MODELO DE CONFIABILIDADE ASSOCIANDO DADOS DE GARANTIA E ... · MODELO DE CONFIABILIDADE ASSOCIANDO DADOS DE GARANTIA E PÓS-GARANTIA A TRÊS COMPORTAMENTOS DE FALHAS Gilberto Tavares

MODELO DE CONFIABILIDADE ASSOCIANDO DADOS DE GARANTIA E PÓS-GARANTIA A TRÊS COMPORTAMENTOS DE

FALHAS

Gilberto Tavares dos Santos Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção – UFRGS Av. Osvaldo Aranha, 99 – 5° andar, 90035-190 - Porto Alegre– RS

e-mail: [email protected]

Flávio Sanson Fogliatto Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção – UFRGS Av. Osvaldo Aranha, 99 – 5° andar, 90035-190 - Porto Alegre– RS

e-mail: [email protected]

Marvin Rausand Department of Production and Quality Engineering – Norwegian University of Science and

Technology S. P. Andersens veg 5 – NO 7491 Trondheim, Norway

email: [email protected]

RESUMO Neste artigo, apresenta-se um modelo de confiabilidade estatística para representar o

ciclo de vida de um produto utilizando três distribuições de probabilidade: duas distribuições de Weibull, com dois e três parâmetros, associadas a falhas prematuras e por desgaste, respectivamente, e uma distribuição exponencial, associada a falhas aleatórias. Falhas prematuras e por desgaste ocorrem seqüencialmente, enquanto falhas aleatórias são concorrentes às falhas prematuras e por desgaste, tão logo o produto seja colocado em operação. Para representar o ciclo de vida do produto são utilizados dados coletados durante o período de garantia e pós-garantia. Dados de garantia são registros históricos do produtor. Dados pós-garantia são informações obtidas de especialistas, pois esses dados apresentam elevado nível de censura. Estimadores de máxima verossimilhança e medidas de confiabilidade são apresentados para definir o perfil do modelo proposto.

PALAVRAS CHAVE. Modelo de confiabilidade, Censura, Opinião de especialistas.

ABSTRACT In this paper we present a reliability model to represent a product’s life cycle using

three probability distributions: two Weibull distributions with two and three parameters, associated with premature and wear-out failures respectively, and an exponential distribution, associated with random failures. It is considered that wear-out and premature failures are in sequence, while random failures occur at the same time as premature and wear-out failures as soon as the product is put into operation. To measure each period related to the three failure modes data from warranty and after warranty period are used. Warranty data are historical records and post-warranty data are collected from expert opinions in consideration that after warranty data are highly censored. Reliability equations and maximum likelihood estimators are derived for the new model.

KEYWORDS. Reliability model. Censoring. Expert opinion.

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 851

1. Introdução O desempenho de um produto normalmente é associado, por parte dos consumidores, a

sentimentos de fidelidade e segurança à marca desejada, já que a confiabilidade raramente é percebida quantitativamente. Matematicamente, a confiabilidade é a probabilidade de um produto operar sem falhas por um determinado período de tempo e sob as condições previamente definidas quando da elaboração do seu projeto (RAUSAND e HØYLAND, 2004). Para suprir a não percepção quantitativa sobre o desempenho de um produto, a confiabilidade fica associada muitas vezes ao seu período de garantia. A garantia é um acordo formal que o produtor assume diante do comprador com relação a suprir necessidades surgidas por falhas involuntárias ocorridas durante um tempo pré-determinado (MURTHY e BLISCHKE, 2006). Por consequência, garantia e confiabilidade podem ser consideradas variáveis diretamente proporcionais, pois quanto maior for o prazo de garantia de um produto possivelmente maior será a confiabilidade durante esse período.

Para realizar análises de confiabilidade, as empresas devem dispor de dados de desempenho do produto, normalmente falhas ocorridas. Todavia, a mensuração e tipificação de falhas não é tarefa trivial, principalmente porque o acompanhamento das falhas ocorre com maior freqüência durante o período de garantia, quando compradores retornam mais assiduamente ao produtor para corrigir possíveis problemas no produto adquirido. Não obstante a existência dos dados de falhas, um acompanhamento de desempenho com predominância sobre o período de garantia impõe restrições às análises de confiabilidade, pois, nesse período, falhas de produção e falhas ocasionais têm maior incidência que as falhas por desgaste; estas últimas, assim, acabam não recebendo monitoramento sistemático por parte dos produtores.

As falhas não acompanhadas sistematicamente caracterizam o nível de censura dos dados e são expressas em valores bem elevados se comparadas às quantidades de falhas factualmente registradas. Para superar a limitação da censura nos dados de garantias, o ideal é representar o ciclo de vida de um produto, a fim de caracterizar um perfil completo das quantidades e mecanismos de falhas ocorridos.

Um dos caminhos mais adequados para sistematizar o desempenho de um produto é estabelecer modelos que representem a ocorrência das falhas no decorrer da sua vida. A maior parte dos modelos, entretanto, realiza inferências sobre a vida de um produto a partir dos dados de garantia, incorporando o fator censura dos dados por um ajuste matemático. Como conseqüência desse ajuste, erros de avaliação e informação limitada sobre unidades sobreviventes podem ser cometidos tanto maior o nível de censura dos dados. Por isso, é preciso buscar alternativas que representem o ciclo de vida de um produto da maneira mais realista possível como forma de conhecer um produto e providenciar melhorias no seu desempenho.

O objetivo deste artigo é propor um modelo de confiabilidade para analisar um conjunto de dados de vida de produtos oriundos do período de garantia, fornecidos pelo produtor, e dados pós-garantia, obtidos de especialistas. O modelo propõe o seqüenciamento entre falhas prematuras e por desgaste, e a concorrência entre falhas aleatórias com falhas prematuras e por desgaste. A representação matemática do modelo associa três distribuições de probabilidade: duas distribuições de Weibull, com dois e três parâmetros, vinculadas às falhas prematuras e por desgaste, e uma distribuição exponencial, relacionada às falhas aleatórias. O modelo pressupõe que no período inicial de operação do produto falhas prematuras e aleatórias tenham prevalência; após um limite a ser determinado, falhas aleatórias e por desgaste passariam a predominar.

O modelo contribui para a compreensão de dois problemas muito evidentes em estudos quantitativos de confiabilidade: (i) caracterizar os tipos de falhas no decorrer do tempo, e (ii) substituir o elevado nível de censura nos dados de garantia. Além disso, o detalhamento do modelo permite: (i) definir as suas principais medidas de confiabilidade tais como função de densidade de probabilidade, função distribuição, função confiabilidade, tempo médio até a ocorrência de uma falha e função de risco, (ii) estimar os parâmetros gráfica e matematicamente, e (iii) aplicar técnicas estatísticas para ajuste de dados. A validação da aplicabilidade do modelo foi realizada analisando dados de vida de um componente de aparelhos de ar-condicionado; por limitações de espaço, o caso prático não será abordado neste artigo.


2. Fundamentação teórica Esta revisão bibliográfica é organizada em dois tópicos: (i) modelos teóricos

univariados de confiabilidade, e (ii) propostas para modelagens de dados de garantia. Quando as falhas de um produto são decorrentes de diferentes origens, os dados

correspondentes são considerados de alta complexidade e requerem mecanismos específicos de tratamento. O modelo a ser escolhido deve considerar as distribuições de probabilidade relativas aos tipos de falhas mais perceptíveis quantitativamente e seus comportamentos de ocorrência (BLISCHKE e MURTHY, 2000; ELSAYED, 1996; MEEKER e ESCOBAR, 1998).

Os principais modelos univariados (uma única variável é considerada na análise; no caso deste artigo é o tempo até ocorrência de uma falha - TTF ou time to failure) que associam pelo menos duas distribuições de probabilidade são classificados em: (i) modelos de riscos concorrentes, (ii) modelos seccionais, (iii) modelos multiplicativos, e (iv) modelos de mistura de distribuições (BLISCHKE e MURTHY, 2000; JIANG e MURTHY, 1995).

O modelo de riscos concorrentes considera que um produto pode falhar devido a uma de k causas simultâneas. Se a falha é devida à causa i, ocorrida no tempo iX , após o produto ter sido colocado em funcionamento, X é o tempo até a falha do sistema, i.e., ( )1min , , ki

X X X= K .

Por isso, o modelo de riscos concorrentes é considerado como um sistema em série (BLISCHKE e MURTHY, 2000; MEEKER e ESCOBAR, 1998; NELSON, 1982). A expressão matemática de um modelo de riscos concorrentes é apresentada na equação (1) (JIANG e MURTHY, 1995):

( ) ( ) ( )1 2TR t R t R t= × (1)onde ( )1R t , ( )2R t e ( )TR t representam, respectivamente, as funções de confiabilidade do conjunto de dados caracterizadas por tipo de falha, e a função de confiabilidade total do sistema.

Os modelos seccionais buscam analisar a ocorrência de falhas associadas a distribuições de probabilidade seqüenciadas, quando o mecanismo de degradação muda após certo tempo (MURTHY e JIANG, 1997). A expressão matemática de um modelo seccional é apresentada pela associação entre duas distribuições de probabilidade, isto é (JIANG e MURTHY, 1995):

( ) ( )( )

1 1

2 1

0T

R t t tR t

R t t t⎧ ≤ ≤⎪= ⎨ < < ∞⎪⎩

(2)

onde 1t é o tempo delimitador da predominância de falhas entre ( )1R t e ( )2R t , e que garante

a continuidade de ( )TR t . Os modelos multiplicativos consideram que, na presença simultânea de todas as k

causas, se a falha é devida à causa i, ocorrida no tempo iX , o tempo até falha do sistema é ( )1max , , ki

X X X= K . Uma rede elétrica composta por dois componentes conectados em paralelo

exemplifica um produto caracterizado pelo modelo em questão, o qual é dado pela seguinte equação (JIANG e MURTHY, 1995):

( ) ( ) ( )1 2TF t F t F t= × (3)onde ( )1F t , ( )2F t e ( )TF t representam, respectivamente, as funções distribuição do conjunto de dados caracterizados por tipo de falha e a função distribuição total do modelo.

Os modelos de mistura são representados por uma ponderação aditiva entre as distribuições relativas aos tipos de falhas caracterizados, sendo que a sua expressão matemática é dada pela equação (4):

( ) ( )1

k

i i ii

f t p f t θ=

= ∑

(4)

onde ( )i if t θ representa a função de densidade de probabilidade da i-ésima população, dentre k

populações, com vetor de parâmetros iθ e ip tal que 1

1kii

p=

=∑ e 0ip > . Uma aplicação desse tipo de modelo relaciona-se à delimitação de múltiplos modos de falhas em um produto. No


caso, k é o número de modos de falhas e ip representa a proporção de itens que falham devido ao i-ésimo modo de falha (BLISCHKE e MURTHY, 2000; MEEKER e ESCOBAR, 1998; NELSON, 1982).

As abordagens que tratam de modelos em confiabilidade estatística relacionam-se à aplicação de métodos não-paramétricos e paramétricos. Os métodos não-paramétricos deixam de apresentar qualquer suposição sobre os dados analisados, buscando, de forma empírica, identificar um padrão de comportamento para esses dados. Os métodos paramétricos buscam associar o conjunto de dados a uma distribuição de probabilidade conhecida de forma a identificar os parâmetros dessa distribuição e configurar o modelo a ser definido (RAUSAND e HØYLAND, 2004).

A utilização de métodos não paramétricos foi introduzida por Kaplan e Meier (1958) com o propósito de estimar a função confiabilidade no contexto da análise de dados truncados oriundos de experimentos médicos. Na seqüência, Turnbull (1976), Woodroofe (1985) e Wang (1989) realizaram trabalhos similares, cujas propostas se diferenciaram na apresentação dos algoritmos para estimar as respectivas funções de confiabilidade.

Na utilização de métodos paramétricos, Gertsbakh e Friedman (1980) apresentaram um modelo associando uma distribuição exponencial para modelar falhas prematuras e uma Weibull para representar falhas por desgaste. Os autores aplicaram o método de máxima verossimilhança para estimar os parâmetros do modelo com a suposição de que os tempos exatos de falhas eram conhecidos e as unidades suscetíveis a ambos os modos de falhas (modelo do tipo mínimo, precursor ao de riscos concorrentes).

Leemis (1995) propôs um modelo de mistura de distribuições em um contexto onde TTFs eram observados a partir da incidência de diversos modos de falhas, atuando isoladamente, ou em conjunto, sobre um produto. Tal modelo é definido pela aplicação da equação (4). Em sua exposição, Leemis (1995) pressupõe ser possível estimar iθ a partir de amostras de cada população; ou seja, ( )f t é determinado por aplicação direta da referida equação.

Cacciari et al. (1995) trataram do problema de dados descritos por modelos de misturas de distribuições de Weibull no contexto de sistemas de isolamento elétrico, onde esse tipo de dado costuma ocorrer com freqüência. Sua abordagem utiliza um procedimento numérico iterativo para a determinação dos parâmetros do modelo.

Jiang e Murthy (1995) associaram duas distribuições de Weibull, utilizando modelos teóricos seccionais, multiplicativos e de riscos concorrentes. Os autores elaboraram WPPs (Weibull Probability Plots - papel de probabilidade de Weibull) para analisar o ajuste de dados coletados aos modelos teóricos. A associação entre assíntotas geradas em cada WPP permitiu estimar os parâmetros dos modelos.

Chan e Meeker (1999) apresentaram um modelo GLFP (General Limited Failure Population - modelo geral de falhas limitadas) para casos em que uma população pode ser dividida em duas subpopulações: a primeira, compreendendo uma fração p da população sujeita à influência de dois riscos concorrentes (falhas prematuras e por desgaste) e a segunda, compreendendo o restante da população ( )1 p− e influenciada apenas por falhas por desgaste. Os autores utilizaram distribuições de Weibull e lognormal associadas às falhas prematuras e por desgaste, respectivamente, na análise do período de garantia de circuitos integrados. O método da máxima verossimilhança é utilizado para estimar os parâmetros de cada distribuição e da fração p da população. A idéia predominante é a de que quanto mais conhecidos forem os tipos de falhas, melhores serão as previsões relativamente ao desempenho do produto. Para tanto, os autores utilizam WPPs a fim de configurar o comportamento dos dados no decorrer do tempo e verificar tendências para o período pós-garantia. Os autores constataram a imprecisão nas previsões após o término da garantia do produto, devido ao elevado nível de censura dos dados (98%).

Nair et al. (2001) propõem uma abordagem bayesiana para modelar dados mistos provenientes das duas fases iniciais, de mortalidade infantil e de vida útil, da curva da banheira. Os autores, todavia, consideraram ser possível obter tal modelo a partir da mistura de duas distribuições exponenciais, apesar de uma mistura de duas distribuições de Weibull ser


notoriamente a opção mais adequada. Similar à abordagem de Nair et al. (2001), em que duas distribuições exponenciais estão misturadas, Park e Kulasekera (2004) desenvolveram um método inferencial paramétrico para dados mistos. Os autores calcularam estimadores de máxima verossimilhança utilizando dados estratificados em grupos, de acordo com o modo de falha dominante, e propuseram, posteriormente, procedimentos de ajustes gráficos.

Zhang e Ren (2002) complementaram a análise de Jiang e Murthy (1995) e estabeleceram WPPs para modelos em que três distribuições de Weibull são combinadas. Por meio da elaboração dos WPPs, estimativas gráficas de parâmetros são apresentadas. As análises gráficas realizadas permitem comprovar um ajuste exeqüível de dados, porém os autores reconhecem a necessidade de realizar estudos similares em modelos cujas distribuições não sejam exclusivamente as de Weibull.

Majeske (2003) propõe um modelo de mistura Uniforme-Weibull em que falhas prematuras e por uso são observadas durante o período de garantia de veículos. Trata-se de um modelo de mistura de distribuições em que os tipos de falhas necessitam estar muito bem caracterizados no decorrer do tempo, haja vista que a definição percentual de falhas e associação às distribuições utilizadas é determinante para estimar os parâmetros do modelo. Para validá-lo, o autor apresenta um gráfico em que a ( )h t definida é sobreposta ao conjunto de dados coletados, a fim de verificar o ajuste dos dados ao modelo proposto.

Chukova et al. (2004) analisaram dados de garantia originados de produtos submetidos a reparos imperfeitos. O conjunto de dados analisados era composto por tempos-até-falha de produtos (i) não submetidos a qualquer reparo, e (ii) submetidos a reparos imperfeitos.

3. Modelo proposto O modelo proposto pressupõe a ocorrência simultânea de falhas prematuras e aleatórias

(distribuição de Weibull com dois parâmetros e uma distribuição exponencial, respectivamente), até um tempo a ser estimado ( 0t ) e, após esse tempo, a ocorrência simultânea de falhas aleatórias e por desgaste (distribuição exponencial e de Weibull com três parâmetros, respectivamente). Trata-se de um modelo seccional em que riscos concorrem entre si.

A expressão matemática do modelo fica representada pela equação (5):

( )( ) ( )

( ) ( ){ }0 1

21

0 1 0

1 2 2 0

exp / exp / , 0

exp / exp ,T

t t t tR t

t t t t

β β

ββ

η η

η γ η

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− × − ≤ ≤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪= ⎨

⎡ ⎤⎪ ⎡ ⎤− × − − < < ∞⎣ ⎦⎣ ⎦⎩

(5)

onde: t representa o tempo de ocorrência de uma falha (TTF); , 0, 1, 2i iη = , representa o parâmetro de escala de uma distribuição exponencial para 1n , de uma distribuição de Weibull com dois parâmetros para 0n e de três parâmetros para 2n ; , 0, 1, 2i iβ = , representa o parâmetro de forma de uma distribuição exponencial para 1β , de uma distribuição de Weibull com dois parâmetros para 0β e de três parâmetros para 2β ; e 2γ é o parâmetro de localização da distribuição de Weibull com três parâmetros. Para aplicação do modelo, exige-se que

0 1 21 , 1, 1β β β< = > , ou seja, 0 1 2β β β< < e 0 2t γ> . O modelo utiliza distribuições de Weibull e exponencial. A distribuição exponencial

denota a ocorrência de taxa de falhas constantes e está associada à vida operacional de um produto, sendo utilizada para modelar o funcionamento de produtos elétricos, tais como circuitos integrados, capacitores, etc. A distribuição exponencial não é apropriada para modelar o tempo de vida de componentes mecânicos, visto que estes estão submetidos a algum tipo de desgaste, em que a taxa de falha tem comportamento crescente (BLISCHKE e MURTHY, 2000; JIANG e KECECIOGLU, 1992). Para tais situações, uma Weibull é mais adequada para modelagem, pois é flexível e ajustável a vários conjuntos de dados, permitindo verificar o curso das taxas de falhas no decorrer do tempo, se crescentes, decrescentes ou constantes. Nesse último caso, tem-se uma distribuição exponencial, que é um caso particular da distribuição de Weibull.


O modelo proposto tem duas características originais: (i) a associação dos tipos de falhas de forma seqüencial e concorrente, e (ii) o tratamento da censura dos dados após o período da garantia, considerando a opinião de especialistas como fonte de informação. Em relação à (ii), cabe ressaltar que, em geral, os modelos assumem a censura como informação, não gerando alternativas que possam reduzir o seu poder de incerteza. Em situações práticas, a censura dos dados de garantia costuma ser expressiva, ultrapassando índices superiores a 95% dos dados disponíveis (MURTHY e BLISCHKE, 2006). A maioria dos autores interpreta a censura por formulação matemática e, quando aplicada na prática, acaba por demonstrar resultados irreais e pouco confiáveis. Essa imprecisão pode conduzir à interpretação incorreta de características essenciais para o conhecimento de um produto, como o MTTF, por exemplo. O modelo sugerido tratará a censura através de sua substituição por informação originada de especialistas, gerando dados que possibilitem analisar o ciclo de vida de um produto de forma mais realista e confiável.

O desenvolvimento prático do modelo proposto ocorre por meio da aplicação das seguintes etapas: (i) coletar dados de registros históricos em poder do produtor relacionados ao período de garantia, (ii) coletar dados de especialistas para complementar a informação de desempenho relativamente ao período pós-garantia, (iii) associar dados de garantia e pós-garantia para obter uma amostra completa do desempenho do produto, (iv) realizar análise preliminar dos dados obtidos, (v) estabelecer as medidas de confiabilidade do modelo, (vi) estimar graficamente os parâmetros do modelo por meio da elaboração de um WPP, (vii) estimar matematicamente os parâmetros do modelo por máxima verossimilhança - MLE (maximum likelihood), e (viii) validar o modelo.

A coleta de registros históricos relaciona-se à caracterização do sistema em estudo, detalhamento e compreensão dos seus aspectos físicos, e à obtenção de dados de falhas em poder do produtor e ocorridas durante o período de garantia. Na coleta de dados dos especialistas, busca-se converter a censura dos dados (pós-garantia) em representação numérica que venha a ser agregada ao modelo matemático, a fim de completar as informações para um ciclo de vida do produto. Os procedimentos para obtenção da opinião de especialistas incluem: (i) elaborar e aplicar um questionário para levantar informações relativas a tempos limítrofes de ocorrência, tipos de falhas, percentuais de ocorrência e níveis de confiabilidade no decorrer do tempo, (ii) analisar os dados gerados por especialista, e (iii) definir amostra de dados pós-garantia para ser agregada aos registros de dados históricos. As respostas dos especialistas são geradas e analisadas seguindo a aplicação do Método Delphi, um dos métodos mais utilizados para obter opiniões dessa natureza (CARDOSO, et al. 2005; OKOLI e PAWLOWSKI, 2004; MURTHY et. al., 2008). Após a aplicação do questionário, é possível definir uma amostra de dados que represente um ciclo completo de vida do produto, seguindo a mesma proporção de dados apurados na coleta de registros históricos, quando são definidos os percentuais de dados com e sem censura.

De posse dos dados de um ciclo de vida completo do produto, análises preliminares utilizando gráficos e ferramentas de estatística descritiva são realizadas, a fim de constatar a ocorrência de padrões, tendências e atipicidades que subsidiem a compreensão da etapa de modelagem. As principais medidas de confiabilidade estão definidas na seqüência.

A função de confiabilidade dá origem ao modelo, sendo expressa pela equação (5). A função distribuição acumulada é representada por ( ) ( )1T TF t R t= − , isto é, a equação (6):

( )( ) ( )

( ) ( )( )1

21

00 1 0

1 2 2 0

exp / exp / 0 ;1

exp / exp T

t t t tF t

t t t t

β β

ββ

η η

η γ η

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− × − ≤ ≤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪= −⎨

⎡ ⎤⎪ ⎡ ⎤− × − − < < ∞⎣ ⎦⎣ ⎦⎩

(6)

A função densidade de probabilidade é igual a ( ) ( )TF t t∂ ∂ , sendo dada pela equação

(7):


( )Tf t =( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0 1

21

0 0 1 1 0

1 1 2 2 2 2 0

0

T

T

t t n t t n R t t t

t t n t t n R t t t

β β

ββ

β β

β β γ γ

⎧ × + × × ≤ ≤⎪⎨⎪ × + − × − × < < ∞⎩

(7)

A equação (7) satisfaz as seguintes propriedades de uma função de densidade de

probabilidade (MOOD et al., 1974): (i) ( ) 0f x ≥ , (ii) ( ) 1f x dx∞

−∞=∫ , e (iii)

2

11 2( ) ( )

x

xP x X x f u du≤ ≤ = ∫ . A função de risco equivale a ( ) ( ) ( )T T Th t f t R t= , sendo

representada pela equação (8):

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

0 1

21

0 0 1 1 0

1 1 2 2 2 2 0

0

T

t t n t t n t th t

t t n t t n t t

β β

ββ

β β

β β γ γ

⎧ × + × ≤ ≤⎪= ⎨× + − × − < < ∞⎪⎩

(8)

O MTTF é representado por ( )0

TR t∞

∫ não havendo forma fechada para a sua

representação. As estimativas dos parâmetros são realizadas graficamente por WPP e

matematicamente por MLE. O WPP é elaborado com o objetivo de auxiliar nas estimativas matemáticas dos parâmetros por MLE, arbitrando valores iniciais próximos de seus valores reais. Além disso, o WPP é um primeiro passo que permite visualizar o ajuste dos dados coletados ao modelo proposto. As etapas para gerar o WPP são descritas a seguir, a partir das deduções apresentadas por Jiang e Murthy (1995) e Murthy e Jiang (1997).

Utilizando as transformações ( )lnx t= e ( )( )ln ln Ty R t⎡ ⎤= −⎣ ⎦ na primeira parte de

( )TR t , correspondente às falhas prematuras e aleatórias, obtêm-se as equações (9) e (10).

( ) ( ) ( ) ( )0 11 0 0 0 1 1 0ln ln 1 expy x x n n n xβ ββ β β⎡ ⎤⎡ ⎤= − + + × −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (9)

ou

( ) ( ) ( ) ( )011 1 1 1 0 1 0ln ln 1 expBy x x n n n xββ β β⎡ ⎤⎡ ⎤= − + + × − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (10)

Tais equações são funções não-lineares de x . Analisando o comportamento assintótico

de ( )1y x , desde que 0 1β β< , constatam-se os seguintes resultados: (i)

( ) ( )0 10 1 1 0lim ln 1 exp 0

xn n xβ β β β

→−∞⎡ ⎤+ × − =⎣ ⎦ ; e (ii) ( ) ( )01

1 0 1 0lim ln 1 exp 0B

xn n xβ β β

→∞⎡ ⎤+ × − − =⎣ ⎦ .

Esses resultados evidenciam que as assíntotas do intervalo ( ) ( )00 ln lnt t≤ ≤ são definidas por

0L e 1L :

( ) ( )0 0 0lnLy x x nβ= ⎡ − ⎤⎣ ⎦ , quando x → −∞ , e (11)

( ) ( )1 1 1lnLy x x nβ= ⎡ − ⎤⎣ ⎦ , quando x → ∞ (12)

As coordenadas do ponto de intersecção entre 0L e 1L , definidas por ( )I I,x y , são representadas pelas equações (13) e (14).

( ) ( )( )I 0 0 1 1 0 1ln lnx n nβ β β β= × − × − (13)

( ) 1

I 0 0 1 0 1lny n n ββ β β⎡ ⎤= × −⎣ ⎦ (14)

Calculando a derivada primeira e segunda de ( )xy1 com relação à x obtêm-se as equações (15) e (16).

( ) ( ) ( ) ( )0 01 11 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0exp 1 expy x x n n x n n xβ ββ ββ β β β β β β⎡ ⎤∂ ∂ = + − × × − + × −⎣ ⎦ (15)


( ) ( ) ( ) ( )0 01 1222

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0exp 1 expy x x n n x n n xβ ββ ββ β β β β β⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ = − × × − + × −⎣ ⎦⎣ ⎦ (16)

Como conclusão, o intervalo ( ) ( )00 ln lnt t≤ ≤ apresenta uma curva côncava, pois

( )21 0y x x∂ ∂ > . Todavia, essa concavidade é muito suave, já que a parcela não-linear de ( )1y x

é uma função logarítmica com pouca representação quantitativa para um mesmo valor de x, se comparada à parcela retilínea de ( )1y x . Além disso, observa-se que em Ix x= , ( ) ( )1 I 2 IF x F x= e como resultado obtém-se:

( ) ( )I1 I ln 2 ;ex xy x y= = + (17)

( )I1 0 1( ) 2x xy x x β β=∂ ∂ = + . (18)

Para a segunda parte da ( )TR t , correspondente à representação das falhas aleatórias e

por desgaste, utilizam-se novamente as transformações ( )lnx t= e ( )( )ln ln Ty R t⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ,

obtendo-se a equação (19).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 21 2 2 12 1 2 2 1 1 2ln 1 ln 1 ln exp expy x n n n x n x

ββ β β ββ γ⎡ ⎤= + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (19)

Essa função define a segunda parte do WPP, sendo uma função não linear de x. Analisando o comportamento assintótico de ( )2y x , desde que 1 2β β< , tem-se que as duas primeiras parcelas são valores constantes. A terceira parcela deve ser analisada assintoticamente com o objetivo de determinar o comportamento de ( )2y x no decorrer do tempo. O cálculo da

derivada primeira de ( )2y x , pressupondo que 2x γ≥ , resulta na equação (20).

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

22 1

22 1

11 2 1 2 1 22

2 1 1 2

exp exp exp

exp exp

n x n x xy xx n x n x

ββ β

ββ β

β β β γ

β γ

−× × + × × × −∂

=∂ × + × −

(20)

O estudo do comportamento assintótico da equação (20) permite constatar que: (i) [ ]lim . (20) ;

xeq

→+∞= ∞ e (ii) [ ]

0lim . (20) 0.x

eq→

= Como conseqüência, as assíntotas que margeiam

( )2y x são definidas por 1L e 2L , e representadas por ( ) ( )1 1 1lnLy x x nβ= ⎡ − ⎤⎣ ⎦ e

( ) ( )2 2 2lnLy x x nβ= ⎡ − ⎤⎣ ⎦ . Considere-se que

1Ly já fora definida na primeira parte do WPP por representar as falhas aleatórias, também consideradas na segunda parte do WPP. Calculando a derivada segunda de ( )2y x com relação à x obtém-se a equação (21).

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

22 1

22 1

2 21 1

22 1

22 1 1

2

2 22 222 1 1 1 2 22

2 1 1 2

1 2 21 2 2 1 2 2

2 1 1 2

12 1 1 2 2

2

exp exp exp

exp exp

exp exp exp exp

exp exp

exp exp

exp

x

n x n x xy xx n x n x

n x x n x x

n x n x

n n x x

n

ββ β

ββ β

β ββ β

ββ β

ββ β β

β

β β γ β

β γ

γ β γ β

β γ

β γ β

β

−

− −

−

× × + × − × ×∂= +

∂ × + × −

× − × × − × − × ×+ −

× + × −

× + × − × ×−

× ( ) ( )( ) 212

1 1 2expx n xββ γ⎡ ⎤+ × −⎢ ⎥⎣ ⎦

(21)

O estudo da derivada segunda demonstra que ( )22 0y x x∂ ∂ > , isto é, o WPP é uma

curva côncava, um pouco mais acentuada do que a curva que representa a primeira parte do WPP. Constata-se que o WPP intercepta o eixo x em ( )2 2ln nγ + . A derivada primeira de ( )2y x no ponto x é dada por:


( ) ( ) ( )2 22 2 2 2ln 1x ny x x nγ β γ= +∂ ∂ = + (22)

As coordenadas do ponto de intersecção entre 1L e 2L , definidas por ( )II II;x y são representadas pelas equações (13) e (14).

O modelo é caracterizado por 8 parâmetros ( )1 2 0 1 2 0, , , , , , ,on n n tβ β β γ . Para assegurar

continuidade à ( )TR t e ( )Tf t em 0t t= , exige-se que ( ) ( )1 0 2 0F t F t− += e ( ) ( )1 0 2 0f t f t− += ; por

decorrência dessa exigência, os parâmetros devem satisfazer às seguintes equações:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 20 1 1

0 0 0 1 0 1 0 2 2t n t n t n t nββ β β γ+ = + − (23)

( ) ( ) ( ) ( )( ) 20 1 1

0 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 2 2t n t n t n t nββ β ββ β β β γ+ = + − (24)

Das equações acima, deduz-se que 0t é calculado pela equação (25) e que o valor do parâmetro de localização 2γ é dado pela equação (26). Como resultado, o modelo fica caracterizado por 5 parâmetros independentes.

( ) ( ) ( )2 0 20 2

1

0 0 2 2 0t n n β β ββ β β β −⎡ ⎤= ×⎣ ⎦ (25)

( )2 2 0 01 tγ β β⎡ ⎤= − ×⎣ ⎦ (26)

A elaboração das estimativas dos parâmetros para a primeira parte do WPP envolve as seguintes etapas operacionais:

a) Organizar os dados de TTF em ordem crescente; b) Computar ix e iy para os TTFs ordenados: ( )lni ix t= e ( )ln ln 1 1iy i n⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦ ;

c) Plotar ix e iy ; d) Desenhar as assíntotas 0L e 1L às curvas geradas no WPP (à esquerda). A intersecção

entre 0L e 1L aponta os valores de ( )1 I II ;x y . As estimativas das assíntotas podem ser obtidas por regressão linear ou mínimos quadrados (dentre os TTFs coletados). Os coeficientes angulares das assíntotas produzem os parâmetros de forma 0β e ratificam

1 1β = . e) Testar se as equações (17) e (18) são atendidas. Caso isso não ocorra, ajustar 0L e 1L

ao WPP até que as condições sejam aproximadamente atendidas; f) Obter 0n e 1n da intersecção entre 0L e 1L .

Para a segunda parte do WPP, repetem-se as etapas operacionais de a) a c), complementadas pelas seguintes etapas:

d) Desenhar a assíntota 2L na curvas geradas no WPP (à direita). A intersecção entre 1L e

2L aponta os valores de ( )2 II III ;x y . As estimativas das assíntotas podem ser obtidas por regressão linear ou mínimos quadrados (dentre os TTF coletados). O coeficiente angular da assíntota 2L produz 2β ;

e) Localizar o ponto em que o WPP intercepta o eixo x. Esse ponto produz ( )2 2ln nγ + ; f) Desenhar uma reta tangente ao WPP no ponto de intersecção com o eixo x. A

declividade dessa reta produz ( )2 2 21 ( nβ γ+ [equação (22)]; g) Associando “e” e “f” obtém-se estimativas para 2γ e 2n ; h) Como 0t e 2γ são parâmetros dependentes dos parâmetros obtidos nas etapas

anteriores, a estimativa de 0t é decorrência da equação (25). A equação (26) deduz 2γ . A seguir, estimam-se, pelo método da máxima verossimilhança (MLE), os parâmetros

da função densidade de probabilidade na equação (7), quais sejam λ , 0β , 2β , 0η e 2η já que

1 1β = e que 0t e 2γ são parâmetros dependentes dos anteriores e obtidos pelas equações (25) e


(26). A função de verossimilhança, obtida pelo produto de ( )Tf t [equação (7)] avaliada em cada ponto da amostra, é dada por:

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

0 00

1 10 0

1 10 0

0

2 222 2

1 12 2

1 12 2

2

10

1 0

21

2 21 2

exp exp

exp exp

n n

i in ni i

i ii i

n n

i in ni i

i ii i

nt t

i t tnn nn ni

i ni

nt t

it tnn nn n i

i ni

tL t

n

tt

n

β β

β β

β β

β β

βλ λ

β

βγ γλ λ

β

θ β λ

γλ β γ

= =

= =

= =

= =

− − − −=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − − −

=

=

∑ ∑∑ ∑

= × × + × +

∑ ∑−∑ ∑+ × + − × ×

∏∏

∏∏

(27)

Os valores dos parâmetros que maximizarem esse produto de termos serão considerados os estimadores de máxima verossimilhança de cada um dos parâmetros constantes em ( )L θ . A fim de auxiliar a obtenção matemática dos referidos parâmetros, aplica-se a função logaritmo natural a ( )L θ , obtendo-se ( )l θ . Os estimadores de 0 0 2 2, , , ,n nλ β β são obtidos através do

cálculo da derivada parcial de ( )l θ com relação a cada parâmetro. Exceto por λ , não há uma forma direta de cálculo dos parâmetros, e as estimativas de 0 0 2 2, , , n nβ β são determinadas utilizando métodos numéricos iterativos que buscam satisfazer à condição de

( ) ( )2 0 2, , , , 0ot n nf t β β λ∂ ∂ = .

A obtenção das estimativas de cada parâmetro fica determinada pelas equações (28) a (32):

( )1

ˆ 2n

ii

ln t

θλ

λ =

∂= =

∂ ∑ (28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 00 0 0 0 0

1 110 0

ˆ ln ln 2 ln 2 lnn n n

i i ii ii

l n t n n t t n t n nβ ββ βθβ

β β = ==

∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + − − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

∑ ∑∏

(29)

( ) ( )0 0 10 0 0 0

10

ˆ 2n

ii

ln n n t n

nβ βθ

β β +

=

∂= = − +

∂ ∑ (30)

( ) ( ) 2 2 12 2 2 2 2 2

12

ˆ 2n

ii

ln n n t n

nβ βθ

β β γ +

=

∂= = − + −

∂ ∑ (31)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 21 12

22 2 2 2

2 21

ln lnˆ 2 2

ln ln

n n

i ii i

n

ii

t t t nl nn n

t n n

β β

β β

γ γ γθβ

β β

γ

= =

=

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = − + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∏

(32)

A partir da estimação dos parâmetros é possível apresentar os gráficos das medidas de

confiabilidade [ ( )TR t , ( )Th t , ( )TF t , ( )Tf t ] e calcular o MTTF do produto em estudo. A validação do modelo é realizada por meio da aplicação de um teste de ajuste de

dados, o teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S). O teste K-S avalia se os dados da amostra coletada podem representar o modelo teórico estabelecido. O teste utiliza duas hipóteses:

( ) ( )0 : T EH F t F t= para t∀ , e ( ) ( )1 : T EH F t F t≠ para algum t . ( )TF t é a função distribuição

teórica e ( )EF t uma função distribuição empírica. O teste avalia a ocorrência de distâncias

significativas entre ( )TF t e ( )EF t em algum ponto da amostra. Se a maior distância verificada


ultrapassar um valor limite considerado crítico, usualmente disponível na forma tabulada, 0H é rejeitada (UPTON e COOK, 2004).

4. Conclusões Acompanhar o desempenho de produtos vem se caracterizando como condição

importante para a sobrevivência de empresas e conquista de mercados consumidores, pois, dentre várias possibilidades, um bom monitoramento permite aperfeiçoar períodos de garantia e sugerir ao comprador o momento ideal para troca de produtos. Entretanto, os monitoramentos de desempenho restringem-se, na maioria das situações, a acompanhar falhas durante o prazo de garantia, ignorando mecanismos de funcionamento relacionados ao desgaste de produtos e que usualmente ocorrem após o final desse prazo. Essa prática de acompanhamento vem se aperfeiçoando por meio da elaboração de modelos matemáticos que buscam evidenciar perfis de funcionamento de produtos e possibilitar aos produtores realizar inferências ao longo do tempo. Os modelos gerados, entretanto, têm dificuldade em caracterizar tais perfis após o término da garantia, quando os dados não obtidos são considerados censurados e tratados analiticamente por fórmulas matemáticas que nem sempre deduzem padrões realistas de funcionamento.

Neste artigo, propõe-se um modelo matemático para modelagem de dados de desempenho que busca: (i) sistematizar a ocorrência de falhas prematuras, aleatórias e por desgaste durante o ciclo de vida de um componente de equipamento eletro-eletrônico, e (ii) tratar a censura dos dados de garantia através da utilização da opinião de especialistas.

A sistematização da ocorrência dos tipos de falhas está associada aos modelos teóricos de riscos concorrentes e seccionais, em que se pressupõe que falhas prematuras e por desgaste ocorrem seqüencialmente, enquanto falhas aleatórias ocorrem concorrencialmente às falhas prematuras e por desgaste. Para subsidiar a aplicação do modelo são utilizadas distribuições de Weibull com dois e três parâmetros, e uma distribuição exponencial para representar falhas prematuras, por desgaste e aleatórias, respectivamente.

Para tratar a censura dos dados de garantia utiliza-se informação gerada por especialistas aplicando-se a técnica de coleta do Método Delphi. A definição de um perfil de ocorrência de falhas para o período pós-garantia possibilita definir um ciclo de vida completo para dados de desempenho do componente estudado. Como resultados, apresentam-se estimativas que possibilitam delinear o desempenho desse componente por toda a sua vida. Para validar o modelo, técnicas de ajuste de dados são empregadas com o objetivo de avaliar a aderência dos dados obtidos ao modelo proposto, o que se apresenta de forma factível.

Os estudos deste modelo não se esgotam com a conclusão do artigo. A sua efetividade como ferramenta de análise de dados se faz válida, porém, sugere-se como complemento ao trabalho desenvolvido a realização de pesquisas relacionadas a várias outras abordagens, dentre as quais se destacam: (i) utilizar outras distribuições de probabilidade em substituição a uma ou mais distribuições de Weibull no modelo proposto; (ii) aplicar o modelo proposto em produtos com características de falhas similares às do produto estudado; e (iii) utilizar outra técnica de coleta de dados para obter a opinião de especialistas, como por exemplo, o AHP (Analytic Hierarchy Process).

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