Microsoft PowerPoint - Metodos Numericos- Errores [Modo de Compatibilidad]

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Universidad Nacional Experimental de losLlanos Centrales Rmulo GallegosMtodos NumricosProf. Eder Buitragoebuitrago@unerg.edu.ve1. Modelos matemticos en ingeniera y anlisis de error Modelos matemticos Aritmtica del computador Aproximaciones y errores de redondeo Las series de Taylor y errores de truncamientoModelos matemticos Un Modelo matemtico es una formulacin o una ecuacin queexpresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico oproceso en trminos matemticos|||

\|=fuerza defunciones, parmetros ,ntes independievariablese dependientVariablef Variable dependiente: caracterstica que refleja el comportamiento o estado de unsistema Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y espacio, atravs de las cuales se determina el comportamiento del sistema Parmetros: son las propiedades o la composicin del sistema Funciones de fuerza: influencias externas que actan sobre el sistemaUn modelo matemtico simple Segunda Ley de Newtonma F =mFa = a: variable dependiente F: funcin de fuerza m: parmetro que representa una propiedad del sistemaPor su forma algebraica sencilla puede despejarse directamenteUn modelo matemtico ms complicado Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal decada libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra(paracaidista)mFdtdv=cv mg F F FU D = + =vmcgdtdv = g: aceleracin de la gravedad c: coef. de arrastreSustituyendo FEs una ecuacin diferencialSolucin analtica , ), ), )t m cecgmt v/1 =*Hay casos donde es imposible obtener una solucin analticaUn modelo matemtico ms complicado Solucin numrica Se busca una aproximacin a la razn de cambio de la velocidadcon respecto al tiempo con una diferencia finita dividida, ) ,)i ii it tt v t vtvdtdv=AA~++11, ) ,),)ii ii it vmcgt tt v t v =++11SustituyendoSolucin numrica*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti, ) ,) ,) , )i i i i it t t vmcg t v t v 1]1

+ =+ + 1 10 2 4 6 8 10 1205101520253035404550v, m/st, sPendienteverdaderaPendienteaproximadaUn modelo matemtico ms complicado Solucin analtica vs. Solucin numrica*mejor solucin numrica implica mayor costo computacional0 2 4 6 8 10 1205101520253035404550v, m/st, sSolucion analiticaSolucion numericaAproximaciones y errores de redondeoDos errores ms comunes en mtodos numricos Errores de redondeo: se deben a que la computadora slo puedepresentar cantidades con un nmero finitode dgitos Errores de truncamiento: representan la diferencia entre unaformulacin matemtica exacta de unproblema y la aproximacin dada por unmtodo numricoAproximaciones y errores de redondeoCifras significativas El concepto de cifra significativa se ha desarrollado para designarformalmente la confiabilidad de un valor numrico Las cifras significativas de un nmero son aquellas que pueden serusadas en forma confiableAproximaciones y errores de redondeoImplicaciones de las cifras significativas en los mtodos numricos1. Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son losresultados Una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas2. Ciertas cantidades representan nmeros especficos, , e, 7, pero no sepueden expresar exactamente con un nmero finito de dgitosEjemplo, = 3.141592653589793238462643hasta el infinito En las computadoras tales nmeros jams se podrn representar en formaexacta A la omisin del resto de cifras significativas se le conoce como error deredondeoExactitud y precisinEXACTITUD: se refiere a qu tan cercano est un valor calculado o medidodel valor verdaderoPRECISIN:se refiere a qu tan cercano est un valor individual calculado omedido con respecto a otrosINEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemtico de laverdadIMPRECISIN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento delos valoresExactitud y precisinLos mtodos numricos deber ser: Lo suficientemente exactos osin sesgo para que cumplancon los requisitos de unproblema particular deingeniera Lo suficientemente precisospara el diseo en ingenieraAumenta la exactitudAumenta la precisinDefiniciones de error Los errores numricos se generan con el uso deaproximaciones para representar las operaciones ycantidades matemticas Estos incluyen: Errores de redondeo: se producen cuando los nmeros tienenun limite de cifras significativas que se usan para representarnmeros exactos Errores de truncamiento: que resultan de representaraproximadamente un procedimiento matemtico exactoDefiniciones de error Error verdadero Un defecto de esta definicin es que no toma en cuenta el orden de magnituddel valor que se esta probando Error relativo porcentual Error aproximado Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una toleranciaprefijada sn aproximaci - adero valor verd =tE% 100adero valor verd =ttE% 100aproximado valoraproximado Error =a% 100actual n Aproximacianterior n Aproximaci - actual n Aproximaci =as a