Módulo 2 Compras - liveuniversity.comliveuniversity.com/downloads/MBA Compras 1258 - Intensivo/M2... · MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS Framework Finanças

Módulo 2 Finanças e Economias Aplicadas a

Compras

MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS

Framework

Finanças e Economias

aplicadas a Compras Negociação

Planejamento, Estrutura e Gestão de Compras

Gestão por Categorias

Gestão de Fornecedores

Strategic Sourcing

Valor


Framework

Finanças e Economias aplicadas a Compras

Matemática Financeira . Fluxo de Caixa . Viabilidade . Gestão

Econômico-Financeira (GEF) . Tributos . Macro e Micro Economia


Framework

Finanças e Economias aplicadas a Compras

Matemática Financeira . Fluxo de Caixa . Viabilidade . Gestão

Econômico-Financeira (GEF) . Tributos . Macro e Micro Economia

Conceitos Básicos MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS

O valor do dinheiro muda com o tempo

Desde que o Plano Real foi lançado, em 1º de julho de 1994, até fevereiro de 2014, a moeda se desvalorizou 77,65%. Com isso, a nota de R$ 100, na prática, vale hoje R$ 22,35.


Por que isso acontece?


Artigo “Após 20 anos, real perde poder de compra, e nota de R$ 100 vale só R$ 22,35”


Como acompanhar o valor do dinheiro ao longo do tempo?


Matemática Financeira - Definição

Estudo da evolução do dinheiro no tempo, visando estabelecer relações formais entre quantias expressas em datas distintas.

Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática com o objetivo específico de avaliar operações de investimento e empréstimo.


Verdadeiro ou falso? Oferta: Produto à vista por R$ 500 ou em 10 parcelas, sem entrada, de R$ 100. “Se o comprador optar pelo pagamento parcelado acabará pagando duas vezes pelo produto.”


Se o valor do dinheiro muda com o tempo… Somente é possível comparar

quantias expressas em uma mesma data.

Somente é possível efetuar operações algébricas com quantias expressas em uma mesma data.


Se o valor do dinheiro muda com o tempo… R$ 500,00 na data de hoje não são iguais a R$

500,00 em outra data futura.

O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros.

Se aplicarmos R$500,00 hoje a 8% a.a., teremos um rendimento anual de R$ 40,00, proporcionando um montante de R$540,00 no final do ano e de R$ 533 em dez meses.

Para uma taxa de juros de 8% a.a., tanto faz termos R$ 500 hoje, ou R$ 533 daqui a dez meses.


Se o valor do dinheiro muda com o tempo… R$ 500,00 hoje somente serão iguais a R$500,00 daqui

a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser

nula – por isso não podemos dizer que a firmação anterior é verdadeira.

Montantes em datas diferentes só devem ser somados após transformados em valores de uma mesma data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros.


Conceitos Gerais - Juros Juros é dinheiro pago pelo uso do dinheiro, como se fosse um “aluguel”.

Para o credor (aquele que tem algo a receber), é uma compensação pelo

tempo que ficará sem utilizar o dinheiro.

Para quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, é um acréscimo a ser pago pela utilização do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do bem.

Matematicamente, juros (J) é a diferença entre o capital que foi emprestado (C) e o montante que é cobrado no período de tempo futuro (M), quer seja ano, mês ou dia.

J = M - C


Conceitos Gerais - Taxa de Juros Para determinar o valor dos juros são definidas taxas percentuais (taxas

de juros) fixadas pelo credor.

As taxas de juros são calculadas de acordo com alguns fatores como: inflação em vigor, o que foi acordado no contrato e risco do empréstimo para o credor. As taxas podem ser maiores ou menores numa relação proporcional ao tamanho do risco.

No Brasil, os bancos utilizam uma taxa de referência básica, criada em 1979 pelo Banco Central do Brasil, chamada Taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia). Essa taxa também é utilizada na delimitação das taxas de juros para o comércio.


Conceitos Gerais - Taxa de Juros Matematicamente, a taxa de juros (i) é definida como sendo o que foi

cobrado de juros (J) dividido pelo capital principal (C) emprestado:

As taxas de juros são expressas em porcentual por um período de tempo:

% a.a. (anuais) % a.s. (semestrais) % a.t. (trimestrais) % a.m. (mensais) % a.d. (diárias)

i = J / C

i = M-C / C


Conceitos Gerais - Regime de Juros Definem como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao

capital principal ao final de cada período, no decorrer da aplicação.

Os principais regimes de juros são: Juros simples (linear, progressão aritmética) Juros compostos (exponencial, progressão geométrica) Juros nominais Juros de mora Juros reais Juros rotativos Juros sobre o capital próprio Etc.

Matemática Financeira Juros Simples


Juros Simples A taxa de juros a cada período incide apenas sobre o capital principal (C).


Juros Simples - Exemplo Imagine um capital inicial de R$ 100 investido a uma taxa de juros simples

de 10% ao mês. Como seria a situação ao final de cada mês, até o terceiro mês de aplicação?

Mês 0 Mês 1 Mês2 Mês 3

R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 120,00 R$ 130,00

+ 10%

+ 10%

+ 10%


Juros Simples O regime de juros simples considera que os juros formados em cada

período são resultado da aplicação da taxa de juros exclusivamente sobre o capital inicial.

O capital inicial, portanto, é a base de cálculo dos juros em cada período considerado na operação.

Os juros formados em cada período não são incorporados ao capital sobre o qual incidirão os juros do período seguinte.


Juros Simples - Formação

Capital Inicial (C0) => R$ 1.000,00

Taxa de juros => 10% a.p.

Período Capital Inicial Juros Capital Final

0

R$ 1.000,00

- R$ 1.000,00 (C0)

1 R$ 100,00 R$ 1.100,00 (C1)

2 R$ 100,00 R$ 1.200,00 (C2)

3 R$ 100,00 R$ 1.300,00 (C3)

4 R$ 100,00 R$ 1.400,00 (C4)

5 R$ 100,00 R$ 1.500,00 (C5)


Juros Simples - Gráfico No regime de juros simples, o crescimento do dinheiro ao longo do tempo é linear, em progressão aritmética.

Função Linear: y = a + bx Cn = C0 + (C0.i).n

Onde: J = juros C = Capital i = taxa de juros n = períodos M = Montante

Fórmula de Juros Simples MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS

Juros Simples - Fórmulas Se um capital inicial C for tomado emprestado a uma taxa de juros simples i, durante um período n, o valor dos juros J cobrados é: Já o valor final (montante - M) após ter passado todos os períodos (n) e, portanto, incidido totalmente os juros (J) éequivalente à soma dos juros e do capital inicial, ou seja:

J = C.i.n

M = C + J M = C + C.i.n

M = C.(1 + i.n)


Juros Simples - Exercício Se tomarmos um empréstimo de R$ 50.000 pelo prazo de 5 anos à taxa simples de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?

Do enunciado, extraímos que: C = 50.000 i = 10/100 = 0,1 n = 5

Sendo assim: J = C .i.n J = 50.000 . 0,1 . 5 J = 25.000

Do enunciado, extraímos que: C = 100 i = 50/100 n = 5


Juros Simples - Exercício Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a uma taxa de juros simples de 50% ao ano em cinco anos?

Sendo assim: M = C . (1 + i.n) M = 100 . (1 + 0,5.5) M = 100 . (1 + 2,5) M = 100 . 3,5 M = 350

Matemática Financeira Juros Compostos


Juros Compostos A taxa de juros a cada período incide sobre todo o capital acumulado

(principal + juros) – é o regime mais utilizado pelas instituições financeiras.


Juros Compostos - Exemplo Imagine um capital inicial de R$ 100 investido a uma taxa de juros

compostos de 10% ao mês. Como seria a situação ao final de cada mês, até o terceiro mês de aplicação?

Mês 0 Mês 1 Mês2 Mês 3

R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 121,00 R$ 133,10

+ 10%

+ 10%

+ 10%


Juros Compostos O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada

período são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período são calculados sobre esse novo capital.

É o método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras.

Os juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros.


Juros Compostos - Formação

Capital Inicial (C0) => R$ 1.000,00

Taxa de juros => 10% a.p.

Período Capital Inicial Juros Capital Final

0 R$ 1.000,00 - R$ 1.000,00 (C0)

1 R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00 (C1)

2 R$ 1.100,00 R$ 110,00 R$ 1.210,00 (C2)

3 R$ 1.210,00 R$ 121,00 R$ 1.331,00 (C3)

4 R$ 1.331,00 R$ 133,10 R$ 1.464,10 (C4)

5 R$ 1.464,10 R$ 146,41 R$ 1.610,51 (C5)


Juros Compostos - Gráfico No regime de juros simples, o crescimento do dinheiro ao longo do tempo é exponencial ou em progressão geométrica.

Função Exponencial: y = a . (b)x

Cn = C0 . (1 + i)n

Onde: Jn = juros acumulados até o final de n períodos de capitalização; C0 = capital inicial; Cn = capital acumulado até o final de n períodos de capitalização; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.


Juros Compostos - Fórmulas Se um capital C0 for tomado emprestado a uma taxa de juros copostos i, o valor do juro Jn cobrado ao final de n períodos é: Já o montante Cn, após n períodos, decorrente de um capital inicial C0 investido a uma taxa de juros compostos i, é calculado por:

Jn = C0 . [(1+i)n –1]

Cn = C0 .(1+i)n


Juros Compostos - Exercício Se tomarmos um empréstimo de R$ 50.000 pelo prazo de 5 anos à taxa de juros compostos de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?

Do enunciado, extraímos que: C0 = 50.000 i = 10/100 = 0,1 n = 5

Sendo assim: Jn = C0 . [(1+i)n –1] Jn = 50.000 . [(1+0,1)5 – 1] Jn = 50.000 . [(1,1)5 – 1] Jn = 50.000 . [(1,61051) – 1] Jn = 50.000 . 0,61051 Jn = 30.525,50

Do enunciado, extraímos que: C0 = 100 i = 50/100 = 0,5 n = 5


Juros Compostos - Exercício Qual o montante equivalente a R$ 100 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos?

Sendo assim: Cn = C0 .(1+i)n

C5 = 100 . (1 + 0,5)5

C5 = 100 . (1,5)5

C5 = 100 . 7,59375 C5 = 759,375

Juros Simples X Juros Compostos


Juros Simples

Juros Compostos

Matemática Financeira Descontos


Desconto - Definição Desconto é uma compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado da dívida.


Desconto - Definição A ideia é que se um título deve ser pago no futuro, então hoje (ou em outra data anterior ao seu vencimento) ele vale menos. A diferença entre estes valores é chamada de desconto.


Desconto - Definição Sendo assim, desconto (D) é a quantia a ser abatida do valor nominal (valor escrito no título - N). Ou seja, é a diferença entre o valor futuro ou nominal (Vf ou N) e o valor presente ou atual (Vp ou Va: valor do título se fosse descontado hoje).

D = N - Va


Desconto - Conceitos Gerais

Valor Nominal (N) ou Valor Futuro (FV): valor do título ou dívida na data do vencimento. Valor Atual (Va) ou Valor Presente (PV): valor efetivamente pago, antes do vencimento, com desconto. Desconto (D): diferença entre o valor da data do vencimento e o valor pago (D = N – Va).


Desconto - Exemplo O título abaixo tem um vencimento para 17 de agosto de 2014. Se ele for descontado (trocado por dinheiro) em 19 de maio de 2014 (três meses antes do vencimento), o seu José terá uma quantia menor do que os R$ 2.350 nele indicado.


Desconto - Exemplo: Fluxo Representando graficamente o exemplo anterior, temos o seguinte fluxo de caixa:


Como calculamos o valor do desconto?


Desconto - Tipos Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional, e o desconto comercial. Os dois tipos podem ser divididos também em desconto simples e desconto composto.

Desconto

Desconto Comercial

Simples

Composto

Desconto Racional

Simples

Composto



Desconto

Desconto Comercial

Simples

Composto

Desconto Racional

Simples

Composto


Desconto Comercial (ou “Por Fora”) Simples No desconto comercial simples (ou “por fora” simples), a ideia é calcular o

desconto com base no juro que o valor nominal (N) renderia durante o tempo de antecipação, numa taxa fixada.

O desconto comercial simples é aplicado, portanto, sobre o valor nominal (N).

É muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral.


Desconto Comercial (ou “Por Fora”) Simples - Fórmulas Para calcular o desconto comercial simples, utilizamos as seguintes fórmulas:

D = N.i.n

Onde: D = desconto Va = valor atual N = valor nominal i = taxa de juros n = períodos

Va = N.(1 - i.n)


Desconto Comercial Simples - Exercício Qual é o valor nominal de uma duplicata que sofre um desconto por fora de R$ 6.400,00, a 4 meses de seu vencimento, à taxa de 5% a.m.?

Do enunciado, extraímos que: N = ? D = 6.400 i = 5/100 a.m. = 0,05 n = 4

Sendo assim: D = N.i.n 6.400 = N.0,05.4 N = 32000


Desconto Comercial Simples - Exercício Uma duplicata foi descontada em R$ 400 pelos 160 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 30%, o valor atual do título é:

Do enunciado, extraímos que: D = 400 i = 0,3% a.a. = 0,3/360 a.d. n = 160 dias

Sendo assim: D = N.i.n 400 = N.0,3/360.160 N = 400.360/0,3.160 N = 144000/48 N = 3000

D = N - Va

400 = 3000 - Va A = 3000 - 400 A = 2600



Desconto

Desconto Comercial

Simples

Composto

Desconto Racional

Simples

Composto


Desconto Racional (ou “Por Dentro”) Simples No desconto racional simples, a ideia é calcular o desconto com base

no juro que o valor atual (Va) do título produziria durante o tempo de antecipação, numa taxa fixada.

O desconto racional simples é aplicado, portanto, sobre o valor atual (Va).


Desconto Racional (ou “Por Dentro”) Simples Para calcular o desconto racional simples, utilizamos as seguintes fórmulas:

D = Va.i.n

Onde: D = desconto Va = valor atual N = valor nominal i = taxa de juros n = períodos

Va = N (1 + i.n)


Desconto Racional Simples - Exercício Qual é o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por dentro de R$ 7.500,00, a 40 dias de seu vencimento, à taxa de 6% a.m.?

Do enunciado, extraímos que: Va = ? D = 7.500 n = 40 dias i = 0,06 a.m. = 0,06/30 a.d.

Sendo assim: D = Va.i.n 7500 = Va.0,06/30.40 7500 = Va.2,4/30 Va = 7.500.30/2,4 Va = 93750



Desconto

Desconto Comercial

Simples

Composto

Desconto Racional

Simples

Composto


Desconto Comercial (ou “Por Fora”) Composto No desconto comercial composto (ou “por fora” composto), o valor

atual (Va) é obtido por meio de uma sucessão de descontos sobre o valor nominal (N).

O desconto comercial composto calcula a diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (Va) do compromisso na data em que se propõe a antecipação.

Assim como no desconto comercial simples, o desconto comercial composto é aplicado sobre o valor nominal (N).

Não é usado costumeiramente no Brasil.


Desconto Comercial (ou “Por Fora”) Composto Para calcular o desconto comercial composto, utilizamos as seguintes fórmulas:

Va = N.(1 - i)n D = N.[1 - (1 - i)n]

Onde: Va = valor atual; N = valor nominal; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.


Desconto Comercial Composto - Exercício

Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, qual é o valor descontado e o valor de desconto?

Do enunciado, extraímos que: Va = ? D = ? N = 2000 i = 10/100 = 0,1 n = 2

Sendo assim: Va = N.(1 - i)n Va = 2000.(1 - 0,1)2 Va = 2000.0,81 Va = 1620

D = N – Va D = 2000 – 1620 D = 380


Desconto Comercial Composto - Exercício

Um comerciante vende uma cama de casal no valor de R$ 1.000,00 e aceita como pagamento um cheque pré-datado para 30 dias. Precisando do dinheiro agora para pagar o salário dos funcionários, ele procura o banco para antecipar o dinheiro numa operação de desconto composto a 4% a.m. Qual o valor descontado?

Do enunciado, extraímos que: Va = ? D = ? N = 1000 i = 4/100 = 0,04 n = 30 dias = 1 mês

Sendo assim: Va = N.(1 - i)n Va = 1000.(1 - 0,04)1 Va = 1000.0,96 Va = 960



Desconto

Desconto Comercial

Simples

Composto

Desconto Racional

Simples

Composto


Desconto Racional (ou “Por Dentro”) Composto O desconto racional composto (ou “por dentro” composto)

caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor atual (Va) do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.

Assim como no desconto racional simples, o desconto racional composto é aplicado sobre o valor atual (Va).

É utilizado em aplicações de longo prazo.


Desconto Racional (ou “Por Dentro”) Composto - Fórmulas Para calcular o desconto comercial composto, utilizamos as seguintes fórmulas:

Va = N (1 + i)n

D = N.[1 - (1 + i)-n]

Onde: Va = valor atual; N = valor nominal; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.


Desconto Racional Composto - Exercício Uma indústria oferece 90 dias de prazo para receber de seus clientes atacadistas. Qual o desconto racional composto de uma duplicata de R$ 10.000,00 a 3% a.m.?

Do enunciado, extraímos que: Va = ? D = ? N = 10000 i = 3/100 = 0,03 n = 90 dias = 3 meses

Sendo assim:

Va = N (1 + i)n

Va = 10000 (1 + 0,03)3

Va = 10000 1,092727

Va = 9151,41

Matemática Financeira Taxas Equivalentes

Taxas Equivalentes Duas taxas de juros expressas em unidades de tempo distintas serão ditas equivalentes quando produzirem o mesmo montante a partir de um capital inicial, mantendo-se constantes: O prazo da aplicação.

O regime de aplicação (juros

simples ou compostos).

O período de capitalização (mensal, trimestral, anual etc).



Taxas Equivalentes - Exemplo

Capital: R$ 1.000 Taxa: 5% ao mês Regime: Simples Período: 12 meses

Capital: R$ 1.000 Taxa: 60% ao ano Regime: Simples Período: 12 meses - 1 ano

Ao final de 12 meses, as taxas de juros simples de 5% a.m. e 60% a.a. produziram o mesmo montante, a partir de um mesmo capital inicial. Por isso, podemos dizer que as taxas simples de 5% a.m. e 60% a.a. são taxas equivalentes.

Taxas Equivalentes em Juros Simples - Fórmula No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, tem-se que as taxas equivalentes são obtidas sempre de forma proporcional. Assim:


i1

i2

n1

n2

= i1

n1

i2

n2

= ou

Taxas Equivalentes em Juros Compostos - Fórmula No regime de juros compostos, em função de sua natureza exponencial, as taxas equivalentes não podem ser obtidas de forma proporcional, como no caso dos juros simples. Para calcular, utilizamos a seguinte fórmula:


i1 = [(1 + i2) (n2/n1)] - 1


Regra Importante Para Aplicação da Fórmula 1. Para que as taxas sejam equivalentes, os períodos de capitalização

devem ser os mesmos, ainda que em unidades diferentes. Para facilitar a conversão, atribua 1 à maior unidade de tempo e calcule a equivalência da outra unidade. Exemplos:

i1 n1 i2 n2

10% a.a. 1 (ano) i% a.d. 365 (dias)

4% a.t. 1 (trimestre) i% a.b. 1,5 (bimestre)

5% a.m. 12 (meses) i% a.a. 1 (ano)

1% a.d. 182,5 (dias) i% a.s. 1 (semestre)

Taxas Equivalentes em Juros Simples - Exercício Sendo dada a taxa de juros simples de 24% ao ano, determine a taxa proporcional mensal.


Do enunciado, extraímos que: i1 = 24/100 = 0,24 n1 = 1 ano = 12 meses i2 = ? n2 = 1 mês

Sendo assim: i1

n1

i2

n2

=

i1 . n2 = n1 . I2

0,24 . 1 = 12 . i2

i2 = 0,24/12

i2 = 0,02

i2 = 2% a.m.

Taxas Equivalentes em Juros Compostos - Exercício Determine a taxa anual equivalente a taxa de juros compostos de 2% a.m.


Do enunciado, extraímos que: i1 = ? a.a n1 = 1 ano i2 = 2/100 = 0,02 n2 = 12 meses

Sendo assim: i1 = [(1 + i2) (n2/n1)] – 1 i1 = [(1 + 0,02 )

(12/1)] – 1 i1 = [(1,02) 12] – 1 i1 = 1,268242 – 1 i1 = 0,268242 i1 = 26,8242% a.a.

Taxas Equivalentes em Juros Compostos - Exercício Qual a taxa mensal de juros compostos equivalentes a 0,1% ao dia?


Do enunciado, extraímos que: i1 = ? a.m n1 = 1 mês i2 = 0,1/100 = 0,001 n2 = 30 dias

Sendo assim: i1 = [(1 + i2) (n2/n1)] – 1 i1 = [(1 + 0,001 )

(30/1)] – 1 i1 = [(1,001) 30] – 1 i1 = 1,030439 – 1 i1 = 0,030439 i1 = 3,0439% a.m.

Atividade

1. Dividam-se em quatro/cinco grupos.

2. Leiam o case entregue.

3. Construam a contraproposta, seguindo as orientações do case.

4. Preparem-se para apresentar o resultado.

5. Participem da discussão em sala.


Matemática Financeira Taxa Efetiva e Taxa Nominal

Taxas Nominais MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS

Taxa Efetiva e Taxa Nominal Há situações em que os juros de uma aplicação são capitalizados mais de uma vez durante o período a que se refere a taxa de juros. Com isso, o total de juros gerado no período integral é maior que a taxa apresentada. A taxa de juros apresentada é chamada de taxa nominal. A taxa de juros real calculada para o período é chamada de taxa efetiva.

Taxa Efetiva a partir de uma Taxa Nominal MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS

Taxa Efetiva Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos: 2% ao mês, capitalizados mensalmente 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 6% ao semestre, capitalizados semestralmente 12% ao ano, capitalizados anualmente


Taxa Nominal

Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Exemplos: 12% ao ano, capitalizados mensalmente 24% ao ano, capitalizados semestralmente 10% ao ano, capitalizados trimestralmente 18% ao ano, capitalizados diariamente

Nunca utilize a taxa nominal para fazer contas! Encontre a Taxa Efetiva!



Como encontrar a Taxa Efetiva a partir da Taxa Nominal Para encontrar a taxa efetiva a partir da taxa nominal, basta utilizar regra de três.

inom

iefet

nnom

nefet

= inom

nnom

iefet

nefet

= ou


Como encontrar a Taxa Efetiva a partir da Taxa Nominal - Exercício Claudia contrata um empréstimo de R$ 10.000, com taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Qual é a taxa efetiva anual?

Do enunciado, extraímos que: C = 10.000 inom = 24% a.a. nnom = 1 ano = 12 meses iefet = ? a.m. nefet = 1 mês

Sendo assim: inom

iefet

nnom

nefet

=

Iefet 1

24 12 =

Iefet = 2% a.m.

Matemática Financeira Série de Pagamentos


Série ou Anuidade Nas aplicações, o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou

através de uma sucessão de pagamento ou de recebimentos.

Quando esses pagamentos ou recebimentos são feitos de forma

periódica e iguais, damos a eles o nome de série ou anuidade uniforme.


Série ou Anuidade É uma sequência de depósitos/pagamentos iguais, feitos

sucessivamente e em um intervalo de tempo fixo.

Os depósitos/pagamentos periódicos podem ser anuais, semestrais, trimestrais, mensais, ou em qualquer outro intervalo de tempo fixo.

A taxa de juros em cada período é a mesma.

Taxa Efetiva a partir de uma Taxa Nominal

Série ou Anuidade - Exemplo

Dona Ângela comprou uma geladeira em 12 prestações fixas de R$ 250,00, a serem pagas todo dia 15 de cada mês.


Série ou Anuidade - Exemplo

A cada três meses, Walter e sua esposa depositam R$ 5.000,00 na poupança para pagar a faculdade das filhas no futuro.


Série ou Anuidade - Tipos

Postecipada

(sem entrada)

• O pagamento ocorre no fim do período.

Antecipada

(com entrada)

• O primeiro pagamento ocorre no início do período.

Diferida

• A Série de pagamento se inicia após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos, geralmente conhecido por “período de carência”.



Postecipada

(sem entrada)


Antecipada

(com entrada)


Diferida


Nominal MBA DE COMPRAS FINANÇAS E ECONOMIAS APLICADAS A COMPRAS

Série Postecipada Sem entrada: 0 + n.

A série ou parcela (PMT) começa a ser paga no período 1.

O valor presente está no período 0.

0 1 2... n

PMT1

PV

PMT2 PMTn


Série Postecipada - Fórmulas

PMT = PV . i 1 – (1 + i)-n

Onde: PMT = parcela; PV = valor presente; FV = valor futuro; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

FV = PMT . (1 + i)n – 1 i [ ]


Série Postecipada - Exercício Um produto que custa R$ 320 à vista pode ser vendido em 4 parcelas, sem entrada. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule o valor das parcelas.

Do enunciado, extraímos que: VA = 320 n = 4 i = 2% a.m. = 0,02 PMT = ?

Sendo assim: PMT = PV . i 1 – (1 + i)-n

PMT = 320 . 0,02 1 – (1 + 0,02)-4

PMT = 84,04


Série Postecipada - Exercício Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, em um prazo de 30 anos, qual será o valor acumulado após este período?

Do enunciado, extraímos que: n = 30 anos = 360 meses i = 0,8% a.m. = 0,008 PMT = 100 FV = ?

FV = PMT . (1 + i)n – 1 i [ ] Sendo assim:

FV = 100 . (1 + 0,008)360 – 1 0,008 [ ] FV = 100 . 2076,4132

FV = 207641,32



Postecipada

(sem entrada)


Antecipada

(com entrada)


Diferida



Série Antecipada Com entrada: 1 + n

A série ou parcela (PMT) começa a ser paga no período 0.


A taxa de juro não incide sobre o valor dado como entrada.

0 1 2... n

PMT1

PV

PMT2 PMTn + 1 PMT3


Série Antecipada - Fórmulas

PMT = PV . i . (1 + i)-1

1 – (1 + i)-n FV = PMT . (1 + i)n – 1 . (1 + i)

i

Onde: PMT = parcela; PV = valor presente; FV = Valor futuro; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

[ ]


Série Antecipada - Exercício As Lojas Brasileiras estão vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações, se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% a.m.?

Do enunciado, extraímos que: PV = 1799 n = 15 i = 1,3% a.m. = 0,013 PMT = ?

Sendo assim:

PMT = PV . i . (1 + i)-1

1 - (1+ i)-n PMT = 1799 . 0,013 . (1 + 0,013)-1

1 - (1+ 0,013)-15 PMT = 1799 . 0,013 . 0,987167 0,176131

PMT = 131,07786


Série Antecipada - Exercício Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses se ele aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% a.m., ao final de cada mês?

Do enunciado, extraímos que: FV = ? n = 12 i = 4,5% a.m. = 0,045 PMT = 1500

Sendo assim:

FV = PMT . (1 + i)n – 1 . (1 + i)

i [ ] FV = 1500 . (1 + 0,045)12 – 1 . (1 + 0,045)

0,045 [ ] FV = 1500 . 15,4640 . 1,045

FV = 24239,82



Postecipada

(sem entrada)


Antecipada

(com entrada)


Diferida



Série Diferida A série de pagamentos (PMT) começa em prazo superior a 1 período.

O período de carência equivale ao tempo que demora pra iniciar a série

de pagamentos menos um.


0 1 2 n

PMT1

PV

PMT2 PMTn PMT3

3

Carência


Série Diferida - Fórmulas

PMT = PV . (1 + i)d . i

1 – (1 + i)-n

Onde: PMT = parcela; PV = valor presente; FV = valor futuro; d = carência i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

FV = PMT . (1+ i )n+d. 1 – (1 + i)-n

i [ ]


Série Diferida - Exercício Um produto que custa R$ 320,00 à vista pode ser vendido em 4 parcelas, sendo que a primeira será paga 3 meses após a compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule o valor das parcelas.

Do enunciado, extraímos que: PV = 320 n = 4 d = 3-1 = 2 i = 2% a.m. = 0,02 PMT = ?

Sendo assim:

PMT = PV . (1 + i)d . i

1 – (1 + i)-n

PMT = 320 . (1 + 0,02)2 . 0,02

1 – (1 + 0,02)-4

PMT = 320 . 1,0404 . 0,02

0,076155

PMT = 87,434311


Série Diferida - Exercício Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de R$ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10% ao mês de juros. Quanto terá essa pessoa 4 meses após o último depósito?

Do enunciado, extraímos que: FV = ? n = 8 d = 4 i = 10% a.m. = 0,1 PMT = 20000

Sendo assim:

FV = PMT . (1+ i )n+d. 1 – (1 + i)-n

i [ ] FV = 20000 . (1+ 0,1 )8+4. 1 – (1 + 0,1)-8

0,1 [ ] FV = 20000 . 3,138428377 . 5,334925198

FV = 334865,68

Matemática Financeira Amortização


Amortização Nas aplicações financeiras, quando o objetivo é constituir um capital em

uma data futura, tem-se um processo de Capitalização, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de Amortização.

Amortização, portanto, é um processo que extingue dívidas através de pagamentos periódicos.


Amortização - Tipos Existem vários sistemas de amortização, os mais conhecidos são: Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização é igual em

todos os períodos e o valor das parcelas é decrescente.

Sistema de Amortização Americano (SAA): a amortização é realizada no último período; nos períodos anteriores, paga-se somente os juros, que são constantes em todos os períodos.

Tabela Price: sistema francês em que os pagamentos são iguais durante todo o período; ou seja o valor da parcela é constante => Série Postecipada .


Sistema de Amortização Constante (SAC) - Exemplo Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de R$ 50.000,00 a uma taxa de juros de 10% a.a.

Tempo Amortização Juro Parcela Saldo Devedor

0 - - - 50000

1 12500 50000.0,1 = 5000 12500 + 5000 = 17500 50000 - 12500 = 37500

2 12500 37500.0,1 = 3750 12500 + 3750 = 16250 37500 - 12500 = 25000

3 12500 25000.0,1 = 2500 12500 + 2500 = 15000 25000 - 12500 = 12500

4 12500 12500.0,1 = 1250 12500 + 1250 = 13750 12500 - 12500 = 0

Total 50000 12500 62500

Amortização constante: dívida/nº de parcelas =>

50000/4 = 12500 Calculado sobre o saldo devedor do período anterior

Amortização + juro do período

Subtrai o valor da amortização em

cada período


Sistema de Amortização Constante (SAC) - Fórmulas

A = Sd0

n

Onde: A = amortização; Sd = saldo devedor; n = períodos de capitalização; J = juro; i = taxa de juros.

PMTn = A + Jn Jn = i . Sdn-1 Sdn = Sdn-1 - A


Sistema de Amortização Constante (SAC) - Exercício Uma família financiou 20% de um imóvel no valor de R$ 350 mil, para pagamento em 20 anos com prestações mensais contratadas a ser amortizado pelo sistema de amortização constante - SAC. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao mês, calcule o valor mensal da amortização e o valor da primeira parcela.

Do enunciado, extraímos que: Sd0 = 20% de 350 mil = 60000 n = 20 anos = 240 meses i = 1% a.m. = 0,01 A = ? PMT1 = ?

Sendo assim: A = Sd0

n A = 60000 240 A = 250

PMTn = A + Jn

PMT1 = A + J1

PMT1 = 250 + i. Sd0

PMT1 = 250 + 0,01 . 60000 PMT1 = 850


Sistema de Amortização Americano (SAA) - Exemplo Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de R$ 50.000,00 a uma taxa de juros de 10% a.a.


0 - - - 50000

1 0 0,1.50000 = 5000 0 + 5000 = 5000 50000 - 0 = 50000

2 0 0,1.50000 = 5000 0 + 5000 = 5000 50000 - 0 = 50000

3 0 0,1.50000 = 5000 0 + 5000 = 5000 50000 - 0 = 50000

4 50000 0,1.50000 = 5000 50000 + 5000 = 55000 50000 - 50000 = 0

Total 50000 20000 70000

Amortização só acontece no

último período

Calculado sobre o valor total da dívida do período anterior

Amortização + juro do período


cada período


Sistema de Amortização Americano (SAA) - Fórmulas

J = i . Sd . n A = Sd PMTn = A + J

Onde: J = juro; i = taxa de juros; Sd = saldo devedor; A = amortização; PMT = parcela; n = períodos de capitalização.


Sistema de Amortização Americano - Exercício Um banco empresta a importância de R$ 10.000,00 , com a taxa de 10% ao mês, para ser paga em uma única parcela seis meses após a data de contratação, porém, devendo os juros compensatórios serem pagos mensalmente durante o prazo de carência, calculado pelo sistema de amortização americano (SAA). Qual será o valor total pago de juros pela empresa?

Do enunciado, extraímos que: Sd = 10000 n = 6 – 1 = 5 meses i = 10% a.m. = 0,1 J = ?

Sendo assim: J = i . Sd . n J = 0,1 . 10000 . 5 J = 5000


Tabela Price - Exemplo Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de R$ 50.000,00 a uma taxa de juros de 10% a.a.


0 - - - 50000

1 15773,50 - 5000 =

10773,50 0,1.50000 =

5000 15773,50

50000 - 10773,50 = 39226,50

2 15773,50 - 3922,65 =

11850,85 0,1.39226,50 =

3922,65 15773,50

39226,50 - 11850,85 = 27375,65

3 15773,50 - 2737,565 =

13036 0,1.27375,65 =

2737,55 15773,50

27375,65 - 13036 = 14339,65

4 15773,50 - 1434 =

14339,50 0,1.14339,65 =

1434 15773,50

14339,65 - 14339,50 = 0,15 (0)

Total 49999,85 (50000) 13094,20 63094

Do valor da parcela, subtrai-se o valor do juro

em cada período para encontrar a amortização

Valor da parcela é constante. Para calculá-la, utiliza-se a fórmula de série postecipada.


cada período

PMT = PV . i 1 – (1 + i)-n

PMT = 50000 . 0,1 1 – (1 + 0,1)-4

PMT = 15773,50

Calculado sobre o saldo devedor do período anterior


Tabela Price - Fórmulas

PMT = PV . i 1 – (1 + i)-n

Onde: PMT = parcela; PV = valor presente (saldo devedor inicial); J = juro A = amortização; Sd = saldo devedor; i = taxa de juros; n = períodos de capitalização.

Sdn = Sdn-1 - A Jn = i . Sdn-1 An = PMT - Jn


Tabela Price - Exercício Um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 deve ser liquidado por meio do pagamento de cinco prestações iguais e mensais, vencendo a primeira a 30 dias após a data da contratação, por meio do sistema francês de amortização. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada foi de 10% ao mês, calcule o valor das prestações a serem pagas.

Do enunciado, extraímos que: PV = 100000 n = 5 i = 10% a.m. = 0,1 PMT = ?

PMT = PV . i 1 – (1 + i)-n

Assim:

PMT = 100000 . 0,1 1 – (1 + 0,1)-5

PMT = 10000 1 – 0,620921

PMT = 26379,72559


Atividade

1. Dividam-se em quatro/cinco grupos.

2. Leiam o case entregue.

3. A partir das informações fornecidas, decidam pela melhor opção de compra para a empresa.

4. Preparem-se para apresentar o resultado.

5. Participem da discussão em sala.


Referência Bibliográfica CAMARGO, Sophia. Após 20 anos, real perde poder de compra, e nota de R$ 100 vale só R$ 22,35. Disponível em: < http://economia.uol.com.br/financas-pessoais/noticias/redacao/2014/02/18/apos-20-anos-real-perde-poder-de-compra-e-nota-de-r-100-vale-so-r-2235.htm>. Acesso em: 30 abr. 2014. SULLIVAN, Michael. Finanças. In: Matemática Finita - Uma Abordagem Aplicada. 11 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.

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