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Modelos Concretos no Ensino de Geometria:� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �Resumo: Durante o ano de 2009 foi desenvolvido o projeto do Núcleo

de Ensino da UNESP, Modelos Concretos de Geometria no Ensino

Fundamental, na Escola Municipal Paul Percy Harris de São José do Rio Preto. Neste trabalho serão apresentados os resultados da aprendizagem dos alunos relacionada com os tópicos especí)cos de geometria no desenvolvimento deste projeto.

Palavras-chave: aprendizagem, modelos concretos, ensino de geometria, atividades experimentais

1. IntroduçãoO projeto do Núcleo de Ensino da UNESP, Modelos Concretos de Geometria no En-

sino Fundamental, coordenado pela Profa. Dra. Rita de Cássia Pavani Lamas do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas de São José do Rio Preto, foi desenvolvido duran-te o ano de 2009, na Escola Municipal Paul Percy Harris desta cidade e teve por objetivos a aplicação da metodologia e a análise da aprendizagem dos alunos no desenvolvimento do projeto, os quais são descritos a seguir.

A colaboração dos estagiários bolsistas do projeto e dos professores de matemática da Escola Municipal Paul Percy Harris, em especial, das Professoras Maristela Albertoni Lisboa e Creusa Vicente dos Santos foi fundamental na aplicação da metodologia e na obtenção dos dados para a análise da aprendizagem.

Os resultados preliminares correspondentes a 8ª série A integram o trabalho do Con-gresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, Atividades Experimentais no

Ensino de Geometria: Análise de Resultados, apresentado em setembro de 2010.

2. MetodologiaA metodologia foi baseada na construção e utilização de modelos concretos durante

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as aulas de geometria na escola Paul Percy Harris. Para isso, foram propostas atividades experimentais com o objetivo de estimular a criatividade dos alunos, a intuição e dedução das propriedades geométricas. Tais atividades foram desenvolvidas pelo grupo (bolsistas do núcleo e coordenadora) juntamente com as professoras da disciplina.

Durante os dois primeiros meses os bolsistas estudaram trabalhos anteriores resultan-tes dos projetos do Núcleo de Ensino coordenados pela autora deste trabalho, entre os quais citamos, Lamas et al (2006) e Lamas et aL (2007), com apresentação de seminários semanais para o grupo relacionando os materiais dos trabalhos estudados e o conteúdo segundo plano de ensino da escola. Em paralelo, participaram de o)cinas ministradas pela coordenadora.

As o)cinas tiveram por objetivos esclarecer determinados conteúdos aos bolsistas e mos-trar como deveriam utilizar os modelos concretos em sala de aula. Sua aplicação não deveria ser uma simples manipulação do modelo como em um jogo do tipo quebra cabeça. Via as atividades experimentais os alunos deveriam ser questionados para que eles visualizassem as propriedades matemáticas correspondentes aquele modelo. Tais atividades deveriam envolver conceitos matemáticos e não apenas aplicações de fórmulas matemáticas. Em seguida, os alu-nos deveriam ser incentivados a demonstrar tais propriedades. Isso foi o que de fato ocorreu.

Cabe ressaltar, que ao observar a falta de pré-requisitos durante as atividades, os bol-sistas trabalhavam o conteúdo necessário antes da aplicação do modelo, orientados pela coordenadora e com o aval da professora.

Para confecção dos modelos concretos foi utilizado material de baixo custo como papel cartão, EVA (Etil, Vinil e Acetato) e canudos.

3. Análise da AprendizagemA análise da aprendizagem foi baseada na aplicação de duas provas envolvendo o mes-

mo conteúdo, uma no início e a outra no )nal do ano letivo de 2009. As provas não foram as mesmas, mas foram baseadas no mesmo conteúdo, segundo sugestão da coordenadora. As provas foram elaboradas pelos bolsistas, coordenadora e professora da disciplina. Os resultados da primeira prova foram discutidos no grupo, juntamente com a professora, para continuidade dos trabalhos propostos pela coordenadora. O uso de tabelas e grá)cos na avaliação foi proposto pela coordenadora para facilitar a análise dos resultados e mos-trar formas alternativas de representação.

A primeira prova permitiu veri)car a necessidade de retomar determinados conteú-dos já desenvolvidos em séries anteriores. Enquanto a segunda prova permitiu veri)car a

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aprendizagem do aluno mediante a metodologia proposta em sala de aula. Embora as provas tenham sido aplicadas em sala de aula, o resultado aqui apresentado é limitado a uma amostra dos alunos. Essa amostra se justi)ca devido ao não agendamento prévio das provas. Foram selecionados para essa análise somente os alunos que compareceram em ambas as provas de 6ª a 8ª séries (atualmente 7º a 9º ano).

3.1. Resultado da Sexta Série A

As tabelas 1 e 2 contém os dados das duas provas referentes aos alunos da sexta série A, respectivamente. O número do aluno nessas tabelas está relacionado com o número na lista de presença da aula de geometria na Escola Paul Percy Harris. O número da questão de cada prova corresponde, respectivamente, aos tópicos: conceito de reta, semi-reta, seg-mento de reta; medida de segmentos; posição relativa de retas; classi)cação de ângulos; perímetro; área do retângulo e quadrado; plani)cação de poliedro; número de lados de uma )gura plana.

A média aritmética por questão da primeira prova (média= soma das notas na questão/ número de alunos) e da segunda, assim como a média aritmética da classe em cada prova (média= soma das notas na prova de cada aluno/ número de alunos) foram apresentadas de duas maneiras: nas tabelas 1 e 2 e nos grá)cos (Figuras 1 a 4- eixo vertical). As )gu-ras 3 e 4 são apresentadas para melhor visualização dos resultados, sendo a prova 1 e 2, a primeira e segunda prova, respectivamente. Os números no eixo horizontal desses grá)cos representam os números das questões de cada prova.

Na prova 1 os alunos apresentaram di)culdades principalmente em medir segmento e obter a área do quadrado e do retângulo, como mostra a tabela 1 e as )guras 1 e 3 (questões 2 e 6), com uma melhora considerável na segunda prova (Tabela 2 e Figura 3). Em ambos os casos, para obtenção da área era necessário o conhecimento do conceito de área e não o uso de fórmulas. As regiões, quadrangular e retangular, foram quadriculadas considerando como unidade de área o quadrado de lado 1cm.

As médias das provas 1 e 2 são apresentadas no grá)co de barras na )gura 4. A média da sala passou de 2,599167 para 4,21944 (Tabelas 1 e 2, Figura 4), com um aumento de aproximadamente 70%.

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1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,25 0 0 0 0 0 1 0 1,25

2 0,45 0 0,5 0,93 1 0 1 0,5 4,38

4 0,7 0 0,7 0,33 0 0 1 0,5 3,23

5 0,5 0 0 0,33 1 0 0 1 2,83

6 0,1 0 0 0 0,125 0 0 0 0,225

7 1 1 0,75 1 1 0 1 0,5 6,25

11 0 0 0 0 0 0 1 0 1

12 0,7 0,5 1 0,53 0 0 1 0 3,73

13 0,75 0 0,5 0 0 0 0 0,5 1,75

16 0,7 0 0 0,3 0 0 0 1 2

20 0,7 0 0,25 0,2 0 0 1 1 3,15

23 0,55 0 0,75 0 1 0 1 0 3,3

24 0 0 0 0 1 0 1 0 2

26 0,5 0 0 0,33 0 0 1 0 1,83

27 0,45 0 0,75 0,43 0 0 1 0 2,63

29 0,45 0 0 0,63 0 0 1 0 2,08

31 0,7 1 0,25 0 0 0 1 0 2,95

32 0,4 0 0,8 0 0 0 0 1 2,2

Média 0,49444 0,13889 0,34722 0,27833 0,28472 0 0,72222 0,33333 2,59917

Figura 1- Média por questão

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Tabela 2: Notas relativas à 2ª Prova - 6ª Série A

Número

do Aluno

Questões Nota da

prova1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,3 1,1 0,9 0 0 0 0 1,1 3,4

2 0,6 0 0,8 1 0 0,4 1,1 0,6 4,5

4 0 1,1 0 0,5 1,1 1,1 1,1 1,1 6

5 0,6 0 0,2 1 0 0 1,1 1,1 4

6 0 0 0 0 0 0 1,1 0,5 1,6

7 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 8,9

11 0,3 0,9 0 0 0 0,7 0 1,1 3

12 1,2 1,1 1,1 0,9 1,1 0 1,1 0 6,5

13 0,3 0 0 0,4 1,1 0,4 1,1 0 3,3

16 0,6 0,55 0,55 0,5 0 0 1,1 0 3,3

20 0,3 0 0 0,5 1,1 0 1,1 1,1 4,1

23 0 1,1 0,9 0 0 0 1,1 1,1 4,2

24 0,3 0 0,55 0,5 0 0 1,1 0 2,45

26 0,3 1 1,1 0,5 1,1 0,8 1,1 1,1 7

27 0,6 1,1 0,9 0,5 1,1 0 1,1 0 5,3

29 0 1,1 0 0 0 0,3 0 0,55 1,95

31 0,3 0 0 0 0 0 1,1 1,1 2,5

32 0,3 0 0,9 0,55 0 0 1,1 1,1 3,95

Média 0,4 0,56389 0,5 0,44167 0,42778 0,26667 0,91667 0,70278 4,21944

Figura 2- Média por questão

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Figura 3- Comparação das médias por questão da primeira e segunda prova

2.2. Resultado da Oitava Série B

Os dados das provas relativas aos alunos da oitava série B são apresentados a seguir (Tabelas 3 e 4, Figuras 5 e 6) de maneira análoga a apresentação dos dados dos alunos da sexta série A. Neste caso, as questões de 1 a 6 se referem respectivamente aos tópicos: Noções Fundamentais: reta, ponto, semi-reta, segmento; medida de segmentos; medida de ângulos; classi)cação de ângulos; área; plani)cação de Poliedros.

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Tabela 3: Notas relativas à 1ª Prova - 8ª Série B

Número do

Aluno

Questões

Prova5 6

2 0,25 0 0,25 0,7 0 1 2,2

3 0,75 0 0 0,7 1 1 3,45

6 0,5 0 0 0 1 1 2,5

8 0,5 0 0 0 0 1 1,5

13 0,75 0 0 0,7 0 1 2,45

14 0,5 0 0 0,7 1 1 3,2

20 0,5 0 0 0,7 1 1 3,2

21 0,25 0 0,25 0,25 1 1 2,75

24 0,5 0 0 0,7 1 1 3,2

26 0 0 0 0 0 1 1

29 0 0 0 0 0 0 0

31 0,25 0 0,25 0,7 0 1 2,2

32 0,5 0 0 0,7 1 1 3,2

34 0,75 0 0 1 1 1 3,75

0,428571 0 0,053571 0,489286 0,571429 0,928571 2,471429

Tabela 4: Notas relativas à 2ª Prova - 8ª Série B

Número do

Aluno

Questões Nota da

Prova1 2 3 4 5 6

2 0,625 0,625 1,25 0,9 1,25 1,25 5,9

3 1,25 1,25 1,25 0,8 1,25 1,25 7,05

6 0 0 0 0,8 0,4 0 1,2

8 1 1,25 1,25 0,8 0 1,25 5,55

13 0 0 0 0 0 1,25 1,25

14 0 1,25 1,25 0,8 1 1,25 5,55

20 0 0 0 0,8 0 1,25 2,05

21 0,625 0 0,625 1 1,25 1,25 4,75

24 0,3 0 0,625 0,8 1,25 1,25 4,225

26 0,3 1,25 1,25 0,8 0 1,25 4,85

29 1,25 1,25 1,25 1 1 1,25 7

31 1,25 0 1,25 0,8 0 1,25 4,55

32 0 1,25 0 0,8 0 1,25 3,3

34 1,25 1,25 1,25 1 1 1,25 7

Média 0,560714 0,669643 0,803571 0,792857 0,6 1,160714 4,5875

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Figura 5- Comparação da média por questão

Os alunos da oitava série B também mostraram di)culdade em medir segmento e medir ângulo na primeira prova (Tabela 3 e Figura 5). A )gura 6 também mostra uma melhora de aproximadamente 80% na segunda prova.

2.3 Resultados da Sétima e Oitava Série A

Os resultados relativos aos alunos da sétima e oitava série A serão apresentados apenas através do grá)co de barras (Figuras 7 a 10), embora os dados para a elaboração desses grá)cos foram obtidos como para as sexta série e oitava B .

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No caso da sétima série A os números de 1 a 7 no eixo horizontal da )gura 7 repre-sentam os números das questões de cada prova, na seguinte ordem de conteúdo: ponto e reta; medida de segmento; medida de ângulo; classi)cação de ângulos; nomenclatura das )guras; classi)cação dos triângulos; plani)cação de poliedros.

Na )gura 9 os números de 1 a 6 no eixo horizontal representam os números das ques-tões de cada prova, na seguinte ordem de conteúdo: reta; medida de segmento; medida de ângulo; classi)cação de ângulos; área de polígonos e plani)cação de poliedros.

As )guras de 7 a 10 também mostram uma melhora no desempenho dos alunos. Pode ser observado praticamente 100% de melhora na média dos alunos na segunda prova da 8ª série A (Figura 10).

Figura 7- Comparação da média por questão da 7ª série.

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Figura 9- Comparação da média por questão da 8ª A

2.4 Considerações Finais

Esses resultados indicam que a metodologia proposta contribuiu para uma melhora na aprendizagem dos alunos. Acrescenta-se a esses resultados o interesse e a motivação dos alunos em sala de aula no desenvolvimento das atividades experimentais envolvendo os modelos concretos de geometria e a melhora no entendimento das propriedades geomé-tricas. No entanto, pelos resultados nas tabelas apresentadas )ca evidente a necessidade de continuidade de aplicação da metodologia assim como um reforço para os alunos que não apresentaram o desempenho esperado.

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REFERÊNCIAS

[1] LAMAS, R. C. P., CÁCERES, Alexsandra R, CHIRE, Verônica A Q, MAURI, Ju-liana, GALÃO, Paulo H, Atividades de geometria no Ensino Fundamental, In: Núcleos de Ensino da Unesp ed.São Paulo : Cultura Acadêmica, p. 576-584, 2006.

[2] LAMAS, R. C. P., MAURI, Juliana, O Teorema de Pitágoras e as Relações Métricas no Triângulo Retângulo, In: Núcleos de Ensino da Unesp ed.São Paulo : Cultura Acadê-mica, p. 815-825, 2006.

[3] LAMAS, R. C. P., CÁCERES, Alexsandra R, COSTA, Fabiana Mara da, PEREIRA, Inaiá Marina Constantino, MAURI, Juliana, Ensinando Área no Ensino Fundamental, In: Núcleos de Ensino da Unesp ed.São Paulo : Cultura Acadêmica, p. 430-449, 2007.