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Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 1 / 48

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Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

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Probabilidade Condicional

É provável que você ganhe um aumento. Se atingir todas as metas, claro!!!

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Probabilidade Condicional

Probabilidade Condicional

EXEMPLO: Um lote de material hospitalar é formado pelos seguintes artigos: 80não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. SejamA = 1o artigo defeituoso e B = 2o artigo defeituoso. Calcule P(A) eP(B): (a) com reposição e (b) sem reposição.

(a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindodo lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100. Assim,P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5.

(b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade queP(A) = 1/5. Mas e sobre P(B)? É evidente que para calcularmosP(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento dese extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ounão.

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Probabilidade Condicional

Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidadesde eventos.

EXEMPLO 1: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente setivermos informações adicionais, tal como a situação climática no dia anterior.

EXEMPLO 2: Seja A = uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácianegativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida)será alterada.

EXEMPLO 3: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelofato dele ser ou não alcoólatra.

Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta aprobabilidade de ocorrência de um evento A.

Usaremos a notação P(A|B) para representar a probabilidade condicional de Adado que ocorreu o evento B.

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Probabilidade Condicional

Sempre que calcularmos P(A|B), estaremos essencialmente calculando P(A)em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaçoamostral original Ω.

EXEMPLO: Diagrama de Venn

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Exemplo 4

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles

gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir.

João Pessoa Recife Campina Grande Total

Sim 100 150 150 400

Não 125 130 95 350

Não sabe 75 170 5 250

Exemplo

1. P(sim)

2. P(Recife)

3. P(Campina Grande)

4. P(Não | Campina Grande)

Não sabe 75 170 5 250

Total 300 450 250 1.000

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

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Probabilidade Condicional

100 150 150

125 130 95 350

75 170 5 250

João Pessoa Recife Campina Grande Total

Sim

Não

Não sabe

Total 300 450 250

400

1.000

Soluções

1. P(sim)

2. P(Recife)

3. P(Campina Grande)

4. P(Não|Campina Grande) = 95/250 = 0,38

= 250/1.000 = 0,25

= 450/1.000 = 0,45

= 400/1.000 = 0,4

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Probabilidade CondicionalAvaliando os exemplos anteriores podemos concluir que:

Quando calcularmos P(A) estaremos nos perguntando quão provável seráestarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω.

Quando calcularmos P(A|B) estaremos nos perguntando quão provávelserá estarmos em A, sabendo que devemos estar em B.

Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, masconsiste em resultados contidos em B.

A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultados dainterseção (A∩B) ocorrer.

EXEMPLO 5: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A =a soma dosresultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo.Calcule P(A), P(B), P(B|A) e P(A|B).

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Probabilidade CondicionalEXEMPLO 5:

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Probabilidade Condicional

IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade sãomantidas (Ex: P(Ac |B) = 1−P(A|B)).

IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidadecondicional P(A|B):

(I) Empregando a definição anterior, em que P(A∩B) e P(B) sãocalculadas em relação ao espaço amostral original Ω.

(II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em relaçãoao espaço amostral reduzido B.

Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa(P(B))?

P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração restarãosomente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo similar, temosque P(B|Ac) = 20/99.

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Exemplo 6

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Exemplo 6

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Exemplo 7

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Probabilidade CondicionalExemplo 8: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradassão apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindovítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio oualcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interferena ocorrência de vítimas fatais?

Motorista/vítimas Fatais Não SimSóbrio 1228 275

Alcoolizado 2393 762

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Probabilidade CondicionalExemplo 9: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notasfinais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexomasculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessaturma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se oaluno foi aprovado. Calcule

(a) P(A∪Mc)

(b) P(Ac ∩Mc)

(c) P(A|M)

(d) P(Mc |A)

(e) P(M |A)

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Exemplo 9:

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Exemplo 10

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Exemplo 10

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Exemplo 10

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Exemplo 10

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Exemplo 10

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Probabilidade Condicional

Exercício 1: Considere os dados do Exercício 4 da aula anterior. Baseadonesses dados calcule o risco relativo e interprete os resultados.

Algumas importantes consequências da definição de probabilidade condicionalsão apresentadas a seguir.

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Probabilidade CondicionalPodemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade da ocorrênciaconjunta dos eventos.

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Probabilidade Condicional

Exemplo 11: Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual aprobabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas?

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Probabilidade CondicionalExercício 2: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, aprobabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%,enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%.

(a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter umdistúrbio hormonal e ser solteira?

(b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual éa probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?

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Exercício 2:

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Probabilidade Condicional

Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente(A∩B =∅). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes.

Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A|B) = 0, porque aocorrência de B impede a ocorrência de A.

Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informaçãobastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A.

Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento Bocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrênciade A.

EXEMPLO 12: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A =o primeirodado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6.

Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu nãofornece qualquer informação sobre a ocorrência de A.

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Probabilidade CondicionalProposição 1: Se A e B são independentes, então A e Bc também sãoindependentes (e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).

EXEMPLO 13: Se P(A∪B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x , determine o valor dex no caso de:

(a) A e B serem mutuamente exclusivos.(b) A e B serem independentes.

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Probabilidade CondicionalEXEMPLO 14: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro é de1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade degostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:

(a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.(b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.(c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema.(d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8.

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Probabilidade CondicionalEXEMPLO 15: Suponha que em um levantamento estatístico efetuado emdeterminada população verificou que o número de casais hipertensos é de 7.2%.Se nessa mesma população 23% de indivíduos do sexo masculino e 18% dosexo feminino são hipertensos, então existe dependência (ou associação) entre ofato de o homem e a mulher do casal apresentarem hipertensão?

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Probabilidade Condicional

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Probabilidade Condicional

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Teorema da Probabilidade Total

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Ilustração

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Ilustração

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Probabilidade CondicionalImportante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porquefrequentemente, P(A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto,com a informação adicional de que ci tenha ocorrido, seremos capazes decalcular P(A|ci) e, em seguida empregar o teorema acima.

Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa(P(B)) se as retiradas são sem reposição?

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IntroduçãoEXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma pacienteescolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?

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Teorema de Bayes

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Teorema de Bayes

Na expressão do lado direito, o numerador é obtido pela regra do produto. Odenominador é obtido pelo teorema da probabilidade total.

Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos ci eas probabilidades condicionais de A dado ci , mas não conhecemos diretamente aprobabilidade de A.

Observação: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula deprobabilidades posteriores. As probabilidades P(Ci) podem ser chamadasprobabilidades a priori e as P(Ci |A), probabilidades a posteriori.

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Teorema de Bayes

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IntroduçãoEXEMPLO: No exemplo da Clínica, se a paciente sorteada tiver distúrbiohormonal, qual a probabilidade de ser solteira?

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Teorema de Bayes

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Teorema de Bayes

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Teorema de Bayes

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