Mn Aula07 Equacoes

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  • Resoluo de equaes no lineares

  • Raiz de uma equaoRaiz exataUm nmero xr raiz exata de uma equao f(x)=0 se f(xr)=0Raiz aproximadaUm nmero x raiz aproximada de uma equao f(x)=0 se |x-xr| e |f(x)| forem ambos prximos de 0Comparar o mdulo da subtrao da raiz basicamente uma operao terica, pois no se pode obter a raiz exata

  • Calculando as razesPara calcular as razes reais de uma equao f(x)=0 necessrio:1) delimitar, enumerar e separar as razes2) utilizar um mtodo numrico para calculo de cada raiz

  • Equaes algbricas polinomiaisA) toda equao do tipo anxn+an-1xn-1 +...a1x1+a0 algbrica e polinomialn um nmero natural denominado grau da equaoOs coeficientes ai, i=0...n so nmeros reais

  • Equaes algbricas polinomiaisToda equao polinomial de grau n tem exatamente n razes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

  • Multiplicidade de raizesUma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a funo que origina a equao

    Anula as derivadas at a ordem m-1

    No anula a derivada de ordem m

  • ExemploA equao f(x)=x3-5x2+8x-4 tem razes x1=1 x2=2 e x3=2 f(2)=0f(2) = 3x2-10x+8 -> f(2)=0f(2)=6x-10 ->f(2)=2

  • Equaes algbricas polinomiaisAs razes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)Toda equao polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real

  • Delimitao de razes reaisLimite superior positivo-teorema de LagrangeSeja f(x)=0 uma equao polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 0 Para limite superior de suas razes positivas, caso existam pode ser tomado o nmero

    K= grau do 1 termo negativoM= mdulo do menor coeficiente negativo

  • ExemploCalcule o limite superior para as razes positivas da equao

    f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

  • ExemploCalcule o limite superior para as razes positivas da equao

    f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16

  • Delimitao das razes reaisLimite inferior negativoObter a equao auxiliar f1(x)=f(-x)=0usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas razes positivas L1O limite inferior das razes negativas dado por L1

  • ExemploCalcule o limite inferior para as razes negativas da equao

    f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

  • Exemplo f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0an
  • Enumerao das razesRegra dos sinais de Descartes O nmero de razes positivas de equaes polinomiais igual ao nmero de variao de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um nmero par

  • Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

  • Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

  • Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0x5+x4-8x3-16x2+7x+14=02 variaes -> 2 razes ou nenhuma raiz

  • Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0Quantas razes?

  • Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0Quantas razes?5 variaes -> 5 razes ou 3 ou 1 raiz

  • Exemplo5x5-16x2+7x-14=0Quantas razes?

  • Exemplo5x5-16x2+7x-14=0Quantas razes?3 variaes -> 3 razes ou 1 raiz positiva

  • Enumerao de razesPara determinar o nmero de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equao e aplicar a regra dos sinais

  • Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=03 razes ou 1 raiz negativa

  • Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0

    Sem variao -> nenhuma raiz negativa

  • Sucesso de SturmDada a equao polinomial f(x)=0 a sucesso de Sturm a ela associada o seguinte conjunto de polinmios:

    f(x)f1(x)f2(x)... fm(x)f(x) o polinmio que origina a equaof1(x) a primeira derivada de f(x)

  • Sucesso de SturmA partir de f2(x) cada termo o resto, com o sinal trocado, da diviso dos 2 termos anterioresf(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1xf1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x

    A sucesso procede at que seja obtido um resto constante

  • PropriedadesSe a equao tiver razes mltiplas ento o ltimo termo da sucesso nuloPara nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucesso no se anulamSe, para algum x, um termo mdio da sucesso se anula, ento os termos vizinhos tero valores numricos de sinais opostos

  • Teorema de SturmSeja N(alpha) o nmero de variaes de sinal apresentado pela sucesso de sturm. Para x = alphaO nmero de razes reais de uma equao polinomial, sem razes mltiplas, situadas em um intervalo [a,b] igual a N(a)-N(b)

  • ExemploDetermine o nmero de razes reais da equao no intervalo (-15,5)

    f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22f4(x)=-68,42x-49,69f5(x)=-2,88

  • Razes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1Razes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2As outras duas razes so complexas

    -1505f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 -++f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7+++f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 --+f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 -+-f4(x)=-68,42x-49,69 +--f5(x)=-2,88---N(x)431

  • Separao de Razes reaisTeorema de Bolzano: seja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b]Se f(a).f(b)
  • Exemplo

  • Exemplo

  • Separao de Razes reaisSe f(a).f(b) >0 ento f(x)=0 tem um nmero par de razes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

  • Exemplo

  • Exemplo

  • Exemplo

  • Exemplo

  • ExemploSepare as razes positivas da equao f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0Sabendo-se que esto situadas no intervalo (0,5) e que o nmero de razes positivas 2

  • f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

  • Equaes no polinomiaisDuas possibilidades1) Construir um esboo do grfico da funo com o objetivo de detectar os pontos2) Transformar a equao f(x)=0 em uma equao equivalente da forma g(x)-h(x)=0g(x)=h(x)

  • Equaes no polinomiaisEsboar os grficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianosAs abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam uma raiz de f(x)

  • ExemploSeja a equao f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))

  • Metodo da BisseoSeja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b]O intervalo contm uma nica raiz da equao f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)
  • Graficamente

    ab-+

  • Graficamente

    ab-++

  • Graficamente

    ab-+b+

  • Graficamente

    ab-+b+-

  • Graficamente

    ab-+b+a-

  • Critrio de paradaO processo para quando o intervalo [a,b] suficientemente pequenoAssim qualquer ponto no intervalo tomado como raizNmero mximo de passos pr-estabelecido

  • ConvergnciaSendo f(x) contnua em [a,b] f(a).f(b)
  • ExemploUtilizando o mtodo da bisseo calcule a maior raiz positiva da equaof(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0Preciso 0,025, mximo de 10 iteraes, intervalo = [2,5;5]f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399

  • kxkf(xk)b-a2,5-56,781-523992,513,75332,7061,2523,12528,8750,62532,813-32,2390,31242,969-7,2240,15653,0479,3070,07863,0080,6790,03972,989-3,260,019

  • Qualquer nmero no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz

  • Mtodo da Falsa PosioSeja f(x) uma funo contnua em um intervalo [a,b] que contm um e s uma raiz da equao f(x)=0Este mtodo consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas

  • Graficamente

  • Graficamente

  • Critrio de paradaO processo iterativo interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual preciso estabelecida e ento xk tomado como raiz

  • Critrio de convergnciaSe f(x) contnua em [a,b] e f(a).f(b)
  • Calculando xkNo mtodo da bisseo x dado pela mdia aritmtica do intervalo x= (a+b)/2

    No mtodo da FP o x dado pela mdia aritmtica ponderada x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|)x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

  • O clculo de xkSeja a matriz

    bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a)x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

  • Generalizandoxk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))Desde que a cada passo seja atualizado a ou bO critrio utilizado por este mtodo para a diviso do intervalo [a,b] o da mdia ponderada

  • ExemploUtilizando o mtodo da falsa posio com preciso 0.006 e um mximo de 5 iteraes encontrar a maior raiz positivaf(x)=x4-14x2+24x-10=0

    A) delimitao das razes reaisLSP = = 4,7 = 5

  • LIN equao auxiliarf(x) = x4 -14x2-24x-10L1=6Logo L1=-6

  • Enumerao das razes reaisRazes positivas:+1-14+24-103 variaes -> 3 ou 1 raiz positivaRazes negativas:+1-14-24-101 variao -> 1 raiz negativa

  • Nmero de razes positivasTeorema de Sturm

    Sucesso de Sturm05f(x)=x4-14x2+24x-10-+f1(x)=4x3-28x+24++f2(x)=7x2-18x+10++f3(x)=7,24x-9,3-+f4(x)=1,5++N(x)30

  • Nmero de razes positivasO nmero de razes dado por:

    N(0)-N(5)=3-0=3

  • Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

    05-+

  • Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

    05-+2,5+

  • Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

    05-+2,5+1,25+3,75+

  • Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

    05-+2,5+1,25+3,75+0,625-1,875-

  • Calculando a maior raiz positivaReduzindo um pouco mais o intervalof(1,875)0, f(2,188)
  • Para a preciso estabelecida, 2,388 a maior raiz positiva da equao

    kabf(a)f(b)xkf(xk)12,1882,5-1,5921,5632,345-0,46722,3452,5-0,4671,5632,381-0,08532,3812,5-0,0851,5632,387-0,01642,3872,5-0,0161,5632,388-0,005

  • Mtodo