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MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS DE MATERIAIS

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATERAIS PARA

    ENGENHARIA

    MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS DE MATERIAIS COMPSITOS ESTRUTURAIS

    INCORPORANDO MATERIAL VISCOELSTICO PARA O CONTROLE PASSIVO DE VIBRAO E RUDO

    Adriana Amaro Diacenco

    Itajub, maro de 2010.

  • ADRIANA AMARO DIACENCO

    MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS DE MATERIAIS COMPSITOS ESTRUTURAIS INCORPORANDO MATERIAL

    VISCOELSTICO PARA O CONTROLE PASSIVO DE VIBRAO E RUDO

    Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Materiais para Engenharia da Universidade Federal de Itajub, como requisitos para obteno do ttulo MESTRE EM MATERIAIS PARA ENGENHARIA rea de Concentrao: Polmeros e Semi-condutores. Orientador: Edmilson Otoni Crrea Co-orientador: Antnio Marcos Gonalves de Lima

    ITAJUB MG

    2010

  • iv

    Dedico esta Dissertao minha me e meu av por terem sempre me ajudado e apoiado em todos os momentos de minha vida e aos meus orientadores que estiveram sempre presentes no desenvolvimento deste trabalho.

  • v

    AGRADECIMENTOS

    Agradeo aos orientadores, Prof. Dr. Antnio Marcos Gonalves de Lima pela orientao imprescindvel para o desenvolvimento do trabalho, pela oportunidade, incentivo, dedicao e amizade durante o desenvolvimento desta Dissertao e ao Prof. Dr. Edmilson Otoni Crrea pelas oportunidades a mim conferidas, pela amizade, ajuda e disponibilidade em me atender quando foi preciso e, por ter me apresentado ao prof. Dr. Antnio Marcos Gonalves de Lima que depositou sua confiana neste trabalho. A Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES) pelo apoio financeiro. Aos programas de Ps-graduao em Materiais para Engenharia e Engenharia Mecnica da Universidade Federal de Itajub.

  • vi

    DIACENCO, A. A. Modelagem por elementos finitos de materiais compsitos estruturais incorporando material viscoelstico para o controle passivo de vibrao e rudo. 2010. Dissertao de Mestrado, Universidade Federal de Itajub, MG.

    RESUMO

    Este trabalho dedicado modelagem por elementos finitos de estruturas compostas

    laminadas incorporando materiais viscoelsticos para o controle passivo de vibraes e

    rudos. Neste contexto, foi estudada a dependncia da capacidade de amortecimento dos

    materiais viscoelsticos com relao frequncia de excitao e temperatura e

    incorporao do amortecimento viscoelstico em modelos de elementos finitos de

    sistemas estruturais. Para a modelagem de estruturas compostas laminadas foi

    empregada a Teoria da Deformao Cisalhante de Ordem Superior combinada com um

    elemento de placa plana retangular do tipo Serendipity contendo oito ns e onze graus

    de liberdade por n. O amortecimento viscoelstico representado pelo modelo do

    mdulo complexo associado ao conceito de fator de deslocamento e frequncia reduzida

    de acordo com o Princpio da Superposio Frequncia-Temperatura. Alm disso, foi

    implementado um mtodo de reduo de sistemas amortecidos viscoelasticamente via

    utilizao de uma base de reduo constante (independente da frequncia e da

    temperatura) com o objetivo de reduzir o tempo computacional requerido para o clculo

    das respostas dinmicas dos sistemas amortecidos. Para avaliar a influncia dos

    parmetros de projeto nas respostas dinmicas, apresentada uma formulao baseada

    em derivadas de primeira ordem para a anlise de sensibilidade das funes de resposta

    em frequncia em relao a um conjunto de parmetros de projeto pr-definidos e que

    foram fatorados das matrizes elementares de elementos finitos via procedimento de

    parametrizao do modelo. Toda a modelagem matemtica foi implementada

    computacionalmente utilizando o ambiente de programao MATLAB, e os resultados

    obtidos permitiram no s avaliar o desempenho dos materiais viscoelsticos em termos

    da atenuao dos nveis de vibrao, mas tambm, ilustrar os procedimentos de

    modelagem e incorporao do amortecimento viscoelstico em modelos de elementos

    finitos de estruturas compostas.

    Palavras Chave: Elementos finitos. Materiais compsitos estruturais. Material

    viscoelstico. Controle passivo de vibrao e rudos. Teoria da Deformao Cisalhante

    de Ordem Superior.

  • vii

    DIACENCO, A. A. Finite Element Modeling of Composite Laminated Structures Incorporating Viscoelastic Materials for the Passive Control of Vibration and Noise. 2010. M. Sc. Thesis, Federal University of Itajub, MG.

    ABSTRACT

    This work is dedicated to the finite element modeling procedures of composite

    laminated structures incorporating viscoelastic materials for the passive control of

    vibrations and noises. In this context, the frequency- and temperature-dependence of the

    viscoelastic behavior and the incorporation of the viscoelastic damping into finite

    element models of structural systems have been studied. In order to model composite

    laminated structures, the Higher-order Shear Deformation Theory combined with a

    rectangular Serendipity element composed by eight nodes and eleven degrees of

    freedom per node have been used. The viscoelastic damping is represented by the

    complex modulus approach associated with the concept of shift factor and reduced

    frequency according to the Frequency-Temperature Superposition Principle. Moreover,

    a condensation strategy of the viscoelastic systems by using a constant basis of

    reduction (frequency- and temperature-independent) has been developed with the aim of

    reducing the time consuming required to compute the dynamic responses of damped

    systems. In order to evaluate the influence of the design parameters on the dynamic

    responses, the first-order derivatives for the sensitivity analysis of the frequency

    responses functions with respect to the design variables that have been factored-out of

    the elementary finite element matrices by the parameterization process have been

    investigated. The mathematical modeling has been implemented by using the

    commercial available software MATLAB, and the numerical results obtained enables

    us to evaluate the performance of the viscoelastic materials in reducing the vibration

    levels on the amplitudes resonance picks, and to illustrate the modeling procedures and

    incorporation of the viscoelastic damping into finite element models of composite

    laminated plates systems.

    Keywords: Finite element. Composite materials, viscoelastic materials, passive

    vibration control, higher-order shear deformation theory.

  • viii

    LISTA DE SMBOLOS

    SMBOLOS LATINOS

    E : mdulo de elasticidade longitudinal

    G : mdulo de cisalhamento

    ),( 0 tF : funo fluncia

    ),( 0 tR : funo de relaxao

    )(tG : funo mdulo

    )(sH : funo de dissipao

    )(G : mdulo de armazenamento

    )(G : mdulo de perda

    M : matriz de massa

    K : matriz de rigidez global

    eK : matriz de rigidez da subestrutura elstica

    T,vK : matriz de rigidez da subestrutura viscoelstica

    )(Q : vetor de deslocamento

    )(F : vetor das foras externas

    )(Y : vetor das respostas

    T,Z : matriz da rigidez dinmica complexa

    T,H : matriz de flexibilidade dinmica

    zbD : operador diferencial associado s deformaes de flexo-membrana

    zsD : operador diferencial associado s deformaes de cisalhamento

    kkb C : matriz ortotrpica associada flexo kks C : matriz ortotrpica associada ao cisalhamento

  • ix

    SMBOLOS GREGOS

    )(t : tenso

    )(t : deformao

    : viscosidade

    )(s : coeficiente de Poisson

    : fator de perda

    r : freqncia reduzida

    T : fator de deslocamento

    i : autovalores

    b : deformao de flexo-membrana

    s Deformao de cisalhamento

    , : coordenadas locais densidade de massa

    LISTA DE ABREVIAES

    CLT Teoria Clssica dos Laminados

    FSDT Teoria da Deformao Cisalhante de Primeira Ordem

    HSDT Teoria da Deformao Cisalhante de Ordem Superior

    MEF Mtodo dos Elementos Finitos

    FRFs Funes de Resposta em Frequncia

    g.d.ls graus de liberdade

    CCA comportamento conservativo associado

    SCA sistema conservativo associado

  • x

    SUMRIO

    CAPTULO 1 INTRODUO 1

    CAPTULO 2 MATERIAIS COMPSITOS 6

    2.1. Introduo aos materiais compsitos 6

    2.2. Classificao dos materiais compsitos 10

    2.2.1. Compsitos particulados 10

    2.2.2. Compsitos reforados com fibras 11

    2.2.3. Compsitos estruturais 11

    CAPTULO 3 CARACTERIZAO DO COMPORTAMENTO

    DINMICO DE MATERIAIS VISCOELSTICOS 14

    3.1. Viscoelasticidade linear 14

    3.2. Mdulo Complexo 17

    3.3. Influncia da Frequncia e Temperatura nas propriedades

    dos materiais viscoelsticos 17

    3.4. Princpio da Superposio Freqncia-Temperatura 20

    3.5. Representao do mdulo complexo 22

    3.6. Incorporao do comportamento viscoelstico em modelos

    de elementos finitos 24

    3.7. Mtodos de reduo de modelos aplicados a sistemas

    tratados viscoelasticamente 26

    CAPTULO 4 MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS DE

    COMPSITOS ESTRUTURAIS

    4.1. Introduo 30

    4.2. Formulao por elementos finitos de placas compostas

    laminadas 33

    4.3. Parametrizao das matrizes elementares 36

    4.4. Placas compostas sanduches contendo camadas viscoelsticas 40

    4.5. Emprego das diferenas finitas para a anlise de sensibilidade

    paramtrica das respostas dinmicas 42

  • xi

    4.5.1. Sensibilidade das FRFs com relao aos parmetros

    Estruturais 43

    4.5.2. Sensibilidade das FRFs com relao a temperatura 44

    CAPTULO 5 SIMULAES NUMRICAS 45

    5.1. Placa composta laminada com amortecimento

    inerente 45

    5.2. Placa composta laminada contendo amortecimento

    viscoelstico 47

    5.3. Efeito da temperatura no comportamento dinmico

    da placa composta sanduche 48

    5.4. Anlise de sensibilidade da placa composta laminada

    contendo amortecimento inerente 49

    5.5. Anlise de sensibilidade de uma estrutura composta

    sanduche 53

    5.6. Clculo das FRFs do sistema perturbado utilizando os

    valores de sensibilidade 55

    CAPTULO 6 CONCLUSES GERAIS E PROPOSTAS DE

    CONTINUIDADE 57

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 60 ANEXO A ELEMENTO SERENDIPITY 66 ANEXO B OPERADORES DIFERENCIAIS 68

  • 1

    CAPTULO 1

    INTRODUO

    Materiais compsitos tm sido utilizados cada vez mais em substituio aos materiais

    convencionais como, por exemplo, os materiais metlicos, os cermicos, e os polmeros. Isso se

    deve s propriedades superiores e/ou especficas desses materiais, dentre as quais, pode-se citar a

    sua relao resistncia/peso muito superior quando comparado aos materiais metlicos tradicionais

    como ao e alumnio (Callister Jr., 2002; Faria, 2006).

    As inmeras possibilidades de combinaes dos componentes bem como o

    desenvolvimento de novos materiais e de novas tecnologias de fabricao, tm contribudo para o

    aumento crescente do emprego dos materiais compsitos. Como conseqncia natural de

    aplicaes cada vez mais numerosas, pode-se notar um crescente avano nas pesquisas voltadas

    para a modelagem matemtica e simulaes numrico-computacionais do comportamento

    dinmico de materiais compsitos. Confeccionados de acordo com as necessidades mecnicas de

    projeto, os materiais compsitos so a soluo mais adequada quando se necessita de estruturas

    mais leves e resistentes, ou combinaes de propriedades mecnicas difceis de serem obtidas nos

    materiais convencionais (Pinheiro et al., 2006).

    A aplicao de materiais compsitos em diversos ramos da engenharia tem crescido

    significativamente nos ltimos anos, destacando-se as aplicaes nas indstrias aeroespaciais,

    automobilstica, civil, petrolfera, dentre outras. Na indstria aeronutica, os materiais compsitos

    tm sido utilizados na fabricao de partes de fuselagens de avies comerciais como, por exemplo,

    do Boieng 787, que tem 50% de sua estrutura em materiais compsitos, como ilustrado na Figura

    1.1(a). J na indstria petrolfera, como ilustrado na Figura 1.1(b), os materiais compsitos so

    empregados na fabricao de risers, por serem mais leves, mais resistentes fadiga e corroso

    em relao ao ao.

  • 2

    (a)

    (b)

    Figuras 1.1 (a) Boieng 787 e sua fuselagem; (b) Riser fabricado em material compsito.

    Existem diferentes classificaes para os materiais compsitos disponveis na literatura.

    Eles podem ser classificados de acordo com a morfologia da fase dispersa em compsitos

    reforados com partculas, compsitos reforados com fibras e compsitos estruturais (Reddy,

    1997). De acordo com Callister Jr. (2002), existem ainda pelo menos duas subclasses para cada

    uma das classificaes anteriores. Nesta dissertao, de interesse particular o estudo dos

    compsitos estruturais, sendo os mais comuns, os compsitos estruturais do tipo laminados e do

    tipo sanduches (Mendona, 2005).

    No estado atual de desenvolvimento tecnolgico, os materiais compsitos estruturais esto

    sendo cada vez mais integrados em diversos produtos de alta tecnologia, notadamente nos setores

    aeroespacial e automobilstico. Neste tipo de aplicao, as estruturas compostas laminadas e/ou

    sanduches esto freqentemente expostas a perturbaes estticas e dinmicas que afetam

    significativamente as caractersticas mecnicas e de resposta (como resposta esttica podem-se

    citar as deformaes e distribuies de tenses, e como dinmica, podem-se citar as funes de

    resposta em frequncia e modos de vibrao) de tais estruturas. Alm disso, ocorre um

    comprometimento da integridade estrutural dessas estruturas podendo lev-las ao colapso. Neste

    contexto, um aspecto importante a ser investigado, e que tem mobilizado um grande nmero de

    pesquisadores em todo o mundo, o procedimento de modelagem numrico-computacional de

    estruturas compostas laminadas do tipo sanduche combinados com tcnicas passivas de atenuao

    de vibraes e rudos (Berthelot, 2006; Faria et al., 2008; de Lima et al., 2009).

    Em meio s inmeras tcnicas empregadas para o controle de vibrao e rudo em sistemas

    mecnicos, as chamadas tcnicas de controle passivo tm sido incorporadas em muitos sistemas

  • 3

    industriais devido s inmeras vantagens quando comparadas com as tcnicas de controle ativo,

    como por exemplo, baixo custo efetivo e de fcil manuteno e aplicao (de Lima, 2007). Alm

    disso, tais tcnicas no necessitam de nenhuma fonte de energia externa, fato que garante inerente

    estabilidade ao sistema e as tornam mais bem adaptadas a aplicaes em sistemas industriais de

    grande porte. Tipicamente, o controle passivo de vibraes pode ser obtido com a utilizao de

    materiais viscoelsticos, que so capazes de absorver a energia vibratria do sistema e dissip-la

    sob a forma de calor. Os materiais viscoelsticos podem ser aplicados sob a forma de tratamentos

    superficiais e/ou dispositivos discretos como apoios viscoelsticos translacionais e juntas

    rotacionais, como ilustrado na Figura 1.2.

    Figura 1.2 Tipos de tratamentos viscoelsticos: tratamento superficial por camada restrita passiva

    e ativa (a), e por apoios translacionais (b) e juntas rotacionais (c).

    Em aplicaes nas quais os carregamentos dinmicos esto envolvidos, o interesse em

    atenuar os nveis de vibrao e rudo torna-se um fator de extrema importncia, visto que, a no

    resoluo deste problema, pode comprometer a integridade da estrutura. Alm disso, as respostas

    dinmicas de sistemas estruturais podem ser sensveis a certos parmetros de projeto que devem

    ser considerados durante a fase de concepo inicial do projeto de estruturas complexas de

    engenharia. Nestes casos, realiza-se uma anlise de sensibilidade paramtrica das respostas

    dinmicas na tentativa de avaliar a influncia de um ou mais parmetros de projeto no

    comportamento dinmico dos sistemas mecnicos. Para os compsitos estruturais do tipo

    laminados, os parmetros de projeto que foram considerados nas respostas dinmicas do sistema

    so: as espessuras das camadas e as orientaes das fibras. Para os compsitos estruturais do tipo

    sanduche incorporando um ncleo viscoelstico, a temperatura torna-se um parmetro de projeto

    significativo, uma vez que as propriedades dos materiais viscoelsticos dependem fortemente da

    temperatura e da frequncia de excitao (Nashif et al., 1985).

  • 4

    bem conhecido o fato de que materiais compsitos reforados com fibras apresentam

    mecanismos de amortecimento inerente associados ao comportamento viscoelstico das matrizes

    polimricas e tambm a outros mecanismos de dissipao interna. Mas tal mecanismo pode ser

    insuficiente, dependendo das necessidades de projeto de cada caso, requerendo a utilizao de

    tratamentos viscoelsticos internos, como por exemplo, a aplicao de um ncleo viscoelstico

    entre as camadas de materiais compsitos, possibilitando o aumento do amortecimento. No

    contexto do controle passivo de vibraes e rudo, poucos trabalhos tm sido propostos com o

    intuito de representar matematicamente o comportamento dinmico de materiais compsitos com

    amortecimento viscoelstico, o que motiva o trabalho proposto nesta dissertao.

    As dificuldades econmicas e prticas, associadas avaliao do comportamento estrutural

    de sistemas dinmicos de interesse industrial, tm motivado o desenvolvimento e o uso de mtodos

    de simulao numrica. Dentre esses, o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) tem-se mostrado o

    mais adequado, principalmente em virtude de suas caractersticas vantajosas de flexibilidade de

    modelagem e relativa facilidade de implementao numrico-computacional de problemas

    complexos de engenharia (Sias, 2004; de Lima et al., 2009).

    No que diz respeito modelagem de estruturas compostas laminadas, na literatura, pode ser

    encontrada uma grande diversidade de teorias utilizadas na formulao de elementos finitos de

    materiais compsitos, cada uma delas apresentando caractersticas favorveis e desfavorveis,

    notadamente em relao preciso, domnio de aplicao, e esforo computacional envolvido na

    sua implementao (Reddy, 1997; de Lima et al., 2009). A principal diferena entre elas a ordem

    das funes polinomiais escolhidas para aproximar as variveis de campo mecnicas e

    aplicabilidade.

    Dentre as vrias teorias que foram desenvolvidas para a modelagem de estruturas

    compostas laminadas, a Teoria da Deformao Cisalhante de Ordem Superior (Higher-order Shear

    Deformation Theory HSDT) proposta por Lo et al. (1977) foi escolhida no presente estudo, uma

    vez que aproxima as variveis mecnicas por uma funo polinomial de terceira ordem e seus

    resultados se aproximam bem dos resultados obtidos atravs do emprego da Teoria da Elasticidade

    Tridimensional (Reddy, 1997). Apesar de apresentar um maior nmero de graus-de-liberdade

    (g.d.ls) quando comparada a outras teorias, as principais vantagens da HSDT so: (i) pode ser

    usada para a modelagem de placas finas e espessas; (ii) descreve o efeito das deformaes

    cisalhantes transversais e normal; (iii) no requer o uso de um fator de correo para as

    deformaes cisalhantes.

    Com base no que foi exposto acima, o principal objetivo deste trabalho a implementao

    numrico-computacional utilizando o mtodo dos elementos finitos para placas compostas do tipo

  • 5

    laminadas e sanduches incorporando materiais viscoelsticos para o controle passivo de vibrao

    e rudo. dada nfase s tcnicas de reduo de modelos viscoelsticos no domnio frequencial

    para a reduo do custo computacional envolvido no clculo das funes de resposta em

    frequncia.

    Alm deste captulo introdutrio, esta dissertao est estruturada em cinco captulos cujo

    contedo organizado da seguinte forma:

    O Captulo 2 apresenta um resumo geral sobre os principais tpicos inerentes aos materiais

    compsitos no contexto desta dissertao, tais como: constituio dos materiais compsitos,

    algumas de suas aplicaes, e classificao dos mesmos em termos da morfologia dos agentes de

    reforo.

    No Captulo 3 apresentado um resumo geral sobre a viscoelasticidade linear, e sobre os

    modelos matemticos utilizados para representar este tipo de amortecimento. Neste trabalho de

    dissertao, h o interesse pela viscoelasticidade linear aplicada aos materiais homogneos

    isotrpicos, para a introduo do mdulo complexo. Finalmente, a utilizao do mdulo complexo

    combinado com modelos de elementos finitos de sistemas dinmicos discutida, onde

    apresentada uma tcnica de reduo de modelos viscoelsticos via utilizao de uma base de

    reduo independente da frequncia.

    O Captulo 4 dedicado modelagem de elementos finitos de elementos estruturais do tipo

    placas retangulares laminadas e sanduches, baseada em de Lima et al. (2010), bem como o

    processo de parametrizao do modelo de elementos finitos, onde so colocados em evidncia os

    parmetros de projeto que definem o espao de concepo. A parametrizao uma etapa

    essencial da modelagem por elementos finitos facilitando a introduo das incertezas e/ou

    modificaes paramtricas e o clculo das sensibilidades paramtricas que so freqentemente

    utilizadas nos processos de otimizao e/ou de ajuste de modelos.

    Para verificar a metodologia proposta, foram realizadas simulaes numricas utilizando

    estruturas simples como placas planas laminadas com amortecimento inerente e placas laminadas

    do tipo sanduches contendo camadas viscoelsticas.

    No Captulo 6 so apresentadas as concluses gerais, bem como as perspectivas de

    continuidade de trabalhos futuros.

  • 6

    CAPTULO 2

    MATERIAIS COMPSITOS

    Neste captulo so apresentados os principais conceitos relacionados aos materiais

    compsitos no contexto deste trabalho. Tambm feita uma abordagem sobre a constituio dos

    materiais compsitos, bem como de algumas de suas aplicaes e classificao em termos da

    morfologia de seus agentes de reforo. Aspectos mais especficos sobre a teoria dos materiais

    compsitos como processos de fabricao e comportamento mecnico podem ser encontrados em

    Callister Jr. (2002), Mendona (2005) e Reddy (1997).

    2.1. Introduo aos materiais compsitos

    Desde a antiguidade at os dias atuais, a procura de novos materiais com propriedades

    especficas para atender determinados requisitos de projeto tem despertado o interesse de

    pesquisadores de todo o mundo. Os Hebreus j utilizavam palhas cortadas na fabricao de tijolos

    de argila (Tapia, 1998), sendo estes, considerados como materiais compsitos, visto que a argila

    responsvel pela resistncia mecnica compresso e as fibras pela diminuio do peso e aumento

    da resistncia trao (Faria, 2006).

    Um material compsito um conjunto de dois ou mais materiais diferentes, combinados

    em escala macroscpica para funcionarem como uma nica unidade, visando obter um conjunto de

    propriedades que nenhum dos componentes individualmente apresenta (Mendona, 2005). Como

    conseqncia desta composio, os materiais compsitos so heterogneos e, na maioria das vezes,

    apresentam comportamento mecnico anisotrpico. Neste contexto, aspectos relacionados ao

    comportamento mecnico podem ser facilmente manipulados no projeto de um material

    compsito, como por exemplo, a resistncia esttica, resistncia fadiga, rigidez, resistncia

    corroso, resistncia abraso e reduo de peso, sendo essas, algumas das principais vantagens

    dos materiais compsitos em relao aos materiais convencionais como ao e alumnio. Isto tem

    motivado o uso em grande escala dos materiais compsitos, principalmente a partir da primeira

    metade do sculo XX sendo bastante empregados nas indstrias aeroespacial, naval,

    automobilstica, petrolfera e eletrnica (Callister Jr., 2002).

  • 7

    A partir da dcada de 60, os materiais compsitos de alto desempenho foram introduzidos

    de maneira definitiva na indstria aeroespacial. O desenvolvimento das fibras de carbono, boro, e

    quartzo ofereceram aos projetistas a oportunidade de flexibilizar os projetos estruturais na tentativa

    de atender s necessidades de desempenho em vo de aeronaves e veculos espaciais. Ao mesmo

    tempo, os compsitos carbono/carbono (compsitos de Carbono Reforados com Fibras de

    Carbono - CRFC) e tecidos de fibras de quartzo foram desenvolvidos e submetidos a severas

    condies trmicas e de eroso, em cones dianteiros de foguetes, em partes externas de veculos

    submetidos reentrada na atmosfera terrestre e em avies supersnicos. Alm disso, os avanos

    obtidos com os materiais compsitos criaram novas oportunidades para estruturas de alto

    desempenho e com baixo peso, favorecendo o desenvolvimento de sistemas estratgicos, como na

    rea de msseis, foguetes e aeronaves de geometrias complexas (Rezende e Botelho, 2000).

    A empresa Boeing lanou em 2007 o modelo 787 (ver Fig. 1.1(a), Captulo 1), o

    Dreamliner, cuja estrutura primria, incluindo fuselagem e asas, 50% feita em material

    compsito. Dentre as vantagens enumeradas pela Boeing esto reduo de 20% no consumo de

    combustvel e o ganho de velocidade quando se compara o modelo 787 com avies de porte

    similar. Tambm houve benefcios para processo de produo: para manufaturar uma seo da

    fuselagem, a empresa eliminou 1,5 mil folhas de alumnio ao usar o compsito.

    A Fig. 2.1 mostra um histograma representativo do aumento significativo da utilizao de

    materiais compsitos na indstria aeronutica (Gay et al., 2002).

    Figura 2.1 Evoluo da massa relativa dos principais materiais utilizados na indstria aeronutica

    (adaptado de Gay et al., 2002).

  • 8

    A utilizao dos materiais compsitos dentro da indstria automobilstica bem mais

    recente do que na rea aeronutica. Inicialmente, eram produzidos somente pra-choques e tetos de

    automveis. Atualmente, o material compsito utilizado para a fabricao de crters de leo,

    colunas de direo, rvores de transmisso, molas laminadas, painis, etc. Uma das grandes

    vantagens advindas com a utilizao dos materiais compsitos no meio automobilstico , alm da

    reduo do peso, a facilidade em confeccionar peas com superfcies complexas (Pereira, 1999).

    Na indstria petrolfera, os materiais compsitos so utilizados na fabricao de risers

    como ilustrado na Fig.1.1(b) que so estruturas responsveis pelo transporte de petrleo do poo

    submarino at a plataforma offshore. Os risers fabricados em material compsito apresentam

    vantagens sobre os convencionais em ao porque so mais leves e mais resistentes fadiga e

    corroso, alm de serem bons isolantes trmicos (Sousa et al., 2007).

    Segundo Mendona (2005), uma das primeiras hipteses utilizadas na teoria de materiais

    compsitos que eles se comportam de forma elstica e linear so duas definies distintas. O

    comportamento elstico significa que, se o corpo for carregado, aps o descarregamento ele

    retornar completamente s suas formas e dimenses originais, sem apresentar nenhuma

    deformao residual. O comportamento linear pode ser entendido como uma proporcionalidade

    entre o carregamento e a resposta. O comportamento do material compsito pode ser tambm

    estudado em termos da micromecnica, envolvendo as interaes microscpicas entre os

    elementos constituintes da lmina (matriz e reforos) como ilustrado na Fig. 2.2. Este estudo

    possibilita a obteno das propriedades mdias de cada lmina, tais como mdulo de elasticidade e

    densidade que so obtidos a partir das fraes volumtricas das fibras e da matriz, atravs de um

    procedimento denominado de regra da mistura. J a macromecnica estuda o comportamento da

    lmina como um todo e, nesta abordagem, a lmina considerada um corpo homogneo embora

    anisotrpico, com propriedades mecnicas globais supostas conhecidas e determinadas

    previamente quer pelas formulaes da micromecnica quer por tcnicas experimentais

    (Mendona, 2005; Faria, 2006). A ttulo de exemplo do estudo da macromecnica bsica de

    estruturas compostas laminadas, pode-se citar o trabalho realizado por Pinheiro et al. (2006) em

    que um aplicativo computacional foi desenvolvido com o objetivo de facilitar o trabalho dos

    projetistas de estruturas laminadas compostas no processo de escolha das melhores opes durante

    a sua montagem.

  • 9

    Figura 2.2 Estratificado laminado.

    Muitos materiais compsitos so constitudos por apenas duas fases; uma chamada de

    matriz, que contnua e envolve a outra fase, chamada frequentemente de fase dispersa. As

    propriedades dos compostos so uma funo das propriedades das fases constituintes, das suas

    quantidades relativas e da geometria da fase dispersa. A distribuio e interao destas duas fases

    determinam as propriedades finais da estrutura composta (Callister Jr., 2002). A fase matriz pode

    ser feita a partir de metais, polmeros ou cermicas. Em geral, os metais e os polmeros so mais

    utilizados na constituio da matriz, uma vez que desejvel alguma ductilidade. A matriz possui

    vrias funes, a saber: (a) interligar as fibras; (b) atuar como meio transmissor e distribuidor das

    tenses externas aplicadas para as fibras; (c) proteger as fibras individuais contra danos

    superficiais, como resultado de abraso mecnica ou de reaes qumicas com o ambiente.

    Tecnologicamente, os materiais compsitos mais importantes so aqueles em que a fase

    dispersa encontra-se na forma de uma fibra, pois apresentam elevados limites de resistncia

    trao. As fibras podem ser feitas de materiais policristalinos ou amorfo, dentre os tipos mais

    comuns de fibras podem-se citar as fibras de vidro, de aramida (Kevlar), de carbono e de carbeto

    de silcio (Callister Jr., 2002).

    2.2. Classificao dos materiais compsitos

    Os materiais compsitos so classificados em termos da morfologia de seus agentes de

    reforo, sendo que, com esta classificao tem-se os compsitos particulados, os compsitos

    reforados com fibras e os compsitos estruturais, conforme ilustrado na Fig. 2.3.

  • 10

    Compsitos

    Fibras Reforantes

    Partculas Reforantes

    Estruturais

    Laminados SanduchesContnua (alinhada)

    Descontnua (picada)

    Orientada Aleatria

    PartculasGrandes

    PartculasPequenas

    Figura 2.3 Esquema de classificao dos materiais compsitos (adaptado de Tita (1999)).

    2.2.1. Compsitos Particulados

    Os compsitos reforados com partculas podem ser de dois tipos: os compsitos

    reforados com partculas grandes, e os compsitos reforados por disperso. A Fig. 2.4 ilustra um

    material compsito particulado. A distino entre essas subclassificaes est baseada no

    mecanismo de reforo ou aumento de resistncia, onde a fase particulada mais dura e mais rgida

    do que a matriz.

    Figura 2.4 Compsito particulado

    Os compsitos reforados com partculas grandes no podem ser tratados do ponto de vista

    atmico ou molecular, sendo que, para tais materiais, empregada a teoria da mecnica do

    contnuo. Um exemplo de compsito com partculas grandes o concreto, que composto por

    cimento (matriz) e areia e brita (elementos particulados). Pode-se citar ainda o cermeto que

    largamente utilizado como ferramenta de corte para aos endurecidos, sendo o mais comum,

    constitudo por partculas extremamente duras de uma cermica refratria base de carbeto, tal

    como o carbeto de tungstnio (WC) ou carbeto de titnio (TiC), envolvidas em uma matriz de

    metal como o cobalto ou nquel.

    No caso dos compsitos que tm sua resistncia aumentada por disperso, as partculas so,

    em geral, muito menores, com dimetro entre 0,01 e 0,1 m. As interaes partcula-matriz que

  • 11

    levam ao aumento da resistncia ocorrem a nvel atmico ou molecular. Uma vantagem do efeito

    do reforo por disperso que o aumento da resistncia mantido a temperaturas elevadas e por

    longos perodos de tempo.

    Um estudo realizado pelos pesquisadores Mendona, Piratelli-Filho e Levy Neto (2003),

    trata da possvel aplicao de materiais compsitos particulados em bases de mquinas ferramentas

    e em mquinas de medio por coordenadas, como tornos e retificadoras. Estes compsitos tm

    substitudo gradativamente o ferro fundido, sendo que suas maiores vantagens so os baixos

    coeficientes de expanso trmica, menor peso, e suas excelentes caractersticas de amortecimento

    de vibraes. Mesmo apresentando algumas desvantagens em relao ao ferro fundido como

    absoro de umidade, dilatao trmica lenta, e mdulo de elasticidade menor, estes compsitos

    esto sendo utilizados por alguns fabricantes de mquinas ferramentas.

    2.2.2. Compsitos reforados com fibras

    As caractersticas mecnicas de um compsito reforado com fibras no dependem somente

    das propriedades da fibra, mas tambm do arranjo ou orientao das mesmas umas em relao s

    outras, a concentrao delas, e sua distribuio pela matriz. Neste sentido, tm-se dois tipos de

    fibras: as fibras contnuas e as fibras descontnuas ou curtas como ilustrado na Fig. 2.5.

    (a) (b)

    Figura 2.5 (a) compsitos com fibras curtas; (b) compsitos com fibras longas.

    importante destacar que embora a eficincia de reforo seja menor para as fibras

    descontnuas do que para as fibras contnuas, os compsitos com fibras descontnuas esto se

    tornando cada vez mais importantes no mercado comercial.

    As fibras ainda podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas segundo

    uma mesma direo; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas direes ortogonais

  • 12

    (tecidos), ou com as fibras orientadas aleatoriamente (esteiras), e tridimensionais, quando as fibras

    so orientadas no espao tridimensional (tecidos multidimensionais).

    Uma das grandes reas de aplicao de compsitos fibrosos a construo civil onde so

    usados diversos tipos de fibras, desde as naturais como celulose, amianto, sisal e juta, como as

    artificiais: plstico (polipropileno, nylon, polister), vidro e ao (Faria, 2006).

    2.2.3. Compsitos Estruturais

    Um compsito estrutural composto tanto por materiais homogneos como por materiais

    compsitos cujas propriedades dependem no somente das propriedades dos materiais

    constituintes, mas tambm do projeto geomtrico dos vrios elementos estruturais (Callister Jr.,

    2002). Existem dois tipos bsicos de compsito estrutural: compsito estrutural laminar (tambm

    chamado de laminado) e compsito estrutural do tipo sanduche. Os compsitos estruturais

    laminados so constitudos por um empilhamento de camadas (lminas) ligadas entre si, com as

    fibras orientadas em diferentes direes como ilustrado na Fig. 2.6. Um laminado tpico

    constitudo por vrias lminas, frequentemente idnticas, variando suas orientaes para melhor

    atender os requisitos de projeto ou fabricao.

    Figura 2.6 Compsito estrutural do tipo laminado (onde a orientao das fibras)

    As vrias combinaes de orientaes, espessuras e materiais de cada lmina que compe o

    laminado fazem com que o comportamento deste material possua caractersticas diferentes das

    observadas em cada lmina individual. Uma abordagem extremamente interessante, neste contexto

    de estudo, a anlise macromecnica de um laminado, na qual possvel realizar a modelagem do

    comportamento dinmico da estrutura laminada, supondo-se conhecidas as propriedades

    mecnicas e o comportamento individual de cada lmina.

    Os compsitos estruturais do tipo sanduches, como mostrado na Fig. 2.7 so formados por

    lminas fibrosas mais resistentes e um ncleo constitudo de um material menos denso, que

  • 13

    proporciona certo grau de rigidez contra o cisalhamento ao longo dos planos perpendiculares s

    faces e tambm resiste s deformaes perpendiculares ao plano da face (Callister Jr., 2002).

    (a) (b)

    Figura 2.7 Estrutura sanduche de alma plena (a) e de alma vazada do tipo ondulada (b)

    (adaptado de Faria, 2006).

    O ncleo de um material compsito do tipo sanduche comumente chamado de alma ou

    recheio. Existem dois tipos de almas: cheias e vazadas (ou vazias). Os materiais mais utilizados

    para almas cheias so madeiras celulares, diversas espumas celulares, resinas carregadas de micro-

    esferas vazias de vidro denominadas espumas sintticas, plsticos, etc. Os principais materiais

    utilizados nas almas vazadas, essencialmente na forma de colmia de abelhas (alvolos

    hexagonais) e perfis so: ligas metlicas leves, papel Kraft (com ou sem resina), papel poliamida,

    etc. (Faria, 2006).

    importante salientar que, como as estruturas de engenharia esto sujeitas a perturbaes

    estticas e/ou dinmicas que causam vibraes e rudo, os materiais compsitos do tipo sanduche

    contendo um ncleo viscoelstico constitui-se numa alternativa bastante vivel para aumentar o

    amortecimento das estruturas laminadas do tipo sanduche (de Lima et al, 2009).

  • 14

    CAPTULO 3

    CARACTERIZAO DO COMPORTAMENTO DINMICO DOS

    MATERIAIS VISCOELSTICOS

    Neste captulo so apresentados os principais fundamentos da teoria da viscoelasticidade

    linear, bem como a definio do mdulo complexo para os materiais viscoelsticos. Tambm

    apresentado um mtodo de reduo de modelos bem adaptado ao caso de sistemas amortecidos

    viscoelasticamente, baseado na utilizao de uma base de reduo constante.

    3.1. Viscoelasticidade Linear

    Viscoelasticidade uma propriedade exibida por materiais viscoelsticos, caracterizada

    pela combinao de um comportamento elstico e um fluxo viscoso que, segundo Persoz (1987),

    pode ser entendida como sendo a combinao de dois tipos de comportamento, a saber:

    o comportamento de um slido linear elstico, para o qual a tenso

    instantaneamente proporcional deformao, e independente da taxa de deformao. Este

    comportamento regido pela Lei de Hooke, que para os casos de solicitao axial (trao e

    compresso) e de cisalhamento, escreve-se respectivamente, sob as seguintes formas:

    )()( tEt (3.1)

    )()( tGt (3.2)

    onde E e G designam, respectivamente, o mdulo de elasticidade longitudinal ou mdulo de

    Young e o mdulo de cisalhamento do material.

    o comportamento de um fluido viscoso Newtoniano, para o qual a tenso

    proporcional taxa de deformao cisalhante, sendo independente da deformao, de acordo com

  • 15

    a seguinte equao constitutiva:

    )()()( ttt (3.3)

    onde a constante definida como a viscosidade do fluido.

    O termo viscoelasticidade est associado varivel tempo, em resposta a uma tenso ou

    deformao constante aplicada. De acordo com isto a resposta dos materiais viscoelsticos pode

    ser dividida em dois tipos de funes que descrevem a evoluo no tempo de materiais

    viscoelsticos, a saber: a funo de fluncia, ),( 0 tF , que descreve a evoluo da deformao

    exibida pelo material quando submetidos a uma tenso constante, 0 , conforme representado na

    Fig. 3.1(a); a funo de relaxao, ),( 0 tR , que representa a evoluo da tenso suportada pelo

    material quando submetido a uma deformao constante, 0 , de acordo com a Fig. 3.1(b).

    Figura 3.1 Funes de fluncia (a); e relaxao (b) de um material viscoelstico

    (adaptado de Lima, 2007).

    Pelo fato das funes de fluncia e relaxao serem dependentes do tempo, resulta que elas

    so funes da histria do carregamento, isto , elas dependem de todos os estados de tenso (ou

    de deformao) anteriores. Alm disso, de acordo com o Princpio da Superposio de Boltzmann

    (Nashif et al., 1985), onde a contribuio de cada efeito de tenso (ou deformao) independente,

    0

    t

    t t

    t

    t

    t

    t

    t

    0 0F , t = t 0 0R , t = t

    a b

    0

  • 16

    sendo a resposta final a soma de todos os efeitos, resulta que o comportamento viscoelstico

    representado por uma integral de convoluo (Christensen, 1982), e para o caso de solicitao

    uniaxial tem-se que a relao tenso-deformao pode ser expressa da seguinte forma:

    t

    tdtGt )()()( (3.4)

    onde )(t e )(t designam, respectivamente, as componentes de tenso e de deformao (normais

    ou de cisalhamento); )(tG denominada funo mdulo do material viscoelstico. A expresso

    (3.4) pode ser aplicada ao caso de estados multiaxiais de tenso-deformao pela substituio das

    grandezas escalares por grandezas tensoriais. importante ressaltar que para o caso de um material

    elstico linear, )(tG constante. Alm disso, visto que um material no apresenta deformao

    para valores de tempo negativos ( 0)( t no intervalo 0 t ), a Eq. (3.4) fica da seguinte forma:

    dtGtGt

    t

    )()()0()()(0

    (3.5)

    e definindo )()( thGtG r , a equao (3.5) pode ser reescrita da seguinte forma:

    dththtGt

    t

    r )()()0()()()(0

    (3.6)

    A equao (3.6) pode ainda ser expressa no domnio de Laplace como segue:

    )()]([)()()()( ssHGssshsGs rr (3.7)

    ou ainda sob a forma:

    )()()( ssGs (3.8)

    onde:

  • 17

    s : varivel complexa de Laplace.

    rG : mdulo esttico ou mdulo a baixa freqncia.

    )()( sshsH ; )()( sHGsG r

    O termo )()( ssH em (3.7) representa o comportamento dissipativo do material

    viscoelstico e )(sGr representa a elasticidade do material viscoelstico. A funo )(sH

    frequentemente denominada de funo de dissipao.

    3.2. Mdulo Complexo

    Para os materiais isotrpicos e homogneos, as propriedades complexas so completamente

    descritas por um mdulo )(sG e um coeficiente de Poisson )(s complexo. A medida separada de

    )(s pode, entretanto, gerar problemas experimentais significativos. Na prtica, identifica-se o

    mdulo de Young )(sE , ou o mdulo de cisalhamento )(sG , e supe-se um coeficiente de Poisson

    constante. Pouco se conhece sobre as variaes reais de )(s com relao frequncia de

    excitao. Pode-se principalmente afirmar que ele diminui com o aumento da frequncia (Lima,

    2007). Neste contexto, a Eq. (3.8) pode ser reescrita da seguinte forma:

    )()()( G (3.9)

    onde )(1)()()()( iGGiGG o mdulo complexo do material. )(G e )(G so, respectivamente, os mdulos de armazenamento e de perda do material, e

    GG o fator de perda do material (capacidade de amortecimento do material viscoelstico). Do ponto de vista prtico, podem-se resolver os problemas de viscoelasticidade

    linear como casos particulares de elasticidade onde as propriedades dos materiais so complexas e

    dependem da frequncia de excitao. Este procedimento conhecido como Princpio da

    Equivalncia Elstico-Viscoelstico (PEEV) (Nashif, 1985).

  • 18

    3.3. Influncia da frequncia e temperatura nas propriedades dos materiais viscoelsticos

    As propriedades dinmicas dos materiais viscoelsticos variam fortemente com as

    condies ambientais e operacionais s quais esto sujeitos, dentre as quais, as que mais

    influenciam so temperatura e frequncia de excitao (de Lima et al., 2006). Por exemplo, as

    variaes de temperatura em materiais viscoelsticos, alm de introduzirem tenses trmicas

    provocam mudanas nas propriedades destes materiais.

    De acordo com a temperatura, os materiais viscoelsticos podem apresentar quatro regies

    distintas de comportamento, conforme ilustrado na Fig. 3.2: regio vtrea (I), regio de transio

    (II), regio de borracha (III) e regio de fluxo (ou de fluido) (IV).

    Figura 3.2 Variao de G e com a temperatura (adaptado de Nashif et al. (1985)).

    Na regio I, o material possui o mximo valor para o mdulo de armazenamento e

    apresenta baixos valores para o fator de perda, que aumenta com a elevao de temperatura. Na

    regio (II) o mdulo de armazenamento decresce de forma muita rpida com o aumento da

    temperatura, enquanto o fator de perda atinge seu mximo. Na regio (III), observa-se que o

    mdulo de armazenamento e o fator de perda variam muito pouco com a temperatura. A regio

    (IV) apresenta um comportamento instvel, e a regio de fluido do material.

    O comportamento ilustrado pela Fig. 3.2 tpico dos materiais viscoelsticos lineares, mas

  • 19

    existem diferentes materiais que possuem propriedades especficas, apresentando diferentes faixas

    de valores para o mdulo de armazenamento e fator de perda em cada regio, conforme

    apresentado na Tabela 3.1.

    Tabela 3.1 Valores tpicos para G , e .

    Regies 2mNG Vtrea 11> 10 -2

  • 20

    3.4. Princpio da Superposio Frequncia-Temperatura (PSFT)

    A relao inversa entre os efeitos da frequncia e da temperatura conduz ao Princpio da

    Superposio Frequncia-Temperatura (PSFT), segundo o qual, se deslocamentos em frequncia

    das curvas mostradas na Fig. 3.4 so aplicados para diferentes temperaturas, elas tendem a se

    superporem, e a descreverem uma nica curva, utilizando-se um fator de deslocamento apropriado,

    dependente da temperatura (Nashif, 1985). Esta propriedade pode ser expressa pelas

    relaes:

    00 ,,, TGTGTG Tr (3.10)

    00 ,,, TTT TGrGG (3.11)

    onde T indica um valor arbitrrio da temperatura, 0T uma temperatura de referncia,

    TTr representa a frequncia reduzida, a frequncia de excitao, e TT representa o fator de deslocamento como funo da temperatura. A Fig. 3.4 ilustra o PSFT, demonstrando que

    para valores arbitrrios do mdulo e do fator de perda para diferentes temperaturas, 1T , 0T , 1T , se

    deslocamentos horizontais ao longo do eixo das frequncias so aplicados para cada uma das

    curvas, todas elas podem ser combinadas em uma nica curva, chamada comumente de Curva

    Mestre.

  • 21

    Figura 3.4 Ilustrao do Princpio da Superposio Frequncia-Temperatura PSFT

    As funes rG e TT podem ser obtidas de ensaios experimentais para materiais viscoelsticos especficos (Nashif et al., 1985). Drake e Soovere (1984) sugerem expresses

    analticas para o mdulo complexo e o fator de deslocamento para vrios materiais viscoelsticos

    comercialmente disponveis. As Eqs. (3.12.a) e (3.12.b) representam o mdulo complexo e o fator

    de deslocamento como funo da freqncia reduzida e da temperatura no intervalo

    KT 360210 e Hz6100,10,1 , para o material viscoelstico ISD112 da 3M como

    fornecido pelos autores. O material ISD112 um tipo de material viscoelstico fornecido na forma

    de adesivos.

    46 B3rB3r521r BiBiB1BBG (3.12.a)

    0AZ200000

    T TTSTa

    Tb

    TTlogb

    Ta22.303

    T1

    T1alog

    (3.12.b)

    onde:

    EACACECBCBBAABEAZAHC

    0HB2

    0HAAZALC0LB2

    0LA

    1AH

    1AL

    1AZHL0

    654321

    DDCCDb;DDCCDaCDCDD;SSDT1T1D;T1T1DSSC;T1T1CT1T1C

    0.009725KS0.1474KS;0.05956KS360K;T210K;T290K;T

    0.18B3.241;B0.6847;B1543000;B1200MPa;B0.4307MPa;B

    ;;;

    ;

  • 22

    A Fig. 3.5 descreve as curvas padro (nomogramas) que representam as variaes do

    mdulo de armazenamento e do fator de deslocamento como funo da frequncia reduzida, como

    obtido da Eq. (3.12.a), e a curva do fator de perda com funo da temperatura obtida atravs da Eq.

    (3.12.b).

    Figura 3.5 Nomograma representando as propriedades do material viscoelstico ISD112

    (adaptado de de Lima, 2007).

    importante destacar que o uso das variveis reduzidas vlido, se e somente se (Nashif et

    al., 1985): (a) o material viscoelstico possui comportamento linear; (b) os mesmos valores de T

    permitem superpor todas as propriedades viscoelsticas (mdulo de armazenamento, mdulo de

    perda e fator de perda); (c) a estrutura interna do material no modificada durante as

    modificaes de temperatura. Alm disso, na utilizao das variveis reduzidas supe-se que a

    temperatura interna do material viscoelstico no alterada durante a realizao dos ensaios

    dinmicos, negligenciando-se o fenmeno de auto-aquecimento dos materiais viscoelsticos

    (Lima, 2007).

    3.5. Representao do Mdulo Complexo

    Existem diferentes formas de representao do mdulo complexo, denominadas formas

    paramtricas e no paramtricas. A representao paramtrica do mdulo complexo a

    aproximao do comportamento dos materiais viscoelsticos atravs de modelos analticos

    compostos por um nmero de parmetros a serem identificados. Neste caso, podem-se utilizar

  • 23

    modelos reolgicos ou modelos incorporados a modelos de elementos finitos para representar o

    comportamento dinmico de materiais viscoelsticos.

    Os modelos reolgicos consistem na associao (em srie ou em paralelo) de elementos

    simples do tipo molas e amortecedores viscosos. Na literatura, existem diversos modelos

    reolgicos, dentre os quais pode-se destacar os modelos de Kelvin-Voigt, de Maxwell, de Zener

    (ou modelo padro) (Bert, 1973; de Lima et al., 2003b). Alm destes, existe o modelo Padro

    Generalizado que fornece melhores aproximaes para o comportamento de materiais

    viscoelsticos reais em relao freqncia de excitao (Wang, 2001). Entretanto, a grande

    desvantagem que tais modelos apresentam dificuldade para representar as respostas temporais de

    sistemas amortecidos. Neste caso, a resposta da estrutura deve ser obtida primeiramente no

    domnio da freqncia, passando em seguida ao domnio do tempo via transformada inversa de

    Fourier, o que pode conduzir a respostas no-causais, e complicaes de natureza terica (Nashif

    et al., 1985; de Lima, 2006).

    Para contornar estes problemas, vrios autores propuseram modelos viscoelsticos

    baseados na utilizao de derivadas fracionrias e de variveis internas no fsicas, na tentativa de

    representar o comportamento viscoelstico diretamente no domnio do tempo e, ao mesmo tempo,

    para serem combinados com modelos de elementos finitos. A ttulo de exemplo, pode-se citar o

    Modelo das Derivadas Fracionrias (Bagley e Torvik, 1983), o modelo desenvolvido por Golla e

    Hughes e adapatado por MacTAvish e Hughes, conhecido por modelo GHM (Golla et al., 1985), e

    o modelo baseado nos Campos de Deslocamento Anelsticos (Lesieutre e Bianchini, 1995), que

    constituem representaes matemticas do mdulo complexo bem adaptadas para serem utilizadas

    em combinao com modelos de elementos finitos. A utilizao de formas paramtricas para

    caracterizar as propriedades dinmicas dos materiais viscoelsticos exige que certo nmero de

    parmetros associado a cada modelo seja identificado por um processo de ajuste de curvas entre os

    dados experimentais de materiais viscoelsticos fornecidos por fabricantes ou atravs de ensaios

    experimentais de vibrao com controle rigoroso de temperatura (Nashif et al., 1985) e as curvas

    analticas previstas pelos modelos.

    Outra forma de representao do mdulo complexo so as formas no-paramtricas, onde

    pode-se utilizar leis tabuladas obtidas de medidas experimentais fornecidas pelos fabricantes. A

    forma tabulada consiste em um certo nmero de ensaios dinmicos que permite identificar o

    mdulo de armazenamento G e o fator de perda de um material viscoelstico para um certo nmero de pontos frequenciais numa banda estreita. Se as medidas so feitas para vrias

    temperaturas, pode-se utilizar o princpio de superposio frequncia-temperatura ilustrado na

    Seo 3.4 que permite gerar um nomograma em frequncia reduzida (como o representado na Fig.

  • 24

    3.5). Dispe-se, portanto, de uma representao sob a forma de tabela (lei tabulada) do mdulo

    complexo em frequncia reduzida, r , e igualmente do fator de deslocamento T para vrias

    temperaturas T . Neste caso, para conhecer o mdulo complexo em um ponto de funcionamento

    arbitrrio T, , deve-se interpolar ou extrapolar os valores experimentais do fator de deslocamento para encontrar a frequncia reduzida, aps isto, interpola-se ou extrapola-se o

    mdulo sobre a curva mestre (de Lima, 2003).

    A vantagem de uma representao no paramtrica de permitir a representao do

    comportamento dinmico de materiais viscoelsticos fortemente dependentes da frequncia e da

    temperatura, para uma larga faixa de valores desses fatores. Alm disso, a utilizao direta dos

    dados dispensa as etapas da escolha da representao e do processo de identificao dos

    parmetros para as formas paramtricas do mdulo complexo (de Lima, 2007).

    3.6. Incorporao do comportamento viscoelstico em modelos de elementos finitos

    Para possibilitar a modelagem de estruturas reais amortecidas com materiais viscoelsticos

    necessrio a combinao dos modelos que representam o mdulo complexo com modelos de

    elementos finitos. Primeiramente, escolhe-se o modelo para representar o comportamento

    dinmico dos materiais viscoelsticos em funo da freqncia de excitao e temperatura, e ento,

    estuda-se o procedimento de incorporao de tais modelos em modelos de elementos finitos das

    estruturas.

    Considere o seguinte modelo de elementos finitos de uma estrutura qualquer tratada com

    material viscoelstico representado pela equao do movimento no domnio da frequncia (sem a

    presena de amortecimento viscoso), composta por N graus-de-liberdade:

    FQMK 2,T (3.13.a)

    UbF , QcY (3.13.b)

    onde NxNRT ),(, KM representam, respectivamente, a matriz de massa (simtrica e definida-

    positiva) e a matriz de rigidez (simtrica e definida no-negativa). NR)(Q e NR)(F

    representam, respectivamente, o vetor de deslocamento e o vetor de foras externas. cR)(Y o

    vetor de respostas, e fR)(U o vetor reduzido de foras externas. As matrizes NxfRb e

  • 25

    cxNRc so as matrizes que permitem escolher, entre os graus-de-liberdade do modelo de

    elementos finitos, os graus de liberdade onde so aplicados as foras de excitao, e os graus de

    liberdade onde so calculadas as respostas do sistema, respectivamente.

    Supondo que estrutura composta por elementos elsticos e viscoelsticos, a matriz de

    rigidez global da estrutura pode ser decomposta da seguinte forma:

    TT ve ,, KKK (3.14)

    onde eK representa a matriz de rigidez correspondente subestrutura puramente elstica, e

    T,vK a matriz de rigidez da subestrutura viscoelstica. A introduo da dependncia em frequncia do material viscoelstico pode ser feita atravs do Princpio da Equivalncia Elstico-

    Viscoelstico (PEEV), segundo o qual, num primeiro momento, para uma temperatura dada, a

    matriz T,vK pode ser gerada para elementos especficos (barras, vigas, placas, etc.) supondo-

    se que o mdulo de Young TE , e/ou mdulo de cisalhamento TG , (segundo o estado de tenso-deformao adotado) so independentes da frequncia. Em seguida, aps a construo da

    matriz global de elementos finitos, a dependncia em frequncia dos mdulos representada

    segundo um modelo viscoelstico particular adotado: seja o mdulo complexo, seja atravs dos

    modelos do tipo GHM, Modelo das Derivadas Fracionrias ou o Modelo dos Campos de

    Deslocamento Anelsticos (de Lima et al., 2003). Supondo-se que o coeficiente de Poisson

    independente da frequncia, TE , torna-se proporcional a TG , segundo a relao 12T,ET,G . Portanto, um dos mdulos pode ser fatorado da matriz de rigidez da

    subestrutura viscoelstica sob a seguinte forma:

    vv KK TGT ,, (3.15)

    Combinando-se as expresses (3.13) e (3.14) obtm-se a seguinte expresso para a matriz de

    rigidez dinmica complexa:

    MKKZ ve 2,, TGT (3.16)

    Uma vez definida a rigidez complexa, a etapa seguinte consiste em resolver o sistema no

    domnio frequencial, o que pode ser feito atravs da construo da matriz de flexibilidade dinmica

  • 26

    ou matriz de Funes de Resposta em Frequncia (FRF):

    bcZH -1TT ,, (3.17)

    O uso para a aproximao do mdulo complexo, combinado com os conceitos de fator de

    deslocamento e freqncia reduzida, justificado pelo Princpio da Equivalncia Freqncia-

    Temperatura tem mostrado estratgias adequadas para representar a dependncia das

    caractersticas viscoelsticas com respeito freqncia e temperatura em modelos de elementos

    finitos de placas compostas incorporando material viscoelstico (de Lima et al., 2009). Neste

    sentido, ser utilizado neste trabalho esta tcnica para representar o comportamento dinmico das

    camadas viscoelsticas inseridas entre as placas compostas laminadas.

    Outro aspecto importante que deve ser destacado que, como neste trabalho tem interesse

    em respostas dinmicas no domnio frequencial, a expresso (3.17) pode, em princpio, ser

    diretamente empregada para o clculo das respostas harmnicas de sistemas viscoelsticos.

    Entretanto, tal procedimento pode ser inexplorvel em termos do alto custo numrico para o caso

    de modelos de elementos finitos de estruturas complexas de interesse industrial. E neste caso,

    mtodos de reduo de modelos, ou ainda mtodos de aproximao de funes atravs de

    metamodelagem (de Lima et al., 2006), so requeridos.

    3.7. Mtodos de reduo de modelos aplicados a sistemas tratados viscoelasticamente

    O objetivo da reduo de modelos sempre construir uma base de reduo que seja capaz

    de representar as mesmas respostas dinmicas dos modelos nominais. Neste aspecto, dispor de

    uma base de reduo capaz de representar as respostas dinmicas de sistemas contendo

    amortecimento viscoelstico primordial nos processos iterativos como ajuste de modelos e/ou

    otimizao onde so requeridas inmeras avaliaes das funes exatas, resultando um alto custo

    computacional (Masson et al, 2003).

    A partir da expresso (3.17), pode-se imaginar que para os modelos de elementos finitos de

    sistemas industriais de grande escala amortecidos viscoelasticamente, no prtico (do ponto de

    vista do custo numrico) utilizar diretamente o modelo completo, pois, ele conduz a um tempo de

    clculo proibitivo em virtude da inverso da matriz de rigidez dinmica complexa para cada passo

    de frequncia. Neste caso, utilizam-se aproximaes de respostas, buscando-se a soluo num

    subespao isto , a aproximao modal, que consiste do projeto das equaes do movimento do

  • 27

    sistema amortecido numa base de reduo T , com o objetivo de diminuir o nmero de graus de

    liberdade do sistema e, portanto, acelerar a resoluo numrica do problema, atravs da hiptese de

    que as respostas exatas, representadas pela expresso (3.13.a), podem ser aproximadas por

    solues dentro de um subespao reduzido da seguinte forma:

    rTQQ (3.18)

    onde a matriz NRNC T a base de reduo, ou base de Ritz, e NRr CQ com NNR ( NR

    representa os modos retidos na base).

    Considerando-se as expresses (3.13.a) e (3.18), a funo de transferncia (3.17) pode ser

    aproximada como:

    bcZH -1rr T,T, (3.19)

    onde MTTTKTTKTZ TvTeTr 2 T,GT, representa a matriz de rigidez reduzida.

    A matriz de rigidez dinmica reduzida pode ser calculada e invertida para cada passo de

    frequncia de uma maneira direta, utilizando-se algortmos numricos eficientes. Entretanto, para

    sistemas amortecidos viscoelasticamente, a escolha da base de reduo no simples, nem

    sistemtica, em funo da dependncia da matriz de rigidez do material com relao frequncia

    de excitao e temperatura. Neste caso, a base de reduo deve levar em conta as variaes da

    frequncia e da temperatura. Para resolver este problema, trs solues so possveis, a saber: (a)

    pode-se negligenciar esta dependncia, adimitindo-se que a matriz de rigidez independente da

    frequncia e da temperatura. Para isto, preciso escolher um modelo de partida para se calcular a

    base de reduo que ser independente da frequncia e da temperatura, que deve ser em seguida,

    enriquecida com vetores residuais estticos para levar em conta os efeitos viscoelsticos (Balms

    et al, 2002a ; 2002b); (b) pode-se utilizar uma base de reduo composta por modos prprios

    complexos, obtidos pela resoluo do problema de autovalores no linear (Daya et Poitier-Ferry,

    2001 ; Daya et al, 2002). Entretanto, vrios autores demonstram que a obteno numrica desses

    autovalores pode conduzir a um tempo de clculo proibitivo para os sistemas complexos tratados

    (Plouin et Balms, 1998 ; 1999); (c) pode-se igualmente utilizar um mtodo iterativo que permita a

    reatualizao da base de reduo em funo da frequncia, quando esta for necessria (Kergourlay

    et al, 2000).

  • 28

    Neste trabalho de dissertao, a base de reduo ser fixa e a determinao da resposta

    dinmica amortecida obtida utilizando-se a tcnica de aproximao padro de Ritz-Galerkin.

    Para isto, necessria a adoo de um ponto de partida para a determinao da base de reduo

    independente da frequncia. Balms e Germs (2002b) demonstram que a rigidez tangente um

    ponto de partida conveniente, tendo a vantagem de ser real e fcil de ser invertida. Isto caracteriza

    o comportamento conservativo associado (CCA) do material viscoelstico, para o qual

    vv G KK 00 . Caracteriza-se portanto o Sistema Conservativo Associado no qual o

    amortecimento viscoelstico eliminado. O CCA pode ser obtido atravs das propriedades

    assintticas do ajuste de curvas para cada material viscoelstico, como mostrado na Fig. 3.5, Seo

    3.4.

    De uma maneira geral, a medida das caractersticas viscoelsticas a uma temperatura fixa

    fornece o mdulo de armazenamento e o fator de perda, no qual a variao em frequncia

    assemelha-se geralmente forma ilustrada na Fig. 3.5 para o material viscoelstico 3M ISD112.

    Nas regies de altas e baixas frequncias no medidas, as curvas do mdulo de armazenamento e

    do fator de perda podem ser prolongadas por assntotas. A extrapolao em baixa frequncia

    fornece uma assntota real 0G e 00 e para as altas frequncias, obtm-se uma assntota

    complexa G e (Crandall, 1970). Neste caso, a matriz de rigidez elstica tangente pode ser

    obtida como segue:

    ve0 G KKK 0 (3.20)

    A base de reduo nominal contendo os primeiros modos mantidos do sistema amortecido

    por materiais viscoelsticos pode ser obtida atravs da seguinte resoluo do problema de

    autovalores:

    NRNR

    ii

    ,,diag,N,,i

    10210

    0 10

    MK (3.21)

    A base de reduo 0 contm somente os modos prprios do sistema tratado considerando-

    se o comportamento SCA. Para enriquecer esta base, Balms e Germs (2002b) propuseram a

    utilizao de resduos estticos baseados nos deslocamentos associados ao carregamento imposto,

    que pode ser obtido atravs da seguinte expresso:

  • 29

    bKR -10 (3.22)

    Este procedimento chamado de correo esttica de primeira ordem, que completada

    atravs do clculo da resposta esttica dos carregamentos produzidos pela parte imaginria da

    matriz de rigidez dinmica completa, que pode ser obtida atravs da expresso (3.13.a):

    00 v-10 KKR (3.23)

    Esses resduos so associados aos efeitos viscoelsticos (foras viscoelsticas) do sistema

    nominal amortecido, traduzido pelo amortecimento. Desta forma, a base de reduo nominal

    enriquecida pode ser expressa como segue:

    00 RRT 0 (3.24)

    A base de reduo (3.24) ser utilizada para reduzir os modelos de elementos finitos de

    estruturas compostas laminadas do tipo sanduches contendo amortecimento viscoelstico. Deve-se

    destacar que apesar da base de reduo (3.24) fornecer bons resultados com uma razovel preciso,

    ela no necessariamente robusta para considerar pequenas modificaes paramtricas, o que

    procura-se obter durante a utilizao dos procedimentos de condensao de modelos durante os

    processos iterativos de otimizao e/ou de ajuste de modelos. de Lima et al. (2009) aborda

    aspectos relativos robustez de bases de condensao de modelos aplicados a sistemas

    amortecidos viscoelasticamente.

  • 30

    CAPTULO 4

    MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS DE COMPSITOS

    ESTRUTURAIS

    Este captulo dedicado modelagem por elementos finitos de estruturas compostas

    laminadas utilizando-se a teoria da deformao cisalhante de ordem superior. nfase dada

    parametrizao do modelo de elementos finitos da estrutura composta, onde os parmetros de

    projeto como espessura de camadas, direes das fibras, e temperatura (para o caso de laminados

    sanduches incorporando camadas viscoelsticas) so fatorados das matrizes elementares de massa

    e rigidez. apresentada tambm neste captulo, uma anlise de sensibilidade paramtrica para

    avaliar a influncia dos parmetros de projeto nas respostas dinmicas do sistema.

    4.1. Introduo

    Na maioria das vezes, as dificuldades impostas realizao de ensaios experimentais com

    estruturas complexas de engenharia como fuselagens de aeronaves e risers, fazem com que os

    mtodos numricos sejam a melhor opo em muitas das aplicaes prticas. O que se tenta

    simular a realidade, e neste sentido, o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) uma ferramenta

    numrica que vem se destacando nos ltimos anos na modelagem de diversos sistemas de

    engenharia por apresentarem diversas vantagens como possibilidade de executar vrios tipos de

    anlises e obteno de solues possveis. O MEF est consolidado como uma ferramenta

    universal para a anlise estrutural e existem inmeros softwares comerciais que se baseiam nesta

    ferramenta numrica (por exemplo, NASTRAN e ANSYS). Alm da anlise estrutural, o MEF

    pode ser usado em problemas de transferncia de calor, mecnica dos fluidos, problemas de

    interao fludo-estrutura, e mecnica da fratura.

    O Mtodo de Elementos Finitos consiste na discretizao de sistemas contnuos, ou seja, na

    diviso do domnio (sistema) em subdomnios denominados elementos finitos de geometria

    simples (por exemplo, tringulos e/ou retngulos para a anlise bidimensional). Tais elementos so

  • 31

    conectados aos elementos vizinhos por pontos denominados pontos nodais ou simplesmente ns.

    Dentro de cada elemento os valores dos campos de deslocamentos nos ns so calculados atravs

    de funes de aproximao (funes de interpolao polinomiais). Logo, as incgnitas do

    problema passam a ser os valores dos deslocamentos nos ns, estas incgnitas so conhecidas

    como graus-de-liberdade elementares. Com isto, possvel realizar a montagem das matrizes dos

    elementos de forma a construir as matrizes e vetores globais, de acordo com as condies de

    compatibilidade e equilbrio nos ns compartilhados por elementos vizinhos. Por ltimo, so

    impostas as condies de contorno necessrias a resoluo do sistema de equaes.

    No MEF, o campo de deslocamentos mecnicos de um determinado modelo aproximado

    atravs de uma srie polinomial ao longo da espessura, e para o caso das estruturas compostas

    laminadas, existem diversas teorias utilizadas que so classificadas de acordo com a ordem desta

    srie polinomial, como por exemplo, a Teoria Clssica dos Laminados (CLT), a Teoria da

    Deformao Cisalhante de Primeira Ordem (FSDT), e a Teoria da Deformao Cisalhante de

    Ordem Superior (HSDT) (Reddy, 1997). Estas teorias pertencem a uma classe chamada de Teorias

    das Camadas Equivalentes nicas, pois nelas, o nmero de graus de liberdade independe do

    nmero de camadas de um compsito estrutural laminado.

    A Teoria Clssica dos Laminados considera apenas trs graus de liberdade por n, 0u , 0v e

    0w , o que computacionalmente uma vantagem. Nesta teoria, consideram-se as hipteses de

    Kirchhoff, segundo as quais uma linha reta e perpendicular superfcie de referncia, permanece

    reta e perpendicular a esse plano e no se alonga na direo da espessura. Resulta destas hipteses

    que a CLT negligencia os efeitos das deformaes cisalhantes transversais ( xz , yz , zz ). Esta

    teoria, no entanto requer uma continuidade dos campos de deslocamentos pertencentes ao espao 1C , ou seja, funes com primeiras derivadas contnuas. No mbito das solues analticas este

    fato no restritivo, mas formulaes de elementos finitos baseadas em aproximaes no espao 1C so geralmente mais complexas do que as pertencentes ao espao 0C , que requerem apenas

    funes contnuas (Faria, 2006).

    A Teoria da Deformao Cisalhante de Primeira Ordem considera cinco graus de liberdade

    e requer funes pertencentes ao espao 0C , prevendo o comportamento de estruturas mais

    espessas do que a Teoria Clssica e so baseadas nas teorias de placas de Mindlin-Reissner, na

    qual as sees planas normais permanecem planas com relao superfcie mdia, mas no

    necessariamente normais durante e aps a flexo (tal rotao da seo origina deformao de

    cisalhamento transversal, na direo da espessura). A Teoria da Deformao Cisalhante de

    Primeira Ordem assume que a deformao cisalhante transversal varia linearmente ao longo da

  • 32

    espessura do laminado, mas para que haja concordncia com os casos reais, ela requer a introduo

    de uma constante de correo para as deformaes de cisalhamento transversais. Tal constante de

    correo no necessria para a Teoria da Deformao Cisalhante de Terceira Ordem, uma vez

    que assume uma distribuio parablica ao longo da espessura do laminado.

    A HSDT baseada nas mesmas suposies da teoria clssica e de primeira ordem, exceto

    por no considerar que o segmento inicialmente plano e normal superfcie indeformada

    permanea plano e normal superfcie deformada, expandindo os deslocamentos numa funo

    cbica da coordenada da espessura. Alm disso, no apresenta travamento por cisalhamento (shear

    locking) na modelagem de placas finas, isto , no conduz a uma rigidez excessiva (como ocorre

    na FSDT) e conduz a distribuies de tenses e deformaes cisalhantes transversais e normais ao

    longo da espessura bem prximas das obtidas pela Teoria da Elasticidade Tridimensional

    (Mendona, 2005).

    A Fig. 4.1 ilustra a cinemtica da deformao das diferentes teorias, onde u o

    deslocamento na direo x , w representa o deslocamento transversal, e xw 0 a rotao em

    torno do eixo y . A Fig. 4.1(a) representa uma superfcie de referncia contendo uma linha reta e

    perpendicular superfcie mdia indeformada. Na Fig. 4.1(b) nota-se que a superfcie de referncia

    permanece reta e perpendicular superfcie mdia e no se alonga na direo da espessura,

    conforme ocorre com a CLT. A Fig. 4.1(c) ilustra a FSDT onde o deslocamento transversal

    constante ao longo da espessura do laminado, e em (d) tem-se que a linha reta e normal ao plano

    de referncia (antes da deformao), permanece reta, mas no necessariamente normal aps a

    deformao.

  • 33

    Figura 4.1 Cinemtica da deformao: (a) superfcie mdia indeformada, (b) CLT, (c)FSDT, (d)

    HSDT.

    Alm destas teorias, existem tambm as chamadas Teorias das Camadas Equivalentes

    Discretas onde o nmero de graus de liberdade depende do nmero de camadas ao longo da

    espessura do compsito. Estas teorias englobam as Teorias das Camadas Independentes, tambm

    conhecidas como Teoria Zig-Zag e a Teoria das Camadas Dependentes.

    4.2. Formulao por elementos finitos de placas compostas laminadas

    A Fig. 4.2 representa as componentes de um elemento de placa composta laminada

    contendo oito ns e onze graus-de-liberdade por n, onde kz , kh e k indicam, respectivamente, a

    coordenada da espessura, a espessura e o ngulo de orientao da k -sima camada.

    (a)

    (b)

    (c)

    (d)

  • 34

    x,u

    z,w

    a

    k

    2

    4 3

    hn

    1h

    1z

    z 2

    nz

    z n+1

    5

    6

    7

    8

    b

    y,v

    z , wa 3 578 b

    Figura 4.2 Principais componentes de um elemento de placa composta laminada.

    De acordo com a teoria HSDT, os deslocamentos em um ponto arbitrrio do elemento so

    expressos da seguinte forma:

    tyxztzyx ,,,,, uAU (4.1)

    Na Eq. (4.1), tem-se:

    Ttzyxwtzyxvtzyxutzyx ,,,,,,,,,,,, U (4.2.a)

    000000100

    0000001000000001

    2

    32

    32

    zzzzz

    zzzzA (4.2.b)

    Tyxzyx

    zyx

    tyxtyxyxyxyx

    yxyxtyxyxyxyx

    ttt

    tttwtvtutyx

    ,,,,,,,

    ,,,,,,,

    ,,,

    ,,,,,,, 000

    u (4.2.c)

    onde tzyxu ,,, , tzyxv ,,, , e tzyxw ,,, denotam, respectivamente, os deslocamentos nas direes x, y e z. 000 ,, wvu e zyx ,, so, respectivamente, os deslocamentos do plano mdio e as rotaes da seo transversal nas direes x , y e z . Os termos x , y , z , x e y ,

    podem ser vistos como rotaes de alta ordem, no possuindo uma interpretao geomtrica clara

  • 35

    (Chee 2001; Mendona 2005). Da Eq. (4.1), pode ser visto que a aproximao do deslocamento na

    direo da espessura z feita separadamente em um procedimento similar ao de separao de

    variveis.

    As relaes deslocamentos-deformaes usuais so usadas e as deformaes resultantes so

    separadas em deformaes de flexo e de cisalhamento, b e s , respectivamente, como segue:

    tyxztyxzzztzyxb ,,,,,,, 332210 uDuDDDD b (4.3.a)

    tyxztyxzztzyxs ,,,,,,, 6254 uDuDDD s (4.3.b)

    onde Txyzzyyxxb tzyx ,,, e Tzxyzs tzyx ,,, . xuxx , yvyy , zwzz , xvyuxy , ywzvyz e xwzuzx . As matrizes

    60,...,ii D so compostas por operadores diferenciais que aparecem nas relaes deslocamentos-deformaes, como detalhado por de Lima et al. (2006).

    A discretizao das variveis de deslocamentos feita utilizando-se funes de

    interpolao, e para um elemento retangular de placa composta por 8 ns, as 11 variveis

    mecnicas descritas no vetor tyx ,,u esto relacionadas com os correspondentes 88 valores nodais atravs da seguinte relao:

    , , ,t t u N u (4.4)

    Onde:

    TT8TT1 tttt uuuu 2 e Tyixiziyixiziyixiiiii wvut u 81 ai . ,N de dimenso 8811 , a matriz formada pelas funes de interpolao do elemento padro de 8 ns da

    famlia Serendipity formulada em coordenadas locais , , 11 , 11 , como detalhado no Anexo A, e ilustrado na Fig. 4.3.

  • 36

    Figura 4.3 Elemento da famlia Serendipity empregado na formulao por elementos finitos de

    placas compostas laminadas: (a) coordenadas locais, (b) coordenadas globais.

    Pela associao das Eqs. (4.1) e (4.4), os campos de deslocamentos e deformaes podem

    ser obtidos em termos dos valores nodais da seguinte forma:

    tztzyx uNAU ,,,, (4.5)

    tztztzyx bbb uBuND ,,,,,, (4.6.a)

    tztztzyx sss uBuND ,,,,,, (4.6.b)

    onde as matrizes zbD e zsD compostas por operadores diferenciais esto descritas no Anexo B.

    Usando as interpolaes dos campos de deslocamentos e deformaes, as expresses das

    energias cinticas e deformao podem ser formuladas, respectivamente, como segue:

    ttt eTE uMuK 21

    (4.7)

    ttt eTE uKuS 21

    (4.8)

    onde:

  • 37

    n

    k

    z

    zz

    TTk

    ek

    k

    dzddzz1

    1

    1

    1

    1

    1

    det,,

    JNAAN (4.9.a)

    a matriz de massa elementar, e ese

    be a matriz de rigidez elementar, na qual as

    componentes de flexo e cisalhamento so expressas, respectivamente, como:

    dzddzzn

    k

    z

    zzbk

    kb

    Tb

    eb

    k

    k

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    det,,,,

    JBCB (4.9.b)

    n

    k

    z

    zzsk

    ks

    Ts

    es

    k

    k

    dzddzz1

    1

    1

    1

    1

    1

    det,,,,

    JBCB (4.9.c)

    Nas Eqs. (4.9) Jdet indica o determinante do Jacobiano da transformao das variveis

    fsicas yx, para as variveis naturais , , e as matrizes kkb C e kks C representam, respectivamente, as matrizes elsticas ortotrpicas associadas flexo e ao cisalhamento da k -

    sima camada, as quais so construdas de acordo com a teoria CLT como segue:

    k k Tb k b k b b k C T C T (4.10.a)

    k k Ts k s k s s k C T C T (4.10.b)

    onde kbC e ksC so, respectivamente, as matrizes de propriedades elsticas de flexo e

    cisalhamento da k-sima camada, associada ao eixo ortotrpico principal, e kb T e ks T so as matrizes de rotao associadas.

    Das matrizes elementares calculadas para cada elemento da malha de elementos finitos, as

    equaes globais do movimento so construdas levando-se em conta a conectividade dos ns,

    usando procedimentos padres de montagem por elementos finitos (Huebner et al., 1982). Aps a

    montagem, as equaes globais do movimento no domnio do tempo so escritas como segue:

  • 38

    ttt fKqqM (4.11)

    onde nelem

    e

    e

    1 e

    nelem

    e

    e

    1 so as matrizes globais de massa e rigidez. O smbolo

    indica a montagem de matrizes, e tq o vetor dos graus de liberdade globais. tf o vetor dos carregamentos externos.

    As equaes do movimento no domnio do tempo (4.11) podem ser usadas para a

    realizao de vrias anlises dinmicas tais como o clculo de respostas temporais, autovalores e

    autovetores, e respostas em frequncia.

    4.3. Parametrizao das matrizes elementares de massa e rigidez

    Neste ponto, importante considerar que, no contexto do presente estudo as sensibilidades

    so calculadas com relao a um conjunto de parmetros fsicos ou geomtricos da estrutura

    composta laminada que controla o comportamento dinmico do sistema. Portanto, com o objetivo

    de calcular as derivadas de primeira ordem das matrizes envolvidas no clculo da sensibilidade,

    torna-se interessante a parametrizao do modelo de elementos finitos, o qual entendido como o

    processo de fatorao dos parmetros de projeto das matrizes de massa e rigidez. Este

    procedimento permite calcular no somente as sensibilidades das respostas, mas tambm a

    introduo de modificaes estruturais, o qual permite um ganho significativo de custo

    computacional em processos iterativos de otimizao e/ou ajuste de modelos. Em geral,

    parmetros geomtricos das camadas elsticas, tais como espessuras de camadas e orientaes de

    fibras, e parmetros fsicos das camadas viscoelsticas, tais como temperatura, intervm de forma

    complicada nas matrizes estruturais. Aps algumas manipulaes matemticas, esses parmetros

    podem ser fatorados das matrizes de massa e rigidez, da seguinte maneira:

    em

    e p ,

    e

    se p (4.12)

    onde mp e sp so os vetores contendo os parmetros fatorados de massa e rigidez das camadas

    para o elemento finito e . e e e so as matrizes das quais os parmetros de ordem

    exponencial e foram fatorados. Definindo-se, a orientao k das fibras da k -sima camada,

  • 39

    onde kks sin e kkc cos , pode ser fatorada das matrizes de transformao kb T e ks T

    como segue:

    321 bkkbbkkb

    csc TTTT 2 (4.13.a)

    21 skskks sc TTT (4.13.b)

    onde

    2000000000110011

    1bT ,

    1000010000010010

    2bT ,

    0011000020002000

    3bT ,

    1001

    1sT ,

    0110

    2sT .

    Atravs da considerao das Eqs. (4.10) e (4.13), as matrizes kkb C e kks C podem ser escritas da seguinte forma:

    kbkkkbkkkbkbkkkbkkbkkkb cscscscc 654321

    22324 CCCCCCC (4.14.a)

    kskkskkkskkks scsc 321

    22 CCCC (4.14.b)

    onde Tbk

    bbk

    b 111TCTC , Tb

    kbb

    Tb

    kbb

    kb 12212

    TCTTCTC , Tbk

    bbT

    bk

    bbk

    b 13313TCTTCTC ,

    Tb

    kbb

    kb 224

    TCTC , Tbk

    bbT

    bk

    bbk

    b 23325TCTTCTC , Tb

    kbb

    kb 336

    TCTC , Tsk

    ssk

    s 111TCTC ,

    Ts

    kss

    Ts

    kss

    ks 12212

    TCTTCTC , e Tsk

    ssk

    s 223TCTC .

    As equaes (4.9), (4.12) e (4.14) podem ser combinadas para fornecerem as matrizes de

    massa e rigidez nos quais os parmetros kh , ks e kc so fatorados:

    n

    k i

    kik

    ik

    e t1

    7

    1 (4.15)

  • 40

    n

    k i

    kbkk

    kbkk

    kb

    kbkk

    kbk

    kbk

    ik

    eb iiiiii

    cscscscct1

    7

    16

    22543

    32

    21

    4

    (4.16)

    n

    k i

    ksk

    kskk

    ksk

    ik

    es iii

    scsct1

    5

    13

    221

    2 (4.17)

    onde ikiiik hkkt 1 . ki , 6,,1j e ksj i 3,,1j s