Modelagem Matemática IVAula 01

1) Regras da Disciplina2) Plano de Ensino e Bibliografia3) Introdução às ED’s4) Atividade: Corpos em Queda Livre5) Considerações Finais

1

Apresentação do ProfessorDr. Eng. Juliano J. Scremin

● Graduação em teologia, FTU - SP 1997;

● Proficiência em língua coreana, Univ. Sun Moon,

Cheon-an, Coréia do Sul 1999;

● Graduação em engenharia civil, UFPR 2008;

● Mestrado em métodos numéricos em engenharia,

PPGMNE / UFPR, mecânica computacional, método

dos elementos finitos aplicado a análise termo-

estrutural de barragens de CCR, setembro de 2011;

● Doutorado em teorias de vigas no PPGECC/UFPR,

fevereiro de 2020;

E-mail: juliano.scremin@up.edu.br

2

Regras da Disciplina

3

Sistema de Avaliação● Avaliação Bimestral (AB);

○ Conforme calendário anunciado pela coordenação do curso

● Notas Extras (NE);○ Atividades individuais ou em equipes (trios);

○ Algumas serão realizadas em sala de aula e outras como tarefa domiciliar;

○ Valor de 0,10 até 0,50 pontos cada (conforme definido pelo professor);

○ As notas obtidas nestas atividades reduzem o peso da avaliação bimestral;

○ Não há penalização na nota bimestral caso alguma atividade não seja feita ou seja avaliada

com nota zero (as atividades são facultativas);

4

Cálculo da Nota Bimestral

● NB: Nota do Bimestre (que aparecerá no portal)

● AB: Nota da Prova Bimestral

● NE: Notas Extras

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Site para Respostas de Atividades

www.jjscremin.com/ativ

6

Grupo de Whatsapp:● O professor solicita que os alunos cadastrem-se no grupo de Whatsapp da

disciplina enviando um e-mail para:

○ juliano.scremin@up.edu.br

○ Título do E-mail : “Grupo de MM4”

○ O corpo do e-mail deve conter:

■ Nome do Aluno

■ Número de Matrícula

■ Número de Telefone com Código de Área

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Plano de Ensino e Bibliografia

8

Objetivo da Disciplina

O aluno deverá ser capaz de:

Modelar e resolver problemas que são representados por

Equações Diferenciais

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Plano de Ensino - 1° BimestreModelagem de Problemas representados por Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem;

○ Leis de Crescimento e Decaimento ○ Resfriamento de Corpos (Calor e Temperatura)○ Esvaziamento de Reservatório (Energia Potencial e Cinética)○ Datação por Carbono-14 ○ Corpos em queda livre (Dinâmica)○ Circuitos Elétricos RL ○ Juros Compostos Continuamente

10

Plano de Ensino - 2° BimestreModelagem de Problemas representados por Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem e Métodos Numéricos de Soluções de Equações Diferenciais;

○ Lei de Hooke○ Sistemas Massa-Mola em Vibração Livre e Forçada○ Circuitos Elétricos RCL○ Modelos de Presa-Predador

11

Bibliografia EssencialBOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard

C. Equações diferenciais elementares

e problemas de valores de contorno. 9.

ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2010. xvi,

607 p. ISBN 9788521617563.

12

Bibliografia Essencial ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R.

Equações diferenciais. 3. ed. São

Paulo: Pearson Makron Books, c2001.

2 v. ISBN 8534612919 (v1).

13

Introdução às EDs

14

O que são Equações

Diferenciais?

Equações que envolvemuma função incógnita

(variável dependente) e suas derivadas, além de variáveis independentes

15

Equações Diferenciais – Exemplos 1

16

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡+𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 5𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡)

x(t) e y(t) são funções incógnitas (variáveis dependentes)

t é a variável independente

𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥= 0,5 𝑥𝑦(𝑥)

y(x) é a função incógnita (variável dependente)

x é a variável independente

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0,5 𝑥𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝑑𝑦

𝑑𝑡= 5𝑥 + 𝑦

Equações Diferenciais – Exemplos 2

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𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦2= 0

u(x,y) é a função incógnita (variável dependente)

x e y são as variáveis independentes

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2+ 16𝑥(𝑡) = 0

x(t) é a função incógnita (variável dependente)

t é a variável independente

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 16𝑥 = 0

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0

Porque estudarEquações

Diferenciais?

Muitos “Modelos” querepresentam fenômenos estudados nas ciências e

na engenharia são caracterizados por

Equações Diferenciais

18

Modelagem

19

Problema Físico, Químico, Biológico, Financeiro etc

Modelo Matemático: Equacionamento do Fenômeno

Simplificações

Exemplo de Modelo:

20

Modelo Estrutural

Aplicações de Equações Diferenciais (1)

21

Corpo em Queda Livre

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= 𝑔

Esvaziamento de um Tanque

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −𝑘 ℎ

Aplicações de Equações Diferenciais (2)

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Paraquedas

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣2

Catenária de uma Ponte em Cabos Suspensos

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝑘 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

Aplicações de Equações Diferenciais (3)

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SistemaMassa-Mola

𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑘𝑦 = 0

Pêndulo

𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

“Solução” de uma Equação

Diferencial

Resolver uma equação diferencial significa

encontrar uma função que satisfaça a referida

equação

24

Equações Algébricas x Equações Diferenciais

25

(1) 3𝑥2 − 5𝑥 + 8 = 0

(2) − 1

6𝑥 + 8 = 0

(3) 𝑥3−𝑥 + 1 = 0

As soluções são valores numéricos;

(1) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 0

(2) 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑥𝑦1/2

(3) 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

As soluções são as funções (ou famílias de funções) y=f(x) incógnitas que satisfazem cada equação

Verificação de uma Solução

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Verificar se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-∞ , +∞):

(a) 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑥𝑦1/2 sendo a função 𝑦 =1

16𝑥4

(b) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ y = 0 sendo a função 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥

Corpos em Queda Livre

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Enunciado do Problema P01A:

28

Duas esferas maciças de diâmetro “d = XX cm” serão lançadas do topo de uma torre de altura “h = XX m”.

• A esfera “A” é feita de concreto, com peso específico 24 kN/m³.

• A esfera “B” é feita de aço, com peso específico 78,5 kN/m³ .

Considerando a gravidade como sendo g = 10m/s² e desprezando a resistência do ar, responda os questionamentos a seguir:

Questões para o Problema P01A:

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Q01) Qual é o peso da esfera “A” em kN ?

Q02) Qual é a massa da esfera “B” em kg ?

Q03) Atribua “1” para verdadeiro e “0” para falso: (respostas possíveis 101; 111; 001 etc)

( ) Logo antes de tocar o chão a velocidade da esfera “A” será menor do que a velocidade da esfera “B” caso ambas sejam lançadas com velocidade nula do topo da torre;

( ) Logo antes de tocar o chão a aceleração da esfera “A” será maior do que a aceleração da esfera “B” caso ambas sejam lançadas com velocidade nula do topo da torre;

( ) Caso sejam lançadas com velocidade nula do topo da torre ambas esferas chegarão ao mesmo tempo ao chão;

Conceito Físico: A aceleração da gravidade é igual para ambas esferas e, não havendo influência da

resistência do ar ou do vento, ambas ganham velocidade na

mesma taxa (g).

30

Modelo

31

É uma Idealização.

Implica em simplificações quanto à:

GEOMETRIA, FORÇAS,

CONDIÇÕES DE SUPORTE,

COMPORTAMENTO DOS

MATERIAIS e etc

Idealização do problema P01A

• Desprezada a resistência do ar;• Desprezada a influência do vento;• Gravidade considerada com um

valor aproximado (10m/s²);

Equacionamento do Problema P01A:

32

a(t) : equação de aceleração

v(t) : equação da velocidade

y(t) : equação da posição (solução da ED)

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

𝑎 𝑡 = 𝑔 = 10𝑚/𝑠2

𝑎 𝑡 =𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑔

𝑣 𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

Integração da Equação (1)

33

y(t) : função incógnita

t : variável independente𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑔

𝑣 𝑡 = න𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2𝑑𝑡 =

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝐶1

Integrando 1 vez temos a equação de velocidade “v(t)” com o surgimento de 1 constante de integração:

Integração da Equação (2)

34

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

නන𝑑2𝑦 𝑡

𝑑𝑡2𝑑𝑡 =𝑦(𝑡) = 𝑔

𝑡2

2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2

Integrando 2 vezes temos a equação de posição “y(t)” com o surgimento de 2 constantes de integração:

𝒚(𝒕) = 𝒈𝒕𝟐

𝟐+ 𝑪𝟏𝒕 + 𝑪𝟐

SOLUÇÃO GERAL :

Solução Geral

35

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

• Solução que envolve “constantes” arbitrárias (no caso C1 e C2) a serem determinadas conforme as condições que delimitam (contornam) o problema.

• Uma SOLUÇÃO GERAL pode ser transformada em uma SOLUÇÃO PARTICULAR mediante a aplicação de CONDIÇÕES DE CONTORNO.

• Quais seriam as “Condições de Contorno” do problema em questão?

𝒚(𝒕) = 𝒈𝒕𝟐

𝟐+ 𝑪𝟏𝒕 + 𝑪𝟐

Condições de Contorno

36

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

• O que sabemos do problema em questão:

a) As esferas partem do “topo da torre”b) As esferas partem com “velocidade nula”

• “Partem” aqui significa t = 0;

Valores conhecidos da função solução “y(t)” ou de suas derivadas para determinados valores da variável independente “t”.

Condições de Contorno

37

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

(a) As esferas partem do “topo da torre”(b) As esferas partem com “velocidade nula”

𝑦 𝑡 = 0 = 0

* A posição da esfera no tempo t = 0 é y = 0

• Logo, conforme a condição (a), “partir do topo da torre” significa:

𝑣 𝑡 = 0 =𝑑𝑦 𝑡 = 0

𝑑𝑡= 0

* A velocidade da esfera no tempo t = 0 é dy/dt = 0

• Por sua vez, conforme a condição (b), “partir com velocidade nula” significa:

Aplicação das Condições de Contorno (1)

38

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

(a) 𝑦 0 = 0

(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0

𝑑𝑡= 0

𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2

2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2

𝑣 𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝐶1

𝑎 𝑡 =𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑔

Aplicação das Condições de Contorno (2)

39

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

(a) 𝑦 0 = 0

(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0

𝑑𝑡= 0

𝑣 𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝐶1

Aplicando (b)

0 = 𝑔. 0 + 𝐶1

0 = 𝐶1

• C1, é portanto a velocidade “v” da esfera no tempo “t = 0”, ou seja, C1= vo;

Aplicação das Condições de Contorno (3)

40

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

(a) 𝑦 0 = 0

(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0

𝑑𝑡= 0

Aplicando (a) sendo que C1 já é conhecido (C1= 0)

0 = 𝑔02

2+ 𝐶10 + 𝐶2

• C2, é portanto a posição “y” da esfera no tempo “t = 0”, ou seja, C2= yo;

𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2

2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2

0 = 𝐶2

Solução Particular para y(0)=0 e v(0)=0

41

𝑦 = 0

𝑦 = ℎ

(a) 𝑦 0 = 0

(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0

𝑑𝑡= 0

𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2

2

𝐶2 = 0

𝐶1 = 0

SOLUÇÃO PARTICULAR :

𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2

2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2SOLUÇÃO GERAL :

𝑦 𝑡 = 10𝑚

𝑠2𝑡2

2

Questões para o Problema P01A:

42

Considerando os dados, as simplificações adotadas e o equacionamento desenvolvido para y(0) = 0 e v(0) = 0, responda as questões abaixo:

Q04) Quanto tempo as esferas demorarão para atingir o chão [ em s ] ?

Q05) Qual a velocidade das esferas logo antes de atingirem o chão [ em m/s ] ?

Considerando que as esferas fossem lançadas com uma velocidade inicial para baixo de 5 m/s:

Q06) Quanto tempo as esferas demorarão para atingir o chão [ em s ] ?

Q07) Qual a velocidade das esferas logo antes de atingirem o chão [ em m/s ] ?

43

Atividade Prática

Enunciado do Problema P02A:

44

Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial “vo=XX m/s”.

Considerando a gravidade como sendo g = 10m/s² e desprezando a resistência do ar e efeito do vento (a bola sobe e desce em uma linha reta), responda os questionamentos a seguir:

Q01) Qual máxima altura que a bola atingirá [ em m ]?

Q02) Em quanto tempo a bola atingirá esta altura [ em s ]?

Q03) Qual deve ser a velocidade inicial para que bola chegue à h2=XX m de altura em um local com gravidade gn = XX m/s² [ resposta em km/h ]?

Considerações Finais

45

Classificação das ED’s pela Ordem

46

• Equações Diferenciais são classificadas quanto à maior “Ordem” de derivada que aparece na expressão;

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡= 5𝑦 𝑡 + 2

𝑑2𝑦 𝑡

𝑑𝑡2− 5

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡− 25𝑦 𝑡 = 10

𝑑4𝑦 𝑥

𝑑𝑥4=5

3𝑥5 − 2𝑥𝑦(𝑥)

Equação Diferencial de 1ª Ordem

Equação Diferencial de 2ª Ordem

Equação Diferencial de 4ª Ordem

Observações:

47

• Uma ED de 1° Ordem com apenas uma variável independente implica em uma Solução Geral com 1 constante de integração e logo faz se necessária 1 condição de contorno para se obter uma Solução Particular.

• Por sua vez, uma ED de 2° Ordem com apenas uma variável independente implica em uma Solução Geral com 2 constantes de integração e logo fazem se necessárias 2 condições de contorno para se obter uma Solução Particular.

Caso do Problema Estudado: 𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2

2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2

FIM

48