Modelos de distribuições Modelos de distribuições discretas de discretas de

probabilidadeprobabilidade

Introdução:Introdução: Existem variáveis aleatórias que têm uma Existem variáveis aleatórias que têm uma

função de distribuição pertencente a uma função de distribuição pertencente a uma classe de classe de distribuições teóricasdistribuições teóricas. .

As distribuições teóricas, como o próprio As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudadotempo na análise do problema estudado. .

DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

Suponhamos a realização de um Suponhamos a realização de um experimento , cujo resultado pode ser experimento , cujo resultado pode ser um sucesso (se acontecer o evento um sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso (o que nos interessa) ou um fracasso (o evento não se realiza). evento não se realiza).

Seja a variável aleatória: sucesso ou Seja a variável aleatória: sucesso ou fracasso. x fracasso. x

X → X1 = 1 (sucesso) ou X2 = 0 (fracasso)

P(x) → p(X1) = p

p(X2) = 1 – p = q

Diz-se que esta variável, assim Diz-se que esta variável, assim definida, tem uma distribuição de definida, tem uma distribuição de "Bernoulli"."Bernoulli".

Prova de BernoulliProva de Bernoulli Principais características:Principais características:

pq)p1(ppp

pp1q0)x(fx

)X(E)x(E:Variância

pp1q0)x(fx:Média

2

1

0

2222i

2i

222i

2

1

0ii

Sucessão de provas de BernoulliSucessão de provas de Bernoulli: Defini-se : Defini-se como o processo caracterizado por repetidas como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes provas que têm lugar nas seguintes condições:condições:

1.1. Cada prova resultem em somente dois Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”.“sucesso” e “falha”.

2.2. A probabilidade de um sucesso em A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por cada prova, designada por pp, , permaneça constante. A probabilidade permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por de falha designa-se por q = 1− pq = 1− p..

3- As provas sejam independentes, isto 3- As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) os resultados da(s) provas(s) subsequente(s).subsequente(s).

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Trata-se de uma distribuição de Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados que apresentam apenas dois resultados (sucesso ou fracasso).(sucesso ou fracasso).

Este modelo fundamenta-se nas seguintes Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: hipóteses:

HH11. provas independentes e do mesmo tipo . provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; nsão realizadas; n

Considerando-se uma sucessão de Considerando-se uma sucessão de n n provas de Bernoulli, a variável provas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas sucessos obtidos nessas n n provas de provas de Bernoulli tem distribuição binomial.Bernoulli tem distribuição binomial.A variável aleatória A variável aleatória XX, que é igual ao , que é igual ao número de provas que resultam em número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros binomial com parâmetros pp e n em e n em que que 0 < p < 10 < p < 1 e e n = {1, 2, 3, ..., n}n = {1, 2, 3, ..., n}..

A função de probabilidade de A função de probabilidade de X X éé::

n...,,2,1,0x,qpxn

)x(f xnx

Distribuição BinomialDistribuição Binomial Principais características:Principais características:De acordo com as hipóteses, observa-De acordo com as hipóteses, observa-

se que se que XX é a soma de é a soma de nn variáveis do variáveis do tipo “Bernoulli”, daí :tipo “Bernoulli”, daí :

npqnXVarVariância

npnXEMédia

2)(:

)(:

Exemplo:Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de Cada amostra de ar tem 10% de

chance de conter uma certa chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2 próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham a molécula rara.contenham a molécula rara.

Seja Seja XX = número de amostras de ar = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas próximas amostras analisadas (sucessos); então, (sucessos); então, XX é a variável é a variável aleatória binomial com aleatória binomial com p = 0,1p = 0,1 e e n = n = 1818. Assim,. Assim,

284,0)9,0()1,0(218

)2X(Pqpxn

)x(f 162xnx