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MODELAÇÃO MATEMÁTICA:
FUNÇÕES APLICADAS AO ENSINO MÉDIO
Adriano Staiger Bressan1
Atualmente, nos mais diversos níveis de ensino, podese constatar o crescimento do número de pesquisas que tratam das questões de ensino e aprendizagem da Matemática, muitos dos quais visam superar os desafios que se apresentam na Educação Básica. Dentre distintas tendências optouse pela Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino de Matemática. Tendo como tema central "Modelação Matemática: Funções Aplicadas ao Ensino Médio”, o presente artigo propõe metodologia alternativa que possibilite a aproximação entre teoria e prática, alicerçada na modelação matemática, na contextualização do ensino e no desenvolvimento de conceitos matemáticos significativos para os alunos do Ensino Médio.
Palavraschave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Ensino de Matemática.
Nowadays, in the most different levels of education. We can certify the raise of researches that deal with subjects of Math’s teaching and learning, in the most of them the aim is to overcome the challenges of Basic Education. Among other trends it was decided to Modeling Mathematical as a pedagogic alternative for the teaching of Math. Mathematical Modeling: Functions applied to the High School is the subject of this article which suggests a alternative methodology which allows the approach between theory and practice, based on mathematical modeling , in the context of education and the development of meaningful mathematical concepts to students who study in High School..
Keywords: Mathematics Education. Mathematical Modeling. Teaching Math.
1 Professor da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná.
1
I INTRODUÇÃO
No início do terceiro milênio, o homem, com o auxílio das ciências, tem
conseguido produzir medicamentos cada vez mais eficazes, retirando das plantas
seus princípios ativos e utilizandoos em muitas produções científicas, desde a
fabricação de vacinas até a produção de armas biológicas através da manipulação
de vírus e bactérias. O homem, durante todo seu processo de evolução e,
principalmente a partir da invenção da escrita, há aproximadamente cinco mil
anos, vem criando ferramentas para tornar sua vida mais fácil. Em pleno século
XXI nos deparamos com sofisticadas máquinas de automação, com processos
cirúrgicos impensados em décadas passadas, nos impressionamos com as
descobertas a cerca do cosmos e nos surpreendemos com o avanço da genética
e seus processos de clonagem.
A pesar de todo esse avanço, muitos alunos das escolas públicas do
Estado do Paraná têm dificuldades de conceber significativamente o conceito de
função e compreender a origem das fórmulas apresentadas nos livros didáticos e
paradidáticos. Dentro deste contexto, buscase utilizar a modelação como método
de ensino com o intuito de facilitar o processo de aprendizagem das funções no
Ensino Médio.
A Matemática contribui de forma significativa na formação do educando,
visando seu pleno desenvolvimento como pessoa, seu preparo para o exercício da
2
cidadania e sua qualificação para o trabalho. A Matemática pode ser concebida
como instrumento de análise, interpretação de dados e resolução de problemas, a
qual os auxiliará na tomada de decisão em suas respectivas áreas de atuação
profissional.
D'AMBROSIO referese à Educação afirmando que
A educação ainda se mantém naquele estilo velho; ainda se mantém com aquele paradigma que se estabeleceu no tempo de Newton, segundo o qual para aprender é necessário que se seja ensinado e que ensino tem como conseqüência aprendizagem. E esse paradigma, que coloca ensino ocasionando aprendizagem, é obviamente alguma coisa que está superada. Sabemos que a aprendizagem se dá de muitas formas e não em conseqüência direta do ensino, e que, igualmente, o ensino se faz de muitas formas e não daquele estilo tradicional "professor e aluno", "um expositor e aquele que está assistindo", mas atinge dimensões até impossíveis de se imaginar. (1997, p.09)
Nesse sentido, cabe ao professor o papel de dialogar, de fazerse presente
nas descobertas do educando, participando efetivamente de suas dificuldades e
realizações e não apenas ser o mero transmissor dos conteúdos historicamente
acumulados. O professor deve ter em mente que aprender não é simplesmente
memorizar, estocar informações, mas reestruturar o sistema pelo qual o educando
compreende o mundo que o cerca, podendo transformálo.
Contudo, as atividades cotidianas dos professores, de um modo geral, têm
se mostrado, no mínimo, limitadas. As aulas são engendradas para atender alunos
anônimos, sem se respeitar à idiossincrasia de cada um. O professor é levado a
crer que houve aprendizagem pela simples anotação da aula por parte dos alunos.
3
Nesse contexto, podese afirmar que cada aluno, com sua maneira própria
de ver, sentir e reagir, vivencia a aula de forma diferente, de onde podese concluir
que o professor deve engendrar suas aulas a partir das concepções dos alunos,
através do diálogo e da avaliação contínua aproximar, paulatinamente, os
conhecimentos dos alunos dos conhecimentos científicos.
Para tanto, devese encontrar um ponto de entrada no sistema cognitivo do
aluno, desestabilizandoo e reorganizandoo com ferramentas adequadas para
tornálo equilibrado, estabelecendo assim um método dialético embasado no
conceito de zona de desenvolvimento proximal que, segundo VIGOTSKY,
é a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes (1989, p. 97).
Esperase que, através do trabalho em grupo, da resolução de situações
problemas, das pesquisas teóricas ou de campo, com o auxílio do professor, do
diálogo diuturno, da modelação matemática e situações contextualizadas, se
encontre vasto campo que propiciará a aprendizagem significativa dos conteúdos
matemáticos.
Na visão de BASSANEZI,
Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação dos modelos matemáticos. É uma forma de
4
abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (2002, p.24).
Nessa perspectiva, a modelagem é uma ferramenta importante que fornece
aproximações da realidade e pode ser aplicada em sala de aula “com a intenção
de estimular alunos e professores de matemática a desenvolverem suas próprias
habilidades como modeladores” (BASSANEZI, 2002, P.25).
No Curso em pauta, os educandos, na maioria das vezes, não conseguem
relacionar o conteúdo matemático estudado no colégio, durante a vida acadêmica,
com os problemas do diaadia e podem passar a acreditar que as regras de três,
simples e composta, a porcentagem e as conversões de unidades são os únicos
assuntos importantes para a vida. Talvez isso se deva à forma como se vem
trabalhando o ensino da Matemática, com situações problemas préconcebidas
recheadas de fórmulas e expressões algébricas prontas, em que os alunos
decoram a solução e resolvem somente as situações similares e fictícias nas
provas, sentindo dificuldades em aplicar os conteúdos matemáticos no âmbito
acadêmico ou profissional, aumentando a probabilidade de tornálos
desestimulados, desinteressados e até mesmo com aversão à Matemática.
Para reverter esse quadro, devese trabalhar os conteúdos matemáticos de
forma contextualizada, integrando o educando e seu cotidiano e, para tanto, se
emprega a modelação matemática como metodologia alternativa e delineadora
das atividades.
5
A atuação do autor, como docente na educação básica, em nível médio,
tornou possível a constatação, através de experiências e de diálogos com outros
professores, de que o ensino de Matemática, neste curso, necessitava de um
redirecionamento metodológico que pudesse contribuir para levar o educando a
desenvolver a capacidade de interpretar e analisar as situações com que se
depara ao longo de sua vida acadêmica e na futura vida profissional.
Baseado nas afirmações anteriores, acreditase que chegou o momento de
inovar, de instigar os alunos a serem perquiridores, a resolverem problemas reais,
ou seja, que partem da observação da realidade, que requerem suporte
matemático, nos quais as fórmulas são engendradas a partir da coleta de dados,
da observação, da generalização, da abstração, e a solução tenha um significado
real para o acadêmico, fazendoo perceber quão valiosa é a ferramenta
matemática.
II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O presente artigo resulta de um projeto engendrado para atender os cursos
de nível médio, os quais fazem parte da Educação Básica. O Ensino Médio
apresenta um programa a ser cumprido, portanto, fazse necessária uma nova
estratégia de ensinoaprendizagem: a Modelação Matemática. Para melhor
compreender o tema abordado serão apresentadas perspectivas de Modelo
6
Matemático, Modelagem Matemática e Modelação Matemática, as quais servem
de supedâneo de todo o trabalho.
O homem, por meio da educação, a qual visa seu pleno desenvolvimento,
para dominar a natureza e os meios de produção dentro de uma perspectiva
sustentável, deve conhecer e entender a realidade circundante, para tanto cria
modelos que parecem buscar a formalização do universo, através de meios de
expressões controláveis, simplificadas e inteligíveis do mundo, as quais permitem
apresentar características essenciais de um domínio ou campo de estudo.
CAPRA, sobre ciência e modelo, afirma que
O que torna a ciência tão bemsucedida é a descoberta de que podemos utilizar aproximações. Se nos satisfizermos com uma ‘compreensão’ aproximada da natureza, podemos descrever grupos selecionados de fenômenos, negligenciando outros que se mostrem menos relevantes. Assim, podemos explicar muitos fenômenos em termos de poucos e, conseqüentemente, compreender diferentes aspectos da natureza de forma aproximada sem precisar entender tudo ao mesmo tempo. Esse é o método científico: todas as teorias e modelos científicos são aproximações da verdadeira natureza das coisas; o erro envolvido na aproximação é, não raro, suficientemente pequeno para tornar significativa essa aproximação. (1983, p. 215)
Portanto, um modelo é uma criação cultural e histórica, um "mentefato", o
qual representa um quadro da realidade com algumas de suas características,
com o propósito de tornálas descritíveis qualitativa e quantitativamente e,
algumas vezes, observáveis. A existência de modelos se dá à medida que o
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homem se depara com suas próprias limitações na tentativa de descrever os
objetos de seu estudo com perfeição.
Podese dizer que um modelo é uma imagem do objeto real, e essa
imagem pode ser elaborada por meio de formalismos matemático, fenomenológico
ou conceitual, e por ser simplificada permite testar hipóteses, inferir conclusões,
buscar generalizações e particularizações através da indução e dedução. É
necessário frisar que por meio do modelo buscase entendimento mais completo
da realidade.
De acordo com GIBAS & JAMBECK (2001, p. 27) “um modelo é uma
maneira abstrata de descrever um sistema complicado”. Na tentativa de conhecer
melhor os fenômenos naturais, de saber o que permanece constante numa
transformação não linear de conhecer a si mesmo o homem procura sempre
uma maneira de simplificar as coisas, uma forma de facilitar a vida e nessa
procura elabora modelos que o permitem analisar, de forma simplificada, a
situação em questão e buscar soluções adequadas para os problemas em estudo.
Para BASSANEZI (2002, p. 20) “Modelo matemático é um conjunto de
símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto
estudado”.
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E para GRANGER2, citado por BIEMBENGUT (2000, p.11), ”o modelo é
uma imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional
busca compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando
relacionar com algo já conhecido, efetuando deduções”.
Sob esse ponto de vista, BIEMBENGUT (1999, p. 20) define Modelo
Matemático como “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz,
de alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real”.
De modo geral, podese inferir, embasado nos conceitos abordados, que
Modelo Matemático é a criação de um quadro virtual que representa a realidade,
e, ao processo de obtenção de um modelo, dáse o nome de modelagem
matemática.
De acordo com BIEMBENGUT (1999, p. 20) "matemática e realidade são
dois conjuntos disjuntos e a modelagem é um meio de fazêlas interagir”. Podese
entender que essa interação é o elemento de ligação entre o mundo observável e
a teoria que o representa. Na tentativa de explicar os fenômenos em estudo o
modelo reduz a magnitude e a complexidade dos fatos reais, organizaos,
permitindo a visão da realidade através de sistemas interligados, construindo
teorias e leis que fornecem a lógica necessária para a sua explicação.
2 GRANGER, GillesGaston. A razão.2. ed. São Paulo: Difusão Européia do Livro, 1969.
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Neste projeto, os modelos matemáticos serão utilizados numa perspectiva
metodológica, a qual possibilitará o aluno de ter melhor compreensão da
Matemática e de sua importância como ciência. Por meio de modelos matemáticos
esperase ser possível trabalhar a disciplina de Matemática de forma significativa
para o aluno, e fazêlo perceber que, a Matemática, além de contribuir com o
desenvolvimento do raciocínio lógico, ela é aplicada na solução dos mais diversos
problemas cotidianos e acima de tudo, está ao alcance de todos.
A Modelagem Matemática, presente no engendramento das teorias
científicas, é o processo de escolher características que descrevam
adequadamente um problema, colocandoo numa linguagem matemática. É um
processo interativo em que o estágio de validação freqüentemente leva a
diferenças entre predições baseadas no modelo e na realidade. É o processo que
envolve a obtenção de um modelo que facilitará a analise da questão abordada,
resolvendoa ou tornandoa mais simples, de modo a se poder estudála,
buscando a compreensão dos diversos fatores que a compõem.
D’AMBRÓSIO (1986, p. 65) define Modelagem como ”o processo mediante
o qual se definem estratégias de ação”, e nesse caminhar é importante ressaltar
que o indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade.
Ele recebe informações da situação apresentada e busca, através da reflexão
contínua, a representação dessa situação para se chegar ao modelo e fazer uma
análise global da realidade na qual tem sua ação, definindo estratégias de ação
para criar o próprio modelo.
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A Modelagem matemática é um processo dinâmico de busca de modelos
adequados, e para BIEMBENGUT
é o processo que envolve a obtenção de um modelo. Este sob certa ótica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. (1999, p. 20)
Destarte, BIEMBENGUT propõe que a modelagem é um artifício que faz
interagir dois conjuntos disjuntos: matemática e realidade.
Os autores supracitados se referem à Modelagem Matemática como um
processo que traduz, de forma aproximada, o fenômeno observado no mundo real
para a linguagem matemática. Mas para que isso ocorra, alguns procedimentos
devem ser realizados. BIEMBENGUT agrupa e identifica esses procedimentos em
três etapas, subdivididas em seis subetapas.
1ª etapa: Interação
a) reconhecimento da situaçãoproblema;
b) familiarização com o assunto.
É a etapa em que se define o assunto a ser estudado, delineandoo e
pesquisandoo em livros, revistas, internete, entre outros, bem como através de
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dados obtidos junto a especialistas da área. O objetivo é tornar a situação
problema cada vez mais clara e definida.
2ª etapa: Matematização
a) formulação do problema – hipótese;
b) resolução do problema em termos do modelo.
É uma fase complexa e com muitos desafios, em que a intuição, a
criatividade e a experiência de vida são elementos indispensáveis no processo de
tradução da situação problema para a linguagem matemática.
Para formular e validar as hipóteses BIEMBENGUT (1999) considera
necessário:
a) classificar as informações (relevantes e não relevantes)
identificando fatos envolvidos;
b) decidir quais os fatores a serem perseguidos levantando
hipóteses;
c) identificar constantes envolvidas;
d) generalizar e selecionar variáveis relevantes;
e) selecionar símbolos apropriados para as variáveis;
f) descrever essas relações em termos matemáticos.
A segunda etapa culmina com a obtenção de um modelo que leve a
solução ou permita a dedução de uma solução, mesmo que de forma aproximada.
12
3ª etapa: Modelo Matemático
a) interpretação da solução;
b) validação.
Para finalizar é necessário verificar até que ponto o modelo encontrado
satisfaz a situação problematizada. Caso o modelo não atenda às necessidades
que o geraram, o processo deve ser retomado a partir da segunda etapa,
reorganizandoa.
O diagrama a seguir, proposto por BIEMBENGUT (1999), representa o
processo.
Figura 1 – Dinâmica da modelagem matemática. (1999, p. 23)
Esse esquema é um guia de possíveis caminhos para a construção de um
modelo matemático, contudo não é suficiente para efetivar a construção do
modelo, pois a modelagem é uma arte que envolve, além de habilidades,
experiência e sensibilidade lógica matemática.
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O esquema supracitado do processo de Modelagem Matemática proposto
por BIEMBENGUT, deve ser alterado para que seja aplicado em cursos que
apresentem um programa a ser cumprido, como é o caso do Ensino Médio,
levandose em consideração a ementa da disciplina, a disponibilidade dos alunos
para desenvolverem atividades extraclasse, entre outros não excludentes, e ao
novo método que satisfaz as prerrogativas acima dáse o nome de Modelação
Matemática, que é objeto deste estudo.
Modelação Matemática é o método que, alicerçado na Modelagem,
desenvolve os conteúdos matemáticos por meio da análise e da criação de
modelos em cursos regulares, como o Ensino Médio. Com a possibilidade de
relacionar outras áreas do conhecimento humano com a Matemática, bem como a
Matemática com ela própria, pode despertar o interesse do aluno à medida que se
apresenta como ferramental de aplicabilidade prática do cotidiano.
O processo contribui de forma decisiva na apreensão dos conceitos
matemáticos, no desenvolvimento de habilidades para resolver problemas e
estimula a criatividade do aluno, sendo tão importante à obtenção do modelo,
como o caminhar pelas etapas de onde vão emergindo os conteúdos
matemáticos.
Novamente, de acordo com BIEMBENGUT (2000), esta técnica de ensino,
Modelação Matemática, abrange cinco momentos, os quais serão apresentados
na seqüência: diagnóstico; escolha do tema ou modelo matemático;
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desenvolvimento do conteúdo programático; orientação de modelagem; avaliação
do processo.
a) Diagnóstico:
É o levantamento do perfil da turma, com os dados socioeconômicos dos
alunos, suas metas e objetivos, o tempo de estudo disponível para o
desenvolvimento de atividades extraclasse, o turno, em fim, as características
determinantes do planejamento e dinâmica das aulas.
b) Escolha de um tema ou modelo matemático:
O professor pode sugerir temas abrangentes que desperte interesse dos
alunos e sobre o qual, de certa maneira, seja fácil obter dados e informações. Os
alunos também podem participar da escolha do tema para se tornarem
participantes do processo e coresponsáveis pelo processo de ensino
aprendizagem.
c) Desenvolvimento do conteúdo programático:
Esta fase é semelhante à do processo de modelagem, não esquecendo que
agora existe um conteúdo programático e que cabe ao professor fazêlo fluir a
partir do tema. Para tanto, o professor deve seguir as mesmas etapas e subetapas
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do processo de modelagem, acrescentando o conteúdo matemático necessário ao
desenvolvimento do modelo procurado.
BIEMBENGUT (2000) apresenta a Figura 2 mostrando o desenvolvimento
do conteúdo programático que ilustra o processo.
Figura 2 – Desenvolvimento do conteúdo programático. (2000, p.22)
d) Orientação de modelagem:
Tendo como objetivo primeiro fazer modelos matemáticos, o professor deve
criar condições que levem os alunos a essa autonomia, incentivando a pesquisa,
promovendo a habilidade em formular e resolver problemas, despertando a
criatividade. Para orientar e acompanhar os alunos no desenvolvimento do
trabalho, o professor deve fazer um planejamento que leve em consideração o
número de horasaula da disciplina e as etapas propostas por BIEMBENGUT
(2000), que estão representadas na Figura 3.
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Figura – 3: Dinâmica da modelagem matemática no ensino. (2000,p.26)
Para tanto, o professor deve prover um ambiente com liberdade e
descontração, estimulando a participação no grupo no qual o aluno está inserido,
sem se esquecer de incentivar criatividade individual. Desta forma, poderá obter
resultados satisfatórios em relação ao aprendizado de Matemática.
e) Avaliação do processo:
É fundamental que o professor adote uma teoria de avaliação que leve em
conta a mensuração do aprendizado do aluno. Essa avaliação pode ser objetiva,
através de provas, exercícios e trabalhos, ou subjetiva, embasada na observação
do professor. A avaliação deve ser entendida, também, como um instrumento de
17
análise do trabalho do professor, permitindo o seu redirecionamento, se
necessário.
O professor não deve usar um único instrumento de avaliação, por
exemplo, a aplicação de provas. No processo de avaliação pode ser solicitado um
trabalho de modelagem matemática em grupo e, durante a execução desse
trabalho em sala, o professor deve ficar atento à qualidade dos questionamentos
por parte dos alunos, suas discussões e decisões sobre a natureza do problema
levantado, deve observar e orientar os alunos na obtenção dos dados necessários
sobre o problema a ser modelado, instigar a elaboração de modelos matemáticos
e oportunizar aos alunos a interpretação das soluções fornecidas pelo modelo
encontrado.
III SITUAÇÃO PROBLEMA
1. O CUSTO UNITÁRIO BÁSICO NA CONSTRUÇÃO CIVIL
O CUB, custo unitário básico, é o principal indicador do setor da construção,
ele é calculado mensalmente pelos Sindicatos da Indústria da Construção Civil de
todo o país e estima o custo final do metro quadrado de construção.
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Esse índice determina o custo global da obra para fins de cumprimento do estabelecido na lei de incorporação de edificações habitacionais em condomínio, assegurando aos compradores em potencial um parâmetro comparativo à realidade dos custos. Atualmente, a variação percentual mensal do CUB tem servido como mecanismo de reajuste de preços em contratos de compra de apartamentos em construção e até mesmo como índice setorial.3
A Tabela 1 apresenta o CUB aferido nos meses de janeiro de cada ano.
Tabela 1: CUB estimado no mês de janeiro de cada ano
Ano CUB2002 R$ 579,002003 R$ 648,002004 R$ 737,002005 R$ 803,002006 R$ 851,002007 R$ 888,00
Fonte: Adaptado do Sindicato da Indústria da Construção Civil no Estado do
Paraná4
Analisando a Tabela 1 e utilizando uma régua construa o gráfico que a
representa. Escreva a equação de uma função que se ajusta aos resultados.
Solução:
Inicialmente constróise o Gráfico 1, em seguida traçase uma reta de tal
modo que ela se aproxima ao maior número de pontos possíveis, como ilustra o
Gráfico 2.
3 Sindicato da Indústria da Construção Civil no Estado do Paraná, disponível em < http://www.sindusconpr.com.br>, acesso em 22 de janeiro de 2008. 4 Ibidem.
19
Gráfico 1: CUB estimado no mês de janeiro de cada ano
CUB
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 1 2 3 4 5 6 7Tempo em anos
Custo
esti
mad
o em
reai
s
Gráfico 2: Reta que se ajusta aos pontos dados
20
Atentese para o fato de a reta escolhida passar pelos pontos (2; 648) e (6;
888), o que nos permite escrever a equação da reta que passa por dois pontos,
mas antes vamos fazer a demonstração da fórmula da equação da reta que passa
por dois pontos conhecidos, neste caso, A(Xa, Ya) e B(Xb, Yb).
Gráfico 3: Reta que passa por dois pontos
O ponto C (X, Y) é um ponto qualquer à reta AB .
Por semelhança de triângulos temos: Δ ABE ~ ΔBCD , de onde
escrevemos:
CDBD
=AEBE
Y−YbX−Xb
=Ya−YbXa−Xb , multiplicando os dois lados da igualdade por (X Xb),
temos:
21
Y−Yb =Ya−YbXa−Xb X−Xb c.q.d.
Para encontrarmos a equação da reta que passa pelos pontos B (2; 649) e
A (6; 888) devemos substituir os pontos dados na equação da reta, assim temos:
B 2; 648
A 6; 888
¿ }¿
¿⇒Y−Yb=Ya−YbXa−Xb X−Xb ¿
Y−648=888−6486−2 X−2
Y−648=2404 X−2
Y−648=60 X−2 , pela propriedade distributiva, temos:
Y−648=60X−120 , acrescentando 648 em ambos os
lados, temos:
Y=60X528 , para que a fórmula expresse o CUB
representado por Y em função do ano, representado por X, devemos substituir X
por (X 2001), assim, temos:
Y=60 X−2001528
22
Validação
Para validar o modelo encontrado podese construir a Tabela 2,
comparativa na qual consta o CUB fornecido pelo sindicato e o CUB estimado pela
fórmula Y=60 X−2001 528 .
Tabela 2: Tabela comparativa
Ano CUB Substituindo X na função
Y=60 X−2001528 temos:
CUB estimado
quando
substituímos X
na função
encontrada.2002 R$ 579,00 x = 2002 ⇒ Y=60 2002−2001 528 R$ 588,002003 R$ 648,00 x = 2003 ⇒ Y=60 2003−2001 528 R$ 648,002004 R$ 737,00 x = 2004 ⇒ Y=60 2004−2001 528 R$ 708,002005 R$ 803,00 x = 2005 ⇒ Y=60 2005−2001 528 R$ 768,002006 R$ 851,00 x = 2006 ⇒ Y=60 2006−2001 528 R$ 828,002007 R$ 888,00 x = 2007 ⇒ Y=60 2007−2001 528 R$ 888,00
Observe que para os anos 2003 e 2008 temse: R$ 648,00 e R$ 888,00,
respectivamente. Os valores são os mesmos na coluna do CUB dado e do CUB
estimado, pois a reta escolhida passa por esses pontos.
23
CUB x CUB estimado
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Tempo em anos
R$
CUBCUB estimado
Em todos os casos, os valores estimados não diferem mais que cinco por
cento do valor dado, como pode ser observado no gráfico comparativo, Gráfico 4,
que ilustra a Tabela 2.
Gráfico 4: Gráfico comparativo entre o CUB fornecido e o CUB estimado
pela função.
24
É importante ressaltar, que mesmo se os dados iniciais indicassem uma
curva seria possível seccionála em duas ou mais retas restringindo o domínio
adequadamente. Assim, terseia uma reta para cada intervalo e uma equação
para cada reta.
2. AJUSTE DE CURVAS USANDO TABELAS
É comum encontrar nos jornais tristes reportagens sobre o número cada
vez maior de acidentes de trânsito causados pelo consumo de bebidas alcoólicas.
Em muitos casos ocorrem mutilações e danos irreversíveis, em outros, é fatal. O
consumo de bebidas alcoólicas afeta o nosso organismo, como se pode observar
na Tabela 3.
25
Tabela 3: Efeitos do álcool no corpo humano5.
EFEITOS DO ÁLCOOLDose (g/l) Equivalente Efeitos0,2 a 0,3 1 copo de cerveja, 1 cálice
pequeno de vinho.
As funções mentais começam a ficar
comprometidas. A percepção da
distância e da velocidade são
prejudicadas.0,31 a 0,5 2 copos de cerveja, 1
cálice grande de vinho.
O grau de vigilância diminui, assim
como o campo visual. O controle
cerebral relaxa, dando a sensação
de calma e satisfação.0,51 a 0,8 3 a 4 copos de cerveja. Reflexos retardados, dificuldades de
adaptação da visão a diferenças de
luminosidade; superestimação das
possibilidades e minimização de
riscos; tendência a agressividade.0,81 a 1,5 Grandes quantidades de
bebida alcoólicas.
Dificuldades de controlar
automóveis; incapacidade de
concentração e falhas de
coordenação neuromuscular.1,5 a 2 Grandes quantidades de
bebida alcoólicas.
Embriaguez, torpor alcoólico, dupla
visão.> 2,1 Grandes quantidades de
bebida alcoólicas.
Embriaguez profunda; coma
alcoólico.Fonte: Adaptado de http://www.ufrrj.br/institutos/it/de/acidentes/etanol2.htm
5Adaptado de: http://www.ufrrj.br/institutos/it/de/acidentes/etanol2.htm, acesso em: 29 de janeiro de 2008.
26
Um grupo de especialistas, em laboratório, analisando a concentração de
álcool no sangue após a ingestão da bebida “CORROSIVA”, vulgarmente
conhecida como derrete fígado, constatou que quanto maior é a ingestão, maior é
a concentração de álcool. Os dados do estudo encontramse na Tabela 4.
Tabela 4: Concentração de álcool no sangue em função da quantidade de
bebida ingerida.
Consumo da
bebida em
mililitros (ml)
Concentração observada de álcool
(etanol) no sangue em gramas por litro
(g/l)100 0,3170 0,4240 0,5380 0,7600 0,9
Fonte: Fictícia.
Analisando a Tabela 4 escreva a função linear que melhor se ajusta aos
dados.
Solução:
Para resolvermos a questão utilizaremos a regressão linear, método
estatístico utilizado para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável
27
y, nesse caso a concentração de álcool (etanol) no sangue (g/l), dados os valores
de x, consumo da bebida em mililitros.
Tabela 5: Correlação linear
x y x.y x2 y2
100 0,3 30 10000 0,09170 0,4 68 28900 0,16240 0,5 120 57600 0,25380 0,7 266 144400 0,49600 0,9 540 360000 0,81
∑ x=1490 ∑ y=2,8 ∑ x y=1024 ∑ = 6009002x ∑ y2=1,8
Média dos valores de x ⇒ x=∑ xn
x=14905
x=298
Média dos valores de y ⇒ y=∑ yn
y=2,85
y=0,56
28
Soma dos quadrados dos desvios de x ⇒ Sxx=∑x2−∑x
2
n
Sxx=600900−1490
2
5
Sxx=600900−444020
Sxx=156880
Soma dos quadrados dos desvios de y ⇒ Syy=∑ y2−∑ y
2
n
Syy=1,8−2,8
2
5
Syy=1,8−1,568
Syy=0,232
Soma dos quadrados dos desvios de xy ⇒ Sxy=∑ xy−∑ x.∑ y
n
Sxy=1024−1490.2,8
5
Sxy=1024−834,4
Sxy=189,6
Cálculo do coeficiente angular a ⇒ a=SxySxx
a=189,6156880
a=0,0012
Cálculo do coeficiente linear b ⇒ b=y−a x
b=0,56−0,0012 . 298
29
b=0,2
Sendo y=axb a função linear, temos:
y=0,0012x0,2
Cálculo do Rquadrado ⇒ R2=Sxy
Sxx Syy
R2=189,6
156880 . 0,232
R2=189,6
36396,16
R2=189,6190,77
R2=0,9938
Importante: Rquadrado é um valor compreendido entre 1 e 1. Quanto mais
próximo de 1 ou de 1 melhor é o ajuste. Em termos práticos considerase um bom
ajuste se 1 ¿ R2 ¿ 0,8 ou 0,8 ¿ R2 ¿ 1.
Figura 4: Indicador do ajuste de curvas.
30
Validação
Para validar a fórmula encontrada construiremos a Tabela 6 na qual x
representa o consumo da bebida em mililitros, y representa a concentração de
etanol observada na corrente sangüínea através dos exames laboratoriais e y’
representa a concentração estimada de etanol pela fórmula encontrada.
Tabela 6: Tabela comparativa
x y Substituindo x na função
y=0,0012 x0,2 temos:
y' estimado quando
substituímos x na
função encontrada.100 0,3 x = 100 ⇒ y=0,0012 1000,2 y’ = 0,32170 0,4 x = 170 ⇒ y=0,0012 1700,2 y' = 0,404240 0,5 x = 240 ⇒ y=0,0012 2400,2 y' = 0,488380 0,7 x = 380 ⇒ y=0,0012 3800,2 y' = 0,656600 0,9 x = 600 ⇒ y=0,0012 6000,2 y' = 0,92
31
Gráfico comparativo: Concentração de etanol observada y versus concentração de etanol estamada y'
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 100 200 300 400 500 600 700
Consumo da bebida em ml
Conc
entra
çã o de
eta
nol e
m g
/l na
corr
ente
sang
üí nea
yy'
Gráfico 5: Gráfico comparativo ilustrativo
VISÃO CONCLUSIVA
Visando contribuir com a superação dos desafios que se apresentam
atualmente na Educação Básica, nos mais diversos níveis de ensino, o presente
artigo abordou a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o
ensino da disciplina de Matemática e trouxe a lume o tema "Modelação
Matemática: Funções Aplicadas ao Ensino Médio”.
32
Com supedâneo na modelação matemática, metodologia alternativa que
possibilita a aproximação entre teoria e prática, na contextualização do ensino e
no desenvolvimento de conceitos matemáticos significativos para os alunos do
Ensino Médio, esperase que aulas mais prazerosas possam ser engendradas, as
quais devem objetivar sempre, a apropriação do saber Matemático pelos alunos
das Escolas Públicas do Estado do Paraná.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002, 389p.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN Nelson. Modelagem matemática no
ensino. São Paulo: Contexto, 2000, 127p.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática & implicações no
ensino aprendizagem de matemática. Blumenau: Ed. Da Furb, 1999,134p.
CAPRA, Fritjof. O Tão da Física: um paralelo entre a física moderna e o
misticismo oriental. São Paulo: Cultrix, 1983.
33
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curso de pósgraduação em ciências e valores humanos no Brasil. São Paulo:
Fundação Peirópolis, 1997.
D'AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e
matemática. 2. ed. São Paulo: Summus; Campinas: Ed. da Universidade Estadual
de Campinas, 1986.
GIBAS, Cynthia; JAMBECK, Per. Desenvolvendo bioinformática:
ferramentas de software para aplicações em biologia. Rio de Janeiro: Campus,
2001.
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em < http://www.sindusconpr.com.br>, acesso em 22 de janeiro de 2008.
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processos psicológicos superiores. 3. ed. São Paulo: Martins
34
