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MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTÍNUOS
6.1 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de concei-tuar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral éproporcional ao tamanho do intervalo.
Definição 6.1: Uma variável aleatória continua X tem distribuição uniforme com parâme-tros a e b, se sua função de densidade de probabilidade é dada por
f (x) =
{1
b−a parax ∈ (a,b)0 parax 6∈ (a,b)
em que:
• a é o menor valor assumido por X;
• b é o maior valor assumido por X;
Vamos verificar que a expressão do modelo uniforme satisfaz as propriedades de uma fdp.
∫∞
−∞
f (x)dx =∫ b
a
1b−a
dx =1
b−a(b−a) = 1
Figura 6.1: Representação gráfica da fdp da Uniforme em [a,b]
A distribuição uniforme é uma distribuição contínua, utilizada para modelar a ocorrência deeventos cuja probabilidade é constante em intervalos de mesma dimensão.
Modelos Probabilísticos Contínuos 2
Por ter a probabilidade constante para intervalos de mesma amplitude, pode servir comoreferência ou modelo aproximado nos casos onde a verdadeira distribuição não é conhecida.Outra aplicação de grande importância é servir de base para muitos processos de geração devalores de variáveis aleatórias em estudos de simulação.
A função de distribuição pode ser calculada sem dificuldades por meio da integral∫ x
−∞
f (u)du =∫ x
a
1b−a
du =x−ab−a
(b−a)
Assim, a função de distribuição é dada por:
F(x) =
0 sex < a
x−ab−a sea≤ x≤ b1 sex > b
Figura 6.2: Representação gráfica da função de distribuição da Uniforme em [a,b]
Teorema 6.1: Se X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b], então
E[X ] =a+b
2V (X) =
(b−a)2
12Mx(t) =
ebt− eat
(b−a)t
Exemplo 6.1: Se uma VAC assume qualquer valor no intervalo (−2,3) com a mesma pro-babilidade, a distribuição uniforme tem a seguinte função de densidade:
f (x) =
{1
3−(−2) =15 parax ∈ (−2,3)
0 parax 6∈ (−2,3)
Modelos Probabilísticos Contínuos 3
Qual a probabilidade de x estar entre 0 e 2?
P(0≤ x≤ 2) = F(2)−F(0)
F(2) =2+2
5=
45
F(0) =0+2
5=
25
P(0≤ x≤ 2) =45− 2
5=
25= 0,4
Determine a média e a variância de X
• Média E[X ] =a+b
2=−2+3
2= 0,5
• Variância σ2 =(b−a)2
12=
(3− (−2))2
12=
2512
= 2,08
6.2 DISTRIBUIÇÃO GAMA
A distribuição Gama é uma distribuição muito genérica que engloba várias outras distribui-ções. Tem ampla utilização em várias areas, alguns exemplos são:
• Climatologia - onde é um modelo viável para volumes de chuva
• Economia - onde tem sido utilizado para modelagem de créditos, de inadimplência, bemcomo para determinar probabilidade de ruína de uma empresa e calcular valor de riscoem investimentos.
• Tempo de vida - onde é utilizada para determinar taxa de falha em processos de fabrica-ção, duração da ação de um medicamento, ou sobrevivência de um individuo.
• Teoria das filas - tempo de espera de um individuo em fila de banco, tempo de espera paraum transplante, tempo de valorização de uma ação na bolsa de valores.
Definição 6.2 (Função Gama): A função gama é definida pela seguinte integral
Γ(α) =∫
∞
0xα−1e−xdx α > 0 (6.1)
Uma função gama tem a seguinte propriedade
Γ(α +1) = αΓ(α)
em particular:
Γ
(12
)=√
π Γ(1) = 1
Modelos Probabilísticos Contínuos 4
Definição 6.3: Uma variável aleatória continua X tem distribuição Gama com parâmetrosλ e r, se sua função de densidade de probabilidade é dada por
f (x) =λ
Γ(r)(λx)r−1e−λx x≥ 0
em que:
• λ > 0 parâmetro de escala;
• r > 0 parâmetro de forma;
• Γ(r) =∫
∞
0(u)r−1e−udu =
∫∞
0λ (λx)r−1e−λxdx
Figura 6.3: Representação gráfica da fdp da Gama Gama(r,λ )
Para verificar que a função dada realmente define uma função de densidade, notamos inici-almente que f (x)≥ 0. Além disso
∫∞
0f (x)dx =
∫∞
0
λ
Γ(r)(λx)r−1e−λxdx
=1
Γ(r)
∫∞
0λ (λx)r−1e−λx
u = λx du = λdx∫∞
0f (x)dx =
1Γ(r)
∫∞
0(u)r−1e−udu
=1
Γ(r)Γ(r) = 1
Teorema 6.2: Se X tem uma distribuição gama com parâmetros r e λ , então
E[X ] =rλ
V (X) =r
λ 2 Mx(t) =(
λ
λ − t
)r
Modelos Probabilísticos Contínuos 5
Teorema 6.3: Se X tem uma distribuição gama com parâmetros r e λ , em que r é umnúmero inteiro, então, para qualquer x
P(X ≤ x) = P(Y ≥ r)
em que Y ∼ Poisson(xλ ).
A função de distribuição da Gama não possui uma forma analítica e é representada pelaintegral abaixo:
F(X) =∫ x
0
λ
Γ(r)(λu)r−1e−λudu
Quando λ = 1, temos a distribuição gama padrão, e nesse caso a função de distribuição édada por:
F(X) =∫ x
0
1Γ(r)
(u)r−1e−udu
denominada função gama incompleta. Existem tabelas para esta função.
Exemplo 6.2: Sabe-se que o tempo (em dias) de renovação de estoque de certo produto temdistribuição gama, com média de 40 e uma variância de 400. Determine os valores de r e λ edetermine a probabilidade do tempo de renovação ser inferior a 60 dias.
E[X ] =rλ= 40⇒ r = 40λ
V (X) =r
λ 2 =40λ
λ 2 =40λ
= 400⇒ λ = 0,1
r = 40λ = 40×0,1 = 4
Como r é inteiro temos que
P(X ≤ 60) = P(Y ≥ 4) Y ∼ Poi(6)
Assim
P(Y ≥ 4) = 1−P(Y < 4)
P(Y < 4) = P(Y = 0)+P(Y = 1)+P(Y = 2)+P(Y = 3)
= e−6(
60
0!+
61
1!+
62
2!+
63
3!
)= e−6 (1+6+18+36) = 0,1512
P(Y ≥ 4) = 1−0,1512 = 0,8488
P(X ≤ 60) = = 0,8488
Teorema 6.4: Se X tiver uma distribuição Gama (r,λ ), e se Y = λX, então Y terá distri-buição gama padrão Gama(r,1)
Modelos Probabilísticos Contínuos 6
Exemplo 6.3: Suponha que o tempo de sobrevivência X em semanas de um camundongomacho exposto ao radiação tenha distribuição gamma com parâmetros r = 8 e λ = 0,05. De-termine o tempo médio de vida, a variância e a probabilidade do camundongo sobreviver entre60 e 120 semanas.
E[X ] =rλ=
80,05
= 160
V (X) =r
λ 2 =8
(0,05)2 = 3200
P(60 < X < 120) = P(0,05×60 < Y < 0,05×120) = P(3 < Y < 6)
= Fy(6)−Fy(3) = 0,2560−0,0119 = 0,2441
6.3 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição exponencial que tem ampla utilização em várias areas do conhecimento, es-pecialmente na area de engenharia e confiabilidade.
A distribuição de Poisson conta o número de eventos discretos em um período de tempofixo, que está intimamente ligado à distribuição exponencial, que (entre outras aplicações) medeo tempo entre chegadas dos eventos. Assim, a distribuição exponencial é uma distribuiçãocontínua utilizada para modelar o tempo entre ocorrências de eventos num processo de Poisson.
Na realidade, a taxa constante de ocorrência de eventos prevista no processo de Poisson, talcomo uma chamada telefônica ou uma falha em uma máquina, raramente é uma pressuposiçãorazoável no ciclo completo de vida de um componente. Entretanto, pode ser que num intervalode tempo determinado essa taxa seja constante e a modelagem nesse intervalo pode ser feitapela distribuição exponencial.
A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli necessários paraque um processo discreto mude de estado. A distribuição exponencial pode ser vista como acontrapartida contínua da distribuição geométrica, modelando o tempo decorrido para que umprocesso contínuo mude de estado.
Definição 6.4: Uma variável aleatória continua X tem distribuição exponencial com parâ-metro λ , se sua função de densidade de probabilidade é dada por
f (x) = λe−λx, x > 0
em que λ > 0 representa a taxa de ocorrência por unidade de medida.
Assim, a função de distribuição é dada por:
F(x) = 1− e−λx, x≥ 0
Modelos Probabilísticos Contínuos 7
Figura 6.4: Representação gráfica da fdp e da função de Distribuição da Exponencial exp(λ )
Seja X uma variável aleatória com distribuição gama com parâmetro r = 1, temos que:
f (x) =λ
Γ(r)(λx)r−1e−λx x≥ 0
=λ
Γ(1)(λx)1−1e−λx
= λe−λx
Assim, a distribuição exponencial é um caso especial da distribuição gama, quando r = 1.Nessa caso verifica-se que a função dada realmente define uma função de densidade.
Teorema 6.5: Se X tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ , então
E[X ] =1λ
V (X) =1
λ 2 Mx(t) =λ
λ − t
Exemplo 6.4: Suponha que uma máquina falhe em média uma vez a cada dois anos. Cal-cule a probabilidade da máquina falhar durante o próximo ano. Determine a média e a variância.
Temos λ = 12 = 0,5, e X tempo para falhar, temos P(X ≤ 1)
P(X ≤ 1) = F(1) = 1− e−0,5 = 0,3935
E[X ] =1
0,5= 2
V (X) =1
0,52 = 4
Teorema 6.6: Se X tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ , então
P(X ≥ t + s|X ≥ S) = P(X ≥ t)
A distribuição exponencial é o único modelo continuo que apresenta a propriedade da faltade memória. Nessa distribuição, o passado não afeta o futuro e pode ser desconsiderado.
Modelos Probabilísticos Contínuos 8
Exemplo 6.5: Suponha que o tempo para o atendimento em um banco é exponencialmentedistribuído com média de 10minutos, λ = 1/10. Qual é a probabilidade que um cliente demoremais de 15 minutos no banco para ser atendido no banco, uma vez que ele ainda está no bancoapós 10 minutos?
P(X > 15|X > 10) = P(X > 5) = 1−F(5) = e−1
10 5 = e−0,5 = 0,6065
6.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição Normal corresponde a mais importante distribuição de variáveis aleatóriascontínuas, em razão da sua enorme aplicação nos mais variados campos do conhecimento. Oestudo do problema dos erros de medida levou a introdução da distribuição de Gauss ou Gaus-siana, que mais tarde, recebeu o nome de curva normal.
Definição 6.5: Uma variável aleatória continua X tem distribuição normal com parâmetrosµ e σ2, se sua função de densidade de probabilidade é dada por
f (x) =1√
2πσ2e−
(x−µ)2
2σ2 ,−∞ < x < ∞
em que −∞ < µ < ∞ e σ2 > 0
A forma, ou aspecto, da distribuição normal é ilustrada por uma curva em forma de sino. Acurva normal tem dois parâmetros, µ e σ2. Eles determinam a posição e forma da distribuição.
Figura 6.5: Representação gráfica da fdp da Normal N(µ,σ2)
A distribuição normal apresenta a seguinte propriedades:
1. É simétrica em relação a µ , ou seja f (µ− x) = f (µ + x);
Modelos Probabilísticos Contínuos 9
2. O ponto máximo de f (x) ocorre em x = µ .
f ′(x) = − 1√2πσ2
e−(x−µ)2
2σ2
(x−µ
σ2
)f ′(x) = 0⇔ x = µ
f ′′(x) =1√
2πσ2e−
(x−µ)2
2σ2
(x−µ
σ2
)2
− 1√2πσ2
e−(x−µ)2
2σ2
(1
σ2
)=
1√2πσ2
e−(x−µ)2
2σ2
[(x−µ
σ2
)2
− 1σ2
]f ′′(µ) = − 1
σ2√
2πσ2< 0
Logo µ é um ponto de máximo. Neste ponto as três medidas de posição (média, moda emediana) se confundem;
3. A área compreendida abaixo da curva normal e a acima do eixo x vale 1 ou 100%;
Vamos verificar que a expressão do modelo normal satisfaz as propriedades de uma fdp.
∫∞
−∞
f (x)dx =∫
∞
−∞
1√2πσ2
e−(x−µ)2
2σ2 = 1
Suponha que A representa a area sob a curva, então
A =∫
∞
−∞
1√2πσ2
e−(x−µ)2
2σ2 dx
Fazendo a substituição
y =x−µ
σ⇒ dy =
1σ
Assim, temos que:
A =∫
∞
−∞
1√2π
e−12 y2
dy
Como o integrando é uma função par, temos que:
A = 2∫
∞
0
1√2π
e−12 y2
dy
Fazendo a substituição
u =y2
2⇒ y =
√2u
du = ydy⇒ dy =du√2u
Modelos Probabilísticos Contínuos 10
Assim,
A = 2∫
∞
0
1√2π
e−u du√2u
=1√π
∫∞
0u−
12 e−udu
=1√π
Γ
(12
)=
1√π
√π = 1
Teorema 6.7: Se X tem distribuição normal N(µ,σ2), então
E[X ] = µ V (X) = σ2 Mx(t) = eµt+σ2t2
2
Assim, se X é uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e variância σ2,podemos representar por X ∼ N(µ,σ2).
Teorema 6.8: Se X tiver uma distribuição Normal N(µ,σ2), e se Y = aX +b, então Y terádistribuição Normal N(aµ +b,a2σ2)
Corolário 6.1: Se X tiver uma distribuição Normal N(µ,σ2), e se Z = X−µ
σ, então Z terá
distribuição Normal N(0,1)
A distribuição Normal com média µ = 0 e variância σ2 = 1 é conhecida como distribuiçãoNormal reduzida ou padronizada. Uma variável aleatória com essa distribuição geralmente ésimbolizada pela letra Z.
O função de distribuição da Normal não possui uma forma analítica e é representada pelaintegral abaixo:
Φ(x) =∫ x
−∞
1√2πσ2
exp{−(u−µ)2
2σ2
}du
Devido a dificuldade de resolução dessa integral, procurou-se métodos alternativos paraobtenção das probabilidades.
De acordo com o corolário 6.1 uma variável aleatória X que segue qualquer distribuiçãoNormal pode ser transformada em uma variável normal padrão Z, por meio da expressão
Z =X−µ
σ⇒ X = σZ +µ
Assim, temos que:
ΦX(X) = P(X ≤ x) = P(σZ +µ ≤ x) = P(
Z ≤ x−µ
σ
)= ΦZ
(x−µ
σ
)Uma das formas mais utilizadas para determinar probabilidades de uma distribuição Normal
é por meio de tabela de probabilidades de uma distribuição Normal padrão (Z).
Modelos Probabilísticos Contínuos 11
Exemplo 6.6: Seja uma variedade e de milho em que a altura é um variável X com distri-buição normal com média µ = 200cm e variância σ2 = 100cm2. Qual a probabilidade de umaplanta desta variedade ter altura entre 190 e 195cm?
Para obter P(190 < X < 195), primeiro vamos padronizar esta variável, sendo σ =√
σ2 =√100 = 10
z1 =x1−µ
σ=
190−20010
=−1 z2 =x2−µ
σ=
195−20010
=−0,5
EntãoP(190 < X < 195) = P(−1 < Z <−0,5) = Φ(−0,5)−Φ(−1)
Como na tabela tem apenas valores positivos e a distribuição normal é simétrica temos que
Φ(−1) = 1−Φ(1) = 1−0,84134 = 0,15866 Φ(−0,5) = 1−0,69146 = 0,30854
P(190 < X < 195) = P(−1 < Z <−0,5) = Φ(−0,5)−Φ(−1) = 0,30854−0,15866 = 0,14988
Assim, a probabilidade de P(190 < x < 195) = 0,14988Vamos calcular a probabilidade de uma planta desta variedade ter altura maior que 210cm.
Primeiro vamos padronizar esta vaor, sendo σ =√
σ2 =√
100 = 10
z =x−µ
σ=
210−20010
= 1,0
Assim,
P(X > 210) = (Z > 1,0) = 1−Φ(1,0) = 1−0,84134 = 0,15866
Vamos calcular a probabilidade de uma planta desta variedade ter altura entre 195 e 210cm.Utilizando as padronizações já realizadas temos que
P(195 < x < 210) = P(−0,5 < z < 1,0) = Φ(1,0)−Φ(−0,5) = 0,84134−0,30854 = 0,5328
Modelos Probabilísticos Contínuos 12
Exemplo 6.7: Se X ∼ N(2;9) encontre o valor de X tal que P(X ≤ k) = 0,10.P(X ≤ k) = 0,10 = P(Z < z).Temos que a area abaixo de um determinado valor z é 0,10 e area acima temos que é 0,90.
Assim pelo simetria temos que o area abaixo de −z é 0,90 e acima é 0,10. Olhando na tabelatemos que −z = 1,28, assim z =−1,28.
Utilizando a relação X = σZ+µ , temos que k = 3(−1,28)+2 =−1,84. Assim temos, queP(X ≤−1,84) = 0,10
6.5 DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL
A distribuição Log-Normal é indicada para modelar eventos que apresentam assimetria eque possam assumir valores entre 0 e ∞. Essa distribuição é muito usada para caracterizartempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui, fadiga de metal, semicondutores, diodose isolação elétrica. Mas também é utilizada em áreas como d biologia e agricultura, além demodelar magnitudes de terremotos e tempo de repouso entre terremotos; médias de máximasdiárias anuais de chuva, de vazão e picos de vazão de rios (anuais, mensais e diárias);
Definição 6.6: Uma variável aleatória continua X tem distribuição Lognormal com parâ-metros µ e σ2, se sua função de densidade de probabilidade é dada por
f (x) =
1x√
2πσ2 e−(ln(x)−µ)2
2σ2 parax > 0
0 caso contrário
Modelos Probabilísticos Contínuos 13
em que −∞ < µ < ∞ e σ2 > 0
Figura 6.6: Representação gráfica da fdp da Lognormal Ln(µ,σ2)
Para verificar que a função dada realmente define uma função de densidade, notamos inici-almente que f (x)≥ 0. Além disso
∫∞
0f (x)dx =
∫∞
0
1
x√
2πσ2e−
(ln(x)−µ)2
2σ2 dx
y = ln(x)⇒ x→ 0 y→−∞
dy =dxx
x→ ∞ y→ ∞∫∞
0
1
x√
2πσ2e−
(ln(x)−µ)2
2σ2 =∫
∞
−∞
1√2πσ2
e−(y−µ)2
2σ2 dy = 1
Teorema 6.9: Se X tem uma distribuição Lognormal com parâmetros µ e σ2, então
E[X ] = eµ+σ22 V (X) = (eσ2
−1)e2µ+σ2
O função de distribuição da lognormal não possui uma forma analítica e é representada pelaintegral abaixo:
Φ(x) =∫ x
−∞
1
u√
2πσ2exp{−(u−µ)2
2σ2
}du
Existe uma relação entre as distribuições Log-Normal e Normal, como o nome sugere, ologaritmo de uma variável com distribuição Lognormal com parâmetros µ e σ2 tem uma distri-buição Normal com média µ e variância σ2. Esta relação significa que dados provenientes deuma distribuição Lognormal podem ser analisados segundo uma distribuição Normal se traba-lharmos com o logaritmo dos dados ao invés dos valores originais.
Exemplo 6.8: O tempo, em segundos, que um usuário de computador leva para ler seusemails é distribuído como uma variável aleatória lognormal, com µ = 1,8 e σ2 = 4,0. Qual àprobabilidade de que o usuário leia seus emails:
Modelos Probabilísticos Contínuos 14
a) por mais de 20 segundos
P(X > 20) = 1−P(X ≤ 20) = 1−P(eY ≤ 20)
= 1−P(Y ≤ ln(20))≈ 1−P(Y ≤ 3,00)
Como Y tem distribuição normal com µ = 1,8 e σ2 = 4,0, temos que
Z =3−1,8
2= 0,6
P(X > 20) ≈ 1−P(Y ≤ 3,00) = 1−P(Z ≤ 0,6) = 1−0,72575 = 0.27425
b) por um período superior a média da distribuição.
E[X ] = eµ+σ22 = e1,8+2) ≈ 44,70
P(X > 44,70) = 1−P(Y ≤ ln(44,70))≈ 1−P(Y ≤ 3,80)
Z =3,8−1,8
2= 1,0
P(X > 44,70) = 1−P(Z > 1,00) = 1−0,84134 = 0,15866
6.6 EXERCÍCIOS
6.6.1 Teoricos
6.1) Mostre que independente dos valores de a e b, uma distribuição uniforme
a) é sempre simétrica
b) Md = E[X ] = a+b2
c) é sempre amodal
6.2) Se X tem distribuição normal N(µ,σ2). Determine c, como uma função de µ e σ , tal que
P(X ≤ c) = 2P(X > c)
6.3) Determine a moda e a mediana da distribuição exponencial com parâmetro λ
6.4) Se X é uma variável aleatória continua com função de distribuição F . Mostre que se umavariável aleatória Y = F(X) é uniformemente distribuída em (0,1).
6.5) Se X é uma variável aleatória com distribuição normal N(µ,σ2). Seja Y = eX , mostre queY tem distribuição lognormal com parâmetros µ e σ2.
6.6) Se X é uma variável aleatória com distribuição lognormal LogN(µ,σ2). Seja Y = lnX ,mostre que Y tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2.
Modelos Probabilísticos Contínuos 15
6.7) Determine a assimetria e curtose da distribuições abaixo:
a) Normal;
b) Gama
c) Exponencial
6.8) Um corpo de bombeiros esta para ser construído ao longo de uma estrada com compri-mento A. Se os incêndios ocorrem de maneira uniforme ao longo desta estrada, onde o corpode bombeiros deveria ser instalado para minimizar a distância esperada ao incêndio? Isto é,determine α que minimize E[X−α], em que X denota a posição de ocorrência de um incêndionesta estrada, é uniformemente distribuído em (0,A) .
6.9) Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ e c > 0 uma constante real,determine a distribuição de Y = cX
6.6.2 Práticos
6.1) O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 350 ml. Suponha que alinha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído nointervalo [345,355]
a) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo superior a 353 ml?
b) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo inferior a 346 ml?
c) O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4 ml do conteúdo exibidona lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção?
6.2) Uma distribuição uniforme no intervalo [a,b] tem E[X ] = 7,5 e V (X) = 6,75. Determineos valores de a e b, sabendo que b > a > 0.
6.3) Você chega na parada de ônibus às 10:00, sabendo que o ônibus chegará em algum horáriouniformemente distribuído entre 10:00 e 10:30.
a) Qual é a probabilidade de que você tenha que esperar mais de 10 minutos?
b) Se às 10:15, o ônibus ainda não tiver chegado, qual é a probabilidade de que você tenhaque esperar pelo menos mais 10 minutos?
6.4) Sabe-se que o tempo de renovação de estoque de certo produto tem distribuição gama,com média de 40 e uma variância de 400. Ache a probabilidade de que um pedido seja recebidono período dos vinte primeiros dias após ter sido feito. Dentro do 60 primeiros dias.
6.5) Suponha que o tempo gasto por um aluno selecionado aleatoriamente que usa um terminalconectado a uma instalação de computador com time-sharing tem uma distribuição gama commédia de 20 min. e variância de 80 min2
Modelos Probabilísticos Contínuos 16
a) Determine os valores de r e λ
b) Qual a probabilidade de um aluno usar o terminal por no máximo 24 minutos?
c) Qual é a probabilidade de um aluno passar entre 30 e 40 minutos usando o terminal?
6.6) Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial comvida média de 100 horas. a) Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horasb) Cada fusível tem um custo de R$ 10,00 e, se durar menos de 200 horas, existe um custoadicional de R$ 8,00. Qual a probabilidade de pagar a preço adicional?
6.7) Os tempos até a falha de um dispositivo eletrônico seguem o modelo exponencial comuma taxa de falha 0,012falha/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido aoacaso sobreviver: a) a 100 horas? b) a 50 horas?
6.8) Suponha que o tempo de vida T de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma distri-buição Exponencial com parâmetro λ = 0,05. Determine:
a) P(T > 15|T > 10)
b) Esperança e a variância do tempo de vida.
6.9) A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representadapor uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 15% dos maisleves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 20% seguintes como grandes e os15% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?
6.10) Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garantea restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seismeses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normalsendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, commédia de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidoscom lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de2500 u.m. e 7000 u.m. Respectivamente.
a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.
b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.
6.11) Uma variável aleatória X tem distribuição normal N(µ,σ2), sabe-se que
P(X ≤ 45) = 0,30 P(X > 64) = 0,10
Determine os valores de µ e σ2
Modelos Probabilísticos Contínuos 17
6.12) A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída,possui duração média de 5000 km e desvio-padrão de 1000 km. Qual a probabilidade de umamortecedor escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350 km?
6.13) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de aten-dimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2minutos.
a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
b) E mais do que 9,5 minutos?
c) E entre 7 e 10 minutos?
6.14) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certamáquina é de 1,300 cm e desvio padrão 0,002 cm. A finalidade para qual estas arruelas sãofabricadas permite a tolerância máxima de 1,298 a 1,302 cm; se isto não se verificar as arru-elas serão consideradas defeituosas. Determine o percentual de arruelas defeituosas que serãoproduzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.
6.15) Em determinada população, a taxa de hemoglobina no sangue tem distribuição normal,com média igual a 16 g/100mL e desvio padrão de 1,2 g/100mL.
a) Que proporção de indivíduos tem taxa menor do que 17,8?
b) Que proporção de indivíduos tem taxa maior do que 18,4?
c) Qual sua opinião sobre um nível de hemoglobina igual a 14g/100mL quando comparadocom a média?
6.16) Em certa população, a estatura dos homens tem distribuição normal, com média igual a172 cm e desvio padrão igual a 10 cm.
a) Que percentagem de homens tem estatura inferior a 160 cm?
b) Qual a probabilidade de que um homem dessa população tenha estatura entre 175 e 185cm?
c) Quais são as estaturas esperadas para os 8% mais altos da população?
6.17) Em determinado concurso havia 600 candidatos para 120 vagas. Realizada a prova, onúmero médio de acertos foi 70, com desvio padrão de 5. Qual o número mínimo de acertospara que um candidato se classifique, sabendo que esta variável apresentou distribuição normal?
6.18) Suponha que a concentração de um determinado poluente produzido por fábricas de pro-dutos químicos, em partes por milhão, tem uma distribuição lognormal com parâmetros µ = 3,2e σ2 = 1. Qual é a probabilidade de que a concentração exceda oito partes por milhão?
Modelos Probabilísticos Contínuos 18
6.19) O tempo entre terremotos graves em uma determinada região segue uma distribuição log-normal com um coeficiente de variação de 40%. O valor esperado entre terremotos graves é de80 anos
a) Determine os parâmetros µ e σ2 da distribuição do tempo entre terremotos graves.
b) Determine a probabilidade de que um terremoto vai ocorrer dentro de 20 anos a partir daanterior.
c) Suponha que o último terremoto grave na região ocorreu há 100 anos. Qual é a probabi-lidade de que um terremoto vai ocorrer durante o próximo ano?
6.20) A velocidade máxima do vento em um tornado em uma determinada cidade segue umadistribuição lognormal com µ = 4,5e σ2 = 0,04
a) Qual é a probabilidade de que a velocidade do vento máxima será superior a 120 mphdurante o tornado que vem?
b) Determine a média e a variância da velocidade do vento de um tornado.
