Upload
lamtu
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 1 / 48
Probabilidade Condicional
É provável que você ganhe um aumento. Se atingir todas as metas, claro!!!
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 2 / 48
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
EXEMPLO: Um lote de material hospitalar é formado pelos seguintes artigos: 80não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. SejamA = 1o artigo defeituoso e B = 2o artigo defeituoso. Calcule P(A) eP(B): (a) com reposição e (b) sem reposição.
(a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindodo lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100. Assim,P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5.
(b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade queP(A) = 1/5. Mas e sobre P(B)? É evidente que para calcularmosP(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento dese extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ounão.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 3 / 48
Probabilidade Condicional
Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidadesde eventos.
EXEMPLO 1: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente setivermos informações adicionais, tal como a situação climática no dia anterior.
EXEMPLO 2: Seja A = uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácianegativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida)será alterada.
EXEMPLO 3: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelofato dele ser ou não alcoólatra.
Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta aprobabilidade de ocorrência de um evento A.
Usaremos a notação P(A|B) para representar a probabilidade condicional de Adado que ocorreu o evento B.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 4 / 48
Probabilidade Condicional
Sempre que calcularmos P(A|B), estaremos essencialmente calculando P(A)em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaçoamostral original Ω.
EXEMPLO: Diagrama de Venn
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 5 / 48
Exemplo 4
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles
gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir.
João Pessoa Recife Campina Grande Total
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
Exemplo
1. P(sim)
2. P(Recife)
3. P(Campina Grande)
4. P(Não | Campina Grande)
Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 6 / 48
Probabilidade Condicional
100 150 150
125 130 95 350
75 170 5 250
João Pessoa Recife Campina Grande Total
Sim
Não
Não sabe
Total 300 450 250
400
1.000
Soluções
1. P(sim)
2. P(Recife)
3. P(Campina Grande)
4. P(Não|Campina Grande) = 95/250 = 0,38
= 250/1.000 = 0,25
= 450/1.000 = 0,45
= 400/1.000 = 0,4
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 7 / 48
Probabilidade CondicionalAvaliando os exemplos anteriores podemos concluir que:
Quando calcularmos P(A) estaremos nos perguntando quão provável seráestarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω.
Quando calcularmos P(A|B) estaremos nos perguntando quão provávelserá estarmos em A, sabendo que devemos estar em B.
Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, masconsiste em resultados contidos em B.
A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultados dainterseção (A∩B) ocorrer.
EXEMPLO 5: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A =a soma dosresultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo.Calcule P(A), P(B), P(B|A) e P(A|B).
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 8 / 48
Probabilidade CondicionalEXEMPLO 5:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 9 / 48
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 10 / 48
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 11 / 48
Probabilidade Condicional
IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade sãomantidas (Ex: P(Ac |B) = 1−P(A|B)).
IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidadecondicional P(A|B):
(I) Empregando a definição anterior, em que P(A∩B) e P(B) sãocalculadas em relação ao espaço amostral original Ω.
(II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em relaçãoao espaço amostral reduzido B.
Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa(P(B))?
P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração restarãosomente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo similar, temosque P(B|Ac) = 20/99.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 12 / 48
Exemplo 6
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 13 / 48
Exemplo 6
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 14 / 48
Exemplo 7
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 15 / 48
Probabilidade CondicionalExemplo 8: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradassão apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindovítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio oualcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interferena ocorrência de vítimas fatais?
Motorista/vítimas Fatais Não SimSóbrio 1228 275
Alcoolizado 2393 762
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 16 / 48
Probabilidade CondicionalExemplo 9: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notasfinais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexomasculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessaturma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se oaluno foi aprovado. Calcule
(a) P(A∪Mc)
(b) P(Ac ∩Mc)
(c) P(A|M)
(d) P(Mc |A)
(e) P(M |A)
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 17 / 48
Probabilidade Condicional
Exemplo 9:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 18 / 48
Exemplo 10
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 19 / 48
Exemplo 10
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 20 / 48
Exemplo 10
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 21 / 48
Exemplo 10
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 22 / 48
Exemplo 10
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 23 / 48
Probabilidade Condicional
Exercício 1: Considere os dados do Exercício 4 da aula anterior. Baseadonesses dados calcule o risco relativo e interprete os resultados.
Algumas importantes consequências da definição de probabilidade condicionalsão apresentadas a seguir.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 24 / 48
Probabilidade CondicionalPodemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade da ocorrênciaconjunta dos eventos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 25 / 48
Probabilidade Condicional
Exemplo 11: Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual aprobabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 26 / 48
Probabilidade CondicionalExercício 2: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, aprobabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%,enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%.
(a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter umdistúrbio hormonal e ser solteira?
(b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual éa probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 27 / 48
Probabilidade Condicional
Exercício 2:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 28 / 48
Probabilidade Condicional
Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente(A∩B =∅). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes.
Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A|B) = 0, porque aocorrência de B impede a ocorrência de A.
Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informaçãobastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A.
Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento Bocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrênciade A.
EXEMPLO 12: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A =o primeirodado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6.
Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu nãofornece qualquer informação sobre a ocorrência de A.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 29 / 48
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 30 / 48
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 31 / 48
Probabilidade CondicionalProposição 1: Se A e B são independentes, então A e Bc também sãoindependentes (e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).
EXEMPLO 13: Se P(A∪B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x , determine o valor dex no caso de:
(a) A e B serem mutuamente exclusivos.(b) A e B serem independentes.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 32 / 48
Probabilidade CondicionalEXEMPLO 14: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro é de1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade degostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:
(a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.(b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.(c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema.(d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 33 / 48
Probabilidade CondicionalEXEMPLO 15: Suponha que em um levantamento estatístico efetuado emdeterminada população verificou que o número de casais hipertensos é de 7.2%.Se nessa mesma população 23% de indivíduos do sexo masculino e 18% dosexo feminino são hipertensos, então existe dependência (ou associação) entre ofato de o homem e a mulher do casal apresentarem hipertensão?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 34 / 48
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 35 / 48
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 36 / 48
Teorema da Probabilidade Total
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 37 / 48
Ilustração
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 38 / 48
Ilustração
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 39 / 48
Probabilidade CondicionalImportante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porquefrequentemente, P(A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto,com a informação adicional de que ci tenha ocorrido, seremos capazes decalcular P(A|ci) e, em seguida empregar o teorema acima.
Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa(P(B)) se as retiradas são sem reposição?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 40 / 48
IntroduçãoEXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma pacienteescolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 41 / 48
Teorema de Bayes
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 42 / 48
Teorema de Bayes
Na expressão do lado direito, o numerador é obtido pela regra do produto. Odenominador é obtido pelo teorema da probabilidade total.
Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos ci eas probabilidades condicionais de A dado ci , mas não conhecemos diretamente aprobabilidade de A.
Observação: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula deprobabilidades posteriores. As probabilidades P(Ci) podem ser chamadasprobabilidades a priori e as P(Ci |A), probabilidades a posteriori.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 43 / 48
Teorema de Bayes
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 44 / 48
IntroduçãoEXEMPLO: No exemplo da Clínica, se a paciente sorteada tiver distúrbiohormonal, qual a probabilidade de ser solteira?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 45 / 48
Teorema de Bayes
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 46 / 48
Teorema de Bayes
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 47 / 48
Teorema de Bayes
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 48 / 48