MODULOS 1,2,3 E 4

FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS - FTC

Cursos: Administração / Sistemas de Informação

Disciplina: Matemática Financeira / Análise de Viabilidade

de Projetos

Módulos 1, 2, 3 e 4

Professor: Carlos Armando Rocha Filho

JULHO de 2013

Apresentação

Ao iniciar os estudos da disciplina Matemática Financeira, alguns questionamentos

inevitavelmente passam pela sua cabeça: Qual a sua função? Qual o seu campo de aplicação?

Qual a sua utilidade prática? Ela fará alguma diferença em minha vida?

Bem, o campo de aplicação dessa disciplina é bastante amplo, pois suas técnicas são

necessárias em operações de financiamento de quaisquer naturezas: crédito a pessoas físicas e

empresas, financiamentos habitacionais, crédito direto ao consumidor e outras.

Também são necessárias em operações de investimentos mobiliários nos mercados de capitais.

Em ambas as situações, é o uso dessas técnicas que permite conhecer o custo e o retorno

dessas operações, permitindo tomadas de decisão mais racionais; são elas também que

permitem determinar o valor das prestações devidas pelas transações efetuadas em parcelas.

No mundo dos negócios, seu conhecimento é absolutamente imprescindível, uma vez que os

custos dos financiamentos dados e recebidos são peças centrais do sucesso empresarial.

Esta apostila composta de oito módulos pretende lhe ajudar a desvendar essas técnicas para que

você possa gerir os seus interesses financeiros com racionalidade e eficiência.

O primeiro módulo da apostila é dedicado ao conhecimento dos conceitos básicos dos

parâmetros financeiros: Valor Presente ( Capital ), Taxa de Juros, Período ou Prazo, Prestação,

Valor Futuro ( Montante ) ; os conceitos de fluxo de caixa e dos regimes de capitalização.

No segundo módulo apresentaremos a calculadora financeira HP-12C, suas teclas e funções.

No terceiro módulo estudaremos os regimes de capitalização de juros simples e de juros

compostos, as taxas de juros aplicadas no mercado financeiro e operações de equivalência

financeira de capitais.

O quarto módulo estuda as operações financeiras de descontos racional, comercial e bancário.

O quinto módulo estuda as anuidades ou rendas: sua definição, classificação e principais

modelos. Para esses modelos a apostila evidencia a relação de equivalência existente entre os

pagamentos (recebimentos) da renda, os seus valores presentes e futuro e as demais variáveis

envolvidas.

O sexto módulo estuda os diversos Sistemas de Amortização de dívidas que tem vasta aplicação

prática. Especial atenção é dada aos modelos de prestação constante ( Sistema Francês de

Amortização – “PRICE” ) e amortização constante ( Sistema de Amortização Constante - SAC )

por sua relevância na vida cotidiana.

O sétimo módulo introduz o estudo da correção monetária de valores financeiros e o cálculo da

taxa real de juros O conhecimento de suas técnicas é importante porque a inflação se aplica a

praticamente todos os contratos com duração superior a um ano.

Finalmente no oitavo módulo apresentaremos os principais métodos de tomada de decisão da

Engenharia Econômica – Análise de Investimentos, quais sejam: Valor Presente Liquido – VPL,

Taxa Interna de Retorno – TIR , Valor Anual Uniforme Equivalente – VAUE , Payback Simples e

Payback Descontado.

Esperamos que você tenha sucesso nos estudos que se propôs a fazer ao iniciar os excelentes

cursos de Administração e Sistemas de Informação.

Nossos votos de um bom percurso!

Prof. Carlos Armando Rocha Filho

E-mail: [email protected]

Tel: 9996-5510 ou 8857-1337

Comentários de Ex- Alunos sobre a Importância da Disciplina

Micheline Mendonça disse...

Talvez seja pelo fato de não darem muita importância à Matemática Financeira que muitos

administradores não sejam bem sucedidos. É preciso que haja consciência de que em qualquer

setor da empresa, seja ela própria ou não, é de suma importância o conhecimento matemático, já

que muitas das decisões são tomadas a partir do cenário econômico.

Danuzza Correia disse...

A Matemática Financeira é de suma importância para o administrador, principalmente em seu

ambiente de trabalho, pois a mesma se ocupa em estudar e fornecer ferramentas adequadas

para a tomada de decisão com a maior precisão possível.

Daniel Lima disse...

Engana-se aquele que imagina viver sem a influência da Matemática Financeira em sua vida.

Tão imprescindível e elementar quanto a aritmética, a Matemática Financeira rege a vida

econômica do homem e do administrador moderno.

Lidiany Paixão disse...

A base de um administrador, podemos dizer que é a Matemática Financeira, já que este deve

tomar decisões baseadas na economia. Um administrador deve ter uma boa base desta, pois se

não, poderá tomar as decisões erradas.

Cecilia Rocha disse...

Com a Matemática Financeira o administrador tem maior controle dos fluxos da empresa, e

pode medir com mais precisão quais as opções mais rentáveis; já que as decisões a serem

tomadas são todas baseadas no cenário econômico; e não só no ambiente da empresa, mais

deve-se usar a Matemática Financeira no dia-a-dia; em situações corriqueiras.

http://www.blogger.com/profile/03471718572068538041





Kamilla Fernandes disse...

Realmente a Matemática Financeira é de extrema importância para um bom negócio. Talvez

alguns investimentos não tenham grande êxito para alguns administradores porque os mesmos

não se baseiam em ideias providas da Matemática Financeira. Dai vem o resultado de um

péssimo negócio gerando problemas futuros e uma administração não bem sucedida.

Nielly Silva disse...

Todo administrador, tem de saber a respeito de várias coisas acerca do que vai trabalhar.

Certamente um administrador irá ministrar compras para a empresa e tendo em mente a

Matemática Financeira facilita seu trabalho em questão da aplicação dos juros relacionadas com

vários setores.

Fernando Lira disse...

A Matemática Financeira não esta apenas vinculada aos administradores e sim a qualquer

pessoa que queria saber qual a vantagem de se fixar um simples negócio ou algo mais

complicado e saindo sempre na vantagem. Podendo assim economizar e sempre ter vantagem.

Mayara Suellen disse...

A Matemática Financeira é importantíssima, pois é ela que guia como um bom administrador

deve agir de acordo com as oscilações do mercado de hoje que é tão interdependente e

integrado com o todo global...

Isabela Leal disse...

Acho essencial todo administrador ter plenos conhecimentos da Matemática Financeira, além de

estar presente no seu dia-a-dia, ele tem que ter uma noção básica do que está se passando a

sua volta, com os custos e lucros viáveis e inviáveis na empresa da qual esta administrando. Um

leigo na Matemática Financeira pode até conseguir tais dados através de outros meios, mas, ou

o mesmo gastará mais ou demorará mais, e como na administração sempre se precisa de

resultados imediatos, então acredito que não seja certo não ter conhecimento dessa área.

Andresa Fernanda disse...






http://www.blogger.com/delete-comment.g?blogID=8146043865343966613&postID=227996586371992213

Realmente a Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A ideia básica é simplificar a operação

financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.

Flávia Emanuelly disse...

O conhecimento da Matemática Financeira é de suma importância. No mundo agitado e

competitivo de hoje as empresas enfrentam muitos problemas e desafios, cujas soluções muitas

vezes são complexas e o mercado de trabalho requisitando profissionais que devem atender a

novos padrões de qualidade e modernidade, pois sem uma administração competente os rumos

de uma organização (empresas, indústrias...) podem ter como consequência, a perda de espaço

no mercado, a diminuição de seus lucros ou até mesmo a falência.

Com todas essas exigências de mercado tem se criado um novo perfil de administrador, o

administrador polivalente que tem por características ser: inovador, flexível, criativo, e de fácil

adaptação as mudanças.

E a Matemática Financeira tem sido de grande importância para esses administradores dentro

de suas funções, mas ele precisa ter amplo domínio da mesma, para ser bem sucedido em seu

trabalho, que depende em grande parte, da exatidão dos números.

Pois são esses números, que tem proporcionado ao administrador descobrir aplicações realmente

úteis em questões nas áreas econômicas, financeiras e resoluções de problemas da empresa.

Pedro Farias disse...

Todo administrador depende da Matemática Financeira, que é fundamental para a gestão de

qualquer tipo de negócio, pois sabemos que as decisões basicamente são tomadas dentro do

canário econômico.

Sthenio Santos disse...

O sistema financeiro vigente exige muito dos administradores, e nós temos que estar por dentro

principalmente em nosso ambiente de trabalho, é para isso que a Matemática Financeira está

entre nossas disciplinas.

Andréa Ramos disse...

Dentro de uma empresa a ordem no setor financeiro é responsável pelo esclarecimento do

rendimento empresarial, logo é de suma importância que um administrador saiba lidar com os





cálculos financeiros, para que com isso ocasione um melhor desempenho dentro da empresa e

haja com 100% de certeza sobre a responsabilidade adquirida.

Kátia Gama disse...

a Matemática Financeira tem suma importância para a atividade do administrador pois é através

desta que pode-se exerce o controle da organização, visto que essa ciência permite ao

administrador verificar seus Investimentos, rendimentos, lucros, despesas.....

Priscila Santana disse...

Através do conhecimento da Matemática Financeira, o administrador terá um controle

econômico e financeiro e uma visão mais apurada para as necessidades financeira do patrimônio,

podendo avaliar na a organização, seus lucros e suas perdas. Faz-se necessário mais do que

puramente racionalidade no processo desse exercício. É preciso certa sensibilidade para

perceber o momento certo e o modo como atuar. Decidir não pode constituir mero palpite. Exige

conhecimento e mensuração.

Ainoan Lima disse...

A Matemática Financeira é indispensável para uma carreira administrativa de sucesso. Ela é

grande aliada para pessoas que lidam constantemente com a matemática. Sem a mesma, não se

consegue uma vida administrativa de sucesso. Pois a mesma é de grande utilidade e importância

para o dia-a-dia

Raul Fellipe disse...

A Matemática Financeira está cada vez mais presente na vida dos administradores e se torna

essencial, o administrador em seu perfil absorver todos os conhecimentos dessa disciplina porque

será através dela que ele alcançará o sucesso.

Gildelanea Silva disse...

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos

matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.





Hugo Santos disse...

Certamente o administrador irá envolver-se em diversas áreas de atuação e uma delas é a

administração das finanças da empresa que vale salientar a carência de profissionais no mercado

de trabalho nesta área tão comum no cotidiano econômico.

Flavianny Renata disse...

Se vamos administrar empresas se faz necessário saber sobre a Matemática Financeira. Em

muitas circunstâncias que podemos nos deparar em nosso ambiente de trabalho, como dilemas

econômicos que necessitam de conhecimentos financeiros para que possa contribuir no

crescimento da empresa.

Rafael Menezes disse...

A Matemática Financeira tem extrema importância para a tomada de decisões na empresa e,

sua aplicação quando bem desenvolvida, traz maior rentabilidade possibilitando o processo de

maximização nos resultados.

Monique Silva disse...

É evidente que a Matemática Financeira tem muito para contribuir com o dia a dia do

administrador, com noções exatas sobre as finanças da empresa é muito mais fácil lidar com as

situações difíceis que surgem no cotidiano das empresas.

Lourenço Junior disse...

A importância da Matemática Financeira para a administração é primordial, pois o administrador

no seu dia a dia trabalha voltado para as finanças. No desenvolver das suas atividades ele vive o

mundo financeiro ao seu redor, pois trata das relações com os credores, e com colaboradores. É

de fundamental importância para o estudo da teoria administrativa vivenciando como um todo o

mundo econômico e suas variáveis. Dentro da Matemática Financeira o administrador

intensificara o mundo global dentro da organização e tomando decisões que irão influenciar o

desenvolvimento dessa organização.

Carolina Dias disse...

A Matemática Financeira é importante para os futuros administradores, pois a mesma ajuda aos

discentes a desenvolver o raciocínio, entender os vários caminhos dos valores que os mesmos

possam aplicar nas suas futuras empresas ou mesmo no dia-a-dia de cada um.







Divino dos Santos disse...

Pelo que podemos ver a Matemática Financeira está presente em todo momento da vida de

uma pessoa. Se os administradores entenderem a importância que ela tem, eles poderão galgar

altos índices de sucesso em suas carreiras.

Nota:

Prezados alunos dos cursos de Administração e Sistemas de Informação – Ano de 2013

Quando concluirmos nosso curso da disciplina Matemática Financeira x Análise de Viabilidade de

Projetos, gostaria de receber de cada um de vocês, comentários, sobre a importância da

disciplina no dia-a-dia das pessoas e dos profissionais envolvidos em tomar decisões de

investimentos e analise da viabilidade econômica financeira de projetos, para que possa incluí-los

na lista dos ex-alunos acima.

Bons Estudos e Sucesso no Curso!


MÓDULO 01

1.- Conceitos Básicos da Matemática Financeira

1.1 - Introdução

Neste módulo antes de apresentarmos os conceitos básicos dos principais parâmetros

financeiros, vamos inicialmente abordar sobre algumas perguntas e respostas, os objetivos, e

fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira.

1.2 – Algumas Perguntas e Respostas:

Qual a Função da Matemática Financeira?

A Matemática Financeira busca quantificar as transações que ocorrem no mercado financeiro

levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo “Time Value Money”. Em

outras palavras, ela trata em essência do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, através

das entradas e saídas de caixa (valores monetários), que por sua vez estão interligadas à

existência da taxa de juros.

Esse valor muda no tempo, quer em função de sua aplicação, obtendo rendimentos

( juros ), quer em função de sua desvalorização, por causa da inflação. É intuitivo que mil reais

hoje em seu bolso tem mais valor do que mil reais que chegarão às suas mãos daqui a seis

meses. Dessa forma, podemos afirmar que R$ 1.000,00 hoje é diferente de R$ 1.000,00

amanhã, ou seja, o dinheiro muda no tempo.

Ou seja:

Regra Importante!

Para se comparar, somar ou subtrair valores monetários de um fluxo de caixa, os mesmos têm

que estar referenciados na mesma data. “Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não

estejam na mesma data”

Portanto nunca compare, some ou subtraia valores situados em datas diferentes!!!!

Qual o Objetivo da Matemática Financeira?

A Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do

dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação

e/ou obtenção de recursos financeiros.

De uma forma bastante simplista podemos dizer que o objetivo da Matemática Financeira, é o de

dar respostas a algumas das seguintes indagações:

Quanto uma pessoa receberá por uma aplicação financeira em um fundo de renda fixa, no

final de certo período, a uma determinada taxa de juros?

Quanto uma pessoa deverá depositar periodicamente em uma determinada aplicação

financeira, para que venha obter uma poupança desejada?

Qual o valor atual, ou seja, o valor de hoje, que um banco pagaria, por um título de crédito

descontado antes de seu vencimento?

Qual a diferença entre o valor das prestações de um financiamento da casa própria, pelo

Sistema de Amortização Constante - SAC e pelo Sistema Francês de Amortização - PRICE?

Em qual dos sistemas o valor dos juros é menor?

Qual o custo efetivo de um empréstimo onde a instituição financeira além da taxa de juros,

adiciona comissões e imposto ao valor do empréstimo?

Podemos verificar que em todas as situações acima, nos deparamos com pagamentos ou

recebimentos acontecendo em determinado tempo ( data ).

Qual o Campo de Aplicação da Matemática Financeira?

A Matemática Financeira trata dos instrumentos de cálculo de valores e taxas de juros

relacionadas com a aplicação de capitais e com empréstimos e financiamentos contraídos por

pessoas físicas e jurídicas. Ela atua em todos os ramos, onde há o envolvimento do dinheiro

( capital ) como mercadoria, tais como:

Nas Operações Bancárias;

Nas Operações Comerciais;

No Mercado de Capitais;

No Mercado Imobiliário;

Na Análise de Investimentos, etc....

Por Que Estudar a Matemática Financeira?

Vivemos hoje em um mundo globalizado onde se fala em Finanças e Economia o tempo todo, e

neste mundo, não fazemos quase nada no nosso dia-a-dia que não se utilize algum conceito, ou

critério de tomada de decisão, da Matemática Financeira.

A aceleração do processo de globalização econômica alterou profundamente o cenário financeiro

mundial. Hoje, as oscilações imprevisíveis do mercado exigem dos profissionais da área

financeira, particularmente os Economistas, Administradores e Contadores, conhecimentos

profundos de Matemática Financeira, uma ferramenta essencial para o gerenciamento eficiente

de empresas de grande, médio e pequeno porte.

No campo pessoal e profissional, poderá ser aplicada em inúmeras aplicações do dia-a-dia, tais

como:

Decisões como escolher a melhor alternativa de compra de um imóvel;

Financiar ou comprar à vista um veículo;

Identificar qual o desconto mais interessante para a antecipação de um pagamento;

A escolha de alternativas de investimentos na atividade produtiva, por exemplo, conta com

instrumentos de cálculo da Engenharia Econômica, cuja base está na Matemática

Financeira.

Porque o conhecimento de Matemática Financeira é tão valorizado, nas

Organizações Financeiras, se sempre na sua maioria são executados pelos Sistemas

Informatizados?

È valorizado por que:

Um sistema informatizado jamais fará todos os cálculos financeiros; Poderá

sempre haver uma situação não contemplada inicialmente no desenvolvimento do sistema;

Também há que se considerar que muitas vezes o problema não se resume

somente em se calcular, é necessário também interpretar o cálculo realizado e seus resultados, e

isto o sistema não faz.

Uma pessoa que não gosta de Matemática terá

dificuldades em aprender e realizar Cálculos Financeiros?

È claro que não, pois a maioria das pessoas conhece bem as operações aritméticas de soma,

subtração, multiplicação e divisão; E com uma adequada metodologia didática, a pessoa aprende

a fazer o cálculo, com uma fórmula ou com uma função específica de uma calculadora financeira

(HP-12C), ou através de uma planilha do Excel, do modo que lhe parecer mais amigável.

1.3 - Conceitos Básicos da Matemática Financeira

Definiremos a seguir o entendimento de cada um dos termos financeiros fundamentais, ou seja,

dos principais parâmetros financeiros que regem a Matemática Financeira,

Capital:

Entende-se por capital do ponto de vista da Matemática Financeira, qualquer valor expresso em

moeda corrente e que esteja disponível em certa data para ser utilizado em uma operação

financeira. Em outras palavras, o Capital é o valor aplicado ou tomado por empréstimo através de

alguma operação financeira.

É também conhecido como: Principal, Valor Presente ou Valor Atual. Em inglês usa-se a

expressão “Present Value”= Valor Presente.

Embora alguns autores adotem a notação simbólica C de Capital ou P de Principal, adotaremos

aqui a simbologia [PV], que é representada na calculadora HP-12C pela 3ª tecla da sua linha

financeira

Juros:

Os Juros representam a remuneração de um capital [PV] aplicado ou tomado por empréstimo em

uma operação financeira.

Para o aplicador, os juros representam uma rentabilidade;

Para o tomador do empréstimo, os juros representam um custo.

Ou seja, juros ou interesse podem ser definidos como o aluguel pago, pelo uso do dinheiro.

Notação Simbólica: ( J ) Fórmula para um período: ( n = 1 ): J = PV. i

Exemplo: Quanto receberá de juros uma pessoa que aplicou em uma instituição financeira a

quantia de R$ 10.000,00, por um período de 1 mês, a uma taxa de 1% ao mês?

Dados: PV = 10.000; n = 1; i = 1% a.m = 1 / 100 = 0,01;

J = ?

Como: J = PV. i J = 10.000. 0,01 = 100

Resultado: Receberá R$ 100,00 de juros.

Algumas Indagações Sobre os Juros:

Quem pode cobrar Juros?

Somente as instituições financeiras oficiais podem cobrar e pagar explicitamente juros nos

empréstimos e aplicações financeiras e que representa o seu objetivo social.

Fornecedores de uma Empresa podem cobrar Juros ao vender mercadorias e

produtos a prazo?

A cobrança de juros na venda a prazo por parte de um fornecedor não pode ser feita de maneira

explícita, mas sim de forma embutida nos preços de venda.

Exemplo: Uma mercadoria custa a vista R$ 1.000,00, porém na sua venda a prazo o fornecedor

passará o preço da operação para R$1.100,00, com recebimento para 2 meses. Na verdade tudo

se passa como se o fornecedor houvesse dado um desconto de R$100, 00, para a operação ser

realizada à vista.

E essa diferença deve ser vista como se fosse um abatimento (desconto), e não como juros, uma

vez que, só as instituições financeiras podem cobrar de forma explícita e oficial.

Taxa de Juros:

É o coeficiente que determina o valor dos juros em um intervalo de tempo e corresponde à razão

( quociente ) entre os juros ( J ) pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo

[ n ] e o capital [ PV ] inicialmente empatado.

Notação Simbólica: [ i ] – a taxa de juros é representada na HP-12C pela 2ª tecla da linha

financeira da calculadora. Fórmula Para 1 Período: I = J / PV

A Taxa de Juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, bimestre, trimestre,

quadrimestre, semestre, ano) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Exemplos:

Percentual (%) Unitária

0,1% a.d ( ao dia ) 0,001

1% a.m ( ao mês ) 0,01

3,5% a.b ( ao bimestre ) 0,035

5,85% a.t ( ao trimestre ) 0,0585

12% a.q ( ao quadrimestre ) 0,12

18,8% a.s ( ao semestre ) 0,188

22% a.a ( ao ano ) 0,22

A Taxa de Juros é Unitária, quando os juros são expressos na forma decimal. Ela é utilizada na

aplicação de fórmulas matemáticas ( algébricas ), na resolução dos problemas de Matemática

Financeira.

Para conseguirmos, por exemplo, a taxa unitária (0,22) a partir da taxa percentual

( 22% ), basta dividir a taxa percentual por 100, 22 / 100 = 0, 22.

E para conseguirmos, a taxa percentual a partir da taxa unitária, basta inverter o processo, ou

seja, devemos multiplicar a taxa unitária por 100.

Exemplo: uma pessoa aplicou R$10.000,00 em uma instituição financeira e ao final de 1 mês,

recebeu R$100,00 de juros. Qual a taxa de juros oferecida pela instituição financeira?

Dados: PV = 10.000; J = 100; n = 1; i = ?

Como: i = J / PV i = 100 / 10.000 = 0,01 i = 0,01. 100 = 1%

Resultado: 1% a.m.

Algumas Indagações Sobre a Taxa de Juros:

Qual o conceito de formação de Taxa de Juros no Mercado Financeiro:

Sabemos que a taxa de juros representa o custo do dinheiro, e que sua formação representa o 1º

passo para entendermos os Fundamentos da Matemática Financeira.

Da mesma forma que qualquer outro produto comercializado no mercado tem seu preço, o

dinheiro também tem seu preço que é definido pela taxa de juros. O preço do dinheiro será então

definido com base nas forças de mercado, de oferta e demanda, como qualquer outro bem da

economia.

Assim a taxa de juros de uma operação é um parâmetro financeiro determinado pelo mercado e

condicionado por múltiplos e distintos fatores, uns objetivos, outros subjetivos.

Do ponto de vista das partes diretamente envolvidas, a taxa de juros depende:

do prazo;

do risco implícito na operação;

da expectativa de inflação no período;

da existência de projeto econômico potencialmente lucrativo;

da desconfiança ou confiança que o tomador do recurso inspira;

das garantias que ele oferece quanto ao pagamento dos juros pactuados;

e do retorno do capital transacionado.

Por ser um fato econômico negociável no mercado de bens e direitos, a posse de dinheiro se

sujeita à seguinte lei da oferta e da procura:

“A elevação da taxa de juros faz o detentor aumentar a oferta de moeda, e o tomador, a

retrair sua demanda por crédito, e vice-versa.”

Por ser questão de mercado, a taxa de juros conforma-se a todos os fatores que condicionam a

atividade econômica, a poupança e ã produção de bens e serviços em geral, entre os quais estão

os instrumentos que o governo dispõe para:

fixação de normas creditícias e tributárias restritivas ou estimuladoras;

redução ou ampliação dos meios de pagamentos disponíveis- mediante depósito

compulsório;

investimento em atividade rural;

programa habitacional;

emissão ou resgate de títulos públicos;

fiscalização de transações e de instituições financeiras de modo rígido ou brando etc.

As Taxas de Juros são fixas ou variáveis?

Em uma operação financeira fica estabelecida contratualmente, uma taxa de juros constante, ou

seja, de referência fixa, e que será valida até o prazo final da transação financeira.

Entretanto, em certas operações financeiras, as taxas ficam atreladas a algum indicador

financeiro que pode variar de tempo em tempo, tendo então um novo valor para o período

subseqüente.

Exemplo: As prestações constantes de um financiamento pelo Sistema Price de Amortização,

calculadas com base em uma taxa fixa, podem a qualquer período preestabelecido no contrato,

serem reajustadas, por exemplo, pela taxa referencial (TR) do momento.

Quais as terminologias das Taxas de Juros existentes no Mercado Financeiro?

Atualmente existe uma série de terminologias sobre as taxas de juros, que muitas vezes

confundem até os profissionais da área financeira, mas que no decorrer deste livro procuraremos

conceituá-las da maneira mais simples e objetiva, sempre através de aplicações práticas.

Algumas das terminologias das principais taxas existentes e utilizadas no mercado

financeiro:

Taxa Linear e Taxa Exponencial;

Taxa Proporcional e Taxa Equivalente;

Taxa Nominal e Taxa Efetiva;

Taxa Prefixada e Taxa Pós-Fixada;

Taxa Bruta e Taxa Líquida;

Taxa Real; Taxa Efetiva ou Aparente; Taxa de Inflação,

OBS: Todas serão definidas e exemplificadas posteriormente.

Prazo:

Este parâmetro refere-se ao número de períodos de um empréstimo, ou de uma aplicação

financeira.

Notação Simbólica: [ n ] – o prazo é representado na HP-12C pela 1ª tecla na linha financeira da

calculadora.

Os prazos podem ser: exatos e comerciais.

A determinação do prazo considerado para uma operação financeira é algo fundamental para

determinação exata dos valores devidos através do processo de capitalização.

Usualmente nos contratos associados a operações financeiras os prazos são qualificados de:

Exatos: quando os números de dias do mês e do ano correspondem aos do ano civil;

Comerciais: quando o mês tem sempre 30 dias e o ano tem um total de 360 dias;

Montante:

O Montante representa o capital final de um financiamento, empréstimo ou de uma aplicação

financeira, e é obtido pela soma do capital [PV] inicialmente emprestado ou aplicado, com os

juros ( rendimentos ) pagos ou recebidos (J ).

Fórmula Básica: FV = PV + J

FV] que vem do inglês, “Future Value” = Valor Futuro.

Notação Simbólica: [FV] – o valor futuro é representado na HP-12C pela 5ª tecla na linha

financeira da calculadora.

Prestação:

A Prestação representa o valor do pagamento ou do recebimento periódico de uma parcela, de

um financiamento ou de uma aplicação financeira.

Notação Simbólica: [PMT ] – a prestação é representada na HP-12C pela 4ª tecla da linha

financeira da calculadora.

[PMT ] que vem do inglês, “Periodic Payment” = Pagamento Periódico.

OBS: No Módulo 5, ”Séries Uniformes de Prestações Periódicas”, mostraremos com detalhes a

importância desse parâmetro financeiro no cotidiano de todas as pessoas, através de inúmeros

exemplos com aplicações práticas.

Fluxo de Caixa:

Denomina-se Fluxo de Caixa em Matemática Financeira, o conjunto de entradas e saídas de

dinheiro ( caixa ) ao longo do tempo. Podem existir fluxos de caixa de empresas, de

investimentos, de projetos, de operações financeiras etc.

A palavra Fluxo de Caixa que em Inglês é expresso pela por “Cash Flow“, tem duas funções na

HP-12C, todas representadas na cor azul e estão relacionadas com as teclas:

[ C F0 ] armazena o valor inicial de um fluxo de caixa;

[ CFj ] armazena os valores posteriores a data zero em um fluxo de caixa;

O Fluxo de Caixa é representado graficamente por um diagrama, que por sua vez obedece a

algumas convenções:

O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para

análise.

Por convenção as entradas ou recebimentos são representados por setas verticais

apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais

apontadas para baixo.

Observe o gráfico do diagrama abaixo:

Diagrama / Convenções:

(+) (+)

0 2 (período / tempo)

1 n

( - ) ( - )

A linha horizontal ( reta ) registra a escala de tempo (período / prazo) de uma operação

financeira;

O ponto 0 indica o momento inicial de um Investimento, de um empréstimo, ou de uma

aplicação financeira;

Os intervalos de tempo são iguais;

As setas para baixo representam: saídas, pagamentos de dinheiro e são negativas;

As setas para cima representam: entradas, recebimentos de dinheiro e são positivas.

A elaboração do fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em

um período de tempo, visto que, através dele podemos visualizar o que ocorre com o dinheiro

( capital ) ao longo da vida útil de um projeto de viabilidade econômica, de um financiamento, ou

de um investimento, por exemplo.

Com a elaboração do fluxo de caixa, a resolução de qualquer questão de Matemática Financeira,

fica mais facilmente compreendida.

Fluxos de Caixa Representativos:

Aplicação com Pagamento Único.

Exemplo: Se uma pessoa aplicar um capital PV, por um período n de tempo, a uma taxa i de

juros, obterá ao final da aplicação um montante FV.

Fluxo de Caixa Representativo::

FV ( + )

0 i

n

PV ( - )

OBS: Por se tratar de uma aplicação o capital, saiu de seu bolso, e, portanto a seta será para

baixo, negativa ( - ).

E como a pessoa receberá ao final da aplicação um montante FV, que representa o capital PV

acrescido dos juros J, então esse valor entrará em seu bolso, e, portanto a seta será para cima,

positiva ( + ).

Empréstimo com Pagamento Único.

Exemplo: Se uma pessoa tomar emprestado um capital PV, por um período n de tempo, a uma

taxa i de juros, terá que pagar um montante FV, ao final do empréstimo.

Fluxo de Caixa Representativo:

PV ( + )

i n

0

FV ( - )

OBS: Como a pessoa tomou emprestado hoje um capital PV, esse capital entrou em seu bolso, e,

portanto a seta será para cima, positiva ( +). E como ela terá que pagar no final um montante

FV, que representa o capital PV acrescido dos juros J, então esse valor sairá de seu bolso, e,

portanto a seta será para baixo, negativa ( - ).

Aplicação com Séries de Prestações:

Exemplo 1: Se uma pessoa depositar periodicamente uma quantia PMT, igual e sucessiva para

cada período, por um período n de tempo, a uma taxa i de juros, receberá ao final dos depósitos,

um montante FV,


FV

0 1

| n

.................... PMT.................... .....

Exemplo 2: Se uma pessoa comprar hoje um produto por um valor PV, para pagar em

prestações periódicas iguais e sucessivas PMT, por um período n de tempo, a uma taxa i de

juros, seu fluxo de caixa será:


PV

1

| 0 n

.................... PMT.................... .......

1.4 – Regimes de Capitalização de Juros Simples e Compostos:

Quando um capital é emprestado ou investido a certa taxa por um período ou diversos períodos

de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com dois regimes básicos de capitalização

de juros:

Regime de Capitalização de Juros Simples ( RCS);

Regime de Capitalização de Juros Compostos ( RCC).

Podemos então definir como regimes de capitalização os métodos pelos quais os capitais são

remunerados, ou seja, como os capitais crescem em função dos juros que são acrescidos

( incorporados ) aos mesmos.

FV = PV + J

No Regime de Capitalização de Juros Simples (RCS), somente o capital inicial rende juros, ou

seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ( capital

inicial ) ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros.

Em outras palavras, nesse regime não se somam os juros do período ao capital, para o cálculo de

novos juros nos períodos seguintes.

No Regime de Capitalização de Juros Compostos (RCC), os juros produzidos ao final de um

período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render

juros no período seguinte e assim sucessivamente.

Ou seja, os juros são capitalizados e consequentemente passam a render juros. É também

conhecido como o regime dos “juros sobre juros”.

No regime de capitalização simples ( RCS ), o montante evolui como uma progressão

aritmética, ou seja, linearmente.

Enquanto que no regime de capitalização composta ( RCC ), o montante evolui como uma

progressão geométrica, ou seja, exponencialmente, fazendo com que neste caso o dinheiro

cresça mais rapidamente.

Exemplo 1: Considere R$100,00 aplicados a 10% ao ano.

FV = PV + J

Juros Simples ( RCS ) Juros Compostos ( RCC )

Principal: [ PV ] 100,00 100,00

após 1 ano FV = 100 + 0,10 x 100 = 110 FV = 100 + 0,10 x 100 = 110

após 2 anos FV = 110 + 0,10 x 100 = 120 FV = 110 + 0,10 x 110 = 121

após 3 anos FV = 120 + 0,10 x 100 = 130 FV = 121 + 0,10 x 121 = 133,1

após 4 anos FV = 130 + 0,10 x 100 = 140 FV = 133,1+0,10x133, 1 = 146,41

Observando a tabela acima, vemos que no RCS, a cada ano o capital aumenta a um valor

constante J=10, ou seja, o dinheiro cresce Linearmente, ou seja, em Progressão Aritmética, a

uma razão igual a PV.i

Esse regime é aplicado mais frequentemente nas operações de curto prazo, especialmente nos

empréstimos bancários lastreados em desconto de duplicatas.

Já no RCC, como os juros são incorporados a cada período, isto é são capitalizados a cada

período, o dinheiro cresce Exponencialmente, ou seja, em Progressão Geométrica e, portanto

cresce mais rapidamente. Este regime é aplicado nas operações de médio e longo prazo.

O gráfico abaixo representa as evoluções no tempo t e do montante a Juros Simples e do

montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros i.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar:

a juros simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

A juros compostos, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.

FIM DO MÓDULO 01!

BONS ESTUDOS!

“Investir em conhecimentos rende sempre os melhores juros”

( Benjamin Franklin )

MÓDULO 02

2. A Calculadora Financeira HP-12C suas Teclas e Funções

2.1. Introdução

Os cálculos financeiros são enormemente facilitados pelo uso de calculadoras financeiras. Muitos

deles inclusive só se tornaram viáveis na prática com as calculadoras financeiras (1982) e

também é obvio com a utilização de softwares financeiros computacionais.

Não é possível, portanto, fazer-se estudos sérios de Decisões Financeiras sem se conhecer o uso

das calculadoras financeiras.

Embora existam diversos modelos de calculadoras financeiras de marcas diferentes, as regras e

os princípios fundamentais de uso são similares, permitindo-nos fazer considerações genéricas.

A HP-12C

2.2. Teclas Financeiras

Todas as calculadoras financeiras possuem cinco teclas financeiras: [ n ] ; [ i ] ; [ PV ]; [ PMT ] e

[ FV ], representando os cinco parâmetros de decisão financeira, respectivamente, número de

períodos, taxa de juros, valor presente, prestação e valor futuro.

Essas teclas servem de acesso as cinco memorais financeiras da calculadora onde são

armazenados os valores para os posteriores cálculos. Cada tipo de problema de decisão

financeira usa um conjunto de quatro das cinco teclas.

2.3. Teclas Auxiliares:

A calculadora HP-12C tem 3 funções por tecla: a primeira escrita em branco, a segunda em azul

e a terceira em amarelo.

Para ativarmos a função em branco, basta apertar a própria tecla.

A ativação da função em azul ou amarelo exige que se aperte primeiro a tecla azul [g]

ou [ f ] , e depois a tecla da função.

Vemos então que uma mesma tecla pode ter até 3 funções diferentes, reconhecidas pelos

caracteres impressos:

Em branco (face superior da tecla)

Em azul (abaixo da tecla)

Em amarelo (acima da tecla)

Exemplo: Olhe para a tecla [ PV ]. Ela tem as seguintes funções:

[ NPV ] ......função amarela. Serve para calcular o Valor Presente Liquído, de um fluxo de caixa;

( Net Present Value )

[ PV ]....... função branca. Serve para calcular o Valor Presente, ou Valor Atual de um fluxo de

caixa; (Present Value).

[ CF0 ].......... função azul. Serve para dar entrada no valor inicial do investimento de um fluxo de

caixa. ( Cash Flow )

2.4. Memórias

A HP-12C está equipada com um sistema de memória contínua que mantém os dados

guardados, mesmo com a calculadora desligada.

Para tanto, ela possui 4 registros de pilha operacional e 5 registros financeiros (a sua memória

RAM,), além de 20 registros de memória e armazenamento (o seu HD- Winchester,).

Como as calculadoras financeiras têm memória continua devemos sempre limpar as memórias

financeiras antes de iniciarmos um novo calculo financeiro, para evitarmos que um "resíduo" na

memória deixado por cálculos anteriores interfira com os atuais cálculos.

Na HP-12C isto é feito com as teclas [ f ] [ FIN ] ou [ f ] [ REG ].

A diferença entre uma HP-12C e as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos

dados. As calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou seja,

obedecendo à seqüência natural da Matemática.

A forma de cálculos da HP-12C é pelo sistema de Notação Polonesa Reversa ( RPN ), onde

inicialmente digita-se o primeiro valor, dando entrada neste número apertando a tecla [ ENTER ],

depois se digita o segundo valor e por fim aperta-se a tecla da função.

Segue-se esse raciocínio para todas as funções da HP-12C: algébrica, financeira e estatística; ou

seja, primeiro digita-se os valores e por fim a função desejada.

Exemplo:

1) Somar uma aplicação de R$ 12.000,00 mais um rendimento líquido de R$ 135,00.

Para fazermos a operação 12.000 + 135 nas calculadoras convencionais, tecla-se primeiro

12.000 depois o +, e em seguida o 135 e, finalmente, a tecla =.

Resultado: 12.135

Vamos fazer agora a operação 12.000 + 135 na HP-12C:

Digite 12.000, pressione [ ENTER ], em seguida digite 135 e por último, a tecla [ + ].

Resultado: 12.135.

2.5. Número de Casas Decimais na HP-12C:

Para fixarmos o número de casas decimais na HP-12C, basta pressionarmos a tecla de prefixo [ f

] e o número de casas decimais que desejamos após a vírgula.

[ f ] 2 – fixa duas casas decimais após a vírgula;

[ f ] 4 – fixa quatro casas decimais após a vírgula;

[ f ] 6 – fixa seis casas decimais após a vírgula;

2.6. Tecla do Ponto e da Vírgula:

No visor de sua calculadora um valor digitado com duas casas decimais após a vírgula, poderá

estar representado de duas formas:

Exemplo:

1.234,56 (Sistema Brasileiro – vírgula separando as casas decimais)

1,234.56 (Sistema Americano – ponto separando as casas decimais)

Para realizarmos a troca do ponto pela vírgula e vice-versa, devemos proceder da seguinte forma:

Desligue a calculadora; Com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas [ON]

e [ . ] (ponto); Solte a tecla [ON] e logo após a tecla [ . ] (ponto).

2.7. Tecla de Mudança de Sinal:

Para se trocar o sinal de um número devemos usar a tecla [CHS] (Change Signal) da HP-12C,

que corresponde a tecla ± nas outras calculadoras convencionais.

2.8. Setores da HP-12C:

2.8.1. Setor de Entrada de Dados:

Teclas: [ ENTER ] ; [ . ] e as teclas numéricas 0,1,2,3......9

Essas teclas permitirão a você introduzir os dados dos seus problemas na máquina.

A tecla [ ENTER ] é utilizada para separar dois números antes de escolher a operação a ser

efetuada.

A tecla ponto [ . ] substitui a nossa vírgula.

2.8.2. Setor de Operações Básicas:

Teclas: [ ÷ ] ; [ x ] ; [ - ] , [ + ]

Essas teclas permitirão a você realizar as operações aritméticas de divisão, multiplicação,

subtração e adição.

2.8.2.1 Operação Aritmética Divisão:

Exemplo 1: Fazer a operação 16 ÷ 10 = ?

Seqüência Pressione Visor

Introduza o primeiro número 16 16,00

Pressione a tecla [ENTER] para separar o primeiro número

do segundo

[ENTER] 16,00

Introduza o segundo número 10 10

Pressione a operação desejada [ ÷ ] 1,60

2.8.2.2. Operação Aritmética Multiplicação:

Exemplo 2: Fazer a operação 16 x 10 = ?




do segundo

[ENTER] 16,00


Pressione a operação desejada [ x ] 160,00

2.8.2.3. Operação Aritmética Subtração:

Exemplo 3: Fazer a operação 16 - 10 = ?




do segundo

[ENTER] 16,00


Pressione a operação desejada [ - ] 6,00

2.8.2.4. Operação Aritmética Adição:

Exemplo: Fazer a operação 16 + 10 = ?




do segundo

[ENTER] 16,00


Pressione a operação desejada [ + ] 26,00

2.8.2.5. Exercícios Resolvidos: Use [ f ] 2

1) Resolva as expressões matemáticas abaixo utilizando a sequência algébrica da HP-12C.

a) 126,89 + 231,33 - 98,56

Sequência Algébrica: 126,89 [ENTER] 231,33 [ + ] 98,56 3 [ - ]

Resultado: 259,66

b) ( 4 x 7 ) + ( 6 x 3 )

6

Sequência Algébrica: 4 [ENTER] 7 [x] 6 [ENTER] 3 [x] [+] 6 [÷]

Resultado: 7,67

c) [ (1.800 / 1.200 ) – 1 ] / 6

Sequência Algébrica: 1800 [ENTER] 1200 [÷] 1 [ -] 6 [÷]

Resultado: 0,08

d) 1200. ( 1 + 0,02 x 12 )

Sequência Algébrica: 0.02 [ENTER] 12 [x] 1 [ +] 1200 [x]

Resultado: 1488,00

Exercícios Propostos - Use [ f ] 2

1) Resolva as expressões matemáticas abaixo utilizando a sequencia algébrica da HP-12C:

a) (4,54 x 7,21) – (6,95 x 3,48) ; Resp: 2,43

3,52

b) [ (1.100,45 / 854,49) –1 ] / 3,28 ; Resp: 0,09

c) 1.100,44 ( 1 + 0, 035 x 12,56 ); Resp: 1.584,19

d) 863,42 ( 1 – 0,025 x 12 ) ; Resp: 604,39

2.9. Setor da Função Potência, Inversa e Raiz:

Teclas: [ yx ] ; [ 1/x ] ; [ √ x ]

2.9.1. Função Potência [ YX ] - Eleva um número y qualquer (base) a um número x qualquer

(expoente).

Exemplo: Calcular 24

Sequência Algébrica: 2 [ ENTER ] 4 [ yx ]

Resultado = 16

2.9.2. Função [ 1/X ] Calcula o inverso de um número

Exemplo: Calcular o inverso de 5.

Sequencia Algébrica: 5 [1/x ]

Resultado = 0,20

2.9.3. Função Raiz Quadrada e Raiz de Ordem n > 2:

Para calcular a raiz quadrada de um número x √ x , pressionamos antes a tecla [ g ], porque ela

é uma função azul, que se encontra na face inferior da tecla [ yx ]

Exemplo: Calcule a raiz quadrada de 144.

Sequencia Algébrica 144 [ g ] √ x

Resultado = 12

Para calcularmos uma raiz de ordem superior a 2 ( raiz cúbica, quarta, etc), temos que utilizar o

artifício matemático de elevar um número a um expoente fracionário, ou seja, transformar a raiz

em uma potência.

Exemplo: 3√8 = 81/3

Sequencia Algébrica: 8 [ ENTER ] 3 [ 1/x ] [ yx ]

Resultado = 2

2.10. Setor de Porcentagem:

Existem 3 teclas das funções de porcentagem:

[ %T ] ; [ %] e [ % ].

TECLAS

[ yx ] , [ 1/x ]

2.10.1. A Tecla [ %T ] – Percentagem do Total

Calcula o percentual de um número em relação a outro número.

2.10.1.1 Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Quanto representa percentualmente 17 de 180.

Solução: 17 [ ENTER ] 180 [%T]

Resultado = 9,44 %

Exemplo 2: Em um mês as despesas de uma empresa foram assim distribuídas:

Salários e Encargos: R$ 35.000,00

Conservação e Manutenção: R$ 5.000,00

Luz, Água, Telefone.... R$ 7.000,00

Gerais e Diversos: R$ 3.000,00

TOTAL: R$ 50.000,00

Qual o percentual de cada despesa em relação ao total?

Solução:: 50.000 [ ENTER ] 35.000 [ %T ]

No visor aparecerá o valor: 70 %

OBS: Para não ter que repetir 50.000 [ ENTER ] para os outros valores, pressionamos a tecla

[ R], que aparecerá no visor o valor 50.000, e em seguida pressionamos [ %T ].

.

[ R ] 5.000 [ %T ] 10%

[ R ] 7.000 [ %T ] 14%

[ R ] 3.000 [ %T ] 6%

TOTAL: 70 + 10 + 14 + 6 100%

2.10.2 - a tecla [ % ] – Calcula a Variação Percentual entre dois números.


Exemplo 1: Determine quanto cresceu a população de uma cidade que no ano de 2000 possuía

185.250 habitantes e no ano de 2005 passou a ter 200.563 habitantes.

Solução: 185.250 [ ENTER ] 200.563 tecla [ % ]

Resultado:: 8,27%

OBS: Introduz-se primeiro o valor mais antigo e depois o valor atual.

Exemplo 2: Qual a variação percentual de um produto que em Fevereiro valia R$ 1.500,00 e em

Março passou a valer R$ 1.380,00?

Solução: 1.500 [ ENTER ] 1.380 [ % ]

Resultado: - 8%

OBS: O sinal negativo indica que houve um decréscimo percentual.

2.10.3 A tecla [ % ] – Calcula o percentual de certo número.


Exemplo 2: Quanto representa 10% de R$1.000,00

Solução: 1.000 [ ENTER ] 10 [ % ]

Resultado: R$100,00

Exemplo 2: Na compra com cartão de crédito, uma loja oferece 10% de desconto sobre o preço

de etiqueta de suas mercadorias. Qual o valor do desconto a ser obtido sobre a compra de uma

camisa que custa R$ 22,50?

Solução: 22.50 [ ENTER ] 10 [ % ]

Resultado: 2,25%

E quanto terá que pagar pela camisa? Pressione a tecla [ - ] Resultado: R$ 20,25

Sabemos que, para chegar ao resultado, basta subtrairmos o desconto do preço original.

2.10.4. Exercícios Propostos:

1) O valor de um título em setembro de 97 era R$ 401,67 e em setembro de 98, R$ 2.392,06.

Qual foi a variação percentual no período?

Resultado: 495,53%

2). Um investidor comprou ações por R$ 1.350,00 e as vendeu por R$ 1.230,00. Qual o

percentual do prejuízo?

Resultado: - 8.89%

Obs:- O sinal negativo refere-se ao decréscimo ocorrido na operação!

3) Dois amigos montam uma empresa com capitais diferentes: o primeiro entra com R$

2.650.000,00, e o segundo com R$ 3.350.000,00. Qual o percentual de participação dos dois

sócios no lucro da empresa?

Resultado: 44,17% - participação percentual do sócio 1

Resultado: 55,83 % - participação percentual do sócio 2

4) O saldo de captação da agência do Banco Papa - Tudo em 30.06.98 tinha a seguinte

composição: Qual a participação de cada rubrica?

Depósito à vista....................R$ 1.800,00 Resultado: 27,91 %

Poupança.................. R$ 3.500,00 Resultado: 54,26 %

Depósito a Prazo..................R$ 650,00 Resultado: 10,08 %

Aplicações em curto prazo......R$ 500,00 Resultado: 7,75 %

TOTAL: R$ 6.450,00 100,00 %

5) Uma nota fiscal é emitida num total de R$ 56.000,00 onde 17% foram deduzidos para a

apuração do ICMS. Qual o valor da nota menos o imposto? Resultado: R$ 46.480,00

6) Sabendo-se que a dedução do imposto sindical foi de R$ 36,00; calcule quanto em percentual

corresponde de um salário bruto de R$ 600,00. Resultado: 6 %

7) Pago de um título de clube social a importância de R$ 60,00 para manutenção. Sabendo que o

título custou 550,00; quantos por cento a taxa de manutenção corresponde do título? Resultado:

10,9091%

8) O dólar ontem estava cotado a R$ 2,78 e hoje em 2,85. Qual foi a variação percentual?

Resultado: 2,5180%

9) A cotação de uma determinada ação na bolsa de valores está cotada hoje a R$ 83,50. Ontem

a cotação estava em R$ 86,00. Qual foi a variação percentual?

Resultado: - 2,9070%

10) No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de 3.92 milhões de dólares para

os EUA., 2.36 milhões de dólares para a Europa e 1.67 milhões de dólares para o resto do

mundo. Qual foi a porcentagem das Vendas à Europa sobre o total exportado.

Resultado: 29,69 %

2.11. Setor de Limpeza

Teclas de Limpeza da Calculadora:

Teclas Significado

[ CLX ] Limpa os valores contidos no visor.

f CLEAR REG = [ f ] [CLX] Limpa “tudo”, exceto a memória de programação.

f CLEAR ∑= [ f ] [ ∑ ]Limpa os registros estatísticos, os registros da pilha operacional e o

visor.

f CLEAR FIN = [ f ] [FIN] Limpa os registros financeiros

TECLAS [ ∑ ], [ PRGM ], [FIN], [REG]

f CLEAR PRGM = [ f ] [ PRGM ] Limpa a memória de programação (quando no modo PRGM)

2.12. Setor Calendário ( Datas ):

Teclas: [ D.MY ], [ M.DY ], [ DYS ] e [ DATE ]

2.12.1. As teclas [ D.M.Y] e [ M.D.Y ]

Inicialmente, prepare sua calculadora para operar no sistema brasileiro, pressionando as teclas

[ g ] [ D.M.Y ] (dia-mês-ano), que se encontra na cor azul na parte inferior da face da tecla 4.

Detalhe: nos exercícios com datas, utilizamos 6 casas decimais.

Portanto: pressione [ f ] e 6.

Se pressionarmos as teclas [ g ] [ M.D.Y ], estaremos utilizando o sistema americano, em que na

data primeiro vem o mês e depois o dia e ano. ( mês-dia-ano)

Curiosidade: A HP-12C está programada para trabalhar com datas no intervalo de 15 de

Outubro de 1582 até 25 de Novembro de 4.046.

2.12.2. A Tecla [ DYS ] :

Essa função calcula o número de dias entre duas datas, acionando primeiro a tecla: [ g ].

2.12.2.1. Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Data de Referência – 30.06.97

Data futura - 25.10.99

TECLAS [ DATE ], [ DYS ], [ D.MY ], [ M.DY ]

Solução:

Digite a data de referência na forma DD.MM AAAA, ou seja, 30.061997;

Pressione [ENTER]

Digite a data futura, 25.101997.

Pressione a sequencia de teclas [ g ] e [ DYS ]

Resultado: 117 dias

OBS: Logo após os dígitos referentes ao dia, teclamos um ponto, em seguida teclamos 2 dígitos

do mês e por fim os quatro dígitos do ano.

Exemplo 2 – Data de Referência – 07.09.91

Data passada - 09.06.54

Solução:

Digite 07.091991 (data de referência)

Pressione [ ENTER ]

Digite 09.061954 (data passada)

Pressione a sequencia de teclas: [ g ] e [ DYS ]

Resultado: - 13.604 dias o sinal negativo indica que se partiu para uma data anterior.

2.12.2.2. Exemplos Propostos

Vamos calcular o número de dias decorridos:

1) Entrada na UESC / FTC / FACSUL como calouro: 14.02.2000.

Saída da UESC / FTC / FACSUL como Administrador/ Economista/Contador: 15.12.2003

Resultado: 1400 dias

2) Hoje: 10.03.2007

Data passada: 01.03.2002

Resultado: -1835 dias

3 ) Quantos dias você viveu até hoje?

Resultado: ? dias

4) Um cliente deverá descontar uma dívida em 27/10/2001 onde a data contratada no título é

30/12/2001. Quantos dias serão descontados? Resultado: 64 dias.

2.12.3. A Tecla [ DATE ]

A função [ DATE ]= Calcula datas futuras e datas passadas, acionando primeiro a tecla: [ g ].

Auxilia determinar uma data passada ou futura, a partir de uma data conhecida e do número de

dias entre essas datas.

2.12.3.1. Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Data conhecida: 10.03.2007

Que data e dia da semana serão daqui a 93 dias?

Digite a data 10.032007

Pressione a tecla [ ENTER ]

Digite o número de dias (93)

Pressione a tecla [ g ] e depois a tecla [ DATE ]

Resultado: 11.06.2007, 2ª feira

OBS:- O número que aparece no canto do visor é o dia da semana. Assim,

1– Segunda-Feira 2– Terça-Feira 3 – Quarta-Feira 4 – Quinta-Feira

5 – Sexta-Feira 6 – Sábado 7 – Domingo

Exemplo 2 – Uma aplicação financeira por 60 dias está vencendo hoje, 10.03.2007. Qual a data

em que foi efetivado o negócio?

Digite a data do vencimento: 10.032007

Pressione [ ENTER ]

Digite o número de dias (60) e a tecla [ CHS ] (tempo passado é negativo)

Pressione as teclas [ g ] e [ DATE ]


Exercício 3 – Que dia da semana foi 24.10.91?

Digite a data 24.101991

Pressione [ ENTER ]

Digite zero (quando não existir o número de dias)

Pressione as teclas [ g ] e [ DATE ]


2.12.3.2. Exercícios Propostos:

1) Apliquei no dia 23/06/97 determinada quantia em CDB por prazo de 92 dias. Qual a data e o

respectivo dia da semana do resgate?

Resultado: 23.09.97 terça-feira

2) Verifique qual a data e o dia da semana correspondente a 132 dias passados da data de

20/09/97 Resultado: 11/05/97, domingo.

3) Qual o dia da semana correspondente a 28 de fevereiro de 1986?

Resultado: sexta-feira

4) Qual o dia da semana você nasceu?

Resultado: ?

5) Uma aplicação depositada em 31/05/2006 será resgata após 60 dias. Em que dia vencerá?

Resultado: 30/07/06 - Domingo

6) Uma mercadoria comprada em 07/03/2007 está programada para ser transferida para uma filial

em 120 dias. Em que dia cairá?

Resultado: 05/07/07 – 5ª feira

7) Observando o extrato bancário (26/02/2007) você percebe a baixa de um determinado

investimento de 60 dias e gostaria de lembrar o dia que investiu. Calcule!

Resultado: 28/12/06 - 5ª feira

2.13. Setor Armazenamento de Dados - Aqui está o winchester da sua HP-12C.

Explicaremos o seu funcionamento nos exercícios mais adiante.

Teclas: [ STO ] , [ RCL ]

2.14- Setor Financeiro:

TECLAS[ STO ] , [ RCL ]

As funções de juros compostos, descontos compostos, capitalizações e amortizações estão

regidas basicamente pelas seguintes teclas:

[ n ] – número de períodos em questão;

[ i ] – taxa [ % ] utilizada no problema;

[PV] – Valor presente do problema, ou seja, qualquer valor na data zero (capital, valor atual,

principal);.

[PMT] – Valor das prestações, pagamentos, depósitos etc. Refere-se a fluxos de valores que se

repetem periodicamente;

[ FV ] – Valor futuro do problema, ou seja, qualquer valor no período final do problema (montante,

valor nominal, valor de face, valor capitalizado, duplicata, nota promissória etc);

OBS: Os problemas resolvidos e propostos com a utilização das teclas financeiras serão

apresentados a partir do módulo 3.

2.15- Setor de Fluxos Antecipados e Postecipados:

[ BEGIN ] – utilizar quando o primeiro depósito ocorrer no início do período;

[ END ] – utilizar quanto o primeiro depósito ocorrer no fim do primeiro período.

TECLAS[ n ], [ i ], [PV], [ PMT ], [ FV ]

Observações Relevantes:

OBS.1:

A taxa [ i ] e o número de períodos [ n ] devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a

taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser

expresso em meses, ou vice-versa.

OBS.2:

Em todas as fórmulas matemáticas ( algébricas ), utiliza-se a taxa de juros na forma unitária, que

representa a taxa percentual dividida por 100.

OBS.3:

Ao iniciar qualquer operação financeira digitar [ f ] [ REG ] = [ f ] [ CLX ].

Dessa forma você apaga os registradores financeiros anteriores deixados na memória da

calculadora.

OBS.4:

Verifique sempre se a sua HP-12C está com o c (composto) no final do visor à direita.

Como colocar o c no visor: Pressione as teclas [ STO ] e [ EEX ].

FIM DO MÓDULO 02!

BONS ESTUDOS!

TECLAS[ BEGIN ], [ END ]

“Fazer ou não fazer algo, só depende de Deus tem colocado em sua vida, você é capaz

de conquistar o que quiser, só depende de você!!!”

nossa vontade e perseverança. Nunca desista daquilo que

(Albert Einstein)

MÓDULO 03

3. - Regimes de Capitalização de Juros Simples; Regimes de Capitalização de Juros

Compostos e Equivalência Financeira

3.1 - Juros Simples

3.1.1- Conceito:

O regime de capitalização de juros será simples quando a taxa de juros incidir apenas sobre o

valor presente ( capital inicial ) [ PV ], ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a

taxa de juros.

“Neste regime sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros” Em outras

palavras, nesse regime não se somam os juros do período ao capital, para o cálculo de novos

juros nos períodos seguintes.

O Valor Presente, Valor Atual ou Principal, é o valor inicial, o Capital emprestado ou aplicado,

antes de somarmos os juros.

3.1.2- Fórmulas Básicas:

PV = J / i.n

Fórmula dos Juros: J = PV. i . n i = J / PV.n

n = J / PV.i

Como: FV = PV + J J = FV – PV PV = FV – J

Onde:

J =Juros;

PV= Capital Inicial ( Valor Presente / Valor Atual, Principal);

i = Taxa Unitária ( Decimal) de Juros;

n = Número de períodos que o capital ficou aplicado, ou emprestado.

FV = Valor Futuro ( Montante).

Fórmula do Montante: FV = PV + J

Como J = PV.i.n, substituindo na fórmula acima e desenvolvendo temos:

FV = PV + PV.i.n FV = PV ( 1 + i.n )

PV = FV / ( 1 + i.n )

FV = PV ( 1 + i.n ) i = [ (FV / PV ) – 1 ] / n

n = [ (FV / PV ) – 1 ] / i

3.1.3- Taxas Proporcionais:

Duas taxas serão proporcionais quando existir entre elas a mesma relação verificada para os

períodos de tempo a que se referem.

Então: i1 = n1

i2 n2

Exemplos:

1) Qual a taxa anual proporcional a uma taxa de 1% a.m ?

I1 = ? ( taxa anual ) ; n1 = 12 ; i2 = 1 ; n2 = 1

i1 = 12 i1 = 12 % a.a

1 1

2) Qual a taxa semestral proporcional a uma taxa de 3% a.b ?

I1 = ? ( taxa semestral) ; n1 = 6 ; i2 = 3 ; n2 = 2

i1 = 6 2 i1 = 18 i1 = 9 % a.s.

3 2

3.1.4 - Exercícios Propostos de Taxas Proporcionais:

Calcule a taxa mensal proporcional a 18% a.a; R: 1,5% a.m.

Calcule a taxa anual proporcional a 3% a.m; R: 36% a.a

Calcule a taxa semestral proporcional a 20% a.a; R: 40% a.s

Calcule a taxa trimestral proporcional a 8% a.s; R: 4% a.t

Calcule a taxa mensal proporcional a 0,01% a.d; R: 0,30% a.m

Calcule a taxa bimestral proporcional a 10% a.q; R: 5% a.b

Calcule a taxa diária proporcional a 36% a.a; R: 0,10% a.d

3.1.5- Exercícios Resolvidos de Juros Simples:

1) Uma pessoa aplicou um capital a juros simples de 3% a.m, pelo prazo de 4 meses e 10 dias e

após este período recebeu o valor de R$ 10.000,00. Qual o capital aplicado?

I = 3% a.m 3 / 100 = 0,03 a.m;

Dados: n = 4 meses e 10 dias n = 130 dias;

FV = 10.000; PV = ?

Solução:

Como a unidade de tempo do prazo n está em dias, e como a taxa de juros i dada está ao mês,

implica que temos que dividi-la por 30, para transformá-la em uma taxa diária. ( lembre-se

que 1 mês = 30 dias )

Logo: i = 0,03 / 30 a.d

Como: PV = FV / ( 1 + i.n )

Temos que: PV = 10.000 / ( 1 + 0,03 . 130 )

30

Resolvendo algebricamente pela HP-12C, e utilizando 2 casas decimais: [ f ] 2, temos:

10.000 [ENTER] 0,03 [ENTER] 30 [÷] 130 [x] 1 [+] [÷] = 8.849,56

Resultado : PV = R$ 8.849,56

2) Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$

60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

Dados: PV = 400.000;

n = 180 dias n = 180 / 360 = 0,5 anos

J = 60.000; i = ? ( anual )

Solução:

Como i = J / PV. n;

Temos que: i = 60.000 / 400.000. 0,5

Resolvendo algebricamente pela HP-12C, temos:

60.000 [ENTER] 400.000 [ENTER] 0,5 [x] [÷] = 0,30

Multiplicamos então o valor da taxa unitária encontrada 0,30 por 100, para transformá-la em uma

taxa percentual 0,30. 100 = 30% a.a

Resultado: i = 0,30 a.a ou 30% a.a

3) Um fogão é vendido nas seguintes condições:

A vista por R$ 600,00. Ou a prazo com entrada de 20% e mais um pagamento de R$

520, 00, após 60 dias. Determinar a taxa mensal utilizada na venda a prazo e o valor dos juros

pagos.

Preço à Vista = R$ 600,00; Entrada = 20%;

Dados: n = 60 dias = 2 meses;

FV = 520,00; ( valor a ser pago no final dos 60 dias)

I = ? ( mensal) ; J = ?

Solução:

Entrada =20% de 600 = 120

PV = Preço a Vista – Entrada 600 – 120 = 480

Como: J = FV – PV J = 520 – 480 = 40

Como: i = J / PV . n

Temos que: i = 40 / 480. 2

Resolvendo algebricamente pela HP-12C e utilizando 4 casas decimais: [ f ] 4, temos:

40 [ENTER] 480 [ENTER] 2 [ x ] [ ÷ ] 0,0417

Logo: i = 0, 0417 a.m

Multiplicando por 100 0,0417.100 = 4,17% a.m.

Resultado : i = 0,0417 a.m ou 4,17% a.m. e J = 40.

OBS: A taxa i obtida acima poderia ser calculada por:

I = [( FV / PV) – 1] / n I = [( 520 / 480) – 1] / 2

Resolvendo algebricamente pela HP-12C e utilizando 4 casas decimais: [ f ] 4, temos

520 [ENTER] 480 [ ÷ ] 1 [ - ] 2 [ ÷ ] 0,0417

Logo: i = 0, 0417 a.m

Multiplicando por 100 0,0417.100 = 4,17% a.m.

Resultado : i = 0,0417 a.m ou 4,17% a.m..

4) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% a.a.?

I = 20% a.a = 20 / 100 = 0,20 a.a;

Dados: FV = 3 PV; ( o valor futuro é o triplo do valor presente)

n = ?

Solução:

Como: n = [( FV / PV ) – 1] / i

Temos que: n = [ ( 3 PV / PV ) – 1 ] / 0,20

Logo: n = 3 – 1 / 0,20 n = 2 / 0,20

2 [ENTER] 0.20 [ ÷ ] 10

Resultado : 10 anos.

5) Um capital foi aplicado durante 6 meses à taxa de 2% a .m . Ao final desse prazo, o montante

foi reaplicado a 3% a.m durante 8 meses. Sabendo-se que o montante final recebido foi de R$

1.500,00, calcular o valor do capital inicial.

I = 2% a.m = 2 / 100 = 0,02% a.m;

Dados do 1º Fluxo de Caixa: n = 6 meses ;

PV = ? FV= ?

1º Fluxo de Caixa: (Diagrama )

FV = ?

0 i = 2% a.m.

6

PV = ?

Não podemos calcular FV, pois só conhecemos n = 6 ; i = 0,02, e não conhecemos PV.

Porém no 2º Fluxo de Caixa abaixo, conhecemos i, n e FV, então podemos calcular o PV, que

representa o valor reaplicado do 1º Fluxo.

I = 3% a.m = 3 / 100 = 0,03 a.m;

Dados do 2º Fluxo de Caixa: n = 8 meses;

FV = 1. 500.

2º Fluxo de Caixa: (Diagrama )

FV = 1.500

0 I = 3% a.m.

8

PV = ?

Solução:

Como: PV = FV / ( 1 + i.n )

Temos que: PV = 1.500 / ( 1 + 0,03 . 8 )


1.500 [ ENTER ] 0,03 [ ENTER ] 8 [ x ] 1 [ + ] [ ÷ ]

PV = 1.209,68

Esse valor de PV representa o Valor Futuro do 1º Fluxo de Caixa, pois foi dito que no final de 6

meses, o montante seria reaplicado, então eles são iguais!

Assim o 1º Fluxo fica sendo:

FV = 1.209,68

0 i = 2% a.m.

6

PV = ?

E, portanto: PV = 1.209,68 / ( 1 + 0,02. 6 )


1.209,68 [ ENTER ] 0,02 [ ENTER ] 6 [ x ] 1 [ + ] [÷ ]

Resultado : R$1.080,07.

6) Uma pessoa contraiu um empréstimo de R$ 1.500,00, para ser pago ao final de um ano, à taxa

de juros simples de 2% a.m. Três meses antes do vencimento resolveu quitar toda a dívida,

sendo que, nessa época, a taxa aplicada foi de 2,5% a.m. Nessas condições, determine o valor

do pagamento

Fluxo de Caixa: (Diagrama)

PV =1.500

. ............... i = 2% a.m..........................

0 . 9 n = 3 12

......2,5%a.m........

?

Valor da quitação = PV FV =?

Fluxo de Caixa Original:

Dados do: PV=1.500 ; I = 2% a.m =0,02 a.m.; n =12 meses

Fluxo da Antecipação do Empréstimo:

I = 2,5% a.m = 0,025 a.m ; n = 3 meses.

Solução:

1º Passo: Com base nos dados do Fluxo de Caixa Original, correspondentes ao empréstimo

original, ou seja, até o final dos 12 meses, calculamos o montante FV =1.500 ( 1

+ 0,02 . 12 )


0,02 [ ENTER ]12 [ x ] 1 [ + ] 1.500 [ x ] FV = 1.860

2º Passo: Com base nos dados do Fluxo de Caixa da Antecipação do Empréstimo, ou seja, 3

meses antes do vencimento, calculamos o valor da quitação PV = ?

Como já conhecemos FV = 1.860

Temos que: PV = FV / ( 1 + i . n ) )

Logo: PV = 1.860 / (1+ 0,025 . 3 )


1.860 [ ENTER ] 0,025 [ ENTER ] 3 [ x ] 1 [ + ] [÷] 1.730,23

Resultado: R$ 1.730,23

7) Aplicam-se 3/5 de um capital a 24% a.a e o restante a 16% a.s, obtendo-se, assim, um ganho

anual de R$ 5.000.00. Qual é o valor desse capital?

PV1 = 3 / 5 de PV = 0,60 PV = 60% de PV;

Dados da i1 = 24% a.a = 24 / 100 = 0,24 a.a;

1ª Aplicação: n = 1 ano

OBS: Sabemos que PV representa 100% do capital, e como uma parte dele (PV1), corresponde a

3 / 5 = 0,60, ou seja, a 60% de PV, é claro que o restante desse capital (PV2), será de 40%

( 100% - 60% ) = 2 / 5 = 0,40.

Dados da PV2 = 1 / 5 de PV = 0,40 PV = 40% de PV;

2ª Aplicação: i2 =16%a.s = 32% a.a = 32 / 100 =0,32. a.a

n = 1 ano

Como o ganho anual de R$ 5.000.00, representa o total de juros auferidos ( JT ), em 1 ano, nas

duas aplicações, temos que:

JT = J1 + J2

Solução:

Inicialmente, vamos calcular J1 e J2;

Como: J1 = PV1. i1. n J1 = 0,60 PV. 0,24. 1

Logo: J1 = 0,1440 PV

Como: J2 = PV2. i2. n J2 = 0,40 PV. 0,32. 1

Logo: J2 = 0,1280 PV

Como: JT = J1 + J2

Temos que: 5.000 = 0,1440 PV + 0,1280 PV 0,2720 PV = 5.000

Logo: PV = 5.000 / 0,2720

E, portanto: PV = 18.382,35

Resultado: PV = R$18.382,35

3.1.6- Exercícios Propostos de Juros Simples:

1) O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em 2 partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu

durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de

cada parte.

Resultado: R$ 3.472,00 e R$ 4.340,00

2) Uma indústria adquiriu matéria prima no valor de R$ 45.000,00, pagando no ato da compra R$

15.000,00 e R$ 18.000,00 a ser pago no final de 45 dias após. Qual o pagamento que ainda

deverá ser feito no final de 90 dias, para liquidar a dívida, sabendo-se que o vendedor cobra uma

taxa linear de 45% aa?


3) João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa de 2,40%a.m. Sabendo-se que João

pagou R$ 2.061,42 para Carlos, saldando a dívida 2 meses antes de seu vencimento e que nesta

época a taxa corrente de mercado era de 2,10% a.m, quanto João tomou emprestado e qual era

o prazo inicial se os juros previstos montavam R$ 648,00

Resultado: PV = R$ 1.500,00 e n = 18 meses

4) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros à taxa de 1,8% ao mês, porém o

investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor dos juros

ganhos. Pede-se:

a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação

de R$ 4.000,00


b) Qual o capital que deve ser aplicado para se obter um montante liquido de R$ 3.600,00


5) Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 200.000,00 a juros simples de 10% ao ano. Algum

tempo depois liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de R$ 300.000,00 a

juros simples de 8% ao ano.

Dezoito meses após o primeiro empréstimo, liquidou todos os seus débitos, verificando ter pago

R$ 35.000,00 de juros total nos dois empréstimos.

Determinar os prazos dos dois empréstimos.

Resultado: 3 e 15 meses.

3.2 - Juros Compostos - RCC

3.2.1 - Conceito:

No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros

considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os

juros são capitalizados, passando esse montante, (capital mais juros), a render novos juros no

período seguinte.

Este Regime é também conhecido como o Regime de “Juros sobre Juros”. Assim, neste

regime de capitalização, os juros produzidos no período n serão componentes da base de cálculo

dos juros do período n + 1.

O regime de juros compostos é o mais utilizado no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para

cálculos de problemas do dia-a-dia.

3.2.2 - Fórmulas Básicas:

FV = PV + J J = FV - PV PV = FV - J

PV = FV / ( 1 + i )n ;

FV = PV. ( 1 + i )n i = [ ( FV / PV ) 1/ n – 1 ] x 100

n = Ln ( FV / PV ) / Ln ( 1 + i )

Como: J = FV – PV e FV = PV. ( 1 + i )n

Temos que: J = PV. ( 1 + i )n – PV

Logo: J = PV [ ( 1 + i )n – 1 ]

Importante:

Não se esqueça que a taxa [ i ] tem que ser expressa na mesma medida ( unidade ) de tempo de

[ n ].

Obs:

( 1 + i )n = FAC - Fator de Capitalização ou Fator de Acumulação de Capital, ou Fator de Valor

Futuro;

1 / ( 1 + i )n = FVA - Fator de Valor Atual ou Fator de Valor Presente.

3.2.3- Taxas Equivalentes:

Duas ou mais taxas são conceituadas como equivalentes a juros compostos, se quando aplicadas

a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, porém, com períodos para

capitalização diferentes, produzirem juros e montantes iguais.

Obs:

No RCS, se duas taxas são proporcionais, elas também serão equivalentes.

No RCC, duas taxas proporcionais, não são equivalentes.

Exemplo:

1) Um capital de R$ 10.000,00 pode ser aplicado alternativamente a uma taxa de 24% ao ano ou

a 2% ao mês, durante um período de 2 anos. Diga se as duas taxas são equivalentes no RCS e

no RCC.

PV = 10.000

Dados: i1 = 24% a.a; i2= 2% a.m ; ( são proporcionais )

n1 = 2 anos ; n2 = 24 meses.

Sabemos que:

No RCS FV = PV ( 1 + i.n )

No RCS FV = PV ( 1 + i )n

Solução:

No RCS:

FV1 = PV ( 1 + i1. n1 ) FV1 = 10.000 ( 1 + 0,24.2 ) FV1 = 14.800

FV2 = PV ( 1 + i2. n2 ) FV1 = 10.000 ( 1 + 0,02. 24 ) FV1 = 14.800

Como os montantes são iguais, então podemos afirmar que:

No RCS, duas taxas proporcionais, são também equivalentes.

No RCC:

FV1 = PV ( 1 + i1 ) n1 FV1 = 10.000 ( 1,24 )2 FV1 = 15.376,00

FV2 = PV ( 1 + i2 ) n2 FV2 = 10.000 ( 1,02 )24 FV2 = 16.084,37

Como os montantes são diferentes, então podemos afirmar que:

No RCC, duas taxas proporcionais, não são equivalentes.

3.2.4.- Fórmula Algébrica para Calcular Taxas Equivalentes no RCC:

Iq = [ (1 + It ) q / t – 1 ] x 100

Onde:

Iq = Taxa equivalente que quero ( taxa procurada );

It = Taxa que tenho ( taxa dada );

q = Prazo que quero em dias (está relacionado à taxa que quero);

t = Prazo que tenho em dias (está relacionado à taxa que tenho).

1º Exemplo:

Qual a taxa anual equivalente a juros compostos a uma taxa de 1% ao mês?

Dados: It = 1% = 0,01; q = 360 ; t = 30

Solução Algébrica:

Iq = [ (1 + It ) q / t – 1 ] x 100

Iq = [ (1 + 0,01 ) 360 / 30 – 1 ]x100 Iq =[ (1,01 )12 – 1] x 100

1,01[ enter ] 12 [ Yx ] 1 [ - ] 100 [ x ] Iq = 12,68% a. a

Resultado: 12,68 % a.a. - taxa equivalente anual

2º Exemplo:

Qual a taxa semestral equivalente a juros compostos a uma taxa de 3% ao trimestre?

Dados: It = 3% = 0,03; q = 180 ; t = 90


Iq = [ (1 + It ) q / t – 1 ] x 100

Iq = [ (1 + 0,03 ) 160 / 90 – 1 ] x 100 Iq =[ (1,03 ) 2 – 1] x 100

1,03 [ enter ] 2 [ Yx ] 1 [ - ] 100 [ x ] Iq = 6,09% a. s

Resultado: 6,09 % a.s. - taxa equivalente semestral.

3º Exemplo:

Qual a taxa diária equivalente a juros compostos a uma taxa de 4% ao bimestre?

Dados: It = 4% = 0,04; q = 1 ; t = 60


Iq = [ (1 + It ) q / t – 1 ] x 100

Iq = [ (1 + 0,04 ) 1 / 60 – 1 ] x 100 Iq =[ (1,04 ) 1 / 60 – 1] x 100

1,04 [ enter ] 60 [ 1/ x ] [ Yx ] 1 [ - ] 100 [ x ] Iq = 0,0654% a. d

Resultado: 0,0654% a. d. - taxa equivalente diária.

3.2.5.- Programa da HP-12C para Calcular no RCC Taxas Equivalentes.

[ f ] [ CLX ]

[ f ] [ R/S ]

[ f ] [ R ]

[ STO ] 0

[ RCL ] [ i ]

1

[%]

1

[+]

[ RCL ] 0

[ RCL ] [ n ]

[ ÷ ]

[ yx ]

1

[ - ]

1

0

0

[ x ]

[ g ] [ R ] 0 0

[ f ] [ R/S ]

3.2.6.- Sequencia dos Passo para Utilização do Programa na HP:

1º) Coloque na tecla [ i ] o valor da taxa que você tem, ou seja, a taxa que foi dada ( fornecida )

na questão;

2º) Coloque na tecla [ n ] o número de dias referente à taxa que você tem, ou seja, a que foi

dada;

3º) Coloque na tecla [ R/S ] o número de dias referente à taxa que você quer, ou seja, a que

deseja obter.

1º Exemplo:

Qual a taxa anual equivalente a juros compostos a uma taxa de 1% ao mês?

Solução pelo Programa:

[ f ] [ CLX ] Limpa todos os registradores.

1º Passo

1 [ i ] Armazena a taxa a ser convertida;

2º Passo

30 [ n ] Introduz o prazo em dias da taxa dada ( que tenho) ;

3º Passo

360 [ R/S ] Introduz o prazo em dias da taxa desejada (que quero);

Resultado: 12,68 % a.a. - taxa equivalente anual.

2º Exemplo:

Qual a taxa semestral equivalente a juros compostos a uma taxa de 3% ao trimestre?



1º Passo


2º Passo


3º Passo


Resultado: 6,09 % a.s. - taxa equivalente semestral.

3º Exemplo:

Qual a taxa diária equivalente a juros compostos a uma taxa de 1,5% ao bimestre?



1º Passo

1.5 [ i ] Armazena a taxa a ser convertida;

2º Passo


3º Passo


Resultado: 0,0248 % a.d. - taxa equivalente diária.

4º Exemplo:

Qual a taxa quadrimestral equivalente a juros compostos a uma taxa de 20% ao ano?



1º Passo


2º Passo


3º Passo


Resultado: 6,27 % a.q. - taxa equivalente quadrimestral.

3.2.7.- Exercícios Propostos DE TAXAS EQUIVALENTES:

1) Determine as seguintes taxas equivalentes:

A taxa mensal equivalente a 120% a.a. Resultado:6,7911% a.m.

A taxa anual equivalente a 1% a.m. Resultado:12,6825% a.a.

A taxa diária equivalente a 3% a.m. Resultado: 0,0986% a.d.

A taxa anual equivalente a 10% a.s. Resultado: 21% a.a.

A taxa semestral equivalente a 1% a.m. Resultado: 6,1520% a.s.

A taxa bimestral equivalente a 15% a.t. Resultado: 9,7653% a.b.

A taxa trimestral equivalente a 10%a.b. Resultado: 15,3690% a.t.

2) Admita que um banco esteja pagando 16,5% a.a. de juros na colocação de um título de sua

emissão. Calcular a taxa efetiva (equivalente) para os seguintes prazos:

1 mês ; Resultado :1,2808% a.m.

9 meses ; Resultado : 12,1358% p/ 9 meses.

37 dias; Resultado : 1,5820% p/ 37 dias.

100 dias; Resultado : 4,3335% p/ 100 dias.

3.2.8 - Taxa Nominal X Taxa Efetiva

Taxa nominal Temos uma taxa de juros nominal quando o prazo de formação e incorporação

dos juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere.

Exemplos:

24% ao ano com capitalização mensal;

36% ao ano com capitalização bimestral;

3% ao mês com capitalização diária.

Taxa efetiva A taxa é dita efetiva, quando a unidade da taxa for igual ao período de

capitalização dos juros. é aquela cujo período de capitalização coincide com aquele a que ela

se refere. É a taxa efetivamente paga ou cobrada na unidade em que fornecida

Exemplos:

3% ao mês com capitalização mensal 3% ao mês;

15% ao ano com capitalização anual 15% ao ano;

0,15% ao dia com capitalização diária 0,15% ao dia;

Obs: Muito embora a taxa nominal seja utilizada em algumas operações financeiras, ela não

pode fazer parte dos cálculos, temos que transformá-la em sua taxa efetiva.

Exemplo 1: Taxa Nominal: 36% a.a capitalizada mensalmente a taxa é anual, porém os juros

são capitalizados, ou seja, são incorporados a cada mês.

Como 1 ano possui 12 meses, teremos 12 períodos de capitalização, assim a Taxa Efetiva

Mensal será: 36 / 12 = 3% a.m.

Exemplo 2: Taxa Nominal: 18% a.s capitalizada bimestralmente a taxa é semestral, porém os

juros são capitalizados, ou seja, são incorporados a cada bimestre.

Como 1 semestre possui 3 bimestres, teremos 3 períodos de capitalização, assim a Taxa Efetiva

Bimestral será: 18 / 3 = 6% a.b.

3.2.8.1 - Exercícios Propostos de Taxas Nominais x Taxas Efetivas:

1) Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual:

18% a.a capitalizado mensalmente; Resultado:19,5618%.

36% a.a capitalizado trimestralmente; Resultado: 41,1582%.

12% a.a capitalizado quadrimestralmente; Resultado:12,4864%

48% a.a capitalizado bimestralmente; Resultado: 58,6874%.

60% a.a capitalizado semestralmente; Resultado: 69%

36% a.a capitalizado diariamente; Resultado : 43,3072%.

OBS: Use [ f ] 4

3.2.9 - Exercícios Resolvidos de Juros Compostos:

1. Quais os juros de uma aplicação de R$ 20.000,00, ao final de um período de 2 anos e meio, a

uma taxa de juros compostos de 18% ao ano capitalizado bimestralmente?

PV = 20.000

Dados: n = 2 anos e meio 30 meses 15 bimestres

i = 18% ao ano cap. bimestralmente i = 18/6 = 3% a.b

J = ?


Sabemos que: J = FV - PV

Como: FV = PV ( 1+ I )n

Temos que: J = PV ( 1+ I )n – PV J = PV [ ( 1+ I )n – 1 ]

Logo: J = FV [ ( 1+ 0,03 )15 – 1 ]

20.000 [ enter ] 1,03 [ enter ] 15 [ yx ] 1 [ - ] [ x ] J = 11.159,35

Resultado: J = R$ 11.159,35

Solução com a HP-12C:

20.000 [ CHS ] [ PV ] 15 [ n ] 3 [ i ] [ FV ] FV = 31.159,35

Como: J = FV – PV J = 31.159,35 – 20.000 J = 11.159,35

Resultado: J = R$ 11.159,35

2. Um capital de R$ 140.000,00 rendeu R$ 59.090,00 de juros numa capitalização trimestral.

Sabendo-se que ficou aplicado por 2 anos, qual a taxa de juros?

PV = 140.000; J = 59.090;

Dados: n = 2 anos 24 meses 8 trimestres

i = ?


Sabemos que: FV = PV +J

Logo: FV = 140.000 + 59.090 FV = 199.090

Como: i = [ ( FV / PV ) 1/ n – 1 ] x 100

Temos: i = [ ( 199.090 / 140.000 ) 1/ 8 – 1 ] x 100

199.090 [ enter ] 140.000 [ ÷ ] 8 [ 1/x ] [ yx ] 1 [ - ] 100 [ x ] 4,50%

Resultado: 4,50% a.t


140.000 [ CHS ] [ PV ] 199.090 [FV ] 8 [ n ] [ i ] i = 4,50%

Resultado: i = 4,50% a.t

3. Uma pessoa depositou num banco um valor. Passados 6 meses da aplicação seu saldo era de

R$ 10.000,00 e passados mais 4 meses seu saldo era de R$12.000,00, calcule a taxa de juros e

o capital aplicado inicialmente.

Pelo fluxo de caixa representativo da questão temos que:

10.000 12.000

0 .

6 10

PV = ?

No período do 6º mês ao 10º mês, os valores de 10.000, e 12.000, reapresentam os parâmetros

financeiros PV e FV, respectivamente, sendo o parâmetro n igual a 4 meses

Dessa forma, podemos calcular o parâmetro financeiro referente à taxa de juros i.

Algebricamente teríamos:

Cálculo da taxa de juros: [ i ]

i = [ ( FV / PV ) 1/ n – 1 ] x 100 i = [ ( 12000 / 10000 ) 1/ 4 – 1 ] x 100

12000 [ enter ] 10000 [ ÷ ] 4 [ 1/x ] [ yx ] 1 [ - ] 100 [ x ] 4,6635%

Cálculo da do Valor Presente: [ PV ]

Como: PV = FV / ( 1 + i )n

Temos que: PV =12000 / (1,046635)10 ou: PV = 10000 / (1,046635 )6

Em ambas as expressões, teríamos:

12000 [ enter ] 1,046635 [ enter ] 10 [ yx ] [ ÷ ] PV = 7.607,27

ou:

10000 [ enter ] 1,046635 [ enter ] 6 [ yx ] [ ÷ ] PV = 7.607,27

Resultados: i = 4,6635% a.m. e PV = R$ 7.607,27

Com a utilização da HP-12C, teríamos:

Cálculo da taxa de juros: [ i ]

10000 [ CHS ] [ PV ] 12000 [FV ] 4 [ n ] [ i ] i = 4,6635%

Cálculo da do Valor Presente: [ PV ]

12000 [ CHS ] [ FV ] 10 [ n ] 4,6635 [ i ] [ PV ] PV = 7.607,27

ou:

10000 [ CHS ] [ FV ] 6 [ n ] 4,6635 [ i ] [ PV ] PV = 7.607,27

Resultados: i = 4,6635% a.m. e PV = R$ 7.607,27

6. Uma TV tela plana é vendida nas seguintes condições: R$ 1.800,00 a vista ou a prazo com

30% de entrada e mais um pagamento de R$ 1.450,00 em 90 dias. Determinar a taxa mensal de

juros simples cobrada na venda a prazo.

Preço a Vista = 1.800; FV = 1.450

Entrada = 30% de 1.800 540

Dados: n = 90 dias 3 meses

i = ?


Sabemos que: PV = Preço a Vista - Entrada

Logo: PV = 1.800 – 540 PV = 1.260

Como: i = [( FV / PV ) 1/ n – 1] x100 i = [(1450 / 1260 ) 1/ 3 – 1] x100

1450 [ enter ] 1260 [ ÷ ] 3 [ 1/x ] [ yx ] 1 [ - ] 100 [ x ] 4,7931%

Resultado: 4,7931% a.m


1450 [ CHS ] [ FV ] 3 [ n ] 1260 [ PV ] [ i ] i = 4,7931%

Resultado: i = 4,7931% a.m

7. Uma casa é vendida em 2 opções:

Opção A: Entrada de R$ 50.000,00 + R$ 60.000,00 em 3 meses + R$ 70.000,00 em 8

meses.

Opção B: Entrada de R$ 30.000,00 + R$ 50.000,00 em 2 meses + R$ 100.000,00 em 6

meses.

Considerando uma taxa de juros de 2,5% a.m, escolha a melhor opção para o comprador.


Temos que descapitalizar os valores futuros dos fluxos de caixa para a data focal 0.

Opção A:

70000 [ CHS ] [ FV ] 8 [ n ] 2,5 [ i ] [ PV ] 57.452,26

60000 [ CHS ] [ FV ] 3 [ n ] 2,5 [ i ] [ PV ] 55.715,96

PV = 50.000,00 + 57.452,26 + 55.715,96 163.168,22

Opção B:

100000 [ CHS ] [ FV ] 6 [ n ] 2,5 [ i ] [ PV ] 86.229,69

50.000 [ CHS ] [ FV ] 2 [ n ] 2,5 [ i ] [ PV ] 47.590,72

PV = 30.000,00 + 86.229,69+ 47.590,72 163.820,41

Resultado: A opção A é a melhor para o comprador, pois apresenta menor PV.

3.2.10 - Exercícios Propostos de Juros Compostos:

1. Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 a juros compostos, à taxa de 36% ao ano com capitalização

trimestral, durante 6 meses.

a) Se houvesse aplicado por 18 meses teria tido o dobro do montante da aplicação por 6 meses;

Resp: Falsa

b) Se houvesse aplicado por 6 meses à taxa mensal equivalente à taxa dada, teria o mesmo

montante original; Use [ f ] 6. Resp: Verdadeira

c) Se houvesse aplicado por 6 meses e a capitalização fosse mensal, teria tido o mesmo

montante original; Resp: Falsa

Assinale a sentença falsa e verdadeira, justificando através de cálculos.

2. Uma compra pode ser paga por R$ 3.000,00 a vista ou financiada por meio de uma entrada de

10% e mais dois pagamentos mensais, o segundo 20% maior do que o primeiro. Sabendo-se que

o 1º pagamento ocorre no 4º mês e que a taxa de juros é de 27% a.a capitalizado

quadrimestralmente, calcule o valor dos pagamentos.

Resp: R$1.353,58 e R$ 1.624,30.

3. Um carro esta a venda por R$ 20.000,00 de entrada e R$ 20.000,00 para após 6 meses. Um

comprador propõe dar uma entrada e mais uma parcela de R$ 25.000,00 após 8 meses. Neste

caso, quanto deverá dar de entrada se a taxa de juros de mercado for de 3% ao bimestre?

Resp: R$ 16.091,38

4) Pretende-se daqui a 9 meses comprar um automóvel de R$ 15.000,00. Calcule quanto deve

ser aplicado em um investimento que rende juros efetivos de 6% ao bimestre, de modo que o

veículo possa ser comprado com os juros ganhos na operação.

Resp : R$ 50.033,42

5) Um Banco A oferece empréstimos pessoais a juros compostos a uma taxa de 40% ao ano. Um

Banco B pelo mesmo empréstimo e prazo, cobra juros compostos de 36 % a.a. capitalizados

mensalmente.

a) Em que Banco você tomaria o empréstimo?

Resp : Banco A (i = 2,8436 % a.m)

b )Qual deveria ser a taxa nominal anual do Banco B, para que fosse indiferente para o tomador

do empréstimo a escolha do Banco?

Resp : 34,1234% a.a. capitalizados mensalmente

3.3 – Equivalência Financeira

3.3.1- Capitais Equivalentes

Dois ou mais capitais situados em datas distintas, são equivalentes, se quando transportados

para uma mesma data focal ( data de referência, data de avaliação ), a uma mesma taxa de juros,

apresentarem valores iguais.

Exemplo1: Seja o conjunto de capitais apresentados no fluxo de caixa abaixo. Vamos verificar se

esses capitais são equivalentes na data focal zero, admitindo uma taxa de juros compostos de

10%a.a.

1.100 1.210 1.331 1.464,10

anos

0 1 2 3 4


Com relação à data focal 0, os valores 1.100; 1. 210; 1. 331 e 1. 464,10 representam os valores

futuros FV1, FV2, FV3 e FV4, e nesse caso temos que calcular seus valores presentes respectivos

PV1, PV2, PV3 e PV4.

Como: PV = FV / ( 1+ i )n, teremos que:

PV1 = FV1 / (1+ i)n1 PV1 = 1.100 / (1,10 )1 PV1 = 1.000

PV2 = FV2 / (1+ i)n2 PV2 = 1.210 / (1,10 )2 PV1 = 1.000

PV3= FV3 / (1+ i)n3 PV2 = 1.331 / (1,10 )3 PV1 = 1.000

PV4 = FV4 / (1+ i)n4 PV4 = 1.464,10 / (1,10 )4 PV1 = 1.000

Logo, por apresentarem os mesmos valores na data 0, os capitais são equivalentes.


1.100 [ FV ] 10 [ i ] 1 [ n ] [ PV ] PV = 1.000

1.210 [ FV ] 10 [ i ] 2 [ n ] [ PV ] PV = 1.000

1.330 [ FV ] 10 [ i ] 3 [ n ] [ PV ] PV = 1.000

1.464,10 [ FV ] 10 [ i ] 3 [ n ] [ PV ] PV = 1.000

Logo vemos que os quatro títulos têm o mesmo valor presente [ PV ] na data focal zero, o que

implica que eles são equivalentes financeiramente, ou seja, tanto faz receber R$1.000,00 hoje,

como R$1.100,00 daqui a um ano, ou R$ 1.464,10 daqui a quatro anos, pois eles são

equivalentes financeiramente.

Exemplo 2:

Vamos verificar agora se os capitais são também equivalentes na data focal 4.

Com relação a data 4, temos que transportar os valores 1.100, 1.210 e 1.331 para a data 4,

menos o valor 1.464,10, que já está na data 4, e nesse caso, calcular os valores futuros FV,

respectivos.

Com a HP-12C,

1.100 [ PV ] 10 [ i ] 3 [ n ] [ PV ] PV = 1.464,10

1.210 [ FV ] 10 [ i ] 2 [ n ] [ PV ] PV = 1.464,10

1.330 [ FV ] 10 [ i ] 1 [ n ] [ PV ] PV = 1.464,10

Logo, por apresentarem os mesmos valores, os capitais são também equivalentes na data 4. Se

fizermos os cálculos para as datas 2 ou 3, veríamos que os capitais seriam também equivalentes

nessas datas.

Podemos afirmar então que uma vez constatada a equivalência para certa data focal, a mesma

permanecerá válida para qualquer outra data focal.

3.3.2- Valor Atual de um Conjunto de Capitais

O valor atual ou valor presente de um conjunto de capitais, é a soma algébrica dos valores futuros

( FV ) do fluxo de caixa, transportados, ou seja, descapitalizados, (descontados), para a data focal

zero, à uma determinada taxa de juros.

Matematicamente

n

VA= PV= FVj / ( 1 + i )n :

j = 1

Exemplo 3: Suponha que uma pessoa tenha uma carteira de aplicação em títulos de renda fixa

com datas de vencimento diferentes, conforme apresentado no fluxo de caixa abaixo

. 1.000 2.000 5.000

meses

0 6 12 18

Admitindo-se uma taxa de juros ( desconto ) de 3% a.m, determine o valor atual (VA) desse

conjunto de capitais.


1.000 [ FV ] 3 [ i ] 6[ n ] [ PV ] PV = 837,48

2.000 [ FV ] 3 [ i ] 12 [ n ] [ PV ] PV = 1.402,76

5.000 [ FV ] 3 [ i ] 18 [ n ] [ PV ] PV = 3.209,31

Logo: PV = 837,48 + 1.402,76 + 3.209,31 PV = 5.449,55

Resultado: O valor atual ( valor presente ) da carteira de aplicação é de R$ 5.449,55, ou seja, os

três títulos poderiam ser trocados pelo valor acima, uma vez que, eles são equivalentes

financeiramente.

3.3.3- Exercícios Resolvidos de Equivalência Financeira:

1. Um carro esta a venda por R$ 20.000,00 de entrada e R$ 20.000,00 para após 6 meses. Um

comprador propõe dar uma entrada e mais uma parcela de R$ 25.000,00 após 8 meses. Neste

caso, quanto deverá dar de entrada se a taxa de juros de mercado for de 2% a.m?

Solução:

Fluxo de Caixa:

1ª Opção:

meses

0 6

20.000 20.000

Fluxo de Caixa:

2ª Opção:

meses

0 8

X = ? 25.000

Pelo princípio da equivalência financeira, temos que igualar os valores atuais dos dois fluxos.

Valor Atual do 1º fluxo:

20.000 [ CHS ] [ FV ] 2 [ i ] 6 [ n ] [ PV ] 17.759,43

VA = 20.000 ( valor que está na data 0) + 17.759,43

VA = 37.759,43


25.000 [ CHS ] [ FV ] 2 [ i ] 8 [ n ] [ PV ] 21.337,26

VA = X ( valor que está na data 0) + 21.337,26

VA = X + 21.337,26

Igualando-se as duas equações de valor atual, temos:

X + 21.337,26 = 37.759,43 X = 37.759,43 - 21.337,26

X = 16.422,17

Resultado: A entrada da 2ª opção deverá ser de R$ 16.422,17

2. Uma pessoa deve, em um banco, 2 títulos: R$ 100.000,00 para pagamento imediato e R$

70.000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao banco a

substituição da dívida por um pagamento de R$ 150.000,00 em 3 meses e saldo restante em 9

meses. Qual o valor do saldo restante se o banco realiza a operação a uma taxa de 2% a.m?

Fluxo de Caixa:

1ª Opção:

meses

0 6

100.000 70.000

Fluxo de Caixa:

2ª Opção:

3 meses

0 9

150.000 X = ?

Pelo princípio da equivalência financeira, temos que igualar os valores atuais dos dois fluxos.


70.000 [ CHS ] [ FV ] 2 [ i ] 6 [ n ] [ PV ] 62.158,00

VA = 100.000 ( valor que está na data 0) + 62.158,00

VA = 162.158,00


150.000 [ CHS ] [ FV ] 2 [ i ] 3 [ n ] [ PV ] 141.348,35

1 [ CHS ] [ FV ] 2 [ i ] 9 [ n ] [ PV ] 0,8368 X

VA = 0,8368 X + 141.348,35

Igualando-se as duas equações de valor atual, temos:

0,8368 X + 141.348,35 = 162.158,00

0,8368 X = 162.158,00 - 141.348,35

0,8368 X = 20.809,65 X = 20.809,65 / 0,8368

X = 24.868,13

Resultado: O valor do saldo restante da 2ª opção deverá ser de R$ 24.868,13

3.3.4- Exercícios Propostos de Equivalência Financeira:

1. Um sítio é posto a venda em uma imobiliária por R$ 500.000,00 à vista. Como alternativa, a

imobiliária propõe: entrada de R$ 100.000,00, uma parcela de R$ 200.000,00 para 1 ano e 2

pagamentos iguais, vencendo o 1º em 6 meses e o 2º em um ano e meio. Qual é o valor destes

pagamentos, se a taxa de juros for de 24% ao ano?

Resp: R$ 147.148.06.

2. Na venda de um barco, a loja Náutica S.A, oferece duas opções a seus clientes:

R$ 30.000,00 de entrada, mais duas parcelas semestrais, sendo a 1ª de R$ 50.000,00 e

a 2ª de R$ 100.000,00.

Sem entrada, sendo o pagamento efetuado em 4 parcelas trimestrais, sendo as duas

primeiras de R$ 40.000,00 e as duas últimas de R$ 50.000,00.

Qual é a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos a taxa de juros de 21% ao ano

com capitalização quadrimestral? Resp: 1ª alternativa, pois apresenta menor valor atual.

3. Um imóvel está a venda por 4 parcelas semestrais de R$ 50.000,00, vencendo a 1ª em 6

meses. Uma pessoa propõe a compra desta imóvel, pagando-o em duas parcelas iguais, uma no

ato da compra e outra após 1 ano. Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros for de 20% ao

ano? Resp: R$ 87.310,21.

4. O preço de um terreno é de R$ 50.000,00 à vista ou R$ 60.000,00 a prazo. No 2º caso, o

comprador deverá dar 20% como entrada e o restante em duas parcelas iguais semestrais. Se a

taxa de juros de mercado for de 30% ao ano, qual será a melhor opção?

Resp: A melhor opção é comprar a vista, pois possui menor valor atual.

.FIM DO MÓDULO 03!

BONS ESTUDOS!

"Se você quer ser bem sucedido, precisa ter dedicação total, buscar seu último limite e dar

o melhor de si."

(Ayrton Senna)

MÓDULO 04

4.- Descontos Simples e Compostos

4.1 - Descontos Simples

Quando um título de crédito (letra de cambio, promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira

é resgatado antes de seu vencimento, o título sofre um Abatimento, que é chamado de Desconto.

D = FV – PV

Valor Nominal ( FV ): É o valor do título de crédito, no dia do seu vencimento. È também chamado

de Valor de Face do título de crédito.

Valor Atual ( PV ): Antes do vencimento, o título de crédito pode ser resgatado por um valor

menor que seu valor nominal, denominado de: Valor Líquido Recebido, Valor Líquido Liberado, ou

Valor Atual do Título.

Ou seja,

Valor Atual: È o Valor Presente de um título de crédito e que corresponde efetivamente ao valor

pago (recebido) por este título, na data de seu resgate,

Como: D = FV – PV PV = FV – D

4.1.1- Tipos de Descontos

Desconto Racional ou “por dentro“

Nesse tipo de desconto, a taxa de juros ou de desconto incide sobre o Valor Atual do Titulo ( PV ).

Dr = PV. i . n ou: Dr = FV . i . n

( 1 + i . n )

Valor Atual Racional:

Seu valor é determinado pela diferença entre o valor nominal FV e o valor do desconto racional

Dr.

PVr = FV - Dr PVr = FV

( 1 + i . n )

Exemplo 1: Um título com valor de face ( valor nominal ) de R$ 270,00, foi resgatado

racionalmente 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m.. Qual o valor atual do título e qual

o valor do desconto?

Dados:

FV = R$ 270,00 ; n = 2 meses ; i = 3 a.m. = 0.03 a.m.

Solução:

PVr = FV PVr = 270

( 1 + i. n ) ( 1 + 0,03. 2 )

270 [ENTER} 0.03 [ENTER] 2 [x] 1 [+] [÷]

PVr= R$ 254,72

Como Dr = FV – PVr Dr = 270 – 254,72

270 [ENTER] 254.72 [-]

Dr = R$ 15,28

Desconto Comercial ou “por fora“

Nesse tipo de desconto, a taxa de juros ou de desconto incide sobre o Valor Nominal do Titulo

( FV ). Pode ser entendido como sendo os juros simples calculados sobre o valor nominal do

título;

Dc = FV . ic . n

Onde:

Dc = Desconto Comercial;

FV = Valor Nominal do Título;

ic = Taxa de desconto comercial;

n = Período considerado,

Valor Atual Comercial é determinado pela diferença entre o valor nominal FV e o desconto

comercial Dc.

PVc = FV - Dc PVc = FV ( 1 - i . n )

Exemplo 2: Uma promissória de valor nominal de R$ 500,00 foi resgatada comercialmente, 4

meses antes de seu vencimento, à taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do desconto e qual o valor

líquido recebido?

Dados: FV = R$ 500,00; i = 8 % a.a.=0.08 a.a= 0.08 a.m; n=4 meses

12

Solução:

Dc = FV . i . n

Dc = 500. 0,08. 4

12

500 [ENTER] 0.08 [x] 12 [÷] 4 [x]

Dc = R$ 13,33

Como PVc = FV – Dc PVc = 500 - 13,33

500 [ENTER] 13.33 [-]

PVc = R$ 486,6

Desconto Bancário

Desconto Bancário é quando se adiciona ao valor do desconto comercial (Dc) as taxas e/ou

impostos ( t ) cobradas pelos bancos e que incidem sobre o valor nominal do título ( FV ).

Db = Dc + t.FV Db = FV. i . n + t.FV Db = FV ( i.n + t )

PVb = FV - Db PVb = FV - FV( i.n + t ) PVb = FV [1- ( i.n + t )]

Exemplo 3: Uma empresa descontou uma duplicata de valor nominal R$ 300.000,00, 2 meses

antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5%a.m. O banco cobrou 1% de

taxa administrativa e mais 0,0041% a.d de IOF( Imposto sobre Operação Financeira), que

incidiram sobre o valor nominal do titulo. Determine o valor que foi depositado na conta da

empresa e qual a taxa efetiva da operação.

Dados:

FV = 300.000; i = 2,5% a.m = 0,0025 ; n = 2 ;

t1 = 1% = 0,01 ; t2 = IOF = 0,0041% = 0,000041

Solução:

Db = Dc + t1 FV + t2 FV

Db = 300.000. 0,025. 2 + 0,01. 300.000 + 0,000041. 60. 300.000

Db = 15.000 + 3.000 + 738 Db = 18.738

Como PVb = FV – Db PVb = 300.000 – 18.738

Resultado: PVb = R$ 281.262,00

Como a taxa efetiva é calculada pela fórmula:

i = [( FV / PV ) –1] / n

Temos: i = [ (300.000 / 281.262) – 1] / 2

Resultado: i = 3,33% a.m.

4.1.2- Exercícios Resolvidos de Descontos Simples

1. Uma Nota Promissória foi descontada a uma taxa de 2,50% a.m., com valor nominal de R$

80.000,00, sendo o valor recebido de R$ 68.000,00. Se a antecipação foi feita pelo critério de

desconto “por fora”, qual foi o prazo da antecipação?

Dados:

FV = 80.000; i = 2,5% a.m = 0,025 ; PV = 68.000; n = ? ;

Solução:

Da fórmula: PVc = FV ( 1 - i . n ) n = [ (1 – PVc / FV) ] / i

Então: n = [ (1 – 68.000 / 80.000) ] / 0,025 n = 6

Resultado: 6 meses

2. Um título foi descontado com uma taxa de 4% a.m., 60 dias antes de seu vencimento, através

de uma operação de desconto comercial simples. Se o valor recebido foi de R$ 40.000,00, qual

o valor nominal do título e qual o valor do desconto?

Dados: i = 4% a.m = 0,04 ; PV = 40.000; n = 60 dias n = 2 meses;

FV = ?; Dc = ?

Solução:

Da fórmula: PVc = FV ( 1 - i . n ) FV = PVc / ( 1 - i . n )

Então: FV = 40.000 / ( 1 – 0,04 . 2 ) FV = 43.478,26

Da fórmula: Dc = FV . i . n Dc =43.478,26. 0,04. 2 Dc = 3.478,26

Resultado:R$ 43.478,26 e R$ 3.478,26

3. Uma empresa deseja descontar duas duplicatas num banco que lhe oferece uma taxa de

desconto comercial simples de 2%a.m. Sabendo-se que a 1ª duplicata é de R$ 10.000,00 e

tem vencimento dentro de 3 meses e que a 2ª duplicata é de R$20.000,00 e tem vencimento

dentro de 6 meses. Determinar o valor a ser creditado pelo banco na conta da empresa.

Dados:

i = 2% a.m = 0,02 ; FV1 = 10.000; FV2 = 20.000; n1= 3meses;

n2 = 6 meses; PVc0 = Valor Atual das duas duplicatas ( Hoje ) ?

Solução:

Da fórmula: PVc = FV ( 1 - i . n )

Temos que: PVc1 = FV1 ( 1 - i . n1 ) e PVc2 = FV2 ( 1 - i . n2 )

Então:

PVc1 = 10.000 ( 1 – 0,02 . 3 ) PVc1 = 9.400

PVc2 = 20.000 ( 1 – 0,02 . 6 ) PVc2 = 17.600

Como: PVc0 = PVc1+PVc2 PVc0 = 9.400+17.600 PVc0 = 27.000


4. Um banco anuncia que sua taxa de juros é a menor do mercado, cobrando apenas 3% de taxa

administrativa. Exemplifica dizendo que, para 6 meses, um título de R$ 45.000,00, sofrerá um

desconto de apenas R$ 8.550,00. Qual é a taxa anual de desconto comercial considerada?

Dados:

t = 3% = 0,03; n= 3 meses; FV = 45.000; Db = 8.550

Solução:

Da fórmula: Db = FV ( i.n + t ) i = ( Db – FV.t ) / FV.n Logo: i = ( 8.550 – 45.000.

0,03 ) / 45.000.6 i = 0,0267 a.m

i = 0,0267. 12 i = 0,3204 a.a i = 0,3204.100 i = 32,04

Resultado: 32,04 % a.a.

5. O portador de um título de R$ 80.000,00 resolveu descontá-lo 4 meses antes do vencimento,

com desconto simples “por fora” de 3% ao mês, e aplicar a juros simples, o valor recebido a

uma taxa de 3,5% ao mês, pelo mesmo período. Fez ele bom negócio ou teria sido melhor

aguardar o vencimento do título? Justifique através de cálculos.

Dados:

FV = 80.000; n= 4 meses; i1 = 3% a.m = 0,03; i2= 3,5% a.m = 0,035

Solução:

Da fórmula: PVc = FV ( 1 - i . n ) PVc = 80.000 ( 1- 0,03. 4 )

PVc = 70.400

Aplicando esse valor à taxa de juros simples de 3,5% a.m ,obteremos: FV = PV ( 1 + i .n ) FV =

70.400 ( 1 + 0,035. 4) FV = 80.256

Resultado: Sim, pois o valor final obtido de R$80.256, é superior em R$ 256,00 aos R$

80.000,00 do título original.

4.2 - Descontos Compostos

4.2.1- Desconto Racional Composto

O desconto racional composto é calculado sobre o valor atual (presente) de um título, utilizando-

se do regime de capitalização composta. Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou

racional, ou “por dentro”) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o

valor presente (ou atual) de um título. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o

valor atual, resulta no valor futuro ( ou nominal ) do título.

Dr = FV – PV FV = PV + Dr

FV = PV ( 1 + I ) n PV = FV / ( 1 + I ) n

Logo:

Dr = PV ( 1 + I ) n – PV Dr = PV [ ( 1 + I ) n – I ]

PV = Dr / [ ( 1 + I ) n – I ]

Exemplo 1: O valor do desconto de uma nota promissória, que vence em 36 meses, é de R$

11.318,19. Admitindo-se que é utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional composto,

qual o valor nominal do título?

Dados:

Dr = R$ 11.318,19

i = 2 % a.m. = 0.02 a.m.

n = 36 meses;

FV = ?

Solução:

Pela fórmula: PV = Dr / [ ( 1 + I ) n – I ]

Temos que: PV = 11.318,19 / [ ( 1,02 )36 – I ]

11318.19 [ENTER] 1.02 [ENTER] 36 [yx] 1 [-] [÷]

PV = R$ 10.884,05

Como:

FV = PV + Dr FV = 10.884,05 + 11.318,19 FV = 22.202,24

Resultado: FV = R$ 22.202,24

Exemplo 2: Um título de R$60.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, a uma

taxa de juros compostos de 3% a.m. Determine o valor atual desse título segundo o critério

racional composto.

Dados:

FV = R$ 60.000,00

i = 3 % a.m. = 0.03 a.m.

n = 3 meses;

PV = ?


Pela fórmula: PV = FV / ( 1 + I ) n

Temos que: PV = 60.000 / ( 1,03)3

60000 [ENTER] 1.03 [ENTER] 3 [yx] [÷]

Resultado: PV = R$ 54.908,50

Solução com a HP-12C ( Financeira):

60.000 [ FV ] 3 [ n ] 3 [ I ] [ PV ] PV = 54.908,50

Resultado: PV = R$ 54.908,50

4.2.2- Desconto Comercial Composto

PV = FV ( 1 – i)n FV = PV / ( 1 – i )n

DC = FV – PV DC = FV [ 1 - ( 1 – i )n ]

Exemplo 1:

Uma duplicata no valor de R$28.800,00, com 120 dias para seu vencimento é descontada com

desconto comercial composto, a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na

conta e o valor do desconto concedido.

Solução:

PV = FV − DC = 28800 − 2773,79 = 26026,21 é o valor líquido creditado na conta.

Obs: Esse tipo de desconto não é muito utilizado em nosso País.

4.2.2- Exercícios Propostos de Descontos Simples e Compostos

1) Um título com valor de face ( valor nominal ) de R$ 270,00, foi resgatado racionalmente 2

meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 3 % a.m.. Qual o valor atual do título e

qual o valor do desconto? Resp: PVr= R$ 254,72 e Dr = R$ 15,28.

2) Uma promissória de valor nominal de R$ 500,00 foi resgatada comercialmente, 4 meses

antes de seu vencimento, à taxa simples de 8 % a.a.. Qual o valor do desconto e qual o valor

líquido recebido? Resp: Dc = R$ 13,33 e PVc = R$ 486,67

3) Um título foi descontado com uma taxa simples de 4% a.m., 60 dias antes de seu vencimento,

através de uma operação de desconto comercial. Se o valor recebido foi de R$ 40.000,00, qual

o valor nominal do título e qual o valor do desconto?

Resp: R$ 43.478,26 e R$ 3.478,26

4). Uma duplicata de R$ 80.000,00 foi descontada 6 meses antes do vencimento e o valor

recebido nesta data foi de R$ 68.000,00. Qual a taxa simples de desconto “por fora” da

operação? Resp: 2,50% a.m

5). O portador de um título de R$ 80.000,00 resolveu descontá-lo 4 meses antes do vencimento,

com desconto simples “por fora” de 3% ao mês, e aplicar a juros simples, o valor recebido a

uma taxa de 3,5% ao mês, pelo mesmo período.

Fez ele bom negócio ou teria sido melhor aguardar o vencimento do título? Justifique através de

cálculos. Resp: Sim, pois ao final das duas operações, recebeu R$80.256, ganhando então

R$256,00.

6) Uma pessoa aplicou o capital de R$12.000,00 em letras de câmbio para resgatar R$

13.260,00 após 90 dias. Quando faltavam 15 dias para o vencimento da letra, descontou-a, com

desconto comercial, à taxa de 4% ao mês, e depositou o valor apurado numa conta a prazo fixo,

com rendimento de 4,2% ao mês de juros simples, por 60 dias.

a) Qual foi seu rendimento (juros) considerando-se todas essas operações?

Resp: R$2.086,36

b) Qual a taxa mensal de juros simples que corresponde a esse rendimento? Resp: 3,86% a.m

7). Recebi uma quantia de R$ 109.500,00 de um banco que me resgatou, antes do vencimento,

duas letras de câmbio, de valores nominais iguais, vencíveis a 60 e 90 dias, respectivamente. Se

a taxa de desconto comercial foi de 3,5% ao mês, qual valor nominal de cada letra? Resp:

R$60.000,00

8) Dois títulos com prazo de 60 e 90 dias, respectivamente, foram descontados comercialmente à

taxa simples de desconto de 6% ao mês, produzindo os mesmos valores liberados para ambos os

títulos. Sabendo-se que a diferença entre o valor nominal do 1° e o valor do desconto do 2° é de

R$ 166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos. Resp: R$200.000,00 e R$186.363,64

9). Por um titulo de R$ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o valor liquido de R$

12.525,00. Se a taxa de juros for fixada em 27% a.a., existirá taxa de serviço cobrada no

desconto bancário?

Resp: Sim, 3%

10). Um título de R$ 90.000,00 é descontado por R$ 63.000,00 pelas regras do desconto

comercial simples. Sabendo-se que a taxa de desconto efetiva é de 6,1224% a.m., calcular a taxa

de desconto aplicada e o prazo da operação.

Resp; 4,2857% a.m. e 7 meses

11) Calcule o desconto de um título de valor nominal R$ 600,00, descontado 5 meses antes do

vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% a.m.

Resp.:R$ 106,84

12) Determine o valor do desconto racional composto de um título de R$ 40.000,00 com

vencimento no prazo de 85 dias, a uma taxa de juros compostos de 1% a.m.

Resp.: R$ 1.111,96

13) Uma empresa possui uma nota promissória com vencimento para 90 dias e valor nominal

igual a R$ 34.000,00. Se a empresa descontasse por dentro esse titulo a uma taxa de juros

compostos igual a 5% a.m., qual seria o valor líquido recebido?

Resp.: R$ 29.370,48

14) Uma nota promissória no valor de R$ 60.000,00 foi resgatada 68 dias antes do vencimento

com uma taxa de desconto por dentro de 15% ao ano. Determine o valor do principal dessa

operação no regime de juros compostos. Resp.: R$ 58.436,76

15) Uma duplicata no valor de R$ 8.000,00 foi descontada 4 meses antes do vencimento, a uma

taxa de desconto comercial composto igual a 3% a.m. Calcule o valor líquido da operação e o

desconto sofrido pelo título. Resp.: R$ 7.082,34 e R$ 917,66.

16) Um título com vencimento no prazo de 1 ano tem valor nominal de R$ 27.000,00. Sabendo-se

que esse título foi descontado 5 meses antes do seu vencimento, num banco que cobra 0,3% de

taxa administrativa e que a taxa corrente de desconto racional composto é de 2 % ao mês.

Quanto recebeu o proprietário do título?

Resp.: R$ 24.373,73.

FIM DO MÓDULO 04!

BONS ESTUDOS!

“Encontrar defeito é fácil, mas fazer melhor pode ser difícil”

( Plutarco )

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