8
Modelo de Jaynes-Cummings Fernando Wellysson de Alencar Sobreira Instituto de F´ ısica de S˜ ao Carlos O objetivo do presente trabalho ´ e introduzir os conceitos envolvidos no Modelo de Jaynes- Cummings (JC) para a intera¸ ao entre a radia¸ c˜ao do campo eletromagn´ etico e um ´atomo de dois ıveis. Nele ´ e discutida a Rotating Wave Approximation (RWA) que indica o campo de validade do modelo estudado. Al´ em disso, faz-se uma aplica¸ ao do modelo ao interessante fenˆ omeno de co- lapsos e renascimentos, e, ´ e discutido, em termos gerais, o an´ alogo ao Modelo de Jaynes-Cummings envolvido no acoplamento de um ´ atomo de dois n´ ıveis com um oscilador harmˆ onico. I. INTRODUC ¸ ˜ AO O modelo de Jaynes-Cummings ´ e utilizado para descre- ver o acoplamento de um ´ atomo de dois n´ ıveis com uma cavidade ´ optica num regime de acoplamento forte[1]. Nesse tipo de regime, a taxa de acoplamento g 0 deve ser maior que a taxa de decaimento do ´ atomo. Nessas condi¸c˜ oes, a intera¸ ao entre os f´ otons presentes nos mo- dos da cavidade e o ´ atomo s˜ ao revers´ ıveis.O´ atomo emite um f´ oton no modo ressonante, que permanece na cavi- dade at´ e ser reabsorvido pelo ´ atomo, antes de ser per- dido. A intera¸c˜ ao revers´ ıvel entre o ´ atomo e o campo na cavidade ´ e, portanto, mais r´ apida que os processos irre- vers´ ıveis devido ` a perda de f´ otons. Este tipo de regime ´ e tamb´ em conhecido como cavity quantum electrody- namics (QED). Este modelo, embora simplificado, ´ util para descre- ver razoavelmente bem sistemas f´ ısicos de interesse, onde dois n´ ıveis atˆ omicos s˜ ao ressonantes com o campo da ca- vidade e os outros diferem bastante energeticamente (i.e. est˜ ao em grande dessintonia) dos mesmos. ´ E comum, por exemplo, utilizar essa aproxima¸c˜ ao de um ´ atomo de dois ıveis a metais alcalinos como Li, Na, Rb e Cs. A ca- racter´ ıstica comum a esses elementos ´ e que eles possuem somente um eletron na ´ ultima camada atˆ omica ocupada e a distribui¸ ao de carga ´ e radial. Os outros el´ etrons est˜ ao ao presos que s˜ ao praticamente insens´ ıveis aos processos abordados neste trabalho. A caracter´ ıstica mais importante, no entanto, ´ e que este tipo de sistema ´ e capaz de revelar importantes re- sultados da teoria quˆ antica, i.e. produzem resultados que nos ajudam a se familiarizar com a teoria. Al´ em disso, arios problemas podem ser resolvidos exatamente. A teoria envolvida ´ e uma mistura bastante ampla, j´ a que o ´ atomo e o campo na cavidade s˜ ao tidos como quan- tidades quˆ anticas, isso ser´ a importante para o entendi- mento do modelo de Jaynes-Cummings, que serve de base para o entendimento do fenˆ omeno de colapsos e renasci- mentos, algo que a teoria cl´ assica n˜ ao ´ e capaz de explicar, inidicando que este tipo de problema se encontra basica- mente na fronteira entre o mundo cl´ assico e o mundo quˆ antico. II. A APROXIMAC ¸ ˜ AO DIPOLAR Nestase¸c˜ ao, vamos derivar o Hamiltoniano da in- tera¸c˜ ao de um ´ atomo com um campo de radia¸ ao na aproxima¸c˜ ao de que as dimens˜ oes do ´ atomo s˜ ao v´ arias or- dens de magnitude menores que o comprimento de onda daradia¸c˜ ao incidente, de forma que os efeitos de retardo temporal possam ser desprezados. Para iniciar a nossa disuss˜ ao, partimos do Hamiltoni- ano canˆ onico da intera¸c˜ ao de um ´ atomo com um campo eletromagn´ etico: H = 1 2m h ~ p - e ~ A (~ r,t) i 2 + eV (r)+ H r (1) onde ~ p ´ e o momento do el´ etron, V (r) o potencial Cou- lombiano, H r ´ e o Hamiltoniano do campo e ~ A o potencial vetor. Utilizando a transforma¸ cao unit´ aria |ψ(t)i = exp ie~ r ~ · ~ A(~ r,t) |χ(t)i≡ U |χ(t)i (2) aequa¸c˜ ao de Schr¨ odinger pode ser escrita como: i~ |ψ(t)i ∂t = H|ψ(t)i i~U |χ(t)i ∂t + i~ ∂U ∂t |χ(t)i = HU |χ(t)i (3) Se multiplicarmos (3) pela inversa U = U -1 da trans- forma¸c˜ ao U pela esquerda, obteremos i~ |χ(t)i ∂t = H 0 |χ(t)i (4) H 0 U HU - i~U ∂U ∂t (5) O segundo termo em (5) pode ser escrito como -i~U ∂U ∂t = e~ r · ~ A ∂t = -e~ r · ~ E(~ r,t) (6)

Modelo de Jaynes-Cummings - Portal IFSCstrontium/Teaching/Material2011-2 SFI5877... · Modelo de Jaynes-Cummings Fernando Wellysson de Alencar Sobreira Instituto de F sica de S~ao

Embed Size (px)

Citation preview

Modelo de Jaynes-Cummings

Fernando Wellysson de Alencar SobreiraInstituto de Fısica de Sao Carlos

O objetivo do presente trabalho e introduzir os conceitos envolvidos no Modelo de Jaynes-Cummings (JC) para a interacao entre a radiacao do campo eletromagnetico e um atomo de doisnıveis. Nele e discutida a Rotating Wave Approximation (RWA) que indica o campo de validadedo modelo estudado. Alem disso, faz-se uma aplicacao do modelo ao interessante fenomeno de co-lapsos e renascimentos, e, e discutido, em termos gerais, o analogo ao Modelo de Jaynes-Cummingsenvolvido no acoplamento de um atomo de dois nıveis com um oscilador harmonico.

I. INTRODUCAO

O modelo de Jaynes-Cummings e utilizado para descre-ver o acoplamento de um atomo de dois nıveis com umacavidade optica num regime de acoplamento forte[1].

Nesse tipo de regime, a taxa de acoplamento g0 deveser maior que a taxa de decaimento do atomo. Nessascondicoes, a interacao entre os fotons presentes nos mo-dos da cavidade e o atomo sao reversıveis. O atomo emiteum foton no modo ressonante, que permanece na cavi-dade ate ser reabsorvido pelo atomo, antes de ser per-dido. A interacao reversıvel entre o atomo e o campo nacavidade e, portanto, mais rapida que os processos irre-versıveis devido a perda de fotons. Este tipo de regime etambem conhecido como cavity quantum electrody-namics (QED).

Este modelo, embora simplificado, e util para descre-ver razoavelmente bem sistemas fısicos de interesse, ondedois nıveis atomicos sao ressonantes com o campo da ca-vidade e os outros diferem bastante energeticamente (i.e.

estao em grande dessintonia) dos mesmos. E comum, porexemplo, utilizar essa aproximacao de um atomo de doisnıveis a metais alcalinos como Li, Na, Rb e Cs. A ca-racterıstica comum a esses elementos e que eles possuemsomente um eletron na ultima camada atomica ocupada ea distribuicao de carga e radial. Os outros eletrons estaotao presos que sao praticamente insensıveis aos processosabordados neste trabalho.

A caracterıstica mais importante, no entanto, e queeste tipo de sistema e capaz de revelar importantes re-sultados da teoria quantica, i.e. produzem resultados quenos ajudam a se familiarizar com a teoria. Alem disso,varios problemas podem ser resolvidos exatamente.

A teoria envolvida e uma mistura bastante ampla, jaque o atomo e o campo na cavidade sao tidos como quan-tidades quanticas, isso sera importante para o entendi-mento do modelo de Jaynes-Cummings, que serve de basepara o entendimento do fenomeno de colapsos e renasci-mentos, algo que a teoria classica nao e capaz de explicar,inidicando que este tipo de problema se encontra basica-mente na fronteira entre o mundo classico e o mundoquantico.

II. A APROXIMACAO DIPOLAR

Nesta secao, vamos derivar o Hamiltoniano da in-teracao de um atomo com um campo de radiacao naaproximacao de que as dimensoes do atomo sao varias or-dens de magnitude menores que o comprimento de ondada radiacao incidente, de forma que os efeitos de retardotemporal possam ser desprezados.

Para iniciar a nossa disussao, partimos do Hamiltoni-ano canonico da interacao de um atomo com um campoeletromagnetico:

H =1

2m

[~p− e ~A (~r, t)

]2+ eV (r) +Hr (1)

onde ~p e o momento do eletron, V (r) o potencial Cou-

lombiano, Hr e o Hamiltoniano do campo e ~A o potencialvetor.

Utilizando a transformacao unitaria

|ψ(t)〉 = exp

[ie~r

~· ~A(~r, t)

]|χ(t)〉 ≡ U |χ(t)〉 (2)

a equacao de Schrodinger pode ser escrita como:

i~∂|ψ(t)〉∂t

= H|ψ(t)〉

i~U∂|χ(t)〉∂t

+ i~∂U

∂t|χ(t)〉 = HU |χ(t)〉

(3)

Se multiplicarmos (3) pela inversa U† = U−1 da trans-formacao U pela esquerda, obteremos

i~∂|χ(t)〉∂t

= H ′|χ(t)〉 (4)

H ′ ≡ U†HU − i~U† ∂U∂t

(5)

O segundo termo em (5) pode ser escrito como

−i~U† ∂U∂t

= e~r · ∂~A

∂t= −e~r · ~E(~r, t) (6)

2

Assim, H ′ se torna

H ′ = U†HU − e~r · ~E(~r, t) (7)

Nosso objetivo agora e determinar U†HU . Temos:

U†HU =1

2mU†~p2U − e

m~A ·U†~pU +

e2

2m~A2 + eV (r) +Hr

(8)onde nos usamos o fato de que somente os termos de-pendentes de p sao afetados pela transformacao U e que∑3n=1[~pn, ~An] = −i~

∑n∂ ~An

∂xn= 0 no gauge de Coulomb,

assim ~A · ~p = ~p · ~A.Como

[pi, U ] = −i~ ∂U∂xi

= eU∂(~r · ~A)

∂xi(9)

segue que

− e

m~A · (U†~pU) = − e

m~A · U†

[U~p+ eU∇(~r · ~A)

]− e

m~A~p− e2

m~A · ∇(~r · ~A)

(10)Agora, vamos ao termo quadratico em ~p. Primeira-

mente, observemos que

3∑i=1

[p2i , U ] =

∑i

(pi[pi, U ] + [pi, U ]pi)

=∑i

([pi, [pi, U ]] + 2[pi, U ]pi)(11)

O primeiro termo na ultima expressao pode escritoutilizando-se (9), isto leva a

[pi, [pi, U ]] = e

[pi, U

(∂~r · ~A)

∂xi

]

= −ie~ ∂

∂xi

[U∂(~r · ~A)

∂xi

]

= U

−ie~∂2(~r · ~A)

∂2xi+ e2

[∂(~r · ~A∂xi

]2(12)

Assim

[~p2, U ] = U−ie~∇2(~r · ~A)

+e2[∇(~r · ~A)]2 + 2e∇(~r · ~A) · ~p (13)

Com (9) e (13) obtem-se para U†HU

U†HU =e2

2m~A2 + eV (r) +

~p2

2m+

e~2im∇2(~r · ~A)

+e2

2m[∇(~r · ~A]2 +

e

m∇(~r · ~A) · ~p

− e

m~A · ~p− e2

m~A · [∇(~r · ~A)] +Hr

(14)

Agora, devemos lancar mao dos seguintes resultados,

validos para o potencial vetor ~A no gauge de Coulomb

(~∇ · ~A = 0).

∂xi(~r · ~A) = Ai + ~r · ∂

~A

∂xi∑i

[∂

∂xi(~r · ~A)

]2

= ~A2 +∑i,j

2Aixj∂Aj∂xi

+∑i,j,k

xjxk∂Aj∂xi

∂Ak∂xi

∇2(~r · ~A) =∑i,j

xi∂2 ~A

∂x2j

(15)

Finalmente, o resultado obtido e

U†HU = eV (r) +~p2

2m+Hr +

e

m

∑i,j

xi∂Ai∂xj

pj

+e~

2mi

∑i,j

xi∂2Ai∂x2

j

+e2

2m

∑i,j,k

xixj∂Ai∂xk

∂Aj∂xk

= H ′ + e~r · ~E(16)

Agora, somos levados a utilizar a Aproximacao Dipo-lar. Nessa aproximacao, o comprimento de onda utili-zado para interagir com o atomo e tomado como sendovarias ordens de grandeza maior que as dimensoes domesmo, nesse caso podem ser desprezados efeitos de re-tardo, i.e. o valor do campo na regiao delimitada peloatomo pode ser tomado como sendo o valor em qualquerum desses pontos determinados pelo atomo, e.g. seu cen-tro de massa (CM). Logo, o valor do campo e o valorinstantaneo do mesmo no CM do atomo, e, podemos es-crever

~A = ~A0exp(−iωt+ i~k · ~r)≈ ~A0exp(−iωt+ i~k · ~r0) = ~A(~r0)

(17)

Neste caso, todas as derivadas espaciais do potencial

vetor ~A podem ser desprezadas. Obtemos assim:

3

H ′ = eV (r) +~p2

2m− e~r · ~E(~r, t) +Hr (18)

H ′ = ~∑i

ωi|i〉〈i| − e~r · ~E(~r, t) +Hr (19)

onde |i〉 sao os estados atomicos nao perturbados pelo

campo ~A, com autoenergias ~ωi.

III. O HAMILTONIANO DE INTERACAO E ARWA

Nosso objetivo aqui nao e fazer uma analise exaustivada RWA e seu campo de validade, mas sim mostrar ondeela se apresenta e qual sua interpretacao em nosso mo-delo. Para uma analise mais minunciosa, inclusive sobreas falhas desta aproximacao somos levados a [2].

Vamos utilizar o formalismo da 2a Quantizacao, onde ocampo eletromagnetico e interpretado como sendo cons-tituıdo de inumeros fotons identicos (para um dado con-junto de frequencia e comprimento de onda).

Nesse formalismo, os campos eletrico e magnetico, quesao expressos como funcao de derivadas do potencial ve-

tor ~A, sao escritos em termos dos operadores de criacao(a†) e aniquilacao (a) de fotons. A interacao com ou-tros corpos e mediada por essas criacoes e aniquilacoes,i.e. sempre que um foton e criado ou destruıdo no sis-tema significa que houve interacao com algum elementodo mesmo. Este tipo de interpretacao nos leva natural-mente ao conceito de estados vestidos, bastante evidentesno nosso trabalho, que serao discutidos brevemente logomais no texto.

Como foi visto, a interacao de um atomo com um mododo campo eletromagnetico na aproximacao dipolar podeser expressa atraves do Hamiltoniano de interacao

HI = −e~r · ~E(~r) (20)

Se a cavidade posssuir alta qualidade, e possıvel con-siderar somente um modo da mesma interagindo com oatomo, mais ainda, podemos considerar que se tratamde ondas estacionarias com amplitude aproximadamenteconstante. O campo pode ser escrito em linguagem de 2a

Quantizacao como:

~E(z, t) = εε(a+ a†)sen(kz) (21)

onde ε ≡√

~ωε0V

e o campo por foton, ε0 e a permissivi-

dade eletrica do vacuo, ε e a polarizacao do campo e Vo volume da cavidade.

E possıvel escrever o Hamiltoniano de interacao docampo com o atomo em termos dos operadores detransicao [2]

σij = |i〉〈j| (22)

do atomo. Como ja foi dito anteriormente |i〉 repre-senta uma base completa dos autoestados do atomo, i.e.∑i |i〉〈i| = 1. O Hamiltoniano do atomo pode ser escrito

como

HA =∑i

~ωi|i〉〈i| =∑i

~ωiσii (23)

Alem disso

e~r =∑i,j

e|i〉〈i|~r|j〉〈j| =∑i,j

dijσij (24)

onde dij = e〈i|~r|j〉 e a matriz de transicao de dipoloeletrico. O Hamiltoniano de interacao pode agora serescrito como

HI = ~∑i,j

gijσij(a+ a†) (25)

onde

gij = −dij · εε~

(26)

e a constante de acoplamento do atomo com o campo.Em geral, o dipolo induzido pelo campo possui apenas ostermos nao-diagonais deg e dge, aqui ja estamos levandoem conta que nosso sistema atomico possui apenas doisautoestados de energia, denominados |g〉 e |e〉. Isso signi-fica basicamente que ao aplicarmos um campo eletrico aosistema, este produz uma perturbacao que faz com queo eletron popule o outro estado do atomo, ele nao possuitermos em que a perturbacao faz com que o eletron per-maneca no mesmo estado. Mais ainda, consideraremosque dge = deg, o que significa que g = gge = geg, assim aforca com que o campo induz a transicao do estado |g〉para |e〉 e a mesmo que induz a transicao |e〉 → |g〉.

O Hamiltoniano de interacao pode entao ser escritocomo

HI = ~g(σge + σeg)(a+ a†) (27)

Aqui, |g〉 e |e〉 representam os estados de mais baixa emais alta energia, respectivamente, essa notacao vem doingles (g de ground e e de excited).

Se considerarmos o nıvel zero de energia no meio entreos estados |g〉 e |e〉, i.e. Ee = ~ωeg/2 = −Eg, com ωeg =ωe − ωg > 0, o Hamiltoniano do atomo pode ser escritocomo

HA =~ωeg

2σz (28)

4

onde

σz =

[1 00 −1

](29)

e uma das Matrizes de Pauli [3]. E costume, ao invesde utilizar as matrizes de transicao entre nıveis, utilizaras matrizes escada σ+ e σ−, que, na realidade, sao asmatrizes de transicao para um sistema de dois nıveis. Amatriz σ+ leva o estado fundamental para o excitado ea matriz σ− realiza o processo inverso. Elas sao escritascomo

σ+ =

[0 10 0

], σ− =

[0 01 0

](30)

As matrizes escada podem ser escritas em termos dasoutras duas matrizes de Pauli

σx =

[0 11 0

], σy =

[0 −ii 0

](31)

Dessa maneira, o Hamiltoniano total pode ser escritocomo

H =~ωge

2σz + ~ωa†a+ ~g(σ+ + σ−)(a+ a†) (32)

Aqui, ω e a frequencia angular do modo da cavidade.Os quatro termos que aparecem na parte da interacao

do Hamiltoniano possuem a seguinte interpretacao:

aσ+: um foton e absorvido e o atomo e excitado do estadofundamental g para o estado excitado e;

a†σ−: um foton e emitido e o atomo e de-excitado.

Os dois processos indicados acima conservam a ener-gia. Mostraremos logo mais adiante que, para baixasconstantes de acoplamento, eles variam lentamente como tempo. Por outro lado, os termos restantes nao conser-vam energia, sao eles

a†σ+: um foton e absorvido e o atomo e excitado;

aσ−: um foton e emitido e o atomo e de-excitado.

Para investigar a dependencia temporal desses proces-sos, somos conduzidos a abordagem de interacao. Nela,o Hamiltoniano de interacao HI assume a forma

H(int)I = ~gexp(iωa†a)(a+ a†)exp(−iωa†a)·

exp

[it

( ωeg

2 00 −ωeg

2

)][0 11 0

exp

[−it

( ωeg

2 00 −ωeg

2

)] (33)

Utilizando as propriedades

exp(iωa†a)(a+ a†)exp(−iωa†a)

= aexp(−iωt) + a†exp(iωt),

exp

[it

( ωeg

2 00 −ωeg

2

)][0 11 0

]exp

[−it( ωeg

2 00 −ωeg

2

)]

= σ+exp(iωegt) + σ−exp(−iωegt)(34)

resulta para o Hamiltoniano de interacao

H(int)I = ~ σ+aexp[−i(ω − ωeg)t]

σ−a†exp[i(ω − ωeg)t]

σ−aexp[−i(ω + ωeg)t]σ+a

†exp[i(ω + ωeg)t] (35)

A RWA consiste basicamente em desprezar os termosque oscilam rapidamente com o tempo na expressao ante-rior. Observe que os termos que oscilam com ω−ωeg saopraticamente constantes, ja que, em geral, os modos dacavidade estao praticamente ressonantes com a diferencaentre os nıveis atomicos. Ja termos que oscilam comω−ωeg variam muito mais rapido que os anteriores, entao,praticamente nao contribuem para a interacao. Observeque, os termos que oscilam rapidamente nao conservamenergia, este ja seria um bom motivo para despreza-losem nossa analise! No entanto, estes termos podem serimportantes quando os sistemas com que lidamos consis-tem de varios atomos, o que nao e nosso caso, pois, apesarde as interacoes serem muito rapidas, e portanto virtu-ais, elas podem ser intensificadas pela alta probabilidadede ocorrencia numa grande populacao, o que faria comque os dois processos pudessem ser realizados simultane-amente com dois atomos diferentes, conservando assim aenergia.

IV. O HAMILTONIANO DEJAYNES-CUMMINGS

Se desprezarmos os termos indicados pelo Hamiltoni-ano (35) seremos levados, na representacao de Schrodin-ger, ao Hamiltoniano total

H =~ωeg

2σz+

~ωaa† + ~g(aσ+ + σ−a†)

(36)

Este e o Hamiltoniano de Jaynes-Cummings, e sera oobjeto de nossas atencoes a partir de agora.

Ate agora, lidamos com o problema da interacaoatomo-campo numa versao completamente quantica,onde o atomo possui dois estados de energia discretosbem definidos e interage com os modos da QED. Dessa

5

maneira, para especificar completamente o estado do sis-tema, devemos especificar tanto o estado do atomo (|g〉ou |e〉) quanto o estado do campo, que na representacaode energia e dado pelo estado de numero |n〉, com n =0, 1, 2, · · · No Hamiltoniano de Jaynes-Cummings (36),a interacao acopla os estados |e〉|n〉 ≡ |e, n〉 ao estado|g〉|n+ 1〉 ≡ |g, n+ 1〉,

〈g, n+ 1|HI |e, n〉 = 〈e, n|HI |g, n+ 1〉 = ~g√n+ 1 (37)

As energias desses estados sao dadas por

Ee,n = 〈e, n|H|e, n〉 = ~(nω +

1

2ωeg

)Eg,n+1 = 〈g, n+ 1|H|g, n+ 1〉

= ~[(n+ 1)ω − 1

2ωeg

]= Ee,n + ~∆

(38)

onde ∆ ≡ ω − ωeg e a dessintonia entre os estados doatomo e do campo. Assim, o espaco de Hilbert total Hdo sistema consiste de subespacos mutuamente desaco-plados Hn = |e, n〉, |g, n + 1〉, para n = 0, 1, 2, · · · OHamiltoniano de Jaynes-Cummings pode entao ser de-composto na soma H =

∑nHn com cada termo

Hn = Ee,n

[1 00 1

]+ ~

[0 g

√n+ 1

g√n+ 1 ∆

](39)

atuando em seu subespaco Hn. Diagonalizando a matriz(39), obtemos os autovalores

λ(n)± =

1

~Ee,n +

1

2∆± Ω (40)

com Ω ≡√g2(n+ 1) + (∆/2)2, e os autoestados corres-

pondentes

|±n〉 =1√N±

[(Ω∓ 1

2∆)|e, n〉 ± g

√n+ 1|g, n+ 1〉

],

(41)onde N± = (Ω ∓ 1

2∆)2 + g2(n + 1) sao as constantes denormalizacao. Estes sao conhecidos como estados vesti-dos de Hn. Na ressonancia entre o modo da cavidade eo atomo, ∆ = 0, temos

λ(n)± =

1

~Ee,n ± g

√n+ 1,

|±n〉 =1√2

[|e, n〉 ± |g, n+ 1〉](42)

Neste caso, os estados vestidos sao dados pela super-posicao simetrica |+n〉 e antissimetrica |−n〉 dos estadosnus |e, n〉 e |g, n+ 1〉 e sao deslocados de uma magnitude

λ(n)+ − λ(n)

− = 2g√n+ 1, que e duas vezes o elemento de

matriz (37).Apesar de se tratar somente de uma outra abordagem

matematica, a ideia fısica basica envolvida nos estadosvestidos e que, com essa abordagem, as excitacoes doatomo e o estado de numero do campo podem ser tidoscomo parte de um conjunto maior, isto significa que elesso ocorrem aos pares. O segredo e pensar no estado exci-tado como aquele que possui um foton livre para intera-gir (com o vacuo, por exemplo) e fazer com que o atomoseja de-excitado, enquanto o estado fundamental tem umfoton capaz de interagir e fazer com que o atomo seja ex-citado, ou seja, num caso o foton rouba a excitacao doatomo e no outro o foton produz a excitacao do mesmo.

V. APLICACOES

A. Colapsos e Renascimentos

O fenomeno de colapsos e renascimentos [4] e um dosquais pode ser analisado em mecanica quantica segundo omodelo de JC e que revela uma nova natureza na evolucaotemporal de sistemas quanticos.

Em geral, num experimento, so e possıvel especificara estatıstica associada aos modos da cavidade, sendo oestado de numero dado por certa probabilidade. No casogeral, onde um vetor de estado ψ(n, t) evolui de um es-tado inicial contendo exatamente n fotons, a probabili-dade Pk de que o atomo esteja num estado k (k = e, g,num instante t, e dada por

Pk(t) =

+∞∑m=0

Pm |〈m,ψk|ψ(m, t〉|2 =

+∞∑m=0

Pm|Ck,m(t)|2

(43)e, a distribuicao de fotons, e dada por

pn(t) =

+∞∑m=0

∑k=e,g

Pm |〈n, ψk|ψ(m, t〉|2

= Pn|Ce,n(t)|2 + Pn−1|Cg,n(t)|2(44)

Poderıamos esperar que a superposicao de solucoesperiodicas produzissem interferencia destrutiva, e, por-tanto, um colapso. Isso e, de fato, o que acontece.Neste caso as populacoes do estado fundamental e ex-citado seriam as mesmas, i.e. a inversao de populacaow(t) = Pe(t) − Pg(t) = 0 para tempos longos. Alemdisso, e possıvel mostrar, como veremos logo a seguir,que quando a estatıstica se refere a uma cavidade ondeha um estado coerente um outro fenomeno ocorre, e ofenomeno dos renascimentos, isto significa que o sistemaapresenta um aparente colapso e depois de algum tempopassa a oscilar novamente.

Para verificar esse fato, retornemos a equacao deSchrodinger na abordagem de interacao para o estado

6

|Ψ(t)〉 = cg,n(t)|g, n〉+ ce,n−1(t)|e, n− 1〉 (45)

As equacoes que governam a evolucao temporal dos coe-ficientes cg,n e ce,n−1 sao

∂tcg,n = −ice,n−1g

√n,

∂tce,n−1 = −icg,ng

√n

(46)

Supondo que o atomo esteja inicialmente no estadofundamental, ou seja ce,n−1(0) = 0 e cg,n(0) = 1, obte-mos como solucao

|ce,n−1(t)|2 = sen2(g√nt) e |cg,n(t)|2 = cos2(g

√nt)(47)

Observe que o sistema apresenta oscilacoes de Rabi en-tre os estados |g, n〉 e |e, n− 1〉 com frequencia g

√n. Em

instantes intermediarios, quando as amplitudes ce,n−1 ecg,n nao sao nulas, o sistema esta num estado emara-nhado, ja que o vetor de estado |Ψ(t)〉 nao pode ser es-crito como o produto individual de vetores de estado doatomo e do campo. A inversao de populacao do atomo

w(t) ≡ 〈Ψ|(t)σz|Ψ(t)〉, (48)

e dada por w(t) = cos(2g√nt), que e o mesmo resultado

obtido no caso de um bombeio classico. A princıpio, oresultado e estranho se observarmos que agora o camponum estado |n〉 e bastante diferente do campo classico.

Atraves da evolucao temporal de um estado do sistemae possıvel explicar, sob a luz do modelo de JC, a emissaoespontanea. Para isso, considere agora que o sistema seencontra inicialmente no estado |e, n〉, observe que esteestado esta agora acoplado ao estado |g, n+1〉. Repetindoo mesmo procedimento anterior, obtemos como resultadoda evolucao dos coeficientes do sistema

|ce,n(t)|2 = cos2(g√n+ 1t),

|cg,n+1(t)|2 = sen2(g√n+ 1t)

(49)

e

w(t) = cos(2g√n+ 1t) (50)

Isso significa que o atomo retorna periodicamente aoestado excitado com frequencia de Rabi g

√n+ 1 que e

nao nula, mesmo se n = 0, e, portanto, diferente dafrequencia de Rabi g

√n correspondente ao caso em que

o atomo esta inicialmente no estado fundamental. As-sim, um atomo excitado colocado numa cavidade vazia(n = 0) sofre periodicamente, decaimentos espontaneosreversıveis. Esta e a base da QED, discutida inicial-mente. Note, em adicao, que esse resultado nao e obtido

com um campo classico de amplitude nula, indicando anatureza quantica do processo.

Vamos agora investigar o caso em que o atomo seencontra numa cavidade que foi preparada com umestado coerente do campo. Consisderemos o sistema“atomo+campo” inicialmente com o atomo no estadofundamental e o campo num estado coerente, ou seja ovetor de estado inicial e |e〉|α〉 ≡ |e, α〉, temos, expan-dindo o estado coerente na base de numero

|e, α〉 = e−12 |α|

2+∞∑n=0

α√n!|e, n〉 (51)

Observe que o sistema pode ser evoluıdo ate mesmopelo estado de vacuo α = 0. O acoplamento dos estados|e, n〉 com |g, n+1〉 ja foi estudada, de forma que o estadodo sistema evoluıdo no tempo e

|Ψ(t)〉 = e−12 |α|

2+∞∑n=0

α√n!

[cos(g

√n+ 1t)|e, n〉

−isen(g√n+ 1t)|g, n+ 1〉

] (52)

Note qua a soma tambem inclui o termo com n = 0.Como estamos interessados na inversao de populacaow(t), obtemos

w(t) = e−n+∞∑n=0

nn√n!cos(2g

√n+ 1t) (53)

onde n ≡ |α|2 e o numero de fotons do modo. Nao haforma fechada para o resultado anterior, no entanto aFig. 1 indica o espectro de evolucao de w(t) para diferen-tes valores de n.

Este fenomeno ocorre porque o estado coerente |α〉 con-siste de uma superposicao de estados |n〉 com amplitudes

fixas αn/√n!. E evidente que cada componente |n〉 de

|α〉 tende a dirigir o sistema com sua propria frequenciade Rabi. Como resultado, as oscilacoes colapsam, re-nascendo posteriormente por causa da natureza quanticado campo e das relacoes particulares existentes entre osvarios coeficientes de |n〉. Diz-se que inversao sofre co-lapsos e renascimentos, e estes occorem numa escala detempo que depende de g

√n = g|α|.

Como podemos ver, o comportamento de um atomode dois nıveis interagindo com um modo eletromagneticosimples (coerente) e surpreendentemente rico. As os-cilacoes de Rabi, tambem presentes na descricao atravesdeste modelo, que colapsam e permanecem em repouso,revivem e depois colapsam novamente. O modelo de JC,nas suas versoes linear e nao linear, tem sido utilizadotambem em conexao com ıons armadilhados a modos vi-bracionais quantizados. A descricao desse acoplamentosera o proximo e ultimo topico abordado nesse trabalho.

7

(a)n = 0

(b)n = 1

(c)n = 3

(d)n = 5

Figura 1. Colapsos e Renascimentos

B. Atomo de dois nıveis num potencial Harmonico

Nesta secao iremos discutir brevemente o acoplamentode um ıon armadilhado (atomo de dois nıveis) bombe-ado por um campo classico quase-ressonante e fortementepreso numa armadilha harmonica, modelo esse que se as-semelha bastante ao modelo de JC discutido ate aqui.Aqui, no entanto, sao os graus de liberdade de vibracaoquantizados que fazem as vezes dos modos da cavidade,enquanto o campo classico e o agente responsavel por aco-plar os graus de liberdade internos e externos do atomo.

Como ja foi dito, nosso objetivo nao e obter o Hamil-toniano que descreve o sistema, isso seria equivalente arealizar o mesmo processo utilizado para obter o Hamil-toniano de JC, ao inves disso vamos simplesmente dis-cutir os termos presentes no Hamiltoniano de interacaopara esse tipo de problema e observar que, a partir dele,

e possıvel obter o modelo de JC, o modelo anti-Jaynes-Cummings, alem de outros termos mais gerais.

O Hamiltoniano que descreve a interacao proposta, naabordagem de interacao, pode ser escrito como

H(int)I = −~Ω

σ+e

−i(∆t−φ)exp[iη(be−iνt + b†eiνt)

]+σ−e

i(∆t−φ)exp[−iη(be−iνt + b†eiνt)

](54)

Aqui, os operadores b e b† fazem as vezes dos operadoresde criacao e aniquilacao, so que para os modos vibra-cionais, ν sao as frequencias de vibracao corresponden-tes, enquanto o parametro η ≡ kx

√~/2mν, denominado

parametro de Lamb-Dicke, quantifica a amplitude das os-cilacoes atomicas na armadilha relativamente ao compri-mento de onda da radiacao aplicada.

Observemos que, se η = 0, i.e. o vetor de onda daradiacao e perpendicular a direcao de vibracao, o campoclassico nao acopla os graus de liberdade internos e ex-ternos do atomo.

Figura 2. Diagrama de energia para um atomo de dois nıveisnum potencial harmonico. As setas indicam as resonanciasde acoplamento do campo coerente carrier (car), red-sideband(rsb) e blu-sideband (bsb).

Para valores nao-nulos do parametro de Lamb-Dicke,e dependendo das frequencias de Rabi Ω e da dessin-tonia ∆, o Hamiltoniano de interacao pode acoplar es-tados internos do atomo a certos estados vibracionais,para os quais iremos utilizar a notacao padrao |n〉 deno-tando o estado do oscilador harmonico contendo n ex-citacoes vibracionais (fonons). Um regime bastante sim-ples e aquele em que o fator de Lamb-Dicke e bastantepequeno η 1, ou seja, o atomo esta confinado numaregiao muito pequena em comparacao com o compri-mento de onda da radiacao. Assim, desde que o numerode excitacoes do atomo seja pequeno o bastante para queη√〈(b+ b†)2〉 1 seja sempre valido, podemos expandir

os operadores exponenciais somente ate primeira ordemem η para obter

8

H(int)I = −~Ω

σ+e

−i(∆t−φ)[1 + iη(be−iνt + b†eiνt)

]+σ−e

i(∆t−φ)[1− iη(be−iνt + b†eiνt)

](55)

Claramente, podemos identificar tres regimes de des-sintonia ∆ para os quais o sistema exibe um compor-tamento ressonante, como mostra a Fig. 2. O primeiroe trivial, ∆ = 0, e e chamado de ressonancia carrier.Desprezando os termos fora da ressonancia que oscilamcom frequencias ±ν, obtemos para o Hamiltoniano deinteracao

Hcar = −~Ω[σ+e

iφ + σ−e−iφ] (56)

que acopla os estados atomicos |g〉 e |e〉 com a frequenciade Rabi usual, e nao modifica o estado vibracional doatomo.

A segunda ressonancia ∆ = −ν e chamada de first red-sideband, ou primeiro desvio para o vermelho. Analoga-mente, desprezando os termos nao ressonantes, temos

Hrsb = −~Ωη[ieiφσ+b− ie−iφσ−b†

](57)

Se introduzirmos g ≡ Ωη e escolhermos φ = π/2, o Ha-miltoniano efetivo se torna

Hrsb = ~Ωη(σ+b+ σ−b

†) (58)

que e exatamente o Hamiltoniano de Jaynes-Cummingsque governa a evolucao do sistema “atomo+QED”. Aqui,no entanto, o Hamiltoniano dado acopla os estados |g, n〉e |e, n− 1〉, onde n denota o numero de excitacoes vibra-cionais do oscilador harmonico. O processo, apesar dessadiferenca, e analogo ao ja discutido no modelo de JC.

O terceiro e ultimo caso e o da ressonancia ∆ = −ν,chamado de blue-sideband, ou desvio para o azul. Nele,o Hamiltoniano pode ser escrito como

Hbsb = −~Ωη[ieiφσ+b

† − ie−iφσ−b], (59)

que sob a substituicao g ≡ Ωη e φ = π/2, se torna

Hbsb = −~Ωη(σ+b

† + σ−b)

(60)

Esse Hamiltoniano acopla os estados |g, n〉 e |e, n+ 1〉,i.e. a excitacao do atomo e acompanhada de uma ex-citacao do modo vibracional. O processo analogo nocontexto da cavidade QED nao e permitido devido a con-servacao da energia. Aqui, no entanto, a conservacao daenergia nao e violada porque as energias de excitacao doatomo e do fonon sao obtidas de um foton do campoclassico de acoplamento. Sistemas como esse sao des-critos pelo que se costuma denominar de Modelo anti-Jaynes-Cummings.

VI. CONCLUSAO

Nesse trabalho formulamos o problema de um atomode dois nıveis acoplado fortemente a uma cavidade ele-trodinamica quantica (QED), e, introduzimos a Apro-ximacao Dipolar e a Rotating Wave Approximation(RWA), onde e valido o Modelo de Jaynes-Cummings.

Com este modelo, fomos levados naturalmente ao con-ceito de estados vestidos de interacao, e, investigamos ofenomeno dos colapsos e nascimentos, caracterıstico dainteracao de um atomo de dois nıveis com uma cavidadepreparada num modo coerente.

Em busca de ir alem do que tinha sido discutido, apre-sentamos rapidamente o modelo de um atomo (ıon) ar-madilhado num potencial harmonico e interagindo comum campo classico de radiacao. Observamos neste casoque o Modelo de Jaynes-Cummings aparece naturalmenteno regime de Lamb-Dicke. Alem disso, obtivemos doisoutros regimes, o anti-Jaynes-Cummings e o Hamiltoni-ano Carrier, que sao novos aspectos a serem consideradosem sistemas quanticos. Seria possıvel ir alem do regimede Lamb-Dicke e obter novos termos na expansao de (54),no entanto, nosso objetivo ao apresentar essa interacaoera somente mostrar que o Modelo de Jaynes-Cummingsesta presente em varias situacoes fısicas.

[1] Quantum Optics: An Introduction (Oxford UniversityPress, 2006).

[2] Quantum Optics (Cambridge University Press, 2001).[3] Quantum Optics (Spring-Verlag Berlin Heidelberg, 2008).

[4] J. Eberly, N. Narozhny, and J. Sanchez-Mondragon, Phy-sical Review Letters 44, 1323 (1980).