Molas coxins - Dimensionamento dinâmico

Molas e Coxins de

Borracha Dimensionamento dinâmico

Valdemir José Garbim

www.cenne.com.br Página 2

1) Generalidades

O que foi apresentado até agora, nos mostra algumas formas e

sistemas básicos elementares de dimensionamento estático de molas e

coxins de borracha, em projetos de engenharia.

A borracha também é muito utilizada em peças sob solicitações

dinâmicas em máquinas, dispositivos, ferramentas, etc..., como molas ou

coxins para amortecimento de choques, impacto e vibrações.

Em molas e coxins de borracha para aplicações sob

solicitações de choques, seja com a função de amortecimento de pancadas,

o fenômeno da “HISTERESE”, desempenha um importante papel, pois

permite que ocorra um retardo na conversão da energia cinética para

energia potencial e, energia cinética novamente, absorvendo parte do

esforço solicitante.

Em solicitações cíclicas, como o caso de vibrações de baixa ou

alta freqüência, novamente a “HISTERÈSE” da borracha desempenha

importante função, pois permite que ocorra redução de amplitude evitando a

ressonância, bem como, modifica o ângulo de fase da oscilação vibratória, e,

muitas fezes até altera a freqüência da vibração que é transferida para a

estrutura do equipamento.

Adiante serão estudadas algumas questões básicas para

análise e dimensionamento de casos de molas ou coxins de borracha, sob

solicitações dinâmicas.


2) Choque Elástico

Choque elástico é um fenômeno de caráter oscilatório, durante

o qual a energia cinética Tco abaixo:

Tco = m . 2

2

se transforma em energia potencial Tpo , ( instante do choque) abaixo:

Tpo = P . f

(Tpo = energia absorvida pela mola)

a qual, novamente converte-se em energia cinética ao inverter o sentido do

movimento da massa “m”, solidária à mola (ex. bola que salta).

Se houver, devido a atritos ou deformações plásticas,

(deformações permanentes) absorção adicionais de energia,

(amortecimento, Histerese) a energia cinética restituída “Tr”, será menor

que a inicialmente aplicada.

A figura 18 a seguir, mostra a variação da deformação da mola

durante a solicitação de choque elástico.


Figura 18 – Variação da Deformação “f” de uma mola durante o choque

elástico

Observando a fig. 18 temos que, o tempo “ta“ é o tempo de

absorção do choque pela mola, este é compreendido entre o instante de

tempo “to“, da aplicação do choque e o instante que ocorre a inversão do

sentido do movimento da massa, (ponto 2) solidária à mola.

Podemos, todavia, expressar o período “ta”, em função do

período de uma oscilação completa “T”; desta forma temos:

= SEG. EQ. 39

O tempo de duração do choque elástico compreendido entre o

instante do tempo “ta“ da aplicação do choque, e o instante de tempo em

ta = T .

4


que a massa “m” se separa da mola (amplitude 0, ponto 3 da figura 18) é

expresso por:

= SEG. EQ. 40

Para um dado valor da energia de deformação “Tpo”, a força

“P”, aplicada no choque, será tanto maior quanto maior for o Coeficiente de

Rigidez “K” da mola, ou seja, quanto mais dura for a borracha cuja mola foi

confeccionada.

Para os cálculos de molas de borracha sob solicitação de

choque elástico, cuja característica de esforços é uma linha reta, como

mostrado na figura 19 abaixo, utiliza-se as equações a seguir:

Fig. 18 – Variação da Força “P” durante o choque elástico

Variação Linear com percursos de deformação “f” diferentes, porém,

com mesma energia solicitante.

tC = T .

2


As equações mostradas abaixo, definem dados e valores

necessários para os cálculos de dimensionamento de molas de borracha

solicitadas ao choque elástico.

2.1 - Energia de deformação Oriunda do Choque = “Tpo”

= Kgf.cm EQ. 41

= Kgf.cm EQ. 42

= Kgf.cm EQ. 43

2.2 – Máxima Força aplicada pelo choque = “PMAX.”

= Kgf EQ. 44

= Kgf EQ. 45

Tpo = M . V 2

2

Tpo = P . f

2

Tpo = K . f 2

2

PMAX = F . K

PMAX = M . V2

f


2.3 - Velocidade da Massa Solicitante no Ato do Choque = “V”

= cm/seg EQ 46

2.4 Coeficiente de Rigidez “K”

= Kgf/cm EQ. 47

2.5 Deformação Devido a Solicitação = “f”

= cm EQ. 48

2.6. Tempo para Absorção do Choque = “ta”

= SEG. EQ. 49

V = m.k.

K = PMAX.

f

f = m . V2

PMAX.

ta = T . 4


2.7 Período de Oscilação do Choque = “T”

= SEG. EQ. 50

2.8 Máximo Valor Absoluto da Desaceleração do Movimento da

Mola no Ato do Choque = “bv”

= cm/seg2 EQ. 51

= cm/seg2 EQ. 52

Nota 1: - Quando se calcular o valor da massa “m” usada nas equações

acima, utilizar a constante da aceleração da gravidade g = 981

cm/seg2, pois, todas as unidades de medida de comprimento,

distância, espaço, deslocamento, etc., estão em “cm”.

Nota 2: - Encontrados então, os valores básicos, pelas equações acima,

podemos partir para o dimensionamento estrutural das molas de

borracha, segundo as equações matemáticas mostradas no

capítulo anterior, “parte III”, “Dimensionamento Estático”,

observando sempre que a carga solicitante no choque é

carregamento de tração, compressão, cisalhamento (ou

cisalhamento devido torção).

T = 2. . k

m

bv = P . m

bv = V2 . f


TERMINOLOGIA

Tco = Energia cinética da massa em movimento = Kgf/cm

m = Massa do corpo = Kg

V = Velocidade do Movimento da Massa = cm/seg.

Tpo = Energia de Deformação oriunda do choque = Kgf/cm

P = Peso do corpo gerador de Tpo = Kgf

f = Alongamento (ou Encurtamento devido a carga = cm

t a = Tempo de absorção do choque pela mola = seg.

T = Período de tempo de uma oscilação completa = seg.

T c = Tempo de meio (1/2) ciclo de oscilação = seg.

PMAX= Máxima força aplicada no choque = Kgf

bv = Máximo valor absoluto de desaceleração do

mov. da mola = cm/seg2

g = Constante da aceleração da gravidade = 981 cm/seg2

3) Ressonância em Molas de Borracha

Antes de entrarmos especificamente nas informações básicas

dos sistemas de dimensionamento à ressonância de molas de borracha,

achamos interessante recordar rapidamente alguns conceitos básicos da

teoria da vibração.


3.1 – Teoria da Vibração Analisemos a figura 19 abaixo:

= Velocidade Angular ......................................... RAD/Seg.

T = Período .......................................................... Seg.

r = Amplitude ....................................................... cm

y 1 = Elongação ...................................................... cm

t = Intervalo de Tempo ........................................ Seg.

Consideremos uma partícula metálica Mo , descrevendo um

movimento contínuo em função do tempo.


Tal partícula “Mo” está em movimento uniforme e viaja numa

trajetória circular conforme mostrado na figura 19, com uma velocidade

angular = (rad.seg.)

3.1.1 - Velocidade Angular “”

= RAD./SEG. EQ. 53

Onde: - = Velocidade angular da partícula = rad/seg.

n = Número de rotação por minuto da partícula = rpm

Se a partícula “Mo” iniciar seu movimento partindo do ponto “a”,

conforme mostrado na figura 19, e exatamente no instante da partida

iniciarmos a contagem do tempo “t”, teremos então o espaço angular

percorrido pela partícula; podemos então escrever que:

3.1.2 - Espaço angular = “Sa”

= RAD. EQ. 54

= . n . 30

Sa = . t


onde:- Sa = Espaço angular percorrido pela partícula = rad

= Velocidade angular da partícula = rad/seg.

t = Tempo

Mas, quando a partícula “Mo” partiu do ponto “a”, este ponto “a”,

estava afastado do eixo das abcissas “xx”, de um ângulo “” (ver fig. 19).

Assim, se tomarmos como referência o eixo das abcissas “xx”, o espaço

angular percorrido pela partícula “Mo”, será:

3.1.3 – Espaço Total Percorrido “Sta”

= RAD EQ. 55

onde: = ângulo de afastamento do ponto “a”, relativo ao eixo das

abcissas “x x” = rad

Nota 1: - = O ângulo é comumente chamado de ângulo de fase.

Nota 2: - = Ao espaço angular “Sta” (Eq. 55), chamamos de fase do

movimento harmônico.

Sta x x = . t +


Observando a figura 19a , vemos que a partícula “Mo”, no ponto

em que se encontra, sobre sua trajetória, está distante de “y 1” do eixo “

x;x”, assim podemos dizer que tal distância “y 1”, mede:

3.1.4 Elongação - “y 1”

= cm. EQ. 56

Onde:

r = é o raio (ou amplitude) da trajetória circular = cm

y 1 = Distância (também chamada de elongação) = cm

Sabemos que a partícula “Mo” está em movimento uniforme,

sobre sua trajetória circular, logo, uma volta completa de “Mo” , corresponde

a um espaço angular de 2 .

Considerando o movimento circular da partícula “Mo” como na

função de elongação “y1” e do tempo “t”, sobre um par de eixos

coordenados, “x x” ; “y y”, obtemos o gráfico mostrado na figura 19 c,

assim, quando a partícula “Mo” percorrer uma volta completa, seja, um

y 1 = r . SEN. ( . t + )


espaço angular de 2 , com velocidade angular “” , diz-se que ocorreu

um ciclo completo de vibração, em um período de tempo T, portanto,

podemos escrever que:

3.1.5 - Período de Um ciclo Completo de Vibração = “T”

= SEG. EQ. 57

Onde:

T = Período de um ciclo completo de vibração = seg.

2 = Espaço angular de um ciclo = rad

= Velocidade angular = rad/seg

A quantidade de ciclos de vibração num intervalo de tempo de

um segundo (1 seg.), é chamado de “Freqüência de Vibração” ( também

pode ser chamado de Freqüência de Vibração Excitadora ), e é simbolizada

por “fe”, assim:

3.1.6 - Freqüência de Vibração Excitadora = “fe”

= HERTZ EQ. 58

= HERTZ EQ. 59

T = 2 . .

fe = 1 .

T

fe =

2


= HERTZ EQ. 60

onde:

fe = Freqüência de Vibração Excitadora = hertz

T = Período de um ciclo completo de vibração = seg.


n = Número de rotações por minuto = rpm

Portanto, pela equação eq. 56, podemos determinar a distância

entre a partícula “Mo” e o exio das abcissas x, x, (ver figura 19).

Como a partícula “Mo” está em movimento, a distância “y1”

(eq. 56) também se movimenta, e isto ocorre com uma velocidade que é

igual a derivada da distância “y1” (eq. 56), com relação ao tempo “t”, seja:

3.1.7 – Velocidade de Movimento de “y1” = “V”

= = cm seg.

EQ. 61

fe = n . 60

V = dy1

dt

V = r . . cos . (. T + )


A velocidade máxima da partícula “Mo”, é atingida quando essa

passa cortando a abcissa nos pontos 0 ou (ver fig. 19), pois, é nestes

pontos que:

cos . ( . t + ) = 1 ou -1

Porque:

. t + = 0 ou

Assim, com essas informações, podemos escrever a equação

que mostra a velocidade máxima “VMAX” atingida pela partícula “Mo”, seja:

3.1.8 - Velocidade Máxima da Partícula = “VMAX”

= cm / seg. EQ. 62

= cm / seg. EQ. 63

Nota 3 :- Convém também lembrar que a velocidade “V” da equação

EQ. 61, é a velocidade com que a partícula “Mo”, se afasta ou se

VMAX = r . . 1

VMAX = r . . (-1)


aproxima do ponto de referência, seja do eixo das abcissas “x, x”

(ver fig. 19c).

Simplificando, podemos dizer que “V” é a velocidade com que y1

aumenta ou diminui.

Como a partícula “Mo” desenvolve uma velocidade variável,

(conforme informa a nota 3 acima) se observarmos a fig. 19c, veremos que

essa variação ocorre acelerando-se quando a partícula se aproxima dos

pontos 0 e , e desacelerando-se quando a partícula se afasta de 0 e ,

aproximando-se dos pontos /2 e 3 /2.

Assim, se derivarmos a equação eq. 61, em função do tempo “t”,

conseguimos obter a aceleração ou desaceleração da partícula “Mo”, seja:

3.1.9 – Aceleração do Movimento = “ ac”

ac = dV = d2 y1 .

dt dt2

= cm / seg2

EQ. 64

ac = - r . . sen. ( . t + )


Onde:

ac = Aceleração da partícula ou da variação da elongação

y1 = cm/seg2

r = Amplitude máxima da vibração = cm


Mas se observarmos a equação eq. 56, podemos ver que:

y1 = r . sen ( . t + )

Assim, substituindo na eq. 64, temos:

3.1.10 – Aceleração do Movimento “ac”

= cm/seg2 EQ. 65

Portanto, pela equação eq. 65, podemos afirmar que a aceleração

“ac” com que a partícula “Mo”, se aproxima ou se afasta do eixo de

referência (abcissas de x x ), é proporcional à distância “y” , que essa

partícula “Mo” se encontra do mesmo eixo (x x).

ac = 2 . y 1


Desta forma, podemos afirmar que a aceleração “ac” será máxima,

quando a distância “y1” for igual a amplitude máxima “r”, seja:

3.1.11 – Aceleração Máxima do Movimento - “ac max”

= cm/ seg EQ. 66

Nota 4: - Devemos considerar que todo estudo desenvolvido acima, partiu

do princípio que inicialmente a partícula “Mo”, estava em

repouso, e somente depois de ter aplicado uma força excitadora

é que iniciou o movimento, dando origem a todo desenvolvimento

estudado.

3.2 - Freqüência Natural

Todo estudo desenvolvido acima (parte 3-1) está baseado em

movimentos cíclicos a partir de forças excitadoras.

Nas informações que estudaremos a seguir, nos basearemos

nas características dinâmicas intrínsecas dos corpos nas posições em que

estes se encontram e massa pertencentes a estes.

ac = 2 . r


Suponhamos agora, que uma partícula de massa “m”,

infinitamente pequena, pertence a uma barra metálica que tem Constante de

Rigidez é “k”.

Tal partícula de massa “m” que estava em repouso, sofreu uma

excitação por meio de uma “F”, obrigando-a a um deslocamento de

amplitude “y2”.

Então, pela teoria clássica dos materiais (lei de Hook), podemos

escrever que:

3.2.1 - Força Excitadora = “F”

= Kgf EQ. 67

Onde: - F = Força excitadora = Kgf

K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm

y2 = Amplitude do deslocamento = cm

F = K . y2 =


A ilustração da figura 20, abaixo, facilita a entender o exposto,

(teoria massa/mola) .

F = Força Excitadora

K = Coeficiente de Rigidez

Figura 20 – Posições relativas da massa em função do tempo a partir

da excitação

A partícula referida de massa “m”, uma vez em movimento,

obedece a Lei de Newton, que diz:

3.2.2 – Força Devido ao Movimento “F”

= Kgf EQ. 68

Onde: - F = Força devido ao movimento = Kgf

F = m . ac


m = Pp/g = massa da partícula = utm

ac = Aceleração do movimento = cm/seg2

Pp = Peso da partícula = Kg

g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg2

Assim, igualando as equações eq. 67 e eq. 68 temos:

F = K . y2 = F = m . ac

Logo: -

K . y2 = m . ac

Então: -

= cm / seg2 EQ. 69

Mas sabemos pela equação eq. 65, que:

ac = - 2 . y1

Como y1 e y2 significam a mesma coisa, a elongação

(deslocamento) podemos escrever que:

ac = K . y2

m


y1 = y2 = y

Então, igualando as equações Eq. 65 e Eq. 69 temos:

ac = - 2 . y = ac = K . y

m

Assim:-

- 2 . y = K . y

m

Portanto: -

K = - 2 . m

Mas, como todo número negativo elevado ao quadrado se

transforma em número positivo, podemos escrever que:


3.2.3 – Velocidade ou Freqüência Angular Natural “n”

= RAD./SEG EQ 70

= RAD/SEG EQ. 71

Nota 11: - Chamamos de velocidade ou freqüência natural, porque como

podemos observar pela equação, esta freqüência independe

de esforços externos seja, é intrínseca a massa do corpo e as

características mecânicas do mesmo (coef. de rigidez).

Onde: -

n = Freqüência angular natural = rad/seg


m = Massa da partícula (ou corpo) = utm

Pp = Peso da partícula (ou corpo) = Kg

g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg

n = m

K

n = P.o

K.g


Sabemos que, para que ocorra um ciclo completo de vibração,

é necessário um período de tempo T (ver fig. 20) e, pela equação 57, temos

que:

T = 2.

Assim, unindo as equações eq. 57 e a eq. 70, temos que:

T = 2 = 2 . 1 = 2 . k

m

m

k

m

k

Então, como estamos usando a freqüência angular natural,

escrevemos que:

3.2.4 - Período de um Ciclo de Freqüência Natural “Tn”

= SEG EQ. 72

Tn = 2 . k

m


Também já é de nosso conhecimento que, a freqüência

oscilatória, é a quantidade de ciclos de vibração ocorridos em um segundo

(1 seg.) , e a equação eq. 58, nos dá que:

fe = 1 .

T Como nesse caso o período “T” é oriundo da freqüência

angular natural, podemos escrever que:

3.2.5. Freqüência Oscilatória Natural = “fn”

fn = 1 . = 1 . = 1 . ... m

K

2 K

m

Assim: -

= HERTZ EQ. 73

fn = 1 . .m

K

Tn 2

2


Onde: -

fn = Freqüência oscilatória natural = hertz


m = Massa = Pp / g = utm

g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg 2

Tn = Período de um ciclo compl. da fre.nat. = seg.

Então, com as equações vistas acima, temos condições

básicas de calcular e determinar alguns dados para dimensionamento

simples a vibração de molas de borracha, pois, as freqüências naturais

podem ser facilmente calculadas quando é sabido os valores de “K” relativo

à borracha da mola e massa solicitante.

É bom lembrar que, sistemas de amortecimento o fator de

forma é de grande importância que seja considerado nos dimensionamentos.

3.3 - Simplificação das Equações eq. 70 e 73

Para facilitar a utilização das equações vistas acima, faremos

algumas simplificações básicas das equações eq. 70 e eq. 73; seja:

Sabendo que:

F = K . y


Portanto:

K = F .

y Chamemos y de f, que é a deformação (já visto)

Logo:

K = F .

Fff

Mas, temos também que:

n = m

K

Logo, podemos escrever que:

n = m

f

F

mas,

m = F . = P . g g


Consideremos F = P, porque P é o peso ou força sobre a mola,

assim, podemos escrever que:

n = P/g

P/f n =

P.f

P.g

assim:-

n = f

g =

f

g =

f

981

então:- = RAD/SEG ou CPS EQ. 74 Sabemos também que: -

= . n n = . 30

30

Podemos então escrever que:

nn = n . 30 = 31,32092 . 30

f

n = f

3l,32092


Então: - = RPM EQ 75 Também temos que:

fn = 1 . m

K = 1 . n

Logo, podemos escrever que: -

fn = 1___ . .. 31,32092

2 f Logo Temos: - = HERTZ EQ. 76

nn = f

299,093

fn = f

4,985

2 2


3.4 - Resumo das Equações Básicas

Freqüência Angular de Excitação = “e”

= RAD/SEG EQ 53

Rotação de Excitação = “ne”

= RPM EQ. 77

Período da Oscilação Excitadora “Te”

= SEG. EQ. 57

Freqüência de Oscilação Excitadora “fe”

= HERTZ EQ. 58

e = . ne

. 30

ne = e . 30 .

Te = 2 .

e

fe = 1 .

Te


= HERTZ EQ. 59

= HERTZ EQ. 60 Força de Excitação “Fe”

= Kgf EQ. 78

Freqüência Angular Natural = “n”

= RAD/SEG EQ. 70 = = RAD/SEG. EQ.71

fe = e .

2

fe = ne .

60

Fe = K . f

n = M

K

n = P

K.g


= RAD/SEG. EQ. 74 Período de Tempo para um Ciclo Completo de Vibração na

Freqüência Natural “Tn”

= SEG EQ. 72 = SEG EQ. 79

Freqüência Oscilatória Natural “fn”

= HERTZ EQ. 73 = HERTZ EQ. 76

n = f

31,32092

Tn = 2 . k

m

Tn = 1 .

fn

fn = 1 . . m

K

2

fn = f

4,985


Freqüência Rotacional Natural “nn”

= RPM EQ. 75

TERMINOLOGIA

e = Freqüência angular de excitação = rad/seg

ne = Rotação de Excitação = rpm

Te = Período de Oscilação excitadora = seg

fe = Freqüência de oscilação excitadora = hertz

Fe = Força excitadora = Kgf


f = Deformação devido a carga solicitante = cm

n = Freqüência angular natural = rad/seg

m = Massa do corpo solicitante (partícula) = utm

g = Aceleração da gravidade =981/cm/seg2

Pp = Peso do corpo solicitante = Kgf

Tn = Período de tempo para um ciclo completo de

Vibração na freqüência natural = seg

nn = f

299,093


3.4 - Análise de Dimensionamento à Vibração

Como podemos ver acima, todo sistema constituído de massa e

mola, (ex. máquina apoiada sobre coxins de borracha) é oscilante e, possui

sua própria freqüência natural, isto é, o número de oscilações que quando

excitado por uma solicitação externa, esse sistema efetua na unidade de

tempo.

Se tal excitação for aplicada com uma freqüência idêntica à

freqüência natural do sistema, ocorrerá um fenômeno chamado

“Ressonância”, que no caso da inexistência de amortecedores, o sistema

acaba por provocar oscilações de grandes amplitudes, sendo levado ao

colapso.

A “Ressonância” ocorre quando:

3.4.1 – Ressonância

EQ. 80

EQ. 81

e = 1

n

fe . = 1

fn


EQ. 82

Ao risco da “Ressonância”, estão sujeitas principalmente as

máquinas ou elementos de máquinas que desenvolvem movimentos cíclicos

de elevadas freqüências, ou que giram com elevadas rotações, assim, a

freqüência natural de cada elemento de máquina, deve portanto, ser

verificada.

Caso as ciclagens ou rotações das máquinas, não possam ser

mudadas, e exista o risco da “Ressonância“, a freqüência natural dos

elementos de máquinas de risco, deve portanto ser modificada, com

alteração da massa, forma geométrica, sistema de fixação, etc....

Anteriormente mencionamos que a “Histerese” da borracha,

evita a elevação da amplitude de vibração, atribuindo assim, segurança ao

sistema, porém, uma verificação no dimensionamento dinâmico das peças

componentes do sistema, é imprescindivelmente necessária.

Para que possamos atribuir valores básicos para o

dimensionamento do nível de segurança desejado, é mostrado abaixo a

“Tabela 2”, que é embasada na porcentagem de vibração transmitida “Vt”,

em função da razão definida pelas equações eq. 83, 84 e 85 abaixo:

(comprovada experimentalmente em laboratório).

ne . = 1

nn


3.4.2 – Razão da Vibração Transmitida “x”

EQ. 83 EQ. 84

EQ. 85

TABELA 2

Porcentagem de Vt em função de “x”

X Vt Amortecimento

%

1,000 Ressonância Colapso

1,414 100 % 0

1,500 80 % 20

2,000 33,4 % 66,6

3,000 12,5 87,5

4,000 7,0% 93

x = e

n

x = fe

fn

x = ne

nn


Assim, impondo-se uma vibração forçada excitadora ao sistema

de freqüência (e, fe, ne) conhecida, podemos através da “Tabela 2”,

verificar qual a porcentagem desta vibração excitadora, será transferida

para o sistema, e qual o amortecimento.

Ao contrário, se quisermos dimensionar uma mola ou coxim de

borracha, partindo da vibração excitadora, sob a garantia de uma

porcentagem de vibração transmitida “vt”, segura, podemos definir pela

“Tabela 2”, qual o valor da razão “X” e encontrar o valor da freqüência

natural que satisfaça a condição, usando-se as equações abaixo.

3.4.3 – Valor da Freqüência Natural

= RAD SEG EQ. 86

= HERTZ EQ. 87 = RPM EQ. 88

n = e

x

fn = fe .

x

nn = ne .

x


Então, uma vez encontrado o valor da freqüência natural

desejada, através das equações eq. 70, 71, 74 ou 73, 76 ou ainda eq. 75,

poderá ser definido qual a deformação “f”, que atenda tal condição, e em

seguida dimensionar a mola ou coxim por meio das equações de

dimensionamento estático da parte III desta literatura.

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