Modelo Generalizado de Hanavan

8/18/2019 Modelo Generalizado de Hanavan

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MODELO GENERALIZADO DE HANAVAN

Modelo creado por Ernest P. Hanavan,

capitán de la !er"a a#rea

estado!nidense en el a$o %&'(, para

descri)ir *ate*ática*ente el c!erpo

+!*ano, el *odelo divide el c!erpo en

% se-*entos representadas con

slidos -eo*#tricos )ásicos, estos

se-*entos son/

%. 0a)e"a1. 2orso s!perior3. 2orso inerior(. Mano derec+a. Mano i"4!ierda'. 5ra"o s!perior derec+o6. 5ra"o s!perior i"4!ierdo7. Ante)ra"o derec+o&. Ante)ra"o i"4!ierdo%8.Pierna s!perior derec+a

%%.Pierna s!perior i"4!ierda%1.Pierna inerior derec+a%3. Pierna inerior i"4!ierda%(.Pie derec+o%.Pie i"4!ierdo

Los slidos !tili"ados consisten en conos tr!ncados para )ra"os, piernas 9 pies,

elipses para *anos 9 ca)e"a 9 :nal*ente !n par de pol;-onos re-!lares para

las dos secciones del torso. Para reali"ar el *odelo para las piernas 9 los )ra"os

es necesario anali"ar el cono tr!ncado/

Figura 1. Modelo de Hanavan


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Figura 2. Análisis del cono recto circ!lar tr!ncado%.

0o*o pri*er paso para anali"ar el cono tr!ncado se de)en +acer al-!nas

consideraciones a partir de la >i-!ra 1, en donde/

h=h1−h

2 ?%@

h1

R=

h2

RR=

h

R− RR ?1@

e procede a despeBar cada !na de las alt!ras del cono de la >i-!ra 1a/

h1=

R h

R− RR ?3@

h2=

RR h

R− RR ?(@

Para calc!lar las *asas de los conos de alt!ras +% 9 +1 es necesario considerars! vol!*en 9 tener en c!enta la relacin *asa, densidad, vol!*en.

V =π r

2h

3 ?@

% >i-!ra adaptada por el a!tor, to*ada de ?Hanavan, %&'(@.


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V =m

ρ ?'@

m

ρ=

π r2

h

3 ?6@

m= ρπ r

2h

3 ?7@

Csando la ec!acin ?7@ se procede a calc!lar la *asa de cada !no de los

se-*entos/

M 1=

ρ π R2

h1

3 ?&@

M 2=

ρ π RR2

h 2

3 ?%8@

Ree*pla"ando las ec!aciones 3 9 ( en las ec!aciones 7 9 & respectiva*ente,

se o)tiene/

M 1=

ρ π R3

h

3 ( R− RR) ?%%@

M 2=

ρπ RR3

h

3 ( R− RR) ?%1@

Para calc!lar la *asa del cono tr!ncado se resta la *asa del cono de alt!ra +%

con la *asa del cono de alt!ra +1 dando co*o res!ltado/

M = M 1− M

2 ?%3@

M = ρ π h ( R3− RR3 )

3 ( R− RR) ?%(@

De)ido a 4!e el o)Betivo es encontrar !na or*a -eneral del *odelo de

Hanavan se despeBa !no de los radios, es este caso se procede a despeBar el

radio *enor RR/

Por dierencia de c!)os/


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M = ρ π h( R− RR )( R2+ R∗ RR+ RR2)

3 ( R− RR) ?%@

i*pli:cando 9 *!ltiplicando por %

3 M

ρ π h=( R2+ R∗ RR+ RR2 ) RR

2

RR2 ?%'@

3 M

ρ π h=( R

2

R R2+

R

RR+1) RR2 ?%6@

DespeBando RR

√ 3 M

ρ π h( R2

R R2+

R

RR+1)=

RR?%7@

Csando la ec!acin ?%7@ es posi)le calc!lar el radio *enor del cono tr!ncado

con el c!al se p!eden *odelar los )ra"os, las piernas 9 los pies se-n el

*odelo de Hanavan. Acorde a esto las varia)les serán/

ρ= Densidad total del cuerpo[ Kgc m3 ] h= Longitud de la secciónde cada extremidad [ cm ] M = Masa de la secciónde cada extremidad [ Kg ] RR= Radio menor del cono [ cm ]

R= Radio mayor del cono [ cm ]

Para reali"ar el cálc!lo del radio *a9or del cono es necesario reali"ar !n

análisis de proporcin en la pierna +!*ana, *ediante al-!nas *ediciones la

relacin entre el radio *a9or 9 *enor del *!slo, canilla 9 pie respectiva*ente

será/

R=1.54

RR ?%&@

La densidad del c!erpo o densidad pro*edio es !na varia)le 4!e está en

!ncin de la contet!ra del c!erpo ?so*atotipo@ 9 se p!ede calc!lar *ediante

las ec!aciones ?18@ 9 ?1%@ *odelo prop!esto por Drillis 9 0ontini ?%&''@


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c= h

w1/3 ?18@

ρ=0.69+0.9c

[

Kg

L

]?1%@

e-n este *odelo la densidad se

epresa en t#r*inos de c, lla*ado

el ;ndice ponderal o ;ndice de

corp!lencia, es !na *edida de

contet!ra calc!lada co*o la

relacin entre *asa 9 alt!ra en

donde + es la talla o alt!ra de la

persona en *etros 9 F es la *asa

de la persona en ilo-ra*os.De)ido a 4!e las !nidades

res!ltantes de la !ncin son de

ilo-ra*o ?-@ so)re litro ?L@ es

necesario, por eectos prácticos

para el cálc!lo de las di*ensiones

del cono en cent;*etros, pasar

estas !nidades a ilo-ra*os ?-@

so)re cent;*etro c!)ico ?c*3@.

ρ=0.69+0.9 c

1000

[ Kg

c m3

]?11@Para el cálc!lo de la lon-it!d de las etre*idades del c!erpo se !sa otro

*odelo plateado ta*)i#n por Drillis 9 0ontini ?%&''@ i-!ra 3@. e va a reerir a la alt!ra del individ!o co*o la talla,

representada en la >i-!ra 3 co*o H.

Para reali"ar el cálc!lo de la *asa de cada

se-*ento se !tili"a !n *odelo desarrolladod!rante a$os del c!al se crearon ta)las 4!e ponen la *asa de cada se-*ento

en !ncin de la *asa total del c!erpo. Por otra parte los centros de *asa se

p!eden !)icar !sando ta)las 4!e tienen pará*etros 4!e descri)en la !)icacin

de dic+o p!nto en !ncin de !na porcin de la lon-it!d total de la seccin,

esta se p!ede *edir respecto a dos p!ntos de reerencia el p!nto distal 9 el

proi*al. Estos son conceptos de distancia 4!e tienen co*o p!nto de

reerencia el pec+o, de all; las partes del c!erpo *ás aleBadas a dic+o p!nto se

gura 3. Desco*posicin de la lon-it!d

as piernas en !ncin de la alt!ra total.


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consideran distales 9 las *ás cercanas proi*ales, ta*)i#n se p!eden tener

otros p!ntos de reerencia en cada se-*ento co*o por eBe*plo, la *ano es

distal al +o*)ro, teniendo en c!enta esto las *edidas seleccionadas para el

cálc!lo serán las proi*ales.

Tabla I. Pará*etros para el cálc!lo de las *asas 9 centro de *asa de las

piernas


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M!slo o

pierna

s!perio

r

?A!tor@

+*Lon-it!d

del *!slo.

R*Radio

*a9or del

*!slo.

r*Radio *enor

del *!slo.

M*Masa del

*!slo.

0M*C)icacin

del centro de

*asa del *!slo

respecto al

proi*al.

hm=0.245∗Talla

Rm=1.54 rm

M m=0.1 M T

rm=

√ 3 M m

ρ π hm( R m2

rm2 +

Rm

rm+1)

CM m=0.433∗hm

0anilla

o

pierna

inerior

?A!tor@

+cLon-it!d de

la canilla.

RcRadio *a9or

de la canilla.

rcRadio *enor

del canilla.

McMasa del

*!slo.

0McC)icacin

del centro de

*asa de la

canilla respecto

al proi*al.

hc=0.246∗Talla

Rc=r c

M c=0.0465 M T

rc=

√ 3 M c

ρ π hc( Rc2

rc2 +

Rc

rc+1)

CM c=0.433∗hc

Pie

?A!tor@

+pLon-it!d del

pie.

RpRadio

*a9or del pie.

rpRadio *enor

del pie.

0MpC)icacin

del centro de

*asa del pie

respecto al

proi*al.

h p=0.152∗Talla

R p=0.5∗0.039∗Talla

M p=0.145 M T


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r p=

√ 3 M p

ρ π h p( R p2

r p2 +

R p

r p+1)

CM p=0.5∗h p

Cálculo de los momentos de inercia:

Para poder reali"ar el di*ensiona*iento de los *otores 4!e van a co*poner

las artic!laciones del eoes4!eleto es necesario calc!lar los *o*entos de

inercia de cada !na de las secciones de las etre*idades. De)ido a 4!e están

*odeladas todas con conos tr!ncados se )!scan los *o*entos de inercia

presentes en la :-!ra, 9a 4!e el *otor de cada !na de las partes de)e ser

capa" de soportar 9 *over la totalidad de *asa de la seccin es necesario

+allar los tensores de inercia en la )ase de cada !na de las or*as.


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Mediante el !so de la ec!acin ?%@ se procede a reali"ar otra -enerali"acin

de la r*!la de *asa/

M = ρ π h ( R− RR ) ( R2+ R∗ RR+ RR2)

3 ( R− RR ) ( R2

R2 )?13@

M =

ρ π h R2(1+ RR R + RR

2

R2 )

3

?1(@

Para reali"ar el cálc!lo de los *o*entos de inercia del cono de alt!ra + % 9 del

cono de alt!ra +1 es necesario epresar cada !na de s!s *asas en !ncin de

la *asa del cono tr!ncado con el :n de relacionarlos al :nal para +allar el*o*ento de inercia del cono tr!ncado/

M 1=

M R

(1+ RR R + RR2

R2 )( R− RR )

?1@

M 2=

M RR

(1+ RR R + RR

2

R2

)( R− RR )

( RR2

R2 )

?1'@

El *o*ento de inercia del cono de alt!ra +% pasando por el centro de *asa

respecto al eBe 0K0 será ?Ver :-!ra 1@/

I CC = 3

20 M

1( R2+ h12

4 )?16@

Aplicando el teore*a de eBes paralelos para los *o*entos de inercia/

I = I c g + M D2

?17@

Csando las ec!aciones ?16@ 9 ?17@ se o)tiene el *o*ento de inercia respecto al

eBe K/


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I !

" !

" 1= I CC + M 1 x1

2

?1&@

En donde/

x1=0.25h

1

?38@

El *o*ento de inercia del cono de alt!ra +1 pasando por el centro de *asa

respecto al eBe 5K5 será ?Ver :-!ra 1@/

I ##= 3

20 M

2( RR2+ h22

4 ) ?3%@Csando las ec!aciones ?3%@ 9 ?17@ se o)tiene el *o*ento de inercia respecto al

eBe K/

I !

" !

" 2= I ##+ M 2 ( x2+h )

2

?31@

En donde/

x2=0.25h

2 ?33@

a 4!e el análisis parte de los dos conos de alt!ras dierentes se p!ede calc!lar

el *o*ento de inercia respecto al eBe K del cono tr!ncado restando el

*o*ento de inercia del cono de alt!ra +% con el *o*ento de inercia del cono

+1 co*o se *!estra a contin!acin

I ! " ! "

= I ! " ! " 1

− I ! " ! " 2 ?3(@

I ! " ! "

= I CC + M 1 x12−( I ##+ M 2 ( x2+h )2 ) ?3@

Csando las ec!aciones ?3@, ?(@, ?%%@ 9 ?%1@ se procede a si*pli:car la ec!acin

dando co*o res!ltado/

I !

" !

" = M

[ 3 R

2

20(1+ RR R + RR2

R2 ) (

1+ RR R + RR

2

R2 + RR

3

R3 + RR

4

R4 )+

h2

10(1+ RR R + RR2

R2 ) (

1+3 RR R +6 RR

2

R2 )]

?3'@

El centroide del cono tr!ncado está dado por/


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x=h

4

R2+2 R ( RR )+3 R R2

R2+ R ( RR )+ R R2

?36@

Csando las ec!aciones ?17@, ?36@ 9 ?1(@ se o)tiene/

I !! = M [ 9 M 20 πρh (1+ RR

R +

RR2

R2 +

RR3

R3 +

RR4

R4 )

(1+ RR R + RR2

R2 )

2 +

3h2

80

(1+4 RR R +10 RR2

R2 +4

RR3

R3 +

RR4

R4 )

(1+ RR R + RR2

R2 )

2 ]?37@

El *o*ento de inercia respecto al eBe ZKZ pasando por el centro de *asa será/

I $$ =3 M

10 ( R5− R R5

R3− R R3 )

?3&@

Csando las ec!aciones ?1(@ 9 ?3&@ se p!ede o)tener el *o*ento de inercia

respecto a Z/

I $$ = 18 M

2

20 ρhπ

(1+ RR R + RR2

R2 +

RR3

R3 +

RR4

R4 )

(1+ RR

R +

RR2

R2 )

2

?(8@

El tensor de inercia estará dado por/

T =

I !! 0 0

0 I %% 0

0 0 I $$

?(%@


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[ M

[

9 M

20 πρh

(1+ RR R + RR2

R2 +

RR3

R3 +

RR4

R4 )

(1+

RR

R +

RR2

R

2

)

2 +

3 h2

80

(1+4 RR R +10 RR2

R2 +4

RR3

R3 +

RR4

R4 )

(1+

RR

R +

RR2

R

2

)

2

] 0

0 I %%

0 0 18 M

2

20 ρhπ

(1+

?(1@

Referencias

Documents

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