Mm - Apostila Lab Oratorio - Matlab v.1 - 10 Out

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APOSTILA DE MODELAGEM MATEMTICA E SIMULAO COMPUTACIONALe-mail:[email protected]

Prof. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues

2011 Aracaju, Agosto

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SUMRIO1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.6.5. 1.7. 1.7.1. 1.7.2. 1.7.3. 1.8. 1.8.1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25. 2.26. 2.27. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. INTRODUO AO MATLAB ........................................................................................................................................................... 3 INTRODUO................................................................................................................................................................................... 3 VANTAGENS DO MATLAB .................................................................................................................................................................. 3 DESVANTAGENS DO MATLAB ............................................................................................................................................................ 3 O AMBIENTE MATLAB ....................................................................................................................................................................... 3 A REA DE TRABALHO MATLAB......................................................................................................................................................... 4 CONCEITOS, COMANDOS E SIMBOLOGIA DO MATLAB ....................................................................................................................... 5 COMANDOS E SIMBOLOGIA .............................................................................................................................................................. 5 COMANDOS, VARIVEIS E SMBOLOS ESPECIAIS............................................................................................................................... 7 CONSTANTES ................................................................................................................................................................................... 7 OPERAES ARITMTICAS BSICAS ................................................................................................................................................. 7 FUNES MATEMTICAS COMUNS(OBS: ALGUM EXEMPLOS) ............................................................................................................. 8 COMANDOS CARACTERSTICOS DE JANELA ....................................................................................................................................... 8 COMANDOS DO WORKSPACE ............................................................................................................................................................ 8 COMANDOS FORMATOS DE EXIBIO DE NMEROS ......................................................................................................................... 9 COMANDOS RELACIONADOS A ARQUIVOS E DADOS .......................................................................................................................... 9 MATRIZES ........................................................................................................................................................................................ 9 ENTRADA DE DADOS ........................................................................................................................................................................ 9 TRANSFORMADA DE LAPLACE ....................................................................................................................................................10 TRANSFORMADA DE LAPACE............................................................................................................................................................10 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES COM O MATLAB .............................................................................................10 FUNO EXPONENCIAL ...................................................................................................................................................................10 FUNO DEGRAU ............................................................................................................................................................................11 FUNO RAMPA ..............................................................................................................................................................................11 FUNO SENO ................................................................................................................................................................................12 FUNO COSENO ............................................................................................................................................................................13 FUNO PULSO OU GATE ................................................................................................................................................................14 FUNO IMPULSO ...........................................................................................................................................................................14 ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE COM MATLAB .........................................................................................15 LINEARIDADE..................................................................................................................................................................................15 MULTIPLICAO DE UMA F(T) POR ....................................................................................................................................... 15 MULTIPLICAO DE UMA F(T) POR tn ...............................................................................................................................................15 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS ..................................................................................................................................16 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS ...................................................................................................................................16 REPRESENTAO DE ALGUMAS FUNES COM O MATLAB ................................................................................................................17 FUNO EXPONENCIAL ...................................................................................................................................................................17 FUNO RAMPA ..............................................................................................................................................................................17 FUNO ACELERAO .....................................................................................................................................................................17 FUNO SENO ................................................................................................................................................................................17 FUNO COSSENO REPRESENTADA NO MATLAB ..............................................................................................................................18 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE............................................................................................................................................18 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE COM O MATLAB ...................................................................................................................18 EXPANSO EM FRAES PARCIAIS COM O MATLAB ..........................................................................................................................20 DETERMINAO DOS ZEROS E PLOS DE B(S)/A(S) .........................................................................................................................23 TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) .................................................................................................................................................25 TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)....................................................................................................................................................25 MODELAGEM MATEMTICA .........................................................................................................................................................27 CONTROLE CLSSICO: FUNO DE TRANSFERNCIA ........................................................................................................................27 REPRESENTAO DA FUNO DE TRANSFERNCIA ..........................................................................................................................27 REPRESENTAO DA FUNO DE TRANSFERNCIA COM O MATLAB..................................................................................................28 COMANDOS PARA OBTER A RESPOSTA TEMPORAL ...........................................................................................................................31 SISTEMAS ELTRICOS .....................................................................................................................................................................36 CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MTODO DAS MALHAS.........................................................................................................................37 SISTEMAS MECNICOS ....................................................................................................................................................................38 REPRESENTAO DE ESPACO DE ESTADOS ......................................................................................................................................40 MODELAGEM POR VARIVEIS DE ESTADO ........................................................................................................................................40 REPRESENTAO DE ESPAO DE ESTADOS COM O MATLAB .............................................................................................................43 TRANFORMAO LINEARES DE SISTEMAS ........................................................................................................................................ 44

et

4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.

DIGRAMA DE BLOCOS .................................................................................................................................................................47 INTRODUO: DIGRAMA DE BLOCOS...............................................................................................................................................47 COMPONENTES DOS DIGRAMA DE BLOCOS ......................................................................................................................................47 BLOCO FUNCIONAL .........................................................................................................................................................................47 PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO .......................................................................................................................................47 PONTO DE JUNO OU DERIVAO .................................................................................................................................................48 REDUO DE DIGRAMAS DE BLOCOS...............................................................................................................................................48 REDUO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB ......................................................................................................................48 BLOCOS EM SRIE COM MATLAB .....................................................................................................................................................48 BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB ...............................................................................................................................................51 REALIMENTAO (FEEDBACK) .........................................................................................................................................................52

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5. 5.1. 5.2.

RESPOSTA TRANSITRIA............................................................................................................................................................59 INTRODUO..................................................................................................................................................................................59 RESPOSTA AO DEGRAU ...................................................................................................................................................................61

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CAPTULO 1 1. INTRODUO AO MATLAB1.1. INTRODUO MATLAB (que abrevia MATrix LABoratory - Laboratrio de Matrizes) um programa de computador especializado e otimizado para clculos cientficos e de engenharia. O programa MATLAB implementa a linguagem de programao MATLAB, juntamente com uma grande biblioteca de funes predefinidas que tornam as tarefas de programao tcnica mais fceis e eficientes. MATLAB um programa muito grande, com uma rica variedade de funes. At mesmo a verso bsica do MATLAB, sem ferramentas adicionais, muito mais rica que outras linguagens de programao tcnica. Existem mais de 1.000 funes no produto MATLAB, e as ferramentas adicionais ampliam esses recursos com muito mais funes em diferentes especialidades. 1.2. VANTAGENS DO MATLAB MATLAB tem muitas vantagens, em comparao com linguagens computacionais convencionais, para resolver problemas tcnicos. Dentre elas, temos: 1. Facilidade de Uso 2. Independncia de Plataforma 3. Funes Predefinidas 4. Desenhos Independentes de Dispositivos 5. Interface Grfica de Usurio 6. O Compilador MATLAB 1.3. DESVANTAGENS DO MATLAB MALTLAB tem duas desvantagens principais. Primeiro, ele uma linguagem interpretada, por isso pode ser mais lento que linguagens compiladas e a segunda desvantagem o custo: uma cpia completa do MATLAB de cinco a dez vezes mais cara que um compilador convencional C ou Fortran. 1.4. O AMBIENTE MATLAB A unidade fundamental de dados em qualquer programa MATLAB a matriz. Uma matriz uma coleo de valores de dados organizados em linhas e colunas, determinada por um nome nico. Na execuo do MATLAB podem ser exibidas janelas de diferentes tipos, as quais aceitam comandos ou exibem informaes. Os trs tipos mais importantes de janelas so Janela de Co-

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mandos, onde podem ser colocados comandos; Janela de Figuras, que exibem desenhos e grficos; e Janelas de Edio / Depurao, que permitem a um usurio criar e modificar programas MATLAB. Vamos ver exemplos desses trs tipos de janelas na presente seo.

1.5. A REA DE TRABALHO MATLAB Ao iniciar o MATLAB Verso 6, aparece uma janela especial denominada rea de trabalho MATLAB. A configurao inicial da rea de trabalho MATLAB exibida na Figura 1.1.

Figura 1.1 - A rea de trabalho MATLAB. A aparncia exata da janela pode diferir ligeiramente em diferentes tipos de computador. Ela integra diversas ferramentas para gerenciar arquivos, variveis e aplicaes dentro do ambiente MATLAB. As principais ferramentas presentes na rea de trabalho MATLAB, ou que podem ser acessadas a partir dela, so as seguintes:

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Janela de Comandos O lado direito da rea de trabalho MATLAB contm a Janela de Comandos. Um usurio pode inserir comandos interativos pelo marcador de comandos (), na Janela de Comandos, e eles sero executados de imediato. Janela de Histrico de Comandos A Janela de Histrico de Comandos exibe uma lista dos comandos que um usurio inseriu na Janela de Comandos. Espao de lanamento O Espao de Lanamento uma ferramenta especial que agrupa referncias a documentao, demonstraes e ferramentas relacionadas para o prprio MATLAB e para cada conjunto de ferramentas que voc adquire. Janela de Edio / Depurao Uma Janela de Edio/Depurao usada para criar novos arquivos M ou modificar os j existentes. Voc pode criar um novo arquivo M selecionando File/New/M-file no menu da rea de trabalho, ou clicando sobre o cone na Barra de Ferramentas. Janela de Figuras Uma Janela de Figuras usada para exibir grficos MATLAB. Uma figura pode ser a representao grfica bidimensional ou tridimensional de dados, uma imagem ou uma GUI. Navegador do Espao de Trabalho e Editor de Matrizes Um espao de trabalho a coleo de todas as variveis e matrizes que podem ser usadas pelo MAT quando um comando, arquivo M ou funo em particular est em execuo. Navegador de Ajuda Voc pode obter ajuda no MATLAB de trs maneiras. O mtodo preferido utilizar o Navegador de Ajuda. Voc pode iniciar o Navegador de Ajuda selecionando o cone de Ajuda ? localizado na barra de ferramentas, ou digitando helpdesk ou helpwin na janela de Comandos.

1.6. CONCEITOS, COMANDOS E SIMBOLOGIA DO MATLAB 1.6.1. COMANDOS E SIMBOLOGIA Todos os arquivos com extenso m so executveis no MATLAB, os comandos podem ser editados no editor deste software (de preferncia) ou em outro editor de texto como o editor edit do DOS.

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M-file editor: editor de documentos do MATLAB, onde voc pode digitar programas salvando-os em arquivos com extenso m (tornando estes arquivos executveis). Para acionar o editor de textos dentro do prprio Matlab, acione sequencialmente, as opes do menu: File New Blank M-File

Dentro do MATLAB voc pode usar comandos semelhantes ao do DOS ou interagir com eles, a seguir vem alguns deles: addpath dir1: faz com que voc possa, posteriormente, executar ou carregar um arquivo gravado no diretrio dir1. cd: mostra o corrente diretrio que voc est trabalhando. delete( nome arquivo): apaga o nome do arquivo especificado. Workspace: janela que se abre para mostrar o nome e caractersticas das variveis usadas no MATLAB num determinado instante. Por exemplo, quando se usa os comandos who ou whos esta janela acionada. Tambm pode ser usado o cone ( semelhante a um cubo) do Workspace browser para executar essa tarefa. Comand history: mostra os ltimos comandos digitados. Path browser: muda o path (o caminho), onde so lidos os arquivos no MATLAB . Palavras em negrito: representa termos e fatos importantes. Palavras em negrito itlico: novos termos. Palavras em negrito na inicial dos nomes: nomes de teclas, menus, itens de menus, nome de funes , arquivos e comandos. Palavras em itlico: ttulos de livros, empresas, etc.

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1.6.2. COMANDOS, VARIVEIS E SMBOLOS ESPECIAIS Comandos no Matlab: so editados em letras minsculas. Nome de variveis: o nome de uma varivel pode ser definido como uma letra ou um conjunto de caracteres, havendo o caso sensitivo, isto , uma varivel em letra minscula diferente daquela mesma em letra maiscula Se for usar mais de uma palavra para representar uma varivel, deve ser usado o sinal de sublinhado para ligar os nomes que representaro a varivel. Exemplo de nomes de variveis: a, A, preo1, val3, custo_mdio, preo_de_venda, etc. ; : suprime a impresso de resultados. % : serve para se colocar um comentrio. ... :indica que uma linha continuao de uma linha anterior. ans: varivel usada para assumir o resultado referente ao ltimo comando. inf: infinito(exemplo: digite 1/0). NaN: indeterminao(exemplo: digite 0/0). ctrl c: interrompe comandos do MATLAB. ! : seguida de um comando do DOS, acionar este comando digitado. clc : limpa a tela(semelhante ao comando CLS do DOS).

1.6.3. CONSTANTES pi: 3,1416... eps: 2,22 x 10-14 i = 1 j = 1

1.6.4. OPERAES ARITMTICAS BSICAS

Smbolo + * / .* ./ \

Operao soma subtrao multiplicao normal de matrizes diviso normal de matrizes multiplicao elemento a elemento diviso elemento a elemento

Exemplo 5+3 62 6*5 6/5

diviso esquerda(exemplo: 5\25 tem o mesmo efeito que 25/5 que resulta: ans = 5)

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1.6.5. FUNES MATEMTICAS COMUNS(OBS: ALGUM EXEMPLOS) abs(x) acos(x) cos(x) cosh(x) exp(x) gcd(x, y) imag(x) lcm(x, y) log(x) log10(x) real(x) round (x) sin(x) sinh(x) sqrt(x) tan(x) mdulo de x arco cujo coseno x coseno de x ( x em radianos) coseno hiperblico de x exponencial : ex MDC dos inteiros x e y parte imaginria de um complexo MMC dos inteiros x e y logaritmo natural de x logaritmo de x na base 10 parte real de x arredonda o valor de x seno de x (em radianos) seno hiperblico de x raiz quadrada de x tangente de x

1.7. COMANDOS CARACTERSTICOS DE JANELA 1.7.1. COMANDOS DO WORKSPACE who : exibe o nome das variveis usadas. whos: exibe na tela os nomes, dimenso, nmero de bytes e tipos das variveis que esto sendo usadas no momento. what: exibe arquivos de extenso .m e .mat do diretrio corrente. disp n: exibe o contedo da varivel n sem mostrar seu nome. clear n: apaga a varivel n. clear: apaga todas as variveis. [x, y] = ginput(n): permite que voc entre com os pares ordenados (x, y) por meio do mouse, escolha com o mouse cada ponto na janela que aparecer na tela, sendo que n representa o nmero de pontos a serem determinados. input ('...'): usado para entrada de dados exemplo: n = input ('digite um nmero _') O nmero que voc digitar ser assumido pela varivel n. pause: serve para pausar um comando de exibio do Matlab. pause(n): pausa por n segundos. echo on: na execuo de um programa executvel, gravado num arquivo .m, o uso desta opo permite a exibio, na tela, dos comandos usados no seu programa, para desativar este opo usa-se o comando echo off. break: termina a execuo de um loop while ou for.

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1.7.2. COMANDOS FORMATOS DE EXIBIO DE NMEROS Supondo a = 1/3, quando usamos: format short: resultar: a = 0,3333,ou seja, quatro casas decimais( o default). format short e: teremos: a = 3.3333e-001, ou seja, quatro casas decimais e em notao exponencial(que significa 3.3333 x 10-1). format short g: teremos: a = 0.33333, com cinco casas decimais. format long: teremos a = 0.33333333333333, com catorze casas decimais. format long e: teremos a = 3.333333333333333e-001, com catorze casas decimais mais o expoente . format hex: teremos: a = 3fd5555555555555 (formato hexadecimal) format bank: teremos: a = 0.33, ou seja, dois dgitos decimais (no formato monetrio). format: volta ao formato normal que equivale ao format short.

1.7.3. COMANDOS RELACIONADOS A ARQUIVOS E DADOS save: salva todas as variveis que esto sendo usadas naquele momento, no formato binrio num arquivo com extenso mat no MATLAB. save data: salva todas as variveis no arquivo data.mat. save data a, b, c: salva as variveis a, b, c no arquivo data.mat. load filename: carrega as variveis salvas com o comando save no arquivo especificado. file print: use esses comandos do menu para imprimir o contedo atual da janela ativ

1.8. MATRIZES 1.8.1. ENTRADA DE DADOS Para separar os elementos de uma dada matriz usa- se o espao em branco ou ento vrgulas e para mudar de linha usa- se "; " ou a tecla . Exemplo: a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; ou a = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]; ou ainda, a = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];

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CAPTULO 2 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE2.1. TRANSFORMADA DE LAPACE Inicialmente, apresentaremos a definio da Transformada de Laplace e em seguida, mostraremos exemplos no Matlab e no Simulink da Transformada de Laplace de algumas funes comumente utilizadas. A Transformada de Laplace de f(t) definida por:

L[f(t)] = F(s) =

0

e st dt f(t) =

0

f(t) e st dt

2.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES COM O MATLAB 2.3. FUNO EXPONENCIAL A funo exponencial definida como:0 f(t) = t A e

p/ t