Modelamento de Saturação em Transformadores

O Circuito Equivalente do Transformador na Figura 1 pode ser modificado para incluiros efeitos não-lineares da característica do núcleo. Esta modificação pode serconseguida pela substituição do indutor magnetizante na figura com uma impedâncianão-linear. A característica fluxo-corrente desta impedância é escolhida de acordo coma característica magnética do núcleo do transformador.

Figura 1 - Circuito equivalente de um transformador monofásico.

É conveniente representar a característica do transformador utilizando um número desegmentos lineares. Este método preserva as propriedades essenciais da saturação ereduz a complexidade da simulação. Um exemplo utilizando três segmentos pararepresentar a característica de saturação pode ser observado a seguir.

Figura 2 - A característica do núcleo, corrente x fluxo, mostrando as condiçõessimétricas de saturação. A linha tracejada mostra as inclinações aproximadas e ponto deinflexão na característica do núcleo.

Uma representação por três segmentos da saturação do transformador é mostradapelas linhas tracejadas na Figura 2. O segmento A'A representa a porção não saturada dacaracterística do transformador. A inclinação deste segmento é escolhida para se igualar

à indutância de magnetização do transformador não saturada. Os segmentos B'A' e BArepresentam respectivamente a porção saturada das regiões positiva e negativa dacaracterística do transformador. A inclinação destes segmentos é escolhida para seigualar à indutância do núcleo de ar do transformador. O ponto no plano fluxo-correnteonde o segmento com saturação intercepta o segmento linear da característica é definidocomo o ponto do joelho de saturação. O ponto do joelho define o mínimo fluxo ecorrente de magnetização para a qual a saturação é apreciável.

A representação da característica é calculada como se segue. A partir dos ensaiosde rotina de um transformador de 300 kVA pode ser obtido que:

- corrente de magnetização em regime permanente, sob tensão nominal: Imo =0,2175A

- reatância de dispersão do transformador: Xs = 42,845 Ω- tensão nominal primária: U1 = 13.800 Volts

O ponto no joelho da curva de saturação pode ser expresso como a magnitude empu da tensão de excitação para a qual a saturação se inicia. De forma típica é de 10%acima da tensão nominal.

- tensão no transformador no ponto do joelho da saturação em pu: Kσ = 1,1

Determinando a indutância do ramo magnetizante do transfomador a partir dacorrente magnetizante em regime permanente. Assuma que o transformador opera emtensão nominal (1 pu).

- freqüência da fonte: ω = 377 rad./s.

- indutância de magnetização em Henry: ( )

1

mmo

2.U

3L.I

=ω

, Lm = 137,415 H

Calcule a indutância do ar no transformador a partir da reatância de dispersão. Aindutância do ar é de 10 a 20 vezes maior que a indutância de dispersão.

ss

XL .20=

ω, Ls = 2,273 H

Cálculo o fluxo de acoplamento no joelho da curva: 1

2.U .K

3 σ

σλ =ω

, λσ = 32,876Wb

Cálculo da corrente de magnetização no joelho da curva: mm

IL

σσ

λ= , Imσ = 0,239A

Define-se uma função de x em rampa utilizando uma função degrau. Esta funçãoproduzirá um gráfico linearizado da característica magnética do transformador.

Φ(x) = if (x < 0,0,1) r(x) = x . Φ(x)

Define-se a função para o fluxo. O valor da corrente de magnetização, correspondenteao fluxo máximo não saturado, muda a característica da rampa do gráfico:

λ(x) = Lm . (r(x+Imσ) - r(x- Imσ)) + Ls .(r(-x-Imσ) - r(x- Imσ))

Desenhando-se a característica de magnetização idealizada em relação à corrente demagnetização.

Im = -0,5, -0,45 .. 0,5 A

0.5 0.25 0 0.25 0.550

25

0

25

50

Característica de magnetização.

Web

er

λ Im( )

Im

Figura 3. Representação linear da saturação.

O método apresentado acima pode ser estendido para um número maior desegmentos lineares pela inclusão de um maior número de joelhos na característica.Entretanto, para o estudo do fenômeno da corrente de ''ínrush'', três segmentos fornecemuma aproximação satisfatória.

A representação por segmentos lineares da característica do transformador seráutilizada abaixo para derivar a simulação do sistema.

Simulação da Energização do Transformador

Neste ítem, mostra-se um exemplo que demonstra o efeito da energização dotransformador sobre a tensão do sistema. A representação de um sistema monofásico éutilizado para simplificar os cálculos. O leitor pode estender as equações para umsistema trifásico.

É utilizado um método de integração numérica para se obter a solução do sistemapara o caso de energização do transformador. Por conveniência, a relação inversa entreo fluxo e a corrente de magnetização é utilizada aqui. Portanto, definindo a corrente demagnetização como uma função do fluxo:

Im(x) = (1/Lm). (r(x+λσ) - r(x-λσ)) - (1/Ls).(r(-x-λσ) - r(x-λσ)) - Imσ

Definindo o sistema de tensões como uma função do tempo:

φ0 = - 10 graus

1 02

U(t) .U .cos( .t )3

= ω + φ

O angulo de fase na função acima corresponde ao instante na forma de onda datensão no qual ocorre a energização do transformador. Este ângulo de fase,juntamente com o fluxo residual, determina quão severa é a corrente de "inrush".

Definindo-se o fluxo residual no núcleo do transformador:

λo = 5 Weber

O sistema externo é representado por um equivalente RL série em série com atensão do sistema. Onde:

Resistência da linha: RL = 3,5Ω e reatância da linha: XL = 25Ω.

Estes valores correspondem à seguinte indutância base:

LXL =

ω, L = 66 mH

Considera-se um capacitor em paralelo com os terminais do transformador. Estecapacitor representa uma compensação ou é utilizado para ajustar para uma ressonânciado sistema. Assume-se então que:

- reatância shunt capacitiva: XC = 200Ω

Correspondendo à capcitância base: C = 1/ω.XC , C = 0,1326 µF

A combinação do capacitor shunt e a indutância do sistema resulta em umafreqüência de ressonância igual a:

r1

f2. . L.C

=π

fr = 169,71 Hz

A ressonância do sistema ocorre em uma freqüência que é próxima da freqüênciada corrente de "inrush" do transformador. Portanto, pode-se esperar na energização dotransformador uma interação harmônica entre o sistema e a não linearidade do mesmo.

O secundário do transformador é considerado aberto (sem carga). Estarepresentação é preferida uma vez que resulta em cálculos pessimistas para a respostado sistema. A adição da carga aumentará o amortecimento do sistema e, portanto,reduzirá de forma significativa os efeitos da corrente de "inrush".

As equações diferenciais para o sistema estão definidas a seguir.

Definindo-se as equações diferenciais do sistema.

- derivada da corrente de linha: L L Ci L C

( R .I U U(t))D (I , U , t)

L

− + +=

- derivada da tensão no capacitor: L m CC L C

(I (I (U ))Dv (I , U )

C

−=

Observe que na expressão da derivada da tensão no capacitor, a saturação notransformador é representada pela injeção da corrente de magnetização.

Define-se o passo da integração. Este passo deve ser no mínimo 10 vezes menorque a menor constante de tempo no sistema para prevenir o aparecimento de oscilaçõesnuméricas na solução.

ms = 0,001 s. e dt = 0,3 ms

Define-se o tempo máximo de simulação.

T = 0,20 s. h1 = 1,5 dt h2 = 0,5 dt

Determinando-se o número de intervalos: N = floor(T/dt)

Contando-se as interações: k = 2.. N N = 666

Definindo-se condições iniciais para o sistema:

Inicialização do tempo: t0 = 0.0 s. t1 = 0.0 s.

Calcula-se o tempo em cada intervalo: tk = k.dt

Inicializa-se a voltagem no capacitor: Uc0 = 0.0 Volts

Assume uma condição de falta no sistema antes da energização: Uc1 = 0.0 Volts

Inicializa-se a corrente de linha: i0 = 0.0 A i1 = 0.0 A

O valor inicial do fluxo no núcleo é o fluxo residual definido anteriormente.

λ0 = λo e λ1 = λo

Vectorizando as equações de estado e resolvendo o sistema de equações. Asolução fornece os valores da corrente do tranformador, da tensão no capacitor, e ofluxo no transformador para o intervalo de cálculo.

(k 1) 1 i (k 1), (k 1) (k 1) 2 i (k 2), (k 2) (k 2)k

k (k 1) 1 c (k 1), (k 1) 2 c (k 2), (k 2)

k(k 1) 1 (k 1) 2 (k 2)

i h .D i Uc , t h .D i Uc , ti

Uc Uc h .Du i h .Du i

h . Uc h . Uc

− − − − − − −

− − − − −

− − −

+ − = + λ − λ λ λ + −

A resposta do sistema é mostrada abaixo.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.25

0

5

10

corr

ente

de

"inr

ush"

Im λk( )

tk

Fig. 4. "Inrush" no transformador.

Este gráfico mostra o efeito do "offset" em cc e da característica magnética nãolinear. O primeiro ciclo é severamente deslocado pela componente cc que é amortecidaem aproximadamente três ciclos.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.240

30

20

10

0

10

20

30

40

50

60

Flux

o no

núc

leo.

λk

tk

Fig. 5. Fluxo no transformador.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.22 .10

4

1 .104

0

1 .104

2 .104

3 .104

Vol

tage

m n

o ba

rram

ento

Vck

tk

Fig. 6. Voltagem no barramento do transformador.

No gráfico anterior, observe o efeito da corrente de "inrush" não senoidal navoltagem do barramento. O resultado é uma sobretensão harmônica.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2300

225

150

75

0

75

150

225

300

Cor

rent

e de

linh

a.

ik

tk

Fig. 7. Corrente de linha.

É possível compensar alguns desses efeitos pela adição de um resistor depré-inserção.