MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATA · MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATA 29/09/2018 12 MODELOS DE PANEL DATA DE COEFICIENTES CONSTANTES Se asume que los coeficientes son los mismos

MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATA

29/09/2018 1

𝑦𝑖𝑡 = 𝑓(𝑥𝑘𝑖𝑡; 𝜇𝑖𝑡)

𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖𝑡 + 𝛽2𝑥2𝑖𝑡 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡

𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡

∀𝑘=1,2,3,…,𝐾 : Variables exógenas o regresores

∀𝑖=1,2,3,…,𝑁: Unidades transversales (UT)

∀𝑡=1,2,3,…,𝑇∶ momentos en el tiempo


29/09/2018 2

𝜇𝑖𝑡: Es el término de error. Representa todas las variables omitidas en el modelo.

Matricialmente tenemos:

𝑌𝑖𝑡 = 𝛽𝑘′𝑋𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡

En la econometría de panel data, un problema que sepresenta para estimar un modelo de regresión común para elconjunto de N*T observaciones tiene que ver con el métodode estimación que se utiliza.


29/09/2018 3

Puede plantearse varios supuestos que nos permita estimar por MCO, como si fuera el modelo de regresión estándar. :

𝐸 𝜇𝑖𝑡 = 0 ∶ ∀𝑖𝑉𝑎𝑟 𝜇𝑖𝑡 = 𝜎2 ∶ ∀𝑖 , ∀𝑡

𝐶𝑜𝑣 𝜇𝑖𝑡 , 𝜇𝑗𝑠 = 0 ∶ ∀𝑖≠𝑗 , ∀𝑡≠𝑠𝐶𝑜𝑣 𝜇𝑖𝑡, 𝑋𝑘𝑖𝑡 = 0 ∶ ∀𝑖,∀𝑡

Estimación de MCO, parte del supuesto de que el modelo:

Varianza del término de error es igual para cada una de las observaciones

Término de error no esta correlacionado, ni entre UT ni en el tiempo.

Por lo tanto término de error es “Ruido Blanco”.


29/09/2018 4

En modelos de panel data el término de error se puede descomponer de la siguiente manera :

𝝁𝒊𝒕 = 𝜶𝒊 + 𝜽𝒕 + 𝝐𝒊𝒕Donde:

𝛼𝑖: Componente individual que es invariante a través del tiempo

𝜃𝑡: Componente temporal que es invariante a través de los individuos o UT.

𝜖𝑖𝑡 : Efecto de todas las otras variables que varia UTindividuos y además a través del tiempo

Por lo tanto 𝝁𝒊𝒕 ya no son estrictamente aleatorios.


29/09/2018 5

El análisis conjunto de N*T observaciones puede presentar:

a. Correlación en los términos de error entre diferentes momentos de tiempo para una UT.

b. Correlación en los términos de error para UT en un mismo momento de tiempo.

c. Correlación en los términos de error para diferentes UT y momentos diferentes de tiempo.

Por tanto supuestos de Homoscedasticidad y no correlación serial, son poco realistas en la practica.


29/09/2018 6

Los errores de un modelo de regresión común para el conjuntode N*T observaciones estimado por MCO terminancorrelacionados, los parámetros estimados ya no tienen laspropiedades ideales.

Los estimadores siguen siendo insesgados pero ya no son losestimadores lineales insesgados de varianza mínima (CondiciónGauss-Markov).

Por otro lado están los modelos en los que se asume quetodos los efectos difieren para cada UT y/o en cada momentoen el tiempo, con lo cual se estiman diferentes modelos paradiferentes casos o unidades de análisis y/o para diferentesmomentos de tiempo.


29/09/2018 7

Soluciones anteriores son extremas:

Asumir que los coeficientes de regresión son idénticos:

Para todas las UT de la muestra;

Para todos los momentos de tiempo

Es restrictivo y difícil de creer dada la información contenida en los datos.

Asumir que el vector de coeficientes es distinto para cada unidad de análisis es excesivamente general.


29/09/2018 8

Por lo tanto estudios empíricos con frecuencia recurren amodelos de análisis intermedios, lo cual exige:

Reconsiderar opciones en la manera como se va acaracterizar la relación entre la variabledependiente 𝒚𝒊𝒕 , y un conjunto de variablesindependientes 𝒙𝒌𝒊𝒕.

Reconsiderar la relación existente entre las variablesexplicativas 𝒙𝒌𝒊𝒕 y/o la naturaleza del término de errorde la regression 𝝁𝒊𝒕.

Objetivo de estos modelos es obtener estimadores fiables yeficientes.


29/09/2018 9

TIPOLOGIA DE MODELOS INTERMEDIOS:

Modelo de panel de coeficientes constantes ( constantcoefficients models ):

Asume que los coeficientes que caracterizan el efecto de lavariable 𝒙𝒌𝒊𝒕 sobre la variable dependiente 𝒚𝒊𝒕 son constantespara todas las unidades de análisis.

Modelo de efectos o coeficientes fijos ( fixed effects models,least square dummy variable models ):

Capta la variación existente en la muestra debido a la presenciade diferentes UT con la inclusión de un conjunto de N-1variables dicotómicas 𝒅𝒊 ( una para cada unidad de análisis,menos la unidad de análisis de referencia)


29/09/2018 10

Capta la variación existente en la muestra debido a lapresencia de diferentes momentos del tiempo con lainclusión de un conjunto de T-1 variables dicotómicas 𝒅𝒕( unapara cada momento de tiempo, menos el momento dereferencia)

Incorporar “a la vez” un conjunto de N-1 variablesdicotómicas 𝒅𝒊 , para capturar el efecto de cada UT sobre lavariable dependiente, y una serie de de T-1 variablesdicotómicas 𝒅𝒕 para capturar el efecto del tiempo sobre lavariable dependiente.

Incorporar interacciones entre unidades de análisis y periodosde tiempo.


29/09/2018 11

Modelo de efectos o coeficientes aleatorios ( random effectsmodels):

Asume que la variación a través de las unidades de análisis (y/oa través del tiempo) es al azar, y por lo tanto su captura seespecifica explícitamente en el termino de error de la ecuación.

El caso general es el método de mínimos cuadradosgeneralizados donde se incorpora una estructura del términode error.


29/09/2018 12

MODELOS DE PANEL DATA DE COEFICIENTES CONSTANTES

Se asume que los coeficientes son los mismos para cada una de las UT y temporales de la muestra.


𝑘=1

𝐾



Parámetros a estimar se consideran iguales o constantes paratodas las unidades de análisis de la muestra y también para cadaperiodo de tiempo.


29/09/2018 13

La estimación por MCO, parte de los supuestos referidos a la estructura del termino de error:

𝐸 𝜇𝑖𝑡 = 0 ∶ ∀𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝜇𝑖𝑡 = 𝜎2 ∶ ∀𝑖 , ∀𝑡

𝐶𝑜𝑣 𝜇𝑖𝑡 , 𝜇𝑗𝑠 = 0 ∶ ∀𝑖≠𝑗 , ∀𝑡≠𝑠


29/09/2018 14

Aplicación:

𝐿𝑛𝐶𝑂𝑆𝑇𝐸𝑖𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐿𝑛 𝑌𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡 𝛼 > 0; 𝛽 > 0

𝐶𝑂𝑆𝑇𝐸: costos totales de producción de energia enmillones de dólares (combustible , trabajo ycoste de capital )

𝑌: Producción de energía en Kilowatios hora

𝑖: UT (empresas productoras de energía):1,2,3,4,5,6.

𝑡: Periodos de análisis 1955 1970 / frecuenciamultianual cada 5 años: 1955, 1960, 1965, 1970.

29/09/2018 15


Representación gráfica de la variables

29/09/2018 16


29/09/2018 17


29/09/2018 18


29/09/2018 19


CONTRASTE DE IGUALDAD DE MEDIAS Y VARIANZAS

29/09/2018 20


29/09/2018 21


29/09/2018 22


29/09/2018 23



29/09/2018 24

Estimación del modelo econométrico


29/09/2018 25


29/09/2018 26


29/09/2018 27


29/09/2018 28


29/09/2018 29


29/09/2018 30

El panel de coeficientes constantes estimados con presencia de autocorrelación:

𝐿𝑜𝑔 𝐶𝑂𝑆𝑇𝐸 𝑖𝑡 = −4.174783 + 0.887987 ∗ 𝐿𝑜𝑔 𝑌 𝑖𝑡

Como en la estimación tenemos indicios de auto correlación de primer orden es necesario corregir a través del proceso iterativo de Cochrane Orcutt.


29/09/2018 31


29/09/2018 32

El panel de coeficientes constantes estimados sinautocorrelación seria el siguiente:

𝐿𝑜𝑔 𝐶𝑂𝑆𝑇𝐸 𝑖𝑡 = −5.011706 + 0.973382 ∗ 𝐿𝑜𝑔 𝑌 𝑖𝑡

𝜇𝑖𝑡 = 0.547739 ∗ 𝜇𝑖,𝑡−1 + 𝜀𝑖𝑡


29/09/2018 33

MODELOS DE PANEL DATA DE EFECTOS FIJOS

Dado el modelo de panel general:


𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡 𝑌𝑖𝑡 = 𝛽𝑘′𝑋𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡

Modelo general de efectos fijos precisa que los residuos:

𝝁𝒊𝒕 = 𝜶𝒊 + 𝜽𝒕 + 𝝐𝒊𝒕

𝛼𝑖: Efectos de UT (invariante al tiempo)

𝜃𝑡: Efectos temporales ( invariante a UT)

𝜖𝑖𝑡 : Variable “aleatoria” (Efecto de todas las otras variables que varían entre UT y además a través del tiempo).


29/09/2018 34

Cuando un panel de datos:

Con dimensión transversal dominante y dimensióntemporal pequeña:

Se puede captar la variación existente en la muestra debido apresencia de diferentes UT con la inclusión de N-1 variablesdicotómicas 𝒅𝒊 cuyos coeficientes asociados en el modelo deregresión son 𝜶𝒊(una variable por cada UT, menos la unidad dereferencia). La variable 𝒅𝟏 toma el valor de 1 en el caso que laobservación se refiera UT1 y 0 para el resto de observaciones.

Se puede investigar si los coeficientes de regresión del modelo,aunque siendo los mismos para todas las UT en un periododado, son diferentes para periodos de tiempo diferentes.


29/09/2018 35

Cuando un panel de datos:

Con dimensión temporal dominante y dimensióntransversal pequeña:

Se puede captar la variación existente en la muestra debido apresencia de diferentes periodos de tiempo con la inclusión deT-1 variables dicotómicas 𝒅𝒕 cuyos coeficientes asociados en elmodelo de regresión son 𝜽𝒕(una variable por cada periodo detiempo, menos el periodo de referencia). La variable 𝒅𝟏 toma elvalor de 1 en el caso que la observación se refiera periodo 1 y 0para el resto de periodos de la muestra.

Se puede investigar si los coeficientes de regresión del modelo son distintos para cada UT si bien constantes a través del tiempo.

29/09/2018 36

MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATADado el modelo de panel general:


𝑘=1

𝐾



𝝁𝒊𝒕 = 𝜶𝒊 + 𝜽𝒕 + 𝝐𝒊𝒕

𝛼𝑖 =

𝑖=1

𝑁−1

𝛼𝑖𝑑𝑖

𝜃𝑡 =

𝑡=1

𝑇−1

𝜃𝑡𝑑𝑡

29/09/2018 37


Ahora 𝝁𝒊𝒕 ya no es estrictamente aleatorio

Ahora 𝜺𝒊𝒕 es aleatorio con las propiedades de ser “ruido

blanco” que se asume en MCO:

𝐸 𝜀𝑖𝑡 = 0 ∶ ∀𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝜀𝑖𝑡 = 𝜎2 ∶ ∀𝑖 , ∀𝑡

𝐶𝑜𝑣 𝜀𝑖𝑡 , 𝜀𝑗𝑠 = 0 ∶ ∀𝑖≠𝑗 , ∀𝑡≠𝑠

𝐶𝑜𝑣 𝜀𝑖𝑡 , 𝑋𝑘𝑖𝑡 = 0 ∶ ∀𝑖,∀𝑡

𝐶𝑜𝑣 𝜀𝑖𝑡 , 𝑑𝑖𝑡 = 0 ∶ ∀𝑖,∀𝑡

29/09/2018 38

MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATAEl modelo de regresión a estimar es el siguiente:

𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛼1𝑑1 +⋯+ 𝛼𝑁𝑑𝑁 + 𝜃1𝑑1 +⋯+ 𝜃𝑇𝑑𝑇 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡


𝑖=1

𝑁

𝛼𝑖𝑑𝑖 +

𝑡=1

𝑇

𝜃𝑡𝑑𝑡 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡

𝑌𝑖𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝜃𝑡 + 𝛽𝑘′𝑋𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡

Se permite que los efectos individuales 𝜶𝒊 y 𝜽𝒕 pueden estarcorrelacionados con las variables explicativas 𝑿𝒊𝒕. Pero para quelos estimadortes por MCO sean consistentes se require laexogeneidad estricta de 𝑿𝒊𝒕 y 𝜺𝒊𝒕.


29/09/2018 39

MODELOS DE PANEL DATA DE EFECTOS FIJOS: DE ELEMENTOS TRANSVERSALES

𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛼1𝑑1 +⋯+ 𝛼𝑁𝑑𝑁 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜃𝑡 + 𝜀𝑖𝑡


𝑖=1

𝑁

𝛼𝑖𝑑𝑖 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜃𝑡 + 𝜀𝑖𝑡

𝑌𝑖𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑘′𝑋𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡

∗


29/09/2018 40

MODELOS DE PANEL DATA DE EFECTOS FIJOS: DE ELEMENTOS TEMPORALES

𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝜃1𝑑1 +⋯+ 𝜃𝑇𝑑𝑇 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝛼𝑖 + 𝜀𝑖𝑡


𝑡=1

𝑇

𝜃𝑡𝑑𝑡 +

𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝛼𝑖 + 𝜀𝑖𝑡

𝑌𝑖𝑡 = 𝜃𝑡 + 𝛽𝑘′𝑋𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡

∗


29/09/2018 41

EFECTOS FIJOS TRANSVERSALES


29/09/2018 42


29/09/2018 43


29/09/2018 44

TEST DE REDUNDANCIA: Permite analizar si los efectos fijos de la UT puede o no considerarse iguales.

𝐻0: 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑁−1

𝐻1: 𝛼1 ≠ 𝛼2 ≠ ⋯ ≠ 𝛼𝑁−1


29/09/2018 45


29/09/2018 46

Se observa que Prob(<0.05) , entonces podemos afirmar que los efectos fijos de las empresas son diferentes con 95% (inclusive al 99%) de nivel de confianza.

𝐿𝑜𝑔 𝐶𝑂𝑆𝑇𝐸 𝑖𝑡

= −2.3990 + 0.6742 ∗ 𝐿𝑜𝑔 𝑌 𝑖𝑡 − 0.2945 ∗ 𝑑1 − 0.5127 ∗ 𝑑2 − 0.0409 ∗ 𝑑3+ 0.2645 ∗ 𝑑4 + 0.088 ∗ 𝑑5 + 00.4954 ∗ 𝑑6


29/09/2018 47

EFECTOS FIJOS TEMPORALES


29/09/2018 48


29/09/2018 49


29/09/2018 50

TEST DE REDUNDANCIA: Permite analizar si los efectos fijos de tiempo puede o no considerarse iguales.

𝐻0: 𝜃1 = 𝜃2 = ⋯ = 𝜃𝑇−1

𝐻1: 𝜃1 ≠ 𝜃2 ≠ ⋯ ≠ 𝜃𝑇−1


29/09/2018 51


29/09/2018 52

Se observa que Prob(>0.05) , entonces podemos afirmar que los efectos fijos de tiempo son iguales con 95% de nivel de confianza.

𝐿𝑜𝑔 𝐶𝑂𝑆𝑇𝐸 𝑖𝑡

= −4.2894 + 0.9017 ∗ 𝐿𝑜𝑔 𝑌 𝑖𝑡 + 0.0703 ∗ 𝑑1 + 0.0590 ∗ 𝑑2 − 0.0484 ∗ 𝑑3− 0.0810 ∗ 𝑑4


29/09/2018 53

EFECTOS FIJOS TRANSVERSALES Y TEMPORALES


29/09/2018 54


29/09/2018 55


29/09/2018 56

MODELOS DE PANEL DATA DE EFECTOS ALEATORIOS

Considera que efectos individuales no son independientes entre

si, sino que están distribuidos aleatoriamente alrededor de un

valor dado.

Modelo mas utilizado es el modelo con varios componentes de

error: un error aleatorio en las UT, un error aleatorio en el

tiempo, y un error que depende del tiempo y de las UT; pero que

es aleatorio.

El propósito es proporcionar estimaciones eficientes y no

sesgadas de los coeficientes de regresión.


29/09/2018 57

Dado el modelo de panel general:


𝑘=1

𝐾

𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡 𝑌𝑖𝑡 = 𝛽𝑘′𝑋𝑖𝑡 + 𝜇𝑖𝑡

𝝁𝒊𝒕 = 𝜶𝒊 + 𝜽𝒕 + 𝜺𝒊𝒕

𝛼𝑖: Componente individual aleatorio invariable altiempo (caracteriza a cada UT, componente “entregrupos”

𝜃𝑡: Componente temporal aleatorio invariable a las UT.(caracteriza a cada momento de tiempo, componente”intragrupos”

𝜀𝑖𝑡: Componente aleatorio.


29/09/2018 58

Cada uno de los tres componentes del error total 𝜇𝑖𝑡 sigue una

distribución normal, con media nula, no esta correlacionado

consigo mismo, son homoscedasticos y no están

correlacionados con las variables 𝑋.

𝐸 𝛼𝑖 = 𝐸 𝜃𝑡 = 𝐸 𝜀𝑖𝑡 = 0

𝑉𝑎𝑟 𝛼𝑖 = 𝜎𝛼2 ; 𝑉𝑎𝑟 𝜃𝑡 = 𝜎𝜃

2 ; 𝑉𝑎𝑟 𝜀𝑖𝑡 = 𝜎𝜀2

𝐶𝑜𝑣 𝛼𝑖𝛼𝑗 = 0 ; 𝐶𝑜𝑣 𝜃𝑡𝜃𝑠 = 0 ; 𝐶𝑜𝑣 𝜀𝑖𝑡𝜀𝑗𝑠 = 0

𝑉𝑎𝑟 𝜇𝑖𝑡 = 𝜎𝛼2 + 𝜎𝜃

2 + 𝜎𝜀2

𝐶𝑜𝑣 𝜇𝑖𝑡𝜇𝑗𝑡 = 𝜎𝜃2

𝐶𝑜𝑣 𝜇𝑖𝑡𝜇𝑖𝑠 = 𝜎𝛼2

𝐸 𝑋𝑖𝑡, 𝛼𝑖 = 0 ; 𝐸 𝑋𝑖𝑡, 𝜃𝑡 = 0 ; 𝐸 𝑋𝑖𝑡, 𝜀 = 0


29/09/2018 59

Metodo de MCO no es aplicable dado que no se cumplen los supuestos que permiten que permiten que estimador sea consistente.Prefiere en este caso utilizar método de mínimos cuadrados generalizados (MCVG) cuyas estimaciones son eficientes.

TEST DE HAUSMAN:

Permite la selección entre el modelo de efectos fijos y el de efectos alatorios.Las hipótesis son las siguientes:

𝐻0: 𝐸 𝑋𝑖𝑡 , 𝛼𝑖 = 0 : 𝛽𝐸𝐹 = 𝛽𝐸𝐴𝐻1: 𝐸 𝑋𝑖𝑡 , 𝛼𝑖 ≠ 0 : 𝛽𝐸𝐹 ≠ 𝛽𝐸𝐴

Si se rechaza la 𝐻0, Entonces el MEA no es el adecuadoSi se rechaza la 𝐻1, Entonces el MEF no es el adecuado.


29/09/2018 60


29/09/2018 61


29/09/2018 62

Documents

MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATA · MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PANEL DATA 29/09/2018 12 MODELOS DE PANEL DATA DE COEFICIENTES CONSTANTES Se asume que los coeficientes son los mismos