RESISTNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2012 - 2
MOMENTO DE INRCIA
Objetivos
Apresentar os conceitos: Momento de inrcia
Momento polar de inrcia
Produto de Inrcia
Eixos Principais de Inrcia
Calcular propriedades geomtricas com relao a quaisquer eixos
Determinar os eixos principais e calcular os momentos principais de inrcia
Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Notas de Aula http://www.caetano.eng.br/ (Aula 2)
Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Aula 2)
Material Didtico Resistncia dos Materiais (Beer, Johnston, Dewolf), pginas 728 a 732
Resistncia dos Materiais (Hibbeler)
Biblioteca Virtual, pginas 570 a 576.
http://www.caetano.eng.br/aulas/gec/http://www.caetano.eng.br/http://www.caetano.eng.br/
RELEMBRANDO:
A FORMA D O TOM
Caractersticas das Figuras Planas
Permetro
rea
Momento Esttico clculo do centride
Momento de Inrcia...
Mas antes, vamos relembrar um pouco!
Momento Esttico
Clculo do Momento Esttico
=
=
Momentos Estticos y
h
b
x
= 2
2 =
2
2
y
h
b
x
= 2
6 =
2
6
r x
= 3 = 0
y
Distncia ao Centro de Gravidade y
h
b
x
= =
2 = =
2
y
h
b
x
r x
y
= =
3 = =
3
= = = = 0
Distncia ao Centro de Gravidade
r x
y
= =4
3 = = 0
r x
y
= =4
3 = =
4
3
MOMENTO DE INRCIA
Momento de Inrcia
Momento Esttico (ou de 1 Ordem)
S = A d
Mede ao da distribuio de massa de um corpo
Momento de Inrcia (ou de 2 Ordem)
Mede a inrcia de um corpo
Resistncia a ser colocado em movimento
Massa x Momento de Inrcia
I = A d2
Momento de Inrcia
Clculo do Momento Retangular de Inrcia
= 2
= 2
Sempre positivos! Unidade I = [L4]
Momento de Inrcia
Exemplo
= 2
= 2
0
= 3
3
y
h
b
x
dA dy
y
A2
Momento de Inrcia
Se houvesse duas reas, resultado igual
= 2
1
+ 2 2
= 2
2
0
+ 2
2
0
=
= 3
6+ 3
6=
A1
y
h
b
x
Outro Exemplo
dA = f(y) dy
f(y) =
= 2
= 2 (
)
0
= ( 2 3
)
0
= 3
12
Momento de Inrcia
y
h
b x
dA dy
f(y)
E nesse outro caso?
= 2
1
+ 2 2
=
+
A2
Momento Esttico
A1
y
h
b2
x
b1
EIXO CENTRAL DE INRCIA
Eixo Central de Inrcia Eixo Central de Inrcia
Passa pelo centride do corpo
Exemplo
= 2
= 2 /2
/2
= 3
12
y
h/2
b
x
dA dy
h/2
Eixo Central de Inrcia Eixo Central de Inrcia
Passa pelo centride do corpo
Exemplo
= 2
= 2 /2
/2
= 3
12
y
h/2
b
x
dA dy
h/2
O eixo central, dentre os paralelos a ele, o eixo de menor inrcia
MOMENTO POLAR DE INRCIA
Momento Polar de Inrcia
Clculo do Momento Polar de Inrcia
= 2
Inrcia relativa a um ponto
Importante nas tores
Sempre positivo! Unidade J = [L4]
Exemplo
= 2
= 2 2
0
= 4
2
Momento de Inrcia
y
x
dA
d r O
Momento Polar de Inrcia
Relao com Momento de Inrcia
2 = 2 + 2 = (2 + 2)
y
x
x
O
y
Momento Polar de Inrcia
Relao com Momento de Inrcia
= (2 + 2)
= 2
+ 2
= +
PRODUTO DE INRCIA
Produto de Inrcia
Se isso momento de inrcia...
= 2
= 2
O que seria isso?
=
Produto de Inrcia
Produto de Inrcia: ser usado depois
=
Pode ser positivo ou negativo [Ixy] = m4
x
y
Ixy < 0 Ixy > 0
Ixy < 0 Ixy > 0
Produto de Inrcia
Produto de Inrcia: ser usado depois
=
Pode ser positivo ou negativo [Ixy] = m4
x
y
Ixy < 0 Ixy > 0
Ixy < 0 Ixy > 0
Quando um dos eixos de simetria, o
produto de inrcia ser sempre ZERO!
TRANSLAO DE EIXO NO MOMENTO DE INRCIA
Translao de Eixos Momento de Inrcia (Ix conhecido)
= ( + )2
y
h
b
x
x
y
d
Translao de Eixos Momento de Inrcia (Ix conhecido)
= ( + )2
= 2
+ 2
+ 2
= + +
Se x era o eixo que passa pelo centride...
= +
Translao de Eixos
Analogamente, para x e y passando pelo centride
= +
= +
Como Ix e Iy eixos centrais, d positivo
E tambm... se O o centride...
= +
Calcular Ix
6
7
4
4
Exerccio
x 1,5
Calcular Ix - medidas em metros
Ix = IA1x + IA2x + IA3x
Ix = 113
3+223
12+2 2 2 +
333
3
Ix = 1,563
3+ 42
3
12 4 2 52 +
1,563
3 = 749,3 m4
A2
A1
6
7
A3 4
4
Exerccio
x 1,5
5
TRANSLAO DE EIXO NO PRODUTO DE INRCIA
Translao de Eixos
Pode-se demonstrar que se os eixos passam pelo centride, isso vlido...
= +
= +
Da mesma forma deduz-se que...
= +
Calcular Ixy
Exerccio
x
y
250mm
100mm
400mm
Calcular Ixy
IA2xy = 0
IA1xy = IA1xy +A1dxdy
= 0 + 300 100 (-250) 200 = -1,5 109 mm4
IA3xy = IA3xy +A3dxdy
= 0 + 300 100 250 (-200) = -1,5 109 mm4
Exerccio
x
y
250mm
100mm
400mm
A1
A3
A2
X
Y
Calcular Ixy
Ixy = IA1xy +IA2xy +IA3xy =
= 0 -1,5 109 -1,5 109 = -3,0 109 mm4
Exerccio
x
y
250mm
100mm
400mm
A1
A3
A2
X
Y
ROTAO DE EIXOS DE INRCIA
Conhecidos Ix, Iy e Ixy
Como calcular Ix, Iy e Ixy?
x = x.cos + y.sen
y = y.cos - x.sen
dIx = y2.dA
dIy = x2.dA
Realizando a integral de dIx e dIy...
Rotao de Eixos
x
y
dA
Relaes:
= +
+
cos sin
= +
cos + sin
=
sin + cos
Jo permanece o mesmo!
Rotao de Eixos
x
y
dA
EIXOS PRINCIPAIS E MOMENTOS PRINCIPAIS
Para um dado centro de inrcia O...
...existem infinitos pares de eixos
Um deles: mximo e mnimo momentos Ix e Ix
Eixos Principais e Momentos Principais
x
y
O
Para um dado centro de inrcia O...
...existem infinitos pares de eixos
Um deles: mximo e mnimo momentos Ix e Ix Em geral: considera-se o O no centride
Eixos Principais e Momentos Principais
x
y
O
Eixos Principais e Momentos Principais
Um desses pares: momento mximo x mnimo
Podemos achar esse par de eixos
Basta derivar dIx/d = 0
= +
+
cos sin
Chegando seguinte equao:
tan =
Eixos Principais e Momentos Principais
Essa equao:
tan =
Tem duas raizes:
/ = +
+
+
Momentos Principais
Eixos Principais e Momentos Principais
E o ngulo pode ser calculado por:
=
Se eixos cruzam no centride, Ixy = 0!
Nesse caso, eixos principais eixos centrais...
EXERCCIO
Calcule o Ix, o Iy e o Ixy no centride
Verifique se esses j so os eixos principais
Se no forem, calcule-os
7
4 4
Exerccio (Em Dupla)
2
x
y
8
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa
Hibbeler (Bib. Virtual), Pg. 578 e 579
Mnimos:
Exerccios A.2 a A.6
Exerccio A.11
Extras:
Exerccios A.7 a A.10, A.12 a A.15 e A.17
CONCLUSES
Resumo
Momento de Inrcia e Momento Polar de Inrcia
Produto de Inrcia
Eixos Centrais de Inrcia
Translao de Eixos
Rotao de Eixos
Eixos Principais de Inrcia
Exercitar Exerccios Hibbeler / Material Didtico
Prxima Aula
E a resistncia?
Esforos Axiais
Trao e Compresso
PERGUNTAS?
BOM DESCANSO A TODOS!
