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Modelos de Oligopólio

Paulo C. Coimbra

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Modelos de Oligopólio

• Existem três modelos de oligopólio dominantes– Cournot

– Bertrand

– Stackelberg – líder-seguidora

• Eles são distinguidos pela– variável de decisão que a firma escolhe

– pelo “timing” do jogo

• Mas todos possuem o conceito de equilíbrio de Nash

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O Modelo de Cournot

• Vamos começar com um duopólio• Duas firmas fazem um produto idêntico (Cournot supôs

que fosse água potável)

• A demanda por esteproduto é

P = A - BQ = A - B(q1 + q2)

tal queq1 é o produto da firma 1 e q2 é o produto dafirma 2

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Modelo de Cournot

• O custo marginal de cada firma é constante a c por unidade

• Para ter a demanda pelo produto de uma firma nóstomamos o produto da outra firma como constante

• Portanto para a firma 2, a demanda éP = (A - Bq1) - Bq2

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O Modelo de Cournot (cont.)

P = (A - Bq1) - Bq2

$

Quantidade

A - Bq1

Se o produto dafirma 1 é aumentadoa curva de demanda

para a firma 2 semove para a esquerda

A - Bq’1

A escolha de produto dafirma 2 depende do produto da firma 1

DemandaA receita marginal paraa firma 2 é

RM2 = (A - Bq1) - 2Bq2RM2

RM2 = CM

A - Bq1 - 2Bq2 = c

Solucioneisto para oprodutoq2

∴ q*2 = (A - c)/2B - q1/2

c CM

q*2

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O Modelo de Cournot (cont.)

q*2 = (A - c)/2B - q1/2

Esta é a função de melhor respostapara a firma 2

Isto nos dá a escolha de produto da firma 2 para qualquernível de produto escolhido pela firma 1

Esta também é uma funçãomelhor-respostadafirma 1

Exatamente pelo mesmo argumento ela pode ser escrita como:q*1 = (A - c)/2B - q2/2

O equilíbrio Cournot-Nash requer que ambas as firmasusem suas funções de melhor-resposta.

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Equilíbrio Cournot-Nashq2

q1

A função de melhor-resposta para a firma 1é q*1 = (A-c)/2B - q2/2

A função de melhor-resposta para a firma 1é q*1 = (A-c)/2B - q2/2

(A-c)/B

(A-c)/2B

Função melhor-resposta Firma 1

A função melhorresposta para a firma 2é q*2 = (A-c)/2B - q1/2

A função melhorresposta para a firma 2é q*2 = (A-c)/2B - q1/2

(A-c)/2B

(A-c)/B

Se a firma 2 nãoproduz nada então

a firma 1 iráproduzir o produto

de monopólio(A-c)/2B

Se a firma 2 produz(A-c)/B então a

firma 1 irá escolhernão produzir

Função melhor-resposta Firma 2

O equilíbrio Cournot-Nash está no

ponto C na interseçãodas funções demelhor resposta

C

qC1

qC2

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Equilíbrio Cournot-Nash

q2

q1

(A-c)/B

(A-c)/2B

Função melhor-resposta Firma 1

(A-c)/2B

(A-c)/B

Função melhor-resposta Firma 2

C

q*1 = (A - c)/2B - q*2/2

q*2 = (A - c)/2B - q*1/2

∴ q*2 = (A - c)/2B - (A - c)/4B + q*2/4

∴ 3q*2/4 = (A - c)/4B

∴∴∴∴ q*2 = (A - c)/3B(A-c)/3B

∴∴∴∴ q*1 = (A - c)/3B

(A-c)/3B

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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)

• Em equilíbrio cada firma produz: qC1 = qC

2 = (A - c)/3B

• Então, o produto total é: Q* = 2(A - c)/3B

• Relembre que a demanda é P = A - BQ

• Então o preço de equilíbrio é P* = A - 2(A - c)/3 = (A + 2c)/3

• Lucro da firma 1 é: (P* - c)qC1 = (A - c)2/9

• Lucro da firma 2 é o mesmo

• Um monopolista deveria produzir: QM = (A - c)/2B

• A concorrência entre as duas firmas fazem com que o produto total exceda o produto total ofertado pelo monopólio. O preço, por sua vez, é menor do que o de monopólio

• Mas o produto ainda é menor do que o de uma indústria competitiva(A - c)/B onde o preço é igual ao custo marginal

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Um exemplo numérico

• Demanda: P = 100 - 2Q = 100 - 2(q1 + q2); A = 100; B = 2• Custo unitário: c = 10• Produto total de equilíbrio: Q = 2(A – c)/3B = 30;• produto da firma individual: q1 = q2 = 15• O preço de equilíbrio é P* = (A + 2c)/3 = $40• O lucro da firma 1 é (P* - c)qC1 = (A - c)2/9B = $450• Concorrência: Q* = (A – c)/B = 45; P = c = $10• Monopólio: QM = (A - c)/2B = 22.5; P = $55• O produto total excede o monopólio mas é menor do

que a concorrência perfeita• O preço excede o custo marginal mas é menor do que o

monopólio

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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)

• O que ocorre se existe mais de duas firmas?

• Digamos que existem N firmas idênticas produzindoprodutos iguais

• Produto total Q = q1 + q2 + … + qN

• A demanda é P = A - BQ = A - B(q1 + q2 + … + qN)

• Considere a firma 1. Sua curva de demanda é:P = A - B(q2 + … + qN) - Bq1

• Use uma notação simplificada: Q-1 = q2 + q3 + … + qN

• Então a demanda para a firma 1 é P = (A - BQ-1) - Bq1

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O Modelo de Cournot (cont.)P = (A - BQ-1) - Bq1

$

Quantidade

A - BQ-1

Se o produto deoutras firmas

aumenta, entãoa curva de demanda

para a firma 1 semove para a esquerda

A - BQ’ -1

A escolha da produçãoda firma 1 depende do produto das outrasfirmas

DemandaA receita marginal paraa firma 1 é:

RM1 = (A - BQ-1) - 2Bq1RM1

RM1 = CM

A - BQ-1 - 2Bq1 = c

Resolva istopara o

produtoq1

∴ q*1 = (A - c)/2B - Q-1/2

c CM

q*1

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Equilíbrio de Cournot-Nash (cont.)

q*1 = (A - c)/2B - Q-1/2

Como resolver istopara q*1?As firmas são idênticas.

Então em equilíbrioelas terão produção

idênticas.

∴∴∴∴ Q* -1 = (N - 1)q*1

∴ q*1 = (A - c)/2B - (N - 1)q*1/2

∴ (1 + (N - 1)/2)q*1 = (A - c)/2B

∴ q*1(N + 1)/2 = (A - c)/2B

∴∴∴∴ q*1 = (A - c)/[(N + 1)B]

∴∴∴∴ Q* = N(A - c)/[(N + 1)B]

∴∴∴∴ P* = A - BQ* = (A + Nc)/(N + 1)

Quando o número defirmas aumenta o produto para cada

firma caiO produto agregado

aumenta com o número de firmasO preço se aproxima do

custo marginal quandoo número de firmas

aumenta

Lucro da firma 1 é P*1 = (P* - c)q*1= (A - c)2/[(N + 1)2B]

A medida que o no defirmas aumenta os

lucros de cada firmacaem

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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)

• O que ocorre se as firmas não tem custos idênticos?

• Assuma que o custo marginal da firma 1 éc1 e o da firma 2 é c2.

• A demanda éP = A - BQ = A - B(q1 + q2)

• Nós temos a receita marginal para firma 1 como antes

• RM1 = (A - Bq2) - 2Bq1

• Igual ao custo marginal: (A - Bq2) - 2Bq1 = c1∴ q*1 = (A - c1)/2B - q2/2

O mesmoresultado

ocorre para afirma 2

∴ q*2 = (A - c2)/2B - q1/2

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Equilíbrio Cournot-Nash

q2

q1

(A-c1)/B

(A-c1)/2B

R1

(A-c2)/2B

(A-c2)/B

R2C

q*1 = (A - c1)/2B - q*2/2

q*2 = (A - c2)/2B - q*1/2

∴ q*2 = (A - c2)/2B - (A - c1)/4B + q*2/4

∴ 3q*2/4 = (A - 2c2 + c1)/4B

∴∴∴∴ q*2 = (A - 2c2 + c1)/3B

∴∴∴∴ q*1 = (A - 2c1 + c2)/3B

O que ocorre com esteequilíbrio quando os

custam mudam?

A medida que o customarginal da firma 2cai, sua curva de

melhor resposta desloca-separa a direita

O produto deequilíbrio da firma 2

aumenta e o dafirma 1 cai

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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)

• Em equilíbrio as firmas produzemqC

1 = (A - 2c1 + c2)/3B;

qC2 = (A - 2c2 + c1)/3B

• O produto total é: Q* = (2A - c1 - c2)/3B

• A demanda é: P = A - BQ

• Então o preço é P* = A - (2A - c1 - c2)/3 = (A + c1 +c2)/3

• O lucro da firma 1 é (P* - c1)qC1 = (A - 2c1 + c2)2/9B

• O lucro da firma 2 é (P* - c2)qC2 = (A - 2c2 + c1)2/9B

• O produto de equilíbrio é menor do que o de equilíbriocompetitivo

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Um Exemplo Numérico com CustosDiferentes

• Vamos assumir uma demanda dada por: P = 100 – 2Q; A = 100, B =2

• Tome c1 = 5 and c2 = 15

• O produto total é, Q* = (2A - c1 - c2)/3B = (200 – 5 – 15)/6 = 30

• qC1 = (A - 2c1 + c2)/3B = (100 – 10 + 15)/6 = 17.5

• qC2 = (A - 2c2 + c1)/3B = (100 – 30 + 5)/3B = 12.5

• O preço é P* = (A + c1 +c2)/3 = (100 + 5 + 15)/3 = 40

• O lucro da firma 1 é (A - 2c1 + c2)2/9B =(100 – 10 +5)2/18 = $612.5

• O lucro da firma 2 é (A - 2c2 + c1)2/9B = $312.5

• Os produtores poderiam estar melhor e os consumidores não estariampior se a firma 2 produzisse mais 12.5 unidades do que a firma 1.

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Competição por Preço: Bertrand

• No modelo de Cournot o preço é determinado por algummecanismo de ajustamento de mercado

• As firmas são passivas na determinação dos preços

• Uma abordagem alternativa é assumir que firmascompetem por preços

• Isto leva a resultados diferentes

• Vamos tomar um simples exemplo– duas firmas produzem um produto identico (água?)

– firmas escolhem os preços em que eles vendem água

– cada firma tem um custo marginal constante de $10

– a demanda por mercado éQ = 100 - 2P

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Modelo de Bertrand (cont.)

• Precisamos derivar a demanda para cada firma– a demanda é condicional dado o preço cobrado por outra firma

– Tome a firma 2. Assuma que a firma 1 tem um preço a $25

– se a firma 2 faz um preço maior do que $25 ela não venderá nada

– se o preço é menor do que $25 ela toma todo o mercado

– se a firma 2 faz o preço igual a $25 os consumidores sãoindiferentes entre as duas firmas

– assim, o mercado é dividido, presumidamente 50:50

• Assim, derivamos a demanda para a firma 2– q2 = 0 se p2 > p1 = $25

– q2 = 100 - 2p2 se p2 < p1 = $25

– q2 = 0.5(100 - 50) = 25 se p2 = p1 = $25

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Modelo de Bertrand (cont.)• Genericamente:

– Suponha que a firma 1 determina o preço a p1

• A demanda para a firma 2 é:

p2

q2

q2 = 0 se p2 > p1p1

q2 = 100 - 2p2 se p2 < p1

100100 - 2p1

q2 = 50 - p1 se p2 = p1

50 - p1

A demanda não écontínua. Existe um

pulo em p2 = p1

• A descontinuidade nademanda afeta os lucros

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Modelo de Bertrand (cont.)

O lucro da firma 2 é:

π2(p1,, p2) = 0 se p2 > p1

π2(p1,, p2) = (p2 - 10)(100 - 2p2) se p2 < p1

π2(p1,, p2) = (p2 - 10)(50 - p2) se p2 = p1

Claramente isto depende de p1.

Suponha primeiro que a firma 1 determina um preçomuito alto: maior do que o preço de monopólio de $30

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Modelo de Bertrand (cont.)

Com p1 > $30, o lucro da firma 2 é como esse:

Preço Firma 2

Lucro da firma 2

$10 $30 p1

p2 < p1

p2 = p1

p2 > p1

Que preço a firma 2escolhe?

O preço de monopólio $30

E se a firma escolhe $30?

Então, se p1 cai para $30, a firma 2 deverá ajustarabaixo de p1 um pouco e

ter quse todo lucro de monopólio

Se p1 = $30, então a firma 2 irá ganhar apenaslucros positivos ao cortar

seu preço para $30 ou menos

A p2 = p1 = $30, a firma 2 tem metadodo lucro de monopólio

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Modelo de Bertrand (cont.)Agora suponha que a firma 1 escolhe $30

Preço Firma 2

Lucro Firma 2

$10 $30p1

p2 < p1

p2 = p1

p2 > p1

O lucro da firma 2 é como isso:

Qual o preço que a firma 2 deve

escolher agora?

Como p1 > c = $10, A firma 2 deve

objetivar apenasbater a firma 1

E se a firma 1escolhe $10?

Então a firma 2 deve tambémescolher $10. Cortando os

preços abaixo de 10 terá perdas

É claro, a firm 1 irá cobrar

menos do que a firm 2

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Modelo de Bertrand (cont.)

• Temos agora que a melhor resposta da firma 2 paraqualquer preço determinado pela firma 1:– p*2 = $30 se p1 > $30

– p*2 = p1 - “algo pequeno” se $10 < p1 < $30

– p*2 = $10 se p1 < $10

• Temos uma melhor-resposta simétrica para a firma 1– p*1 = $30 se p2 > $30

– p*1 = p2 - “algo pequeno” se $10 < p2 < $30

– p*1 = $10 se p2 < $10

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Modelo de Bertrand (cont.)A função melhor resposta é como essa:

p2

p1$10

$10

R1

R2

A função melhor-resposta para

a firma 1A função melhor-

resposta paraa firma 2

O equilíbrio é com ambas as firmascobrando $10

O equilíbriode Bertrand possuiambas as firmascobrando o preçoao custo marginal

$30

$30

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Equilíbrio de Bertrand• O modelo de Bertrand deixa claro que a competição em

preços é muito diferente da competição em quantidades

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Case: Brittanica vs Encarta

• Por décadas, Britannica foi a líder do mercado de enciclopédias, no começo dos anos 90, o conjunto com 32 volumes era vendido por 1600 USD.

• Entrada da Microsoft nesse mercado

• Em 1992, a Microsoft comprou a Funk & Wagnall e usouseu conteúdo para montar a Encarta, uma enciclopédia emCD rica em multimídia. O preço inicial daEncarta era 49.95 USD.

• A Britannica viu seu mercado erodir. Em 1996, suasvendas estimadas estavam em torno de metade do valor de 1990.

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Case: Brittanica vs Encarta

• Então ela decidiu entrar no mercado de enciclopédia digital vendendo o acesso online a Britannica digital a 2000 USD por ano.

• Em 1995, entra no mercado doméstico vendendo o acessoonline a 120 USD por ano.

• Em 1996, o CD passou a ser vendido a 200 USD.

• Em 2001, o CD da Britannica estava sendo anunciado59.95, e com um desconto de 10 USD usando mail-in-rebate. Enquanto a Encarta está sendo anunciada a 74.95.

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Bertrand: modificações• Os problemas da abordagem de Bertrand

– para o equilíbriop = custo marginal, ambas as firmasnecessitam capacidade suficiente para fazerp = MC

– quando ambas fazemp = c ambas dividem o mercado

– ambas deveriam ter umacapacidade ociosa muito grande

• Isto chama a atenção para a escolha de capacidade

– Nota: escolher capacidade é escolher quantidade – back to Cournot model!

• A competição por preço incita as firmas a fazer diferenciaçãode produtos fugindo do equilíbrio padrão de Bertrand

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Diferenciação de Produtos

QC = 63.42 - 3.98PC + 2.25PP

QP = 49.52 - 5.48PP + 1.40PC

MCC = $4.96

MCP = $3.96

Existem pelo menos duas formas de solucionar para PC e PP

Coca-Colae Pepsisão quase idênticas mas não iguais. Como um resultado, a que tem o preço mais baixo nãoganha todo o mercado.

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Bertrand e Diferenciação de Produtos

Função LucroLucro da Coca: πC = (PC - 4.96)(63.42 - 3.98PC + 2.25PP)

Lucro da Pepsi: πP = (PP - 3.96)(49.52 - 5.48PP + 1.40PC)

Solução: MR = MC

Reorganizar as funções demanda

PC = (15.93 + 0.57PP) - 0.25QC

PP = (9.04 + 0.26PC) - 0.18QP

Calcular a receita marginal, igualar ao custo marginal, solucionar para QC e QP e e substituir no sistema de demanda.

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Bertrand e Diferenciação de ProdutosFunção de melhor-resposta:

PC = 10.44 + 0.2826PP

PP = 6.49 + 0.1277PC

PC

PP

RC

$10.44

RP

Equilíbrio de Bertrand –intersecção

B

$12.72

$8.11

$6.49Estas podem ser solucionadas paraos preços de equilíbrio