Módulo 5

Distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson, é de uma variável aleatória discreta. A diferença entre essa distribuição e a binominal é que ela ocorre num intervalo de uma grandeza física contínua como: tempo, comprimento, superfície, volume etc. As condições abaixo devem acontecer para que essa variável ocorra:

1º) os eventos devem ser independentes nos intervalos em que ocorrem, sem que estes sejam sobrepostos;

2º) em intervalos iguais, as probabilidades de ocorrência também devem ser iguais;

3º) a probabilidade de um acontecimento é proporcional ao tamanho do intervalo em que ele é estudado, sendo que em intervalos muito pequenos, a probabilidade de mais de um acontecimento é desprezível. Desenvolvendo a expressão binominal sob essas condições, obtemos uma função probabilidade definida na forma:

onde: e = base de Neper = média de Poisson x = variável aleatória

Na maioria dos problemas a pergunta é feita para que a probabilidade ocorra dentro de certo intervalo, cujo tamanho, não coincide com aquele em que a média foi dada. Nestes casos definimos uma grandeza “t” como sendo o valor do tamanho do intervalo da probabilidade pedida e, “ ” a média que foi dada pelo problema. Nestas condições, a média de Poisson é achada pela expressão:

Aproximações pela distribuição binomial

Como a expressão de Poisson é obtida da binomial, quando o número de experimentos tende ao infinito, a distribuição de Poisson fornece o mesmo resultado que uma binomial, facilitando o tratamento matemático do problema. Assim, se num problema de distribuição binomial tivermos um valor para “p” da ordem de p≤ 0,1, podemos obter um bom resultado, resolvendo o problema como se fosse uma distribuição de Poisson de média

Expressão de recorrência

A distribuição de Poisson possui a propriedade de recorrência, ou seja, os valores das probabilidades podem ser calculados, a partir da primeira P(0), utilizando a expressão geral:

Exercícios de aplicação

1) Nos rolos de fita isolante, aparecem emendas, ao acaso, em média, uma a cada 500m. Supondo que a distribuição do número de emendas seja uma Poisson, qual a probabilidade que um rolo de 1.250m tenha: a) nenhuma emenda; b) no máximo duas emendas; c) pelo menos duas emendas?

2) Revisadas as provas de um livro, verificou-se que há, em média, dois erros em cada 5 páginas. Em um livro de 100 páginas, estimar quantas não precisam ser modificadas, por não apresentarem erros.

3) Um vendedor de automóveis sabe que o número de carros vendidos por dia em sua loja comporta-se como uma variável de Poisson, cuja média é de dois, nos dias de bom tempo e um, nos dias chuvosos. Se em 70% dos dias faz bom tempo, qual a probabilidade de que num certo dia do ano sejam vendidos, pelo menos, 3 automóveis?

4) Na pintura de painéis, aparecem defeitos, em média, na proporção de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade que um painel, medindo (20 X 30)cm tenha: a) mais de um defeito b) nenhum defeito?

5) Um pintor de paredes comete, em média, uma falha a cada 2 , e seu aprendiz, duas falhas a cada 1 . Uma parede de (3X1)m foi pintada 2/3 pelo pintor e 1/3 pelo aprendiz. Qual a probabilidade de aparecer uma única falha na parede inteira?

6) Uma loja vende, em média, 2,4 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar o expediente, verifica-se que existem 3 fogões no estoque, e sabe-se que a nova remessa só chegará, depois de 2 dias. Qual a probabilidade de, no fim desses 2 dias, a loja não ter deixado de atender, por falta de estoque, as pessoas que vierem comprar?

Tarefa mínima

1) Certo posto de bombeiros de uma grande cidade recebe, em média, 2 chamadas por dia. Desejando-se melhor equipá-lo para suas funções, necessita-se responder: a) qual a probabilidade de que esse posto receba 3 chamadas num dia; b) qual a probabilidade que receba 4 ou mais chamadas num dia?

R: 0,1804 e 0,1431

2) Os números de defeitos de solda e acabamento de certa marca de rádio são variáveis de Poisson independentes, de média respectivamente 1,2 e 0,8. Calcular a probabilidade de que um rádio qualquer: a) não seja perfeito; b) tenha, no máximo, um defeito de cada tipo. R: 0,865 e 0,5625

3) Um telefone recebe, em média, 0,25 chamadas por hora. Qual a probabilidade de, em 4 horas: a) receber no máximo, 2 chamadas; b) receber, exatamente, 3 chamadas; c) receber, no mínimo, 3 chamadas? R:0,9197 0,0613 e 0,0803

4) O número médio de defeitos de solda em certo tipo de aparelho de rádio é de 1 defeito por aparelho. Supondo que o modelo de Poisson possa ser aplicado, calcular a probabilidade de que um aparelho qualquer tenha, no máximo, dois defeitos.

R: 0.919

5) Com os dados do problema anterior, em um lote de 5 aparelhos, qual a probabilidade de que: a) nenhum aparelho tenha defeitos; b) no máximo, dois tenham mais que 2 defeitos? R: 0,102 e 0,9954

6) Numa linha adutora de água, de 60Km de extensão, o número de vazamentos, no período de 1 mês, segue uma lei de Poisson, de média 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos, um vazamento num certo setor de 3Km de extensão?

R: 0,1813

7) Uma loja vende, em média, um automóvel para cada 5 pessoas. Por dia, passam na loja 10 pessoas, e a loja dá aos 3 primeiros compradores (se houver), um brinde de R$600,00. a) Qual a probabilidade de, num dia, vender mais de 2 carros; b) qual o gasto esperado em brindes em 1 dia? R: 0,3233 e R$ 1.069,38

8) Foi estabelecido que certo tipo de máquina apresenta, em média, 1,8 falhas mecânicas a cada seis horas de trabalho. Admitindo poder ser empregada a distribuição de Poisson, calcular a probabilidade de uma máquina apresentar, no mínimo, duas falhas em cada 8 horas de trabalho. R: 0,69

9) Um computador opera em “full-time”. O número de defeitos é uma variável aleatória que possui distribuição de Poisson, com média igual a 0,25 defeitos por hora. O computador operou satisfatoriamente, entre as 18 horas e 20 horas de determinado dia e, findo esse período, é iniciado o processamento de uma folha de pagamentos, para o que se exige um tempo de 1h24min. Qual a probabilidade de o processamento ser concluído no tempo previsto, sem interrupção por defeito da máquina? R: 0,7046

10) Os aparelhos de certa fabricação possuem em média, 1,6 defeitos cada. Se o fabricante paga uma indenização de R$10,00 por aparelho com mais de 2 defeitos, quanto representa, a longo prazo, essa indenização no custo de cada aparelho?

R: R$ 2,17

11) Uma autolocadora tem 3 carros, que são alugados por dia. A procura diária é uma variável de Poisson, com média 2. Pergunta-se: a) qual a probabilidade de serem alugados, pelo menos, 2 carros num dia? b) se a taxa cobrada pelo aluguel diário é de R$600,00 por carro, qual o ganho mensal esperado da autolocadora?

R: 0,5940 $32.076,0012) Numa fabricação de tecido, aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m. Se a

produção diária é de 625m, num período de 80 dias de trabalho, em quantos dias podemos esperar uma produção sem defeito?

R: 6,6 dias

13) A oficina de manutenção de uma indústria pode atender, na oficina, 4 casos de quebras de máquinas, por dia. Em média, quebram-se 3 máquinas por dia. Se quebrarem mais de 4 em um dia, a oficina deverá fazer hora extra. a) Qual a probabilidade de ocorrer hora extra, num dia? b) Qual a probabilidade de, em uma semana de 6 dias, fazerem-se horas extras 2 ou mais dias? R: 0,1848; R: 0,307

14) Uma fonte radioativa emite, em média, 0,5 partículas por segundo. Uma chapa fotográfica é sensibilizada se for atingida por 3 ou mais partículas. Se mais chapas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma, de frente para a fonte, qual a probabilidade de uma delas ser sensibilizada? R: 0,0805

15) Num livro de 585 páginas, existem 43 erros tipográficos. Se estes erros estiverem aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual a probabilidade de 10 páginas, escolhidas ao acaso, estarem livres de erros?

R: 0,4795

16) Um automóvel viaja sempre equipado com dois pneus novos nas rodas dianteiras e dois pneus recauchutados nas rodas traseiras. Sabe-se que os pneus novos dessa marca costumam furar, em média, à razão de uma vez a cada 5.000Km, ao passo que os recauchutados furam, em média, uma vez a cada 2.500Km. Admitindo que os pneus que furam, são logo consertados e recolocados na mesma posição, quer se saber a probabilidade de que, em uma viagem de 2.000Km: a) um pneu dianteiro fure uma única vez; b) haja, pelo menos um pneu furado; c) fure um pneu traseiro e um dianteiro.

R: 0,2681 ; 0,9093 ; 0,1160

17) Admita que o número de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria, por dia, seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média 2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes deverão seguir para outro porto. Em qualquer dia, qual a probabilidade de se ter que mandar petroleiros para outro porto? R: 0,1429

Trabalho

1) Um fabricante produz 4 unidades de um produto em cada mês. Se o produto não é vendido em um mês, é considerado inutilizável. A experiência passada indica que a demanda X do produto tem uma distribuição de Poisson de média 5: a) qual a probabilidade de o fabricante vender, pelo menos, 3 unidades em um mês? b) qual o ganho esperado do fabricante, na produção das 4 unidades, se lucra R$600,00 por unidade vendida e perde R$200,00 por unidade inutilizada?

2) Um tear possui tecido com largura de 2,5m. Defeitos de produção aparecem aleatoriamente no tecido, à razão média de 1 defeito para cada 2m produzidos. a) Qual a probabilidade de que, em um corte de 2,5 tenham 2 ou mais defeitos? b) Qual a probabilidade de que, em 3 cortes desse tipo, 2 sejam perfeitos e um tenha um único defeito?

3) Os defeitos em certo tipo de chapa de vidro aparecem, à razão média de 5 para cada 10 de chapa. Essas chapas são usadas para fazer janelas. Sabendo-se que essas

janelas medem (150 x 80)cm, calcular: a) a probabilidade de uma janela ter 2 ou mais defeitos; b) em um grupo de 10 janelas, a probabilidade de que, ao menos, 3 delas não tenham nenhum defeito; c) a probabilidade de que, num grupo de 10 janelas, em 8 delas, o número total de defeitos seja inferior a 3.

4) Numa indústria, ocorrem quedas de energia elétrica, ao acaso e independentes entre si, com intervalo médio entre as quedas de 8 horas. Calcular a probabilidade de que, em 30 dias, tenhamos 4 dias sem problemas de queda de energia.O mal neste mundo é que os estúpidos vivem cheios de si e os sábios, cheios de dúvidas.

(Bertrand Russell)