Modelo de Comportamento Viscoelástico de Enrijecedores à … · modelo de comportamento viscoelÁstico de enrijecedores À flexÃo marcelo caire tese submetida ao corpo docente

MODELO DE COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO DE ENRIJECEDORES À

FLEXÃO

Marcelo Caire

Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Pós-graduação em Engenharia Oceânica,

COPPE, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Doutor em Engenharia

Oceânica.

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Rio de Janeiro

Agosto de 2011


FLEXÃO

Marcelo Caire

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA OCEÂNICA.

Examinada por:

_______________________________________

Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D.

______________________________________

Prof. Segen Farid Estefen, Ph.D.

______________________________________

Prof. Ilson Paranhos Pasqualino, D.Sc.

______________________________________

Prof.ª Marysilvia Ferreira da Costa, D.Sc.

______________________________________

Prof. Celso Pupo Pesce, D.Sc.

______________________________________

Dr. Carlos Alberto Duarte de Lemos, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

AGOSTO DE 2011

iii

Caire, Marcelo

Modelo de Comportamento Viscoelástico de

Enrijecedores à Flexão/ Marcelo Caire – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2011.

XIII, 157 p.: il.; 29,7 cm.


Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Oceânica, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 142-144.

1. Enrijecedores à flexão. 2. Análise Numérica. 3.

Viscoelasticidade não-linear. I. Vaz, Murilo Augusto. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.

iv

“Transportai um punhado de terra todos

os dias e fareis uma montanha”.

Confúcio

Dedico este trabalho à minha filha

Gabriela. Nunca desista de seus sonhos.

v

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador Professor Murilo Augusto Vaz pelo incentivo ao ingresso na área

acadêmica, pelas incontáveis horas de discussão produtiva e por todo apoio oferecido,

tanto no desenvolvimento deste trabalho, quanto profissionalmente.

A todos os companheiros de estudo e funcionários do laboratório NEO (Núcleo de

Estruturas Oceânicas da COPPE/UFRJ): Felipe Castelpoggi, Nicolau Rizzo, Rômulo

Lima Barbosa, Aynor Ariza Gomez, Athos Costa Neves, Rafael Boechat, Luiz Felipe

dentre muitos outros.

À Professora Marysilvia Ferreira da Costa pelo suporte oferecido na realização dos

ensaios experimentais realizados no LabPol (Laboratório de Polímeros do Programa

de Engenharia Metalúrgica e de Materiais).

A todos os funcionários do programa de Engenharia Oceânica, em especial à Suely

Klajman e Glace Farias.

À Agencia Nacional do Petróleo pelo apoio financeiro concedido através do Programa

de Recursos Humanos – PRH 03.

À CAPES pelo suporte financeiro empregado na bolsa sanduíche, para realização de

estágio de Doutorando na universidade Norwegian University of Science and

Technology (NTNU) no ano de 2008.

Ao Professor Stig Berge pela oportunidade e suporte oferecido na NTNU.

Aos pesquisadores e funcionários da empresa Marintek pelo suporte técnico, em

especial à Philippe Mainçon.

À empresa Marintek do Brasil por disponibilizar tempo e apoiar a conclusão deste

trabalho.

Aos familiares e amigos que direta ou indiretamente incentivaram o desenvolvimento

deste trabalho.

vi

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)


FLEXÃO

Marcelo Caire

Agosto/2011


Programa: Engenharia Oceânica

Enrijecedores à flexão são estruturas cônicas de poliuretano utilizadas na

indústria offshore para suavizar a conexão de dutos flexíveis com a unidade flutuante

de produção submarina. O comportamento viscoelástico e a dissipação de energia que

ocorre quando o enrijecedor está submetido a carregamento periódico pode gerar

resposta diferente da obtida quando se considera material elástico. O presente

trabalho apresenta o modelo matemático do sistema composto pelo duto flexível e

pelo enrijecedor à flexão considerando a teoria da viscoelasticidade para descrever a

resposta do poliuretano. Os modelos são desenvolvidos considerando a teoria linear e

não-linear, inicialmente no domínio do tempo e estendidos para o domínio da

frequência. Ensaios experimentais de tração e relaxação de tensão são realizados

utilizando amostras de poliuretano retiradas de um enrijecedor para caracterização do

comportamento mecânico não-linear dependente do tempo. Estudos de caso são

apresentados para avaliar o efeito do comportamento viscoelástico e da frequência de

carregamento na resposta do sistema de conexão de topo quando este está

submetido a carregamento harmônico.

vii

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

VISCOELASTIC BEHAVIOR MODELING OF BEND STIFFENERS

Marcelo Caire

August/2011

Advisor: Murilo Augusto Vaz

Department: Ocean Engineering

Bend stiffeners are conical polyurethane structures used in the offshore industry

to ensure a smooth transition in the upper connection of flexible risers with the floating

production unit. The viscoelastic behavior and the energy dissipation due to periodic

loading conditions may lead to different responses when compared to elastic models.

This work presents the mathematical formulation to represent the flexible pipe/bend

stiffener system considering the viscoelasticity theory to describe the polyurethane

behavior. The numerical models are developed considering the linear and the non-

linear theory, firstly in the time domain and then extended to the frequency domain.

Tensile and relaxation tests are carried out using samples cut from an actual bend

stiffener in order to characterize the non-linear time dependent mechanical behavior.

Case studies are presented to assess the effect of viscoelastic behavior and loading

frequency on the top connection when subjected to harmonic loading conditions.

viii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 1

1.1 Descrição do sistema duto flexível/enrijcedor à flexão .............................. 1

1.2 Dimensionamento e análise ........................................................................... 7

1.3 Estado da arte em análise local ................................................................... 13

1.4 Objetivos específicos e relevância da pesquisa ....................................... 18

1.5 Descrição dos capítulos ............................................................................... 19

2 RESPOSTA MECÂNICA DO POLIURETANO ........................................... 20

2.1 Comportamento viscoelástico linear .......................................................... 34 2.1.1 Equação constitutiva na forma integral para resposta unidimensional.................... 34 2.1.2 Equação constitutiva na forma integral para resposta em três dimensões ............ 39 2.1.3 Resposta viscoelástica linear no domínio da frequência ........................................... 41 2.1.4 Limites de aplicação da viscoelasticidade linear ......................................................... 44

2.2 Comportamento viscoelástico não-linear .................................................. 46 2.2.1 Modelo de Leaderman .................................................................................................... 49 2.2.2 Modelo de Green-Rivlin .................................................................................................. 53 2.2.3 Modelo baseado no princípio da superposição modificado....................................... 58 2.2.4 Resposta viscoelástica não-linear no domínio da frequência ................................... 65

2.3 Ensaios experimentais e ajuste ................................................................... 67 2.3.1 Ensaios de tração ............................................................................................................ 69 2.3.2 Ensaios de relaxação ...................................................................................................... 72

3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO SISTEMA DUTO

FLEXÍVEL/ENRIJECEDOR À FLEXÃO ............................................................. 84

3.1 Hipóteses simplificadoras ............................................................................ 85

3.2 Relações trigonométricas ............................................................................ 87

3.3 Equilíbrio de forças e momentos ................................................................ 88

3.4 Equações de governo para viscoelasticidade linear ................................ 89 3.4.1 Formulação matemática no domínio do tempo ........................................................... 89 3.4.2 Formulação matemática para resposta harmônica em regime permanente .......... 90

3.5 Equações de governo para viscoelasticidade não-linear ........................ 97 3.5.1 Formulação matemática no domínio do tempo ........................................................... 97 3.5.2 Formulação matemática para resposta harmônica em regime permanente .......... 99

3.6 Solução numérica ........................................................................................ 107 3.6.1 Solução no domínio do tempo ..................................................................................... 107 3.6.2 Solução harmônica em regime permanente .............................................................. 109

4 ESTUDO DE CASO .................................................................................... 111

4.1 Dimensionamento do enrijecedor ............................................................. 111

4.2 Análise de enrijecedor viscoelástico linear ............................................. 118

4.3 Análise de enrijecedor viscoelástico não-linear ..................................... 128

5 CONCLUSÕES ........................................................................................... 137

ix

5.1 Recomendações finais ............................................................................... 139

5.2 Sugestões para trabalhos futuros ............................................................. 140

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 142

x

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1.1 – CONFIGURAÇÃO DE RISERS [1] .................................................................................... 2

FIGURA 1.2 – DUTO FLEXÍVEL E SUAS CAMADAS [2] ........................................................................... 4

FIGURA 1.3 – CONECTOR (END FITTING) [3]....................................................................................... 4

FIGURA 1.4 – ENRIJECEDOR À FLEXÃO TRADICIONAL [4]..................................................................... 5

FIGURA 1.5 – ENRIJECEDOR À FLEXÃO PARA BOCA DE SINO [3] .......................................................... 6

FIGURA 1.6 – MODELOS DE ANÁLISE DO SISTEMA DUTO FLEXÍVEL/ENRIJECEDOR À FLEXÃO .................. 8

FIGURA 1.7 - FLUXOGRAMA PARA DIMENSIONAMENTO DE ENRIJECEDORES À FLEXÃO ........................ 12

FIGURA 2.1 – ELEMENTOS MECÂNICOS SIMPLES .............................................................................. 22

FIGURA 2.2 – RESPOSTA MECÂNICA DOS ELEMENTOS SIMPLES ........................................................ 23

FIGURA 2.3 – MODELO ELASTO-PERFEITAMENTE PLÁSTICO .............................................................. 24

FIGURA 2.4 – MODELO VISCOELÁSTICO DE MAXWELL ...................................................................... 25

FIGURA 2.5 – MODELO VISCOELÁSTICO DE KELVIN-VOIGT ............................................................... 25

FIGURA 2.6 – MODELO VISCOELÁSTICO DO SÓLIDO LINEAR PADRÃO ................................................ 26

FIGURA 2.7 – RESPOSTA DE RELAXAÇÃO E FLUÊNCIA DO MODELO SÓLIDO LINEAR PADRÃO .............. 28

FIGURA 2.8 – CARREGAMENTO COM TAXA CONSTANTE DE DEFORMAÇÃO E RESPOSTA DE TENSÃO DO

SÓLIDO LINEAR PADRÃO ....................................................................................................... 29

FIGURA 2.9 – INFLUÊNCIA DA TAXA DE DEFORMAÇÃO NA CURVA x DO MODELO SÓLIDO LINEAR

PADRÃO ............................................................................................................................... 30

FIGURA 2.10 – INFLUÊNCIA DA TAXA DE DEFORMAÇÃO E )0(/)( GG NA CURVA x DO

MODELO SÓLIDO LINEAR PADRÃO .......................................................................................... 30

FIGURA 2.11 – MODELO VISCOELÁSTICO DE MAXWELL GENERALIZADO ............................................. 32

FIGURA 2.12 – APROXIMAÇÃO DE UMA HISTÓRIA DE DEFORMAÇÃO POR SUPERPOSIÇÃO DE SALTOS ... 35

FIGURA 2.13 – COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO LINEAR ............................................................... 45

FIGURA 2.14 – RESPOSTAS DE DEFORMAÇÃO DIVERSAS .................................................................. 53

FIGURA 2.15 – RESPOSTAS DE DEFORMAÇÃO PARA SALTOS DE TENSÃO ........................................... 55

FIGURA 2.16 – ILUSTRAÇÃO DO MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO MODIFICADO ........................................ 59

FIGURA 2.17 - GEOMETRIA DOS CORPOS DE PROVA [MM] ................................................................. 68

FIGURA 2.18 – CORPO DE PROVA E EXTENSÔMETRO ....................................................................... 69

FIGURA 2.19 - ENSAIOS DE TRAÇÃO (0-30%) .................................................................................. 70

FIGURA 2.20 - ENSAIOS DE TRAÇÃO (0-5%) .................................................................................... 70

FIGURA 2.21 - INFLUÊNCIA DA TAXA DE CARREGAMENTO .................................................................. 71

FIGURA 2.22 - DESLOCAMENTO ADIMENSIONAL DO TRAVESSÃO ....................................................... 73

FIGURA 2.23 – ESPECTRO DE RELAXAÇÃO ...................................................................................... 75

FIGURA 2.24 – FUNÇÃO DE RELAXAÇÃO )(1 tG ............................................................................... 76



xi

FIGURA 2.27 – FUNÇÃO DE RELAXAÇÃO )(4 tG .............................................................................. 77

FIGURA 2.28 - RESULTADOS DO ENSAIO DE RELAXAÇÃO .................................................................. 79

FIGURA 2.29 - RESULTADOS DO ENSAIO DE RELAXAÇÃO (ESCALA LOGARÍTMICA) ............................... 79

FIGURA 2.30 – MÓDULO DE PERDA E ARMAZENAMENTO ................................................................... 80

FIGURA 2.31 – CURVA ISOCRÔNICA ................................................................................................ 81

FIGURA 2.32 – ENSAIO DE TRAÇÃO X AJUSTES VISCOELÁSTICOS DE RELAXAÇÃO (0-15%) ................. 82

FIGURA 2.33 – ENSAIO DE TRAÇÃO X AJUSTES VISCOELÁSTICOS DE RELAXAÇÃO (0-5%) ................... 82

FIGURA 3.1 – DESENHO ESQUEMÁTICO DO SISTEMA DUTO FLEXÍVEL/ENRIJECEDOR À FLEXÃO ............ 84

FIGURA 3.2 – ELEMENTO INFINITESIMAL .......................................................................................... 87

FIGURA 3.3 - FLUXOGRAMA NUMÉRICO – DOMÍNIO DO TEMPO ........................................................ 108

FIGURA 3.4 - FLUXOGRAMA NUMÉRICO – DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ................................................ 110

FIGURA 4.1 – TRAÇÃO DE TOPO E ÂNGULO (047.15 ) ............................................................. 113

FIGURA 4.2 – ESPAÇO DE PROJETO .............................................................................................. 114

FIGURA 4.3 – DIMENSÕES DO ENRIJECEDOR ................................................................................. 115

FIGURA 4.4 – FUNÇÕES 1I E

3I .................................................................................................... 116

FIGURA 4.5 – DEFORMAÇÃO MÁXIMA X TRAÇÃO DE TOPO ............................................................... 117

FIGURA 4.6 – DEFORMAÇÃO MÁXIMA X ÂNGULO DE TOPO ............................................................... 118

FIGURA 4.7 – LINEAR VISCOELÁSTICO NO DOMÍNIO DO TEMPO (CURVATURA NO ENGASTE) ............... 119

FIGURA 4.8 – LINEAR VISCOELÁSTICO NO DOMÍNIO DO TEMPO (COMPARAÇÃO COM ABAQUS) ........... 120

FIGURA 4.9 – INFLUÊNCIA DO HISTÓRICO DE CARREGAMENTO ........................................................ 121

FIGURA 4.10 – MODELO LINEAR VISCOELÁSTICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA (CURVATURA NO

ENGASTE - ORDEM 1, 2 E 3) ................................................................................................. 122

FIGURA 4.11 – MODELO LINEAR VISCOELÁSTICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA (ENVELOPE-ORDEM 1, 2 E

3) ....................................................................................................................................... 123

FIGURA 4.12 – MODELO LINEAR VISCOELÁSTICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA (DISTRIBUIÇÃO DE

CURVATURA AO LONGO DO TEMPO – ORDEM 3) ..................................................................... 123

FIGURA 4.13 – MODELO LINEAR VISCOELÁSTICO NO DOMÍNIO DO TEMPO X FREQUÊNCIA (ENVELOPE)

%10%,10 ........................................................................................................... 124


%27%,45 .......................................................................................................... 125


%50%,50 ........................................................................................................... 125

FIGURA 4.16 – CURVATURA MÁXIMA X FREQUÊNCIA ( %10%,10 ) .................................... 127

FIGURA 4.17 – CURVATURA MÁXIMA X FREQUÊNCIA ( %27%,45 ) ................................... 127

FIGURA 4.18 – CURVATURA MÁXIMA X FREQUÊNCIA ( %50%,50 ) .................................... 128

FIGURA 4.19 – COMPARAÇÃO VISCOELÁSTICO LINEAR X NÃO-LINEAR ............................................. 130

FIGURA 4.20 – MODELO VISCOELÁSTICO NÃO-LINEAR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA X ELÁSTICO NÃO-

LINEAR (CURVATURA NO ENGASTE) ...................................................................................... 132

xii






LINEAR 0,05MM/MIN (DIFERENÇA PERCENTUAL DE CURVATURA AO LONGO DE UM PERÍODO) .... 134


LINEAR (VARIAÇÃO DE CURVATURA) ...................................................................................... 134


LINEAR (ENVELOPE DE DEFORMAÇÃO) .................................................................................. 135

xiii

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 – MÓDULO SECANTE PARA OS ENSAIOS DE TRAÇÃO ....................................................... 72

TABELA 2.2 - TAXA DE CARREGAMENTO PARA CADA NÍVEL DE DEFORMAÇÃO ..................................... 73

TABELA 2.3 - COEFICIENTES DA FUNÇÃO DE RELAXAÇÃO NÃO-LINEAR – AJUSTE LEADERMAN ............. 75

TABELA 2.4 - COEFICIENTES DA FUNÇÃO DE RELAXAÇÃO NÃO-LINEAR – AJUSTE PSM ....................... 75

TABELA 2.5 – MÓDULO SECANTE PARA OS AJUSTES VISCOELÁSTICOS .............................................. 83

TABELA 4.1 – DADOS DO DUTO FLEXÍVEL ...................................................................................... 112

TABELA 4.2 - COEFICIENTES DE CARREGAMENTO .......................................................................... 113

TABELA 4.3 - MÓDULO SECANTE (5 MM/MIN) ................................................................................. 115

TABELA 4.4 - COMPARAÇÃO ENTRE DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA ..................................... 126

TABELA 4.5 - EFEITO DA FREQUÊNCIA DE CARREGAMENTO NA CURVATURA MÁXIMA ......................... 128

TABELA 4.6 - COMPARAÇÃO ENTRE MODELO VISCOELÁSTICO LINEAR E NÃO-LINEAR ........................ 130

1

1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta a descrição do sistema mecânico composto pelo

enrijecedor à flexão e pelo duto flexível, componentes utilizados na indústria de

petróleo offshore e objeto de investigação do presente trabalho. Em seguida, descreve

a metodologia de dimensionamento e análise de enrijecedores à flexão adotada como

prática atual e o estado da arte da pesquisa, destacando os principais trabalhos

publicados no tema. Por fim, a relevância da pesquisa e os objetivos específicos a

serem alcançados com o desenvolvimento deste trabalho são apresentados.

1.1 Descrição do sistema duto flexível/enrijcedor à flexão

Dutos flexíveis vêm sendo utilizados para transporte de fluidos na indústria de

óleo e gás offshore desde o início da década de 1970. As principais aplicações podem

ser divididas de modo geral em: a) flowlines utilizadas para conexão de árvores de

natal com manifolds ou de poços com unidades fixas de produção; b) jumpers para

conexão de unidades fixas com flutuantes e c) risers para conexão de instalações

submarinas com a unidade flutuante de produção.

São estruturas essenciais aos sistemas de produção atuais, podendo

responder por cerca de um terço dos custos de desenvolvimento de um campo em

águas profundas. Atualmente cerca de 6000 km de flexíveis se encontram em

operação no Brasil, sendo a maioria na Bacia de Campos. Com a crescente expansão

das atividades offshore para águas cada vez mais profundas, verifica-se a

necessidade de constante ampliação da fronteira do conhecimento em engenharia

nesta área, principalmente com as novas descobertas nos campos do pré-sal

brasileiro onde está previsto a instalação de cerca de mais 4000 km de dutos flexíveis

e 2200 km de umbilicais submarinos. Não só as grandes profundidades implicam

aumento de carga na própria estrutura e na conexão de topo com as unidades

flutuantes de produção, como também, a presença de contaminantes como o 2CO e

SH2 impõem a necessidade de requisitos especiais na seleção do material a ser

empregado no projeto do duto.

Uma das principais vantagens de utilização de dutos flexíveis quando

comparados com rígidos é a facilidade de transporte e velocidade de instalação, já que

o duto é pré-fabricado e armazenado em carretéis. Além disso, é uma estrutura

complacente, o que permite a conexão com unidades flutuantes de produção que

2

apresentam grandes amplitudes de movimento. Outra característica importante a ser

mencionada é sua versatilidade, pois um determinado duto pode ser recuperado e

utilizado em diversos campos sem perda de suas características funcionais, bastando

a reavaliação para as novas condições de aplicação, assim como o cálculo do dano

acumulado por fadiga. Diversas configurações são possíveis para utilização de um

duto flexível como riser, dentre elas: catenária livre, lazy wave, steep wave, pliant

wave, lazy S e steep S como mostrado na Fig. 1.1 a seguir.

Figura 1.1 – Configuração de risers [1]

Dutos flexíveis

Um flexível é composto de diversas camadas metálicas e poliméricas, cada

uma apresentando funções específicas. Cada sistema de produção submarina exige

um requisito específico de projeto, e este tipo de construção modular onde cada

camada é dimensionada individualmente, mas considerando o efeito da interação

entre elas permite grande flexibilidade ao projetista. A Fig. 1.2 ilustra um duto flexível

3

com algumas das principais camadas, onde suas funções são apresentadas como

segue:

a) Carcaça intertravada – primeira camada interna de aço do duto flexível.

Deve garantir resistência aos esforços causados pela pressão externa e ao

esmagamento transmitido pelas armaduras de tração quando estas são

tracionadas. É conformada utilizando o aço inoxidável (AISI 304/316) ou

duplex e sua geometria gera um intertravamento entre passos sucessivos.

b) Camada de estanqueidade – camada polimérica interna que deve garantir a

estanqueidade do duto flexível. A composição química do fluido e sua

temperatura são os fatores essenciais na escolha do material empregado

nesta camada. Poliamida-11, HDPE (polietileno de alta densidade) e PVDF

(fluoreto de vinilideno) são alguns dos materiais mais comumente

empregados.

c) Armadura de pressão – sua principal função é garantir resistência à

pressão exercida pelo fluido interno, mas em conjunto com a carcaça

intertravada contribui para resistir à pressão externa. O material tipicamente

utilizado nesta camada é o aço carbono de alta resistência mecânica.

d) Armaduras de tração – utilizada para resistir aos carregamentos de tração e

balanceamento à torção. Através do conector, transfere todo o

carregamento axial para a unidade flutuante de produção. Para dutos

flexíveis, usualmente utiliza-se arames de aço carbono com seção

transversal retangular assentados com ângulo variando em torno de 30º a

55º.

e) Capa externa – forma uma barreira para evitar o contato das camadas

internas com água do mar. Com exceção do PVDF, os mesmos materiais

utilizados na camada interna de estanqueidade podem ser utilizados na

capa externa.

f) Outras camadas – fitas anti-atrito podem ser utilizadas entre as armaduras

de tração para reduzir o atrito e o desgaste do aço. Fitas de alta resistência

mecânica podem ser adicionadas sobre a camada de tração mais externa

para evitar a formação do modo de falha resultante de compressão axial do

duto e conhecido como gaiola de passarinho ou birdcaging.

4

Figura 1.2 – Duto flexível e suas camadas [2]

Este tipo de configuração estrutural em que as camadas deslizam umas sobre

as outras fornece um duto com elevada rigidez axial e torsional, porém baixa rigidez

flexional, permitindo que um valor muito menor de raio de curvatura seja alcançado

quando comparado com um duto rígido.

Conexão com a unidade flutuante de produção

A conexão do flexível com a unidade flutuante de produção é uma das partes

mais críticas do projeto. Este conector deve garantir que todo o carregamento estático

e dinâmico suportado pelo flexível seja transferido para a unidade flutuante. Além

disso, deve garantir a continuidade da estanqueidade do duto. A Fig. 1.3 ilustra um

tipo de conector (end fitting) utilizado para flexíveis.

Figura 1.3 – Conector (end fitting) [3]

5

Esta conexão final do flexível com a unidade de produção é sujeita a grandes

esforços cíclicos, consequência da ação aleatória de ondas, ventos e correntes

marítimas. Para prevenir dano às linhas flexíveis, tanto por curvatura excessiva como

por fadiga, estruturas conhecidas como enrijecedores à flexão ou bend stiffeners são

utilizados nesta região. A idéia básica do enrijecedor é fornecer uma suave transição

de rigidez entre a estrutura flexível do riser e outra extremamente rígida como a

plataforma. A Fig. 1.4 ilustra um tipo de bend stiffener utilizado na indústria offshore.

Figura 1.4 – Enrijecedor à flexão tradicional [4]

Com relação à geometria do enrijecedor, frequentemente, apresentam uma parte

inicial cilíndrica seguida da parte cônica, proporcionando uma transição de rigidez

gradual da conexão até o duto flexível. A camada externa do duto flexível, na maioria

dos enrijecedores utilizados atualmente, não é aderida à camada interna do corpo do

enrijecedor. Existe, consequentemente, um espaçamento radial entre as duas

estruturas, onde o atrito devido aos movimentos cíclicos pode causar desgaste em

uma ou ambas as partes e ainda contribuir para aquecimento do material.

Embora novos conceitos de enrijecedores tenham sido propostos e avaliados,

basicamente dois tipos de enrijecedores são usualmente utilizados, os tradicionais e

os para bocas de sino ou bell-mouths. Os tradicionais são normalmente utilizados em

plataformas fixas ou semi-submersíveis que utilizam suportes de risers convencionais,

do tipo cônico ou castelo, conforme descrito por LEMOS [4]. Estes são montados

6

diretamente sobre o conector do duto flexível que por sua vez é conectado ao seu

suporte na plataforma.

Os enrijecedores para bell-mouth são conectados em unidades de produção que

possuem este sistema, como por exemplo, uma unidade flutuante de produção FPSO

(Floating Production Storage and Offloading) com turret. O turret é uma estrutura

localizada na proa da embarcação que funciona como ponto de amarração para o

sistema de ancoragem e como interface entre os sistemas submarinos de produção e

a unidade flutuante através da conexão dos dutos flexíveis e cabos umbilicais

submarinos. A Fig. 1.5 ilustra este tipo de enrijecedor, onde na ilustração à esquerda,

a estrutura metálica acoplada ao enrijecedor fica encaixado diretamente na boca de

sino. Alguns enrijecedores não podem ser acoplados diretamente à boca de sino,

devido ao seu diâmetro elevado. Uma das soluções adotadas é mostrada na ilustração

à direita, onde o enrijecedor é acoplado a um prolongador até o encaixe do capacete

na boca de sino. Para esta configuração, o conector do duto flexível (end fitting) é

apoiado diretamente no nível do convés.

Em ambos os tipos apresentados, a estrutura metálica que suporta o enrijecedor

apresenta insertos metálicos no corpo polimérico. Esta interface é um dos pontos

críticos com relação à fadiga devido aos pontos de concentração de tensões e

problemas de adesão entre o poliuretano e o componente metálico.

Figura 1.5 – Enrijecedor à flexão para boca de sino [3]

7

1.2 Dimensionamento e análise

O dimensionamento do sistema composto pelo duto flexível e pelo enrijecedor à

flexão segue o mesmo princípio adotado para outras estruturas oceânicas. Isto

significa que, devido à sua natureza aleatória, as condições ambientais devem ser

conhecidas e representadas por parâmetros estatísticos. Esta caracterização é então

considerada no cálculo da resposta estrutural dos componentes considerando as

condições de carregamento ambientais mais relevantes.

Semelhante ao projeto do duto flexível, os enrijecedores à flexão são

primeiramente projetados considerando carregamentos extremos e em seguida

verificados quanto à vida útil devido ao fenômeno de fadiga por carregamento cíclico.

Uma das normas que tratam de dutos flexíveis e enrijecedores à flexão é a API 17 J

[5]. De acordo com o Apêndice B desta norma, o carregamento de projeto para

enrijecedores à flexão deve ser definido em termos da variação de tração em um

ponto do duto próximo ao enrijecedor e da variação do ângulo relativo, resultados

obtidos de análises estruturais dinâmicas globais.

Estas análises dinâmicas são ilustradas na Fig. 1.6, que mostra os tipos de

modelo utilizados no projeto e análise de enrijecedores à flexão. A análise dinâmica é

usualmente baseada no método dos elementos finitos, utilizando elementos de viga

para representação tanto da estrutura complacente quanto do enrijecedor, quando se

considera o modelo completo. Os efeitos de onda e corrente são considerados

atuando na estrutura e o movimento da unidade flutuante é representado utilizando

funções de transferência (RAO - Response Amplitude Operator) quando se adota a

metodologia de análise desacoplada. Estas funções de transferência fornecem as

amplitudes de movimento por unidade de altura de onda para uma determinada faixa

de frequência e são calculadas utilizando softwares específicos.

No modelo completo, tanto o duto quanto o enrijecedor são modelados para

representar o sistema. Devido ao tempo computacional utilizado neste tipo de análise,

este é aplicado para verificação do dimensionamento e não na fase iterativa de

projeto. Já no modelo global, apenas o duto é modelado e as séries temporais de

tração, momento e ângulo relativo são os dados de saída utilizados no modelo local do

enrijecedor.

8

Figura 1.6 – Modelos de análise do sistema duto flexível/enrijecedor à flexão

Análise dinâmica - modelo completo e global

O objetivo de uma análise dinâmica global para sistemas compostos por

estruturas complacentes como dutos flexíveis e cabos umbilicais submarinos é

descrever a resposta estrutural estática e dinâmica quando estes estão submetidos às

condições de carregamento ambientais e aos movimentos da unidade flutuante de

produção a que estão conectados. A metodologia de análise desacoplada utilizando

funções de transferência pode ser aplicada desde que os dutos flexíveis, cabos

umbilicais e/ou linhas de amarração não apresentem influência relevante na resposta

da unidade flutuante. Caso contrário, uma análise simultânea envolvendo a dinâmica

das linhas e da unidade flutuante deve ser realizada. A este tipo de procedimento

chama-se análise acoplada. As principais variáveis da resposta de uma análise global,

seja ela acoplada ou não, podem ser agrupadas nas seguintes categorias:

a) forças na seção transversal (tração efetiva, momento fletor, momento

torsional);

b) deslocamentos (curvatura, deformação axial, orientação angular);

c) posição (co-ordenadas globais, translações, distância para outras estruturas,

posição do touch down point, etc.) e

9

d) forças de conexão dos risers com as unidades flutuantes (forças e

momentos resultantes).

A análise de sistemas complacentes como dutos flexíveis e umbilicais

submarinos mostra que a resposta global apresenta forte dependência de efeitos

dinâmicos. A resposta de enrijecedores à flexão pode, entretanto, ser considerada

dominada por efeitos quase-estáticos sem levar em conta os efeitos inerciais. Esta

observação é de grande importância para seleção dos princípios adotados para o

projeto e análise destas estruturas. Levando este fato em consideração, pode-se

combinar o modelo de análise global com o modelo de análise local do enrijecedor

sem perda de relevância nos resultados obtidos.

A principal vantagem de se utilizar os resultados da análise global como

condições de contorno para a análise local, ao invés da utilização do modelo completo

no processo iterativo de projeto é que os resultados de uma única análise global

podem ser utilizados como dados de entrada para diversas análises locais com

geometrias de enrijecedores e propriedades materiais diferentes. Esta metodologia

reduz de forma significativa o número de análises dinâmicas necessárias na etapa de

dimensionamento do enrijecedor.

A verificação da influência dos efeitos dinâmicos na análise local do

enrijecedor, assim como, o efeito da incorporação deste componente na resposta

global do duto pode ser posteriormente realizada utilizando o modelo de análise

completo. Para este modelo considera-se o enrijecedor como parte integrante do

modelo global, sendo este representado por diversos elementos adicionais de viga

com rigidez variando ao longo do comprimento para representar sua geometria cônica.

De acordo com PESCE [6], o comprimento da região de influência da rigidez flexional

na resposta dinâmica global é da ordem de TEIf / , onde EI é a rigidez flexional

do duto e T é a tração no topo.

Análise quase-estática local

Para o dimensionamento preliminar do enrijecedor à flexão, utiliza-se o modelo

local com formulação matemática considerando teoria de viga para representar o

sistema composto pelo enrijecedor e por um trecho do duto flexível, onde na faixa de

frequência de excitação, os efeitos de carregamentos inerciais podem ser

desprezados. Este modelo resulta num problema de valor de contorno definido por um

sistema de equações diferenciais ordinárias não-lineares e utiliza como dados de

entrada os resultados de tração e variação de ângulo obtidos da análise global. Utiliza-

10

se, usualmente, o método das diferenças finitas ou dos elementos finitos para

obtenção da solução numérica do problema de viga.

Análises detalhadas utilizando o método de elementos finitos em três

dimensões podem ser utilizadas quando a teoria de viga se torna insatisfatória para

alguns casos específicos. A avaliação de pontos de concentração de tensões no

inserto metálico, a ovalização da extremidade do enrijecedor, assim como, a

distribuição da pressão de contato ao longo do comprimento são alguns exemplos de

aplicação.

Requisitos de projeto

Um dos requisitos de projeto de enrijecedores à flexão é não permitir que o

duto flexível ultrapasse o raio de curvatura mínimo de armazenamento (MBR –

Minimum Bend Radius). Este raio deve ser calculado para satisfazer alguns critérios

previstos em norma [5], como por exemplo: a máxima deformação de flexão da

camada polimérica de pressão não deve ultrapassar 7,7 % para polietileno (PE) e

poliamida (PA) e 7,0 % para fluoreto de vinilideno (PVDF) em aplicações estáticas. O

MBR para aplicações dinâmicas deve ser no mínimo 1,5 vezes o MBR de

armazenamento.

Outro requisito importante que deve ser atendido no projeto destas estruturas é

o valor de deformação máxima do próprio corpo do enrijecedor. O critério usualmente

adotado para definição deste valor é o limite abaixo do qual o número de ciclos para

gerar falha por carregamento periódico tende a infinito (treshold de fadiga). Valores

experimentais comumente encontrados para enrijecedores estão entre 7 e 15%. De

acordo com a norma [5], a metodologia de projeto deve ainda levar em conta algumas

considerações importantes, tais como:

a) falha na adesão do poliuretano com os componentes metálicos do conector;

b) ruptura ou fratura do polímero;

c) fadiga;

d) falha do conector;

e) desgaste (abrasão);

f) fluência;

g) degradação mecânica, química e térmica.

h) efeitos da não-linearidade do material.

A avaliação de cada item requer uma metodologia de análise diferente. O

modelo local apresentado anteriormente pode ser utilizado para dimensionamento do

enrijecedor considerando o critério de MBR e deformação máxima. Neste modelo, os

11

efeitos de fluência e não-linearidade do material podem ser avaliados. Além disso, o

modelo local pode ser utilizado para avaliação da vida à fadiga da estrutura.

Fluxograma de projeto

A Fig. 1.7 sugere um fluxograma que pode ser adotado para o

dimensionamento do enrijecedor a ser utilizado em um determinado sistema de

produção offshore com dutos flexíveis. A primeira etapa é a análise dinâmica do

sistema utilizando o modelo global e considerando o duto com condição de contorno

rotulada na unidade flutuante de produção, sem incluir o enrijecedor. Nesta etapa,

diversos parâmetros devem ser definidos, tais como: espectro de onda e perfil de

correnteza para obtenção da resposta extrema; função de transferência da unidade

flutuante (RAO), entre outros. Desta análise, obtém-se o espaço de projeto que

contém todas as combinações possíveis de força e ângulo de topo. Vale destacar a

necessidade de obtenção do espaço de projeto, pois a utilização de valores máximos

de força e ângulo não leva necessariamente aos maiores valores de curvatura e

deformação do enrijecedor.

Utilizando os dados obtidos na análise global, faz-se o dimensionamento

preliminar do enrijecedor e a análise quase-estática com o modelo local de viga. Os

resultados de distribuição de curvatura e deformação ao longo do comprimento do

sistema são utilizados para verificar a aderência aos requisitos de projeto. Caso os

critérios não sejam atendidos, faz-se novo dimensionamento em um processo iterativo.

Com as dimensões preliminares definidas, pode-se realizar a análise dinâmica

com o modelo completo incluindo o enrijecedor. Esta análise é realizada com o

objetivo de avaliar o efeito da inclusão do enrijecedor na resposta do sistema. Caso os

resultados de tração e ângulo de topo obtidos nesta etapa apresentem resultados fora

de uma determinada tolerância, quando comparados com os resultados da análise

global, um novo dimensionamento do enrijecedor é realizado utilizando o modelo local.

Este processo iterativo continua até que se obtenha um dimensionamento ideal.

12

Figura 1.7 - Fluxograma para dimensionamento de enrijecedores à flexão

13

1.3 Estado da arte em análise local

Diversas hipóteses são adotadas no modelo local do sistema duto

flexível/enrijecedor à flexão com o objetivo de simplificar a formulação matemática

baseada na teoria de viga. Algumas dessas suposições podem, entretanto, gerar um

modelo que não represente a resposta do sistema com a acurácia necessária ao

projeto. A análise e projeto de enrijecedores à flexão e os modelos matemáticos

utilizados já foram assunto de pesquisa de diversos autores, sendo os principais

trabalhos apresentados a seguir. Estes são separados de acordo com a representação

adotada para o comportamento do poliuretano.

Modelos com material elástico

Um dos primeiros trabalhos publicados sobre enrijecedores à flexão foi

apresentado por BOEF e OUT [7]. Eles modelaram a conexão de topo da linha flexível

submetida a carregamento estático extremo, considerando a teoria de viga de Euler-

Bernoulli e poliuretano com resposta linear elástica. Comparam os resultados com

uma análise em elementos finitos, concluindo que o modelo de viga esbelta pode ser

aplicado de forma mais prática como ferramenta de projeto devido a sua simplicidade

numérica e que modelos em elementos finitos podem ser utilizados para verificação

final do projeto.

SØDAHL e LARSEN [8] apresentaram um procedimento para projeto de

enrijecedores combinando a análise dinâmica global com o modelo local, mostrando

as vantagens de se adotar esta metodologia ao invés de utilizar o modelo completo,

conforme descrito no item anterior. Para resolução numérica do modelo local

utilizaram o método do tiro (shooting method) no sistema de equações diferenciais de

governo.

LANE et al. [9] realizaram uma revisão no estado da arte em materiais,

construção, instalação e projeto de enrijecedores. Compararam os resultados de um

programa comercial baseado no modelo de viga esbelta descrito por [7], com modelos

de elementos finitos em duas e três dimensões. Relataram que excelentes correlações

são obtidas na comparação destes modelos, confirmando o modelo de viga esbelta

como ferramenta de projeto.

Ainda considerando o poliuretano com comportamento linear elástico, em

trabalho apresentado por CAIRE e VAZ [10,11], o modelo matemático de viga esbelta

foi estendido para incorporar a resposta não-linear em flexão de linhas flexíveis ou

cabos umbilicais submarinos. Além disso, utilizaram o método dos elementos finitos

14

através do software Abaqus [12] para avaliação do efeito do espaçamento radial entre

as duas estruturas na resposta de curvatura e deformação.

Como descrito nestes trabalhos, a natureza multicamada de linhas flexíveis e

cabos umbilicais submarinos leva a uma elevada rigidez axial e torsional, porém baixa

rigidez flexional. Estes dutos exibem comportamento histerético quando sujeitos a

esforços de flexão devido ao atrito e escorregamento que ocorre entre suas camadas.

Este comportamento não-linear pode ser representado considerando-se toda a curva

momento fletor x curvatura na formulação matemática, ou de forma simplificada,

porém representativa do observado em ensaios experimentais, por uma função bi-

linear.

A resposta em flexão é bastante influenciada pela pressão de contato e pelo

coeficiente de atrito entre as armaduras de tração. No estágio inicial de flexão, o atrito

impede deslizamento relativo entre camadas e as armaduras de tração podem ser

consideradas aderidas ao duto, gerando um elevado valor de rigidez. Com o

acréscimo do momento fletor, começa a ocorrer um deslizamento relativo entre as

camadas após um valor crítico de curvatura, no qual o atrito estático é vencido e uma

queda significativa no valor de rigidez à flexão é observada. Embora esse processo

não-linear ocorra na verdade de forma suave, pode ser modelado considerando

comportamento bi-linear com transição em determinado valor de curvatura crítica crk .

A estratégia usual para o projeto de enrijecedores é considerar o menor valor

de rigidez à flexão, de forma a obter resultados conservativos. Outra questão que

surge quando se introduz essa não-linearidade é o efeito do espaçamento radial que

existe entre o duto e o enrijecedor. Com esta hipótese, alguns segmentos do riser

podem ultrapassar o valor de curvatura crítico de forma diferente do que ocorreria sem

folga. Consequentemente, outra forma de não-linearidade é introduzida no modelo, já

que diferentes trechos da linha flexível podem apresentar diferentes valores de rigidez

à flexão.

Para o estudo de caso realizado, observa-se que a consideração da resposta

não-linear em flexão, assim como, o espaçamento radial entre as estruturas não afeta

significantemente os resultados quando se aplica carregamento extremo. Para

condições de carregamento mais brandas, como no caso de avaliação de vida à

fadiga, observa-se uma tendência de aumento na diferença de resultados obtidos

quando se inclui estas hipóteses no modelo.

Em sua dissertação de mestrado CAIRE [13] e em trabalho publicado por VAZ

et al. [14] a não-linearidade do comportamento do poliuretano é considerada na

formulação matemática do modelo. Além disso, consideram o comportamento

assimétrico, ou seja, resposta em tração diferente da resposta em compressão quando

15

submetido a carregamentos de mesma amplitude. Dessa forma, a posição do eixo

neutro não coincide necessariamente com o centróide de área e deve, portanto, ser

calculada numericamente. Consideraram as estruturas separadamente, permitindo o

cálculo da força de contato ao longo do comprimento através de um pós-

processamento do resultado numérico do sistema de equações diferenciais e posterior

estimativa das pressões de contato. Concluíram que a não-linearidade material com

comportamento assimétrico afeta a resposta do sistema e que caso se queira utilizar o

módulo de elasticidade para avaliação de esforços na estrutura, uma metodologia

consistente para levantamento desse parâmetro deve ser definida.

Modelos com material viscoelástico

CAIRE et al. [15] introduzem um modelo para representar o sistema linha

flexível/enrijecedor considerando o poliuretano com comportamento mecânico

dependente do tempo, ou seja, comportamento viscoelástico. Realizam testes de

fluência com aparato desenvolvido especificamente para tal ensaio e fazem o ajuste

dos dados utilizando séries de Prony. Um importante aspecto observado pelos autores

nos resultados experimentais é o fato de a função de fluência ser muito afetada pelos

níveis de tensão aplicados, caracterizando o fenômeno de viscoelasticidade não-

linear.

Apesar desta observação, utilizam um modelo matemático considerando a

teoria da viscoelasticidade linear no domínio do tempo com o objetivo de simplificar a

formulação e o método de solução numérica. O sistema de quatro equações

diferenciais não-lineares é resolvido utilizando o método do tiro (shooting method), que

consiste em transformar o problema de valor de contorno em um problema equivalente

de valor inicial.

Apresentam um estudo de caso considerando carregamento estático e

mostram que um aumento de até 20% na máxima curvatura observada ao longo do

enrijecedor, pode ocorrer quando se considera este tipo de carregamento. Embora

esta hipótese não represente de forma adequada o carregamento que deve ser

aplicado em um enrijecedor com comportamento viscoelástico, os resultados

ressaltam a necessidade de uma melhor compreensão dos fenômenos que regem a

resposta do sistema.

Em trabalho posterior, VAZ et al. [16] verificam o efeito do carregamento

harmônico na resposta da conexão de topo de um sistema com enrijecedor

viscoelástico linear utilizando a formulação matemática no domínio do tempo. A

formulação matemática é uma extensão de [15] considerando agora, que as condições

de contorno do carregamento são funções do tempo. Realizam ensaios experimentais

16

de fluência com o poliuretano utilizando equipamento servo-hidráulico para testes de

tração/compressão, onde a medição de deformação é feita utilizando um extensômetro

específico para grandes deformações. Desta forma, uma resposta acurada do

comportamento em fluência do poliuretano é obtido para curto prazo.

Além da formulação matemática e método de solução numérica apresentados,

realizam uma análise em elementos finitos utilizando o software Abaqus [12] para

verificação dos resultados obtidos. Um estudo de caso é apresentado considerando

força e ângulo como carregamento harmônico com determinada diferença de fase.

Verifica-se que a resposta de máxima curvatura do sistema ao longo do comprimento

varia com a frequência de carregamento imposta, podendo apresentar acréscimo ou

decréscimo de valor, dependendo da amplitude da força média aplicada. Os

resultados destacam a necessidade de adequada caracterização do comportamento

material, assim como a correta determinação do carregamento a ser aplicado como

condição de contorno obtida da análise global.

Análise de fadiga

No que se refere a avaliação de vida à fadiga de enrijecedores à flexão, pouco

se encontra na literatura sobre metodologia de análise. A avaliação de acumulo de

dano nestas estruturas é dificultada pelo efeito viscoelástico inerente a materiais

poliméricos. Os principais enfoques utilizados são: a) realização de testes

experimentais em escala real, b) utilização de curva NS (variação de tensão por

número de ciclos até a falha) ou curva N (variação de deformação por número de

ciclo até a falha) e c) utilização dos conceitos de mecânica da fratura.

Um estudo para determinação da vida à fadiga de enrijecedores foi

apresentado por MENICONI e LOPES [17]. Realizaram ensaios experimentais para

levantamento da curva N , utilizando um enrijecedor que apresentou falha por

fadiga quando em operação no campo de Marlim, na bacia de Campos. Estas falhas

ocorreram em dois risers de exportação de 9,5’’ conectados a monobóia IMODCO III

da Petrobras, operando numa profundidade de 405 metros. Através dos ensaios

experimentais realizados verificaram comportamento assimétrico, ou seja, resposta

diferente do comportamento em tração e compressão e ainda comportamento

viscoelástico.

A curva de fadiga foi levantada reproduzindo-se o detalhe de sustentação do

enrijecedor na região de falha. Os corpos de prova foram usinados considerando dois

orifícios com diferentes níveis de rugosidade e os testes feitos com diferentes níveis

de amplitude de deformação, mas sem avaliação do efeito da deformação média. Os

resultados obtidos mostraram uma forte dependência da rugosidade superficial,

17

sugerindo a utilização de uma metodologia baseada nos conceitos de mecânica da

fratura.

Outro trabalho relacionado à fadiga de enrijecedores foi apresentado por

DEMANZE et al. [18] no qual foram realizadas análises em elementos finitos para

avaliação de deformações em áreas críticas (inserto metálico e área de deformação

máxima) e testes em escala real e reduzida com objetivo de propor uma metodologia

para determinação da vida à fadiga de enrijecedores.

Neste trabalho, os autores utilizam os conceitos da mecânica da fratura para

avaliar, em um determinado conjunto de defeitos e deformações, o número de ciclos

para falha por propagação de trincas. Realizam diversos ensaios experimentais para

descrever a resposta em fadiga do poliuretano, levantando curvas do número de ciclos

até falha para diversos fatores de intensidade de deformações. Através de correlação

com resultado de diversos ensaios experimentais em escala real, definem os defeitos

equivalentes que devem ser utilizados nas áreas de deformação critica na etapa de

projeto.

Ampliação da fronteira do conhecimento

Não foi encontrada, pelo menos na literatura pesquisada, nenhuma metodologia

clara e que trate de forma consistente todos os aspectos relacionados ao projeto e

análise de enrijecedores à flexão. Um dos pontos essenciais é a correta

caracterização do comportamento mecânico do poliuretano específico utilizado na

fabricação do enrijecedor.

Embora tenha sido verificado por alguns dos trabalhos apresentados

anteriormente que o poliuretano apresenta comportamento viscoelástico e,

consequentemente, dissipação de energia quando submetido a carregamento cíclico,

em nenhum dos trabalhos citados realizou-se a verificação consistente deste efeito na

resposta do sistema.

O presente trabalho apresenta a formulação matemática do sistema

considerando comportamento viscoelástico linear e não-linear para representar o

poliuretano. O modelo é apresentado inicialmente no domínio do tempo e

posteriormente na frequência, utilizando a teoria da perturbação, para obtenção da

resposta em regime permanente. Desta forma, condições de carregamento

harmônicas podem ser utilizadas para representar as condições reais nas quais a

estrutura está submetida e obter a solução numérica de forma eficiente.

Atualmente, com a crescente utilização de materiais poliméricos na indústria

offshore e em outras indústrias de forma geral, a compreensão do comportamento

mecânico se torna essencial para projeto de estruturas que utilizem esse tipo de

18

material. Os modelos matemáticos apresentados neste trabalho, resultantes da

pesquisa realizada, podem ser estendidos com relativa facilidade para outras

aplicações similares. Um exemplo de aplicação mais geral é o trabalho publicado por

VAZ e CAIRE [19] que trata do problema de grandes deflexões de vigas viscoelásticas

e dos conceitos de energia armazenada e dissipada durante um histórico de

carregamento específico.

1.4 Objetivos específicos e relevância da pesquisa

Os principais objetivos do trabalho realizado, assim como a relevância do

mesmo no cenário atual, são apresentados nos itens a seguir.

Objetivos específicos da pesquisa

Os objetivos específicos a serem alcançados com o desenvolvimento deste

trabalho são apresentados como segue,

Realização de ensaios experimentais para caracterização mecânica do

comportamento viscoelástico de poliuretano utilizado em enrijecedores à

flexão;

Formulação matemática do sistema duto flexível/enrijecedor à flexão

considerando material viscoelástico linear e não-linear no domínio do tempo e,

utilizando o método da perturbação, na frequência para obtenção da reposta

harmônica em regime permanente.

Avaliação da influência da taxa de carregamento e do amortecimento

viscoelástico na resposta mecânica do sistema considerando carregamento

harmônico e as consequências na análise e projeto do sistema.

Relevância da pesquisa

Cada conexão de duto flexível ou cabo umbilical submarino com a unidade

flutuante de produção deve utilizar um enrijecedor à flexão para evitar possíveis falhas

devido a carregamento extremo e por fadiga. As novas descobertas nos campos do

pré-sal brasileiro irão exigir diminuição no conservadorismo de novos projetos para

redução de custo e viabilização de projetos que antes não seriam possíveis. Neste

contexto de novas descobertas, a Petrobras prevê a compra de cerca de 4000 km de

dutos flexíveis e 2200 km de cabos umbilicais submarinos o que significa que

centenas de enrijecedores à flexão serão necessários para instalação destes risers.

19

Uma das vantagens do uso de dutos flexíveis é que este permite a sua

reutilização em um novo sistema de produção submarina, e consequentemente uma

re-análise do sistema completo, incluindo o enrijecedor à flexão, deve ser feita para

avaliar se o mesmo poderá ser usado na nova aplicação ou se uma nova estrutura

deverá ser dimensionada. Todos estes fatores projetam uma forte demanda para os

próximos 10 anos no contexto de análise e projeto de enrijecedores à flexão ou bend

stiffeners.

1.5 Descrição dos capítulos

No Capítulo 2 uma introdução a teoria da viscoelasticidade é apresentada e as

equações constitutivas para a teoria linear e não-linear são desenvolvidas no domínio

do tempo e da frequência. Os diversos ensaios experimentais realizados para

caracterização do comportamento mecânico de amostras retiradas de um enrijecedor

à flexão são apresentados e os métodos de ajuste discutidos.

No Capítulo 3 a formulação matemática do sistema mecânico composto pelo

enrijecedor à flexão e duto flexível é apresentada, considerando a teoria da

viscoelasticidade linear e não-linear para representar o poliuretano. O modelo

matemático é primeiramente desenvolvido no domínio do tempo e estendido para o

domínio da frequência utilizando a teoria da perturbação. As hipóteses simplificadoras

assumidas no modelo e suas consequências na resposta são discutidas.

No Capítulo 4 diversos estudos de caso são realizados para verificação do efeito

viscoelástico do poliuretano do enrijecedor na resposta do sistema de conexão de

topo. As conclusões finais obtidas, comentários e sugestões para continuidade do

trabalho são apresentados no Capítulo 5.

20

2 RESPOSTA MECÂNICA DO POLIURETANO

A primeira parte deste capítulo apresenta a classificação do poliuretano dentro da

ampla classe de materiais poliméricos. Em seguida as principais propriedades que

devem ser atendidas para utilização do poliuretano como enrijecedor à flexão são

discutidas. As características básicas do comportamento viscoelástico são

introduzidas utilizando analogias mecânicas com sistemas formados pela combinação

de molas e amortecedores e os ensaios experimentais necessários para sua

caracterização mecânica são então apresentados.

No item 2.1 as equações constitutivas para teoria linear, utilizando a forma da

integral hereditária, são apresentadas no domínio do tempo utilizando o principio da

superposição e estendidas para o domínio da frequência. Com o objetivo de expandir

a faixa de aplicação da teoria linear, no item 2.2, alguns modelos da teoria da

viscoelasticidade não-linear são apresentados e discutidos.

Por fim, o item 2.3 apresenta os ensaios experimentais e os ajustes realizados

para caracterização mecânica do poliuretano. A teoria não-linear que apresenta a

melhor correlação com os dados experimentais obtidos é então utilizada para

formulação matemática do sistema linha flexível/enrijecedor à flexão desenvolvida no

Cap. 3.

Classificação

O corpo do enrijecedor à flexão é fabricado com poliuretano, um tipo específico

de polímero. Polímeros são estruturas formadas por grandes moléculas

(macromoléculas), caracterizadas por seu tamanho, estrutura química, interações

intramoleculares e intermoleculares. As unidades químicas básicas que formam os

polímeros são denominadas meros. Possuem ligações covalentes repetidas

regularmente ao longo da cadeia, onde o número de meros da cadeia indica o grau de

polimerização. Em geral, graus elevados de polimerização irão assegurar melhores

propriedades mecânicas e físicas do produto.

Pela atuação de forças externas, as macromoléculas tendem a escoar e

quando removida a tensão retornam parcialmente à situação primitiva. Se o material é

muito cristalino, é também rígido e resiste mais à deformação. Sempre há, entretanto,

uma variação dimensional irreversível quando se ultrapassa o limite elástico de cada

material. Quando o polímero é pouco cristalino, ou está acima da sua temperatura de

transição vítrea, há maior escoamento (creep) e as peças sofrem deformações mais

pronunciadas, até mesmo por escoamento sob a ação de seu próprio peso em alguns

casos.

21

Um polímero pode ser classificado de diversas maneiras. De acordo com o

critério do comportamento mecânico dos polímeros, os materiais macromoleculares

podem ser divididos em três grupos: borrachas, plásticos e fibras. Uma característica

que delimita um grupo do outro, embora de forma superficial, é o limite do módulo de

elasticidade. Os respectivos intervalos são apresentados a seguir: borrachas

( 21 1010 psi), plásticos ( 43 1010 psi) e fibras 65 1010( psi), de acordo com MANO

[20].

Os poliuretanos são polímeros produzidos pela reação de poliadição de um

diisocianato com um diol e outros reagentes. Os isocianatos podem ser aromáticos ou

alifáticos. Os polidióis podem ser poliéteres, poliésteres, ou possuir estrutura

hidrocarbônica. A natureza química bem como a funcionalidade dos reagentes deve

ser escolhida de acordo com as propriedades finais desejadas. Esta flexibilidade

possibilita a obtenção de materiais com diferentes propriedades físicas e químicas.

Dependendo dos monômeros e do catalisador pode-se gerar uma grande variedade

de materiais, como por exemplo, plásticos ou fibras, de natureza termoplástica ou

termorrígida.

Propriedades necessárias ao enrijecedor

De acordo com a norma API 17 J [5], o material polimérico utilizado no projeto

de enrijecedores à flexão deve atender a alguns critérios de projeto específicos, tais

como:

a) resistência à água do mar e hidrólise - o poliuretano inevitavelmente sofre

algum nível de hidrólise com o tempo, mas a resistência a este tipo de degradação

pode ser aumentada quando se utiliza poliéter, por exemplo. A absorção de água pode

ocorrer em alguns tipos de poliuretano, levando a um pequeno aumento de massa,

mas sem efeito significante na rigidez e no comportamento mecânico.

b) exposição a produtos químicos - caso exista a possibilidade de exposição do

material a produtos químicos, suas consequências devem ser avaliadas, pois líquidos

corrosivos, como ácidos em geral, atacam o poliuretano quimicamente.

c) exposição à radiação ultravioleta - a resistência de poliuretanos a radiações

ultravioletas é relativamente boa. Quando exposto à luz solar pode ocorrer um

escurecimento superficial, mas que não necessariamente está associado com a perda

de propriedades físicas.

d) resistência à temperatura máxima esperada - a temperatura tem grande

influência no comportamento do poliuretano devido ao rearranjo das cadeias do

polímero e deve ser avaliado para cada tipo de aplicação específica.

22

e) fluência e relaxação de tensões – o poliuretano apresenta continuidade da

deformação quando submetido à tensão constante e relaxação de tensão quando

submetido à deformação constante, características do comportamento viscoelástico,

descrito a seguir.

Observa-se que devido a sua grande versatilidade, o poliuretano utilizado na

fabricação de enrijecedores à flexão deve ser adequadamente selecionado para

atender as propriedades descritas acima, além da necessidade de ser corretamente

caracterizado quanto ao seu comportamento mecânico para que o dimensionamento

da estrutura não leve a erros de projeto.

Analogia da resposta mecânica com sistemas simples

No âmbito da mecânica dos sólidos, equações constitutivas caracterizam a

resposta de um corpo contínuo aos carregamentos externos impostos e uma

compreensão física deste comportamento pode ser obtida utilizando a analogia com

elementos fundamentais como a mola, o amortecedor e um sólido rígido deslizando

sobre uma superfície com atrito, como ilustrado na Fig. 2.1 a seguir.

(a) Mola (b) Amortecedor (c) Sólido com atrito

Figura 2.1 – Elementos mecânicos simples

O comportamento elástico, por exemplo, pode ser compreendido considerando

a aplicação de um carregamento em uma mola. Quando se aplica uma determinada

tração, a mola se alonga instantaneamente e se a força aumenta o alongamento

também aumenta. A relação entre força e deslocamento é a mesma para

carregamento e descarregamento. Se a força é linearmente proporcional ao

deslocamento, pode-se escrever a seguinte equação constitutiva relacionando força x

deslocamento kF e tensão x deformação E , onde k é o coeficiente da

mola e E o módulo de elasticidade ou módulo de Young.

A deformação viscosa pode ser caracterizada considerando um amortecedor,

ou seja, um pistão perfurado se movendo dentro de um cilindro. Quando uma

determinada força é aplicada ao pistão, o líquido flui pelo orifício com um fluxo que

23

depende da pressão aplicada no pistão. Quanto maior a intensidade da força, maior a

pressão observada. Desta forma, a taxa de deformação pode ser relacionada

diretamente à tensão aplicada utilizando a seguinte relação, , onde é o

módulo de viscosidade.

O comportamento plástico pode ser compreendido fisicamente fazendo-se a

analogia com o deslocamento de um corpo rígido sobre uma superfície rugosa quando

submetido à aplicação de uma determinada força horizontal constante. A força irá

causar um deslocamento no corpo apenas se sua intensidade for maior do que a força

de atrito entre ele e a superfície de contato. Uma vez que o deslocamento é iniciado,

este continua a ocorrer sem acréscimo na força aplicada. Quando se retira o

carregamento, o corpo não retorna a sua posição inicial e isso significa que todo o

trabalho realizado é dissipado em forma de calor com a superfície de contato. A Fig.

2.2 ilustra o comportamento tensão x deformação destes sistemas mecânicos.

(a) Elástico (b) Viscoso (c) Plástico

Figura 2.2 – Resposta mecânica dos elementos simples

Utilizando os elementos básicos descritos acima, modelos com resposta mais

próxima do observado em materiais reais podem ser obtidos. Conectando o modelo

elástico e plástico em série, por exemplo, obtém-se como resposta o comportamento

elastoplástico, ilustrado na Fig. 2.3. Quando se aplica um carregamento externo, o

deslocamento da mola aumenta até que a força externa aplicada se iguale a força de

atrito entre o corpo e a superfície. A partir deste instante, a força se mantém constante

e o deslocamento irreversível p aumenta até o instante da retirada da força.

Outro modelo pode ser obtido acoplando o elemento plástico com um

amortecedor em paralelo e associando este conjunto com uma mola em série. Desta

forma pode-se observar algumas características do modelo viscoplástico. A aplicação

de carregamento externo provoca uma resposta elástica instantânea. A partir do

instante em que a força externa se iguala a força de atrito do elemento plástico, a

deformação irreversível aumenta com uma taxa constante devido à presença do

24

amortecedor. No limite, quando a taxa de carregamento tende a zero 0 , o

material responde com comportamento elastoplástico.

Figura 2.3 – Modelo elasto-perfeitamente plástico

De forma similar ao descrito acima, a analogia com sistemas mecânicos

simples permite a fácil compreensão de fenômenos importantes do comportamento

viscoelástico. Com o objetivo de simular este comportamento dependente do tempo e

derivar equações constitutivas com operadores diferenciais relacionando tensão e

deformação, diversas analogias podem ser feitas utilizando combinações de molas e

amortecedores lineares. Nesse contexto, a mola representa o trabalho mecânico

armazenado e o amortecedor a parcela da energia dissipada em forma de calor. As

equações constitutivas obtidas sugerem formas das funções de relaxação e de

fluência que podem ser utilizadas para o ajuste de dados experimentais. Dentre as

diversas combinações possíveis, algumas das mais relevantes para compreensão

deste comportamento viscoelástico, são apresentadas a seguir,

a) Maxwell – mola e amortecedor conectados em série, como mostrado na Fig.

2.4. Quando submetido a uma tensão constante 0 no instante

0t , alcança

imediatamente o valor de deformação E/0 seguido de um estado com taxa de

deformação constante. Quando submetido a uma deformação constante 0 no

instante 0t , a tensão alcança instantaneamente o valor

0E e relaxa completamente

até zero ao longo do tempo devido à deformação do amortecedor. Este

comportamento é típico da resposta de fluidos. As funções de relaxação e fluência

obtidas com este modelo não representam, portanto, o comportamento viscoelástico

observado em poliuretanos.

25

Figura 2.4 – Modelo viscoelástico de Maxwell

b) Kelvin-Voigt – mola e amortecedor conectados em paralelo, como mostrado

na Fig. 2.5. Quando submetido a uma tensão constante 0 no instante

0t , todo o

carregamento é suportado pelo amortecedor já que o mesmo não se deforma

instantaneamente. A partir deste instante, com o aumento da deformação com o

tempo, a tensão na mola aumenta gradativamente e consequentemente ocorre um

decréscimo na tensão do amortecedor. A taxa de deformação se anula quando toda a

tensão é transferida para a mola, o que ocorre quando t e a deformação tende a

E/0 . Quando submetido a uma deformação constante 0 no instante

0t , o

amortecedor reage com um salto de força que tende a infinito. A partir deste instante

inicial, o amortecedor atinge o equilíbrio e a única força requerida para manter o

sistema na sua configuração é uma tensão proporcional a deformação da mola dada

por 0E . Esta resposta de relaxação de tensão não gradual e a resposta em fluência

não fornecem uma boa aproximação do comportamento observado em materiais

viscoelásticos.

Figura 2.5 – Modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt

26

c) Sólido linear padrão – pode ser formado pelo modelo de Maxwell e uma

mola em paralelo ou pelo modelo de Kelvin-Voigt e uma mola em série, onde ambos

os modelos fornecem as mesmas equações constitutivas e indicam uma forma

exponencial para as funções de relaxação e fluência. A Fig. 2.6 mostra

esquematicamente o modelo.

Figura 2.6 – Modelo viscoelástico do Sólido Linear Padrão

O equilíbrio de forças do modelo fornece a seguinte relação,

)()()( 21 ttt (2.1)

onde o índice 1 se refere a mola com módulo de elasticidade 1E e o índice 2 se refere

ao modelo de Maxwell constituído de uma mola com módulo de elasticidade 2E e um

amortecedor com módulo viscoso . Para este modelo, a equação de compatibilidade

geométrica é dada por,

)()()( 21 ttt (2.2)

A relação tensão x deformação é descrita pelas seguintes relações,

22

2

2

111

E

E

(2.3)

Utilizando a condição inicial )0()0( 222 E para resolver a equação

diferencial apresentada na Eq. (2.3), obtém-se a seguinte solução para tensão 2 do

modelo de Maxwell,

27

t

dtE

EtEt0

2222 )()](exp[)()(

(2.4)

Utilizando as Eq. (2.1), (2.3) e (2.4) chega-se a,

t

dtE

EtEEt0

2221 )()](exp[)()()(

(2.5)

Definindo as seguintes constantes,

2

1

210

/E

EG

EEG

R

(2.6)

e definindo a função de relaxação )(tG como,

]/exp[)()( 0 RtGGGtG

(2.7)

pode-se reescrever a Eq. (2.5) da seguinte forma,

t

t

dt

tGtG

dtG

tGt

0

0

)(

)()()()0(

)()()()0()(

(2.8)

Fazendo uso da transformada de Laplace em (2.8) e considerando um salto de

tensão 0)( t para 0t pode-se obter a resposta de deformação, como segue,

t

t

dt

tJtJ

dtJ

tJt

0

0

)(

)()()()0(

)()()()0()(

(2.9)

sendo a função de fluência )(tJ descrita por,

]/exp[)()( 0 CtJJJtJ

(2.10)

28

com os seguintes coeficientes,

RC GG

GJ

GJ

)/(

/1

/1

0

00

(2.11)

A resposta deste modelo para o ensaio de relaxação de tensão ( 0,)( 0 tt )

e fluência ( 0,)( 0 tt ) é apresentada esquematicamente na Fig. 2.7 a seguir.

Quando submetido a uma deformação instantânea 0 , o modelo atinge seu valor

máximo de tensão 00G e continua sua relaxação de tensão até atingir o valor limite

G0 quando t . Quando submetido a uma tensão instantânea

0 , salta para um

valor de deformação 00J e flui até atingir o valor máximo de

J0 quando t .

Este é o modelo mais simples capaz de representar as características essenciais do

comportamento viscoelástico.

(a) Relaxação (b) Fluência

Figura 2.7 – Resposta de relaxação e fluência do modelo Sólido Linear Padrão

Considerando um histórico de deformação com taxa constante, descrito por

tt )( , e substituindo na Eq. (2.8) com manipulações algébricas obtém-se,

t

dGt0

)()( (2.12)

29

Utilizando a Eq. (2.12) verifica-se que a resposta de tensão ao longo do tempo

é proporcional à função de relaxação para cada instante, sendo descrito

matematicamente por,

)(/)( tGdttd (2.13)

Desta forma a inclinação inicial é dada por )0(G e quando t decresce

continuamente até atingir o valor )(G . A Fig. 2.8 ilustra esquematicamente este

comportamento. A Fig. 2.9 ilustra o efeito da taxa de carregamento na curva tensão x

deformação de um material viscoelástico linear representado pelo modelo do sólido

linear padrão. Pode-se verificar que quanto maior a taxa de deformação utilizada no

ensaio, maior será o valor de rigidez obtido como resposta. Substituindo /t em

(2.12), pode-se ainda escrever,

)/(/ Gdd (2.14)

Esta relação mostra que a inclinação da curva tensão x deformação de um

material viscoelástico linear é proporcional a função relaxação de tensão.

Consequentemente, o fato desta curva não ser uma reta, não caracteriza o material

como viscoelástico não-linear. A Fig. 2.10 mostra a curva x para três

combinações de )0(/)( GG . A teoria viscoelástica linear é válida, quando, para

qualquer taxa de deformação aplicada, as curvas x coincidem. Pode-se

verificar ainda, que quanto mais viscoelástico for o material, maior será a não-

linearidade da curva tensão x deformação.

(a) Carregamento (b) Resposta de tensão

Figura 2.8 – Carregamento com taxa constante de deformação e resposta de tensão

do Sólido Linear Padrão

30

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3 R = 0,01

2 R = 0,05

1 R = 0,5

Go = 10

Ginf = 1

R = 1

Figura 2.9 – Influência da taxa de deformação na curva x do modelo Sólido Linear

Padrão

0 1 2 3 4 5

0

10

20

30

40

50

R = 1

Ginf/Go = 0,9

Ginf/Go = 0,5

Ginf/Go = 0,1

Figura 2.10 – Influência da taxa de deformação e )0(/)( GG na curva x do

modelo Sólido Linear Padrão

31

Outro aspecto importante do comportamento viscoelástico é o conceito de

memória. Considere, por exemplo, que inicialmente se aplique o mesmo carregamento

0 ilustrado na Fig. 2.7. Após a aplicação deste, ao invés da retirada em um

determinado instante, ocorra a aplicação de outro salto instantâneo de tensão com

magnitude 0c , onde c é uma constante. A resposta a partir desse instante irá

depender não apenas da magnitude da tensão alcançada, mas também do histórico

do primeiro carregamento. Isto significa que para um determinado carregamento de

tensão ou deformação especificado arbitrariamente, a resposta de deformação ou

tensão irá depender de todo o seu histórico. Estas características são representadas

matematicamente pelas integrais hereditárias apresentadas nas Eq. (2.8) e (2.9). Para

um material elástico a resposta seria, simplesmente, a deformação correspondente à

tensão total para o instante considerado

Muitas outras combinações com molas e amortecedores podem ser formadas,

fornecendo as mesmas equações constitutivas relacionando tensão e deformação

apresentadas anteriormente, diferindo apenas nas funções de relaxação e fluência

obtidas. Os modelos de Lethersich (combinação do modelo de Kelvin-Voigt com um

amortecedor em série) e Burgers (combinação do modelo de Kelving-Voigt com o

modelo de Maxwell em série) são alguns exemplos. Qualquer forma da função é válida

desde que represente o melhor ajuste dos dados experimentais obtidos. Embora

ajudem na compreensão de fenômenos essenciais na reposta viscoelástica, suas

restrições não permitem o desenvolvimento de uma teoria consistente para este tipo

de material. O modelo do sólido linear padrão, por exemplo, apresenta apenas um

tempo de relaxação R ou fluência

C . Para correta representação de materiais reais,

diversos tempos de relaxação ou fluência devem ser utilizados e nesse contexto,

generalizações dos modelos descritos acima podem ser obtidas considerando uma

série de elementos de Maxwell ou Kelvin-Voigt. Considerando, por exemplo, a

generalização do modelo de Maxwell,

d) Modelo de Maxwell generalizado – Este modelo é formado por uma série de

N elementos de Maxwell em paralelo, como ilustrado na Fig. 2.11 a seguir. O

equilíbrio de forças para este modelo fornece a seguinte relação,

N

i

i tt1

)()( (2.15)

A equação de compatibilidade geométrica é dada por,

32

),..,1()()( Nitt i (2.16)

Figura 2.11 – Modelo viscoelástico de Maxwell generalizado

De modo similar ao modelo de Maxwell com apenas um elemento, a relação

tensão x deformação para o modelo generalizado pode ser descrita por,

N

i i

N

i i

tE

tt11

1)(

1)()(

(2.17)

Utilizando as Eq. (2.15-17) e as condições iniciais do modelo, obtêm-se as

seguintes funções de relaxação e fluência,

]/exp[...]/exp[)( ,1,10 MRMR tGtGGtG (2.18)

]/exp[...]/exp[)( ,1,10 MCMC tJtJJtJ (2.19)

onde os tempos de relaxação são descritos por iiiR E/, e os tempos de fluência

por iC , ),..,1( Mi . A forma das funções de relaxação e fluência apresentadas nas Eq.

(2.18) e (2.19) é chamada série de Prony. A generalização destes tempos, quando

33

M , introduz o conceito de espectro contínuo de relaxação ou fluência, como será

apresentado no item 2.1.

Ensaios experimentais

Os principais testes experimentais que podem ser utilizados para

caracterização mecânica do comportamento viscoelástico linear observado em

poliuretanos são descritos a seguir:

a) Teste de relaxação de tensões – diversos níveis de deformação são

aplicados nos corpos de prova e o histórico da resposta de tensão medido

ao longo do tempo para uma determinada temperatura. Um desenho

esquemático deste teste é ilustrado na Fig. 2.7 (a) para um nível de

deformação.

b) Teste de fluência – diversos níveis de tensão são aplicados nos corpos de

prova e o histórico da resposta de deformação medido ao longo do tempo

para uma determinada temperatura. Um desenho esquemático deste teste

é ilustrado na Fig. 2.7 (b) para um nível de tensão.

c) Teste oscilatório – carregamento harmônico é imposto aos corpos de prova

com diferentes frequências e amplitudes e a resposta medida ao longo do

tempo para uma determinada temperatura.

Na análise e interpretação dos resultados experimentais de relaxação e fluência,

usualmente se considera que o carregamento é aplicado instantaneamente e mantido

constante ao longo do ensaio. O termo instantaneamente, impossível de se obter

experimentalmente, pode ser entendido como rápido o suficiente para obter a resposta

elástica, mas que ao mesmo tempo não provoque resposta dinâmica no corpo de

prova devido a efeitos de inércia do sistema experimental. O efeito da taxa de

carregamento adotada para se alcançar o nível de carregamento do ensaio deve ser

avaliado, uma vez que a mesma apresenta influência na resposta mecânica do

material. A escolha do aparato a ser utilizado depende do material e da caracterização

que se quer obter. A utilização de um aparato servo-hidráulico para testes de

tração/compressão, por exemplo, fornece resultados precisos, mas não se torna

adequada para ensaios de longo prazo.

As funções de relaxação e fluência obtidas com os diferentes tipos de ensaios

apresentados acima podem ser relacionadas umas com as outras como será visto a

seguir. A função de relaxação no domínio da frequência )(wG pode ser obtida

diretamente através da função )(tG obtida com o teste de relaxação, por exemplo.

34

Para comportamento viscoelástico não-linear, o número de testes experimentais

para caracterização da resposta material e ajuste dos coeficientes depende da teoria

adotada, mas é usualmente muito mais elevado que para a teoria linear. Em alguns

casos, diversos saltos de deformação ou tensão devem ser aplicados no mesmo

ensaio de relaxação ou fluência, respectivamente. A influência da temperatura é outro

aspecto que dificulta a caracterização viscoelástica.

2.1 Comportamento viscoelástico linear

Neste item, uma forma geral da equação constitutiva unidimensional para

resposta viscoelástica linear é derivada utilizando o conceito da integral hereditária

para relaxação e fluência como descrito por WINEMAN e RAJAGOPAL [21]. A relação

entre as duas formas é apresentada, assim como, o conceito de espectro de

relaxação. As equações obtidas são posteriormente derivadas no domínio da

frequência considerando carregamento harmônico. Em seguida são generalizadas

para resposta em três dimensões e por fim, alguns critérios para demarcação do limite

de aplicação da teoria viscoelástica linear são apresentados.

2.1.1 Equação constitutiva na forma integral para resposta unidimensional

Na formulação apresentada a seguir, o tempo atual será denotado por t e um

tempo representativo de estados anteriores representado por .

Principio da superposição de Boltzman

Se uma deformação )(1)( 0 , ],0[ t , é aplicada a um material

viscoelástico, a resposta de tensão pode ser descrita por )()( 0 tGt . A função de

salto unitária )(1 t é definida como,

0,1

0,0)(1

t

tt (2.20)

A função de relaxação )(tG será descrita utilizando a série de Prony como

apresentado na Eq. (2.18). Considerando agora uma função arbitrária )( , ],0[ t ,

com variação suave ao longo do tempo e possíveis descontinuidades em um

35

determinado tempo *T , como mostrado na Fig. 2.12, pode-se utilizar uma

superposição de saltos para aproximação, como segue,

i

n

i

itt 1

0 )(1)(1)()( (2.21)

onde 00 t e i é definido por,

)()( 1 iii tt (2.22)

Figura 2.12 – Aproximação de uma história de deformação por superposição de saltos

De acordo com o principio da superposição de Boltzman, a soma da resposta

de tensões individuais devido a componentes de deformação individuais deve ser igual

a resposta total de tensão devido a combinação de todos os pulsos de deformação.

Desta forma, a resposta de tensão pode ser descrita por,

i

n

i

ittGtGt 1

)()()0()( (2.23)

Se for considerado que o número de incrementos de deformação i tende ao

infinito, a magnitude de cada termo decresce e pode-se representar o somatório da

Eq. (2.23) por uma integral, como segue,

36

t

dtGtGt0

)()()()0()( (2.24)

A integral acima é chamada de integral de Riemann-Stieltjes e envolve

diferencial da deformação ao invés do tempo, como descrito por WINEMAN e

RAJAGOPAL [21]. Considerando que a função )(t é continua no intervalo de

integração, pode-se escrever,

dd

)()( (2.25)

de forma que o tempo se torne a variável independente. Substituindo a Eq. (2.25)

em (2.24) e considerando a descontinuidade no tempo *T , obtém-se,

)()()()(

)()()0()( ***

0TtGTTdtGtGt

t

(2.26)

A Eq. (2.26) é usualmente descrita em sua forma reduzida,

t

dtGt0

)()()( (2.27)

Equações constitutivas para relaxação

A Eq. (2.27) pode ser reescrita de duas formas diferentes utilizando mudança

de variáveis, como segue,

t

t

t

dtGtG

dt

tGtG

dtGt

0

0

0

)()()()0(

)(

)()()()0(

)()()(

(2.28)

Utilizando ainda, integração por partes e a mesma mudança de variáveis

adotada anteriormente, pode-se reescrever a equação constitutiva como,

37

t

t

t

dG

ttG

dt

tGtG

dGtt

0

0

0

)()()()0(

)(

)()()()0(

)()()(

(2.29)

A Eq. (2.29) é a mesma obtida com o modelo do sólido linear padrão

apresentada anteriormente na Eq. (2.8). A escolha da utilização da equação

constitutiva (2.28) ou (2.29) irá depender do problema específico a ser tratado.

Equações constitutivas para fluência

Utilizando o mesmo procedimento descrito anteriormente para um histórico de

tensões, pode-se obter a resposta de deformação em função do tempo. Neste caso a

função )(tJ que caracteriza o material é chamada de função de fluência, como

apresentado anteriormente na Eq. (2.19). Estas relações são dadas por,

t

t

t

dtJtJ

dt

tJtJ

dtJt

0

0

0

)()()()0(

)(

)()()()0(

)()()(

(2.30)

ou ainda, utilizando integração por partes em (2.30),

t

t

t

dJ

ttJ

dt

tJtJ

dJtt

0

0

0

)()()()0(

)(

)()()()0(

)()()(

(2.31)

Relação entre relaxação e fluência

A caracterização do comportamento viscoelástico, seja ele linear ou não, é

usualmente feita realizando-se apenas um dos dois tipos de ensaios descritos

anteriormente, o de fluência ou relaxação. Desta forma, caso a formulação do modelo

matemático utilizado para descrever o comportamento mecânico do problema em

questão não utilize a mesma forma da equação constitutiva adotada para descrever o

ensaio, torna-se necessário utilizar uma relação matemática para o cálculo da mesma.

38

Esta relação pode ser obtida substituindo o histórico de tensão )(1)( 0 tt em

(2.28). Levando em conta a teoria da viscoelasticidade linear, a relação para a

deformação em função do tempo se torna )()( 0 tJt e, consequentemente a Eq.

(2.28) pode ser reescrita como,

t

dJ

tGtGJ0

)()()()0(1

(2.32)

Considerando )(1)( 0 tt e )()( 0 tGt em (2.30), relação similar pode ser

obtida. Se a função de relaxação )(tG ou de fluência )(tJ forem conhecidas

experimentalmente, pode-se resolver numericamente a relação integral dada pela Eq.

(2.32) para cálculo da função não conhecida. Algumas considerações importantes

podem ser obtidas da relação (2.32). Considerando, por exemplo, o tempo 0t ,

pode-se verificar que o valor da função de relaxação é dado pelo inverso da função de

fluência 1)0()0( JG . O mesmo é válido quando se considera t , ou seja,

1)()( JG . Para o caso não-linear a relação será apresentada no item 2.2.3.

Espectro de relaxação

As funções de relaxação e fluência apresentadas anteriormente são utilizadas

para caracterização do comportamento viscoelástico linear e são obtidas diretamente

através de resultados experimentais utilizando a série de Prony com um determinado

número de termos. Outra forma de caracterizar o comportamento é através do uso da

função espectro de relaxação )(tH , definida a seguir,

0)/exp()()( dtHGtG (2.33)

A função )(tH pode ser considerada como uma distribuição contínua dos

tempos de relaxação que caracterizam a série de Prony. De forma similar pode-se

definir o espectro de fluência )(tL . Como não podem ser obtidas experimentalmente,

seu cálculo deve ser feito numericamente utilizando a Eq. (2.33) ou utilizando

aproximações, como a apresentada por CHRISTENSEN [22] e definida a seguir,

dt

tdGtH

)2ln()( (2.34)

39

Estas funções são usualmente adotadas para correlacionar as propriedades

macroscópicas com os movimentos moleculares. Assim como as funções de relaxação

e fluência no tempo podem ser utilizadas para determinação do comportamento na

frequência, a função )(tH pode ser utilizada para determinação de )(wG .

2.1.2 Equação constitutiva na forma integral para resposta em três dimensões

As equações apresentadas para o caso unidimensional na forma integral

podem ser generalizadas considerando as similaridades entre o comportamento

elástico e viscoelástico. Para o caso linear elástico isotrópico, onde as propriedades

são idênticas em todas as direções, a relação tensão x deformação pode ser escrita

da seguinte forma,

ijijkkij 2 (2.35)

onde e são as duas constantes que caracterizam o comportamento elástico,

sendo usualmente denominadas de constantes de Lamé. O termo kk utiliza a

convenção de somatório, e consequentemente, 332211 kk

. O tensor unitário

ij é definido, como segue,

ji

ji

ij

,0

,1 (2.36)

Considerando E como o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson,

pode-se construir as seguintes relações para as constantes de Lamé,

)21)(1(

)1(2

E

E

(2.37)

Utilizando a notação da convolução de Stieltjes () e fazendo uso da analogia

com o comportamento linear elástico, pode-se escrever para o caso viscoelástico

linear a seguinte relação tensão x deformação,

40

ijRijkkRij dd 2 (2.38)

onde as funções dependentes do tempo )(tR e )(tR caracterizam o comportamento

viscoelástico. A utilização da convolução de Stieltjes permite que a equação

constitutiva para viscoelasticidade linear seja manipulada de forma similar ao utilizado

nas equações constitutivas para elasticidade linear. A convolução, d , de duas

funções contínuas )(t e )(t é definida como,

dtt

dtd

t

t

0

0

)()()()0(

)()(

(2.39)

Utilizando esta notação e expandindo a Eq. (2.38), chega-se a,

tR

ijijR

ij

tR

kkkkRij

dtt

dtt

0

0

)()(2)()0(2

)()()()0(

(2.40)

onde as funções )(tR e )(tR são definidas como segue,

)(21)(1

)()()(

)(12

)()(

tt

ttEt

t

tEt

RR

RR

(2.41)

Algumas considerações especiais quanto ao comportamento volumétrico

podem ser definidas. Caso se considere a hipótese de incompressibilidade, onde o

coeficiente de Poisson passa a ser descrito por )(15.0)( tt , obtém-se a seguinte

relação entre os coeficientes,

3

)()(

tEt R

R (2.42)

41

Pode-se considerar o coeficiente de Poisson como constante e independente

do tempo 0 , ou ainda, que a deformação volumétrica ( )()()()( 332211 tttt ) é

independente do tempo.

2.1.3 Resposta viscoelástica linear no domínio da frequência

As equações constitutivas apresentadas anteriormente fornecem a resposta de

tensão ou deformação com o tempo. Em muitas aplicações de engenharia, a estrutura

viscoelástica pode ser submetida a carregamentos harmônicos por um longo período

de tempo. Para estas situações se torna mais conveniente reescrever as equações

diretamente no domínio da frequência. Considera-se a seguinte história de

deformação,

twt sin)( 0 (2.43)

onde 0 é a amplitude, a variação em torno do valor médio e w a frequência de

carregamento. Neste ponto, torna-se conveniente reescrever a função de relaxação

)(tG da seguinte forma,

)()( 0 tGGtG (2.44)

onde a parte independente do tempo 0G é o valor da função quando t e )(tG é

o termo que varia com o tempo, podendo ser definido, por exemplo, utilizando a série

de Prony de três termos, como segue,

3,32,21,1 /exp/exp/exp)( RRR tGtGtGtG (2.45)

Substituindo o histórico de deformação harmônico descrito na Eq. (2.43) na

terceira equação de (2.29) e utilizando a função de relaxação (2.44), obtém-se com

manipulações algébricas,

)cos()(

sin

)sin()(

cos)0(

)()(

0

0

0

wtdG

w

wtdG

wG

tGtt

t

(2.46)

42

Com o objetivo de simplificar a Eq. (2.46), pode-se definir as seguintes

relações,

t

t

dG

wtwG

dG

wGtwG

0

0

)(sin),(

)(cos)0(),(

(2.47)

Considerando t para que a função relaxação dependa apenas da

frequência de oscilação,

),(lim)(

),(lim)(

twGwG

twGwG

t

t (2.48)

e utilizando a função definida em (2.44) e (2.45), obtém-se,

)1()1()1()(

)1()1()1()0()(

2

3,

2

33

2

2,

2

22

2

1,

2

11

2

3,

2

3

2

2,

2

2

2

1,

2

1

R

R

R

R

R

R

RRR

w

G

w

G

w

GwwG

w

G

w

G

w

GGwG

(2.49)

onde a função )(wG é definida como módulo de armazenamento e )(wG como

módulo de perda. Considerando t e substituindo a Eq. (2.49) em (2.46), chega-se

a seguinte equação constitutiva para material viscoelástico linear submetido a histórico

de deformação harmônico dado pela Eq. (2.43),

)(sin)()()(

)cos()()sin()()()(

2/122

0

0

wtwwGwGG

twwGtwwGGt

(2.50)

onde a diferença de fase é definida por )(/)()](tan[ wGwGw . Este resultado

mostra que a resposta de tensão devido a uma deformação senoidal, irá oscilar com a

mesma frequência w e com uma diferença de fase )(w . Caso se considere um

histórico de deformação descrito por, twt cos)( 0 , chega-se a seguinte

relação,

43

)sin()()cos()()()( 0 twwGtwwGGt (2.51)

Seguindo procedimento similar ao descrito anteriormente e utilizando o

princípio da superposição, pode-se definir uma relação entre a função de relaxação e

de fluência no domínio da frequência, como apresentado a seguir,

22

22

)()(

)()(

)()(

)()(

wGwG

wGwJ

wGwG

wGwJ

(2.52)

Dissipação de energia viscoelástica

VAZ e CAIRE [19] apresentaram as equações para cálculo da energia

armazenada e dissipada de uma viga viscoelástica linear sujeita a carregamento

estático concentrado em uma de suas extremidades. O trabalho total exercido por uma

carga concentrada é convertido em uma parcela SU (energia potencial) e outra

parcela CU (energia dissipada). Introduzindo o conceito de decomposição da

deformação, DS (onde

S e D estão associadas às deformações

armazenadas e dissipadas respectivamente), a equação de potência total pode ser

escrita como,

DS

VD

VS

VT

UU

dVdV

dVW

(2.53)

Diferenciando a Eq. (2.31) com relação ao tempo e introduzindo o termo de

deformação relacionado à energia armazenada na Eq. (2.53), obtém-se,

VS dV

GU

)0(

(2.54)

As equações descritas acima podem ser derivadas utilizando a analogia com

sistemas mecânicos simples compostos por elementos fundamentais como a mola e o

amortecedor linear, sendo estendidas para aplicações em sistemas mais complexos.

Estas mesmas equações podem ser utilizadas para o cálculo de energia de

44

deformação quando se considera a formulação matemática do sistema duto

flexível/enrijecedor à flexão com comportamento viscoelástico.

Substituindo as equações (2.43) e (2.50) em (2.53), por exemplo, pode-se obter

o trabalho por unidade de volume realizado durante um ciclo de deformação como

segue,

)(

)()(

2

/2

wG

dW

wPiT

T

T

(2.55)

O resultado acima mostra que o módulo de armazenamento, representando o

efeito de deformação e recuperação elástica se anula durante um ciclo de

carregamento. Apenas a componente do módulo de perda )(wG , associada ao

trabalho convertido em calor, aparece no resultado.

O enrijecedor à flexão está sujeito a carregamentos oscilatórios durante sua

vida em operação, e consequentemente apresenta dissipação de energia devido ao

comportamento viscoelástico. O efeito dessa dissipação na resposta de curvatura e

deformação ao longo do comprimento deve ser avaliado no projeto da estrutura.

2.1.4 Limites de aplicação da viscoelasticidade linear

Devido à relativa simplicidade de aplicação da teoria da viscoelasticidade linear

a problemas práticos de engenharia, muitos componentes poliméricos são modelados

considerando esta teoria. Entretanto, uma grande parte dos polímeros exibe

comportamento não-linear mesmo para pequenas tensões ou deformações e tempos.

Nestes casos, o limite de aplicação da viscoelasticidade linear na análise de

componentes estruturais se torna parâmetro importante para correta avaliação de sua

resposta mecânica. A utilização da teoria linear para um material altamente não-linear

pode incorrer em erros graves de análise e projeto estrutural.

A validade da teoria linear é limitada para condições de teste específicas,

sendo bastante afetada pelos efeitos da temperatura, umidade, taxa de deformação e

diversos outros fatores. A transição de comportamento linear para não-linear ocorre de

forma progressiva, não existindo um procedimento padrão bem definido para sua

determinação.

De acordo com FINDLEY et al. [23], o material viscoelástico é considerado

linear se a tensão é proporcional à deformação para um determinado tempo t e o

45

princípio da superposição é valido. Expressa matematicamente, esta hipótese leva às

seguintes equações,

)()( tctc (2.56)

)()()()( 121121 tttttt (2.57)

onde c é uma constante. A Fig. 2.13 ilustra este tipo de resposta linear.

Figura 2.13 – Comportamento viscoelástico linear

Pode-se observar no desenho esquemático à esquerda da Fig. 2.13 que a

resposta de deformação devido à tensão )(tc é igual à resposta de deformação

devido à tensão )(t multiplicado pela constante c . A Eq. (2.57), baseada no principio

da superposição de Boltzmann descrito anteriormente, mostra que a resposta de

deformação devido a combinação de dois históricos de tensão diferentes, 1 e

2 , é

igual à soma das respostas de deformação atuando separadamente, como pode ser

visto no desenho esquemático à direita da Fig. 2.13. Uma consequência do princípio

da superposição foi mostrada na curva x da Fig. 2.10. Desta forma, para

46

material não-linear, carregamentos com diferentes taxas irão gerar curvas não

coincidentes.

Outra forma de avaliar o efeito da variável tempo na não-linearidade, baseado

no mesmo princípio da superposição, é o uso de isocrônicas. Curvas isocrônicas de

tensão x deformação, são gráficos da deformação aplicada no teste de relaxação

versus a tensão para um tempo específico, ou alternativamente, a tensão aplicada no

teste de fluência versus a deformação para um tempo específico. Como apenas um

ponto da curva é obtido para cada ensaio de relaxação ou fluência, vários níveis de

tensão ou deformação constantes são necessários para obtenção de uma curva

adequada.

Para comportamento viscoelástico linear, a relação tensão x deformação da

isocrônica é uma reta cuja inclinação decresce com a evolução do tempo. Esta

transição para resposta não-linear é usualmente determinada assumindo uma

porcentagem (1 - 3%) de desvio do comportamento linear para um tempo específico.

2.2 Comportamento viscoelástico não-linear

No item anterior, o princípio da superposição de Boltzmann foi utilizado para

derivar a equação constitutiva para a teoria da viscoelasticidade linear considerando

carregamento unidimensional e posteriormente estendido para carregamento tri-

dimensional utilizando a analogia com o comportamento elástico. Para o caso não-

linear este princípio não pode ser aplicado e outras metodologias devem ser utilizadas

para representação da resposta mecânica do material.

A formulação não-linear proposta por LEADERMAN [24], pode ser considerada

como uma extensão da teoria viscoelástica linear apresentada anteriormente. Na

descrição de sua teoria, considerou que a resposta viscoelástica poderia ser separada

em duas funções, uma dependente do tempo e outra função não-linear dependente da

tensão ou deformação. Desta forma para resposta de deformação em função da

tensão, pode-se escrever,

t

dftJt0

)]([)()( (2.58)

onde f é uma função não-linear da tensão e )(tJ é a função de fluência dependente

do tempo. De forma similar, a resposta de tensão em função de deformação pode ser

escrita como segue,

47

t

dftGt0

)]([)()( (2.59)

onde f é uma função não-linear da deformação e )(tG é a função de relaxação

dependente do tempo. Pode-se verificar que, considerando )()]([ ttf ou

)()]([ ttf obtém-se a mesma formulação apresentada anteriormente nas Eq. (2.28)

e (2.30) para viscoelasticidade linear. Esta formulação não-linear pode ser utilizada

para alguns tipos específicos de polímeros, não sendo em geral, suficiente para cobrir

uma grande classe de materiais. A metodologia de obtenção dos coeficientes será

apresentada no item 2.2.1 e sua aplicabilidade ao poliuretano utilizado em

enrijecedores à flexão será verificada através dos ajustes experimentais no item 2.3.

PIPKIN e ROGERS [25], utilizando o princípio da superposição modificado,

expandiram a teoria de LEADERMAN [24] para um caso mais geral em que as funções

dependentes do tempo de fluência e relaxação não são necessariamente

independentes do carregamento de tensão ou deformação. De acordo com esta teoria,

para resposta de deformação em função da tensão, pode-se escrever,

t

tCdt0

),()( (2.60)

onde ),( tC é uma função de fluência não-linear dependente da tensão e do tempo.

De maneira análoga, para a resposta de tensão em função da deformação, obtém-se,

t

tRdt0

),()( (2.61)

onde ),( tR é uma função de relaxação não-linear dependente da deformação e do

tempo. Considerando que as funções )( e )( sejam contínuas no intervalo de

integração, pode-se reescrever as Eq. (2.60) e (2.61) como segue,

t

dtC

t0

)(

)(

),()(

(2.62)

t

dtR

t0

)(

)(

),()(

(2.63)

48

Uma forma mais geral para descrever o comportamento viscoelástico não-

linear e, consistente com os princípios da mecânica do contínuo, foi proposta por

GREEN e RIVLIN [26] utilizando a análise funcional para representar a equação

constitutiva como uma série de múltiplas integrais hereditárias.

Embora mais representativa do comportamento real de materiais

viscoelásticos, esta caracterização apresenta muitas dificuldades para caracterização

experimental e para resolução de problemas práticos de análise de estruturas. Com o

objetivo de simplificar a representação por múltiplas integrais, as funções de fluência e

relaxação podem ser redefinidas de forma a limitar a memória da integral hereditária

resultando nas mesmas equações constitutivas obtidas considerando o princípio da

superposição modificado discutido por PIPKIN e ROGERS [25] e apresentadas nas

Eq. (2.62) e (2.63). A formulação de GREEN e RIVLIN [26] como uma função de

múltiplas integrais será apresentada no item 2.2.2 e a simplificação para integral

simples utilizando o princípio da superposição modificado no item 2.2.3.

Outra forma de caracterização do comportamento viscoelástico não-linear

utilizando a representação por integrais simples foi apresentada por SCHAPERY [27].

Baseado em considerações termodinâmicas e utilizando o conceito de tempo

reduzido, descreveu a seguinte equação constitutiva unidimensional para

caracterização do comportamento não-linear de materiais viscoelásticos,

t

dd

dgDgDgt

0

2100

)()()()()(

(2.64)

onde as funções e são descritas por,

)(,

)()(

0

t

ta

tdt (2.65)

Alternativamente, para descrever a tensão em função da deformação,

t

dd

dhEhEht

0

2100

)()()()()(

(2.66)

onde as funções e são descritas por,

49

)(,

)()(

0

t

ta

tdt (2.67)

As funções 210 ,, ggg e

a são dependentes da tensão, enquanto 210 ,, hhh e

a

variam com a deformação. Definindo 1210 aggg , pode-se reduzir a Eq. (2.64)

para a formulação viscoelástica linear. De forma análoga, definindo 1210 ahhh ,

obtém-se a resposta de tensão para um dado histórico de deformação para o caso

linear.

SMART e WILLIAMS [28] compararam as teorias baseadas no método da

superposição modificado descrita por PIPKIN e ROGERS [25] e em considerações

termodinâmicas apresentada por SCHAPERY [27] para caracterização da resposta de

dois materiais poliméricos. Os materiais adotados foram o polipropileno e a

polivinilclorida devido as suas características altamente não-lineares. Concluíram que,

para os casos avaliados, o modelo de PIPKIN e ROGERS [25] apresentou melhor

representatividade do comportamento material, levando em conta também a

simplicidade de obtenção das funções e coeficientes que caracterizam a resposta.

Consequentemente, para caracterização do comportamento viscoelástico não-

linear do poliuretano utilizado na fabricação de enrijecedores à flexão, apenas os

modelos de LEADERMAN [24] e a simplificação das múltiplas integrais do modelo de

GREEN e RIVLIN [26], que resulta no mesmo modelo de PIPKIN e ROGERS [25],

serão utilizados. A comparação dos dois modelos será feita através dos ajustes

obtidos com os resultados experimentais apresentados no item 2.3.

2.2.1 Modelo de Leaderman

A equação constitutiva para esta formulação é baseada na teoria da

viscoelasticidade não-linear sugerida por LEADERMAN [24]. A resposta de

deformação utilizando a função de fluência devido a um histórico de tensão e a

resposta de tensão utilizando a função de relaxação, devido a um histórico de

deformação, são apresentadas a seguir.

Equação constitutiva para fluência

Considerando continuidade da função )( no intervalo de integração e

considerando o salto inicial de tensão pode-se reescrever a Eq. (2.58) da seguinte

forma,

50

t

dtJf

ftJt0

)()]([

)]0([)()(

(2.68)

Utilizando a técnica da integração por partes, pode-se ainda reescrever a Eq.

(2.68) da seguinte forma,

t

dt

tJftfJt

0 )(

)()]([)]([)0()(

(2.69)

A escolha da função f depende da resposta mecânica do material em questão

e deve ser avaliada para cada caso específico de modo a se obter o melhor ajuste.

Para polímeros como o poliuretano, esta pode ser representada adequadamente por

um polinômio de quarta ordem como segue,

4

4

3

3

2

21 )()()()()]([ tatatatatf (2.70)

onde ka )4,..,1( k são os coeficientes que caracterizam o comportamento material,

juntamente com a função de fluência )(tJ que, para o poliuretano, pode ser descrita

utilizando a seguinte série exponencial de Prony,

N

m

mCm tJJtJ1

,0 )/exp()( (2.71)

onde 0J e

mJ ),..,1( Nm são os coeficientes que caracterizam o material, devendo

ser obtidos experimentalmente, e N é o número de termos da série. Substituindo a Eq.

(2.70) em (2.69), obtém-se,

t

dt

tJaaaa

tatatataJt

0

4

4

3

3

2

21

4

4

3

3

2

21

)(

)()()()()(

)()()()()0()(

(2.72)

Considerando o ensaio de fluência, onde se aplica uma tensão constante

)(1)( tt i com o índice i se referindo a um determinado nível de tensão constante,

chega-se a seguinte função de fluência,

51

4

4

3

3

2

21

)()(

iiii

i

aaaa

ttJ

(2.73)

Pode-se verificar experimentalmente, que para uma determinada classe de

polímeros como o poliuretano, a deformação de fluência resultante de carregamento

de tração, compressão, torção ou combinados pode ser descrita por uma função

exponencial similar à utilizada na função de fluência, como segue,

N

m

mCmiii tt1

,0 )/exp()( (2.74)

onde para cada tensão i ,

i0 é o coeficiente de deformação independente do tempo,

e mi ),..,1( Nm são os coeficientes de deformação dependentes do tempo. Esta

relação representa a fluência de materiais que apresentam deformação constante

quando o tempo tende a infinito.

De acordo com a Eq. (2.73) deveria existir uma relação entre a resposta de

deformação de fluência )(ti , sujeita a qualquer nível i de tensão constante i , e os

coeficientes 321 ,, aaa e

4a que forneça solução única para a função de fluência )(tJ .

Isto não ocorre experimentalmente e a forma utilizada para obtenção dos coeficientes

é descrita como segue. Para cada nível i de tensão aplicada, faz-se o ajuste dos

coeficientes i0 e

mi ),..,1( Nm da resposta de deformação apresentada na Eq.

(2.74). De posse destes dados plota-se a função )0(ii x , onde o número de pontos

da curva corresponde ao número i de ensaios realizados. O ajuste dessa curva irá

fornecer os valores dos coeficientes 321 ,, aaa e

4a . Um número de funções de fluência

)(tJ igual aos i níveis de tensão aplicados pode consequentemente, ser calculado

utilizando a Eq. (2.73). O valor final da função de fluência é simplesmente o valor

médio das diversas funções obtidas. Deve-se observar que outra metodologia de

ajuste pode ser utilizada desde que apresente melhor correlação numérico-

experimental.

Equação constitutiva para relaxação de tensões

Considerando continuidade da função )( no intervalo de integração e

considerando o salto inicial de deformação pode-se reescrever a Eq. (2.59) da

seguinte forma,

52

t

dtGf

ftGt0

)()]([

)]0([)()(

(2.75)

Utilizando a técnica da integração por partes, pode-se ainda reescrever a Eq.

(2.75) como segue,

t

dt

tGftfGt

0 )(

)()]([)]([)0()(

(2.76)

Utilizando função semelhante à utilizada para fluência, pode-se descrever a

função material f por um polinômio de quarta ordem,

4

4

3

3

2

21 )()()()()]([ tbtbtbtbtf (2.77)

onde kb )4,..,1( k são os coeficientes que caracterizam o comportamento material,

juntamente com a função de relaxação )(tG .Substituindo a Eq. (2.77) em (2.76),

obtém-se a seguinte equação constitutiva,

t

dt

tGbbbb

tbtbtbtbGt

0

4

4

3

3

2

21

4

4

3

3

2

21

)(

)()()()()(

)()()()()0()(

(2.78)

Considerando o ensaio de relaxação de tensões, onde se mantém uma

deformação constante )(1)( 0 tt após o salto inicial de carregamento, e substituindo

na Eq. (2.78) chega-se a seguinte função de fluência,

4

4

3

3

2

21

)()(

iiii

i

bbbb

ttG

(2.79)

A resposta de tensão à um nível i de deformação constante pode ser

representada utilizando função exponencial similar ao apresentado na Eq. (2.74) para

o ensaio de fluência.

N

m

mRmiii tt1

,0 )/exp()( (2.80)

53

onde para cada nível de deformação i ,

i0 é o coeficiente de tensão independente

do tempo, e mi ),..,1( Nm são os coeficientes de deformação dependentes do

tempo. O procedimento para realização do ajuste e obtenção dos coeficientes kb

)4,..,1( k e da função de relaxação )(tG é análogo ao apresentado anteriormente

para fluência.

2.2.2 Modelo de Green-Rivlin

Utilizando os conceitos da mecânica do contínuo, pode-se representar a

resposta de um material viscoelástico não-linear utilizando funções de múltiplas

integrais hereditárias. A derivação formal não será apresentada aqui, e pode ser

encontrada em FINDLEY et al. [23]. Ao invés disso, estende-se o princípio da

superposição apresentado anteriormente para incluir os efeitos da não-linearidade.

Embora menos rigorosa, esta derivação apresenta os mesmos resultados para a

equação constitutiva unidimensional que a derivação formal utilizando a mecânica do

contínuo.

Se um histórico de tensão )(1)( 0 tt é aplicado a um material não-linear,

como ilustrado na Fig. 2.14 (a), a resposta de deformação pode ser descrita por uma

função polinomial como segue,

...)()()()( 3

3

02

2

0100 tJtJtJt (2.81)

Figura 2.14 – Respostas de deformação diversas

54

onde )(1 tJ , )(2 tJ e )(3 tJ são as funções de fluência independentes que caracterizam a

resposta do material não-linear. Na Eq. (2.81) apenas três termos são apresentados

no polinômio, embora, a princípio, a descrição do comportamento possa ser

melhorada com a adição de mais termos.

As Fig. 2.14 (b) e (c) ilustram tensões 1 e

2 sendo aplicadas nos

instantes 1t e

2t respectivamente. Utilizando a mesma forma da Eq (2.81), as

respostas de deformação para esses carregamentos podem ser descritas por,

11

113

3

112

2

11111

,0)(

),()()()(

ttt

ttttJttJttJt

(2.82)

22

223

3

222

2

22122

,0)(

),()()()(

ttt

ttttJttJttJt

(2.83)

As Eq. (2.82) e (2.83) consideram que a resposta de deformação para uma

dada tensão é independente do instante em que ela foi aplicada. Por exemplo, se no

instante 2t o carregamento aplicado fosse

1 , a resposta de deformação seria a

mesma para o instante 1t , ou seja,

1 . Este tipo de material que não apresenta

envelhecimento pode ser chamado de non-aging. Materiais como o cimento e alguns

adesivos, por exemplo, apresentam envelhecimento devido ao processo de cura.

Consequentemente, a resposta do material depende do instante em que ele sofreu o

carregamento relativamente ao instante em que ele foi criado ou iniciado o processo

de cura. A hipótese adotada para o poliuretano do enrijecedor é de que o material não

sofre o processo de envelhecimento.

Considerando agora um carregamento com três saltos de tensão consecutivos,

como mostrado na Fig. 2.15, observa-se que a resposta obtida com a aplicação do

primeiro salto de tensão 0 é a mesma que a descrita na Eq. (2.81). Já a resposta

para o segundo salto de carregamento não pode considerar apenas a soma das duas

respostas 10 , como ocorreria no caso linear onde o principio da superposição é

válido.

55

Figura 2.15 – Respostas de deformação para saltos de tensão

Para o caso não-linear, o princípio da superposição aplicado na teoria linear é

modificado e termos cruzados são incluídos, fornecendo a seguinte relação,

),,(3),,(3),(2

),,(),()(

),,(),()()(

113

2

10131

2

01210

1113

3

1112

2

1111

3

3

02

2

010

tttttJttttJtttJ

ttttttJttttJttJ

tttJttJtJt

(2.84)

Pode-se observar que a função )(2 tJ da Eq. (2.81), quando se considerou

apenas um salto de tensão, se tornou ),(2 ttJ em (2.84). O termo 2

0 pode ser

considerado como a ação separada de 0 e

0 , consequentemente, um parâmetro

do tempo para cada tensão pode ser utilizado na função ),(2 ttJ . Argumento similar

pode ser utilizado para as outras funções de fluência da Eq. (2.84). Cabe ainda

ressaltar que o efeito cruzado de 0 em

1 é suposto idêntico ao de 1 em

0 .

Dessa forma, ),(),( 1212 tttJtttJ resultando no fator 2 no termo ),(2 1210 tttJ .

A constante 3 nos termos restantes é explicado de forma similar. Estes resultados

podem ser expandidos para consideração de N saltos de tensão, como segue,

56

kji

N

i

N

j

N

k

kji

ji

N

i

N

j

ji

i

N

i

i

ttttttJ

ttttJ

ttJt

0 0 0

3

0 0

2

0

1

),,(

),(

)()(

(2.85)

Se as funções de fluência 2J e

3J se anulam na Eq. (2.85), a equação se torna

a mesma que para o caso linear, onde o princípio da superposição de Boltzmann é

válido. A equação acima pode ser considerada como uma extensão deste princípio

para inclusão de termos não-lineares. Considerando agora o caso limite, onde o

número de incrementos de tensão tende a infinito, N , e ainda adicionando um

quarto termo ao polinômio apresentado em (2.81) para melhor caracterização do

comportamento, obtém-se a seguinte representação integral,

t t t t

t t t

t t

t

ddddttttJ

dddtttJ

ddttJ

dtJt

0 0 0 04321

4

4

3

3

2

2

1

143214

0 0 0321

3

3

2

2

1

13213

0 021

2

2

1

1212

01

1

111

)()()()(),,,(

)()()(),,(

)()(),(

)()()(

(2.86)

Considerações similares podem ser feitas para o caso de relaxação de

tensões, obtendo-se,

t t t t

t t t

t t

t

ddddttttG

dddtttG

ddttG

dtGt

0 0 0 04321

4

4

3

3

2

2

1

143214

0 0 0321

3

3

2

2

1

13213

0 021

2

2

1

1212

01

1

111

)()()()(),,,(

)()()(),,(

)()(),(

)()()(

(2.87)

Vale ressaltar que nas Eq. (2.86) e (2.87) utilizou-se termos de quarta ordem

para representação da função polinomial apresentada em (2.81). Termos de ordem

57

superior podem ser utilizados, aumentando, consequentemente, o número de integrais

múltiplas das equações constitutivas (2.86) e (2.87). As funções de fluência )(1 tJ e

relaxação )(1 tG são descritas em função de um único parâmetro de tempo t e podem,

consequentemente, ser representadas por uma única curva. Já as funções de

segunda ordem ),(2 ttJ e ),(2 ttG devem ser representadas graficamente por uma

superfície. Para as funções de terceira ordem ou superior não é possível apresentar

uma representação gráfica.

A obtenção experimental das funções que caracterizam o comportamento

viscoelástico não-linear utilizando as funções de múltiplas integrais apresentadas em

(2.86) e (2.87) requer um número muito elevado de experimentos, como mostrado por

LOCKETT [29]. Um estudo na acurácia desta representação, apresentado por

GRADOWCZYK [30], ressalta a elevada sensibilidade a erros experimentais.

Além da difícil caracterização experimental das funções de relaxação e

fluência, ainda existe a dificuldade numérica da resolução de problemas de valor de

contorno utilizando múltiplas integrais. Dessa forma, diversos métodos aproximados

são sugeridos para simplificar a formulação. Considerando, por exemplo, a

aproximação do produto das funções como sugerido por NAKADA [31], obtém-se a

seguinte relação para a função de fluência de terceira ordem apresentada na Eq.

(2.86),

3/1

23

3/1

23

3/1

133213 )()()(),,( tJtJtJtttJ (2.88)

Relação similar pode ser obtida para a função de relaxação. A forma aditiva

também foi sugerida por alguns autores. GOTTENBERG et al. [32] propôs a seguinte

forma para uma função de terceira ordem,

)3(),,( 32133213 tJtttJ (2.89)

ou ainda, como apresentado por FINDLEY et al. [23]

)()()(),,( 3331

2331

1331

3213 tJtJtJtttJ (2.90)

Outra forma de simplificação da teoria não-linear apresentada por GREEN e

RIVLIN [26] é a utilização do princípio da superposição modificado nas múltiplas

integrais como mostrado no item 2.2.3 a seguir. Esta metodologia leva a mesma

representação de integrais simples proposta por PIPKIN e ROGERS [25].

58

2.2.3 Modelo baseado no princípio da superposição modificado

De acordo com o princípio da superposição modificado, a resposta de

deformação para uma série de N saltos de tensão pode ser expressa pela seguinte

relação,

N

N

i

iiii ttttfttft

,),(),()(

0

1 (2.91)

onde f é uma função não-linear da tensão e do tempo. Considerando 1N , ou seja,

apenas uma mudança no nível de tensão aplicada, obtém-se a seguinte resposta de

deformação utilizando a Eq. (2.91),

1111000 ),,(),(),()( ttttfttfttft (2.92)

A Fig. 2.16 ilustra o salto de carregamento e a resposta de deformação. No

instante 1t , considera-se que a tensão

0 é removida enquanto 1 é aplicada no

mesmo instante, mas como eventos independentes. Desta forma, a recuperação

viscoelástica devido à retirada da tensão 0 em

1t pode ser descrita por,

11000 ),,(),()( ttttfttftr (2.93)

e a deformação devido a aplicação da tensão 1 no mesmo instante

1t dada por,

111 ),,()( ttttftc (2.94)

A superposição das duas respostas irá fornecer a deformação total, ou seja,

cr . Dessa forma a resposta de deformação devido a uma série de

carregamentos instantâneos de tensão é descrita pela superposição da resposta

individual de cada salto. Considerando o caso limite quando N pode-se

descrever o somatório da Eq. (2.91) da seguinte forma,

t

dtf

t0

)()(

),()(

(2.95)

59

ou seja, a mesma forma da Eq. (2.62) apresentada por PIPKIN e ROGERS [25]. A

resposta da tensão em função da deformação pode ser obtida de forma análoga.

Figura 2.16 – Ilustração do método da superposição modificado

Alternativamente, a Eq. (2.95) pode ser obtida diretamente da representação

por integrais múltiplas apresentadas por GREEN e RIVLIN [26]. De acordo com

NOLTE e FINDLEY [33], as equações constitutivas de fluência e relaxação (2.86) e

(2.87) podem ser redefinidas como função do menor tempo anterior i . Esta

redefinição limita a memória da representação por múltiplas integrais, mas simplifica

de forma significativa a equação constitutiva. Considerando, por exemplo, a função de

fluência de terceira ordem ),,( 3213 tttJ e redefinindo como uma função da

ocorrência mais recente ou do menor tempo 3t pode-se escrever,

60

)(),,( 333213 tJtttJ (2.96)

Aplicando esta metodologia na integral de terceira ordem da Eq. (2.86), chega-

se a seguinte relação,

dtJdtJ

dddtttJ

tt

t t t

0

3

30

3

0 0 0321

3

3

2

2

1

13213

)()()()()()(

)()()(),,(

(2.97)

Equações constitutivas para fluência

Aplicando este método para todas as integrais múltiplas da Eq. (2.86) e

considerando o salto inicial da tensão, obtém-se,

tt

tt

dtJdtJ

dtJdtJ

tJtJtJtJt

0

4

40

3

3

0

2

20

1

4

4

3

3

2

21

)()(

)()(

)()(

)()(

)0()()0()()0()()0()()(

(2.98)

Sabendo que,

)()(

)( 1nn

n (2.99)

pode-se reescrever a Eq. (2.98) como,

t

dtJtJtJtJ

tJtJtJtJt

0

3

4

2

321

4

4

3

3

2

21

)()()(4)()(3)()(2)(

)0()()0()()0()()0()()(

(2.100)

Esta é a mesma forma da equação constitutiva obtida por PIPKIN e ROGERS

[25] e apresentada na Eq. (2.62), sendo a função tC ),( descrita pela seguinte

relação,

4

4

3

3

2

21 )()()()()()()()(),( tJtJtJtJtC (2.101)

61

Utilizando a técnica de integração por partes pode-se descrever

alternativamente a Eq (2.98) como,

tt

tt

dt

tJd

t

tJ

dt

tJd

t

tJ

tJtJtJtJt

0

44

0

33

0

22

0

1

4

4

3

3

2

21

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)()0()()0()()0()()0()(

(2.102)

As funções de fluência 1J ,

2J , 3J e

4J são descritas adequadamente para

muitos materiais viscoelásticos pelas seguintes séries de Prony,

N

m

mCm

N

m

mCm

N

m

mCm

N

m

mCm

tJJtJ

tJJtJ

tJJtJ

tJJtJ

1

,4044

1

,3033

1

,2022

1

,1011

)/exp()(

)/exp()(

)/exp()(

)/exp()(

(2.103)

onde 01J ,

02J , 03J ,

04J e 1mJ ,

2mJ , 3mJ ,

4mJ , mC, ( Nm ,..,1 ) são os coeficientes que

caracterizam o material e devem ser obtidos experimentalmente e N é o número de

termos da série. Deve-se ressaltar que qualquer outra forma das funções de fluência

pode ser utilizada desde que o ajuste da deformação com o tempo )(ti apresente a

melhor correlação. Para o ensaio de fluência, quando se aplica uma tensão

)(1)( tt i , com o índice i se referindo à tensão constante aplicada, chega-se a

seguinte relação,

4

4

3

3

2

21 )()()()()( iiiii tJtJtJtJt (2.104)

Foi demonstrado por diversos autores, que para uma determinada classe de

polímeros, a deformação de fluência )(ti resultante de carregamento de tração,

compressão, torção ou combinados pode ser descrita para uma temperatura

específica pela mesma função utilizada no modelo de Leaderman e apresentada em

(2.74). Esta relação representa a fluência de materiais que apresentam deformação

62

constante quando o tempo tende a infinito. Os coeficientes são obtidos ajustando

diretamente a curva de deformação x tempo obtida nos ensaios de fluência para cada

tensão aplicada. Utilizando a Eq. (2.74) e substituindo (2.103) em (2.104) com

manipulações algébricas, obtém-se a seguinte relação,

),..,1(4

4

3

3

2

21

4

04

3

03

2

02010

NmJJJJ

JJJJ

imimimimmi

iiiii

(2.105)

Os coeficientes 01J ,

02J , 03J e

04J podem ser obtidos fazendo o ajuste da curva

ii x 0 para os i níveis de tensão ensaiados. De forma semelhante os coeficientes

miJ

( Nm ,..,1 ) podem ser obtidos através do ajuste da curva imi x . Uma vez obtidos

os coeficientes, deve-se verificar a eficácia de representação da Eq. (2.98) para o

material viscoelástico não-linear em questão. Isto é feito comparando-se o resultado

do ajuste da Eq.(2.98), utilizando a forma da função de fluência apresentada na Eq.

(2.103), com os ensaios realizados.

Equações constitutivas para relaxação

De forma similar à representação matemática de fluência, a relaxação de

materiais poliméricos pode ser determinada, considerando o salto da deformação no

tempo inicial, pela seguinte expressão,

tt

tt

dtGdtG

dtGdtG

tGtGtGtGt

0

4

40

3

3

0

2

20

1

4

4

3

3

2

21

)()(

)()(

)()(

)()(

)0()()0()()0()()0()()(

(2.106)

Sabendo que,

)()(

)( 1nn

n (2.107)

Pode-se reescrever a Eq. (2.106) como,

63

t

dtGtGtGtG

tGtGtGtGt

0

3

4

2

321

4

4

3

3

2

21

)()()(4)()(3)()(2)(

)0()()0()()0()()0()()(

(2.108)

Esta é a mesma forma da equação constitutiva obtida por PIPKIN e ROGERS

[25] e apresentada na Eq. (2.63), sendo a função tR ),( descrita pela seguinte

relação,

4

4

3

3

2

21 )()()()()()()()(),( tGtGtGtGtR (2.109)

Utilizando integração por partes pode-se ainda reescrever a Eq (2.108) como,

tt

tt

dt

tGd

t

tG

dt

tGd

t

tG

tGtGtGtGt

0

44

0

33

0

22

0

1

4

4

3

3

2

21

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)()0()()0()()0()()0()(

(2.110)

As funções de fluência 1G ,

2G , 3G e

4G podem ser descritas por,

N

m

mRm

N

m

mRm

N

m

mRm

N

m

mRm

tGGtG

tGGtG

tGGtG

tGGtG

1

,4044

1

,3033

1

,2022

1

,1011

)/exp()(

)/exp()(

)/exp()(

)/exp()(

(2.111)

onde 01G ,

02G , 03G ,

04G , 1mG ,

2mG , 3mG ,

4mG , mR, ( Nm ,..,1 ) são os coeficientes

que caracterizam o material, obtidos experimentalmente, e N é o número de termos

adotados na série de Prony. De maneira similar ao realizado para fluência, as funções

de relaxação devem ter a mesma forma que a função utilizada para o ajuste da

resposta de tensão com o tempo )(ti . Para este ensaio, onde se aplica e mantém

uma deformação constante )(1)( tt i , tem-se,

64

4

4

3

3

2

21 )()()()()( iiiii tGtGtGtGt (2.112)

O cálculo dos coeficientes das funções de relaxação é feito seguindo

procedimento similar ao descrito anteriormente para o ensaio de fluência.

Relação entre relaxação e fluência

Uma vez realizados os ensaios de fluência para diversos níveis de tensão

constante, pode-se obter numericamente as relações entre as funções de fluência

)(tJk )4,..,1( k e relaxação )(tGk

)4,..,1( k . Uma forma de se obter a resposta de

tensão para uma dada deformação constante conhecendo a função de fluência é

resolver numericamente a Eq. (2.100). Isto pode ser feito discretizando a equação e

utilizando o método de Euler, por exemplo, como segue,

1

0

3

4

2

3

2

1

3

4

2

3

2

1

4

4

3

3

2

21

)()1(

)0())1((4

)0())1((3

)0())1((2

))1((

)()1(

)0()(4

)0()(3

)0()(2

)(

2

)0()()0()()0()()0()(

inc

inc

t

inciinci

iincinc

iincinc

iincinc

incinc

inciinci

iincinc

iincinc

iincinc

incinc

iinciinciinciinci

t

ttJ

ttJ

ttJ

ttJ

t

ttJ

ttJ

ttJ

ttJ

t

ttJttJttJttJDef

(2.113)

onde iDef é a deformação constante para a qual se deseja obter a resposta da tensão

variando com o tempo, t é o incremento de tempo utilizado, tttinc / e tinc / .

Deve-se observar que para cada incremento de tempo inct , deve-se resolver uma

equação polinomial de ordem 4 para explicitar a tensão nesse tempo. Além disso, a

solução obtida em um tempo anterior é necessária para resolução da equação no

tempo atual devido a integral hereditária da equação.

Uma vez que os históricos de tensão i sejam calculados numericamente para

os i níveis de deformação iDef , obtidos experimentalmente, os coeficientes das

equações de relaxação podem ser obtidos seguindo procedimento semelhante ao

descrito para obtenção dos coeficientes de fluência.

65

2.2.4 Resposta viscoelástica não-linear no domínio da frequência

Procedimento similar ao adotado para o caso da teoria linear no domínio da

frequência considerando a história de deformação apresentada em (2.43) pode ser

aplicado para o caso não-linear considerando o modelo baseado no princípio da

superposição modificado. As funções de relaxação apresentadas na Eq. (2.111)

podem ser reescritas da seguinte forma,

)()(

)()(

)()(

)()(

4044

3033

2022

1011

tGGtG

tGGtG

tGGtG

tGGtG

(2.114)

Os termos )(tGk )4,..,1( k da função relaxação de tensão podem ser

definidos utilizando a série de Prony de três termos, como segue,

3,342,241,144

3,332,231,133

3,322,221,122

3,312,211,111

/exp/exp/exp)(

/exp/exp/exp)(

/exp/exp/exp)(

/exp/exp/exp)(

RRR

RRR

RRR

RRR

tGtGtGtG

tGtGtGtG

tGtGtGtG

tGtGtGtG

(2.115)

Através de mudança de variáveis, a equação constitutiva (2.110) pode ser

reescrita da seguinte forma,

tt

tt

dd

dGtd

d

dGt

dd

dGtd

d

dGt

tGtGtGtGt

0

44

0

33

0

22

0

1

4

4

3

3

2

21

)()(

)()(

)()(

)()(

)()0()()0()()0()()0()(

(2.116)

Com o objetivo de simplificar a equação constitutiva no domínio da frequência,

pode-se definir as seguintes relações utilizando as funções de relaxação (2.114)

quando t ,

66

t

kk

tk

kk

dG

wwG

dG

wGwG

0

0

)(sin)(

)(cos)0()(

(2.117)

Substituindo (2.115) em (2.117), obtém-se,

)1()1()1()(

)1()1()1()0()(

2

3,

2

33

2

2,

2

22

2

1,

2

11

2

3,

2

3

2

2,

2

2

2

1,

2

1

R

k

R

k

R

kk

R

k

R

k

R

kkk

w

G

w

G

w

GwwG

w

G

w

G

w

GGwG

(2.118)

Da mesma forma que para o caso linear, as funções )(wGk podem ser

consideradas como módulo de armazenamento e )(wGk como módulo de perda,

associado à dissipação de energia. Fazendo uso das equações acima e substituindo o

histórico de deformação harmônico, descrito na Eq. (2.43), na equação constitutiva

(2.116), obtém-se com manipulações algébricas,

67

)4(8

14cos)4(

8

14sin

)3()3(4

13cos

)3()3(4

13sin

)2(2

1)2(3)2(

2

3)2(

2

1)2cos(

)2(2

1)2(3)2(

2

3)2(

2

1)2sin(

)(3)(4

3

)(4)(3)(2)(

cos

)(3)(4

3

)(4)(3)(2)(

sin

)(8

3)(3)(

2

3

2

)(

)()()()(),(

4

4

4

4

403

3

403

3

4

4

4

2

0302

2

4

4

4

2

0302

2

403

3

4

3

03

2

0201

403

3

4

3

03

2

0201

4

4

4

2

03022

4

4

03

3

02

2

010

wGwtwGwt

wGwGwt

wGwGwt

wGwGwGwGwt

wGwGwGwGwt

wGwG

wGwGwGwG

tw

wGwG

wGwGwGwG

tw

GGGG

GGGGtw

(2.119)

O resultado acima se torna idêntico ao caso linear se apenas a função )(1 tG for

considerada como propriedade material. Para este caso a resposta de tensão para um

histórico de tensão senoidal apresenta componentes harmônicos até

)4cos(),4sin( wtwt . A importância desses componentes pode ser verificada utilizando

os resultados experimentais obtidos.

2.3 Ensaios experimentais e ajuste

Normas e corpos de prova

Para caracterização da resposta mecânica do poliuretano utilizado em

enrijecedores à flexão, corpos de prova (CP) retirados de uma estrutura real foram

utilizados. A geometria do corpo de prova foi selecionada de acordo com a norma

ASTM D 2990 (Standard Test Methods for Tensile, Compressive and Flexural Creep

and Creep-Rupture of Plastics) [34] que recomenda o uso dos Tipos I ou II descritos

68

na norma ASTM D 638 (Standard Test Method for Tensile Properties of Plastics) [35].

As dimensões do Tipo I são adotadas, pois esta apresenta maior largura da seção

mais estreita do corpo de prova quando comparada com o Tipo II. Com a adoção da

maior área da seção transversal a influência da vibração do sistema na resposta do

poliuretano é minimizada, assim como uma possível influência do extensômetro na

deformação medida. Um total de 50 CPs foram usinados para realização dos ensaios

experimentais. Para cada amostra, as medidas de espessura e largura são registradas

em três pontos ao longo da seção mais estreita e sua respectiva área média calculada.

A Fig. 2.17 ilustra as dimensões utilizadas nos corpos de prova.

Figura 2.17 - Geometria dos corpos de prova [mm]

Descrição dos ensaios

Os ensaios de tração e relaxação foram realizados em uma máquina Instron

(modelo 5567) do Programa de Engenharia Metalúrgica e de Materiais da

COPPE/UFRJ. A medição da deformação foi feita com extensômetro apropriado para

elastômeros (Instron Long Travel Elastomeric Extensometer, modelo OP-1439). Foram

realizados ensaios de tração com três diferentes taxas de carregamento até cerca de

30% de deformação e testes de relaxação de tensões com seis diferentes níveis de

deformação ( %0,30,0,20,0,10,5,7,0,5,5,2 ) por um período de 4h para cada ensaio,

como será visto a seguir. A Fig. 2.18 ilustra o extensômetro colocado no corpo de

prova e as garras do aparato de ensaio.

Embora a temperatura apresente elevada influência na resposta mecânica do

poliuretano, esta não foi avaliada na formulação matemática nem nos ensaios

experimentais realizados, onde se manteve uma temperatura laboratorial em torno de

24°C. A umidade relativa do ar, embora monitorada, também não foi controlada

durante os ensaios. Os resultados obtidos e os ajustes realizados para os ensaios de

tração e relaxação são apresentados, respectivamente, nos itens 2.3.1 e 2.3.2 a

seguir.

69

Figura 2.18 – Corpo de prova e extensômetro

2.3.1 Ensaios de tração

Os ensaios de tração foram realizados com três taxas de carregamento

constantes, ou seja, velocidades do travessão de: 5, 50 e 500 mm/min. Foram

utilizadas três amostras para cada taxa, totalizando nove ensaios de tração. As

amostras foram tracionadas até atingir uma deformação de aproximadamente 30%,

medida através do extensômetro.

Os resultados médios obtidos são mostrados até a deformação de 30% na Fig.

2.19 e até 5% na Fig. 2.20. Pode-se observar que quanto maior a taxa de

carregamento, maior será a tensão necessária para atingir um mesmo nível de

deformação, ilustrando a influência da taxa de carregamento na resposta do

poliuretano devido ao seu comportamento viscoelástico. Embora não caracterize

necessariamente viscoelasticidade não-linear, verifica-se na Fig. 2.20 que mesmo para

valores de deformação menores do que 5% a curva tensão x deformação não

apresenta linearidade.

70

0 5 10 15 20 25 30

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

Te

nsã

o [M

Pa

]

Deformação [%]

5 mm/min

50 mm/min

500 mm/min

Figura 2.19 - Ensaios de tração (0-30%)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Te

nsã

o [M

Pa

]

Deformação [%]

5 mm/min

50 mm/min

500 mm/min

Figura 2.20 - Ensaios de tração (0-5%)

71

Uma forma de avaliar a validade da teoria da viscoelasticidade linear para

caracterização do comportamento mecânico do poliuretano pode ser feita utilizando a

Eq. (2.14) que considera o histórico de deformação com taxa constante descrita por

tt )( . Como discutido anteriormente, para material linear a relação / x /

não depende da taxa de deformação aplicada. A Fig. 2.21 mostra claramente

diferentes resultados para as três taxas de carregamento adotadas, indicando,

portanto, comportamento não-linear.

0,1 1 10 100

0,1

1

10

5 mm/min

50 mm/min

500 mm/min

Figura 2.21 - Influência da taxa de carregamento

A Tab 2.1 mostra os valores de módulo secante calculados considerando

deformações de 1, 2,5, 5, e 10% para as três taxas de carregamento utilizadas nos

ensaios de tração.Observa-se uma diferença expressiva de 41%, por exemplo, para o

módulo secante calculado a 1% de deformação quando se compara as taxas de 5 e

500 mm/min. Além disso, pode-se verificar que quanto maior o valor de deformação

utilizado, menores os valores de módulo secante calculado.

72

Tabela 2.1 – Módulo secante para os ensaios de tração

Taxa de

carregamento

[mm/min]

Módulo secante [MPa]

1,0% 2,5% 5,0% 10,0%

5 68 61 52 37

50 70 67 58 42

500 96 80 67 47

Conclui-se, consequentemente, que devido ao comportamento não-linear

dependente do tempo do poliuretano, a escolha de um módulo de elasticidade

representativo da resposta mecânica do enrijecedor deve ser feita com cautela. Além

disso, como mostrado por VAZ et al. [14], o poliuretano apresenta comportamento

assimétrico (resposta em tração diferente da resposta em compressão), o que pode

dificultar ainda mais a escolha de um valor adequado para este parâmetro já que o

enrijecedor pode sofrer compressão devido aos esforços de flexão.

2.3.2 Ensaios de relaxação

Procedimento de ensaio

Os ensaios de relaxação de tensão foram realizados com os seguintes níveis

de deformação constante: %0,30,0,20,0,10,5,7,0,5,5,2 . A deformação da amostra

é medida através do extensômetro e a tensão é calculada dividindo a força aplicada,

medida através da célula de carga, pela área média da seção transversal inicial

(tensão de engenharia). Com o objetivo de obter um valor médio, foram utilizadas duas

amostras para cada nível de deformação adotado.

A Instron é programada através do software próprio do equipamento BlueHill de

modo que o deslocamento do travessão se mantenha fixo após atingir um determinado

nível de deformação medido pelo extensômetro. O decaimento da tensão é então

medido pela célula de carga por um período de 4 h ou 14400 s no ambiente com

temperatura constante de 24°C. A Tab. 2.2 mostra as taxas de carregamento adotadas

nos instantes iniciais do ensaio até atingir o nível de deformação a ser mantido

constante ao longo do ensaio. A Fig. 2.22 ilustra o deslocamento adimensional

(max/ ) do travessão para cada uma das deformações aplicadas.

73

Tabela 2.2 - Taxa de carregamento para cada nível de deformação

Deformação [%] Taxa [mm/min]

2,50 250

5,00 250

7,50 500

10,00 500

20,00 500

30,00 500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

Tempo [s]

2.5%

5%

7.5%

10%

20%

30%

Figura 2.22 - Deslocamento adimensional do travessão

Resultados do ensaio e ajuste viscoelástico

Os resultados dos ensaios de relaxação são ajustados utilizando o modelo de

LEADERMAN [24] e o modelo obtido através do princípio da superposição modificado

(PSM) apresentado por PIPKIN e ROGERS [25], obtido alternativamente através de

simplificações do modelo de múltiplas integrais de GREEN e RIVLIN [26]. A Eq. (2.78)

é utilizada para o ajuste do modelo de Leaderman, enquanto a Eq. (2.108) é utilizada

para o PSM.

74

Para o modelo de Leaderman, faz-se o ajuste dos coeficientes i0 e

mi

)4,..,1( m da resposta de tensão apresentada na Eq. (2.80) para os seis níveis de

deformação aplicados )6,..,1( i . De posse destes dados plota-se a função )0(ii x

com os seis pontos correspondentes aos ensaios realizados. O ajuste da curva é feito

utilizando o método dos mínimos quadrados fornecendo os valores dos coeficientes

321 ,, bbb e 4b . Utilizando estes coeficientes, seis funções de relaxação podem ser

obtidas utilizando a Eq. (2.79). O valor final da função de relaxação é obtido fazendo-

se a média das funções obtidas. Os valores dos coeficientes 4321 ,,, bbbb e da função

de relaxação são apresentados na Tab. 2.3.

Vale ressaltar que para este modelo, outras formas de ajuste podem ser

utilizadas. Os coeficientes kb )4,..,1( k , por exemplo, podem ser obtidos

considerando os resultados de um ensaio de tração a uma determinada taxa para

caracterizar a não-linearidade, e a função de relaxação ajustada considerando apenas

um nível de deformação para caracterizar sua dependência no tempo.

Para o modelo PSM, a primeira etapa do ajuste consiste em utilizar o método

dos mínimos quadrados para obter os coeficientes da resposta de tensão para cada

nível de deformação aplicado no ensaio de relaxação. O número de termos utilizados

na série de Prony para este ajuste deve ser o mesmo do utilizado no ajuste das curvas

de relaxação )(tGi. Considerando, por exemplo, 2,5% como o primeiro nível de

deformação e a utilização de quatro termos na série de Prony, cinco coeficientes da

curva tensão devem ser calculados, ou seja, 31211101 ,,, e

41 . Procedimento

similar deve ser utilizado para os outros cinco níveis de deformação adotados (5, 7,5,

10, 20 e 30%), totalizando 30 coeficientes a serem calculados para as respostas de

tensão. O Anexo I apresenta o resultado desses ajustes.

Os coeficientes 3,2,1, ,, RRR e 4,R são calculados fazendo-se uma média dos

valores ajustados em cada nível de deformação. Na segunda etapa do ajuste, deve-se

utilizar os coeficientes das curvas de tensão obtidos anteriormente para formar função

similar à descrita na Eq. (2.105) para o ensaio de fluência e, utilizando o método dos

mínimos quadrados, calcular os coeficientes das funções de relaxação

)4,..,1()( ktGk. Estes coeficientes são apresentados na Tab. 2.4 e a curva para cada

função nas Fig. 2.24 – 2.27. Os ajustes foram feitos utilizando a unidade de MPa para

tensão e mm/mm para deformação. A Fig. 2.23 apresenta o espectro de relaxação

calculado utilizando a aproximação proposta por CHRISTENSEN [22] e apresentado

na Eq. (2.34).

75

Tabela 2.3 - Coeficientes da função de relaxação não-linear – ajuste Leaderman

k ]/[ MPaMPaGk ][MPabk ][sk

0 0,716 --- ---

1 0,136 78,50 3,33

2 0,069 -521,21 66,13

3 0,043 1738,60 659,55

4 0,050 -2117,55 6852,15

Tabela 2.4 - Coeficientes da função de relaxação não-linear – ajuste PSM

k ][0 MPaG k ][1 MPaG k

][2 MPaG k ][3 MPaG k

][4 MPaG k ][sk

1 57,93 9,153 4,785 3,210 3,429 3,33

2 -394,60 -53,12 -29,83 -21,71 -21,94 66,13

3 1305,91 175,87 103,65 76,59 76,58 659,55

4 -1579,21 -214,45 -129,80 -96,93 -97,17 6852,15

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

10

H(

)

[s]

Figura 2.23 – Espectro de relaxação

76

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

55

60

65

70

75

80

G1(t

) [M

Pa

]

t [s]

Figura 2.24 – Função de relaxação )(1 tG

10 100 1000 10000

-470

-460

-450

-440

-430

-420

-410

-400

-390

G2(t

) [M

Pa

]

t [s]


77

10 100 1000 10000

1300

1350

1400

1450

1500

1550G

3(t

) [M

Pa

]

t [s]


10 100 1000 10000

-1900

-1850

-1800

-1750

-1700

-1650

-1600

-1550

G4(t

) [M

Pa

]

t [s]


78

A Fig. 2.28, mostrada a seguir, apresenta os resultados obtidos nos ensaios de

relaxação. Pode-se observar que o modelo utilizando o PSM apresenta melhor

correlação com os dados experimentais obtidos, principalmente para valores mais

altos de deformação, quando comparado com o ajuste de Leaderman.

Consequentemente, este será o modelo adotado na formulação matemática do

sistema duto flexível/enrijecedor à flexão.

A Fig. 2.29 mostra os mesmos resultados da Fig. 2.28 utilizando, entretanto,

escala logarítmica para o tempo. Verifica-se que mesmo após 4h de ensaio, o material

continua apresentando relaxação de tensão, destacando a necessidade de um ensaio

mais longo para definição do valor limite quando t . A utilização de aparato servo-

hidráulico para realização de ensaio de relaxação de longo prazo não se torna viável

devido ao custo envolvido e a necessidade de mobilização de diversos equipamentos.

A solução usualmente adotada é a utilização de um aparato específico para realização

de ensaios de relaxação ou fluência onde diversas amostras podem ser testadas por

um período que pode durar, em alguns casos, meses ou até anos.

A Fig. 2.30 apresenta o módulo de perda )(1 wG e armazenamento )(1 wG da

função de relaxação apresentada anteriormente. O módulo de perda está associado à

dissipação de energia viscoelástica do material e apresenta seu máximo para um

período de oscilação harmônica em torno de 20-25 seg. Para frequências a partir

deste valor, a função apresenta decaimento contínuo.

79

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

Te

nsã

o [M

Pa

]

Tempo [s]

Ajuste PSM

Ajuste Leaderman

Ensaio

2.5%

5.0%

7.5%

10%

20%

30%

Figura 2.28 - Resultados do ensaio de relaxação

10 100 1000 10000

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

Te

nsã

o [M

Pa

]

Tempo [s]

Ajuste PSM

Ajuste Leaderman

Ensaio

2.5%

5.0%

7.5%

10%

20%

30%

Figura 2.29 - Resultados do ensaio de relaxação (escala logarítmica)

80

0,01 0,1 1

66

68

70

72

74

76

78

80

82 G'[MPa]

G''[MPa]

Frequência [Hz]

G1'[M

Pa

]

0

1

2

3

4

5

G1''[

MP

a]

Figura 2.30 – Módulo de perda e armazenamento

Curva isocrônica – verificação da não-linearidade

Como descrito anteriormente no item 2.1.4, uma forma de verificação da

hipótese de linearidade e interpretação da resposta viscoelástica é o uso do conceito

de curva isocrônica. A curva é feita utilizando o valor da resposta de tensão obtida em

um determinado tempo para cada nível de deformação adotado. A Fig. 2.31 apresenta

esta função para os sete níveis de deformação adotados no ensaio de relaxação

realizado, ou seja, %0,30,0,20,0,10,5,7,0,5,5,2 . Foram considerados seis

instantes de tempo diferentes na determinação das curvas.

Verifica-se claramente a não-linearidade para valores de deformação maiores

que 5%, embora não se possa determinar um valor acurado para este limite, pois

apenas dois pontos são utilizados para definição da curva nesta faixa.

Observa-se, como esperado, que quanto maior o tempo decorrido de ensaio

menor será a inclinação da curva ou módulo tangente, e ainda que, a maior variação

da curva ocorre nos instantes iniciais de ensaio.

81

0 5 10 15 20 25 30

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0T

en

sã

o [M

Pa

]

Deformação [%]

Isocrônica

t = 0

t = 30s

t = 60s

t = 1h

t = 2h

t = 4h

Figura 2.31 – Curva isocrônica

Comparação do ajuste viscoelástico linear e não-linear

O ajuste viscoelástico realizado no ensaio de relaxação pode ser utilizado para

determinação da curva tensão x deformação quando se considera um histórico de

carregamento constante. Considerando, por exemplo, as mesmas taxas de

carregamento utilizadas no ensaio de tração, ou seja, 5, 50 e 500 mm/min e utilizando

a Eq. (2.29) para o ajuste viscoelástico linear e a Eq. (2.110) para o ajuste não-linear,

obtêm-se as curvas observadas nas Fig. 2.32-33. Os coeficientes utilizados no caso

viscoelástico não-linear são apresentados na Tab. 2.4, enquanto para o caso linear

apenas o primeiro termo do ajuste é mantido. Os resultados do ensaio de tração

também são apresentados no mesmo gráfico para efeitos de comparação.

Verifica-se uma boa correlação quando se compara o resultado do ensaio de

tração com a caracterização do ensaio de relaxação, confirmando a escolha da teoria

não-linear adotada para representação do comportamento viscoelástico não-linear.

Embora o ajuste viscoelástico linear leve em conta o efeito da taxa de carregamento

na resposta tensão x deformação, este só apresenta valores próximos ao ajuste não-

linear para pequenos valores de deformação.

82

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Ajuste visco não-linear

Ensaio de tração

Te

nsã

o [M

Pa

]

Deformação [mm/mm]

Taxa [mm/min]

5

50

500

Ajuste visco linear

Figura 2.32 – Ensaio de tração x ajustes viscoelásticos de relaxação (0-15%)

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Te

nsã

o [M

Pa

]

Deformação [mm/mm]

Taxa [mm/min]

5

50

500

Figura 2.33 – Ensaio de tração x ajustes viscoelásticos de relaxação (0-5%)

83

De modo semelhante ao apresentado anteriormente na Tab. 2.1 para os

ensaios de tração, a Tab. 2.5 mostra os valores de módulo secante calculados

considerando deformações de 1, 2,5, 5, e 10% para três taxas de deformação

substituídas nos ajustes viscoelásticos linear e não-linear realizados para o ensaio de

relaxação. A tabela destaca o observado na Fig. 2.32, ou seja, mesmo para pequenos

valores de deformação a teoria da viscoelasticidade linear não representa de forma

adequada o comportamento do poliuretano utilizado na fabricação do enrijecedor. O

módulo secante calculado a 10% de deformação considerando as curvas obtidas para

uma taxa de 500 mm/min, por exemplo, fornecem uma diferença de cerca de 92%

entre a teoria linear e não-linear.

Tabela 2.5 – Módulo secante para os ajustes viscoelásticos

Taxa de

carregamento

[mm/min]

Módulo secante [MPa]

1,0% 2,5% 5,0% 10,0%

L NL L NL L NL L NL

5 71 66 69 58 68 48 66 34

50 77 71 75 63 73 52 71 37

500 78 75 78 67 78 56 77 40

Considerando os resultados experimentais apresentados, conclui-se que a teoria

da viscoelasticidade não-linear apresentada representa de forma adequada as não-

linearidades e os efeitos da taxa de carregamento observados na resposta de tensão x

deformação do poliuretano. A teoria da viscoelasticidade linear, embora capture

intrinsecamente o efeito da taxa de carregamento na resposta do poliuretano não

apresenta boa correlação com os ensaios experimentais, mesmo para valores

moderados de deformação. Como, usualmente, em operação, o enrijecedor à flexão

está sujeito a deformações maiores que 10%, recomenda-se o uso da teoria não-linear

para caracterização do seu comportamento mecânico.

84

3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO SISTEMA DUTO FLEXÍVEL/ENRIJECEDOR À FLEXÃO

Os modelos existentes para avaliação de esforços mecânicos em enrijecedores

à flexão são baseados na análise de uma viga engastada, com seção variável e sujeita

a grandes deslocamentos. A metodologia para obtenção das condições de

carregamento a ser aplicada no modelo local foi apresentada anteriormente no

Capítulo 1, assim como as propriedades mecânicas do poliuretano utilizado na

fabricação do enrijecedor à flexão foram mostradas no Capítulo 2. Um desenho

esquemático do modelo utilizado para análise local quase-estática do sistema é

mostrado na Fig. 3.1.

O sistema é composto pelo duto flexível e pelo enrijecedor à flexão, sendo

ambos considerados engastados em sua parte inicial. Na extremidade livre, o duto

está sujeito a uma tração )(tF e um ângulo de contorno )(tL , ambos variando com o

tempo de acordo com as condições ambientais e movimentos da unidade flutuante de

produção. Uma parte do duto é incorporada ao modelo para garantir que a condição

de contorno do ângulo não seja perturbada por efeitos do enrijecedor no modelo

completo do sistema.

O modelo de viga é utilizado nas fases iniciais de projeto e análise, quando se

deseja uma resposta global do sistema. Quando existe a necessidade de avaliar

pontos de concentração de tensões, tais como, a região de interface do enrijecedor

com seu suporte, faz-se uso de análises tridimensionais através do método dos

elementos finitos.

L

F(t)

X

Y

O

y(s)

x(s)

Figura 3.1 – Desenho esquemático do sistema duto flexível/enrijecedor à flexão

85

Neste capítulo, a formulação matemática do sistema é apresentada

considerando o enrijecedor à flexão com comportamento viscoelástico linear e não-

linear, inicialmente no domínio do tempo e posteriormente estendido para obtenção da

resposta harmônica em regime permanente utilizando o método da perturbação.

Embora tenha se verificado através dos ensaios experimentais que a teoria linear não

representa de forma adequada a resposta mecânica do poliuretano, a formulação

matemática do modelo linear é mantida como forma de verificação e validação do

modelo não-linear.

O item 3.1 apresenta e discute as hipóteses simplificadoras adotadas no

desenvolvimento do modelo matemático, o item 3.2 apresenta as relações

trigonométricas, enquanto no item 3.3 o equilíbrio de forças e momentos é

apresentado. A formulação matemática de cada modelo e os respectivos sistemas de

equações diferenciais resultantes são então apresentados nos itens 3.4 e 3.5, para

teoria viscoelástica linear e não-linear, respectivamente.

3.1 Hipóteses simplificadoras

A formulação matemática para o modelo local do sistema composto pelo duto

flexível e pelo enrijecedor à flexão é apresentada neste trabalho considerando as

seguintes hipóteses simplificadoras:

a) teoria de viga de Euler-Bernoulli, sendo ambas estruturas engastadas em sua

parte inicial;

b) deformação axial é desconsiderada para as duas estruturas;

c) o espaçamento radial entre as estruturas é desconsiderado;

d) o duto flexível é considerado com rigidez flexional constante ao longo do

comprimento;

e) o poliuretano do enrijecedor é considerado com resposta viscoelástica e,

consequentemente, amortecimento estrutural;

f) comportamento mecânico em tração é igual ao em compressão;

g) os efeitos dinâmicos devido à massa do sistema são desconsiderados;

h) a força e o ângulo de topo são funções harmônicas.

A teoria de Euler-Bernoulli para a flexão de vigas não considera o efeito da

deformação de cisalhamento devido à ação do cortante, considerando apenas a

deformação causada pelo momento fletor. Quanto mais delgada for a viga, maior será

86

a predominância do momento fletor nas deflexões e menor a parcela do esforço

cortante.

Os efeitos desta hipótese foram avaliados por CAIRE [13], que considerou

inicialmente um modelo com deformação angular única. Posteriormente, avaliou o

efeito do cisalhamento utilizando um modelo em elementos finitos utilizando o software

Abaqus [12]. Neste modelo considerou diferentes deformações angulares para o

enrijecedor e para o duto. Constatou que embora o modelo linha flexível/enrijecedor

apresente uma relação diâmetro/comprimento não desprezível, a distribuição de

curvatura ao longo do comprimento não é muito afetada pela inclusão das

deformações de cisalhamento e, portanto, a inclusão desta hipótese no presente

modelo não se torna relevante.

A condição de contorno adotada neste trabalho, considerando as duas

estruturas engastadas, só é válida para algumas configurações de enrijecedor. Na

configuração para boca de sino apresentada anteriormente na Fig. 1.5, por exemplo, a

conexão do duto é feita a uma determinada distância do enrijecedor. Neste caso a

distribuição de curvatura e deformação das duas estruturas será diferente e,

consequentemente, o modelo matemático e suas respectivas condições de contorno

devem ser adequadas à configuração utilizada.

A linha flexível apresenta elevada rigidez axial quando comparada com o corpo

de poliuretano do enrijecedor à flexão, sem incluir o fato de que as duas estruturas

apresentam espaçamento radial e, portanto sem adesão. Consequentemente, a

inclusão da hipótese de deformação axial da linha flexível não altera significantemente

a distribuição de curvatura e deformações do enrijecedor.

O modelo matemático incluindo a resposta não-linear em flexão do duto foi

desenvolvido por CAIRE e VAZ [10,11], considerando o poliuretano do enrijecedor

com comportamento linear elástico. Além disso, o espaçamento radial entre as

estruturas foi avaliada por um modelo de elementos finitos utilizando o software

Abaqus [12]. Concluíram que, para carregamento extremo, a inclusão das duas

hipóteses não altera significantemente a resposta do sistema, embora tenham

observado maior influência para condições de carregaento mais brandas.

O comportamento não-linear elástico com resposta mecânica do material em

tração diferente da resposta em compressão foi avaliada por CAIRE [13] e VAZ et al.

[14]. Este comportamento assimétrico leva a uma excentricidade do eixo neutro com

relação ao centróide de área. Esta excentricidade e a relação momento fletor x

curvatura devem, portanto, ser calculadas numericamente para cada seção transversal

ao longo do comprimento, podendo ser ajustadas por uma série de polinômios. Além

disso, modelaram o sistema considerando as estruturas separadamente, o que

87

permite o cálculo da força de contato ao longo do comprimento e posterior estimativa

das pressões de contato. Concluíram que a não-linearidade material com

comportamento assimétrico afeta a resposta do sistema e que caso se queira utilizar o

módulo de elasticidade para avaliação de esforços da estrutura, uma metodologia

consistente para levantamento desse parâmetro deve ser definida.

Com o objetivo de capturar o efeito da frequência de carregamento e do

amortecimento estrutural viscoelástico na resposta do sistema é necessário aplicar

carregamento harmônico como forma de representar o carregamento ambiental

aleatório, e embora o modelo matemático desenvolvido no domínio do tempo possa

ser utilizado para estas avaliações, este não se mostra eficiente computacionalmente.

Um modelo para obtenção da resposta harmônica em regime permanente, onde

os efeitos transientes não são levados em conta, é um dos objetivos do presente

trabalho. Além disso, o efeito da resposta não-linear dependente do tempo é

posteriormente incluído. Os efeitos inerciais na resposta dinâmica do modelo local não

foram avaliados, mas espera-se pouca influência devido à magnitude do carregamento

aplicado.

3.2 Relações trigonométricas

Na presente formulação, considera-se que o duto flexível e o enrijecedor à flexão

apresentam a mesma deflexão, o que pode ser considerado uma hipótese coerente

quando o espaçamento radial entre as estruturas é pequeno. A Fig. 3.2 apresenta um

elemento infinitesimal do sistema.

V

V+dV

T

T+dT

M

M+dM

dS dx

X

YO

dy

Figura 3.2 – Elemento infinitesimal

Aplicando relações trigonométricas ao elemento infinitesimal da Fig. 3.2 e

considerando a definição geométrica da curvatura, obtêm-se as seguintes equações,

88

),(cos),(

tss

tsx

(3.1)

),(sin),(

tss

tsy

(3.2)

),(),(

tsks

ts

(3.3)

onde s é o arco comprimento medido a partir da origem engastada, ),(),,( tsytsx são

as coordenadas cartesianas que variam com o tempo, ),( ts é o ângulo de inclinação

com relação ao eixo x de qualquer ponto ao longo do arco comprimento e ),( tsk a

curvatura.

3.3 Equilíbrio de forças e momentos

Considerando equilíbrio para cada instante de tempo t, as reações de força e

momento podem ser calculadas na origem do sistema cartesiano considerando a

condição de carregamento )(,),( ttF L ilustrada na Fig. 3.1. Os esforços internos de

tração ),( tsT e o momento fletor ),( tsM podem ser facilmente determinados como

segue,

L

sL

L

sL

L

dststdststtFtsM

tsttFtsT

),(sin)(cos),(cos)(sin)(),(

),()(cos)(),(

(3.4)

Diferenciando o momento fletor com respeito à s , verifica-se que o esforço

cortante é dado pela sua derivada primeira,

),()(sin)(),(),(

tsttFtsVs

tsML

(3.5)

Assumir que seções planas permanecem planas após flexão, implica que a

deformação axial para um determinado instante de tempo t varia linearmente com sua

posição em relação ao eixo neutro , sendo descrita por,

89

),(),,( tskts (3.6)

Como hipótese simplificadora, considera-se o comportamento viscoelástico

com resposta simétrica em tração-compressão. Consequentemente, o eixo neutro

passa pelo centróide de área da seção transversal para qualquer tempo e o equilíbrio

de momentos pode ser descrito pela seguinte relação,

BSPIPE A

BSA

PIPE dAdAtsM ),( (3.7)

onde o índice BS se refere ao enrijecedor à flexão ou bend stiffener e PIPE se refere

ao duto flexível.

3.4 Equações de governo para viscoelasticidade linear

As equações de governo do sistema duto flexível/enrijecedor à flexão no domínio

do tempo e da frequência são obtidas utilizando as equações constitutivas

apresentadas no item 2.1 e as relações trigonométricas e equilíbrio de forças e

momentos apresentados nos itens 3.2 e 3.3 respectivamente.

3.4.1 Formulação matemática no domínio do tempo

Utilizando a Eq. (3.7), considerando rigidez à flexão constante ao longo do

comprimento para o duto e introduzindo a Eq. (2.29) chega-se à seguinte relação

momento fletor x curvatura para o sistema,

t

BSBSPIPE dt

tGsksItskGsItskEItsM

0 )(

)(),()(),()0()(),(),(

(3.8)

onde BSA

BS dAsI 2)( é o segundo momento de área para o enrijecedor à flexão e

PIPEEI é a rigidez a flexão do duto. Diferenciando o momento fletor dado pela Eq. (3.8)

com relação à posição, introduzindo a Eq. (3.5) e manipulando algebricamente chega-

se à seguinte equação de governo,

90

tBS

t

BS

L

BSPIPE dt

tGsktskG

ds

sdI

dt

tG

s

sksI

tsttF

sIGEIs

tsk

0

0

)(

)(),(),()0(

)(

)(

)(),()(

),()(sin)(

)()0(

1),(

(3.9)

É importante ressaltar que caso se considere 0t na equação anterior, os

termos integrais se anulam e a equação final resultante é a mesma que para o caso

linear elástico com )0(G representando o módulo de elasticidade. As relações

geométricas dadas pelas Eq. (3.1-3) juntamente com a Eq. (3.9) formam o sistema de

quatro equações integro-diferenciais que governam o problema de valor de contorno.

Um conjunto de quatro condições de contorno deve ser definido como segue,

0)(),(),0(),0(),0( ttLttytx L (3.10)

3.4.2 Formulação matemática para resposta harmônica em regime permanente

A Eq. (3.9) apresentada anteriormente para formulação no domínio do tempo

pode ser utilizada para obter a solução em estado permanente quando o sistema está

sujeito a condições de carregamento harmônicas, mas esse procedimento demanda

uma solução numérica com custo computacional muito alto. De forma a obter a

solução no domínio da frequência, desconsiderando os efeitos transientes, considera-

se a seguinte força harmônica aplicada ao sistema, como segue,

twFFtF sin)( 00 (3.11)

onde 0F é a tensão de topo média, w é a frequência de carregamento e é um

pequeno valor de perturbação em torno do valor médio, de modo que a teoria da

perturbação possa ser aplicada na formulação do problema. Desta forma, as equações

de governo podem ser descritas por uma expansão em série de Taylor utilizando o

valor de perturbação para a força e para o ângulo, como será visto a seguir. A

resposta da inclinação de um ponto ao longo do arco comprimento com respeito ao

eixo x pode ser aproximada pela seguinte relação,

91

),()(),( 0 tssts (3.12)

onde )(0 s é a função do angulo médio independente do tempo e ),( ts pode ser

expandida considerando uma expansão de terceira ordem como segue,

2233

22

2233

22),(

ts (3.13)

Vale salientar que com a utilização de dois parâmetros de perturbação ( , ),

a solução do sistema de equações de governo é independente da variação em torno

da média. Dessa forma, uma vez obtida a solução numérica considerando ângulo e

tração de topo médios, pode-se obter resultados com diferentes variações em torno da

média sem a necessidade de obter uma nova solução numérica para o sistema de

equações de governo. Os coeficientes são descritos pelas seguintes funções em

forma matricial, para os termos de primeira ordem ( , ),

tw

tw

ss

ss

cos

sin

)()(

)()(

43

21

(3.14)

para os termos de segunda ordem ( 2 , 2 , ),

tw

tw

sss

sss

sss

2cos

2sin

1

)()()(

)()()(

)()()(

131211

1098

765

2

2

(3.15)

e para os termos de terceira ordem ( 3 , 3 , 2 , 2 ),

tw

tw

tw

tw

ssss

ssss

ssss

ssss

3cos

3sin

cos

sin

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

29282726

25242322

21201918

17161514

2

2

3

3

(3.16)

92

onde 290)( isi são os trinta coeficientes que devem ser obtidos numericamente

para obtenção da solução. Utilizando a Eq. (3.12) para descrição da condição de

contorno de ângulo, obtém-se,

)()( 0 tt LLL (3.17)

onde L0 é o valor médio do ângulo de topo. A variação angular em torno da média, ou

seja, a função )(tL pode ser descrita pelos termos de primeira ordem da Eq. (3.13)

como segue,

twt LL sin)( 0 (3.18)

Desta forma a diferença de fase entre a força e o ângulo de topo é dada por

e a variação em torno do valor médio definida pela perturbação . Vale ressaltar que

uma representação da condição de contorno de ângulo definidos pelas Eq. (3.17) e

(3.18) com mais termos harmônicos, resulta em diferentes termos da função ),( ts

apresentada anteriormente em (3.13).

Com o objetivo de simplificar a formulação matemática e reunir termos em

comum durante a manipulação algébrica, define-se o seguinte ângulo e variação do

ângulo, como segue,

)()( 000 ss L (3.19)

),()(),( tstts L (3.20)

Substituindo a Eq. (3.19) e (3.20) na relação do cortante definida pela Eq. (3.5),

considerando 0 e assumindo pequenos valores para a variação angular )(s ,

pode-se utilizar uma expansão de terceira ordem para senos e cossenos, o que leva a

seguinte aproximação,

6

),(),()(cos

2

),(1)(sin),()(sin

3

0

2

0

tstss

tsststL

(3.21)

93

As funções esforço cortante ),( tsV e curvatura ),( tsk devem ser descritas

utilizando a teoria da perturbação, com uma função independente para o valor médio e

uma componente dependente do tempo utilizando o mesmo formato apresentado na

Eq. (3.13). Substituindo a Eq. (3.11) e (3.21) em (3.5) com manipulações algébricas,

resulta uma função com parâmetros de perturbação e com ordem superior a 10.

Desprezando todos os termos de ordem superior a três, resulta como esperado, na

relação do cortante com 30 coeficientes. Estas funções coeficientes podem ser

representadas em forma vetorial TsVsV )(),...,( 290V e são descritas por,

290cos)(sin)()( 000 issBssAFsV iii (3.22)

onde os coeficientes )(sAi and )(sBi

são descritos no Anexo II. Substituindo a relação

de curvatura dada por,

2233

22

2233

22

0 )(),(

kkkk

kkkkksktsk

(3.23)

na Eq. (3.8), utilizando os módulos de perda e armazenamento apresentados na Eq.

(2.118) com manipulações algébricas e considerando t , chega-se a relação

momento fletor x curvatura no domínio da frequência. Igualando os termos com

mesma potência dos parâmetros e e de suas respectivas combinações, pode-se

achar a relação entre os coeficientes da relação dada por EI.KM . A matriz de

rigidez à flexão é então descrita pela seguinte matriz diagonal em bloco,

3333222110 ,,,,,,,,, EIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEI diag (3.24)

onde as matrizes 0EI ,

1EI , 2EI e

3EI para os termos de ordem zero, um, dois e três

respectivamente, são dadas por,

94

)3,()3,(00

)3,()3,(00

00),(),(

00),(),(

)2,()2,(0

)2,()2,(0

00)(

),(),(

),(),(

)(

12

21

12

21

12

21

0

2

12

21

1

00

wsCwsC

wsCwsC

wsCwsC

wsCwsC

wsCwsC

wsCwsC

sC

wsCwsC

wsCwsC

sC

3EI

EI

EI

EI

(3.25)

e os coeficientes 0C ,

1C e 2C são descritos por,

)()(),(

)()(),(

)()()(

2

1

0

sIwGwsC

sIwGEIwsC

sIGEIsC

BS

BSPIPE

BSPIPE

(3.26)

Os vetores das funções coeficientes de momento fletor e curvatura podem ser

respectivamente descritos por, TsMsM )(),...,( 290M e Tsksk )(),...,( 290k .

Considerando que a relação entre os coeficientes da função momento fletor e do

cortante é dada por VdM/ds e utilizando a relação linear EI.KM com

manipulações algébricas, chega-se à seguinte relação,

.VEI.kEI

.EIk 11

ds

d

ds

d (3.27)

Substituindo as Eq. (3.22) e (3.24) em (3.27) leva ao seguinte sistema de

equações diferenciais não-lineares que governam o problema de valor de contorno,

para ordem zero,

95

)()()()()( 00000

0 sVsDsksCsDds

dk (3.28)

para os termos de primeira ordem ( 31 i ),

)(),()(),()(),()(),(

)(),()(),()(),()(),(

,

112112

1

121121

sVwsDsVwsDskwsEskwsEds

dk

sVwsDsVwsDskwsEskwsEds

dk

iiii

i

iiii

i

(3.29)

para os termos de segunda ordem ( 115 i ),

)()2,()()2,(

)()2,()()2,(

)()2,()()2,(

)()2,()()2,(

)()()()(

,,

2112

21122

2211

22111

00

22

sVwsDsVwsD

skwsEskwsEds

dk

sVwsDsVwsD

skwsEskwsEds

dk

sVsDsksEds

dk

ii

iii

ii

iii

iii

(3.30)

e para os termos de terceira ordem ( 2614 i ),

)()3,()()3,(

)()3,()()3,(

)()3,()()3,(

)()3,()()3,(

)(),()(),(

)(),()(),(

)(),()(),(

)(),()(),(

,

,,

3122

3122

3

3221

32212

112

1121

121

121

22

33

sVwsDsVwsD

skwsEskwsEds

dk

sVwsDsVwsD

skwsEskwsEds

dk

sVwsDsVwsD

skwsEskwsEds

dk

sVwsDsVwsD

skwsEskwsEds

dk

ii

ii

i

ii

iii

ii

iii

ii

iii

(3.31)

onde os coeficientes )(0 sD , ),(1 wsD , ),(2 wsD são descritos por,

96

222

221

0

)()()()(

)()(),(

)()()()(

)()(),(

)()(

1)(

sIwGEIsIwG

sIwGwsD

sIwGEIsIwG

sIwGEIwsD

sIGEIsD

BSPIPEBS

BS

BSPIPEBS

BSPIPE

BSPIPE

(3.32)

e os coeficientes )(0 sE , ),(1 wsE , ),(2 wsE são dados por,

222

22

22

1

0

)()()()(

)(')(),(

)()()()(

)(')()()()(),(

)()(

)(')()(

sIwGEIsIwG

sIwGEIwsE

sIwGEIsIwG

sIsIwGwGwGEIwsE

sIGEI

sIGsE

BSPIPEBS

BSPIPE

BSPIPEBS

BSBSPIPE

BSPIPE

BS

(3.33)

O sistema de trinta equações diferenciais (3.28-31) em conjunto com,

290)()(

iskds

sdi

i (3.34)

formam o sistema de sessenta equações diferenciais não-lineares que governam o

problema de valor de contorno do enrijecedor à flexão viscoelástico linear submetido a

condições de carregamento harmônicas de tração e ângulo de topo. O seguinte

sistema de condições de contorno deve ser especificado para o problema, como

segue,

295,210)(

sin)(

cos)(

)(

04

03

00

iiL

L

L

L

i

L

L

L

(3.35)

onde os coeficientes L0 e são os dados de entrada da função ângulo de topo. Uma

vez que o sistema de Eq. (3.28-31, 3.34) seja resolvido numericamente, a distribuição

de curvatura é obtida substituindo os coeficientes )(),..,( 290 sksk na Eq. (3.23). As

coordenadas cartesianas do sistema ),(),,( tsytsx podem ser obtidas integrando as

97

Eq. (3.1) e (3.2). O método de solução numérica adotado é apresentado

posteriormente no item 3.6.

3.5 Equações de governo para viscoelasticidade não-linear

As equações de governo do sistema duto flexível/enrijecedor à flexão no domínio

do tempo e da frequência são agora obtidas utilizando as equações constitutivas para

viscoelasticidade não-linear apresentadas no item 2.2.3 (princípio da superposição

modificado) e as relações trigonométricas e equilíbrio de forças e momentos

apresentados nos itens 3.2 e 3.3 respectivamente.

3.5.1 Formulação matemática no domínio do tempo

As equações de governo no domínio do tempo, considerando a teoria não-

linear, através do princípio da superposição modificado, podem ser derivadas

considerando o procedimento descrito a seguir. Substituindo a equação constitutiva

descrita por (2.110) em (3.7), obtém-se a seguinte relação momento fletor x curvatura,

t

t

t

t

PIPE

dt

tGsksItskGsI

dt

tGsksItskGsI

dt

tGsksItskGsI

dt

tGsksItskGsI

tskEItsM

0

44

4

4

44

0

33

3

3

33

0

22

2

2

22

0

1111

)(

)(),()(),()0()(

)(

)(),()(),()0()(

)(

)(),()(),()0()(

)(

)(),()(),()0()(

),(),(

(3.36)

onde as funções 1I ,

2I , 3I e

4I são dadas respectivamente por,

BS

BS

BS

BS

A

A

A

ABS

dAsI

dAsI

dAsI

dAsIsI

5

4

4

3

3

2

2

1

)(

)(

)(

)()(

(3.37)

98

Para a seção transversal do enrijecedor, obtém-se as seguintes funções,

66

3

44

1

)(512

)(

)(64

)()(

DisDesI

DisDesIsI BS

(3.38)

onde )(sDe é o diâmetro externo, que varia ao longo do comprimento devido a sua

geometria que usualmente apresenta uma parte inicial cilíndrica, seguida do corpo

cônico e Di é o diâmetro interno. Vale ressaltar que o diâmetro interno do enrijecedor

não precisa ser necessariamente igual ao diâmetro externo do duto flexível, mesmo

com a utilização da formulação considerando as duas estruturas aderidas. Pode-se

verificar que para seções simétricas obtém-se, 0)()( 42 sIsI . Derivando a Eq. (3.36)

com relação ao arco comprimento, observando que,

s

tsktskn

s

tsk nn

),(),(

),( 1 (3.39)

introduzindo a Eq. (3.5) e manipulando algebricamente a Eq. (3.36) para explicitar a

derivada primeira da curvatura com relação ao arco comprimento, chega-se à seguinte

equação de governo para a formulação não-linear no domínio do tempo,

t

t

t

t

L

PIPE

dt

tGsktskG

s

sI

dt

tGsktskG

s

sI

dt

tG

s

sksksI

dt

tG

s

sksI

tsttF

tsksIG

sIGEIs

tsk

0

333

3

3

0

1

1

1

0

32

3

0

1

1

2

33

11

)(

)(),(),()0(

)(

)(

)(),(),()0(

)(

)(

)(),(),()(3

)(

)(),()(

),()(sin)(

),()()0(3

)()0(

1),(

(3.40)

A Eq. (3.40) em conjunto com as Eq. (3.1-3) formam o sistema de quatro

equações diferenciais parciais não-lineares que governam o problema de valor de

contorno do sistema linha flexível/enrijecedor considerando o poliuretano com

99

comportamento viscoelástico não-linear. As condições de contorno são as mesmas

utilizadas na formulação do problema linear e apresentadas na Eq. (3.10).

Observa-se que a Eq. (3.40) se iguala à formulação linear apresentada na Eq.

(3.9) caso se considere as seguintes hipóteses: )()(1 tGtG e 0)(3 tG . As funções

)(2 tG e )(4 tG não influenciam diretamente a resposta do sistema, mas sim através do

ajuste geral para obtenção de forma acoplada de )4,..,1(),( itGi.

3.5.2 Formulação matemática para resposta harmônica em regime permanente

As equações de governo no domínio da frequência considerando a teoria da

viscoelasticidade não-linear são descritas incluindo termos de perturbação até

segunda ordem. Desta forma o ângulo ),( ts é descrito utilizando os termos de

primeira ordem apresentados na Eq. (3.14) e de segunda ordem mostrados na Eq.

(3.15). A descrição harmônica das condições de carregamento de força e ângulo

permanecem as mesmas, sendo representadas, respectivamente pelas Eq. (3.11) e

(3.17).

Utilizando o mesmo procedimento anterior para o caso linear, pode-se obter a

relação momento fletor x curvatura no domínio da frequência considerando a teoria da

viscoelasticidade não-linear. Substituindo a relação de curvatura dada pela Eq. (3.23)

(eliminando os termos de terceira ordem) na Eq. (3.36), utilizando os módulos de

perda e armazenamento apresentados na Eq. (2.118), considerando t para

eliminação de efeitos transientes e igualando os termos de mesma potência e

obtém-se a relação dos coeficientes da função momento fletor x curvatura. Os

coeficientes da função momento fletor podem ser descritos em forma matricial como

segue,

T

TsMsM

MMMMMM

M

0,,,,,

)(),...,( 130

(3.41)

Deve-se ressaltar que, devido à não-linearidade, a matriz de rigidez não pode

ser definida por uma matriz quadrada como anteriormente. Desta forma para o termo

de ordem zero ordem, obtém-se,

000 .kEIM (3.42)

100

onde o vetor curvatura 0k e a matriz de rigidez são descritas respectivamente por ,

3

0

0

0

)(

)(

sk

skk (3.43)

)()( 100 sPsPEI (3.44)

Para os coeficientes de primeira ordem )(),(),(),( 4321 sMsMsMsM

representados em forma matricial por,

.kEIM

.kEIM

1

1 (3.45)

utilizam-se os seguintes vetores curvatura e matriz de rigidez respectivamente,

)()(

)()(

)(

)(

2

2

0

1

2

0

2

1

sksk

sksk

sk

sk

k

)()(

)()(

)(

)(

4

2

0

3

2

0

4

3

sksk

sksk

sk

sk

k

(3.46)

),(3),(3),(),(

),(3),(3),(),(

3524

5342

1wsPwsPwsPwsP

wsPwsPwsPwsPEI (3.47)

Para os coeficientes de segunda ordem )(),...,( 135 sMsM representados em

forma matricial por,

.kEIM

.kEIM

.kEIM

22

2

2

(3.48)

onde os vetores curvatura são apresentados a seguir. Pode-se observar que os

coeficientes de segunda ordem )(),(),( 131211 sMsMsM apresentam dez termos não-

lineares enquanto )(),...,( 105 sMsM apenas nove.

101

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)(

)(

)(

7

2

0

6

2

0

5

2

0

2

20

2

10

210

7

6

5

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sk

sk

sk

k

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)(

)(

)(

10

2

0

9

2

0

8

2

0

2

40

2

30

430

10

9

8

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sk

sk

sk

k

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

13

2

0

12

2

0

11

2

0

420

320

410

310

13

12

11

sksk

sksk

sksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sk

sk

sk

k

(3.49)

A matriz de rigidez à flexão utilizada na Eq. (3.48) para os termos de ordem

dois ( 2 , 2 ) é apresentada a seguir,

T

wsPwsP

wsPwsP

sP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

sP

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

00)(3

)2,()2,()(

)2,()2,()(

)2,(3)2,(30

)2,()2,(0

)2,()2,(0

00)(

35

53

1

323

523

123

323

523

123

53

24

42

0

2EI (3.50)

e para o termo cruzado de ordem dois, , é descrita por,

102

T

wsPwsP

wsPwsP

sP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

sP

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

00)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(3)(3

)2,()2,(0

)2,()2,(0

00)(

35

53

1

351

53

53

351

24

42

0

22EI (3.51)

Os coeficientes 50,..,PP utilizados nas equações acima são descritos por,

)()(),(

)()(),(

)()(),(

)()(),(

)()()(

)()()(

335

114

333

112

331

110

sIwGwsP

sIwGwsP

sIwGwsP

sIwGEIwsP

sIGsP

sIGEIsP

PIPE

PIPE

(3.52)

Considerando que a relação entre os coeficientes da função momento fletor

),( tsM e do esforço cortante ),( tsV é dada por VdM/ds , utilizando a definição do

cortante descrito na Eq. (3.22), e derivando as Eq. (3.42), (3.45) e (3.48) com relação

à posição com manipulações algébricas, obtém-se o seguinte sistema de equações

diferenciais não-lineares. Para ordem zero, chega-se a,

)()(

)()()()(2 0

3

0

0

100

0 sVsk

sksPsPsQ

ds

dk

(3.53)

Para os termos de primeira ordem,

103

)(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

0),(3

),(3),(3

),(30

),(3),(

),(6),(6

),(6),(6

0),(

),(),(

),(0

),(),(

),(2

2

1

2

2

0

2

2

0

1

2

0

1

2

0

200

100

2

2

1

1

5

35

5

53

35

53

4

24

4

42

1

2

1

sV

sV

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sksksk

sk

sk

sk

skT

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

wsQdsdk

dsdk

(3.54)

)(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

0),(3

),(3),(3

),(30

),(3),(3

),(6),(6

),(6),(6

0),(

),(),(

),(0

),(),(

),(2

4

3

4

2

0

4

2

0

3

2

0

3

2

0

400

300

4

4

3

3

5

35

5

53

35

53

4

24

4

42

1

4

3

sV

sV

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sksksk

sk

sk

sk

skT

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

wsQdsdk

dsdk

(3.55)

Os coeficientes 0Q e

1Q são apresentados a seguir,

2

03311

1

2

03311

0

)()()2(3)()2(2

1),(

)()()(3)()(2

1)(

sksIwGsIwGEIwsQ

sksIGsIGEIsQ

PIPE

PIPE (3.56)

Para os termos de segunda ordem obtém-se o seguinte sistema de nove

equações diferenciais não-lineares que governam o problema de valor de contorno do

sistema duto flexível/enrijecedor à flexão considerando a teoria da viscoelasticidade

não-linear. Para os termos associados à perturbação 2 ,

104

)(

)(

)(

2

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

)(

0)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(600

)2,(6)2,(60

00)(6

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(6)2,(6)(6

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(6)(6

)2,(12)2,(120

)2,(12)2,(120

00)(12

0)2,(20

)2,(2)2,(20

)2,(200

)2,(2)2,(20

00)(2

7

6

5

7

2

0

7

2

0

6

2

0

6

2

0

5

2

0

2

20

2

20

2

10

2

10

220

210

210

210

210

110

700

600

500

7

7

6

6

5

5

35

5

53

1

351

351

35

35

351

53

53

53

53

351

35

53

1

4

24

4

42

0

1

1

0

7

6

5

sV

sV

sV

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sk

sk

sk

sk

skT

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

sP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

sP

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

sP

Q

Q

Q

ds

dkds

dkds

dk

(3.57)

Para os termos associados à perturbação 2 , as equações de governo são

descritas por,

105

)(

)(

)(

2

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

)(

0)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(600

)2,(6)2,(60

00)(6

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(6)2,(6)(6

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(6)(6

)2,(12)2,(120

)2,(12)2,(120

00)(12

0)2,(20

)2,(2)2,(20

)2,(200

)2,(2)2,(20

00)(2

10

9

8

10

2

0

10

2

0

9

2

0

9

2

0

8

2

0

2

40

2

40

2

30

2

30

440

430

430

430

430

330

1000

900

800

10

10

9

9

8

5

35

5

53

1

351

351

35

35

351

53

53

53

53

351

35

53

1

4

24

4

42

0

1

1

0

10

9

8

sV

sV

sV

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sk

sk

sk

sk

skT

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

sP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

sP

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

sP

Q

Q

Q

ds

dkds

dkds

dk

(3.58)

e finalmente para os termos associados à perturbação cruzada , obtém-se,

106

TsVsVsV

sksk

sksk

sksk

sksk

sksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sksksk

sk

sk

sk

sk

skT

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

sP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsPsP

wsPwsP

wsPwsP

sP

wsP

wsPwsP

wsP

wsPwsP

sP

Q

Q

Q

ds

dkds

dkds

dk

)()()(

)()(

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)()()(

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)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

)(

)(

0)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(300

)2,(3)2,(30

00)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(30

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(3)2,(3)(3

)2,(6)2,(60

)2,(6)2,(60

00)(6

0)2,(20

)2,()2,(0

)2,(200

)2,()2,(20

00)(

2

2

2

131211

13

2

0

13

2

0

12

2

0

12

2

0

11

2

0

420

420

420

420

320

320

320

320

410

410

410

410

310

310

310

310

1300

1200

1100

13

13

12

12

11

5

35

5

53

1

351

351

351

351

53

53

53

53

53

53

53

53

351

351

351

351

35

53

1

4

24

4

42

0

1

1

0

13

12

11

(3.59)

107

As quatorze equações diferenciais apresentadas nas Eq. (3.53-55) e (3.57-59)

em conjunto com )130()()( iskdssd ii formam o sistema de vinte e oito

equações diferenciais não-lineares que governam o problema do enrijecedor à flexão

viscoelástico não-linear no domínio da frequência. As condições de contorno do

sistema são as mesmas descritas para a formulação linear e apresentadas na Eq.

(3.35).

3.6 Solução numérica

O método de solução numérica adotado para resolver os sistemas de equações

descritos anteriormente é apresentado a seguir para a formulação no domínio do

tempo e da frequência, respectivamente. A escolha natural para solução dos sistemas

apresentados anteriormente é a utilização do método das diferenças finitas ou método

do tiro (shooting method). A discretização de ambos é similar, porém o último utiliza

um método iterativo de tentativa e erro para cálculo da solução enquanto no método

das diferenças finitas o problema de valor de contorno deve ser resolvido de forma

simultânea.

3.6.1 Solução no domínio do tempo

Para a formulação no domínio do tempo, o sistema resultante de equações

íntegro-diferenciais parciais não-lineares é resolvido para cada instante de tempo t,

utilizando o método do tiro, que consiste em transformar o problema de valor de

contorno em um problema de valor inicial equivalente utilizando um processo iterativo.

As curvaturas no engaste são estimadas para um determinado tempo atual t e

o sistema de equações é integrado utilizando o método de Runge-Kutta de quarta

ordem. Para a integral hereditária das Eq. (3.9) e (3.40) utiliza-se a regra de um terço

de Simpson. Esse método é utilizado para resolver o problema desde o tempo inicial

0t até um determinado tempo final.

Um dos fatos que torna a solução no domínio do tempo dispendiosa

computacionalmente, é que a solução encontrada em um determinado tempo anterior

deve ser armazenada para ser utilizada na solução do tempo atual t , como pode

ser observado na Eq. (3.9) da formulação linear e na Eq. (3.40) da não-linear. A Fig.

3.3 mostra o fluxograma numérico para solução no domínio do tempo utilizando o

método do tiro.

108

Figura 3.3 - Fluxograma numérico – Domínio do tempo

O programa computacional Mathematica [36] foi utilizado para implementação

do algoritmo e obtenção da solução numérica. Para discretização das equações

diferenciais que regem o problema de valor de contorno, utilizou-se um intervalo de

tempo st 1 e de espaço ms 01,0 , onde a escolha destes parâmetros foi

baseada em um estudo de sensibilidade numérica. A cada 1000 incrementos de

tempo, a solução era armazenada em arquivo para liberação da memória de acesso

aleatório (RAM – Random Access Memory). Dessa forma, 15 arquivos foram gerados

com tamanho aproximado de 100 Mb cada. O tempo de análise computacional para a

análise viscoelástica linear até o intervalo de tempo de 14400 s, foi de

109

aproximadamente 20 h utilizando um computador portátil (CPU Dual Core 2.8 Ghz,

3GB RAM). A mesma análise utilizando o método dos elementos finitos através do

software Abaqus [12] e com os mesmos intervalos de tempo e espaço para

discretização do modelo levou cerca de 3 h.

3.6.2 Solução harmônica em regime permanente

A solução numérica para o modelo matemático na frequência é obtida

utilizando o método do tiro, como descrito anteriormente. Apesar de apresentar um

número maior de equações quando comparado com o domínio do tempo, esta não

apresenta a dificuldade numérica imposta pela integral hereditária e, portanto, se torna

mais eficiente numericamente quando se busca a solução em estado permanente do

sistema sujeito a carregamento harmônico.

Vale ressaltar que a solução de algumas equações é independente da solução

de outras. Por exemplo, a solução das funções )(0 sk apresentada em (3.28), assim

como de )(5 sk , )(8 sk e )(11 sk em (3.30) para a formulação linear são obtidas sem a

necessidade de resolver um sistema de equações. Por outro lado, os seguintes

sistemas de equações devem ser resolvidos simultaneamente devido aos termos

mutuamente dependentes, para os termos de primeira e segunda ordem: )(),( 21 sksk ,

)(),( 43 sksk , )(),( 76 sksk , )(),( 109 sksk e )(),( 1312 sksk . O mesmo é válido para os

termos de terceira ordem. O fluxograma apresentado na Fig. 3.4 facilita a

compreensão do método numérico utilizado.

O mesmo procedimento descrito acima é adotado para o modelo viscoelástico

não-linear, entretanto a convergência da solução é dificultada devido aos diversos

termos não-lineares presentes nas equações de governo.

110

Figura 3.4 - Fluxograma numérico – Domínio da frequência

O pacote Mathematica [36] foi empregado para implementação do algoritmo no

domínio da frequência com os mesmos intervalos de espaço e tempo utilizados na

discretização do sistema de equações ( st 1 , ms 01,0 ) do domínio do tempo. A

obtenção da solução numérica levou cerca de 2-3 min tanto para o caso linear quanto

para o não-linear, ou seja, tempo muito inferior quando comparado com as 20 h

necessárias para obtenção da solução no domínio do tempo.

111

4 ESTUDO DE CASO

Neste capítulo, apresenta-se um estudo de caso para avaliação do

comportamento viscoelástico na resposta mecânica do sistema duto

flexível/enrijecedor à flexão utilizando os modelos no domínio do tempo e da

frequência apresentados no Capítulo 3 e a caracterização mecânica de um tipo de

poliuretano específico utilizado na fabricação de enrijecedores como mostrado no

Capítulo 2.

Análises dinâmicas globais, sem incluir o enrijecedor à flexão, são realizadas no

item 4.1 para determinação das condições de carregamento utilizadas nos modelos

locais, ou seja, série temporal de tração e ângulo de topo. O dimensionamento do

enrijecedor é então apresentado considerando comportamento linear elástico e

comparado com a resposta não-linear elástica. Três valores de deformação são

utilizados para o cálculo do módulo secante a ser utilizado no caso linear para efeitos

de comparação com o caso não-linear elástico ou hiperelástico.

Nos itens 4.2 e 4.3 apresenta-se a análise do enrijecedor dimensionado

considerando comportamento viscoelástico linear e não-linear, respectivamente, no

domínio do tempo e da frequência. O modelo matemático e a solução numérica obtida

para o modelo viscoelástico linear no domínio do tempo são comparados com

resultados obtidos utilizando o método dos elementos finitos através do pacote

comercial Abaqus [12]. Os resultados no domínio do tempo são então utilizados para

confirmar a validade do modelo desenvolvido para obtenção da resposta em regime

permanente e, devido às limitações impostas pela teoria da perturbação utilizada na

formulação matemática, sua representatividade para diferentes níveis de deformação

verificada. O efeito da frequência de carregamento e da diferença de fase na resposta

de curvatura e deformação são posteriormente verificados.

Por fim, o item 4.4 compara o modelo viscoelástico não-linear com os modelos

viscoelástico linear e não-linear elástico. Diversas taxas de carregamento são

consideradas no ajuste viscoelástico não-linear para caracterizar a curva tensão x

deformação utilizada na análise hiperelástica, assim como, diferentes níveis de

deformação são empregados na comparação.

4.1 Dimensionamento do enrijecedor

Análise dinâmica global – definição das condições de carregamento

Como apresentado no item 1.2 do Capítulo 1, as condições de carregamento

utilizadas no dimensionamento do enrijecedor podem ser obtidas através da realização

112

de análises dinâmicas globais sem a inclusão do enrijecedor. Para o estudo de caso

apresentado, considera-se um duto flexível de exportação acoplado a um FPSO

(Floating Production Storage and Offloading) operando em condições ambientais

típicas da Bacia de Campos, com lâmina d’água de 800m. O duto está instalado em

configuração de catenária livre e apresenta as seguintes propriedades,

Tabela 4.1 – Dados do duto flexível

Ângulo de topo 7º Rigidez flexional 2.50 mkN

Comprimento total m1400 Rigidez axial MN400

Diâmetro interno ''10 Rigidez torsional radmMN 2.8,4

A análise global foi realizada utilizando o software RIFLEX [37], específico para

análise não-linear dinâmica de estruturas complacentes, e implementado utilizando o

método dos elementos finitos. O carregamento de corrente e onda foi considerado

atuando em linha com a unidade flutuante de produção com um passeio estático

(offset) de 120m. O ponto de conexão do enrijecedor é considerado rotulado na

unidade flutuante.

O espectro de onda irregular JONSWAP definido pela altura significativa de

onda Hs e período de pico Tp considerando período de retorno de 100 anos é cruzado

com o RAO (Response Amplitude Operator) da embarcação no ponto de conexão para

diversas direções de onda. Assumindo uma distribuição de Rayleigh estima-se qual o

valor máximo de aceleração vertical e amplitude de rotação neste ponto. A onda

irregular (Hs,Tp) que fornece os maiores resultados é selecionada para a análise

dinâmica global com mar irregular.

Para resolução do problema viscoelástico deve-se fornecer como dados de

entrada as séries temporais harmônicas de força e ângulo de topo. A metodologia

simplificada adotada para escolha da onda regular é utilizar uma onda equivalente que

forneça como resultado da análise dinâmica os mesmos resultados de ângulo e tração

de topo máxima obtidos da análise irregular. Utilizando esse procedimento, obtém-se

uma onda regular com altura mH 6 e sT 25 . O tempo adotado para cada análise

é de cinco períodos de onda, ou seja, 125 s. Os instantes iniciais (equivalente a um

período) são retirados dos resultados apresentados a seguir para eliminação de

efeitos transientes observados neste tipo de análise.

Os resultados de série temporal de tração e ângulo de topo obtidos da análise

dinâmica são utilizados para ajustar os coeficientes das funções de carregamento

113

harmônicas descritos em (3.11), (3.17) e (3.18). Os coeficientes ajustados são

apresentados na Tab. 4.2, enquanto a Fig. 4.1 ilustra a série temporal de tração e

ângulo de topo obtida com o ajuste.

Tabela 4.2 - Coeficientes de carregamento

0F kN660 %45

L0 018 %27

047,15 w srad25/2

O espaço de projeto, contendo todas as combinações de tração e ângulo de

topo ao longo de um período é apresentado na Fig. 4.2. O gráfico ilustra ainda, o

espaço de projeto para três diferenças de fase 090,45,0 . O máximo ângulo de topo

observado é dado por 0

max 86,22 , enquanto a tração de topo máxima kNF 957max .

0 5 10 15 20 25

300

400

500

600

700

800

900

1000 Tração de topo

Ângulo

Tempo [s]

Tra

çã

o d

e to

po

[kN

]

12

14

16

18

20

22

24

Ân

gu

lo [g

rau

s]

Figura 4.1 – Tração de topo e ângulo ( 047.15 )

114

12 14 16 18 20 22 24

300

400

500

600

700

800

900

1000

=15.47o

=90o

Tra

çã

o d

e to

po

[kN

]

Ângulo de topo [graus]

max

min

Fmax

Fmin

=45o

Figura 4.2 – Espaço de projeto

Dimensionamento do enrijecedor

Como o objetivo do estudo de caso não é avaliar detalhadamente a metodologia

de projeto de enrijecedores à flexão, mas sim o efeito do comportamento viscoelástico

na resposta do sistema duto flexível/enrijecedor, um procedimento simplificado é

aplicado e apenas os valores extremos de tração e ângulo de topo retirados do espaço

de projeto são utilizados como dados de entrada para a etapa de dimensionamento.

Os critérios de projeto adotados são:

a) curvatura limite do duto flexível (MBR = 2,0m);

b) deformação máxima do poliuretano do enrijecedor à flexão (15%).

O critério usualmente adotado para definição do valor máximo de deformação do

poliuretano é o limite abaixo do qual o número de ciclos para gerar falha por fadiga

tende a infinito, enquanto o MBR é um parâmetro bem definido de falha do duto

flexível como descrito anteriormente no Capítulo 1.

Para esta análise linear elástica utilizou-se um software desenvolvido em

linguagem FORTRAN e apresentado na dissertação de mestrado de CAIRE [13]. O

sistema de equações diferenciais que regem o problema de valor de contorno do

sistema linha flexível/enrijecedor à flexão considerando comportamento linear elástico

é resolvido utilizando o método das diferenças finitas. Como dados de entrada o

115

usuário deve fornecer os critérios de MBR do duto flexível e deformação máxima do

poliuretano. Como dados de saída o programa fornece as diversas combinações

possíveis de geometria do enrijecedor que atendam a estes critérios. Fornece ainda, o

volume de material polimérico utilizado em cada combinação e o valor e posição de

curvatura máxima e deformação máxima como parâmetros para auxiliar o projetista na

escolha da melhor geometria a ser utilizada.

Três valores para o módulo secante foram calculados utilizando a curva tensão x

deformação obtida através do ajuste do ensaio de relaxação utilizando a teoria da

viscoelasticidade não-linear e considerando uma velocidade de travessão de 5

mm/min como mostrado na Fig. 2.33. A Tab. 4.3 a seguir mostra o módulo secante

obtido para três valores de deformação (1,0, 2,5 e 5%),

Tabela 4.3 - Módulo secante (5 mm/min)

Deformação [%] Módulo secante [MPa]

1,0 66

2,5 58

5,0 48

Pode-se observar que a escolha do nível de deformação utilizado para o cálculo

do módulo secante apresenta forte influência nos valores obtidos. Verifica-se, por

exemplo, uma diferença percentual de 33% entre os valores obtidos com 1 e 5% de

deformação. Fazendo uso da metodologia descrita acima, e considerando inicialmente

o valor de MPaEp 48 , obtêm-se as seguintes dimensões para o enrijecedor,

1,3 m 1,5 m 0,2 m

3,0 m

0,7

0 m

Figura 4.3 – Dimensões do enrijecedor

A Fig. 4.4 apresenta as funções )(1 sI e )(3 sI descritas na Eq. (3.38) para o

enrijecedor apresentado na figura acima.

116

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

0,0

2,0x10-3

4,0x10-3

6,0x10-3

8,0x10-3

1,0x10-2

1,2x10-2

I1

I3

Comprimento [m]

I 1(s

) [m

4]

0,0

1,0x10-4

2,0x10-4

3,0x10-4

4,0x10-4

5,0x10-4

6,0x10-4

7,0x10-4

I3 (s) [m

6]

Figura 4.4 – Funções 1I e

3I

Análise não-linear elástica

Utilizando o procedimento para análise de enrijecedores com material não-

linear elástico descrito por VAZ et al. [14], pode-se comparar a resposta de

deformação máxima do enrijecedor para várias trações e ângulos de topo com o

resultado obtido considerando os módulos secantes apresentados anteriormente na

Tab. 4.3 e calculados considerando a curva tensão x deformação do ajuste

viscoelástico não-linear para uma taxa de 5 mm/min. A Fig. 4.5 apresenta a

deformação máxima obtida para o caso linear elástico e não-linear elástico

considerando trações de topo variando de 350 até kN950 e ângulo de topo mantido

constante 0

0 86,22L . A Fig. 4.6 mostra os mesmos resultados, mantendo a tração

de topo constante kNF 957max e variando o ângulo de 12 a 024 . Pode-se observar

que, para os três valores de módulo secante obtidos para material linear elástico, os

valores de deformação são mais conservativos do que os obtidos com material

hiperelástico.

Estes resultados ressaltam a necessidade de uma adequada escolha do

módulo de elasticidade a ser utilizado no dimensionamento do enrijecedor caso não se

utilize toda a curva tensão x deformação para caracterização do material elástico. Um

valor inadequado pode levar a um dimensionamento excessivamente conservador do

117

enrijecedor, elevando os custos ou impossibilitando sua utilização em um determinado

projeto devido as restrições de dimensão da boca de sino, por exemplo.

Deve-se ressaltar, entretanto, que o valor do módulo secante depende da curva

tensão x deformação utilizada para o seu cálculo, e, além disso, esta depende da taxa

de carregamento utilizada para sua caracterização como mostrado anteriormente na

Fig. 2.33. Consequentemente, a escolha de um módulo secante adequado para

análise e projeto deve partir do princípio de que a curva tensão x deformação foi obtida

experimentalmente utilizando uma taxa de carregamento adequada. Como esta taxa

não é conhecida a priori, conclui-se que um modelo matemático que considere este

efeito no comportamento mecânico do poliuretano deva ser utilizado para uma correta

análise de enrijecedores. No item 4.3 uma comparação da resposta entre o modelo

viscoelástico linear, que captura intrinsecamente o efeito da taxa, e o modelo

hiperelástico considerando diversas taxas será apresentado.

400 500 600 700 800 900

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

De

form

açã

o m

áxim

a [%

]

Tração de topo [kN]

Não-linear elástico (5 mm/min)

Linear elástico

1,0 % 2,5 % 5,0 %

max

Figura 4.5 – Deformação máxima x tração de topo

118

12 14 16 18 20 22 24

6

8

10

12

14

16 Não-linear elástico (5 mm/min)

Linear elástico

1,0 % 2,5 % 5,0 %D

efo

rma

çã

o m

áxim

a [%

]

Ângulo de topo [graus]

Fmax

=957 kN

Figura 4.6 – Deformação máxima x ângulo de topo

4.2 Análise de enrijecedor viscoelástico linear

O comportamento viscoelástico não-linear foi caracterizado através dos

ensaios de relaxação apresentados no Capítulo 2 utilizando a Eq. (2.116). Os

coeficientes ajustados foram apresentados na Tab. 2.4 e as respectivas funções de

relaxação nas Fig. 2.25-2.28. Com o objetivo de permitir uma comparação efetiva

entre os modelos viscoelástico linear e não-linear, apenas o termo linear )(1 tG é

mantido na Eq. (2.116) para caracterizar o comportamento viscoelástico linear.

Validação do modelo no domínio do tempo com análise em elementos finitos

A equação de governo no domínio do tempo (3.9) é resolvida utilizando o

método do tiro como descrito no item 3.6.1. Com o objetivo de validar a formulação

matemática e o método de solução numérica adotado, um modelo em elementos

finitos é avaliado no software Abaqus [12] utilizando as mesmas hipóteses adotadas

na formulação analítica. A análise é dividida em um passo estático e outro quase-

estático. A semelhança entre os modelos é alcançada utilizando o seguinte

119

procedimento no software Abaqus [12]: a) o elemento de viga Euler-Bernoulli B23 é

utilizado para geração da malha; b) o parâmetro Nlgeom é ativado no comando *Step

para indicar que a não-linearidade geométrica deve ser considerada na análise devido

aos grandes deslocamentos sofridos pelo sistema; c) no passo quase-estático a opção

*Visco é utilizada para obtenção da resposta com material viscoelástico linear; d) o

comando *Tie é utilizado para garantir que os graus de liberdade de todos os nós do

enrijecedor e do duto flexível sejam os mesmos, ou seja, não existe deslocamento

relativo nem folga entre as duas estruturas. Uma sub-rotina utilizando a linguagem de

programação FORTRAN é desenvolvida para geração dos nós, elementos e

propriedades das seções variáveis ao longo do comprimento, além de permitir o pós-

processamento de resultados dos arquivos de saída gerados.

A análise foi realizada até o tempo de 14400 s, ou seja, mesmo intervalo

utilizado na realização do ensaio de relaxação com as condições de carregamento

apresentadas na Tab. 4.2. A Fig. 4.7 mostra a curvatura no engaste do sistema ao

longo do tempo para os dois últimos períodos de análise (50 s). A Fig. 4.8 compara os

resultados obtidos no Abaqus [12] com os resultados utilizando o método numérico

descrito em 3.6.1 para o intervalo total de análise. Observa-se excelente correlação

entre os dois, validando, portanto, a formulação matemática e o método de solução

numérico adotado para o modelo viscoelástico linear.

14350 14360 14370 14380 14390 14400

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Cu

rva

tura

no

en

ga

ste

[1

/m]

Tempo [s]

Numérico

ABAQUS

Figura 4.7 – Linear viscoelástico no domínio do tempo (curvatura no engaste)

120

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Cu

rva

tura

no

en

ga

ste

- A

ba

qu

s [1

/m]

Curvatura no engaste - numérico [1/m]

Figura 4.8 – Linear viscoelástico no domínio do tempo (comparação com Abaqus)

Influência do histórico de carregamento

Uma das características do comportamento viscoelástico no domínio do tempo

é a dependência da resposta mecânica com o histórico de carregamento ocorrido até

o momento atual devido às integrais hereditárias presentes na equação constitutiva.

Com o objetivo de avaliar esta influência na resposta mecânica do enrijecedor sujeito a

carregamento harmônico, diversas funções temporais foram utilizadas. A Fig. 4.9

ilustra, por exemplo, o efeito de manter carregamento constante com tração e ângulo

de topo médio até o instante de 14350 s e então aplicar o carregamento harmônico

para os dois últimos períodos da análise utilizando os parâmetros de carregamento

apresentados na Tab. 4.2.

Observa-se que os resultados obtidos são praticamente idênticos aos

resultados quando se considera carregamento harmônico desde o instante inicial.

Diversas análises semelhantes foram realizadas considerando, entretanto, instantes

diferentes (14275 s – 5 períodos, 14150 s – 10 períodos, 14025 s – 15 períodos) para

início de aplicação do carregamento harmônico com período de 25 s. Além disso,

análises foram realizadas considerando carregamento harmônico com período de 2 e

50 s até atingir os instantes de 14350, 14275, 14150 e 14025 s, para posteriormente

retornar ao carregamento com período de 25 s. Nenhuma das análises mencionadas

121

mostrou influência relevante na resposta de curvatura do sistema. O histórico de

carregamento apresenta maior relevância quando o material apresenta elevada taxa

de relaxação ou fluência, ou seja nos instantes iniciais.

14330 14340 14350 14360 14370 14380 14390 14400

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Cu

rva

tura

no

en

ga

ste

[1

/m]

Tempo [s]

Figura 4.9 – Influência do histórico de carregamento

A formulação matemática no domínio da frequência foi apresentada no item

3.4.2. Neste tipo de análise, os efeitos transientes são desconsiderados e o sistema

está sujeito a carregamento harmônico de tração e ângulo de topo com uma

determinada diferença de fase entre eles. Os tópicos a seguir apresentam os

resultados dessa formulação, onde o método de solução numérica foi apresentado no

item 3.6.2.

Influência da ordem da perturbação utilizada na formulação da frequência

A Fig. 4.10 mostra o resultado de curvatura no engaste ao longo de um período

considerando termos de ordem um, dois e três para formulação utilizando a teoria da

perturbação descrita na Eq. (3.23). Os parâmetros de carregamento utilizados foram

apresentados na Tab. 4.2.

A Fig. 4.11 ilustra o envelope de distribuição de curvatura ao longo do

comprimento, ou seja, distribuição nos instantes em que a curvatura máxima atinge

122

seu valor máximo e mínimo ao longo de um período. Observa-se pouca diferença

quando se compara a resposta de curvatura representada com termos de ordem 2 e 3.

Conclui-se, consequentemente, que a formulação com termos de ordem 2 pode ser

utilizada sem perder a acurácia quando comparada com a formulação utilizando

termos de ordem 3, pelo menos para as amplitudes de carregamento utilizadas no

estudo de caso em questão.

A Fig. 4.12 ilustra a distribuição de curvatura ao longo do comprimento e do

tempo, para um período, considerando a formulação com termos de ordem 3. Pode-se

verificar que para este estudo de caso, a curvatura máxima sempre ocorre no engaste.

0 5 10 15 20 25

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Cu

rva

tura

no

en

ga

ste

[1

/m]

Tempo [s]

Ordem 1

Ordem 2

Ordem 3

Figura 4.10 – Modelo linear viscoelástico no domínio da frequência (curvatura no

engaste - ordem 1, 2 e 3)

123

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Cu

rva

tura

[1

/m]

Comprimento [m]

Ordem 1

Ordem 2

Ordem 3

Figura 4.11 – Modelo linear viscoelástico no domínio da frequência (envelope-ordem 1,

2 e 3)

Figura 4.12 – Modelo linear viscoelástico no domínio da frequência (distribuição de

curvatura ao longo do tempo – ordem 3)

124

Domínio do tempo x domínio da frequência

Com o objetivo de verificar a validade da formulação matemática desenvolvida

para obtenção da resposta harmônica em regime permanente, comparações com os

resultados obtidos no domínio do tempo são apresentados nas Fig. 4.13-15

considerando diferentes níveis de deformação. O envelope de curvatura ao longo do

comprimento é apresentado para três diferentes condições de carregamento, ou seja,

%)50%,50(%),27%,45(%),10%,10(),( . A análise no domínio do tempo foi

realizada até o instante de 14400 s. utilizando o método dos elementos finitos como

descrito anteriormente. Termos de ordem 3 foram considerados na análise do domínio

da frequência. O envelope no domínio do tempo é obtido considerando a distribuição

de curvatura nos instantes em que ocorre o valor máximo e mínimo de curvatura no

último período de carregamento, ou seja, no intervalo compreendido entre 14375 e

14400 s. Pode-se observar que as melhores correlações entre a solução obtida no

domínio da frequência e do tempo são obtidas, como esperado, para as menores

magnitudes de carregamento, ou seja, %)10%,10(),( . Mesmo para valores

elevados de perturbação, %)50%,50(),( , excelente correlação entre os dois

métodos é obtida, validando, portanto a formulação matemática no domínio da

frequência e o método de solução adotado.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

Cu

rva

tura

[1

/m]

Comprimento [m]

Domínio do tempo (MEF)

Domínio da frequência

Figura 4.13 – Modelo linear viscoelástico no domínio do tempo x frequência (envelope)

%10%,10

125

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

Cu

rva

tura

[1

/m]

Comprimento [m]


Domínio da frequênica


%27%,45

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Cu

rva

tura

[1

/m]

Comprimento [m]


Domínio da frequência


%50%,50

126

A Tab. 4.4, apresentada a seguir, ilustra a diferença percentual observada

entre o valor de curvatura máxima obtida na análise utilizando o modelo no domínio do

tempo e da frequência. A maior diferença (3,36%) ocorre quando se considera as

maiores magnitudes de carregamento, ou seja, parâmetros %)50%,50(),( .

Tabela 4.4 - Comparação entre domínio do tempo e da frequência

[%]),( Dif. percentual [%]

Curvat. Máx. Tempo → Freq.

(10,10) 1,64

(45,27) 2,48

(50,50) 3,36

Efeito da frequência de carregamento e fase na resposta do sistema

viscoelástico

O poliuretano utilizado no enrijecedor, quando submetido a carregamento

harmônico, apresenta dissipação de energia inerente ao seu comportamento

viscoelástico. Consequentemente, diferentes frequências de carregamento impostas

no sistema podem gerar diferentes respostas. Com o objetivo de avaliar esta

influência, a variação da curvatura máxima com a frequência de carregamento

Piwf 2/ é mostrada nas Fig. 4.16-4.18 para quatro valores de fase

( 000 90,45,47,15,0 ) e para três combinações dos parâmetros

%)50%,50(%),27%,45(%),10%,10(),( .

Os resultados demonstram que, para o estudo de caso em questão, quanto

maior a frequência de carregamento, menor será o valor da curvatura máxima. A Tab.

4.5 mostra a variação percentual entre os valores de curvatura máxima obtidos

considerando a frequência de carregamento de 0,02 e 0,5 Hz. Verifica-se que quanto

maior a magnitude de carregamento mais significativa será a diferença da resposta de

curvatura máxima com respeito à frequência de carregamento. Para

%)50%,50(),( e 047,15 , por exemplo, observa-se uma diferença de 2,56%

enquanto para %)10%,10(),( a diferença cai para 0,82%. A variação da fase gera

uma variação mais elevada. Para a frequência de carregamento de 0,04 Hz e

%27%,45 , pode-se observar no gráfico da Fig. 4.17, uma diferença percentual

de aproximadamente 12% entre as fases 0 e 900.

127

0,01 0,1 1

0,270

0,272

0,274

0,276

0,278

0,280

0,282

0,284

0,286

0,288

C

urv

atu

ra m

áxim

a [1

/m]

Frequência [Hz]

900

450

15,470

00

Figura 4.16 – Curvatura máxima x frequência ( %10%,10 )

0,01 0,1 1

0,320

0,330

0,340

0,350

0,360

0,370

0,380

0,390

00

15,470

450

Cu

rva

tura

má

xim

a [1

/m]

Frequência [Hz]

900


128

0,01 0,1 1

0,370

0,380

0,390

0,400

0,410

0,420

0,430

0,440

0,450

0,460

Cu

rva

tura

má

xim

a [1

/m]

Frequência [Hz]

900

450

15,470

00


Tabela 4.5 - Efeito da frequência de carregamento na curvatura máxima

][graus Diferença percentual [%] – Curvat. Máx. 0,02 → 0,5 Hz

%10%,10 %27%,45 %50%,50

0 0,82 2,08 2,55

15,47 0,82 2,07 2,56

45 0,76 1,98 1,82

90 0,59 1,64 2,22

4.3 Análise de enrijecedor viscoelástico não-linear

A formulação matemática considerando a teoria da viscoelasticidade não-linear

no domínio da frequência foi apresentada no item 3.5.2. Para o modelo viscoelástico

linear no domínio do tempo é possível fazer uma comparação direta com o pacote de

elementos finitos Abaqus [12], como apresentado anteriormente no item 4.2.1. Para o

caso não-linear esta comparação não é possível, a não ser que modelos constitutivos

fossem implementados utilizando a sub-rotina UMAT (User Material). Neste trabalho a

129

sub-rotina UMAT não foi implementada para o caso não-linear e, consequentemente,

esta comparação não foi realizada.

A validação da formulação no domínio da frequência foi feita comparando os

resultados obtidos com o modelo no domínio do tempo de forma similar ao que foi

apresentado anteriormente para o caso viscoelástico linear. Observou-se excelente

correlação entre os resultados e a mesma tendência de resposta, ou seja, melhores

correlações para as menores magnitudes de carregamento %)10%,10(),( .

Com o objetivo de simplificar a formulação matemática, sem perder a acurácia

nos resultados, apenas termos de ordem 2 foram utilizados na teoria da perturbação

para o caso não-linear. Como apresentado em 4.2.2 para o modelo viscoelástico

linear, os resultados do estudo de caso apresentado considerando ordem 2 e 3 foram

praticamente idênticos.

Comparação entre o modelo viscoelástico linear x não-linear

Uma comparação de resultados obtidos com o modelo viscoelástico linear e não-

linear no domínio da frequência é feita na Fig. 4.19 e na Tab. 4.6. O gráfico mostra a

variação da curvatura máxima com a frequência de carregamento para três

combinações de parâmetros ),( . Na tabela pode-se observar que quanto maior a

magnitude do carregamento, e consequentemente maior o valor de curvatura e

deformação máxima obtido, mais elevada será a diferença percentual entre os dois

modelos. Para %)10%,10(),( verifica-se uma diferença percentual média de

6,73% enquanto para %)50%,50(),( , 11,65%. Como esperado, quanto maior o

valor de deformação obtido, maior será a diferença entre a resposta do modelo linear e

não-linear. Considerando que a teoria da viscoelasticidade não-linear apresenta a

melhor representação da resposta do poliuretano, pode-se concluir que, caso a

formulação linear seja utilizada para avaliação da resposta mecânica do sistema, esta

deve ser feita com cautela utilizando parâmetros de ajuste que representem a faixa de

comportamento esperada.

Os resultados mostram, ainda, que a influência da frequência de carregamento

na resposta de curvatura máxima apresenta a mesma tendência observada no caso

viscoelástico linear. Embora pouco relevante, quanto maior a frequência de

carregamento, menor será o valor de curvatura máxima obtido como resposta. A

variação da fase implica na mesma tendência observada no caso linear, ou seja,

quanto maior o valor de menor será o valor da máxima curvatura obtida para cada

frequência de carregamento.

130

0,01 0,1 1

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Cu

rva

tura

má

xim

a [1

/m]

Frequência [Hz]

Viscoelástico linear

Viscoelástico não-linear

Figura 4.19 – Comparação viscoelástico linear x não-linear

Tabela 4.6 - Comparação entre modelo viscoelástico linear e não-linear

][HzFrequencia Dif. percentual [%] – Curvat. Máx. linear → não-linear

%10%,10 %27%,45 %50%,50

0,02 6,79 10,04 11,97

0,04 6,76 9,92 11,80

0,08 6,72 9,79 11,61

0,1 6,72 9,76 11,57

0,2 6,70 9,71 11,50

0,5 6,70 9,70 11,48

Comparação entre o modelo viscoelástico não-linear x hiperelástico

Os resultados do estudo de caso apresentados na fase de dimensionamento

mostram a importância da escolha de um módulo de elasticidade adequado para

representar as condições específicas de carregamento que se deseja representar

considerando material elástico. A resposta considerando comportamento não-linear

131

elástico apresentou diferenças significativas quando comparadas com módulos

secantes obtidos para três diferentes níveis de deformação.

Para o caso viscoelástico, as comparações realizadas mostram diferenças

relevantes nos resultados obtidos considerando teoria linear e não-linear. Para os

casos apresentados houve uma variação de curvatura máxima de aproximadamente 6

até 12 % entre as duas formulações, ressaltando o comportamento viscoelástico não-

linear observado no poliuretano.

Os ensaios experimentais realizados mostraram a forte influência da taxa de

carregamento aplicada em um ensaio de tração no resultado da curva tensão x

deformação obtida. Esta dependência da taxa é uma característica intrínseca do

comportamento dependente do tempo e, consequentemente, está incorporada nos

modelos viscoelásticos utilizados, mas não no modelo hiperelástico.

Com o objetivo de verificar a possibilidade de utilização de comportamento

hiperelástico para análise e dimensionamento de enrijecedores à flexão, os resultados

obtidos considerando a formulação viscoelástica não-linear no domínio da frequência

são comparados com os resultados obtidos considerando material não-linear elástico.

Cinco diferentes taxas de deformação são então utilizadas no ajuste viscoelástico não-

linear para obtenção da curva tensão x deformação empregada na análise

hiperelástica.

Os resultados de curvatura no engaste ao longo de um período são mostrados

nas Fig. 4.20-22 comparando a resposta viscoelástica não-linear e hiperelástica para

três diferentes condições de carregamento, ou seja, 047,15 e

%)50%,50(%),27%,45(%),10%,10(),( . Pode-se observar, que para todos os

casos analisados, quanto menor a taxa de carregamento maior será o valor de

curvatura obtido no caso hiperelástico. Para os dois últimos casos, a resposta

hiperelástica obtida com taxa de 0,05 mm/min é a que apresenta melhor correlação

com o comportamento viscoelástico não-linear. Como mostrado na Fig. 4.20, para

%)10%,10(),( , a taxa de 0,005 mm/min é a que apresenta resultados mais

próximos.

A Fig. 4.23 ilustra a diferença percentual de curvatura entre os dois modelos

considerando a taxa de 0,05 mm/min para a curva tensão x deformação utilizada no

modelo hiperelástico. Verifica-se que, inicialmente, os valores de curvatura no engaste

apresentam uma diferença percentual inferior a 5%, enquanto entre 15 e 20 s. a

diferença pode chegar a aproximadamente 24%.

A variação de curvatura, diferença entre o valor máximo e mínimo observado

ao longo de um período de carregamento, é mostrada na Fig. 4.24. Para o caso

132

hiperelástico, a taxa de carregamento utilizada na obtenção da curva tensão x

deformação apresenta uma influência significativa na variação deste parâmetro.

Considerando, por exemplo, os valores obtidos com a menor e maior taxa utilizada no

estudo de caso, observa-se uma diferença percentual de aproximadamente 30%. A

variação de curvatura só coincide com a formulação viscoelástica não-linear para uma

frequência de carregamento específico.

A Fig. 4.25 mostra o envelope para o caso viscoelástico não-linear e para caso

hiperelástico com taxa de carregamento de 0,05 mm/min para o caso de carregamento

%)27%,45(),(

0 5 10 15 20 25

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

0,26

0,28

Cu

rva

tura

no

en

ga

ste

[1

/m]

Tempo [s]


Elástico não-linear [mm/min]

0,005 0,05

5 50 500

Figura 4.20 – Modelo viscoelástico não-linear no domínio da frequência x elástico não-

linear (curvatura no engaste)

133

0 5 10 15 20 25

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35C

urv

atu

ra n

o e

ng

aste

[1

/m]

Tempo [s]



0,005 0,05

5 50 500



0 5 10 15 20 25

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

Cu

rva

tura

no

en

ga

ste

[1

/m]

Tempo [s]



0,005 0,05

5 50 500



134

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

Dif. p

erc

en

tua

l [%

]

Tempo [s]


linear 0,05mm/min (diferença percentual de curvatura ao longo de um período)

0,01 0,1 1

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

500

50

5

0,05

Va

ria

çã

o d

e c

urv

atu

ra [1

/m]

Frequência [Hz]



0,005


linear (variação de curvatura)

135

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

De

form

açã

o [%

]

Comprimento [m]


Elástico não-linear (0,05mm/min)


linear (envelope de deformação)

Os resultados do estudo de caso apresentado, mostram que para fins de

dimensionamento com carregamento extremo, a utilização de comportamento não-

linear elástico pode apresentar resultados muito próximos da teoria viscoelástica não-

linear se uma taxa de carregamento adequada for escolhida. Embora recomendações

não possam ser generalizadas com base em apenas um estudo de caso e um tipo de

poliuretano, a menor taxa utilizada (0,005 mm/min) poderia ser utilizada para

levantamento da curva tensão x deformação pois foi a única que apresentou

resultados conservadores para as três condições de carregamento avaliadas.

Para avaliação de vida à fadiga da estrutura, onde o parâmetro variação de

curvatura é o fator mais importante a ser avaliado, conclusões diferentes são obtidas.

A escolha de uma taxa de carregamento não se torna evidente, pois valores acima e

abaixo da referência viscoelástica são obtidos. Uma variação de cerca de 30% foi

observada entre a menor e maior taxa de carregamento utilizada para determinação

da curva tensão x deformação. Além disso, a frequência de carregamento, apesar de

pequena, influencia a resposta do sistema devido à dissipação de energia do sistema

viscoelástico. Dessa forma recomenda-se o uso da teoria viscoelástica não-linear no

domínio da frequência para avaliação de vida à fadiga da estrutura. Vale ainda

136

ressaltar que o poliuretano do enrijecedor está submetido a diferentes taxas de

carregamento ao longo do comprimento para um ciclo e, consequentemente, a única

forma de se avaliar este fenômeno na resposta é a utilização do comportamento

viscoelástico na formulação do problema. Alguns comentários e recomendações finais

são apresentados a seguir no Capítulo 5.

137

5 CONCLUSÕES

Enrijecedores à flexão ou bend stiffeners são componentes críticos em sistemas

submarinos de produção, onde sua falha pode induzir a falha do duto flexível e

provocar, consequentemente, sérios danos econômicos e ambientais. A crescente

demanda de dutos flexíveis e cabos umbilicais submarinos, no contexto das novas

descobertas de reservas em águas profundas, impulsionam uma melhor compreensão

dos fenômenos que regem a resposta mecânica de enrijecedores para garantir um

projeto mais seguro e menos conservador.

Usualmente são utilizados dois modelos para análise e dimensionamento de

enrijecedores, o global e o local. O primeiro permite a obtenção dos esforços

dinâmicos de tração e ângulo de topo a serem utilizados como condições de contorno

na análise local. O segundo modelo determina a distribuição de tensões e

deformações ao longo do comprimento, obtida utilizando o modelo de viga ou o

método dos elementos finitos quando há necessidade de avaliação de pontos de

concentração de tensões, por exemplo.

Os modelos matemáticos atuais, encontrados na literatura e disponíveis

comercialmente através de programas computacionais, consideram o poliuretano do

enrijecedor com comportamento não-linear elástico e sujeito a condições de

carregamento estático. O sistema duto flexível/enrijecedor está, na verdade, sujeito ao

carregamento ambiental aleatório de ondas, correntes e ventos atuantes na unidade

flutuante de produção e no próprio sistema. Neste trabalho, a forma adotada para

representar o carregamento atuante na estrutura foi à utilização de funções

harmônicas de tração e ângulo de topo incorporadas matematicamente em um modelo

viscoelástico não-linear para obtenção da resposta harmônica em regime permanente

de excitação. Desta forma, tanto a representação das condições de carregamento

como a caracterização do comportamento mecânico do poliuretano reproduzem

melhor a resposta real do sistema.

Devido ao seu comportamento viscoelástico, o poliuretano utilizado na fabricação

de enrijecedores à flexão apresenta resposta mecânica dependente da taxa de

carregamento imposta e, consequentemente, da frequência de oscilação do

carregamento ambiental. Além disso, apresenta dissipação de energia e geração de

calor quando submetido a carregamento oscilatório, ou seja, amortecimento estrutural.

Com o objetivo de caracterizar este comportamento dependente do tempo,

diversos ensaios experimentais de tração e relaxação de tensão foram realizados

utilizando amostras de um tipo específico de poliuretano retiradas de um enrijecedor à

flexão. Os ensaios realizados com um aparato servo-hidráulico de tração/compressão

138

com extensômetro para medida de deformação do corpo de prova foram utilizados

para ajustar os coeficientes da teoria viscoelástica linear e de dois modelos da teoria

não-linear. Os modelos de LEADERMAN [24] e PIPKIN e ROGERS [25] (baseado no

princípio da superposição modificado) foram utilizados para ajuste dos ensaios

experimentais. Os resultados mostraram que o segundo modelo apresentou melhor

correlação numérico-experimental com os ensaios de tração e relaxação de tensões.

Com relação à formulação matemática e obtenção da solução numérica do problema

de valor de contorno, pode-se verificar que as duas representações não-lineares

apresentam o mesmo nível de dificuldade para os modelos no domínio do tempo e da

frequência. Opta-se, consequentemente, pela utilização do modelo baseado no

princípio da superposição modificado para avaliação da resposta viscoelástica não-

linear do enrijecedor à flexão.

O modelo matemático para representar o sistema mecânico composto pelo

enrijecedor à flexão e parte do duto flexível conectado à unidade flutuante de produção

foi formulado considerando a teoria da viscoelasticidade linear e não-linear no domínio

do tempo e da frequência. As hipóteses simplificadoras adotadas e uma discussão de

suas consequências na resposta do modelo de viga foram apresentadas, assim como,

as relações trigonométricas e equilíbrio de forças e momentos utilizados como base da

formulação matemática do problema de valor de contorno. Considerando condições de

carregamento harmônica para representar as séries temporais de tração e ângulo de

topo, utilizou-se a teoria da perturbação para formulação no domínio da frequência.

Dois parâmetros ),( foram utilizados de modo que, uma vez obtida a solução em

torno de um valor médio, a resposta para diferentes variações de tração e ângulo de

topo seja obtida sem a necessidade de resolver novamente o sistema de equações

diferenciais. Esta nova formulação permite a fácil obtenção da resposta dependente da

frequência de carregamento considerando ainda as não-linearidades físicas e

geométricas.

No estudo de caso apresentado, resultados de uma análise dinâmica global

simplificada considerando um duto flexível em catenária livre conectado a um FPSO

operando em condições ambientais típicas da Bacia de Campos, foram utilizados para

obtenção do espaço de projeto representado pelas séries temporais de tração e

ângulo de topo. Aplicando estas séries como condições de contorno do modelo local,

comparações da resposta de curvatura e deformação foram apresentadas utilizando o

comportamento linear elástico, hiperelástico, viscoelástico linear e viscoelástico não-

linear para representar o poliuretano do enrijecedor. A verificação e validação dos

modelos no domínio da frequência foram feitas através dos modelos no domínio do

tempo utilizando a formulação apresentada e o método dos elementos finitos (apenas

139

no caso linear). Além disso, avaliou-se o efeito da frequência de carregamento na

resposta do modelo viscoelástico. A teoria da perturbação utilizando termos de ordem

dois apresentou essencialmente os mesmos resultados da formulação utilizando

termos de terceira ordem no modelo viscoelástico linear no domínio da frequência.

Utilizando apenas termos de segunda ordem, reduz-se significantemente o número de

equações diferenciais não-lineares que governam o problema de valor de contorno. O

sistema cai de sessenta (60) para vinte e oito (28) equações diferenciais. Com base

nestas observações e com o objetivo de simplificar a formulação do modelo não-linear

sem, entretanto, perder sua representatividade, apenas termos de ordem dois foram

utilizados. As principais conclusões e recomendações obtidas com o estudo de caso

são apresentadas a seguir no item 5.1 e, por fim, algumas sugestões para trabalhos

futuros no item 5.2.

5.1 Recomendações finais

Nos resultados apresentados no Cap. 4, entre os modelos avaliados verificou-se

que o único capaz de incluir intrinsecamente a não-linearidade do poliuretano e o

efeito da taxa de carregamento na resposta do sistema foi o viscoelástico não-linear.

Especificamente para o estudo de caso apresentado, a utilização do modelo

hiperelástico com a menor taxa de carregamento, ou seja, 0,005 mm/min apresentou

resultados conservadores quando comparados com o modelo viscoelástico não-linear.

Embora não se possa generalizar uma recomendação com base em apenas um

estudo de caso e considerando um tipo específico de poliuretano, verificou-se que

ensaios de tração realizados com as menores taxas de carregamento disponíveis

tendem a apresentar resultados mais conservadores. Desta forma, caso não seja

possível utilizar o modelo viscoelástico não-linear para o dimensionamento do

enrijecedor à flexão, onde os carregamentos extremos são considerados, deve-se

optar por utilizar uma baixa taxa de carregamento para caracterização experimental da

curva tensão x deformação utilizada no modelo hiperelástico. Não se recomenda a

utilização do modelo linear elástico para determinação final do projeto, podendo,

entretanto, ser utilizado como suporte no processo iterativo inicial ou para fins de

viabilidade econômica devido a sua relativa facilidade de solução numérica.

Para avaliação de vida à fadiga da estrutura, onde se deve avaliar a variação da

deformação ou curvatura em um ciclo, os resultados não apresentaram boa correlação

entre o modelo hiperelástico e viscoelástico não-linear. Consequentemente, para uma

correta avaliação desse fenômeno deve-se utilizar o modelo viscoelástico não-linear

140

no domínio da frequência. Embora, a princípio o modelo no domínio do tempo possa

ser utilizado para este fim, o mesmo não apresenta a mesma facilidade de resolução

numérica quando comparado com o modelo no domínio da frequência. Além disso, o

modelo no domínio da frequência apresenta a vantagem da fácil obtenção da variação

de carregamento em torno de um valor médio. Com a obtenção da resposta do

sistema para um determinado valor médio e diferença de fase, pode-se utilizar os

valores de perturbação ),( para variação da tração e ângulo de topo.

Para o poliuretano utilizado no estudo de caso, a frequência de carregamento

utilizada na tração e ângulo de topo apresentou pouca influência na resposta do

sistema, mas mostrou a tendência de diminuição dos valores máximos de curvatura

obtidos com o aumento da frequência de carregamento. Para materiais com

comportamento viscoelástico mais pronunciado (em temperaturas mais elevadas, por

exemplo) espera-se uma maior influência e, consequentemente, esta avaliação deve

ser feita para cada material específico.

5.2 Sugestões para trabalhos futuros

Algumas sugestões para trabalhos futuros são apresentadas a seguir. Os itens a),

b) e c) podem ser considerados como uma extensão do trabalho apresentado. O item

d) propõe a utilização do comportamento viscoelástico para avaliação de vida à fadiga

da estrutura. Os itens e) e f) são recomendações gerais para trabalhos que podem

contribuir para o melhor entendimento de possíveis modos de falha deste componente

crítico em sistemas de produção offshore.

a) Desenvolvimento de uma metodologia simplificada para caracterização do

comportamento mecânico do poliuretano utilizado na fabricação de

enrijecedores à flexão;

b) Incluir o efeito da temperatura nos modelos viscoelásticos apresentados, uma

vez que a resposta do poliuretano apresenta forte dependência deste

parâmetro;

c) Desenvolvimento de modelo acoplado de análise termo-mecânica em que o

aumento da temperatura devido a carregamento harmônico altere as

141

propriedades mecânicas do poliuretano que por sua vez irá apresentar

comportamento dissipativo diferente;

d) Avaliação da vida à fadiga do enrijecedor à flexão considerando o

comportamento viscoelástico do poliuretano e desenvolvimento de metodologia

de análise baseado nos conceitos de mecânica da fratura;

e) O contato entre a capa externa da linha flexível e a parte interna do enrijecedor

pode gerar desgaste nos mesmos. Um modelo matemático para estimar a

distribuição das pressões de contato pode ser utilizado para, em conjunto com

estudos tribológicos, melhor compreender este modo de falha. Ensaios

experimentais e modelos em elementos finitos podem ser utilizados para

verificação do modelo matemático desenvolvido.

f) A conicidade do enrijecedor à flexão leva a uma variação de rigidez ao longo

do comprimento devido à diminuição de espessura até sua extremidade. A

ovalização que ocorre nesta região quando o riser é submetido a

carregamentos extremos deve ser avaliada considerando dois critérios: i) efeito

desta ovalização na resposta do sistema linha flexível/enrijecedor. Esta

avaliação pode ser feita através de uma análise em três dimensões utilizando o

método dos elementos finitos e comparada com os resultados obtidos

utilizando o modelo simplificado de viga; ii) resistência ao rasgamento do

poliuretano nesta região na presença de falhas, utilizando os conceitos de

mecânica da fratura.

g) Testes em escala real com aparato de fadiga para avaliar o aquecimento do

material devido a carregamento cíclico, característica do comportamento

viscoelástico, e avaliação do contato entre o enrijecedor à flexão e o duto

flexível utilizando filme sensível à variação de pressão.

142

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Elsevier, 2005.

[2] Technip, Engineering and technologies – Flexible pipe, Disponível em:

<http://www.technip.com/en/entities/flexi-france/flexi-france-technology>

Acesso: 27 de maio de 2011.

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Flexíveis e Cabos Umbilicais Submarinos, COPPE/UFRJ, 2005.

[4] LEMOS, C.A.D., Análise de fadiga em risers flexíveis. Tese de

D.Sc.,COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2005.

[5] API SPECIFICATION 17J, Specification for Unbonded Flexible Pipe, 2nd ed.,

2002.

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uma abordagem analítica e experimental, Tese de livre docência, Escola

Politécnica, USP, São Paulo, SP, Brasil, 1997.

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bend restrictor”. In: Proceedings of the Offshore Technology Conference, OTC

6436, pp. 131-142, Houston, May 1990.

[8] SØDAHL, N., LARSEN, C.M., “Design procedure for bending stiffener in flexible

riser systems”. In: Proceedings of the International Symposium on Practical

Design of Ships and Other Floating Structures, PRADS, Varna, 1989.

[9] LANE, M., McNAMARA, J.F., GIBSON, R., et al. “Bend stiffeners for flexible

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345-353, Houston, May 1995.

[10] CAIRE, M., VAZ, M.A., “Análise de enrijecedores à flexão: efeito da relação bi-

linear momento fletor x curvatura da linha flexível”. In: 21º Congresso Nacional

de Transportes Marítimos, Construção Naval e Offshore, SOBENA, Rio de

Janeiro, Brasil, Novembro 2006.

[11] CAIRE, M., VAZ, M.A., “The effect of flexible pipe non-linear bending stiffness

behavior on bend stiffener analysis”. In: Proceedings of the 26th International

http://www.technip.com/en/entities/flexi-france/flexi-france-technology

143

Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, OMAE 2007, San

Diego, California, USA, June 2007.

[12] SIMULIA, ABAQUS 6.8, 2008.

[13] CAIRE, M., Análise de Enrijecedores à Flexão. Dissertação de M.Sc.,

COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2005.

[14] VAZ, M., LEMOS, C.A.D, CAIRE, M., “A nonlinear analysis formulation for bend

stiffeners”, Journal of Ship Research, v. 51, n. 3, pp. 250-258, 2007.

[15] CAIRE, M., VAZ, M.A., LEMOS, C.A.D., “Viscoelastic analysis of bend

stiffeners”. In: Proceedings of the 27th International Conference on Offshore

Mechanics and Arctic Engineering, OMAE2008-57464, Estoril, Portugal, June

2008.

[16] VAZ, M., CAIRE, M., GOMEZ, A.A, FARIAS, L.F.A., “Bend stiffener linear

viscoelastic response subjected to harmonic loading”. In: Proceedings of the

20th International Congress of Mechanical Engineering, Gramado, Rio Grande

do Sul, Brasil, 2009.

[17] MENICONI, L.C.M., LOPES, T.A.P., “Fatigue analysis of bend stiffeners”. In:

Proceedings of the International Conference on Offshore Mechanics and Arctic

Engineering, OMAE2001/OFT-1215, Rio de Janeiro, Brazil, June 2001.

[18] DEMANZE, F., HANONGE, D., CHALUMEAU, A., LECLERC, O., “Fatigue

analysis of polyurethane bending stiffeners”, In: Proceedings of the 24th

International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering,

OMAE2005-67506, Halkidiki, Greece, June 2005.

[19] VAZ, M., CAIRE, M., “On the large deflections of linear viscoelastic beams”,

International Journal of Non-Linear Mechanics, v. 45, pp. 75-81, 2010.

[20] MANO, E.B., Polímeros como Materiais de Engenharia. São Paulo, Editora

Edgard Blücher, 2000.

[21] WINEMAN, A. S., RAJAGOPAL, K.R., Mechanical response of polymers –

An introduction. 1 ed. Cambridge University Press, 2000.

[22] CHRISTENSEN, R. M., Theory of Viscoelasticity. 2 ed. New York, Dover

Publications, 1982.

[23] FINDLEY, W. N., LAI, J. S., ONARAN, K., Creep and relaxation of nonlinear

viscoelastic materials. 1 ed. Hungary, North-Holland Publishing Company,

1976.

144

[24] LEADERMAN, H., “Elastic and creep properties of filamentous materials”,

Textile Foundation, Washington D.C., 1943.

[25] PIPKIN, A.C., ROGERS, T.G., “A non-linear integral representation for

viscoelastic behavior”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v.

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[26] GREEN, A., RIVLIN, R., “The mechanics of non-linear materials with memory I”.

Archive for Rational and Mechanical Analysis, v.1, pp. 1-21, 1957.

[27] SCHAPERY, R.A., “On the characterization of nonlinear viscoelastic materials”,

Polymer Engineering and Science, v. 9, pp.295-310, 1969.

[28] SMART, J., WILLIAMS, J.G., “A comparison of single integral non-linear

viscoelasticity theories”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v.

20, pp. 313-324, 1972.

[29] LOCKETT, F.J., “Creep and stress relaxation experiments for non-linear

materials”, International Journal of Engineering Science, v. 3, pp. 59-75,

1965.

[30] GRADOWCZYK, M.H., “On the accuracy of the Green-Rivlin representation for

viscoelastic materials”, International Journal of Solids and Structures, v. 5,

pp. 873-877, 1969.

[31] NAKADA, O., “Theory of non-linear responses”, Journal of the Physical

Society of Japan, v. 15, pp. 2280, 1960.

[32] GOTTENBERG, W.G., BIRD, J.O., AGRAWALL, G.L., “An experimental study

of a non-linear viscoelastic solid in uniaxial tension”, Journal of Applied

Mechanics, v. 36, pp. 558, 1969.

[33] NOLTE, K.G., FINDLEY, W.N., “Multiple step nonlinear creep of polyurethane

predicted from constant stress creep by three integral representations”,

Transactions of the Society of Rheology, v. 15, pp. 111, 1971.

[34] ASTM D-2990, Standard Test Methods for Tensile, Compressive and Flexural

Creep and Creep-Rupture of Plastics.

[35] ASTM D-638, Standard Test Method for Tensile Properties of Plastics

[36] WOLFRAM RESEARCH, Mathematica v 6.0, Illinois, United States, 2007.

[37] MARINTEK, RIFLEX 3.6 – Program documentation, Trondheim, Norway,

2008.

145

ANEXO I – AJUSTE DOS ENSAIOS DE RELAXAÇÃO (PSM)

Para o modelo viscoelástico não-linear baseado no princípio da superposição

modificado (PSM), a primeira etapa do ajuste consiste em, utilizando o método

iterativo não-linear dos mínimos quadrados, obter os nove coeficientes

( 4,3,2,1,43210 ,,,,,,,, RRRRMMMMM ) da resposta de tensão média definida a seguir,

4,

4

3,

3

2,

2

1,

10

6

1

expexpexpexp

6/)(

)(

R

M

R

M

R

M

R

MM

i i

iMedio

tttt

tt

(AI.1)

O objetivo deste ajuste é determinar valores médios para os tempos de

relaxação 3,2,1, ,, RRR e 4,R . Estes valores são então utilizados no ajuste dos

históricos de tensão, obtidos como resposta do ensaio de relaxação, para cada um

dos seis níveis de deformação aplicados ( 6,..,1i ). O programa computacional

Mathematica [36] foi utilizado para obtenção dos tempos de relaxação, sendo estes

apresentados anteriormente na Tab. 2.4.

A Eq. (AI.2) apresenta os cinco coeficientes que determinam a resposta de

tensão com o tempo, iiii 3210 ,,, e i4 , e devem ser calculados para cada nível de

deformação aplicado ( 6,..,1i ). Os resultados do ajuste são apresentados

graficamente nas Fig. AI.1-6 e os valores dos coeficientes na Tab. AI.1.

4,

4

3,

3

2,

2

1,

10 expexpexpexp)(R

i

R

i

R

i

R

iii

ttttt

(AI.2)

Tabela AI.1 - Coeficientes de ajuste da função tensão

[%]Def i ][0 MPai ][1 MPai ][2 MPai ][3 MPai ][4 MPai

2,5 1 1,175 0,247 0,126 0,085 0,110

5,0 2 2,160 0,342 0,177 0,113 0,129

7,5 3 2,701 0,454 0,231 0,153 0,149

10,0 4 2,975 0,541 0,269 0,167 0,191

20,0 5 3,810 0,785 0,394 0,237 0,272

30,0 6 4,297 0,971 0,495 0,289 0,332

146

Os vinte coeficientes kmG ( 4,..,0m e 4,..,1k ) que determinam as quatro

funções de relaxação, )4,..,1()( ktGk, apresentadas anteriormente na Eq. (2.111),

são obtidos ajustando diretamente a curva formada pelos coeficientes da função

tensão versus os seis níveis de deformação iim x ( 4,..,0m e 6,..,1i ), de acordo

com a seguinte relação,

4

4

3

3

2

21 imimimimim GGGG (AI.3)

As Fig. AI.7-11 mostram os pontos que formam as curvas iim x e o resultado

dos ajustes utilizando a função polinomial da Eq. (AI.3). Os valores dos coeficientes

foram anteriormente apresentados na Tab. 2.4 e podem, também, ser observados nos

gráficos.

1 10 100 1000 10000

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

Te

nsã

o [M

Pa

]

Tempo [s]

Def. = 2,5 %

Ensaio

Ajuste

Figura AI.1 – Resposta e ajuste de tensão para deformação 2,5 %

147

1 10 100 1000 10000

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0Def. = 5,0 %

Ensaio

AjusteT

en

sã

o [M

Pa

]

Tempo [s]


1 10 100 1000 10000

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6Def. = 7,5 %

Ensaio

Ajuste

Te

nsã

o [M

Pa

]

Tempo [s]


148

1 10 100 1000 10000

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0Def. = 10,0 %

Ensaio

AjusteT

en

sã

o [M

Pa

]

Tempo [s]


1 10 100 1000 10000

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4Def. = 20,0 %

Ensaio

Ajuste

Te

nsã

o [M

Pa

]

Tempo [s]


149

1 10 100 1000 10000

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6,0

6,3Def. = 30,0 %

Ensaio

AjusteT

en

sã

o [M

Pa

]

Tempo [s]


0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0

i -

Te

nsã

o [M

Pa

]

i - Deformação [mm/mm]

0 i

x i (i=1,..,6)

Ajuste

57,93.- 394,6.

+ 1305,91.

- 1579,21.

Figura AI.7 – Ajuste dos coeficientes ][0 MPaG k

150

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1 i

x i (i=1,..,6)

Ajuste

9,15.- 53,12.

+ 175,87.

- 214,45.

1

i -

Te

nsã

o [M

Pa

]



0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

2 i x

i (i=1,..,6)

Ajuste

4,78.- 29,83.

+ 103,65.

- 129,80.

2

i -

Te

nsã

o [M

Pa

]



151

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

3 i x

i (i=1,..,6)

Ajuste

3,21.- 21,71.

+ 76,59.

- 96,93.

3

i -

Te

nsã

o [M

Pa

]



0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35 4 i

x i (i=1,..,6)

Ajuste

3,43.- 21,94.

+ 76,58.

- 97,17.

4

i -

Te

nsã

o [M

Pa

]



152

ANEXO II – COEFICIENTES DA FUNÇÃO CORTANTE

COEFICIENTES iA

10 A

0

0

0

1

4

3

2

1

A

A

A

A

)()sin()()()cos()(

)()sin()()()cos()(

)()sin()()()cos()(

)()()sin(2)()()cos(2)2cos(

)()sin()()cos(

)()()sin(2)()()cos(2

)()(

)()(

)()(

40230121

40130221

40230121

2

440

2

330

2

041

403021

2

440

2

330

2

041

2

2

2

141

2121

2

2

2

141

13

12

11

10

9

8

7

6

5

ssss

ssss

ssss

ssss

ss

ssss

ss

ss

ss

A

A

A

A

A

A

A

A

A

LL

LL

LL

LLL

LL

LLL

)()(2)(2)()(

)()(2)(4)()()(

)()(2)(2)(2)()(

)(4)(8)(3)()(4)()(

7262141

72622

2

181

75262141

751162281

17

16

15

14

sssss

ssssss

ssssss

sssssss

A

A

A

A

153

)()()()(

)()cos()()sin(

)()()()(

)()sin()()cos(

)()()(2)()(

)()cos()(2)()sin(

)()()(2)()(

)()sin()(2)()cos(

9310421

921

1021

0

9410321

921

1021

0

93810421

921

81021

0

94810321

921

81021

0

21

20

19

18

ssss

ss

ssss

ss

sssss

sss

sssss

sss

A

A

A

A

L

L

L

L

)()(2)()(2

)()()()()()(2)()(2

)(2)()sin()(2)()cos(

)()(2)()(2

)()()()()()(2)()(2

)(2)()cos()(2)()sin(

)()(2)()(2)()(4)()(

)()()()(2)()(4)()(2

)(2)(4)()sin()(2)()cos(

)()(2)()(2)()(4)()(

)()(3)()(2)()(2)()(4

)(2)(4)(3)cos()(2)()sin(

7463

4132132121

41

7141

6241

0

7364

4231122131

41

7141

6241

0

74635441

32132112121

41

75141

6241

0

73645342

31212131111

41

75141

6241

0

25

24

23

22

ssss

ssssssss

ssss

ssss

ssssssss

ssss

ssssssss

ssssssss

sssss

ssssssss

ssssssss

sssss

A

A

A

A

L

L

L

L

154

)cos()sin()()(2)()(

)()(2)()(2)()(2

)()(2)cos()()(2)sin(

)2cos()()(4)(

)()(4)()()(4)()(4

)()(2)sin()()(2)cos(

)2sin()()(4)()(8)()(4

)()(2)()(4)()(8)()(4

)()(2)cos()()(2)(4)sin(

)2cos(2)()(4)()(8)()(4)(

)()(4)(3)()(4)()(8

)()(2)sin()(3)(2)(4)cos(

2

041

9143

134123102

41

41241

31341

0

2

081

92

2

4

124

2

3133101

81

41241

31341

0

2

081

9182102

43134114123

81

41241

3131141

0

2

081

9281101

2

4

124

2

3133113

81

41241

3131141

0

29

28

27

26

L

L

L

L

L

L

L

L

ssss

ssssss

ssss

sss

sssssss

ssss

ssssss

ssssssss

sssss

sssssss

sssssss

sssss

A

A

A

A

155

COEFICIENTES iB

00 B

)()sin(

)()cos(

)(

)(

40

30

2

1

4

3

2

1

s

s

s

s

B

B

B

B

L

L

)()(2)cos(

)()(2)sin(

)()(2)cos(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)()(

313021

412021

311021

10

9

8

7121

6221

5121

13

12

11

10

9

8

7

6

5

ss

ss

ss

s

s

s

ss

ss

ss

B

B

B

B

B

B

B

B

B

L

L

L

)(24)(12)()()(3

)(24)(12)()(3)(

)(8)(4)()()(

)(8)(4)(8)()()(

176

3

22

2

1241

167

2

21

3

1241

156

3

22

2

181

1475

2

21

3

181

17

16

15

14

sssss

sssss

sssss

ssssss

B

B

B

B

156

)()(3)()(24)2cos()()2sin()(

)(3)(3)sin()()()cos()3sin(

)()(3)()(24)2sin()()2cos()(

)(3)(3)cos()()()sin()3cos(

)sin()()()()(8

)()cos()sin(2)()cos(2)(

)(3)()sin()()()cos(

)cos()()()()(8

)()cos()sin(2)()cos(2)(

)()(3)cos()()()sin(

4

2

3

3

421241

43

2

081

2

4

2

3241

4341

0

3

0241

2

43

3

320241

43

2

081

2

4

2

3241

4341

0

3

0241

3

0813

44

2

31981

44

2

4

2

081

2

4

2

381

4341

0

3

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