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MODELAGEM DINÂMICA E DE CONTROLE DE UM MECANISMO DE TRÊS GRAUS DE LIBERDADE PARA APLICAÇÃO EM UM ROBÔ HEXÁPODE
Djalma Demasi
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e Tecnologia de Materiais do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica e Tecnologia de Materiais. Orientador: Luciano Santos Constantin Raptopoulos
Rio de Janeiro Fevereiro de 2012
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MODELAGEM DINÂMICA E DE CONTROLE DE UM MECANISMO DE TRÊS GRAUS DE LIBERDADE PARA APLICAÇÃO EM UM ROBÔ HEXÁPODE
Djalma Demasi Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica e Tecnologia de Materiais do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso
Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do
grau de Mestre em Engenharia Mecânica e Tecnologia de Materiais.
Aprovada por:
_______________________________________________________ Prof. Luciano Santos Constantin Raptopoulos, D. Sc. (Orientador)
______________________________________________ Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco, D. Sc.
_____________________________________________ Prof. Max Suell Dutra, Dr.-Ing. (UFRJ)
______________________________________________ Prof. Vitor Ferreira Romano, Dott. Ric. (UFRJ)
Rio de Janeiro Fevereiro de 2012
iii
iv
RESUMO MODELAGEM DINÂMICA E DE CONTROLE DE UM MECANISMO DE TRÊS GRAUS
DE LIBERDADE PARA APLICAÇÃO EM UM ROBÔ HEXÁPODE
Djalma Demasi Orientador: Luciano Santos Constantin Raptopoulos
Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica e Tecnologia de Materiais do Centro Federal de Educação Tecnológica
Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção
do grau de Mestre em Engenharia Mecânica e Tecnologia de Materiais.
Este trabalho apresenta como contribuição uma proposta de mecanismo de três graus
de liberdade para ser utilizada como perna de um robô hexápode. Para isso, foi realizado um
estudo dos principais tipos de robôs dotados de pernas, que permitiu a elaboração de um
modelo teórico e o desenvolvimento de algoritmos para a cinemática inversa, equações
dinâmicas de Lagrange e controle. Demonstrada a estabilidade do sistema, trajetórias foram
simuladas e os resultados teóricos se mostraram coerentes com a análise física do
mecanismo, o que motivou o desenvolvimento do protótipo. Com os dados da análise estrutural
do mecanismo, novas rotinas foram simuladas e os resultados se mostraram satisfatórios e
compatíveis com os dados obtidos para o modelo teórico. O controlador não-linear foi projetado
segundo a técnica de torque computado e as simulações foram capazes de seguir uma
trajetória especificada.
Palavras-Chave:
Robótica móvel; Controle não-linear; Manipuladores
Rio de Janeiro Fevereiro de 2012
v
ABSTRACT
DYNAMIC MODELING AND CONTROL MECHANISM WITH THREE DEGREES OF FREEDOM FOR APPLICATION IN A HEXAPOD ROBOT
Djalma Demasi Advisor: Luciano Santos Constantin Raptopoulos
Abstract as dissertation submitted to Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica e Tecnologia de Materiais do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso
Suckow da Fonseca CEFET/RJ, as partial fulfillment of the requirements for the degree of
Master in Mechanical Engineering and Materials Technology.
This paper presents a contribution to a proposed mechanism for three degrees of
freedom to be used as a leg of hexapod robot. For this, we conducted a study of the major
types of robots equipped with legs that allowed the elaboration of a theoretical model and the
development of algorithms for the inverse kinematics, dynamic equations of Lagrange and
control. Demonstrated the stability of the system trajectories were simulated and the theoretical
results proved consistent with the physical analysis of the mechanism, which led to the
development of the prototype. With the data of structural analysis of the mechanism, new
routines were simulated and the results were satisfactory and consistent with the data obtained
for the theoretical model. The nonlinear controller was designed according to the computed
torque technique and the simulations were able to follow a specified path.
Keywords:
Legged Robots; Nonlinear Control; Manipulators
Rio de Janeiro February, 2012
vi
SUMÁRIO Lista de Figuras x Lista de Tabelas xiv I Introdução e Objetivos 1 II Sistemas Robóticos de Locomoção por Pernas 3 II.1. Contexto histórico 3 II.1.1. Sistemas articulados 3 II.1.2. Primeiros estudos 4 II.1.3. Primeiros robôs 5
II.2. Tipos de robôs 6 II.2.1. Robôs de salto 6 II.2.2. Robôs bípedes 8 II.2.3. Robôs quadrúpedes 10 II.2.4. Robôs hexápodes 14 II.2.5. Robôs octópodes 14
II.3. Robôs hexápodes 16
II.3.1. Primeiros robôs 16
II.3.2. Robôs biologicamente inspirados 18
II.3.3. Alguns exemplos atuais 21 III Cinemática de Manipuladores 23
III.1. Cinemática direta 23
III.1.1. Definições preliminares 23 III.1.2. Sistemas de coordenadas referenciais 23 III.1.3. Matriz de transformação homogênea 25 III.1.4. Parâmetros de Denavit-Hartenberg 25
vii
III.1.5. Equações cinemáticas 27
III.2. Cinemática inversa 29
III.2.1. Cálculo de 1θ 29
III.2.2. Cálculo de 2θ 29
III.2.3. Cálculo de 3θ 30
III.3. Campo de trabalho 31 III.4. Torque estático 32 IV Dinâmica de Robôs 35
IV.1. Movimento dos elos de um robô 35 IV.1.1. Velocidade angular entre elos 35 IV.1.2. Velocidade no espaço cartesiano e das juntas 36 IV.1.3. Velocidades angulares 38
IV.1.4. Singularidades 38 IV.1.5. Aceleração angular 39
IV.2. Dinâmica de manipuladores 41 IV.2.1. Tensor de inércia 41 IV.2.2. Energia cinética 41 IV.2.3. Energia potencial 43 IV.2.4. Equações de movimento de Lagrange 43
IV.3. Equações dinâmicas na forma matricial 45 IV.3.1. Definições preliminares 45 IV.3.2. Energia cinética na forma compacta 46 IV.3.3. Equações dinâmicas definidas por matrizes especiais 46
IV.3.4. As matrizes M, C e G 49
viii
V Controle de Manipuladores 52 V.1. Introdução 52 V.2. Controle do torque computado 52 V.3. Controle de 1 junta 53 V.3.1. Motor de corrente contínua 53 V.3.2. Relações básicas 54 V.3.3. Torque no eixo de cargas 55 V.3.4. Funções de transferência 56 V.3.5. Controlador proporcional-derivativo 56 V.3.6. Critérios de estabilidade 57 V.4. Controle de múltiplas juntas 58 V.4.1. Lei de controle 58 V.4.2. Equação diferencial do erro 60 V.5. Convergência no sentido de Lyapunov 61 VI Projeto Mecânico 65 VI.1. Estudo de modelos de pernas 65 VI.1.1. Atuadores pneumáticos 65 VI.1.2. Mecanismo pantográfico 65 VI.1.3. Configurações inspiradas na biologia 66 VI.2. Proposta de projeto mecânico 68 VI.2.1. Junta 1 69 VI.2.2. Elo 1 70 VI.2.3. Elo 2 71 VI.2.4. Elo 3 72 VII Resultados e Discussões 74
VII.1. Análise dinâmica 74
ix
VII.1.1. Trajetórias baseadas em funções matemáticas 74 VII.1.2. Trajetórias inspiradas na biologia 86 VII.2. Análise de controle 91 VIII Conclusão e Trabalhos Futuros 109 Referências Bibliográficas 111 ANEXO A - Fundamentos da teoria de Lyapunov 123 A.1. Definições de estabilidade 123 A.2. Funcões de Lyapunov 125 A.3. Método direto de Lyapunov 126 ANEXO B - Catálogos 127
x
Lista de Figuras Figura II.1 - (a) Mecanismo original de Chebychev; (b) Mecanismo adaptado............................ 3 Figura II.2 - General Electric Walking Truck…...................…………....…….…………...….......….5 Figura II.3 - (a) WAP-3; (b) Phony Pony; (c) WABOT-1…………......................…………..………6 Figura II.4 - Equilíbrio ativo de robôs de uma perna..................................................................... 7 Figura II.5 - 3D One-leg Hopper……………………………………………………………………….7 Figura II.6 - (a) WABOT-2; (b) 3D Biped; (c) Spring Flamingo …….…..................................……8
Figura II.7 - (a) NAO; (b) ASIMO; (c) WABIAN-2R; (d) LOLA-2; (e) HRP-4C e
HRP-2; (f) TOPIO-3; (g) QRIO................................................................................10
Figura II.8 - MIT Quadruped........................................................................................................11 Figura II.9 - (a) RIMHO-2, (b) SILO-4..........................................................................................11 Figura II.10 - TITAN-VIII..............................................................................................................12 Figura II.11 - AIBO.......................................................................................................................12 Figura II.12 - SCOUT-II………….................................................................................................13 Figura II.13 - TEKKEN-IV............................................................................................................13 Figura II.14 - AlphaDog...............................................................................................................14 Figura II.15 - (a) Dante II; (b) Scorpion.......................................................................................15 Figura II.16 - Robô lagosta..........................................................................................................15 Figura II.17 - (a) Gurfinkel Hexapod; (b) OSU Hexapod.............................................................16 Figura II.18 - (a) Hexápode de Sutherland; (b) ODEX I..............................................................17 Figura II.19 - ASV-84...................................................................................................................17 Figura II.20 - Carausius Morosus................................................................................................18 Figura II.21 - (a) Genghis; (b) Hannibal......................................................................................19 Figura II.22 - TUM.......................................................................................................................19 Figura II.23 - LAURON II.............................................................................................................20 Figura II.24 - HAMLET.................................................................................................................20 Figura II.25 - ROBOT V...............................................................................................................21
xi
Figura II.26 - (a) DLR-Walker; (b) SILO-6...................................................................................21 Figura II.27 - (a) Robô formiga; (b) Phoenix; (c) NXT Spike.......................................................22 Figura III.1 - Esquema simplificado da perna do hexápode........................................................24 Figura III.2 - Localização dos sistemas de referências...............................................................24 Figura III.3 - Orientação angular: vistas frontal e superior..........................................................25 Figura III.4 - Representação dos parâmetros D-H......................................................................26 Figura III.5 - Referenciais de acordo com a orientação de D-H..................................................27 Figura III.6 - Campo de trabalho no plano yz..............................................................................32 Figura III.7 - Forças externas atuando na perna.........................................................................33 Figura III.8 - Torques obtidos em MATLAB® para velocidades angulares nulas.........................34 Figura V.1 - Motor com redução..................................................................................................55 Figura V.2 - Diagrama de blocos do controlador.........................................................................60 Figura VI.1 - (a) TITAN-IV; (b) Esquema da perna do Dante......................................................66 Figura VI.2 - (a) Perna do inseto; (b) Modelagem.......................................................................67 Figura VI.3 - (a) Projeto com servomotores; (b) Projeto com motores DC..................................67 Figura VI.4 - Proposta de projeto mecânico para a perna do hexápode.....................................68 Figura VI.5 - Junta 1....................................................................................................................69 Figura VI.6 - Vista isométrica do elo 1.........................................................................................70 Figura VI.7 - Vistas do elo 1. (a) Vista inferior; (b) Vista frontal..................................................70 Figura VI.8 - Vista isométrica do elo 2.........................................................................................71 Figura VI.9 - Vista superior do elo 2............................................................................................72 Figura VI.10 - Elo 3......................................................................................................................73 Figura VII.1 - Representação esquemática da perna no MATLAB®............................................74 Figura VII.2 - Curvas simuladas para as trajetórias verticais......................................................75 Figura VII.3 - Ângulos das juntas. (a) Trajetória vertical 1; (b) Trajetória vertical 2....................76 Figura VII.4 - Torques no modelo teórico para as trajetórias verticais........................................76 Figura VII.5 - Torques no protótipo para as trajetórias verticais..................................................77
xii
Figura VII.6 - Contribuições do torque relativas às matrizes de inércia e Coriolis
e vetor gravitacional.............................................................................................78
Figura VII.7 - Torques no modelo teórico (acima) e no protótipo (embaixo)...............................79 Figura VII.8 - Equação paramétrica da elipse e sua curva simulada..........................................79 Figura VII.9 - Vista isométrica do movimento circular.................................................................80 Figura VII.10 - Variação angular do movimento circular.............................................................80 Figura VII.11 - Torques no modelo teórico para a trajetória elíptica...........................................81 Figura VII.12 - Torques no protótipo para a trajetória elíptica.....................................................81 Figura VII.13 - Junta 1 do protótipo. (a) Velocidade angular; (b) Aceleração angular................82 Figura VII.14 - Equação paramétrica da lemniscata e sua curva simulada................................82 Figura VII.15 - Variação angular da curva lemniscata.................................................................83 Figura VII.16 - Torques na lemniscata. (a) Modelo teórico; (b) Protótipo....................................83 Figura VII.17 - Equações paramétricas da espiral e sua curva simulada...................................84 Figura VII.18 - Vista do plano yz do movimento..........................................................................84 Figura VII.19 - Variação angular da trajetória helicoidal..............................................................85 Figura VII.20 - Torques na trajetória helicoidal. (a) Modelo teórico; (b) Protótipo.......................85 Figura VII.21 - Comportamento das funções x e z......................................................................87 Figura VII.22 - Trajetória representativa da perna de um louva-deus.........................................87 Figura VII.23 - Vista no plano xz.................................................................................................88 Figura VII.24 - Variação angular das juntas................................................................................88 Figura VII.25 - Torques na trajetória de Koyachi para o modelo teórico.....................................89 Figura VII.26 - Torques na trajetória de Koyachi para o protótipo..............................................89 Figura VII.27 - Contribuições do torque relativas as matrizes de inércia e
Coriolis e vetor gravitacional...............................................................................90
Figura VII.28 - Resposta do motor considerando a indutância...................................................92 Figura VII.29 - Resposta do motor desconsiderando indutância................................................92 Figura VII.30 - Voltagem em função dos ângulos desejados......................................................93 Figura VII.31 - Voltagem no eixo de saída sem carregamento...................................................94
xiii
Figura VII.32 - Voltagem no eixo de saída com carregamento...................................................95 Figura VII.33 - Voltagem no eixo de saída com carregamento...................................................96 Figura VII.34 - Resposta do ângulo real em função do desejado...............................................97 Figura VII.35 - Controlador..........................................................................................................98 Figura VII.36 - Ângulo real (modelo teórico) para posição próxima do início da trajetória..........99 Figura VII.37 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no modelo teórico...........100 Figura VII.38 - Ângulo real (modelo teórico) para posição distante do início da trajetória........101 Figura VII.39 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no modelo teórico...........102 Figura VII.40 - ângulo real no protótipo para posição próxima do início da trajetória...............104 Figura VII.41 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no protótipo.....................105 Figura VII.42 - ângulo real no protótipo para posição distante do início da trajetória...............106 Figura VII.43 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no protótipo.....................107 Figura A.1 - Noção de estabilidade...........................................................................................124 Figura A.2 - Estabilidade assintótica.........................................................................................124
xiv
Lista de Tabelas Tabela III.1 - Descrição dos parâmetros D-H..............................................................................26 Tabela III.2 - Parâmetros de D-H................................................................................................27 Tabela III.3 - Variação angular aproximada de cada junta..........................................................31 Tabela VI.1 - Dados do conjunto redutor, motor e sensor...........................................................69 Tabela VI.2 - Dados do elo 1.......................................................................................................71 Tabela VI.3 - Dados do elo 2.......................................................................................................72 Tabela VI.4 - Dados do elo 3.......................................................................................................73 Tabela VII.1 - Parâmetros dinâmicos..........................................................................................91 Tabela VII.2 - Comparativo de voltagens na junta 2...................................................................97
1
Capítulo I - Introdução e Objetivos
Os sistemas robóticos autônomos se dividem, essencialmente, em duas áreas: robótica
de manipulação e robótica móvel. Os braços mecânicos, ou manipuladores, são ideais para
tarefas repetitivas e podem realizar trabalhos com grande velocidade e precisão. Apesar de
serem amplamente difundidos, os manipuladores têm a desvantagem de precisar de uma base
fixa para atuar, o que limita suas capacidades. Os robôs móveis, em contrapartida, para que
possam se deslocar livremente em determinado terreno necessitam de mecanismos de
locomoção, tais como rodas, esteiras ou pernas mecânicas.
Apesar de há centenas de milhões de anos os seres vivos usarem as pernas para se
locomover, os veículos movidos a rodas são os mais desenvolvidos e os mais comuns no
nosso cotidiano (SONG, 1989). São tão inertes na nossa vida que dificilmente nos damos conta
de nossa dependência a este tipo de locomoção. Entretanto, as atividades de pesquisas na
área de robôs móveis têm crescido significativamente nos últimos anos, pois existe uma grande
demanda para exploração e operação em terrenos naturais.
Uma parte substancial do planeta Terra é inacessível a todo e qualquer tipo de
mecanismos com rodas. Obstáculos naturais tais como rochas de grandes dimensões, solo
irregular, terra solta, fendas profundas e encostas íngremes tornam a locomoção por rolamento
ineficaz. O fundo do oceano, as superfícies da lua e de outros planetas também são terrenos
passíveis de serem explorados, mas que apresentam os mesmos tipos de problemas. Os
sistemas biológicos conseguem se mover com êxito através de uma variedade de ambientes
naturais e os mecanismos com pernas são mais adequados, pois podem escalar obstáculos e
passar sobre valas ou descontinuidades do solo (TODD, 1985).
Com exceção dos robôs movidos a rodas ou esteiras, a maioria dos mecanismos de
locomoção é inspirada nos seres vivos: um robô pode ser projetado para andar, correr,
deslizar, patinar, nadar, voar ou rolar. Apesar disso, desenvolver mecanismos de locomoção
inspirados na natureza não é necessariamente uma tarefa fácil. Quanto maior o número de
pernas, ou mais complexo forem os mecanismos, maior será a complexidade mecânica
envolvida (em geral, locomoção por pernas requer mais graus de liberdade). Também deve ser
considerado o aumento no peso do protótipo e um consumo de energia maior. Os insetos, por
exemplo, mesmo com tamanho e peso reduzidos, atingem um nível de robustez que as
técnicas de fabricação humana são incapazes de alcançar. O sistema biológico de
armazenamento de energia e os sistemas de ativação muscular utilizados por animais de
grande porte e insetos podem alcançar torque, tempo de resposta e eficiência de conversão
que excedem a capacidade dos sistemas feitos pelo homem (SIEGWART, 2004).
2
Portanto, a escolha do projeto mecânico tanto do robô quanto da sua perna é de
extrema importância e deve levar em consideração a topologia do terreno, a complexidade de
controle, o custo energético entre outros. Por fim, todo veículo precisa ser controlado, seja por
um humano, ou por um computador, de forma que é necessário o estudo de métodos de
controle sobre tais veículos.
O objetivo principal desse trabalho é apresentar o estudo e desenvolvimento de um
mecanismo de 3 graus de liberdade para utilização como uma das pernas de um robô
hexápode.
3
Capítulo II - Sistemas Robóticos de Locomoção por Pernas
Este capítulo apresenta uma breve revisão bibliográfica sobre a evolução dos robôs
dotados de pernas. Foi feito um estudo sobre os principais sistemas robóticos de locomoção de
acordo com o número de pernas e graus de liberdade por perna, dando destaque aos robôs
hexápodes.
II.1. Contexto histórico II.1.1. Sistemas articulados
Segundo ROSHEIM (1997), Leonardo da Vinci no século XV projetou o primeiro robô
antropomórfico articulado da história da civilização ocidental nos anos de 1495 a 1497. Era um
cavaleiro dotado de armadura e com acionamento através de cabos.
O século XIX foi a era do motor a vapor e das ferrovias. Engenheiros da época se viam
diante de problemas técnicos como, por exemplo, transformar um movimento de rotação em
um movimento retilíneo usando sistemas de barras articuladas, engrenagens, polias, etc.. A
resposta a esses questionamentos foi dada, nessa mesma época, por alguns geômetras e
algebristas que estudavam mecanismos articulados, não como dispositivos mecânicos, mas
como ferramentas para desenhar curvas. Eles conseguiram desenvolver mecanismos de
quatro barras específicos, cujo determinado ponto, em algum momento da sua trajetória, era
capaz de percorrer uma linha reta (HARTENBERG, 1964).
(a) (b)
Figura II.1 - (a) Mecanismo original de Chebychev (HARTENBERG, 1964); (b) Mecanismo
adaptado (RAIBERT, 1986).
O mecanismo do matemático russo Chebyshev se destacou, pois era capaz de simular o
movimento do pé humano em uma caminhada (Figura II.1), permitindo que um objeto pudesse
4
se mover em linha reta (TCHEBICHEFF, 1884). Segundo RAIBERT (1986), essa foi a origem
dos estudos sobre máquinas dotadas de pernas.
Ainda no século XIX, em 1893, Lewis A. Rigg patenteou o projeto da primeira máquina
quadrúpede, denominada The Mechanical Horse. Nesta máquina os estribos funcionavam
como pedais e o seu movimento era transmitido às pernas por um conjunto de engrenagens.
As rédeas permitiam mover a cabeça e as pernas para frente de forma a controlar a direção do
veículo. Não há registros de que esta máquina foi construída (RAIBERT, 1986).
Até a metade do século XX outras máquinas com conceitos de engrenagens e
mecanismos articulados foram elaboradas, mas sem obterem relativo sucesso até que em
meados dos anos 60 chegou-se à conclusão que os veículos com pernas baseados em
articulações não representavam uma alternativa aos veículos com rodas. O maior problema era
a limitação quanto ao movimento, pois as engrenagens imprimiam sempre o mesmo padrão de
locomoção com intervalos regulares. De fato, a adaptabilidade desses sistemas a terrenos
irregulares é nula e começou a ganhar força a idéia de que os mecanismos com pernas
precisavam de um sistema de controle, ou pela ação do homem, ou por computador. Ao serem
controlados iriam ganhar mobilidade e adaptabilidade, pois não teriam necessidade de
seguirem padrões fixos de movimento dados pelas articulações (SCHNEIDER, 2006; SILVA,
2005; BARRETO, 1997).
II.1.2. Primeiros estudos
O trabalho de Eadweard Muybridge, em 1870, foi o primeiro estudo científico
documentado e de relevância sobre padrão de locomoção de animais. Consistiu em analisar
fotos de cavalos em trote para descobrir se o animal, ao trotar, tirava as quatro pernas ao
mesmo tempo do chão (RAIBERT, 1986).
Em 1960, Shigley publicou um trabalho acadêmico no qual apresenta diversos sistemas
que poderiam ser utilizados em máquinas locomotoras (SHIGLEY, 1960). Dentre eles se
destacam os mecanismos de quatro barras e os pantográficos que inspiraram projetos
mecânicos de diversos robôs.
No início da década de 60, Ralph Mosher, pesquisador da General Elertric, iniciou um
projeto para o desenvolvimento de um braço mecânico e de um exoesqueleto com a finalidade
de amplificar forças e capacidades humanas. Os protótipos ficaram conhecidos como
Handyman e Hardiman (MOSHER, 1967). Porém, a sua contribuição mais importante ocorreu
em 1968, com o caminhão quadrúpede. Este veículo, de 1360 kg, era controlado por uma
pessoa em seu interior através da manipulação de punhos e pedais que se conectavam às
pernas hidraulicamente. Cada perna tinha três graus de liberdade e era propulsionado por um
5
motor de combustão. O veículo se tornou referência por ser um dos primeiros a adotar
diferentes padrões de locomoção (MOSHER, 1968).
Figura II.2 - General Electric Walking Truck (MOSHER, 1968). As máquinas projetadas até então, de fato apresentavam uma evolução em relação às
desenvolvidas com articulações, mas ainda estavam longe de reproduzir os sistemas
biológicos. Era necessário aprimorar os estudos em relação aos padrões de locomoção de
insetos e animais, desenvolver técnicas de controle além de criar novas tecnologias.
II.1.3. Primeiros robôs
Nos anos sessenta e setenta começaram a surgir os primeiros robôs móveis. Os
resultados mais importantes dessas décadas devem-se aos centros de pesquisas dos Estados
Unidos, Japão e Rússia.
Na metade dos anos 60, Mc Ghee e Frank projetaram e desenvolveram nos Estados
Unidos o Phony Pony. O robô é um quadrúpede com dois graus de liberdade em cada perna
onde cada uma das juntas é atuada por motor elétrico e alimentação externa. Apresentava
apenas dois padrões de locomoção e só andava em linha reta. Foi o primeiro robô a se
locomover autonomamente, controlado por computador (MC GHEE, 1966; SCHNEIDER,
2006).
Ichiro Kato, professor da Universidade de Waseda no Japão, foi um dos pioneiros da
robótica no país. Em 1967 construiu o seu primeiro par de pernas, o WL-1, que daria início à
família de robôs WL. Em 1969 desenvolveu o seu primeiro robô antropomórfico, o WAP-1, que
dispunha de músculos artificiais de borracha atuados pneumaticamente. Em 1971 o WAP-3 foi
6
o primeiro robô da história a se locomover em três dimensões. Tinha a capacidade de se
inclinar e subia e descia escadas. Em 1973 o WABOT-1 foi o primeiro robô antropomórfico em
escala real (LIM, 2007). Podia se expressar em japonês, tinha noção de distância e orientação
e era capaz de pegar e transportar objetos com sua mão. Seus pés eram desproporcionais ao
seu tamanho, e se arrastava mais do que andava (KATO, 1973).
(a) (b) (c) Figura II.3 - (a) WAP-3 (WASEDA UNIVERSITY, 2010); (b) Phony Pony (MC GHEE, 1966); (c)
WABOT-1 (WASEDA UNIVERSITY 2010a).
Em 1977, Rússia e Estados Unidos desenvolveram praticamente ao mesmo tempo dois
robôs hexápodes muito semelhantes, o “Masha” Hexapod (russo) e o OSU Hexapod
(americano). Maiores detalhes destes robôs serão apresentados na seção II.3.
A característica principal entre os robôs dessa época era a baixa velocidade de
locomoção. A partir dos anos 80, com o avanço das tecnologias de atuadores, sensores e
computadores, começaram a surgir robôs com mais habilidades e diversificados
. II.2. Tipos de robôs II.2.1. Robôs de salto
Basicamente, quando surgiram, os robôs de salto eram fundamentalmente de uma
perna. Caracterizavam-se por manter seu equilíbrio ativo enquanto se deslocavam (RAIBERT,
1989).
7
Figura II.4 - Equilíbrio ativo de robôs de uma perna (GREGORIO, 1997).
O primeiro protótipo relevante foi o de Matsuoka. Ele construiu a primeira máquina de
uma perna capaz de correr e o seu objetivo era modelar padrões de saltos humanos
(MATSUOKA, 1979).
Ao longo dos anos 80 e 90 Raibert ampliou o conceito inicial de robôs de salto. Junto
com a sua equipe do Leg Laboratory, do MIT, construiu protótipos de uma, duas e quatro
pernas que serviram de bancada de testes para elaboração de diversos algoritmos de controle
que ainda são empregados hoje em dia (RAIBERT, 1989). Segundo LASA (2000), os trabalhos
desenvolvidos por Raibert com robôs de salto são os mais importantes e utilizados até hoje,
inspirando não só a construção de protótipos, mas também novas pesquisas.
Figura II.5 - 3D One-leg Hopper (RAIBERT, 1986).
Um dos problemas chave na implementação de robôs com equilíbrio ativo é a eficiência
energética. Gregorio e Buehler ao construirem os robôs ARL Monopod I e II, provaram que era
possível alterar os métodos de controle e projeto propostos por Raibert e obter uma redução de
40% no consumo energético (GREGORIO, 1997; AHMADI, 1999).
8
Atualmente os robôs de salto são uma solução de custo eficaz para os sistemas
exploratórios de superfícies, pois priorizam projetos simples ao invés de altas performances.
Quando utilizados em grande número podem explorar extensas áreas (SEENI, 2010). Para
tentar minimizar o alto consumo de energia, modelos híbridos vêm sendo estudados (SCHELL,
2001; CONFENTE, 2002). Dentre as pesquisas recentes, merecem destaque o robô
apresentado por DUPUIS (2006) com mecanismo de salto feito com liga de memória de forma
e o hexápode saltador de YOUNSE (2008).
II.2.2. Robôs bípedes
Devido à grande quantidade de robôs existentes esta pesquisa irá se concentrar
basicamente no eixo Japão - EUA. Informações sobre o desenvolvimento de humanóides em
outros países podem ser encontradas em AKHTARUZZAMAN (2010) e CHEVALLEREAU
(2009).
Desde Leonardo Da Vinci que o homem tenta criar robôs à sua imagem e semelhança,
mas foi somente a partir do século XX que as pesquisas começaram a se desenvolver. Em
1938 a companhia Westinghouse lançou o Elektro, que reconhecia cores, podia mover os
braços e o pescoço, reproduzia voz, andava e fumava. Nos anos 60 e 70 as pesquisas mais
importantes vinham principalmente do Japão. Dos anos 80 e até a primeira metade dos 90 a
família de robôs WL e WABOT da Waseda University, no Japão, e os robôs 3D Biped e Spring
Flamingo do MIT Leg Laboratory, nos EUA, foram os mais importantes de sua época (LIM,
2007).
(a) (b) (c)
Figura II.6 - (a) WABOT-2 (KATO, 1987); (b) 3D Biped (PLAYTER, 1992); (c) Spring Flamingo
(PRATT, 1998).
9
Até então, as pesquisas envolvendo controle e simulação de bípedes não tinham
avançado tanto quanto os outros robôs multipernas, o que pode ser explicado devido a uma
maior exigência de estabilidade e maior complexidade de projeto (KATIC, 2002).
Em 1996 a Honda revolucionou as técnicas de pesquisa em humanóides. A
apresentação do P2, projeto que vinha sendo guardado em segredo desde 1986, deixou
atônita a comunidade científica. Com 30 graus de liberdade, 1,82 m de altura e 210 Kg, foi o
primeiro robô a se locomover autonomamente sem cabos (HIRAI, 1998). A partir deste evento
houve um aumento natural no interesse de pesquisas e projetos desse tipo de robô. Tudo isso
somado à evolução da informática e de equipamentos, como atuadores e sensores, produziu
um rápido desenvolvimento nessa área (LÖFFLER, 2003).
A revolução do P2 se deu também no conceito da aplicação do robô. Enquanto os
protótipos antigos visavam basicamente reproduzir habilidades humanas, o projeto da Honda
visava o desenvolvimento de um robô que pudesse conviver no mesmo ambiente com o
homem e que fosse capaz de realizar tarefas extraordinárias. Com isso, Hirai pretendia agregar
valores a sociedade humana e o P2 deu início ao conceito de “robôs domésticos” (HIRAI,
1998). KANEKO (2004) propõe uma evolução desse conceito. Segundo o autor, devido ao
envelhecimento da população, os robôs deveriam não somente conviver com humanos em
seus ambientes domésticos, mas também deveriam atuar em hospitais devido à sua aparência
amistosa.
Dos exemplos atuais destacam-se os robôs Johnnie, LOLA-2 e o WABIAN-2R. Johnnie
foi desenvolvido pelo Technical University of Munich e tem 1,80 metros, 40 Kg e 17 graus de
liberdade. Projetado para corrida, pode alcançar até 2 km/h (LÖFFLER, 2003). O LOLA-2 é
uma evolução do Johnnie, sendo 15 Kg mais pesado e capaz de se locomover com o dobro da
velocidade de seu antecessor (LOHMEIER, 2006). O WABIAN-2R da Waseda University é o
robô mais evoluído da família WABIAN, cujo primeiro protótipo data de 1996. Com 41 graus de
liberdade, 1,50 metros e 64 Kg, é um simulador de movimentos humanos (OGURA, 2006). Os
autores têm a intenção de que ele possa conduzir ou manipular objetos de reabilitação e bem-
estar em enfermarias e hospitais.
Os demais robôs têm como objetivo divertir e entreter as pessoas. O Qrio, da Sony,
realizava movimentos executados por comandos por voz e dançava, o NAO é utilizado na
competição de futebol de robôs, a RoboCup, o TOPIO-3, foi projetado exclusivamente para
jogar tênis de mesa, e o ASIMO, da Honda, que foi a evolução natural do modelo P2, é o robô
mais desenvolvido da atualidade.
10
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
Figura II.7 - (a) NAO (GOUAILLIER, 2009); (b) ASIMO (HONDA, 2007); (c) WABIAN-2R
(OGURA, 2006); (d) LOLA-2 (BUSCHMANN, 2009), (e) HRP-4C e HRP-2 (KAJITA, 2009); (f)
TOPIO-3 (TOSY ROBOTICS JSC, 2009); (g) QRIO (GEPPERT, 2004)
II.2.3. Robôs quadrúpedes
O primeiro robô de quatro pernas de destaque foi o Phony Pony (seção II.1.3). Vinte
anos depois, Raibert desenvolveu o MIT Quadruped. Usando somente os padrões de
locomoção dos quadrúpedes que usam pares de perna (trote, marcha e salto), conseguiu
adaptar o método de controle do seu robô de uma perna para um de quatro (RAIBERT, 1989).
O MIT Quadruped não é capaz de andar em todas as direções e a intenção com esse projeto
era o desenvolvimento de algoritmos de controles diversificados.
11
Figura II.8 - MIT Quadruped (RAIBERT, 1990).
A década de 90 ficou marcada pela grande evolução, não só nas pesquisas de controle,
mas também de projeto.
O RIMHO-2 e o SILO-4 se destacam por ser um dos poucos robôs fora do eixo EUA –
Japão. Construídos pelo Instituto de Automação Industrial (CSIC) de Madri, o RIMHO-2, de
1993, foi o primeiro robô caminhante da Espanha. Usava pernas pantográficas tridimensionais
e foi utilizado para detecção e localização de minas terrestres. (VARGAS, 1994; DE SANTO,
2007). O SILO-4, de 2000, é uma plataforma comercial voltada para pesquisa de algoritmos de
inteligência artificial e formas de locomoção. Foi desenvolvido para se locomover em terrenos
planos, com pouca adaptabilidade em chão irregulares (CSIC, 2000).
(a) (b)
Figura II.9 - (a) RIMHO-2 (DE SANTOS, 2007), (b) SILO-4 (CSIC, 2000).
12
O TITAN-VIII foi apresentado em 1996 por Arikawa e Hirose. Com uma junta de rotação
fixa ao corpo e um mecanismo de correia e polia, apresentava 3 graus de liberdade em cada
perna. Além da boa mobilidade, foi concebido de modo a ser um robô simples e de baixo custo
de fabricação (ARIKAWA, 1996).
Figura II.10 - TITAN-VII (ARIKAWA, 1996).
O AIBO foi o primeiro robô comercial para fins de entretenimento pessoal. Desenvolvido
pela Sony entre 1999 e 2005, podia andar, tinha sistema de visão, de reconhecimento de voz e
era capaz de aprender novos movimentos. Foi um sucesso de vendas, mas teve a sua
produção descontinuada em 2005, na terceira geração.
Figura II.11 - AIBO (SONY, 2012). Os robôs atuais de estaque são: SCOUT-II, TEKKEN-IV e o BigDog.
13
O SCOUT II, de 2003, é um robô com algoritmo simples de controle e um único atuador
em cada perna. Foi elaborado em cima de adaptações das pesquisas de Raibert e apresenta
não só estabilidade, mas também, velocidade relativamente alta, de 1,3 m/s
(PAPADOPOULOS, 2000; POULAKAKIS, 2005).
Figura II.12 - SCOUT-II (POULAKAKIS, 2005).
O robô Tekken-IV, apresentado em 2006, ao contrário dos seus antecessores é capaz
de percorrer longas distâncias autonomamente. Com visual semelhante a um cachorro, possui
um sistema de controle baseado em redes neurais permitindo adaptabilidade em terrenos
complexos. O visor de navegação com laser permite tomadas de decisão quanto à trajetória a
ser seguida. Seu ponto fraco é a baixa velocidade de navegação, em torno de 0,5 m/s
(FUKUOKA, 2010).
Figura II.13 - TEKKEN-IV (FUKUOKA, 2010).
Dentre todos os robôs citados, o mais impressionante é o BigDog, de 2008.
Desenvolvido no Boston Dynamics por Raibert e sua equipe, carrega a bordo todos os
sistemas necessários de energia, acionamento, sensoriamento e comunicação. Cada perna
tem 4 atuadores que são acionados hidraulicamente por motores de combustão. Tem 50
14
sensores e o computador a bordo permite escolher o tipo de controle mais adequado conforme
o terreno. Pesa cerca de 109 Kg, tem 1 metro de altura, é controlado remotamente e alcança 2
m/s em trote. Apresenta como desvantagem o fato de produzir muito ruído (RAIBERT, 2008). O
AlphaDog é a evolução natural do BigDog. Ainda está em fase de teste, mas já foi divulgado
que ele é capaz de carregar muito mais peso por uma distância maior, é dez vezes mais
silencioso que o BigDog e possui equipamentos especiais de visão e giroscópio (ACKERMAN,
2011).
Figura II.14 - AlphaDog (ACKERMAN, 2011). II.2.4. Robôs hexápodes
Como o objetivo deste trabalho é o estudo de uma perna para ser utilizada em um
protótipo de robô hexápode, esses robôs serão discutidos em seção a parte (seção II.3).
II.2.5. Robôs octópodes
Construídos nos anos 90, pela Carnegie Mellon University, os robôs Dante foram
criados especificamente para exploração de vulcões ativos. O Dante I, de 1992, foi utilizado no
Monte Erebus, e o Dante II, de 1994, explorou o Monte Spurr, ambos na Austrália. O
acionamento era elétrico via um cabo de alimentação externo que também atuava como
suporte para que o robô fosse capaz de descer a parede da cratera sob a forma de rapel. O
objetivo das incursões era coletar amostras para medir as composições químicas do magma do
vulcão e do gás expelido por ele. O Dante II possuia grande mobilidade e podia ser operado
por humanos a quilômetros de distância (WETTERGREEN, 1992; BARES, 1999).
O Scorpion é um octópode de 12,5 Kg desenvolvido pelo Fraunhofer-Institut Autonome
intelligente Systeme, da Alemanha. Cada perna possui três juntas de rotação atuadas por
motores de corrente contínuas com alta taxa de redução. Seus padrões de locomoção são
15
baseados em estudos dos modos de andar de escorpiões reais e o uso de controle
biomimético permite que ele ande em terrenos altamente irregulares e perigosos. Foi enviado
para NASA para avaliação de habilidades em missões extraterrestres (KLAASSEN, 2001).
(a) (b)
Figura II.15 - (a) Dante II (BARES, 1999); (b) Scorpion (KLAASSEN, 2001).
Uma das linhas de pesquisa em robôs móveis que vem crescendo constantemente é a
tentativa de replicação de sistemas biológicos. Assim como o Scorpion, a lagosta da
Northeastern University é outro exemplo. Apresentado pelo Marine Science Center, em 2007, o
NU/DARPA/ONR Lobster Robot, é um protótipo com função de realizar operações em águas
rasas de sensoriamento remoto. Como diferencial, apresenta controle biomimético baseado em
estudos de comportamento e neurofisiologia da lagosta americana e músculos artificiais feitos
de liga com memória de forma (Shape Memory Alloy) no lugar dos atuadores (AYERS, 2007).
Figura II.16 - Robô lagosta (AYERS, 2007).
16
II.3. Robôs hexápodes Nesta seção será apresentado um breve resumo abordando o histórico da evolução dos
modelos, os robôs que mais se destacaram, bem como algumas aplicações para os quais são
desenvolvidos.
II.3.1. Primeiros robôs
Segundo RAIBERT (1986), Gurfinkel (Universidade de Moscou) e Robert Mc Ghee
(Universidade do Estado de Ohio) apresentaram no mesmo ano de 1977, dois hexápodes
bastante semelhantes e muito evoluídos para sua época; ambos eram alimentados
externamente, controlados por computador e tinham 3 graus de liberdade em cada perna. A
diferença se dava pela forma de locomoção: enquanto o robô russo tinha seus movimentos
baseados em um pequeno conjunto de funções, o americano usava um algoritmo para calcular
as equações cinemáticas e tomadas de decisão.
(a) (b)
Figura II.17 - (a) Gurfinkel Hexapod (GURFINKEL et al, 1981); (b) OSU Hexapod (KLEIN,
1980).
Sutherland e Raibert, em 1983, construíram o primeiro hexápode com microcomputador
embarcado. Foi o primeiro veículo independente capaz de transportar um ser humano
(SUTHERLAND, 1983).
17
(a) (b)
Figura II.18 - (a) Hexápode de Sutherland (SUTHERLAND, 1983); (b) ODEX I (RUSSELL,
1983).
O Odex I, de 1983, foi desenvolvido originalmente por Stephen Bartholet para a
empresa Odetics Inc. Ficou famoso por sua mobilidade, design e relação carga/peso sem
precedentes; com cerca de 168 kg, cada perna podia levantar uma massa de até 180 kg. Sua
locomoção era baseada no movimento de três pernas de cada vez e era bastante ágil. Cada
perna era controlada por um microcontrolador, estando todos eles ligados a um computador
central, instalado na sua própria estrutura (RUSSELL, 1983; BRITTON, 1984).
Em 1985, Waldron e Mc Ghee coordenaram o projeto ASV-84 (Adaptive Suspension
Vehicle), um robô hexápode de 5 metros de altura por 1,6 metros de largura, controlado por
joystick. Este veículo dispõe também de um radar ótico para estudar o terreno a sua frente e
decidir onde colocar os pés da frente (WALDRON, 1986).
Figura II.19 - ASV-84 (SONG, 1989).
18
II.3.2. Robôs biologicamente inspirados
Há muito que se discutem as vantagens e desvantagens de sistemas movidos a rodas e
pernas. Já na década de 60, Bekker questionava o futuro dos sistemas movidos a rodas
apresentando algumas vantagens da locomoção por pernas baseado em estudos feitos com
animais (BEKKER, 1961). Em 1976, Cruse com o seu estudo de locomoção do inseto
Carausius Morosus, abriu um novo campo de pesquisa na robótica móvel, a replicação de
sistemas biológicos (CRUSE, 1976). Segundo PFEIFFER (1990), até então os princípios
mecânicos desenvolvidos envolviam puramente conceitos técnicos ao invés dos conceitos
biológicos.
Dois fatores contribuíram para a receptividade das pesquisas sobre o Carausius
Morosus: a boa mobilidade do inseto e uma modelagem relativamente simples, se comparado
a outros insetos, de três graus de liberdade para a perna do robô (PFEIFFER, 1990).
Figura II.20 - Carausius Morosus (HOLOPAINEN, 2008).
O hexápode Genghis foi o primeiro robô dotado de pernas do MIT capaz de se
locomover em diferentes tipos de terrenos (YEAPLE, 1991). Fez parte de uma linha de
pesquisa do Mobot Lab, no final da década de 80, que visava o desenvolvimento de robôs
móveis e leves para exploração autônoma de planetas (ANGLE, 1990). Pesava cerca de 10 N
e suas pernas tinham 2 graus de liberdade (ANGLE, 1989; BROOKS, 1989). Foi o protótipo
dos robôs Attila e Hannibal, que possuem 19 graus de liberdade, mais de 60 sensores, 8
computadores e são diferenciados apenas pela cor: dourado e vermelho, respectivamente
(FERREL, 1994).
.
19
(a) (b)
Figura II.21 - (a) Genghis (ANGLE, 1989); (b) Hannibal (FERREL, 1995).
O TUM, sigla de “Technische Universitat Munchen”, data de 1993, tem 2,8 Kg em cada
perna, totalizando 23 Kg e seus atuadores são capazes de produzir toque de até 60 Nm.
(WEIDERMANN, 1994).
Figura II.22 - (a) TUM (COSTA MELLO, 2004).
Os robôs LAURON (Legged Autonomous Robot Neural Controlled) I e II foram
desenvolvidos na Alemanha em 1993 e 1994, respectivamente. São capazes de carregar em
seus corpos, microcontroladores, unidades de processamento e baterias. Suas pernas
permitem que ele ande até de cabeça para baixo. Foram projetados para transportar mais do
que os seus próprios pesos, apresentando uma boa relação carga/peso (CORDES, 1997). O
LAURON-IV tem como diferencial 4 graus de liberdade por perna (RÖNNAU, 2011).
20
Figura II.23 - LAURON II (CORDES, 1997). O HAMLET, de 2001, foi construído em conjunto por pesquisadores da Faculdade de
Canterbury (Nova Zelândia) e da Universidade de Toronto (Canadá). Todas as juntas são
acionadas por motores DC de 10 W e com redução de 1:246, produzindo torque de 4,5 Nm
(FIELDING, 2001).
Figura II.24 - HAMLET (COSTA MELLO, 2004).
FULL (1989) e KRAM (1994), do MIT, foram os pioneiros no estudo de locomoção sobre
outro inseto, a barata Blaberus Discoidalis. Um dos primeiros robôs desenvolvidos nessa nova
linha de pesquisa foi o Boadicea (BINNARD, 1995). Seus atuadores eram acionados
pneumaticamente e enquanto as pernas do meio e de trás tinham 3 graus de liberdade, as da
frente só tinham dois. O ROBOT V, ou Ajax, é um protótipo mais complexo e recente. Pertence
21
a uma linha de pesquisa da Case Western Reserve University e também apresenta diferentes
graus de liberdade em suas pernas: 3, 4 e 5 (KINGSLEY, 2003 e 2005).
Figura II.25 - ROBOT V (KINGSLEY, 2005). II.3.3. Alguns exemplos atuais (a) (b)
Figura II.26 - (a) DLR-Walker (GÖNER, 2008); (b) SILO-6 (DE SANTOS, 2007).
22
Por fim, cabe ressaltar que nos dias atuais já é possível comprar e montar kits robóticos
teleoperados com diversos formatos de locomoção, tamanho e estrutura.
(a) (b) (c) Figura II.27 - (a) Robô formiga (LYNXMOTION, 2012); (b) Phoenix (LYNXMOTION, 2010); (c)
NXT Spike (LEGO MINDSTORMS, 2010).
23
Capítulo III - Cinemática de Manipuladores
Cinemática é o ramo da mecânica que descreve o movimento dos corpos sem
relacioná-los com as forças que o causaram. Em outras palavras, é o estudo da geometria de
movimento (MERIAM, 1994; TEODORESCU, 2007). No caso da cinemática de manipuladores,
é a ciência que se refere às propriedades geométricas de movimento e variáveis no tempo
(CRAIG, 1989).
III.1. Cinemática direta III.1.1. Definições preliminares
Letras maiúsculas estarão sempre se referindo a pontos ou corpos, enquanto que as
letras minúsculas irão se referir a eixos. Os números serão usados para indicar sistemas de
referência. Os vetores podem ser simbolizados tanto por letras maiúsculas quanto por
minúsculas, mas sempre estarão representados por um “til” embaixo de suas letras. Um vetor
coluna genérico pode ser expresso por T
x y zP P P P = �
, dependendo da conveniência.
A notação n m
P�
indica a posição do sistema de referência m em relação ao sistema n ,
enquanto que 0 CP�
pode representar a posição de um corpo ou ponto em relação ao referencial
0. As simbologias 0 iGP�
e 0 iMP�
denotam, respectivamente, a posição do centro de gravidade do
corpo i e do motor i no referencial 0 e se justificam, pois elos e motores serão considerados
como massas pontuais concentradas nos seus centros de gravidade.
III.1.2. Sistemas de coordenadas referenciais A cadeia cinemática que compõe um manipulador mecânico é formada pela sequência
de corpos conectados por juntas, que por intermédio de atuadores, exercem a movimentação
do manipulador (ROMANO, 1994). Na Figura III.1, 1J , 2J e 3J representam as juntas de
rotação, que são compostas de atuadores (motores de corrente contínua) e sensores de
posição e velocidade (encoders), e podem girar de forma independente em torno do seu eixo.
1L , 2L e 3L são os corpos da cadeia cinemática, isto é, são os elos de ligação entre as juntas.
24
Figura III.1 - Esquema simplificado da perna do hexápode. A representação completa de um objeto no espaço tridimensional é expressa por sua posição e
orientação em relação a um determinado sistema de coordenadas. No caso de um manipulador mecânico,
composto por vários corpos em forma de cadeia aberta, a descrição de sua posição e orientação requer
além de um referencial inercial, { }0 , um sistema de coordenadas locais em cada uma das juntas.
Para calcular a equações cinemáticas da perna, os sistemas de referência devem ser
posicionados corretamente. Como não será simulada a trajetória do corpo do robô, mas
somente o movimento da perna, todos os referenciais estarão localizados no mecanismo.
Assim, os referenciais { }0 , { }1 e { }2 serão posicionados nas juntas 1, 2 e 3, e o referencial
{ }3 se localizará na extremidade da perna.
Figura III.2 - Localização dos sistemas de referências.
Os ângulos de rotação serão representados por 1θ , 2θ e 3θ , e a orientação positiva de
cada um deles será definida conforme a Figura III.3.
1L
2L
3L
1J
2J3J
1x
1y
1z
0x
0y0z
2x
2y
2z
3x
3y
3z
25
Figura III.3 - Orientação angular: vistas frontal e superior. III.1.3. Matriz de transformação homogênea
O operador n
mT , denominado matriz de transformação homogênea, é uma matriz 4 4×
que contém todas as informações sobre a translação e a rotação de um referencial m em um
referencial n . Genericamente é definida por
3 3 3 1
0 0 0 1
n n m
mn
m
R PT × ×
=
� (III.1)
onde n
mR e
n mP�
correspondem à matriz de rotação e o vetor posição entre os referenciais.
Os parâmetros de Denavit-Hartenberg fornecem as matrizes de transformação
homogênea entre dois elos consecutivos. Para controlar a posição da extremidade da perna
em relação ao referencial inercial é necessário calcular 0
3T , que é dada por
0 0 1 2
3 1 2 3T T T T= ⋅ ⋅ (III.2) III.1.4. Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Um manipulador pode ser descrito cinematicamente pelos 4 parâmetros de Denavit-
Hartenberg (D-H) apresentados na Tabela III.1 e ilustrados na Figura III.4.
1θ+0x
0y
2θ+
3θ−
0x0y
0z
26
Tabela III.1 - Descrição dos parâmetros D-H.
Parâmetros Descrição
ia Distância de 1i
z − a iz medida ao longo de i
x
iα Ângulo entre 1i
z − e iz ao longo de i
x
id Distância entre 1i
x − e ix medida ao longo de 1i
z −
iθ Ângulo entre 1ix − e i
x , medido em 1iz −
Figura III.4 - Representação dos parâmetros D-H.
Analisando a Figura III.4 verifica-se que o caminho percorrido pelo referencial 1i − até
coincidir com o referencial i pode ser representado por sucessivas operações de rotação e
translação na seguinte ordem:
1) ( )Rot ,i zθ : Rotação de iθ no eixo 1iz − , para alinhar 1ix − com ix .
2) ( )Trans 0,0, id : Translação de id ao longo de 1iz − para coincidir 1ix − e ix .
3) ( )Trans ,0,0ia : Translação de ia ao longo de ix , para coincidir as origens dos sistemas de
referência 1i − e i , e 1ix − e ix .
4) ( )Rot ,i ixα : Rotação de iα no eixo ix para coincidir os dois sistemas de referência.
27
O produto desta sequência de operações resulta na matriz de transformação
homogênea entre os referenciais 1i − e i . Logo,
( ) ( ) ( ) ( )1 Rot , Trans 0,0, Trans ,0,0 Rot ,
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
i
i i i i i i
i i i
i i i i
i i i
i
T z d a x
C S a
S C C S
d S C
C C
θ α
θ θ
θ θ α α
α α
θ
− = ⋅ ⋅ ⋅
− − = ⋅ ⋅ ⋅
−
=0
0 0 0 1
i i i i i i
i i i i i i i
i i i
S S S a C
S C C S C a S
S C d
α θ α θ θ
θ α θ α θ θ
α α
−
(III.3)
III.1.5. Equações cinemáticas
Figura III.5 - Referenciais de acordo com a orientação de D-H.
Tabela III.2 - Parâmetros de D-H.
Elo ia i
d iα i
θ
1 1L 0 2π 1θ
2 2L 0 0 2θ
3 3L 0 0 3θ Definidos os parâmetros de D-H na Tabela III.2, segue-se de III.3 que:
1 1 1 1
1 1 1 10
1
0
0
0 1 0 0
0 0 0 1
C S L C
S C L ST
θ θ θ
θ θ θ
− =
0z
0x
0y
1z
1x
2z
2x
3z3x
28
2 2 2 2
2 2 2 21
2
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
C S L C
S C L ST
θ θ θ
θ θ θ
− =
e
3 3 3 3
3 3 3 32
3
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
C S L C
S C L ST
θ θ θ
θ θ θ
− =
Logo, de III.2, tem-se,
( )( )
1 23 1 23 1 1 1 2 2 3 23
0 1 23 1 23 1 1 1 2 2 3 23
3
23 23 2 2 3 23
C C C S S C C C
S C S S C S C C
S C 0 S S
0 0 0 1
L L L
L L LT
L L
− + +
− − + + = +
(III.4)
Os símbolos 1C , 1S , 23C e 23S denotam, respectivamente, 1cosθ , 1senθ , ( )2 3cos θ θ+ e
( )2 3sen θ θ+ , e serão largamente utilizados ao longo do texto.
Comparando as equações III.1 e III.4, verifica-se que o vetor posição da extremidade da
perna em relação ao referencial inercial é dado por:
( )( )
1 1 2 2 3 23
0 3
1 1 2 2 3 23
2 2 3 23
C C C
S C C
S S
L L L
P L L L
L L
+ +
= + + +
� (III.5)
Dessa forma, dada uma trajetória parametrizada ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,t x t y t z tλ = , os ângulos
iθ , 1, 2,3i = , podem ser determinados através da cinemática inversa, uma vez que:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 23
1 1 2 2 3 23
2 2 3 23
C C C
S C C
S S
x t L L L
y t L L L
z t L L
= + +
= + +
= +
29
III.2. Cinemática inversa III.2.1. Cálculo de 1θ
A divisão de ( )y t por ( )x t , resulta em ( )1tgy
xθ= , de modo que
1 arctgy
xθ
=
(III.6)
III.2.2. Cálculo de 2θ
O procedimento para calcular 2θ consiste em obter uma equação que só dependa de
1θ e 2θ , visto que 1θ já é conhecido. O primeiro passo é isolar os termos 3 23L C e 3 23L S das
equações ( )y t e ( )z t , respectivamente.
1 2 2 3 23
1
2 2 3 23
C CS
S S
yL L L
z L L
− − =
− =
Elevando ao quadrado e somando as equações acima, verifica-se que 3θ é eliminado na
equação resultante.
2
2 2 2 2 2 2 21 22 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3
1 1 1
2 2C 2 C C 2 S S
S S S
L y L yyL L L L z zL L L
− − + + + + − + =
Simplificando:
2
2 2 2 21 22 1 1 2 2 2 2 2 3
1 1 1
2 2C 2 C 2 S
S S S
L y L yyL L L L z zL L
− − + + + + − =
Agrupando os termos comuns, a equação reduz-se a
2 2C S 0A B C+ + = (III.7) onde
21 2
1
2
2
2 2 2 211 2 32
1 1
22
S
2
2
S S
L yA L L
B zL
L yyC L L z L
= −
= − = − + + + −
30
Resolvendo a Equação III.7 para o seno, obtém-se
2 2C S 0A B C+ + = ⇒ 2 2C SA B C= − −
⇒ 2 2 2 2 2
2 2 2C S 2 SA B BC C= + +
⇒ ( )2 2 2 2 2
2 2 21 S S 2 SA B BC C− = + +
⇒ ( ) ( )2 2 2 2 2
2 2S 2 S 0A B BC C A+ + + − =
⇒ ( )( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 4sen
2
BC B C A B C A
A Bθ
− ± − + −=
+
⇒ ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2sen
BC B C A B C A
A Bθ
− ± − + −=
+
Manipulando a mesma Equação III.7, mas resolvendo, agora, para o coseno, o resultado
encontrado é análogo.
2 2S CB A C= − − ⇒ 2 2 2 2 2
2 2 2S C 2 CB A AC C= + +
⇒ ( ) ( )2 2 2 2 2
2 2C 2 C 0A B AC C B+ + + − =
⇒ ( )( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2cos
AC A C A B C B
A Bθ
− ± − + −=
+
Finalmente, 2θ é obtido dividindo o seno pelo coseno.
( )( )
( )( )
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
tgBC B C A B C A
AC A C A B C Bθ
− ± − + −=
− ± − + − (III.8)
III.2.3. Cálculo de 3θ
O ângulo 3θ pode ser determinado, basicamente, de duas maneiras distintas. A
primeira, e mais simples, consiste em isolar 3θ na equação ( )z t , uma vez que 1θ e 2θ já são
conhecidos. Assim,
31
2 23 2
3
Sarcsen
z L
Lθ θ
−= −
(III.9)
A segunda maneira é manipulando a equação ( )z t de modo a transformá-la na forma
da Equação III.7. Para isso deve-se expandir 23S em ( )z t e agrupar os termos em comum.
Assim,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 3 2 3 2 2sen cos cos sen sen 0L L L zθ θ θ θ θ+ + − = Definindo
( )
( )
( )
3 2
3 2
2 2
sen
cos
sen
A L
B L
C L z
θ
θ
θ
=
=
= −
segue-se, de III.8 que
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2 2 2
32 2 2 2 2 2
tgBC B C A B C A
AC A C A B C Bθ
− ± − + −=
− ± − + − (III.10)
III.3. Campo de trabalho Para determinar completamente o campo de trabalho (workspace) do mecanismo é
necessário conhecer os valores referentes aos comprimentos dos elos e variações angulares
das juntas. Embora, somente no Capítulo VI que maiores detalhes do projeto serão
apresentados, a Tabela III.3 adianta esses valores.
Tabela III.3 - Variação angular aproximada de cada junta.
Elo Ângulo mínimo Ângulo máximo Dimensão [mm] 1 20º 160º 50,81 2 -145º 145º 245,8 3 -150º 150º 435
32
De acordo com a Figura III.5 e admitindo que o ângulo 3θ seja sempre negativo, o
campo de trabalho do plano yz fica assim caracterizado.
Figura III.6 - Campo de trabalho no plano yz. A curva em vermelho representa o limite inferior do campo de trabalho. No Capítulo IV
serão definidas formalmente as configurações singulares, o que reduzirá o campo de trabalho
efetivo.
III.4. Torque estático
O torque estático só existe quando o manipulador está parado em alguma configuração
genérica e está sujeito somente às forças de seus componentes (não serão consideradas
forças externas). Conforme a Figura III.7, somente as juntas 2 e 3 sofrem efeito de torque
estático.
33
Figura III.7 - Forças externas atuando na perna.
A junta 2 compensa os torques causados pelos pesos dos elos 2 e 3, e do motor 3, de
modo que:
( )
1 2 2 1 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 2 2
32
3 23 3 23 3 231 2 2 1 2 2 2 2
3
3 3 2322 2 3 3 1 1
2 2 20 0
0 0
2 2 2
0 0
2 2
i j ki j k
C L C S L C L SC L C S L C L S
M gm g
i j k
L C L C L CC L C S L C L S
m g
m gL CmL C g M m S i C j
τ = +
−−
+ + + +
−
= + + + − +
�� ��� �
�
�� �
� �
Seu módulo é dado por
3 3 2322 2 2 3 3
2 2
m gL CmL C g M mτ
= + + +
Por outro lado, a junta 3 só precisa compensar o torque gerado pelo elo 3, e assim:
1 3 23 1 3 23 3 23 3 1 3 23 3 1 3 233
3
2 2 2 2 2
0 0
i j k
C L C S L C L S m gS L C m gC L Ci j
m g
τ = = − +
−
� �
�
cujo módulo vale
3 3 233
2
m gL Cτ =
2m g3M g
3m g
0x0y
0z
34
Verifica-se que o torque simbólico obtido pela simulação em MATLAB® com velocidades
e acelerações angulares nulas é idêntico às equações teóricas desenvolvidas acima.
Figura III.8 - Torques obtidos em MATLAB® para velocidades angulares nulas.
35
Capítulo IV - Dinâmica de Robôs
Enquanto a Cinemática estuda a descrição dos movimentos dos corpos sem se
preocupar com as causas, a Dinâmica estuda os efeitos que torques e forças imprimem ao
movimento de objetos. Neste capítulo, o objetivo principal será a dedução das equações
dinâmicas utilizando o método de Lagrange.
IV.1. Movimento dos elos de um robô
Um manipulador é uma cadeia de corpos, denominados de elos, na qual cada um é
capaz de se movimentar em relação aos seus vizinhos. Cada elo pode, portanto, apresentar
velocidades lineares e angulares. Esta seção apresenta somente os conceitos básicos para o
entendimento do capítulo. Uma abordagem mais completa e aprofundada por ser obtida nos
livros citados nas referências bibliográficas no final do trabalho, como por exemplo, CRAIG
(1989).
IV.1.1. Velocidade angular entre elos
Conforme a Figura III.2, cada elo está conectado a uma junta de rotação, nas quais
estão fixos os sistemas de referências. Dessa forma, o elo i se move em relação ao sistema
{ }1i − . Como o modelo apresentado se baseia somente em juntas de rotação, a velocidade
angular de cada elo se confunde com a velocidade angular da junta de rotação a ele atrelado, o
que facilita os cálculos.
Será denotado por 1i iω−
� a velocidade angular do elo i em relação ao elo 1i − , e i iω
� a
velocidade da junta i no referencial { }i . Pela Figura III.5 verifica-se, que:
1 1 0 1
1
0
0ω ω
θ
= =
� � �
, 2 2
2
0
0ω
θ
=
� �
e 3 3
3
0
0ω
θ
=
� �
(IV.1)
A velocidade do elo i em relação ao referencial inercial é dada por
0 0 1 1 2 2 3 1i i iω ω ω ω ω−= + + + +�� � � � �
(IV.2) De modo que
36
0 2 0 1 1 2
0 1 0 2 2
1
1 1
1 1
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0
0 0 0
0 1 0
R
C S
S C
S
C
ω ω ω
ω ω
θ θ
θ
θ
θ
= +
= + ⋅
= + −
= −
� � �
� �
� �
�
�
�
0 3 0 1 1 2 2 3
0 1 0 2 2 0 3 3
1 2
1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 2 3
1 23
1 23
1
0 0
0 0
0
R R
S C C C S S
C S C S S C
S C
S
C
ω ω ω ω
ω ω ω
θ
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
= + +
= + ⋅ + ⋅
− = + − + − −
= −
� � � �
� � ��
�
� � �
�
�
�
Resumindo.
0 1
1
0
0ω
θ
=
� �
, 2 1
0 2
2 1
1
S
C
θ
ω θ
θ
= −
�
�� �
e 23 1
0 3
23 1
1
S
C
θ
ω θ
θ
= −
�
�� �
(IV.3)
Uma vez que os vetores 2 2ω�
e 3 3ω�
são paralelos, era de se esperar que seus
resultados fossem semelhantes. As velocidades dadas por IV.3 serão usadas no cálculo das
energias cinéticas dos elos.
IV.1.2. Velocidades no espaço cartesiano e das juntas Definição IV.1. A Matriz Jacobiana, ou simplesmente, Jacobiana, é formada pelas derivadas
parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se : n nR Rϕ → é uma função diferenciável
tal que ( ) ( )( )1 1 2 1 2, , , , , , , ,n n nq q q q q qϕ ϕ ϕ= … � … , então, a Jacobiana de ϕ é a matriz
quadrada de dimensão n n× dada por:
37
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
n
n
n n n
n
q q q
q q qJ
q q q
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
�
�
� � � �
�
Definição IV.2. Denomina-se por Jacobiano ao determinante da Matriz Jacobiana.
Como a função vetorial descreve a trajetória da perna e é expressa em coordenadas
cartesianas ( ), ,x y z , é de se esperar que a Matriz Jacobiana do modelo tenha dimensão 3 3× .
Uma definição alternativa, envolvendo a geometria do manipulador é dada por CRAIG (1989).
Segundo o autor, o número de colunas da Jacobiana é igual ao número de juntas do
manipulador, e o número de linhas é igual ao número de graus de liberdade, confirmando a
dimensão 3 3× .
A cinemática direta do manipulador descreve uma relação entre as coordenadas de
posição das juntas, [ ]1 2 3
Tθ θ θ θ=�
, e as coordenadas de posição e orientação do pé do
robô, T
x y zP P P P = �
. Isso significa que P�
depende diretamente das posições das juntas,
ou seja, ( )P P θ=� � �
. Em notação matricial:
( )( )( )
x x
y y
z z
P P
P P P
P P
θ
θ
θ
= =
�
� �
�
A derivada de P�
no tempo resulta no vetor V�
das velocidades lineares da ponta da
perna. O uso da regra da cadeia permite desenvolver a seguinte equação:
31 2
1 2 3 1 2 3
31 2
1 2 3 1 2 3
31 2
1 21 2 3
x x x x x x
x
y y y y y y
y
z
z zz z z
P P P d P P Pd d
dt dt dtP
P P P P P Pdd dV P P
dt dt dtP
d P PP d P d P
dt dt dt
θθ θ
θ θ θ θ θ θ
θθ θ
θ θ θ θ θ θ
θθ θ
θ θθ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
+ + ∂ ∂∂ ∂ ∂
�
� ��� �
1
2
3
3
z
d
dt
d
dt
dP
dt
θ
θ
θ
θ
∂
(IV.4)
38
Obtém-se, assim, uma relação entre as velocidades angulares das juntas de rotação e as
velocidades cartesianas da ponta da perna. Definindo o vetor
31 21 2 3
TTdd d
dt dt dt
θθ θθ θ θ θ
= = � � � �
�, tem-se
V Jθ= �� �
(IV.5)
A Matriz Jacobiana, portanto, aplica uma transformação linear nas velocidades
angulares das juntas, relacionando-as com as velocidades cartesianas. Da Equação III.5
segue-se que
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2 3 23 1 2 2 3 23 3 1 23
1 1 2 2 3 23 1 2 2 3 23 3 1 23
2 2 3 23 3 230
S L L C L C C L S L S L C S
J C L L C L C S L S L S L S S
L C L C L C
− + + − + −
= + + − + − +
(IV.6)
IV.1.3. Velocidades angulares
Como o vetor V�
é determinado pela trajetória imposta na simulação, os valores
desejados, ou ideais, das velocidades angulares podem ser obtidos, matematicamente, através
da relação
1J Vθ −=�
� � (IV.7)
Os sinais de saída do manipulador são enviados pelos sensores na forma de posição e
velocidade angulares das juntas de rotação. Minimizar a diferença entre o valor de θ��
desejado
e o valor real, enviado pelo sensor, é fundamental na implementação do controle. Essa teoria
será desenvolvida no Capítulo V.
IV.1.4. Singularidades
Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Em outras palavras, uma
matriz é dita singular quando não admite inversa. Como o cálculo das velocidades das juntas
depende da matriz inversa da Jacobiana, é fundamental que se verifique, dentro do campo de
trabalho do manipulador, quais os pontos onde o Jacobiano é nulo. Tais pontos são chamados
de pontos singulares.
O estudo das singularidades é importante, pois nesses pontos há a perda de mobilidade
do manipulador. Além da cinemática inversa admitir infinitas soluções, criando o problema de
redundância na simulação, o espaço das juntas adquire elevadas taxas de variação, tornando o
manipulador incontrolável. Por isso, as trajetórias devem ser definidas de modo que a
extremidade da perna esteja a uma distância segura dos pontos singulares (ROMANO, 1994).
39
Os pontos singulares do modelo proposto são obtidos fazendo-se ( ) 0Det J = . O
desenvolvimento desta equação produz o seguinte resultado:
3 0S = ou 1 2 2 3 23 0L L C L C+ + =
A condição 3 0S = resulta em 3 0θ = , pois 0
30 180θ≤ < , enquanto que a segunda
condição resulta em 0x
P = , uma vez que ( )1 1 2 2 3 23xP C L L C L C= + + .
Portanto, deve-se evitar trajetórias nas quais a ponta do manipulador passe pela
extremidade limite do campo de trabalho do manipulador e pelo eixo z do referencial 0.
IV.1.5. Aceleração angular
A aceleração angular das juntas é dada pela equação
( )1J P Jθ θ−= −�� ��� ��� �
(IV.8)
uma vez que P J P J Jθ θ θ= ⇒ = +� � ��� �� �
� �� � �.
Dentre as referências consultadas, nenhuma apresenta uma fórmula para o cálculo da
derivada da Matriz Jacobiana no tempo. O desenvolvimento abaixo é uma tentativa de obter
essa relação sem o compromisso de se obter a resposta mais simplificada ou a mais otimizada.
Como os elementos de J dependem, exclusivamente, das posições angulares, isto é,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
11 12 13
21 22 23
31 32 33
J J J
J J J J
J J J
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
=
� � �
� � �
� � �
segue-se, que
1
1
31 2 22
1 2 3 1 2 3 1 2 3
33
1 2 3
ij ij ij ij ij ij ij ij ij
ij
ij ij ij
d
dt
J J J J J J J J Jdd d dJ
dt dt dt dt
d
dt
J J J
θ
θθθ θ θ
θθ θ θ θ θ θ θ θ θ
θθ
θθ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂
�
��
�
��
Assim
40
13 13 1311 11 11 12 12 12
1 2 3 1 2 3 1 2 3
23 23 2321 21 21 22 22 22
1 2 3 1 2 3 1 2 3
31 31 3
1 2
J J JJ J J J J J
J J JJ J J J J JJ
J J J
θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
� � �� � �
� � ��� � �
1 32 32 32 33 33 33
3 1 2 3 1 2 3
J J J J J Jθ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
� � �� � �
13 13 1311 11 11 12 12 12
1 2 31 2 3 1 2 3
2321 21 21 22 22 22
1 2 3 1 2 3 1
31 31 31 32 32 32
1 2 3 1 2 3
J J JJ J J J J J
JJ J J J J JJ
J J J J J J
θ θ θθ θ θ θ θ θ
θ θθ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
� ��� �
23 23
2 3
33 33 33
1 2 3
J J
J J J
θθ θ
θ θ θ
∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
��
1 2 3J J J Jθ θ θ = � � ��� � �
(IV.9)
onde
iJ é a Jacobiana da i-ésima coluna de J .
Dessa forma, o problema do cálculo de J� fica reduzido à obtenção de matrizes
jacobianas das colunas de J , o que simplifica as equações. As matrizes usadas na simulação
dinâmica serão, portanto:
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2 3 23 1 2 2 3 23 3 1 23
1 1 1 2 2 3 23 1 2 2 3 23 3 1 23
0 0 0
C L L C L C S L S L S L S S
J S L L C L C C L S L S L C S
− + + +
= − + + − + −
( ) ( )( ) ( )
( )
1 2 2 3 23 1 2 2 3 23 3 1 23
2 1 2 2 3 23 1 2 2 3 23 3 1 23
2 2 3 23 3 230
S L S L S C L C L C L C C
J C L S L S S L C L C L S C
L S L S L S
+ − + −
= − + − + − − + −
3 1 23 3 1 23 3 1 23
3 3 1 23 3 1 23 3 1 23
3 23 3 230
L S S L C C L C C
J L C S L S C L S C
L S L S
− − = − − − − −
41
IV.2. Dinâmica de manipuladores
A dinâmica de manipuladores estuda a relação entre o movimento dos corpos que
formam a cadeia cinemática e as forças e torques aplicados nas juntas através dos atuadores a
esses associados. Conceitos como Tensor de Inércia, Energia Cinética e Potencial são
essenciais para o desenvolvimento das equações de movimento de Lagrange.
IV.2.1. Tensor de inércia
O momento de inércia mede a distribuição de massa de uma partícula, ou corpo, em
torno de um eixo de rotação. Quanto maior for esse valor, mais difícil será fazê-lo girar. Um
corpo rígido sem vínculos pode girar livremente em três dimensões e dado um referencial
inercial qualquer, é importante saber caracterizar a variação da distribuição de massa desse
corpo rígido em torno desses eixos.
Seja C um corpo rígido de massa m e volume V . Dados um referencial { }i , que pode
ou não pertencer ao corpo, e um ponto genérico T
x y zP P P P = �
de C em relação à origem
do referencial, define-se o tensor de inércia do ponto P�
em relação ao referencial { }i como
xx xy xz
i P
xy yy yz
xz yz zz
I I I
I I I
I I I
− −
Ι = − − − −
� (IV.10)
onde,
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
xx y z
C
yy x z
C
zz x y
C
I P P dm
I P P dm
I P P dm
= +
= +
= +
∫
∫
∫
e
( )
( )
( )
xy yx x y
C
xz zx x z
C
yz zy y z
C
I I P P dm
I I P P dm
I I P P dm
= = −
= = −
= = −
∫
∫
∫
Os elementos xx
I , yy
I e zz
I são chamados de momentos de inércia, enquanto que xy
I ,
xzI e
yzI são os produtos de inércia. O tensor de inércia tem como propriedade ser uma matriz
simétrica (TENENBAUM, 1997).
IV.2.2. Energia cinética
A energia cinética total de um manipulador é a soma das energias de todos os elos em
relação ao referencial inercial { }0 , sendo a energia total do i-ésimo elo dada por
42
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 01 1
2 2i i i
T TG G Gi i
i im P P ω ωΚ = ⋅ + ⋅ Ι ⋅� �
� � � � (IV.11)
Na expressão acima, o primeiro termo é a energia cinética devido à velocidade linear do
centro de massa do elo i , 0 iGP��
, e o segundo termo é a energia devido à velocidade de rotação
deste elo. 0 iGΙ denota o tensor de inércia do elo i , com respeito ao seu centro de gravidade,
em relação ao referencial inercial.
As tabelas fornecem informações sobre momentos e produtos de inércia em relação a
um referencial fixo ao próprio corpo, cujo tensor será denotado por i iG GΙ , enquanto que o
cálculo da energia deve ser feito em relação ao referencial inercial. Logo, para obter o tensor
0 iGΙ , é preciso aplicar uma mudança de base em i iG GΙ , segundo a expressão
( ) ( )0 0 0i i iT
G G G
i iR RΙ = ⋅ Ι ⋅ (IV.12)
onde 0
iR representa a rotação do elo i em relação ao referencial inercial (ROMANO, 1994).
No modelo proposto, devido ao fato do referencial inercial estar fixo ao motor 1, este
não produz energia cinética, o motor 2 só possui energia devido a rotação e o motor 3 contribui
com energias de rotação e translação. O tensor de inércia respectivo a cada motor, em relação
ao referencial { }0 , será denotado 0 iMΙ . O elo 1 só apresenta energia devido a rotação,
enquanto que os elos 2 e 3 possuem rotação e translação.
A expressão de Κ , fica, então, determinada assim:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2
2 2
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
0 2 0 0 2
0 0
2
1 (Rotação do elo 1)
2
1 (Rotação do motor 2)
2
1 (Rotação do elo 2)
2
1 (Translação do elo 2)
2
1
TG
TM
TG
TG G
m P P
ω ω
ω ω
ω ω
Κ = ⋅ Ι ⋅
+ ⋅ Ι ⋅
+ ⋅ Ι ⋅
+ ⋅ ⋅
+
� �
� �
� �
� �� �
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3 3
3
3 3
0 2 0 0 2
0 0
3
0 3 0 0 3
0 0
3
(Rotação do motor 3)2
1 (Translação do motor 3)
2
1 (Rotação do elo 3)
2
1 (Translação do elo 3)
2
TM
TM M
TG
TG G
M P P
m P P
ω ω
ω ω
⋅ Ι ⋅
+ ⋅ ⋅
+ ⋅ Ι ⋅
+ ⋅ ⋅
� �
� �� �
� �
� �� �
43
O resultado obtido desse somatório é apresentado abaixo:
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 2
2 2222 2 2 2 2 2 2 23 2 3 3 3
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 23 2 3
2
2 23 3 231 2 2 1 2
6 2 6 2 2 4
6 2 6
2 2
m L M L m L m L C LC L
M L M m LC L L C L C
m L C LL L C L
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
Κ = + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + +
� � � � � �
� � � � � � �
�2 2 2
2 23 3 33 2 3 2 3 3 2 3 2 3
4 4 2
L LC L L C L Lθ θ θ θ
+ + + +
� � � �
IV.2.3. Energia potencial
A energia potencial total do manipulador é a soma das energias de cada elo, sendo a
energia do i-ésimo elo é dada por
( ) ( )0 i
TG
i im g PΡ = − ⋅
�� (IV.13)
onde, [ ]0 0T
g g= −�
é o vetor gravitacional.
Somente os elos 2 e 3, e o motor 3 contribuem para energia potencial, e, portanto,
3 232 2 23 2 2 3 2 2
2 2
L Sm gL SM gL S m g L S
Ρ = + + +
IV.2.4. Equações de movimento de Lagrange
Dentre as principais metodologias que descrevem os efeitos dinâmicos nos corpos de
um manipulador, as equações de Lagrange serão o foco deste trabalho.
Define-se por Lagrangeano a função L resultante da diferença entre a energia cinética
e a potencial do manipulador, ou seja
L = Κ − Ρ (IV.14)
44
Com os valores de Κ e Ρ obtidos acima, o Lagrangeano fica determinado.
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 2
2 2222 2 2 2 2 2 2 23 2 3 3 3
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 23 2 3
2
2 23 3 231 2 2 1 2
6 2 6 2 2 4
6 2 6
2 2
m L M L m L m L C LL C L
M L M m LC L L C L C
m L C LL L C L
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
= + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + +
� � � � � �
� � � � � � �
�2 2 2
2 23 3 33 2 3 2 3 3 2 3 2 3
3 232 2 23 2 2 3 2 2
4 4 2
2 2
L LC L L C L L
L Sm gL SM gL S m g L S
θ θ θ θ
+ + + +
− − − +
� � � �
Para uma cadeia cinemática formada por n corpos rígidos de coordenadas
generalizadas [ ]1 2
T
nθ θ θ θ= ��
, pode-se analisar a dinâmica de um corpo i com massa
im e volume
iV a partir do Lagrangeano, segundo a fórmula:
d L L
dtτ
θ θ
∂ ∂= −
∂ ∂ ��� �
(IV.15)
onde [ ]
1nτ
�.
As equações do modelo proposto neste trabalho foram calculadas analiticamente sem
auxílio de programas de linguagem simbólica. A forma como são apresentadas não é a mais
simplificada, mas isso foi feito com o intuito de auxiliar nas contas futuras.
( )2 2 22 2 2
22 2 2 3 3 231 1 2 2 2 2 21 2 1 2 1 3 2 2 3 1 2 2
2 223 23 2 2 2 2 2 2
3 1 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 2
2
3 3 232 23 2 2 1
3 3 2 3
2 2
2 3 2
2 2
2
m L Cm L m L C L CM L m L M L C M L L C
L C m L S C L Cm L L C m L S L M L S C
m L SL CM L S L
τ
θ
= + + + + + + + +
+ + + − + + +
+ + +
��
23 3 23 3 233 1 2 2 2 2 1 2
2
3 3 23 23 3 233 3 23 1 2 2 1 3
23 2 2
2
3 2
C L C L Sm L L C L S
m L S C L Cm L S L L C
θ θ
θ θ
+ + + +
− + + +
� �
� �
45
( )
2 2 2 222 23 3 3 3 3 3 32 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3
22 23 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 3 3 2 3 3 1 3 2 2 2
3 2 2 1
72
12 3 4 3 2 2
2 3 2 2
m L L m L m Lm LM L m L C L L C L L
m L L S m L S C m L S L Cm L L S L M L S C
M L S L
τ θ θ
θ θ θ
= + + + + + + + +
− − + + + +
+ +
�� ��
� � �
( )2
23 3 23 23 3 23 3 232 2 3 1 2 2 2 2 1
3 232 2 22 2 3 2 2
3 2 2
2 2
m L S C L C L SL C m L L C L S
L Cm gL CMgL C m g L C
θ
+ + + + +
+ + + +
�
2 2 2
3 3 3 3 3 33 3 2 3 2 3
22 23 3 23 23 3 3 23 3 23 3 3 2 3
1 2 2 1 2
3 3 23
7
3 2 2 12
3 2 2 2
2
m L m L m LC L L
m L S C m L S L C m S L LL L C
m gL C
τ θ θ
θ θ
= + + +
+ + + + +
+
�� ��
� �
IV.3. Equações dinâmicas na forma matricial
As equações em forma matricial são fundamentais na implementação do controle. Sua
forma compacta permite que se avalie, separadamente, a contribuição dinâmica da inércia, das
forças de Coriolis e da gravidade no manipulador, permitindo um melhor entendimento das
relações que determinam o seu movimento (CRAIG, 1989).
IV.3.1. Definições preliminares
O desenvolvimento a seguir busca formalizar o conceito das equações dinâmicas na
forma matricial. Para isso, serão necessárias duas definições disponíveis em STRANG (1986),
para uma melhor compreensão do texto.
Definição IV.3. Toda forma quadrática está relacionada a uma matriz simétrica, segundo a
relação
( ) ( )T
f q A q= ⋅ ⋅� �
onde : nf R R→ , [ ]n n
A×
e 1n
q×
�
.
Definição IV.4. Seja A uma matriz simétrica. A é dita definida positiva se, e somente se
( ) ( ) 0T
q A q⋅ ⋅ >� �
, para todo vetor q�
não-nulo.
46
IV.3.2. Energia cinética na forma compacta
A energia cinética de um manipulador é uma forma quadrática, conforme pode se
observar no desenvolvimento da Equação IV.11.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
2
1
2
1
2
1
2
i i i
i
i
i
T TG G Gi i
i i
T TGi i
i i i
TGT T i i
i i i
T TGT i i
i i i
m P P
m J J
m J J
m J J
ω ω
θ θ ω ω
θ θ ω ω
θ θ ω ω
Κ = ⋅ + ⋅ Ι ⋅
= ⋅ + ⋅ Ι ⋅
= ⋅ + ⋅ Ι ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ Ι ⋅
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �
� �� � � �
Isso significa que, qualquer manipulador com n graus de liberdade, composto de elos
rígidos conectados sem atrito, sempre pode ter a sua energia cinética expressa na forma
( ) ( )1
2
T
Mθ θΚ = ⋅ ⋅� �� �
(IV.16)
onde [ ]n n
M×
é uma matriz especial, denominada Matriz de Inércia, que possui duas
propriedades muito importantes.
Propriedade IV.1. M é simétrica, pois tanto 0 iGΙ , quanto T
i iJ J⋅ são simétricos.
Propriedade IV.2. M é definida positiva, pois resulta do fato de ser simétrica e da energia
cinética ser sempre positiva (Definição IV.4)
Essas propriedades serão fundamentais na implementação do controle, pois em algum
momento será necessário o cálculo da inversa da matriz M e o fato dela ser definida positiva
garante que sua inversa nunca será uma matriz nula.
IV.3.3. Equações dinâmicas definidas por matrizes especiais
Substituindo a energia cinética definida por IV.16 no Lagrangeano, obtém-se a seguinte
expressão
( ) ( ) ( )1
2
T
L Mθ θ θ= ⋅ ⋅ − Ρ� �� � �
Com isso, as equações de movimento são representadas por
47
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2
T TdM M
dt
θτ θ θ θ θ
θ θ θ
∂Ρ ∂ ∂ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ∂ ∂ ∂
� � � � ��� � � � �� � �
Com o intuito de simplificar essa expressão, primeiramente deve-se mostrar que
( ) ( ) ( )1
2
T
M Mθ θ θθ
∂ ⋅ ⋅ = ⋅ ∂
� � �� � � ��
De fato, dados ( ) ( )T
ij j i
i j
M Mθ θ θ θ⋅ ⋅ =∑∑� � � �� �
e 1
T
nθ θ θ
∂ ∂ ∂=
∂ ∂ ∂ �
� � ��
, segue-se que, para um
valor de k , fixo,
( ) ( )
( )
2
T
kj j k ik k i
j ik k
kj j ik i kj jk
j i
kj j
j
M M M
M M M M
M
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ
θ
∂ ∂ ⋅ ⋅ = + ∂ ∂
= + =
=
∑ ∑
∑ ∑
∑
� � � � � �� �� �
� �
�
Assim,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
11 1 1
1 1
1 1 1
2 2 2
2
1
22
T
T T
T
n
j j
j n n
nj j n
j
M
M M
M
MM M
M M
θ θθ
θ θ θ θθ θ
θ θθ
θθ θ
θ θ
∂ ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ∂ ∂
∂ ⋅ ⋅ ∂
+
= =
∑
∑
� �� � �
� � � � �� �� � � �� � � �
� � �
�� ��
� �
� �
( )
11 1 1
1
n
nn n n nn n
M M
M M M
M
θ
θ θ
θ
= +
= ⋅
��
� � � �
� �� �
��
e, portanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2
Td dM M M M
dt dtθ θ θ θ θ
θ
∂ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ∂
� � � � ���� � � � � ��
Reagrupando,
48
( ) ( )1
2
TM M M
θτ θ θ θ θ
θ θ
∂Ρ ∂= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +
∂ ∂
�� � � �� �� � � � �
� �
Definindo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1,
2
T
C M Mθ θ θ θ θ θθ
∂⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
∂� � � � ��
� � � � � ��
e ( )( )
Gθ
θθ
∂Ρ=
∂�
��
, fica provado
que para qualquer manipulador suas equações dinâmicas podem sempre ser escritas na forma
( ) ( ) ( ),M C Gτ θ θ θ θ θ θ= ⋅ + ⋅ +�� � �� � � � � � �
(IV.17)
onde ( )n n
M θ×
� é denominada de Matriz de Inércia, ( ),
n nC θ θ
×
�� �
é a matriz que contém as
acelerações centrífugas e de Coriolis e ( )1n
G θ×
� é o vetor que contém os termos
gravitacionais.
Uma vez calculadas as equações de torque,
iτ , as matrizes M , C e G podem ser
determinadas. Segundo KELLY (2005) e SICILIANO (2008), enquanto M e G são bem
definidas e únicas, a matriz C pode ser expressa de diversas formas. Apesar disso, as
equações dinâmicas não são invalidadas, pois qualquer que seja a sua configuração, o produto
de ( ),C θ θ�� �
por �
é único. Os mesmos autores sugerem o seguinte procedimento para o
cálculo dos elementos dessa matriz:
( )
( )( )
( )
1
2,
T
jk
jk
jk
njk
c
cC
c
θ
θθ θ θ
θ
=
�� ��
�� � �
�
(IV.18)
onde ( )ijkc θ
� são denominados de Símbolos de Christoffel de primeiro tipo e são definidos pela
expressão
( )( ) ( ) ( )1
2
kj ijki
ijk
i j k
M MMc
θ θθθ
θ θ θ
∂ ∂∂= + −
∂ ∂ ∂ � ��
� (IV.19)
49
A demonstração do processo de construção dos símbolos de Christoffel encontra-se em
SPONG (1989).
Um desenvolvimento alternativo para o que foi demonstrado nessa seção é
apresentado por PAUL (1981) e FU (1987). O método consiste em transformar todas as
operações envolvendo matrizes em somatórios e operar diretamente com eles.
IV.3.4. As matrizes M , C e G
M e G são resultado de uma análise simples das equações i
τ . A Matriz de Inércia
tem os seguintes coeficientes:
( )22 2 2
22 2 21 1 2 2 2 2 211 2 1 2 1 3 2 2 3 1 2 2
22 2
3 3 23 3 233 1 2 2
3 3 2
3 2
m L m L C L CM M L m L M L C M L L C
m L C L Cm L L C
= + + + + + + +
+ + + +
12 0M =
13 0M =
21 0M =
2 222 23 3 32 2
22 3 2 3 2 3 2 3
72
12 3 4
m L Lm LM M L m L C L L
= + + + + +
2 2
3 3 3 323 3 2 3
3 2 2
m L m LM C L L
= + +
31 0M =
2 2
3 3 3 332 3 2 3
3 2 2
m L m LM C L L
= + +
2
3 333
7
12
m LM =
50
Note que, de fato, M é uma matriz simétrica. Já o vetor G é dado por:
3 232 2 22 2 3 2 2
3 3 23
0
2 2
2
L Cm gL CG MgL C m g L C
m gL C
= + + +
Dentre as formas de se expressar a matriz C , uma delas é especial, pois satisfaz uma
propriedade muito específica, que é característica de manipuladores que só possuem juntas de
rotação. KELLY (2005) e SICILIANO (2008) demonstram que, nessas condições, sempre existe
C tal que a matriz ( ) ( )2 ,M Cθ θ θ− ��� � �
é anti-simétrica. A matriz C definida abaixo respeita essa
propriedade.
222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
11 1 3 2 2 2 3 2 2 1
2
3 3 23 23 3 23 3 233 1 2 2 2 2 2
2
3 3 23 23 3 3 23 3 231 2 2 3
3 2 2 2
23 2 2
3 2 2
m L S C m L S L C L CC L M L S C M L S L
m L S C L C L Sm L L C L S
m L S C m L S L CL L C
θ
θ
= − + + + + +
+ + + + +
− + + +
�
�
222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
12 1 3 2 2 2 3 2 2 1
2
3 3 23 23 3 23 3 233 1 2 2 2 2 1
3 2 2 2
23 2 2
m L S C m L S L C L CC L M L S C M L S L
m L S C L C L Sm L L C L S θ
= − + + + + +
+ + + + +
�
2
3 3 23 23 3 3 23 3 2313 1 2 2 1
3 2 2
m L S C m L S L CC L L C θ
= − + + +
�
222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
21 1 3 2 2 2 3 2 2 1
2
3 3 23 23 3 23 3 233 1 2 2 2 2 1
3 2 2 2
23 2 2
m L S C m L S L C L CC L M L S C M L S L
m L S C L C L Sm L L C L S θ
= + + + + +
+ + + + +
�
51
3 2 3 322 3
2
m L L SC θ
= −
�
( )3 2 3 323 2 3
2
m L L SC θ θ
= − +
� �
2
3 3 23 23 3 3 23 3 2331 1 2 2 1
3 2 2
m L S C m L S L CC L L C θ
= + + +
�
3 2 3 332 2
2
m L L SC θ
=
�
33 0C =
52
Capítulo V - Controle de Manipuladores V.1. Introdução
Dependendo da aplicação, um manipulador pode ser classificado em duas categorias:
os que se movem livremente sem contato físico com o meio ambiente, e os que interagem por
meio da aplicação de forças. O contato físico resulta na geração de forças e torques externos,
problema que não será abordado neste texto. Também não serão considerados os problemas
de flexibilidade dos elos e o atrito entre as juntas. Em outras palavras, a simulação analisará
apenas o estudo do movimento em cadeia aberta sem a interação com o meio.
Dadas as equações de movimento, o objetivo do controle é manter a resposta dinâmica
do manipulador de acordo com o critério de performance estabelecido. Em geral o problema de
controle consiste de duas etapas: obter os modelos dinâmicos do manipulador e usar leis de
controle nesses modelos para obter a performance ou resposta desejada do sistema.
O manipulador proposto neste trabalho será instrumentado com atuadores (motores de
corrente contínua) e sensores de posição e movimento angulares (encoders). Como não há
interação de forças com o meio, as únicas variáveis de saída, y , que necessitam ser
controladas serão as posições e velocidades das juntas, ou seja, ( ),y y θ θ= �� �
. Por outro lado,
como o movimento das juntas se dá através do torque transmitido pelos atuadores, a variável
de entrada, u , é uma função, exclusivamente, deste parâmetro, isto é, ( )u u τ=�
.
V.2. Controle do torque computado
Um manipulador pode ser controlado de duas maneiras básicas: controle de posição
(ponto-a-ponto), ou controle de movimento (tracking). O primeiro tipo, mais simples consiste em
fazer com que o manipulador passe através de um conjunto discreto de pontos no seu campo
de trabalho sem a necessidade de seguir uma trajetória de referência. O segundo tipo é fazê-lo
se movimentar por uma trajetória contínua.
Para que o robô possa executar qualquer tipo de trabalho pelo método do controle de
movimento, é necessário posicioná-lo no lugar correto a todo instante. Por isso faz-se
necessário definir uma curva contínua, parametrizada no tempo, que forneça as posições
desejadas. Dessa forma, para que os atuadores possam realizar trabalho, é necessário um
sistema de controle que faça a conversão entre as coordenadas de posição e velocidade para
o torque desejado. Por fim, para que o controle tenha uma boa performance, é fundamental
que o erro entre os valores de posição e velocidade desejadas com os valores emitidos pelos
sensores convirja para zero. Sempre haverá erro devido a problemas de atrito e não
53
linearidades desconsideradas na análise dinâmica e uma forma de minimizá-lo é através do
método de retroalimentação (feedback) das variáveis de entrada.
O problema central no projeto de um sistema de controle é garantir que ele vai atender
às especificações de desempenho impostas, e o critério mais importante para isso é garantir
que seja estável. Segundo SLOTINE (1991), KHALIL (1996) e LEWIS (2004), um sistema é dito
estável, qualitativamente, se, dada qualquer condição inicial próxima ao ponto de operação,
seu movimento também permanece perto desse ponto. Uma definição semelhante é dada por
CRAIG (1989), que afirma ser estável um sistema se os seus erros se mantêm relativamente
pequenos ou tendem a zero em um intervalo de tempo razoável, mesmo na presença de
distúrbios moderados.
A instabilidade de um sistema pode resultar em um comportamento inadequado, ou até
mesmo imprevisível do manipulador, não atendendo ao objetivo a que foi proposto, podendo
até danificar componentes e mecanismos. Portanto, o projeto de controle deve garantir, não só
a estabilidade, mas também provar que os resultados, em malha fechada são satisfatórios.
O uso de técnicas de controle linear somente é válido quando o sistema estudado pode
ser modelado por equações diferenciais lineares, que não é o caso das equações de
movimento de manipuladores. Usar um controlador linear para movimentar um robô acarreta
em perda de precisão a medida em que a velocidade de movimento aumenta. Isso acontece
porque o controlador linear despreza os efeitos não lineares, enquanto que as forças de
centrífugas e de Coriolis variam com o quadrado da velocidade. Por outro lado, um controlador
não-linear, de conceito simples, também chamado de Controle do Torque Computado
(computed-torque control), é capaz de compensar essas não-linearidades permitindo
movimentos mais precisos mesmo com velocidades mais altas e campos de trabalho mais
amplos. (SLOTINE, 1991)
V.3. Controle de 1 junta V.3.1. Motor de corrente contínua
Em manipuladores os torques são gerados pelos atuadores, que convertem os sinais de
entrada em torques como variável de saída. Isso significa que os atuadores possuem sua
própria dinâmica e, em alguns casos podem ser modelados por equações matemáticas, como
é o caso dos motores de corrente contínua, ou motor DC.
Basicamente, um motor DC consiste de um estator, que é a parte fixa do motor, e um
rotor, que é o responsável pela rotação do eixo. O estator fica fixo à armadura e contém imãs
54
que produzem campo magnético dentro do rotor. O rotor contém, além do eixo, o indutor
(enrolamento) que conduz a corrente quando o motor é alimentado.
V.3.2. Relações básicas
Como o motor é acionado pela voltagem produzindo torque, pode-se afirmar que há
uma relação proporcional entre eles, assumida linear.
m a aK iτ = (V.1)
Fisicamente falando, o motor está sujeito à ação de duas forças proporcionais ao
produto da densidade de fluxo magnético e o comprimento do enrolamento: a força induzida
pela corrente e a produzida pela rotação rotor, denominada força contra-eletromotriz. Para
haver equilíbrio do sistema, essas forças precisam se contrabalancear e, para isso, devem
atuar em sentidos contrários. Como o rotor gira devido ao campo magnético induzido pela
corrente, esse movimento de rotação age como um gerador, desenvolvendo uma voltagem na
armadura. Isso significa que essa voltagem é proporcional à velocidade de rotação do motor,
ou seja
b mv K θ= � (V.2)
onde
bK é a constante devido à força contra-eletromotriz (NISE, 2011).
Do exposto, conclui-se que o motor DC pode ser modelado como um circuito RL, cuja
equação característica é dada por
aa a a a b m
diV R i L K
dtθ= + + � (V.3)
onde
aR e
aL são a resistência e a indutância da armadura (FU, 1987).
55
V.3.3. Torque no eixo de cargas
Figura V.1 - Motor com redução (FU, 1987).
Quando o objetivo é transmitir torques mais elevados, é comum utilizar redutores
acoplados aos motores. O eixo do motor fica então ligado a um trem de engrenagens e outro
eixo, denominado eixo de cargas, é o responsável pela transmissão do torque (Figura V.1).
Basicamente o eixo de carga gira a uma velocidade menor que o eixo do motor, sendo
proporcional ao coeficiente de redução n .
L mnθ θ= , 1n < (V.4)
Além da inércia da carga, L
J , e do atrito dinâmico nas juntas L
f , as equações de
controle devem considerar também a inércia do rotor, m
J , e o atrito dinâmico, m
f , produzido
pelo seu efeito de rotação. O torque total no eixo do motor depende, portanto, da carga e das
características do motor. A sua expressão, cujo desenvolvimento completo se encontra em FU
(1987), é dada por
( ) ( ) ( )eff m eff mt J t f tτ θ θ= +�� � (V.5)
onde 2
eff m LJ J n J= + e 2
eff m Lf f n f= + correspondem ao momento de inércia e coeficiente de
atrito viscoso efetivos do sistema
56
V.3.4. Funções de transferência
A aplicação da Transformada de Laplace nas equações V.1, V.3 e V.5, com condições
iniciais nulas, produz o seguinte resultado
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
a a
a a a a a b m
eff m eff m
T s K I
V s R I sL I sK s
T s s J s sf s
=
= + + Θ
= Θ + Θ
(V.6)
A combinação dessas equações resulta na função de transferência entre o ângulo do eixo do
motor e a voltagem. Como a variável de controle é o ângulo do eixo de saída do motor, a
relação V.4 deve ser usada para que se obtenha
( )( ) ( ) ( )2
L a
a eff a a eff a eff a eff a b
s nK
V s s J L s L f R J s R f K K
Θ=
+ + + +
(V.7)
Em alguns casos, devido ao valor da indutância ser muito pequeno, é comum desprezá-
la, e a Equação V.7 reduz-se a
( )( ) ( ) ( )2
L a
a a eff a eff a b
s nK
V s R J s R f K K s
Θ=
+ + (V.8)
Cabe notar que V.7 e V.8 são respostas em malha aberta do sistema. Na seção
seguinte quando o controlador for implementado, será necessário fechar a malha com uma
retroalimentação unitária.
V.3.5. Controlador proporcional-derivativo
O objetivo do controle de posição é fazer com que as coordenadas reais do motor
sigam as coordenadas desejadas. A técnica consiste em usar o erro entre as posições reais e
as ideais para produzir uma voltagem apropriada. Em outras palavras, deve-se aplicar uma lei
de controle na qual a voltagem transmitida ao motor é linearmente proporcional ao erro de
posição.
Segundo FU (1987), uma forma de incrementar a resposta do sistema é adicionando
um ganho devido ao erro entre a velocidade real e a desejada. Com isso, a lei de controle fica
assim definida:
57
( )( ) ( )P D
a
K e t K e tV t
n
+=
� (V.9)
onde ( ) ( ) ( )d
L Le t t tθ θ= − , ( ) ( ) ( )d
L Le t t tθ θ= −� �� , P
K é ganho proporcional e D
K o ganho
derivativo.
Aplicando a Transformada de Laplace em V.9 e substituindo
aV em V.7, obtém-se a
função de transferência entre a posição real e o erro, em malha aberta. Para calcular a função
de transferência entre a posição real e a desejada será necessário fechar a malha com
retroalimentação unitária. O resultado obtido é dado por:
( )( )
( )
( ) ( )2
L a D a P
d
L eff a a eff a eff a eff a b a D a P
s K K s K K
s s J L s L f R J s R f K K K K K K
Θ +=
Θ + + + + + +
(V.10)
Equivalentemente, desprezando a indutância:
( )( )
( )( ) ( )2
L a D a P
d
L a eff a eff a b a D a P
s K K s K K
s R J s R f K K K K s K K
Θ +=
Θ + + + + (V.11)
V.3.6. Critérios de estabilidade
As equações V.7 e V.10 sugerem que o motor de corrente contínua pode ser modelado
como um sistema de ordem 3. Como o coeficiente associado ao termo de grau 3 depende do
produto da inércia do motor, que é da ordem de 610− , pela sua indutância, que é da ordem de
410− , é razoável considerar esse coeficiente como desprezível reduzindo a ordem desse
sistema para 2. Assim, segundo OGATA (2003) e NISE (2011), a função de transferência V.11
satisfaz a equação
2 22 0n n
s sξω ω+ + = (V.12)
onde
nω é a frequência natural de oscilação do sistema e ξ é o coeficiente de amortecimento.
Logo,
2 a Pn
eff a
K K
J Rω = (V.13)
58
e
2a eff a b a D
n
eff a
R f K K K K
J Rξω
+ += (V.14)
Os ganhos proporcionais e o coeficiente de amortecimento são obtidos de V.13 e V.14.
2
n eff a
P
a
J RK
K
ω= (V.15)
12
a eff a b a D
a P eff a
R f K K K K
K K J Rξ
+ += ≥ (V.16)
Para FU (1987), por razões de segurança o sistema não pode ter uma resposta sub-
amortecida se aplicada uma função degrau. Para que ele tenha uma boa performance é
preciso que seja criticalmente amortecido ou super-amortecido, conforme a Equação V.16.
Dessa restrição determinam-se os ganhos derivativos.
2a P eff a a eff a b
D
a
K K J R R f K KK
K
− −= (V.17)
V.4. Controle de múltiplas juntas V.4.1. Lei de controle
Considere o modelo dinâmico de um manipulador apresentado pela Eq. IV.17,
reproduzida abaixo
( ) ( ) ( ),M C Gτ θ θ θ θ θ θ= ⋅ + ⋅ +�� � �� � � � � � �
(V.18)
Dado um conjunto de funções vetoriais limitadas
dθ�
, d
�
e d
��
denotadas por posição,
velocidade e aceleração desejadas das juntas de rotação, objetiva-se encontrar uma função
vetorial τ�
tal que as coordenadas reais das juntas, θ�
e �
, sigam d
θ�
e d
�
de forma acurada. A
essa função vetorial τ�
denomina-se lei de controle.
59
Em outras palavras, o objetivo do controle de movimento consiste em determinar uma
lei tal que:
( )lim 0t
tθ→∞
=�
e ( )lim 0t
tθ→∞
=�
� (V.19)
onde ( ) ( )d t tθ θ θ= −�
e ( ) ( )d t tθ θ θ= −� � �� � �
denotam, respectivamente, os erros de posição e
velocidades angulares das juntas.
Segundo CRAIG (1989), como o problema do controle de um manipulador é do tipo
múltiplas-entradas e múltiplas-saídas (MIMO), o controlador deve ser capaz não somente de
linearizar o sistema, mas também de desacoplar as equações envolvidas. A lei de controle
proposta pelo autor é da forma
Aτ τ β′= ⋅ +� �
(V.20) onde τ
�, τ ′�
e β são vetores 1n× e A é uma matriz n n× . Fazendo
( )
( ) ( ),
d D P
A M
K K
C G
θ
τ θ θ θ
β θ θ θ θ
=
′ = + ⋅ + ⋅
= ⋅ +
����
� � � �� �
� � � �
obtém-se
( ) ( ) ( ),d D P
M K K C Gτ θ θ θ θ θ θ θ θ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
��� � �� � � � � � � � �
(V.21)
Na equação acima, [ ]P n n
K×
e [ ]D n nK
× são as matrizes de ganhos proporcional e derivativo. Os
ganhos são valores determinados pelo controlador que visam uma otimização da simulação do
sistema. Embora não exista uma regra para determinar esses valores, será demonstrado mais
adiante que um depende do outro e, como o objetivo é desacoplar as equações de movimento,
a melhor maneira de se obter isso é escolhendo matrizes P
K e D
K diagonais.
FU (1987), KELLY (2005) e SICILIANO (2008) denominam a lei de controle V.21 por
controle do torque computado. O diagrama de blocos representativo é apresentado na Figura
V.2.
60
Figura V.2 - Diagrama de blocos do controlador (KELLY, 2005). V.4.2. Equação diferencial do erro
A comparação entre V.21 com a expressão do torque dinâmico, V.18, resulta na
equação
( ) 0D P
M K Kθ θ θ θ ⋅ + ⋅ + ⋅ = �� �
� � � � �
Como M é definida positiva (resultado obtido no capítulo anterior), então ela sempre admite
inversa, de modo que, a pré-multiplicação da expressão acima por ( )1M θ− ⋅
�resulta em:
0D P
K Kθ θ θ+ ⋅ + ⋅ =�� �
� � � � (V.22)
A equação diferencial V.22 é linear na variável θ�
e segundo BOYCE (1998), sempre
será possível escolher ganhos convenientes para que suas soluções sejam convergentes.
Para que haja convergência, as soluções do sistema em malha fechada devem ser
conjugados complexos situados no semi-plano esquerdo do plano de fases. Isso só vai ocorrer
quando o sistema for sub-amortecido, ou seja, 0 1ξ< < (OGATA, 2003).
Por fim, comparando V.22 e V.12, obtém-se
2 24D P
K Kξ= (V.23)
e, conforme mencionado anteriormente,
PK e
DK estão, de fato, relacionados entre si.
61
V.5. Convergência no sentido de Lyapunov
O objetivo desta seção é mostrar a convergência do sistema apresentado neste
trabalho, de acordo com a teoria de Lyapunov. A solução apresentada é uma versão adaptada
de KELLY (2005). Ao texto original foram inseridos comentários e demonstrações adicionais.
As definições de estabilidade e os conceitos relevantes estão no Anexo A.
Primeiro é preciso verificar que a origem é o único ponto de equilíbrio do sistema. De
fato, reescrevendo a Eq. V.22 em termos de vetores de estado T
θ θ
�
� �, tem-se:
0
P DP D
Id
K Kdt K K
θ θθ
θ θθ θ
= = − − − ⋅ − ⋅
�� ��� ��� �� �
(V.24)
Verifica-se, portanto, que a origem, 0T
θ θ =
�
� � �, é solução do sistema, pois a sua
substituição em V.24 produz vetores nulos como resposta. Suponha agora, por absurdo, que
1 1
T
θ θ
�
� � seja outra solução do sistema, diferente da origem. Então,
1
1
0 0
0P D
I
K K
θ
θ
= − −
� ����
⇒ �
1
1
0
0
0P D
K K
θ
θ θ=
=− ⋅ − ⋅ =
�
�
� ��
� � �
⇒ 1
1
0
0P
K
θ
θ
=
⋅ =
�
� �
� �
Como
PK é diagonal e foi projetada para ser uma matriz de elementos positivos, pois
corresponde aos ganhos do sistema, ela é definida positiva e, portanto, sempre admite inversa.
Logo, a origem é o único ponto de equilíbrio desse sistema.
Teorema V.1. (Rayleigh-Ritz) Seja [ ]
n nA
× uma matriz real, simétrica e definida positiva. Se
( )máx Aλ e ( )min Aλ denotam o maior e o menor autovalor de A , então, para qualquer nx R∈�
,
( ) ( )2 2T
min máxA x x A x A xλ λ≤ ⋅ ⋅ ≤� � � �
�
62
Seja α um escalar real, que satisfaça
( )min0 DKα λ< <
onde
DK é diagonal positiva. Multiplique ambos os lados da desigualdade por Tx x⋅
� �, de modo
a obter
( ) T T
min Dx x K x xα λ⋅ < ⋅� � � �
(V.25)
Dado que
DK é uma matriz simétrica definida positiva, a aplicação do Teorema V.1, reduz V.25
a
( )2
T
min D DK x x K xλ ≤ ⋅ ⋅
� � �
Como, por definição, 2 T
x x x= ⋅� � �
, segue-se que:
( ) T T
min D DK x x x K xλ ⋅ ≤ ⋅ ⋅� � � �
(V.26)
Comparando V.25 e V.26
( ) T T T
min D Dx x K x x x K xα λ⋅ < ⋅ ≤ ⋅ ⋅� � � � � �
ou seja,
T T
Dx x x K xα ⋅ < ⋅ ⋅� � � �
.
Como T Tx x x I xα α⋅ = ⋅ ⋅
� � � �, conclui-se que
[ ] 0T
Dx K I xα⋅ − ⋅ >� �
(V.27)
que implica em
DK Iα− ser uma matriz definida positiva.
63
Considere agora, a seguinte função candidata de Lyapunov.
( )
2
1,
2
1 1
2 2
T
P D
TT
P D
K K IV
I I
K K I
θ θα αθ θ
αθ θ
θ αθ θ αθ θ α α θ
+ =
= + + + + −
� � �� �� �� �� �
� � � � � �
(V.28)
Note que o primeiro termo da função é positivo por definição, uma vez que, qualquer que seja o
vetor x�
, a relação 2
0Tx x x⋅ = ≥� � �
é sempre verdadeira. Por outro lado, uma vez que,
[ ]2
P D P DK K I K K Iα α α α+ − = + − , ou seja, é soma de matrizes definidas positivas, conclui-
se que o segundo termo também é positivo, por se tratar de uma forma quadrática (Definição
IV.4). Segue-se, portanto que ( ),V θ θ�� �
é uma função globalmente definida positiva (Definição
A.8, (ii)).
O próximo passo, para concluir a demonstração é mostrar que a derivada no tempo de
V.28 é globalmente definida negativa (definições A.8, (ii) e A.10).
Propriedade V.1. Se [ ]1
T
nx x x= ��
e [ ]1
T
ny y y= ��
, são vetores diferenciáveis, e A é
uma matriz diagonal, então são válidas as relações:
(i) T T
i i i i
i i
x y x y y x y x⋅ = = = ⋅∑ ∑� �� �
(ii) 21 1 12
2 2 2
T T
i i i
i i
d dx x x x x x x
dt dt
⋅ = = = ⋅
∑ ∑ � �� � � �
(iii) [ ] [ ]21 1 12
2 2 2
T T
ii ii i ii i i ii
i i
d dx A x A x A x x x A x
dt dt
⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅
∑ ∑ � �� � � �
Pelos itens (ii) e (iii) da Propriedade V.1, tem-se:
( )[ ]
2,
TT
P D
T T T T
P D
V K K I
K K
θ θ θ αθ θ αθ θ α α θ
θ θ αθ θ αθ θ θ α θ
= + + + ⋅ + − ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
� � �� � ��� � � � � � � �
� �� � � �� �
� � � � � � � �
64
Isolando ��
na Equação V.22 e substituindo em ( ),V θ θ��� �
, obtém-se:
( ) [ ]
[ ]
0
,
T T T T
D P D P P D
T T T T
D P P P
T T
P P
V K K K K K K
K I K K K
K I K
θ θ θ θ θ αθ θ αθ θ θ θ α θ
θ θ α θ θ θ θ θ αθ θ
θ α θ αθ θ
θ
θ
=
= − − + ⋅ + − − + ⋅ + ⋅
= − + + − −
= − − −
= −
� � � � � � ��� � � � � � � � � � � �
� � � � � ���� � � � � � � � �
� �
� � � �
��
�
0
0
T
P
P
K
K I
θα
α θ
−
��
�
Como P
K Iα− e P
Kα são definidas positivas, por construção, segue-se que ( ),V θ θ��� �
é
globalmente definida negativa, e pelo Teorema A.1, o sistema é globalmente assintoticamente
estável.
65
Capítulo VI - Projeto Mecânico
Os sistemas robóticos de locomoção por pernas possuem vantagens em relação aos
veículos com rodas devido a uma maior adaptabilidade em terrenos irregulares. Por outro lado,
quanto maior é a mobilidade do sistema, mais complexo fica o controle, o robô fica mais
pesado e o consumo energético é maior. O presente capítulo se propõe a apresentar um
mecanismo articulado de três graus de liberdade para ser utilizado como perna de um robô
hexápode.
VI.1. Estudo de modelos de pernas VI.1.1. Atuadores pneumáticos
Ao longo dos anos diversos projetos para pernas de robôs foram propostos. Antes dos
motores elétricos se tornarem difundidos, os tipos de acionamento mais comum eram os
pneumáticos e os hidráulicos, atuando como músculos artificiais.
Os músculos artificiais foram desenvolvidos na década de 50, na tentativa de simular os
músculos humanos (KLUTE, 1999). Constituem fontes alternativas de projeto, pois são feitos
de materiais leves e podem ser usados em operações que necessitam de precisão ou
delicadeza. Porém, apresentam como desvantagens o difícil controle, devido ao fato de sua
constituição ser altamente não-linear e precisam de um compressor para funcionar
(DAERDEN, 2002).
Os atuadores pneumáticos foram amplamente utilizados nos robôs da Waseda
University, durante a década de 70, mas com a difusão dos motores elétricos e com o avanço
dos computadores caíram em desuso. Atualmente, com o avanço nas pesquisas de novos
materiais, voltaram ter destaque no meio científico (SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL, 2003) e
voltaram a ser usados no desenvolvimento de robôs, como por exemplo, o hexápode AJAX,
inspirado na barata (KINGSLEY, 2005).
VI.1.2. Mecanismo pantográfico
O uso do mecanismo pantográfico em projetos de robótica móvel é muito difundido,
sendo utilizado desde as épocas mais remotas da década de 70 até os dias atuais. Segundo
BINNARD (1995), essa preferência se explica devido ao fato de ser um mecanismo simples,
produzindo um movimento linear do pé, o que facilita o controle, e também porque que ele
proporciona um maior campo efetivo de trabalho.
Os mais comuns são os modelos adaptados do mecanismo pantográfico proposto por
Shigley, em 1960. Denominado de PANTOMEC, esses sistema permite que, com
66
acionamentos simples, a extremidade da perna se mova em um eixo cartesiano tridimensional
(HIROSE et al, 2009).
(a) (b) Figura VI.1 - (a) TITAN-IV (HIROSE, 1991); (b) Esquema da perna do Dante (WETTERGREEN,
1992).
Diversos exemplos de acionamentos elétricos, pneumáticos e hidráulicos podem ser
encontrados na literatura, como por exemplo: PV-II (HIROSE, 1980), TITAN-III (HIROSE,
1985), TITAN-IV (HIROSE, 1991), Dante I (WETTERGREEN, 1992), RIMHO (VARGAS, 1994),
Boadicea (BINNARD, 1995) e Dante II (BARES, 1999). São desenvolvidos ainda hoje, (LIANG,
2011), mas com o advento dos robôs inspirados na biologia, a frequência com que são
empregados diminuiu notavelmente.
VI.1.3. Configurações inspiradas na biologia
Os trabalhos desenvolvidos por Cruse na década de 70 inspiraram novas pesquisas na
área da robótica móvel. Essa nova tendência pode ser vista na mudança dos conceitos de
modelos apresentados desde então. Isso somado ao avanço das tecnologias, da computação
científica e dos equipamentos, permitiu desenvolver protótipos de pernas mais parecidos com a
realidade. O tipo mais comum é o de três graus de liberdade onde cada grau de liberdade
corresponde a uma junta de rotação, como pode ser visto nos robôs TUM (WEIDERMANN,
1994), LAURON (CORDES, 1997), HAMLET (FIELDING, 2001) e Scorpion (KLAASSEN,
2001).
67
(a) (b)
Figura VI.2 - (a) Perna do inseto (CRUSE, 2007); (b) Modelagem (PFEIFFER, 1990).
Um dos problemas enfrentados por esse novo modelo é o peso da plataforma e das
pernas. Com muitos motores, sensores e redutores em cada perna, o protótipo acaba
ganhando peso e mais torque é necessário para a elevação da perna e sustentação do corpo.
Uma das estratégias para tentar minimizar esse efeito é colocar os motores o mais perto
possível do corpo do robô (Figura VI.2, (b)). A Figura VI.3 apresenta algumas configurações
clássicas.
(a) (b)
Figura VI.3 - (a) Projeto com servomotores (GO, 2006); (b) Projeto com motores DC (CSIC,
2000).
68
VI.2. Proposta de projeto mecânico
Para que fosse cumprida a proposta inicial do trabalho que visava à construção do
projeto mecânico, foram comprados motores DC, sensores e redutores do grupo Faulhaber
(Anexo B). O comprimento do motor com o redutor e o sensor acoplados ultrapassa 137
milímetros, que é um comprimento razoavelmente grande, e devido a isso, o protótipo se
baseará no conceito do robô SILO-4, Figura VI.3, (b), cujos motores encontram-se por dentro
da estrutura da perna. Todos os desenhos desta seção foram desenvolvidos em Solidworks®.
Figura VI.4 – Proposta de projeto mecânico para a perna do hexápode.
69
Tabela VI.1 - Dados do conjunto redutor, motor e sensor.
Motor Redutor Sensor Total
Comprimento [mm] 62,0 57,0 18,3 137,3
Massa [g] 242 260 48 550
Todas as transmissões de movimento entre os elos são feitas por engrenagens,
projetadas e dimensionadas conforme PROVENZA (1991) e (1996). Porém, não foram feitos os
cálculos de esforços para verificar se essas engrenagens resistem a forças e torques
resultantes dos movimentos simulados.
Para efeito de simulação, serão necessários os dados relativos ao comprimento, massa,
posição do centro de gravidade e matriz de inércia de cada um dos elos. Essas informações
podem ser obtidas por uma análise do Solidworks®, desde que sejam especificados os tipos de
materiais empregados na montagem. Com exceção das buchas, que foram especificadas como
bronze comercial, os outros elementos foram definidos como aço inoxidável AISI 304 ou 1020.
VI.2.1. Junta 1 A junta 1 fica fixa ao corpo do robô e contém o motor 1 que transmite movimento de
rotação ao elo 1.
Figura VI.5 – Junta 1.
Note que para a direção de rotação da junta 1 ser coerente com a Figura III.5, o motor 1
foi posicionado na vertical.
70
VI.2.2. Elo 1 O elo 1 só possui movimento de rotação e contém o motor 2 que transmite movimento
de rotação ao elo 2 (coxa).
Figura VI.6 – Vista isométrica do elo 1.
(a) (b)
Figura VI.7 – Vistas do elo 1. (a) Vista inferior; (b) Vista frontal.
71
Os dados do elo 1 usados na simulação serão, portanto:
Tabela VI.2 - Dados do elo 1. Comprimento [mm] Massa [g] Centro de Gravidade [mm]
Elo 1
50,81
881,79
(16,45; -1,00; 27,58)T
A matriz de inércia, com relação ao centro de gravidade, em g.mm2, vale:
1 1
1.149.774,58 16.063,94 69.029,20
16.063,94 1.166.935,85 27.205,73
69.029,20 27.205,73 256.148,08
G G
Ι =
Como os motores são muito compridos, o elo 1 ficou assimétrico. Essa assimetria pode
ser vista no posicionamento dos eixos y e z do centro de gravidade do conjunto (Tabela VI.2),
mas não terão muita influência na simulação, pois conforme 1 1G GΙ , os produtos de inércia
envolvidos são relativamente pequenos.
VI.2.3. Elo 2
Figura VI.8 – Vista isométrica do elo 2
72
Figura VI.9 – Vista superior do elo 2.
O elo 2 (coxa), que possui movimento de rotação e translação, tem um conceito
diferente do elo 1. Devido ao comprimento do motor, o mesmo foi posicionado no interior do
mecanismo ao longo de sua extensão. Para haver concordância com a orientação angular
definida na Figura III.5, fez-se necessário o uso de engrenagens cônicas de 90º, como pode
ser visto Figura VI.9. Por ser mais comprido e possuir mais componentes, é o elo mais pesado,
mas também é o mais simétrico.
Tabela VI.3 - Dados do elo 2. Comprimento [mm] Massa [g] Centro de Gravidade [mm]
Elo 2
245,80
1182,02
(133,02; 0,01; -0,58)T
A matriz de inércia, com relação ao centro de gravidade, em g.mm2, vale:
2 2
303.373,62 619,62 93.431,89
619,62 4.936.905,78 13,74
93.431,89 13,74 4.847.775,88
G G
Ι =
VI.2.4. Elo 3
O elo 3 (perna) é o mais leve de todos, pois não tem motor; possui apenas a estrutura
metálica. O seu comprimento não é definitivo e só será ajustado quando a estrutura do corpo
do robô for definida. Também não se projetou um formato para o pé, pois as simulações visam
apenas o movimento em cadeia aberta, sem contato com o solo.
73
Figura VI.10 - Elo 3.
Tabela VI.4 - Dados do elo 3. Comprimento [mm] Massa [g] Centro de Gravidade [mm]
Elo 3
435,00
178,37
(138,95; 0,00; -2,67)T
A matriz de inércia, com relação ao centro de gravidade, em g.mm2, vale:
3 3
27.621, 48 12,30 66.232,77
12,30 3.819.725,75 0.59
66.232,77 0,59 3.807.660,91
G G
− Ι = − − −
74
Capítulo VII - Resultados e Discussões VII.1. Análise dinâmica Um dos problemas que se colocam na robótica de locomoção por pernas é a forma
geométrica que devem ter as trajetórias dos pés. Vários modelos foram desenvolvidos nos
últimos anos, sendo as trajetórias mais comuns baseadas em funções matemáticas e no
estudo de movimento de insetos. Os padrões de locomoção não serão discutidos neste texto,
uma vez que a proposta do trabalho se limita ao estudo da cadeia cinemática aberta do
manipulador.
Para o efeito da animação, foram utilizados recursos simples de desenho, conforme a
Figura VII.1. Os elos da perna são as retas em azul. As circunferências, em preto, representam
as juntas de rotação. O ponto em vermelho é o pé do robô e segue a trajetória desejada.
Figura VII.1 - Representação esquemática da perna no MATLAB. VII.1.1. Trajetórias baseadas em funções matemáticas A estratégia mais difundida talvez seja a de adotar funções matemáticas para tentar
reproduzir as trajetórias no espaço cartesiano. As funções mais comuns são as elipses, as
trigonométricas e os polinômios. A combinação entre curvas é uma alternativa e pode ser
desenvolvida dependendo da aplicação e do tipo de terreno.
Para implementar uma trajetória de referência é preciso que a curva modelada seja
suave, isto é, posição, velocidade e aceleração precisam ser contínuas e admitirem derivadas
-20-10
010
20
-20
0
20
40-40
-20
0
20
40
Eixo-xEixo-y
Eix
o-z
75
contínuas, caso contrário o controle pode ser comprometido. Todas as curvas simuladas estão
na forma paramétrica ou polinomial e a teoria de curvas suaves, bem como alguns dos
exemplos utilizados, encontra-se em DO CARMO (1976) e SANTOS (2003).
As simulações foram realizadas no MATLAB. Todas as distâncias estão em
centímetros e os ângulos são expressos em graus. As trajetórias foram discretizadas em 50
pontos.
Exemplo VII.1: Trajetória vertical Foram definidas duas equações paramétricas que simulam a elevação do pé segundo
uma trajetória vertical.
( )
( )
( )
( )1
0
35
30 15
x t
t y t
z t t
α
=
= =
= −
e ( )
( )
( )
( )2
2
0
35
30 15
x t
t y t
z t t
α
=
= =
= −
Como o tempo de simulação foi de 1 segundo para ( )1 tα e ( )2 tα , os pontos inicial e final de
cada trajetória são coincidentes, de forma que as curvas simuladas são idênticas.
Figura VII.2 - Curvas simuladas para as trajetórias verticais. Embora as curvas sejam idênticas, a variação angular das respectivas juntas é
diferente, pois as velocidades lineares dos movimentos não são iguais. Essa afirmação pode
ser verificada através da análise da cinemática inversa desenvolvida no Capítulo III.
-20-10
010
20
0
10
20
30
40-20
-10
0
10
20
x (cm)
Trajetória da extremidade
y (cm)
z (c
m)
76
(a) (b)
Figura VII.3 - Ângulos das juntas. (a) Trajetória vertical 1; (b) Trajetória vertical 2. Observa-se que as variações são coerentes, pois como o movimento é vertical, não há
acionamento da junta 1, ou seja, o ângulo 1t é constante. A junta 2, por outro lado, é
constantemente acionada para levantar o pé do robô, de forma que 2t sempre aumenta. Por
fim, como a trajetória é simétrica em relação ao eixo z do manipulador, o terceiro ângulo é
igual no início e no final da trajetória.
A simulação dinâmica para o modelo teórico apresentado no Capítulo IV fornece os
seguintes resultados:
(a) (b)
Figura VII.4 - Torques no modelo teórico para as trajetórias verticais.
77
Como era de se esperar o torque na junta 1 é nulo. A junta 2 inicialmente apresenta torque
maior, pois sofre ação do motor 3 e dos elos 2 e 3, mas vai diminuindo, visto que à medida em
que o ângulo 2t aumenta, os centros de massa dos elos e do motor 3 ficam mais próximos do
referencial inercial. Com o ângulo maior do que 90 graus, o torque exercido pelo elo 2 inverte o
sentido, e como ele é mais pesado que o elo 3, o torque na junta 2 passa a ser negativo. A
queda mais acentuada do torque na curva 1 pode ser explicada devido ao fato do ângulo 2 na
primeira trajetória alcançar os 90 graus mais rapidamente, como pode ser observado na Figura
VII.3.
A simulação para o protótipo apresentado no Capítulo VI necessita de pequenas
alterações no algoritmo, pois não se deve mais considerar os elos como barras delgadas, nem
admitir que os centros de massa estejam localizados no meio deles. Assim, a análise dinâmica
resultou nas seguintes curvas.
(a) (b)
Figura VII.5 - Torques no protótipo para as trajetórias verticais. Primeiramente, deve ser notado que não houve alteração característica no comportamento das
curvas. Conforme discutido no Capítulo VI, a assimetria apresentada pelo protótipo além de
provocar uma leve alteração no torque da junta 1, produziu produtos de inércia relativamente
pequenos, garantindo curvas muito próximas. Essa afirmação pode ser comprovada pela
análise isolada dos componentes da Eq. IV.17. Percebe-se que as contribuições do torque
relativas às matrizes de inércia e de Coriolis são muito pequenas se comparadas à contribuição
do torque produzido pelo vetor gravitacional.
78
Figura VII.6 - Contribuições do torque relativas às matrizes de inércia e Coriolis e vetor
gravitacional.
79
Finalmente, deve ser observado que os torques exigidos no protótipo são ligeiramente menores
do que no modelo teórico. Isso se explica porque no modelo teórico os pesos do elo e do motor
atuam a 122,9 e 245,8 mm do referencial fixo na junta 2, enquanto no protótipo, como o motor
está embutido no elo, o peso do conjunto (elo e motor) atua a 133 mm do mesmo referencial
(Figura VII.7).
Figura VII.7 - Torques no modelo teórico (acima) e no protótipo (embaixo). Exemplo VII.2. Trajetória curva A curva descrita agora é uma trajetória elíptica, que simula o passo de uma perna. Esta
trajetória foi modelada de modo que a extremidade da perna fique sempre em um plano
paralelo ao corpo do robô. O tempo de simulação foi de 2 segundos.
( )
( )
( )
15cos2
40
15sin 202
tx t
y t
tz t
π
π
= −
=
= −
Figura VII.8 - Equação paramétrica da elipse e sua curva simulada.
-20
0
20
010
2030
40-30
-20
-10
0
10
20
30
x (cm)
Trajetória da extremidade
y (cm)
z (c
m)
2m g3M g
3m g
0x
0y
0z
( )2 3m M g+3m g
0x
0y
0z
80
Figura VII.9 - Vista isométrica do movimento circular. Este exemplo difere do anterior, pois nesta trajetória o ângulo 1 varia. Como o início do
movimento se dá na parte negativa do eixo x , era de se esperar que 1t diminuísse. Por outro
lado, dada a simetria da curva, os ângulos 2 e 3 deveriam ser simétricos ao centro da trajetória,
sendo que 2t deveria ter ponto de máximo e 3t , de mínimo, o que de fato, ocorre.
Figura VII.10 - Variação angular do movimento circular.
-20
-10
0
10
20
-20-10
010
2030
40-40
-20
0
20
40
Eixo-xEixo-y
Eix
o-z
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-150
-100
-50
0
50
100
150Ângulos das juntas
grau
s
t1
t2t3
81
Figura VII.11 - Torques no modelo teórico para a trajetória elíptica.
Figura VII.12 - Torques no protótipo para a trajetória elíptica. Verifica-se que as curvas de torque para a trajetória elíptica nas juntas 2 e 3 são
simétricas, devido a simetria do movimento em relação ao eixo x . Novamente o torque 2
deveria ser mínimo no meio da trajetória, pois elos e motores estão mais próximos do corpo do
robô. O torque na junta 1, no entanto, não atende a esse padrão. De acordo com a Figura III.3,
quando a junta 1 gira no sentido horário, a sua velocidade angular é negativa. Como o
movimento se dá da esquerda para a direita, o motor 1 vai ter que girar no sentido horário. Por
outro lado, para vencer a inércia do mecanismo, a velocidade tem que aumentar em módulo,
de forma que uma aceleração negativa deve ser impressa ao sistema.
82
(a) (b)
Figura VII.13 - Junta 1 do protótipo. (a) Velocidade angular; (b) Aceleração angular. Como o vetor gravitacional não atua nesta junta, o torque depende somente das matrizes de
inércia e Coriolis e das acelerações e velocidades angulares. Portanto, o torque inicial e o final
são iguais em módulo, pois a mesma energia necessária para dar movimento ao sistema deve
ser usada para impedi-lo de se movimentar.
Exemplo VII.3. Trajetória fechada Embora esta seja mais uma curva plana, ela difere dos dois exemplos anteriores por se
tratar de uma curva fechada. A Lemniscata foi escolhida por ser uma curva fechada com
interseção. O tempo de simulação foi de 3 segundos.
( )
( )
( )
220cos
3
45sin 40
3
5
tx t
ty t
z t
π
π
= −
= +
= −
Figura VII.14 - Equação paramétrica da lemniscata e sua curva simulada.
-15-10
-50
510
15
0
20
40
60-20
-10
0
10
20
x (cm)
Trajetória da extremidade
y (cm)
z (c
m)
83
Figura VII.15 - Variação angular da curva lemniscata. Apesar de a lemniscata ser uma curva mais complexa do que a circunferência, o
comportamento dos ângulos é semelhante. Os ângulos 2t e 3t são espelhados e 1t é simétrico
no tempo.
(a) (b)
Figura VII.16 - Torques na lemniscata. (a) Modelo teórico; (b) Protótipo. Verifica-se um padrão entre este exemplo e o anterior. Novamente a junta 2 é a mais
acionada e os torques no protótipo são menores, sendo que, quando o torque 2 é máximo, o
torque 3 é mínimo, e vice versa.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-150
-100
-50
0
50
100
150Ângulos das juntas
grau
s
t1
t2t3
84
Exemplo VII.4. Trajetória helicoidal Os três exemplos anteriores caracterizaram-se por apresentarem curvas planas. Como
último exemplo de simulação dinâmica, é apresentada uma trajetória helicoidal. O tempo de
simulação foi de 20 segundos.
( ) ( )
( ) ( )
( )
0.02
0.02
9 sin 0,6
9 cos 0,6 50
42
t
t
x t e t
y t e t
tz t
−
−
=
= +
= −
Figura VII.17 - Equações paramétricas da espiral e sua curva simulada.
Figura VII.18 - Vista do plano yz do movimento.
-20-10
010
20
0
20
40
60-10
-5
0
5
10
x (cm)
Trajetória da extremidade
y (cm)
z (c
m)
-20-100102030405060-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Eixo-y
Eix
o-z
85
Figura VII.19 - Variação angular da trajetória helicoidal. (a) (b)
Figura VII.20 - Torques na trajetória helicoidal. (a) Modelo teórico; (b) Protótipo. As curvas simuladas nos exemplos VII.2 a VII.4 apresentam o mesmo padrão de
deslocamento dos elos 2 e 3, o que justifica a variação angular de 2t e 3t nas figuras VII.19,
VII.15 e VII.10. A única diferença no torque da junta 2 é que sua curva não é mais simétrica e,
necessita de um acionamento mais alto.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-150
-100
-50
0
50
100Ângulos das juntas
grau
s
t1
t2t3
86
VII.1.2. Trajetórias inspiradas na biologia Devido ao fato da locomoção por pernas permitir acesso a lugares que não podem ser
alcançados por veículos com rodas, o interesse e a quantidade de estudos vêm aumentando
significativamente. Recentemente as pesquisas vêm se inspirando na natureza, mais
precisamente em insetos, para incorporar conceitos biológicos e biomecânicos no controle de
robôs com pernas, inclusive nos bípedes, como pode ser visto em KOYACHI (2002),
ESPENSCHIED (1996) e WEIDERMANN (1994).
Quando o projeto de um robô é baseado nas características de um animal ou inseto,
uma das técnicas para modelar a trajetória de seus corpos é utilizar recursos especiais de
filmagem (BAI, 2000). Modelos e técnicas complexas de locomoção são propostos em diversos
artigos, mas esta não é a proposta deste trabalho.
A trajetória desenvolvida abaixo, retirada de KOYACHI (2002), apresenta um modelo
simples, mas bastante representativo do movimento de um louva-deus. É baseada em
equações polinomiais de quinta ordem e necessitou de pequenas adaptações nos seus
coeficientes para que pudesse ser aplicada no mecanismo desenvolvido para este trabalho. Os
detalhes específicos da elaboração desses polinômios podem ser vistos em KECSKÉS (2009)
e WOERING (2011).
( ) ( ) ( )
( )
( )
5 3
4 2
20 512 2 32 2 3 2
40
10 256 32 1
x t w T w T wT
y t
z t T T
= − − − + =
= − +
onde 0,25 0,5T t= − + . O valor de w não é especificado no artigo, mas para que pudesse haver sincronia
entre as coordenadas x e z , o valor adotado foi de 2,2w = . Cabe ressaltar que essas
equações estão inseridas dentro de um ciclo de locomoção do robô, que inclui o movimento do
corpo, mas a simulação se limitará apenas ao movimento da perna.
O comportamento das curvas x e z , é ilustrado na Figura VII.21.
87
Figura VII.21 - Comportamento das funções x e z.
A composição paramétrica resulta na seguinte trajetória.
Figura VII.22 - Trajetória representativa da perna de um louva-deus.
-20-10
010
20
0
10
20
30
40-10
0
10
20
30
x (cm)
Trajetória da extremidade
y (cm)
z (c
m)
88
Figura VII.23 - Vista no plano xz. Os respectivos ângulos das juntas são apresentados na Figura VII.24.
Figura VII.24 - Variação angular das juntas.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-10
-5
0
5
10
15
20Trajetória da extremidade
x (cm)
z (c
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-150
-100
-50
0
50
100
150Ângulos das juntas
grau
s
t1
t2t3
89
Figura VII.25 - Torques na trajetória de Koyachi para o modelo teórico.
Figura VII.26 - Torques na trajetória de Koyachi para o protótipo. Como essa trajetória é uma adaptação mais realística do movimento de locomoção, era
de se esperar que os resultados fossem ligeiramente diferentes, como pode ser constatado nas
figuras VII.24 e VII.25. O que chama a atenção é o torque mais alto para o acionamento da
junta 2, se comparados com os resultados anteriores. Isso pode ser justificado pelos
coeficientes muito elevados dos polinômios. Embora a amplitude em z seja de 10 centímetros,
que é compatível com as curvas anteriores, os coeficientes altos exercerão influência na
inércia, elevando o torque.
90
Figura VII.27 - Contribuições do torque relativas às matrizes de inércia e Coriolis e vetor
gravitacional
91
VII.2. Análise de controle
O mecanismo será equipado com motores Faulhaber, série 3257-024CR, sensor
angular HEDS 5500 e redutor, série 32/3, com redução de 1:246 acoplados. As constantes que
serão utilizadas na simulação serão apresentadas na Tabela VII.1, mas os respectivos
catálogos, com todas as especificações encontram-se no Anexo B.
As constantes mais comuns são:
• a
K : Constante de corrente [N.m/A]
• b
K : Constante da força contra-eletromotriz [V.s/rad]
• a
R : Resistência da armadura [ohm]
• n : Coeficiente de redução
• m
J : Inércia do rotor do motor [Kg.m2]
• m
f : Coeficiente de atrito viscoso [N.m.s/rad]
• a
L : Indutância da armadura [Henry]
Nem todos os valores de constantes estão com dimensões compatíveis nos catálogos, e, por
isso, houve a necessidade de convertê-los.
Tabela VII.1 - Parâmetros dinâmicos.
Parâmetro Valor Unidade
aK 0,037 N.m/A
bK 0,0377 V.s/rad
aR 1,63 ohm
n 1/246 -
mJ 741 10−⋅ Kg.m2
mf 48,761 10−⋅ N.m.s/rad
aL 42,7 10−⋅ Henry
92
Exemplo VII.5. Análise das respostas ao degrau e à rampa da Equação V.7
( ) ( ) ( )
4
9 3 6 2
1,5 10
1,1 10 6,7 10 0,0028
L
aV s s s
−
− −
Θ ⋅=
⋅ + ⋅ +
Figura VII.28 - Resposta do motor considerando a indutância.
Note-se que o sistema se comporta praticamente igual a um de primeira ordem, pois os
coeficientes de s2 e s3 são muito pequenos e não influenciam na resposta.
Exemplo VII.6. Análise das respostas ao degrau e à rampa da Equação V.8.
( ) ( )
4
6 2
1,5 10
6,7 10 0,0028
L
aV s s
−
−
Θ ⋅=
⋅ +
Figura VII.29 - Resposta do motor desconsiderando indutância.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
-3 Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018Ramp response
Am
plitu
detime (sec)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
-3 Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03Ramp response
Am
plitu
de
time (sec)
93
Verifica-se que não existe diferença entre as respostas dos exemplos VII.5 e VII.6. Isso
se deve ao fato do coeficiente de ordem 910− ser desprezível.
Exemplo VII.7. Curvas de voltagem sem carregamento nos eixos
Aplicando a Transformada de Laplace inversa na função de transferência V.8, obtém-se
uma equação diferencial na variável θ�
, em função da voltagem.
1a m a ma L b L
a a
R J R fV K
nK n Kθ θ
= + +
�� �
Isso significa que, dadas as acelerações e velocidades de rotação do eixo de carga, é possível
ter uma noção de como serão as curvas de voltagem necessárias para aplicar no motor.
Para efeito de ilustração será analisada a elipse apresentada no Exemplo VII.2. O
diagrama de blocos abaixo foi construído em ambiente Simulink® e o tempo de simulação, 2
segundos.
Figura VII.30 - Voltagem em função dos ângulos desejados.
V Junta 1
V Junta 3
V Junta 2
Gv3
-K-
Gv2
-K-
Gv1
-K-
Ga3
-K-
Ga2
-K-
Ga1
-K-
Elipse
In1
Out1
Out2
Out3
Out4
Out5
Out6
Out7
Out8
Out9
Clock
2
Cinematica
x
y
z
xdot
ydot
zdot
x2dot
y 2dot
z2dot
dq1
d2q1
dq2
d2q2
dq3
d2q3
94
Figura VII.31 - Voltagem no eixo de saída sem carregamento.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Voltagem - Junta 1
tempo (seg)
Vol
ts
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Voltagem - Junta 3
tempo (seg)
Vol
ts
95
Exemplo VII.8. Curvas de voltagem com carregamento nos eixos
Procedendo de forma análoga ao exemplo anterior, é possível obter uma expressão que
considere também o torque no eixo de saída. A única diferença é que deve ser considerada a
inércia da carga e o atrito viscoso na junta.
1a eff a eff aa L b L
a a a
R J R f nRV K
nK n K K
τθ θ
= + + +
�� �
O valor adotado para o coeficiente de atrito viscoso nas juntas foi arbitrado, enquanto
que a inércia efetiva do sistema foi baseada na avaliação realizada através do Solidworks.
0.5
Lf Nms rad= e 21
LJ Kg m= ⋅
Foram adotados os mesmos valores para as três juntas e a curva simulada foi a mesma do
exemplo anterior.
Figura VII.32 - Voltagem no eixo de saída com carregamento.
V Junta 3
V Junta 2
V Junta 1
Ganhos _Vel
vel
vel 1
vel 2
vel 3
Ganhos _Acel
acel
acel1
acel2
acel3
GT 3
-K-
GT 2
-K-
GT 1
-K-
EmbeddedMATLAB Function
dad
ad
ddad
T1
T2
T3
torque
Elipse
In1
Out1
Out2
Out3
Out4
Out5
Out6
Out7
Out8
Out9
Clock
2
Cinematica
x
y
z
xdot
ydot
zdot
x2dot
y 2dot
z2dot
vel
ang
acel
Add 2
Add 1
Add<signal7>
<signal4>
<signal1>
<signal2>
<signal5><signal5>
<signal8>
<signal3><signal3>
<signal6>
<signal9>
96
Figura VII.33 - Voltagem no eixo de saída com carregamento.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2Voltagem - Junta 1
tempo (seg)
Vol
ts
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20Voltagem - Junta 2
tempo (seg)
Vol
ts
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Voltagem - Junta 3
tempo (seg)
Vol
ts
97
Graficamente, não se percebe diferença entre as figuras VII.31 e VI.33, pois tanto a
inércia do mecanismo, quanto o atrito viscoso das juntas estão multiplicados pelo fator 2n , que
é extremamente pequeno. Para efeito de comparação entre os dois exemplos a Tabela VII.2
apresenta alguns valores de voltagens na junta 2.
Tabela VII.2 - Comparativo de voltagens na junta 2.
Tempo (s) Voltagem sem torque Voltagem com torque 0 16,6259 17,0826
0,04 16,7474 17,1795 ... ... ...
1,96 -16,7359 -16,4636 2 -16,6080 -16,3099
Exemplo VII.9. Análise das respostas ao degrau e à rampa da Equação V.11.
A Equação V.11 é o resultado, em malha fechada, do controle proporcional-derivativo
aplicado no motor DC. Para viabilizar o seu estudo é preciso estimar os valores de ganhos de
posição e velocidade, conforme as equações V.15, V.16 e V.17. Os parâmetros usados foram,
100n
rad sω = ; 1,2ξ = , 9,086 VP
K = e 0,1051 V.sD
K = .
( )( )5 2
0,0039 0,3362
3,4 10 0,0067 0,3362
L
d
L
s
s s−
+Θ=
Θ ⋅ + +
Figura VII.34 - Resposta do ângulo real em função do desejado.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Ramp response
Am
plitu
de
time (sec)
98
Exemplo VII.10. Controle da perna em uma trajetória elíptica para o modelo teórico.
Figura VII.35 - Controlador.
Serão simuladas duas situações, uma com a extremidade da perna perto do início da
trajetória, e a outra com a extremidade mais distante. A condição inicial para esta trajetória são
as coordenadas [ ]1,9296 0,8273 1,8943T
θ = −�
em radianos. As matrizes de ganhos
proporcional e derivativo foram calculadas de acordo com V.23, para 0,9ξ = e apresentam as
mesmas dimensões do exemplo anterior.
100 0 0
0 144 0
0 0 400
PK
=
,
18 0 0
0 21,6 0
0 0 36
DK
=
Segundo QUARTERONI (2007), o método ODE 45, embora seja o mais preciso, nem
sempre apresenta os melhores resultados. Os testes feitos com o controlador para este
exemplo mostraram-se mais confiáveis com o método ODE 23.
Primeiro, admita que [ ]1,9199 0,8273 1,9199T
θ = −�
.
Tacômetro
Scope 3
Scope 2
Scope 1
Saturation
Robô
Tc
ar
dar
ddarrobot
Integrator 1
1sxoIntegrator
1sxo
Gerador deTrajetórias
vel
ang
acel
Encoder
Controlador
dad
ad
ddad
ar
dar
Tc
erro_dt
erro_ang
controlador
C.I. x'
[3x1]
C.I. x
-C-
99
Figura VII.36 - Ângulo real (modelo teórico) para posição próxima do início da trajetória.
100
Figura VII.37 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no modelo teórico.
101
Agora, considere [ ]1,5708 0,8273 2,3562T
θ = −�
Figura VII.38 - Ângulo real (modelo teórico) para posição distante do início da trajetória.
102
Figura VII.39 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no modelo teórico.
103
Observe que como a extremidade estava muito distante do ponto de partida da
trajetória, o manipulador foi obrigado a fazer um movimento brusco em um curto intervalo de
tempo. O resultado é que o torque de controle nos primeiros instantes ultrapassa o limite do
redutor, que é de 7 Nm, e por isso foi necessário o uso da saturação na função do controlador.
Mesmo assim, o sistema de controle mostrou-se robusto o suficiente para seguir a trajetória
desejada.
Exemplo VII.11. Controle da perna em uma trajetória elíptica para o protótipo.
Serão utilizados os mesmos critérios e parâmetros do exemplo anterior. O diagrama de
blocos é igual ao da Figura VII.35, salvo as alterações necessárias no algoritmo para a
aplicação no protótipo. O ponto inicial da trajetória, em radianos, é dado por
[ ]1,9296 0,8273 1,8943T
θ = −�
sendo as condições iniciais e finais, também em radianos, respectivamente iguais a
[ ]1,9199 0,8273 1,9199T
θ = −�
na primeira simulação, e
[ ]1,5708 0,8273 2,3562T
θ = −�
na segunda. As matrizes de ganhos proporcional e derivativos utilizadas na simulação também
serão as mesmas
100 0 0
0 144 0
0 0 400
PK
=
18 0 0
0 21,6 0
0 0 36
DK
=
Os resultados obtidos na primeira simulação são:
104
Figura VII.40 - ângulo real no protótipo para posição próxima do início da trajetória.
105
Figura VII.41 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no protótipo.
106
Para a segunda simulação os resultados obtidos foram:
Figura VII.42 - ângulo real no protótipo para posição distante do início da trajetória.
107
Figura VII.43 - Torque de controle e erros de posição e velocidade no protótipo.
108
Verifica-se um comportamento muito semelhante entre os resultados obtidos pelo
modelo teórico e o protótipo com relação a erros de posição e velocidade, assim como na
variação angular. Como já era previsto, os torques exigidos no protótipo são relativamente
menores, de forma que na segunda simulação, quando a posição inicial da extremidade da
perna está distante do início da trajetória, não se fez mais necessário o uso de saturação na
função do controlador.
109
Capítulo VIII - Conclusões e Trabalhos Futuros
O presente trabalho apresentou uma proposta de mecanismo de três graus de liberdade
para ser utilizada como perna de um robô hexápode.
A partir de um estudo dos tipos de robôs dotados de pernas, no qual foram abordados
aspectos básicos de instrumentação, a evolução dos protótipos e os projetos de modelos
desenvolvidos para as pernas, foi possível elaborar um modelo teórico que permitiu o
desenvolvimento de algoritmos para a cinemática inversa, equações dinâmicas e controle.
Com o modelo matemático definido e com a garantia de estabilidade do sistema,
trajetórias foram simuladas por meio de rotinas em MATLAB® e Simulink®. A coerência dos
resultados foi a motivação para o desenvolvimento do projeto mecânico proposto no Capítulo
VI.
O mecanismo foi desenvolvido em ambiente Solidworks®, que através de uma análise
estrutural, fornece, além das informações básicas, como comprimento e massa dos elos, as
respectivas matrizes de inércia.
Os algoritmos desenvolvidos para o torque dinâmico e para o controle precisaram ser
adaptados, pois a estrutura do mecanismo projetado difere um pouco do modelo teórico no que
diz respeito à posição dos motores e localização dos centros de gravidade. Novas rotinas
foram simuladas e os resultados se mostraram satisfatórios e compatíveis com os resultados
obtidos para o modelo teórico.
O controlador foi projetado segundo a técnica de torque computado e exigiu o
conhecimento do modelo mecânico do sistema. As simulações foram capazes de seguir uma
trajetória especificada, mesmo quando houve a necessidade de usar saturação.
Conclui-se, portanto, que esses algoritmos podem ser utilizados para produzir os
movimentos de locomoção de um robô com o mecanismo desenvolvido neste trabalho.
As etapas futuras que se seguirão após a conclusão deste trabalho consistem em:
• Realizar os cálculos estruturais do mecanismo.
• Fazer os desenhos de fabricação das peças mecânicas do mecanismo.
• Construir um primeiro protótipo e realizar testes experimentais para validar os
algoritmos de controle.
110
Como sugestão de trabalhos futuros, podem ser citados alguns aspectos que não foram
abordados:
• Aprimorar os programas para trabalharem com curvas singulares. Com isso, objetiva-se
que o robô possa andar de cabeça para baixo e que novos algoritmos de controle sejam
elaborados.
• Inserir ao controlador um algoritmo adaptativo utilizando técnicas de inteligência
artificial, visando otimizar os parâmetros das matrizes de ganho proporcional e
derivativo.
• Implementar no sistema de controle não linearidades, como folga, atrito nas juntas e
flexibilidade dos elos.
• Desenvolver um projeto mecânico para o pé do robô.
111
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WOERING, I.; Simulating the “First Steps” of a Walking Hexapod Robot, Master’s Thesis,
Technische University Eindhowen, 2011.
YEAPLE, J. A. Robot Insects. Popular Science, Canada, March 1991.
YOUNSE, P.; AGHAZARIAN, H.; “Steerable Hopping Six-Legged Robot”. In: Proc. of the Space
Exploration Technologies, 2008.
123
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Lyapunov
A abordagem mais útil e geral para estudar a estabilidade de sistemas não-lineares
deve-se ao matemático russo Alexandr Lyapunov e data do século XIX. Seu trabalho propôs
dois métodos de análise: o método da linearização e o método direto. O primeiro trata do
estudo da estabilidade local próximo ao ponto de operação do sistema não-linear, enquanto
que o segundo método, que não é restrito ao movimento local, consiste no estudo da
estabilidade através da construção de uma função variável no tempo.
Este anexo tratará somente os conceitos relativos ao segundo método de Lyapunov, ou
método direto, e será dado enfoque específico a sistemas não-autônomos (que dependem do
tempo). As definições e teoremas apresentados abaixo são fundamentais para o entendimento
da teoria de Lyapunov e podem ser encontradas, com maiores riquezas de exemplos e
detalhes em KHALIL (1996), KELLY (2005), SLOTINE (1991) e LEWIS (2004).
A.1. Definições de estabilidade Definição A.1. Um sistema dinâmico não-linear e não-autônomo pode ser representado por um
conjunto de equações não-lineares da forma
( ),x f x t=�� �
(A.1)
onde [ ]
1nf
× é uma função vetorial, [ ]
1nx
×� é o vetor de estados e t é o tempo.
Definição A.2. Um vetor constante nx R∈
� é um ponto de equilíbrio, ou um estado de equilíbrio
do sistema, se
( ), 0f x t =� �
, 0t∀ ≥ (A.2)
Definição A.3. A origem é um equilíbrio estável da Eq. A.1, no sentido de Lyapunov, se para
todo 0ε > e 0 0t ≥ , existir ( )0, 0tδ δ ε= > tal que
( )0x t δ<�
⇒ ( )x t ε<�
, 0 0t t∀ ≥ ≥ (A.3)
124
Figura A.1 - Noção de estabilidade (KELLY, 2005).
Definição A.4. A origem é dita uniformemente estável se, para todo 0ε > existir ( ) 0δ δ ε= > ,
independente de 0t , tal que A.3 seja satisfeita.
Definição A.5. A origem é um equilíbrio assintoticamente estável se, além de ser estável,
existir ( )0 0tδ δ′ ′= > tal que:
( )0x t δ ′<�
⇒ ( ) 0x t →� �
quando t → ∞ (A.4)
Figura A.2 - Estabilidade assintótica (KELLY, 2005).
Definição A.6. A origem é dita uniformemente assintoticamente estável se for uniformemente
estável e existir 0δ ′ > , independente de 0t , que satisfaça A.4.
125
Definição A.7. A origem é dita uniformemente assintoticamente estável globalmente se: (i) é uniformemente estável e ( )δ ε → ∞ , quando ε → ∞ ;
(ii) para todo ( )0x t�
, ( ) 0x t →�
quando 0t → , independentemente de 0t .
A.2. Funções de Lyapunov Definição A.8. Seja W uma função contínua. Então, (i) : n
W R R+→ é dita localmente definida positiva se ( )0 0W =�
e ( ) 0W x >�
para valores
pequenos de 0x ≠�
.
(ii) : n
W R R→ é dita globalmente definida positiva (negativa) se ( )0 0W =�
e ( ) 0W x >�
( )( )0W x <�
para 0x∀ ≠�
.
(iii) : n
W R R→ é dita radialmente ilimitada, se ( )W x → ∞�
quando t → ∞ .
(iv) : n
W R R R+× → é decrescente se existe uma função : nT R R+→ definida positiva tal que
( ) ( ),W x t T x≤� �
, nx R∀ ∈�
.
De acordo com o exposto acima e com a Definição IV.4, pode-se concluir que uma
função quadrática : nf R R→ , da forma
Tf x P x= ⋅ ⋅� �
é definida positiva se, e somente se, [ ]
n nP
×, também for definida positiva.
Definição A.9. Uma função ( ),V x t
� é dita função candidata de Lyapunov para a origem do
sistema definido pela Eq. A.1 se for localmente definida positiva e suas derivadas parciais com
respeito às variáveis de estado e ao tempo forem contínuas.
Definição A.10. Uma função candidata de Lyapunov ( ),V x t
� é uma função de Lyapunov se a
sua derivada total no tempo ao longo das trajetórias da Eq. A.1 satisfaz
( ), 0V x t ≤��
para valores pequenos de x
�.
126
A.3. Método direto de Lyapunov
Dentre os diversos resultados existentes sobre a teoria de Lyapunov, o mais importante
para este trabalho é o teorema da Estabilidade Assintótica Global, enunciado a seguir.
Teorema A.1. (Estabilidade Assintótica Global): A origem da Eq. A.1 é globalmente
assintoticamente estável se existe uma função candidata de Lyapunov ( ),V x t�
, radialmente
ilimitada, globalmente definida positiva, tal que sua derivada no tempo seja globalmente
definida negativa.
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