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MODELOS DE CORRELAÇÕES CONDICIONAIS DINÂMICAS
Aplicação Empírica às Taxas de Retorno das Large Cap e Small Cap da Zona Euro
José Neto e F. Vitorino Martins
XIV Congresso da Sociedade Portuguesa de Estatística(2006)
XIV Congresso da SPE (2006) 2
OBJECTIVOS DO ESTUDO
Estudo da dinâmica de correlações entre as taxas de retorno das pequenas e grandes empresas cotadas nas bolsas da zona euro
Comportamento homogéneo das correlações dinâmicas em todos os países? Existirão especificidades?
Utilização de Modelos de Correlações Condicionais Dinâmicas (Modelos DCC)
XIV Congresso da SPE (2006) 3
MOTIVAÇÃO DO ESTUDO
A volatilidade e a correlação dos retornos das acções desempenham um papel crucial nas seguintes áreas das finanças:
Gestão de carteiras
Avaliação de activos financeiros
Gestão de risco
...
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O QUE SABEMOS?
A volatilidade e a correlação dos retornos :
Variam ao longo do tempo, por vezes abruptamente;
Os retornos estão negativamente relacionados com a volatilidade e correlação
COMPORTAMENTO ASSIMÉTRICO
XIV Congresso da SPE (2006) 5
2. Se então:
CORRELAÇÕES CONDICIONAIS
1. Definição de correlação condicional:
r1 e r2 são os desvios em relação à média.
1, 1, 1, 2, 2, 2, e t t t t t tr h r hε ε= =
( )( ) ( )
( )1 1, 2,12, 1 1, 2,2 2
1 1, 1 2,*t t t
t t t t
t t t t
EE
E E
ε ερ ε ε
ε ε−
−
− −
= =
( )( ) ( )
1 1, 2,12, 2 2
1 1, 1 2,*t t t
t
t t t t
E r r
E r E rρ −
− −
=
XIV Congresso da SPE (2006) 6
CORRELAÇÕES CONDICIONAIS CONSTANTESBollerslev (1990)Propõe modelizar a matriz de variâncias e covariâncias condicional dos retornos de activos financeiros assumindo que as correlações condicionais são constantes:
variância condicionada:
covariância condicionada:
2,
1 11, ,
p q
l t i t i j t ji j
h r h l kω α β− −= =
= + + =∑ ∑ K
, , , , 1, ,lm t lm l t m th h h l m k l mρ= = ≠K
XIV Congresso da SPE (2006) 7
CORRELAÇÕES CONDICIONAIS CONSTANTES
Vantagens:
Modelo pode ser facilmente estimado pelo método máxima verosimilhança mesmo para um nº de activos financeiros elevado
Ht é definida positiva
Desvantagem:
Assume correlações condicionais entre os retornos constantes!
XIV Congresso da SPE (2006) 8
MODELO DCC - EspecificaçãoEngle (2002) e Engle e Sheppard (2001)
( )1 0,t t tr N H−ℑ
t t t tH D R D=
( ) ( )1 1
t t t tR Q Q Q− −∗ ∗=
'
1 1 1 11
p p p q
t i i i t i t i j t ji i i j
Q Q Qα β α ε ε β− − −= = = =
⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )'1, , 11, ,, , , ,t t k t t t kk t t tD diag h h Q diag q q Q E ε ε∗= = =L L
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MODELO DCC - EspecificaçãoPara dois activos i e j, num modelo DCC(1,1):
( ), , 1 , 1 , 11ij t ij i t j t ij tq q qα β αε ε β− − −= − − + +
,,
, ,
ij tij t
ii t ij t
qq q
ρ =
, ,e Modelos GARCH univariadosi t j th h →
,,, ,
, ,
j ti ti t j t
i t j t
rrh h
ε ε= =
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MODELO DCC – EstimaçãoFunção de verosimilhança
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
' 11/ 2/ 2
1
' 1
1
1'
1
' 1 1 1
1
'
1 1exp22
1ln log 22
1ln log 2 log2
1ln log 2 2log log2
1ln log 2 2log log2
N
t t tkt t
N
t t t tt
N
t t t t t t t tt
N
t t t t t t tt
t t t
L r H rH
L k log H r H r
L k D R D r D R D r
L k D R r D R D r
L k D R R
θπ
θ π
θ π
θ π
θ π ε
−
=
−
=
−
=
− − −
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + +
= − + +
= − + + +
= − + + +
∏
∑
∑
∑
( )1
1
N
t tt
ε−
=∑
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MODELO DCC - EstimaçãoEstimação em duas fases pelo método da quase máxima verosimilhança (QMV):
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 2
' 2 ' ' 1
1
, , , , ,
1ln log 2 2log log2
ln ln ln
k
N
t t t r t t t t t tt
L k D r D r R R
L L L
θ φ φ φ ψ φ ψ
θ π ε ε ε ε
θ φ ψ
− −
=
= =
= − + + + − +
= +
∑
K
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MODELO DCC - Estimação
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' 2
1
2
1 1
2
1 1
1ln log 2 2log2
1ln log 2 log2
1ln log 2 log2
N
t t rt
N kit
itt i it
k Nit
iti t it
L k D r D r
rL k hh
rL N hh
φ π
φ π
φ π
−
=
= =
= =
= − + +
⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
∑ ∑
∑ ∑
1. Na primeira fase estimam-se para cada série de retornos modelos GARCH univariados assumindo que R=I (correlações condicionais nulas)
XIV Congresso da SPE (2006) 13
2. Após estimadas as variâncias condicionais calculam-se os retornos estandardizados e estimam-se os parâmetros das correlações condicionadas usando a função logarítmica de verosimilhança original:
MODELO DCC - Estimação
/it it itr hε =
( ) ( )( )
( ) ( )
' 1
1
' 1
1
1ˆ ˆln log 2 2log log2
1ˆln log2
N
t t t t tt
N
t t t tt
L k D R R
L R R
ψ φ π ε ε
ψ φ ε ε
−
=
−
=
= − + + +
∝ − +
∑
∑
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MODELO DCC - EstimaçãoSob certas condições gerais, Engle e Sheppard (2001) demonstraram que, apesar da incorrecta especificação da função de máxima verosimilhança, os estimadores QMV são consistentes e seguem assimptoticamente uma distribuição normal.
Por forma a obter um estimador robusto para a matriz de variâncias e covariâncias dos estimadores de QMV será necessário fazer o seguinte ajustamento:
( ) 1 1ˆV A BAθ − −=
2
'
'
ln
ln ln
LA E
L LB E
θ θ
θ θ
⎡ ⎤∂= − ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Bollerslev e
Wooldridge
(1992)
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MODELO DCC - Extensões
Modelo DCC generalizado (GDCC)
( )' ' ' ' '1 1 1t t t tQ Q AQA B QB A A B Q Bε ε− − −= − − + +
( ), , 1 , 1 , 11ij t i j i j ij i j i t j t i j ij tq a a bb q a a bb qε ε− − −= − − + +
( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,k kA diag a a a B diag b b b= =L L
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MODELO DCC - Extensões
Modelo DCC assimétrico e generalizado (AGDCC)
( )' ' ' ' ' ' ' '1 1 1 1 1t t t t t tQ Q AQA B QB G NG A A B Q B G Gε ε η η− − − − −= − − + + + +
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , , , ,k k kA diag a a a B diag b b b G diag g g g= = =L L L
[ ] '0t t t t tI N Eη ε ε ηη⎡ ⎤= < = ⎣ ⎦o
( ), , 1 , 1 , 1 , 1 , 1ij t ij i j ij i j ij i j ij i j i t j t i j ij t i j i t j tq q a a q bb q g g n a a bb q g gε ε η η− − − − −= − − − + + +
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Aplicação Empírica – AmostraFonte dos dados DATASTREAM
Universo Empresas cotadas na zona Euro com capitalização bolsista superior a 500 milhões de €
Construção de índices Large, Mid/Large, Mid, Mid/Small e Small
Variáveis Taxa de retorno instantânea de cada índice
Periodicidade dos dados Semanal
Período Após a introdução da moeda única (Janeiro de 1999 a Agosto de 2006)
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Estatísticas Descritivas
L ML M MS SNº de observações 399 399 399 399 399Média (%) 0,012 0,102 0,118 0,124 0,095Desvio-Padrão (%) 3,091 2,303 2,100 2,002 2,017Skewness -0,328 -0,788 -0,894 -1,073 -1,253Kurtosis 6,539 5,859 5,577 5,472 8,237Jarque-Bera 214,26 176,35 162,69 177,32 557,49P-Value JB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
ASSIMETRIA NEGATIVA
NÃO NORMALIDADE
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MODELOS GARCH UNIVARIADOS
( ) 21 1GARCH 1,1 : t t th r hω α β− −= + +
( ) 2 21 1 1 1GJR-GARCH 1,1,1 : [ 0]t t t t th r I r r hω α γ β− − − −= + + < +
Índice Modelo ω α γ βLarge Caps GJR 0,504 0,055* 0,227 0,763Mid/Large Caps GARCH 0,496 0,225 - 0,696Mid Caps GJR 0,979 0,000* 0,347 0,584Mid/Small Caps GJR 0,870 0,007* 0,327 0,582Small Caps GARCH 0,125 0,251 - 0,749* Não significativo para um nível de significância de 5%.
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MODELOS CCC
L Caps M/L Caps M Caps M/S Caps S CapsL Caps 1 0,920 0,879 0,860 0,804M/L Caps 1,000 0,935 0,912 0,884M Caps 1,000 0,940 0,884M/S Caps 1,000 0,898S Caps 1,000
Modelo CCC
Ln L = -2654,7
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MODELOS DCC
Modelo α β a i b i g i Ln LDCC(1,1) 0,0184 0,9816 - - - -2622,2
L Caps - - 0,2014 0,9641 -M/L Caps - - 0,1689 0,9477 -M Caps - - 0,2081 0,9483 -M/S Caps - - 0,2059 0,9369 -S Caps - - 0,1517 0,9673 -L Caps - - 0,2034 0,9539 0,1410*
M/L Caps - - 0,1474 0,9440 0,1455M Caps - - 0,1721 0,9420 0,1906M/S Caps - - 0,1668 0,9243 0,2266S Caps - - 0,1205 0,9613 0,1697
* Não significativo para um nível de significância de 5%
GDCC(1,1)
AGDCC(1,1)
-2609,8
-2607,0
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Qual o melhor modelo?Testes da razão de verosimilhança
Modelo GDCC
Nota:
Foutz and Srivastave (1977), Liang and Self (1996) referem que quando um modelo é estimado em duas fases a estatística apresentada é uma soma ponderada de q variáveis independentes .
( ) 22 ln lna
r u qL L χ− −
21χ
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Análise por país
PaísCorrelações entre as
diferentes Caps Modelo
Alemanha Dinâmicas GDCC
Áustria Constantes CCC
Bélgica e Luxemburgo Constantes CCC
Espanha Dinâmicas AGDCC
Finlândia Constantes CCC
França Dinâmicas GDCC
Grécia Dinâmicas AGDCC
Holanda Dinâmicas GDCC
Irlanda Dinâmicas DCC
Itália Dinâmicas AGDCC
Portugal Dinâmicas DCC
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Referências bibliográficasEngle R.F. (2002), “Dynamic conditional correlation – a simple class ofmultivariate GARCH models”, Journal of Business and Economic Statistics, Vol. 20, pp. 339-350.
Engle R.F. e K. Sheppard (2001), “Theorical and empirical properties ofdynamic conditional correlation MVGARCH”, UCSD Working Paper n. 2001-15.
Cappiello L., R.F. Engle e K. Sheppard (2003), “Asymmetric Dynamics in theCorrelations of Global Equity and Bond Returns”, ECB Working Paper n. 204.
Bauwens L., S. Laurent e J.V.K. Rombouts (2006), “Multivariate Garch Models: a Survey”, Journal of Apllied Econometrics, Vol. 20, pp. 79-109.
Bollerslev, T., J. Wooldridge (1992), “Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances”, Econometrics Reviews, Vol. 11, pp. 143-172.