MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano...•Momento de Inércia –Inércia de um corpo ao giro –Resistência a alterar o movimento de giro –“I = A ∙ d2” Quanto maior o momento de

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Dr. Daniel Caetano

2018 - 2

MOMENTO DE INÉRCIA

Objetivos

• Apresentar os conceitos: – Momento de inércia: retangular e polar

– Produto de Inércia

– Eixos Principais de Inércia

• Calcular o momento de inércia para quaisquer eixos

• Determinar os eixos principais e calcular os momentos principais de inércia

Material de Estudo

Material Acesso ao Material

Apresentação http://www.caetano.eng.br/ (Resistência dos Materiais II – Aula 2)

Material Didático Resistência dos Materiais (Beer et al.), págs 728 a 732 Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs 570-576

Biblioteca Virtual “Resistência dos Materiais”

RELEMBRANDO:

“MEDINDO A FORMA”

Características das Figuras Planas

• Perímetro

• Área

• Momento Estático → cálculo do centroide

– O quão “simétrica” é a distribuição da área

Momento Estático

• Cálculo do Momento Estático

– Área x Distância até Eixo do Centro de Gravidade

𝑆𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝑆𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴

• Unidade S = [L3]

x

y

MOMENTO DE INÉRCIA

Momento de Inércia • Área

– Mede: quantidade de material

• Momento Estático (ou de 1ª Ordem)

– S = A ∙ d

– Mede a assimetria com relação a um eixo

– Objetivo: identificar o ponto de equilíbrio

– Isso é suficiente para descrever?

Momento de Inércia

• Momento de Inércia (ou de 2ª Ordem)

– “I = A ∙ d2”

– O que mede?

– O espalhamento da área com relação a um eixo

– Objetivo: ???

• Tem a ver com a inércia

Momento de Inércia

• Inércia:

– Tendência de manter estado de movimento

– Massa Inercial

– F = m . a

Momento de Inércia

• Momento de Inércia

– Inércia de um corpo ao giro

– Resistência a alterar o movimento de giro

– “I = A ∙ d2”

Quanto maior o momento de inércia, mais esforço necessário para colocar em movimento de giro

Momento de Inércia

• Diferença no giro pelo Momento de Inércia

Vídeo!

Pontociência - Um Momento na Cadeira.mp4

Pontociência - Um Momento na Cadeira.mp4

Momento de Inércia

• Região plana: várias direções possíveis

– No mesmo plano...

– Perpendicular ao plano...

MOMENTO RETANGULAR DE INÉRCIA

Momento Retangular de Inércia

• Ou simplesmente Momento de Inércia

𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝐼𝑦 = 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

• Importante nas flexões

• Sempre positivos! → Unidade I = [L4]

x

y

Momento de Inércia

• Será que dá pra simplificar?

– “Equação”: I = A.d2

– Será que funciona?

y

x

Ix = A.y2

h

b

Ix = b.h. (h/2)2

Ix = b.h.h2/4

Ix = b.h3/4


Momento de Inércia • Calculando pelo método da integral

y

h

b

x

dA


= 𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏

0

ℎ

0

=

dy

dx

y


y

h

b

x

dA

𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏

0

ℎ

0

=

dy

dx

𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏

0

ℎ

0

=

y


y

h

b

x

dA

dy

dx

𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝑥. 𝑑𝑦𝑏

0

ℎ

0

= 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ

0

=

y


y

h

b

x

dA

dy

dx

𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ

0

= 𝑏 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑑𝑦ℎ

0

=

y


y

h

b

x

dA

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟑

dy

dx

𝐼𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑑𝑦ℎ

0

= 𝑏 ∙𝑦3

3 ℎ0=

y

A2

Momento de Inércia

• Calcular por partes funciona?

A1

y

h

b/2

x

𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴1𝐴1

+ 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴2𝐴2

= 𝑏 ∙ ℎ3

6+𝑏 ∙ ℎ3

6= 𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟑

b/2

Momento de Inércia • Outro momento de inércia importante


=𝑏 ∙ ℎ3

12

y

h

b x

dA

y

Momento de Inércia • Como calcular por partes esse outro?

A2

A1

y

h

b2

x

b1

𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴1𝐴1

+ 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴2𝐴2

= 𝒃𝟏 ∙ 𝒉𝟑

𝟑+𝒃𝟐 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

EXERCÍCIO

Exercício

• Calcular Ix

2

6

2 4

x

y

6

2

4

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟑

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

Exercício

• Calcular Ix

6

2 4

x

2

y

6

2

4

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟑

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

EIXO CENTRAL DE INÉRCIA

Eixo Central de Inércia • As coisas em geral giram por um eixo...

– Que passa no centroide do corpo!

• Propriedades especiais

– Vamos ver mais adiante!

Eixo Central de Inércia • Calculando o M.I. do eixo central horizontal

y

h/2

b

dy

x

dA

h/2


= 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ/2

−ℎ/2

=𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

y

Eixo Central de Inércia • Calculando o M.I. do eixo central horizontal

y

h/2

b

x

dA

h/2


= 𝑦2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦ℎ/2

−ℎ/2

=𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

y

O eixo central, dentre os paralelos a ele, é o eixo de menor inércia

dy

Eixo Central de Inércia • Eixo Central

– Menor inércia entre os paralelos a ele

x

Ao afastar o eixo do centro, o momento de inércia sobe

+ +

EXERCÍCIO

Exercício

• Calcular Ix

4

8

4

x

2

4

2

y

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟑

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

Exercício

• Calcular Ix

4

8

4

x

2

4

2

y

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟑

𝒃 ∙ 𝒉𝟑

𝟏𝟐

MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

Momento Polar de Inércia

• Rotação em torno de um eixo que sai da tela

O



O



O



O


• Cálculo do Momento Polar de Inércia

𝐽𝑂 = 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

• Inércia relativa a um ponto (eixo que “sai” por ele)

• Importante nas torções

• Sempre positivo! → Unidade J = [L4]

O

ρ dA

Momento de Inércia

• Exemplo


y

ρ

x

dA

O

Momento de Inércia

• Exemplo

y

ρ

x

dA

O


= 𝝅 ∙ 𝑹𝟒

𝟐

R

EXERCÍCIO

Exercício

• Calcular Jo

4

x 2

y

O

RELAÇÃO MOMENTO POLAR X RETANGULAR DE INÉRCIA


• Relação com Momento de Inércia


y

ρ

x

x

O

y

𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2



y

ρ

x

x

O

y

𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2


𝐽𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝐴𝐴



𝐽𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝐽𝑂 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+ 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴



𝐽𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝐽𝑂 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+ 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝑱𝑶 = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

EXERCÍCIO

Exercício

• Calcular Jo

4

x

y

O

4

4 4

A INÉRCIA “MISTERIOSA”

A Inércia Misteriosa

• Se esses são momentos de inércia...


= 𝑦 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝐼𝑦 = 𝑥2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

= 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴

• O que seria isso?

𝐼𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴

Produto de Inércia

• Produto de Inércia: será usado depois


• Pode ser positivo ou negativo → [Ixy] = m4

x

y

Ixy < 0 Ixy > 0

Ixy < 0 Ixy > 0

Produto de Inércia

• Produto de Inércia: será usado depois


• Pode ser positivo ou negativo → [Ixy] = m4

x

y

Ixy < 0 Ixy > 0

Ixy < 0 Ixy > 0

Quando um dos eixos é de simetria, o

produto de inércia será sempre ZERO!

EXERCÍCIO

Exercício

• Calcular Ixy

7

x

y

O

3

5

4

5

4

PAUSA PARA O CAFÉ!

TRANSLAÇÃO DE EIXO NO MOMENTO DE INÉRCIA

• Momento de Inércia (Ix conhecido)

Translação de Eixos

y

x

x’

y

y'


𝐼𝑥′ = 𝑦′2 ∙ 𝑑𝐴𝐴



y

x

x’

y

y'



d

𝒚′ = (𝒚 + 𝒅)



y

x

x’

y

y'


𝐼𝑥′ = (𝒚 + 𝒅)2∙ 𝑑𝐴𝐴

d

𝒚′ = (𝒚 + 𝒅)


𝐼𝑥′ = (𝑦 + 𝑑)2∙ 𝑑𝐴𝐴

𝐼𝑥′ = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+ 2 ∙ 𝑑 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+ 𝑑2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

𝐼𝑥′ = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+ 2. 𝑑. 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+ 𝑑2. 𝑑𝐴𝐴

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨

Translação de Eixos 𝐼𝑥 = 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴

𝐴

• Como fica a translação se x for um eixo central?

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨

• Qual o valor de Sx nesse caso?

– Se x é central... Sx = 0

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝟐 ∙ 𝒅 ∙ 𝑺𝒙 + 𝒅𝟐 ∙ 𝑨

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐



• PRIMEIRO E ÚNICO MANDAMENTO

“Não transladarás eixo que não seja central!”

EXERCÍCIO

Exercício

• Calcular Ix

4

4

x

4

Translação de Eixos - Complemento

• Obviamente isso vale para x e y centrais:

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐

𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐

• Como Ix e Iy → eixos centrais, d → positivo

– Partindo do central, translação AUMENTA momento

• Se O é o centroide... também vale:

𝑱𝑶′ = 𝑱𝑶 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐

TRANSLAÇÃO DE EIXO NO PRODUTO DE INÉRCIA

Translação de Eixos • Pode-se demonstrar que se os eixos passam

pelo centroide, isso é válido...

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐

𝑰𝒚′ = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝟐

• Da mesma forma deduz-se que...

𝑰𝒙𝒚′ = 𝑰𝒙𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 ∙ 𝒅𝒚


• Qual o sinal de dx e dy?

𝑰𝒙𝒚′ = 𝑰𝒙𝒚 + 𝑨 ∙ 𝒅𝒙 ∙ 𝒅𝒚

• Referência: eixo destino da translação

• Exemplo

X

Y

x’

y'

Exercício

• Calcular Ixy

x

y

0,25m

0,10m

0,30m

0,10m

Exercício

• Calcular Ixy

x

y

0,25m

0,10m

A2

X’

Y’

A1

0,30m

0,10m

-0,25m

0,2m

IA2xy =

IA2xy = 0,3∙0,1∙ (-0,25)∙ 0+ 0,2 = -1,5 ∙10-3 m4

IA1xy = 0 m4

IA2x’y’ +A2∙dx∙dy

Exercício

• Calcular Ixy

IA1xy = 0

IA2xy = -1,5∙10-3 m4

x

y

0,25m

0,10m

A2

A3

X’

Y’ A1

0,30m

0,10m

IA3xy =

IA3xy = 0,3∙0,1∙ 0,25∙ -(0,2) = -1,5 ∙10-3 m4

IA3x’y’ +A3∙dx∙dy 0+

0,25m

-0,2m

Exercício • Calcular Ixy

IA1xy = 0

IA2xy = -1,5∙10-3 m4

IA3xy = -1,5∙10-3 m4

• Ixy = IA1xy +IA2xy +IA3xy =

= 0 -1,5 ∙10-3 -1,5 ∙10-3 = -3,0 ∙10-3 m4

x

y

0,25m

0,10m

A2

A3

A1

0,30m

0,10m

ROTAÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA

Rotação de Eixos • Conhecidos Ix, Iy e Ixy

x

y


• Como calcular Ix’, Iy’ e Ix’y’?

x

y

θ


• Como calcular Ix’, Iy’ e Ix’y’?

• x’ = x.cos θ + y.sen θ

• y’ = y.cos θ - x.sen θ

• Realizando a integral de Ix’ e Iy’...

x

y

θ

dA


𝐼𝑦′ = 𝑥′2 ∙ 𝑑𝐴𝐴

Rotação de Eixos • Relações:

𝑰𝒙′ = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

𝟐+𝑰𝒙 − 𝑰𝒚

𝟐∙ cos 𝟐𝜽 − 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽

𝑰𝒚′ = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

𝟐−𝑰𝒙 − 𝑰𝒚

𝟐∙ cos 𝟐𝜽 + 𝑰𝒙𝒚 ∙ sin 𝟐𝜽

𝑰𝒙′𝒚′ = 𝑰𝒙 − 𝑰𝒚

𝟐∙ sin 𝟐𝜽 + 𝑰𝒙𝒚 ∙ cos 𝟐𝜽

Jo permanece o mesmo!

x

y

θ

dA

Por quê?

ENCONTRANDO EIXOS DE MAIOR E MENOR INÉRCIA

Eixos de Maior e Menor Inércia

• Maior momento de inércia: maior resistência

– Máximo I, máxima resistência à flexão


• Para um dado centro de inércia O...

• ...existem infinitos pares de eixos

• Um deles: máximo e mínimo momentos Ix e Iy

x

y

O


• Para um dado centro de inércia O...

• ...existem infinitos pares de eixos

• Um deles: máximo e mínimo momentos Ix e Iy

• De especial interesse: O no centroide

x

y

O


• Como encontrar eixos de máximo e mínimo? a) Calcula-se Ix, Iy e Ixy para eixos convenientes

b) Verifica-se este ângulo:

• Se θp for 0, são eixos de máximo e mínimo – Recebem o nome de eixos principais

• Se θp não for 0, θp indica a rotação necessária

𝜽𝒑 =

𝒂𝒕𝒂𝒏𝟐 ∙ 𝑰𝒙𝒚𝑰𝒚 −𝑰𝒙

𝟐

Eixos Centrais de Maior e Menor Inércia

• Se θp não for 0, θp indica a rotação necessária

• Pode-se calcular os novos máximos e mínimos

𝑰𝒎𝒂𝒙 =𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

𝟐+

𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

𝟐

𝟐

+ 𝑰𝒙𝒚𝟐

𝑰𝒎𝒊𝒏 =𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

𝟐−

𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

𝟐

𝟐

+ 𝑰𝒙𝒚𝟐

Eixos Centrais e Figuras Simétricas

• Se eixos são centrais e figura tem simetria...

Ixy = 0

• Qual o valor θp de, nesse caso?

𝜽𝒑 =


𝟐

Nesse caso: qualquer eixo central é também um eixo principal!

EXERCÍCIO

Exercício

• Verifique se os eixos são eixos principais

4

4

x

4

y

𝜽𝒑 =


𝟐

PARA TREINAR

Para Treinar em Casa

• Mínimos:

– Exercícios A.2 a A.6

– Exercício A.11

EXERCÍCIO NO SAVA

Exercício – SAVA – Individual

• Calcule o Ix, o Iy e o Ixy no centroide

• Verifique se esses já são os eixos principais

• Se não forem, determine-os e seus Ix, Iy e Ixy.

6

4 4

2

x

y

8

2,5

3,5

CONCLUSÕES

Resumo • Momento de Inércia e Momento Polar de Inércia

• Produto de Inércia

• Eixos Centrais de Inércia

• Translação e Rotação de Eixos

• Eixos Principais de Inércia

• Exercitar: Exercícios Hibbeler / Mat. Didático

• Onde entra a resistência? – Vamos começar pelos esforços axiais

– Tração e Compressão

PERGUNTAS?

EXERCÍCIO EM SALA

Exercício – Individual, para Agora!

• Calcule Ix da figura abaixo

8

8

4

3

x 3

Documents

MOMENTO DE NÉRCIA - Caetano...•Momento de Inércia –Inércia de um corpo ao giro –Resistência a alterar o movimento de giro –“I = A ∙ d2” Quanto maior o momento de