PAT – MAT 2007/2008

Trigonometria 1

MÓDULO 3 – FUNÇÕES (2ª parte – Trigonometria) EXERCÍCIOS OBJECTIVOS 1. Uma canalização de gás vai ser instalada a partir do

ponto A até aos pontos C (igreja) e B (fábrica), atravessando um rio, por uma das seguintes alternativas indicadas na figura:

Alternativa 1: A → D → C → B Alternativa 2: A → D → E → B → C Alternativa 3: A → E → B → C Condições da figura: − O triângulo [ABC] é rectângulo em C;

− 250BC = m;

− 160DE = m; − [ ] [ ]BCDE // ;

− o40CBA =ˆ . Custos: − Cada metro de canalização instalada em meio aquático

tem o preço de 30,00 €; − Cada metro de canalização instalada em terra tem o

preço de 12,00 €; Pretende-se conhecer o custo total da canalização de gás para cada uma das alternativas.

• Razões trigonométricas de um

ângulo agudo • Fórmula fundamental da

trigonometria1sen 22 =+ αα cos

• Fórmulas que relacionam o seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo

• Expressão geral das amplitudes de ângulos com o mesmo lado origem.

• Razões trigonométricas no círculo trigonométrico

• Relações entre as razões trigonométricas de α e de

απ −2

, απαπαπ +−+ ,,2

,

απαπ +−2

3,

2

3e −α.

2. Num lago recreativo há várias gaivotas em que o sistema que permite o movimento é constituído por pás que rodam em torno de um eixo situado 10 cm acima do nível da água. Considere o ponto P como sendo a extremidade de uma dessas pás que dista 20 cm do eixo e α a amplitude, em radianos, do arco descrito por P.

2.1. Mostre que a função que, para cada valor de α, dá a posição do ponto P em relação ao nível da água é αα sen2010f +=)(

• Função seno

� Domínio: IR � Contradomínio: [-1,1] � Sinal � Continuidade: contínua em

todo o domínio � Paridade: função ímpar

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Trigonometria 2

2.2. Mostre que a função que, para cada valor de α, dá a posição do ponto P em relação ao nível da água é

αα sen2010f +=)(

2.3. Calcule

−

−6

f2

fππ

, e

4

3f

π e indique a posição

do ponto P em relação ao nível da água, em cada um dos casos.

2.4. No intervalo [0,2π], determine para que valores de α o ponto P ficará à superfície da água.

2.5. Determine para que valores de α pertencentes ao intervalo [0,4π], o ponto P fica submerso.

2.6. Determine uma expressão geral das amplitudes dos arcos descritos pelo ponto P para que este se situe exactamente 20 cm acima do nível da água.

2.7. Para que valores de α pertencentes ao intervalo ] –π, 2π[ o ponto P dista 5 cm da superfície da água?

� Zeros: Zkk /, ∈π � Monotonia � Período: 2π � Maximizantes � Minimizantes

3. Sabe-se que, em média, uma pessoa em repouso, em cada 4 segundos, inspira e expira 0,5 litros de ar. No fim de uma expiração, restam nos pulmões, como reserva, 2,25 litros de ar. O volume de ar nos pulmões, em litros, t segundos após uma expiração, é dado pela função V

definida por

−= ttV2

cos25,05,2)(π

ao qual

corresponde a seguinte representação gráfica: 3.1. Dos pontos assinalados no gráfico, indique dois que

correspondam a instantes em que ocorre: 3.1.1. o fim de uma inspiração; 3.1.2. o fim de uma expiração. 3.2. Mostre que a função V é periódica e indica o período

positivo mínimo. 3.3. Determine as coordenadas dos pontos A, B e D

assinalados na figura. 3.4. Considere a condição 375,2)( =tV . 3.4.1. Determine os valores de t que pertencem ao intervalo

[0,4] e são solução da condição dada. 3.4.2. Admita que uma pessoa participou numa experiência

em que, após o fim de uma expiração, no seu processo normal de respiração, foi registado o volume de ar que continha nos pulmões durante 30 segundos.

• Função co-seno

� Domínio: IR � Contradomínio: [-1,1] � Sinal � Continuidade: contínua em

todo o domínio � Paridade: função par

� Zeros: Zkk /,2

∈+ ππ

� Monotonia � Período: 2π � Maximizantes � Minimizantes

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Trigonometria 3

3.4.2.1.Em que fase da respiração se encontra no 13º segundo da experiência? Justifique.

3.4.2.2.Atendendo aos resultados obtidos em 4.1. à

periodicidade da função V, indique os instantes, entre os 20 e os 25 segundos, em que o volume de ar nos pulmões foi de 3,375 litros.

4. Na figura que se segue estão representados num

referencial o.n. xOy : - um semicírculo de centro no ponto A(2,0) e raio 2; - uma recta t tangente ao semicírculo e paralela ao eixo das ordenadas; - um ângulo de amplitude α ∈ [0, π/2[ cujo lado origem é a semi-recta DA& e cujo lado extremidade é CA& ; - [CB]//[AD].

4.1. Mostre que a área A da parte sombreada da figura é

dada, em função de α, pela expressão απα tgA 42)( += .

4.2. Calcule )0(A e indique o significado geométrico do valor encontrado.

4.3. Mostre que o perímetro P do triângulo [ABC], em

função de α, é dado pela expressão α

ααcos

cos44)(

+=P .

4.4. Determine para que valor de α o perímetro do triângulo [ABC] é 12.

• Função tangente

� Domínio:

∈+≠∈ IZkk

2xIRx ,: ππ

� Contradomínio: IR � Sinal � Continuidade: contínua em

todo o domínio � Paridade: função ímpar � Zeros: Zkkx /, ∈= π � Monotonia � Período: π � Maximizantes � Minimizantes

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Trigonometria 4

5. Duas povoações, A e B distanciadas 8 km uma da outra,

estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, F.

F

B A

P

M

Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como indica a figura acima. A canalização é formada por três canos: um vai de da fonte F até um ponto P está a igual distância de A e de B.

Tem-se ainda que:

- o ponto M ponto médio de [AB], dista 4 km de F; - x é a amplitude do ângulo PAM ( x ∈ [ 0, π/4].

5.1. Tomando como unidade o quilómetro, mostre que o

comprimento total da canalização é dado por

x

xxg

cos

sin484)(

−+=

(Sugestão: comece por mostrar que x

PAcos

4= e que

xtgFP 44−= ) 5.2. Calcule g(0) e interpretar o resultado obtido, referindo a

forma da canalização e consequente comprimento. 5.3. Determine o valor de x para o qual o comprimento da

canalização é mínimo.

• Funções trigonométricas

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Trigonometria 5

6. Resolva as seguintes equações: 6.1. )()3( xsenxsen −=

6.2. 3

1)3( =xsen

6.3. 2

1)3(cos =x

6.4. 0)2(cos =+ xsenx

6.5. xxsen cos12 −=

6.6. 02115 2 =+− xsenxsen

• Equações trigonométricas

7. Determine sabendo que, x∈]-3π, 3π[ e que

=2

22

xtg

xsen

8. Resolva as seguintes inequações: 8.1. [ ]ππ ,1cos2 −∈−> xex

8.2. [ ]π2,01cos2 ∈−> xex

8.3. [ ]π,0032 ∈<− xexsen

8.4. [ ]ππ ,0coscos2 −∈>+ xexx

• Inequações

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Trigonometria 6

EXERCÍCIOS

1. Determine xsen , sabendo que ] [ππ 2,3

1cos ∈−= xex .

2. Calcule o valor da expressão xtg

xsen2

3 − sabendo que 2−=xtg .

3. Simplifique cada uma das seguintes expressões:

3.1. xxsenx 222 cos2cos −−

3.2. αα

αα sensen

cos

cos.

1 −

3.3.

+

− 11

cos

1

αα

α sentg

3.4. ( ) ( )απαπαπ −−−++ 22)2(cos sensen

3.5.

−+

++

−22

7cos

2

3cos

πααπαπ tg

4. Calcule o valor real de m que verifica cada uma das seguintes condições:*

4.1. 3

cos2

1 me

msen =+= ββ

4.2. mtgesen 23

1 −== θθ

5. Sabe-se que 3

1

2

3 =

−− παsen e que ] [πα ,0∈ .

5.1. Calcule αsen

5.2. Determine o valor da expressão ( ) ( )παπα 3cos −−+tg .

6. Para cada IRk ∈ , )()( kxsenxf = é uma função trigonométrica.

6.1. Mostre que f é periódica de período k

π2.*

6.2. Considere a função )2

()(x

senxfπ= .

6.2.1. Indique o período de f.

6.2.2. Represente f graficamente.

6.2.3. Determine o contradomínio de f.

6.2.4. Escreva as expressões gerais dos máximos, mínimos e zeros de f.

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Trigonometria 7

7. Represente graficamente as seguintes funções, reais de variável real:

7.1. xxf cos2

1)( +=

7.2. xsenxj 2)( =

7.3. xxg 2cos21)( −=

7.4. xsenxh =)(

7.5. xsenxi =)(

8. Resolva, em IR , cada uma das seguintes equações:

8.1. )3()2( xsenxsen −=

8.2. )3(cos)2(cos xx −=

8.3. 2

2−=xsen

8.4. 1=xtg

8.5. )2cos(2

xxsen =

− π

8.6. xsenx 2cos1 2 =−