Modulo Matematica

Ilhéus . 2012

Irene Mauricio Cazorla (Org.)

Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3

METODOLOGIA DOENSINO DA MATEMÁTICA

Universidade Estadual de Santa Cruz

ReitoraProfª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro

Vice-reitorProf. Evandro Sena Freire

Pró-reitor de GraduaçãoProf. Elias Lins Guimarães

Diretora do Departamento de Ciências da EducaçãoProfª. Emilia Peixoto Vieira

Ministério daEducação

Ficha Catalográfica

1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares Copyright by EAD-UAB/UESC

Projeto Gráfico e DiagramaçãoJamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké João Luiz Cardeal CraveiroSaul Edgardo Mendez Sanchez Filho

CapaSaul Edgardo Mendez Sanchez Filho

Impressão e acabamentoJM Gráfica e Editora

Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESCObra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA)

Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus-Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.www.nead.uesc.br | [email protected] | (73) 3680.5458

Pedagogia | Módulo 5 | Volume 3 - Metodologia do Ensino da Matemática

Metodologia do ensino da matemática / Elaboração de conteúdo: Aida Carvalho Vita ... [et al.]. – Ilhéus, BA: Editus, 2012. 175 p. : il. (Pedagogia – módulo 5 – volume 3 – EAD)

ISBN: 978-85-7455-295-8

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática – Metodologia. I. Vita, Aida Carvalho. II. Série. CDD 510.7

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Coordenação UAB – UESCProfª. Drª. Maridalva de Souza Penteado

Coordenação Adjunta UAB – UESCProfª. Dr.ª Marta Magda Dornelles

Coordenação do Curso de Pedagogia (EAD)Profª. Drª. Maria Elizabete Souza Couto

Elaboração de Conteúdo

Profª. Drª. Aida Carvalho VitaProfª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana

Profª. Ma. Genigleide Santos da HoraProfª. Drª. Irene Mauricio Cazorla

Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho PeixotoProf. Dr. Marcos Rogério Neves

Instrucional DesignProfª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira

Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa CostaProfª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes

RevisãoProf. Me. Roberto Santos de Carvalho

Coordenação Fluxo EditorialMe. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho

EAD . UAB|UESC

DISCIPLINA

METODOLOGIA DO ENSINODA MATEMÁTICA

EMENTA

OBJETIVO

Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática. Estudo de conteúdos matemáticos direcionados para a aquisição de competências básicas necessárias à vivência no cotidiano: conteúdos, percursos metodológicos, uso das tecnologias e avaliação. O raciocínio lógico-matemático e situações problemas - geometria, cálculo mental e operações fundamentais. A Matemática: estudos, pesquisas e diferentes usos sociais e o significado matemático. Carga horária: 75 horas, sendo 60 h para estudos e discussão teórico-práticos, e mais 15 h para elaboração e apresentação de oficinas. Em seguida, as refle-xões e aprendizagens das oficinas serão socializadas entre os colegas.

A partir do estudo sobre os conteúdos deste módulo, você poderá ser capaz de:

• explicar e utilizar conceitos e métodos matemáticos para propor e resolver situações-problema junto com seus estudantes;

• planejar atividades de ensino favoráveis ao desenvolvimento de competências do raciocínio lógico-matemático;

• aperfeiçoar sua habilidade de registro escrito e domínio de estratégias de cálculo mental para resolução de problemas envolvendo aritmética;

• aperfeiçoar sua habilidade de registro e uso de estratégias para modelagem e resolução de problemas geométricos;

• analisar e discutir de maneira crítica os diferentes usos sociais e significados do conhecimento matemático;

• contribuir para a compreensão da Matemática como uma linguagem que ajuda a compreender o mundo em que o estudante está inserido;

• criar condições para que seus estudantes compreendam a importância da Matemática na formação para a cidadania.

OS AUTORES

Profª. Drª. Aida Carvalho VitaDoutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática Inclusiva.E-mail: [email protected]

Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos SantanaDoutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática. E-mail: [email protected]

Profª. Ma. Genigleide Santos da HoraMestre em Educação pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Pesquisa na área de Educação Inclusiva. E-mail: [email protected]

Profª. Drª. Irene Mauricio CazorlaDoutora em Educação Matemática pela UNICAMP. Professora Titular da UESC. Pesquisa na área de Educação Estatística.E-mail: [email protected]

Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto Doutoranda em Difusão do Conhecimento pela Universidade Federal da Bahia (UFBA). Mestre em Matemática pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Realiza pesquisa na área de Educação Inclusiva e Divulgação e Popularização da Ciência. E-mail: [email protected]

Prof. Dr. Marcos Rogério NevesDoutor em Educação Matemática pela UFSCar. Professor Adjunto da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.E-mail: [email protected]

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos

anos iniciais do Ensino Fundamental, recorremos às recomendações dos

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).

Assim, estruturamos a disciplina em três blocos de conteúdos conceituais

e procedimentais da Matemática, a saber: Números e Operações, Espaço e

Forma (Geometria) e Tratamento da Informação (Estatística), apresentados

em quatro unidades, com atividades que integram os conteúdos na solução

de problemas situados no contexto escolar, nos quais os estudantes tenham

uma participação ativa na construção de seus conhecimentos.

SUMÁRIO

NÚMEROE OPERAÇÕES

OBJETIVOS

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

• elaborar situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento aritmético, bem como utilizar esquemas para a resolução de situa-ções pertencentes aos campos conceituais das estruturas aditivas;

• explorar ideias sobre os campos conceituais das estruturas aditivas, bem como os aspectos históricos sobre os números naturais e formas de calcular para fins de planejamento de aulas;

• discutir sobre a importância pedagógica da análise dos erros dos estudantes ao resolverem situações-problema;

• explorar a análise de erros como estratégia pedagógica para au-xiliar o planejamento, ação e avaliação de aulas e atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento aritmético.

1ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS

Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é Matemática e isso acontece, entre tantos motivos, por lembrarem-se de certas aprendizagens escolares, em situações nas quais, via de regra, não conseguiram perceber as aplicações possíveis desses conhecimentos e sua utilidade para a vida, ligando tudo isso a uma percepção de complexidade dessa ciência.

Esta primeira percepção da complexidade da Matemática muitas vezes nos faz perder de vista o fato de que suas ideias e formas de pensamento mais elementares surgiram da reflexão sobre as atividades humanas comuns do dia a dia que envolvem contagem, medição e cálculo.

Enquanto ciência, a Matemática acumulou conhecimentos bastante sofisticados que são estudados por cientistas; mas, se observamos o dia a dia das pessoas a nossa volta, perceberemos que este está repleto de ideias e formas de raciocínio que compõem a base desta ciência. O pedreiro, a cozinheira, o vendedor, a costureira e outros profissionais necessitam interpretar e utilizar quantidades, valores e medidas, mesmo sem dominar os registros escritos associados aos números.

Nesse sentido, podemos observar que, quando crianças, nascemos em um meio onde já se elaboraram ideias sobre números e suas funções. As residências das pessoas costumam ser numeradas; calçados e vestimentas também; telefones e correspondências utilizam números; as coisas têm preço; os relógios e calendários controlam o tempo; em brincadeiras infantis são feitas contagens; enfim, antes mesmo de alcançarmos a idade escolar, vivemos em um mundo repleto de números e o mesmo ocorre com as ideias matemáticas sobre espaço e forma, que são a base da geometria.

A reflexão sobre estas experiências é fundamental para uma boa aproximação do estudante com os conteúdos da matemática escolar, de

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Número e Operações

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maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação desses saberes cotidianos relacionados à Matemática. O ato de lidar com a noção de quantidade exige do sujeito certas competências e habilidades, formas de raciocínio lógico, as quais são interconectadas com o desenvolvimento do conceito de número, das relações entre os números e suas operações.

2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO

A aprendizagem do conceito de número natural começa a ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a mesma cor ou mesmo formato.

Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação, classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem.

Assim, aquelas atividades de classificação e seriação que realizamos com as crianças desde a educação infantil são fundamentais para estimular as condições necessárias à construção do conceito de número nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Vejamos alguns exemplos de atividades baseadas em imagens do software livre Sistema Tutorial Inteligente (ITS), desenvolvido pela equipe do Prof. Lorenzo Moreno Ruiz, da Universidad de La Laguna, Espanha (PEIXOTO; CAZORLA; VITA, 2011).

a) Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos, segundo uma determinada relação. Por exemplo, na Figura 1, a criança deve analisar qual é a constituição da série e escolher qual será o próximo elemento:

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Metodologia do Ensino da Matemática

Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.

b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de inclusão de classes. Na Figura 2 solicita-se que as crianças formem dois grupos, um composto por pássaros e outro por comida.

Figura 2 - Exemplo de atividade de classificação com o software ITS.



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c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos, identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos e os representam com seus indicadores. Por exemplo, na Figura 3, solicitar à criança que assinale em qual dos dois conjuntos há menos borboletas.

Figura 3 - Exemplo de atividade com quantificadores com o software ITS.

Outra forma de quantificação faz referência à aplicação de quantificadores básicos de uma coleção de objetos (todos, nenhum, alguns, nada, pouco, [...]), como no exemplo da Figura 4.

Figura 4 - Exemplo de atividade de quantificação com o software ITS

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d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, como no exemplo da Figura 5.

Figura 5 - Exemplo de atividade com contagem com o software ITS.

e) Correspondência termo a termo: é o processo no qual são relacionados os objetos com o que lhes é correspondente, como no exemplo da Figura 6.

Figura 6 - Exemplo de uma atividade de correspondência com o software ITS.



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f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reconhecer a escrita numérica e a escrita na língua materna, neste caso, em português.

Figura 7 - Exemplo de atividade de reconhecimento com o software ITS.

g) Ordinalidade: é a capacidade de definir um conjunto de valores no qual cada valor, exceto o primeiro, tem um único antecessor, e cada valor, exceto o último, tem um único sucessor, conforme Figura 8.

Figura 8 - Exemplo de atividade com ordenação com o software ITS.

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h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade.

Figura 9 - Exemplo de atividade com cardinalidade com o software ITS.

Quando a criança, espontaneamente ou estimulada pelo professor, brinca de contar, de agrupar objetos pelas semelhanças, elaborando um sistema de classificação, de comparar tamanho, largura ou altura dos objetos, ela está construindo o conceito de número, bem como de suas representações.

Daí, o professor dos anos (séries) iniciais deve proporcionar situações diversificadas com materiais variados para trabalhar as relações matemáticas, fazendo com que os alunos progridam em seu conhecimento matemático.

Assim, a criança interage com o meio ambiente através da sua inteligência, da sua noção de quantidade e da sua representação dos sistemas de numeração. Inicialmente explora o local, manipulando objetos, materiais e brinquedos, depois passa a organizá-los e, finalmente, consegue trabalhar mentalmente com as ideias numéricas, elaborando seu conhecimento.

É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio: classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração



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Decimal e constituição do conceito de número natural.A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese

coordenada e reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único (PIAGET, 1978).

Figura 10 – Ordem e inclusão de classe. Fonte: Elaborado pelos autores.

A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os constituem.

A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os números cardinais e os números ordinais.

Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as

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coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de todos os anos iniciais. A Figura 11 organiza alguns elementos importantes neste processo.

Figura 11 – Mapa conceitual da formação do conceito de número. Fonte: Elaborado pelos autores com base nas ideias de Kamii (1995) e Zunino (1995).

Para a construção do conceito de número nos anos iniciais, com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de



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dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual

forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem, agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificar grandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume, tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente.

Portanto é importante explicitar as nuances da formação do conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas não enumeráveis. Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997).

A Figura 12 ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área, massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem ao homem tratar essas quantidades da mesma forma.

Figura 12 – Tensões entre quantidade/qualidade, contínuo/discreto. Fonte: Elaborado pelos autores.

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Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi historicamente construído.

Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números racionais e irracionais. Também quando se deparar com situações–problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá ampliar seu conceito de número.

O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes tipos: exato e aproximado, mental e escrito.

Na próxima seção, apresentaremos uma visão histórica da invenção do número pelo homem e do surgimento dos sistemas de numeração, em especial do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais.

3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

A necessidade de contar, possivelmente, começou com o desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de calendário etc.

No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00



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0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton (0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século III a.C. e é utilizado até hoje.

Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo mental.

3.1 O homem aprendeu a contar

Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos, como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência um a um com a história de pastores contando o seu rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é deriva-da da palavra latina calculus, que significa pedrinha. Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm

Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão (Figura 13), através do estabelecimento de uma relação de correspondência um a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada (Figura 14).

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Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC

Figura 14 – Correspondência um a um ou biunívocaFonte: Ideia elaborada pelos autores baseado em Imenes (1988) / UAB-UESC.

Além dos dedos, o homem também utilizou as falanges e articulações para contar. Segundo Ifrah (2000), uma técnica comum praticada na China, Índia e Indochina era contar usando cada falange como uma unidade, começando numa das mãos pela falange inferior do dedo mindinho e terminando na falange superior do polegar (pode-se também começar pela falange superior do anular e terminar na falange do polegar). É possível contar de 1 a 28 com as duas mãos (Figura 15).



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Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando, sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte e oito falanges de suas mãos.

Figura 15 – Técnica de contagem utilizando as falanges das duas mãos.Fonte: modelo Ifrah (2000) - UAB/UESC.

Uma prática também muito antiga (o mais antigo método para memorizar quantidades) e utilizada em diversas partes do mundo foi a do entalhe. Tratava-se de pegar pedaços de madeira ou ossos, e nesses eram feitos riscos para representar quantidades.

Figura 16 – Modelos de entalhe utilizados para registrar quantidades.Fonte: Ifrah (2000).

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Outras práticas de contagem e registro utilizavam cordas.

A civilização Inca nasceu aproximadamente no início do século XII e surpreendeu a muitos por seu alto grau de conhecimento e prosperidade, pois embora não tivesse conhecimento da roda, nem da tração animal e nem mesmo da escrita como é conhecida hoje, desenvolveu um método muito prático e eficiente para contar: o cordão com nós, denominado quipu (palavra inca que significava nó). Este dispositivo consistia numa corda principal onde eram atados vários cordões de diferentes cores e mais finos do que a corda e, dessa forma, eram feitos nós nesses cordões de diferentes tipos e a intervalos regulares para representar os números. Os homens que cuidavam desses registros eram chamados de quipucamayocs, que quer dizer “guardiães de nós” (Figura 17).

Figura 17 – Quipus e quipucamayocs da civilização Inca.Fonte: Ifrah (2000).

Por exemplo, para representar o número 3.643, faziam-se três nós na parte superior do cordão, dava-se um intervalo e faziam-se seis nós, dava-se então outro intervalo e faziam-se quatro nós e, finalmente, três nós na parte inferior da corda. Era dessa forma que os incas registravam as quantidades.



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Os quipus também serviam de representações de calendários, fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagens. A cor de uma cordinha podia significar uma ideia abstrata, por exemplo, o branco expressava a pureza, a paz ou o dinheiro; o amarelo, o ouro, o sol ou a eternidade; o vermelho, o sangue, o fogo e a guerra. Mas a utilidade principal era a contagem e os incas usavam a base decimal nesse processo.

O uso de cordões com nós não foi exclusivo dos incas. Em diferentes regiões, outros povos utilizavam sistemas análogos desde a Antiguidade.

3.2 Aperfeiçoando a contagem e o

cálculo

À medida que os cálculos foram se tornando cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualquer outro recurso não era tarefa prática e possível, em algumas regiões. A saída para este problema, ao que tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax, tabuleiro de areia).

Sua forma variou durante o tempo e com os povos. Os primeiros ábacos eram pequenas bandejas cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou desenhos de figura. Antes e durante o Império Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros. Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas por um painel de madeira, pedra ou metal contendo sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que representavam números. As mais antigas tábuas de contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis usados na sua construção. Assim, os antigos foram observando a necessidade de se criar tábuas portáteis e mais duráveis do que as mais antigas. A Figura 18 apresenta alguns exemplos de ábacos utilizados por romanos, chineses e japoneses. Mais detalhes podem

Figura 18 - Ábaco de bolso romano, ábaco chinês (suan-pan) e ábaco japonês (soroban).

Fontes: 1: http://andria-unisc-abaco.blogspot.

com/2009_09_01_archive.html; 2: http://www.topolewski.de/pascal/

jufo2003/image/chinesischer-abakus.gif; 3: http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/

ComputerXHistory/EarlyHistory/1956-Soroban1170.htm

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ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em Nunes, Soledade e Reis (1998).

3.3 Do ábaco aos algoritmos

O surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes do sistema de numeração decimal utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro e não eram utilizados para realização de cálculos.

Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas, mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer aos serviços de um destes especialistas do cálculo.

Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas registrar quantidades como os sistemas dos romanos e dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo. Além disso, uma característica fundamental deste sistema é a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco, pois apenas com dez algarismos podem-se representar infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que gerou o que hoje se conhece como zero.

Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos algarismos, podemos escrever diferentes números com um

Em 1949, Joaquim Lima de Moraes, deficiente visual, adaptou o Soroban para uso de cegos, após apren-der a técnica ensinada por imigrantes japoneses, abrasileirando o termo para Sorobã. O soroban adap-tado é composto por uma moldura dividida por uma linha horizontal e vinte e um eixos verticais. É re-vestido internamente por uma borracha compresso-ra, cuja função é deixar as contas fixas; além disso, foram adicionados pontos e traços com a função de se-parar as ordens, classes e facilitar a leitura tátil.

você sabia?

Figura 19 – Soroban adaptado comercializado pela Bengala Branca Importação e Comér-cio Ltda.Fonte: Peixoto, Santana e Ca-zorla (2006).



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algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387.

Este sistema proporcionou um grande avanço no desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje descende dele.

Mas deixar de lado o ábaco e operar com os algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas) e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental.

3.4 Consolidação do Sistema de Numeração

Decimal (SND)

O grande avanço dado com a criação do sistema decimal com algarismos arábicos foi a transposição de um contexto concreto, e necessariamente finito, representado pelo ábaco, para uma representação com símbolos escritos. Foi, sem dúvida, um passo importante que possibilitou representar e operar com quantidades quaisquer, mas que só foi possível depois de séculos de emprego difundido do ábaco pelos homens (CARDOSO, 1992).

Assim, podemos observar que o sistema de numeração que hoje utilizamos surgiu por meio de um

Al Khawarizmi, matemático muçulmano do século IX, foi um dos responsáveis pela divulgação do sistema de numeração indo-arábico na Europa. Seus trabalhos de aritmética, álgebra e geometria influenciaram o Ocidente e deles surgiram termos como algoritmo e algarismo. Leonardo de Pisa, matemático italiano conhecido como Fibonac-ci, também exerceu forte influência para a aceitação destes novos métodos de cálculo quando escreveu, em 1202, um tratado cha-mado Líber Abaci (Tratado do ábaco), que contradito-riamente ao título ensinava métodos e processos de cálculo através dos nume-rais indo-arábicos.Fonte: Ifrah (2000).

Maiores detalhes recomen-damos a leitura de Ifrah (2000) e Boyer (1996).

você sabia?

leitura recomendada

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longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes de surgir o SND utilizado hoje, pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro, mas esses não eram utilizados para a realização de cálculos.

4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL (SND)

Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados consistentes. O SND usado atualmente tem características peculiares:

• é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume diferentes valores: 123 é diferente de 321;

• as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim por diante;

• o símbolo zero representa a ausência de quantidade; • é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em

564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100, 6 x 10 e 4 x 1; • é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4;

usa dez símbolos para representar qualquer quantidade.

4.1 O valor posicional, ordens e classes

No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos.

Para compreender melhor o conceito de número e facilitar sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo



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corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7 ordens e 3 classes.

1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e cinquenta e seis unidades).

1 2 2 3 4 5 6

1ª ordem: 6 unidades2ª ordem: 5 dezenas3ª ordem: 4 centenas4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades5ª ordem: 2 dezenas de milhar = 20 000 unidades6ª ordem: 2 centenas de milhar = 200 000 unidades7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades

O quadro a seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456 e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe.

3ª classe: milhões 2ª classe: milhares 1ª classe: unidades simples

9ª ordem:

8ª ordem:

7ª ordem: 6ª

ordem:5ª

ordem4ª

ordem:3ª

ordem:2ª

ordem:1ª

ordem:

centena de

milhão

dezena de

milhão

unidade de milhão

centena de

milhar

dezena de

milhar

unidade de

milhar

centena simples

dezena simples

unidade simples

1 2 2 3 4 5 6

1.000.000 200.000 20.000 3.000 400 50 6

4.2 Valor relativo e valor absoluto

A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo 7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e 700.

34 EADPedagogia


Centena Dezena Unidade

Número 7 7 7Valor relativo do 7 700 70 7

7 7 unidades 7 unidades

7 0 7 dezenas 70 unidades

7 0 0 7 centenas 700 unidades

7 7 7

O quadro a seguir é conheci-do pelos professores das séries iniciais do Ensino Fundamen-tal como QVL (Quadro Valor de Lugar). Geralmente, utilizam as quatro primeiras ordens: unida-de, dezena, centena e unidade de milhar, o que possibilita ex-plorar os agrupamentos e trocas de uma ordem para outra.

4.3 Por que ensinar o sistema de numeração às crianças?

Para Nunes et al. (2005), a resposta está no fato de que sem um sistema de numeração é impossível trabalhar com quantidades. Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de maneira mais exata do que a percepção, bem como permite lembrar quantidades quando necessário. Os sistemas de numeração ampliam a capacidade de raciocinar sobre quantidades, logo são necessários para que os alunos venham desenvolver sua inteligência no âmbito da matemática, usando instrumentos que a sociedade lhes oferece.

Entretanto as autoras enfatizam que ensinar os sistemas de numeração tem apresentado vários obstáculos, principalmente na relação entre o desenvolvimento da criança e a complexidade da representação numérica usando um sistema de numeração, pois há uma ideia

Figura 20 – Quadro Valor de Lugar (QVL). Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_7HGlxI3gfRk/SMUj1sdtysI/AAAAAAAAAdk/-e1VfhoX_Ic/s1600-h/1.JPG

você sabia?



1U

nida

de

especialmente complexa, a da composição aditiva, que a criança precisa compreender.

As atividades de contagem mais comuns entre crianças consistem em contar objetos, estabelecendo uma correspondência um a um entre um objeto e um rótulo numérico que o designa. A compreensão do sistema numérico decimal requer mais do que a simples contagem de elementos; requer lidar simultaneamente com o valor absoluto e o valor relativo dos números. Essa habilidade está ausente na contagem de objetos (SPINILLO, 1994).

Ou seja, os números não são apenas uma sequência de palavras, como uma lista de compras, na qual um item não tem relação com o outro. Na sequência de números, cada item é igual ao anterior mais 1; 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 etc. E cada número pode ser composto através da soma de dois números que o precedem: 7 = 6 + 1 ou 5 + 2 ou 4 + 3. Portanto a sequência numérica supõe uma organização, denominada composição aditiva.

Além disso, este sistema tem uma organização de natureza multiplicativa: 20 indica 2 dezenas ou 2 x 10; 30 = 3 x 10; 40 = 4 x 10. Essa organização multiplicativa significa que as unidades contadas podem ter valores diferentes: podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades de milhar etc. Assim, para que uma criança compreenda o SND, ela precisa compreender a ideia de que existem unidades de valores diferentes no sistema e que as unidades podem ser somadas formando uma quantia única (NUNES et al, 2005).

5 COMO OPERAMOS COM ALGORITMOS?

Algoritmo, segundo Pais (2006), é um dispositivo utilizado para a resolução de situações-problema com a intenção de simplificar o cálculo. Ou, simplesmente,

Embora crianças menores sejam capazes de contar objetos usando a sequên-cia numérica, é a partir dos 6 anos que a maioria das crianças resolve problemas de contagem de dinheiro no mercadinho; porém, mesmo em crianças de 7 anos, podem-se observar dificuldades na compreen-são da composição aditiva (NUNES et al, 2005).Neste contexto, o papel do professor é promover a aprendizagem das ideias matemáticas envolvidas no SND, propondo ativida-des diversas (com material concreto, fichas, gudes, com dinheiro em situações de compras etc.) Exemplo: a contagem de dinheiro com notas de di-ferentes valores promove a compreensão da composi-ção aditiva.

atenção

36 EADPedagogia


um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de instruções, para obter uma solução para certo tipo de problema.

Por exemplo, quando queremos fazer um bolo, seguimos uma receita com uma série de etapas, tais como: primeiro bata bem o açúcar, a manteiga e os ovos, em seguida acrescente a farinha, o leite e o fermento e coloque no forno por 30 minutos. Esta sequência de etapas, que faz parte de uma instrução a ser seguida, é um algoritmo.

Na aritmética, você conhece os algoritmos (contas) usuais das quatro operações fundamentais.

5.1 Cálculo mental e algoritmos

Muitas vezes nos deparamos com pessoas que fazem conta de cabeça, sendo que algumas delas não foram sequer escolarizadas. Essas pessoas aprenderam na vida prática, como por exemplo, no comércio, nas transações bancárias etc., propriedades e estratégias matemáticas, devido às necessidades impostas pelas atividades que desempenham. Assim, devem realizar cálculos rapidamente e tomar decisões.

Estas experiências são importantes e devem ser levadas em consideração na sala de aula; pois, quando isto acontece, aproveita-se a oportunidade para fazer a interação entre o conhecimento matemático informal e o formal organizado, explicitar conhecimentos implícitos, desvelar propriedades e relações.

Alguns alunos fazem cálculos de cabeça porque foram estimulados de alguma forma para isso, outros têm mais dificuldade. Mas o professor deve prover os meios para que seu aluno utilize o cálculo mental, utilizando as propriedades das operações.

Algoritmo

é o processo de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhan-tes, em que se estipulam, com generalidades e sem restrições, regras formais para obtenção do resulta-do ou da solução de um problema (Novo dicionário Aurélio, 1ª edição, Editora Nova Fronteira).



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nida

de

Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:

1) Comutativa:Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma

3 + 9 = 9 + 3 = 12Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto:

3 x 4 = 4 x 3 = 12Genericamente: se a e b representam números naturais, então:

a + b = b + a e a x b = b x a2) Associativa:

Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a soma não se altera

(1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 101 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10,logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6)

Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os fatores, o produto não se altera

(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 603 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60

Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números naturais, então

(a + b) + c = a + (b + c)(a x b) x c = a x (b x c)

3) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração

3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 33 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3

Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale:a x (b + c) = a x b + a x ca x (b – c) = a x b – a x c

4) Distributiva da adição em relação à divisão(70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25

Genericamente: se a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale:(a+b) : c = a:c + b:c

38 EADPedagogia


5.2 Algumas estratégias de cálculo mental

Na soma, podemos:

Resolver uma soma: 34 + 25:

a) Primeiro decompomos o 34 = 30 + 4

e o 25 = 20 + 5;

b) Depois comutamos;

c) Em seguida associamos;

d) Por fim somamos, obtendo o resultado 59.

34 + 25=

(30 + 4) + (20 + 5) =

(30 + 20) + (4 + 5) =

50 + 9 =

59

Na subtração, podemos:

a) Resolver uma subtração fazendo uma adição.

Por exemplo: 34 – 25

25 para 30 = 5

30 para 34 = 4

5 + 4 = 9

b) Arredondar e fazer a compensação. Por

exemplo: 62-38

62 – 38 =

(62 – 40) + 2 =

2 + 2 = 24

c) Decompor o subtraendo (valor que será

subtraído). Por exemplo: 23 – 18

23 – 18=

(23–10) – 8=

13 – 8 = 5

d) Alterar o minuendo para evitar o “empresta

um”. Por exemplo: 500 - 365

500 – 365

(499 – 365) + 1 =

134 + 1 = 135

e) Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e

centenas. Por exemplo: 29 - 15

29 – 15 =

(20 – 10) + (9 – 5) =

10 + 4 = 14



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nida

de

Na multiplicação, podemos:

a) Decompor um dos fatores e usar a

propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15

7 x 15 =

(7 x 10) + (7 x 5) =

70 + 35 = 105

b) Utilizar a propriedade distributiva da

multiplicação em relação a soma. Por

exemplo: 32 x 5

(30 + 2) x 5 =

30 x 5 + 2 x 5 =

150 + 10 = 160

Na divisão, podemos:

a) Fazer simplificações sucessivas. Por exemplo:

512 : 32

512 : 32 =

256 : 16 =

128 : 8 =

64 : 4 =

32 : 2 =

16

b) Decompor e utilizar a propriedade distributiva.

Por exemplo: 75 : 5

75 : 5 = (70 + 5) : 5 =

70 : 5 + 5 : 5 =

24 + 1 = 25

As habilidades para fazer estimativas e cálculo mental dão autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da

[...] utilização da decomposição das escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproxima-do. Cálculos de adição e subtração por meio de estra-tégias pessoais e algumas técnicas convencionais. Cál-

: 2

: 2

: 2

: 2

40 EADPedagogia


culos de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais. Utilização de es-timativas para avaliar a adequação de um resultado e uso de calculadora para desen-volvimento de estratégias de verificação e controle de cálculos (BRASIL, 2000, p. 72, grifo nosso).

E, no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo mental, acrescentando operações com racionais na forma decimal.

5.3 Algoritmos e operações: um olhar

diferenciado

Nosso objetivo, nesta etapa, é o de mostrar maneiras diferentes de realizar as operações, sempre que possível, relacionando os algoritmos com o sistema de numeração decimal.

a) AdiçãoA técnica operatória ou algoritmo da adição sugere

que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se adicione da direita para a esquerda. Vocês já pensaram por que se faz isto? Será que poderíamos começar da esquerda para a direita?

A técnica do “vai um” (Adição com reserva)

Esta técnica é utilizada com o objetivo de facilitar a

Recomendamos ler os livros de Carraher; Carraher; Schliemann

(2003) e Kamii; Declark (1995), constantes nas

referências.

Algoritmo Operações Realizadas

2 5 3 1 = 2000 + 500 + 30 + 1

+ 4 2 6 7 = 4000 + 200 + 60 + 7

6 7 9 8 2000 + 500 + 30 + 1

leitura recomendada



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de

interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos exemplificar esta técnica utilizando a soma das parcelas 3.456 e 1.795.

A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que significa os símbolos 3456 e 1795 é impossível entender o processo do “vai um”. Ele se apoia na ideia de agrupamento.

É comum na adição com reserva (ou transporte) dizermos “vai um”. Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena etc. Para compreender melhor a técnica do “vai um”, vamos efetuar a adição de 1.345 + 1.487 (CENTURION, 1994, p. 157).

3 4 5 6 + 7 9 5

1

5 2 5 1

6 + 5 = 11 = 10 + 1,fica uma unidade, vai uma dezena1 + 5 + 9 = 15 dezenas = 1 centena e 5 dezenas, vai uma centena1 + 4 + 7 = 12 centenas = 1 milhar e 2 centenas, vai um milhar1 + 3 + 1 = 5 milhares

1 1

1 3 4 5

+ 1 4 8 7

8 2 3 2

Algoritmo Operações realizadas

2000 + 700 + 100 + 20 + 10 + 2

2000 + 800 + 30 + 2

2832

1000 + 300 + 40 + 5

1000 + 400 + 80 + 7

2000 + 700 + 120 + 12

10 + 2

100 + 20

800 30

Agrupamos uma dezena e uma centena

Aplicamos a proprie-dade associativa da adição.

Escrevemos o número no sistema posicional de numeração, onde valem os princípios aditivo e multiplicativo.

42 EADPedagogia


b) Subtração Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com

a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Vamos compreender o processo da subtração utilizando o ábaco. Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 de 563:

Representamos o número 563 no ábaco. A seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1. É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração.

A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725:

a) Representamos o 725 no ábaco: b) A seguir, das 5 unidades subtraímos 1:

c) Na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3 por isso desagrupamos uma centena, convertendo-a em dez dezenas:

5 6 3 5 6 3

1 4 2

5 6 3-1 4 2

4 2 1

No algoritmo

7 2 54 3 1

-7 2 54 3 1

-

4

7 2 54 3 1

1

-

4

6



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de

d) Agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3;

e) Finalmente, das 6 centenas retiramos 4 e obtemos 294.

6 O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO

Geralmente, trabalhamos na escola com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão sem fazer maiores relações com os problemas matemáticos que envolvem tais operações. O pesquisador francês Gérard Vergnaud estudou essas operações de modo a trabalhar os conceitos envolvidos nos problemas matemáticos e relacionados com tais operações.

Esse pesquisador desenvolveu a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) que é uma “teoria cognitivista que [...] tem uma forte herança da teoria de Piaget e, também, alguns pontos da teoria de Vygotsky” (SANTANA, 2010, p. 24).

Para Vergnaud (1982, 1996), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas, ou de maneira mais simples, o Campo Aditivo é, ao mesmo tempo, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permite analisar essas situações como tarefas matemáticas. O Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ou o Campo Multiplicativo é definido no mesmo sentido do aditivo sendo que as operações são as de multiplicação e divisão.

Antes de estudar sobre a classificação das situações-problema de aditivas, elabore seis situa-ções-problema de adição e/ou subtração. Siga o estilo dos que geralmente você trabalha em sua sala de aula. Essa atividade deverá ser postada. A atividade tem por objetivo mapear as categorias que você utiliza na sua prática pedagógi-ca. Ao final desta unidade, retome as situações-problema que você elaborou e verifique se trabalha com todas as categorias.

sugestão de atividade

7 2 54 3 1

1

-

9 4

67 2 54 3 1

1

-

6

2 9 4

44 EADPedagogia


Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade, elas fazem parte de um mesmo Campo Conceitual, o das Estruturas Aditivas, ou seja, essas operações apresentam relações, propriedades, dificuldades e contextos que as fazem pertencer a um mesmo universo de estudo.

Nós, enquanto pesquisadores, procuramos caracterizar esse Campo Conceitual, tecendo considerações a respeito dos diferentes tipos de situações-problema que envolvem, especificamente, a adição e a subtração. Neste texto, adotamos os termos situação-problema e situação como sinônimos. Usamos as duas formas para nos referirmos aos problemas matemáticos em questão.

Como colocamos anteriormente, para a Teoria dos Campos Conceituais (TCC), o Campo Aditivo é compreendido como o conjunto das situações-problema cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, bem como o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Além disso, as situações são classificadas em seis categorias. De acordo com Magina (2001), tal classificação foi feita baseada em relações matemáticas e nas relações psicológicas que a criança precisa fazer para compreender as situações. Colocamos a seguir seis categorias de situação-problema aditiva, que foram inicialmente definidas por Vergnaud (1982), e que foram redefinidas por Santana (2010). Tal classificação consiste nas seguintes categorias:

a) composição;

b) transformação;

c) comparação;

d) composição de várias transformações;

e) transformação de uma relação; e

f) composição de relações.

Para que você possa entender a que estamos nos referindo, na sequência apresentamos as definições e exemplos de cada uma das categorias.



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de

a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo.Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem bombons de chocolate e na segunda tem bombons de morango. Veja, abaixo, um desenho das caixas de bombons de Lia.

Quantos bombons Lia tem ao todo?

Segundo a TCC, podemos trabalhar com diagramas que facilitam a compreensão da situação. Observe como fica o diagrama para o exemplo 1:

O diagrama indica as partes que se juntam para determinar o todo. Neste exemplo, as partes são os seis bombons de chocolate e quatro de morango, que vão compor ao todo dez bombons.

b) Transformação: nessa categoria são classificadas as situações que têm um estado inicial, uma transformação e um estado final.

Primeira caixaBombons de chocolate

Segunda caixaBombons de morango

Composição

Parte 6

+ ? Todo

Parte 4

46 EADPedagogia


Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00. Com quantos reais Maria ficou?

Para a categoria transformação, o diagrama tem o formato que aparece a seguir, colocado no contexto do exemplo 2:

Observe que o diagrama evidencia um estado inicial que passa por uma transformação para chegar a outro estado que chamamos de final. Na categoria transformação, sempre ocorre uma mudança num determinado tempo. No exemplo 2, o estado inicial é R$ 12,00, e a transformação negativa é R$ 4,00, e o estado final (quantidade de reais que Maria ficou) será R$ 8,00.

c) Comparação: nessa categoria, são classificadas as situações nas quais é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido.

Exemplo 3: Observe o desenho abaixo e responda: Quantos anos tem Carlos?

Transformação

Estado inicial12

-4

?

Estado final



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de

Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no contexto do exemplo 3:

Observe que o diagrama da comparação indica uma relação entre referente e referido. Na categoria comparação, sempre é feita uma relação entre duas quantidades. Neste exemplo, a idade de Taís é de 5 anos (referente), Carlos tem 7 anos a mais que Tais (relação), dessa forma, Carlos tem 12 anos (referido).

d) Composição de várias transformações: são situações nas quais são dadas transformações e se busca uma nova transformação a partir da composição das transformações dadas.

Exemplo 4: Marta saiu de casa, gastou R$ 7,00 para almoçar e depois gastou R$ 5,00 para jantar. Quanto Marta gastou ao todo?

Para a categoria composição de várias transformações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama, usamos o exemplo 4:

Comparação

Referente 6

Relação+7

?Referido

Composição de várias transformações

Transformação -7

+

-5Transformação

? Transformação

48 EADPedagogia


Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para dar lugar a uma única transformação, sendo que a transformação é o gasto de R$ 7,00, a outra transformação é o gasto de R$ 5,00 e a transformação resultante ou única é de R$ 12,00.

e) Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma relação, e se busca uma nova, que é gerada a partir da transformação da relação dada.

Exemplo 5: Saulo devia R$ 8,00 a Glebson, pagou R$ 5,00. Quanto ele deve agora?

Para a categoria transformação de uma relação, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama usamos o exemplo 5:

Neste exemplo, é dada uma relação e uma transformação que ocorreu nessa relação gerando uma nova relação. A primeira relação estabelecida entre Saulo e Glebson é um débito de R$ 8,00, ocorrendo uma transformação com o pagamento de R$ 5,00, ficando a nova relação de débito no valor de R$ 3,00.

f) Composição de relações: duas ou mais relações se compõem para dar lugar a outra relação.

Exemplo 6: Observe a imagem a seguir e responda: Quantas figurinhas Ana deve ao todo?

Transformação de uma relação

Relação-8

+5

?

Relação



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de

Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos o exemplo 6:

Neste exemplo, são dadas três relações que se compõem para dar lugar a uma outra relação. A primeira relação é um débito de 4 figurinhas, a segunda relação é um débito de 3 figurinhas e a terceira, um débito de 6 figurinhas. Ao compor essas relações tem-se no total um débito de 12 figurinhas.

É possível observar que, nessas seis categorias, podem ser trabalhadas as operações de adição e/ou subtração, bem como conceitos

Composição de relações

Relação -4

+

? Relação

+

-3Relação

-6Relação

50 EADPedagogia


inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles em cada tipo de situação.

Quadro 1 - Alguns conceitos envolvidos nas categorias de situações-problema

Categorias de situações Conceitos

Composição Compor, juntar, parcela, total

Transformação Transformação de medida, transformação temporal

Comparação Comparar, relação entre medidas

Composição de várias transformações

Composição de medidas, transformação total

Transformação de uma relação Transformação de relação

Composição de relações Composição de relações

Fonte: construção dos autores.

Fique por dentro.Análise da qualidade das aprendizagens relacionadas ao campo aditivoNo ano de 2009, realizamos, no estado da Bahia, um estudo diagnóstico com 5807 estudantes do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Pesquisamos sobre o Campo Aditivo, com a finalidade de repensar as condições de ensino, de maneira que se torne mais acessível à compreensão da criança. Assim, desenvolvemos uma pesquisa que denominamos de PEA (Pesquisa das Estruturas Aditivas) e trabalhamos em oito regiões distintas do Estado. Os resultados gerais revelam um quadro preocupante, em relação ao domínio desse Campo Conceitual pelos estudantes. Vejam os gráficos a seguir que indicam o desempenho geral dos estudantes de cada ano escolar em cinco categorias.

Observe, na Figura 21, que os estudantes de todos os anos escolares apresentam melhores desempenhos nas situações de composição (C) e transformação de uma relação (TR), seguida pela transformação (T). Uma possível explicação para esse de-sempenho pode ser encontrado em Santos (2006). Essa autora realizou uma análise de livros didáticos utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas pú-blicas de municípios do Sul da Bahia. Dentre seus principais resultados concluiu que as situações-problema mais abordadas pelos livros didáticos são as de composição, sendo que a maior parte dos livros adotados nem chegam a abordar as situações de transformação e de comparação. Acreditamos que o livro seja o maior apoio do professor e dessa forma tem influência direta em seu trabalho, o que justificaria o melhor desempenho dos estudantes na categoria composição. Contudo, outros es-tudos podem ser realizados para se identificar os reais fatores que influenciam esse desempenho dos estudantes.



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nida

de

Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.

Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = transformação de uma relação; CT = composição de várias transformações.

Na Região Sul da Bahia, coletamos dados em nove municípios envolvendo 969 es-tudantes, sendo 212 do 2º ano; 233 do 3º ano; 263 do 4º ano e 261 do 5º ano. A Figura 22 mostra o desempenho geral por ano escolar. Observa-se que nenhum dos anos escolares alcançou a média 50% de acerto.

52 EADPedagogia


Figura 22 - Desempenho geral por ano escolar dos estudantes do Sul da Bahia.

Esses resultados se referem às respostas dadas pelos estudantes num teste compos-to por 18 situações-problemas de adição e de subtração que envolvem as categorias apresentadas acima, e essas situações são similares às que colocamos como exemplo para cada uma das categorias.

Diante desse contexto é possível afirmar que os resultados trazem indícios de que se faz necessário planejar ações que visem sanar possíveis dificuldades que estejam ocorrendo no ensino e também na aprendizagem do Campo Aditivo. Baseados nesses e em outros estudos, bem como no trabalho que estamos desenvolvendo com profes-sores dos anos iniciais da Região Sul da Bahia, colocamos a seguir algumas sugestões para o trabalho com essas operações.

Fonte: Santana (2010).

7 OS ERROS COMO PONTO DE PARTIDA PARA A APRENDIZAGEM

7.1 O papel do erro no processo de aprendizagem

Muitas vezes, abordamos o erro do estudante, numa certa atividade, como um fator de punição, ou seja, se o estudante erra, apontamos como aquele que não aprende, não tem atenção, tem dificuldades, não tem base. Contudo precisamos analisar os erros e usá-los como ferramenta de aprendizagem. Cury (2007) defende a ideia de que a análise de erros pode ser uma metodologia de ensino. Para a autora isso pode acontecer quando essa análise leva os estudantes a questionarem as suas próprias soluções



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nida

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e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a mesma ideia da autora.

Santana (2010) aponta erros cometidos pelos estudantes dos anos iniciais ao resolver situações-problema aditivas. A autora coloca que dentre os possíveis erros cometidos por esses estudantes, podemos ter: alguns ligados ao cálculo numérico que são os relacionados às operações a serem realizadas; e os erros ligados ao cálculo relacional que são aqueles atrelados às relações de pensamento que os estudantes precisam fazer para a compreensão da situação-problema. Vejamos alguns exemplos.

7.2 Erro no cálculo numérico

A Figura 23 a seguir traz um exemplo de erro ao armar a operação.

Figura 23 - Exemplo de erro ao armar a operação. Fonte: acervo de pesquisa dos autores.

Observe que o estudante escolheu a operação correta, o que nos leva a pensar que ele compreende as relações que compõem a estrutura da situação apresentada. Contudo ele ainda não compreende as regras do sistema de numeração decimal e as do algoritmo da subtração. O professor, enquanto mediador, poderá conduzir o estudante a refletir sobre a maneira como ele registrou a operação e sobre as impossibilidades de retirar 13 de 9, ou seja, o valor maior (13) ser retirado do menor (9), além de a unidade ter sido colocada como dezena.

A Figura 24 a seguir apresenta a resolução feita por outro estudante para a mesma situação (mudança apenas nos nomes).

Problema 13. Roger tem R$ 9,00. Everton tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a menos?

Ele tem 8 reaisRespostaResolução - 9 13 8

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Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.

Observe que o estudante parece compreender as relações que compõem o problema, mas ele erra ao efetuar a operação. O professor pode trabalhar o erro com esse estudante, levando-o a refletir sobre o resultado apresentado. Uma maneira de levar o estudante a uma reflexão é pedir a ele que adicione R$5,00 a R$9,00. Fazendo isso, o estudante poderá encontrar o valor que Cláudio possui. Contudo, se o estudante faz tal operação, pode perceber que a sua subtração está incorreta.

7.3 Erro no cálculo relacional

A Figura 25 traz um exemplo de erro no cálculo relacional. O estudante trocou a operação, isto é, ao invés de adicionar ele subtraiu.

Figura 25 – Exemplo de erro no cálculo relacional.

Observe que o estudante não compreende que Igor tem mais

Igor tem 4 balões a mais que ela. Quantos balões tem Igor?

Igor tem 5 baloesRespostaResolução 9

-4 5

Problema 5. Bruna e Igor têm balões. Veja o desenho abaixo.

Os balões de Bruna.

Problema 13. Leila tem R$ 9,00. Cláudio tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a menos?

Leila tem menos que Claudio 5 reais

RespostaResolução

13- 9 05

13



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balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o estudante à reflexão através da interpretação da situação-problema. Se o estudante compreende que Igor tem mais balões, ele poderá compreender que 5 balões são menos que 9, e assim poderá verificar que a operação correta é a adição.

Outro procedimento com o uso da operação inversa, que ocorre com frequência, é quando esse uso vem atrelado ao uso de palavras-dica que fazem parte do enunciado da situação. Os estudantes costumam fazer associações como: se tem “ganhar” é de mais; se tem “perder” é de menos.

A Figura 26 a seguir apresenta um exemplo do possível uso da palavra-dica. Observe que o estudante adicionou ao invés de subtrair. Acreditamos que o estudante possa ter escolhido a operação inversa influenciado pela presença da palavra “mais”. Essa nossa afirmativa é decorrente das entrevistas realizadas com os estudantes.

Figura 26 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.

A Figura 27, a seguir, apresenta outro procedimento com erro no cálculo relacional. Observe que o estudante não registrou nenhuma

Mário tem 5 carrinhos a mais que Pedro.

Quantos carrinhos tem Pedro?

Pedro tem13 carrinhos.

RespostaResolução 8+513

3º) Mário e Pedro têm carrinhos de brinquedo.

Veja na ilustração os carrinhos de Mário.

Carrinhos de Mário

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operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo de procedimento inviabiliza uma análise mais profunda das relações que o estudante possa ter feito para colocar essa resposta. Diante desse tipo de procedimento, o professor precisa questionar o estudante para que ele possa expor a compreensão que teve da situação e só assim o professor poderá intervir de maneira a alcançar a aprendizagem do estudante.

Figura 27 - Erro no cálculo relacional com repetição do enunciado.

Por fim, deixamos para o professor alguns pontos para a sua reflexão:

• precisamos analisar o ensino dos conceitos aditivos, pois eles ultrapassam o algoritmo da adição e da subtração e chegam a conceitos como compor, transformar, comparar, dentre outros;

• o ensino de resolução de situações-problema precisa ser iniciado com a interpretação das mesmas. O papel do professor tangencia a mediação entre a situação colocada e a interpretação que o estudante deve fazer. Com a compreensão da situação fica mais fácil escolher a operação a ser realizada;

• o uso de situações desafiadoras e que sejam ligadas ao cotidiano do estudante o faz ter maior interesse em interpretar e resolver, isto é, o estudante se envolve e se concentra mais quando a situação desperta o seu interesse.

Sabendo que Artur tem 6 gudes a mais que Everton. Com quantas gudes ficou Everton?

14RespostaResolução

Problema 8. Artur e Everton participaram de um jogo de gudes. No final do jogo, Artur ficou com as gudes que estão desenhadas abaixo.

As gudes que ficaram com Artur



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7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração

• Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação a ser realizada. Evite responder ou incentivar a colocação de perguntas como: “é de mais ou de menos?”; “é para somar ou para diminuir?”. Ao fazer essa pergunta, o estudante busca apenas fazer uma “conta” sem entender o contexto da situação apresentada.

• Incentive o estudante a responder a situação e compreender se a resposta dada é coerente com o que foi solicitado na situação.

• Diversifique as situações apresentadas para os estudantes, usando situações que tenham, por exemplo: opções de escolha; contextos diferentes; figuras, e que as informações que essas figuras trazem precisem ser utilizadas dentro da resolução; e que as situações sejam próximas da realidade do estudante.

• Busque trabalhar com as seis categorias de situações-problema aditivas. Esse tipo de trabalho favorece o desenvolvimento das habilidades do estudante no que se refere às operações de adição e subtração.

Finalmente, disponibilizamos os nossos endereços eletrônicos para que o professor possa entrar em contato com nossa equipe, seja para esclarecer suas dúvidas, nos apresentar sugestões, discutirmos sobre pontos apresentados aqui, ou ainda para se integrar a equipe do PEA. Também, nos colocamos à disposição para discutirmos pontos sobre o ensino e a aprendizagem de outros conteúdos matemáticos.

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ATIVIDADES

1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2 (quilômetros quadrados).

a) Quantos algarismos tem esse número? ________________

b) Quantas classes tem esse número? ____________________

c) Qual o algarismo da centena simples? ____________________

d) Qual o algarismo da unidade de milhar? ___________________

e) Qual o algarismo da centena de milhar?___________________

f) Qual o valor posicional do algarismo da dezena de milhar?

_________________________

g) Qual o valor absoluto do algarismo de dezena simples?

_________________________

h) Escreva este número por extenso: ______________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

2) Pesquise os sistemas de numeração das civilizações egípcia, romana e mesopotâmica. Depois, descreva suas características, comparando suas semelhanças e diferenças.

3) Quais dos aspectos históricos abordados sobre os números naturais você levaria para a sala de aula dos anos iniciais do Ensino Fundamental? Que abordagem metodológica você utilizaria para trabalhá-los com os alunos?

4) Observe as figuras a seguir que corresponde a resposta dada por um estudante do 3º ano do Ensino Fundamental ao resolver uma situação aditiva que envolve conceitos de transformação.

ATIVIDADES



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Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.

a) Como você trabalharia esse erro com seu aluno?

b) Você diria que o estudante respondeu corretamente a situação abaixo? Como você trabalharia com o estudante as diferenças entre o algoritmo e a resposta dada?

Figura 29 - Exemplo de erro lógico.

5) Classifique as situações a seguir conforme a Teoria dos Campos Conceituais e resolva-as, utilizando os diagramas de Vergnaud.a) Geovana recebeu, na 1ª quinzena de janeiro, 478 mensagens no

Orkut e na 2ª quinzena, 699. Qual o total de mensagens recebidas por Geovana durante todo o mês de janeiro?

b) Josivan tinha 118 cadernos. Ganhou alguns e agora tem 205. Quantos cadernos ele ganhou?

Problema 10. No final do jogo de gude, Paulo ficou com 14 gudes. Sabendo que Paulo tem 6 gudes a mais que Jonas. Com quantas gudes ficou Jonas?

8 gudes Jonas ficou.RespostaResolução 3

+5 8

Problema 3. Carine tinha sorvetes em seu isopor. Sua prima tomou alguns dos sorvetes de Carine.Veja o desenho.

Sorvetes que Carine tinha. Sorvetes que Carine tem agora.

Carine quer saber quantos sorvetes dela sua prima tomou.

Carine tinha13 sorvetes

RespostaResolução 8+513

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c) Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela. Quantos reais tem Cláudio?

d) Telma e Marilene arrecadaram uma quantia de dinheiro para comprar bandeirolas para enfeitarem suas ruas. Cada quilo de bandeirolas custa R$ 20,00. Veja os valores que elas já têm:Telma: R$ 160,00 Marilene: R$ 80,00

i. Quem pode comprar mais bandeirolas?ii. Quantos quilos de bandeirolas a mais ela pode comprar?

e) Ana e Bete têm dinheiro para comprar sorvete. Bete tem R$ 4,00 a menos que Ana. Sabendo-se que Bete tem R$ 8,00, quantos reais tem Ana?

f) Bianca guardou uma certa quantia do seu salário na caderneta de poupança. No mês seguinte, quando recebeu o salário de R$ 510,00, ela ficou com R$ 830,00. Quantos reais ela conseguiu guardar no mês anterior?

g) Silvana devia R$150,00 a Alda. Pagou R$ 70,00. Quanto Silvana ficou devendo a Alda?

h) Vivian saiu de casa com certa quantia, gastou R$ 6,00 em lanches, depois gastou R$ 3,00 em refrigerante. Quanto Vivian gastou ao todo?

RESUMINDO

Nesta unidade, abordamos a construção do conceito de número pela criança, alguns aspectos históricos relacionados com o surgimento do nosso sistema de numeração decimal e suas operações. Entendendo a Aritmética como a parte da Matemática que lida com números e suas propriedades, encontramos nas situações-problema uma forma acessível para a construção dos fatos básicos das operações, para a constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo como bem explicita os PCN (BRASIL, 2000, p.72).

Vimos também que as situações-problema aditivas podem ser classificadas segundo o seu grau de complexidade e os conceitos nelas

RESUMINDO



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envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos ter situações de: composição, transformação, comparação, composição de várias transformações, transformação de uma relação e composição de relações.

Em geral trabalhamos com as situações-problema aditivas sem nos atentar que os conceitos e grau de complexidade nelas envolvidos vão além da resolução do algoritmo da adição ou da subtração. Faz-se necessário trabalhar os algoritmos, mas precisamos conduzir o aluno para a compreensão da situação e depois de compreender é que será definida qual operação será utilizada para a resolução. Além disso, o professor precisar auxiliar no desenvolvimento do senso crítico do aluno e, ao se tratar de resolução de situações-problema não é interessante apenas resolver, mas refletir sobre os resultados encontrados: o valor que estou colocando como resposta é coerente com o contexto e o que foi solicitado na situação? Questões como esta devem fazer parte das reflexões finais de resolução.

REFERÊNCIAS

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BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1a a 4a série): Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental, 2. ed. Brasília, 2000.

BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História da Matemática e no Ensino de Matemática. Tese de Doutorado. São Paulo: FEUSP, 1997.

CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-IME/USP, 1992.

CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na Vida Dez, na Escola Zero. 13. ed. São Paulo: Cortez, 2003.

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62 EADPedagogia


CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com a resposta dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

CENTURION, M. Número e operações. São Paulo: Cortez, 1994.

DUARTE, N. O ensino de matemática na educação de adultos. 8. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 2000.

IMENES, L. M. A numeração indo-arábica. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Scipione, 1988.

KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. São Paulo: Papirus, 1995.

KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995.

MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001.

NUNES et al. Educação Matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.

NUNES, A. F. V. B.; SOLEDADE C. B.; REIS, S. M. B. dos. Sorobã para deficientes visuais, cálculo direto para operações matemáticas. Salvador-BA: SUD/SEC, 1998.

PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M. Soroban uma ferramenta para a compreensão das quatro operações. Itabuna: Via Litterarum, 2006.

PEIXOTO, J. L. B.; CAZORLA, I. M.; VITA, A. C. Inclusão na Escola: um bate-papo com os professores. Ilhéus: Editus; Itabuna: Via Litterarum, 2011.

PIAGET, J. Introdução a la Epistemologia Genética. Volumen I: El Pensamiento Matemático. Buenos Aires: Paidos, 1978.

SANTANA, E. R. S. Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a



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aprendizagem do estudante? Tese (doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010.

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ZUNINO, D. L. de. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.

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Suas anotações

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ESPAÇO EFORMA

OBJETIVOS


y analisar e discutir situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento geométrico, explicando e resolvendo situações-problema;

y elaborar e reelaborar estratégias baseadas em aprendizagens sobre a forma e a posição dos objetos no espaço (e no plano), bem como suas transformações;

y explorar os conceitos de intuição e representação, para fins de desenhar caminhos metodológicos;

y planejar, implementar e avaliar atividades e aulas que estimulem o

desenvolvimento do pensamento geométrico.

2ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS

Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas no dia a dia encontramos vários desafios que exigem raciocínios sobre as formas dos objetos e coisas. Até mesmo tarefas simples como decidir o melhor trajeto a ser percorrido com o carro, dispor os móveis em um cômodo, dispor roupas ou objetos em uma gaveta, ou mesmo escolher um recipiente adequado para acomodar um determinado volume, podem exigir escolhas que definirão o melhor aproveitamento do espaço em questão. Da mesma maneira, as atividades profissionais do pedreiro, da confeiteira, da costureira e muitas profissões necessitam interpretação e transformação das formas dos objetos para produzir formas novas, como por exemplo: projetar e executar as ações necessárias sobre os materiais disponíveis e construir uma casa, um bolo de aniversário decorado, um vestido.

Cada campo da Matemática possui conhecimentos cujo estudo pode contribuir para desenvolvermos ainda mais modalidades específicas do nosso raciocínio que aprendemos com as tarefas do dia a dia. O raciocínio sobre o espaço, a forma e a posição das coisas é necessário para a maioria de nossas ações e na Matemática a organização desses conhecimentos corresponde ao campo das Geometrias.

Quando falamos em pensamento geométrico (ou raciocínio geométrico) nos referimos aos modos e estratégias de pensar que têm como características essenciais as competências/capacidades de analisar objetos no espaço (e no plano) de modo a:

• reconhecer e detalhar as características gerais (tipos) e específicas das formas (composição), bem como descrever os procedimentos/processos para construção/obtenção destas;

• realizar e reconhecer os resultados de transformações na forma e na posição de objetos, bem como descrever os


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de

procedimentos/processos para efetuá-las e revertê-las;

• comparar as formas e posições dos objetos, a fim de estabelecer as relações necessárias para compreensão/explicação de fenômenos e resolução de problemas.

Outros aspectos do pensamento geométrico estão relacionados ao bloco de conteúdos ‘Grandezas e Medidas’, mas é necessário que o professor compreenda muito bem as características essenciais deste tipo de pensamento para não incorrer no erro comum de trabalhar apenas com números e medidas e deixar de lado as dimensões mais importantes do raciocínio sobre o espaço e a forma. Na prática, estas habilidades são estimuladas com mais vigor quando o professor constrói e analisa com seus estudantes situações-problema sobre a forma e a posição dos objetos, sem recorrer a medidas e cálculos numéricos.

A capacidade de transformar o espaço intencionalmente começa a ser desenvolvida desde o nascimento e se potencializa nas atividades culturais das quais as crianças participam. Nas brincadeiras infantis como amarelinha, pula-corda e jogos de roda, por exemplo, são estimuladas percepções fundamentais sobre o espaço como as noções de lateralidade, direção, sentido, distância, trajeto, contorno, superfície, volume etc.

A maneira como a cultura contribui para o desenvolvimento do raciocínio a partir das nossas experiências de exploração do mundo nos leva a perceber que a geometria da exploração do espaço é mais familiar para as crianças no início da escolaridade do que a geometria das formas geométricas planas. Desta maneira, mesmo não sendo formas idealmente planas, a fôrma usada para assar pizzas e a roda da bicicleta tornam-se modelos para a criança compreender o círculo, desenhado com o compasso, porque

Atividades envolvendo cálculos e medidas nem

sempre estimulam o desenvolvimento das

habilidades essenciais do pensamento geométrico!

atenção

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são mais conhecidas, experimentadas.Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser

exploradas intencionalmente pelo professor, com auxílio de várias formas de registro como desenhos, esquemas, mapas, maquetes com o objetivo de ampliar a capacidade das crianças identificarem as características dos objetos e do espaço que estão relacionadas a situações-problema do dia a dia e projetar as transformações na forma e na posição que forem necessárias para encontrar soluções.

Assim, num primeiro momento, a cultura escolar pode interagir com as culturas dos estudantes e contribuir para prepará-los para suas atividades cotidianas. Num segundo momento, o professor pode apoiar-se nas formas do pensamento geométrico desenvolvidas para avançar nos estudos, rumo ao estudo da geometria mais sistemática e dedutiva – formação que se intensifica nos anos finais do Ensino Fundamental.

2 CONCEITOS BÁSICOS PARA CONSTRUÇÃO METODOLÓGICA

Muitos pesquisadores conhecidos, como Jean Piaget, criaram modelos para explicar como nosso raciocínio se

Nos Parâmetros Cur-riculares Nacionais os conteúdos essenciais

da aprendizagem da Geometria estão

organizados no bloco “Espaço e forma”. Vale

a pena conhecer!Brasil (1997, 1998,

2002).

Figura 30 - Crianças em brincadeira de roda.Fonte: http://0.tqn.com/d/houston/1/0/g/H/-/-/friendship-circle-clip-art.jpg


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desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas que habitam o espaço e transformá-las de modo intencional. Estas teorias organizam conhecimentos muito úteis para o professor, uma vez que ajudam a compreender as características dos conhecimentos matemáticos e a planejar atividades que potencializem as aprendizagens mais significativas.

Neste curso, a título de introdução, estudaremos a forma, a partir do pressuposto de que a mente lida com o espaço utilizando dois conceitos centrais: representação e intuição. Estes conceitos constituem uma síntese de ideias presentes nos modelos piagetiano, vygotskyano e na Teoria dos Registros de Representação Semiótica e serão aqui introduzidos para nos permitir uma primeira aproximação didática com os fenômenos ligados a aprendizagem da geometria.

O objetivo de discutirmos esses conceitos é nos preparar para uma ação mais imediata em nossas aulas, criando esquemas metodológicos que nos auxiliem a problematizar situações de exploração do espaço e da forma. A partir dos conceitos de intuição e representação também podemos situar melhor algumas questões relativas ao significado e ao sentido e às noções de concreto e abstrato em Matemática.

2.1 Representação e intuição

Definimos representação como a capacidade de produzir registros sobre coisas que percebemos através de nossos sentidos. Esses registros podem ser imagens formadas apenas nas nossas mentes ou serem concretizadas em registros feitos de várias formas, utilizando nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos, esquemas, mapas etc.).

Utilizamos as representações para nos referirmos aos conceitos e ideias matemáticas, de modo a registrar as características que consideramos importante para poder manipular o objeto ou lidar com ele em nossa mente, raciocinar sobre ele, tirar conclusões. Por isso, é uma aprendizagem escolar importante saber selecionar a representação mais

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adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber quantas pirâmides podem ser construídas com uma folha de cartolina pode ser mais interessante utilizar sua planificação do que a figura sólida.

Nossa intuição é uma mistura de percepção e entendimento, formada por um conjunto de conhecimentos que ajuda a dar significado às nossas percepções de modo mais ou menos imediato e consciente.

Exemplos:

• Quando cai um objeto no chão, longe da nossa vista, ouvimos o barulho e, às vezes, identificamos imediatamente o que caiu. O que ouvimos evoca em nossa mente algum conhecimento que temos e que está ligado à audição.

• Quando tentamos adivinhar (sem olhar) qual objeto está escondido dentro de uma sacola, nossas mãos tocam o objeto e nossas mentes evocam imagens e conhecimentos ligados ao nosso tato.

Nos dois casos é fácil perceber que nossa intuição mobiliza rapidamente conhecimentos ligados às nossas experiências sensoriais e, quando não encontra conhecimentos que ajudam a compreender o que estamos percebendo, fica difícil até formar alguma imagem ou entender o que está acontecendo. Então, num segundo momento, conscientemente, nos esforçamos para procurar em nossas mentes algo que ajude na compreensão.

Quanto mais ricas (em variedade e detalhes) são as nossas experiências sensoriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo consciente, mais se desenvolve nossa intuição. Intuição e representação são competências que devem ser estimuladas no trabalho com todos os conteúdos de Matemática em qualquer nível de ensino.

No início deste capítulo, falamos em “pensamento geométrico” e com estes novos conceitos que estamos abordando podemos falar em “intuição geométrica” e em “representação do espaço”. Agora também podemos destrinchar as competências gerais do pensamento geométrico em habilidades (mais específicas). Desta forma, o pensamento é caracterizado em vários níveis, pelas habilidades de intuir e representar


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as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las de modo consciente para:

• posicionar e localizar objetos;• analisar movimentos de pessoas e objetos;• orientar-se, utilizando como referência as

posições dos objetos;• planejar e realizar transformações na forma e

na posição dos objetos;• para dimensionar (mensurar) o espaço e

objetos;• perceber e utilizar com criatividade as

regularidades da forma e posição;• criar modelos para interpretar fenômenos e

resolver situações-problema;• comunicar suas ideias geométricas, utilizando

diversas linguagens.

Da mesma forma em que falamos em “intuição e representação geométrica”, podemos falar em “intuição e representação numérica” ou “intuição e representação aritmética” como competências que caracterizam o raciocínio numérico/aritmético. Discutiremos melhor a extensão dos conceitos básicos de intuição e representação para outras áreas da Matemática nos encontros presenciais. Por ora, vamos nos concentrar em entender como os conhecimentos matemáticos adquirem significado e sentido para nós e porque temos dificuldades em aprender certas coisas.

2.2 Significado e sentido

Quando mostramos o significado de uma operação para a criança, fazemos como o dicionário faz com palavras.

Significado:

1) Expressão ou palavra conhecida que é equiva-lente ou substitui o ter-mo; 2) Sinônimo conheci-do; 3) Noção ou conceito.

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Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde está situado seu coração.Exemplo 2: também dizemos que a corda dá a volta em torno da criança.

Exemplo 3: Dizemos: Três vezes um é a mesma coisa que somar um mais um, mais um.

Representamos: 3 x 1 = 1 + 1 + 1

Para um conhecimento fazer sentido, além do indivíduo compreender seu significado é preciso que ele aceite que sua lógica é válida (não é absurda) e reconheça os contextos de validade e aplicação dos conhecimentos. Inicialmente, tudo que contraria a intuição não faz muito sentido. Isto é, tudo que nossa percepção capta, mas que não conseguimos compreender, dificilmente vai fazer sentido para nós. Para dar sentido as coisas, fazemos uso de nossas capacidades de intuir e representar.

2.3 Concreto e abstrato

Essa definição de concreto nos indica que a característica fundamental do que é concreto é apresentar-se tal como na realidade, ou seja, para ser concreto não é preciso ser palpável, mas sim evocar ou representar o objeto

Sentido

Valor pessoal que o indi-víduo atribui a um conhe-cimento. Se é pessoal, as motivações e todas as vi-vências e aprendizagens influenciam esse processo de valoração.

saiba mais

Quanto mais ricas (em va-riedade e detalhes) são as nossas experiências sen-soriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo consciente, mais se desenvolve nossa intuição e, a partir dela amplia-se nossa capacidade de atri-buir sentido ao que apren-demos.

Concreto

Diz-se de coisa ou de re-presentação que se apre-senta de modo comple-to, tal como lhe é próprio apresentar-se na sua rea-lidade existencial.

Figura 31 - Crianças em brincadeira de corda.Fonte: http://blogs.elpais.com/.a/6a00d8341bfb1653ef0162fe4b3314970d-800wi


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sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à lembrança experiências positivas pode ser bastante concreta, mesmo que este lugar já nem exista mais. Podemos lembrar propriedades como cheiro, cor, temperatura, textura e até sabores.

Estamos mais acostumados a traduzir a palavra “concreto” como sendo sempre algo em sua forma material, palpável, o que, aliás, não está errado porque é um dos significados que a palavra possui e que está presente nos dicionários. Contudo, para o ensino de Matemática, esta definição é limitada porque não deixa clara a relação com o processo de abstrair, que em muitos dicionários é descrito como o processo de separar mentalmente para tomar em consideração uma propriedade que não pode ter existência fora do todo concreto ou intuitivo em que aparece (por exemplo, abstrair a cor ou a forma de um objeto).

A operação de abstrair implica lidar mentalmente com as propriedades do objeto sem a necessidade de que ele esteja presente. A imagem do lugar da infância que demos como exemplo pode ser examinada mentalmente e podemos realizar várias tarefas cognitivas sobre ela, sem a necessidade de ir até o lugar. Podemos nos concentrar, por exemplo, em tentar comparar as dimensões daquele lugar com as da nossa sala de aula ou podemos tentar focalizar a forma como nos movíamos naquele espaço. Essas operações constituem abstrações e estão muito ligadas às imagens que somos capazes de formar e ao grau de concretude que elas assumem para nós.

Estes conceitos nos ajudam a avançar em relação a um mito muito comum na educação hoje em dia: o mito de que no ensino de matemática sempre deve estar presente o “concreto” material. A partir dos conceitos de intuição e representação, podemos ampliar essa ideia do concreto de modo a abranger as representações do espaço que são

Abstrato

Que designa ideias, quali-dades, estados, ações, que isolamos do que é concre-to e utilizamos para operar mentalmente ou através de registros e linguagens.

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intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação de propriedades do espaço e forma que permitem ao estudante construir ideias matemáticas e conceitos mais abstratos.

Assim, na contextualização das ideias exploradas em sala de aula, é fundamental o apelo às vivências dos alunos e ao uso de representações que sejam intuitivas para eles. Podemos utilizar vários materiais “concretos”, mas nosso objetivo é ampliar a capacidade de abstração do aluno para que ele lide com o concreto como referência, dentro da sua mente.

Lembrar de uma brincadeira como amarelinha e desenhá-la pode ser tão concreto para a criança quanto estar pulando sobre o desenho riscado no chão. Podemos perceber que algumas crianças em situações espontâneas de resolução de problemas aritméticos representam as operações da forma que é para elas mais intuitiva, porque faz mais sentido.

A mesma criança que fez o desenho anterior, mais tarde representa a operação da seguinte forma:

Figura 32 - Criança e os montinhos de gude.

Figura 33 - Criança e os montinhos de gude.


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Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai ser capaz de usar o sinal “+” de modo significativo.

Em vários momentos da aprendizagem da Matemática, os estudantes vão recorrer às representações que tornam o problema mais fácil de compreender. Observando as representações mais intuitivas para eles e o uso que fazem, podemos ter indícios da qualidade das aprendizagens e oferecer meios para que eles avancem e sejam capazes de construir e utilizar representações diversas com qualidade cada vez maior.

2.4 A importância da experimentação e da

problematização

Com base nos conceitos que vimos, o professor pode perceber a importância de promovermos na escola a reflexão sobre o espaço vivido/experimentado pelo estudante. Quando estimulamos a exploração consciente sobre o espaço e a experimentação de movimentos, disposição de objetos e transformações da forma, favorecemos a ligação entre experiência e os conhecimentos sistematizados, desenvolvendo melhor a intuição e o pensamento geométrico.

Para dar suporte às reflexões, o professor pode questionar as características do espaço e da forma. A esse processo de elaborar perguntas que motivem o estudante a explorar seus conhecimentos chamamos de problematização. Ela pode ser feita mesmo antes de o estudante experimentar o espaço, serve para atiçar sua intuição e verificar como ela antecipa a experiência. Também pode ser feita após a exploração do espaço, de modo a provocar a reflexão sobre aspectos tanto percebidos, quanto os pouco evidentes.

Ainda como suporte ao processo de aprendizagem, o professor pode recorrer às várias formas de representação possíveis em nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos, esquemas, mapas etc.).

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Para discutirmos um pouco mais, tomemos como exemplo duas situações:

• Situação 1: uma turma de 2º ano acaba de voltar da aula de Educação Física, na qual os estudantes fizeram atividades com corda (pulando, passando por baixo);

• Situação 2: uma turma do 4º ano é convidada a sugerir locais adequados, dentro dos limites da escola, para dispor as atividades da Feira de Ciências das turmas do Ensino Fundamental I.

Na situação 1, após o retorno dos estudantes à sala de aula, o professor pode problematizar com a turma o lugar onde ocorreram as atividades, o espaço que foi ocupado, a disposição das crianças, o movimento delas no espaço em cada situação da brincadeira. Ele pode também solicitar aos estudantes que desenhem suas percepções para que depois sejam discutidas e a partir delas provocar as crianças a lembrarem/recriarem elementos ausentes nos desenhos ou redimensionarem elementos que elas posteriormente avaliem que poderiam estar de outra forma.

Na situação 2, o professor pode começar explorando as experiências que os estudantes já possuem sobre a escola, provocando-os a utilizar representações do espaço escolar e fazer análise com base no que já souber. Os estudantes podem utilizar inicialmente, por exemplo, um desenho do tipo planta baixa, sem precisão nas proporções, para permitir uma primeira discussão sobre o espaço. Nesse processo estarão evocando os conhecimentos que possuem e reorganizando-os. Num segundo momento, o professor pode permitir a visita organizada aos espaços que foram analisados para permitir ajustes na planta baixa (medidas), o registro de detalhes (como posição das janelas, portas, tomadas, torneiras) e também a percepção das informações

Nesse jogo de provocar a antecipação da experiên-cia e depois sua reavalia-ção após o vivido, o pro-fessor estimula as duas dimensões que compõem a intuição (percepção mais entendimento).

saiba mais


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espaciais que não foram evidenciadas por este tipo de representação, como, por exemplo, luminosidade, ventilação e acústica dos ambientes. Observe que em ambas as situações é sempre possível revisitar o espaço e trabalhar melhor as representações a partir das necessidades problematizadas.

2.5 Síntese dos conceitos e da metodologia

As ideias de concreto e abstrato apresentadas têm uma relação muito íntima com os conceitos de representação e intuição, com a questão do significado e sentido e, consequentemente, com a maioria das aprendizagens em Matemática. Ao trabalhar, por exemplo, com os conhecimentos sobre espaço e forma na sala de aula, podemos desenhar estratégias que visem ao uso de representações para desenvolver a intuição de nossos alunos. Como sugestões, sistematizamos aqui alguns caminhos. Nos exemplos apresentados, tratamos como exemplo de experimentação a exploração do espaço da escola, estando nele ou recorrendo à memória.

Combinando os três momentos: exploração (Figura 34), problematização (Figura 35) e representação (Figura 36), o professor pode desenhar caminhos para estimular o pensamento geométrico do estudante.

Figura 34 – Partindo da problematização do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.

Direciona a percepção para uma determinada

forma de exploraçãodo espaço

Re-significa o problema

Permite o confronto entre o real e o que a percepção apreendeu, ampliando a intuição

Provoca o exercício da intuição, recuperando, significando e dando sentido às percepções

já construídas

PROBLEMATIZAÇÃO SOBRE O ESPAÇO

REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO

EXPLORAÇÃO DO ESPAÇO

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Figura 35 – Partindo da exploração do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.

Figura 36 – Partindo da representação do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.






já construídas



Permite o reconhecimento livre do espaço

através da percepção




Re-significa

Permite o confronto entre o real e o que a percepção apreendeu, ampliando a intuição




já construídas



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ATIVIDADES

Vamos explorar algumas situações em sala de aula.Exploração do espaço (localização, orientação, posição) a partir da representação

Atividade 1: um cliente descreve a casa dos seus sonhos para um arquiteto que a representa conforme a planta a seguir:

Figura 37 – Planta baixa da casa.

Essa planta representa a casa a ser construída. Problematize e proponha aos alunos que explorem:

a) a casa desenhada pelo arquiteto pode ser diferente da casa sonhada pelo cliente?

b) descreva a casa desenhada;

c) quantos quartos há na casa?

d) qual o maior e o menor cômodo da casa? Explique como encontrou sua resposta;

e) Quantas portas e janelas há na casa?

ATIVIDADES

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Com esse exemplo, podemos levar o aluno a uma experimentação pelo caminho da representação, partindo da planta, ou seja, representação da casa, passando pela problematização, chegando à exploração do espaço. A exploração do espaço permite que o aluno tenha, cada vez mais, compreensão sobre ele.

Atividade 2: podemos pedir ao aluno que descreva e desenhe a planta da sua sala de aula. Esse exemplo parte da percepção que o aluno tem da realidade conhecida. Acontece uma problematização em sua mente, buscando as formas geométricas planas conhecidas para construir o desenho, ou seja, a representação da sala.

Trabalho com formas ideais: montando e desmontando caixas

Atividade 1: observe a figura a seguir. Professor, peça a seus alunos que construam uma redação que trate das figuras geométricas utilizadas pelos amigos na brincadeira. Socialize os textos e as informações. Discuta sobre os sólidos geométricos (sólidos de revolução, pirâmides e prismas), detalhando suas características.

Figura 38 – Formas geométricas.

Professor, o contexto his-tórico pode ser uma im-portante fonte de inspira-ção, resgate informações sobre os Sólidos Platôni-cos.

para lembrar!


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Atividade 2: distribua a seus alunos a planificação de 2 sólidos geométricos. Peça-lhes que os dobrem, determinem quais são os sólidos, desenhando-os em folhas de ofício, utilizando os instrumentos do desenho geométrico e escrevam um pequeno texto, descrevendo sobre as características, a planificação e detalhes geométricos dos sólidos recebidos. Cole as folhas em um painel e exponha na sala de aula. Crie um momento de socialização e discussão dos resultados com todos.

Atividade 3: distribua a seus alunos do 1o ou 2o ano, organizados em grupo ou individualmente, vários sólidos diferentes ou repetidos. Deixe que manuseiem, montem cenários, animais ou coisas e criem histórias. Em folha de ofício, peça que escrevam a história e ilustrem, desenhando, o que montaram. Socialize as histórias, expondo em um varal ou em um painel e peça que contem sua história ou falem de sua criação. Em um segundo momento, com toda a turma, discuta sobre os sólidos geométricos presentes nas composições.

Atividade 4: em uma turma do 1o ao 4o ano, o professor propõe o Jogo “Descubra quem sou eu?” Sobre a mesa estão expostos diversos sólidos geométricos (conforme a figura). Uma caixa contendo fichas com os comandos para serem sorteados. O professor chama um aluno para sortear uma ficha, faz a leitura em voz alta da ficha sorteada e, com o auxílio de todos os coleguinhas, descobre qual sólido satisfaz as exigências contidas na ficha. (Procure utilizar o maior número de sólidos possíveis independentemente da série; no entanto, suas exigências quanto ao conhecimento dos estudantes devem ser adaptadas à cada série). Essa atividade também poderá ser feita com figuras planas.

Jogos e recreações são estratégias para o desen-volvimento de ambientes de aprendizagem que pro-piciam a criatividade. Para saber mais consulte Flem-ming, Luz e Coelho (2012). Não esqueça! Essas estra-tégias sozinhas não garan-tem a aprendizagem! Após a brincadeira proponha ati-vidades que aproveitem as aprendizagens e estimule as duas dimensões da in-tuição, a percepção e o en-tendimento.

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Formas planas: investigando seus contornos

Atividade 1: professor, com o auxílio de um Geoplano ou papel pontilhado represente os contornos das figuras geométricas conforme figura a seguir. Inicialmente, discuta com seus alunos sobre as formas e contornos apresentados. Investigue em quais dessas formas a simetria está presente. Trate sobre a relação da simetria e o equilíbrio nos corpos e nas coisas. Fale de pipas, aviões, pássaros, da estrutura humana e etc. Peça ao seu estudante que escolha uma das formas expostas no Geoplano e construa uma pipa, explicando sua construção.

Caro professor, faça essa brincadeira anterior ape-nas utilizando o sorteio das cartas sem a presença dos sólidos. Não esqueça que esta nova forma mo-difica a atividade por exi-gir dos alunos um maior domínio mental das infor-mações sobre os sólidos. Utilize essa modalidade quando eles já apresenta-rem uma boa relação com os sólidos.

um conselho

Professor! O Geoplano é um recurso que pode auxiliar o traba-lho de Geometria desen-volvendo atividades com figuras e formas geomé-tricas planas, investigando suas características e pro-priedades (vértices, ares-tas, lados), ampliação e redução de figuras, sime-tria, área e perímetro.

Figura 39 - Sólidos geométricos.Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-7IEyWlbS0Pw/TkxoZ9JU5HI/AAAAAAAABd8/zOzOxRGkKjY/s1600/s%C3%B3lidos+geom%C3%A9tricos+3.jpg

Figura 40 - Geoplano.Fonte: elaborado pelos autores.


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Atividades envolvendo arte e a questão estética

Atividade 1: professor, apresente a seus alunos a gravura da borboleta. Discuta sobre a importância da simetria no equilíbrio, harmonia e no belo presente nas formas da natureza, como flores e animais. Peça aos estudantes que pesquisem uma outra forma que também contenha simetria, distribua folha de papel pontilhado e contas plásticas em cores variadas para que eles possam construir suas representações. Exponha em um painel as produções e crie um momento de socialização.

Atividade 2: professor, apresente aos alunos obras artísticas. Peça a eles que discutam em duplas sobre as formas geométricas planas presentes nelas. Que façam anotações e descrevam suas características. Discuta com eles sobre as formas geométricas encontradas. Por fim, proponha que, individualmente, desenvolvam uma composição com as formas geométricas discutidas. Exponha em um painel as obras artísticas dos alunos.

Professor! Investigando obras artísticas ou suas representações incenti-ve seu aluno perceber a presença de princípios geométricos em suas construções ou conhecer ideias matemáticas que estão por trás da pintura, escultura, tapetes, mosai-cos etc.

Figura 41 - Gravura de Borboleta.Fonte: elaborado pelos autores.

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Figura 42 - Obras artísticas.


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RESUMINDO

Nesta unidade analisamos e discutimos situações-problema que envolvem a utilização do pensamento geométrico. Desenhamos caminhos metodológicos, visando estimular o desenvolvimento deste pensamento a partir dos conceitos de intuição e representação e combinando os três momentos de exploração do espaço vivido e experimentado pelo estudante: exploração, problematização e representação.

Partimos a nossa discussão examinando o mundo de formas em que vivemos e, assim, sugerimos ao professor que explore situações-problema envolvendo a forma e a posição dos objetos, trabalhando com números e medidas, bem como com as dimensões do raciocínio sobre o espaço e a forma.

REFERÊNCIAS

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1997.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1998.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. (PCN Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2002.

CARVALHO, D. L. de. Metodologia do Ensino de Matemática. São Paulo: Cortez, 2009.

FLEMMING, D. M.; LUZ, F. E.; COELHO, C. Desenvolvimento de

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REFERÊNCIAS

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material didático para educação a distância no contexto da educação matemática. Disponível nos textos da Biblioteca da Associação Brasileira de Educação a Distância (ABED): www.abed.org.br/congresso2000/texto12.doc, acesso em 12 fev. 2012.

FONSECA, M. da C. F. R.; et al. O ensino de Geometria na Escola Fundamental: três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

NACARATO, A. M.; MENGALI, B. L. S.; PASSOS, C. L. B. A Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. 1. ed., Belo Horizonte: Autêntica, 2009.

NACARATO, A. M.; PASSOS, C. L. B. A Geometria nas séries iniciais: Uma análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos: EdUFSCar, 2003.

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SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. T. Figuras e formas. Porto Alegre: ArtMed, 2003.

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SMOLE, Kátia C. S. (Org.). Brincadeiras infantis nas aulas de Matemática. Coleção Matemática de 0 a 6. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000.

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. O brincar e a Matemática (vídeo/DVD). São Paulo, ATTA Mídia e Educação, 2000.


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Suas anotações

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TRATAMENTODA INFORMAÇÃO -

TABELAS E GRÁFICOS

OBJETIVOS


y reconhecer a importância da Estatística no desenvolvimento do pensamento científico do estudante;

y conhecer as fases da investigação científica e o papel da Estatística na observação e sistematização de fenômenos em estudo;

y construir procedimentos para coletar, organizar e comunicar dados;

y construir tabelas e gráficos de acordo com a natureza dos

dados.

3ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE INFORMAÇÃO

A inserção do ensino de conceitos básicos de Estatística desde os anos iniciais da Educação Básica, por meio do bloco Tratamento da Informação, merece um destaque especial, uma vez que por sua própria natureza, a Estatística possibilita trabalhar a Matemática com as outras áreas do conhecimento (interdisciplinaridade) e com os Temas Transversais (BRASIL, 1997), como sintetiza o Quadro 2.

Quadro 2 – Conteúdos conceituais e procedimentais de Probabilidade e Estatística (Tratamen-to da Informação) para os primeiros anos do Ensino Fundamental

1º ciclo (1ª e 2ª série) / (2º e 3º ano)

2º ciclo (3ª e 4ª série) / (4º e 5º ano)

Esta

tístic

a

Leitura e interpretação de informa-ções contidas em imagens.

Leitura e interpretação de dados apresentados de maneira organi-zada (por meio de listas, tabelas, diagramas e gráficos), construção dessas representações.

Coleta e organização de informa-ções.

Coleta, organização e descrição de dados.

Exploração da função do número como código na organização de informações (linhas de ônibus, te-lefones, placas de carros, registros de identidades, roupas, calçados).

Interpretação e elaboração de lis-tas, tabelas simples, de dupla en-trada e gráficos de barra para co-municar a informação obtida.

Interpretação de dados apresenta-dos por meio de tabelas e gráficos, para identificação de caracterís-ticas previsíveis ou aleatórias de acontecimentos.

Criação de registros pessoais para comunicação das informações cole-tadas. Produção de textos escritos a partir da interpretação de gráfi-cos e tabelas.

Produção de textos escritos, a par-tir da interpretação de gráficos e tabelas, construção de gráficos e tabelas com base em informações contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros.

Obtenção e interpretação da média aritmética.


Tratamento da Informação - tabelas e gráficos

3U

nida

de

Prob

abili

dade

• Exploração da ideia de probabi-lidade em situações-problema simples, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as situações de “sorte”. Utiliza-ção de informações dadas para avaliar probabilidades. Identi-ficação das possíveis maneiras de combinar elementos de uma coleção e de contabilizá-las, usando estratégias pessoais.

O pensamento estatístico amplia as formas de pensar, valorizando o mundo das incertezas. Muitas vezes, o aluno, acostumado a um pensamento determinístico, tende a aceitar como certa a previsão de um resultado a partir da maior frequência de um evento. Por exemplo, ao perceber que todos os seus colegas têm medo do escuro, conclue como certeza que um novo colega terá também medo do escuro. O trabalho com o pensamento estatístico auxiliará o aluno a perceber que sua previsão não ocorrerá necessariamente.

Como a Estatística é parte do método científico, é natural que o trabalho com a mesma parta de problemas de outras áreas do conhecimento e das práticas sociais, viabilizando a interdisciplinaridade e a inserção de temas transversais. Ao se trabalhar com projetos em sala de aula, o professor pode partir do levantamento de temas vivenciados pelos alunos, como, por exemplo, a observação do número de dias ensolarados, o número de alunos que faltam as aulas durante um mês, o maior medo das crianças, a germinação das sementes, dentre outros.

Nesse sentido, sugerimos que quando realizarem projetos escolares, coletando dados, não se limitem a coletá-los, mas os realizem nos moldes da pesquisa científica.

2 AS FASES DA INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA

Na sala de aula, podemos ter duas situações em pequena escala: reprodução do conhecimento científico (experimento da refração da luz, a

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germinação das sementes etc.) ou da tomada de decisões (investigar o medo das crianças com fins pedagógicos).

Em ambos os casos, o arcabouço metodológico é o mesmo. Conforme Cazorla e Santana (2010), as fases de uma investigação científica podem ser descritas como segue:

2.1 Problematização da pesquisa

Nesta fase, a escolha do tema é crucial para contextualizar o problema a ser investigado, possibilitar que este faça sentido para o aluno e propiciar o desenvolvimento de uma postura investigativa, incentivando os alunos à observação sistemática dos fenômenos que ocorrem ao seu redor, sejam sociais, culturais ou da natureza, formulando perguntas de pesquisa.

A escolha do tema deve possibilitar um trabalho interdisciplinar, envolvendo aspectos e conteúdos escolares de outras áreas de conhecimento e da Estatística, utilizando seus conceitos e procedimentos que ajudam no planejamento e execução da pesquisa.

Esse tema também deve possibilitar a participação ativa dos alunos, a postura ética, o respeito à opinião do outro, o uso racional dos recursos ambientais etc.

2.2 Planejamento da pesquisa

Escolhido o tema e as perguntas de pesquisa, colocamos em pauta a importância da definição da população a ser investigada, que pode ser por censo (quando se investiga todos os elementos da população, ou por amostragem (quando se investiga uma parte dela).

As perguntas de pesquisa, por sua vez, precisam da escolha adequada das variáveis (características da população) que permitirão sua operacionalização, sendo crucial uma definição clara e precisa dessas variáveis, bem como sua caracterização, o que determina o tipo de tratamento estatístico a ser utilizado.

Após essa etapa, podemos elaborar os instrumentos de coleta de dados, já pensando em responder as perguntas de pesquisa que norteiam o



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nida

de

levantamento de dados.

2.3 Execução da pesquisa

Uma vez definida a população a ser investigada e o instrumento para coleta dos dados, o próximo passo é coletar os dados. Nesta etapa, é preciso uniformizar os procedimentos a fim de que todos os alunos façam a coleta da mesma forma.

Uma vez coletados os dados, iniciamos o seu tratamento. Nesta fase, aproveitamos para apresentar os diversos conceitos e procedimentos que nos ajudam a organizar os dados e extrair as informações mais relevantes. Isto implica discutir como escolher o procedimento mais adequado para analisar as variáveis envolvidas.

A interpretação e a comunicação de resultados não se restringem a repetir as informações já contidas nas próprias medidas, mas busca incentivar a retomada das perguntas de pesquisa que nortearam o levantamento de dados, fechando, assim, o ciclo da investigação científica, como descrevemos na Figura 43.

Figura 43 - As fases da pesquisa científica. Fonte: Cazorla e Santana (2010, p. 15).

Contextualização da situação problema

Formulação dequestões de pesquisa

Identificação e caracte-rização das variáveis

Definição da popula-ção a ser investigada

Amostra Censo Elaboração dosinstrumentos

Planejamento dacoleta dos dados

Coleta dos dados

Planejamento dotratamento dos dados

Tratamento dos dadosAnálise e interpreta-ção dos resultados

Comunicaçãodos resultados

Planejamento amostral

Prob

lem

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ação

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pes

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Cazorla e Utsumi (2010) defendem que os alunos devam ter uma participação ativa no processo de construção de seus conhecimentos, ajudando escolher o tema, as perguntas de pesquisa e as variáveis envolvidas; coletando dados, que podem ser dos próprios alunos, de suas famílias, ou que eles “tomaram conta”; assumindo vários papéis: informando ou indagando dados, “medindo” ou “sendo medidos”; semeando e regando as sementes; tratando e analisando os dados, ora de forma individual, ora em grupos ou com a turma; interpretando e comunicando resultados, defendendo suas ideias perante a classe, desenvolvendo a capacidade de arguição, aprendendo a ouvir as críticas de seus colegas e, o que é mais importante, aprendendo a respeitar a opinião do outro, dentre outros papéis.

3 PROBLEMATIZAÇÃO DA PESQUISA

Todo o trabalho parte da identificação do problema e, então, são levantadas questões a serem respondidas para solução do mesmo, identificando os fatores envolvidos. Aqui vamos nos inspirar no trabalho de Cazorla et al (2011).

Devemos lembrar que as crianças, por meio de suas observações, buscam entender o mundo que as rodeia, levantando perguntas do tipo: por que o céu é azul? Quando vai ser amanhã? Rosa é cor de menina? Menino é mais forte que menina? As meninas sentem medos diferentes dos meninos? O Brasil vai ser campeão da Copa do Mundo de 2014?

Por meio de sua curiosidade, a criança é levada a questionar, investigar e descobrir coisas novas. A criança age de forma similar à investigação científica ao levantar questionamentos a partir de suas observações. Cabe a nós, professores da escola, aproveitar a curiosidade infantil como um primeiro elemento na condução de uma pesquisa estatística, a qual pode ajudar na compreensão de aspectos do mundo que a cerca. Aguçar a identificação das dúvidas tem, portanto, um papel fundamental no desenvolvimento do pensamento estatístico das crianças.

Uma investigação estatística parte da observação dos fenômenos



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de

e a identificação de um problema. Portanto este é o primeiro elemento a ser construído numa pesquisa. É a partir dele que identificamos as perguntas que queremos responder. Assim, o problema, também chamado de questão de pesquisa, é o motivo pelo qual resolvemos fazer uma investigação, é o ponto inicial e motivador.

O problema, do ponto de vista formal, é um enunciado e, do ponto de vista semântico, uma dificuldade ainda não resolvida, uma pergunta ainda não respondida. Ser ou não respondida precisa ser considerada em relação ao contexto da investigação. O fato de uma questão já ter resposta científica não implica em sua inviabilidade de uso em sala de aula. Essas investigações são feitas para que o aluno observe ou reconstrua o conhecimento, ou parte dele, a partir de experimentos ou de observação dos fenômenos.

Por exemplo, o fenômeno da refração da luz, o arco-íris, é um fenômeno natural que pode ser observado na natureza, num dia de sol, após uma chuva ou reproduzido (de forma experimental), utilizando o prisma de Newton ou, ainda, direcionando um jato de água contra o Sol.

Fenômenos

Entendemos por fenô-menos todos os aconteci-mentos observáveis, algo que pode ser visto. Estes podem ser observados em condições naturais ou experimentais. Os expe-rimentos são réplicas dos fenômenos naturais, em condições controladas pelo experimentador.

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Um outro exemplo, bastante intuitivo, é a queda dos corpos, como conta a lenda da maçã que caiu na cabeça de Isaac Newton. Observar a queda das maçãs (cocos, jenipapo ou qualquer outra fruta da região) diretamente na natureza levaria muito tempo e poderia ser inviável. Contudo isso não é um problema, pois podemos reproduzir este fenômeno em condições experimentais, controlando os fatores que interferem na queda dos corpos, como, por exemplo, tamanho, formato, peso (massa) etc.

Estes são dois exemplos de fenômenos determinísticos, pois há uma garantia de certeza do arco-íris ter sempre sete cores numa mesma ordem, assim como podemos afirmar que todos os corpos ao serem soltos cairão. Esses fenômenos são denominados de determinísticos, pois conhecemos os resultados a priori.

Contudo existem fenômenos que não são determinísticos, pois não sabemos qual será o resultado de sua realização. Um exemplo é a germinação de uma semente, que pode ou não germinar e só saberemos após plantá-la. Outro exemplo é o clima de nossa cidade no dia seguinte, esse pode ser ensolarado, nublado ou chuvoso. Dependendo da região e da estação do ano, a chance de haver uma mudança de clima de um dia para o outro pode ser alta ou muito pequena. Por exemplo, no verão, no período do fenômeno “El niño”, a chance de chuva em São Paulo será altíssima; já no sertão nordestino, será pequeníssima. Aliás, este é um tema interessante para ser trabalhado na sala de aula, pois desenvolve a capacidade de prever o resultado de eventos aleatórios.

Esses fenômenos são denominados de aleatórios e alguns deles podem ser replicados via experimentação. No caso da germinação das sementes, ao invés de esperar as sementes caírem na natureza, podemos reproduzir o fenômeno em sala de aula. Neste caso, plantamos as sementes em vasos e, se quisermos ainda, podemos controlar fatores

Chance

é a possibilidade de ocor-rer um evento, probabi-lidade é a medida dessa possibilidade.



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nida

de

que interferem no resultado, tais com: luz (com ou sem luz), a adubação (com ou sem adubo), a irrigação (controlando a quantidade de água por dia), dentre outras possibilidades.

Em geral, utilizamos os experimentos para conhecer melhor os fenômenos e, muitas vezes, para controlá-los, otimizando os seus resultados. Por exemplo, em condições naturais, a chance de uma semente germinar pode ser muito baixa, pois pode cair em um terreno infértil, os animais podem comê-la, pode não chover e morrer por falta de água etc. Já em uma situação experimental essa chance poderá ser bastante alta.

No caso do clima, será impossível recriá-lo de forma experimental. O máximo que podemos fazer é estudar seu comportamento ao longo do tempo, bem como utilizar aparelhos cada vez mais sofisticados para a compreensão deste fenômeno. No Quadro 3, apresentamos exemplos de fenômenos determinísticos e aleatórios e formas de investigações naturais e experimentais.

Professor, aproveite este momento para realizar pesquisas com as crian-ças de projetos como o TAMAR que visa salvar as tartarugas marinhas, cui-dando e controlando os locais de reprodução, vi-sando o aumento da taxa de sobrevida das tartaru-gas.

um conselho

Quadro 3 - Os tipos de fenômenos e as formas de investigá-los

TIPOFENÔMENO/

QUESTÃO

FORMA DE INVESTIGAÇÃO

OBSERVAÇÃO NATURAL

EXPERIMENTAÇÃO

Determi-nístico

Refração da luz: o arco-íris tem sempre as mesmas cores

na mesma ordem?

Observar o arco-íris em

diferentes dias, locais etc.

Observar a formação do arco-íris utilizando

diferentes instrumentos como o prisma de Newton e um jato

de água em um dia ensolarado.

Aleatório

Germinação de sementes: todas

as sementes germinam?

Observar se todas as sementes

que caem de uma árvore germinam.

Plantar sementes em diferentes vasos e

verificar se todas elas germinam.

100 EADPedagogia


Outro aspecto ligado aos fenômenos é sua qualidade de observável. Os fenômenos provenientes das ciências exatas, naturais e biológicas, em geral, são de natureza observável e envolvem grandezas que podem ser medidas sem muitas controvérsias.

Por exemplo, a quantidade de sementes que germinam pode ser contada. A altura de uma criança, o espectro da luz, a intensidade de um terremoto podem ser medidos, mas precisam de instrumentos. Em geral, os instrumentos de medida e as unidade são padronizados e respeitam convenções internacionais.

Ao contrário, os fenômenos ligados às ciências humanas não são diretamente observáveis, são inferidos pela manifestação das pessoas envolvidas, como por exemplo, o medo que uma pessoa sente, a capacidade de memória, o conhecimento aprendido, o gosto pela Matemática, dentre outros. Alguns pesquisadores denominam essas situações de pseudo fenômenos, no entanto, para os autores deste material, essas situações serão também chamadas de fenômenos.

Nestes casos, enfrentamos dois problemas cruciais: como definir e como medir o fenômeno em estudo. Por exemplo: o que é “medo” e como medi-lo? Para os adultos pode ser uma coisa, já para as crianças, outra. Para saber do que as crianças têm mais medo é preciso decidir a partir do quê será inferido os medos delas. Não podemos criar situações experimentais, por exemplo, situações que levassem as mesmas a sentirem medos, pois seríamos antiéticos. Neste caso, podemos perguntar diretamente à criança do que ela tem mais medo ou mostrar um rol de situações e pedir que ela marque de qual tem mais medo; ou, ainda, perguntar ao pai do que seu filho(a) tem mais medo.

Já para investigar quem tem mais memória, as crianças ou os adultos, podemos criar uma situação experimental, a partir de uma investigação interessante e fácil de ser realizada pelas próprias crianças. Esse é o caso, por exemplo, de “medir” a memória das pessoas por meio do “Jogo da Memória”.

No momento, interessa-nos apenas levantar problemas possíveis de serem investigados na sala de aula. Esses problemas poderiam ser:

• Qual é a fruta favorita das crianças?

• Do que as crianças têm mais medo?



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nida

de

• Será que os adultos têm melhor memória do que as crianças?

• Todas as sementes germinam quando plantadas?

• Os meninos são sempre mais altos do que as meninas?

É natural que toda criança tenha uma resposta para cada um dos problemas que foram levantados. Umas acham que os meninos sempre são mais altos enquanto outros acham o contrário. Essas respostas das crianças podem ser aproveitadas pelos professores para estimular a explicitação de suas afirmações. Essas, acompanhadas de uma explicação, são denominadas de hipóteses.

As hipóteses, quando testadas, transformam-se nas conclusões da pesquisa. Nesse sentido, a geração de hipóteses com os alunos é uma etapa fundamental para a Educação Estatística. A criança pode afirmar que os meninos são mais altos que as meninas, por observar que os homens adultos são mais altos do que as mulheres adultas. Isso é uma hipótese, porque ela afirma e justifica a afirmação. Entretanto, a hipótese pode não ser verdadeira e é por isso que se realiza a pesquisa.

Observamos que existem pesquisas de cunho descritivo ou exploratório, as quais não partem de hipóteses. O mesmo exemplo dos medos das crianças pode ser um estudo exploratório se o objetivo for fazer um mapeamento dos principais medos dos alunos. Neste caso, não faz sentido levantar que certos medos são mais frequentes do que outros, pois é justamente isso que ele quer saber.

A hipótese, em geral, relaciona pelo menos duas variáveis. No exemplo da altura dos meninos, relacionamos gênero, altura e idade. A altura é chamada de variável dependente, pois é ela que sofre a interferência das variáveis gênero e idade, sendo que estas duas últimas são denominadas de variáveis independentes por serem os

Hipótese

é uma afirmativa elaborada e que será colocada à pro-va, de maneira que poderá ser rejeitada ou não. Nas pesquisas exploratórias, as hipóteses podem tornar-se perguntas de pesquisa. Essas questões, pela sua especificidade, devem dar testemunho do trabalho conceitual efetuado pelo pesquisador e, pela sua clareza, permitir uma res-posta interpretável.

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fatores que modificam a variável dependente.O diagrama a seguir apresenta uma síntese das variáveis envolvidas

nessa hipótese:

Variáveis independentes Variável dependente

3.1 Questões didáticas da escolha do problema

A escolha do problema ou da questão a ser investigada pode ser uma proposição do professor, de um aluno ou de um grupo de alunos. O que importa é que todos estejam motivados em pesquisar sobre o mesmo. Um trabalho de pesquisa em sala de aula pode ser realizado em uma aula ou em várias, perpassando todo um bimestre letivo. Para que os alunos não desistam da pesquisa no meio do caminho é fundamental que o problema seja, de fato, interessante e desafiador para todos.

Quando falamos “desafiador”, estamos enfatizando que o professor precisa refletir se a pesquisa que será realizada permitirá a produção de um conhecimento novo para esses alunos, para o qual eles devem estar efetivamente interessados em saber.

Uma pesquisa científica requer a produção de um conhecimento novo; mas, na escola, também é realizada a replicação de uma pesquisa, a qual vai permitir que os alunos compreendam um determinado fenômeno e suas variações. Na construção do conhecimento é preciso que a criança, por meio de suas ações, construa, mesmo que apenas em parte, esse conhecimento. Só dessa maneira ela se apropria dele.

É importante ressaltar que, algumas vezes, confunde-se pesquisa com estudo. Entretanto, a diferença entre os dois está exatamente na produção de um conhecimento e não na apropriação por alguém de um conhecimento já produzido. Uma pessoa que não conheça a teoria de Piaget poderá estudá-la por meio de seus livros ou de autores que escrevem sobre ela para aprender sobre a teoria. Entretanto, para saber

Gênero

Idade

Altura



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nida

de

se um aspecto da teoria de Piaget é válido, essa pessoa terá que elaborar uma pesquisa para confirmar ou não o que Piaget está argumentando. Da mesma forma, um aluno pode não saber sobre o comportamento da germinação de uma semente e estudar nos livros sobre isso, ou planejar um experimento que lhe permita compreender esse fenômeno.

Ao escolhermos o problema, precisamos, também, considerar o tempo que temos para solucioná-lo. Se um professor, por exemplo, quiser implementar o experimento da germinação das sementes, bastará organizar a classe de tal forma que todos os alunos plantem as sementes e, após um dia ou dois, proceder à contagem daquelas que germinaram. Mas se esse professor quiser, também, acompanhar o crescimento das plantinhas, então isso levará mais tempo e envolverá outros procedimentos.

Dessa forma, desde o início, é preciso saber quanto tempo se tem para a realização da pesquisa, bem como a adequação das tarefas à idade e aos conhecimentos prévios das crianças sobre o tema a ser investigado.

4 DE ONDE SE OBTÊM OS DADOS?

Na seção anterior, refletimos sobre a definição do problema de uma pesquisa, o levantamento de hipóteses e as questões de pesquisa. Agora é preciso determinar a população que será investigada.

Ao se questionar do que as crianças têm mais medo, primeiro devemos definir o que entendemos por “crianças”. Podemos definir “crianças” pelo critério idade, por exemplo, “todas as pessoas de 6 a 11 anos” (ou qualquer outra faixa etária similar). Também podemos definir “crianças” como “todos os alunos matriculados do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental”.

Analisemos cada uma dessas definições. A primeira

Questionar sobre a ade-quação de uma pesqui-sa à faixa etária dos nossos alunos é um fator determinante para o inte-resse e sucesso da mes-ma.

atenção

104 EADPedagogia


leva em consideração um critério bastante claro, a idade, contudo, sua operacionalização será muito trabalhosa, pois implica investigar as crianças nos diversos ambientes em que elas se encontram (residências, escolas etc.). Já a segunda definição é muito mais simples de ser investigada, pois as crianças estão nas escolas. Todavia, devemos lembrar que esta definição se refere a um subconjunto da população de crianças; pois, a depender do local ou país, muitas crianças, em geral, as mais pobres, ainda se encontram fora da escola, portanto o estudo poderá estar refletindo apenas os medos das crianças que frequentam as escolas e não o medo das crianças. Além disso, esta definição inclui os alunos matriculados na Educação de Jovens e Adultos (EJA), cuja faixa etária envolve pessoas com 16 anos ou mais. Assim, precisaríamos explicitar melhor esta definição, por exemplo, “todos os alunos matriculados do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental Regular”.

Além disso, podemos pensar em todas as crianças do mundo, nas crianças brasileiras, nas crianças de nossa cidade, nas crianças de nossa escola ou, ainda, nas crianças de nossa sala de aula. Isto é, precisamos definir a abrangência em termos espaciais de nossa investigação. Também devemos ter em mente o tempo, pois as crianças de 2010 podem não ser as mesmas de 2011, por exemplo. Assim, é preciso definir também a abrangência temporal.

Cada um desses grupos se constitui em um tipo de população. Assim, temos diferentes populações para responder a uma mesma questão de pesquisa, o que muda é a abrangência espacial e temporal da investigação.

Além de definir a população, devemos definir também como vamos obter a informação, isto é, quem serão os sujeitos de pesquisa: podem ser as próprias crianças falando de seus medos ou o responsável pela criança falando dos medos dela. Tudo vai depender do objetivo da pesquisa.

Se investigarmos os medos a partir do depoimento

População

em Estatística, é o conjun-to de elementos (unidades populacionais), objetos da pesquisa, que tem pelo menos uma característica em comum, que define, claramente, se um ele-mento pertence ou não a população.Unidade populacional: é de onde obtemos os da-dos. Pode ser uma pessoa, animal ou coisa, pode ser individual ou coletivo (pes-soa, família, a classe).



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nida

de

das próprias crianças então estaremos respondendo a questão “quais são os maiores medos das crianças?”. Se investigarmos esses medos a partir do depoimento do responsável pela criança, então estaremos respondendo a questão “quais são os maiores medos das crianças a partir da opinião de seus responsáveis?”. Obviamente, são duas pesquisas diferentes, pois os adultos sentem outros medos que as crianças ainda podem nem conhecer, portanto esses resultados poderão nos dar uma visão não fidedigna do medo das crianças.

Da mesma forma, no caso da pesquisa sobre a germinação de sementes, não é possível que cada aluno traga um tipo de semente; pois, nesse caso, a germinação também dependerá do tipo de semente utilizado. Assim, a semente precisa ser de uma variedade de planta e de preferência de uma mesma procedência, a fim de evitar que fatores alheios interfiram na germinação delas.

Uma outra questão que devemos chamar a atenção é que a Estatística é a ciência do significado e uso dos dados. Sua grande missão é a compreensão dos fenômenos a partir da análise dos dados, desvendando os padrões subjacentes deles. Portanto, precisa-se de uma quantidade de dados que possa representar o comportamento do fenômeno em estudo.

Por exemplo, não podemos inferir o comportamento da germinação das sementes a partir da observação de apenas uma ou duas sementes. É preciso ter uma quantidade maior. Entretanto, é preciso cuidado para que uma quantidade muito grande não deixe as crianças perdidas entre os dados. Em geral, sugere-se que, para conduzir uma pesquisa em sala de aula, cada aluno seja responsável por uma quantidade pequena e fixa de sementes e que os dados de todos os alunos formem o conjunto necessário à pesquisa estatística.

Assim, a definição dos sujeitos da pesquisa é fundamental para que a investigação atinja o ob-jetivo desejado.

atenção

106 EADPedagogia


4.1 Censo ou amostra

Além da delimitação da população, é preciso definir se coletamos os dados com todos os sujeitos que compõem a população (censo) ou escolhemos uma parte representativa da população (amostra).

No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, podemos escolher pesquisar o medo das crianças de nossa sala de aula. Neste caso, a realização do censo é viável, mas a abrangência dos resultados é limitada àquela turma, pois trata-se de um estudo de caso.

No entanto, podemos querer investigar o medo de todas as crianças da escola. Se a escola for de pequeno porte, ainda podemos pensar em realizar um censo; mas, se a escola for maior, o censo pode se tornar inviável ou muito trabalhoso. Neste caso, é mais viável utilizar uma amostra dos alunos da escola.

Contudo, definir a amostra não é tão simples, ela precisa levar em consideração as hipóteses. Se o gênero, por exemplo, for importante, não adianta ter uma amostra só de meninas. Da mesma forma, se a idade for importante, não adianta selecionar só crianças de seis anos ou só as de onze anos. Por essa razão, a seleção da amostra deverá levar em consideração as características essenciais da população.

Agora devemos responder as seguintes perguntas: • Quantos alunos devemos entrevistar? Isto é,

definir o tamanho da amostra.• Como vamos selecionar a amostra?• Como levar em consideração as duas variáveis:

gênero e idade?

Por uma questão de viabilidade, decidimos que cada aluno deve entrevistar dois colegas. Como temos 30 alunos, então o tamanho da amostra será de 60.

Professor, observe que a ideia é apenas discutir as

Censo: quando investiga-mos todos os elementos da população.Amostra: quando investi-gamos uma parte da po-pulação.Amostragem: métodos e processos para coletar a amostra.

Sugerimos ler a disserta-ção de mestrado de Sou-za (2007), que organizou uma pesquisa com seus 17 alunos da Educação Infan-til, de 5 e 6 anos. As crian-ças entrevistaram todos os colegas da escola e o pes-quisador, além de relatar todas as fases da pesqui-sa, relata, também, as di-ficuldades encontradas no processo.

leitura recomendada



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de

diversas formas de selecionar a amostra, refletindo junto com as crianças o que pode acontecer com um ou outro procedimento; ou, pelo menos, fazer ver a elas que há diferentes formas de selecionar as amostras. Essa discussão é fundamental; pois, de um lado, não podemos deixar que os alunos acreditem que qualquer amostra serve para generalizar os resultados para toda a população e, de outro, é esse tipo de indagação que ajuda a desenvolver o pensamento estatístico.

4.2 A fonte de dados

A fonte dos dados é composta pelos sujeitos da pesquisa ou elementos da população que fornecem os dados, que pode ser uma pessoa, como no caso da pesquisa sobre o medo; a semente, no caso da pesquisa da germinação etc.

Observamos que, dependendo da pesquisa, a fonte de dados pode ser o próprio aluno, seus colegas, os professores, a semente, os livros da biblioteca, as pedras do pátio, a conta de água etc.

• Fonte primária. Quando coletamos os dados diretamente da fonte são denominados de dados primários. Por exemplo, na pesquisa sobre o medo, os dados obtidos a partir das respostas dos alunos ou de seus responsáveis são dados primários, o mesmo ocorre quando registramos os dados da observação da germinação das sementes.

• Fonte secundária. Quando os dados foram coletados por outras pessoas e nós trabalhamos em cima deles, são denominados de dados secundários. Por exemplo, se quisermos investigar o padrão do consumo de água ou energia elétrica das famílias de nossos alunos, a fonte de dados será a conta de água ou de energia.

Vejamos um exemplo. Suponhamos que queremos investigar qual é o desempenho de um estudante em Matemática. Podemos aplicar uma prova e dar uma nota. Essa prova é uma fonte primária. Mas também

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podemos recorrer ao boletim, às atas finais da escola e fazer esse levantamento a partir desses dados. Assim, o aluno é a fonte primária, o boletim e a ata são fontes secundárias. Observe que o boletim ou a caderneta de notas da sala contém as notas de todos os alunos nos quatro bimestres em todas as disciplinas, estas fontes de dados são secundárias.

AlunoProva

Fonte primária

Boletim do aluno (individual)

Nota do aluno

Fonte secundária

Ata das notas(da classe)

Nota do aluno

Fonte secundária

4.3 O que é coletar os dados?

Após a definição dos sujeitos e a definição da fonte de dados, é preciso decidir como os dados serão coletados, ou seja, buscar as informações que respondam à questão da pesquisa, que são denominadas de variáveis. Essa é uma oportunidade de solicitar que a turma levante ideias de como a coleta pode ser realizada.

No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, como dissemos anteriormente, precisamos definir a partir do que será inferido que a criança tem mais medo. Partindo do pressuposto que vamos coletar os dados das próprias crianças, a pergunta agora é: como vamos coletar esses dados? Isto é, qual será o procedimento para coletar os dados:

Analisemos alguns procedimentos, elencando suas vantagens e desvantagens:

a) Realizar uma entrevista, os alunos da nossa turma fazem as perguntas e anotam os dados.

b) Aplicar um questionário de autopreenchimento, isto é, o próprio aluno registra sua opinião.

c) Solicitar à criança que faça um desenho, como fez, por exemplo, a professora Roberta Buehring (2006) com seus alunos de 2º ano. Esta pesquisadora optou por este procedimento, pois seus alunos ainda não estavam completamente alfabetizados



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nida

de

para registrar de forma escrita seus sentimentos.d) Chamar aluno por aluno, solicitar que eles digam

em voz alta qual é seu maior medo e vamos anotando no quadro. Este procedimento pode induzir as crianças a imitar os colegas, ou algumas, por constrangimento, não manifestarem sua opinião.

e) Fazer uma lista dos medos no quadro, perguntar aos alunos se existe algum outro tipo de medo para ser listado e depois solicitar a eles que levantem a mão à medida que vamos fazendo a leitura dos tipos de medos. Este tipo de procedimento também pode induzir as crianças a optarem por um tipo de medo que a maioria opta.

Esses questionários, desenhos, áudio, filmes ou outras formas de registro dos dados são denominados de instrumentos, que coletam os dados das variáveis que vamos estudar.

4.4 Variáveis, seus tipos e sua

operacionalização

A todo momento, estamos falando de variáveis e esse é um conceito chave na Estatística. Por essa razão, vamos nos deter um pouco na sua definição, características e a forma como vamos coletá-las.

Vejamos alguns exemplos. Na pesquisa sobre o medo, a população é formada pelos alunos de nossa classe. Então, nossos sujeitos da pesquisa são os nossos alunos. Que características importantes dos sujeitos vamos coletar para poder responder nossa questão de pesquisa? Neste exemplo, a idade, o gênero e o medo.

Mas, se estivéssemos investigando o desenvolvimento físico dessas crianças, as variáveis seriam: idade, sexo, altura,

Variável, em Estatística, é uma característica da população que assume diferentes valores ou ca-tegorias.

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peso etc. Ou, se estivéssemos investigando o desempenho escolar, as variáveis seriam: notas nas disciplinas, disciplina favorita etc. Ainda podemos ter outras variáveis a depender do tema de investigação.

Sujeito(pessoa)

Gênero: Feminino, Masculino.Idade: 9, 10, 11, 12 (anos completos).Medo: barata, mula sem cabeça, ......

Altura (em centímetros, de 120 a 160, por exemplo).Peso (em quilogramas, de 30 a 60, por exemplo).Perímetro cefálico (em centímetros, de 30 a 45, por exemplo)......

Nota em Matemática (escala de zero a dez).Nota em Português, Nota em Matemática, ...Disciplina favorita (Matemática, Português, ...)....

Número de irmãos (0, 1, 2,...).Número de letras de seu nome (2, 3, ...)....

Vejamos outros exemplos:

objeto(semente)

Germina: sim ou não.O tempo é uma variável que não é da semente, mas que interfere na ocorrência da germinação, pois algumas sementes demoram mais do que outras para germinar, assim esta variável deve ser coletada.

Coleção de objetos(várias

sementes)7 sementes germinaram das 10 plantadas.Nº de sementes que germinaram (0, 1, 2, ...).



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de

Coleção de objetos

(família do aluno)

Número de pessoas da família que moram com o aluno.Quantidade de metros cúbicos de água que consomem por mês.Renda familiar (em reais R$).Classe social (Baixa, Média, Alta).Religião predominante (Católica, Evangélica, ...)....

a) Tipos de variáveis As variáveis se classificam em qualitativas e quantitativas (Figura

32). Uma variável qualitativa é aquela cujos resultados se enquadram em categorias. Se as categorias assumem algum tipo de ordenação, elas são denominadas de ordinais, por exemplo, classe social (Baixa, Média e Alta), gosto pela Matemática (Pouco, Regular e Muito) e, assim por diante. Caso contrário, são denominadas de nominais, como, por exemplo, gênero, tipos de medo, entre outros.

Uma variável quantitativa (também denominada de numérica) é aquela cujos resultados assumem valores numéricos. Se essa for passível de contagem, é chamada de discreta, como, por exemplo, número de irmãos ou número de sementes que germinam. Se a variável é resultante de mensuração, tomando qualquer valor, então são chamadas de contínuas, como, por exemplo: peso (kg), altura dos alunos (cm), renda familiar (R$), entre outras.

Gênero (F, M)Germina (Sim, Não)Cor favorita (Azul, Verde, Amarelo,..)Tipo de medo (Barata, Mula sem cabeça,...)

Classe social (Baixa, Média, Alta)Gosto pela Matemática (Pouco, Regular, Muito)Intensidade do medo (Pouco, Mais ou menos, Muito)

Nº de irmãosNº de letras do nomeNº de sementes que germinamNº de alunos que faltaram à aula durante o mês de abril

Tempo que gasta para completar o jogo da memóriaAlturaPeso (massa)Renda familiar

Figura 44. Classificação das variáveis estatísticas de acordo com sua natureza.

Nominal (não existe ordem nas

categorias)

Discreta (resulta-do de contagem)

Ordinal (existe ordem nas cate-

gorias)

Contínua (resul-tado de mensu-

ração)

Variáveis

Qualitativa (categorias) Quantitativa (números)

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b) Operacionalização das variáveis Além de aprendermos a reconhecer os tipos de variáveis, é

importante saber que elas podem ser coletadas (operacionalizadas) de diferentes maneiras.

Como coletar uma variável qualitativa?Quando as categorias das variáveis já estão definidas a priori,

como por exemplo, gênero (masculino, feminino), classe social (Baixa, Média, Alta), a coleta de dados é simples.

Já, quando a variável não possui naturalmente as categorias predefinidas, sua coleta se torna mais complexa e é preciso trabalhar a “classificação” da variável, que pode ser a priori ou a posteriori. Vejamos um exemplo com a pesquisa sobre o medo.

a) Pergunta aberta. Neste caso, formulamos a pergunta de tal maneira que damos completa liberdade ao respondente para expressar seu sentimento: “Do que você tem mais medo?” ________________________Consequentemente, podemos ter qualquer tipo de resposta, inclusive respostas que não têm nada a ver com a pergunta, ou, o que é pior, vir em branco. Contudo, podemos ter respostas mais fidedignas, isto é, mais próximas do sentimento dos alunos.Este tipo de coleta de dado vai implicar em criar categorias a posteriori, isto é, a partir das respostas dos alunos, criamos as categorias. Observamos que, quando estamos fazendo pesquisa científica, a categorização, em geral, é realizada a partir do arcabouço teórico que dá suporte à investigação.

b) Pergunta fechada. Neste caso, formulamos a pergunta e damos opções para o aluno responder, isto é, o respondente não tem tanta liberdade, mas podemos deixar a opção para ele ampliar o leque de opções. Entretanto, como somos nós os que criamos as categorias, podemos estar induzindo as respostas ou distorcendo completamente a natureza da pesquisa:



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de

i) Exemplo de pergunta com uma única escolha (categorias mutuamente excludentes):Marque com X a alternativa que você considera lhe dá mais medo:

( ) animais (cachorros, jacarés, insetos,...)( ) fantasmas, espíritos, alma penada, ...( ) altura, escuro, não saber as respostas, falar em público,..( ) pessoas más, bandido, o homem do saco, ...( ) outro, explique: _______________________________

ii) Exemplo de pergunta com múltipla escolha (categorias complementares). Por exemplo, suponhamos que estamos fazendo uma pesquisa com os professores da escola para identificar os seus principais problemas:Na sua opinião, quais são os maiores problemas que impedem sua escola de atingir as metas traçadas pelo governo em relação ao IDEB?

( ) baixos salários dos professores( ) professores com formação inadequada para o ensino( ) a omissão dos pais dos alunos no processo educativo( ) a política educacional( ) a infraestrutura da escola( ) outro, explicite: _______________________________

Neste caso, o respondente pode marcar com X todas aquelas alternativas que ele acredita serem os maiores problemas, que pode ser uma, duas, até todas. Com este tipo de opção, corremos o risco de não podermos discriminar quais são os maiores problemas. Uma forma de evitar isso é solicitar ao respondente que, de todas as alternativas, escolha apenas três e que coloque 1º (ao maior problema), 2º (ao segundo maior) e 3º (ao terceiro maior). Ainda, há uma terceira opção. Podemos solicitar ao respondente que coloque V (Verdadeiro) ou F (Falso) a cada uma das alternativas. Neste caso, teremos a indicação da gravidade do problema, resultante da frequência das alternativas.

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Como coletar uma variável quantitativa? Vejamos um exemplo de uma variável quantitativa contínua: idade

a) Data de nascimento ___/____/____b) Quantos anos você tem? ____________c) Idade ____________ em anos completosd) Faixa etária (marque com x)

( ) de 16 a 17 anos( ) de 18 a 30 anos( ) de 31 a 50 anos( ) de 51 a 70 anos( ) de 71 anos ou mais

Cada forma de coletar o dado nos fornecerá informações diferentes para a mesma variável. Analisemos os prós e contras de cada forma de coleta:

a) A data de nascimento nos permite calcular com exatidão a idade da pessoa, que poderá ser crucial se a pesquisa for sobre desnutrição infantil. Mas será uma informação inútil e complexa no caso de uma pesquisa eleitoral, por exemplo, pois neste caso só interessa a faixa etária.

b) Quando perguntamos “quantos anos você tem?”, estamos dando liberdade ao respondente para fornecer dados arredondados ou mais detalhados, assim poderemos ter respostas tais como: 9 anos, ou 9 anos e 6 meses, ou 9 anos e 8 meses. Neste caso, não sabemos se o aluno que respondeu 9 anos é porque ele tem exatamente nove anos ou se ele arredondou para anos completos.

c) Quando forçamos a idade para anos completos, estamos correndo o risco de ter numa mesma idade crianças com 8 anos, 8 anos e 1 mês, 8 anos e 2 meses e assim por diante. Mas, a depender do tipo de investigação, essa precisão é irrelevante e assim os dados são mais fáceis de serem tratados.

d) Em alguns estudos, não temos interesse na idade específica, apenas em faixas etárias. Por exemplo, nas pesquisas eleitorais,



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nida

de

podemos querer saber se os mais jovens pensam e votam de uma forma diferenciada dos mais velhos. Podemos pensar que as pessoas mais velhas tendem a ser mais conservadoras.

Observe, ainda, que a variável idade pode ser trabalhada não como os anos vividos por uma pessoa, mas pela percepção que esta tem em relação a algum empreendimento na sua vida. Por exemplo, podemos investigar como adultos analfabetos se sentem em relação a sua idade para aprender a ler e escrever, ou seja, serem alfabetizados.

Com relação a sua idade, como o senhor(a) se sente diante da possibilidade de aprender a ler e escrever:

( ) Muito jovem( ) Jovem( ) Velho( ) Muito velho

Neste caso, podemos até coletar o dado real da idade e podemos estudar se a idade cronológica é determinante na percepção de idade para ser alfabetizado. Consequentemente, estamos trabalhando com uma variável conceitual, que não há como medi-la, a não ser pelo depoimento do respondente, diferente da idade cronológica que é uma variável empírica, pois podemos “observá-la”. Mais detalhes podem ser encontrados em Cazorla e Oliveira (2010).

4.5 Os instrumentos de coleta de dados

Como já mencionamos, há várias formas de coletar os dados. Podemos realizar entrevistas, criar questionários e fichas de observação. Podemos utilizar materiais concretos, fotografias, adesivos, desenhos etc. Podemos ainda utilizar instrumentos de medida como réguas e balanças.

Exemplo de um questionárioNo caso da pesquisa sobre o medo das crianças, podemos elaborar

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um questionário, que deve contemplar as variáveis em estudo, já discutidas anteriormente, que são a idade, o gênero e o tipo de medo (Figura 33).

Ficha da pesquisa: “Do que você tem mais medo?”

Nome do aluno: _______________________________________________

Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino

Idade: ______________ anos completos

Do que é que você tem mais medo? ________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Figura 45 - Exemplo de uma ficha de coleta de dados com categorização a posteriori.

Caso a pesquisa seja feita na escola, isto é, incluindo os alunos do 1º ao 5º ano, será preciso incluir essa variável. Observamos que, como a pergunta é aberta, a criança tratará de exprimir seu sentimento com palavras que ela conhece e, certamente, vamos precisar criar categorias (a posteriori) a partir do registro delas.

Também poderíamos deixar as opções prontas (Figura 34), por exemplo:

Ficha da pesquisa: “Do que você tem mais medo?”

Nome do aluno: ________________________________________________


Idade: ______________ anos completos

Do que é que você tem mais medo? Marque com X a opção que expresse seu

sentimento:

( ) Bandido, ladrão, homem do saco

( ) Fantasmas, espíritos, mula sem cabeça, lobisomem

( ) Animais (jacaré, hipopótamo, leão, cachorro, barata, aranha etc.)

( ) Altura, escuro, ficar de castigo, reprovar de ano

( ) Outro, qual?________________________________________________

Figura 46 - Exemplo de uma ficha de coleta de dados com categorização a priori.



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de

Na pesquisa que utiliza o jogo da memória com os alunos da classe e seus responsáveis (dados emparelhados, Figura 47), as variáveis envolvidas são: gênero, idade, autopercepção de capacidade de memória, bem como o tempo gasto no jogo.

Ficha da pesquisa: “Quem tem mais memória?”

Nome da criança: _______________ Nome do responsável: ___________

Idade: ____________ anos completos Idade: ____________ anos completos

Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino

Você acha que a sua memória é:

( ) Muito Boa

( ) Boa

( ) Regular

( ) Fraca

( ) Muito Fraca

Você acha que a sua memória é:

( ) Muito Boa

( ) Boa

( ) Regular

( ) Fraca

( ) Muito FracaTempo que gastou no jogo:

minutos: _______________

segundos: ______________

Tempo que gastou no jogo:

minutos: ________________

segundos: _______________

Conversão em segundos: _________ Conversão em segundos: __________

Figura 47 - Exemplo de ficha para coletar dados emparelhados.

Chamamos de dados emparelhados, quando eles se referem a uma mesma unidade de dados. Assim, o dado se refere a uma criança e a seu pai (responsável), os dois formam uma única unidade. Se quisermos fazer os instrumentos separados, teríamos que adicionar o nome do pai (responsável) na ficha da criança, e o nome da criança, na ficha do pai (responsável).

Exemplo de fichas de observaçãoNo caso da germinação de sementes, o dado será coletado pela

observação direta na natureza ou no experimento, portanto precisaremos de uma ficha de observação. Notamos que a observação na natureza é muito mais complexa. Nesse tipo de observação, muitas variáveis podem interferir sem termos como controlá-las, como umidade do ar e da terra, fertilidade do solo, época de germinação etc. Já, em uma situação

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experimental, podemos controlar vários desses fatores e escolher os que deixaremos variar.

Para registrar a germinação em uma situação experimental, em que esteja garantida a mesma quantidade de água, o mesmo tipo de terra, a mesma semente e a mesma exposição ao sol, entre outros, podemos elaborar uma ficha (Figura 48) na qual cada criança irá registrar a germinação das sementes sob sua responsabilidade do 1º ao 5º dia.

Ficha da pesquisa: “A germinação das sementes”

Nome do aluno:

Dia Número de sementes que germinaram

1 (24 h após plantadas)





Figura 48 - Exemplo de uma ficha de observação do fenômeno “a germinação das sementes”.

Observamos que, a depender da idade das crianças, podemos coletar o dado em um único dia, simplificando a coleta de dados. Contudo, o acompanhamento ao longo dos dias possibilitará à criança perceber que existe uma variação natural no tempo de germinação, pois nem todas as sementes germinam ao mesmo tempo. Essa constatação levará a criança a pensar em termos média, mediana ou moda, do tipo? Quantos dias demora a semente de alpiste para germinar? E a semente de girassol? As crianças perceberão que não dá para descrever todos os dados e que terão que buscar um valor ou categoria que represente o maior volume dos dados.

4.6 A necessidade de trabalhar com a classificação

Classificar objetos “padronizados” que apenas têm duas características é relativamente simples e, de alguma maneira, a escola já



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trabalha esse tipo de classificação. O problema aparece quando os objetos não são padronizados. Portanto, o trabalho com classificação precisa de uma atenção especial. Infelizmente, o que se tem observado é que o ensino tem se preocupado muito mais com que os alunos memorizem formas de classificar do que no desenvolvimento do pensamento lógico que o permite classificar.

É importante que tenhamos clareza que o trabalho com representações de dados implica também o conhecimento da simbologia específica desse tipo de representação.

Obviamente, a tarefa de classificação se torna mais complexa quando trabalhamos com variáveis conceituais, isto é, aquelas que estão relacionadas aos sentimentos ou ao comportamento das pessoas.

Como vimos no caso da variável “tipo de medo”, qualitativa nominal, podemos deixá-la em aberto e provavelmente teremos respostas muito variadas, ou podemos criar categorias a priori para assim coletar os dados. De qualquer forma, teremos a tarefa de classificação a partir das respostas dadas pelos alunos.

Suponhamos que deixamos a pergunta em aberto “De que você tem mais medo?” e que as respostas foram: barata, mula sem cabeça, bandido, altura, rato, escuro, lobisomem.

Percebe-se que as respostas apresentam diferentes tipos de medo. Podemos dizer que esses alunos têm medo de coisas reais (barata, rato, altura e escuro) e coisas imaginárias (mula sem cabeça e lobisomem). Podemos, também, dizer que esses alunos têm medo de bichos (barata e rato), de assombrações (mula sem cabeça e lobisomem) e de situações (escuro e altura). Assim, os mesmos elementos podem ser classificados de diferentes formas, que dependem do objetivo de quem classifica.

Além disso, é importante que determinemos como vamos registrar. Por exemplo, se classificarmos os medos em duas classes, podemos registrar, apenas, sim e não, ou

Classificar significa veri-ficar em um conjunto de elementos os que têm a mesma propriedade. As categorias devem apre-sentar duas propriedades: exaustividade (representa todos os fatos e ocorrên-cias possíveis) e exclu-sividade (coerência para que qualquer resultado só possa ser representado de uma única maneira), ou seja, as categorias devem ser capazes de exaurir to-das as possibilidades e, ao mesmo tempo, ser mutua-mente excludentes.

para conhecer

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podemos registrar real e imaginário (Figura 49).

Medo Ser real Medo TipoBarata sim Barata realMula sem cabeça não Mula sem cabeça imaginárioLobisomem não Lobisomem imaginário

Rato sim Rato real

Escuro sim Escuro real

Altura sim Altura realFigura 49 - Diversas formas de registrar uma classificação.

Não há, de fato, uma maneira melhor que a outra. Apenas é preciso evitar a mistura das duas numa mesma anotação, como seria caso se anotasse em uma mesma tabela para designar medo real, ora sim ora real.

5 O TRATAMENTO DOS DADOS

Lembramos que a Estatística tem como objetivo organizar e resumir os dados brutos em poucas medidas ou representações que mostrem de forma sintética o perfil dos dados, as tendências e as relações entre as variáveis.

Para realizar essas tarefas, podemos contar com representações em tabelas e gráficos e com as medidas estatísticas tais como: frequências (absoluta e relativa), as medidas de tendência central (média, mediana e moda), medidas de dispersão (amplitude, desvio padrão), entre outras.

5.1 A importância do reconhecimento da natureza da

variável para seu tratamento

Segundo Cazorla e Utsumi (2010), é importante aprender a reconhecer quando uma variável é qualitativa e quando é quantitativa. Aparentemente isto é óbvio, mas não é.

Trabalhos mostram que muitas crianças confundem a variável com



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de

sua frequência e acreditam que uma variável qualitativa é quantitativa porque há números envolvidos em sua contagem. Por exemplo, suponha que estamos trabalhando com a preferência dos alunos pelo “sabor de balas”, logo trata-se de uma variável qualitativa nominal (sabor). Assim, para saber o sabor preferido, contamos quantos alunos gostam daquele sabor, como mostra a Figura 50.

Observe que o “número de alunos que gostam desses sabores” é a frequência com que cada sabor é escolhido e não é a variável. Não existe “sabor médio”. Este equívoco não é raro e alguns alunos chegam até a calcular a média da frequência, somam: 8 + 10 + 2 + 0 + 5, que resulta 25 e dividem por 5, encontrando uma média de 5 alunos por sabor. Qual é o significado deste número? Este número é a média de alunos por sabor. Logo a variável não seria mais o sabor, e sim o “número de alunos por sabor”, muito diferente da variável “sabor preferido”.

Preferência dos aluno

Sabor nº de alunosMenta 8Morango 10Maçã 2Pêssego 0Hortelã 5

Total 25

Figura 50 - Exemplo de erro conceitual ao confundir a variável com sua frequência. Fonte: elaborado pelos autores.

122 EADPedagogia


Outro erro conceitual, encontrado inclusive em livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), é colar as barras quando se trata de uma variável qualitativa, como mostra a Figura 51.

Figura 51 - Exemplo de um erro conceitual ao colar as barras em uma variável qualitativa.

Cazorla e Utsumi (2010) apresentam dois fluxogramas para o tratamento de variáveis qualitativas (Figura 52) e quantitativas (Figura 53), que reproduzimos a seguir.

Figura 52 - Tratamento univariado de variáveis qualitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 16.

TDF emcategorias

Gráfico desetores

Pictogramas

Gráfico debarras/colunas

Nominais

Moda

Ordinais

Variáveis qualitativas

Gráficos MedidasTabelas



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de

Figura 53 – Tratamento univariado de variáveis quantitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 17.

Assumempoucos valores

Assumemmuitos valores

Discretas Contínuas

Variáveis quantitativas

TDF em valores pontuais

Absoluta:amplitude,

desvio médio,variância,

desvio padrão.Relativa:

coeficiente devariação (CV)

Média, medianae moda

Percentis,quartis

Assimetriae curtose

TDF emfaixas

Gráfico debastão

Diagrama depontos (dotplot)

Diagrama depontos (dotplot)

Diagrama decaixa (boxplot)

Diagrama decaixa (boxplot)

Histograma(correção por continuidade)

Histograma(correção por continuidade)

Gráficos GráficosTabelas

Medidas detendência

central

Medidas dedispersão

Medidas deposição

Outrasmedidas

Tabelas

124 EADPedagogia


5.2 Tabela versus tabela estatística

Antes de iniciar o tratamento, torna-se necessário esclarecer o que é uma tabela desde o ponto de vista estatístico. Atualmente, utilizamos o termo “tabela” para nomear várias coisas, tais como, uma lista de compras, um rol de dados, um quadro, uma planilha, um banco de dados.

Tabela: é qualquer orga-nização matricial composta por linhas, colunas, cujas interseções são denomi-nadas de células, onde se encontram os dados, que podem ser números, ca-tegorias, palavras, frases etc.

a) Lista, rol de dados, planilhas de dados, banco de dados

Suponha que estamos investigando a quantidade de produtos que as famílias de nossos alunos compram para um mês, a partir da lista de compras mensal. Essa lista de compras é uma tabela, porém ela não é uma tabela estatística, pois os dados são brutos, não receberam nenhum tratamento, como podemos observar na Figura 54.

Lista de compras do mês da Família de Ana

Lista de compras do mês da Família de Bruna

Item Unidade Quant. Item Unidade Quant.

AçúcarSacos de

1 kg2 Açúcar

Sacos de 1 kg

3

ArrozSacos de

1 kg3 Arroz

Sacos de 1 kg

4

ÓleoGarrafas de

1 litro1 Óleo

Garrafas de1 litro

2

Pasta de dente

Unidade de 300 g

1Pasta de

denteUnidade de

300 g1

Figura 54 - Exemplos de listas de compras das famílias de dois alunos. Fonte: elaborado pelos autores.

Se sistematizássemos os dados dessas listas em uma “tabela”, fazendo apenas a listagem da quantidade dos itens consumidos pelas famílias dos alunos (Figura 55), essa tabela também não seria estatística, pois ela é composta apenas pelos dados brutos das famílias de nossos alunos.

saiba mais



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nida

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Alguns livros chamam este arranjo de tabela, rol de dados, planilha de dados, banco de dados. Neste módulo, optamos por chamar este tipo de tabela de planilha de dados, como veremos logo a seguir, pois apenas transcrevemos os dados brutos para uma lista conjunta, que não receberam nenhum tratamento estatístico.

Família de

Açúcar(Sacos de

1 kg)

Arroz(Sacos de

1 kg)

Óleo(Garrafasde 1 litro)

Pasta de dente (Unidadede 300 g)

Ana 2 3 1 1

Bruna 3 4 2 1

...

Vitor 1 2 1 1

Figura 55 - Exemplo de uma planilha de dados. Fonte: elaborado pelos autores.

b) Tabelas estatísticas

Uma tabela é estatística quando ela apresenta os dados de forma resumida, isto é, após tratamento estatístico dos mesmos. Basicamente existem duas classes de tabelas estatísticas: as Tabelas de Distribuição de Frequência (TDF) e as tabelas resultantes do resumo de dados mais gerais.

i) Tabela de Distribuição de Frequência (TDF)

A Tabela de Distribuição de Frequência – TDF (Figura 56) é utilizada para verificar como se distribuem os dados nas categorias das variáveis qualitativas (a), nos valores pontuais da variável discreta, que toma poucos valores (b) ou nas faixas ou classes, para o caso de variáveis contínuas e discretas que tomam muitos valores (c).

Planilha de dados é uma tabela contendo dados bru-tos ou originais, isto sem nenhum tratamento dos mesmos. Em geral, as li-nhas são utilizadas para os elementos de onde foram extraídos os dados (unida-des populacionais ou sujei-tos da pesquisa) e as colu-nas para as características observadas (variáveis).

saiba mais

Tabela de Distribuição de Frequência (TDF) é um tipo de tabela estatís-tica formada pelas catego-rias (variável qualitativa), valores pontuais (variá-vel discreta) ou intervalos (variável contínua) e sua frequência absoluta ou re-lativa.Frequência absoluta, chamada apenas de frequ-ência, é o número de vezes que ocorre cada uma das categorias, valores ou fai-xas da variável.Frequência relativa é a distribuição dos dados das categorias (valores ou fai-xas) em relação ao todo, expresso em números deci-mais ou em porcentagem.

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126 EADPedagogia


Distribuição de frequência por categorias (a)

Distribuição de frequência por pontos (b)

Distribuição de frequência por intervalos (c)

Mascote em casa

Nº de alunos

Nº de filhos

Nº de famílias

Altura(em cm)

Nº de alunos

Cachorro 3 0 40 125 – 129 2Pássaro 2 1 100 130 – 134 3

Gato 2 2 60 135 – 139 11Outro 3 3 40 140 – 144 8

Nenhum 15 4 10 145 - 149 1

Total 25 Total 250 Total 24Fonte: dados hipotéticos Fonte: dados hipotéticos Fonte: dados hipotéticos

Figura 56 - Exemplo de tabelas de distribuição de frequência. Fonte: elaborado pelos autores.

ii) Outras tabelas estatísticas

Existem outras tabelas estatísticas (Figura 57), como, por exemplo, as séries temporais, cronológicas ou históricas (a), geográficas, espaciais ou territoriais (b) e séries específicas ou qualitativas (c). Observem que os números são resultantes da contagem ou da soma de quantidades, em valores absolutos ou em distribuição percentual.

Figura 57. Exemplo de tabelas estatísticas.

Nesta unidade, vamos trabalhar com as TDF, pois elas nos ajudam a sistematizar os dados que coletamos com nossos alunos. Quando

Série temporal (a) Série geográfica (b) Série específica (c)

Ano Nº de alunos Região Água do

Brasil (%)Cereal

(em grão)Produção (em mil t)

2005 950 Norte 70,0 Soja 51,2

2006 1000 Centro Oeste 15,0 Milho 35,1

2007 1050 Sudeste 6,0 Arroz 13,2

2008 1100 Sul 6,0 Trigo 4,7

2009 1150 Nordeste 3,0 Feijão 3,0

2010 1200 Total 100,0 Total 107,2

Fonte: dados fictícios Fonte: http://www.cpt.org.br Fonte: IBGE / t: toneladas



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usarmos a palavra tabela, estaremos fazendo como sinônimo de tabela estatística.

5.3 Do caos à organização de dados

Uma vez que coletamos os dados, precisamos sistematizá-los. Para isso, contamos com várias estratégias que devem ser avaliadas para verificar qual delas se adéqua à natureza dos dados e à faixa etária dos alunos. A seguir, vamos apresentar três formas de sistematização e que desenvolveremos, nas seções 5.5 (construção de tabelas) e 5.7 (construção de gráficos): a primeira, a partir da organização espacial e movimentação dos próprios alunos (dotplot humano); a segunda, a partir da contagem direta dos dados; a terceira, a contagem a partir da planilha construída com base nos instrumentos de coleta de dados.

a) A organização espacial e movimentação dos alunosEste tipo de configuração só é possível para dados coletados do próprio aluno, na sala de aula, que, em geral, é menor do que 50 alunos. Isto se deve ao fato de que trabalharemos com a escala unitária. A ideia é focar a relação biunívoca entre o dado do aluno e sua representação.

b) A partir da contagem direta Podemos sistematizar os dados em uma tabela, fazendo uma contagem direta. Suponhamos que estamos investigando o time de futebol favorito dos alunos de nossa classe. Neste caso, podemos solicitar às crianças para levantar a mão à medida que vamos enunciando o time favorito.

Apenas a título de ilus-tração, observamos que, quando escrevemos um trabalho científico, deve-mos respeitar as normas estipuladas pela Associa-ção Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) que nor-matizam a apresentação das tabelas. Por essas nor-mas, a tabela só poderá ter linhas no cabeçalho e no fechamento. Já os quadros podem utilizar livremente linhas.

Em trabalhos científicos distinguimos quadros de tabelas. Em geral as tabe-las são utilizadas para co-municar dados estatísticos e os quadros para orga-nizar a informação, qua-litativa e/ou quantitativa. Lembrar que toda tabela é um quadro, mas nem todo quadro é uma tabela.

atenção

128 EADPedagogia


Por exemplo: “Levantem a mão todos os alunos cujo time favorito é o Palmeiras”, fazemos a contagem e anotamos em uma tabela, no quadro.

c) A partir da planilha de dados As planilhas de dados, como vimos na seção 5.2, nos auxiliam na organização dos dados brutos, a partir das variáveis observadas em cada um dos sujeitos da pesquisa. Recomendamos seu uso quando coletamos duas ou mais variáveis e quando precisamos “cruzar” as variáveis, isto é, resumir uma variável em função de outra, como veremos a seguir.

5.4 Construindo a planilha de dados

Devemos utilizar planilhas de dados quando levantamos duas ou mais variáveis, pois o registro dos dados brutos nos garante a fidelidade dos dados, sua organização em tabelas e gráficos, bem como a revisão dos mesmos, caso haja alguma dúvida.

A planilha de dados deverá ser construída em um cartaz grande, pode ser em papel madeira ou cartolina. Sua construção deve estar de acordo com o instrumento de pesquisa. Vejamos com o exemplo da pesquisa sobre o maior medo das crianças.

Neste exemplo, nossa planilha terá 34 linhas. A primeira para o cabeçalho e uma linha para cada um dos 33 alunos. Essa planilha terá quatro colunas, a primeira para o nome do aluno, a segunda para o gênero, a terceira para a idade e a quarta para o tipo de medo. A Figura 58 mostra a passagem da ficha da pesquisa para a planilha e o Quadro 4 apresenta a planilha de dados totalmente preenchida.

Lembramos que, quando construímos a planilha de dados, utilizamos códigos que nos ajudam a simplificar o trabalho. Por exemplo, ao invés de escrever por extenso “Feminino”, escrevemos apenas a letra “F” maiúscula e, “M” maiúscula para “Masculino”.



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Figura 58 - Exemplo de ficha de coleta de dados e arcabouço da planilha de dados em branco e preenchida. Fonte: elaborado pelos autores.

A partir dessa planilha com os dados primários ou brutos, podemos iniciar o tratamento dos mesmos categorizando os tipos de medo em classes. Neste exemplo, utilizamos duas classes: real e imaginário. Podemos, ainda, criar subclasses. Para a classe real, podemos ter: “real-pessoa”, “real-bicho” e “real-situação” e para imaginários é possível ter: “imaginário-folclore” e “imaginário-personagem”. Assim, os tipos de medo: ladrão, bandido e marginal são dados primários e foram classificados como “real-pessoa”. Dessa forma, os tipos de medo são dados primários, ou seja, dados brutos, enquanto a classe “real-pessoa” é um dado secundário, deriva-se da junção de três tipos de medo.

Da mesma forma, a variável “número de letras do nome” é um dado secundário, pois as crianças apenas escreveram seus nomes (dado bruto) e, a partir do nome, contamos e registramos a quantidade de letras do nome na coluna correspondente. Ressaltamos que os dados são fictícios. Aproveitamos e colocamos os dado secundários na mesma planilha, como pode ser observado no Quadro 4.

Ficha da pesquisa:

“Do que você tem mais medo?”

Nome do aluno: ______________________


Idade: __________ anos completos

Do que é que você tem mais medo? ______

Ficha da pesquisa:

“Do que você tem mais medo?”

Nome do aluno: Ana

Gênero: ( ) Masculino (X) Feminino

Idade: 8 anos completos

Do que é que você tem mais medo? Ladrão

Arcabouço da planilha de dados

Nome G I Tipo de medo

Ana

Artur

Bianca

Bruna

Beto

Planilha de dados preenchida


Ana F 8 Ladrão

Artur

Bianca

Bruna

Beto

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Figura 58 - Exemplo de ficha de coleta de dados e arcabouço da planilha de dados em branco e preenchida. Fonte: elaborado pelos autores.

A partir dessa planilha com os dados primários ou brutos, podemos iniciar o tratamento dos mesmos categorizando os tipos de medo em classes. Neste exemplo, utilizamos duas classes: real e imaginário. Podemos, ainda, criar subclasses. Para a classe real, podemos ter: “real-pessoa”, “real-bicho” e “real-situação” e para imaginários é possível ter: “imaginário-folclore” e “imaginário-personagem”. Assim, os tipos de medo: ladrão, bandido e marginal são dados primários e foram classificados como “real-pessoa”. Dessa forma, os tipos de medo são dados primários, ou seja, dados brutos, enquanto a classe “real-pessoa” é um dado secundário, deriva-se da junção de três tipos de medo.

Da mesma forma, a variável “número de letras do nome” é um dado secundário, pois as crianças apenas escreveram seus nomes (dado bruto) e, a partir do nome, contamos e registramos a quantidade de letras do nome na coluna correspondente. Ressaltamos que os dados são fictícios. Aproveitamos e colocamos os dado secundários na mesma planilha, como pode ser observado no Quadro 4.

Quadro 4 - Planilha de dados da pesquisa: “do que você tem mais medo?”

Dados primários (brutos) Dados secundários

Nome G I Tipo de medo Classe de medo Subclasse de medo

Nº de letras

do nome

Ana F 8 Ladrão Real Real Pessoa 3

Artur M 8 Rato Real Real Bicho 5

Bianca F 8 Altura Real Real Situação 6

Bruna F 9 Leão Real Real Bicho 5

Beto M 9 Mula sem cabeça Imaginário Imaginário Folclore 4

Breno M 8 Bandido Real Real Pessoa 5

Carla F 7 Mula sem cabeça Imaginário Imaginário Folclore 5

Camila F 8 Bicho papão Imaginário Imaginário Folclore 6

Daniel M 9 Tiranossauro Imaginário Imaginário Personagem 6

Denise F 9 Lugar alto Real Real Situação 6

Deise F 8 Escuro Real Real Situação 5

Emilio M 8 Escuro Real Real Situação 6

Fabio M 7 Cobra Real Real Bicho 5

Felipe M 9 Marginal Real Real Pessoa 6

Gilda F 8 Rato Real Real Bicho 5

Gabriela F 8 Coringa Imaginário Imaginário Personagem 8

Irene F 8 Altura Real Real Situação 5

José M 9 Homem mascarado Real Real Pessoa 4

Juliana F 9 Palhaço Real Real Pessoa 7

Luiz M 8 Dinossauro Imaginário Imaginário Personagem 4

Luciana F 7 Bandido Real Real Pessoa 7

Mariana F 8 Bruxa Imaginário Imaginário Personagem 7

Marcelo M 8 Saci Imaginário Imaginário Folclore 7

Milton M 8 Bicho papão Imaginário Imaginário Folclore 6

Paulo M 8 Tubarão Real Real Bicho 5

Pâmela F 9 Fantasma Imaginário Imaginário Personagem 6

Pedro M 7 Feiticeira Imaginário Imaginário Personagem 5

Rui M 7 Barata Real Real Bicho 3

Renata F 8 Rato Real Real Bicho 6

Sandra F 8 Tiranossauro Imaginário Imaginário Personagem 6

Saulo M 8 Ladrão Real Real Pessoa 5

Vera F 8 Cachorro Real Real Bicho 4

Vanessa F 9 Fantasma Imaginário Imaginário Personagem 7

Fonte: Dados fictícios de uma turma do 3º ano.



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Observe que nem todo mundo pode concordar com que Tiranossauro ou Dinossauro sejam categorizados como “imaginário personagem”, talvez alguém queira sugerir a criação de uma nova categoria “imaginário bicho”. Já com a resposta “fantasma”, não sabemos se a criança se referiu ao personagem fantasma do filme ou ao fantasma de assombração, neste caso, seria mais adequado classificá-lo em “imaginário folclore”.

5.5 Construindo a Tabela de Distribuição de

Frequências (TDF) simples

a) Construindo TDF a partir da contagem diretaComo já mencionamos, esta estratégia é simples e recomendamos utilizá-la quando estamos interessados em analisar variáveis de forma isolada, sem cruzá-las com outras variáveis. Basta solicitar às crianças para levantar a mão à medida que vamos enunciando a categoria (time favorito, Figura 59) ou o número (número de irmãos, Figura 60). Por exemplo: “Levantem a mão todos os alunos que não têm irmãos”, fazemos a contagem e registramos no quadro negro ou no cartaz.

Professor, reforce a ob-servação da natureza das variáveis. A idade é uma variável quantitativa, já o gênero e os tipos de medo são variáveis qualitativas nominais; bem como, o que é um dado primário (bruto) e o que é um dado secundário.

atenção

sugestão

Se sua escola tem labora-tório de Informática, apro-veite esta oportunidade para utilizar uma planilha eletrônica, como o CALC do Open Office, a planilha compartilhada como a do Google, ou do AVALE.

para conhecer

O Ambiente Virtual de Apoio ao Letramento Es-tatístico – AVALE (http://www.iat.educacao.ba.gov.br/avaleeb) pode ser utilizado, de forma gratuita e on-line, para tratar dados de pesquisa.

Time de futebol favorito

Nº de alunos

Palmeiras 6

Flamengo 10

Cruzeiro 5

Vasco 4

Total 25Figura 59 - A TDF a partir da contagem

direta de uma variável qualitativa.

Número de irmãos

Nº de alunos

0 4

1 102 5

3 4

4 0

5 2

Total 25

Figura 60 - TDF construída a partir da contagem direta de uma variável discreta.

132 EADPedagogia


Contudo, nesse tipo de sistematização, podemos esquecer de contar um aluno ou algum aluno distraído pode levantar a mão duas vezes. Nesse caso, a quantidade de alunos da sala não será igual à soma das frequências representadas na tabela. Perderemos, assim, o controle da sistematização.

Para evitar essa confusão, podemos pegar a lista de chamada, chamar aluno por aluno e solicitar que cada um diga o seu time favorito ou número de irmãos e, a cada indicação, vamos fazendo um risco na tabela. Ao final, realizamos a contagem e estamos prontos para gerar a TDF, como mostramos na Figura 61.

Time de futebol favorito Contagem Time de futebol favorito Nº de alunos

Palmeiras ||||| | Palmeiras 6

Flamengo ||||| ||||| Flamengo 10

Cruzeiro ||||| Cruzeiro 5

Vasco |||| Vasco 4

Total Total 25

Figura 61 - Forma de registro utilizando a lista de chamada e gerando a TDF.

b) Construindo TDF a partir da planilha de dadosPara construir a TDF, a partir da planilha de dados, basta contar o número de vezes que se repete uma categoria (variável qualitativa) ou o valor da variável em estudo (discreta).

Na Figura 62, apresentamos as fases da construção da TDF para a variável qualitativa “gênero”. Este tipo de tabela contém a frequência absoluta com que aparece cada categoria e sua frequência relativa (expressa em porcentagem).

Gênero Contagem Gênero Nº de alunos %

Feminino ||||| ||||| ||||| ||| Feminino 18 54,5

Masculino ||||| ||||| ||||| Masculino 15 45,5

Total Total 33 100,0

Figura 62 - Fases da construção da TDF. Fonte: elaborado pelos autores.

Nome Gênero

Ana F

Artur MBianca FBruna F

Beto M

...



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Note que 18 do total de 33 alunos são meninas, portanto, teríamos uma fração de 18/33 do total de alunos. Precisamos, transformar para uma fração de base 100. A pergunta seria então: se o total fosse 100 crianças, quantas seriam meninas? Logo, estamos diante de um problema multiplicativo de proporcionalidade simples.

Meninas Alunos Meninas Alunos

?18

10033

?18

10033

São várias as formas de calcular o valor desejado. Uma delas é calcular a fração 18/33 da quantidade 100. Portanto, basta calcular 18/33 x 100 = 54,5. Então teríamos que 54,5% dos alunos são meninas. Outra maneira é calcular a razão entre 33 e 100. Essa razão deve ser a mesma entre 18 meninas e a quantidade de meninas procurada. Por-tanto: ?/18 = 100/33, nesse caso também temos que: ? = 18 x 100 ÷ 33 = 54,5.Professor, é importante salientar que você precisa estar atento para verificar se seus alunos já são capazes de trabalhar com porcentagem.

Buscando compreender uma TDF, você, professor, pode perguntar para a classe: o que significa o número 18 na coluna “número de alunos”? Tal pergunta permite que o aluno estabeleça a relação entre a coluna do número de alunos (frequência absoluta) com a categoria da variável “gênero”. Assim, o número 18 significa que 18 alunos são do gênero feminino. Podemos dizer, ainda, que 54,5% dos alunos são do gênero feminino. Na Tabela 2, apresentamos a distribuição do medo por subclasses e na Tabela 2 por classes de medo.

Neste módulo, optamos por apresentar as tabelas no formato final, de uma tabela estatística, seguindo as recomendações da ABNT. Nos outros casos, as colocamos como figuras ou quadros.

Como se obtem a porcentagem?

Subclasse de medo Nº de alunos %

Imaginário folclore 5 15,2Imaginário personagem 8 24,2

Real bicho 8 24,2Real pessoa 7 21,2Real situação 5 15,2Total 33 100,0

Classe de medo

Nº de alunos %

Imaginário 13 39,4

Real 20 60,6

Total 33 100,0

Tabela 1Distribuição das subclasses medo dos alunos

Tabela 2Distribuição das classes de medo dos alunos

134 EADPedagogia


Acreditamos que para trabalhar neste nível escolar não podemos ser rigorosos com a construção das tabelas, até porque as grades (linhas internas) nas tabelas ajudam na leitura e no acompanhamento da leitura de dados, tanto por linha, quanto por coluna.

5.6 Construindo tabelas de dupla entrada

Apresentamos a seguir as fases da construção de uma tabela de dupla entrada, a qual relaciona a variável gênero com a variável classe de medo (Figura 63) e, na Tabela 3, apresentamos a variável classe de medo por gênero.

Figura 63 - Fases da construção de uma tabela de dupla entrada.

Tabela 3 - Distribuição das classes de medos segundo o gênero

Observe que aqui estamos interessados em saber se as meninas têm medos diferentes dos meninos e, para isso, só podemos realizar uma comparação a partir do percentual, uma vez que temos mais meninas do que meninos. A Tabela 3 mostra que a maioria dos meninos e das meninas

Contagem para uma tabela dupla

Medo Feminino Masculino

Imaginário ||||| || ||||| |

Real |||| ||||| | ||||| ||||

Total||||| |||||

||||| |||

||||| |||||

|||||


Classe de medo

Ana F 8 Ladrão Real

Artur M 8 Rato Real

Bianca F 8 Altura Real

Bruna F 9 Leão Real

Beto M 9 Mula sem cabeça Imaginário

Breno M 8 Bandido Real

Classe de medos

Feminino Masculino TotalNº % Nº % Nº %

Imaginário 7 38,9 6 40,0 13 39,4

Real 11 61,1 9 60,0 20 60,6

Total 18 100,0 15 100,0 33 100,0



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tem mais medo de coisas reais, do que imaginárias. A tabela também mostra que a diferença entre as classes de medos de meninas e meninos é tão pequena (1,1%), que nos permite dizer que não há diferença. Isto ficará mais evidente com o gráfico de barras duplas.

Como vimos até agora, uma análise realizada através da tabela exige uma habilidade de leitura deste tipo de representação a qual nem sempre é tão simples e intuitiva para a criança. Assim, é preciso um trabalho sistematizado em sala de aula.

Além das tabelas, a Estatística disponibiliza diferentes formas gráficas para representar as mesmas informações a qual é visualmente mais fácil de ser compreendida.

5.7 Construindo gráficos

Os gráficos são representações poderosas, pois em um golpe de vista podem propiciar a compreensão dos padrões subjacente aos dados. Recomendamos que os alunos sejam solicitados a construir gráficos com lápis e papel quadriculado ou milimetrado para que os mesmos possam se apropriar melhor dos conceitos e representações envolvidos.

Se a escola tiver laboratório de informática, recomendamos utilizar planilhas eletrônicas e o AVALE para construir as tabelas e os gráficos. Estes recursos tecnológicos ajudam a aula ser mais lúdica e potencializa a aprendizagem dos alunos.

a) Construindo o pictogramaQuando trabalhamos com variáveis qualitativas, podemos utilizar

o próprio corpo da criança para fazer a primeira representação dos dados, depois podemos utilizar material concreto que represente o dado da criança e, finalmente, chegamos aos pictogramas, onde utilizamos ícones para representar os dados e, de forma mais geral, podemos utilizar o gráfico de barras ou de setores, onde os dados se misturam desaparecendo a relação biunívoca entre o dado e sua representação. Vejamos isso com exemplos.

Para representar a variável “Time de futebol favorito”, solicitamos

136 EADPedagogia


aos alunos que formem filas de acordo com o time de sua preferência, como podemos observar no esquema da Figura 64.

Time de futebol favorito

Formação de filas de criançasNº de alunos

Palmeiras 6

Flamengo 10

Cruzeiro 5

Vasco 4

Total 25

Figura 64. Representação com o corpo do time de futebol favorito. Fonte: elaborado pelos autores.

Também podemos utilizar materiais concretos para representar o dado da criança. Por exemplo, podemos solicitar que cada criança pegue uma caixa de fósforo, escreva seu nome nela e a coloque na pilha de seu time. Este recurso foi utilizado por Buehring (2006) para representar a distribuição por gênero dos seus alunos, Figuras 65 e 66.

Figura 66 - As caixinhas foram coladas desta maneira.Figura 65 - Os alunos organizaram e contaram as caixinhas.



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Também podemos utilizar ícones, escudos ou camisetas dos times, confeccionados com cartolina, emborrachados ou com adesivos, de tamanhos padronizados. Na Figura 67, apresentamos um pictograma, construído no quadro, utilizando camisetas dos times, confeccionadas com emborrachado, medindo 5 cm x 5 cm.

Neste caso, cada aluno pega a camiseta de seu time, colando-a no quadro ou na cartolina. Nesse movimento, o aluno percebe que aquela camiseta representa sua opinião e isso é possível porque a construção é coletiva.

Quando os alunos constroem os pictogramas no papel, em geral, se perde o movimento que faz com que o aluno perceba a relação biunívoca entre o dado e sua representação.

Observe que essa correspondência biunívoca entre aluno e a caixa de fósforo, ou com o material emborrachado ou com o desenho no papel é permitida pelo movimento do aluno “vivenciar” a representação.

Como veremos mais adiante, quando tratamos os dados diretamente da planilha esse movimento se perde e é mais difícil a criança perceber como os dados gerados por ela geram as tabelas e os gráficos.

b) Construindo o dotplotO diagrama de pontos ou “dotplot” é um gráfico

estatístico, resultado de utilizarmos um ponto na escala numérica para representar um dado. Portanto, é adequado apenas para variáveis quantitativas.

Aparentemente, este gráfico é complexo, mas não se iniciarmos seu ensino utilizando a distribuição espacial da variável, utilizando o corpo do próprio aluno, que Silva, Magina e Silva (2010) denominam de “dotplot humano”.

Recomendamos o uso do “dotplot humano” para variáveis discretas que tomam poucos valores (número do calçado, número de irmãos etc.) ou contínuas, como por

Pictograma

é uma representação grá-fica em que utiliza ícones para representar os da-dos.

Figura 67 - Pictograma construído com material emborrachado para o time favorito no quadro. Fonte: Figura 12 de Cazorla e Santana (2010), p. 30.

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exemplo a altura, pois são variáveis visíveis e fáceis de trabalhar. Outras variáveis podem atrapalhar ao invés de ajudar. Também, deve-se observar a quantidade de dados (essa não pode ser muito grande, no máximo 50), adequada para trabalhar com os alunos da sala.

Na Figura 68, mostramos uma fotografia com a configuração do dotplot humano para a altura (esquerda) e do número de calçado de alunos (direita) de duas escolas públicas da Bahia. Para isso, basta solicitar aos alunos que formem fila segundo a altura ou segundo o número do calçado. Observe que as meninas estão à esquerda, nos números menores e os meninos, à direita, nos números maiores. Na Figura 69, mostramos o dotplot no papel e na parte inferior o gráfico de barras, construídos com uma planilha eletrônica. Professor, observe como no gráfico de barras se perdeu a relação biunívoca entre o dado e sua representação.

Figura 68 – Dotplot humano da altura (esquerda) e do número do calçado (direita).Fonte: Figura 2 e Figura 3 de Cazorla e Kataoka (2011), p. 43.

Figura 69 - Dotplot no papel e gráfico de barras do número do calçado. Fonte: elaborado pelos autores.



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c) Construindo o gráfico de barras / colunasO gráfico de barras é apropriado para representar as variáveis

qualitativas. Assim para cada categoria é levantada uma barra vertical (coluna) ou barra horizontal. No gráfico de barras construído no papel quadriculado, cada quadradinho equivale a um sujeito ou ícone do pictograma.

Essa relação um quadrado para cada dado (aluno) precisa ser bem compreendida pelos alunos. Veja na Figura 70 o que um menino de 9 anos, que cursava o 4º ano, fez para representar 28 pastores alemães e 22 dálmatas.

No gráfico de barras, a altura da barra indica o número de alunos. Neste caso, para saber a frequência devemos contar quantos quadradinhos tem cada barra, o que é fácil se tivermos uma malha por trás do gráfico (a), ou se tivermos o número (rótulo) em cima da barra (b). A rigor, o gráfico de barras é formado por barras contínuas (Figura 71).

Figura 71 - Exemplo de construção de gráfico de barras com escala unitária. Fonte: elaborado pelos autores.

Observamos que o menino estabe-leceu a relação um quadrado para cada unidade, mas achou que se os quadrados estivessem pintados, estava construindo um gráfico de barras, independente de se consti-tuírem como uma coluna.

Figura 70 - Tentativa de representação em gráfico de barras. Fonte: Guimarães (2002).

a) Na malha quadriculada: Time de futebol

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Palmeiras Flamengo Cruzeiro Vasco

b) Numa planilha eletrônica: Time de futebol

10

10

9

8

7 6

6 5

5 4

4

3

2

1

Palmeiras Flamengo Cruzeiro Vasco

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Na construção do gráfico no papel e lápis, lembramos ao professor a necessidade das barras terem a mesma largura, o mesmo vale para o espaçamento entre as barras. Por outro lado, as barras não podem ser coladas umas às outras. Neste caso, o gráfico deixaria de ser gráfico de barras e passaria a ser um histograma, próprio de variáveis contínuas ou discretas que tomam muitos valores.

Assim como na tabela, aqui também é possível trabalhar com a porcentagem. Nesse caso, estaríamos saindo da escala unitária para uma escala proporcional, que precisará ser calibrada; sendo que, para isso, o aluno precisaria conhecer proporcionalidade (por exemplo, um quadradinho poderia representar 5 unidades, 10 unidades, ou qualquer outro número).

Todavia, precisamos ter muita atenção com esse ponto. Muitas vezes os gráficos que nos são mostrados apresentam distorções. Cavalcanti, Natrielli e Guimarães (2010) descobriram que 39% dos gráficos na mídia impressa, por elas analisados, apresentavam erros de proporcionalidade na escala. Assim, é fundamental que os alunos compreendam uma escala para serem leitores críticos das informações, como é o desejado.

Observe que esse trabalho não é trivial, pois exige o domínio de proporcionalidade. Neste caso, avalie a possibilidade de seus alunos compreenderem essa discussão. Por outro lado, o trabalho com a proporcionalidade é fundamental desde os primeiros anos. A literatura infantil apresenta algumas histórias que podem ser utilizadas para deflagrar a discussão como a história dos ursos e a menina de cachinhos de ouro.

Neste ponto, é importante mostrar a relação entre os valores da variável e sua frequência. Via de regra, os valores da variável vão no eixo horizontal (abscissa) e sua frequência (número de alunos) no eixo vertical (ordenada). Porém podemos apresentar os dados em um gráfico de barras horizontal. Para isso basta trocar os eixos (Figura 72).

Figura 72 - Exemplo de gráfico de barras horizontal com escala proporcional



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A rigor o gráfico de barras de uma variável deve utilizar apenas uma cor, não deveríamos utilizar duas cores ou mais. Contudo, se representarmos esses dados em um gráfico circular, cada setor teria cores diferentes para distingui-las. Portanto, poderíamos seguir este raciocínio e colorir as barras.

Porém, devemos ter cuidado, pois o gráfico circular, como veremos, mais adiante, é recomendado para representar situações parte-todo, o que dá sentido colorir cada setor ou cada barra.

Isso não será mais válido quando construímos um gráfico de barras para uma série temporal, por exemplo, o IDEB dos estados do Nordeste; ou quando comparamos duas variáveis, como veremos a seguir.

a) Construindo o gráfico de barras duplasA Tabela 3 mostra que a maioria dos meninos e das

meninas tem mais medo de coisas reais, do que imaginárias. A tabela também mostra que a diferença entre os medos de meninas e meninos é pequena (menos de 2%), o que nos permite afirmar que não há diferença. Observe como isto fica mais evidente com o gráfico de barras duplas, como podemos ver na Figura 73.

Professor, observe que quando os tamanhos dos grupos forem mui-to diferentes, o valor absoluto pode nos in-duzir ao erro. Por essa razão, nesses casos, aconselhamos traba-lhar com a estrutura percentual que elimina esse problema.

atenção

Figura 73 - Exemplo de gráfico de barras duplas. Fonte: elaborado pelos autores.

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b) Construindo o gráfico de setores Esse tipo de gráfico é utilizado para representar variáveis

qualitativas, quando estamos interessados em observar a relação parte-todo, em especial, as variáveis nominais; pois no caso das variáveis ordinais, pode ser que exista algum padrão relacionado a ordem das classes e, nesses casos, é melhor o gráficos de barras.

A interpretação desse tipo de gráfico pode ser trabalhada com crianças pequenas, entretanto sua construção não é muito simples. Para construirmos um gráfico de setor é preciso compreender a relação parte-todo expressa nas frações, a divisão dos ângulos de uma circunferência e a proporcionalidade entre frequência e ângulo das partes (categorias) em relação ao todo.

Por outro lado, temos outras opções para abordarmos essa representação. A primeira opção é iniciar um trabalho com frequência ou percentuais mais facilmente desenhados como ½ e ¼ (Figura 74). Assim, metade equivale a 50% do círculo, um quarto a 25% e assim por diante.

Figura 74 - Exemplo de equivalência entre frações, porcentagem e setores do círculo. Fonte: elaborado pelos autores.

A segunda opção é disponibilizar uma malha circular, como mostra a Figura 75, onde cada setor (fatia) corresponde a 5%. Outra opção é construirmos o gráfico em uma planilha eletrônica como o do Excel da Microsoft ou do CALC do Open Office, que é gratuito. Essas planilhas realizam todos os cálculos e calibram as escalas automaticamente, como mostra a Figura 76.

Categoria Nº de alunos Frações %

Não 5 1/8 12,5Pouco 5 1/8 12,5Regular 10 1/4 25,0Muito 20 1/2 50,0Total 40 1 100,0

muito50,0%

não12,5%

não12,5%

regular25,5%



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c) Construindo o gráfico de linhasO gráfico de linhas normalmente é utilizado quando queremos

mostrar uma tendência nos nossos dados. Se quisermos, por exemplo, o ritmo de crescimento das crianças, podemos pedir que tragam seu “Cartão de Vacina”. Nesse cartão, além do controle das vacinas, existem dois gráficos de linhas. Um para acompanhar o peso (massa) e o outro a altura.

Os livros didáticos, os jornais e revistas têm muitos exemplos. Peça às crianças para trazerem recortes de jornais e revistas com diversos tipos de gráficos e aproveite para mostrar a elas a variedade de gráficos que permeia os noticiários.

Flamengo40,0%

Vasco12,5%

Cruzeiro12,5%

Palmeiras25,5%

Figura 75 - Malha circular Figura 76 - Gráfico construído no Excel.

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ATIVIDADES

Só se aprende Estatística fazendo Estatística. Por essa razão sugerimos que a cada aula se aplique o conhecimento aprendido com o banco de dados da pesquisa da altura das crianças.

Nesse caso, havia sido questionado se os meninos são mais altos do que as meninas, e levantou-se a hipótese que sim, pois em geral os homens são mais altos que as mulheres. Como nessa faixa etária a altura das crianças depende fortemente da idade e do gênero, estas serão as variáveis a ser coletadas, conforme Ficha da Figura 77.

Ficha de pesquisa: “Os meninos são mais altos do que as meninas?”

Ficha de pesquisa: “Os meninos são mais altos do que as meninas?”

Nome do aluno: ________________Turma: ______ Ano: ___________Gênero: ( ) M ( ) FIdade: _______________________Altura: _______________________

Nome do aluno: AlbertoTurma: A Ano: 1ºGênero: ( X ) M ( ) FIdade: 5 anos e 7 mesesAltura: 1,10 m

Figura 77 - Exemplo de ficha de coleta de dados em branco e preenchida.

Observar que os dados foram coletados em anos e meses e se quisermos trabalhar essa variável, vamos ter que transformar esses dados, ou para anos completos, ou transformar para a base 10. Lembrar que a idade está em base 12, logo 8 anos e 6 meses, é igual a 8,5 no sistema decimal. Assim, aproveite este tema para trabalhar a equivalência dos meses do ano com o sistema de numeração decimal. Chamar a atenção dos alunos que 3 meses equivale a um quarto do ano (¼), 6 meses a metade do ano (½) etc.

Quadro 5 - Planilha de dados da pesquisa sobre a altura dos alunos

Dados originais Idade em anos

completosNome Turma Gênero IdadeAltura (m)

Alberto 1º ano A M 5 anos e 7 meses 1,10 5João 1º ano A M 6 anos 1,00 6Tereza 1º ano A F 5 anos e 10 meses 1,15 5

ATIVIDADES



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Pedro 1º ano B M 6 anos e 1 mês 1,04 6Ana 1º ano B F 5 anos e 2 meses 1,20 5Telma 1º ano B F 6 anos e 5 meses 1,08 6Valter 2º ano A M 6 anos 1,01 6Marcos 2º ano A M 7 anos e 3 meses 1,10 7Telma 2º ano A F 8 anos 1,20 8Geisa 2º ano B F 6 anos e 11 meses 1,08 6Gertrudes 2º ano B F 7 anos e 5 meses 1,35 7Maurício 2º ano B M 8 anos e 6 meses 1,30 8Manoel 3º ano A M 8 anos 1,10 8José 3º ano A M 8 anos e 10 meses 1,20 8Maria 3º ano A F 8 anos e 5 meses 1,30 8Marta 3º ano B F 7 anos e 5 meses 1,10 7Maria de Fátima 3º ano B F 7 anos e 10 meses 1,20 7Miguel 3º ano B M 8 anos e 2 meses 1,13 8Aída 4º ano A F 8 anos e 11 meses 1,36 8Michelle 4º ano A F 9 anos e 10 meses 1,40 9Severina 4º ano A F 10 anos 1,45 10Severo 4º ano B M 10 anos e 2 meses 1,35 10Michael 4º ano B M 9 anos e 2 meses 1,35 9Arquimedes 4º ano B M 9 anos e 4 meses 1,43 9João 5º ano A M 10 anos 1,15 10Josué 5º ano A M 10 anos e 3 meses 1,34 10Maria 5º ano A F 10 anos e 7 meses 1,46 10Miriam 5º ano B F 11 anos 1,35 11Tereza 5º ano B F 10 anos e 9 meses 1,48 10Norberto 5º ano B M 11 anos e 3 meses 1,52 11Soma 37,28

Fonte: dados fictícios.

Tomando com referência a planilha de dados:a) Construa a TDF para as variáveis gênero e idade (anos completos).b) Construa a tabela de dupla entrada do ano escolar (linha) e idade

em anos completos (coluna).c) Construa a tabela de dupla entrada do gênero (linha) e idade em

anos completos (coluna).d) Construa um gráfico de barras para a altura por idade.e) Construa um gráfico de barras duplas para a altura por idade e

gênero.f) Interprete os resultados. Há evidências de que os meninos são

mais altos do que as meninas?

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RESUMINDO

Caro professor, como você deve ter percebido, a Estatística permeia o nosso mundo, logo precisamos aprender seus conceitos básicos, pois eles são extremamente úteis no nosso cotidiano. Não apenas para ler e compreender as notícias veiculadas pelos meios de comunicação e tomar decisões conscientes; mas para analisar nossas hipóteses, conjeturar a partir das evidências de dados.

Para isso é preciso escolher um tema de pesquisa de interesse dos alunos, algo que seja fácil de levantar os dados e trabalhar ao longo das aulas. Lembre-se da importância de se ter questões de investigação e que as mesmas deverão ser respondidas ao final do tratamento dos dados.

Uma vez escolhido o tema, discuta com seus estudantes as variáveis a serem levantadas, como elas se relacionam e como elas respondem as perguntas da investigação. Não levante dados desnecessários, a menos que queira aproveitar a oportunidade, mas deixe isso muito claro.

A seguir construa o instrumento de coleta de dados, discutindo a natureza das variáveis, sua operacionalização e tratamento. Esta fase de planejamento é crucial para o entendimento global da pesquisa. Colete os dados.

Antes de iniciar o tratamento dos dados, analise qual é a melhor maneira de apresentar os dados: tabelas, gráficos ou medidas resumidas (que serão apresentadas na próxima unidade). Como um exercício de aprimoramento e fixação, podemos calcular e construir tudo, mas para fazer o relatório escolhemos as estatísticas que melhor respondem as perguntas de pesquisa.

Na próxima unidade, vamos apresentar as estatísticas (medidas resumo) que completam a análise de dados nesta etapa escolar; um exemplo de como podemos apresentar os resultados em um relatório e as referências, pois estas duas unidades tratam de Estatística.

RESUMINDO



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Suas anotações

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TRATAMENTODA INFORMAÇÃO -

MEDIDAS ESTATÍSTICAS

OBJETIVOS


y calcular as medidas de tendência central: média, mediana e moda;

y interpretar o fenômeno em estudo a partir da leitura de

tabelas, gráficos e medidas de tendência central.

4ªunidade

1 VIVEMOS NUM MUNDO PERMEADO DE ESTATÍSTICAS

Quem não conhece a média aritmética, ou simplesmente média? A maioria das pessoas lida com este conceito de forma bastante familiar e intuitiva, mesmo aquelas que nunca tiveram acesso à escola. As pessoas estão acostumadas a estimar o tempo médio que demoram para chegar ao trabalho, que ficam na fila de banco, dentre outras estimativas.

Esse processo faz parte do cotidiano e está tão arraigado que, às vezes, as pessoas nem percebem o grau apurado de suas estimativas. Para chegar a essas estimativas, ninguém anotou sistematicamente o tempo gasto em cada viagem, somou e dividiu pelo número de viagens; aliás, muitas dessas pessoas nem conhecem o algoritmo da média, mas continuam a utilizar seu conhecimento intuitivo no planejamento de suas atividades rotineiras.

Na escola, a média faz parte da vida escolar dos alunos. A maioria vive calculando-a para analisar as chances de passar direto, de ir para recuperação ou de reprovar de ano. Os aflitos ficam contando quantos pontos faltam para aprovar, ou seja, sabem que a média é a relação entre o todo (soma de pontos nas provas/unidades) e o número de provas/unidades constantes da avaliação.

Além desse conhecimento intuitivo, a média também faz parte do cotidiano dos cidadãos, pois, cada vez mais, a mídia a utiliza junto com outras informações estatísticas. É comum ler nos jornais ou ouvir nas reportagens frases do tipo: “a renda per capita do Nordeste é inferior à do Sudeste”, “a expectativa de vida da mulher é maior que a do homem”, ou informações referentes à chuva média mensal, à escolaridade média, ao número médio de filhos por casal etc.

Assim, constatamos que a média é amplamente conhecida, mesmo que de forma intuitiva, e que esse bom conhecimento pode levar a ideia de que essa medida é a única ou é a melhor.

Nesta unidade apresentaremos outras medidas, igualmente importantes, principalmente, quando a natureza da variável traz consigo diferenças entre grupos, como, por exemplo, a distribuição de renda no nosso país. Intuitivamente sabemos que a maioria da população tem uma


Tratamento da Informação - medidas estatísticas

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renda em torno de um a cinco salários mínimos e que poucas pessoas têm renda muito alta. Neste caso a renda média sofrerá o impacto das rendas altas e concluiremos que a renda per capita (por pessoa) é muito boa, quando na realidade não é.

Assim, precisamos conhecer outras medidas, como a Mediana e a Moda que podem representar de forma mais fidedigna o conjunto de dados.

2 CALCULANDO AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Assim como organizamos as variáveis em tabelas e gráficos, também podemos sintetizar os dados em um único valor.

As medidas resumo, medidas estatísticas ou, simplesmente, estatísticas, são medidas que resumem uma massa de dados em um único dado. As tabelas e os gráficos resumem os dados; porém, às vezes, é preciso ter um ou apenas dois dados que representem uma massa de dados, que nos permita comparar grupos.

Por exemplo, a renda per capita é um único número que resume como um país é desenvolvido ou não. Esse valor é calculado a partir da riqueza gerada por todas as pessoas daquele país e dividido de forma “igualitária” entre essas pessoas. Esse único número nos permite comparar quão rico ou pobre é um país.

É claro que esse único número é incompleto e pode não representar o grau de desenvolvimento desse país, mas o poder de resumir é necessário, pois é a forma como podemos compreender os fenômenos.

Neste nível escolar, trabalhamos as medidas de tendência central, sendo as mais conhecidas a moda, a média, a mediana. Essas medidas são chamadas assim, pois indicam em que lugar a massa de dados tende a se concentrar.

2.1 Calculando (encontrando) a moda

A moda é a medida mais intuitiva de todas as medidas de tendência central, pois se refere à categoria da variável qualitativa ou ao valor da variável

152 EADPedagogia


quantitativa que se repete com maior frequência.No caso do exemplo do medo, a moda é a classe de medo real, pois 20

alunos têm medo de coisas reais. Já, se quisermos saber qual é a idade mais frequente, basta organizarmos os dados em uma TDF e depois examinar a idade que se repete mais vezes. Neste caso a idade mais frequente foi 8 anos.

A moda também é o ponto máximo de um gráfico de barras, de uma variável qualitativa ou discreta que toma poucos valores, resultantes de uma TDF, como por exemplo, a mascote que as crianças têm em casa ou o número de filhos por família (Figura 78).

Figura 78 - Extraindo a moda de um gráfico de barras. Fonte: elaborado pelos autores.

Assim, lendo o gráfico, podemos concluir em relação às mascotes que o que está na moda é não ter nenhuma mascote. Já, em relação ao número de filhos, o que está na moda para essas famílias é ter um único filho.

Aqui devemos alertar os alunos que não podemos generalizar de que o ponto máximo de um gráfico representa a moda. Por exemplo, nos gráficos de barras que representam uma série temporal (que estão em função do tempo), o ponto máximo do gráfico raramente poderá ser a moda. Na Figura 79, apresentamos a evolução do consumo anual de açúcar per capita (por pessoa), no Brasil. O ponto máximo é atingido em 1990, mas 1990 não é a moda, nem é a variável em estudo. Alias, podemos observar que a moda neste exemplo não existe, pois nenhum valor de consumo per capita se repete ao longo do tempo.



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de

Figura 79 - Consumo anual per capita de açúcar no Brasil. * valor interpolado.Fonte: Elaborado pelos autores a partir dos dados da Embrapa (http://www.agencia.cnptia.embrapa.br/gestor/cana-de-acucar/arvore/CONTAG01_109_22122006154841.html)

2.2 Calculando a média aritmética

Como já mencionamos, aparentemente, as pessoas têm um bom conhecimento desse conceito. Contudo, o que observamos é que esse conhecimento refere-se, em geral, ao domínio do algoritmo: “soma dos valores da variável dividida pelo número de dados envolvidos na soma”:

Média = Soma dos valores da variável = Soma

Número de elementos que compõem a soma n

Onde “n” é o número de elementos

Podemos observar que a média é a razão entre duas variáveis. No numerador, temos a soma dos valores da variável em estudo e, no denominador, o número de elementos que compõem essa soma.

Também podemos pensar a média desta forma: a reunião de todos os valores em um único valor (somatório) e depois a distribuição em partes iguais, dentre os elementos que compõem esse todo. Portanto, a compreensão da média implica na compreensão da divisão, dos números decimais e das propriedades da média.

Vejamos alguns exemplos. Suponha que as notas em Matemática

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de Ana foram: 8 no primeiro bimestre; 6 no segundo; 7 no terceiro e 7 no quarto. Para calcular a nota média, primeiro temos que saber qual foi o total de pontos obtidos nos quatro semestres, para isso basta somar as quatro notas, o que resulta em 28 pontos (8 + 6 + 7 + 7) e, depois dividir por quatro, resultando em 7 (28/4 = 7):

Nota média = Soma de pontos = 8 + 6 + 7 + 7 = 28 = 7 pontos por bimestre

Nº de bimestres 4 4

Assim, a nota média de Ana ao longo do ano escolar foi de 7 pontos por bimestre. Mas o que teria acontecido se, ao invés de 8, tivesse obtido 6 no primeiro bimestre. Nesse caso, o total de pontos seria de 26 (6 + 6 + 7 + 7), que dividido por 4 resulta 6,5 (26/4 = 6,5) ou seis e meio.

Nota média = Soma de pontos = 6 + 6 + 7 + 7 = 26 = 6,5 pontos por bimestre

Nº de bimestres 4 4

Neste caso, as crianças precisam conhecer os números decimais. Voltaremos a este ponto logo mais. Se, ao invés de nota, esses números se referissem à idade de 4 crianças; então, no numerador, teríamos a soma das idades das quatro crianças e, no denominador, o número de crianças:

Idade média = Soma das idades = 6 + 6 + 7 + 7 = 26 = 6,5 anos por criança

Nº de crianças 4 4

Logo, a média das idades das quatro crianças seria seis anos e meio. Nestes dois exemplos, não há problema do resultado ser um número decimal, pois esses valores existem por se tratar de variáveis contínuas (podem tomar qualquer valor).

Vejamos um exemplo envolvendo dinheiro. Suponhamos que temos quatro alunos, com a seguinte distribuição de dinheiro no bolso: Ana tem 10 reais, Maria tem 7, João tem 3 e Pedro tem 4 reais. Solicitamos aos



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quatro alunos que coloquem o dinheiro em cima da mesa e juntamos tudo, a soma dará 24 reais (10 + 7 + 3 + 4). A seguir distribuímos esse montante em quatro partes iguais (24/4 = 6) resultando seis reais. Esse valor representa o valor médio de dinheiro por aluno.

Agora vamos devolver o dinheiro aos alunos, mas ao invés de devolver o valor original, vamos devolver o valor da média. Nesse caso, Ana perderá 4 reais e Maria 1 real, juntos perderão 5 reais. Em compensação, João ganhará 3 reais e Pedro 2 reais, juntos ganharão 5 reais. Observe que o ganho recompensa a perda, zerando a diferença. Esta é uma propriedade da média. A Figura 80 ilustra a distribuição:

AlunoDinheiro que tem

no bolso (R$)Devolução pela média

Diferença Diferença

Ana 10 6 Perde 4 reais - 4Maria 7 6 Perde 1 real -1João 3 6 Ganha 3 reais +3Pedro 4 6 Ganha 2 reais +2Total 24 24 Zero 0

Figura 80. Exemplo de perdas e ganhos devido à devolução do dinheiro pela média.

Observamos que, neste nível de ensino, ainda não se trabalha com os números negativos, mas as crianças compreendem o conceito como “estar devendo”. Logo, sua inserção no 5º ano já é possível.

Agora analisemos o que acontece quando trabalhamos com variáveis discretas, resultante de contagens, isto é, seus valores tomam números inteiros.

Suponha que temos quatro alunos: Alex, Ana, João e Tais. Alex tem três (3) irmãos, Ana nenhum (0), João um (1) e Tais dois irmãos (2). Para encontrar o número médio de irmãos por aluno somamos o número de irmãos dos quatro alunos, o que resulta seis (3 + 0 + 1 + 2 = 6). A seguir, dividimos por quatro, que é o número de alunos, resultando 1,5 (6/4 = 1,5), ver Figura 81. Assim, em média, esses quatro alunos têm 1,5 irmãos. Logo a média é a razão entre o número de irmãos e o número de alunos.

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Figura 81 - A média como a razão entre duas variáveis.

Média = Total de irmãos = 6 irmãos = 1,5 irmãos por aluno

Nº de alunos 4 alunos

Muitas crianças não conseguem compreender que a média pode ter como resultado um valor não inteiro, em um caso como este que se refere a pessoas. Muitos tendem a arredondar o número, ou para um (1), ou para dois (2). Vejamos o que acontece em cada um desses casos. Se cada aluno tem em média um irmão, então os quatro alunos terão 4 irmãos, dois a menos que o verdadeiro número. Se arredondarmos para dois, então os quatro alunos terão oito irmãos, dois a mais do que o verdadeiro número.

Por essa razão é importante que as crianças compreendam a relação inversa que estabelece entre o todo (soma dos valores), a média e o número de elementos que compõem a média. Isto é, se conhecemos a média e o número de elementos que a compõem, podemos conhecer a soma de todos os valores da variável:

Média * Nº de elementos = soma dos valores

Assim, não é possível arredondar os dados de forma indiscriminada, pois em alguns casos comprometemos os mesmos.

Neste nível escolar, as crianças já estão familiarizadas com a



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divisão exata e elas têm várias estratégias de distribuição, como mostra o trabalho de Selva e Borba (2005). O problema aparece quando a divisão é inexata ou quando o resultado não tem um referente na vida real.

Para melhor compreender a média, analisemos algumas situações. Suponhamos que nossos quatro alunos: Alex, Ana, João e Tais têm ao todo quatro balas. Mantendo fixo o todo (número de balas) e o número de elementos (número de crianças), analisemos algumas situações:

a) Cada criança tem uma bala, logo, em média, uma criança tem uma bala:

Alex Ana João Tais Soma Média

4 balas 1 bala por

criança4 crianças

b) Alex e João têm duas balas cada um e as meninas não têm balas. Neste caso, a média continua a ser uma bala por criança:


4 balas 1 bala por

criança4 crianças

c) Alex tem quatro balas e as outras três crianças não têm balas. Neste caso, a média continua a ser uma bala por criança:


4 balas 1 bala por

criança

4 crianças

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Discuta com os alunos esta situação. Pergunte a eles o que achariam, se essa situação fosse verdadeira, se tomássemos todas as balas das quatro crianças e as redistribuíssemos entre elas pela média.

No primeiro caso, todas as crianças concordarão que está tudo bem, pois cada uma tinha uma bala e receberá uma bala. No segundo caso, algumas crianças acharão a distribuição pela média mais justa, pois as meninas que não tinham balas ganharão uma, sendo que todos terão balas de forma igualitária. Mas outras crianças poderão achar essa distribuição injusta, pois os meninos que tinham duas balas vão perder uma. Essa situação ficará mais tensa no terceiro caso, pois apenas o Alex tem 4 balas e as outras crianças não têm balas, logo Alex seria fortemente prejudicado.

Perde 3

- 3

Ganha 1

+1

Ganha 1

+1

Ganha 1

+1

Observe que a composição do todo é a mesma, o que varia é a distribuição dos dados entre os elementos que o compõem. Esta é uma característica importante da média. Quanto mais homogênea for a distribuição dos dados (caso a), a média representará melhor esse conjunto de dados, porém quanto mais dispersa for a distribuição, a média não será uma medida adequada para representar os dados (caso c).

Outra característica da média é que os desvios (diferença entre o valor da variável e a média) se anulam. Alex perdeu 3 balas, mas Ana, João e Tais ganharam uma bala cada, isto é, a perda de um foi compensada pelo ganho dos outros.

Analisemos outra situação, mantendo fixa a soma de quatro (4) mascotes, variando agora o número de elementos (crianças):



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de

a) Quatro crianças, cada uma tem uma mascote, logo o número médio de mascotes por criança é um.


4 mascotes1 mascote por

criança4 crianças

b) Alex tem três mascotes e Ana tem uma. Neste caso, a média é duas mascotes por criança:

Alex Ana Soma Média

4 mascotes2 mascotes por criança

2 crianças

c) Alex tem três mascotes, Ana tem uma e João não tem mascote. Neste caso, o número médio de mascotes por criança é 1,33 mascotes por criança:

Alex Ana João Soma Média

4 mascotes 1,33 mascotes por

criança3 crianças

Veja que terrível seria pensar em distribuir as quatro mascotes pelas 3 crianças. Isso implicaria em cortar uma mascote em três pedaços iguais. Isto é um dos obstáculos que enfrentamos quando vamos ensinar a média para crianças que ainda não compreendem que a média é um número que representa um conjunto de dados.

Essa dificuldade foi investigada por Watson (1996), numa pesquisa que envolveu estudantes da 3ª a 8ª séries do ensino fundamental e 1ª série do ensino médio. A pesquisadora solicitou a interpretação da seguinte afirmação: “Em média, os casais jovens têm 2,3 filhos”. Respostas típicas

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incluíam as seguintes: “existem duas crianças mais velhas e uma mais jovem”, “vírgula três significa que, mais tarde, a criança menor contará como três”, “a mãe tem dois filhos e está grávida do terceiro”, dentre outras do gênero.

Para a autora, esses estudantes estavam sofrendo conflito cognitivo, pois para eles (0,3) estaria indicando que o filho ainda não nasceu ou que é pequeno para ser contado como um número inteiro. Outro tipo de resposta também apareceu: “a maioria das famílias tem dois filhos (conceito de moda), “poucas famílias têm três filhos”, “mais famílias têm dois filhos do que três”, “a maioria têm dois filhos, mas algumas têm três ou cinco”, “somar todas as crianças e dividir pelo número de famílias, porém o resultado não dá um número inteiro”. Essas expressões denotam uma aproximação do conceito de média, mas, segundo a autora, esse tipo de resposta não foi da maioria. Finalmente, poucos estudantes se referiram ao resultado como um resultado estatístico: “2,3 é apenas uma estatística, uma forma resumida dos dados”.

Outra dificuldade encontrada é que muitos alunos acreditam que pelo fato de um elemento não apresentar a característica, esse não deve fazer parte da média. Voltemos ao exemplo do número de irmãos. Nessa lógica, Ana, por não ter irmãos, não deve fazer parte do cálculo da média e, assim, somam os valores e dividem por três ao invés de dividir por quatro, resultando uma média de dois (6/3 = 2).

Uma forma de evitar esse conflito é colocar os dados em uma lista, como a que segue. Assim, os alunos podem ver que existem 4 alunos e que esses quatro alunos têm ao todo 6 irmãos. Portanto, a média será o resultado de dividir 6 (irmãos) por 4 (alunos), que resulta 1,5 irmãos por aluno.

Aluno Nº de irmãos

Alex 3

Ana 0

João 1

Tais 2

Total 6

A pesquisadora Watson (1996) também relata que após observar



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o número de pessoas em carros de passeio que passaram por uma ponte, num período determinado, solicitou às crianças que calculassem a média e que representassem com desenhos (a média foi 1,5 pessoas por carro). A pesquisadora observou que crianças pequenas desenharam a ponte com carros e em cima dos carros um boneco e metade de outro (Figura 82), apenas as crianças maiores conseguiram desenhar de forma adequada (Figura 83).

Figura 82 - Exemplo fictício de representação inadequada baseado na pesquisa de Watson (1996).

Figura 83 - Exemplo fictício de representação adequada baseado na pesquisa de Watson (1996).

No Brasil, encontramos os trabalhos das pesquisadoras Selva e Borba (2005) que apresentam resultados relevantes relativos à compreensão da divisão inexata. Elas observaram como crianças comparam os resultados de um mesmo problema de divisão com resto resolvido por meio de diferentes representações (papel e lápis, calculadora versus papel e material manipulativo). Essa análise nos permite compreender melhor as razões pelas quais as crianças apresentam dificuldades no cálculo da média.

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2.3 Calculando (encontrando) a Mediana

Para apresentar a mediana, vamos nos reportar ao trabalho de Cazorla e Oliveira (2010, p. 131-134). Esses autores apresentam e discutem este conceito de forma mais detalhada. Aqui vamos nos concentrar apenas na ideia intuitiva de mediana.

A mediana divide em duas partes iguais um conjunto ordenado de dados. Para encontrar seu valor, primeiro devemos ordenar os dados, a seguir localizamos o lugar que ela ocupa, para assim encontrar seu valor.

Um exemplo fácil e prático é encontrar a altura mediana dos alunos de nossa sala, mas antes vamos fazer um exercício com um número pequeno de dados. Para isso solicite aos alunos que anotem em um papel de tamanho padronizado sua altura. Em seguida, solicite que cinco alunos da classe se coloquem em pé na frente da sala, mostrando numa folha de papel sua estatura (Figura 84):

Luiz (152) Ana (148) João (155) Bia (145) Caio (150)

Figura 84 - Exemplo utilizado para calcular a mediana da estatura de cinco alunos. Fonte: Figura 114 de Cazorla e Oliveira (2010), p. 132.

Para encontrar a mediana, o primeiro passo é ordenar os dados. Para isso, solicite aos cinco alunos que se posicionem em ordem crescente de estatura (Figura 85): do mais baixo ao mais alto (pode ser de forma decrescente também).

Bia (145) Ana (148) Caio (150) Luiz (152) João (155)

1º lugar 2º lugar 3º lugar 4º lugar 5º lugar

Abaixo da mediana: dois dados Mediana Acima da mediana: dois dadosFigura 85 - Exemplo do cálculo da mediana da estatura de cinco alunos. Fonte: Figura 115 de Cazorla e Oliveira (2010), p. 132.



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Como existem cinco dados (n é ímpar), a posição que a mediana ocupa será o terceiro lugar (3º), pois abaixo do terceiro lugar temos dois dados e acima também temos dois dados; consequentemente, a estatura mediana será a estatura de Caio, que é 150 cm.

Logo, o valor da mediana será a estatura do aluno que ocupa o 3º lugar:

Mediana = 150

A interpretação da mediana é bastante intuitiva: no mínimo 50% dos alunos têm estatura menores ou igual a 150 cm; e os outros 50% assumem valores maiores ou igual a 150 cm.

Se o número de aluno for par, então precisaremos calcular a média dos valores que ocupam as posições centrais. Suponhamos que Francisco, que mede 180 cm, se unisse ao grupo. Agora, o número de alunos seria seis, um número par. Logo, a mediana deveria estar entre o terceiro e o quarto lugar, pois teríamos três dados abaixo e três acima desse valor.

Bia Ana Caio Luiz João Francisco

145 cm 148 cm 150 cm 152 cm 155 cm 180 cm

1º lugar 2º lugar 3º lugar 4º lugar 5º lugar 6º lugar

Abaixo da mediana: três alturas Acima da mediana: três alturas

Logo, o valor da mediana seria o ponto médio desses valores centrais:

Mediana = 150 + 152 = 151 cm 2

A tarefa de ordenar é bastante trabalhada nos anos iniciais, então podemos aproveitar para ensinar o conceito de mediana, quando estivermos trabalhando a ordenação. Assim, só precisaremos aprender a encontrar a posição da mediana:

a. Se o número de dados for ímpar, adicionar um e dividir por dois. Por exemplo 33. Nesse caso 33+ 1 = 34, que dividido por 2 resulta 17. Logo a mediana de um conjunto que tiver 33 elementos será o décimo sétimo lugar.

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b. Se o número de dados for par, dividir por dois e calcular a média desse valor e de seu sucessor (dados ordenados). Por exemplo, se o número de dados for 34, então 34/2 = 17, assim a mediana será a média dos valores que ocupam o 17º e 18º lugares.

Neste ponto, quando os alunos já aprendem a trabalhar com a reta numérica é importante utilizá-la, pois a ordenação nos tráz problemas conceituais, uma vez que todos os alunos estão um ao lado do outro, dando a falsa ideia de que a diferença entre dois alunos é a mesma, o que não é verdade. Vejamos no nosso exemplo, colocando os dados na reta numérica:

+ 3 +2 +2 +3

145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 Bia Ana Caio Luiz João

Média = 150Mediana = 150

Como podemos ver, a distância entre os alunos não é a mesma e isso piora quando colocamos a altura de Francisco no conjunto. Aproveitamos esta representação para sinalizar onde se localiza a média e a mediana. Ambas tomam o valor de 150:

Média = 145 + 148 + 150 + 152 + 155 = 750 = 150 5 5

A diferença da mediana em relação à média é que a mediana não é afetada pelos valores fora do padrão (outliers ou discrepantes). No exemplo com os cinco alunos, a mediana e a média coincidem; logo, qualquer uma delas representa bem o conjunto de dados, pois as estaturas não são muito diferentes.

Todavia, quando Francisco, com 30 cm acima da média, junta-se ao grupo, eleva o valor da média em cinco centímetros, pois aos 750 cm dos cinco alunos, devemos adicionar 180 cm da altura de Francisco, totalizando



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930 cm, que dividido por seis resulta 155 cm. Isto é, cinco cm a mais, enquanto que o impacto na mediana foi de apenas um centímetro.

Bia Ana Caio Luiz João Francisco

140 145 150 155 160 165 170 175 180

Mediana = 151 Média = 155

Neste exemplo, vemos como um valor “fora do padrão” eleva a média e já a mediana não sofre tanto. Assim, a pergunta é qual das duas medidas devemos usar? É o que discutiremos logo mais.

Agora, calculemos a mediana das idades dos 33 alunos. Neste caso, a mediana ocupará a 17ª posição (33+1)/2, que será 8 anos, como podemos ver no esquema a seguir:

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

11º

12º

13º

14º

15º

16º

17º

18º

19º

20º

21º

22º

23º

24º

25º

26º

27º

28º

29º

30º

31º

32º

33º

7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9

16 dados abaixo 16 dados acima

A mediana também pode ser encontrada a partir dos dados agrupados numa TDF. Para isso, basta utilizar a frequência absoluta acumulada, para isso basta perguntar quantos alunos temos até aquela idade e somar as frequências das idades anteriores, incluindo o valor da frequência da idade em questão. Para encontrar a mediana basta examinar esses dados e encontrar o número que contenha pela primeira vez 17. Assim, constatamos que o número 24 contém o número 17 pela primeira vez, logo a idade mediana será 8 anos.

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Calculando a frequência absoluta acumulada:

• Quantos alunos temos com idades até 7 anos? 5 alunos.

• Quantos alunos temos com idades até 8 anos? 5 + 19 = 24 alunos.

• Quantos alunos temos com idades até 9 anos? 5 + 19 + 9 = 33 alunos.

Sendo que o último valor deve coincidir com o número total de alunos.

Variável Frequência Frequência

Idade Nº de Nº de

7 5 5

8 19 24

9 9 33

Total 33

3 INTEGRANDO A LEITURA DE TABELAS, GRÁFICOS E MEDIDAS ESTATÍSTICAS

A compreensão das propriedades das medidas de tendência central (média, mediana, moda), assim como a configuração em tabelas e gráficos, permite ao aluno aprimorar seu conhecimento sobre a natureza dos dados.

Vejamos, a média foi 8,1, a mediana e a moda igual a 8. Aparentemente estamos diante de um conjunto de dados bastante homogêneo (Figura 86). Porém temos um número significativo de crianças com 9 anos (27,2%), que possuem uma defasagem de um ano. Lembramos que se trata de uma turma do 3º ano, cuja idade recomendada é de 8 anos.

Idade Nº de %

7 5 15,2

8 19 57,6

9 9 27,3

Total 33 100,0

Figura 86 - Distribuição das idades dos alunos da pesquisa sobre o medo.



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Muitas vezes, podemos intuir o valor da média analisando visualmente os dados. Por exemplo, suponha que desejamos, sem fazer cálculos, apenas analisar a tabela ou o grá-fico, conhecer o valor da média de idade dos alunos.

O nosso primeiro palpite, neste exemplo, deveria ser a moda, 8 anos, pois a maioria dos alunos tem essa idade. Agora, analisemos a idade 7 anos, que tem cinco alunos e, na idade de 9 anos, temos 9 alunos, isto é, 4 alunos a mais, assim a média será um pouco maior do que 8 anos. Porém, não poderá ser maior do que 8,5, pois para isso precisaría-mos de mais alunos com 9 anos. Logo a média estará mais próxima a 8.

Assim, aconselhamos a fazer isso de forma rotineira. Esse exercício aguça a intuição e dá sentido as medidas encontradas.

4 INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS

Uma pesquisa não termina com a organização e tratamento dos dados, ao final precisamos voltar às questões que deram origem à pesquisa e buscar responder essas questões, e ainda, no caso de haver sido geradas hipóteses, verificar a validade ou não delas.

Até aqui, aprendemos a traduzir em números nossas questões de pesquisa. Escolhemos um tema para investigar, formulamos questões de investigação, aprendemos a construir instrumentos para coletar os dados, coletamos e tratamos os dados.

Agora já temos em mãos tabelas, gráficos e estatísticas resumos. Chegou a hora de responder as questões de pesquisa e socialização dos resultados, isto é, a construção da argumentação sobre os resultados, o que implica na escolha da representação que melhor comunica os argumentos, bem como a elaboração de um relatório.

A pesquisa sobre o medo das crianças Na pesquisa sobre o maior medo das crianças, queríamos saber

quais eram os maiores medos das crianças de nossa sala e conjecturamos que a idade e o gênero são dois fatores importantes. Então, agora retomemos os dados e, a partir da leitura conjunta, vamos tentar responder as perguntas.

um conselho

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Exemplo de relatório final de pesquisa

Foi realizada uma pesquisa com 33 alunos do 3º ano A, do Colégio ABC, da cidade de Recife, dos quais 18 eram meninas (54,5%) e 15 eram meninos (45,5%), conforme Tabela 1. Suas idades variaram de 7 a 9 anos (Figura 86), sendo que a maioria tinha 8 anos e a idade média foi de 8,12 anos.

Embora a idade média estivesse próxima da idade recomendada para este ano escolar, 27,3% dos alunos tinha 9 anos, isto é, estavam defasados em um ano relativamente ao esperado.

A leitura geral da planilha de dados (Quadro 4) indica que o medo mais frequente foi rato (3 alunos) e altura (3 alunos, considerando “lugar alto” como altura), os outros medos só se repetiram duas vezes ou apenas uma única vez.

Quando agrupamos os medos por classe de medo, observamos que 60,6% dos alunos têm medo de coisas reais e 39,4% de coisas imaginárias (Tabela 2) e que isso não difere por gênero, pois a diferença entre gêneros é de apenas 1,1% (Tabela 3).

Em relação à idade, também não parece haver interferência dessa variável em relação à classe de medo, como podemos observar na Tabela 4.

Tabela 4 - Distribuição dos tipos de medo em relação à idade dos alunos

Contudo, quando analisamos dentro das subclasses de medo, percebemos sutis diferenças. Por exemplo, as meninas tendem a ter mais medo de personagens imaginários e os meninos de bichos e pessoas reais.

Quanto à idade, parece que quanto mais velho, vai diminuindo o medo de bichos, mas aumenta o medo em relação aos personagens imaginários e pessoas, como pode ser visto na Tabela 5. Essas diferenças são mais visíveis na Figura 87.

Classe de

medo

7 anos 8 anos 9 anos Total

Nº % Nº % Nº % Nº %

Imaginário 2 40,0 7 36,8 4 44,4 13 39,4Real 3 60,0 12 63,2 5 55,6 20 60,6Total 5 100,0 19 100,0 9 100,0 33 100,0



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Tabela 5 - Distribuição dos tipos de medo por subclasse em relação ao gênero e idade (em porcentagem)

Figura 87 - Distribuição do medo por subclasses segundo gênero e idade.

Subclasses de medo

Gênero Idade (em anos)Total

Feminino Masculino 7 8 9

Imaginário Folclore 11,1 20,0 20,0 15,8 11,1 15,2

Imaginário Personagem

27,8 20,0 20,0 21,1 33,3 24,2

Real Bicho 22,2 26,7 40,0 26,3 11,1 24,2Real Pessoa 16,7 26,7 20,0 15,8 33,3 21,2

Real Situação 22,2 6,7 0,0 21,1 11,1 15,2 Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

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ATIVIDADES

Dando continuidade à análise de dados da pesquisa da altura das crianças, iniciada na unidade III, e tomando com referência a planilha de dados:

a) Calcule a média, mediana e moda das variáveis idade e altura de todos os alunos.

b) Calcule a média da altura por ano escolar.c) Calcule a média da altura por idade.d) Calcule a média da altura por gênero.e) Calcule a média da altura por gênero e idade.f) Construa uma tabela de dupla entrada contendo a média por

gênero (linha) e idade (coluna).g) Interprete os resultados. Há evidências de que os meninos são

mais altos do que as meninas?

RESUMINDO

Professor, novamente, enfatizamos a importância de que antes de iniciar o tratamento dos dados, analise qual é a melhor maneira de apresentá-los: tabelas, gráficos ou medidas resumidas.

Vimos a importância das medidas de tendência central e os cuidados que devemos ter para que nossos estudantes possam compreender suas características e adequação aos dados trabalhados e, assim, escolher os gráficos, as tabelas e as estatísticas que melhor respondem as perguntas de pesquisa.

Esperamos tê-los ajudado e os encorajamos a que nos enviem suas impressões e sugestões sobre este material, pois queremos aprimorá-lo para, assim, chegarmos cada vez mais e melhor junto aos nossos professores.

ATIVIDADES

RESUMINDO



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SUJESTÕES DE LEITURA



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Suas anotações

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