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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DO ENSINO BÁSICO –
PARFOR
GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
ELANE CRISTINA DOS SANTOS DE OLIVEIRA
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ALTERNATIVA
PEDAGÓGICA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA
CRUZ DAS ALMAS
2013
2
ELANE CRISTINA DOS SANTOS DE OLIVEIRA
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ALTERNATIVA
PEDAGÓGICA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA.
Trabalho de conclusão do curso de Licenciatura em
Matemática apresentado ao Plano Nacional de
Formação de Professores do Ensino Básico, PARFOR,
na Universidade Federal do Recôncavo da Bahia,
UFRB, sob a orientação da professora Daniela da Silva
Rocha.
CRUZ DAS ALMAS
2013.
3
ELANE CRISTINA DOS SANTOS DE OLIVEIRA
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ALTERNATIVA
PEDAGÓGICA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA.
Banca Examinadora
_____________________________________________
Daniela da Silva Rocha
_____________________________________________
Nilson Antonio Ferreira Roseira
_____________________________________________
Jaylson Teixeira
Trabalho de conclusão de curso Aprovado em ____/____/_____.
4
AGRADECIMENTOS
Minha gratidão,
Ao Deus onipotente, por ter me proporcionado a oportunidade de realizar esta
monografia, por estar ao meu lado em todos os momentos. A ele a honra e glória!
Ao meu esposo, filha, mãe, irmãos e sogra pela compreensão e incentivo de
me fazer prosseguir nesta caminhada.
A todos os professores da Licenciatura em Matemática, pelo apoio e incentivo
constantes durante toda nossa formação, em especial, à professora Daniela Rocha
pelo acompanhamento com excelente orientação.
Aos nossos colegas, pela força e incentivo durante toda a caminhada que
percorremos juntos.
Enfim, agradeço a todos que estão ao meu lado acreditando no meu sucesso.
Deus vos abençoe!
―Bendiz, ó minha alma, ao Senhor e tudo que há em mim bendiga o seu santo
nome‖. (Sal. 103.1)
5
Resumo
A presente pesquisa buscou investigar como a Modelagem Matemática pode contribuir para o aprimoramento do ensino da geometria, buscando valorizar os conhecimentos prévios dos alunos, trabalhando a partir de exploração dos objetos do mundo físico, através da utilização de modelos concretos de formas geométricas (embalagens) que aumentem as possibilidades de acesso ao saber geométrico. A investigação foi desenvolvida a partir de uma abordagem qualitativa, com alunos do oitavo ano do Ensino Fundamental II, em uma instituição publica na cidade do Recôncavo Baiano. A pesquisa foi desenvolvida em três etapas. Os resultados obtidos foram satisfatórios logo se percebe que a modelagem pode ser uma alternativa para o ensino da geometria.
Palavras-chave: modelagem; geometria; aprendizagem.
6
SUMÁRIO
Introdução................................................................................... 07
1. A geometria no espaço em que vivemos............................. 09
1.1 A importância da geometria....................................................................... 09
1.2 O ensino de geometria e suas dificuldades na sala de aula............... 10
1.3 Experiências que deu certo....................................................................... 13
2. O uso da modelagem Matemática......................................... 15
2.1 Por que incorporar Modelagem Matemática no currículo?..................... 15
2.2 Modelagens matemática X modelos matemáticos................................. 16
3. Modelagem uma opção para o ensino da geometria.......... 19
3.1- Vivência de atividade com modelagem X geometria............................ 20
3.2- Desenvolvimento da pesquisa................................................................. 21
3.2.1- Caracterizações do espaço.............................................................. 21
3.2.2- Descrições da pesquisa............................................................. 22
3.2.3- Análise e discussão dos resultados................................................ 24
Considerações finais............................................................................. 31
Referências................................................................................. 32
Anexos
Anexo1- Pré-questionário
Anexo 2- Tabela observando embalagem
Anexo 3- Pós-questionário
7
Introdução
O presente trabalho propõe-se a discutir a Modelagem Matemática como uma
alternativa pedagógica para o ensino da geometria espacial, o qual se destina a
professores do Ensino Fundamental, bem como alunos do curso de Licenciatura em
Matemática e a todos que tem interesse pelo tema em apreço.
O objetivo é demonstrar como a Modelagem Matemática pode contribuir para
o aprimoramento do ensino da geometria, buscando valorizar os conhecimentos
prévios dos alunos, trabalhando com a exploração dos objetos do mundo físico
através da utilização de modelos concretos (embalagens), a fim de que aumentem
as possibilidades de acesso ao saber geométrico.
Ao realizar o estágio de observação em uma turma do sétimo ano percebi que
alguns alunos sentiam dificuldade em reconhecer as figuras geométricas em outro
objeto ou em outra posição, visto que tendem seguir fielmente os modelos que são
expostos nos livros ou desenhados no quadro, as figuras mostradas estão no plano
e não podem ser manuseadas. Visto isso, a escolha por esta temática não é
aleatória, mas trabalhar a geometria espacial na perspectiva da Modelagem
Matemática oportuniza ao aluno vivenciar a Matemática não só como algo
prazeroso, mas como uma ciência concreta, viva que pode contribuir para situações
diversas do cotidiano. Segundo Scheffer (1995), estudar geometria com o auxilio da
modelagem é partir de uma situação-problema, que vai ser explicada
matematicamente, definida como estratégia de ação, onde o aluno tem a
oportunidade de pensar, criar, estabelecer relações e buscar soluções.
A referida pesquisa está estruturada em três capítulos. Os capítulos são
intitulados assim: A geometria no espaço em que vivemos; O uso da Modelagem
Matemática1 e Modelagem uma opção para o ensino da geometria.
No primeiro capitulo, é dicorremos sobre a geometria no espaço em que
vivemos. Para onde quer que se direcione o olhar, as ideias geométricas estão
presentes no mundo tridimensional, seja na natureza, nas artes, na arquitetura ou
em outras áreas do conhecimento, pois estamos inseridos no mundo das formas.
Porém, o ensino da geometria encontra-se distante da vivência do aluno e isto tem
1 No decorrer do artigo utilizamos o termo Modelagem quando me referir à Modelagem Matemática, a
fim de evitar repetição.
8
causado acentuadas dificuldades para o aluno resolver problemas envolvendo
conceitos geométricos afirma Pirola (2000).
Uma vez ensinada e trabalhada conforme regem os Parâmetros Curriculares
Nacionais (1997). A geometria permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a
matemática e outras áreas do conhecimento. Neste mesmo capítulo cito uma
atividade de investigação realizada com alunos do 2º ano do Ensino médio, onde foi
constatado que os alunos apresentavam dificuldades de conceituação e visualização
geométrica, mas no final da atividade o resultado foi satisfatório afirmam as autoras.
Já no segundo capítulo é realizada uma abordagem sobre diversas
transformações que a sociedade vem sofrendo e que o ensino da Matemática está
inserido neste contexto. Portanto a postura linear do professor apresentar o
conteúdo torna da Matemática uma ciência fria, conforme afirma Leal, (1999).
Algumas tendências em Educação Matemática2 têm surgido com o objetivo de
desligar-se dos moldes tradicionais de ensino e dentre elas encontra-se a
modelagem, que tem a finalidade de conectar a realidade com a Matemática.
Segundo Bassanezi (1994, p. 55-83), existem cinco motivos fundamentais
para incluir Modelagem no currículo: motivação; facilitação da aprendizagem;
preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas; desenvolvimento de
habilidades gerais de exploração; e compreensão do papel sociocultural da
Matemática. Logo, a Modelagem pode ajudar o educando a perceber o contexto
sociocultural que está inserido tornando-se um cidadão crítico.
Já no terceiro capitulo é apresentada a Modelagem como alternativa
pedagógica para o ensino da geometria, relatando uma atividade de Modelagem que
realizei com uma turma do ensino Fundamental, com exploração dos objetos do
mundo físico através da utilização de modelos concretos de formas geométricas
(embalagens), em três etapas onde no final do processo foi constatado que a
Modelagem pode aumentar as possibilidades de acesso ao saber geométrico.
Nosso objetivo é, portanto, mostrar que o processo de ensino-aprendizagem
centrado na Modelagem possui vantagens significativas entre elas encontra-se a
oportunidade de relacionar a Matemática às vivências da sociedade.
2A Educação Matemática é um campo do conhecimento que se dedica a estudar questões relativas
ao ensino/aprendizagem de matemática. Disponível: www.mat.ufmg.br/pet/Jussara.php. Acesso:04 de
maio de 2013.
9
1. A geometria no espaço em que vivemos
Etimologicamente a palavra geometria (geo+metria) significa terra medida- a
medida da terra- pois, em situações de delineamento da terra tanto pelos egípcios
como pelos mesopotâmios, o homem inicia a construção do conhecimento nesta
área. Por volta do século V a.C, os gregos buscaram estudar esses conceitos,
transformando-os em objetos mais abstratos, em ferramenta de construção do
conhecimento lógico-formal (BOYER, 1996).
Segundo Ferreira (1999, p.983) geometria é:
[...] ciência que investiga as formas e as dimensões dos seres matemáticos ou ainda um ramo da matemática que estuda as formas, plana e espacial, com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que estuda a extensão e as propriedades das figuras (geometria Plana) e dos sólidos (geometria no espaço).
A partir dessa definição, é fundamental reconhecer o que está presente no
mundo físico e visualizar aquilo que é apresentado tridimensionalmente, para
avançar na construção de conceitos dentro da geometria e no entendimento dessas
informações visuais.
1.1 A importância da geometria
Para onde quer que se direcione o olhar, as ideias geométricas estão
presentes no mundo tridimensional. Seja na natureza, nas artes, na arquitetura ou
em outras áreas do conhecimento, estamos inseridos no mundo das formas.
Segundo Eves (2004) para Pitágoras tudo está organizado segundo os números e
as formas matemáticas. Desde a infância o ser humano está em contato com este
mundo. Através da visão, da audição, do tato, dos movimentos, ele vai explorar e
interpretar o ambiente que o rodeia antes mesmo de dominar as palavras.
A geometria é um campo fértil para explorar situações-problema e é um tema
pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente, se esse for trabalhado a
partir de exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas,
desenhos, esculturas e artesanato. A geometria permitirá ao aluno estabelecer
conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1997).
Segundo Fainguelernt (1995), a Geometria desempenha um papel
fundamental no ensino porque ativa as estruturas mentais na passagem de dados
concretos e experimentais para os processos de abstração e generalização; é tema
10
integrador entre as diversas partes da Matemática, sendo a intuição, o formalismo, a
abstração e a dedução constituinte de sua essência.
A geometria constitui parte importante do currículo de Matemática no Ensino
Fundamental e faz parte das mais variadas áreas da atividade humana, muitas
vezes colocada de lado por alguns educadores, esquecida nos últimos capítulos dos
livros, geralmente ensinada de forma superficial, limitada à geometria plana,
bloqueando a exploração do mundo que o cerca.
Conforme a análise de currículos e programas escolares realizada pela
pesquisadora Pavanello(1989) os conteúdos de Matemática predominante nas
séries iniciais são relativos a aritmética, enquanto das séries finais do Ensino
Fundamental são de álgebra estendendo pelas séries do Ensino Médio. No entanto
a geometria é colocada de lado ou trabalhada de forma tradicional o que dificulta
uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de
ideias e uma visão mais equilibrada da Matemática segundo Lorenzato (1995).
Conforme os PCNs de Matemática para o 3º e 4º ciclos do ensino fundamental:
...procedimentos de observação, representações e construções de figuras, bem como o manuseio de instrumentos de medidas que permitam aos alunos fazer conjecturas sobre algumas propriedades dessas figuras. Desse modo, o estudo do espaço e das formas privilegiará a observação e a compreensão de relações e a utilização das noções geométricas para resolver problemas, em detrimento da simples memorização de fatos e de um vocabulário específico. Trabalhar com as construções geométricas possibilitaria aos alunos visualizar, elaborar conjecturas, entender e fazer demonstrações. (Brasil, 1998, p.68)
Como podemos constatar os PCN’s de Matemática, dirigidos aos estudantes de 5a a
8a séries, enfatizam a importância das construções geométricas.
1.2 O ensino de geometria e suas dificuldades na sala de aula.
Quando pensamos em geometria, nos referimos ao espaço que nos cerca,
algo vivo que se apresenta a todo instante. Um simples olhar voltado para o
ambiente onde estamos, seja ele no espaço interno ou externo traz-nos inúmeras
informações sobre formas do espaço, planas e não planas. Atualmente, formas
geométricas inovadoras são cada vez mais usadas na arquitetura ou em esculturas
11
decorativas. Exemplos bem conhecidos são vistos na arquitetura de Oscar
Niemeyer3, em Brasília.
Ilustração 1- Palácio do Planalto. Ilustração 2- Congresso Nacional.
Porém o ensino da geometria se resume em fórmulas e definições que
termina contrariando a essência do conhecimento geométrico. Segundo Pavanello
(1989) na metade do século XX o ensino de conteúdos geométricos era de lógico-
dedutivo4, apenas no terceiro ano ginasial (7ª série), que se começava com
conceitos primitivos (ponto; reta e plano). A partir de 1950, no Brasil, a Educação
Matemática passa por algumas transformações devido o MMM5, que exigia que a
geometria fosse trabalhada. Como os professores não estavam preparados aos
poucos deixaram de trabalhar os conteúdos geométricos, dando mais ênfase à
álgebra ou a aritmética e teoria de conjuntos.
Logo, percebemos que estes fatos históricos contribuíram para uma
defasagem no ensino da geometria e que devido sua formação os professores
terminam colocando em segundo plano a geometria. Entretanto, apesar de sua
reconhecida importância, pesquisadores brasileiros como Pavanello (1989) e Pirola
(2000), apontam que a Geometria é pouco estudada nas escolas.
3Oscar Ribeiro de Almeida Niemeyer Soares Filho (1907-2012) foi um arquiteto brasileiro,
considerado uma das figuras-chave no desenvolvimento da arquitetura moderna. Para saber mais ler: http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/a-Hst%C3%B3tia-De-Oscar-Niemeyer/755245.html. MLA. "A Hstótia De Oscar Niemeyer" 4Raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada(s)
premissa. Para saber mais ler: Pavanello, R. M. O abandono do ensino da geometria: uma visão histórica. Dissertação (Mestrado em Educação)- Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas, 1989. 5 Movimento da Matemática Moderna em 1950 onde a Educação Matemática passaria por intensas
reformulações e modernização no currículo, movimento liderado por um grupo de professores e matemáticos. Disponível em: www.apm.pt/files/_Co_Wielewski_4867d3f1d955d.pdf. Acesso em: 22/04/13.
12
Pavanello (1989) em sua dissertação de mestrado faz uma análise histórica
do ensino da Matemática no Brasil e no mundo, afirma que a geometria vem
paulatinamente desaparecendo do currículo das escolas brasileiras.
Pirola (2000) ressalta que os alunos têm acentuadas dificuldades em resolver
problemas envolvendo conceitos geométricos. Devido à resistência no ensino da
Geometria, no Ensino Superior, onde é também pouco abordada, e que as
dificuldades dos professores no seu ensino deve-se, em grande parte, ao pouco
acesso ao estudo de tais conceitos na sua formação ou pelo fato de não gostarem
de Geometria.
No entanto se verifica que muitos alunos sentem dificuldades em perceber a
geometria em sua volta. Segundo Fainguelernt (1995), a geometria desempenha um
papel fundamental no ensino porque ativa as estruturas mentais na passagem de
dados concretos e experimentais para os processos de abstração e generalização,
criando assim o maior número de situações de aprendizagem aumentando as
possibilidades de acesso ao saber geométrico integrando diversas partes da
matemática, e tornando-se um campo fértil para o exercício de aprender a fazer e
aprender a pensar.
Os PCNs de Matemática para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental
enfatizam que as atividades geométricas devem centrar-se em construções
geométricas a fim de que o aluno visualize, elabore conjecturas, entenda e faça
demonstrações. Trabalhando geometria como rege os PCNs, possivelmente o aluno
não terá tanta dificuldade de perceber a geometria em sua volta.
Durante os meses que fiquei com a turma da sétimo ano, percebi que os
alunos sentiam dificuldade em reconhecer as figuras geométricas em outro objeto ou
em outra posição, visto que tendem seguir fielmente os modelos que são expostos
nos livros ou desenhados no quadro onde as figuras mostradas estão no plano e
não podem ser manuseadas.
Segundo Fainguelernt (1999), o ensino da geometria não pode se resumir a
aplicação de fórmulas e teoremas, a observação e o manuseio de materiais
concretos podem levar o aluno a superar as dificuldades e perceber o quanto a
geometria está presente em nossa volta. No entanto a geometria não pode ser
colocada como uma opção no currículo ou passada de forma mecânica, porém deve
13
ser valorizada como ciência que faz parte das mais variadas áreas da atividade
humana.
1.3 Experiência que deu certo.
A geometria permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e
outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1997, p. 39). Na oportunidade cito um
trabalho de pesquisa realizado pelas professoras, Maria Rogenski e Sandra Pedroso
com o seguinte tema: O ensino da geometria na educação básica: realidade e
Possibilidades6.
A investigação, realizada com alunos do 2º ano do Ensino Médio, aborda a
Matemática a partir de diferentes situações da realidade do aluno, oportunidade em
que foi utilizado o cinema como ponto de partida, relacionando-o à arte, à biologia, à
arquitetura e a outros aspectos do mundo físico. Assim, pretendeu-se demonstrar
aos alunos que a geometria está presente em diversas situações do cotidiano. Para
isso, foram abordados conceitos relacionados à proporção, número de ouro e
sequências. Por fim, através da investigação verificou-se que os alunos
apresentavam dificuldades de conceituação e visualização geométrica.
A geometria está em nossa volta, logo faz- se necessário sua integração às
outras disciplinas. Assim reforça os PCNs (idem, p.37) ao dizer que ―A geometria é
rica em elementos que favorecem a percepção espacial e a visualização; constitui,
portanto, conhecimentos relevantes, inclusive para outras disciplinas escolares‖.
No entanto, percebe-se que muitos foram os objetivos almejados com
realização desse trabalho pelas professoras, dentre eles destaco: o de aproximar os
temas apresentados nos filmes da realidade em que vive o aluno; explorar
matemáticos no filme, fazer a conexão da matemática com arte, etc.
Contudo, buscou-se, com a realização das atividades propostas, minimizar as
dificuldades apresentadas e reconstruir conceitos, tornando-os participantes de um
ambiente de aprendizagem significativa. Segundo as autoras, ao final da pesquisa
os resultados foram satisfatórios, pois os alunos passaram a se apropriar de
conhecimentos, com os quais poderão criar relações sociais constituídas de
6PEDROSO, S. M. D.; ROGENSKI, M. L. C. O ensino da geometria na educação básica: realidade e
Possibilidades. In Portal dia a dia educação.
14
sensibilidade, criatividade e criticidade, características essenciais para
transformação da realidade em que estão inseridos.
15
2. O uso da Modelagem Matemática
A História da Matemática mostra que seu desenvolvimento tem início com a
necessidade do homem, e que ela está presente na vida das pessoas, porém na
escola encontramos o seguinte cenário: alunos com baixo rendimento e professores
desmotivados em sua prática pedagógica. Percebe-se que entre muitos motivos que
contribuem para esse cenário frio e inacabado encontra-se a desvinculação da
Matemática trabalhada na escola com a realidade. Segundo Leal (1999) esta
maneira de ensinar torna essa bela ciência fria, acabada em si mesma de difícil
compreensão e sem espaço para o desenvolvimento da criatividade humana.
Observa-se,também que a Matemática é trabalhada de forma isolada e o
discente ouve, repete e resolve os exercícios a partir de exemplos dados pelo
professor. Tal prática se resume apenas em acúmulo de informações que nada
contribui para a construção de conhecimento, na qual no final de um processo
espera-se que os alunos sejam capazes de interagir com situações diversas do
cotidiano com a Matemática trabalhada em sala de aula, porém isto termina
causando um conflito cognitivo, uma vez que durante o processo não aconteceu
essa interação e só é exigida no final.
Conforme os PCNs, mais importante que transmitir informações/conteúdos
para serem reproduzido quando solicitados, é desenvolver nos alunos habilidades
que gerem novos conhecimentos a partir de outros previamente adquiridos. Por esta
razão, se faz necessário repensar as práticas pedagógicas que é um desafio na
perspectiva de resignificar o processo ensino-aprendizagem através de modelos
matemáticos a fim de aproximar a matemática trabalhada em sala de aula com o
cotidiano do aluno. Nos documentos curriculares da Educação Básica, tais como as
Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino e as Orientações Curriculares
Estaduais, a Modelagem é apresentada como estratégia de ensino e como
metodologia interdisciplinar que pode ser compreendida como abordagem de
situações do cotidiano ou de outras ciências por meio da Matemática.
2.1 Por que incorporar Modelagem Matemática no currículo?
A postura linear do professor em expor o conteúdo e em seguida realizar
exercício de fixação e avaliação já não atende as necessidades desta sociedade
moderna. Bittencourt (2001) (apud NÉRI, 2004) ressalta que o contexto no qual
16
estamos inseridos e realizamos nossa educação não pode ser mais pautado pelos
antigos moldes de ensino extremamente estáticos. Faz-se necessário o diálogo e a
articulação da escola com a vida social para ampliar o espaço de reflexão,
conduzindo a novas competências e habilidades.
Diante de algumas tendências em Educação Matemática, que tem com
objetivo o desligamento dos moldes tradicionais de ensino, encontra-se a
Modelagem que tem como finalidade conectar a realidade com a Matemática
promovendo o estudo a partir do mundo vivido.
A Modelagem surge durante o Renascimento7 servindo como base para as
primeiras ideias no campo da Física. Atualmente, considerada como ramo da
Matemática que auxilia áreas do conhecimento como a Economia, Biologia,
Engenharia, dentre outros (Biembengut; Hein, 2005). No Brasil, conforme Burak
(2005), a Modelagem começa a ser estudada no início da década de 80 e passa a
ser propagado em cursos de especialização por um grupo de professores,
especialmente pelos professores Ubiratan D’Ambrósio e Rodney Carlos Bassanezi.
Uma das propostas da modelagem Matemática é partir de uma situação-
problema que vai ser explicada matematicamente, segundo Scheffer, 1995
conceitua-se como uma estratégia de ação, onde o aluno tem a oportunidade de
pensar, criar, estabelecer relações e buscar soluções. Incorporar a Modelagem na
escola deve significar um movimento no currículo.
2.2 Modelagem Matemática X Modelos Matemáticos
A palavra modelo vem do latim modulus, que significa “pequena medida”
Cunha (1989) (apud Junior 2004), e possui diversos usos, porém a que nos
interessa, neste momento, é aquela em que a palavra modelo é empregada como
―representação de alguma coisa‖.
Para Biembengut e Hein (2000) (apud Junior 2004), ―a idéia de modelagem
suscita a imagem de um escultor trabalhando com argila produzindo um objeto‖. Na
visão dos autores, esse objeto que representa sua ideia é um modelo, e o processo
de obtenção desse modelo é a modelagem. Logo entende-seque para chegar a um
7 O termo Renascimento, ou Renascença, faz referência a um movimento intelectual e artístico
surgido na Itália, entre os séculos XIV e XVI, e daí difundido por toda a Europa. Para saber mais ler: SEVCENKO, N. O Renascimento. 28. Ed. São Paulo: atual, 2004.
17
modelo matemático, temos que passar por um processo denominado de Modelagem
Matemática.
Segundo Bassanezi (2004), a Modelagem procura transformar problemas da
realidade em problemas matemáticos, ou seja, é uma alternativa de ensino
aprendizagem que estuda uma situação-problema não matemática que busca um
modelo matemático para a solução do problema. Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo. (BASSANEZI, 2004, p.19).
Não existe Modelagem sem modelo, o qual é um vinculo que permite a
passagem da situação real para o problema matemático, ou seja, é o caminho para
a solução de um problema criando momentos de levantamento de hipóteses e
reflexão sobre tal fenômeno. Por exemplo: sobre o uso de determinada embalagem
que o fabricante utiliza é por uma questão estética ou econômica? Diante desta
situação, a Modelagem busca um caminho que é o modelo, que tenta descrever
matematicamente este fenômeno até chegar à solução do problema. Logo, através
do cálculo de área ou volume, percebe-se que a escolha da embalagem na maioria
das vezes é por uma questão econômica, ou seja, ganha mais espaço na prateleira.
De acordo com Bassanezi (2004) um Modelo Matemático é um conjunto de
símbolos e relações matemáticas que representam, de alguma forma, o objeto
estudado.
Na mesma visão, Biembengut (2004) (apud Junior 2004) define um Modelo
como sendo: ―um conjunto de símbolos os quais interagem entre si representados
por meio de desenhos ou imagens, projetos, esquema, gráfico, lei Matemática
dentre outras formas‖. Sendo assim, para elaboração de um Modelo Matemático,
segundo o autor é necessário três etapas: Interação, Matematização e Modelo
Matemático.
Na etapa de Interação ocorre o primeiro contato com o problema a ser
modelado e o estudante se envolve com o tema. Na segunda, que é a
Matematização, acontece a formulação do problema e sua resolução em termos de
Modelo Matemático. Na ultima etapa, o Modelo Matemático, acontece à
interpretação da solução encontrada e a verificação da sua veracidade. Caso a
18
verificação não dê certo, volta à segunda etapa, a Matematização, e o processo
inicia.
Portanto, as ideais que foram elencadas por esses autores nos remetem a
ideia de que uma atividade de Modelagem é semelhante a um ciclo dinâmico, em
que se tem um Modelo Matemático, no qual se faz uma análise. Caso o resultado
não corresponda ao problema em estudo, retorna aos procedimentos, até que se
chegue a um Modelo que forneça uma resposta condizente para o problema.
A modelagem pode ser entendida sob um ponto de vista de oportunizar o aluno a questionar situações por meio da matemática sem conceitos prévios e com diversas possibilidades de caminhos diferentes. Os conceitos e as ideias matemáticas exploradas dependem do encaminhamento que só se percebe na medida em que os alunos desenvolvem a atividade (MONTEIRO E POMPEU, 2001, p. 72).
Uma atividade de Modelagem dá condição ao aluno perceber a ligação da sua
realidade com a Matemática, como afirma Borromeo Ferri (2010) (apud Junior 2004)
que a Modelagem ―liga o mundo real e a Matemática nos dois sentidos: da
realidade para a Matemática e — isto é importante — no sentido contrário, da
Matemática para a realidade (p. 19, grifo da autora).
19
3. Modelagem uma opção para o ensino da geometria
Conforme Candu (apud Oliveira, 2009), convivemos com um grande número
de repetência e desigualdades de oportunidades educacionais, em que o acesso à
escola de qualidade é para uma minoria, que dispõe de um bom poder aquisitivo,
logo este fato tem transformado a educação em um produto de compra, daí sugeri
uma reinvenção da escola. Candau (2008) afirma que:
A escola está chamada a ser, nos próximos anos, mais do que um locus de apropriação do conhecimento socialmente relevante, o científico, um espaço de diálogo entre diferentes saberes – científico, social, escolar, etc. – e linguagens. De análise crítica, estímulo ao exercício da capacidade reflexiva e de uma visão plural e histórica do conhecimento, da ciência, da tecnologia e das diferentes linguagens (p. 14).
Alguns trabalhos na área de Educação Matemática têm apontado à
necessidade de mudanças nas aulas de Matemática em um ambiente de um saber
diversificado - científico, social, escolar, etc. – e linguagens. Segundo Oliveira
(2007), ensinar Matemática a partir de situações do cotidiano favorece uma
participação efetiva dos alunos nas aulas.
A Modelagem é sugerida como uma forma de organizar as aulas de
Matemática onde os alunos são convidados a problematizar e/ou investigar através
da Matemática situações com referência na realidade que tenha potencialidade de
gerar reflexão sobre a presença da matemática na sociedade (Oliveira, 2007)
Segundo Biembengut (apud kfouri, 2008), a Modelagem Matemática é a arte
de expressar situações-problemas do cotidiano por meio de linguagem Matemática.
Para Barbosa (2004) Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os
alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da Matemática,
situações com referência na realidade.
Como afirma Biembengut (2000 p. 18), ―a Modelagem Matemática no ensino
pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos Matemáticos
que ele ainda desconhece ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar
matematicamente‖. Quando é dada a oportunidade ao aluno em estudar situações-
reais, problemas por meio de pesquisa desenvolvem seu interesse e seu senso
crítico. Conforme afirmam Monteiro e Pompeu (2001 p. 79), ―a Modelagem constituí
caminhos viabilizadores de um processo mais significativo e motivador de ensino e
aprendizagem Matemática‖.
20
Sendo assim, percebe-se que as propostas de Modelagem estão embasadas
em uma abordagem ligada ao cotidiano do aluno, que pode contribuir para
aprimoramento do ensino da geometria, buscando valorizar os seus conhecimentos
prévios, trabalhando a partir de exploração dos objetos do mundo físico. Ensinar
geometria com o auxilio da Modelagem permitirá ao aluno estabelecer conexões
entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. (PCN, 1997, p.39).
Logo, ao investigar este tema percebe-se: a aplicabilidade da Matemática em
situações do cotidiano e a percepção da geometria, por parte do educando, como
auxílio no reconhecimento, construção e representação do espaço em que vivemos,
através da construção e utilização de Modelos concretos de formas geométricas e
que aumentem possibilidades de acesso ao saber geométrico.
3.1 Vivência de atividade com modelagem X geometria
Segundo Scheffer (1995), ―estudar geometria com o auxilio da modelagem é
partir de uma situação-problema, que vai ser explicada matematicamente, definida
como estratégia de ação, onde o aluno tem a oportunidade de pensar, criar,
estabelecer relações e buscar soluções‖.
Na oportunidade cito o trabalho de pesquisa que realizei com a finalidade de
investigar como a Modelagem pode contribuir para o aprimoramento do ensino da
geometria espacial, buscando valorizar os conhecimentos prévios dos alunos,
trabalhando a partir de exploração dos objetos do mundo físico (embalagens),
através da utilização de modelos concretos de formas geométricas. Segundo
Biembengut (apud Fonseca, 2001) as formas geométricas estão presentes nas
embalagens. Analisando as embalagens de acordo com Fonseca(2002):
Pretende-se chamar a atenção dos alunos para os aspectos – sejam funcionais, estéticos ou econômicos, que estabelecem critérios para definição das formas, conferindo sentido às classificações. Busca-se proporcionar aos mesmos a possibilidade de compreender os conceitos geométricos através da visualização, manipulação e observação das diferentes formas geométricas que são encontradas nas embalagens. (FONSECA, 2001, p.42).
Com isso, as embalagens tornam-se um modelo significativo e atrativo no
processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos de Geometria Plana e Espacial. A
observação e o manuseio de materiais concretos podem levar os alunos a
visualizarem formas diversas e a estabelecerem relações de semelhança e
21
proporção. Ao realizarem a desmontagem e a montagem de caixas ampliam sua
noção de plano e de espaço. BRASIL (1998, p. 65) diz que os alunos devem estar
aptos a: ―estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas,
envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista‖.
Para Bassanesi (2002), (apud Kfouri, 2008) a modelagem matemática
consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos
e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Na sala de
aula o professor relaciona a Matemática às vivências da sociedade estabelecendo
uma ponte entre o cotidiano do aluno.
3.2 Desenvolvimento da pesquisa
3.2.1- Caracterizações do espaço
A instituição escolhida para a realização da pesquisa pertence à rede pública
municipal do Recôncavo Baiano. A escola conta com a colaboração de uma diretora
geral e vice, uma coordenadora, apoio pedagógico, secretária, assistentes técnicos-
administrativos e técnicos para sala informatizada, merendeiras e serventes e um
porteiro. O corpo docente é formado por 35 professores efetivos e contratados,
todos com formação superior completo, pós-graduação, participando de cursos de
formação continuada (Gestar II8- Matemática e Português).
Funcionando nos turnos matutino, vespertino e noturno, com o fundamental II,
EJA9 II e III, tendo em média 30 alunos por turmas e um total de 600 alunos
matriculados. A principal função da referida instituição é construir um ambiente
educativo onde todos os segmentos da comunidade escolar sintam-se responsáveis
pelo processo educativo e estimulando ainda a participação da comunidade nas
ações da escola.
8Programa Gestão da Aprendizagem Escolar.
9Educação para Jovens e Adultos.
22
3.2.2- Descrições da pesquisa
A turma escolhida para o desenvolvimento da pesquisa foi um 8º ano do
Ensino Fundamental II, composto por um universo de 33 estudantes cujas idades
variavam entre 14 e 17 anos.
A priori apresentei o projeto de pesquisa à direção e ao professor regente que
em seguida me conduziram a sala de aula, onde os alunos foram bem receptivos.
A metodologia adotada para essa pesquisa foi de abordagem qualitativa. Para
Lüdke (1986, p. 18), o estudo qualitativo é ―[...] o que se desenvolve numa situação
natural e rica em dados descritivos, tem um plano aberto e flexível e focaliza a
realidade de forma complexa contextualizada. A finalidade da investigação foi
averiguar e analisar se o aluno percebe as formas geométricas em seu cotidiano.
Talvez, a quantitativa não fosse eficaz, pois segundo Bicudo (2004, p. 103) possui a
ideia de racionalidade entendida como quantificação. De acordo com Bicudo (2004,
p.104), a realização de uma pesquisa qualitativa possibilita ―[...] a ideia do sujeito,
possível de expor sensações e opiniões. O significado atribuído a essa concepção
de pesquisa também engloba noções a respeito de percepções de diferenças e
semelhanças de aspectos comparáveis de experiências‖.
Para verificar as concepções prévias que os alunos fazem da geometria plana
e espacial com o cotidiano foi utilizado dois questionário durante o desenvolvimento
da pesquisa: o pré- questionário teve por objetivo diagnosticar os conhecimentos
prévios desses alunos sobre o assunto em questão e o pós- questionário para
verificar a contribuição da modelagem no ensino da geometria.
As atividades investigativas foram realizadas em dois encontros, sendo no
primeiro encontro uma aula (cinquenta minutos) e no segundo três aulas (cento e
cinquenta minutos) que aconteceu em três etapas:
1ª etapa - aplicação de um pré-questionário com duas questões subjetivas e cinco
objetivas. O questionário foi distribuído para todos os alunos responderem, porém
para coleta e análise de dados referentes à pesquisa o questionário de cinco alunos
foram escolhido de forma aleatória, pois é uma amostra suficiente para
levantamento de dados com o objetivo de verificar os conhecimentos prévios dos
alunos quanto aos conteúdos de geometria plana e espacial (anexo -1); após a
aplicação do questionário, foi solicitado que os alunos trouxessem embalagens de
vários tipos com diferentes formas e tamanhos. Também pedi que observasse em
23
mercados ou supermercados qual o tipo de embalagem mais utilizada nas
prateleiras para a atividade do próximo encontro;
2ª etapa - esta etapa foi dividida em quatro momentos:
a) a princípio fiz o seguinte questionamento: podemos perceber a geometria em toda
parte? Alguns disseram que sim e outros responderam depende do lugar onde
estamos. Após o questionamento foi apresentado um documentário, ―Mão na forma‖
que retrata a presença da geometria em diversas áreas da vida, inclusive na
natureza para que a turma refletisse. Em seguida, discussão do vídeo apresentado
alguns alunos confirmaram o quanto a geometria está presente em nossa vida e por
desconhecer algumas informações não percebem;
b) no segundo momento a exposição das embalagens solicitadas para manuseio e
observação das mesmas onde os alunos perceberam entes geométricos variados,
como: pontos, retas, vértices, faces entre outros. Ainda em uma roda de conversa foi
retomado o questionamento da primeira etapa: Qual a embalagem mais utilizada nas
prateleiras dos supermercados ou mercados? Alguns responderam em formato de
dado (cubo), cilindro ou paralelepípedo. Apresentei uma embalagem em formato de
um prisma triangular (frasco de perfume / sólido com canudos) e levantei o seguinte
questionamento: Por que o fabricante prefere trabalhar com maior número de
embalagens no formato de cubo, cilindro ou paralelepípedo do neste formato (prisma
triangular). Logo de início alguns se calaram, outros disseram que não sabiam e
ainda outros responderam que as outras embalagens eram comuns. Instiguei: será
que é por uma questão estética ou econômica (economia de material ou espaço na
prateleira).
Segundo Polya (1994) (apud Aldenir):
A melhor coisa que pode um professor fazer para seu aluno é proporcionar-lhe discretamente uma ideia luminosa, partindo das indagações e sugestões para que o mesmo possa compreender estabelecer um plano e resolver situações problemas. (POLYA, 1994, p. 56).
c) terceiro momento a turma foi dividida em cinco equipes (sendo três equipes com
sete componentes e duas com seis). As equipes tiveram a oportunidade de escolher
uma embalagem para observar e preencher uma tabela onde registraram a forma da
embalagem, o material utilizado para confecção, calcularam o volume, perímetro e
área, para tanto as equipes fizeram a planificação das embalagens. É relevante a
24
planificação, pois através da mesma, o aluno estabelece formas diversas, e
estabelece relação de semelhança e proporção e amplia a noção de plano e espaço.
Através da planificação chega-se a elaboração do Modelo Matemático.
Na realização desta atividade de forma discreta o meu olhar estava centrado
nos cinco alunos escolhidos na primeira etapa para coleta e análise de dados da
pesquisa sem que os demais alunos se sentissem rejeitados (anexo- 2);
3ª etapa - foi aplicado um novo questionário contendo seis questões objetivas com
três alternativas, com a finalidade de observar as possíveis alterações após
aplicação da atividade com embalagem. O questionário foi distribuído para todos os
alunos responderem, porém para coleta e análise de dados após a atividade com
Modelagem, analisei o questionário dos cinco alunos da primeira etapa. (anexo- 4).
3.2.3- Análise e discussão dos resultados
Biembengut (2004) (apud Junior 2004) define um Modelo como sendo: ―um
conjunto de símbolos os quais interagem entre si representados por meio de
desenhos ou imagens, projetos, esquema, gráfico, lei matemática dentre outras
formas‖. Sendo assim, para elaboração de um modelo matemático, segundo a
autora é necessário três etapas: Interação, Matematização e Modelo Matemático.
a)Primeira etapa
Nesta etapa ocorre à Interação que é o primeiro contato com o problema a ser
modelado e o estudante se envolve com o tema. Apresento uma análise que a
princípio partirá de uma perspectiva qualitativa que segundo Bogdan e Biklen (1994),
fundamenta-se nas seguintes características: o contato direto do pesquisador com o
ambiente e a situação que está sendo investigada; os dados coletados são
predominantemente descritivos; o processo é mais relevante do que o produto; o
significado que as pessoas dão às coisas e à sua vida são focos de atenção
especial nesta primeira etapa, não me preocupo com a busca de evidências que
comprovem hipóteses definidas antes do início dos estudos. Para tanto utilizarei
uma tabela para demonstrar os resultados coletados das questões 1 e 2 do pré-
questionário.
Questão 1: O que você entende por geometria plana e espacial?
25
Aluno Respostas Análise
Aluno 1 Mostra como fazer figuras geométricas em matemática.
O aluno sabe que tem haver
com formas geométricas,
mas não diferencia a
geometria plana da espacial.
Aluno 2 É uma figura que contém face,
vértice e aresta.
O aluno reconhece os
elementos do poliedro,
porém não distingue a
geometria plana da espacial.
Aluno 3 No nosso cotidiano entendemos que
figuras planas são figuras que
possuem várias formas diferentes.
Ele percebe que a
geometria está presente no
nosso cotidiano, porém
conceitua apenas a
geometria plana.
Aluno 4 A figura plana serve para muito tipo
espacial.
O aluno não apresenta
conhecimento prévio em
relação a presente questão.
Aluno 5 A figura plana tem forma de coisa
que é plana.
O aluno não distingue a
geometria plana da espacial.
Questão 2: Quais os diferentes tipos de formas geométricas você pode observar na
natureza e em embalagem que você manipula no seu cotidiano?
Aluno Respostas Análise
Aluno 1 São triângulo, quadrado, perímetro e cubo.
O aluno confunde perímetro
que é a soma das medidas
com formas geométricas. E
não relaciona objetos que
estão à sua volta com as
formas geométricas.
Aluno 2 As árvores, pasta de dente, sabão
em pó e outros.
O aluno não cita as formas,
mas relaciona com objetos
do cotidiano.
26
Aluno 3 Triangulo quadrado, retângulo,
losango e trapézio.
O aluno não faz uso da
geometria espacial.
Aluno 4 São triangulo quadrado e retângulo. O aluno resume a geometria
apenas às três formas que é
trabalhada na Educação
Infantil e não faz a relação
com o uso de objeto do
cotidiano e nem a presença
geometria na natureza.
Aluno 5 Cubo, planalto, quadrado, retângulo,
triângulo.
O aluno cita algumas formas
geométricas e apesar de
não demonstrar certa
clareza na escrita, mas dá
para notar que ele percebe
a geometria na natureza.
De posse destes dados percebo que alguns alunos sentem dificuldade em
reconhecer as formas geométricas em embalagens ou na própria natureza visto que
tendem seguir fielmente os modelos que são expostos nos livros ou desenhados no
quadro onde as figuras mostradas estão plano e não podem ser manuseadas. Daí a
importância da geometria espacial na perspectiva da modelagem matemática para
que o aluno perceba a matemática não só como algo prazeroso de se trabalhar, mas
como uma ciência concreta, viva que pode contribuir para situações diversas do
cotidiano.
Segundo Scheffer (1995), ―estudar geometria com o auxilio da modelagem é
partir de uma situação-problema, que vai ser explicada matematicamente, definida
como estratégia de ação, onde o aluno tem a oportunidade de pensar, criar,
estabelecer relações e buscar soluções‖. E durante a aplicação desta pesquisa pude
perceber o quanto é importante utilizar a modelagem matemática como ferramenta
para o ensino da geometria, pois os alunos tiveram a oportunidade de verbalizar
seus pensamentos, partindo assim de uma situação- problema que logo em seguida
foi explicada matematicamente quando os alunos fizeram a planificação das
embalagens para os cálculos.
27
Segundo Fonseca (2002), o manuseio, a observação, a montagem e
desmontagem das embalagens amplia a noção de plano e espaço, relação de
semelhança e proporção.
Como afirma Biembengut (2000) (apud Silva (et al), 2009) ―a modelagem
matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por
tópicos matemáticos que ele ainda desconhece ao mesmo tempo em que aprende a
arte de modelar matematicamente‖. Quando é dada a oportunidade ao aluno em
estudar situações-reais, por meio de pesquisa desenvolvem seu interesse e seu
senso crítico.
Ainda no pré-questionário foram apresentadas cinco questões objetivas com
quatro alternativas. Na questão de número 3ª o objetivo foi calcular o perímetro de
uma dada figura geométrica, na 4ª fazer o cálculo da área de um campo de futebol,
na 5ª calcular a área e o volume de uma piscina, na 6ª nomear o poliedro regular de
12 vértices e 30 arestas utilizando a forma de Euller e na 7ª questão identificar o
número de faces, vértices e arestas do Hexaedro.
Vejamos o resultado em forma de gráfico:
Ao verificar estes dados observamos que os alunos não fazem conexão com
o conhecimento prévio da geometria plana e espacial. Trabalhar com a Matemática
pura, baseada apenas em cálculos sem fazer referência a situações da vida real
28
pode correr os riscos de alguns conteúdos que estão presente no nosso cotidiano
caírem no esquecimento, não tiveram cem por cento de acerto não foi porque nunca
viram o conteúdo, mas porque em um determinado momento aquele conteúdo foi
passado de forma mecânica sem trazer nem um significado para sua vida daí a
razão deste resultado.
Segundo os PCNs, mais importante do que transmitir informações/conteúdos
para serem reproduzidos quando solicitados, é desenvolver nos alunos habilidades e
estratégias que lhes permitam, de forma autônoma, gerar novos conhecimentos a
partir de outros já previamente adquiridos. Para que sejam capazes de resolver
situações que lhes são proposta sem esperar pelo professor ou a resposta do livro
texto, para tanto se faz necessário trabalhar com uma matemática contextualizada.
b) segunda etapa
Na segunda acontece a Matematização que é a formulação do problema e
sua resolução em termos de modelo matemático. Nesta etapa foi trabalhado com a
modelagem matemática como uma alternativa para o ensino da geometria e percebi
como a mesma auxilia o educando no ensino da geometria possibilitando o acesso
ao saber geométrico e a capacidade analisar de situações e tomar decisões. Pois ao
trabalhar com embalagens utilizamos a modelagem como estratégia de ensino como
uma metodologia interdisciplinar onde aproximou os alunos a situações-problemas
reais oriundas de assuntos das mais diversas áreas da sociedade.
Ao iniciar a aplicação da pesquisa foram levantados alguns questionamentos:
Qual a embalagem mais utilizada nas prateleiras dos supermercados ou mercados?
Como percebemos a geometria em nosso cotidiano? Quais as vantagens e
desvantagens de diferentes fabricantes utilizarem o mesmo produto em embalagens
diferentes? Será que é por questões estéticas ou econômicas? E o formato da
embalagem?
Conforme as opiniões apresentadas alguns alunos perceberam que o mais
considerado pelos fabricantes é a questão econômica e não estética. Falaram
também que, dependendo do formato da embalagem ela ocupará um espaço maior
ou menor na prateleira daí a escolha por embalagem com o formato de
paralelepípedo e cilíndrico. Diante destas situações, a modelagem busca um
caminho que é o modelo, que tenta descrever matematicamente este fenômeno até
29
chegar à solução do problema, logo através do cálculo de área ou volume, percebe-
se que a escolha da embalagem na maioria das vezes é por uma questão
econômica, ou seja, ganha mais espaço na prateleira.
Dando continuidade às discussões foram abordadas questões como a
importância da coleta seletiva e da reciclagem, onde afirmaram que são ações que
contribuem de forma eficaz para preservação do meio ambiente.
c) terceira etapa
Na ultima etapa, o Modelo Matemático, acontece à interpretação da solução
encontrada e a verificação da sua veracidade. Nesta etapa, foi aplicado o pós-
questionário com a finalidade de verificar a contribuição da modelagem matemática
no ensino da geometria, analisando assim a aprendizagem da turma além da
conscientização sobre questões relacionadas com o meio ambiente e as vantagens
e desvantagens de diferentes fabricantes utilizarem o mesmo produto em
embalagens diferentes.
Vejamos os resultados:
1ª) Qual a contribuição do trabalho com embalagem para o ensino da geometria?
Aluno 1,2, 3 e 4 → Afirmaram que trabalhar com
embalagem contribui
significativamente para o ensino de
Geometria;
Aluno 5 → Afirmou que trabalhar com
embalagem pouco contribui para o
ensino de Geometria;
2ª) O que você prioriza no momento da compra:
Aluno 1,2 → A embalagem
Aluno 3, 4,5 → Qualidade do produto
3ª) Você acha que o fabricante prioriza o tipo de embalagem por questões:
Aluno 1,2,3,4 e 5 → Econômica
30
4ª) O lixo que sai da sua casa é:
Aluno 1,2,3 e 5 → Separado
Aluno 4 → Não é separado
5ª) Com relação ao meio ambiente a reciclagem hoje:
Aluno 1 → Passa despercebida
Aluno 2, 3, 4 e 5 → Contribui com o meio ambiente
6ª Depois de participar deste projeto como você percebe a geometria em sua volta?
Aluno 1,2, 3, 4 e 5 → Percebe em todos os lugares
O professor e os alunos foram receptivos e demonstraram interesse, pois se
tratava de uma aula diferente, todos responderam os questionários e participaram
ativamente das atividades propostas, sendo que o trabalho de cinco alunos foi
analisado para levantamento de dados.
Trabalhar com modelagem matemática é sair da zona de acomodação, com a
utilização de exercícios rotineiros após a explicação de um determinado conteúdo e
trabalhar com uma abordagem interdisciplinar, possibilitando a reflexão da presença
da matemática no cotidiano.
D’Ambrósio (1986) (apud Fidelis) enfatiza que a Modelagem é caracterizada
pela ―realidade-reflexão sobre a realidade‖ em que o indivíduo cria um Modelo
Matemático que o auxilia a entender e aplicar sua experiência e conhecimento, para
agir sobre essa realidade. Nesse sentido, exigem-se muito mais do que uma simples
aplicação dos conteúdos matemáticos.
Diante da coleta e análise de dados da presente pesquisa notamos o quanto
é gratificante sair da zona de acomodação e buscar na Modelagem alternativa para
um ensino da geometria, pois associando os conteúdos matemáticos a vivências dos
alunos, os professores estarão preparando-os, também para desafios futuros,
possibilitando assim, o desenvolvimento de sua criticidade, uma vez que o
conhecimento precisa estar conectado a uma visão critica da realidade.
31
Considerações finais
Este trabalho não se a propõe esgotar as possibilidades de aprofundamento
do assunto, porém em levantar questões sobre a problemática da geometria como
vem sendo trabalhada nas escolas.
No processo ensino-aprendizagem a geometria encontra-se distante da
vivência do aluno e isto tem causado acentuadas dificuldades quando o aluno se
depara com situações envolvendo conceitos geométricos. Ao contrário da ideia que
tinha no início, essa pesquisa me fez enxergar a necessidade de uma mudança no
currículo, pois a postura linear do educador apresentar o conteúdo em seguida
realizar exercício de fixação e avaliação já não atende a necessidade do aluno.
Percebe-se que essa preocupação é crescente entre os profissionais na área
de Educação Matemática, no entanto algumas tendências são propostas com a
finalidade de conectar a realidade com a matemática promovendo um estudo a partir
do mundo vivido, entre essas tendências encontra-se a modelagem.
Nas análises realizadas, o decorrer do processo notou-se que os alunos
apresentavam conhecimentos defasados, ou seja, apresentando dificuldade em
reconhecer às figuras geométricas em outro objeto ou em outra posição, não
percebendo o quanto a geometria está em sua volta.
Na aplicação da atividade investigativa, mudanças significativas aconteceram,
pois houve um envolvimento com o tema em estudo, identificação e formulação do
problema com possíveis soluções e a correlação da matemática com diversas áreas
do conhecimento.
Os resultados obtidos, ao serem desenvolvidas as atividades foram bastante
satisfatórios, logo se percebe que a modelagem pode ser uma alternativa para o
ensino da geometria espacial, pois possibilidades de acesso ao saber geométrico
foram alargadas e a capacidade de analisar situações e tomar decisões.
Espero, com este trabalho, estar contribuindo para a reflexão em torno da
Educação Matemática. Ao contrário de desejar congelar as ideias aqui postas, quero
colocá-las em movimento. Sugerindo agendamento de futuros estudos sobre a
inserção da modelagem nas séries iniciais já que as propostas de modelagem estão
embasadas em uma abordagem ligada ao cotidiano do aluno, que pode contribuir
para aprimoramento do ensino da matemática.
32
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35
ANEXOS
36
ANEXO - 1
1. O que você entende por figura plana e espacial?
..............................................................................................................................................
...............................................................................................................................
2. Quais os diferentes tipos de formas geométricas você pode observar na natureza
e em embalagem que você manipula no seu cotidiano?
..............................................................................................................................................
...............................................................................................................................
3. O perímetro da figura abaixo é:
(a) 33cm (b) 36 cm (c) 33cm² (d) 36cm²
4. A área do campo de futebol abaixo é:
(a) 170m² (b) 700m² (c) 7000m² (d) 100m²
5. Uma piscina tem 50 m de comprimento, 25 m de largura, 2 m de profundidade.
37
(i) Qual a área de sua superfície?
(ii) Qual o volume de água que ela contém, quando totalmente cheia?
6- (PUC - SP) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
a)Hexaedro
b)Octaedro
c)Dodecaedro
d)Icosaedro
7-Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(a) Face-12, vértice-8, aresta- 6
(b) Face-6, vértice-12, aresta- 8
(c) Face-6, vértice-8, aresta- 12
(d) Face-12, vértice-6, aresta- 8
38
ANEXO - 2
OBSERVANDO EMBALAGEM
FORMA DA
EMBALAGEM
Cilindro Paralelepípedo Prisma
triangular
outras
MATERIAL DE
QUE É FEITA A
EMBALAGEM
Papelão Alumínio Vidro Plástico
VOLUME
PLANIFICAÇÃO:
Perímetro
Área da face
menor;
Área da face
maior.
Equipe:
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
39
ANEXO - 3
QUESTIONÁRIO
1ª) Qual a contribuição do trabalho com embalagem para o ensino da geometria?
( ) contribuiu significativamente
( ) razoavelmente
( ) pouco contribuiu
2ª) O que você prioriza no momento da compra:
( ) a embalagem
( ) o preço
( ) qualidade do produto
3ª) Você acha que o fabricante prioriza o tipo de embalagem por questões:
( ) estéticas
( ) econômica
( ) não possui esta preocupação
4ª) O lixo que sai da sua casa é:
( ) é separado
( ) não é separado
( ) não é algo interessante
5ª) Com relação ao meio ambiente a reciclagem hoje:
( ) passa despercebida
( ) não é importante
( ) contribui com o meio ambiente
6ª Depois de participar deste projeto como você percebe a geometria em sua volta?
40
( ) quase não percebo
( ) percebo
( ) percebo em todos os lugares
