Modelos de Probabilidade e Inferência Estatísticatarciana/MPIE/Aula2.pdf · Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatˆ ´ıstica Departamento de Estat´ıstica Universidade Federal

Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatıstica

Departamento de Estatıstica

Universidade Federal da Paraıba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 03/14 1 / 31

Probabilidade


Probabilidade

Algumas Definicoes de Probabilidade

Definicao Classica: A definicao classica de probabilidade refere-se aresultados equiprovaveis, ou seja, nao existe nenhuma razao queprivilegie uns resultados contra outros e quando Ω e enumeravel finito(um numero finito de resultados possıveis).

P(A) =Numero de casos favoraveis a A

Numero de casos possiveis,


Probabilidade

Exemplo 1: Jogar uma moeda duas vezes. Anota-se a sequenciaobtida. A =Obtencao de faces iguais e B =Obtencao de duas caras.

Exemplo 2: Jogar uma dado. Anota-se o valor obtido. A =Sair umnumero par e B =Sair um numero maior que 4.


Probabilidade


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Exemplo 3: Possıveis erros na utilizacao da definicao classica deprobabilidade

Uma moeda e jogada duas vezes. o numero de caras e anotado.Obtenha a probabilidade de sair uma cara.


Probabilidade

Uma outra dificuldade com a definicao classica aparece quandotentamos responder questoes como as seguintes:

Qual a probabilidade de um indivıduo pertencer ao gruposanguıneo O?

Qual a probabilidade de um indivıduo morrer antes de completas40 anos?

Qual a probabilidade de um indivıduo ser portados de uma lesaocardıaca congenita?

Portanto, e necessario considerar outras definicoes de probabilidade.


Probabilidade

Algumas Definicoes de Probabilidade

Definicao Frequentista: Esta definicao considera o limite defrequencias relativas como o valor da probabilidade.

Se um experimento aleatorio e repetido um numero grande de vezes,n, e seja nA o numero de ocorrencias do evento A ⊂ Ω. Aprobabilidade de A e dada por

P(A) =nA

n,


ProbabilidadeExemplo 4:

Foram constatados 8 casos de de sındrome de Down em 4814criancas nascidas em maternidades de Joao Pessoa. Com basenessa amostra, estime o risco de uma crianca apresentar a sındromede Down.


ProbabilidadeExemplo 5:

Foram levantados dados relativos ao sistema sanguıneo Rh em umaamostra de 820 indivıduos residentes em Joao Pessoa. Obtenha aprobabilidade de um indivıduo ter fator Rh+? E fator Rh−?

Categoria FrequenciaRh+ 737Rh− 83


IntroducaoExemplo 6 - Fenomeno de Estabilizacao: Lancamento de umamoeda.


ProbabilidadeProblemas da nocao frequentista de probabilidade

Requer a realizacao de um experimento um numero infinito devezes.

Por exemplo, lancar infinitas vezes um dado para ver que asfrequencias relativas da aparicao de cada face convergem para1/6.

Isso pode suprir-se na pratica, realizando o experimento umnumero de vezes suficientemente elevado, ate que tenhamos aprecisao que requeiram nossos calculos.

Os experimentos aleatorios, as vezes, nao podem ser realizadosum numero de vezes indefinidamente alto.

Por exemplo, calcular a probabilidade de morrer jogando na roletarussa com um revolver.


Probabilidade

As definicoes de probabilidade apresentadas anteriormente podemser utilizadas para resolver inumeros problemas. Contudo, elas naosao suficientes para uma formulacao matematica mais rigorosa deprobabilidade.

Uma abordagem mais rigorosa (baseada em axiomas) foi apresentadapor Kolmogorov para definir probabilidade como uma funcao deconjuntos em que os elementos do domınio sao conjuntos e oselementos da imagem sao numeros reais entre zero e um.

Observacao 1: Os axiomas matematicos apresentados porKolmogorov para definir probabilidade permitem incluir as definicoesanteriores como casos particulares.


Probabilidade

Definicao 1: (Probabilidade) Dado um espaco amostral Ω, umafuncao P e uma probabilidade se satisfaz os seguintes axiomas deKolmogorov:

AXIOMA 1 0 ≤ P(A) ≤ 1.

AXIOMA 2 P(Ω) = 1.

AXIOMA 3 Para toda sequencia enumeravel (A1,A2, . . . ∈ A) deelementos mutuamente exclusivos, temos

P(∞⋃

i=1

Ai) =∞∑

i=1

P(Ai)


Probabilidade

Algumas Propriedades de Probabilidade: As seguintespropriedades sao consequencias dos axiomas:

PROPRIEDADES

P1 P(Ac) = 1− P(A) (P(∅) = 0);

P2 Se A ⊂ B, entao P(A) ≤ P(B);

P3 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) (generalizavel paraqualquer n);

P4 P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac);

P5 P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B);


Ilustrando Algumas Propriedades


Ilustrando Algumas Propriedades


Exemplo 7 - Probabilidade






Probabilidade

Observacao 2 (Espaco Amostral Finito): Considerando a situacaoem que Ω e formado por um numero finito de elementos eΩ = ω1, ω2, . . . , ωk, a cada evento simples ωi associaremos umnumero pi (probabilidade), que satisfaca as seguintes condicoes:

(i) pi ≥ 0, i = 1,2, . . . , k ;

(ii) p1 + p2 + . . . + pk = 1.

Observacao 3 (Resultados Igualmente Provaveis): No caso em quetodos os resultados sao igualmente verossımeis, para i = 1, . . . , k ,temos que

p =1k




Probabilidade

EXEMPLO 10: No MDS, 75% dos alunos praticam algum esporte,20% gostam de sushi e 40% gostam de musica. Adicionalmente,suponha que 15% corram e gostem de sushi, 30% corram e gostemde musica, 10% gostam de sushi e musica e 5% gostem das tresatividades.

1 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente,gostar de musica?

2 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente,nao gostar de sushi?

3 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente,estar engajado em pelo menos uma das tres atividades.

4 Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamentegostar de exatamente um tipo de atividade.


ProbabilidadeEXEMPLO 10:


Probabilidade




Exercıcio 1


ProbabilidadeEXERCICIO 2: Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos. SejaP(A) = 0.20 e P(B) = 0.30. Calcule as probabilidades:

1 P(Ac)

2 P(Bc)

3 P(A ∪ B)

4 P(A ∩ B)

5 P(Ac ∩ Bc)

EXERCICIO 3: Suponha agora que A e B nao sejam mutuamenteexclusivos. Adicionalmente temos que P(A ∩ B) = 0.10. Calcule asmesmas probabilidades anteriores:


ProbabilidadeEXERCICIOS 2 e 3:


ProbabilidadeEXERCICIO 4: Os dados abaixo referem-se a informacoes coletadasde 15 indivıduos (I) no MDS quanto as variaveis obesidade (A) esedentarismo (B). Obtenha:

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15A N N S N S S N N N S N N S N NB S N S S N S N S S S N N S N S

1 A probabilidade de selecionar um indivıduo obeso ou sedentario.2 A probabilidade de selecionar um indivıduo que nao seja obeso e

nem sedentario. Compare com a probabilidade obtida no itemanterior.


ProbabilidadeEXERCICIO 4:


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