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Apostila que aborda Momentos de Primeiro Ordem, Segunda Ordem (Momentos de Inércia), Momentos Polares, Tensões e aplicações na Engenharia Civil
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Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
FEG - UNESP
Departamento de Engenharia Civil
Momentos de Inércia Raphael Bastos, graduando de Engenharia Civil
Guaratinguetá
Outubro de 2009
Momentos de 1ª Ordem e 2ª Ordem
Considere adiante algumas deduções de fórmulas de tensões, deformações,
deslocamentos e em deduções em Teoria das Estruturas aparecem algumas
quantidades eminentemente dependentes de geométricas e relações em
funções do posicionamento a um certo eixo. Definimos as quantidades que
serão usadas nas formulações.
Momentos Estático
1. Definições
Definimos como momento estático de uma área em relação a um eixo, a
integral,
xdQ ydA ydQ xdA
x
A
Q ydA (Eixo x) y
A
Q xdA (Eixo y)
O uso dos momentos estáticos é importante no cálculo de forças cortantes por
carregamentos transversais.
Conforme a posição do elemento de área dA em relação ao eixo podemos ter
que,
Q < 0
Q = 0: Quando y coincide com a coordenada do centróide x ou y
Q > 0
Quando Q = 0, o eixo corresponde ao eixo baricêntrico, ou seja, o eixo em que
passa o centro de gravidade da área da figura. Para determinar o centro de
gravidade de uma seção podemos considerar que o momento estático em
relação a um determinado eixo seja igual a 0, sendo que no centro de
gravidade temos a posição por onde passa a força resultante.
Exemplo 1.1
Seja o retângulo de base b e altura h, determine o momento estático em
relação ao eixo x que passa pela base.
Respostas
Seja o elemento de área dA, tal que, como a variável em que integramos será
y, vamos considerar que a base b não varia, portanto, y varia de 0 a h,
dA bdy
Portanto, o momento estático é,
0
0
2
0
1|
2
x
A
h
x
h
x
h
x
Q ydA
Q ybdy
Q b ydy
Q b y
21
2xQ bh
Exemplo 1.2
Seja o triângulo de base b e altura h, determine o momento estático em relação
ao eixo x que passa pela base.
Respostas
O elemento de área vai variar até a altura h, como a base varia, podemos
expressar a variação da base em função da variação da altura, usando
semelhança de triângulos.
Considerando que a altura do triângulo de h, seja o elemento de área dA,
localizado a uma altura y, temos que o elemento de área de base b´ e altura dy,
temos que, a altura do triângulo formado por b´ é h-y, portanto,
´dA b dy
Usando semelhança de triângulos,
´
´
b b
h y h
bb h y
h
O elemento de área portanto, está em função de y,
bdA h y dy
h
O momento estático é,
0
0
2
0
2 3
0
3 3
3
1 1|
2 3
1 1
2 3
1
6
x
A
h
x
h
x
h
x
h
x
x
x
Q ydA
bQ y h y dy
h
bQ y h y dy
h
bQ hy y dy
h
bQ hy y
h
bQ h h
h
bQ h
h
21
6xQ bh
2. Eixos de Simetria
Podemos observar que para figuras com eixo de simetria, o eixo
baricêntrico corresponde a esse eixo de simetria, portanto, se tivermos
infinitos eixos de simetria, teremos infinitos eixos baricêntricos.
Exemplo 2.1
Seja um triângulo de base b e altura h, determine o eixo baricêntrico em
relação a base b.
Respostas
O eixo baricêntrico em relação a base b é y que determinaremos
considerando que o momento estático seja 0, portanto, usando semelhança
de triângulos, conseguiremos determinar o elemento de área dA em função
da altura, considerando que a base b´ tem altura y, temos que,
2
2
´
´
0
0
x
A
h y
x
y
h y
x
y
x
h y
y
b b
h y
bb y
h
bdA ydy
h
Q ydA
bQ y ydy
h
bQ y dy
h
Q
y dy
3
hy
3 Momento Estático de uma área em relação a um eixo
Seja uma área A e um eixo paralelo a x, distante d do centro de gravidade da
área. Para determinarmos o momento estático dessa área, temos que,
y d y
Portanto, o momento estático é,
x
A
x
A
x
A A
x
A
Q ydA
Q d y dA
Q ddA ydA
Q d dA
xQ Ad
Momentos de Inércia
1. Introdução e Definições
Ao analisarmos a distribuição de forças ou tensões em elementos
estruturais, como vigas e seções transversais, é comum encontramos um
tipo de integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de
área. Essa integral é chamada Momento de Inércia ou Momento de
Segunda Ordem, tal que o momento de inércia tem usos na análise
estrutural, mecânica dos fluidos entre outros.
Para exemplificar, vamos considerar uma viga sob ação de momento M e
tensão, tal que as forças aplicadas estão comprimindo a viga, conforme
mostrado na figura.
Considerando que a força aplicada esteja a uma
altura y do eixo x, temos que,
R
R
A
R
A
dF kydA
F dF
F kydA
F k ydA
A integral A
ydA se refere ao centro de gravidade
da viga, isso, ao momento estático, tal que,
0
RF k ydA
y
Conforme visto, temos que a viga está em equilíbrio de forças, analisando o
momento que atua na viga,
2
2
A
A
M ydF
M ky dA
M k y dA
Portanto, conforme falado anteriormente,temos uma integral que relaciona o
quadrado da posição com o elemento de área, isso é o momento de Inércia.
Nos resta definir esse conceito de momento de inércia.
Seja a área A, situada no plano xy, definimos como momento de inércia de um
elemento de área dA, em relação aos eixos xy, como sendo 2
xdI y (em
relação ao eixo x) e 2
ydI x (em relação ao eixo y). Portanto integrando as
funções, temos que,
2
x
A
I y dA (em relação ao eixo x)
2
y
A
I x dA (em relação ao eixo y)
Podemos expressar o momento de inércia de outras formas, na forma polar ou
na forma de integral dupla.
Forma Polar
A forma polar é usada quando se quer analisar barras sob torção ou elementos
estruturais que tendam a ter torção.
Para o cálculo do momento de inércia polar,
consideraremos os eixos xy, tal que, o elemento
de área dA, está distante de da origem.
Conforme visto o momento de inércia relaciona o
quadrado da posição com o elemento de área.
Como a posição é , temos que, o momento de
inércia polar, 0J ,
2
0
A
J dA
Mas, se quisermos relacionar as posições em x,y, temos que,
2 2 2
2
0
2 2
0
2 2
0
A
A
A A
x y
J dA
J x y dA
J x dA y dA
Como as integrais são o momento de inércia em relação a x e y,
0 x yJ I I
O momento polar de inércia é, portanto, a soma dos produtos de inércia em
relação aos eixos x e y.
Forma de Integral Dupla
Uma forma de determinarmos o momento de inércia é usarmos integrais
duplas, sendo que, esse processo é usado quando tivermos uma região
definida no plano, como em figuras geométricas (como triângulos, quadrados e
outros).
Para tanto, consideremos, a região limitada por {( , ) | 0 ,́0 ´}D x y x x y y ,
sendo x´ pode ser função de y ou um ponto na região e y´ pode ser função de x
ou um ponto na região, tal que,
´´
2
0 0
´´
2
0 0
yx
x
yx
y
I y dxdy
I x dxdy
Exemplo 1.1
Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h, em
relação ao eixo x.
Repostas
Como a base é b e a altura é h, temos que a região
é {( , ) | 0 ,0 }D x y x b y h , portanto, o momento de inércia em relação ao
eixo x é,
2
0 0
2
0 0
3
0
3
1
3
1
3
b h
x
b h
x
b
x
x
I y dxdy
I y dy dx
I h dx
I bh
Então, um retângulo qualquer tem momento de inércia(em relação ao eixo x),
31
3xI bh
Exemplo 1.2
Determinar o momento polar de inércia para uma seção circular de raio r.
Respostas
Podemos considerar um elemento circular, distante do centro, tal que, a
distância desse elemento percorre do centro até o a distância do raio r e
considerando que o ângulo percorrido é de 2 . Temos que, a região é
{( , ) | 0 ,0 2 }D r , portanto,
2
2
0
0 0
r
J dA
Usando o jacobiano (transformação de sistema de
coordenadas), temos que,
2
2
0
0 0
2
3
0
0 0
2
4
0
0
4
0
. .
. .
.
1
4
12
4
r
r
dA d d
J d d
J d d
J r d
J r
4
04
J r
2. Teorema dos Eixos Paralelos
Quando queremos determinar o momento de inércia, muitas vezes é
necessário analisarmos o momento de inércia em uma geometria particular
do elemento estrutural, visto que normalmente, os momentos de inércia são
calculados tendo como referencial eixos traçados usando o centróde. Para
termos práticos, o teorema dos eixos paralelos é usado para o cálculo do
momento de inércia quando temos translação de eixos coordenados.
Para o cálculo do momento de inércia usando o elemento de área dA,
localizado em (x´,y´) tendo como referencial o centróide que dista d da
origem.
A localização do elemento dA é, portanto,
( ´ , ´ )dA x x y y
Para o momento de inércia em relação a x,
temos que, o elemento de momento de inércia
é,
2
´xdI y y dA
O momento de inércia, portanto, é,
2
22
22
´
´ 2. .́
´ 2 ´
x
A
x
A
x
A A A
I y y dA
I y y y y dA
I y dA y y dA y dA
Como ´A
y dA é o momento estático de x´ em relação ao centróide, mas
como, x´ passa no centróide temos que o momento estático é 0, portanto,
22´x
A A
I y dA y dA
Como a primeira integral é o momento de inércia de x´ em relação ao
centróide, temos que,
2
´x xI I Ay
Podemos deduzir analogamente as expressões para o momento de inércia em
relação a y,
2
´y yI I Ax
Na forma polar, analogamente, a expressão deve manter a forma, portanto,
temos a expressão,
2
0 CJ J Ar
3. Raio de Giração
Definimos como raio de giração de uma área A, em relação a um eixo x,
conhecido o momento de inércia em relação a esse eixo, temos que,
2
2
x x
xx
I i A
Ii
A
xx
Ii
A
Para o eixo y, temos a expressão,
y
y
Ii
A
Se for conhecido o momento polar de inércia, temos a expressão para o raio de
giração,
00
Ji
A
Exercícios
Definições
1) Determine o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h,
em relação ao eixo x´ do centróide (considere o eixo x´, o
eixo que passa pelo centro de gravidade, como
mostrado).
(Resposta: 3´
1
12xI bh ¨)
2) Determine o momento de inércia para um triângulo de base b e altura h
em relação ao eixo x.
(Resposta: 3´
1
12xI bh )
Figura 1 - Problema 1
3) Determine o momento polar de inércia de um semi círculo de raio r.
(Resposta: 4
0
1
4J r )
4) Determine o momento polar de inércia de uma elipse com pólo medindo
a e vértice (semi eixo menor) b e pólo (semi eixo maior) a em relação ao
centro.
(Resposta: 2 2
0
1( )
4J ab a b )
5) Determine o momento de inércia da figura mostrada, em relação ao eixo
x e ao eixo y.
(Resposta: 3
21x
abI e
3
5y
a bI )
Teorema dos Eixos Paralelos
6) Determine o momento de inércia da área abaixo da curva na figura
mostrada em relação ao eixo y.
(Resposta: 6 49,25.10yI mm )
7) Determine os momentos de inércia da figura mostrada em relação
ao baricentro, considerando que 2 x yI I e que o momento polar
de inércia no ponto A é 6 422,5.10AJ mm .
(Resposta: 6 41,5.10xI mm e 6 43.10yI mm )
8) Determine o momento polar de inércia da figura mostrada em relação ao
centro O e ao centróide.
(Reposta: 6 4150,5.10 mm e 6 431,8.10 mm )
Figura 2 - Problema 5
Figura 3 - Problema 6
Figura 5 - Problema 7 Figura 4 - Problema 8
Raio de Giração
9) Determine o momento polar de inércia de um triângulo eqüilátero de lado
a e o seu raio de giração em relação a um dos vértices.
(Resposta: 4
0
7 3
96J a e 2
0
7
24i a )
10) Determine o momento polar de inércia e o raio polar de giração na
figura mostrada em relação ao ponto médio do menor lado e do
maior lado.
(Resposta: 4
0 0
17 17,
6 12J a i a e 4
0 0
4 2,
3 3J a i a )
4. Produto Inércia
Definimos como produto de inércia a integral definida por,
xy
A
I xydA
Conforme a posição do sistema de referência em relação a área, o produto de
inércia pode ser negativo, 0 ou positivo.
Podemos expressar o produto de inércia usando os eixos baricêntricos, se
considerarmos que o elemento de área está distante y´ do eixo x e x´ do eixo
y , temos que,
´
´
x x x
y y y
O produto de inércia é,
Figura 6 - Problema 10
´ ´
´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´
´ ´ ´
xy
A
xy
A
xy
A
xy
A A A A
xy
A A A A
I xydA
I x x y y dA
I x y xy x y x y dA
I x ydA xy dA x ydA x y dA
I x ydA y xdA x ydA x y dA
Como o momento estático em relação a um baricentro é 0, temos que,
´ ´xy x yI I x y A
5. Rotação de Eixos
Seja uma área A e um sistema de referência xy, sendo conhecidos os
valores dos momentos de inércia de x e y em relação a um sistema de
referência e sendo conhecido o produto de inércia de x e y, podemos
determinar o produto de inércia em um sistema de referências que tenha
rotação.
Considerando que a origem dos sistemas de referências sejam iguais e que
o sistema de referência uv, o sistema que tenha tido rotação, teve uma
rotação de em relação aos eixos xy, temos que,
cos sin
sin cos
u x y
v x y
O momento de inércia e o produto de inércia em uv é,
2
2
u
A
v
A
uv
A
I v dA
I u dA
I uvdA
Considerando as transformações de base, temos que, para o momento de
inércia em relação a v,
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
sin cos
sin 2 sin cos cos
sin 2 sin cos cos
sin 2sin cos cos
sin 2sin cos cos
u
A
u
A
u
A
u
A A A
u
A A A
u y xy x
I v dA
I x y dA
I x xy y dA
I x dA xy dA y dA
I x dA xydA y dA
I I I I
2 2sin sin 2 cosu y xy xI I I I
O momento de inércia em relação a v é,
2
2
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
cos sin
cos 2 sin cos sin
cos 2 sin cos sin
cos 2sin cos sin
cos 2sin cos sin
v
A
v
A
v
A
v
A A A
u
A A A
u y xy x
I u dA
I x y dA
I x xy y dA
I x dA xy dA y dA
I x dA xydA y dA
I I I I
2 2cos sin 2 sinu y xy xI I I I
O produto de inércia é,
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
cos sin sin cos
sin cos cos sin sin cos
sin cos cos sin
sin cos cos sin
sin cos cos sin
uv
A
uv
A
uv
A
uv
A
uv
A A
uv x y xy
I uvdA
I x y x y dA
I x xy xy y dA
I x y xy dA
I x y dA xydA
I I I I
Temos que,
1sin 2 cos2
2uv x y xyI I I I
6. Círculo de Mohr
Podemos rearranjar as expressões dos momentos de inércia em u e v e o
produto de inércia de uv, considerando as transformações trigonométricas,
1 1cos2 sin 2
2 2u x y x y xyI I I I I I
Para v,
1 1cos2 sin 2
2 2v x y x y xyI I I I I I
O produto de inércia é,
1sin 2 cos2
2uv x y xyI I I I
As equações de uI e vI são equações paramétricas de uma circunferência,
sendo que, para o par de valores podemos ter os pontos em um gráfico do
sistema, independentemente do valor de .
Para termos a relação entre uI e vI , temos que, sendo o momento polar de
inércia,
0
0
x y
u v
J I I
J I I
x y u vI I I I
Elevando ao quadrado e somando as equações de uI e uvI , temos que,
2 2
2 21 1
2 2u x y uv x y xyI I I I I I I
Considerando,
1
2méd x yI I I
A equação fica,
22 2 21
2u méd uv x y xyI I I I I I
Como as equações para métricas de uma circunferência são da forma,
2 2 2
0 0x x y y r
O raio da circunferência da equação é,
2
21
2x y xyr I I I
Portanto, a equação paramétrica da circunferência é,
2 2 2
u méd uvI I I r
A equação representa uma circunferência de raio r, centro em C, sendo
abscissa médI , tal que, permite determinar os valores dos momentos de
inércia uI e vI e o produto de inércia uvI de um sistema de referência uv,
rotacionado de um ângulo , usando um sistema de referência Oxy, sendo
conhecido os momentos de inércia e o produto de inércia.
Percebemos que então, ao variar o ângulo , os valores de uI , vI e uvI
variam, portanto, dessa forma devem existir valores extremos (mínimo e
máximo) em um determinado ângulo , sendo que esses valores mínimos e
máximos são conhecidos como Momentos Principais de Inércia e que os
eixos correspondentes aos momentos, são conhecidos como Eixos
Principais de Inércia.
A construção gráfica (feita por Mohr) permite observar a variação dos
momentos de inércia uI , vI , determinar os momentos principais de inércia
e os eixos principais de inércia.
Considerando um sistema de referência onde nas abscissas os momentos
de inércia são colocados e nas ordenadas temos os produtos de inércia,
sendo conhecidos ,x yI I e xyI em uma certa figura de área A em relação a
um sistema Oxy.
No sistema de referência marcamos os pontos X ( xI , xyI ) e Y ( yI , - xyI ),
sendo que os pontos X e Y são unidos por uma reta, passando pelo centro
C, centro de um círculo que tem os pontos x e y.
A distância entre OC ¨, corresponde ao valor de médI que vale,
1
2méd x yI I I
A distância CX ( ou CY ) corresponde ao raio do círculo e vale,
2
21
2x y xyr I I I
Seja o ponto B, a intersecção do círculo com o eixo das abscissas,
portanto,
mínI OB
Como,
médOB I r
Portanto, o valor do momento mínimo de inércia é,
mín médI I r
2
21 1
2 2mín x y x y xyI I I I I I
Seja o ponto A, a intersecção do círculo com o eixo das abscissas,
portanto,
mínI OA
Como,
médOA I r
Portanto, o valor máximo de inércia é,
mín médI I r
2
21 1
2 2mín x y x y xyI I I I I I
Considerando o ângulo ˆXCA , temos que a tangente é,
1
2
1
2
xy
x méd
xy
x x y
xy
x y
Itg
I I
Itg
I I I
Itg
I I
O ângulo é 2 máx , portanto,
21
2
xy
máx
x y
Itg
I I
Portanto o sentido de rotação para o ângulo é horário, sendo que podemos
usar do Círculo de Mohr para termos relações de um problema.
7. Tensão Normal na Flexão Pura
Dizemos que uma barra está sujeita a flexão pura quando a barra não está
sujeita a esforços externos fora o momento fletor. Portanto, o diagrama de
momento fletor não varia.
Seja portanto, uma barra sujeita a flexão pura, determinaremos as tensões
normais ao longo da altura da secção gerada pelo momento fletor, assumindo
as hipóteses,
Depois da aplicação do momento fletor a barra sofre pequenas
deformações
As tensões geradas estão dentro do regime elástico, seguindo a Lei
de Hooke E , sendo que as tensões geradas não deve passar o
limite de proporcionalidade prop .
7.1 Regime Elástico
Aquele onde ao cessar o carregamento as tensões voltam a ser 0 e não
ocorrem deformações desiguais.
Consideramos que o comportamento do material a compressão é igual a
tração, portanto, comp traçãoE E e a hipótese de Navier Bernoulli que a seção
plana antes da deformação é plana depois da deformação.
Seja portanto uma barra sujeita a flexão pura fletida considerando uma
barra de eixo reto, temos que,
´ ´
AB
r
AB r
C D CD
CD
y
y
A expressão evidencia que a variação de deformação das fibras ao longo
da altura é linear sendo que não temos deformações no eixo e as
deformações são estremas nos bordos.
Considerando o a lei de Hooke,
E
y
Considerando uma seção sujeita a um momento fletor, sendo que, a
aplicação do momento M em uma área dA tem uma tensão , a seção
deve estar em equilíbrio, portanto,
0
0
0
0
0
0
R
A
A
A
A
F
dF
dF
dA
dF dA
dA
ydA
ydA
ydA
O eixo é baricêntrico, como temos o momento fletor na barra,
2
2
2
A
A
dM ydF
dM y dA
ydM y dA
dM y dA
M y dA
M y dA
M I
M Iy
My
I
Temos que, portanto,
A variação de tensão normal é linear
O eixo onde as tensões e deformações são 0, é a linha de referência
Na linha de referência a tensão normal é 0 na barra
A máxima tensão está na fibar mais externa em relação a linha de
referência, sendo que para um momento negativo a segunda fibra
exterior estará sujeita a máximo tração e ao menor valor de y, para
um momento positivo a primeira fibra superior estará sujeita a
compressão e ao maior valor de y
8. Módulo Resistente Elástico W
Por vezes, o interesse maior, principalmente no dimensionamento de
estruturas, são os valores das tensões extremas. Considerando a
expressão da tensão normal na flexão de uma seção, a tensão varia
conforme a posição da fibra referenciada por y, portanto, as tensões
extremas ocorrem onde os valores de y são máximos, nas fibras dos
bordos,
máx
máx máx
y y
My
I
Definimos como módulo resistente elástico,
máx
IW
y
A tensão máxima é,
máx
M
W
O parâmetro W varia conforme a forma geométrica da seção transversal,
sendo que a análise do sentido do momento fletor e da fibra temos se a
tensão é de compressão ou tração.
Para seções que o eixo de simetria fornecem alturas iguais, temos que os
parâmetros e as tensões entre as fibras são iguais.
Algumas siderurgias fornecem parâmetros geométricos de tipos de perfil,
como a área A, o momento de inércia I, os raios de giração
correspondentes e os módulos resistentes elásticos.
8.1 Relação entre curvatura e momento fletor
Podemos ter uma relação entre o momento fletor e o raio de curvatura,
sendo que, y
e M
yI
, temos que,
M
I
Como, E ,
ME
I
ME
I
1 M
EI
9. Tensão Combinada
A tensão combinada é definida como a tensão normal gerada por carga
concentrada e pela tensão normal gerada pela flexão.
Elementos estruturais são solicitados a esforços combinados a
carregamento axial (compressã ou tração) e momento fletor, estruturas de
cobertura e pilares são exeplos disso. Cada esforço gera tensão normal na
seção e se a tensão máxima combinada não passar do limite de
proporcionalidade podemos compor diagramas.
Se tivermos uma carga normal excêntrica podemos ter que o efeito é o
mesmo do que o de uma carga normal centrada e um momento fletor igual
ao produto da carga vezes a excentricidade, colocando na direção do efeito
excêntrico da carga, podemos fazer a mesma análise.
Na combinação do esforço normal com o momento fletor temos que o
esforço normal de compressão com momento fletor é a flexo compressão e
o esforço normal e tração é a flexo tração, sendo que a combinação de
esforço normal e momento fletor considerada na tensão combinada é
importante na análise da combinação de efeitos na seção e no elemento
que consideramos..
