Mn Aula07 Equacoes

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Resoluo de equaes no lineares

Raiz de uma equao

Raiz exata Um

nmero xr raiz exata de uma equao f(x)=0 se f(xr)=0 nmero x raiz aproximada de uma equao f(x)=0 se |x-xr| e |f(x)| forem ambos prximos de 0

Raiz aproximada Um

Comparar o mdulo da subtrao da raiz basicamente uma operao terica, pois no se pode obter a raiz exata

Calculando as razesPara calcular as razes reais de uma equao f(x)=0 necessrio: 1) delimitar, enumerar e separar as razes 2) utilizar um mtodo numrico para calculo de cada raiz

Equaes algbricas polinomiaisA) toda equao do tipo anxn+an-1xn-1 +...a1x1+a0 algbrica e polinomial n um nmero natural denominado grau da equao Os coeficientes ai, i=0...n so nmeros reais

Equaes algbricas polinomiais

Toda equao polinomial de grau n tem exatamente n razes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

Multiplicidade de raizesUma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a funo que origina a equao

Anula as derivadas at a ordem m-1

No anula a derivada de ordem m

ExemploA equao f(x)=x3-5x2+8x-4 tem razes x1=1 x2=2 e x3=2 f(2)=0 f(2) = 3x2-10x+8 -> f(2)=0 f(2)=6x-10 ->f(2)=2

Equaes algbricas polinomiaisAs razes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi) Toda equao polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real

Delimitao de razes reais

Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equao polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 0 Para limite superior de suas razes positivas, caso existam pode ser tomado o nmero L 1 nk M an K= grau do 1 termo negativo M= mdulo do menor coeficiente negativo

Exemplo

Calcule o limite superior para as razes positivas da equao f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

Exemplo

Calcule o limite superior para as razes positivas da equao f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16L 1 53 16 1 1 2 16 1 4 5

Delimitao das razes reaisLimite inferior negativo Obter a equao auxiliar f1(x)=f(-x)=0

usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas razes positivas L1 O limite inferior das razes negativas dado por L1

Exemplo

Calcule o limite inferior para as razes negativas da equao f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

Exemplof(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0 an 2 razes ou nenhuma raiz

Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas razes?

Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas razes? 5 variaes -> 5 razes ou 3 ou 1 raiz

Exemplo5x5-16x2+7x-14=0 Quantas razes?

Exemplo5x5-16x2+7x-14=0 Quantas razes? 3 variaes -> 3 razes ou 1 raiz positiva

Enumerao de razes

Para determinar o nmero de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equao e aplicar a regra dos sinais

Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 3 razes ou 1 raiz negativa

Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0

Sem variao -> nenhuma raiz negativa

Sucesso de SturmDada a equao polinomial f(x)=0 a sucesso de Sturm a ela associada o seguinte conjunto de polinmios: f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) f(x) o polinmio que origina a equao f1(x) a primeira derivada de f(x)

Sucesso de SturmA partir de f2(x) cada termo o resto, com o sinal trocado, da diviso dos 2 termos anteriores f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x

A sucesso procede at que seja obtido um resto constante

PropriedadesSe a equao tiver razes mltiplas ento o ltimo termo da sucesso nulo Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucesso no se anulam Se, para algum x, um termo mdio da sucesso se anula, ento os termos vizinhos tero valores numricos de sinais opostos

Teorema de SturmSeja N(alpha) o nmero de variaes de sinal apresentado pela sucesso de sturm. Para x = alpha O nmero de razes reais de uma equao polinomial, sem razes mltiplas, situadas em um intervalo [a,b] igual a N(a)-N(b)

Exemplo

Determine o nmero de razes reais da equao no intervalo (-15,5) f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88

-15 f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88 N(x) + + 4 + + + -

0 + + + 3

5

1

Razes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1 Razes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2 As outras duas razes so complexas

Separao de Razes reaisTeorema de Bolzano: seja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b] Se f(a).f(b)0 ento f(x)=0 tem um nmero par de razes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

ExemploSepare as razes positivas da equao f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Sabendo-se que esto situadas no intervalo (0,5) e que o nmero de razes positivas 2

f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

Equaes no polinomiaisDuas possibilidades 1) Construir um esboo do grfico da funo com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equao f(x)=0 em uma equao equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)

Equaes no polinomiaisEsboar os grficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam uma raiz de f(x)

ExemploSeja a equao f(x)=x+ x -5=0 x = 5-x (g(x)=h(x)) Pode ser escrita

Metodo da BisseoSeja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b] O intervalo contm uma nica raiz da equao f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)