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Microeconomia Funo Utilidade Multiplicadores de Lagrange Cobb Douglas Saurater Faraday Adaptao do vdeo Multiplicadores de Lagrange. Disponvel em. Acesso em 18/mai/13. http://www.wikifinancas.samfaraday.com/inde x.php/Multiplicadores_de_Lagrange 1

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Funo Utilidade Cobb Douglas u(x, y) = xy Problema: Maximizar a Funo Utilidade sujeito a uma certa restrio de igualdade. Tcnica: Multiplicadores de Lagrange Restrio: Encontrar as condies que satisfaam a otimizao. 2

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Suponhamos que a Funo Utilidade seja u(x, y) = xy Nosso problema escolher x e y que maximizem xy Sujeito x + y 12 Max xy s.a. x + y 12 Em outras palavras: f (x,y) = xy g (x,y) = 12 5

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1. Reescreva a restrio de igualdade, igualando a zero. Em nosso exemplo x + y 12 = 0 2.Criemos uma nova funo L(x, y, ) a qual depende das variveis originais, bem como da nova varivel (lambda). Lambda , aqui, chamada de Multiplicador de Lagrange. A Nova funo a soma dos dois temos: O Primeiro termo a funo original a ser maximizada (ou minimizada em um problema de minimizao), em nosso exemplo, xy. O Segundo termo o produto da nova varivel e restrio Ficando: L(x,y, ) = xy+ (x + y -12) 6 O Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange

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7 Derivadas Parciais e Sistemas de Equaes

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Resolvendo as Equaes Primeiro, levamos os temos contendo para o outro lado das equaes respectivas. y= - (1) x= -(2) Agora, substitumos x e y na 3. Equao: x + y 12 = 0 - + - 12 = 0 -2 12 = 0 -2 = 12 = -6 Agora que conhecemos , basta substituir nas equaes 1 e 2 y = -(-6) y = 6 x = -(-6) x = 6 8 Derivadas Parciais e Sistemas de Equaes

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9 Interpretando Meu, o valor de lambda significa o preo sombra ou a variao do valor objetivo da soluo ptima de um problema de otimizao obtido atravs do relaxamento da restrio por uma unidade - a utilidade marginal de relaxar a restrio ou, de forma equivalentemente, o custo marginal de reforar a restrio. Nas palavras do Prof. Paulo Matos, seria uma o resultado de uma pequena porrada no preo, o que aumentaria em 6 vezes.

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Referncias A Langrange Multiplier. Disponvel em Acesso em 18/mai/13. http://www.youtube.com/watch?v=H4HN4ZrVm0w ALBOUY, David; Constrained Optimization, Shadow Prices, Ine cient Markets, and Government Projects. Disponvel em http://emlab.berkeley.edu/users/webfac/saez/e131_s04/shadow.pdf Acesso em 18/mai/13. http://emlab.berkeley.edu/users/webfac/saez/e131_s04/shadow.pdf MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995 Multiplicadores de Lagrange. Disponvel em. Acesso em 18/mai/13. http://www.wikifinancas.samfaraday.com/index.php/Multiplicad ores_de_Lagrange Preo Sombra. Disponvel em. Acesso em 18/mai/13.http://pt.wikipedia.org/wiki/Pre%C3%A7o_sombra VARIAN, Hal R. Microeconomia: Princpios bsicos. Uma abordagem moderna. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. 10