder falha,

portanto, no momento de se empregar o diagrama da Figura 6.2(b). Para se evitar tal

problema procurou-se usar o mesmo número de pontos na integração numérica para as

fases de análise e de estimativa. No problema estudado, foram adotadosNG = 5× 5,

para ambos os MRE2 e MRE2,3.

Os índices de efetividade para os dois estimadores são apresentados para cada

elemento da malha nas Figuras 6.6(b) e 6.6(c). Observa-se que os os índices de efeti-


(a) Malha adotada

(b) MRE2 - Valor globalθ = 0,558

(c) MRE2,3 - Valor globalθ = 0,663

Figura 6.6: Índices locais de efetividade - Malha de elementos distorcidos

vidade do elemento e global são inferiores aos encontrados para as análises anteriores.

A explicação para tais resultados está no erro de aproximação, que para a análise com

elementos distorcidos temE% = 75,18%, bem superior ao encontrado na análise com

elementos regulares,E% = 57,13%. Caso os elementos da malha da Figura 6.6 sejam

divididos ao meio e nova análise seja realizada, obtém-se um índice de efetividade glo-

bal θ = 0,634 para o MRE2 e θ = 0,700 para o MRE2,3, indicando uma melhora na

estimativa de erro, como deve ocorrer para um estimador assintoticamente exato. No

que se refere à comparação entre as estimativas com o MRE2 e o MRE2,3, permanecem

válidas as conclusões extraídas dos resultados obtidos com elementos regulares.

6.5.2 Chapa com Orifício

Neste exemplo, considera-se, novamente, o problema da seção 3.2.2. Na Figura

6.7, encontra-se representada a malha de elementos adotada. Dois experimentos foram

realizados. No primeiro deles, repete-se o estudo com os estimadores do MRE2 e do

MRE2,3, realizado na seção 6.5.1. Em todo o processo de análise e de estimativa de

erro e para ambos os métodos, foram empregados4 × 4 pontos de Gauss-Legendre


Figura 6.7: Malha de elementos adotada

por elemento. A Figura 6.8 apresenta os valores locais e globais do índice de efetivi-

dade dos estimadores de erro empregados. Observa-se que, da mesma forma que na

seção 6.5.1, o estimador obtido com o MRE2,3 tem os melhores valores paraθ. Ainda

assim, pode-se dizer que, para o MRE2 os resultados são, também, muito bons. Nos

elementos que contornam o orifício, foram utilizadas as funções de mistura para se

descrever as faces curvas. Por essa razão, o mapeamento entre os elementos mestre

e real deixa de ser linear. Como conseqüência, a aplicação da estratégia de Ladevèze

& Maunder não assegura que os dados para o vetorRKequi verifiquem o equilíbrio do

momento, conforme se discute no apêndice H para as expressões (H.8). Apesar disso,

os indicadores de erro calculados para os elementos de face curva apresentamθ ≈ 1.

(a) MRE2 - Valor globalθ = 0,939 (b) MRE2,3 - Valor globalθ = 1,002

Figura 6.8: Índices locais de efetividade - malha com aproximação linear


O segundo experimento consiste em se aplicar o procedimentop adaptativo, atra-

vés dos dois algoritmos descritos na seção 6.4.2. Para a análise e estimativa foram

feitas as seguintes considerações:

integração Numérica : para a análise e estimativa de erro correspondentes ao pri-

meiro passo do procedimento adaptativo, correspondente à aproximação linear,

foi adotado NG= 4× 4 pontos de Gauss-Legendre por elemento. Para os passos

seguintes, em que a ordem polinomial das funções em cada nuvem varia con-

forme o refinamento exigido, o número de pontos da quadratura foi elevado de

forma consistente com a aproximação construída nos respectivos elementos;

erro relativo almejado : definiu-se que o erro relativo estimado deve ser menor ou

igual a1%, ou seja,E% ≤ 1% (TOLerro = 1%). Observa-se que, no lugar do

erro relativo exato,E%, emprega-se o valor estimadoE%, expressão (6.13);

velocidade de convergência: em DUARTE (1991) argumenta-se, com base no traba-

lho de LYRA (1988) em problemas de potencial, queυ deve ser superior a 0,4.

Sendo assim, foi adotadoυ = 0,5;

ordem polinomial máxima : para evitar problemas de condicionamento da matriz de

rigidez, adotou-sepmax = 8;

método de estimativa de erro: foi empregado o MRE equilibrado com projeção do

erro no espaçoX0p+1, ou seja MREp+1. Esta decisão baseia-se nos resultados ob-

tidos para as estimativas de erro com o MRE2 e MRE2,3 que, para este problema,

não se distanciaram muito uma da outra. Acredita-se, portanto, que a superi-

oridade demonstrada por uma utilização do MREp+1,p+2 seria prejudicada pelo

elevado número de graus de liberdade exigido ao longo do refinamento adapta-

tivo.

Algoritmo 6.1 Algoritmo 6.2

Iteração NGL θ E% NGL θ E%

1 70 0,938 9,70% 70 0,938 9,70%2 114 0,930 5,32% 118 0,933 4,98%3 210 0,938 2,08% 222 0,958 1,81%4 286 0,970 1,00% 354 0,917 0,49%

Tabela 6.1: Índices globais de efetividade para as iterações dos refinamentos adaptativos -MREp+1


0

2

4

6

8

10

12

0 100 200 300 400

NGL

Algoritmo. 6.1Algoritmo. 6.2

Figura 6.9: Erro relativo para as iterações dos refinamentos adaptativos

Na Tabela 6.1 encontram-se registrados o índice de efetividade, erro relativo exato

e número de graus de liberdade (NGL) para cada passo das duas análises adaptativas

realizadas. Nota-se que, em ambos os casos, o índiceθ esteve sempre próximo da

unidade. Na comparação entre as duas análises, utilizando-se o Algoritmo 6.2 chega-se

a um nível de erro inferior ao obtido com o Algoritmo 6.1, porém com umNGLmaior.

Para melhor entender como a análise adaptativa se comporta com relação aos dois

algoritmos recorre-se ao gráfico da Figura 6.9, observando-se uma certa equivalência

entre ambos as estratégias. Uma conclusão definitiva sobre qual o melhor algoritmo

exige, na verdade, análises mais profundas, fundamentas em uma razoável quantidade

de experimentos numéricos.

(a) Indicadores em nuvens, Algoritmo 6.1 (b) Indicadores em elementos, Algoritmo 6.2

Figura 6.10: Resultado final do refinamentop-adaptativo, MREp+1


Na Figura 6.10, estão representados os enriquecimentos das nuvens obtidos ao

final das duas análises adaptativas. Uma pequena diferença é encontrada para as apro-

ximações definidas pelos dois algoritmos. Com o algoritmo (6.1) o refinamento é rea-

lizado de maneira independente dos elementos. Explica-se, por isso, a maior variação

entre os enriquecimentos de nuvens vizinhas.

6.6 Medida de Erro em Análise Não-Linear

Na seção 6.2.2, justificou-se o emprego do MRE por diversos fatores, entre eles

o interesse em se aplicar o refinamento do tipop, dada a facilidade com que esse é rea-

lizado no MEFG. Os resultados apresentados na seção (6.5) comprovaram a eficiência

do estimador de erro e do procedimento adaptativo empregados, sob a abordagem do

MEFG, para a análise numérica de problemas de elasticidade-linear. Para a análise

dos problemas não-lineares apresentados neste trabalho, procurou-se aplicar o MEFG

sob o mesmo enfoque dos problemas lineares, ou seja, construindo-se a solução apro-

ximada por meio do enriquecimento polinomial das funções de PU. Sendo assim, é

natural que o estimador de erro do problema não-linear continue sendo obtido pelo

MRE. Para que isso possa ser realizado é necessário, contudo, que uma série de fatores

sejam considerados.

Em análise não-linear, além do erro da aproximação em cada instante de tempo5

duas outras componentes de erro são introduzidas pelo processo de solução incremental-

iterativo, PINTO (2000). A primeira delas é oriunda da divisão da história de carrega-

mento em incrementos ou passos finitos. O equilíbrio das equações de governo deixa

de ser assegurado ao longo de todo o carregamento, sendo verificado apenas ao final

de cada passo. A outra componente é introduzida pela estratégia iterativa de correção

do resíduo de forças, em razão da qual o equilíbrio é verificado apenas aproximada-

mente, dentro de uma certa tolerância admitida. Neste trabalho preocupa-se apenas

com o erro da aproximação do MEFG, que se torna tão mais importante, em relação

às outras componentes de erro mencionadas, quanto menores forem o passo de carga

e a tolerância adotados. Estimativas do erro que levam em consideração as demais

componentes podem ser encontradas em GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (1996)

e GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (2000), em abordagem via MEF.

5Para ser mais exato além do erro de aproximação também estão presentes os erros da modelagemmatemática, de arredondamento numérico, da integração numérica das matrizes e vetores do métodonumérico utilizado, da aproximação do domínio e da representação das condições de contorno


Ainda relacionado ao significado do erro que se quer estimar, deve-se definir se

esse é calculado para todo o processo de solução incremental ou se está associado a

cada passo de carga isoladamente. Dessa forma, pode-se estabelecer se, após o refi-

namento adaptativo, é apenas o atual passo de carga que deve ser repetido ou se nova

análise deve ser realizada.

Outro ponto importante refere-se ao emprego da norma energia que, em proble-

mas lineares, está diretamente relacionada ao princípio de energia potencial mínima.

Por outro lado, na formulação não-linear, outras medidas de erro podem ser melhor

empregadas, como as normas obtidas da energia de dissipação ou da taxa de trabalho

realizado, PERIC; YU; OWEN (1994).

Como adaptar o MRE para o problema não-linear resolvido pelo MEFG e se a

medida de erro obtida corresponde realmente a um estimador são assuntos pertinentes

à próxima seção. Além dos fatores considerados até aqui, são também discutidas outras

questões, procurando-se estabelecer os limites de aplicação da técnica utilizada. Algu-

mas simplificações importantes são realizadas, privando o estimador de suas garantias

de convergência assintótica, mas permitindo sua utilização, sem grandes alterações

com relação ao procedimento linear. A proposta, portanto, não é desenvolver um novo

estimador para problemas não-lineares, mas utilizar a estratégia já implementada para

o MEFG e empregada com sucesso em problemas lineares. O que se procura mostrar

é que apesar das simplificações adotadas as medidas locais de erro ainda são sufici-

entes para conduzir o refinamento polinomial adaptativo, possibilitando uma eficiente

análise com o MEFG de problemas de propagação de dano.

6.6.1 Estratégia de Estimativa do Erro

Seja um problema com não-linearidade física resolvido através do procedimento

da seção 5.3. Considera-se que o equilíbrio já esteja verificado até o passot. Sendo as-

sim, no passot+∆t, o equilíbrio que se procura assegurar em um sentido generalizado

equivale a:

∇TΣ(t+∆tu) + t+∆tb = 0 em Ω

t(t+∆tu) = t+∆tt em ΓN

t+∆tu = t+∆tu em ΓD

(6.67)

onde:• t+∆tb e t+∆tt são as forças de volume e tensões de superfície no passot+ ∆t;

• t+∆tu é a solução obtida ao final do passot+ ∆t.


• t+∆tu é o deslocamento prescrito ao final do passot+ ∆t

Considera-se, agora, uma aproximação da solução no passot + ∆t representada

por t+∆tup ∈ Xp. Um problema análogo ao expresso em (6.21) pode, então, ser esta-

belecido:

Encontrart+∆tep = t+∆tu− t+∆tup tal que:

∇T[Σ(t+∆tu)−Σ(t+∆tup)

]+ rΩ(t+∆tup) = 0 emΩ

t+∆tep = 0 emΓD

t(t+∆tu)− t(t+∆tup) = rΓ(t+∆tup) emΓN

(6.68)

onde são definidos:

rΩ(t+∆tup) = ∇TΣ(t+∆tup) + t+∆tb em Ω

rΓ(t+∆tup) = t+∆tt− t(t+∆tup) em ΓN

(6.69)

Observa-se que devido à não-linearidade do problema, as propriedades do meio podem

ser diferentes para a soluçãot+∆tu e sua aproximaçãot+∆tup. O erro t+∆tep não é

portanto, exclusivo da aproximação e, por isso,Σ(t+∆tu) −Σ(t+∆tup) 6= Σ(t+∆tep)

e t(t+∆tu)− t(t+∆tup) 6= t(t+∆tep). Para que seja descrito apenas segundot+∆tep, o

problema (6.68) deve ser modificado, fazendo-se desaparecer os termos emt+∆tu. É

com esse objetivo que, em CIRAK; RAMM (2000), utiliza-se da expansão de Taylor

para as tensões em torno da soluçãot+∆tup:

Σ(t+∆tu) = Σ(t+∆tup) +∂Σ(u)

∂E

∣∣∣∣t+∆tup

E(t+∆tu− t+∆tup)

+1

2

∂2Σ(u)

∂E2


E2(t+∆tu− t+∆tup) + · · ·(6.70)

ondeE é o tensor de deformações. Desprezando-se os termos de elevada ordem, a

expressão acima pode ser representada pelos dois primeiros termos apenas. Dessa

forma, ao final do passot + ∆t o tensor de tensões pode ser aproximado em torno da

soluçãot+∆tup como:


Σ(t+∆tu) = Σ(t+∆tup) +∂Σ(u)

∂E


E (t+∆tu− t+∆tup)︸︷︷︸t+∆tep

(6.71)

onde∂Σ(u)/∂E|t+∆tuprepresenta a forma tangente exata da relação constitutiva para

um campo de deslocamentos definido port+∆tup. Substituindo-se essa expressão em

(6.68), tem-se um novo PVC estabelecido para a aproximaçãot+∆te∗p para o erro exatot+∆tep:

∇T

[∂Σ(u)

∂E


E(t+∆te∗p)


t+∆te∗p = 0 emΓD[∂Σ(u)

∂E


E(t+∆te∗p)

]n = rΓ(t+∆tup) emΓN

(6.72)

Figura 6.11: Interpretação geométrica para a estimativa do erro no caso uni-axial

Uma interpretação geométrica para o PVC acima, pode ser dada através da Fi-

gura 6.11, considerando-se o caso uni-axial. Resumindo, a tangente da curvau no

ponto t+∆tup juntamente com o resíduo correspondente à incapacidade da solução

aproximadat+∆tup em verificar o equilíbrio do problema (6.67) são utilizados para se

calculart+∆te∗p. Caso estivessem sendo empregados todos os temos da série (6.70), a


solução deste problema corresponderia ao valor exato do erro de aproximação, ou seja,t+∆tep. Como é utilizada a forma linearizada (6.71), a soluçãot+∆te∗p corresponde

a uma aproximação desse erro, tão mais próxima quanto melhor for a aproximaçãot+∆tup. Em RHEINBOLDT (1985) mostra-se que, sob condições ideais, o errot+∆te∗p

é assintoticamente equivalente ao erro exato da aproximaçãot+∆tep. Tais condições,

apesar de não terem sido explicitadas nesse trabalho, referem-se ao comportamento da

curvau que deve ser sempre ascendente.

O problema assim formulado parte do pressuposto que se conheça o comporta-

mento real do meio para que se possa utilizar a forma exata de∂Σ(u)/∂E|t+∆tup. Na

realidade, a distribuição do dano emt+ ∆t é função da flexibilidade da estrutura defi-

nida pelos graus de liberdade da aproximaçãot+∆tup. Conhece-se, portanto, apenas a

forma aproximada∂Σ(up)/∂E|t+∆tupque, utilizada em (6.72), define outro PVC:

∇T

[∂Σ(up)

∂E


E(t+∆tep)


t+∆tep = 0 emΓD[∂Σ(up)

∂E


E(t+∆tep)

]n = rΓ(t+∆tup) emΓN

(6.73)

cuja soluçãot+∆tep corresponde a uma estimativa para a funçãot+∆te∗p, que por sua

vez aproxima assintoticamente o errot+∆tep. Resta, então, inferir sobre qualidade

de t+∆tep como aproximação det+∆tep. Esta é uma questão relacionada com a não-

linearidade do problema analisado sendo, portanto, importante que dois aspectos da

análise adaptativa sejam avaliados.

O primeiro deles refere-se ao tamanho dos passos para o procedimento de solução

incremental. Considerando-se que a soluçãoup reproduza exatamenteu até o passo

t, o erro t+∆tep a ser encontrado é proveniente somente do passo∆t. Sendo esse

passo suficientemente pequeno, a não-linearidade nas relações tensão-deformação é

menos significativa. Dessa forma, espera-se que∂Σ(up)/∂E∣∣

t+∆tupaproxime bem

∂Σ(u)/∂E∣∣

t+∆tupe, conseqüentemente, o problema (6.73) possa representar o PVC

dado por (6.72).

O outro aspecto a ser considerado está relacionado ao controle do erro a cada

passo. No parágrafo anterior admitiu-se a inexistência de erro entre as soluções exata

e aproximada até o passot. Esta hipótese é bastante severa e, obviamente, haverá


sempre um erro de aproximação (sem levar em conta outras parcelas do erro com o

de discretização no tempo). Pode-se, entretanto, chegar próximo a essa situação desde

que o controle do erro seja realizado a cada passo, de maneira que se for necessário a

solução seja refinada.

Considerando-se, então que:

• a solução aproximadat+∆tup tenha sido obtida através de um processo adapta-

tivo em que o erro esteja sendo controlado a cada passo de tempo;

• o passo∆t seja pequeno o suficiente para que∂Σ(up)/∂E∣∣

t+∆tupseja uma boa

aproximação para∂Σ(u)/∂E∣∣

t+∆tup;

a seguinte forma variacional do problema (6.73), aproximada por Galerkin como na

seção 6.3, pode ser empregada para se obter as funções indicadoras de erro para o

passot+ ∆t:

Encontrart+∆tep ∈ X0p+1(K) tal que:

BtgK( ˜t+∆tep,v

0p+1) = LK(v0

p+1) ∀ v0p+1 ∈ X0

p+1(K)(6.74)

onde

BtgK

def=

∫∫K

εT (v0p+1)σ

tg(t+∆tep)lz dx dy (6.75)

LK(v0p+1)

def=

∫∫K

(v0p+1)

T (t+∆tb) lz dx dy −BK(t+∆tup,v0p+1)

+

∫∂K∩ΓN

(v0p+1)

T (t+∆tt) lz ds+

∫∂K\∂Ω

(v0p+1)

T⟨t(t+∆tup)

⟩mlz ds

(6.76)

Nota-se que está sendo empregada na (6.75) a forma vetorial compactaσ do tensor de

tensõesΣ, definida a partir de (6.71), na forma tangente, como:

σtg(t+∆tep) =∂σ(up)

∂ε


ε(t+∆tep) (6.77)

A medida global de erro utilizada como estimador é obtida através dos valores

locais da norma energia, como em (6.46):


||t+∆tep||U =

√∑K∈Ω

E2K (6.78)

onde para cada elemento tem-se:

EKdef= ||t+∆tep||U(K) =

[B

tgK(t+∆tep,

t+∆t ep)]1/2

(6.79)

As funçõesep determinadas para cada elemento são, portanto, representações, da

funçãoep que, dependendo das condições da análise, podem ser ou não boas aproxi-

mações locais do erroep.

Finalmente, o sistema de equações para as funções indicadoras de erro do ele-

mentoK no passot+∆t, pode ser definido de maneira análoga ao sistema equilibrado

(6.62), como:

t+∆tKKer

t+∆tIK = t+∆tRKequi (6.80)

onde são definidos:

• funções indicadoras do erro:

t+∆tep = (Φ0p+1)

T t+∆tI (6.81)

• matriz de rigidez:

t+∆tKKer =

∫∫K

(B0p+1)

T t+∆tC tgB0p+1 lz dx dy (6.82)

• vetor de forças residuais nodais generalizadas

t+∆tRKequi =

∫∫K

(Φ0p+1)

T t+∆tb lz dx dy − t+∆tKK t+∆tU

+

∫∂K∩ΓN

(Φ0p+1)

T t+∆tt lz ds+

∫∂K\∂Ω

(Φ0p+1)

T 〈t(t+∆tup)〉m lz ds

+

∫∂K

(Φ0p+1)

T t+∆tθK lz ds

(6.83)


Observa-se que a matriz de rigidezt+∆tKKer encontra-se na forma tangente. Ao

se empregar o modelo constitutivo de Mazars, a seguinte expressão parat+∆tC tg deve

ser, portanto, usada em (6.82):

t+∆tC tg =

[(1−D)C0 −C0ε F(εeq)

∂εeq

∂ε

]t+∆t

(6.84)

em que os termos presentes estão definidos no apêndice A.

Da mesma forma que para o caso linear, os dados para o problema de estima-

tiva de erro também devem ser equilibrados. É com esse objetivo que em (6.83) são

introduzidas as tensões de correçãoθK(t+∆tup) definida para o passot+ ∆t.

6.6.2 Algoritmo Adaptativo

Uma maneira bastante simples de interpretar a medida de erro||t+∆tep||U, defi-

nida na seção 6.6.1, está relacionada à incapacidade da aproximaçãot+∆tup em veri-

ficar as equações diferenciais do problema (6.67) ao final do passot + ∆t. Não estão

incluídas, portanto, informações sobre o erro ao longo da história do carregamento6.

De fato, obter-se um valor pequeno para a medida||t+∆tep||U significa, somente, que

ao final do passot + ∆t o problema (6.67) foi bem aproximado. Nenhuma garantia é

fornecida com relação à resposta não-linear da estrutura até esse passo.

Não há, portanto, como associar a medida||t+∆tep|| com o erro no passo, ou até

o passot + ∆t, mas somente com o erro ao final desse passo. Ainda que pareça retó-

rica, toda essa discussão é de extrema importância, não somente para a compreensão

da medida de erro empregada, como também para a definição do algoritmo adapta-

tivo. Conforme o estimador esteja associado ao erro do passo ou até o passo, a análise,

com a nova aproximação enriquecida segundo o refinamento adaptativo, deve ser re-

petida para o passo ou a partir do início do carregamento respectivamente. No caso da

medida||t+∆tep||U, qualquer uma destas alternativas podem ser adotadas para o algo-

ritmo adaptativo. A primeira delas apresenta, se aplicada adequadamente, a vantagem

de acelerar o processo de solução do problema não-linear, eliminando-se a necessidade

de se repetir toda a análise sempre que o refinamentop for realizado. Aplicar adequa-

damente a técnica adaptativa consiste em se controlar o erro a cada passo, mantendo-o

suficientemente pequeno. Violando-se tal regra, arrisca-se não convergir para uma so-

6Caso se tenha interesse nesse tipo de estimador sugere-se a leitura dos trabalhos de GALLIMARD;LADEVÈZE; PELLE (1996) e GALLIMARD; LADEVÈZE; PELLE (2000), em que o erro estimado éintegrado também ao longo de cada passo do processo de solução incremental.


lução equilibrada ao final do passo em que a aproximação é enriquecida. Acrescenta-se

a esse fato, as hipóteses adotadas na seção 6.6.1 para que o PVC (6.72) seja substituído

pelo (6.73) e assim a medida||t+∆tep|| forneça boas estimativas de erro.

Algoritmo 6.3 Algoritmo Adaptativop - análise não-linearLeitura dos dados geométricos, da aproximação e do carregamentoLeitura deυ, TOLerro, TOLU, pmax, ipt = 1, ∆t = 1

Aplicação dos passos de cargarepita

Procedimento adaptativorepita

Monta t+∆t∆F , t+∆tF ext, t+∆tK(0)sec

Resolve o sistemat+∆tK(0)sec∆U

(0) = t+∆t∆FAtualiza t+∆tU (0)

Calcula o danoMonta t+∆tF

(0)int

Calculaψ(0) = t+∆tF ext− t+∆tF(0)int

it = 0 Procedimento iterativo de Newton-Raphson

repitait = it + 1Monta t+∆tK(it)

sec

Resolve o sistemat+∆tK(it)sec∆U

(it) = ψ(it)

Atualiza t+∆tU (it)

Calcula o danoMonta t+∆tF

(it)int

Calculaψ(it) = t+∆tF ext− t+∆tF(it)int

até (∆U (it))Tψ(it−1) < TOLU

Algoritmo 6.4 Cálculo do erro e refinamento se necessárioTransfere diretamente os parâmetros nodais para o novo vetortU (it)

Transfere o dano e parâmetros associados para os novos pontos da integraçãonuméricaAlgoritmo 6.5 Reequilibra o passot

fim repitat = t+ ∆t

atéFinal dos passos de carga

Com base nessa discussão, utiliza-se para as análises deste trabalho o algoritmo

6.3 em que apenas o passo de carga, para o qual a solução é refinada, é repetido. A

medida||t+∆tep||U é, portanto, calculada após ser verificado o equilíbrio ao final de

cada passot+ ∆t. Para que um novo incremento do carregamento seja aplicado é ne-

cessário que o erro relativo estimado seja inferior à tolerânciaTOLerro. Caso contrário,


Algoritmo 6.4 Algoritmo para o cálculo do erro e refinamentop - passot+ ∆t -adaptado do algoritmo 6.1

para K = 1 atéNEL façaMonta t+∆tKK

er,t+∆tθK e t+∆tRK

equi

Resolve o sistemat+∆tKKer

t+∆tIK = t+∆tRKequi

Calculat+∆tEK = ||t+∆tep||U(K)

||t+∆tep||U = ||t+∆tep||U +(

t+∆tEK

)2

fim para||t+∆tep||U =

√||t+∆tep||U

E% = ||t+∆tep||U/||t+∆tup||UseE% ≤ TOLerro então


para ωj = 1 atéN façaCalculaEωj

=∑

K∈ωjVKEK/Vω|

fim paraEmax = max

(Eωj

, ωj = 1, · · · , N)

para ωj = 1 atéN façaseEωj

≥ υEmax entãosepωj

< pmax entãopωj

= pωj+ ip Enriquecimento da nuvemωj

nυ = 1senãoifim = ifim + 1

fim sefim se

fim paraseifim = N então


fim seaténυ = 1

fim se


o enriquecimento das funções de PU é conduzido segundo os indicadores de erro por

nuvens. Definida, então, uma nova aproximação para o problema, deve-se reaplicar o

incremento de força do intervalo∆t. Antes, porém, as informações obtidas até o passo

anterior,t, devem ser descritas segundo a nova aproximação. Tais informações corres-

pondem às variáveis associadas aos nós e pontos de integração numérica que devem

ser transferidas de acordo os novos graus de liberdade e nova ordem de quadratura de-

finidos para a análise. As estratégias utilizadas para se realizar essa transferência são

discutidas na seção 6.6.3 e devem ser tais que o novo conjunto de variáveis não viole

as relações constitutivas do meio e o equilíbrio (no sentido generalizado da formulação

fraca) ao final do passot. Uma maneira de se contemplar tal objetivo consiste em se

reequilibrar o passot com relação à nova descrição para as informações do problema

exigida pelo refinamento adaptativo.

Em resumo, a seqüência refinamento, transferência de informações, reequilíbrio

do passo anterior e equilíbrio do atual passo é repetida até que se alcance a tolerância

TOLerro. Tal seqüência encontra-se representada no algoritmo 6.3. Por sua vez, o

algoritmo 6.4 descreve o cálculo do erro e de seus indicadores conforme discutido na

seção 6.6.1. Tal algoritmo corresponde a uma adaptação do algorimo 6.1. A escolha

da versão em nuvens se deve unicamente por ser a mais próxima da abordagem do

MEFG. O reequilíbrio do passot é esquematizado no algoritmo 6.5 da seção 6.6.3.

6.6.3 Considerações sobre a Transferência das Variáveis

Em um problema não-linear, em que o carregamento é aplicado de forma in-

cremental, é necessário que as informações de um passot sejam transferidas para o

passot + ∆t, uma vez que a solução é dependente da história do carregamento. Esta

transferência é normalmente direta, desde que a descrição das variáveis representativas

do problema não seja alterada. Com a introdução de um procedimento adaptativo, o

refinamento é conduzido toda vez que, em um passot + ∆t, algum erro seja encon-

trado; como conseqüência, a discretização do problema é alterada dentro desse passo.

A transferência das variáveis entre os passost e t + ∆t deixa, então, de ser direta o

que torna necessário que uma estratégia consistente seja definida para esse fim. Várias

são as propostas encontradas na literatura e, entre elas, podem ser citados os trabalhos

de ORTIZ; QUIGLEY, IV (1991), RANNACHER; SUTTMEIER (1999) e BOROO-

MAND; ZIENKIEWICZ (1999).

Para o caso do MEFG dois grupos de variáveis devem ser transferidas. O primeiro


corresponde aos parâmetros nodais, (3.16), usados para construir a função aproximada

para os acréscimos de deslocamento no intervalo∆t, ∆up, e também a função apro-

ximada dos deslocamentos até o final do passot, tup. Com o refinamento polinomial,

novas funções são utilizadas para se descrever∆up. Para se obtert+∆tup = tup+∆up

é necessário, portanto, que a funçãotup seja representada pelos mesmos parâmetros e

funções de forma det∆up. O segundo grupo de variáveis está associado aos pontos

da quadratura para a integração numérica. No caso de se empregar o modelo consti-

tutivo de Mazars, seção 4.2, tais variáveis sãoD, εd e, se a formulação tangente for

adotada em (6.80), acrescentam-se as variáveis associadas à taxa de variação do dano

com o tempo, apêndice A. Com o refinamento, a ordem polinomial das funções de

aproximação é elevada e, por isso, um maior número de pontos de integração passa

a ser necessário. Por essa razão, os valores calculados no passot para os pontos de

integração devem ser transferidos para os novos pontos exigidos para a aproximação

no intervalo∆t.

Assim como no MEF hierárquico, a estratégia de enriquecimento da aproximação

no MEFG introduz novos graus de liberdade ao sistema, mantendo aqueles já existen-

tes antes do refinamento polinomial. Por essa razão, não há necessidade de se utilizar

nenhuma estratégia especial para a transferência dos parâmetros nodais, pois cada nova

aproximação contém a anterior. Para melhor entender tal afirmação, considera-se a se-

guinte situação de refinamento nodal. Seja a nuvemωj, sobre a qual encontram-se

definidas as seguintes funções de aproximação, até a ordem polinomialp, e os corres-

pondentes parâmetros nodais:

(φp

)T

j=

[Nj 0 pj1Nj 0 · · · 0 pjqj(p)Nj 0

0 Nj 0 pj1Nj 0 · · · 0 pjqj(p)Nj

](6.85)

UT =[ux

j uyj bxj1 byj1 · · · bxjqj

byjqj

](6.86)

Tenha-se, agora, em conta que o indicador de erro associado a esta nuvem exija

seu enriquecimento para a ordemp + 1. Sendo assim, um novo vetor para as funções

de forma é definido da seguinte maneira:


nova(φp

)T

j=

[Nj 0 pj1Nj 0 · · · 0 pjqj(p)Nj 0

0 Nj 0 pj1Nj 0 · · · 0 pjqj(p)Nj︸︷︷︸(φp)

T

j

pjqj(p)+1Nj 0 · · · 0 pjqj(p+1)Nj 0

0 pjqj(p)+1Nj 0 · · · 0 pjqj(p+1)Nj

]︸︷︷︸

funções acrescentadas

Observa-se que não houve alteração nas funções anteriormente existentes, mas

apenas um acréscimo de novos termos. Por esta razão, o novo vetor de parâmetros

nodais é construído transferindo-se, diretamente, os valores pré-existentes em (6.86) e

considerando-se como nulos os novos termos acrescentados:

novaUT =[ux

j uyj bxj1 byj1 · · · bxjq(p)j

byjq(p)j︸︷︷︸U T

bxjq(p)j+1 = 0 byjq(p)j+1 = 0 · · · bxjq(pj+1) = 0 byjq(pj+1) = 0]

︸︷︷︸parâmetros acrescentados

(6.87)

É esse o vetor utilizado para se calcular o vetor de forças internas no processo de

reequilíbrio do algoritmo 6.5.

Com relação às variáveis associadas aos pontos de integração, pode-se usar, por

exemplo, a estratégia de transferência descrita no apêndice I. Tal estratégia é coerente

com a abordagem do MEFG, pois utiliza o conceito da PU para “costurar” as expres-

sões locais obtidas em cada nuvem para a variável a ser transferida.

Realizada a transferência das informações entre duas discretizações, é necessário

verificar se a nova aproximação para o passot mantém-se consistente com o carrega-

mento correspondente. Para isso devem ser respeitadas as seguintes condições:

• equilíbrio no sentido generalizado da formulação fraca do variacional;

• relações constitutivas entre os campos de deformação e tensão.

A estratégia de transferência descrita no apêndice I envolve apenas um conjunto

de operações de projeção de valores discretos em funções regulares locais e sua in-

terpolação para se ter uma representação global. Nenhuma restrição que garanta a


Algoritmo 6.5 Reequilíbrio do passotCalcula o danoMonta tF

(0)int , tF

(0)ext

Calculaψ(0) = tF ext− tF(0)int

it = 0 Procedimento iterativo de Newton-Raphson

repitait = it + 1Monta tK(it)

sec

Resolve o sistematK(it)sec∆U

(it) = ψ(it)

Atualiza tU (it)

Calcula o danoMonta tF

(it)int

Calculaψ(it) = tF ext− tF(it)int

até∆U (it)Tψ(it−1) < TOLU

verificação destas condições é, portanto, introduzida. Esta tarefa pode ser realizada

após a transferência das variáveis através do reequilíbrio do passot para a nova dis-

cretização. Dessa forma, o processo iterativo de solução de Newton-Raphson deve

ser, novamente, aplicado sobre esse passo, até que novo equilíbrio seja assegurado.

O procedimento é análogo ao utilizado para equilibrar as forças incrementais, sendo

representado através do algoritmo 6.5. Corrige-se, assim, o campo de deslocamentos,

segundo a nova discretização e ordem da quadratura, não apenas equilibrando as forças

internas e externas como também garantindo a consistência entre os campos de tensão

e deformação, BOROOMAND; ZIENKIEWICZ (1999).

6.7 Exemplo Numérico

Dois exemplos foram selecionados para ilustrar o emprego do MRE em análise

não-linear de problemas estruturais resolvidos pelo MEFG.

O primeiro deles corresponde a uma chapa submetida à uma solicitação de com-

pressão proveniente de uma força de volume. Este exemplo, e particularmente a solici-

tação por compressão, foram convenientemente escolhidos, em primeiro lugar porque

o comportamento da estrutura danificada por compressão é bem mais estável do que

sob tração. Além disso, até um certo limite de dano, a ser apresentado na próxima

seção, a relação tensão-deformação nos pontos de Gauss ainda se encontra na fase

de endurecimento e, por isso, a matriz de rigidez (6.82) é definida positiva; nessas

condições ela pode ser utilizada diretamente na (6.80) para o cálculo das funções in-


dicadoras de erro. Por meio deste exemplo procura-se mostrar que, respeitando-se às

diversas considerações estabelecidas na seção 6.6.1, a medida de erro dada por (6.78)

pode ser utilizada como uma estimativa para o erro, segundo a norma energia, ao final

de cada passo do processo de solução do problema não-linear. Nesse sentido, os resul-

tados numéricos são comparados aos obtidos em uma análise utilizando-se uma malha

com elevado grau de refinamentoh, cuja solução é tomada como a exata.

Como segundo exemplo, é apresentado o problema, mais complexo, de uma

chapa com entalhe na qual o dano é produzido, principalmente por tensões de tra-

ção que se concentram em uma pequena região do meio. Este problema é, então,

resolvido adaptativamente e a resposta global da estrutura é comparada a resultados

experimentais. Apesar de violar algumas das condições apresentadas na seção 6.6.1 e

que garantem uma boa estimativa global do erro, mostra-se que os indicadores ainda

são capazes de identificar regiões com maior erro de aproximação, permitindo seu en-

riquecimento e a convergência para a solução procurada.

Duas observações devem ser feitas com relação aos procedimentos adotados para

a estimativa do erro e análise adaptativa dos problemas aqui apresentados. Primeira-

mente, a técnica de transferência das variáveis, descrita no apêndice I, não foi utilizada.

Em seu lugar, optou-se por manter constante o número de pontos da integração numé-

rica desde o início da análise não-linear. Dessa forma, as posições em que as variáveis

relacionadas com o dano são calculadas permaneceram as mesmas ao longo de todo o

processo da solução incremental. O preço pago por esse procedimento é se ter, desde

o primeiro passo de carga, um número elevado de pontos da quadratura numérica de-

terminado pelo provável grau polinomial que a aproximação deve reproduzir ao final

do carregamento. O ideal seria realizar a transferência das variáveis e permitir que, ao

longo da análise, o número de pontos aumentasse conforme necessário.

No que se refere à integração numérica foi adotada a quadratura de Gauss-Lobatto.

A razão dessa escolha está no cálculo dos vetores de forças residuais nodaist+∆tRKequi,

(6.83). Uma vez que integração das tensões envolve pontos não apenas no interior do

elemento, como também em seu contorno, torna-se necessário que se conheça o dano

ao longo das faces de cada elemento. Uma primeira opção consistiria em se determinar

o dano a partir das mesmas funções suavizadas utilizadas na estratégia de transferência

de variáveis. Como tal procedimento não foi adotado, procurou-se resolver o problema

de outra forma. A opção foi o emprego da quadratura de Gauss-Lobatto, que implica

em se ter alguns dos pontos de integração localizados nas faces dos elementos. Dessa


maneira, o dano calculado na fase de análise, para o interior e contorno dos elementos,

pode ser diretamente utilizado na construção do vetort+∆tRKequi;

6.7.1 Chapa de Concreto Comprimida

Na Figura 6.12 está representada uma chapa de concreto, com espessuralz =

10 cm, solicitada à compressão por uma força de volumeb. As condições de contorno

naturais são representadas pela tensão de reaçãoq ao longo da faceAB que impede

seu deslocamento na direçãox. A estrutura encontra-se, portanto, equilibrada e os

vínculos utilizados como condições de contorno essenciais tem a função de eliminar

os movimentos de corpo rígido.

Figura 6.12: Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em mm

Para simular o comportamento do meio é utilizado o Modelo de Mazars com

abordagem local. Os seguintes parâmetros do modelo foram adotados:

AT = 0,7 BT = 8 000 AC = 0,85 BC = 1 050

εd0 = 0,000 067 E = 29 200 MPa ν = 0,2 rnl = 0

A curva de tensão versus deformação, para o caso de solicitação uni-axial, exi-

bida na Figura 6.13, é ascendente até o valor deε ≈ −0,003. A partir deste ponto

a tangente à curva torna-se negativa. Para o cálculo das funções indicadoras de erro

em um elementoK é necessário montar a matrizt+∆tKKer, expressão (6.82), a partir

da contribuição de parcelas relativas a cada ponto de Gauss desse elemento. Para se

garantir quet+∆tKKer seja sempre definida positiva, é necessário que as deformações

no elementoK sejam inferiores a−0,003, correspondendo a um dano próximo de0,6 .


Tal condição é assegurada definindo-se a força de volumeb = 1 000 kN/m3 e a tensão

de superfícieq = 450 kN/m2.

-40

-30

-20

-10

0-0,025-0,020-0,015-0,010-0,0050,000

E(1-D)

σ

ε

Figura 6.13: Relação uni-axial tensão× deformação

Duas malhas com aproximação linear foram utilizadas para a discretização do

problema e encontram-se representadas na Figura 6.14. A solução obtida com a malha

da Figura 6.14(a), ao final de cada passot + ∆t, tem seu erro estimado pelo MRE,

empregando-se a norma energia||t+∆tep||U. Para a representação das funções indica-

doras de erro em cada elementoK é empregado o seguinte espaço de funções bolha:

X02(K) =

v0

2 ∈ X2(K) ⊂ H1; Πp(v02) = 0, v0

2 = 0 emΓD

(6.88)

gerado pelas funções de forma:

(Φ0

2

)T

j=

Nj

(x− xj

hj

)0 Nj

(y − yj

hj

)0

0 Nj

(x− xj

hj

)0 Nj

(y − yj

hj

) (6.89)

sendohj neste caso corresponde à diagonal dos elementos usados para a análise.

A medida||t+∆tep||U é comparada ao resultado do seguinte produto interno:

t+∆t(σer, εer) =

√√√√∫∫Ω

[σ(t+∆tu)− σ(t+∆tup)] [ε(t+∆tu−t+∆t u)] lz dx dy (6.90)

A razão entre esses dois valores determina o índice de efetividade em cada passo de

carga. Nota-se que, sendo um problema não-linear, não há como definir a norma ener-


gia do erro como na expressão (6.8).

Na ausência da solução analítica exata, adotou-se em seu lugar, a solução numé-

rica obtida com a malha da Figura 6.14(b), definindo-se a partir dela as correspondentes

tensões e deformações presentes ao final de cada passo na expressão (6.90).

(a) 8 elementos, aproximação linear (b) 2400 elementos, aproximação linear

Figura 6.14: Malhas utilizadas - medidas em mm

Para a análise em estado plano de tensão e aplicação do MRE foram feitas as

seguintes considerações:

montagem da matriz de rigidez: formulação secante para a matriz utilizada em (5.9)

e formulação tangente, de acordo com as expressões (6.82) e (6.84) para o cál-

culo das funções de erro;

solução do sistema de equações:o método de solução escolhido para as análises com

as duas malhas foi o dos Gradientes Conjugados. Essa opção por um método ite-

rativo é justificada pela ordem relativamente alta do sistema de equações obtido

na análise com a malha de 2400 elementos. Por sua vez, no cálculo das funções

de erro locais, problema (6.80), com a malha de 8 elementos, utilizou-se o pro-

cedimento de Babuška com tolerância de1 × 10−10 e perturbação da diagonal

principalε = 1× 10−8;

integração numérica: na malha de 2400 elementos foram usados2 × 2 pontos de

Gauss-Legendre. Já na malha de 8 elementos, para melhor representar a distri-

buição do dano foram empregados12× 12 pontos de Gauss-Lobatto;

equilíbrio: a convergência do processo iterativo de solução do Método de Newton-

Raphson foi averiguada pelo critério em energia, adotando-se uma tolerância de


0

20

40

60

80

100

0 0,1 0,2 0,3 0,4Deslocamento (mm)

Fraç

ão d

o ca

rreg

amen

to (%

)

2400 elementos8 elementos

Figura 6.15: Resposta global da estrutura

0,001% com relação ao primeiro passo elástico. A força de volumeb e a ten-

são de superfícieq foram introduzidas em 65 incrementos: um primeiro passo

com10% do total do carregamento, seguido de 26 passos com2% e outros 38

com1%. No 42o¯ passo, a análise com a malha de 2400 elementos foi interrom-

pida devido à divergência das soluções sucessivamente obtidas com o Método

de Newton-Raphson. Por essa razão, para as duas análises, apenas os resultados

até o passo 41, equivalente a76% do carregamento total, são exibidos no grá-

fico da Figura 6.15. No eixo das abscissas são representados os deslocamentos

horizontais medidos no ponto médio da faceCD da Figura 6.12.

A título de ilustração, na Figura 6.16 são representadas as distribuições de dano,

ao final do passo 41, para as análises realizadas com as malhas de 8 e 2400 elementos.

A diferença observada reflete a pequena divergência entre as respostas globais para as

duas análises registrada na Figura 6.15.

O erro relativo estimado para a aproximação da malha com 8 elementos foi de

12,84% para o primeiro passo elástico, chegando a16,55% ao final do passo 41. A

medida||t+∆tep||U foi avaliada por meio do índice global de efetividadeθ, calculado

em cada passo e representado no gráfico da Figura 6.17. De acordo com os resultados

obtidos, conclui-se que, para este problema, os valores de||t+∆tep||U formam um bom

estimador para o erro, medido segundo o produto (6.90). Deve-se, entretanto, observar

que determinadas características deste problema favoreceram a excelência dos resul-

tados. O dano, como mostrado nos “mapas de dano” da Figura 6.16 está limitado a

0,6. Dessa forma, em todos os elementos ainda se encontra uma situação equivalente


(a) 8 elementos, aproximação linear (b) 2400 elementos, aproximação linear

Figura 6.16: Mapa da distribuição do dano no passo 41

ao trecho de endurecimento da curva 6.13. Nenhuma restrição existe, portanto, ao

emprego da expressão tangente (6.84) na construção das matrizes (6.82). Além disso,

foram usados passos bem pequenos, especialmente a partir do instante em que se ob-

serva uma maior a evolução do dano. Sendo assim, garantiu-se, em cada passo, que o

problema (6.73) pudesse ser usado no lugar de (6.72), como sugerido na seção 6.6.1.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 10 20 30 40 50

Passos de Carga

θ

Figura 6.17: Índice de efetividade global em cada passo

6.7.2 Chapa com Entalhe

O problema representado na Figura 6.18 corresponde a uma chapa de concreto

com 12 cm de espessura, solicitada por duas forças horizontaisF que provocam a

abertura do entalhe. Em MAZARS (1984) esse caso foi utilizado para se confrontar o

resultado de uma análise numérica empregando-se o modelo de Mazars com a resposta


real da estrutura obtida experimentalmente.

A presença do entalhe de extremidade arredondada produz uma concentração das

tensões em sua vizinhança sem, no entanto, permitir o aparecimento de singularidades.

Este peculiar campo de tensões induz à concentração de micro-defeitos na região pró-

xima ao entalhe, os quais evoluem na medida em que a estrutura é solicitada. Para o

nível de carga máxima os micro-defeitos dão origem a uma trinca macroscópica cuja

propagação instável determina o ruptura do meio.

Figura 6.18: Chapa de concreto com entalhe - geometria e solicitação - medidas em mm

A análise numérica, apresentada a seguir, envolve apenas a fase de formação e

evolução de micro-defeitos, simulada com o modelo de Mazars, segundo uma aborda-

gem não-local e adotando-se os seguintes parâmetros:

AT = 0,8 BT = 20 000 AC = 1,4 BC = 1850

εd0 = 0,000 123 E = 30 000 MPa ν = 0,2 lc = 3 cm

A malha empregada para se construir as funções da PU encontra-se representada

na Figura 6.19, juntamente com as as condições de contorno adotadas. Nota-se que,

da mesma maneira que nos demais exemplos em análise bi-dimensional, a força con-

centrada indicada na Figura 6.18 foi substituída por uma força distribuída equivalente

q. Os vínculos nodais foram introduzidos com a finalidade de eliminar os movimentos

de corpo rígido, uma vez que o carregamento é auto equilibrado. Para se determinar


o enriquecimento polinomial em cada nuvem, o problema não-linear foi resolvido de

acordo com o algoritmo adaptativo 6.3 e as funções indicadoras de erro foram descritas

no espaço definido por (6.30).

Figura 6.19: Malha e condições de contorno utilizadas para a análise

Para a análise numérica e estimativa de erro foram adotados:

aproximação do contorno curvo: foram utilizadas as funções de mistura (blending

function);

análise não-local: como o comprimento característico do materiallc vale3 cm, o raio

adotado para a análise não-local foi de1,5 cm, conforme definido na seção 4.4;

estado plano de deformação:para este tipo de problema em que se espera uma ele-

vada concentração do dano de tração em uma pequena região, torna-se interes-

sante adotar o estado plano de deformação; dessa forma, perpendicularmente ao

plano de representação da estrutura, aparecem tensões de compressão na região

do entalhe, o que estabiliza uma possível evolução prematura do dano;

equilíbrio: aplicou-se o Método de Newton-Raphson para a solução do problema não-

linear físico. Como critério de convergência foi fixada uma tolerância de1% na

norma de energia incremental com relação ao primeiro passo elástico. A força


aplicada de18,5 kN foi dividida em 10 passos, sendo os dois primeiros de5 kN,

seguidos de dois passos de2 kN, três de1 kN e os três últimos de0,5 kN;

montagem da matriz de rigidez: para a montagem da matriz de rigidez secante, em-

pregada no problema (5.9), limitou-se o dano ao valor de0,87. Já as matrizes

por elemento, utilizadas no cálculo das funções indicadoras de erro, foram cons-

truídas sem limitação na variável dano. A expressão (6.82) foi, entretanto, mo-

dificada substituindo-se a relação constitutiva tangente (6.84) pela secante (4.9).

A razão para esse procedimento é justificada mais adiante no item referente ao

estimador de erro;

solução do sistema de equações:tanto na fase de análise, problema (5.9), quanto na

estimativa de erro (6.80), foi utilizado o procedimento de Babuška, adotando-se

TOL = 10−10 e ε = 10−12;

estimador de erro: como já comentado anteriormente, o mecanismo de danificação

neste problema é produzido exclusivamente pelas tensões de tração. No mo-

delo de Mazars, o dano de tração implica imediatamente em perda de resistência

local. Por essa razão, nos pontos danificados, a relação tensão-deformação é

decrescente e a contribuição para a matrizt+∆tKKer definida em (6.82) deixa

de ser definida positiva. Como conseqüência, viola-se a condição estabelecida

em RHEINBOLDT (1985) e discutida na seção 6.6.1, para que a funçãot+∆te∗p

seja assintoticamente equivalente ao erro exato da aproximaçãot+∆tep. Além

disso, o emprego da forma tangente na expressão (6.75), do problema variaci-

onal do erro (6.74), pode provocar o mal condicionamento da matrizt+∆tKKer.

Considerando-se esses fatos, optou-se por substituir a forma tangentet+∆tKKer

pela secante. A medida de erro global obtida não pode, portanto, ser conside-

rada, verdadeiramente, como um estimador de erro, apesar de continuar sendo

empregada no procedimento adaptativo para se definir a necessidade ou não do

refinamento. As funções indicadoras de erro também deixam de ser estimadores

locais, mas ainda assim permitem a condução do processo de refinamento como

se observa pelos resultados apresentados ao final desta seção;

algoritmo adaptativo: o algoritmo 6.3 é empregado adotando-seTOLerro = 15%,

υ = 0,5 epmax = 8;

restrições ao refinamento:a função que representa as condições de contorno natu-


rais é descontínua e, por isso, alguma concentração de tensões é observada nos

pontos em que a carga distribuída deixa de existir. Detectado pelo indicador de

erro, esse fato pode conduzir a um refinamento desnecessário na região do car-

regamento. Por essa razão, nas nuvens próximas à região de aplicação da carga

limitou-se a 2 o grau do enriquecimento polinomial;

integração numérica: foram utilizados, na maioria dos elementos,4 × 4 pontos de

Gauss-Lobatto, aumentando-se esse número proximamente aos elementos de

face curva, onde foram empregados15× 15 pontos. Tal procedimento visou não

só garantir a integração quando a aproximação passou a ser enriquecida com po-

linômios de elevado grau durante o refinamento adaptativo, como também captar

o dano próximo da raiz do entalhe.

No gráfico da Figura 6.20 estão representadas as curvas das respostas experimen-

tais, MAZARS (1984), e numérica referentes à abertura do entalhe,δ, medida no ponto

de aplicação da forçaF (na verdade ponto médio da força distribuída equivalente).

0

5

10

15

20

25

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3δ

F

Ensaio 1Ensaio 2Ensaio 3MEFG adaptativo

Figura 6.20: Resposta global da estrutura


O processo adaptativo de solução foi caracterizado por dois momentos de refina-

mento polinomial. Ainda no primeiro passo elástico, chegou-se à discretização ilus-

trada pela Figura 6.21(a), após uma seqüência de 5 iterações do procedimento adapta-

tivo. Tal discretização permaneceu inalterada até o passo 7, quando novo refinamento

adaptativo foi realizado, dessa vez com 2 iterações, Figura 6.21(b).

(a) Discretização utilizada até o passo 7 (b) Discretização utilizada após o passo 7

Figura 6.21: Discretizações definidas pelo algoritmo adaptativo

Devido às várias simplificações realizadas no cálculo da medida||t+∆tep||U, não

se pode garantir que o erro realmente esteja limitado a15% ao final de cada passo∆t.

Pode-se, contudo, averiguar, pelo resultado obtido, que os indicadores de erro possi-

bilitaram a determinação de uma boa aproximação para a resposta real da estrutura.

É possível, assim, partindo-se de uma malha relativamente simples de elementos, em

sua maioria, regulares, simular adequadamente o comportamento não-linear de uma

estrutura de concreto caracterizado pelo fenômeno de danificação, Figura 6.22. Além

disso, graças à estratégia de enriquecimento do MEFG não há necessidade de se impor

restrições às aproximações para que estas sejam compatibilizadas entre elementos, o

que simplifica bastante a implementação do processo adaptativo.


Figura 6.22: Distribuição do dano ao final do carregamento (F = 18,5 kN)

152

Capítulo 7

Considerações Finais

Neste capítulo de considerações finais, procura-se, essencialmente, fornecer uma

visão geral do trabalho e de suas contribuições. As conclusões estabelecidas com base

nos resultados e observações dos capítulos anteriores são, sobretudo, motivadoras de

uma extensa pesquisa ainda a ser realizada e que compreende o desenvolvimento de

uma eficiente ferramenta numérica para análise do comportamento de estruturas go-

vernado pela propagação de descontinuidades. Este trabalho é, portanto, princípio de

uma pesquisa e não sua finalização. É, por essa razão, que a última seção é dedicada

às propostas para desenvolvimentos futuros.

7.1 Síntese e Conclusões

Ao longo deste texto foram apresentadas análises numéricas realizadas com algu-

mas das formulações sem malha, o MGLE e o Método das Nuvenshp, e com o MEFG.

Na descrição desses métodos procurou-se apresentá-los não de forma dissociada mas

interligando-os segundo um novo conceito de discretização que culmina com a aborda-

gem do MEFG. Seja como uma particularização do Método das Nuvenshp, seja como

uma generalização do MEF, o MEFG pode ser entendido como uma “ponte” entre es-

tas duas abordagens, reunindo as formulações com e sem elementos sob um mesmo

enfoque. Não há, portanto, neste trabalho, razão para postular a superioridade de qual-

quer um desses métodos em relação aos outros, mas a idéia é colocar em destaque suas

vantagens, conforme a aplicação que se queira dar a cada um deles.

O trabalho foi inicialmente exploratório e, por isso, diversos resultados da litera-

tura foram reproduzidos. Tais resultados serviram para esmiuçar detalhes de implemen-

tação, salientando-se vantagens e limitações dos métodos numéricos utilizados.

Capítulo 7. Considerações Finais 153

A aplicação selecionada para se avaliar o desempenho destas novas abordagens

corresponde à análise de estruturas em regime de comportamento não-linear físico.

Dois fatores justificaram a opção pela Mecânica do Dano Contínuo como ferramenta

para a idealização do comportamento do material. Primeiramente, não havia na li-

teratura referências sobre análises com dano conduzidas com os métodos estudados.

Além desse fato, existia a expectativa de que a liberdade no refinamento da solução

por meio da técnica de enriquecimento, especialmente do MEFG, permitiria simular

com melhor qualidade e eficiência a propagação dos micro-defeitos no meio. De fato,

os resultados de exemplos numéricos reunidos nos capítulos 5 e 6 evidenciaram a po-

tencialidade do método. Por exemplo, partindo-se de malhas com poucos elementos

conseguiu-se reproduzir adequadamente as respostas globais de estruturas, obtidas ex-

perimentalmente.

A independência da malha, apesar de relativa, como comentado na seção 3.2.1,

confere ao MEFG uma grande flexibilidade, pois permite que o refinamento da solução

seja realizado apenas nas regiões em que esse seja realmente necessário. Tal caracte-

rística foi explorada, de maneira intuitiva, no problema da viga de concreto armado na

seção 5.3.1. Os bons resultados, então encontrados, motivaram a introdução de me-

didas de erro local e global com vistas à realização de análises adaptativas. O MRE

já bem fundamentado para o MEF, foi adotado como estratégia para o cálculo dessas

medidas de erro. O espaço de aproximação do erro, a técnica de equilíbrio (para que

a formulação dos problemas locais dos indicadores de erro seja consistente) e o al-

goritmo adaptativo normalmente adotado, tiveram que ser adaptados à abordagem do

MEFG. A aplicação do estimador para problemas não-lineares passou por uma série

de simplificações que, de certa forma, comprometeram algumas de suas propriedades,

como a garantia de ser assintoticamente exato. Nos exemplos apresentados, seção 6.7,

mostrou-se que, apesar disso, as medidas de erro local e global obtidas podem ser

adequadamente utilizadas para a condução de um processo adaptativo em análise não-

linear.

Resumindo, com base nas observações e nos resultados registrados ao longo deste

trabalho, comprovam-se as vantagens do MEFG, também para a simulação do compor-

tamento não-linear de estruturas governado pelo dano. Em particular, o refinamento

da solução, realizado pelo enriquecimento da PU, é de simples implementação e não

exige, como no MEF, restrições para a compatibilização das aproximações entre ele-

mentos vizinhos. As funções de forma de caráter polinomial reproduziram bem o


campo de deslocamentos para diversos níveis de dano. Foi essencial empregar uma

abordagem não-local para o modelo constitutivo, o que possibilitou obter soluções

relativas a diferentes distribuições de dano, dispersas pelo meio ou concentradas em

regiões específicas. Funções não-polinomiais podem ser também utilizadas para me-

lhor reproduzir a configuração das regiões danificadas, mas para isso um estudo minu-

cioso deve ser empreendido. Outra conclusão importante é a de que o procedimento

adaptativo implementado, ainda que baseado em medidas de erro simplificadas, tor-

nou possível uma análise não-linear eficiente na medida que novos graus de liberdade

foram acrescentados ao sistema apenas quando necessários.

O trabalho permitiu, assim, estabelecer os primeiros passos no sentido de se ter

uma ferramenta numérica direcionada à aplicação de problemas não-lineares regidos

pela propagação de defeitos. Ainda em termos da continuidade da pesquisa, outro

campo bastante promissor para o emprego do MEFG encontra-se na simulação da

transição entre o dano e o surgimento da trinca macroscópica, sendo esse o assunto

da próxima seção.

7.2 Dano e Fratura

Dano e fratura são dois fenômenos interligados que se manifestam em diferentes

escalas, sendo objeto de estudo através das Mecânicas do Dano Contínuo e da Fratura.

Na primeira destas teorias, discutida no capítulo 4, o processo de danificação difusa no

material real é levado em conta em um meio contínuo equivalente, mediante variação

de suas mecânicas. Uma das limitações para a aplicação dos modelos constitutivos de

dano está na hipótese de que os micro-defeitos devem estar dispersos pelo meio. Para

determinados problemas, como a viga bi-apoiada discutida na seção 5.3.1, a disposi-

ção do carregamento e a presença da armadura colaboram para que, mesmo em escala

macroscópica, as fissuras sejam distribuídas ao longo da região central, solicitada por

momento fletor constante. Nessas condições, a simulação numérica com o modelo de

Mazars ainda se mostra uma aproximação razoável para o problema físico analisado.

Por outro lado, no problema da seção 6.7.2, a configuração do dano é bem diferente,

caracaterizando-se pela sua concentração na região do entalhe. Com o emprego de

um modelo de dano, a curva representada na Figura 6.20 somente foi obtida graças à

abordagem não-local. É importante registrar que prosseguindo-se com a análise numé-

rica para além de18,5 kN, o resultado encontrado, torna-se divergente com relação a


resposta real da estrutura observada experimentalmente em MAZARS (1984). Nesse

nível de carregamento começa a se formar uma trinca macroscópica, cuja propagação

deve governar o comportamento estrutural até o seu colapso. Claramente, o fenômeno

incidente sobre o material passa, então, a pertencer ao domínio da Mecânica da Fratura.

O problema da chapa com entalhe é, portanto, um interessante exemplo cuja si-

mulação completa exigiria um processo de transição entre as teorias de dano e fratura.

Uma proposta nesse sentido é discutida em BAZANT; PIJAUDIER-CABOT (1989),

e consiste em se ter um primeiro estágio da análise conduzido por algum modelo de

dano não-local, para se determinar a zona em que o os micro-defeitos se localizam. A

partir desses resultados, determina-se uma trinca equivalente relacionando-se a energia

de fratura e a dissipada pela evolução do dano. Entretanto, diversas questões, entre elas

como associar de forma consistente a energia de fratura com os parâmetros do modelo

de dano, bem como a definição da lei que governa a propagação da trinca no meio

danificado, precisam ser melhor compreendidos para que a transição entre esses dois

fenômenos seja resolvida de forma satisfatória.

Figura 7.1: Malha e condições de contorno utilizadas para a análise

Nesse contexto, o MEFG pode ser uma importante ferramenta de análise numé-

rica, devido à versatilidade no enriquecimento da aproximação. Para ilustrar essa afir-

mação, seja a malha exibida na Figura 7.1. Além do refinamento polinomial, determi-

nado pela análise adaptativa apresentada na seção 6.7.2, estão também indicadas as nu-

vens em que a PU é enriquecida por funções especiais. Estas funções,αux,α uy∞α=1,


definidas como uma série infinita em elasticidade bi-dimensional, correspondem ao

campo de deslocamentos em pontos na vizinhança da extremidade da trinca e distantes

do contorno, SZABÓ; BABUŠKA (1991). Do apêndice J, pode-se chegar à seguinte

aproximação para os deslocamentos, utilizando-se apenas os primeiros termos da série

correspondentes ao modo I de fratura:

ux(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uxj +

qj(p)∑i=1

pibxji +

[1−

1u(1)x (x)

1u(1)x (xj)

]dx

j

(7.1)

uy(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uyj +

qj(p)∑i=1

pibyji +

[1−

1u(1)y (x)

1u(1)y (xj)

]dy

j

(7.2)

(a) Distribuição do dano (b) Aproximação adotada - análise com trinca

Figura 7.2: Confrontação dano× fratura

Essa aproximação pode ser introduzida durante a análise, por exemplo quando o

nível de força atingir18,5 kN, o que equivale a substituir a região danificada por uma

fratura macroscópica. Para isso torna-se necessário estabelecer o tamanho da trinca a

ser considerada. Nesse experimento numérico, foi adotado um comprimento de14 cm

que aproximadamente corresponde ao tamanho da região de dano, Figuras 7.2(a) e

7.2(b). Uma análise elástica foi então realizada, encontrando-se o valor de0,186 mm

para a abertura do entalhe. Este resultado difere em1,1% ao encontrado para a análise

discutida na seção 6.7.2 (0,184 mm).

Os resultados apresentados demonstram a possibilidade de se usar o enriqueci-


mento com funções não-polinomiais para a simulação da transição entre dano e fra-

tura. Não se quer afirmar, contudo, que o procedimento de análise adotado seja o ideal

para tal objetivo. Um ponto fundamental consiste em se estabelecer um critério para

indicar a equivalência entre uma certa distribuição de dano e uma fratura única. Esse

critério serviria para determinar o nível real de força em que novo enriquecimento deve

ser realizado sobre a aproximação e a dimensão correta para a trinca. A partir desse

ponto, a propagação da trinca pode ser conduzida considerando-se a existência de uma

zona de processo à frente de sua extremidade. Nessa zona de processo o fenômeno

dominante corresponderia à formação e evolução do dano, Figura 7.3. A danificação

do material provocaria, portanto, o abatimento no campo de tensões junto à ponta da

trinca eliminando a singularidade desse. Por essa razão, as funções enriquecedoras

empregadas em (7.1) e (7.2) precisariam ser outras, exigindo assim um estudo mais

aprofundado nesse sentido.

Figura 7.3: Zona de processo de danificação

Ainda que bastante simplificado, este exemplo demonstra as potencialidades do

MEFG para a análise de problemas em que dano e fratura são considerados. Em pri-

meiro lugar, existe a possibilidade de serem introduzidas funções não-polinomiais,

próprias para a simulação dos fenômenos analisados. Ao contrário das formulações

clássicas do MEF, a mudança na aproximação é bastante simples de ser implementada

no MEFG, permitindo-se que o enriquecimento possa ser empregado a partir do ins-

tante em que for necessário, ou seja, com o surgimento da fratura. Sua propagação

pode ser facilmente simulada, bastando para isso que novos enriquecimentos sejam

realizados sobre a PU das nuvens atravessadas pela trinca.


7.3 Outras Propostas de Futuros Desenvolvimentos

Além da simulação numérica da fase de transição entre dano e fratura, diversas

outras questões surgiram de observações suscitadas pelas análises realizadas neste tra-

balho e podem ser sugeridas como temas para desenvolvimentos futuros:

Integração numérica: em todos os exemplos de análise não-linear, foi empregado um

número razoavelmente grande de pontos de Gauss para que assim fosse possível

representar, no cálculo da matriz de rigidez, a variação das propriedades físi-

cas do material. Além disso, no cálculo da deformação equivalente pela abor-

dagem não-local, parte-se do princípio que o somatório indicado pela relação

(4.23) reproduza, de forma suficientemente precisa, uma integração na região

delimitada pelo raiornl. Esta hipótese será mais próxima de ser verificada à

medida que um maior número de pontos de integração sejam incluídos ao domí-

nio. Sugere-se, portanto, um estudo aprofundado a esse respeito, procurando-se

indentificar a influência da ordem da quadratura na determinação da distribui-

ção do dano e na correta aplicação de modelos não-locais. Ainda com relação

à integração numérica uma importante questão a ser investigada consiste na im-

plementação de regras de quadraturas mais adequadas à integração de funções

não-polinomiais, especialmente aquelas com singularidades como é o caso das

funções (7.1) e (7.2).

Localização: no exemplo da seção 5.4 foi mostrado que a técnica de enriquecimento

polinomial do MEFG pode ser usada com sucesso na descrição de problemas em

que ocorre a concentração do dano em uma pequena região do domínio. Abre-se

assim a possibilidade de aplicação do MEFG aos problemas com localização de

deformações onde novas funções não-polinomiais, inclusive, possam ser utiliza-

das com vantagens. Esta poderia ser, aliás uma interessante alternativa no tema

da transição entre o dano e fratura e, para isso, sugere-se como leitura o trabalho

de MANZOLI; OLIVER; CERVERA (1998).

Análise não-linear adaptativa: apesar de sugerida no apêndice I, a estratégia de trans-

ferência das variáveis, como parte do procedimento adaptativo, não foi imple-

mentada. O emprego dessa técnica permite não apenas a variação no número de

pontos de Gauss à medida que o refinamento é realizado ao longo do processo

de solução incremental, como também a utilização da quadratura de Gauss-

Legendre. A função suavizada para o estado de danificação obtida por meio


dessa técnica também pode ser empregada para se determinar o dano na face de

cada elemento, necessário para o cálculo das funções indicadoras de erro.

Indicador de erro: em lugar de se definir o problema (6.33) considerando-se o domí-

nio do elemento, o mesmo poderia ser construído tomando-se isoladamente cada

nuvemωj. Dessa maneira, as funções de erro locais passariam a ser construídas

como:

eωjp

def= (Φ0

p+1)TωjIωj

(7.3)

onde apenas as funções de forma(Φ0p+1)

Tωj

e parâmetrosIωjassociados à nuvem

ωj estariam presentes. O novo indicador seria obtido pela seguinte expressão:

||eωjp ||U(ωj) =

[Bωj

(eωjp , e

ωjp )

]1/2(7.4)

Para se determinar o estimador de erro global, as funções locais poderiam ser

“costuradas” pela sua multiplicação pelas funções de PU, a exemplo do que é

feito na estratégia para a transferência de variáveis no apêndice I. Dessa forma,

a função de erro empregada para se ter o estimador global, segundo (6.4), seria

definida como:

ep =N∑

j=1

Njeωjp (7.5)

Tal estratégia para a estimativa do erro tem a vantagem de fornecer indicado-

res diretamente associados aos nós, sobre os quais o refinamento polinomial é

realizado. A questão fundamental a ser resolvida corresponde, então, à formula-

ção de um problema equivalente ao representado pelo (6.33) para cada nuvem.

Deve-se, todavia, lembrar que o campo de tensões não é contínuo entre elemen-

tos e, por essa razão surgem saltos nas tensões no interior das nuvens. Uma

alternativa seria empregar funções de Shepard com continuidadeC1 na PU, o

que produziria uma definição única para as tensões em todo o domínio.

Refinamentos: para a análise adaptativa não-linear sugere-se introduzir o refina-

mentos proposto em FISH (1992) e FISH (1994), em que, de maneira hie-

rárquica, diversos níveis de malha são sobrepostos à malha original. O critério

para conduzir tal refinamento seria governado pelo surgimento do dano. Dessa

forma, se em uma determinada nuvem o processo de danificação fosse iniciado,

uma nova malha deveria ser aninhada aos elementos dessa nuvem. Tal estratégia


teria o objetivo de descrever, com maior exatidão, a distribuição do dano antes

do cálculo do estimador de erro e aplicação do refinamento polinomial.

Estimador em análise não-linear: para estimar o erro em análise não-linear poderia

ser utilizada a proposta de CIRAK; RAMM (2000), cujo o desenvolvimento

inicial é semelhante ao discutido na seção (6.6.1) mas que emprega a versão

explícita associada às técnicas de pós-processamento dos gradientes da solução.

Além disso, o problema do erro é formulado em abordagem dual, obtendo-se um

estimador associado não à norma energia mas a uma variável, que pode ser, por

exemplo, a tensão. O maior problema corresponderia ao pós-processamento dos

gradientes da solução que, normalmente, não é indicado para análises em que

a aproximação é de elevada ordem polinomial. Por outro lado, no trabalho de

BARTELS; CARSTENSEN (2000) mostra-se que é possível empregar tensões

suavizadas no cálculo do erro para aproximações com ordem polinomial elevada,

o que viabilizaria o procedimentop-adaptativo.

Todas as sugestões apresentadas são, em primeira análise, caminhos viáveis a se-

rem pesquisados. Ainda que na forma proposta possam não ser plenamente realizáveis,

acredita-se que estabeleçam direções para futuros trabalhos relacionados com o tema

desta tese.

161

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1

Apêndice A

Formulação Tangente para o Modelo

de Mazars

Para se obter a formulação tangente para o modelo de Mazars, equação (4.6), é

necessário que se determine a lei de evolução do danoD, derivando-se no tempo as

expressões presentes no modelo de Mazars:

D =

(∂D

∂εeq

∂εeq

∂εi

+∂D

∂εi

)∂εi

∂t= H · ε (A.1)

onde:

• Hdef=

(∂D∂εeq

∂εeq

∂εi+ ∂D

∂εi

)é um vetor que representa a derivada da variável dano

com relação às deformações principais;

• ε é o vetor das taxas de variação das deformações principais com o tempo.

Observe que o índicei refere-se às direções principais, além de se comportar

como índice mudo. Como os coeficientesαC e αT são funções do estado de defor-

mação, enquanto queDT e DC são definidos a partir da deformação equivalente, a

expressão acima pode ser reescrita da seguinte forma:

D =

[F(εeq)

∂εeq

∂εi

+ G(εi)

]∂εi

∂t(A.2)

sendoF(εeq) eG(εi) funções definidas como:

F(εeq) = αT FT (εeq) + αCFC(εeq) (A.3)

G(εi) = GT (εi)DT + GC(εi)DC (A.4)

Apêndice A. Formulação Tangente para o Modelo de Mazars 2

em que:

FT (εeq) =εd0(1− AT )

ε2eq

+ATBT

eBT (εeq−εd0); FC(εeq) =

εd0(1− AC)

ε2eq

+ACBC

eBC(εeq−εd0)

GT (εi) =∂αT

∂εi

; GC(εi) =∂αC

∂εi

Para o caso de solicitação radial,αT e αC permanecem constantes ao longo da

história de carregamento e, por essa razão,GT e GC anulam-se, PEREGO (1989). A

expressão (A.1) é, então, reduzida a:

D = F(εeq)∂εeq

∂εi

∂εi

∂t= H∗ · ε (A.5)

em que:∂εeq

∂εi

=〈εi〉+εeq

(A.6)

H∗ def= F(εeq)

∂εeq

∂εi

(A.7)

Integrando-se em um intervalo de tempo∆t a relação constitutiva em taxas (4.6)

e, introduzindo-se (A.5), chega-se, então, à expressão incremental correspondente à

formulação tangente:

∆σ = (1−D)C0∆ε−[F(εeq)

∂εeq

∂εi

∆εi

]C0ε (A.8)

Para sua implementação, é interessante que a expressão acima seja reescrita em função

das deformações definidas com relação aos eixos cartesianos e que, no segundo termo,

a parte escalar seja colocada após a operação tensorial:

∆σ = (1−D)C0∆ε−C0εF(εeq)∂εeq

∂ε∆ε (A.9)

onde, para evitar que a notação indicial misture-se com a tensorial definiu-se:

∂εeq

∂ε=∂εeq

∂εi

∂εi

∂ε(A.10)

Considera-se, agora, uma aproximaçãou(x) = ΦTU para o campo dos desloca-

mentos, obtida a partir da matriz das funções aproximadorasΦ e parâmetros genera-

Apêndice A. Formulação Tangente para o Modelo de Mazars 3

lizadosU . A forma aproximada para a expressão incremental da relação constitutiva

pode ser, então, expressa como1:

∆σ =

[(1−D)C0 −C0

ε⊗H∗︷︸︸︷ε F(εeq)

∂εeq

∂ε

]B∆u (A.11)

ondeB = LΦT eL é o operador que relaciona os campos de deslocamento e defor-

mação e(a⊗ b) é a notação adotada para indicar o produto diádico ou tensorial entre

dois vetoresa eb quaisquer.

A forma final da matriz de rigidez, obtida a partir da aproximação de Galerkin

para o problema de evolução do dano, pode ser representada como:

K tg =

∫Ω

BT

[(1−D)C0 −C0ε F(εeq)

∂εeq

∂ε

]B dΩ (A.12)

Na expressão acima, por ser não-simétrica o termo entre colchetes, a matriz de

rigidez perde sua simetria. Quando se adota a formulação secante, a expressão para

matriz de rigidez permanece simétrica e se reduz a:

Ksec =

∫Ω

BT [(1−D)C0]B dΩ (A.13)

1Observe que a abordagem dada é geral, sendo válida para qualquer um dos métodos de aproximaçãodiscutidos neste trabalho, MEF, MEFG ou Métodos Sem Malha.

4

Apêndice B

Partição da Unidade

Uma da mais importantes características das funções de aproximação obtidas a

partir da técnica dos MQM, (2.7), encontra-se no fato de constituirem uma partição da

unidade. Segundo ODEN; REDDY (1976), em um domínioΩ emRη, com envoltória

formada pela união de conjuntos abertosGjNj=1, uma classe de funçõesψj(x) forma

uma partição da unidade caso apresente as seguintes propriedades:

1. ψj(x) ∈ C∞0 (Gj);

2.∑N

j=1 ψj(x) = 1;

3. ψj(x) ≥ 0 emΩ;

4. Todo sub-conjunto compacto deΩ intersepta apenas um número finito de supor-

tes deψj(x).

Estas propriedades são bastante restritivas sendo, por isso, relaxadas nas inter-

pretações realizadas para o Método das Nuvenshp, o MEFG e o MEF. Considera-se,

por exemplo, as funções de forma Lagrangianas emR1, comumente empregadas no

MEF (e também no MEFG), que são tomadas como exemplos de partição de unidade,

embora as propriedades acima não sejam verificadas em sua totalidade. No caso das

funções Lagrangianas Lineares, verifica-se apenas a continuidadeC00(ωj) pois, sua

primeira derivada, constante nos elementos pertencentes à nuvemωj, além de ser con-

tínua na face desses elementos já não mais apresenta um suporte compacto. As fun-

ções Lagrangianas de ordem superiork, por sua vez, podem assumir valores negativos

em determinadas regiões, contrariando a terceira propriedade. Situação semelhante

ocorre para as funções de aproximação obtidas a partir dos MQM de ordemCmin(k,l)0

Apêndice B. Partição da Unidade 5

como mostrado na seção 2.1, e observado em MENDONÇA; BARCELLOS; DUARTE

(2000); ainda assim são consideradas partições de unidade por verificarem a proprie-

dade 2, em particular. A propriedade mais importantes é a segunda sendo, por isso,

comentada a seguir.

A segunda propriedade é essencial para se garantir a convergência da aproxima-

ção à medida que novos pontos sejam acrescentados ao domínio. Para entender essa

afirmação considera-se a seguinte aproximação:

u(x) =N∑

j=1

φjuj (B.1)

em queN corresponde ao conjunto de pontos nodais onde são definidos os parâmetros

uj. Caso a função a ser aproximada seja uma constante,u(x) = k, tem-seuj =

k, ∀j = 1, 2, · · · , N , fazendo-se com que:

u(x) ≈ u(x) =N∑

j=1

φjk = kN∑

j=1

φj (B.2)

Caso o conjuntoφjNj=1 forme uma PU, obtém-se, empregando-se a propriedade 2:

u(x) ≈ u(x) = k (B.3)

A verificação da propriedade 2 permite, portanto, que a aproximaçãou(x) re-

presente exatamente qualquer constante. Isto implica, no caso de deslocamentos, na

capacidade de reproduzir movimentos de corpo rígido de translação, propriedade es-

sencial para a convergência da solução:

limN→∞

u(x) = u(x) (B.4)

6

Apêndice C

Solução do Sistema de Equações no

MEFG

Seja o seguinte sistema de equações, obtido da aproximação de Galerkin de um

PVC para a formulação do MEFG:

KU = F (C.1)

ondeK é uma matriz semi-definida positiva. No caso do MEF convencional, para

problemas de elasticidade por exemplo, a matriz de rigidez apresenta auto-valores as-

sociados às auto-funções que descrevem os deslocamentos de corpo rígido. Estes são

removidos aplicando-se as condições de contorno. No MEFG, devido à dependência

linear do conjunto de funções aproximadoras, surgem novas auto-funções cuja natu-

reza é desconhecida. Desse modo, não há como eliminá-las previamente e, por isso,

não se define a inversaK−1. Ainda assim, a solução do sistema (C.1) existe, apesar de

não ser única. Para resolvê-lo, uma das alternativas propostas no trabalho de STROU-

BOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000) consiste em se utilizar da estratégia de solução

de MELENK (1992) em que se produz uma pequena pertubação na matriz de rigidez

e, através de um procedimento iterativo, corrige-se a solução aproximada obtida para

o novo sistema de equações. Esta estratégia, descrita a seguir, é neste trabalho referida

como procedimento de Babuška.

Considera-se, então,I a matriz identidade eε > 0 uma constante. A partir deK

determina-se uma nova matriz, agora definida positiva e dada por:

Kε = K + εI (C.2)

Apêndice C. Solução do Sistema de Equações no MEFG 7

Com a nova matrizKε gera-se uma primeira aproximação (iteração 0) para a solução

do sistema (C.1):

U 0 = K−1ε F (C.3)

ComoU 0 é aproximada, haverá um resíduo definido por:

r0 = F −KU 0 (C.4)

A aproximaçãoe0 para o primeiro erro do procedimento é definida como:

e0 = K−1ε (F −KU 0) (C.5)

que de (C.4)

e0 = K−1ε r0 (C.6)

A solução aproximada é, então, atualizada através de:

U 1 = U 0 + e0 (C.7)

cujo resíduo é:

r1 = F −KU 1 = F −K(U 0 + e0) (C.8)

que pode ser reformulado como:

r1 = r0 −Ke0 (C.9)

Repetindo-se (C.6), tem-se, para a iteração1:

e1 = K−1ε (r1) (C.10)

Uma nova solução aproximada é, portanto, obtida:

U 2 = U 1 + e1 = U 0 + (e0 + e1) (C.11)

e o resíduo correspondente é:

r2 = F −KU 2 = F −K(U 1 + e1) = F −K(U 0 + e0 + e1) (C.12)


que reformulado determina:

r2 = r0 −K(e0 + e1) (C.13)

O erro aproximado para a iteração2 é, então, dado por:

e2 = K−1ε r2 (C.14)

e a próxima solução aproximada é:

U 3 = U 2 + e2 = U 0 + (e0 + e1 + e2) (C.15)

As expressões (C.13,C.14,C.15) devem ser repetidas até que uma determinada

medida de erro seja pequena o suficiente. No algoritmo C.1 representa-se esse proce-

dimento de solução.

Algoritmo C.1 Algoritmo para o procedimento de Babuška

Tij =δij√Kij

F = TFK = TKT (normalização da diagonal principal)Kε = K + εIU 0 = K−1

ε Fr0 = F − KU 0

e0 = K−1ε r0

i = 1

enquanto

∣∣∣∣∣∣∣∣ eiKei

U iKU i

∣∣∣∣∣∣∣∣ < TOL faça

ri = r0 −∑i−1

j=0 Kej

ei = K−1ε ri

U i = U 0 +∑i−1

j=0 ej

i = i+ 1fim enquantoU = T U i

Em DUARTE; BABUŠKA; ODEN (2000) sugere-se que a matriz de rigidez te-

nha sua diagonal normalizada, gerando-se um sistema de equações equivalenteKU =

F . Esta estratégia visa reduzir os erros durante o processo iterativo, fazendo-se com

que a pertubação na diagonal principal seja independente da ordem de grandeza dos

elementos deK.


Em STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000), adota-seε ≈ 10−10, o que

faz, segundo os autores, com que em uma única iteração e trabalhando-se em precisão

dupla, já se tenha a convergência do método de solução.

Como alternativa ao procedimento iterativo, existe, ainda, o método direto de

eliminação de Gauss multifrontal para sistemas simétricos indefinidos proposto em

DUFF; REID (1983) e cuja implementação é disponibilizada naHarwell Subrouti-

nes Library, HSL (2000), através do pacote MA27 em linguagem FORTRAN77. Em

STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000) afirma-se que o emprego do método

multifrontal é mais vantajoso pois se ganha em velocidade na solução do sistema de

equações.

10

Apêndice D

Espaço de Aproximação Polinomial

EmR2, as funções de forma do MEF para elementos quadriláteros, construídas

através de interporlações Serendípetas, BATHE (1996), ou em formulação hierárquica,

SZABÓ; BABUŠKA (1991), representam exatamente espaços polinomiaisPp. Tais

espaços, são gerados, de acordo com o esquema da Figura D.1, pelos monômios:

xiyi sendo

i, j = 0, 1, · · · , pi+ j = 0, 1, · · · , pxy parap = 1

xpy, xyp parap 6= 1

(D.1)

ll

ll

,,

,,

ll

ll

,,

,,

,,

,,

ll

ll

1P1x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

P4x4 x3y x2y2 xy3 y4

x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5

Figura D.1: Monômios representados

11

Apêndice E

Discussão Sobre o ErroA Priori

Para uma envoltória deΩ formada pelas nuvensωjNj=1 associadas às funções

de PUφjNj=1, são impostas as seguintes condições em DUARTE (1996):

1. para toda posição do domínioΩ existe um número máximo de nuvensρ ∈ N,

independente deN , sobrepostas sobre essa posição;

2. ||φj||L∞(Ω) ≤ C∞

3. ||∇φj||L∞(Ω) ≤CG

hj

ondeC∞ eCG são duas constantes ehj representa a dimensão característica da nuvem

e ||u||L∞(Ω) = max|u| é a norma uniforme ou de Chebyshev, RIVLIN (1969)

Com base nestas condições, demonstra-se que para uma família de Nuvens-hp,

=k=1,pN (onde se incluem as funções do MEFG) o erro estimadoa priori de uma apro-

ximação obtida para a soluçãou ∈ Hr, r ≥ 1 é tal que:

|u− u|H1(Ω) ≤√

2ρC(C2G + C2

∞)12 hp |u|Hp+1(Ω) para a versãoh (E.1)

|u− u|H1(Ω) ≤√

2ρC

(C2

G

h2min

+ C2∞

) 12

e−γp |u|Hr(Ω) para a versãop (E.2)

onde:

• C eγ são constantes que dependem unicamente deΩ e Ω;

• hmin = minj=1,··· ,N

hj;

• h = maxj=1,··· ,N

hj;

Apêndice E. Discussão Sobre o Erro A Priori 12

• p = minj=1,··· ,N

pj;

• pj é o grau máximo do polinômio completo representado pelas funções da nuvem

ωj;

• |u|Hm(Ω) =(∑

|α|=m||Dαu||2L2(Ω)

)1/2

é a semi-norma no espaçoHm, segundo

ODEN; REDDY (1976);

• Dαu(x) =∂|α|u(x)

∂xα11 · · · ∂xαn

n

corresponde ao operador de derivadas múltiplas em

Rη, x = (x1, · · · , xη), na ordem|α| = α1 + · · ·+ αη;

• ||u||Lp(Ω) =(∫

ΩupdΩ

)1/pé a norma emLp;

A interpretação destas estimativas de erro pode ser dada para o MEFG como se

segue. Considera-se, uma nuvemωj de elementos caracterizada pela dimensãohj.

Variando-se a posição do nóxj, sem quehj seja alterado, de maneira que esse se

aproxime de algum dos nós vizinhos é de se esperar que o gradiente da funçãoφj,

próximo axj cresça bastante, caracterizando a distorção dos elementos dessa nuvem.

Comohj mantém-se constante, pela condição (3)CG deve apresentar um valor maior

e, como conseqüência, os limites superiores para o erro na semi-normaH1 em (E.1)

e (E.2) são elevados. Ainda que o erro de aproximação aumente, nenhuma alteração

deve ocorrer nas taxas de convergência emH1, que permanecem sendo definidas pelos

parâmetrosp e−γp. Em problemas de elasticidade, pode-se mostrar a equivalência

entre a semi-norma|u|H1 e a norma energia||u||U =√

(B(u, u)) que, por sua vez,

é derivada da energia de deformação. Explica-se, assim, a discussão ao final da seção

3.2.1, na qual se observa que a distorção da malha introduz um erro na aproximação

do MEFG sem, contudo, prejudicar a sua taxa de convergência com relação à energia

de deformação.

13

Apêndice F

Detalhes da Implementação do MEFG

F.1 Convergência no Método de Newton-Raphson

Em análises feitas através do MEF, é comum utilizar-se, no critério de parada do

processo iterativo de Newton-Raphson, algumas das seguintes medidas:

• NormaL2 dos incrementos de deslocamento:

||∆U (it)||2def=

√√√√NGL∑i=1

(∆U

(it)i

)2

(F.1)

• NormaL2 do desequilíbrio em forças:

||ψ(it)||2def=

√√√√NGL∑i=1

(ψ

(it)i

)2

(F.2)

• Norma de energia incremental:

||∆up||Udef=

√∆U (it)Tψ(it−1) =

√√√√NGL∑i=2

(∆U

(it)i ψ

(it−1)i

)(F.3)

No MEFG, contudo, o ideal é que se utilize, no critério de parada para as itera-

ções, apenas a norma de energia. A razão para isso encontra-se na maneira com que se

realiza o enriquecimento da PU. Considera-se, então, a expressão (2.36) da aproxima-

Apêndice F. Detalhes da Implementação do MEFG 14

ção no MEFG:

up(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uj +

qj(p)∑i=1

pji(x)bji

(F.4)

Uma maneira de interpretar a expressão acima é considerando-seu(x) como uma com-

binação linear das funções de=k=1,pN = Nj(x)N

j=1 ∪ Nj(x)pji(x)Nj=1 |i ∈ Ij

através dos parâmetrosuj, bjiNj=1 |i ∈ Ij. De acordo com a seção 2.5.1, a família

de funções=k=1,pN , é formada geralmente por funções linearmente dependentes. Sendo

assim, essa combinação pode admitir um conjunto infinito de parâmetros. Para ser

mais exato, tal afirmação é válida apenas para os parâmetrosbij, enquanto que osuj

são unicamente definidos1. Por exemplo, seja uma situação em queup(x) = 0. Uma

das soluções possíveis seria, naturalmente,0Nj=1 |i ∈ Ij; ela, porém, não é única e

outras soluções do tipoUT = uj = 0, bji 6= 0Nj=1 |i ∈ Ij também são admitidas.

Durante o processo de solução do problema não-linear, seção 5.3, calcula-se para

cada iteraçãoit do tempot a seguinte função, obtida de acréscimos dos parâmetros

de (F.4):

∆u(it)p (x) =

N∑j=1

Nj(x)

∆u(it)j +

qj(p)∑i=1

pji(x)∆b(it)ji

(F.5)

que é empregada para atualizar a solução total até o passot:

tu(it)p (x) = tup

(it−1)(x) + ∆u(it)p (x) (F.6)

De forma análoga ao discutido anteriormente,∆u(it)(x) = 0 não implica ne-

cessariamente em se ter∆uitj = 0,∆bitji = 0N

j=1 |i ∈ Ij; como conseqüência, a

norma dos incrementos de deslocamento (F.1) pode ser diferente de zero, apesar dos

resultados terem convergido. Um raciocínio equivalente pode ser conduzido para que

a mesma conclusão seja obtida para o vetor dos resíduosψ(it−1). Na abordagem do

MEFG, o emprego das normas de incrementos de deslocamento, (F.1), ou do desequi-

líbrio em forças, (F.2), não é, portanto, adequado para o controle de convergência da

solução iterativa do método de Newton-Raphson. Resta, então, a norma de energia in-

cremental, (F.3), obtida pelo produto escalar dos vetores∆U itTeψ(it−1). Esta norma,

independentemente das funções aproximadoras empregadas, está relacionada ao traba-

lho realizado pelo desequilíbrio de forças sobre os deslocamentos incrementais e deve

1É essa a razão de se utilizar o procedimento de Babuška descrito no apêndice C. Procura-se, atravésda perturbação da diagonal principal, criar uma situação favorável para se encontrar um dos conjuntospossíveis de solução parabji.

Apêndice F. Detalhes da Implementação do MEFG 15

se anular quando a solução convergir, ou seja, quando se verificar o equilíbrio entre as

forças externas e internas.

F.2 Consideração da armadura

Em problemas semelhantes ao da viga de concreto armado da seção 5.1, quando

analisados pelo MEF no domínioR2, é usual considerar a presença de dois materiais

diferentes, o aço e o concreto. Para cada elemento finito deve-se, então, definir, além

da incidência nodal, o material correspondente. A altura dos elementos associados

ao material aço é obtida dividindo-se a área total de cada camada de armadura pela

espessura da seção transversal. Como em geral a área é bem pequena, o elemento

de aço resulta bastante fino em relação às dimensões da estrutura considerada. Este

fator impõe uma restrição às análises com o MEF hierárquico e, especialmente com o

MEFG, em que se procura empregar um número reduzido de elementos relativamente

grandes, priorizando-se o enriquecimento polinomial da aproximação.

Figura F.1: Aço embutido nos elementos finitos com o material concreto

Para contornar este problema, RANJBARAN (1991) considera a armadura em-

butida no elemento finito, como é mostrado na Figura F.1. A validade dessa estratégia

está vinculada à hipótese de perfeita aderência entre o concreto e o aço. Garante-se,

assim, que exista uma continuidade no tensor de deformações na fronteira entre os dois

materiais. O meio pode, dessa forma, ser modelado como um único material cuja a ri-

gidez é função das contribuições do aço e concreto. Apenas a rigidez axial da barra de

aço é considerada, sendo distribuída, nos elementos em que estiver presente de acordo

com sua posição com relação aos pontos nodais. Detalhes sobre a formulação matemá-

tica e implementação dessa estratégia podem ser encontrados, além de RANJBARAN

(1991), em ASSAN (1999).

16

Apêndice G

Interpretação do Estimador do MRE

Em ODEN (1989), procura-se aproximar a função de erro exato por uma fun-

ção do erro entreup e uma solução mais enriquecida, representada genericamente por

up+1 ∈ Xp+1, ou seja:

epsubstituído−→ up+1 − up (G.1)

A justificativa está no que segue. Sendoep+1 = u − up+1 a função de erro para a

aproximaçãoup+1 e com base na condição de ortogonalidade (6.3), pode-se mostrar

que:

||ep||2U = ||up+1 − up||2U + ||ep+1||2U (G.2)

Dessa forma, se o espaçoXp+1, no qual é definidaup+1 for de dimensão muito maior

do que oXp torna-se justificável fazer a seguinte estimativa:

||ep||U ≈ ||up+1 − up||U (G.3)

A função de erro procurada passa a ser, dessa maneira,up+1 −up. Uma maneira

bastante simples de se interpretar tal aproximação para o erro pode ser encontrada em

ZIENKIEWICZ; MORGAN (1983) ao se fazer uma analogia com a expansão de Tay-

lor. Afirma-se que, no limite, quando o tamanhoh dos elementos finitos tender a zero

(de maneira análoga, quando a dimensão característicah das nuvens tender a zero), o

erro passa a ser de um grau superior ao da função de aproximação empregada. Com

base nessa argumentação, justifica-se a descrição do erro em um espaço de funções que

representem polinômios de um grau superior ao do espaço da aproximação obtida para

Apêndice G. Interpretação do Estimador do MRE 17

a solução. Além disso, como no limite, espera-se que a parcela mais importante do

erro seja de um grau superior ao da função de aproximação, não há porque se utilizar

as funções presentes no espaço da solução aproximada para se descrever o erro.

Este argumento torna natural a escolha das funções bolha descritas na seção 6.3,

pois no espaçoX0p+1(K) não estão presentes as funções do espaçoXp da soluçãoup.

Como conseqüência, o custo computacional para a solução do problema (6.33) é redu-

zido significativamente. Outro argumento válido para se utilizarX0p+1 é discutido no

início da seção 6.4, como uma maneira de garantir a eliminiação de modos equivalentes

aos movimentos de corpo rígido.

Além desse fato, em ODEN (1989), demonstra-se que, se a funçãoup+1 − up

é aproximada pelas funções deX0p+1, garante-se que o estimador||ep||U, obtido de

(6.46), apresente o mesmo comportamento que a norma energia do erro exato, ou seja:

C1||ep||U ≤ ||ep||U ≤ C2||ep||U (G.4)

ondeC1 e C2 são constantes positivas. Condição, essa, essencial para que se tenha

uma boa estimativa do erro.

A medida ||ep||U é, portanto, uma estimativa da aproximação de Galerkin no

problema (6.33) da funçãoup+1−up e, em vista da propriedade (G.4), pode ser usado

como estimador, na norma de energia, para o erroep definido em (6.19).

18

Apêndice H

Equilíbrio do Vetor de Forças

Generalizadas

Seja a parcela relativa ao elementoK do vetor de forças nodais definido em

(3.25), para os dados(b, t):

xFKj =

∫∫K

φj bx lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

φj tx lz ds

yFKj =

∫∫K

φj by lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

φj ty lz ds

(H.1)

em quej refere-se ao nóxj do elementoK no qual os vetores de forças nodais equiva-

lentes nas direçõesx, xF j, e y, yF j, são associados. Observa-se que a representação

adotada, com a caracterização das componentes nas direçõesx e y diverge um pouco

do restante do texto. Esta mudança é proposital e tem a finalidade de conferir mais

clareza às expressões que seguem. Dessa forma,φj, diferentemente de (3.18), está em

letra minúscula e é representada pelo seguinte vetor:

φTj =

Nj

ψj︷︸︸︷Lj1Nj · · · Ljpj

Nj

(H.2)

ondeψj é o vetor das funções resultantes do enriquecimento deNj.

Somando-se, então, os vetores de (H.1) para todos os nós do elementoK:

Apêndice H. Equilíbrio do Vetor de Forças Generalizadas 19

∑j∈K

xFKj =

∫∫K

(∑j∈Kφj

)bx lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

(∑i∈Kφj

)tx lz ds

∑j∈K

yFKj =

∫∫K

(∑j∈Kφj

)by lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

(∑j∈Kφj

)ty lz ds

(H.3)

ComoNjj∈K formam uma PU, sabe-se que∑

j∈K Nj = 1 e, por essa razão, as

expressões (H.3) podem ser convenientemente reescritas como:

∑j∈K

xFKj =

∫∫K

[1∑

j∈Kψj

]bx lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

[1∑

j∈Kψj

]tx lz ds

∑j∈K

yFKj =

∫∫K

[1∑

j∈Kψj

]by lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

[1∑

j∈Kψj

]ty lz ds

(H.4)

ou seja:

∑j∈K

xFKj =

RKx∫∫

K

(∑j∈Kψj

)bx lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

(∑i∈Kψj

)tx lz ds

∑j∈K

yFKj =

RKy∫∫

K

(∑j∈Kψj

)by lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

(∑i∈Kψj

)ty lz ds

(H.5)

onde,RKx eRK

y são as resultantes de(b, t) que agem sobre o elementoK, na direçãox

ey, respectivamente:

RKx =

∫∫K

bx lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

tx lz ds

RKy =

∫∫K

by lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

ty lz ds

(H.6)

Considera-se, agora, os valoresρxj e ρy

j que representam as distâncias emx e

emy entre o nóxj e uma posição qualquer(x0, y0) do elementoK. Pode-se, então,

Apêndice H. Equilíbrio do Vetor de Forças Generalizadas 20

definir o seguinte vetor com os momentos nodais equivalentes associados ao nóxj do

elementoK:

MKj

def=

∫∫K

[ ∑j∈K ρ

yjNj∑

j∈K ρyjψj

]bx lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

[ ∑j∈K ρ

yjNj∑

j∈K ρyjψj

]tx lz ds

−∫∫K

[ ∑j∈K ρ

xj Nj∑

j∈K ρxjψj

]by lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

[ ∑j∈K ρ

xj Nj∑

j∈K ρxjψj

]ty lz ds

(H.7)

em que se adota o sentido horário como positivo para o momento.

Para elementos em que o mapeamento entre as coordenadas naturais e as reais do

elemento for linear, pode-se assumir que:

ρx(x) =∑j∈K

ρxj Nj

ρy(x) =∑j∈K

ρyjNj

(H.8)

Substituindo-se, então, as expressões (H.8) em (H.7) e realizando-se o somatório para

todos os nós deK chega-se a:

∑j∈K

MKj =

MK∫∫K

∑j∈K

(ρy

jψjbx + ρxjψjby

)lz dx dy +∫

∂K∩ΓN

∑j∈K

(ρy

jψj tx + ρxjψj ty

)lz ds

(H.9)

onde:

MK =

∫∫K

ρybx + ρxby lz dx dy +

∫∂K∩ΓN

ρy tx + ρxty lz ds

correspondente ao momento das forças atuantes sobre o elementoK.

De (H.5) e (H.9), observa-se que as componentes deFKj eMK

j associadas à par-

tição da unidade recuperam o equilíbrio em força e momento do carregamento atuante

sobre um determinado elemento. As demais componentes, associadas ao enriqueci-

mento são consideradas, portanto, como auto-equilibradas.

A demonstração foi realizada para o conjunto de dados(b, t) mas as mesmas

conclusões podem ser obtidas, por analogia, para(rΩ, rΓ, [t(up)] ,θ

K)

do MRE equi-

librado discutido na seção 6.4.1.

21

Apêndice I

Transferência de Valores Associados

aos Pontos de Gauss

A estratégia sugerida a seguir, assemelha-se ao procedimento empregado para

recuperar um campo de tensões “suavizado” em ZIENKIEWICZ; ZHU (1992a). Ba-

sicamente, parte-se do método dos mínimos quadrados para ajustar uma função a um

conjunto de variáveis associadas aos pontos de Gauss. Este ajuste é realizado indepen-

dentemente para cada nuvem, de modo que em um determinado elemento gerem-se

tantas funções quanto o número de nuvens que o contêm. A partir daí, para se obter

uma descrição única em todo o domínio, emprega-se a PU para “costurar” as diversas

funções de cada nuvem.

Considera-se, portanto, uma nuvemωj que contenha um conjunto de elementos

K. Em cada elemento existem um número deNG pontos de Gauss,xgNGg=1, nos quais

encontram-se definidos um conjunto de valoresςgNGg=1 (tais valores representam, por

exemplo, o danoD). Para essa nuvem, é possível definir uma função de ajuste, através

da combinação linear entre os vários monômios da baseP = pini=1, (n ≤ m) e

parâmetrosαimi=1:

ς(x) =m∑

i=1

pi(x)αi = pT (x)αωj(I.1)

Observa-se que estão sendo usadas a mesma terminologia e expressões da seção 2.1,

pois também aqui o método de ajuste é o dos mínimos quadrados. Este ajuste, contudo,

está associado ao nóxj de cada nuvemωj em que é calculado. Tal procedimento, em

OÑATE (1996a), recebe a denominação de Método dos Mínimos Quadrados Fixo,

MMQF. Por esta razão, a função de ponderação é definida com relação ao ponto nodal

Apêndice I. Transferência de Valores Associados aos Pontos de Gauss 22

xj, e o seguinte funcional do erro passa a ser obtido como:

Jωj=

NG∑g=1

Wωj(xg − xj)ςg − ς(xg)2 (I.2)

a partir do qual chega-se, analogamente à seção 2.1:

αωj=

NG∑g=1

A−1ωjBωj

g ςg (I.3)

onde:

Aωj=

NG∑g=1

Wωj(xg − xj)p(xg)p

T (xg) (I.4)

Bωjg = Wωj

(xg − xj)p(xg) (I.5)

Substituindo-se (I.3) em (I.1) chega-se à seguinte expressão que representa as

variáveisς na nuvemωj:

ςωj(x) = pT (x)αωj

(x) (I.6)

Considera-se, agora, um elemento quadriláteroK ∈ ω1 ∩ ω2 ∩ ω3 ∩ ω4, em

que as nuvensωj estão associadas aos seus quatro vérticesxi4i=1. No interior desse

elemento, encontram-se definidas quatro expressões diferentes para (I.6),ςj4j=1. Para

se chegar a uma expressão única, podem ser utilizadas as funções de PU,Nj4j=1,

associadas aos quatro vértices, da seguinte maneira:

ς =4∑

j=1

Nj ςj (I.7)

As expressões obtidas isoladamente para cada nuvem são, portanto, “costuradas”,

de modo equivalente às funções aproximadoras enriquecidas do MEFG. Tem-se então

uma expressão contínua para todo o domínio que pode ser utilizada para transferir

o conjunto de valoresςjNGj=1 para o passo seguinte do procedimento adaptativo em

análise não-linear.

23

Apêndice J

Solução na Vizinhança de Trinca em

Elasticidade Bi-Dimensional

De acordo com SZABÓ; BABUŠKA (1991), o campo de deslocamentos emR2,

na proximidade da ponta da trinca pode ser escrito na forma da seguinte série infinita:

ux(r, θ) =∞∑

α=1

(A(1)

ααu(1)

x + A(2)α

αu(2)x

)+ ux(r, θ) (J.1)

uy(r, θ) =∞∑

α=1

(A(1)

ααu(1)

y + A(2)α

αu(2)y

)+ uy(r, θ) (J.2)

onde os índices(1) e(2) referem-se aos modosI eII de fratura,r eθ são as coordena-

das polares,r = 0 corresponde à extremidade da trinca,ux(r, θ) e uy(r, θ) são funções

mais suaves do que os demais termos denominados auto-funções e dados por:

αu(1)x (r, θ) =

rλα

2G

[κ−Q(1)

α (λα + 1)]cosλαθ − λα cos(λα − 2)θ

(J.3)

αu(2)x (r, θ) =

rλα

2G

[κ−Q(2)

α (λα + 1)]

senλαθ − λαsen(λα − 2)θ

(J.4)

αu(1)y (r, θ) =

rλα

2G

[κ+Q(1)

α (λα + 1)]

senλαθ + λαsen(λα − 2)θ

(J.5)

αu(2)y (r, θ) =

rλα

2G

[κ+Q(2)

α (λα + 1)]cosλαθ − λα cos(λα − 2)θ

(J.6)

com os autovaloresλ1 = 1/2 eλα = (α+ 1)/2 paraα ≥ 2 e:

Q(1)α =

−1 α = 3, 5, 7, . . .

Λα α = 1, 2, 4, 6, . . .Q

(2)α =

−1 α = 1, 2, 4, 6, . . .

Λα α = 3, 5, 7, . . .

Λα =λα − 1

λα + 1.

Apêndice J. Solução na Vizinhança de Trinca em Elasticidade Bi-Dimensional24

Sendoκ =

3− 4ν EPD3− ν

1 + νEPT

,G =E

2(1 + ν),E o módulo de Young eν o coeficiente

de Poisson. Já os coeficientesA(1)1 eA(2)

1 , estão relacionados aos fatores de intensidade

de tensãoKI eKII dos modosI e II de fratura respectivamente:

A(1)1 =

KI√2π

A(2)1 =

KII√2π

(J.7)

Seja no Método das Nuvenshp, ODEN; DUARTE (1997b), como também no MEFG,

DUARTE (2001), o seguinte conjunto de funções pode ser empregado para o enrique-

cimento das funções de PU próximas à extremidade da trinca:

Ixj =

1,

1−

αu(1)x (x)

αu(1)x (xj)

∞

α=1

,

1−

αu(2)x (x)

αu(2)x (xj)

∞

α=1

, p1, p2, · · · , pqj(p)

(J.8)

Iyj =

1,

1−

αu(1)y (x)

αu(1)y (xj)

∞

α=1

,

1−

αu(2)y (x)

αu(2)y (xj)

∞

α=1

, p1, p2, · · · , pqj(j)

(J.9)

As funções de aproximação nas direçõesx ey para o MEFG são, dessa forma, obtidas

conforme as expressões (3.48) e (3.49):

ux(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uxj +

qj(p)∑i=1

pibxji +

+∞∑

α=1

[1−

αu(1)x (x)

αu(1)x (xj)

]dx

jα +

[1−

αu(2)x (x)

αu(2)x (xj)

]cxjα

(J.10)

uy(x) =N∑

j=1

Nj(x)

uyj +

qj(p)∑i=1

pibyji +

+∞∑

α=1

[1−

αu(1)y (x)

αu(1)y (xj)

]dy

jα +

[1−

αu(2)y (x)

αu(2)y (xj)

]cyjα

(J.11)

O enriquecimento nodal, assim definido, pode ser usado em todas as nuvens atraves-

sadas pela fratura, desde que essa mantenha-se sempre reta. Para o caso em que a

trajetória da trinca apresenta trechos com inclinações variadas deve-se empregar ou-

tras estratégias como a introdução de funções do tipo degrau, utilizadas, por exemplo

em MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999), ou a modificação da PU fazendo-a

descontínua no interior do elemento. Esta última estratégia é sugerida em DUARTE

(2001), valendo-se das funções de Shepard juntamente com as funções de interpolação

Apêndice J. Solução na Vizinhança de Trinca em Elasticidade Bi-Dimensional25

Lagrangianas para a construção da PU. A descontinuidade é introduzida aplicando-se

o algoritmowrap-around, DUARTE; ODEN (1996a). Para a definição das funções en-

riquecedoras em (J.8) e (J.9), outras funções, que não as soluções (J.1) e (J.2), podem

também ser empregadas, desde que preservem a singularidade do campo de tensões.

Uma interessante proposta pode ser encontrada, por exemplo, em BELYTSCHKO;

BLACK (1999).

Documents

Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos ... · Aos funcionários do Departamento de Estruturas da Escola de ... viabilizadores das idas e vindas Minas ... 5.4 Análises