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MOMENTO DE NÉRCIA - PDF filegeométricas com relação a ... calcular os momentos principais de inércia . Material de Estudo Material Acesso ao Material ... Características das

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  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS II

    Prof. Dr. Daniel Caetano

    2012 - 2

    MOMENTO DE INRCIA

  • Objetivos

    Apresentar os conceitos: Momento de inrcia

    Momento polar de inrcia

    Produto de Inrcia

    Eixos Principais de Inrcia

    Calcular propriedades geomtricas com relao a quaisquer eixos

    Determinar os eixos principais e calcular os momentos principais de inrcia

  • Material de Estudo

    Material Acesso ao Material

    Notas de Aula http://www.caetano.eng.br/ (Aula 2)

    Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Aula 2)

    Material Didtico Resistncia dos Materiais (Beer, Johnston, Dewolf), pginas 728 a 732

    Resistncia dos Materiais (Hibbeler)

    Biblioteca Virtual, pginas 570 a 576.

    http://www.caetano.eng.br/aulas/gec/http://www.caetano.eng.br/http://www.caetano.eng.br/

  • RELEMBRANDO:

    A FORMA D O TOM

  • Caractersticas das Figuras Planas

    Permetro

    rea

    Momento Esttico clculo do centride

    Momento de Inrcia...

    Mas antes, vamos relembrar um pouco!

  • Momento Esttico

    Clculo do Momento Esttico

    =

    =

  • Momentos Estticos y

    h

    b

    x

    = 2

    2 =

    2

    2

    y

    h

    b

    x

    = 2

    6 =

    2

    6

    r x

    = 3 = 0

    y

  • Distncia ao Centro de Gravidade y

    h

    b

    x

    = =

    2 = =

    2

    y

    h

    b

    x

    r x

    y

    = =

    3 = =

    3

    = = = = 0

  • Distncia ao Centro de Gravidade

    r x

    y

    = =4

    3 = = 0

    r x

    y

    = =4

    3 = =

    4

    3

  • MOMENTO DE INRCIA

  • Momento de Inrcia

    Momento Esttico (ou de 1 Ordem)

    S = A d

    Mede ao da distribuio de massa de um corpo

    Momento de Inrcia (ou de 2 Ordem)

    Mede a inrcia de um corpo

    Resistncia a ser colocado em movimento

    Massa x Momento de Inrcia

    I = A d2

  • Momento de Inrcia

    Clculo do Momento Retangular de Inrcia

    = 2

    = 2

    Sempre positivos! Unidade I = [L4]

  • Momento de Inrcia

    Exemplo

    = 2

    = 2

    0

    = 3

    3

    y

    h

    b

    x

    dA dy

    y

  • A2

    Momento de Inrcia

    Se houvesse duas reas, resultado igual

    = 2

    1

    + 2 2

    = 2

    2

    0

    + 2

    2

    0

    =

    = 3

    6+ 3

    6=

    A1

    y

    h

    b

    x

  • Outro Exemplo

    dA = f(y) dy

    f(y) =

    = 2

    = 2 (

    )

    0

    = ( 2 3

    )

    0

    = 3

    12

    Momento de Inrcia

    y

    h

    b x

    dA dy

    f(y)

  • E nesse outro caso?

    = 2

    1

    + 2 2

    =

    +

    A2

    Momento Esttico

    A1

    y

    h

    b2

    x

    b1

  • EIXO CENTRAL DE INRCIA

  • Eixo Central de Inrcia Eixo Central de Inrcia

    Passa pelo centride do corpo

    Exemplo

    = 2

    = 2 /2

    /2

    = 3

    12

    y

    h/2

    b

    x

    dA dy

    h/2

  • Eixo Central de Inrcia Eixo Central de Inrcia

    Passa pelo centride do corpo

    Exemplo

    = 2

    = 2 /2

    /2

    = 3

    12

    y

    h/2

    b

    x

    dA dy

    h/2

    O eixo central, dentre os paralelos a ele, o eixo de menor inrcia

  • MOMENTO POLAR DE INRCIA

  • Momento Polar de Inrcia

    Clculo do Momento Polar de Inrcia

    = 2

    Inrcia relativa a um ponto

    Importante nas tores

    Sempre positivo! Unidade J = [L4]

  • Exemplo

    = 2

    = 2 2

    0

    = 4

    2

    Momento de Inrcia

    y

    x

    dA

    d r O

  • Momento Polar de Inrcia

    Relao com Momento de Inrcia

    2 = 2 + 2 = (2 + 2)

    y

    x

    x

    O

    y

  • Momento Polar de Inrcia

    Relao com Momento de Inrcia

    = (2 + 2)

    = 2

    + 2

    = +

  • PRODUTO DE INRCIA

  • Produto de Inrcia

    Se isso momento de inrcia...

    = 2

    = 2

    O que seria isso?

    =

  • Produto de Inrcia

    Produto de Inrcia: ser usado depois

    =

    Pode ser positivo ou negativo [Ixy] = m4

    x

    y

    Ixy < 0 Ixy > 0

    Ixy < 0 Ixy > 0

  • Produto de Inrcia

    Produto de Inrcia: ser usado depois

    =

    Pode ser positivo ou negativo [Ixy] = m4

    x

    y

    Ixy < 0 Ixy > 0

    Ixy < 0 Ixy > 0

    Quando um dos eixos de simetria, o

    produto de inrcia ser sempre ZERO!

  • TRANSLAO DE EIXO NO MOMENTO DE INRCIA

  • Translao de Eixos Momento de Inrcia (Ix conhecido)

    = ( + )2

    y

    h

    b

    x

    x

    y

    d

  • Translao de Eixos Momento de Inrcia (Ix conhecido)

    = ( + )2

    = 2

    + 2

    + 2

    = + +

    Se x era o eixo que passa pelo centride...

    = +

  • Translao de Eixos

    Analogamente, para x e y passando pelo centride

    = +

    = +

    Como Ix e Iy eixos centrais, d positivo

    E tambm... se O o centride...

    = +

  • Calcular Ix

    6

    7

    4

    4

    Exerccio

    x 1,5

  • Calcular Ix - medidas em metros

    Ix = IA1x + IA2x + IA3x

    Ix = 113

    3+223

    12+2 2 2 +

    333

    3

    Ix = 1,563

    3+ 42

    3

    12 4 2 52 +

    1,563

    3 = 749,3 m4

    A2

    A1

    6

    7

    A3 4

    4

    Exerccio

    x 1,5

    5

  • TRANSLAO DE EIXO NO PRODUTO DE INRCIA

  • Translao de Eixos

    Pode-se demonstrar que se os eixos passam pelo centride, isso vlido...

    = +

    = +

    Da mesma forma deduz-se que...

    = +

  • Calcular Ixy

    Exerccio

    x

    y

    250mm

    100mm

    400mm

  • Calcular Ixy

    IA2xy = 0

    IA1xy = IA1xy +A1dxdy

    = 0 + 300 100 (-250) 200 = -1,5 109 mm4

    IA3xy = IA3xy +A3dxdy

    = 0 + 300 100 250 (-200) = -1,5 109 mm4

    Exerccio

    x

    y

    250mm

    100mm

    400mm

    A1

    A3

    A2

    X

    Y

  • Calcular Ixy

    Ixy = IA1xy +IA2xy +IA3xy =

    = 0 -1,5 109 -1,5 109 = -3,0 109 mm4

    Exerccio

    x

    y

    250mm

    100mm

    400mm

    A1

    A3

    A2

    X

    Y

  • ROTAO DE EIXOS DE INRCIA

  • Conhecidos Ix, Iy e Ixy

    Como calcular Ix, Iy e Ixy?

    x = x.cos + y.sen

    y = y.cos - x.sen

    dIx = y2.dA

    dIy = x2.dA

    Realizando a integral de dIx e dIy...

    Rotao de Eixos

    x

    y

    dA

  • Relaes:

    = +

    +

    cos sin

    = +

    cos + sin

    =

    sin + cos

    Jo permanece o mesmo!

    Rotao de Eixos

    x

    y

    dA

  • EIXOS PRINCIPAIS E MOMENTOS PRINCIPAIS

  • Para um dado centro de inrcia O...

    ...existem infinitos pares de eixos

    Um deles: mximo e mnimo momentos Ix e Ix

    Eixos Principais e Momentos Principais

    x

    y

    O

  • Para um dado centro de inrcia O...

    ...existem infinitos pares de eixos

    Um deles: mximo e mnimo momentos Ix e Ix Em geral: considera-se o O no centride

    Eixos Principais e Momentos Principais

    x

    y

    O

  • Eixos Principais e Momentos Principais

    Um desses pares: momento mximo x mnimo

    Podemos achar esse par de eixos

    Basta derivar dIx/d = 0

    = +

    +

    cos sin

    Chegando seguinte equao:

    tan =

  • Eixos Principais e Momentos Principais

    Essa equao:

    tan =

    Tem duas raizes:

    / = +

    +

    +

    Momentos Principais

  • Eixos Principais e Momentos Principais

    E o ngulo pode ser calculado por:

    =

    Se eixos cruzam no centride, Ixy = 0!

    Nesse caso, eixos principais eixos centrais...

  • EXERCCIO

  • Calcule o Ix, o Iy e o Ixy no centride

    Verifique se esses j so os eixos principais

    Se no forem, calcule-os

    7

    4 4

    Exerccio (Em Dupla)

    2

    x

    y

    8

  • PARA TREINAR

  • Para Treinar em Casa

    Hibbeler (Bib. Virtual), Pg. 578 e 579

    Mnimos:

    Exerccios A.2 a A.6

    Exerccio A.11

    Extras:

    Exerccios A.7 a A.10, A.12 a A.15 e A.17

  • CONCLUSES

  • Resumo

    Momento de Inrcia e Momento Polar de Inrcia

    Produto de Inrcia

    Eixos Centrais de Inrcia

    Translao de Eixos

    Rotao de Eixos

    Eixos Principais de Inrcia

    Exercitar Exerccios Hibbeler / Material Didtico

  • Prxima Aula

    E a resistncia?

    Esforos Axiais

    Trao e Compresso

  • PERGUNTAS?

  • BOM DESCANSO A TODOS!

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