MATEMTICA1

DIVISIBILIDADE

01.MLTIPLOS E DIVISORES

Sejam a e b dois nmeros naturais. Se o resto da diviso de a por b for zero, isto , se a diviso de a por b for exata, diz-se que a divisvel por b (ou que a mltiplo de b). Nesse caso, diz-se ainda que b divide a.A notao b | a indica que b divide a.

EXEMPLOS

E.1)2 | 6 6 divisvel por 2, pois:

E.2)3 | 15, 3 | 27 e 3 | 42 15, 27 e 42 so divisveis por 3, pois:

E.3)6 divisvel por 1, 2, 3 e 6. Indicando-se o conjunto dos divisores de 6 por D(6), temos:

D(6) = {1, 2, 3, 6}

E.4)O zero mltiplo de qualquer nmero, mas s divisor dele mesmo.

O conjunto M(a) dos mltiplos de um nmero a o conjunto dos naturais vezes a.Assim:

M(2) = {0, 2,4, 6, 8, 10,...};D(2) = {1, 2}M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...};D(3) = {1, 3}M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...};D(4) = {1, 2,4}M(6) = {0,6,12,18,...};D(6) = {1,2,3,6}

Note que o conjunto dos mltiplos de um nmero infinito, e o conjunto dos divisores finito.Um nmero natural par quando divisvel por 2 e mpar quando no par.

02.NMEROS PRIMOS

Um nmero, com exceo do nmero 1, primo quando divisvel somente por ele mesmo e pela unidade.Vamos escrever alguns nmeros naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os mltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos os mltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 5 e risquemos todos mltiplos dele que surgem em seguida etc.

O conjunto P dos nmeros primos infinito e no existe nenhuma lei de formao para esses nmeros:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...}

Note que o 2 o nico nmero par que primo.

Um nmero que admite outros divisores alm da unidade e dele prprio chamado nmero mltiplo ou nmero composto. Os nmeros riscados dentre os acima so compostos.03.REGRAS DE DIVISIBILIDADE

Um nmero divisvel por:

a)2, quando o ltimo algarismo da direita for 0,2, 4, 6 ou 8, isto , quando o nmero for par.

EXEMPLOS

30, 86, 104 so nmeros divisveis por 2.

b)3, quando a soma dos algarismos que o representam formar um nmero divisvel por 3.

EXEMPLOS

45 divisvel por 3, pois 4 + 5 = 9 (9 divisvel por 3);8022 divisvel por 3, pois 8 + 0 + 2 + 2 = 12 (12 divisvel por 3).

c)4, quando o nmero expresso pelo agrupamento dos dois ltimos algarismos da direita de sua representao divisvel por 4.

EXEMPLOS

124 divisvel por 4, pois 24 tambm o ;38408 divisvel por 4, pois 08 = 8 tambm o ;300 divisvel por 4, pois 00 ^ O tambm o .

d)5, quando o ltimo algarismo da direita for 0 ou 5.

EXEMPLOS

820 divisvel por 5, pois termina em 0;3475 divisvel por 5, pois termina em 5.

e)6, quando for divisvel ao mesmo tempo por 2 e por 3.

EXEMPLOS

24 divisvel por 6, pois divisvel por 2 e por 3;1350 divisvel por 6, pois divisvel por 2 e por 3.

f)8, quando o nmero expresso pelo agrupamento dos trs ltimos algarismos da direita de sua representao divisvel por 8.

EXEMPLOS

34024 divisvel por 8, pois 024 tambm o ;3000 divisvel por 8, pois 000 tambm o .

g)9, quando a soma dos algarismos de sua representao formar um nmero divisvel por 9.

EXEMPLOS

45 divisvel por 9, pois 4 + 5 = 9 (9 divisvel por 9);843750 divisvel por 9, pois 8 + 4 + 3 + 7 + 5 + 0 = 27 (27 divisvel por 9).

h)10, quando terminar em 0.

EXEMPLOS

350 divisvel por 10;4800 divisvel por 10.

04.DECOMPOSIO DE UM NMERO EM FATORES PRIMOS

4.1.TODO NMERO NATURAL MAIOR QUE 1 OU PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM NICO PRODUTO DE FATORES PRIMOS.

EXEMPLO

Vamos decompor 90 em fatores primos.Aplicando as regras da divisibilidade, temos:

90 = 2.45;DISPOSITIVO PRTICO

como

45 = 3.15 e902

15 = 3.5, 453

153

temos, igualmente,55

90 = 2 . 32 . 512 . 32 . 5

Pode-se observar melhor no dispositivo prtico que para decompor um nmero em seus fatores primos mais simples se fazer divises sucessivas tomando os fatores primos em ordem crescente.

4.2.CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NMERO

Dado um nmero natural n, os seus divisores so determinados decompondo-se n em seus fatores primos, e, em seguida, combinando esses fatores um a um, dois a dois etc.Vamos obter o conjunto dos divisores de 42 e 504.

a)422As combinaes dos produtos dos nmeros 2, 3 e 7 so:

213um a um: 2; 3; 7

77dois a dois: (2.3) = 6; (2.7) = 14; (3.7) = 21

1trs a trs: (2.3.7) = 42

Existe, ainda, o nmero 1, que divisor de qualquer nmero.Assim, o conjunto D(42) dos divisores de 42 : D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

DISPOSITIVO PRTICO

1

4222D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

21336

777142142

1

1

b)50422

25224

12628

633361224

2139183672

77714285621428416863126252504

1

Portanto:

D(504) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504}

NOTA:Demonstra-se que o nmero de divisores naturais de um nmero pode ser dado somando-se 1 a cada expoente das potncias dos fatores primos e, em seguida, multiplicando esses novos expoentes.

Assim:

42 = 21 . 31 . 71 tem (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8 divisores.504 = 23 . 32 . 71 tem (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 4 . 3 . 2 = 24 divisores.

Genericamente, o nmero:

am . bn . cp . ... tem (m + 1) . (n + 1). (p + 1) ... divisores naturais.

05.MXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c)

Consideremos os conjuntos dos divisores de 24 e 30.

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e achemos a interseo desses conjuntos: D(24) D(30) = {1, 2, 3, 6}.

Observamos que esse conjunto tem um mximo que 6. Como os elementos de D(24) D(30) so os divisores comuns a 24 e 30, dizemos que 6 o mximo divisor comum entre 24 e 30.

Indica-se m.d.c (24, 30) = 6.

Portanto:

O mximo divisor comum entre dois ou mais nmeros o maior elemento da interseo dos conjuntos dos divisores dos nmeros dados.Dois ou mais nmeros so primos entre si quando o m.d.c desses nmeros 1.

EXEMPLOS

E.1)Os nmeros 5 e 6 so primos entre si, pois:

D(5) = {1,5}D(5) D(6) = {1} m.d.c (5, 6) = 51D(6) = {1, 2, 3, 6}

E.2)Os nmeros 15, 26 e 49 so primos entre si, pois:

D(15) = {1, 3, 5, 15}D(26) = {1, 2, 13, 26}; D(15) D(26) D(49) = {1} m.d.c (15, 26, 49) = 1D(49) = {1, 7, 49}

06.MNIMO MLTIPLO COMUM (m.m.c.)

J vimos que um nmero natural a mltiplo do nmero natural no nulo, b quando a divisvel por b.

O zero mltiplo de qualquer nmero.

Definimos:

M(a) = {0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ...}Particularmente, o conjunto dos mltiplos de 0 unitrio, ou seja, M(0) = {0}.

Consideremos os conjuntos dos mltiplos de 4 e 6.

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, ...} e achemos a interseo desses conjuntos. M(4) M (6) = {0, 12, 24, 36, ...}.

Observamos que esse conjunto tem um mnimo, diferente de zero, que 12. Como os elementos de M(4) M(6) so mltiplos comuns a 4 e 6, dizemos que 12 o mnimo mltiplo comum entre 4 e 6.

Indica-se m.m.c. (4,6) = 12.

Portanto:

O mnimo mltiplo comum entre dois ou mais nmeros o menor elemento, diferente de zero, da interseo dos conjuntos dos mltiplos dos nmeros dados.

07.MTODO PRTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NMEROS

Decompem-se os nmeros em fatores primos. Feito isso:

o m.d.c. ser o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente.o m.m.c. ser o produto dos fatores primos comuns e no comuns, tomando cada um com o maior expoente.

EXEMPLOS

E.1)Vamos obter m.d.c e m.m.c entre 84 e 360.

84 2360 2

42 2180 284 = 22 . 3 . 7

21 390 2

7 745 3360 = 23 . 32 . 5

1 15 3

5 55

1

Portanto:

m.d.c (84, 360) = 22 . 3 = 12m.m.c (84, 360) = 23 . 32 . 7 . 5 = 2520

E.2)Sejam A = 22 . 3m . 53 e B = 31 . 5n . 7. Vamos calcular m e n, sabendo que o m.m.c (A, B) = 157500.

Ora, m.m.c (A, B) = 157500 = 22 . 32 . 54 . 71; logo, m = 2 e n = 4.

08.PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NMEROS

P.1)Se x mltiplo de a e x mltiplo de b, ento x mltiplo do m.m.c. (a; b).

EXEMPLOS

E.1)Se um nmero mltiplo de 2 e 3, ento mltiplo de 6 (m.m.c (2; 3))

E.2)Se um nmero mltiplo de 4 e 6, ento mltiplo de 12 (m.m.c (4; 6))

P.2)Se x divisor de a e x divisor de b, ento x divisor do m.d.c (a; b)

EXEMPLOS

E.1)Se um nmero divisor de 30 e 45, ento divisor de 15.

Simbolicamente, podemos dizer:

M(a) M(b) = M (m.m.c (a; b))D(a) D(b) = D (m.d.c (a; b))

P.3)Sejam a e b dois nmeros naturais. O produto a . b igual ao produto do m.d.c pelo m.m.c. desses nmeros. Isto

a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a; b)a = 23 . 32 . 54 e b = 2 . 33 . 7

EXEMPLOS

a = 23 . 32 . 54m.d.c.(a,b) = 2 . 32

b = 2 . 33 . 7m.m.c.(a,b) = 23 . 33 . 54 . 7

a x b = 24 . 35 . 54 . 7m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) = 24 . 35 . 54 . 7

e, portanto, a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b).EXERCCIOS

01.(FATEC-SP) Um certo planeta possui dois satlites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satlites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos:Sol planeta Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol planeta Lua B ocorre a cada 48 anos.Se hoje ocorrer o alinhamento Sol planeta Lua A Lua B , ento esse fenmeno se repetir daqui a:

a)48 anosb)66 anosc)96 anosd)144 anose)860 anos

02.(FUVEST-SP) O produto de dois nmeros inteiros positivos, que no so primos entre si, igual a 825. Ento o mximo divisor comum desses dois nmeros :

a)1b)3c)5d)11e)15

DZIMAS PERIDICAS

Seja uma frao irredutvel de nmeros inteiros, isto , uma frao que no pode mais ser simplificada.Se na fatorao de b s tiverem os fatores 2 ou 5, ento a frao ter como resultado um decimal exato.Se pelo menos um dos fatores de b for diferente de 2 e 5, ento a frao ter como resultado um decimal inexato chamado dzima.Essas dzimas so peridicas porque nesses resultados sempre a parte no exata se repete, ou seja, apresenta um perodo.

EXEMPLOS

E.1) = 0,333... = E.4) = 0,1666... =

E.2) = 0,181818... = E.5) = 0,58333... =

E.3) = 1,142857142857... = E.6) = 1,0323232... =

As dzimas peridicas podem ser simples ou compostas.

Uma dzima simples quando o perodo surge imediatamente aps a vrgula (E.1; E.2; E.3 anteriores).Uma dzima composta quando o perodo no surge imediatamente aps a vrgula (E.4; E.5; E.6 anteriores).

GERATRIZ DE UMA DZIMA PERIDICA

uma frao que origina a dzima.

EXEMPLOS

E.1)Vamos obter o geratriz da dzima 0,333...

x = 0,333... 10x = 3,333...

Portanto:

10x = 3,333 ...

x = 0,333 ...

9x = 3 x =

Assim, 0,333... = E.2)Idem para 0,181818...x = 0,181818... 100x= 18,181818...

Portanto:100x = 18,181818 ...

x = 0,181818 ...

99x = 18 x =

Assim, 0,181818...=

E.3)1,2343434...x = 1,2343434... 1000x = 1234,343434...

Portanto:1000x = 1234,343434 ...

10x = 12,343434 ...

99x = 1222

x =

EXERCCIO

(UFBA) Se x = , calcule o valor de x.

EXERCCIOS PROPOSTOS

01.Assinale V ou F.

a)O nmero 43 primo.b)Dizemos que um natural a divisor de b, se existir um inteiro c, tal que b = a . c.c)O nmero 1500 tem 24 divisores naturais.d)O m.m.c.(24;90) 360.e)O m.d.c.(120;108) l2.f)Se x mltiplo de 12 e x mltiplo de 10, ento x mltiplo de 120.g)Se x mltiplo de 15 e x mltiplo de 18, ento x mltiplo de 90.h)Se x divisor de 360 e x divisor de 540, ento x divisor de 180.i)O nmero zero mltiplo de todos os naturais.j)m.m.c (x; y), m.d.c. (x; y) = x . y.k)Os nmeros 200 e 189 so primos entre si.

02.(UFMG) Os restos das divises de 247 e 315 por x so 7 e 3, respectivamente. Os restos das divises de 167 e 213 por y so 5 e 3, respectivamente. O maior valor possvel para a soma x + y :

a)36b)34c)25d)30e)18

03.Calcule o menor nmero natural diferente de 3 que dividido por 4, 6 e 9 deixa sempre resto 3.

04.(UCSAL-99) Somando 589 a um nmero positivo x, obtm-se um nmero que divisvel por 2, por 3 e por 7. O menor valor que x pode assumir satisfaz condio:

a)30 < x < 42b)25 < x < 30c)10 < x < 20d)5 < x < 10e)0 < x < 5

05.(UFBA) Tenho menos que 65 livros; contando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sobram sempre trs. Calcule quantos livros possuo.

06.Uma sala retangular mede 5,04m por 5,40m. Deseja-se colocar lajotas quadradas, todas do mesmo tamanho, no piso desta sala, sem quebrar nenhuma lajota. Qual o menor nmero de lajotas que podemos utilizar?

07.Uma determinada cidade realiza periodicamente a festa da uva e a festa do tomate. A festa da uva acontece a cada 15 meses, e a festa do tomate, a cada 18 meses. Se as duas festas aconteceram juntas em abril de 1998, quando elas acontecero juntas novamente?

a)Em outubro de 2020b)Em abril de 2015c)Em outubro de 2010d)Em abril de 2008e)Em outubro de 2005

08.Calcule:

(1,2272727...) . (2,444...) (1,8333...) . (0,545454...)

09.Calcule:

(1,8333) . (1,636363...) + (1,4666...) . (2,0454545...)

10.(UCSAL) Se a frao irredutvel a geratriz da dzima peridica 1, 0353535..., ento a soma a + b igual a:

a)28b)118c)225d)309e)403

11.(UCSAL) Seja M um dos nmeros naturais escritos com trs algarismos, que divididos por 2 ou 3, ou 5 ou 7 deixam resto 1. A soma dos algarismos de M pode ser:

a)5b)6c)9d)8e)7

12.(UEFS) Se o mdc (a, b) 3 e a um nmero par, ento o mdc (3a, 6b) :

a)18b)15c)12d)9e)6

13.(UNEB) Sendo w e n, respectivamente, o mdc e o mmc de 360 e 300, o quociente n/m igual a:

a)3b)6c)10d)30e)60

14.(UCSAL) Uma editora dever enviar pelo correio exemplares dos livros A, B e C nas quantidades de 144, 180 e 324 exemplares, respectivamente. Sero feitos pacotes, todos com o mesmo nmero de exemplares, de um s tipo de livro. Deseja-se que haja um nmero mnimo de pacotes, mas o correio no aceita pacotes com mais de 24 exemplares.

Nessas condies, quantos pacotes sero feitos?

a)36b)24c)18d)45e)48

15.(UCSAL) Vivaldo costuma sair com duas garotas: uma a cada 6 dias e outra a cada 9 dias. Quando as datas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/98 ele adiou os encontros com as duas, em virtude da coincidncia das datas, a prxima vez em que ele teve que adiar os seus encontros foi em:

a)15/06/98b)12/06/98c)10/06/98d)06/06/98e)05/06/98

16.(UCSAL) Um comerciante pretendia vender duas peas de tecido de mesma largura, com comprimentos de 158m e 198m. Ele dividiu a primeira em cortes de n metros, restando 5m da pea. Em seguida, resolveu dividir a segunda em pedaos de n metros, tambm, restando 11m da pea. Sabendo que o nmero de cortes obtidos foi o menor possvel, nas condies dadas, qual o valor de n?

a)9b)11c)17d)23e)34

17.(FUVEST) No alto de uma emissora de TV, duas luzes piscam com frequncias diferentes. A primeira pisca 15 vezes/minuto e a segunda pisca 10 vezes/minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, aps quantos segundos elas voltaro a piscar ao mesmo tempo?

a)12b)10c)20d)15e)30

18.Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m.

Determine o menor nmero de quadrados que ele pode colocar na parede:

a)10b)20c)30d)40e)50

19.(UFMG) Sejam a, b e c nmeros primos distintos, em que a > b. O mximo divisor comum e o mnimo mltiplo comum de m = a2 . b . c2 e n = ab2 so, respectivamente, 21 e 1764.

Pode-se afirmar que a + b + c :

a)9b)10c)12d)42e)62

20.Assinale as proposies verdadeiras.

(01)O nmero 1500 tem 24 divisores naturais.(02)Se x mltiplo de 15 e x mltiplo de 6, ento x mltiplo de 90.(04)Se o m.m.c. (a; b) a . b, ento a e b so primos entre si.(08)Se x divisor de 600 e x divisor de 640, ento x divisor de 40.(16)Se um nmero natural n dividido por 13 deixa resto 5, ento (n + 5) mltiplo de 13.

21.Um terreno de forma triangular, com as dimenses indicadas na figura abaixo, deve ser cercado com arame farpado. Para isso, sero colocadas estacas equidistantes entre si. Determine o menor nmero de estacas que podem ser utilizadas.

a)45b)30c)25d)21e)18

22.(UESF-99.1) Se x representa um nmero natural qualquer de dois algarismos distintos, escrevendo-se o algarismo 8 esquerda de x, obtm-se um novo nmero que tem a mais que x:

a)8 unidades.b)x unidades.c)8x unidades.d)80 unidades.e)800 unidades.

23.(UCSAL-00.1) Um nmero inteiro e positivo constitudo de dois algarismos distintos cuja soma 11.Invertendo-se a posio de seus algarismos, obtm-se outro nmero que excede o primeiro em 45 unidades.O menor dos nmeros est compreendido entre:

a)0 e 10b)10 e 20c)20 e 30d)30 e 40e)40 e 50

24.Um nmero constitudo de dois algarismos, cuja soma vale 7. Mudando-se a ordem dos algarismos, obtm-se um nmero nove unidades superior ao primitivo. Calcule o nmero primitivo.

25.Um nmero natural de dois algarismos 7 vezes a soma dos seus algarismos. Calcule esse nmero, sabendo que o algarismo das dezenas excede em 3 unidades o algarismo das unidades.

26.(UNIRIO) A frao geratriz de 3,74151515... :

a)

b)

c)

d)

e)

27.(UNIRIO) O resto da diviso do inteiro n por 12 7.Qual o resto da diviso de n por 4?

a)0b)1c)2d)3e)4

28.(FFOP-MG) O nmero m = 94816a, sendo a o algarismo das unidades, divisvel por 15. O valor de a :

a)2b)0c)5d)3e)4

29.(FGV-SP) Seja x o maior nmero inteiro de 4 algarismos que divisvel por 13, e y, o menor nmero inteiro positivo de 4 algarismos que divisvel por 17. A diferena x y um nmero:

a)primo.b)mltiplo de 6.c)menor que 500.d)quadrado perfeito.e)divisvel por 5.30.(FUVEST-SP) Qual dos cinco nmeros relacionados abaixo no um divisor de 1015?

a)25b)50c)64d)75e)250

31.(FUVEST-SP) Os nmeros inteiros positivos so dispostos em quadrados da seguinte maneira:

1 2 3 10 11 12 19 .. ..4 5 6 13 14 15 .. .. .. .. ..7 8 9 16 17 18 .. .. ..

O nmero 500 se encontra em um desses quadrados. A linha e a coluna em que o nmero 500 se encontra so, respectivamente:

a)2 e 2b)3 e 3c)2 e 3d)3 e 2e)3 e l

GABARITO

01.a) V02. D13. D24. 34

b) V03. 3914. A25. 63

c) V04. A15. E26. C

d) V05. 6316. C27. D

e) V06. 21017. A28. C

f) F07. E18. D29. B

g) V08. 0219. C30. D

h) V09. 0620. 1331. A

i) V10. E21. E

j) V11. E22. E

k) V12. A23. D

ANOTAES

RAZES E PROPORES

01.RAZO

Dados dois nmeros, a e b, b O, chama-se razo entre a e b ao quociente entre a e b, que se indica ou a : b.

Na razo , a chamado antecedente e b chamado consequente.

EXEMPLOS

E.1)A razo entre a medida do cateto menor e a medida da hipotenusa do tringulo retngulo de medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm :

E.2)Em um baile, existem 150 homens e 225 mulheres. Podemos afirmar que a razo entre o nmero de homens e o nmero de mulheres , ou seja, existem dois homens para cada trs mulheres.

02.PROPORES

2.1.DEFINIO

Chama-se proporo a sentena que indica a igualdade entre duas razes.

EXEMPLOS

E.1)

E.2)

E.3)

Genericamente, indica-se , ou a : b : c : d, que se l: a est para b, assim como c est para d, sendo:

a, d os extremos;b, c os meios.

2.2.PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES (P.F.)

Em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

Isto :

Notem esta propriedade nos exemplos anteriores:

EXEMPLOS

E.1)E.2) E.3)

2.3.OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORES

P.1)

P.2)

P.3)

2.4.GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

2.4.1.Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma razo da primeira.

EXEMPLO

Vejamos as duas grandezas: quantidade de canetas (Q) preo (P)Suponhamos que:o preo unitrio da caneta seja $ 3,00.

Assim:

1 caneta custa: $ 3,002 canetas custam: $ 6,003 canetas custam: $ 9,00 etc.

Observamos que as grandezas Q e P so diretamente proporcionais, pois satisfeita a proporo direta:

2.4.2.Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na razo inversa em que a primeira aumentou.

EXEMPLO

Vejamos as duas grandezas:

velocidade mdia (v) tempo (t)

Suponhamos que:

Um automvel deve percorrer a distncia Aracaju-Salvador, que de aproximadamente 300 km. fato que, quanto maior a velocidade do automvel, menor ser o tempo de percurso.

Portanto:

vt

50 km/h6 h

60 km/h5 h

100 km/h3 hetc.

Observamos que as grandezas v e t so inversamente proporcionais, visto que a razo entre as velocidades inversa a razo dos tempos correspondentes, .OBSERVAES IMPORTANTES

1a)Se num exerccio dizemos que trs grandezas, a, b e c, so diretamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos:

.

Como essas fraes so iguais, dizemos que o seu resultado constante e costumamos representar esse resultado por k.

Assim: .

2a)Se num exerccio dizemos que trs grandezas, a, b e c, so inversamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos:

.Do mesmo modo que o anterior, esse resultado pode ser representado pela constante k.

Assim: = k.

EXERCCIOS

01.A soma de dois nmeros 162. O maior est para 13, assim como o menor est para 5. Nessas condies, qual a diferena entre os nmeros?

02.Jos, Joo e Pedro jogaram na Loto a quantia de R$ 20,00, sendo que Jos contribuiu com R$ 5,00, Joo, com R$ 6,00 e Pedro, com R$ 9,00. Se eles ganharem um prmio de R$ 30.000,00, quanto cada um deve receber, considerando que o prmio vai ser divido em partes proporcionais ao que cada um investiu?

03.A soma de trs nmeros vale 31. Calcule cada nmero, se eles so inversamente proporcionais, respectivamente, a 2, 3 e 5.

04.(UCSAL-00) Ao conferir suas respostas, s 100 questes de um teste, dois alunos, curiosamente, observaram que os nmeros de questes que haviam acertado eram inversamente proporcionais s suas respectivas idades: 18 e 20 anos. Se, juntos, eles acertaram um total de 133 questes, ento o nmero de questes que o mais velho errou foi:

a)30b)32c)34d)35e)37

REGRA DE TRS

01.REGRA DE TRS SIMPLES

Vejamos os problemas:

1o)Se Jos comprou 3 metros de um tecido por $ 15, por quanto ele compraria 6 metros do mesmo tecido?

SOLUO

As setas colocadas apresentam mesmo sentido, pois as grandezas so diretamente proporcionais. Por isso, armamos a proporo na ordem apresentada no esquema abaixo.

Isto :

.

Portanto, 6 m do tecido seriam comprados por $ 30.

Dizemos que esse um problema de regra de trs simples e direta, pois as setas concordantes geram uma proporo direta.

2o)Para se construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construiro o mesmo muro?

SOLUO

As setas colocadas apresentam sentidos contrrios, pois as grandezas so inversamente proporcionais. Por isso, armamos a proporo conservando o sentido de uma frao e invertendo a outra.

Assim, podemos escrever

Portanto, 9 pedreiros construiro o mesmo muro em 8 dias.Dizemos que esse um problema de regra de trs simples e inversa, pois as setas discordantes geram uma proporo inversa.

EXERCCIOS

01.Para pintar uma superfcie de 150 m2, um pintor gasta 12 latas de tinta. Quantas latas de tinta so necessrias para pintar 200 m2 da superfcie?

02.Numa viagem da cidade A at a cidade B, um veculo gasta 96 minutos, velocidade mdia de 100 km/h.Se a velocidade fosse de 120 km/h, qual seria o tempo gasto?

03.Uma torneira enche um tanque em duas horas, e outra torneira enche o mesmo tanque em trs horas. Em quanto tempo as duas torneiras, juntas, enchero o tanque?

04.Uma torneira enche um tanque em duas horas e um orifcio capaz de esvazi-lo em trs horas. Em quanto tempo o tanque ficaria cheio, se abrirmos a torneira e o orifcio, simultaneamente?

05.(UCSAL) Um certo metal obtido fundindo-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 kg desse metal, so necessrios:

a)91,8 kg de cobre.b)41,5 kg de zinco.c)92 kg de cobre.d)45 kg de zinco.e)97,5 kg de cobre.

02.REGRA DE TRS COMPOSTA

Vamos resolver o problema:

Numa certa construo, 3 pedreiros levantaram, em 20 dias, 5 metros de um certo muro. Quantos metros do mesmo muro 6 pedreiros levantam em 60 dias?

SOLUO

O esquema da questo :

PedreirosDiasMetros do muro

3205

660x

Ora, claro que:

1o) Se 3 pedreiros, em 20 dias, levantam 5 metros do muro, ento 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro.

Isto :

PedreirosDiasMetros do muro

3205

62010

2o)Se 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro, ento 6 pedreiros, em 60 dias, levantam 30 metros do muro.

Isto :

PedreirosDiasMetros do muro

62010

66030

Portanto, a resposta do problema 30 m.

Observem que na primeira etapa da resoluo do problema mantivemos a quantidade de dias constante e notamos que:

duplicando a quantidade de pedreiros, a quantidade de metros que podem ser construdos duplica.

Na segunda etapa, aproveitamos a etapa anterior, mantivemos a quantidade de pedreiros constante e notamos que:

triplicando os dias de trabalho, triplicam-se os metros do muro.

Ora, j que inicialmente tnhamos 5 metros, na primeira etapa duplicamos e na segunda etapa triplicamos o resultado da primeira, ento a quantidade de metros ficou sextuplicada.

Isto quer dizer que:

Se uma grandeza x proporcional a duas outras, y e z, ento x proporcional ao produto y . z.

Vamos resolver o problema anterior com o esquema de setas:

Setas do mesmo sentido, pois:

aumentando a quantidade de pedreiros (mantendo constante os dias), aumentam-se os metros do muro.

aumentando a quantidade de dias (mantendo constante os pedreiros), aumentam-se os metros do muro.

Ora:

A razo diretamente proporcional a e vice-versa.

A razo diretamente proporcional a e vice-versa.

A razo diretamente proporcional ao produto .

Assim: , ou seja, x = 30 metros.

EXERCCIO

Seis operrios constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 9 operrios, para construrem um muro semelhante ao anterior, s que com 48 m de comprimento e em 4 dias?

MDIAS

01.MDIA ARITMTICA

Vejamos o exemplo:

Pedro um aluno que conseguiu em quatro trabalhos sucessivos as seguintes notas: 7, 5, 3 e 9.

Uma nota representativa que substitui as quatro pode ser dada por:

Portanto, o nmero 6 o valor mdio das notas 7, 5, 3 e 9 e chamado mdia aritmtica.Nesse caso, a mdia aritmtica dos quatros nmeros foi obtida somando-se as notas e dividindo-se o resultado por 4.

GENERALIZAES

A mdia aritmtica (M.A.) dos n nmeros, a1, a2, a3, ..., an, dada por

02.MDIA GEOMTRICA

A mdia geomtrica (M.G.) de n nmeros, a1, a2, a3, ..., an, dada por

EXEMPLOS

E.1)A M.G. entre 2 e 8

E.2)A M.G. entre 1, 3 e 9

E.3) A M.G. entre 4, 6, 6 e 9

03.MDIA PONDERADA

Vejamos o exemplo:

Em um determinado colgio, existem trs avaliaes por unidade: um teste, com peso 3, um trabalho, com peso 2, e uma prova, com peso 5.Um determinado aluno conseguiu as seguintes notas: 8 no teste, 4 no trabalho e 6 na prova.Uma nota representativa que substitui as trs notas pode ser dada por:

GENERALIZAO

A mdia ponderada (M.P.) de n nmeros, a1, a2, a3, ..., an, com os respectivos pesos p1, p2, p3, ..., pn dada por:

EXERCCIOS PROPOSTOS

01.(UFRS) Uma estrada de 315 km de extenso foi asfaltada por trs equipes, A, B e C, cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nmeros 2, 3 e 4, respectivamente. O trecho da estrada asfaltado pela turma C foi de:

a)70 kmb)96 kmc)105 kmd)126 kme)140 km

02.Um comerciante precisa pagar trs dvidas: uma de 30 mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais. Como ele s tem 90 mil reais, resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada dbito. Nessas condies, o maior credor receber uma quantia de:

a)30 mil reaisb)37,5 mil reaisc)36 mil reaisd)22,5 mil reaise)mil reais

03.Quando voc dividiu um certo nmero em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2, 5 e 4, a primeira parcela que encontrou foi 200. Nessas condies, o nmero dividido foi:

a)380b)360c)350d)320e)400

04.Uma lmpada de 40 watts pode funcionar por 15 horas, a um certo custo. Por quanto tempo poder funcionar uma lmpada de 60 watts, para que o custo permanea o mesmo?

a)12 horasb)10 horasc)8 horasd)6 horase)4 horas

05.Num recenseamento, chegou-se concluso de que, para visitar 102 residncias, era necessrio contratar 9 recenseadores. Numa regio em que existem 3.060 residncias, quantos recenseadores devem ser contratados?

a)270b)250c)240d)220e)210

06.(UFMG) Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza um certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizar o mesmo trabalho em:

a)12 diasb)14 diasc)16 diasd)18 diase)20 dias

07.Duas mquinas empacotam 1.000 balas por hora.Quantas mquinas so necessrias para empacotar 5.000 balas em meia hora?

a)10b)12c)15d)16e)20

08.Num determinado colgio, tm-se 4 unidades, de pesos, respectivamente, 2, 2, 2 e 4. Se as notas de um aluno em Fsica foram, respectivamente, 3,0; 5,2; 4,0 e 6,5, calcule a mdia do aluno nas quatro unidades.

09.Em uma determinada escola, um aluno conseguiu as mdias 7, 5 e 4, respectivamente, nas trs primeiras unidades. Sabendo que a mdia anual para essa escola obtida com os pesos 2, 2, 2 e 4, respectivamente, para as quatro unidades e que qualquer aluno precisa de mdia anual 5 para ser aprovado, sem recuperao, calcule quanto o aluno em foco precisa de mdia na quarta unidade para passar direto.

10.(UFMG) Uma firma constituda por dois scios, A e B, cujos capitais investidos so 200 mil e 350 mil reais, respectivamente. Todo lucro ou prejuzo da firma dividido, entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou um prejuzo de 121 mil reais. As parcelas do prejuzo, em mil reais, correspondentes a cada scio so, respectivamente:

a)20 e 101b)40 e 70c)44 e 77d)79 e 72e)100 e 21

11.(FUVEST-RJ) Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos so fabricados diluindo em gua um concentrado dessa fruta. As propores so de uma parte de concentrado para trs de gua, no caso do suco, e de uma parte de concentrado para seis de gua, no caso do refresco. O refresco tambm poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de gua, se a razo fosse igual a quanto?

a)d)

b)e)2c)112.(FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionrios produzem 2.000 peas, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O nmero de funcionrios necessrios para que essa empresa produza 6.000 peas em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, :

a)2b)3c)4d)8e)16

13.(FAFI-BH) Se 120 operrios constroem 600 m de estrada em 30 dias de trabalho, o nmero de operrios necessrios para construir 300 m de estrada em 300 dias :

a)6b)24c)240d)600e)2400

14.(UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoo deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas j adquiridas seria suficiente para um nmero de dias igual a:

a)10b)12c)15d)18e)20

15.(UFSM-RS) Uma ponte feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o nmero de trabalhadores for elevado para 24, o nmero de dias necessrios para a construo da mesma ponte ser:

a)180b)128c)100d)80e)60

16.(UNICRUZ-RS) Uma pessoa, viajando de automvel, fez o percurso Cruz Alta-Porto Alegre em 5h, viajando a uma velocidade mdia de 80 km/h. Na volta, retornou mais apressado e fez o mesmo percurso em 4h. Portanto, a velocidade, ao retomar, foi de:

a)80 km/hb)85 km/hc)64km/hd)90 km/he)100 km/h

17.Jos comprou 28 m de tecido por R$ 40,00. Por quanto Jos compraria 35 m do mesmo tecido?

18.Para construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construiro o mesmo muro?

19.Um automvel percorre certa distncia em 15 h a uma velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo o automvel percorre a mesma distncia a uma velocidade de 90 km/h?

20.Numa certa construo, 3 pedreiros levariam, em 20 dias, 5 m de um certo muro. Quantos metros do mesmo muro 6 pedreiros levantam em 60 dias?

21.Para carregar 36 toneladas de ferro, um homem gasta 6 dias, trabalhando 4 horas por dia. Quantos dias sero necessrios para esse homem carregar 24 toneladas de ferro, trabalhando 6 horas por dia?

22.Para lixar 36m2 de parede, certo operrio levou 5 dias trabalhando 6 horas por dia. Precisando lixar 42 m2 de uma outra parede e tendo que trabalhar 8 horas por dia, em quantos dias realizar o trabalho?

23.Um dicionrio teve, na sua 1a edio, 320 pginas de 25 linhas, cada linha contendo 40 letras. Numa 2a edio, foram usados os mesmos caracteres e cada pgina continha mais 7 linhas, com o dobro do nmero de letras por linha. Qual o nmero de pginas desta 2a edio?

24.Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas dirias. 20 homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastaro quantos dias?

25.Em 12 dias, um homem percorre 180 km caminhando 4 horas por dia com velocidade v. Qual ser a distncia que ele percorrer em 10 dias, caminhando 6 horas por dia, reduzindo a velocidade em 1/3?

26.Um homem pode fazer um trabalho em 8 dias; outro pode fazer o mesmo trabalho em 12 dias. Qual o nmero de dias que levaro para fazer o mesmo trabalho, trabalhando juntos?

27.Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operrios, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos dias se poder terminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operrios e que os restantes trabalham, agora, 6 horas por dia?

GABARITO

01. E15. D02. B16. E03. A17. R$50,0004. B18. 8 dias05. A19. 10 km/h06. D20. 30 m07. E21. 2 dias e 4 h08. 5,0422. 4 dias e 3 h09. 4,523. 125 pginas10. C24. 24 dias11. D25. 150 km12. E26. 24/5d13. A27. 21 dias14. C

ANOTAES

CONJUNTOS NUMRICOS FUNDAMENTAIS

01.CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS

Representa-se pela letra N e formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, ...Portanto N = {0, 1, 2, 3, ...}.Usamos o asterisco (*) ao lado do smbolo que representa um conjunto para excluir o zero desse conjunto.Assim sendo, N* = {l, 2, 3, ...}.Note que, por exemplo, a operao 3 5 no possvel em N. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo de operao. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos nmeros inteiros.

02.CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Representa-se pela letra Z e formado pelos elementos de N, juntamente com seus simtricos.Portanto Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}.Do conjunto Z, tiramos os subconjuntos:

Z* = {..., 3, 2, 1, 1, 2,3, ...} (conjunto dos inteiros no nulos).

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N (conjunto dos inteiros no negativos).

= {1, 2, 3, ...} = N* (conjunto dos inteiros positivos).

Z = {..., 2, 2, 1, 0} (conjunto dos inteiros no positivos).

= {..., 3, 2, 1} (conjunto dos inteiros negativos).

Note que, por exemplo, a operao 6/10 no possvel em Z. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo de operao. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos nmeros racionais.

03.CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS

Representa-se pela letra Q e formado por todos os elementos da forma , com a Z e b Z*.

EXEMPLOS

E.1) = 3,125E.2) = 1,37E.3) = 0,1333...

E.4) = 3,121212...E.5) = 2E.6) = 0

OBSERVAES

A frao , quando a divisvel por b, aparente, pois igual a um nmero inteiro (Exemplos E.5 e E.6). Por isso, qualquer nmero inteiro racional.

A frao , quando a no divisvel por b, s pode ser:

Um decimal exato (E.1 e E.2) Uma dzima peridica (E.3 e E.4)O conjunto dos racionais um conjunto denso, isto , entre dois racionais quaisquer existem infinitos outros racionais.Ainda o conjunto Q no resolve todos os problemas; vejamos o exerccio:

Qual o nmero positivo cujo quadrado igual a 2?

SOLUO

x2 = 2; este nmero x, positivo, conhecido por x = .Ele no racional. Foi criado, por isso, um novo conjunto, conhecido por conjunto dos irracionais.

04.CONJUNTO DOS NMEROS IRRACIONAIS

Mostraremos que no existe nmero x com uma quantidade finita de decimais, tal que x2 = 2, ou melhor, mostraremos que no representa nmero com quantidade finita de decimais.

Ora:

= 1 (por falta, pois 12 = 1)

= 1,4 (por falta, pois 1,42 = 1,96)

= 1,41 (por falta, pois 1,412 = 1,9881)

= 1,414 (por falta, pois 1,4142 = 1,999396)

Para que o quadrado de 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., venha representar o nmero 2 ou 2,0 ou 2,00 etc., seria necessrio que o ltimo algarismo significativo da parte decimal multiplicado por si mesmo apresentasse final zero. Nesse caso, esse ltimo algarismo teria que ser zero. Isso impossvel, pois 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., so nmeros que tm na parte decimal pelo menos um algarismo diferente de zero e, sendo este ltimo, quando multiplicado por si mesmo no dar zero.Portanto, mostramos que no existe um nmero com uma quantidade finita de decimais cujo quadrado resulte exatamente 2 ou 2,0 ou 2,00 etc.

O nmero no racional e se caracteriza por possuir na parte decimal uma quantidade infinita de algarismos no formando uma dzima peridica.

Dizemos que chamado nmero irracional, assim como etc.Alm desses, temos outros nmeros que so irracionais. O nmero = 3,1415926... outro exemplo.Representaremos o conjunto dos irracionais por Q ou Q.Outros exemplos de nmeros irracionais:

etc.

Nenhum nmero irracional pode ser escrito sob a forma com a e b inteiros.

05.CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

A unio do conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais chama-se conjunto dos reais.Representando-se pela letra R, tem-se que Q Q = R.

EXERCCIOS PROPOSTOS

Analise cada questo a seguir e diga se verdadeira ou falsa.

01.Existe natural que no racional.

02.Todo natural racional.

03.Existe nmero inteiro que no natural.

04.Todo nmero natural inteiro relativo.

05.Um nmero inteiro relativo pode ser irracional.

06.Todo nmero inteiro racional.

07.Existe nmero que racional e irracional, simultaneamente.

08.Todo irracional real.

09.Existe nmero real que no irracional.

10.Todo nmero irracional real.

11.Os nmeros da forma , com a Z e b Z podem no ser racionais.

12.O conjunto dos nmeros racionais formado pelos elementos da forma , com a Z e b Z*.

13.Toda dzima peridica um nmero irracional.

14.Existe dzima peridica que no pode ser escrita sob a forma , com a Z e b Z*.

15.O produto de nmeros reais sempre racional.

16.Se ocorrer pq Z, isto porque p Z e q Z.

17.O quociente entre racionais, quando possvel, sempre racional.

18.O quociente entre irracionais sempre irracional.

19.Se x Z e y Q, ento x . y Q.

20.Se x e y , ento(x + y) .

21.Se x N e y R, ento (x + y) Q.

22.Se x Q e y Q, ento (x . y) Q.

23.O nmero 2k + 3, k Z, sempre mpar.

24.O nmero k2 + k, k Z, sempre par.

25.Se n Z um nmero par, ento n2 tambm par.

26.Se n Z um nmero mpar, ento n2 tambm mpar.

27.O nmero k3 + k, k Z, pode ser mpar.

28.As expresses 2k + 1 e 2k + 3, k Z, so genricas para a representao de dois nmeros mpares consecutivos.

29.O conjunto {x | x = 5k, k Z} representa o conjunto dos mltiplos de 5.

30.As expresses 7k e 7k + 1 representam dois mltiplos consecutivos de 7, qualquer que seja k pertencente ao conjunto dos inteiros.

31.As expresses 7k e 7k + 7, k Z, representam dois mltiplos consecutivos de 7.

32.A expresso E = sempre representa nmero real, qualquer que seja x R.

33.Se k Q, ento k2 Q.

34.0 Q+ e N = Z+.

35.Z Z+ = {0}.

36.0 Q e Z* Q = Z.

37.Q Q+ = R+.

38.R (Z Q) = Q.

GABARITO

01. F 14. F 27. F

02. V 15. F 28. V

03. V 16. F 29. V

04. V 17. V 30. F

05. F 18. F 31. V

06. V 19. F 32. F

07. F 20. V 33. F

08. V 21. F34. V

09. V 22. F 35. V

10. V 23. V 36. F

11. V 24. V 37. F

12. V 25. V 38. V

13. F 26. V

ANOTAES

INEQUAES DO PRIMEIRO GRAU

01.DEFINIO

Chama-se inequao do primeiro grau a toda desigualdade redutvel forma ax + b * 0, com a 0, sendo * , ou .

EXEMPLOS

E.1)2x + 4 < 0

E.2)3x 7 5 (2 x) + 1

E.3)

02.PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

P.1.)Somando-se (ou subtraindo-se) um mesmo nmero aos dois membros de uma desigualdade, obtm-se uma desigualdade equivalente.

EXEMPLOS

7 > 3 7 + 2 > 3 + 2, ou seja, 9 > 5x 3 > 0 x 3 + (3) > 0 + (3), ou seja, x > 3x + 4 > 2 x + 4 4 > 2 4, ou seja, x > 2

P.2.)Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um nmero positivo, obtemos outra desigualdade equivalente.

EXEMPLOS

7 > 3 7 . 2 > 3 . 2, ou seja, 14 > 6

> 5 . (2) > 5. (2), ou seja, x > 10

3x > 12 > , ou seja, x > 4

P.3.)Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um nmero negativo, o sinal da desigualdade deve ser invertido.

EXEMPLOS

7 > 3 7 . (1) < 3 . (-1), ou seja, 7 < 3x > 3 x(1) < 3 . (1), ou seja, x < 3

2x 12 , ou seja, x 6

costume resolver a inequao 2x > 12 multiplicando inicialmente ambos os membros por 1.

Assim: 2x 12 2 x 12

x x 6

PRODUTOS NOTVEIS

Existem, alguns produtos que so muitos usados na lgebra e que, por isso, daremos um maior destaque:

01.QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

02.QUADRADO DA DIFERENA DE DOIS TERMOS

(a b)2 = a2 2ab + b2

03.PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENA

(a + b) . (a b) = a2 b2

04.CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

05.CUBO DA DIFERENA DE DOIS TERMOS

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

06.QUADRADO DA SOMA DE TRS TERMOS

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

EXERCCIOS

01.Desenvolva

a)(a + b c)2

b)(x 3)2 (2x + 3)2

c)(3x 2) . (3x + 2) (2x 3)3

02.Sabendo-se que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a2 + b2.

FATORAO

PRIMEIRO CASO: FATOR COMUM

ab + ac = a . (b + c)

EXEMPLOS

SEGUNDO CASO: AGRUPAMENTO

ab + ac + bd + cd = a. (b + c) + d. (b + c) = (b + c) . (a + d)

ab + ac + bd + cd = (b + c) . (a + d)

EXEMPLOS

TERCEIRO CASO: DIFERENA DE QUADRADOS

a2 b2 = (a + b) . (a b)

EXEMPLOS

QUARTO CASO: TRINMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

EXEMPLOS

QUINTO CASO: TRINMIO DO SEGUNDO GRAU

ax2 + bx + c = a . (x x) . (x x)

EXEMPLOS

SEXTO CASO: CUBO PERFEITO

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3

EXEMPLOS

STIMO CASO: SOMA OU DIFERENA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b) . (a2 ab + b2)

a3 b3 = (a b) . (a2 + ab + b2)

EXEMPLOS

EXERCCIOS

01.Fatore:

a)x2 2x2 9x + 18

b)4x2 - 25

c)9x2 - 6x + 1

d)x2 x 6

e)x3 = 6x2 + 12x + 8

f)x3 - 27

02.Simplifique .

POTNCIAS

01.DEFINIES

Seja a um nmero real e n um nmero natural maior que 1.Temos:

02.PROPRIEDADES

EXERCCIOS

01.Simplifique a expresso .

02.(FATEC) Das trs sentenas abaixo:

I) 2x+3 = 2x . 23II) (25)x = 52xIII) 2x + 3x = 5x

a)somente a I verdadeira.b)somente a II verdadeira.c)somente a III verdadeira.d)somente a II falsa.e)somente a III falsa.

RAZES

01.DEFINIES

1.1.Seja n um nmero natural par e no nulo e seja a um nmero real no negativo.

1.2.Seja n um nmero natural mpar e seja a um nmero real.

EXEMPLOS

E.1)E.5)

E.2)E.6)

E.3)E.7)

E.4)E.8)

OBSERVAO

Note que = 3, e no 3.

02.POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Seja a Q (m Z e n N*)

EXEMPLOSE.1)E.2)E.3)

03.PROPRIEDADES

Se a R+, b R+, m Z, n N* e p N*, temos:

P.1.)P.3.)

P.2.)P.4.)

EXEMPLOS

E.1)E.3)

E.2)E.4)

EXERCCIO

Simplifique:

a)

b)

04.RACIONALIZAO DE DENOMINADORES

Racionalizar o denominador de uma frao significa eliminar todos os radicais deste denominador, sem com isso alterar o valor da frao.

EXEMPLOS

E.1)

E.2)

E.3)

E.4)

E.5)

EXERCCIOS

01.Racionalize:

a)

b)

c)

d)

e)

02.(UCSAL-00) Simplificando-se , obtm-se:

a)

b)

c)

d)

e)

EQUAES DO SEGUNDO GRAU

01.DEFINIO

Chama-se equao do segundo grau a toda equao da forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c nmeros reais, com a 0.

EXEMPLOS

E.1)3x2 + 4x 1 = 0 (a = 3, b = 4, c = 1)

E.2)x2 + 2x + 8 = 0 (a = 1, b = 2, c = 8)

E.3)2x2 16 = 0 (a = 2, b = 0, c = 16)

E.4)x2 5x = 0 (a = 1, b = 5, c = 0)

E.5)

Note que o termo de maior grau da equao do segundo grau ax2, com a 0, o que justifica o seu nome. Se b = 0 ou c = 0 ou b = 0 e c = 0, a equao do segundo grau dita incompleta. Se b 0 e c 0, a equao do segundo grau dita completa.As razes de uma equao do segundo grau so os valores que quando substitudos no lugar de x tornam o primeiro membro igual ao segundo membro.Note nas equaes que:

E.1)x2 7x + 10 = 0, Se substituirmos x por 2 ou por 5, temos:

Assim, dizemos que 2 e 5 so as razes ou zeros da equao x2 7x + 10 = 0.

E.2)3x2 12 = 0; se substituirmos x por 2 ou por - 2, temos:

Assim, dizemos que 2 e 2 so as razes ou zeros da equao 3x2 12 = 0.

02.RESOLUO DE EQUAES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS

Devemos saber, antes de tudo, que vlida a equivalncia A . B = 0 A = 0 ou B = 0.

PRIMEIRO TIPO

ax2 + bx = 0 (c = 0)

SOLUO

ax2 + bx = 0x .(ax + b) = 0x = 0 ou ax + b = 0

SEGUNDO TIPO

ax2 + c = 0 (b = 0)

SOLUO

ax2 + c = 0ax2 = c

x2 =

Se 0, S =

Se < 0, S =

03.RESOLUO DE EQUAES COMPLETAS

Na prtica, a soluo da equao do segundo grau completa feita com a frmula de Bskara.Vejamos a deduo dessa frmula:

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx = c (x 4a)

4a2x2 + 4abx = 4ac (+b2)

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac

(2ax + b)2 = b2 4ac

2ax + b =

2ax = b

, sendo b2 4ac = , que chamado discriminante da equao do segundo grau.

Portanto as razes da equao so:

OBSERVAES

Se > 0, a equao possui duas razes reais distintas. Se = 0, a equao possui duas razes reais iguais. Se < 0, a equao no possui razes reais.

04.RELAO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAZES

Existem duas relaes importantes numa equao do tipo ax2 + bx + c = 0 que envolvem as razes x e x e os coeficientes a, b, e c.

PRIMEIRA RELAO: SOMA DAS RAZES

Somando-se membro a membro as igualdades a seguir, temos

Portanto:

SEGUNDA RELAO: PRODUTO DAS RAZES

Portanto:

05.EQUAES BIQUADRADAS

5.1.DEFINIO

Chama-se equao biquadrada a equao do quarto grau incompleta que possui o aspecto ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e c nmeros reais, com a 0.

EXEMPLOS

E.1)5x4 + 4x2 + 1 = 0E.2)x4 3x2 + 2 = 0E.3)x4 81 = 0

5.2.RESOLUO DE EQUAO BIQUADRADA

Toda equao do tipo ax4 + bx2 + c = 0 equivalente ao modelo a(x2)2 + b(x)2 + c = 0.

Fazendo x2 = y, temos:

ay2 + by + c = 0, que uma equao do segundo grau de varivel y. Nela, encontramos as razes y e y e da:

EXEMPLOS

E.1)Vejamos qual o conjunto verdade da equao x4 10x2 + 9 = 0

SOLUO

A equao equivalente a (x2)2 10x2 + 9 = 0

Fazendo x2 = y, temos:

y2 10y + 9 = 0, cujas razes so y = 9 e y = 1.

Ora, x = y = {3, 1, 1, 3}

EQUAES IRRACIONAIS

01.DEFINIO

Chama-se equao irracional equao que apresenta incgnita sob radical.

EXEMPLOS

E.1)

E.2)

E.3)

E.4)

02.RESOLUO DE EQUAES IRRACIONAIS

Para resolvermos equaes irracionais, devemos eliminar os radicais da equao e, ao final, verificarmos as solues.Convm lembrar que:

a = b a2 = b2 (verdadeiro)a2 = b2 a = b (falso)a = b a2 = b2 (falso)

EXEMPLOS

E.1). Elevando membro a membro ao cubo, temos:

x 5 = 8; x = 13.

importante verificar, aps a resoluo da equao, se a soluo realmente satisfaz.

VERIFICAO

x = 13 = 2 2 = 2 (V)

Assim: V = {13}

E.2) = x 1; elevando membro a membro ao quadrado, temos:

x + 11 = (x 1)2x + 11 = x2 2x + 1x2 + 3x 10 = 0; x = 5 e x = 2

VERIFICAO

x = 5 (V)

x = 2 (F)

Note que apesar de 3 3, temos 32 = (3)2. Portanto, quando se elevou ao quadrado os membros da equao, uma das solues, x = 2, era estranha.

Assim: V = {5}

Para se resolver as equaes do segundo tipo, convm isolar em um dos membros duas das expresses que contm as razes.

Vamos resolver as equaes E.3 e E.4.

E.3)

Isolando-se as razes do primeiro membro, temos:

; elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

x + 7 + 2

Dividindo por 2, temos:

Elevando ambos os membros outra vez ao quadrado, temos:

x2 + 7x = (21 x)2x2 + 7x = 441 42x = x249x = 441

VERIFICAO

x = 9 (V)

Assim: V = {9}

E.4)

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

Dividindo por 2, temos:

;

elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

2x2 + 6x 20 = (2x 2)22x2 + 6x 20 = 4x2 - 8x + 42x2 + 14x 24 = 0 :(2)x2 7x + 12 = 0; logo, x = 4 e x = 3.

VERIFICAO

Na equao inicial (antes de elevarmos os dois membros ao quadrado), vamos substituir as razes x = 4 e x = 3 encontradas.

x = 4 (V)

x = 3 (V)

Assim: V = {3,4}

E.5)Resolvamos a equao .

SOLUO

Como vemos, esta equao do segundo tipo e, portanto, se recorrermos ao mesmo processo das anteriores, teremos que elev-la duas vezes ao quadrado para eliminar os radicais. Entretanto, chegaramos, desta forma, a uma equao do quarto grau, de difcil soluo para o nosso curso.

Por outro lado, verifiquemos que na equao , a expresso x2 + 6x comum aos dois radicais. Faremos, portanto, x2 + 6x = y.

Assim:

Elevando os dois membros ao quadrado, temos:

y + 9 = y + 2

Dividindo a equao por 2, temos:

Voltando condio x2 + 6x = y, temos:

x2 + 6x = 16x2 + 6x - 16 = 0; logo, x = 8 e x = 2.

Pode-se verificar na equao inicial que ambas as solues satisfazem.

Assim: V = { 8, 2}

EXERCCIOS

01.Resolva as seguintes equaes:

a)x +

b)

EXERCCIOS PROPOSTOS

01.Desenvolva:

a)(2x 3)2 + (1 + 2x) . (1 2x)b)(x2 + 2x)2 (x 2)3c)(3x + 1)3 + (x2 4x 3)2

02.Sendo x + y + z = 10 e xy + xz + yz = 30, calcule x2 + y2 + z2.

03.Sabendo que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a3 + b3.

04.Calcule o valor da expresso E = x3 3x2y + 3xy2 y3 para x = 117 e y = 115.

05.Fatore:

a)x2 + 2xy + 5x + 10yb)x2y2 9c)4x2 - 4xy2 + y4d)x3 8y3 6x2y + 12xy2e)x2 + 2x 15

06.Simplifique:

a)

b)

c)

07.Se , com ab -1, ento calcule .

08.Simplifique a expresso .

09.Simplifique a expresso .

10.Se 2x + 22 = a, ento 8x + 8x igual a:

a)a3b)a2 ac)a3 3ad)a3 - ae)NRA

11.A expresso , para a > 0 e b > 0 equivalente a:

a)b)a + b + 2

c)

d)

12.Racionalize:

a)

b)

c)

d)

13.Qual o maior entre os nmeros ?

14.Simplifique a expresso .

15.Calcule o valor da expresso .

16.Se a > 0 e b > 0, a expresso igual a ...

17.A equao 3x2 + bx + c = 0 tem razes 1 e 4. Os valores dos coeficientes b e c so, respectivamente:

a)5 e 4b)5 e 4c)5 e 12d)-15 e 12e)15 e 1218.Na equao do segundo grau x2 + 3mx + m 7 = 0, se as razes so opostas, calcule m.

19.Na equao x2 8x + p 1 = 0, uma raiz o triplo da outra. Calcule.

20.Calcule a soma dos inversos das razes da equao 3x2 + 7x 5 = 0.

21.Sendo a e b as razes da equao 2x2 5x + m = 3, ento se , qual o valor de m?

22.Se a soma das razes da equao (x 5) . (x + p) = 1 7, qual o valor do produto das razes?

23.Determine o conjunto soluo das seguintes equaes:

a)(x + 3)2 = (x 1) . (x + 5)

b)c)5x + 4 . (x 1) = 9x 4d)6 . (x + 2) 4x = 2 . (x + 1) + 4

24.Determine o conjunto soluo das seguintes inequaes:

a)b)4 . (x 2) (3x+2) > 5x 6 4 . (x 1)c)6 . (x + 2) 2 . (3x + 2) > 2 .(3x 1) 3 (2x 1)

25.Resolva os sistemas:

a)

b)

c)

26.Resolva as seguintes equaes:

a)

b)

c)

d)

e)

GABARITO

01.a)10-12xb)x4 + 3x3 + 10x2 l2x + 8c)x4 + 19x3 + 37x2 + 33x + 1002.4003.40004.805.a)(x + 5) . (x + 2y)b)(xy + 3) (xy 3)c)(2x y2)2d)(x 2y)3e)(x + 5) (x 3)06.a)x2 + 2x + 4

b)

c)07.b

08.

09.10.C11.C

12.a)

b)

c)

d)

13.14.Zero15.2

16.17.D18.m = 019.p = 13

20.

21.22.1123.a){7}b)c)R d)24.a)S = {x R/x > 3}b)c)R25.a){(4; 9)}b){(7; 3)}c){(4; 3); (4; 3)}26.a){24}b){34}c){4;4}d){3; 2}e){5}

EXERCCIOS PROPOSTOS

P1.A equao equivalente a , a e b primos entre si. Ento a + b um:

a)nmero primo.b)nmero par.c)divisor de 7.d)mltiplo de 3.e)quadrado perfeito.

P2.Distribu R$ 570,00 entre trs pobres. Sabe-se que o 2o recebeu a tera parte do 1o, o 3o recebeu R$ 70,00 a mais que o 2o e que ainda sobraram R$ 50,00. Calcule quanto recebeu cada pobre.

P3.A soma das idades de pai e filho 44 anos. H 4 anos a idade do pai era o quntuplo da idade do filho. Quais as idades atuais?

P4.Eu tenho a idade que tu tinhas quando eu tinha a metade da idade que tu tens. Se a soma das nossas idades atualmente vale 35 anos, calcular as nossas idades.

P5.Um co persegue uma lebre, que leva 48 saltos seus de dianteira. O co d 3 saltos enquanto a lebre d 5, e 5 saltos do co valem 11 saltos da lebre. Quantos saltos dar o co para alcanar a lebre?

P6.Numa rvore tm-se galhos e passarinhos. Se pousar um passarinho em cada galho, fica um passarinho sem galho; se pousarem dois passarinhos em cada galho, fica um galho sem passarinho. Calcule o produto entre o nmero de passarinhos e o nmero de galhos.

P7.Numa cesta de capacidade para trs dzias de ovos, temos ovos caipira e de granja. Foram retirados trs quartos dos ovos caipira e a cesta reduziu seu nmero de ovos tera parte. Sendo assim, a razo entre o nmero de ovos de granja e caipira que possui a cesta, inicialmente, vale:

a)d)

b)e)

c)

P8.O sistema de equaes lineares tem solues e, e s se:

a)m 2b)m 1

c)m d)m 0

e)m

P9.Se x, y e z satisfazem condio , ento x + y + z vale:

a)5b)2c)0d)11e)6

P10.O conjunto de valores reais que soluciona a equao no universo R :

a){1}b)R { 1}c)Rd){0}e){3}

P11.Se ocorre x y = 2 e x . y = 5, ento vale:

a)b)6

c)d)1

e)

P12.A equao do segundo grau (3x 1)2 + (2x 1) . (2x + 1) = 0 possui as razes x1 e x2. Determine, ento, o valor de x1 + x2.

a)0,4b)6/13c)3d)5

e)

P13.A diferena entre o quadrado da soma de um nmero com 3 e o dobro do produto desse nmero pelo seu consecutivo 13. Esse nmero :

a)1b)5c)2d)3e)6

P14.Qual o conjunto soluo da equao em R.

a)b){2}

c)d){5}e)

P15.A soma de dois nmeros p e a soma dos recprocos (inversos) desses nmeros vale q. Logo, o produto dos nmeros :

a)p . q

b)

c)d)pq pe)p2 q + pq2

P16.Dizer qual o conjunto soluo da equao em R.

P17.O valor absoluto da diferena entre a soma e o produto das razes da equao 2x2 + 10x 3 = 0 :

a)3b)5

c)

d)e)0

P18.A equao do segundo grau 2x2 kx + 3 = 0 possui 1 como uma de suas razes. Ento a outra raiz :

a)3/2b)1c)0d)1/2e)5/2

P19.Se a equao x2 2 x + = 0 possui 5 como raiz dupla, ento . :

a)10b)125c)87d)160e)25

P20.Observe a equao do segundo grau 2x2 mx + n = 0; a assero falsa :

a)Se seus zeros so simtricos, ento m = 0.b)Se uma das razes nula, ento n = 0.c)Se seus zeros so recprocos, ento n = 2.d)Se a diferena dos seus zeros for nula, ento m2 = 8n.e)Se uma das razes nula, ento a outra raiz n.

P21.As razes da equao do segundo grau 3x2 15x + = 0, constante, diferem de uma unidade; sendo assim, um elemento do conjunto.

a){2, 7, 13}b){0, 1, 5}c){l2, 15, 20)d){7, 18, 19}e){11, 4, 8}

P22.Considerando a equao 2x2 + mx 8 = 0 de razes x1 e x2 e sabendo-se que , as razes dessa equao formam o conjunto:

a){x/x = 0 ou x = 1}b){x/x = 1/2 ou x =2}c){x/x = 1 ou x = 2}d){x/x = 2}e){x/x = 1/2}

P23.Resolva a equao x4 x2 12 = 0, em R.

P24.Resolva a equao x6 + 7x3 8 = 0.

P25.Resolva a equao (x3 1)2 5(x3 1) 14 = 0.

P26.A equao do segundo grau cujas razes so e :

a)2x2 + x 1 = 0b)x2 + x 3 = 0c)3x2 + 7x + 2 = 0d)x2 4x + 1 = 0e)x2 x 1 = 0

P27.O conjunto soluo da equao possui quantos elementos?

a)umb)doisc)trsd)quatroe)infinitos

P28.Resolva .

P29.Quantas solues reais possui a equao ?

a)zerob)umac)duasd)trse)mais de trs

P30.Calcule a soma das razes da equao .

P31.Calcule as razes da equao .

P32.Sabendo-se que e que x + y = 32, ento xy vale:

a)3b)4c)5d)6e)7

P33.Resolver a equao em R.

P34.O conjunto de nmeros reais x para que forma o intervalo real:

a)(,2]

b)

c)d)(,0]e)(-1,+)

P35.Resolvendo a inequao , obtemos o conjunto S como soluo.Ento verdadeiro que:

a)b) Sc)13 Sd)1/2 Se)9 S

P36.O maior nmero inteiro que satisfaz condio , a)1b)0c)1d)5e)7

P37.O conjunto de reais x que satisfazem condio :

a)(3,7]b)(7,3] (5, + )c)(7, 5)d)[3, + )e)[3,5)

P38.O sistema de inequaes tem para soluo o conjunto:

a)( ,1]b)(1, 0)c)(1, 0]d)(1, 2)e)

P39.Calcular as razes da equao x2(x + 3) = 4(x + 3).

P40.A soma dos zeros da equao x(x2 1) = 2 . (x + 1)2 :

a)0b)2

c)d)5

e)

P41.Resolva a equao .

P42.Calcular o produto das razes da equao .

P43.Qual o conjunto soluo da equao ?

P44.Um dos valores de x para que :

a)3b)7c)11d)3/2e)1/2

P45.Duas pessoas empregam, juntas, RS 144.000,00 na compra de aes que rendem 6% ao ano. Anualmente, a primeira recebe R$ 1.200,00 a mais que a segunda. Qual o capital que cada uma empregou?

P46.Uma mistura de 20m constituda de duas substncias, A e B, nas propores 25% e 75%, respectivamente. Sabendo que para um mesmo volume a substncia A pesa o dobro de B, que percentagem do peso total da mistura representa o peso de A?

P47.Uma torneira consegue encher um tanque vazio em duas horas. Outra torneira consegue realizar o mesmo trabalho em seis horas. Estando o tanque cheio, um ralo o esvazia em x horas. Estando o tanque vazio e colocando-se as duas torneiras juntas em funcionamento com o ralo aberto, o tanque fica cheio em 12/5 horas. Quanto vale x?

P48.Uma casa deve ser construda em 12 meses. Para isso, precisa-se de 24 serventes, cada um trabalhando 15h/dia. Dois meses aps o incio da obra, 25% dos serventes foram demitidos, e o restante dos serventes ficou com a incumbncia de terminar a obra no prazo determinado. Quantas horas por dia passar a trabalhar o restante dos serventes?

P49.Se 2x + 2x = , calcule 8x + 8x.

P50.Se a + b c = 0, provar que a3 + b3 c3 = 3 abc.

P51.Provar a veracidade da sentena: Existe x Q tal que (x2 + x) Z.

P52.Racionalize os denominadores:

a)

b)

c)

P53.Simplificar o radical .

P54.Simplificar a expresso .

P55.Calcule o valor de .

P56.Duas rodas de engrenagem tm 40 e 60 dentes, cada uma com um dente estragado. Se, num dado instante, esses dois dentes esto em contato, quantas voltas a roda pequena dar para que se repita esse encontro?

P57.Um terreno de forma triangular tem lados de medidas 18 m, 24 m e 30 m. Deve-se cercar esse terreno com estacas espaadas igualmente, mxima distncia possvel. Qual deve ser distncia entre as estacas?

P58.Determinar o maior nmero pelo qual se deve dividir 423, 796, 1585 para se obter os restos 3, 4 e 1, respectivamente.

P59.Uma senhora possui uma cesta com ovos para distribuir entre os seus 3 filhos. Ao primeiro filho ela deu metade dos ovos da cesta mais meio ovo; ao segundo filho ela deu a metade dos ovos restantes mais meio ovo, e, ao terceiro filho, ela deu metade do novo resto mais meio ovo, ficando sem nada.Quantos ovos havia na cesta?

P60.(UFBA-99) Uma herana de R$ 525.000,00 foi dividida entre duas famlias, uma com 25 pessoas e outra com 30 pessoas, de maneira tal que a quantia recebida por um dos membros da famlia menor, somada recebida por um dos membros da famlia maior, foi igual a R$ 20.000,00. Todos os membros de uma mesma famlia receberam quantias idnticas.Se cada pessoa da famlia menor recebeu x mil reais, calcule x.

P61.(UFBA-01) Um teatro colocou venda, ingressos para um espetculo, com trs preos diferenciados de acordo com a localizao da poltrona. Esses ingressos, a depender do preo, apresentavam cores distintas: azul, branco e vermelho. Observando-se quatro pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2 brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a segunda comprou 2 ingressos brancos e 3 vermelhos e gastou R$ 184,00, e a terceira pessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00.Sabendo-se que a quarta pessoa comprou apenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais, quanto ela gastou.

GABARITO

01.A33.

02.1a) R$ 270,0034.C

2a) R$ 90,0035.C

3a) R$ 160,0036.B

03.Pai: 34 anos37.E

Filho: 10 anos38.C

04.15 e 2039.V = {3,2, +2}

05.9040.B

06.1241.V = {2, 5}

07.A42.1/2

08.B43.V = {2, 8}

09.B44.A

10.E45.V = R$ 82.000,00

11.A R$62.000,00

12.B46.40%

13.C47.4

14.C48.20h/dia

15.B49.3 3

16.V = {13}50.Demonstrao

17.C51.Demonstrao

18.A52.a)

19.Bb)

20.Ec)

21.D53.

22.D54.4

23.V = {2, +2}55.2

24.V = {1, 2}56.3 voltas

25.V = {1, 2}57.6 m

26.D58.12

27.A59.07

28.V = {25}60.15

29.A61.84

30.3

31.2 e 1

32.B

ANOTAES