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MODELAGEM E IMPLEMENTACAO DE UM SISTEMA BALL AND PLATECONTROLADO POR SERVO-VISAO
Rafael da Silveira Castro∗, Jacson Miguel Olszanecki Barth∗, Jeferson Viera Flores∗,Aurelio Tergolina Salton∗
∗PUCRS - Grupo de Automacao e Controle de SistemasAv. Ipiranga, 6681, 90619-900
Porto Alegre (RS), Brasil
Emails: [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
Abstract— This paper presents the construction and control of a Ball and Plate system. The constructedprototype aims to balance a free rolling ball on a platform by orienting the plate. The Linear Quadratic GaussianControl theory is applied on this project. The ball sensing method uses a position-based servo-vision algorithm.Experimental results illustrate the system behavior following different trajectories.
Keywords— Ball and Plate System, Dynamic Modelling, Digital Control, LQG, Servo-Vision.
Resumo— Este artigo apresenta a construcao e o controle de um sistema Ball and Plate. O prototipo cons-truıdo tem o objetivo de regular a posicao ou trajetoria de uma esfera rolante sobre uma plataforma pelo comandoda orientacao desta placa. A teoria de controle Linear Quadratic Gaussian e aplicada neste projeto e o monito-ramento do sistema utiliza o metodo de servo-visao baseado em posicao. Os resultados comprovam a eficienciado sistema no seguimento de diferentes trajetorias.
Palavras-chave— Sistema Ball and Plate, Modelagem Dinamica, Controle Digital, LQG, Servo-Visao.
1 Introducao
O desafio de controle de sistemas de equilıbrio estaem constante estudo pela ciencia, para aplicacoesque variam da robotica ate o transporte (Andrewset al., 2004). Neste contexto destaca-se a manipu-lacao de uma esfera rolante sobre uma plataformaorientavel, sistema conhecido como Ball and Plate(Bola e Placa). Implementacoes praticas deste sis-tema sao muito utilizadas como ferramentas labo-ratoriais para fins educacionais bem como parapesquisas no ramo de engenharia de controle (Keret al., 2007).
O objetivo principal do controle de um sis-tema Ball and Plate e permitir o posicionamentoda esfera em qualquer ponto da placa, alem deimpor a bola o seguimento de trajetorias. Estatarefa deve ser realizada apenas pela alteracao daorientacao da plataforma.
Em geral, a estrutura mecanica dos sistemasBall and Plate encontrados na literatura possuemum plataforma inclinavel em ambos os eixos lon-gitudinal e latitudinal. Muitos destes projetosutilizam motores de corrente contınua (Andrewset al., 2004; Wang et al., 2007; Awatar et al., 2002)ou servo-motores (Zia, 2011; Braescu et al., 2012).A vantagem na utilizacao deste ultimo e o baixocusto e a praticidade para aplicacao no projeto,dado que estes dispositivos ja possuem interna-mente um controle em malha-fechada, em contra-partida aos projetos com motores tradicionais. Adesvantagem na utilizacao dos servos e a poucadisponibilidade de potencia para construcao de es-truturas de maior porte. Apesar da preferencia
pelos motores em implementacoes Ball and Platepodem ser encontrados projetos com atuadores li-neares magneticos (Ker et al., 2007), alem de umbraco robotico para orientacao direta da plata-forma (Park and Lee, 2003; Lee et al., 2008).
Diversas teorias de controle ja foram aplicadaspara o controle do sistema em questao. Waldwogel(2010) realiza a comparacao entre os metodos Pro-portional Integral Derivative (PID), Linear Qua-dratic Gaussian (LQG), Model Predictive Control(MPC ) para trajetorias quadradas e circulares.Seus resultados comprovam um menor erro de se-guimento nos controles LQG e MPC em relacaoao PID, no entanto pouca diferenca entre MPC eLQG. Este ultimo, contudo leva certa vantagempela maior facilidade em sua sıntese e melhor efi-ciencia computacional que o MPC. Entre outrasestrategias ja aplicadas com sucesso para o con-trole de sistemas Ball and Plate estao: Backstep-ping Control (Moarref et al., 2008), Sliding-ModeControl (Park and Lee, 2003) e Auto-DisturbanceRejection Controller (ADCR) (Duan et al., 2009).
Um dos principais fatores para o sucesso daimplementacao de um controle para o sistema Balland Plate e a tecnica de sensoriamento da esfera.Para viabilizacao desta tarefa a literatura esta di-vidida principalmente entre dois metodos distin-tos. Uma destas maneiras consiste na utilizacaode uma tela sensıvel ao toque (touch screen dis-play) acoplado ou constituindo a placa (Andrewset al., 2004; Zia, 2011; Braescu et al., 2012; Awa-tar et al., 2002). O outro metodo largamenteutilizado e o monitoramento por um disposi-tivo de aquisicao de imagens como uma webcam
(Park and Lee, 2003; Wang et al., 2007; Moarrefet al., 2008; Waldwogel, 2010). O display touchscreen apresenta vantagem de permitir um pe-rıodo de amostragem menor que o tempo de aqui-sicao de quadros das webcams comerciais, alem denao necessitar da logica extra de processamentode imagem. A utilizacao da webcam constitui umasolucao mais complexa, no entanto mais versatil ecom menor custo que a solucao com tela de toque.
Este trabalho contribui com a modelageme implementacao fısica de um aparato Ball andPlate composto por uma placa orientavel atuadapor dois servo-motores (ver Figura 1). A estrate-gia de controle adotada basicamente segue a me-todologia LQG e o monitoramento da esfera e rea-lizado por servo-visao position-based, que consistena determinacao da posicao cartesiana da esferasobre a placa pelas imagens adquiridas da camera(Park and Lee, 2003).
Figura 1: Prototipo Ball and Plate desenvolvido.
2 Estrutura Fısica
Esta secao apresenta os aspectos fısicos do sistemaBall and Plate desenvolvido, incluindo descricoesdos dispositivos utilizados e detalhes do projetoda plataforma orientavel.
2.1 Dispositivos do Sistema
O sistema desenvolvido funciona pela interacao dediversos dispositivos, conforme apresentado na Fi-gura 2.
Microsoft VX-800 Webcam
PC - MATLAB
Arduino Mega 2560
HXT Hobby Servos
()
(Imagem de topo da placa)
(Posição de referência dos motores)
(Comando PWM dos motores)
Figura 2: Diagrama dos dispositivos do sistema.
A webcam Microsoft VX-800 utilizada possuitaxa de aquisicao constante de 30 quadros por se-gundo a resolucao de 640x480 pixels. Para o pro-cessamento das imagens e controle do sistema foiutilizado um PC via o software MATLAB. Uma
placa Arduino Mega 2560 realiza a interface decomunicacao entre o computador e os dispositi-vos de atuacao do sistema. Estes atuadores saoservo-motores Hextronik HXT12K com controlede posicao interno em malha-fechada.
2.2 Projeto da Plataforma Orientavel
A plataforma do sistema e uma chapa de acrılicode 280x280mm e espessura de 4mm. Esta placae fixada em seu centro por uma junta universalpara restringir a movimentacao. A orientacao ecomandada por dois bracos articulados, cada umconectado ao eixo do motor e a placa por outrasduas juntas universais. O esquematico na Figura3 apresenta simultaneamente as vistas frontal elateral do mecanismo.
Para utilizacao desta plataforma orientavel nocontrole do sistema Ball and Plate foi realizada amodelagem cinematica do mecanismo de modo aencontrar relacoes matematicas para as posicoesangulares θα e θβ dos servo-motores em funcao daorientacao espacial α e β da plataforma.
Pela analise geometrica do mecanismo demovimentacao da placa, conforme Figura 3,determina-se as seguintes relacoes cinematicassimplificadas do sistema:
d1 sen(θα) = d3 sen(α) ,
d1 sen(θβ) = d3 sen(β) .
3 Modelagem Dinamica
Esta secao apresenta as equacoes dinamicas do sis-tema Ball and Plate e a representacao de modelosno espaco de estados. Estes modelos obtidos saoutilizados para o projeto do controle da planta.
3.1 Equacoes Diferenciais do Sistema
Para obtencao de um modelo de equacoes dife-renciais da dinamica do sistema e conveniente aaplicacao da Mecanica Lagrangiana (Deriglazov,2010) pela derivacao da seguinte expressao gene-rica (Equacao de Euler-Lagrange):
d
dt
∂L
∂qi− ∂L
∂qi= Qi . (1)
Este metodo consiste em determinar uma funcaoLangrangiana L(qi,qi) = T (qi,qi)− V (qi) em fun-cao das coordenadas generalizadas ou graus de li-berdade do sistema qi e suas taxas de variacaoqi, onde T e a energia cinetica total do sistema eV a energia potencial total. O termo dissipativoQi em (1) representa uma forca composta externaatuante no sistema.
A energia cinetica total T do sistema e deter-minada pela soma das energias cineticas de trans-lacao Tt e de rotacao Tr. A energia de translacaodepende da massa mB da esfera e das velocidades
Figura 3: Esquematico do sistema Ball and Plate.
lineares xB e yB que o objeto translada, pela rela-cao Tt = 1
2 mB
(xB
2+yB2), ja a energia de rotacao
depende do momento de inercia IB da esfera e dasvelocidades angulares ωx e ωy que o objeto rota-ciona, segundo a relacao Tr = 1
2 IB(ωx
2 + ωy2).
Sendo o raio rB da esfera conhecido, pode-se reescrever Tr em funcao das velocidades li-neares xB e yB pela utilizacao das igualdadesωx = xB/rB e ωy = yB/rB . O momento deinercia IB tambem pode ser escrito pela expressaoIB = 2
5 mB rB2, supondo uma esfera compacta.
A energia potencial total V do sistema e dadapela incidencia da forca gravitacional conforme arelacao V = mB g
(xB sen(α) + yB sen(β)
).
Construindo a funcao Lagrangiana pelas defi-nicoes anteriores e aplicando na Equacao de Euler-Lagrange em (1) para qi = [xB yB ] e Qi = [Fx Fy]obtem-se as seguintes equacoes diferenciais quedescrevem a movimentacao da esfera:
75 xB(t) + g sen
(α(t)
)= 1
mBFx(t),
75 yB(t) + g sen
(β(t)
)= 1
mBFy(t).
Visto que sera trabalhado com inclinacoes pe-quenas na placa (±25) e valido simplificar:sen(α(t)) ≈ α(t) e sen(β(t)) ≈ β(t).
Ja as forcas dissipativas Fx(t) e Fy(t) podemser escritas como
Fx(t) = −fc xB(t) + dx(t) ,
Fy(t) = −fc yB(t) + dy(t) ,
onde fc e o fator de atrito cinetico entre a esferae placa e dx(t) e dy(t) sao forcas de disturbiosatuantes na esfera.
Para modelar a movimentacao α(t) e β(t) emfuncao de suas referencias rα(t) e rβ(t) sera as-sumido relacoes de segunda ordem genericas, comfrequencia natural ωn e fator de amortecimento ξ,conforme:
α(t) + 2 ξ ωn α(t) + ωn2 α(t) = ωn
2 rα(t) ,
β(t) + 2 ξ ωn β(t) + ωn2 β(t) = ωn
2 rβ(t) .
3.2 Modelos em Espaco de Estados
Para aplicacao das tecnicas de projeto de controleforam obtidos dois modelos em espaco de estadosa partir das equacoes diferenciais do sistema.
Ambos os modelos obtidos possuem sinais deentrada ux(t) = rα(t) e uy(t) = rβ(t), alem desinais de saıda zx(t) = xB(t) e zy(t) = yB(t).
Para simplificar a notacao segue que ux|y(t)denota tanto ux(t) quanto uy(t), da mesma formaque zx|y(t) denota tanto zx(t) quanto zy(t). Amesma notacao sera aplicada aos vetores de esta-dos de cada modelo.
• Modelo Basico: Desconsidera a dinamicados motores, assumida como muito mais ra-pida que a dinamica da esfera. Neste caso,as referencias rα(t) e rβ(t) sao exatamente osangulos reais, respectivamente α(t) e β(t) daplaca. Tambem desconsidera a presenca dosdisturbios externos dx(t) e dy(t). Esta repre-sentacao contempla as caracterısticas basicasdo sistema, portanto foi utilizada para o pro-jeto da realimentacao de estados (LQR). Omodelo basico e definido por vetores de esta-dos ϕx|y(t) conforme as relacoes:
ϕx|y(t) = Aϕ ϕx|y(t) +Bϕ ux|y(t) ,
zx|y(t) = Cϕ ϕx|y(t) ,
ϕx =
[xBxB
], ϕy =
[yByB
], Cϕ =
[1 0
],
Aϕ =
[0 1
0 − 57fcmB
], Bϕ =
[0− 5
7g
],
• Modelo Aumentado: Considera a dina-mica da esfera e a dinamica do mecanismode movimentacao da placa. Tambem pos-sui estados adicionais que incluem os distur-bios dx(t) e dy(t) assumidos constantes, isto e,
dx(t) ≈ 0 e dy(t) ≈ 0. Esta representacao foiutilizada no projeto do observador de estados(Filtro de Kalman) que requer um modelo re-lativamente preciso para a qualidade das esti-macoes. O modelo aumentado e definido porestados σx|y(t) conforme as expressoes:
σx|y(t) = Aσ σx|y(t) +Bσ ux|y(t) ,
zx|y(t) = Cσ σx|y(t) ,
σx =
xBxBααdx
, σy =
yByBβ
βdy
, Bσ =
000ωn
2
0
,
Aσ =
0 1 0 0 0
0 − 57
fcmB
− 57g 0 5
71
mB
0 0 0 1 00 0 −ωn
2 −2ξωn 00 0 0 0 0
,Cσ =
[1 0 0 0 0
].
Os estados ϕx|y(t) do modelo basico e os estadosσx|y(t) do modelo aumentado estao relacionadospela seguinte expressao:
ϕx|y(t) = Eσ σx|y(t) ,
Eσ =
[1 0 0 0 00 1 0 0 0
].
(2)
3.3 Discretizacao dos modelos
Visando a aplicacao de tecnicas de controle emtempo discreto, os modelos contınuos foram con-vertidos para a representacao
ϕx|y(k + 1) = Aϕ ϕx|y(k) + Bϕ ux|y(k) ,
σx|y(k + 1) = Aσ σx|y(k) + Bσ ux|y(k) ,
onde k e o numero da amostra dado por k = t/Tssendo Ts o perıodo de amostragem do sistema.
Para encontrar as matrizes Ai e Bi dos mo-delos discretos em funcao das matrizes Ai e Bidos modelos contınuos (para i = ϕ|σ) de formaa atender a igualdade k = t/Ts pode-se aplicar aformula de Discretizacao Exata (DeCarlo, 1995)Φi = eTsΩi , onde Φi e Ωi sao:
Φi =
[Ai Bi0 I
], Ωi =
[Ai Bi0 0
].
4 Projeto do Controle
O controle do sistema e realizado pelo metodo Li-near Quadratic Gaussian (LQG) (Dorato et al.,1995) que consiste na combinacao de uma reali-mentacao otima de estados pelo Linear QuadraticRegulator (LQR) com um observador otimo de es-tados pelo Filtro de Kalman.
4.1 Realimentacao de Estados - LQR
A lei de controle que regula o sistema consiste narealimentacao dos estados estimados ϕx|y(k) porum vetor de ganhos K, conforme a equacao
ux|y(k) = −K ϕx|y(k) +Gr rx|y(k) , (3)
onde as referencias rx|y(k) sao as respectivas posi-coes zx|y(k) desejadas na esfera e Gr e o fator decorrecao, calculado por
Gr =(Cϕ (I −Aϕ + BϕK)−1 Bϕ
)−1,
para obtencao de ganho DC unitario entre as re-ferencias rx|y(k) e as saıdas zx|y(k).
O controlador LQR consiste na solucao do ve-tor de ganhos K que minimiza o funcional de custo
JLQR =∞∑k=0
(ϕ
′
x|yQϕx|y + u′
x|yRux|y
)em funcao de matrizes Q e R que penalizam aenergia dos estados do sistema e dos sinais de con-trole, respectivamente.
O ganho K otimo que minimiza JLQR e cal-culado pela expressao
K = (R+ B′
ϕPBϕ)−1B′
ϕPAϕ ,
onde a variavel P e a solucao para a seguinte Equa-cao de Riccati :
P = A′
ϕ(P − PBϕ(R+ B′
ϕPBϕ)−1B′
ϕP )Aϕ +Q .
Esta ultima equacao nao possuı solucao analıtica,logo foi utilizada a funcao “dare” do softwareMATLAB para a resolucao numerica.
As matrizes de penalizacao Q e R foram cons-truıdas conforme Q = diag(q1,q2) e R = r1, ondeq1 representa a importancia na minimizacao doerro de posicao da esfera, q2 representa a impor-tancia na minimizacao das oscilacoes para evitarelevado sobre-sinal e r1 a importancia na minimi-zacao da amplitude da atuacao de controle paraevitar a saturacao.
4.2 Observador de Estados - Filtro de Kalman
A estimacao σx|y(k) dos estados reais σx|y(k) erealizada pela predicao a priori (segundo o modeloaumentado sistema) pela equacao
σx|y(k)priori
= Aσ σx|y(k − 1) + Bσ ux|y(k − 1)
e pela correcao a posteriori por um vetor de ga-nhos L, conforme a expressao
σx|y(k)posteriori
= σx|y(k)priori
+ Lex|y(k) ,
onde o termo ex|y(k), expresso por
ex|y(k) = zx|y(k)− Cσσx|y(k)priori
,
significa o erro entre as saıdas medidas e estimadasa priori pelo modelo.
Para extrair os estados estimados ϕx|y(k) re-queridos pela lei de controle em (3) a partir dosestados estimados σx|y(k) basta aplicar a relacaoem (2).
O ganho L otimo (ganho de Kalman) e en-contrado pela minimizacao do funcional de custo
JKalman =∞∑k=0
(σx|y − σx|y
)2.
Supondo que as medicoes possuem ruıdo v(k), queos estados do modelo possuem incerteza w(k) e queambos v(k) e w(k) possuem distribuicao gaussiana,com media zero e matrizes de covariancia V e W ,respectivamente, calcula-se o ganho otimo L queminimiza JKalman pela expressao
L = AσPC′
σ(CσPC′
σ + V )−1
onde P , neste caso, e a solucao para a seguinteEquacao de Riccati
P = Aσ(P − PC ′
σ(CσPC′
σ − V )−1CσP )A′
σ +W,
a qual novamente foi resolvida pela funcao “dare”do software MATLAB.
As matrizes de covariancia W e V foram de-finidas conforme W = diag(w1,w2,w3,w4,w5) eV = v1, onde aumentando os valores em V e dimi-nuindo em W confia-se mais na predicao do mo-delo, ja diminuindo V e aumentando W confia-semais nas medicoes.
5 Processamento de Imagens
Para a medicao da posicao da bola sobre aplaca foi desenvolvido um metodo de servo-visaoposition-based, que consiste na determinacao dascoordenadas reais xB e yB pelos pixels das ima-gens. O algoritmo foi programado no softwareMATLAB que oferece suporte para comunicacaocom a camera e funcoes para tratamento das ima-gens.
A deteccao na imagem da posicao bola edos cantos e a primeira etapa do processamento.Para isto, as imagens no espaco de cores ori-ginal sao convertidas para o formato binario(preto e branco), utilizando a funcao “im2bw” doMATLAB . Entao e determinado o centroide e aarea de cada objeto pela funcao“regionprops”. Aarea tem a funcao de diferenciar a bola dos cantos.
A segunda etapa consiste em aplicar relacoesgeometricas para determinar a posicao fısica daesfera sobre a plataforma de acordo com a locali-zacao observada na imagem dos cantos da placa.
6 Resultados
Nesta secao serao apresentados os resultados ex-perimentais para os seguintes cenarios:
• (a) Ondas quadradas de referencia para ascoordenadas xB e yB com perıodo de 150amostras, amplitude 70mm e defasagem de90 entre as coordenadas para gerar uma tra-jetoria em formato quadrado.
• (b) Ondas senoidais de referencia para as co-ordenadas xB e yB com perıodo de 70 amos-tras, amplitude 100mm e defasagem de 90
entre as coordenadas para gerar uma trajeto-ria em formato circular.
Os parametros do prototipo e as configura-coes para sıntese do controle LQG estao apre-sentados na Tabela 1. Para tais valores fo-ram obtidos os ganhos K =
[−1,92 −0,85
]para a realimentacao de estados e L =[0,94 9,11 −3,34 32,83 0,38
]′para o obser-
vador de estados.O controle foi implementado em tempo dis-
creto em um PC, pelo software MATLAB, com pe-rıodo de amostragem Ts de 0,0338 s, onde 0,0334 scorresponde ao perıodo de aquisicao da camera e0,0004 s ao tempo de processamento. O atraso de
Tabela 1: Parametros do sistema.
Sımbolo Valor Sımbolo ValormB 0,02 kg q1 4,6rB 0,0125m q2 0,48ωn 15 rad/s r1 1ξ 1 w1 1fc 0,02Ns/m w2 1g 9,81m/s2 w3 2000d1 0,03m w4 2000d2 0,14m w5 2d3 0,05m v1 10
transporte devido a este tempo de processamentoe desprezıvel em relacao a dinamica do sistema.
Os graficos subsequentes (Figuras 4, 5, 6 e 7)apresentam em linha contınua a resposta real damovimentacao da esfera e em linha tracejada atrajetoria de referencia.
1 3 4 5 6 7 8 9
−100
−50
0
50
100
x B [m
m]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−100
−50
0
50
100
tempo [s]
y B [m
m]
Figura 4: Resposta temporal no cenario (a).
−120 −80 −40 0 40 80 120
−80
−40
0
40
80
120
xB [mm]
y B [m
m]
Figura 5: Trajetoria nos cenario (a).
Pela analise do resultado no cenario (a), nasFiguras 4 e 5, pode-se avaliar a resposta ao de-grau do sistema, com tempo de acomodacao emtorno de 1 s, alem de mınimo sobre-sinal e erro deregime.
No cenario (b) foram aplicadas referencias se-noidais com perıodo de 2 s. Verificou-se nas Fi-guras 6 e 7 pequenos erros de fase e amplitude,dado que nenhuma metodologia de seguimento de
1 3 4 5 6 7 8 9
−100
−50
0
50
100
x B [m
m]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−100
−50
0
50
100
tempo [s]
y B [m
m]
Figura 6: Resposta temporal no cenario (b).
−120 −80 −40 0 40 80 120
−80
−40
0
40
80
120
xB [mm]
y B [m
m]
Figura 7: Trajetoria no cenario (b).
referencias senoidais (pelo Princıpio do Modelo In-terno) foi incorporada ao controle.
7 Conclusoes
Neste projeto foi desenvolvido um prototipo e me-todologias de controle para um sistema Ball andPlate, atingindo os objetivos de posicionamentoda esfera e seguimento de trajetorias na placa. Ometodo desenvolvido de servo-visao position-basedcombinado com o Filtro de Kalman permitiu es-timacoes suaves e precisas, um importante fatorpara o correto controle da posicao da esfera.
A perspectiva de trabalhos futuros e a aplica-cao das tecnicas de controle ressonante e repeti-tivo para correcao dos erros de amplitude e faseem referencias periodicas senoidais.
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