Módulo de Matemática - upe.edu.arupe.edu.ar/wp-content/uploads/2013/01/Modulo-de-Ingreso-Matematica... · En el contexto de la Universidad, el proceso de aprendizaje de la Matemática

Módulo de

Matemática

Curso de Ingreso

Año 2013

Universidad Provincial de Ezeiza

Materia: Matemática

Curso de Ingreso 2013

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Carta del rector

Estimados aspirantes: Les doy la más cordial bienvenida a esta casa de estudios, cuya creación fue

impulsada por la Diputada de la Nación, Dulce Granados; sancionada mediante la Ley 14.006/09 y promulgada por el decreto N° 1.022/09 firmado por Gobernador de la provincia de Buenos Aires, Daniel Scioli.

Es un honor iniciar este año 2013 junto a ustedes. El año 2012 ha sido para la Universidad Provincial de Ezeiza un tiempo colmado de trabajo y esfuerzo mancomunado. Quienes formamos parte de esta institución, trabajamos pensando en los estudiantes, en el desarrollo humano y la consolidación de su futuro como profesionales.

Para hacerlo posible, la universidad organiza su propuesta educativa en tres departamentos:

- Desarrollo Aeroportuario, integrado por la carrera de Técnico Universitario en Despacho de Aeronaves y Operaciones Aeroportuarias.

- Desarrollo Tecnológico, que agrupa las carreras de Técnico Universitario en Desarrollo de Software, Técnico Universitario en Logística y Licenciatura en Logística.

- Desarrollo Humano y Organizacional, del cual forman parte las carreras de Técnico Universitario en Hotelería e Industria de la Hospitalidad y Técnico Universitario en Despacho de Aduanas).

Además, ofrece la posibilidad de que todas las tecnicaturas se articulen con la licenciatura de la carrera correspondiente y, de esta manera, los alumnos obtengan un título de mayor alcance. Aunque, también, la universidad se prepara para ofrecer a la comunidad posgrados relacionados con la agenda ambiental, la salud, las operaciones industriales y de servicios, la seguridad aeroportuaria, entre otros.

Durante el año pasado, la agenda de Deporte Universitario con eje en la Salud ha sido parte de una ardua tarea con la que se han obtenido importantes logros junto con los estudiantes. Asimismo, los cursos y talleres abiertos a la comunidad completaron la posibilidad de formar parte de esta universidad aunque no se hayan inscripto en una de sus carreras.

A partir de su amplia propuesta, esta casa de estudios, pública y no arancelada, les ofrece forjar un futuro en los espacios relacionados con la vocación de cada uno de ustedes, en armonía con las necesidades del medio socioproductivo.

Sabemos que algunos de ustedes han decidido continuar sus estudios, luego de algunos años de haber terminado la escuela secundaria y otros, que la han finalizado recientemente, quieren “probar”. También entendemos que muchos se enfrentan al desafío de compatibilizar el estudio con el trabajo y la familia.

Esta universidad tiene en cuenta las necesidades reales del contexto en el que se inserta. Por eso, intenta asistirlas en un proceso de soluciones compartidas con todos sus actores (alumnos y docentes, en conjunto).

El curso de ingreso indica el comienzo de este desafío. Para transitarlo, cuentan con este módulo, que ha sido elaborado especialmente, y junto a las clases y el acompañamiento institucional con el que contarán, constituye el material sobre el cual trabajarán en cada encuentro y fuera de ellos.

Bienvenidos. Disfruten de este proceso de formación con esfuerzo y dedicación. Dr. Ariel Ubieta Delegado Organizador




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Fundamentación

La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la

humanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras disciplinas, unida

al desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.

La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor y

finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el desarrollo

del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educación matemática

tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en el

desempeño individual como en el trabajo en grupos.

Para lograrlo, el matemático español Claudi Alsina considera necesario que “los

alumnos adquieran habilidades sociales, que les permitan trabajar y resolver

dificultades en grupos heterogéneos, con personas de diferentes capacidades que

ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente escépticos, inquietos, con gran

curiosidad y ganas de aprender, y con recursos propios para poder hacerlo. El reto está

ahí […] es necesario saber afrontarlo”.1

En este sentido, es fundamental que los estudiantes fortalezcan los procesos típicos

del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporar otros nuevos. Al mismo

tiempo, lograr la capacidad de comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el

conocimiento y el empleo de estrategias de resolución de problemas. Es decir, se

promoverá que los estudiantes aborden estrategias propias, utilicen las

representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus

ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones

con las de otros, acepten críticas así como otros puntos de vista. Toda esta propuesta

tiene el objetivo de alfabetizar académicamente a los alumnos en el desempeño en

Matemática.

En el contexto de la Universidad, el proceso de aprendizaje de la Matemática debe

constituir una instancia en la que el alumno y futuro profesional interactúe con el

conocimiento matemático de un modo constructivo que permita apropiárselo y,

simultáneamente, le proporcione la vivencia de ser también un productor-generador

de dicho conocimiento. Toda esta experiencia vivida le permitirá revalorizarse y

posicionarse como sujeto activo de su propio proceso de formación.

El eje de la actividad matemática es la adquisición de competencias para la

resolución de problemas, que serán desarrolladas mediante el tratamiento de ciertos

contenidos seleccionados por su valor instrumental ante las demandas científicas,

tecnológicas, sociales y éticas, de este tiempo.

En consecuencia, la labor del futuro profesional consiste en la permanente

búsqueda de ejes de articulación e integración entre contenidos y métodos,

conocimientos y procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción, que

posibilitan el desarrollo de la estructura del pensamiento.

1 Claudi, Alsina, El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI, 2000.




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Presentación del módulo

Bienvenidos a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que

sientan suya. Para comenzar con el proceso de formación universitario desarrollamos

este módulo acorde con la fundamentación del área con la intención de repasar

algunos contenidos que trabajaron en la escuela secundaria. Pero, además, estas

páginas tienen otro objetivo: prepararlos para el estilo de trabajo que se espera que

desarrollen en el ámbito académico superior.

Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo universitario no se adquiere de

la mañana a la noche. Por eso, este módulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar

juntos durante el curso introductorio es un pequeño paso “para empezar”. Asimismo,

esperamos continuar con esta tarea durante todo el primer año y durante el desarrollo

de la vida académica.

Somos conscientes de que la Matemática suele considerarse una de las materias

más difíciles y por ahí esto es cierto: es una materia que necesita mucha atención y

práctica. Pero históricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas personas,

como ustedes y como nosotros.

Es cierto que algunas personas son capaces de lograr genialidades con los

conocimientos que todos tenemos disponibles, pero también es verdad que no es

necesario ser un genio para utilizar esos contenidos de manera competente. Por lo

tanto, la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a todos. Está a

disposición de todas las personas para que la aprendan, la dominen y la apliquen

cuando la necesiten.

Realizadas estas aclaraciones es conveniente contarles algunas características de

este material para que puedan aprovechar la propuesta de la mejor manera.

En primer lugar, el módulo está compuesto por cinco bloques:

Bloque 1: Números y operaciones

Bloque 2: Polinomios

Bloque 3: Funciones - Función lineal

Bloque 4: Función lineal II

Bloque 5: Función cuadrática

Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una

forma de trabajo autónomo. En cada uno de ellos encontrarán diversas actividades

que les permitirán estudiar los contenidos involucrados. Además, se encuentran

secuenciadas para que repasen y apliquen esos contenidos en la resolución de las

tareas.

De esta manera, el módulo presenta tres tipos de actividades: ejercicios, desafíos y

problemas. En cada ejercicio tendrán la oportunidad de poner en juego sus

conocimientos sobre el tema desarrollado. En cambio, los desafíos suelen ser tareas

sobre los contenidos trabajados, que si bien no resultan difíciles, en todos ellos se han




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incluidos algunas ayudas. Lo importante es que se animen a resolverlos y traten de

lograr algún resultado, aunque tengan que consultar entre sus compañeros o al

profesor para lograr continuar.

Por último, en los problemas es posible que, además de conocer los contenidos

necesarios para resolverlos, tengan que usar una cuota de ingenio para poder

interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea provisoria.

Al mismo tiempo, se encuentran distinguidas, mediante diferentes recursos gráficos

como recuadros y señalamientos, los temas más importantes para que consulten y

tengan en cuenta a la hora de estudiar.

Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que se

apropien de él. Esto significa que realicen todo tipo de anotaciones que consideren

importantes y que amplíen de forma personal el tema explicado o lo que sugerimos

que trabajen.

Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en práctica con

la ayuda de todos los estudiantes. Por ese motivo, esperamos que la utilicen lo mejor

que puedan y realicen consultas y sugerencias para que podamos hacer cambios en

beneficio de quienes mañana serán sus compañeros.

Agradecemos el trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en esta

empresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.

Los profesores de Matemática




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BLOQUE 1: NÚMEROS Y OPERACIONES

Introducción

En este bloque trabajaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación

en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Para ello, haremos

un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen, todo esto

ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben.

La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje

matemático” para resolver situaciones problemáticas. Esto significa, por ejemplo,

repasar el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones y que logren reconocer

los tipos de números que están involucrados en ese trabajo.




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Guía de trabajo Nº 1. Conjuntos numéricos

Desde que los seres humanos existen y construyen historia siempre nos hemos manejado con cantidades, siempre hemos contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N).

En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto significa que de la suma de dos números naturales el resultado es otro natural lo mismo sucede con los productos.

Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo, la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible. Es decir:

187 - 35 = 152. En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182

es mayor a 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo: 35 - 182 = ¿?

No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos en

los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero. Ahora si:

35 - 182 = -152 Esto tiene su aplicación en otras ciencias. Por ejemplo, en Física que asigna el

“cero” para el punto de congelación del agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas.

Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por los infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: el conjunto de los números racionales (Q).

Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y…

3 : -4 = - 4

3 ya que 3 no es múltiplo de -4

Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son exactas, se usan números racionales.

Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad, aunque

ustedes no lo crean). Por ejemplo 2 :

Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que elevado al cuadrado de 2.

Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:

2 = b

a




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Donde: 1. a y b son números enteros 2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por qué? Entonces:

2

2

b

a2

y… 22 ab.2

Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3.

Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no lo es.

2 es un número irracional Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo

rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como

2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tanto no pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números irracionales. Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R)

Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro.

Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números reales, que está formado por los números racionales y los números irracionales.

Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos.

El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:

Será conveniente que consulten las dudas que tengan sobre la información, después de leer con detenimiento el cuadro y el texto.




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A continuación les proponemos algunas actividades. Actividad 1 Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.

a) 1950 es un número real. b) El número 11,68 es un número entero. c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros,

por eso se trata de un número racional. d) -3 es un número natural. e) Todo número natural es entero. f) Todo número entero es natural. g) Los múltiplos de 11 son números enteros. h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2 Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales. Ayuda: a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación.

a) 2 + 3

b) 72

c) 75

d) 10

e) 8.2

f) 6 . 6

Recordemos

Todos estos tipos de números se pueden representar en la llamada recta numérica.

Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que los

racionales son de representación “más sencilla”. Por ejemplo: representar en la recta

numérica 5

Procedimiento:

(1) Trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Es decir, el

diámetro es 5, que es el número del que buscamos la raíz.

(2) Trazamos una perpendicular a la recta numérica que pase por 1, esta

perpendicular corta a la circunferencia en a.

(3) La distancia desde 0 hasta a es 5 . Compruébenlo.

(4) Usando el compás trasladamos 5 sobre la recta numérica.




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Actividad 3 Utilizando si fuera necesario el procedimiento descripto, intenten representar en la recta numérica las expresiones de (2).

Intervalos numéricos En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como, por ejemplo, [-2; 5) que contiene todos los números que están entre el -2 y el 5, incluyendo al -2 pero sin incluir al 5.

Actividad 4 Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra el resultado de la misma.

a) _____< 17 <_____

b) _____< 130 <_____

c) _____<- 19 <_____

d) _____<- 7 <_____

e) _____< 35 <_____

f) _____<- 28 <_____

g) _____<- 76 <_____

h) _____< 51 <_____




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Actividad 5 Unan con flechas cada número real con el intervalo al que pertenece (presten atención: puede que “sobre algo”).

a) 3

7

(0;1)

b) 5 (-3;1)

c) (-3;-2]

d) 7

1

(0;1)

e) 3 100

[3;5]

f) (0,1)2 (-2;0]




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Guía de trabajo Nº 2. Ecuaciones e inecuaciones

Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suele

haber una incógnita que se puede representar con la letra x. Resolver una ecuación es

encontrar el valor de x.

Ejercitemos un poco con las siguientes actividades.

Actividad 1 Veamos como plantear de manera simbólica las siguientes situaciones problemáticas.

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuya mitad es5

2?

Veamos: Hay un número incógnita.......................... X

Su mitad es ............................................. 2

1X

Esa mitad es 5

2..............................

2

1X =

5

2

Luego X = 5

4 ¿por qué?

.......................................................................................................................................

a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 5

2?

b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es 5

9?

c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es siete. ¿De qué número se trata?

d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuál es el número?

e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?

f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo aumentado en 1. ¿Cuál es el número?

Actividad 2 Resuelvan las siguientes ecuaciones.

Algunas de las ecuaciones propuestas incluyen el concepto de módulo. Para

resolverlas es necesario poner en juego un razonamiento particular que seguramente

abordaron en la secundaria. Resultará importante que repasen el tema consultando

libros, apuntes o profesores.




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a) xx4

155,2

2

3 b) 5,02

5

146

10

3 xx

c) 3,72,52,33,4 xx d) 1

3

1

10

46

xx

e) 4

21

5

2

xx f) 43

10

1

2

21

10

243

x

xx

g) 641022

xx h) 132413 xxx

i) xxx 511

j) 61125 x

k) 5213 x

l) Representen en la recta numérica

las soluciones de estas ecuaciones




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Guía de trabajo Nº 3

Actividad 1

Algunas preguntas para consultar:

a) ¿Qué es una inecuación?

b) ¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una inecuación?

c) ¿Cómo se representa en la recta numérica el conjunto solución?

Actividad 2

Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numérica las

soluciones que obtengan.

a) xx 27)4(2 b) 7324 x

c) )12(34232 xx d) 612 x

Desafío 1 En la siguiente recta numérica, ¿dónde deberían ubicar el cero? Justifiquen su respuesta.

Desafío 2 En la siguiente recta numérica representen [-2; 3). Justifiquen su respuesta.




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BLOQUE 2: POLINOMIOS

Introducción

En este bloque vamos a trabajar con un tema que será de utilidad para futuros

emprendimientos matemáticos: los polinomios, y en particular los polinomios de una

sola variable.

Es probable que al nombrar el tema les surjan algunos prejuicios. Todos ellos con un

punto en común: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”. En

parte, es cierto, en cada término de un polinomio es posible que encontremos una

parte literal. Pero, no se nos debe escapar que esa parte literal representa números

que deben ser tratados como tales. ¿Qué significa esto?

Seguramente recuerden que en la escuela les enseñaron a descomponer los

números. En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los

números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero,

además de este valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen

dentro de determinado número (relativo). Veamos los siguientes ejemplos.

En 1567 el 5 vale 500.

En 1756 el 5 va le 50.

En 5761 el 5 vale 5000.

Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usa

diez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugar

que ocupa dentro de un número).

Es decir:




16

Luego: 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1

= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1

= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo número elevado

a la cero da uno).

De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeración que usamos, es

decir 10. Pero existen otros sistemas de numeración donde la base no es diez: las

computadoras usan un sistema en base 2, algunas filmadoras utilizan un sistema en

base 16 (después de usar del 0 al 9 empieza a poner letras por ejemplo “1A” es 26 ¿por

qué? Estas dudas se pueden despejar en la sección anexo de este bloque).

Es decir, que la base del sistema de numeración podría ser (si quisiéramos) un

número “x” cualquiera y lo anterior podría escribirse:

P(x)= 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x1 + 1 . x0

O de forma resumida:

P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

¡Apareció un polinomio!

Esto quiere decir que un número es un polinomio, y esto a su vez significa que

venimos trabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.

Ya sabemos que los números son polinomios pero nos convendría saber

precisamente qué es un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con

polinomios de una sola variable: x, y, z, entre otras.

Van a encontrar algo especial en las actividades de este bloque: inmediatamente

después de la actividad están las respuestas.

Para nada vayan a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de

cada actividad, la idea no es que solamente tengan la respuesta correcta sino que

además la entiendan. ¿De qué valdría saber que esto o aquello es polinomio si

después, cuando los ejemplos fueran otros, no lográsemos distinguirlos?

Por eso, preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las demás

será importante que trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de

resolver las cosas con empeño y verdadera dedicación sin darse por vencido a la

primera dificultad. Para lograrlo es importante contar con alguien para trabajar juntos,

por eso te sugerimos que aproveches esta etapa para formar un grupo de trabajo para

Matemática y para otras materias.




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Actividad 1

Distingan las siguientes expresiones algebraicas entre polinomios. En caso afirmativo,

señalen cuál es su grado y su término independiente.

a) x4 − 3x5 + 2x2 + 5

b) + 7X2 + 2

c) 1 − x4

d)

e) x3 + x5 + x2

f) x − 2x−3 + 8

g)

Reflexionemos. Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos

desconfiar de ese que tiene raíz cuadrada. Veamos si las respuestas pueden brindarnos

algo de ayuda.

Respuestas

a) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 5.

Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la

actividad.

Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así podemos

deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el

otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el grado debe ser la

potencia mayor de x.

Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente,

todavía podemos no saber qué es un polinomio.

b) + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentro

de una raíz.

En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio. Teníamos

razón en desconfiar: este no es polinomio.




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c) 1 − x4

Es un polinomio Grado: 4, término independiente: 1.

Otro polinomio.

Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primero sigue siendo el independiente.

El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el punto 1) parece ser la mayor:

d)

No es un polinomio porque el exponente del primer término no es un número natural.

Otra razón para que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero, ¿por qué el exponente del primer término no es un número natural? ¿El 2 no es un número natural?

Recordemos las propiedades de las potencias

a0= 1 (todo número a la cero da 1).

a1= a (todo número a la uno da el mismo número).

a-1= (cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo).

a1/n= (para pasar una raíz a exponente fraccionario se coloca en el numerador

an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el índice de la raíz).

an. am= (multiplicación de potencias de igual base se suman los exponentes).

an: am= (división de potencias de igual base se restan los exponentes).

(an)m = (potencia de potencia se multiplica los exponentes).




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a-2 = ……….

a1/2 =………..

Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un número ……………….. y 1/2 es un número …………………………. Como vimos en el bloque 1.

e) x3 + x5 + x2

Es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 0.

Ahora ya sabemos:

f) x − 2 x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente de x en el 2º término no es un número natural.

Exacto, ya sabíamos: -3 es un número entero.

g)

Es un polinomio

Grado: 3, término independiente: −7/2.

Conclusión

Para que una expresión algebraica de las que estamos estudiando sea un polinomio,

la x debe tener un exponente…………………………………..en cada término.

El grado de un polinomio es

…………………………………………………………………………………………………..

El término independiente es

…………………………………………………………………………………………………….

Además, los números que acompañan a la x en cada término se llaman coeficientes.

El coeficiente del término que indica el grado del polinomio se llama “coeficiente

principal”.




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Actividad 2

Traten de resolver esta actividad primero sin espiar las respuestas que figuran aquí,

para después poder comparar su trabajo con esas respuestas.

Antes de empezar, recuerden que:

En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada a

diferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menor

que puede existir es “0” que está en el “término independiente” porque x0 = 1.

A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0,

es decir el polinomio puede estar incompleto (como en 7) de la actividad 1)

Otras veces un polinomio puede estar desordenado (como el 1) de la actividad 1 que

además está incompleto).

Escribir los polinomios de acuerdo a cada indicación solicitada.

a) Un polinomio ordenado sin término independiente.

b) Un polinomio no ordenado y completo.

c) Un polinomio completo sin término independiente.

d) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

A continuación, algunas respuestas para comparar con lo que hayan escrito o para

consultar si fuera necesario.

Posibles respuestas:

a) Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

(No dice que deba estar completo)

b) Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

c) Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

(Para averiguar por qué revisen lo que significan las expresiones que están

subrayadas).

d) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

¿Cuáles son los coeficientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?




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Trabajo práctico Nº 1

Ejercicios

1) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no explicando por

qué.

a)

b)

c)

d)

e)

f) 4.x-1 + 3

g) 2x + 3x2 –

h) 2x + 3x2 –

i) 3x – 2(x + 4)2

j) (3x – 4). + 4

2) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos

según las potencias decrecientes.

a) 4x3 – 1 + 3x2

b) x5 + x6

c) –2x + 3x3 – x2

d) + (este es un poquito más difícil hay que usar la propiedad

distributiva de la división).




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Anexo de lectura complementaria En un sistema de numeración posicional de base 16, existen 16 símbolos para combinar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Como en cualquiera hay números de más de una cifra. Observen y completen la siguiente tabla de equivalencia:

Números de una cifra En base 16

Equivalencia en base 10

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

Números de dos cifras En base 16

10 16 ¿por qué?

11 17

12 18

13 19

…. ….

19 25

1A

1B

1C

1D

1E

1F

20

…. ….

Desafío

¿Cuál será el mayor número de dos cifras que se puede escribir en este sistema?

¿A qué número de nuestro sistema de base 10 equivale?




23

Guía de trabajo N° 2

En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable. Como

siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades. En los casos que sea

conveniente se incluirán las respuestas para que puedan consultar

En la Guía de trabajo Nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su

grado y reconocimos sus coeficientes. Vimos que un número es un polinomio donde la

“variable” (la parte literal) toma el valor de la base del sistema de numeración con el

que estamos trabajando (si no se acuerdan de qué se trata esto les sugerimos que la

relean). Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un

determinado “valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.

Recordemos que P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

Tiene como “valor numérico” 6571 si x = 10

Esto se expresa:

P(10) = 6571

Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de la

misma.

Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora.

Actividad 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

a) P(6) + Q (3) =

b) P(7) − U (7) =

c) [P(3) + R (2)]2 =

d) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =

e) [2 S(6)]2 – T(4) + ¼ [ U(2)]2 =




24

Respuestas:

a) 159

b) 144

c) 3844

d) 1949

e) 1916

Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podría

tomar cualquier valor real.

Actividad 2

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

a) P(1) + Q(1/2) − R(1) =

b) P(1) - 2 Q(1/2) − R(2) =

c) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =

Respuestas:

a) - 27/8

b) -157/4

c) -225/16




25


En esta guía continuaremos con el trabajo con valores numéricos y agregaremos sumas

y restas de polinomios.

Actividad 1

Vamos a hacer una investigación. Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la

actividad 1.

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

Y calculemos P(2) y Q(2)

P(2)= 15

Q(2)= 6

De aquí se desprende que P(2)+Q(2)= 21

Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomio

resultante para x=2 ¿ese valor sería 21?

Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos confirmar:

Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)

Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos el

método.

Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es

agrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se

puede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:

P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)

Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cada

polinomio, pero en realidad no hacen falta:

P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2

Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:

P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2 – 1 (debemos ser cuidadosos con los

signos).

Operando:

P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente que

encolumnamos los monomios homogéneos:

Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) pero no

hace falta.

Colocaremos abajo el Q(x)………… − 3x2 – 2 + x3 + 6x en la columna correspondiente.




26

Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos.

Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado

de manera diferente.

Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:

P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3

Y ahora lo que queríamos averiguar:

El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21

¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Obviamente lo mismo sucede con la resta.

Vamos a hacer “la cuenta” de Q(x) – P(x).

En este caso, en vez de ser cuidadosos con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:

− 3x2– 2+ x3+ 6x

-

4x2 – 1+0x3+0x

-7x2 – 1 +x3 + 6x

Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal como

veremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía




27

Guía de trabajo Nº 4 En esta guía de trabajo aplicamos lo visto en la Guía de trabajo Nº 2. Actividad 1 Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular: a) P(x) + Q (x) =

b) P(x) − U (x) =

c) P(x) + R (x) =

d) 2P(x) − R (x) =

e) S(x) + T(x) + U(x) =

f) S(x) − T(x) + U(x) =

¡El primero ya está hecho!

Respuestas

a) P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en el último porque contiene el resultado?

Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para se acostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar al resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el que arribamos a ese resultado.




28

b) P(x) − U (x) =

Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios en los términos de U(x), esto se debe a que debe restarse)

= 3x2 − 3

c) P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

d) 2P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que con los números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términos antes de empezar.

Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán) se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

Aquí hicimos dos pasos en uno:

- Multiplicamos P(x) por 2 y

- Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo polinomio debido a que estamos restando

= 2x2 − x − 3

e) S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11

f) S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1




29


1) Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

Calcular:

a) P(x) + Q(x) − R(x) =

b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

c) Q(x) + R(x) − P(x) =

Respuestas

Como ya se ha revisado bastante el procedimiento, incluimos solamente los resultados finales. De esta forma tendrán oportunidad de trabajar solos y comparar los procedimientos usados por cada uno de los integrantes del grupo que llegaron a los resultados correctos. Si alguien del grupo no llegó a los resultados correctos se presenta la oportunidad de realizar nuevos aprendizajes: para nada se deberá borrar lo producido y copiar otro que parezca correcto, la forma conveniente de proceder es revisar esa producción entre todos para tratar de encontrar algún error y corregirlo.

a) P(x) + Q(x) − R(x) = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5

b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9

c) Q(x) + R(x) − P(x)= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

2) Usando el ingenio. Realicen los siguientes cálculos. a) Sabiendo que:

P(x) + R(x) = 10x2 + x y R(x) = 6x2 + x + 1 Calcular P(x)

b) Sabiendo que: P(x) − U (x) = 3x2 – 3 y que U(x) = x2 + 2

Calcular P(6)

Respuestas (con actividad incluida)

Todas las respuestas a este ejercicio figuran en las páginas de las guías de trabajo que leyeron y deberían poder encontrarlas entre todos: ¡adelante!




30


En la Guía de trabajo Nº 2 calculamos el valor numérico de polinomios de una variable

para determinados valores de la variable x. Además, trabajamos con la adición y

sustracción de polinomios en la Guía de trabajo Nº 3.

En esta cuarta guía vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos

trabajando para, a partir de ellas, avanzar algo más en temas que resultarán útiles en

la cursada de Matemática I.

Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2

Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su

término independiente es ..........

Como es fácil calcular P( ) = (compruébenlo)

Actividad 1

a) Considerando P(x)= 5x-2

¿Para qué valor de x, P(x) tiene valor numérico 1?

Respuesta

El problema planteado supone averiguar un número que satisfaga:

1= 5x-2

Donde 1 es el valor numérico del polinomio P(x)

¡Es una ecuación!

b) Luego:

Sumando 2 en ambos miembros:

1 + 2 = 5x

Ahora dividimos ambos miembros por 5:

5

3= x

Respuesta

El valor de x para el cual el valor numérico de P(x) es 1 es 5

3

Actividad 2

Calcula el valor de x para que el valor numérico de P(x) sea el indicado en cada caso:

a) P(x) = 52

3 2 x valor numérico de P: 29

b) P(x)= 23





31

c) P(x) = 7

1

7


9

d) P(x) = 2

4

1

4

3x valor numérico de P:

4

7

Respuestas

Recuerden que las raíces de índice par tienen más de un resultado, esta es la razón por

la que vamos a detallar la resolución de a), luego podrán trabajar en forma autónoma

a) La ecuación que se debe resolver es:

2952

3 2 x

Restando 5 a ambos miembros:

242

3 2 x

Dividiendo ambos miembros por 2

3:

3

2.24

2

3:242 x

(Porque dividir por 2

3 es lo mismo que multiplicar por

3

2)

Operando queda:

162 x

Luego, aplicando a ambos miembros raíz cuadrada:

16x

De donde:

x = 4 ó x = -4

Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16

b) x = 3

c) x =2

1 ó x=

2

1

d) x = 2 ó x= -2




32

Anexo

En este apartado les proponemos una lectura no obligatoria pero divertida.

El arte de adivinar números De: Y. Perelmán Álgebra recreativa Ed. Mihr. Moscú 1986

Cada uno de ustedes se encontrará indudablemente con “prestidigitadores” que

pueden adivinar números. Como regla, un prestidigitador propone realizar operaciones

del siguiente carácter: pensar un número cualquiera, adicionar 2, multiplicar el resultado

por 3, restar 5, restar el número pensado etc., en total cinco o una decena de

operaciones. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado y, al obtener

la respuesta, en seguida comunica el número pensado.

Claro está que el secreto de la prestidigitación es muy fácil y se basa en las mismas

ecuaciones. Supongamos que el prestidigitador le haya propuesto a usted, realizar un

programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente.

Piense un número:

Adicione 2:

El resultado multiplíquelo por 3:

Reste 5:

Reste el número pensado:

Multiplique por 2:

Reste 1:

x

x+2

3x+ 6

3x+l

2x+1

4x+2

4x+ 1

Luego, el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo,

dice al instante el número pensado. ¿Cómo lo hace?

Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla, donde las

indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta

columna se puede comprender, que si usted ha pensado cualquier número “x”, entonces

realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es

difícil “adivinar” el número.

Supongamos, por ejemplo, que usted le haya dicho al prestidigitador que el resultado

es 33. Entonces, el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x +

1= 33 y obtiene la respuesta: x = 8. Es decir, hace falta restar 1 del resultado final (33 -

1 = 32) y luego, el número obtenido se divide entre 4 (32 : 4 = 8), el resultado de esta

división es el número pensado (8). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador

hace mentalmente las siguientes operaciones 25 - 1 = 24, 24 : 4 = 6 y comunica que

usted ha pensado el número 6.

Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano qué hace falta

hacer con el resultado para obtener el número pensado.

Después de comprender esto, usted puede asombrar y desconcertar aún más a sus

amigos preponiéndoles a ellos mismos escoger según su propio parecer, el carácter de

operaciones sobre un número pensado. Usted le propone a su amigo pensar un número y

realizar en cualquier orden operaciones del carácter siguiente: sumar o restar un numero




33

conocido (por ejemplo: sumar 2, restar 5, etc.), multiplicar2 por un número conocido

(por 2, por 3, etc.), sumar o restar el número pensado. Su amigo, para embarullarlo, va a

amontonar una serie de operaciones. Por ejemplo, él elige el número 5 (el número

pensado no se lo comunica a usted) y le dice:

— he pensado un número, lo he multiplicado por 2, al resultado le he sumado 3, luego

he sumado el número pensado, al resultado he sumado 1, todo lo he multiplicado por 2,

he restado el numero pensado, luego he restado 3, una vez más he restado el número

pensado, he restado 2. Por fin, el resultado lo he multiplicado por 2 y he sumado 3.

Al decidir que él lo ha embrollado por completo. Su amigo le comunica a usted con

aspecto triunfante: “el resultado final es 49”.

Para su asombro, usted le comunica inmediatamente que él ha pensado el número 5.

¿Cómo lo hace usted? Ahora todo eso es bastante claro. Cuando su amigo le comunica

las operaciones que él está realizando con el número pensado, Ud. a la vez actúa

mentalmente con la incógnita x. El le dice: “he pensado un número...”, usted repite

mentalmente: “entonces tenemos x”. Él dice: “... lo he multiplicado por 2” (él de veras

realiza la multiplicación de números). Usted prosigue mentalmente: “…ahora tenemos

2x”. Él dice: “al resultado he sumado 3”. Usted sigue inmediatamente: 2y 4+3, etcétera.

Cuando él lo “ha embrollado” completamente y ha realizado todas las operaciones

mencionadas arriba, usted ha llegado al resultado indicado en la tabla siguiente. En la

columna izquierda está escrito todo lo dicho en voz alta por su amigo y en la derecha,

las operaciones que usted ha hecho mentalmente.

He pensado un número

Lo he multiplicado por 2

al resultado he sumado 3

luego he sumado el número pensado

ahora he sumado 1

el resultado lo he multiplicado por 2

he restado el número pensado

he restado 3

más le restado el número pensado

he restado 2

por fin, el resultado lo he multiplicado por 2

y he sumado 3

x

2x

2x+3

3x+3

3x+4

6x+8

5x+8

5x+5

4x+5

4x+3

8x+6

8x+9

Usted ha pensado por ultimo: el resultado final es 8x+9. Ahora él dice:”El resultado

final es 49”. Usted tiene ya la ecuación hecha: 8x+9 = 49. Resolverla es una futilidad y

Ud. le comunica en el acto que él ha pensado el número 5. Esta prestidigitación es

particularmente impresionante porque las operaciones que hace falta realizar con el

número pensado no las propone usted, sino su amigo las “inventa”.

2 Mejor que no le permita dividir, pues la división complica mucho la “prestidigitación”.




34

Sin embargo, hay un caso cuando la prestidigitación no tiene éxito. Si usted después

de realizar (contando mentalmente) una serie de operaciones ha obtenido, por ejemplo,

y +14, y su amigo dice luego: “… ahora he restado el número pensado y el resultado

final es 14”. Usted sigue (x + 14) – x = 14, de verdad resulta 14, pero no hay ninguna

ecuación y por eso usted no puede adivinar el número pensado. ¿Qué es necesario hacer

en este caso? Obre así: tan pronto usted tenga el resultado que no contiene la incógnita

x, interrumpa a su amigo diciéndole: “¡Pare! Ahora puedo sin preguntar nada

comunicarte el resultado que tienes. Es 14”. Esto de veras va a desconcertar a su amigo,

pues él no le ha dicho completamente nada. A pesar de que usted no supo adivinar el

número pensado, la prestidigitación ha resultado espléndida.

He aquí un ejemplo más (como antes en la columna izquierda se encuentra lo dicho o

por su amigo).

He pensado un número

a este número he sumado 2

al resultado lo he multiplicado por 2

ahora he sumado 3

he restado el número pensado

he sumado 5

Luego he restado el número pensado

x

x+2

2x+4

2x+7

x+7

x+12

12

En el momento cuando el resultado ha sido 12, es decir, es una fórmula que no tiene

más la incógnita x, usted interrumpe al amigo comunicándole que ahora el resultado es

12.

Después de practicar un poco, usted podrá fácilmente mostrar a sus amigos

semejantes “prestidigitaciones”.




35


Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada ejercicio de la guía de trabajo Nº 4, pero a veces las cosas pueden ser más complejas.

Actividad 3 Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + x sea 1 Respuesta Al principio procedemos de la manera habitual:

6.x2 + x = 1

Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse fácilmente mediante la radicación.

Recordemos:

La fórmula

Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundo miembro es cero:

Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembros convenientemente

Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hace cero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numérico de un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver “ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”

¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!

6.x2 + x = 1

Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglar restando 1 a cada miembro:

6.x2 + x - 1= 0

Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordar quiénes son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:

- a es el coeficiente del término cuadrático (con su correspondiente signo), en este caso: …………….

- b es el coeficiente del término lineal (con su correspondiente signo), en este caso: …………….

- c es el término independiente, en este caso: …………….




36

Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dos soluciones para esta ecuación:

x= 2

1 y x=

3

1

Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x =2

1 ó

x = 3

1.

Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)




37


Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 3x-9= 1

b) 14- 4x= 3

c) x2 - 1 = 4

5

d) x - x2 = -2

e) 2x+x2 = 0

Respuestas

a) x = 3

10

b) x = 4

11

c) x = 2

3 y x =

2

3

d) x= -1 y x = 2

e) x=0 y x = -2




38


Problemas resueltos

Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, además de repasar la resolución de las mismas, están preparándose para la siguiente guía, así que a trabajar mucho y con confianza.

La idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratando de interpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando las dudas para consultar.

En términos generales se tomaron problemas que se resuelven con números enteros y racionales que ya conocen.

Posteriormente, les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Práctico Nº 4 para evaluar si pueden resolverlos de forma autónoma.

Vamos a trabajar:

1) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivos

sueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $967 y a Felipe $ 1409.

¿Cuánto cobró de sueldo cada uno?

Solución

El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.

Vamos a llamar J al sueldo de Javier y F al de Felipe

Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado será

lo que le queda a cada uno:

Para Javier:

(*) J – 750 = 967

Para Felipe

(∆) F – 750 = 1409

Se trata de dos ecuaciones muy fáciles de resolver, pero antes fijémonos que así como

están planteadas las cosas se puede saber quién tiene el mejor sueldo ¿Quién es? ¿Por

qué?

Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)

J – 750 = 967




39

J = 967 + 750

J = 1717

Y para calcular el de Felipe resolvemos (∆)

F – 750 = 1409

F = 1409 +750

F= 2159

Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a la

pregunta)

Javier cobró $1717 de sueldo y Felipe $2159

2) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¿Ascendió o descendió?

¿Cuántos metros?

Solución

Este es un problema en el que el planteo de una ecuación resulta un poco engorroso

para lo que es el problema.

En casos como este podemos usar un razonamiento matemático que no tenga que ver

con ecuaciones sino con cuestiones geométricas que nos lleven a la solución.

Supongamos que de un bote se deja caer una

soga de 60 m hacia abajo.

El buzo se encuentra primero a -60

metros, es decir a 60m por debajo de la

superficie.

Luego está a -28 metros es decir a 28 m

del nivel del agua, esto quiere decir que debe

haber subido, por lo tanto ya estamos en

condiciones de escribir la respuesta.

Pero antes pensemos: -28 ¿es un número mayor o menor que -60? Al contestar

esta pregunta estamos dando la razón por la que la respuesta es:




40

Respuesta

El buzo ascendió 32m

3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del

precio mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total ¿cuánto

cuesta la enciclopedia?

Solución

Llamaremos X al precio de la enciclopedia

Ana aporta las dos terceras partes de X

x3

2

Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X

xx 45,1493

2

Resolvemos restando x3

2 en ambos miembros:

xx3

245,149

x3

145,149

Ahora dividimos ambos miembros por 3

1(o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):

x45,149.3

35,448x

Respuesta

La enciclopedia costó $448,35

4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un

tercio de dinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y

sólo quedan $100 para Diego. ¿Cuánto dinero había en total?




41

Solución

Llamemos x al total de dinero disponible

Alejo toma x3

1

Lo que queda es:

De estos x3

2 (dos tercios del total) Bruno toma

3

1:

Carlos toma $500

Diego toma $100

Es decir el total x está compuesto por lo que tomó cada uno:

Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total

x

3

1 + x

9

2 + 500 + 100 = x

Resolvemos:

Primero restamos x3


x9

2 + 500 + 100 = x - x

3

1

Operamos y restamos x9


500 + 100 = x3

2 - x

9

2

Operamos:

600 = x9

4

Dividimos ambos miembros por 9

4 o lo que es lo mismo multiplicamos por

4

9:

600 . 4

9 = x

X= 1350

Respuesta

La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350

xxxxx3

2

3

1

3

3

3

1

xx9

2)

3

2(

3

1




42


Resuelvan los siguientes problemas utilizando ecuaciones u otras estrategias.

1) El papá y la mamá de Juan trabajan. La mamá gana $ 2850 pero le descuentan $

400. El papa gana $ 3200 y le descuentan $ 500. Si los gastos mensuales familiares

suman $ 3900. ¿Cuánto pueden ahorrar?

Respuesta

Pueden ahorrar $1250.

2) Un edificio tiene 17 pisos, planta baja y 2 subsuelos. Un ascensor está en el segundo

piso, sube 8 pisos, desciende 11 pisos, vuelve a subir 5 pisos, desciende 6, sube 7 y

baja 2 ¿En cuál está en este momento?

Respuesta

Está en el tercer piso.

3) En un aeropuerto, se acepta despachar un máximo de 30 Kg. por pasajero sin pagar

exceso de equipaje. Una señora llevaba 12 Kg. de ropa, 2 Kg. de perfumes, 3 Kg. de

zapatos, 3 Kg. de peso en libros y folletos. Además, llevaba 4 regalos de igual peso y

cada uno pesaba una cantidad entera de Kg. ¿Cuál era el peso posible de cada

regalo si la valija vacía pesaba 2 Kg. y no pagó exceso de equipaje?

Respuesta

Cada regalo tiene un peso posible de 1 ó 2 kg.

4) Carlos reparte caramelos entre sus tres hijos, al mayor le da la tercera parte, al del

medio la cuarta parte y al menor dos quintas partes. Luego del reparto le sobran

dos caramelos ¿cuántos caramelos tenía Carlos para repartir?

Respuesta

Carlos tenía 120 caramelos para repartir.

5) Si una persona por día emplea la cuarta parte de lo que gana en alimentos, dos

tercios de lo que le queda en otros gastos y ahorra $ 34,30 ¿Cuánto gana por día?

Respuesta

Gana $137,20 por día.




43


Actividad 1

Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numéricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo que queremos hablarles). Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numérico que adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2): Si P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

P(10)= 6571

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valor

numérico de P(x):

x P(x)

10 6571

2 83

7 2553

15 21481

3

4

5

Completen la tabla.

Esto significa que existe una función que relaciona cada x con un único valor numérico

Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda como habitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse el valor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Por ejemplo, si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la función sería el conjunto de números naturales:

D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}

Además, el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):

I = {83,.......................................................




44

BLOQUE 3: FUNCIONES - FUNCIÓN LINEAL

Introducción En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y comenzaremos a recordar, en particular, a la función lineal. Se volverán a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros, de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada al origen, pendiente así como también con el análisis e interpretación de gráficos, pero no se preocupen si les parece que no se acuerdan de nada, solamente ocúpense y recuerden que no están solos en este desafío.

I - Funciones Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diaria y de diversas ciencias, incluyendo a la matemática, para luego poder analizarlas e interpretarlas. En la primera parte de este bloque trabajaremos con la noción de función y estudiaremos algunas de sus propiedades a partir de sus gráficas y tablas. En la segunda parte nos ocuparemos particularmente de la función lineal.




45


Pongamos en práctica nuestra capacidad para interpretar gráficos.

Actividad 1

El gráfico muestra la evolución del peso medio de un varón y una mujer en los

primeros 15 años de su vida. Analizando el gráfico respondan:

a) ¿Cuáles son las variables se relacionan?

b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5 años?

c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los 10 años?

d) ¿A qué edad el varón peso 35 kg?

e) ¿A qué edad la mujer peso 45 kg?

f) ¿Entre qué edades la mujer pesó más que el varón?

g) ¿Aproximadamente a qué edades ambos pesaron lo mismo?

Actividad 2

A continuación observemos tres gráficos que muestran viajes de un automóvil. ¿Es

cierto que sólo en uno se mantiene la misma velocidad? ¿Pueden marcar de cuál se

trata?




46

Actividad 3

Este gráfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante un

año. El eje de abscisas (¿cuál será?) representa el nivel considerado normal del lago.

Observen el gráfico y respondan a las siguientes preguntas.

a) ¿En qué meses estuvo por encima de su nivel normal? b) ¿En qué meses estuvo por debajo de su nivel normal? c) ¿En qué mes/es mantuvo su nivel normal? d) ¿Cuál fue la variación de nivel que tuvo en todo el año? Para calcularlo, tengan en

cuenta el pico máximo y el mínimo de altura alcanzada por el lago. e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, ¿en qué estación del año

ocurrió? f) ¿En qué mes se produce el mayor aumento de nivel? g) ¿En qué mes se produce la mayor disminución de nivel? h) ¿Cuánto metros disminuyó el nivel entre abril y junio? i) ¿Cuántos metros aumentó el nivel en febrero? j) ¿Durante cuántos meses disminuyó el nivel? k) ¿Durante cuántos meses aumentó el nivel? l) ¿Durante cuántos meses se mantuvo igual el nivel?

Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus características:

En este tema se han incluido algunas “claves” teóricas en recuadros como el siguiente, es importante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar.




47

Actividad

a) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones.

b) Indiquen si las siguientes tablas corresponden o no a una función. Justifiquen sus

respuestas en cada caso.

c) Indiquen el dominio y la imagen de las siguientes funciones teniendo en cuenta

que el lado de la cuadrícula representa una unidad.

Por si no se acuerdan, una función es una relación entre dos variables, en la cual, a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Para cada valor de x debe corresponderse un único valor de y.

Dominio: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable independiente,

es decir x.

Imagen: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente, es

decir la y.




48

d) Observen el gráfico de la siguiente función y respondan

(a) ¿Cuál es el dominio de la función? (b) ¿Cuál es la imagen? (c) ¿Cuál es la imagen de 8? (d) ¿El punto (-4;0) pertenece a la función? (e) ¿Y el (3;2)?

e) Completen:

f(-1)=_____ f(____)=-4

f(3)=_____ f(____)=2

f(0)=_____ f(____)=8

f(-7)=____ f(____)=0




49

f) Escriban el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

Actividad 5

Escriban los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones.

Recuerden:

Conjunto de ceros o raíces: son los valores de x para los cuales y vale 0. En el gráfico

son los puntos de corte de la función con el eje x.

Observen para qué valores de x la función está por debajo o por arriba del eje x.

Conjunto de positividad: son los valores de x para los cuales la función es positiva.

Conjunto de negatividad: son los valores de x para los cuales la función es negativa.

Recuerden que…

Un intervalo numérico es un conjunto de números que puede escribirse:

[a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo los valores de a y de b

[a,b) que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de a pero no el de b

(a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de b pero no el de a

(a,b) que indica todos los valores entre a y b sin incluir los valores de a y de b




50

Actividad 6

Observen el gráfico y escriban.

a) Los intervalos de crecimiento y

decrecimiento. b) El o los intervalos donde es constante la

función. c) El o los puntos máximos y/o mínimos

relativos.

Ayuda:

Intervalo de crecimiento: son los valores de x para los cuales la función crece.

Intervalo de decrecimiento: son los valores de x para los cuales la función decrece.

Tienen que observar, al tomar valores cada vez más grandes de x que pasa con y, es

decir, si aumenta o disminuye.




51


Ahora ejercitemos lo visto.

1) Grafiquen una función que cumpla con las siguientes condiciones.

Crecimiento:

Es constante:

(¿se acuerdan lo que significa ^?)

Máximo:

2) Observen el gráfico y respondan.

a) ¿Cuáles son las raíces? b) ¿Cuál es la imagen de -5? c) ¿Y cuál la de 0? d) ¿Para qué valor de x la imagen

es 4? (preimagen de 4) e) ¿Cuál es la preimagen de -3? f) ¿Para qué valores de x la

función vale 3? g) Den tres valores de x con la

misma imagen.

3) Marquen sobre el eje X:

Con rojo: los intervalos de positividad.

Con verde: los intervalos de negatividad.

Con azul: el conjunto de ceros o raíces.




52

4) Realicen el gráfico de una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso. (*a)

5) Observen el gráfico y escriban.

a) Los conjuntos de ceros, positividad y negatividad.

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) El o los intervalos donde es constante. d) El o los puntos máximos y/o mínimos

relativos.




53

Función lineal

Las funciones lineales aparecen en muchas situaciones de la vida cotidiana, la economía, la física, etc.; y suelen ser el punto de partida para el estudio de otras funciones.

En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos, específicamente sobre las características principales de dichas funciones y las propiedades que tienen sus representaciones, mediante gráficos, tablas de valores y fórmulas.

También aquí se han colocado algunos recuadros con datos útiles para estudiar y guiar las consultas que necesiten realizar.

A trabajar entonces…




54


Actividad 1

Un técnico aeronáutico, en el año 1995, cobraba por cada reparación que realizaba un valor fijo de $15 y un adicional proporcional al tiempo que le insumía su trabajo, que calculaba tomando como parámetro $10 la hora.

a) Completen la tabla y encuentren la fórmula de la función que relaciona el costo C

de un trabajo y el tiempo t (en horas) que le demanda hacerlo (c(t)).

Tiempo (h)

0,5 1 1,5 2 3 4

Costo ($)

b) Representen gráficamente la función c(t).

c) ¿Cuál será el costo de una reparación que le requirió 5 horas de trabajo?

d) ¿Cuántas horas trabajó en un arreglo que cobró $75?

Actividad 2

Decidan si cada una de las siguientes fórmulas puede corresponder o no a una función lineal:

Recuerden Una función f es lineal si tiene una expresión de la forma: f (x) = m x + b Donde m y b son dos números fijos y si m = 0 nuestra función sería constante e igual a b

La gráfica de una función lineal es, por supuesto, un conjunto de puntos que están sobre una recta.

Sabemos que la gráfica de una función f son los puntos (x; y) del plano cartesiano que verifican y = f(x).

Por lo tanto los puntos de la gráfica de una función lineal verifican f (x) = m x + b




55

Actividad 3

a) Completen la siguiente tabla.

Fórmula de la Función Lineal

Pendiente Ordenada al Origen

150 xxf ,)(

xxg 33.)(

..................)( xh 1 0

..................)( xh 0 1

532 xxf )(

2

3 ........)(

xxg

b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una de las

siguientes funciones lineal

Función ¿Es función

Lineal? Función

¿Es función Lineal?

23 xy xy 312

)(: xy 54 xy 827

23 x 23xy

xy3

1 23 3 xy

350 xy , 23 x

Información útil:

Para obtener la pendiente `m´, es necesario utilizar la siguiente fòrmula:

Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta

Si m = 0, f es una función constante: f(x) =b Si m ≠ 0, f es una función lineal: f(x) = mx + b

El término independiente `b´ es la ordenada al origen, siendo (0;b) el punto de intersección

con el eje de ordenadas.




56

(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x – 1

X Y

-2

0

1

X Y

-4

0

2

X Y

-3

0

3

c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen sus respuestas mediante cálculos.

(a) xxf2

1 P = (0;3) Q= (0;0) R= (-4;2)

(b) 2

14 xxg P =

0

8

1; Q=

9

11; R=

2

10;




57

x

y

Actividad 4

1) Observen la gráfica de la función f.

a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica de f.

b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representa la relación entre la x

y la y ?

c) ¿Cómo se podría obtener la pendiente de la recta graficada a partir de las

coordenadas de dos de sus puntos?

I. 1832 xy II. 92

3 xy

III. 096 xy IV. 169

xy




58

x

y

x

y

x

y

x

y

2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.

(a)

(b)

(c)

(d)




59


Actividad 1

a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntos A y B de una recta, y su

pendiente m. Completen la tabla y luego representen cada recta en el plano

cartesiano.

A = (x1; y1) B= (x2; y2) m

N (2;5) (-1;0)

R (-3;2) (0;-4)

T (2;4) (-3;…..) 1

Q (…..;1/2) (8;1) 3/2

S (-2;3) (2;5)

V (-8;…..) (1/2;5) 0

Otro tema “pendiente” Recordemos que…

Los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) son dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:




60

b) Completen teniendo en cuenta los ejercicios anteriores.

(a) Si la pendiente es un número………………….., la función es decreciente.

(b) Si la pendiente es un número…………………., la función es creciente.

(c) Si la pendiente es igual a………………………, la función es constante.

c) Usando la información que aparece en el último recuadro, encuentren la

ecuación de las rectas del punto 2) de la actividad 4 de la guía de trabajo nº2 de

este bloque




61

BLOQUE 4: FUNCIÓN LINEAL II Introducción

En este bloque les proponemos continuar con el análisis de la función lineal,

estudiando su fórmula y gráfico, y las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Al principio aparece ejercitación para revisar lo trabajado anteriormente, para luego

continuar con actividades que les permitirán repasar algunos otros conocimientos.

Algunos de los ejercicios que pensamos, serán un desafío para esta etapa de

revisión y de volver a acercarse a la matemática. ¡Cuentan con nosotros para esto!

Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que

les servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el

gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden

tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.




62


Actividad 1

a) Una recta contiene a los puntos e=(-2;-4) y f=(1;5). ¿Cuál es su pendiente?

Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes cartesianos para pensar tu

respuesta desde el gráfico.

b) La recta H tiene pendiente 0,5.

1) ¿Puede contener a los puntos (7;3) y (-5;-3)? ¿Por qué?

Ayuda:

Recuerden la fórmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular la

pendiente de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.

2) Si su ordenada al origen es 2, ¿contiene al punto (4;5)? ¿Por qué?

c) La recta P tiene pendiente 2 y contiene al punto (1;1). ¿Cuál es su ordenada al

origen?

d) Escriban la ecuación de la recta D que tiene pendiente -0,5 y contiene al punto

(0;5). Verifiquen la respuesta gráficamente.

e) Escriban la ecuación de la recta que contiene a los puntos (-2;-3) y (4;-5).

Verifiquen la respuesta gráficamente.

f) Calculen la pendiente y luego hallen la ecuación de la recta que pasa por los

siguientes puntos.

(a) p= (2;3) y q = (5;2) (b) p = (1/2;1/4) y q = (3/4;1/2)

(c) p = (-1;3) y q = (2;-5) (d) p = (-2/3;0) y q = (-1;4/5)

g) Representen cada una de las siguientes rectas en un sistema de ejes cartesianos,

teniendo en cuenta valor de su pendiente y el de su ordenada al origen.

(a) 32

1 xxf

(b) xxg 1 (c) 2 xxh (d) xxi 23

Para una mejor interpretación de las siguientes consignas, diremos (como habitualmente se hace) que: y = mx + b es la ecuación general de una recta en la que m es la................................... y b es la ................................................................. .




63


A continuación, les proponemos trabajar sobre las posiciones relativas de dos rectas en

el plano y la relación que existe entre esas posiciones, las fórmulas de funciones

lineales y sus representaciones gráficas.

Actividad 1

Representen en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas que tienen las

ecuaciones indicadas. Deberán hacer un gráfico para las rectas del grupo (a) y otro

para las del (b).

(a)

(b)

a) Observen el gráfico de las rectas (a) ¿Cuáles son las posiciones relativas de las rectas y1 e y2? ¿Y cuál es para y3 e y4?

b) Realicen el mismo análisis que hicieron con las funciones del punto anterior con las funciones del grupo (b).

c) Comparen las ecuaciones de cada par de rectas tratando de establecer alguna relación entre su posición relativa y alguno de los valores de su fórmula.

¿Ya se acordaron? ¡Claro!

Anotemos para no olvidarnos:

Las rectas paralelas tienen.......................................................................................

En cambio las rectas perpendiculares tienen..................................................................

42

1

42

4

4

4

3

2

1

xy

xy

xy

xy

42

12

2

32

4

3

2

1

xy

xy

xy

xy




64

Actividad 2

En esta actividad tienen oportunidad de poner a prueba sus conocimientos.

1) Encuentren rectas paralelas y rectas perpendiculares entre este grupo de funciones

lineales.

4)( xxa 24)( xxb 43

1)( xxc 5

2

3)( xxd

43

2)( xxe xxf )( 625,0)( xxg

2

1

3

1)( xxh

2) Unan los pares de rectas perpendiculares entre ambas columnas.

35,0: xyA 73

1: xyF

52: xyB 35: xyG

83: xyC xyA3

1:

75

1: xyD xyI 5:

32,0: xyE xyJ 2:

3) Hallen las ecuaciones de las rectas que cumplen con las condiciones pedidas en

cada caso.

a) R es paralela a 32 xy y pasa por 38; .

b) S es paralela a 63 xy y pasa por 06; .

c) W es perpendicular a R y pasa por el origen de coordenadas.

d) T es perpendicular a 24

3 xy y 02; .




65

Trabajo práctico Nº 6 1) La recta M contiene a los puntos 1)0( f y 2)2( f .

a) Encuentren la ecuación de la recta M. b) Encuentren la ecuación de una recta R que sea paralela a M y que pase por el

punto 0;1 .

c) Hallen la fórmula de una recta D que sea perpendicular a M y que tenga la misma ordenada al origen que R.

d) Encuentren la ecuación de la recta H paralela a D y que 0)0( f .

e) Grafiquen las rectas M, R, D y H en un mismo plano cartesiano.

2) Dadas las siguientes funciones:

23

2)(

2)(

33)(

4)(

xxr

xxp

xxg

xxf

a) Representen las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos, teniendo en cuenta el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen.

b) Indiquen, para cada una, si es una recta creciente, decreciente o constante. c) Escriban la ordenada al origen, la raíz o cero y la pendiente de cada función.

Cuando trabajamos las raíces o ceros de una función, lo hicimos desde la lectura de sus coordenadas. Ahora les proponemos que las encuentren analíticamente: Calculen para qué valores de x, y vale cero, y qué valor toma y cuando x vale cero.

d) Encuentren la fórmula de una recta paralela a f(x) y que pase por el origen de coordenadas. Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.

e) Encuentren la fórmula de una recta perpendicular a la recta r y que contenga al

punto 5;0 . Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.

3) Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus

respuestas describiendo con sus palabras cuál es la característica que observan en

ambas fórmulas y que fundamentan sus conclusiones.

a) 2//12 yxy b) 1//1 xyxy

c) xyxy 11 d) 233

1 xyxy

e) 5//2 yy f) 3

13 yy




66

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

4) Escriban la ecuación de cada una de las rectas representadas, tomando como

referencia puntos sobre cada una.

5) Hallen la ecuación de cada una de las rectas representadas en el mismo

sistema de ejes cartesianos.

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)




67

BLOQUE 5: FUNCIÓN CUADRÁTICA

En este bloque les proponemos analizar la función cuadrática: sus elementos,

fórmulas y representación en el plano cartesiano.

Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas

que les servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el

gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden

tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.

Función cuadrática

“Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas a

distintas áreas como la Física, la Biología, la Economía, la Astronomía, la Comunicación

y la Geometría, entre otras. En la Antigüedad, los griegos, desde antes de Euclides

(330-275 a.C.), resolvían ecuaciones cuadráticas basándose en un método geométrico

donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos. En el siglo XVII, luego Johannes

Kepler (1571-1630) expusiera las leyes que rigen los movimientos de los planetas, los

astrónomos descubrieron que las órbitas de los planetas y cometas respondían a

modelos cuadráticos”.3

3 Ma. Beatriz Camuyrano, Gabriela Net, Mariana Aragón. “Matemática I – Modelos matemáticos para interpretar la realidad”.

Estrada. Buenos Aires, 2005.




68


Actividad 1

En el cuadrado ABCD de 10 cm de lado, que muestra la figura

dibujado a escala, se marcan los puntos P, Q, R y S a 1 cm de los

vértices, como lo indica la figura.

Observen que queda determinado otro cuadrado PQRS y además

cuatro triángulos rectángulos en los que sus catetos miden 9 cm

y 1 cm.

Si quisiéramos calcular su área, un posible planteo sería.

Área ABCD – 4. Área APS = Área PQRS

822

9.1.410.10

a) Calculen el área del cuadrado interior si los puntos P,

Q, R y S están a 2 cm de A, B, C y D, respectivamente y

vuelquen su resultado en la tabla.

b) Repitan el procedimiento para las distintas medidas que

figuran en la tabla y complétenla

c) ¿Fue necesario realizar todos los cálculos o mientras la

completabas pensaste en alguna regla para calcularlos?

d) Vuelquen la información en un sistema de ejes

cartesianos para obtener un gráfico.

e) Comparen el gráfico con los de otros compañeros.

Escriban aquello que consideren distinto o parecido a lo

que hicieron.

f) A partir de las diferencias y similitudes que notaron,

elaboren una conclusión grupal.

Distancia

a

A, B, C y

D

Área del

cuadrado

interior

0 100

1 82

2

3

4

5

6

7

8

9

10




69

Es importante que respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Se trata de una función lineal o es una curva?

b) ¿Cuál es el dominio de la función?

Si pensáramos al problema más allá de la distancia podríamos preguntarnos:

c) ¿Si el dominio se extendiera al , las imágenes seguirían siendo positivas?

d) ¿Qué ocurriría con el gráfico si el dominio se extendiera a ?

e) Realicen el gráfico considerando el dominio ( ; ).

La curva que queda representada que corresponde a la función cuadrática recibe el

nombre de___________________________________________________________

g) Si pensamos en una fórmula que permita modelizar este problema. ¿Cuáles de

las siguientes fórmulas permiten calcular el área del cuadrado interior para cualquier

distancia x? pueden utilizar como referencia el planteo del principio del ejercicio.

Formalizamos

La fórmula general de una función cuadrática es: cbxaxxf 2

Donde a, b y c son números reales (con la condición de que a sea distinto de cero ¿por

qué?) a los que, como habitualmente lo hacemos, llamaremos coeficientes.

Continuaremos con el estudio de esta función usando esta fórmula general. Para ello

resuelvan la siguiente actividad

2100 xxA 100202 2 xxxE

2

.10.4100

xxxD

xxf 10.2100

24100 xxC




70

Actividad 2

1) Completen los siguientes cuadros distinguiendo los distintos coeficientes.

Fórmula a b C

xxxf 226)(

2580 ttth )(

Fórmula a b C

)( xg -1 0 4

)(ts 2 1 -3

2) Consideren la función 2)( xxf

a) Calculen: )( 4f ;

3

1f ; )( 7f

b) Indiquen, si es posible, los valores de x para los cuales:

I. 100)(xf

II. 5)( xf

III. 4)(xf

3) Completen la siguiente tabla de valores reemplazando en la fórmula de la función

los distintos valores propuestos para x y luego ubiquen esos puntos en un sistema

de ejes cartesianos y únanlos para trazar una gráfica.

32)( 2 xxxf

x f(x)

-3

-2

-1

0

1




71

A partir del gráfico que realizaron, respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Qué curva representa el gráfico de dicha función?

b) ¿Cuáles son las coordenadas de sus raíces?

c) ¿Pueden identificar en el gráfico un “máximo” o “mínimo”? Escriban sus

coordenadas y distínganlo en el gráfico con un color.

d) ¿Cuáles son las coordenadas de la ordenada al origen? Distíngala en el gráfico

usando un color. Para lograrlo, recuerden que en este punto el valor de x siempre es

cero.




72


Actividad 1

Tracen el eje de simetría de la parábola del ejercicio 3) de la actividad 2 de la guía de

trabajo anterior y escriban cómo debería ser la ecuación de esa recta.

Recuerden

Para continuar con el estudio de la función cuadrática necesitamos tener en cuenta

las siguientes fórmulas que nos ayudarán a encontrar los elementos de la función con

los que ya estuvimos trabajando.

Raíces de la parábola: a

cabbx

2

.42

2,1

Esta fórmula les permitirá hallar las coordenadas x de las raíces de la función

cuadrática (es decir los puntos en los que corta al eje x). Esta fórmula ya la utilizamos

antes en la guía de trabajo nº 6 del bloque 2.

Recuerden: las raíces tendrán como coordenadas: 0;1x y 0;2x

Vértice de la parábola: a

bxv

2

Esta fórmula les permitirá calcular la coordenada x del vértice de una parábola. Para

hallar la coordenada sobre el eje de ordenadas (yv) del vértice, deberán reemplazar el

valor de vx en la fórmula de la función cuadrática dada. Recuerden: el vértice tendrá

como coordenadas: vv yx ; .

Eje de simetría:

Es la recta que tiene por ecuación vxx .

Ordenada al origen:

Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Decimos que es el punto que

tiene como coordenadas: );0( c . ¿Qué coeficiente es c?

Concavidad:

Si el coeficiente “a” (coeficiente principal o cuadrático), es un número positivo, la

parábola tiene sus ramas orientadas hacia…………………………………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad positiva.

Elementos de una parábola: Al punto que es máximo o mínimo de una función cuadrática lo denominaremos vértice de la

parábola. Por este punto que, reiteramos, será el máximo o mínimo de la función, si trazamos

una recta vertical que pase por su coordenada en x, quedará definido un eje que

denominamos eje de simetría.




73

Si la función tiene concavidad positiva, su vértice será su punto ………………………….

Si el coeficiente “a” es un número negativo, la parábola tiene sus ramas orientadas

hacia………………………………………………………..

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad negativa.

Si la función tiene concavidad negativa, su vértice será su punto ………………………...

Actividad 2

Para poner en práctica las fórmulas anteriores, resuelvan los siguientes ejercicios.

Recuerden que, como ya lo destacamos, las fórmulas requieren que distingan los tres

coeficientes en cada función.

1) Completen el siguiente cuadro calculando los elementos pedidos:

Función a b c Raíces Vértice Eje de

Simetría

Ordenada al

Origen

22 xxf )(

142 2 xxxg )(

542 xxxh )(

2) Para cada una de las siguientes funciones:

xxxf 42 )( xxxg 42 )( 122 xxxh )(

322 xxxm )( 62 xxxt )( 2

2

1xxs )(

a) Indiquen los valores de los coeficientes a, b y c. b) Representen cada una de estas funciones en un sistema de ejes cartesianos,

calculando sus elementos: I. Raíces

II. Vértice III. Eje de simetría IV. Ordenada al origen




74

3) Tracen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

Calculen en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen de cada

una de las parábolas. ¿Se comprueba lo recuadrado respecto de la concavidad en

cada una de ellas?

22 xxxf )( 2

542 2 xxxg )( 12123 2 xxxh )(

xxxi2

7

2

15 2 )( 2

4

1

4

11

2

3xxxj )(




75


A partir de ahora, estudiaremos las distintas modificaciones que puede sufrir una

parábola en su gráfico teniendo en cuenta las variaciones en su fórmula. Las

actividades que siguen requieren atención para poder distinguir estas modificaciones,

aunque suponemos que las notarán ni bien se pongan a trabajar. ¡Buena suerte y buen

ojo!

Actividad 1

Papel que cumple el coeficiente “a” en la función 2axy

Realicen el gráfico, en un mismo sistema de ejes cartesianos, de las siguientes

funciones cuadráticas.

2xxf )( 2xxs )( 2

2

1xxt )(

22xxp )( 22xxk )( 2

4

3xxq )(

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x

para las seis fórmulas, así como ésta:

X 2xxf )( 22xxp )( 2xxs )( 22xxk )( 2

2

1xxt )( 2

4

3xxq )(

-2

-1

0

1

2

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta lo siguiente.

La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.

¿Qué le sucedía a la parábola si 0a ? ¿Y si 0a ? (esto ya lo sabemos)

¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?




76

A medida que el valor de “a” aumenta (sin tener en cuenta el signo del número es

decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se cierran o se

abren?

A medida que el valor absoluto de “a” disminuye (sin tener en cuenta el signo del

número es decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se

cierran o se abren?

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir algunas

conclusiones, adelante:

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Actividad 2

Gráficas de funciones cuadráticas de la forma caxy 2

En este tipo de fórmulas no está el término lineal (bx). (Recuerden que cuando ocurre

esto, es porque 0b ).

Realicen el gráfico en un mismo sistema de ejes cartesianos de las siguientes funciones

cuadráticas. Posteriormente volveremos a pedirles que elaboren conclusiones.

2xxf )( 22 xxg )( 12 xxh )( 42 xxi )(

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x

para las cuatro fórmulas, así como ésta:

x 2xxf )( 22 xxg )( 12 xxh )( 42 xxi )(

-2

-1

0

1

2




77

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:




¿En qué sentido fue el desplazamiento?, ¿vertical u horizontal?

¿En cuántas unidades se desplazó?

Si 0c , ¿hacia dónde se desplaza?

Si 0c , ¿hacia dónde se desplaza?

Escriban a partir de estos interrogantes, una conclusión:

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Actividad 3

Gráficas de funciones de la forma 2 xay

Aquí la letra griega representa un número real cualquiera, lo expresamos con una

letra griega para que no lo confundan con alguno de los coeficientes.

Realicen, en un mismo sistema de ejes cartesianos, el gráfico de las siguientes

funciones cuadráticas. 2xxf )( 2

2 xxg )( 21 xxh )( 2

2 xxi )(

Antes de continuar con la actividad propuesta, deberíamos preguntarnos si la fórmula

22 xxg )( corresponde a una función cuadrática, porque es algo distinta a las

que veníamos trabajando.

Si pensamos que es 2222

xxx por definición de potencia, y aplicamos

la propiedad distributiva, resulta 44222 22 xxxxx , y como esta

última expresión es de la forma cbxaxxf 2 , podemos afirmar que la función

g(x) es una función cuadrática.




78

Para representar estas funciones, pueden hacer otra tabla con los mismos valores de x

para las cuatro fórmulas, así como ésta:

x 2xxf )( 22 xxg )( 2

1 xxh )( 22 xxi )(

-3

-2

-1

0

1

2

3

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:




Si el vértice y el eje de simetría se modificaron, ¿qué fue lo que sucedió en cada caso?

¿En qué sentido fue el desplazamiento? ¿Vertical u horizontal?

¿En cuántas unidades se desplazó?

Si 0 , ¿hacia dónde se desplaza?

Si 0 , ¿hacia dónde se desplaza?

A partir de las respuestas a estos interrogantes, escriban su conclusión.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………




79


a) Hallen la fórmula de la función cuadrática correspondiente al desplazamiento de 2xxf )( según se indica en cada caso:

(a) 3 unidades hacia arriba. (b) 2,5 unidades hacia la izquierda. (c) 1,5 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha

b) Indiquen cuál será el desplazamiento de la función 2xxf )( que coincidiría con

cada una de las siguientes fórmulas:

25 xxg )( 522 ,)( xxt

2

74

2 xxf )(

c) Grafiquen cada una de las funciones del punto anterior aplicando los

desplazamientos correspondientes al gráfico 2xxf )( , señalen en cada gráfico

el vértice y el eje de simetría.




80


Distintas maneras de escribir la ecuación de una función cuadrática

Ahora que repasado las funciones cuadráticas les contamos que una misma función se

puede expresar de distintas maneras:

Ecuación polinómica: cbxaxxf 2

Ecuación canónica, si conocemos el vértice y el coeficiente principal:

vx yxxaxf 2

Ecuación factorizada, si conocemos las raíces y el coeficiente principal:

21. xxxxaxf

Para pasar de la fórmula canónica y/o factorizada a la polinómica debemos aplicar la

propiedad distributiva. No se olviden de tener cuidado con los signos cuando

distribuyan.

Pero si tienen que pasar de la expresión polinómica a, por ejemplo, la canónica, es otra

la tarea: aquí debemos buscar las coordenadas del vértice. ¡Por suerte contamos con

una fórmula para hacerlo! Y ya lo practicamos, ¿se acuerdan? Y el coeficiente principal,

o sea “a” siempre estará expresado en la fórmula que nos dan, así que sólo queda

copiarlo.

Si la propuesta es pasar de la expresión polinómica a la fórmula factorizada,

calculemos las raíces de la parábola (sí, ¡también practicamos la fórmula!) y no nos

olvidemos de copiar el coeficiente principal.

Actividad 1

1) Expresen cada una de las siguientes funciones en la forma que se pide:

a) 342 xxxf )( , en la forma canónica.

b) 322

1 xxxf )( , en la forma polinómica.

c) 2322 xxf )( , en la forma polinómica.

d) 322 xxxf )( , en la forma factorizada.

2) Indiquen de qué manera esta expresada cada una de las siguientes funciones.

Realicen un gráfico aproximado de cada una de ellas sin construir tabla de valores.

a) 232

1 2 xy




81

x

y

x

y

x

y

x

y

b)

2

132 xxy

c) 254

1 xxy

3) Escriban las siguientes funciones cuadráticas en la forma más conveniente de

acuerdo con los datos y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una.

(a) El vértice es (-3;-2) y el coeficiente principal es -2. (b) Las raíces son -4 y 2, el coeficiente principal es -1. (c) El vértice es (-3;-2) y pasa por el punto (0;1)

(d) Corta al eje x en (-1;0) y (4;0) y pasa por el punto

6

54;

4) Sabiendo que las gráficas corresponden a una función cuadrática, relacionen cada

gráfico con su fórmula.

)2)(5()( xxxf 312 xxg 41 xxxh 2

3 xxi

a) b)

c) d)




82

Bibliografía Abdala C. – Real M. Turano C. Colección libros y +. Carpeta de matemática, Buenos

Aires, Aique, 2000. Laurito Liliana, Stisin Laura B. de, Trama Eduardo, Ziger Dora y Sidelsky Estela,

Matemática Activa 9, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela, Matemáticas: Bachillerato 1, Madrid,

Anaya, 1990. de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela, Matemáticas: Bachillerato 2, Madrid,

Anaya, 1990. Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana, Matemática Polimodal

Libro Temático, (1°Ed.), Buenos Aires, Editorial Longseller, 2002. Effenberger Pablo, Matemática 3, Programa Kapelusz Para Pensar, (1° Ed.), Buenos

Aires, Kapelusz Editora, 2011. Berio A., Colombo Ma. L., DÁlbano C., Sardelia O. y Zapico I, Matemática I –

Polimodal, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala Rosa A. y Díaz

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y Alonso Ma. Rosario, Matemática I, Buenos Aires, Kapelusz Editora, 2005.

Bibliografía para el docente Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala Rosa A. y Díaz

Bibiana, Matemática I (1° Ed.), Buenos Aires, Ediciones Santillana, 1999. Buschiazzo N. B., Fongi E. D., González Ma. Inés y Lagreca L., Matemática II (1° Ed.),

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Bibliografía para el alumno Berio A., Colombo Ma. L., DÁlbano C., Sardelia O. y Zapico I, Matemática I –

Polimodal, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. Berio A., Colombo Ma. L., DÁlbano C., Sardelia O. y Zapico I, Matemática I –

Polimodal, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana, Matemática Polimodal,

Libro Temático, (1°Ed.), Buenos Aires, Editorial Longseller, 2002.

Bibliografía opcional Álvarez Areces, Santiago y Fernández Flórez, Manuel, 2000 Problemas de

Matemáticas, (3° Ed.), León (España): Editorial Everest, 2001. Rayner, David y Cabrillo, Ezequiel, Repasa con Ejercicios: Gráficas y Álgebra 2.

Oxford University Press España, 1998. de Guzmán M. y Colera J., Matemáticas I: C. O. U. Opciones A y B. Madrid: Anaya,

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