Modulo 2 - Nocoes de Estatistica

NOES DEESTATISTICA BSICAESTATISTICA BSICA

Maputo, Moambique20082008

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICA

Objectivos No final deste mdulo espera-se que o participante seja No final deste mdulo espera-se que o participante seja

capaz de:

Distinguir variveis e constantes Distinguir variveis e constantes

Identificar variveis qualitativas e quantitativas

Conhecer as medidas de tendncia central e de disperso

Caracterizar populao e amostra Caracterizar populao e amostra

Construir uma amostra

Diferenciar estatstica descritiva e inferencial Diferenciar estatstica descritiva e inferencial


Tpicos Conceitos bsicos de Estatstica Conceitos bsicos de Estatstica

Estatstica Descritiva

Inferncia Estatstica

Introduo Amostragem Introduo Amostragem

Enquadramento dos Mtodos Estatsticos na M&A

Conceitos Bsicos de Estatstica



Estatstica - Metodologia cientfica para obteno, organizao e anliseEstatstica - Metodologia cientfica para obteno, organizao e anlisede dados

Estatstica Descritiva Metodologia para descrever, colectar , organizar eresumir os dados.

Inferncia Estatstica Conjunto de mtodos estatsticos que visamcaracterizar ou inferir sobre uma POPULAO a partir de uma parte delacaracterizar ou inferir sobre uma POPULAO a partir de uma parte dela(AMOSTRA)



As pessoas de uma

Conceitos Bsicos de EstatsticaAs pessoas de umacomunidade podem seranalisadas de diversosanalisadas de diversosngulos: Sexo; Estatura, Renda

Sexo, estatura e renda soSexo, estatura e renda sovariveis

Propriedades associadas comPropriedades associadas comconceitos ou nmeros eexpressar informao sobre aforma de medidaforma de medida

Qualquer caracterstica associada a uma populao.

Conceitos Bsicos de EstatsticaMDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICA

Classificao das variveis:Classificao das variveis:Conceitos Bsicos de Estatstica

NOMINALNOMINALNOMINALNOMINAL sexo, cor dos olhosQUALITATIVAQUALITATIVAQUALITATIVAQUALITATIVA

NOMINALNOMINALNOMINALNOMINAL

ORDINALORDINALORDINALORDINALclasse social, grau de instruo

ORDINALORDINALORDINALORDINAL

QUANTITATIVAQUANTITATIVAQUANTITATIVAQUANTITATIVACONTNUACONTNUACONTNUACONTNUA peso, altura, salrio, idade

DISCRETADISCRETADISCRETADISCRETA nmero de filhos, nmero de carros,numero de raparigas por turma

Conceitos Bsicos de Estatstica - VariveisMDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICA

Qualitativa Nominal - os valores representam atributos ou qualidades mas no tem

Conceitos Bsicos de Estatstica - Variveis

Qualitativa Nominal - os valores representam atributos ou qualidades mas no temuma relao de ordem entre elesEx: sexo, grupo sanguneo, raa et

Qualitativa Ordinal - os valores representam atributos ou qualidades mas incluemuma relaes de ordem

Ex: classe social, grau de instruo

Quantitativa Continua - valores so medidos numa escala mtrica e onde todos osvalores fraccionrios so possveis.Ex: altura, peso, temperaturaEx: altura, peso, temperatura

Quantitativa Discreta - valores so medidos numa escala mtrica e porem sadmitem valores inteirosadmitem valores inteirosEx: numero de filhos, numero de alunos,

MDULO 1: NOOES BSICAS DE ESTATISTICA

Exerccio 4Exerccio 4


Estatstica DescritivaEstatstica Descritiva

Metodologia para, colectar, organizar,resumir e descrever os dados.resumir e descrever os dados.

Estatstica DescritivaMDULO 2: NOOES DE ESTATISTICA BSICAEstatstica Descritiva

Calculo numrico de medidas amostraisCalculo numrico de medidas amostrais

Medidas de Tendncia Central Mdia aritmtica Mediana Mediana Moda

Medidas de DispersoMedidas de Disperso Varincia Desvio Padro


Representado como:


L-se : somatrio de todos os XiL-se : somatrio de todos os Xi(xis i) quando i varia de 1 a n.

Por ex.: media aritmtica dePor ex.: media aritmtica de2,5,8,13,14,15,20,30,46,47

IMPORTANTE:A media aritmtica o valor que pode substituir todos osvalores da varivel, isto e o valor que a varivel teria se emvalores da varivel, isto e o valor que a varivel teria se emvez de ser uma varivel fosse uma constante


Estatstica Descritiva Medidas de Tendncia central

Calculo numrico Mdia AritmticaCalculo numrico Mdia Aritmtica

DADOS ISOLADOS xn

i

n

xx i

i

1

DADOS AGRUPADOS

n

iii nx

x 1DADOS AGRUPADOS

n

ii

i

nx

1

1

Onde ni o numero de ocorrncias na classe i

Xi representa o ponto mdio de classe iXi representa o ponto mdio de classe i

Ex: para a classe 20 40 o ponto mdio seria 30


MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAEstatstica Descritiva Medidas de Tendncia central

Exerccios

1. Foi pedido a um grupo de 8 idosos que classificassem numa escala de 1 (pobre) a7(Excelente), a qualidade da alimentao do centro de acolhimento onde vivem2 , 4, 2, 3, 5, 4, 3, 22 , 4, 2, 3, 5, 4, 3, 2

a) Calcule a mdia

2 . Um treinador de futebol est preocupado em melhorar resultados da suaequipa elaborou uma tabela com a seguinte informao.

Jogador 1 2 2 4 5 6 7 8 9 10 11

No de passes 4 5 6 7 4 8 9 6 8 2 4No de passeserrados

4 5 6 7 4 8 9 6 8 2 4

a) Calcule o numero mdio de passes errados por jogadora) Calcule o numero mdio de passes errados por jogador



Exerccios

2. Os dados da tabela abaixo representam os resultados de um inqurito para saber osrendimentos mensais de um grupo de pessoas envolvidas num programa apoio pelotrabalhotrabalho

Rend. N. pes200-300 1

Qual o rendimento mdio do grupo ?

300-400 3

400-500 5

500-600 6500-600 6

600-700 4

700-800 3700-800 3

800-900 2

900-1000 1900-1000 1


Calculo numrico Mediana

Indicando a mediana por Md e o numero deIndicando a mediana por Md e o numero dedados por n, devem ser considerados 2 casos:dados por n, devem ser considerados 2 casos:

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAMEDIANA DE DADOS AGRUPADOSMEDIANA DE DADOS AGRUPADOS

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAMEDIANA DE DADOS AGRUPADOS



Exerccios

VOLTEMOS AOS NOSSOS EXERCIOS E CALCUEMOS A MEDIANA

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICACLCULO DA MODA

Com exemplos fica mais fcil

Calcular a moda de:Calcular a moda de:8, 2, 18, 8, 10, 8, 12, 10, 6, 8, 12


f

fi

Na prtica acontece o mesmo a moda! Se esto todos aouvir os clssicos, dizemos que a a musica clssica est namoda. Se os chapus entram na moda, ento.moda. Se os chapus entram na moda, ento.



Retomemos aos exemplos anteriores paradeterminar a modadeterminar a moda

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAEstatstica Descritiva Medidas de DispersoEstatstica Descritiva Medidas de Disperso

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAEstatstica Descritiva Medidas de Disperso

Embora existam varias medidas de disperso vamos

Estatstica Descritiva Medidas de Disperso

Embora existam varias medidas de disperso vamosnos ocupar de apenas duas:

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAVarincia e desvio Padro

Vamos praticar para ser mais fcil oentendimento.

Varincia e desvio Padro

entendimento.

Temos 2 conjuntos de atiradores aoalvo (A e B)alvo (A e B)

CONJUNTO A: 8,9,10,8,6,11,7,13

Total de ACERTOS; 72

Total de ATIRADORES: 8

CONJUNTO B: 7,3,10,6,5,13,18,10

Total de ACERTOS; 72

Total de ATIRADORES: 8

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAVarincia e desvio PadroVarincia e desvio Padro

Se recorrermos a mdia aritmtica dos acertos??? NORESOLVEMOS o problema X e X = 9 acertos e por issoRESOLVEMOS o problema XA e XB = 9 acertos e por issoos conjuntos so iguais???

CONJUNTO A CONJUNTO BCONJUNTO A

Acertos variam de 6 a 13

AMPLITUDE TOTAL de

CONJUNTO B

Acertos variam de 3 a 18

AMPLITUDE TOTAL deAMPLITUDE TOTAL devariao = 13-6 = 7

acertos

AMPLITUDE TOTAL devariao = 18-3 = 15

acertosacertos acertos

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAEstatstica Descritiva Medidas de Disperso

Mas para dizermos que algo variou precisamos de

Estatstica Descritiva Medidas de Disperso

Mas para dizermos que algo variou precisamos deum ponto de referencia

MDIA ARITMTICA DE CADA CONJUNTO

E vamos fazer o seguinte.(por pura coincidncia, neste caso a mdia igual(por pura coincidncia, neste caso a mdia igualnos dois conjuntos)


I. Subtrair de cada valor a mdia aritmtica do


I. Subtrair de cada valor a mdia aritmtica doconjunto ao qual pertence

II. Elevar cada diferena encontrada aoII. Elevar cada diferena encontrada aoquadrado

III. Somar os quadradosIII. Somar os quadradosIV. Dividir a soma dos quadrados pelo numero de

parcelasparcelas


Xi (Xi-X) = xi xi^2 Yi (Yi-Y) = yi yi^28 -1 1 7 -2 4


8 -1 1 7 -2 49 0 0 3 -6 36

10 1 1 10 1 110 1 1 10 1 18 -1 1 6 -3 96 -3 9 5 -4 166 -3 9 5 -4 16

11 2 4 13 4 167 -2 4 18 9 817 -2 4 18 9 81

13 4 16 10 1 172 0 36 72 0 164

36/8 = 4,5 ACERTOS 22

36/8 = 4,5 ACERTOS 2 164/8 = 20,5 ACERTOS

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAVarincia e desvio PadroVarincia e desvio Padro


ResumindoVarincia e desvio Padro


Essas formulas lembram medidas.

DESVIO PADRO pode ser interpretado como umaDESVIO PADRO pode ser interpretado como uma

MEDIDA CAPAZ DE MEDIR VARIAO, ou seja:Conjunto A com variao de 2,1 acertos em mdiaConjunto A com variao de 2,1 acertos em mdia

Conjunto B com variao de 4,5 acertos em mdia

MDULO 2: NOES DE ESTATSTICA BSICA

QUANTO MAIOR A VARINCIA, MAIOR A HETEROGENIDADE

QUANTO MAIOR A VARINCIA, MAIOR O DESVIO PADRO

No exemplo

O CONJUNTO A MAIS HOMOGENEO O CONJUNTO A MAIS HOMOGENEO



Retomando aos nossos exemplos vamos determinar a varincia e desvio padro.

MDULO 2: NOOES DE ESTATISTICA BSICA

EXERCICIO 5

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAConceitos Bsicos de Estatstica

A inferncia estatstica conjunto de metodologia


A inferncia estatstica conjunto de metodologiaque apoiam na formulao de concluses sobre ascaractersticas de uma POPULAO a partir de umacaractersticas de uma POPULAO a partir de umaparte dela (AMOSTRA)

MDULO 1: NOOES DE ESTATISTICA BSICAIntroduo AmostragemPopulao ou UniversoIntroduo Amostragem

Coleco de unidades individuais com uma oumais caractersticas comuns, que se pretendemmais caractersticas comuns, que se pretendemestudar

ExemplosExemplosAlunos de uma escolaCrianas (0-5) de um orfanatoAgregados familiar de uma provnciaCadeiras dentro do MMASAutomveis da cidade de Maputo

Introduo AmostragemMDULO 2: NOOES DE ESTATISTICA BSICA

Se uma populao for muito grande requerer muito

Introduo Amostragem

Se uma populao for muito grande requerer muitotrabalho para estuda-la e geralmente os resultadossero sempre falhos.sero sempre falhos.

Ento recorre se a UMA AMOSTRAEnto recorre se a UMA AMOSTRA

UMA AMOSTRA uma reduo representativa daPopulao a dimenses menores, porem Sem perda daPopulao a dimenses menores, porem Sem perda dacaracterstica

AMOSTRA EXEMPLOS


AMOSTRA EXEMPLOS

No exemplo da escola queremos realizar um estudo sobre qual a alturaNo exemplo da escola queremos realizar um estudo sobre qual a alturamdiaTendo a escola 400 alunos para, podemos colher uma amostra de 40 alunosTendo a escola 400 alunos para, podemos colher uma amostra de 40 alunose estudar o comportamento da varivel Altura apenas nesses alunos

No exemplo dos agregados familiares queremos saber qual o rendimentomdio dos agregados familiares de uma provncia.O censo mostra que h 15 mil agregados familiares em Manica. PodemosO censo mostra que h 15 mil agregados familiares em Manica. Podemosestudar como se comporta o rendimento familiar de 601 agregados


UMA AMOSTRA tem que ser;

Representativa conter em proporo tudo oque a populao possui qualitativa e quantitativamenteque a populao possui qualitativa e quantitativamente

Imparcial todos os elementos da populaoImparcial todos os elementos da populaotem igual oportunidade de fazer parte da amostra


UMA AMOSTRA a reduo de uma populao aUMA AMOSTRA a reduo de uma populao a

Dimenses menores, porem

Sem perda de suas caractersticasSem perda de suas caractersticas

Ao processo de definio da amostra chama-seAo processo de definio da amostra chama-se

Amostragem Probabilistica e No Probabilistica


Amostragem Probabilistica e No Probabilistica

Mtodos Probablisticos (Aleatrios) Mtodos Probablisticos (Aleatrios) Todos os elementos da populao tem uma probabilidade

conhecida, diferente de zero, de pertencer amostra. Destaforma, a amostragem probabilstica implica um sorteio com regrasbem determinadas.bem determinadas.

Mtodos No Probablisticos (No Aleatrios) Quando no possvel designar uma probabilidade a cada

elemento da populao, dizemos que a amostragem noprobabilistica .probabilistica .

Amostragens Probabilsticas


Amostragens Probabilsticas

Aleatria Simples

Estratificada Estratificada

Por Clusters Por Clusters

Multi-Etapas


Amostragem Probabilistica e No ProbabilisticaAmostragem Probabilistica e No Probabilistica

Para os que trabalham com a rea social, interessam osmtodos que permitem que qualquer indivduo damtodos que permitem que qualquer indivduo daPOPULAO possa vir a fazer parte da AMOSTRA mtodos PROBALSTICOS.


No h dvida de que uma amostra no representaNo h dvida de que uma amostra no representaperfeitamente uma populao. Ou seja, a utilizao de umaamostra implica na aceitao de uma margem de erro que sedenomina ERRO AMOSTRAL.denomina ERRO AMOSTRAL.

Erro Amostral a diferena entre um resultado amostral e oErro Amostral a diferena entre um resultado amostral e overdadeiro resultado populacional; tais erros resultam deflutuaes amostrais aleatriasflutuaes amostrais aleatrias


No podemos evitar a ocorrncia do ERRO AMOSTRAL,No podemos evitar a ocorrncia do ERRO AMOSTRAL,porm podemos limitar seu valor atravs da escolha de umaamostra de tamanho adequado.

Obviamente, o ERRO AMOSTRAL e o TAMANHO DAAMOSTRA seguem sentidos contrrios. Quanto maior otamanho da amostra, menor o erro cometido e vice-versa.tamanho da amostra, menor o erro cometido e vice-versa.

TAMANHO DA AMOSTRATAMANHO DA AMOSTRA

ERRO AMOSTRAL- +

ERRO AMOSTRAL


DETERMINAO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NAESTIMATIVA DA MDIA POPULACIONAL

A determinao do tamanho de uma amostra problemade grande importncia, porque:de grande importncia, porque:

Amostras desnecessariamente grandes acarretam Amostras desnecessariamente grandes acarretamdesperdcio de tempo e de dinheiro;

Amostras excessivamente pequenas podem levar a Amostras excessivamente pequenas podem levar aresultados no confiveis.


Tamanho da amostra para a populao muito grande


A frmula para clculo do tamanho daA frmula para clculo do tamanho daamostra para uma estimativa confivel

da MDIA POPULACIONAL () dadada MDIA POPULACIONAL () dadapor:

SZn2

2/ )(

ESZn 2/ )(

Onde:n Nmero de indivduos na amostraZ /2 Valor crtico que corresponde ao grau de confiana desejado.Z /2 Valor crtico que corresponde ao grau de confiana desejado.s Desvio-padro populacional da varivel estudadaE Margem de erro ou ERRO MXIMO DE ESTIMATIVA. Identifica a

diferena mxima entre a MDIA AMOSTRAL ( X ) e a verdadeiradiferena mxima entre a MDIA AMOSTRAL ( X ) e a verdadeiraMDIA POPULACIONAL

Nvel de significancia


Os valores de confiana mais utilizados e os valoresOs valores de confiana mais utilizados e os valoresde Z correspondentes

Valores crticos associados ao grau de confiana naValores crticos associados ao grau de confiana naamostra

Grau de Confiana Valor Crtico Z/2Grau de Confiana Valor Crtico Z/2

90% 0,10 1,645

95% 0,05 1,96

99% 0,01 2,57599% 0,01 2,575


ExemploUm economista deseja estimar a renda mdia para o primeiro anoUm economista deseja estimar a renda mdia para o primeiro anode trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de rendadevem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de confianadevem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de confianaem que a mdia amostral esteja a menos de $500,00 daverdadeira mdia populacional? Suponha que saibamos, por umestudo prvio, que para tais rendas, s = $6250,00.estudo prvio, que para tais rendas, s = $6250,00.


ResoluoQueremos determinar o tamanho n da amostra, dado que = 0,05Queremos determinar o tamanho n da amostra, dado que = 0,05(95% de confiana) Z /2=1,96.Desejamos que a mdia amostral seja a menos de $ 500 da mdiaDesejamos que a mdia amostral seja a menos de $ 500 da mdiapopulacional, de forma que E = 500Supondo S = 6250 e aplicamos a equao, obtendo:

2

22/ )(E

SZn

2

E

n=((1,96*6250) /500) = 6012

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAAmostragem por proporo

Tamanho da amostra:

Amostragem por proporo

Tamanho da amostra:

ppZ ))1)((( 2 iE

ppZdn ]))1)((([ 22/

2

n 1.56 [1.962 (0.50) (1-0.50) / 0.052]

n 600 + (esperando-se que 10% no queiraresponder ao questionrio, a grosso modoresponder ao questionrio, a grosso modoesperando 60)

n 660 n 660


Assumindo que:

Z = 1.96 (assume 2-lados teste = .05) Z = 1.96 (assume 2-lados teste = .05)

E = mximo erro tolerado 5%

p = proporo populacional esperada 0.50; esta e aestimativa mais conservadora

d = efeito de desenho 1.56

i = aumento por ser necessrio uma sub-amostra da i = aumento por ser necessrio uma sub-amostra dapopulao (na populao percentagem de crianasmenores que 2 anos no e homognea em todos os AF)menores que 2 anos no e homognea em todos os AF)

MDULO 2: NOES DE ESTATISTICA BSICAEntrevistas Entrevistas Sitios

requeridosExemplo Entrevistasrequeridas* Entrevistaspor sitio** requeridos(arredondados)2015 24 90

* Baseado nos calculos da amostra - incrementado de2,008 para 2,015 por causa de arredondamento baseado

Exemplo

2,008 para 2,015 por causa de arredondamento baseadona estratificacao** Baseado em materia logisitica

Number of Sites perTable 2: Sample Stratification

Neigborhood Number of Habitants Percentage ofHabitants

Number of Sites perAdministrative areas(total of 75 sites)

P.A. de Urbana 1 47,553 28% 10P.A. de Urbana 2 49,645 29% 10

Bairros Habitantes% habitantes N. de sitios por

P.A.

# SitesP.A. de Urbana 2 49,645 29% 10P.A. de Urbana 3 73,858 43% 14Cidade de Chimoio 171,056 100% 34

BAIRRO # SitesSelected

Bairro de CENTRO HPICO 2Bairro de NHAMADJESSA 1Bairro de NHAMADJESSA 1Bairro de NHAMASSANE 1Bairro de 25 DE JUNHO 3Bairro AGOSTINHO NETO 0Bairro FRANCISCO MANYANGA 1Bairro de 1 DE MAIO 1Bairro de CHISSUI 1Bairro de HEROIS MOAMBICANOS 0Bairro de TRANGAPASSO 0

P.A. de URBANA 1 10


Amostragem Aleatria Simples Amostragem Aleatria Simples

Estabelece-se o tamanho da amostra ealeatoriamente seleccionam-se os elementosaleatoriamente seleccionam-se os elementosque a compe.

Exemplo: Amostragem Aleatria SimplesMDULO 2: NOOES DE ESTATISTICA BSICA

Exemplo uma escola com 400 alunos (meninos, idades entre

Exemplo: Amostragem Aleatria Simples

Exemplo uma escola com 400 alunos (meninos, idades entre6 e 16 anos) para realizarmos um estudo sobre qual a estaturamdia?mdia?

Podemos colher uma amostra de 40 alunos e estudar oPodemos colher uma amostra de 40 alunos e estudar ocomportamento da varivel estatura apenas nesses alunos

Exemplo: Amostragem Aleatria SimplesMDULO 2: NOOES DE ESTATISTICA BSICAExemplo: Amostragem Aleatria Simples


Vamos supor que os 30


Vamos supor que os 30alunos da primeira srieso os seguintes:


Para garantir Representatividade e Imparcialidade


Vamos supor que decidimos trabalhar com uma amostra


Vamos supor que decidimos trabalhar com uma amostrade tamanho 40 e usamos a seguinte notao:

N (populao) = 400 Tamanho da Populaon (amostra) = 40 Tamanho da amostra

Para garantirmos a representatividade, na amostrateremos :teremos :


Na primeira srie 3


Na primeira srie 3alunos


Agora vamos sortear os alunos de cada serie,


Agora vamos sortear os alunos de cada serie,obedecendo a seguinte regra:

1.Utilize a tabela de nmeros aleatrios1.Utilize a tabela de nmeros aleatrios

2.Escolha as colunas e a linha

3.Escolha o sentido de consulta3.Escolha o sentido de consulta

Exemplo: Amostragem Aleatria SimplesMDULO 2: NOOES DE ESTATISTICA BSICAExemplo: Amostragem Aleatria Simples

Escolhi a coluna 5 e 6 e a fileira 3 e os nmeros resultantes so: 69-16-91-75-47-56-09-13-61-86-03-69-46- 69-16-91-75-47-56-09-13-61-86-03-69-46- 09-63-26-59-72-96-48-30-07


Como s precisvamos de 3 alunos na primeira srie os


Como s precisvamos de 3 alunos na primeira srie osnmeros sorteados so:

16,09 e 1316,09 e 13Responda:Porque no consideramos os outros nmeros sorteados 69, 91 e 75?Porque usamos 2 colunas?Se tivssemos 120 alunos quantas colunas teramos deSe tivssemos 120 alunos quantas colunas teramos deusar?


Vamos agora ver as alturas e temos a seguinte tabela:


Vamos agora ver as alturas e temos a seguinte tabela:


J temos uma amostra representativa da populao


J temos uma amostra representativa da populaoinicial. Os alunos passam a ser tratados como dados(alturas) e podem dar origem a diversas relaes(alturas) e podem dar origem a diversas relaesestatsticas:

MDIA ARITMETICA MDIA ARITMETICA MEDIANA MODA MODA VARINCIA DESVIO PADRO DESVIO PADRO


Exerccios (exemplos) de determinao do Exerccios (exemplos) de determinao dotamanho da amostra




Processo de InformaoProcesso de InformaoIndicadores

Fontes

Recolha de Dados

GestoTransferncia de Dados

Processamento de DadosProcessamento de Dados

Anlise NormasOrganizacionais

Uso da Informao paraTomada de Deciso

Organizacionais

Tomada de Deciso


Exerccio 6 Exerccio 6

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Carolina in partnership with Constella Futures Group, JohnSnow, Inc., Macro International, and Tulane University.Snow, Inc., Macro International, and Tulane University.

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