Modelos Descritos por Equações Diferenciais Ordinárias

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Text of Modelos Descritos por Equações Diferenciais Ordinárias

Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho

Instituto de Geocincias e Cincias Exatas

Campus de Rio Claro

Modelos Descritos por Equaes Diferenciais

Ordinrias

Fernanda Luiz Teixeira

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

Graduao Mestrado Profissional em Ma-

temtica Universitria como requisito parcial

para a obteno do grau de Mestre

Orientadora

Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti

2012

517.38

T266m

Teixeira, Fernanda L.

Modelos Descritos por Equaes Diferenciais Ordinrias/ Fer-

nanda Luiz Teixeira- Rio Claro: [s.n.], 2012.

124 f.:fig.

Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-

tuto de Geocincias e Cincias Exatas.

Orientadora: Marta Cilene Gadotti

I. Ttulo

Ficha Catalogrfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP

Campus de Rio Claro/SP

TERMO DE APROVAO

Fernanda Luiz Teixeira

Modelos Descritos por Equaes Diferenciais Ordinrias

Dissertao aprovada como requisito parcial para a obteno do grau de

Mestre no Curso de Ps-Graduao Mestrado Profissional em Matemtica

Universitria do Instituto de Geocincias e Cincias Exatas da Universidade

Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, pela seguinte banca examina-

dora:

Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti

Orientadora

Prof. Dr. Wladimir Seixas

Departamento de Fsica, Qumica e Matemtica - UFSCar

Prof. Dr. Luis Augusto da Costa Ladeira

Departamento de Matemtica Aplicada e Estatstica - ICMC - USP

Rio Claro, 01 de Novembro de 2012

Dedico a meus pais, Elpidio e Ceila.

Agradecimentos

Agradeo primeiramente a Deus pela vida.

A minha famlia, pelo apoio incondicional, em especial meus pais, que nunca medi-

ram esforos e sempre acreditaram em mim.

Agradeo a todos os funcionrios e professores do Departamento de Matemtica-

IGCE, que fizeram parte da minha graduao e tornaram possvel este trabalho.

banca examinadora da qualificao e da defesa do mestrado - Renata, Wladimir e

Ladeira - que fizeram correes e sugestes extremamente importantes para o trabalho.

A todos meus amigos, que me apoiaram e incentivaram.

E agradeo, imensamente, minha orientadora Marta, pelo incentivo e voto de

confiana antes mesmo de entrar no programa, pela dedicao a este trabalho, pela

pacincia e ateno com que me orientou, e pela amizade.

Resumo

Neste trabalho apresentamos as principais aplicaes das equaes diferenciais ordi-

nrias de primeira ordem especialmente o estudo de dinmica populacional e modelos

decritos por equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem, destacando o modelo

da catenria. Descrevemos a teoria bsica sobre sistemas lineares com respeito exis-

tncia de soluo e apresentamos o modelo do oscilador harmnico.

Palavras-chave: equaes de primeira ordem, equaes de segunda ordem, siste-

mas lineares, solues.

Abstract

In this work we presented the main applications of first order ordinary differential

equations, specially the study of population dynamics and models described by second

order differential equations, including the catenary model. We described the basic

theory about linear systems with respect to existence of solutions and we presented the

harmonic oscillator model.

Keywords: first order equation, second order equation, linear systems, solutions.

Lista de Figuras

2.1 Grfico da soluo do PVI (2.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Comportamento do modelo de Malthus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Grfico do volume da clula no instante t. . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Comportamento de algumas solues do modelo de Verhulst. . . . . . 38

2.5 Grfico de y(t) =y0T

y0 + (T y0)ert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 f(y) em funo de y para a equao (2.22) . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Comportamento das solues da equao (2.22) retirado de [3]. . . . . . 42

2.8 Grficos dos modelos de Verhulst e Gompertz. . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Grfico da soluo (3.25) para c1 = c2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Grfico da soluo geral (3.30) para c1 = c2 = 1. . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Grfico da soluo geral (3.36). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4 Sistema massa-mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Algumas solues do sistema massa mola com amortecimento supercr-

tico retirado de [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 Algumas solues do sistema massa mola com amortecimento crtico

retirado de [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7 Coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8 Algumas solues do sistema massa mola com amortecimento subcrtico

retirado de [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9 Soluo do sistema massa-mola livre com subamortecimento. . . . . . . 67

3.10 Um circuito eltrico em srie simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11 Curva de Perseguio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.12 Curva da Catenria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.13 Grfico de (3.63) para c =1

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1 Sistema massa-mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Circuito RLC em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Mistura de Solues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Sumrio

1 Introduo 15

2 Modelos descritos por equaes diferenciais de primeira ordem 19

2.1 Teoria elementar de equaes diferenciais ordinrias . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Teorema da Existncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Modelos de dinmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 Modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Modelo de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Modelos com equaes diferenciais de segunda ordem 47

3.1 Equaes lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Equaes diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes 48

3.1.2 Mtodo de reduo de ordem da equao diferencial . . . . . . . 49

3.1.3 Equao caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.4 Mtodo dos coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.5 Mtodo da variao dos parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.1 Vibraes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2 Circuitos eltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.3 Curva de perseguio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.4 A catenria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Sistemas lineares de equaes diferenciais 81

4.1 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1 Solues matrizes fundamentais eAx . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.2 Equao no homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.1 Oscilador harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.2 Circuito eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Comentrio final 103

Referncias 105

A lgebra Linear e espao soluo 107

B Matrizes 111

B.1 Sistemas com matrizes diagonalizveis e Forma de Jordan . . . . . . . . 111

B.1.1 Operador exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1 Introduo

Este trabalho aborda fatos interessantes na rea de Equaes Diferenciais Ordin-

rias, pois a ideia inicial foi listar uma sequncia de aplicaes que exemplificam o uso

das equaes diferenciais ordinrias para descrever matematicamente alguns fenmenos

da natureza e estud-los.

A construo da teoria sobre Equaes Diferenciais est associado ao desenvolvi-

mento geral da Matemtica, em especial ao Clculo. A partir do momento em que

os matemticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716)

tiveram entendimento suficiente e introduziram a notao para a derivada, esta logo

apareceu em equaes, tornando-se o que conhecemos por equaes diferenciais.

Newton classificou as equaes diferenciais de primeira ordem de acordo com as

formasdy

dx= f(x),

dy

dx= f(y) e

dy

dx= f(x, y). Desenvolveu um mtodo para resolver

a equaody

dx= f(x, y), no caso em que f(x, y) um polinmio em x e y, usando

sries infinitas. Mas, sua principal contribuio foi o desenvolvimento do Clculo e

seus estudos sobre os princpios bsicos da Mecnica, que forneceram a base para

a aplicao das equaes diferenciais no sculo XVIII, especialmente por Leonhard

Euler(1707-1783).

Leibniz chegou aos resultados do Clculo independentemente de Newton, apesar de

pouco tempo depois.