Monografia 2016 1 Trigonometria

8/16/2019 Monografia 2016 1 Trigonometria

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I.E.P. IEDUBER

TRIGONOMETRIAESTUDIO MONOGRAFICO

AUTOR:Ulises A. Chamba Ruiz

DOCENTE:

Oscar Berris

GRADO:

!"

NI#E$:

Secu%&aria

SU$$ANA ' ()*+De&ica"riaDe&ic es"e "raba, a las -ers%as ue me ha% a/u&a&

e% la elabraci0% &e es"e "raba, c% la i%1rmaci0% lae2-licaci0% c% ls -ass a3ra&esc al -r1essr OscarBerris -r e%se4ar%s a elabrar u%a m%3ra1ia -asa -as5 -r "e%er%s -asie%sia / crre3ir%s e% l ue%s eui6cams.



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LA TRIGONOMETRIA

I%&iceI%"r&ucci0% Pa3. )7

Ob,e"i6s Pa3. )8 El M6imie%" Pa3. )!9*! C%clusi%es Pa3. *+ Re1ere%cia Bibli3ra1icas Pa3. *

A%e2s Pa3. *;9*<



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LA TRIGONOMETRIA

I. INTRODUCCI=NEs"e "raba, ha si& ech c% la 1i%ali&a& &e &ar a c%cer sbre >Tri3%me"r?a

e% la 1isica eleme%"al@ Se &e%mi%a %3ul a la secci0% &el -la% ue ue&acm-re%&i&a e%"re &s semirrec"as ue s ue se ri3i%a% e% u% mism -u%"5 /es"% clca&as e% &is"i%"as &irecci%es. El -u%" e% ue se i%icia% las semirrec"asse &e%mi%a 6r"ice &el %3ul e% "a%" ue ca&a u%a &e las semirrec"as ue l&elimi"a%5 se &e%mi%a% la&s &el %3ul.Se &e1i%e ue u% %3ul es -si"i6 cua%& se mi&e e% el se%"i& c%"rari a lasa3u,as &el rel, "ambi% llama& se%"i& a%"i hrari5 se%"i& le603ir se%"i&&irec"5 / -r l "a%" es %e3a"i6 si se mi&e e% se%"i& c%"rari5 es &ecir5 e% elmism se%"i& ue las a3u,as &el rel, se%"i& hrari5 se%"i& &e2"r03ir i%&irec". E% u% sis"ema &e e,es car"esia%s5 se "ma -r c%6e%ci0% ue5 ls%3uls se mi&e% &es&e el e,e -si"i6 &e las abscisas e% se%"i& c%"rari a las

a3u,as &el rel,. E% 3e%eral ls %3uls se &e%"a% c% le"ras 3rie3as. E2is"e%&is"i%"s sis"emas &e me&ici0% &e %3uls &e ma%era a%l3a a la ue e2is"e%&is"i%"s sis"emas -ara me&ir5 -r e,em-l5 &is"a%cias: millas5 il0me"rs5 le3uas5e"c.. $s sis"emas ue 6erems e% es"e curs ser% el sis"ema se2a3esimal5 elsis"ema hrari / el sis"ema circular.



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LA TRIGONOMETRIA

II. OBETI#OS

Ob,e"i6s Ge%eral

I&e%"i1icar las 6ariables ue &escribe% la "ri3%me"r?a.

Ob,e"i6s es-ec?1ics

Di1ere%ciar e%"re sis"ema se2a3esimal



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LA TRIGONOMETRIA

III. MARCO REFERENCIA$

III.*. Bases Te0ricas

$a "ri3%me"r?a

*. Sis"ema se2a3esimal.9 E% es"e sis"ema u%a 6uel"a cm-le"a eui6ale a 7+) 3ra&s. Es" se&e%"a: 7+)H. $ue35 7 8 &e 6uel"a eui6ale a ()H5 * ( &e 6uel"a eui6ale a*;)H / * 8 &e 6uel"a eui6ale a <)H.$as 1racci%es &e 3ra& s% ls mi%u"s / ls se3u%&s5 es" uiere &ecir

ue: u% 3ra& eui6ale a +) mi%u"s5 * H +)J5 / * mi%u" eui6ale a +)se3u%&s5 * J +)JJ.De es"e m& -&ems escribir u% %3ul &e &s 1rmas eui6ale%"es:cm 1racci0% &e 3ra& l -&ems e2-resar e% 3ra&s5 mi%u"s /se3u%&s.E,em-l: Su-%3ams ue uerems escribir el %3ul K L 8(H 7)J *!JJcm 1racci0% &e 3ra&. Para hacer es" "e%ems ue 6er a cu%"s 3ra&seui6ale% 7)J *!JJ.E%"%ces5 u"iliza%& las eui6ale%cias &a&as a%"erirme%"e "e%ems ue:+)JJ * J *!JJ 2 L⇒ 2 L *!JJ. * J +)JJ L ). J(! As? e%c%"rams ue *!JJ ).J(!. Ahra "e%ems ue K L 8(H 7). J(!.

Fi%alme%"e5 -ara -asar &e mi%u"s a 1racci0% &e 3ra& hacems el mism-rce&imie%" ue realizams reci%: +)J * H 7). J(! 2 L⇒ 2 L 7). J(! . *H +)J L ). H!)8*+

(. Sis"ema hrari.9E% es"e sis"ema u%a 6uel"a cm-le"a eui6ale a (8 hras.Es" se &e%"a: (8h. $ue35 7 8 &e 6uel"a eui6ale a *;h5 * ( &e 6uel"aeui6ale a *(h / * 8 &e 6uel"a eui6ale a + h.$as 1racci%es &e hra "ambi% s% ls mi%u"s / ls se3u%&s5 es" uiere&ecir ue: u%a hra eui6ale a +) mi%u"s5 * h +)m5 / * mi%u" eui6alea +) se3u%&s5 * m +)s.

De es"e m& -&ems escribir u% %3ul &e &s 1rmas eui6ale%"es:cm 1racci0% &e hra l -&ems e2-resar e% hras5 mi%u"s /se3u%&s.E,em-l: Su-%3ams ue uerems escribir el %3ul K L 8(h 7)m *!scm 1racci0% &e hra.U"iliza%& el mism -rce&imie%" ue e% el e,em-l &el sis"emase2a3esimal b"e%ems ue K L 8(h 7)m *!s L 8(. h!)8*+.Para es"e cas las calcula&ras % "ie%e% u%a 1u%ci0% es-ec?1ica5 -er cmlas 1racci%es &e hra / &e 3ra& s% eui6ale%"es5 -ara "raba,ar e% es"esis"ema la calcula&ra &ebe es"ar e% la 1u%ci0% &e3. $a &i1ere%cia es"ar e% ue si es"ams "raba,a%& e% el sis"ema hrariu% %3ul &e (!h eui6ale a u% &?a / u%a hra5 (!h * & * h 5 mie%"ras



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LA TRIGONOMETRIA

ue e% el sis"ema se2a3esimal u% %3ul &e 7+*H eui6ale a u%a 6uel"a / u%3ra& -er el %3ul se si3ue escribie%& cm 7+*H .7. Sistema circular.-

E% es"e sis"ema u%a 6uel"a cm-le"a eui6ale a ( ra&ia%es. Es" se &e%"a: ( ( ra&. E% 3e%eral e% es"e sis"ema % se escribe lau%i&a&5 es &ecir ue u% %3ul &e ( ra&ia%es se e2-resa cm (.$s ra&ia%es se escribe% cm u% %mer real5 las 1racci%es &e ra&ia%es% "ie%e% u%a %"aci0% -ar"icular.Es im-r"a%"e recr&ar ue cua%& es"ems "raba,a%& e% es"as u%i&a&esla calcula&ra &ebe es"ar e% la 1u%ci0% ra& ra&ia%es.Para &e1i%ir cu%" mi&e u% ra&i% -rimer &ebems &e1i%ir la l%3i"u&&e arc. Se &e1i%e la l%3i"u& &e arc5 $5 cm u% "ram &e la l%3i"u&""al &e la circu%1ere%cia.Para calcular es"a l%3i"u& hacems el si3uie%"e raz%amie%": si u%a6uel"a cm-le"a5 es &ecir u% %3ul &e ( ra&ia%es eui6ale a la l%3i"u&

""al &e la circu%1ere%cia5 (r5 e%"%ces u% %3ul K eui6ale a u%al%3i"u& $. Pr l "a%": ( K L ( r $ Des-e,a%& $ b"e%ems ue: $ LK r * De au? -&ems &e1i%ir cu%" mi&e u% ra&i%.U% ra&i% se &e1i%e cm el %3ul -ara el cual la l%3i"u& &e arc5 $5 esi3ual al ra&i5 r5 &e la circu%1ere%cia.

8. C%6ersi0% e%"re sis"emas.9 Para -asar &e u% sis"ema &e me&ici0% a "r se u"iliza% las eui6ale%ciase%"re ls 6alres -ara u% mism %3ul e% ls &is"i%"s sis"emas. De las "res 1i3uras a%"erires se -ue&e 6er ue: <)H + h ( *;)H *(h ()H *;h 7 ( 7+)H (8h (

E,em-l: Su-%3ams ue uerems -asar &el sis"ema se2a3esimal alsis"ema hrari el %3ul K L 8(H 7)J *!JJ.$ -rimer ue ha/ ue hacer es escribir el %3ul e% 1racci0% &e 3ra&.Es" %s hab?a &a& ue K L 8(H 7)J *!JJ L 8(. H!)8*+. $ue3 -ara -asar alsis"ema hrari u"ilizams5 -r e,em-l la eui6ale%cia *;)H *(h .E%"%ces5 *;)H *(h 8(. H!)8*+ 2 L⇒ 2 L 8(. H!)8*+ . *(h *;)H L (.h;77+* Para escribir el %3ul e% hras5 mi%u"s / se3u%&s hacems el-rces i%6ers al ue hicims a%"erirme%"e. Primer -asams ami%u"s: * h +)m ). h;77+* 2 L⇒ 2 L ). h ;77+* . +)m * h L !).m)*+ la 1racci0% &e mi%u"s la -asams a se3u%&s: * m +)s ). m)*+ 2 L⇒ 2 L ). m*+ . +)s *m L *s Fi%alme%"e5 b"u6ims ue K L 8(H 7)J *!J

J L (h !)m * s . Su-%3ams ahra ue uerems -asar al sis"ema circular.De 1rma a%l3a "e%ems ue si K L (h !)m * s L (. h;77+* e%"%ces-ara cambiar &e sis"ema hacems l si3uie%"e: (8h ( (. h;77+* 2 L⇒2 L (. h;77+* . ( (8h L )58*;7+!8 Pr l "a%" K L 8(H 7)J *!JJ L (h!)m * s L )58*;7+!8. E,ercici Escribe 6er&a&er # 1als F se3%crres-%&a. a *!H (8J L <(8m b *+(. H ! L *7(H ! J c ! 8 L ((!H ;Fu%ci%es "ri3%m"ricas U%a -rimera ma%era &e &e1i%ir las 1u%ci%es"ri3%m"ricas es a -ar"ir &e u% "ri%3ul rec"%3ul. U% "ri%3ulrec"%3ul es aul ue "ie%e u% %3ul rec" cm u% &e sus %3ulsi%"erires. E% es"e cas5 ls la&s ue 1rma% el %3ul rec" se llama%ca"e"s5 / el "ercer la& es la hi-"e%usa. Si u% "ma u% %3ul i%"erir5ue % sea el %3ul rec"5 e%"%ces el ca"e" ue 1rma &ich %3ul ser



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LA TRIGONOMETRIA

el ca"e" a&/ace%"e5 mie%"ras ue el "r ser el ca"e" -ues". $as1u%ci%es "ri3%m"ricas s% el se%5 se% el cse%5 cs5 / la "a%3e%"e5 "a%/ se &e1i%e% cm: se% K L Ca"e" -ues" Qi-"e%usa cs K L Ca"e"a&/asce%"e Qi-"e%usa "a% K L se% K cs K L Ca"e" -ues" Ca"e"a&/asce%"e E%"%ces e% el "ri%3ul5 &e la 1i3ura si3uie%"e5 1rma& -rls la&s r5 a / b5 las 1u%ci%es "ri3%m"ricas ser%: < se% K L b r se% La r cs K L a r cs L b r "a% K L se% K cs K L b a "a% L se% cs L a bEl "erema &e Pi"3ras ue &ems"rarems ms a &ela%"e &ice ue r ( La ( b ( . De au? se "ie%e ue r ( a ( / r ( b ( . A-lica%& ra?zcua&ra&a e% ambs miembrs b"e%ems ue r a / r b. $ue3 * a r / * b r . Fi%alme%"e5 "e%ie%& e% cue%"a ue cs K L se% L a r / se% KL cs L b r resul"a ue: cs K L se% V * se% K L cs V * De es"eresul"a& se -ue&e &ecir ue -ara cualuier %3ul5 K5 "e%ems ue: W* Vse% K V * W* V cs K V * ( *) Si ahra a3ra%&ams el "ri%3ul si%m&i1icar sus %3uls i%"erires5 -r e,em-l el "ri%3ul 1rma& -r ls

la&s r J 5 a J / b J 5 resul"a ue se% K L b r L b J r J se% L a r L a J r J cs KL a r L a J r J cs L b r L b J r J "a% K L b a L b J a J "a% L a b L a J b JEs" si3%i1ica ue el 6alr &e las 1u%ci%es "ri3%m"ricas &e-e%&e% &el%3ul / % &el "ama4 &el "ri%3ul. Pr l "a%" -&ems &eshacer%s&el "ri%3ul / e2"e%&er las 1u%ci%es "ri3%m"ricas a "&s ls %3uls/ % res"ri%3ir%s a ls %3uls me%res ue *;)H slame%"e cm6e%?ams hacie%&. E%"%ces ahra 6ams a "raba,ar e% l ue se llamala circu%1ere%cia "ri3%m"rica5 ue es u%a circu%1ere%cia &e ra&iu%i&a& cu/ ce%"r ci%ci&e c% el ri3e% &el sis"ema &e cr&e%a&ascar"esia%. E% el sis"ema &e e,es car"esia%s5 el -la% 2 / se &i6i&e e% 8cua&ra%"es: el -rimer cua&ra%"e crres-%&e al semi-la% e% el cual 2 e /

s% -si"i6s e% el se3u%& cua&ra%"e 2 X ) e / Y ) e% el "ercer cua&ra%"e2 e / s% %e3a"i6s5 / e% el cuar" cua&ra%"e 2 Y ) e / X ). Es"s cua&ra%"esse &e%"a% c% %mers rma%s. C% es"e cri"eri / "e%ie%& e% cue%"aue ls %3uls -si"i6s se mi&e% &es&e el e,e -si"i6 &e las abscisas / e%se%"i& a%"ihrari "e%&rems ue u% %3ul -er"e%ece al -rimercua&ra%"e si es" e%"re ) / Z(5 -er"e%ece al se3u%& cua&ra%"e si es"e%"re Z( / 5 -er"e%ece al "ercer cua&ra%"e si es" e%"re / 7Z( /-er"e%ece al cuar" cua&ra%"e si es" e%"re 7Z( / (. ** Para calcular el6alr &e las 1u%ci%es "ri3%m"ricas e% la circu%1ere%cia5 l ue se hacees asciarle u% "ri%3ul rec"%3ul a ca&a %3ul. Es"e "ri%3ul sec%s"ru/e "raza%& u% se3me%" -aralel al e,e &e la r&e%a&as &es&e el

-u%" &e i%"ersecci0% e%"re el la& &el %3ul / la circu%1ere%cia5 has"a ele,e &e la abscisas. E%"%ces: se% K L b * L b cs K L a * L a "a% K L se% Kcs K L b a *( Cm es"ams e% u% sis"ema &e e,es car"esia%s "e%&remsue: K ∈ I L⇒ a Y ) b Y ) L⇒ cs K Y ) se% K Y ) L⇒ "a% K Y ) K ∈ IIL⇒ a X ) b Y ) L⇒ cs K X ) se% K Y ) L⇒ "a% K X ) K ∈ III L⇒ a X ) bX ) L⇒ cs K X ) se% K X ) L⇒ "a% K Y ) K ∈ I# L⇒ a Y ) b X ) L⇒ csK Y ) se% K X ) L⇒ "a% K X ) Para ls e2"rems &e ls cua&ra%"es la1u%ci%es "ri3%m"ricas s%: K L ) K L ( L⇒ se% K L ) cs K L * L⇒"a% K L ) K L ( L⇒ se% K L * cs K L ) L⇒ ∄ "a% K *7 K L L⇒ se% K L) cs K L W* L⇒ "a% K L ) K L 7 ( L⇒ se% K L W* cs K L ) L⇒ ∄ "a% KATENCI=N $s %3uls -ue&e% ser ma/res a ( 5 es" si3%i1ica ue ls%3uls -ue&e% &ar u%a 6arias 6uel"as. Pr e,em-l5 el %3ul K / el



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LA TRIGONOMETRIA

%3ul * L K ( 5 s% %3uls &is"i%"s -er ls 6alres &e sus 1u%ci%es"ri3%m"ricas s% i3uales -rue cae% e% el mism lu3ar e% lacircu%1ere%cia "ri3%m"rica. $ mism suce&e si &ams &s 6uel"as5 ( LK ( ( 5 "res 6uel"as5 7 L K 7 ( 5 si &ams u%a ca%"i&a& &e6uel"as "a% 3ra%&e cm se uiera. E%"%ces5 resul"a ue ∀ ∈ [

se% K L se% K ( cs K L cs K ( "a% K L "a% K ( *8

Es im-r"a%"e resal"ar ue el &mi%i &e las 1u%ci%es "ri3%m"ricasse% / cse% s% %9 mers reales ue re-rese%"a% %3uls. Si% embar35la ima3e% "a%" &el se% cm &el cse% s% ls %mers reales ue es"%e%"re W* / *5 es &ecir5 Imse% L Imcs L \W*5 *]. Mie%"ras ue el &mi%i&e la "a%3e%"e s% "&s ls %mers reales e2ce-" ls %mers Z((/ 7Z((5 c% ∈ [. Dmse% L R Imse% L \W* *] Dmcs L R Imcs L \W* *] *! Dm"a% L R W ^KZ K +L Z( (5 K +L 7Z( (/ ∈ [_ Im"a% L R E,ercici Cm-le" c% # 6er&a&er F 1alsse3% crres-%&a. us"i1ic. a Si el cse% &e u% %3ul es %e3a"i65 el

%3ul -er"e%ece al "ercer cuar" cua&ra%"e. b Si el cse% &e u% %3ules %e3a"i6 / el se% &el mism %3ul es -si"i65 el %3ul -er"e%ece alse3u%& cua&ra%"e. c Si la "a%3e%"e &e u% %3ul es -si"i6a5 se -ue&ease3urar ue &ich %3ul -er"e%ece al -rimer cua&ra%"e. & Si u% %3ul-er"e%ece al "ercer cua&ra%"e5 el se% &e &ich %3ul es -si"i6. e Si else% &e u% %3ul es -si"i6 / la "a%3e%"e es -si"i6a5 el %3ul -er"e%eceal -rimer cua&ra%"e. Fu%ci%es "ri3%m"ricas rec?-rcas $as 1u%ci%es"ri3%m"ricas rec?-rcas % s% las 1u%ci%es "ri3%m"ricas i%6ersass% la cseca%"e5 csc la seca%"e5 sec / la c"a%3e%"e5 c"5 / se &e1i%e%cm: csc K L * se% K -ara se% K +L ) sec K L * cs K -ara cs K +L ) c" KL * "a% K L cs K se% K -ara se% K +L ) 7 *+ Dmcsc L R W ^KZ K +L (5

K +L ( / ∈ [_ Imcsc L W`5 W*] ∪ \*5 ` Dmsec L R W ^KZ K+L Z( (5 K +L 7Z( ( / ∈ [_ Imsec L W` W*] ∪ \* ` *Dmc" L R W ^KZ K +L ∈ [_ Imc" L R Relaci%esFu%&ame%"ales $ ue 6ams a 6er ahra s% las relaci%es ue e2is"e%e%"re el se% / el cse%. Para la "a%3e%"e "ambi% e2is"e% es"as relaci%es5-er cm la "a%3e%"e se &e1i%e cm el ccie%"e &el se% -r el cse%5 se-ue&e% &ems"rar u"iliza%& las i&e%"i&a&es ue 6erems a c%"i%uaci0%.Relaci0% -i"a30rica Para -&er &ems"rar es"a i&e%"i&a&5 -rimer 6amsa &ems"rar el "erema &e Pi"3ras. Terema &e Pi"3ras Da& u%"ri%3ul rec"%3ul cualuiera5 el cua&ra& &e la l%3i"u& &e suhi-"e%usa es i3ual a la suma &e ls cua&ra&s &e la l%3i"u& &e sus

ca"e"s. c ( L a ( b ( *; Dems"raci0% Para &ems"rar la i&e%"i&a&6ams a u"ilizar u% cua&ra& &e la& a b sub&i6i&i& cm se mues"rae% la 1i3ura: $a su-er1icie &el cua&ra& es a b ( 5 -er "ambi% la-&ems escribir cm la suma &e la su-er1icie &el cua&ra& &el me&ims la su-er1icie &e ls 8 "ri%3uls: c ( 8 a b ( . Pr l "a%": a b ( Lc ( 8 a b ( a ( b ( ( a b L c ( ( a b a ( b ( L c ( De es"em& hems &ems"ra& ue la suma &e ls cua&ra&s &e ls ca"e"s esi3ual al cua&ra& &e la hi-"e%usa( . a ( b ( L c ( 8 (Es"a misma&ems"raci0% es la ue e2-lica Pae%za au? h""-:ZZ./u"ube.cmZa"ch6LBA+*r3Dd. Si uers saber mssbre es"e "erema hac clic au? h""-:ZZ./u"ube.cmZa"ch6L/6smRROC. *< U%a 6ez &ems"ra& el "erema &e Pi"3ras5



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LA TRIGONOMETRIA

-&ems reem-lazar sus ca"e"s -r e2-resi%es e% 1u%ci0% &el %3ul K.Es" l hacems &e la si3uie%"e ma%era: se% K L b c L⇒ b L c se% K cs K La c L⇒ a L c cs K Si reem-lazams es"as &s e2-resi%es e% el "erema &ePi"3ras b"e%ems ue: a ( b ( L c ( c cs K ( c se% K ( L c ( c (cs( K c ( se%( K L c ( c( cs( K se%( K L c( As? b"e%ems la relaci0%-i"a30rica: cs( K se%( K L * ! Es"a relaci0% es u%a i&e%"i&a&5 -r l"a%" 6ale -ara cualuier %3ul. Fu%ci%es "ri3%m"ricas &e la suma &e&s %3uls se% K L se% K cs cs K se% cs K L cs K cs W se% K se% + Es"as e2-resi%es las 6ams a &ems"rar 3r1icame%"e.Tmems &s "ri%3uls. El -rimer ser u% "ri%3ul cu/a hi-"e%usa esi3ual a u%5 sus ca"e"s s% a / b5 / K es el %3ul 1rma& -r b / lahi-"e%usa. El se3u%& "ie%e a b cm hi-"e%usa5 sus ca"e"s s% e / 1 / es el %3ul 1rma& -r b / 1. se% K L a cs K L b se% L e b L c a cs L 1 b L & a () Ahra5 &es-e,a%& c5 &5 e / 1 "e%ems ue: c L a se% & L a cs e L b se% 1 L b cs reem-laza%& a / b -r se% K / cs K5

res-ec"i6ame%"e5 b"e%ems ue: c L se% K se% & L se% K cs e L cs Kse% 1 L cs K cs Pr "r la&5 &e la 1i3ura "ambi% "e%ems ue: se%K L & e cs K L 1 W c Reem-laza%& c5 &5 e / 1 -r lase2-resi%es e%c%"ra&as b"e%ems ue: se% K L & e L se% K cs cs K se% cs K L 1 W c L cs K cs W se% K se% De es"e m&hems e%c%"ra& las 1u%ci%es "ri3%m"ricas -ara la suma &e &s%3uls: se% K L se% K cs cs K se% cs K L cs K cs Wse% K se% Fu%ci%es "ri3%m"ricas &e la res"a &e &s %3uls se% K W L se% K cs W cs K se% cs K W L cs K cs se% K se% Es"l 6ams a &ems"rar &e 1rma a%l3a al -rce&imie%" a%"erir. De lasi3uie%"e 1i3ura "e%ems ue: (* se% L a cs L b se% K L e b L c a cs K

L 1 b L & a Ahra5 &es-e,a%& c5 &5 e / 1 "e%ems ue: c L a se% K & L a csK e L b se% K 1 L b cs K reem-laza%& a / b -r se% K / cs K5res-ec"i6ame%"e5 b"e%ems ue: c L se% se% K & L se% cs K e L cs se% K 1 L cs cs K De la 1i3ura "ambi% "e%ems ue: se% K W L e W &cs K W L 1 c Reem-laza%& c5 &5 e / 1 -r las e2-resi%es e%c%"ra&asb"e%ems ue: se% K W L e W & L cs se% K W se% cs K cs K W L 1 c L cs cs K se% se% K De es"e m& hems e%c%"ra& las1u%ci%es "ri3%m"ricas -ara la suma &e &s %3uls: se% K W L se% Kcs W cs K se% cs K W L cs K cs se% K se% (( $as relaci%es1u%&ame%"ales se -ue&e% si%"e"izar &e la si3uie%"e ma%era: cs( K se%( KL * se% K L se% K cs cs K se% cs K L cs K cs ∓ se% K

se% ; De es"as e2-resi%es se -ue&e% &e&ucir las 1u%ci%es"ri3%m"ricas -ara el %3ul -ues"5 el %3ul &ble / el %3ul mi"a&.Fu%ci%es "ri3%m"ricas &el %3ul -ues" Si K es u% %3ulcualuiera5 su -ues" ser el %3ul WK. $as 1u%ci%es "ri3%m"ricas&el %3ul WK se -ue&e% escribir e% 1u%ci0% &e K. Para es" 6ams au"ilizar las e2-resi%es e%c%"ra&as -ara la res"a &e &s %3uls relaci0% "e%ie%& e% cue%"a ue el %3ul -ues" se -ue&e escribir cm u%ares"a: WK L ) W K. E%"%ces5 se% WK L se% ) W K L se% ) ^z _ L ) csKW cs ) ^z _ L * se%K L W se% K Para el cse% hacems l mism: csWK L cs ) W K L cs ) ^z _ L * csK se% ) ^z _ L ) se%K L cs KPr l "a%"5 las 1u%ci%es "ri3%m"ricas -ara el %3ul -ues" s%: csWK L cs K se% WK L W se% K < Fu%ci%es "ri3%m"ricas &el %3ul





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LA TRIGONOMETRIA

"e%&rems ue: cs K L W cs K se% K L W se% K *7 ( j%3ul-er"e%ecie%"e al cuar" cua&ra%"e. Del 3r1ic se 6e ue cualuier %3ul&el cuar" cua&ra%"e se -ue&e escribir cm ( W K. U"iliza%& lasrelaci%es 1u%&ame%"ales se e%cue%"ra ue: cs( W K L cs( ^z _ L *cs K se%( ^z _ L ) se% K L cs K se%( W K L se%( ^z _ L ) cs KW cs( ^z _ L * se% K L W se% K $ue35 -ara cualuier %3ul &el cuar"cua&ra%"e "e%&rems ue: cs( W K L cs K se%( W K L W se% K *8$as relaci%es e%c%"ra&as -ara el se% / el cse% &e W K5 K / ( W K 6ale% siem-re5 au%ue K % -er"e%ezca al -rimer cua&ra%"e. Es" esas? -rue hems u"iliza& las relaci%es e%c%"ra&as -ara el se% / elcse% -ara la suma / -ara la res"a &e %3uls. (; E,ercici Cm-le"a lasi3uie%"e "abla. ) + 8 7 ( ( 7 7 8 ! + + ! 8 8 7 7 ( **+ 8 ! 7 ( se% 2 cs 2 "a% 2 csc 2 sec 2 c" 2 A es"s %3uls se lesc%ce c% e2ac"i"u& el 6alr &e sus 1u%ci%es "ri3%m"ricas. Es" uiere&ecir ue e% la resluci0% &e -rblemas ls -&ems "mar cm &a"s

c%ci&s. Fu%ci%es "ri3%m"ricas i%6ersas S% las 1u%ci%es arcse%arc se%5 arccse% arc cs / arc"a%3e%"e arc"a%. Es"as 1u%ci%es seu"iliza% cua%& la i%c03%i"a 1rma -ar"e &el ar3ume%" &e las 1u%ci%es"ri3%m"ricas. Es im-r"a%"e me%ci%ar ue la ima3e% &e es"as1u%ci%es s% %3uls. Fu%ci0% arcse%: Se &e1i%e cm:

Dmarc se% L \W* *] Imarc se% L \WZ( Z(] 12 L arc se% 2 (< due else% / el arcse% sea% 1u%ci%es i%6ersas si3%i1ica ue si se% K L 2e%"%ces5 arc se%\se% K] L K se%\arc se% 2] L 2 E% las calcula&ras%rmalme%"e es"a 1u%ci0% se &e%"a cm se%W* 5 e% es"e cas se%W* K +L *se% K . De-e%&ie%& &el si3% &el ar3ume%" &el arcse%5 la ima3e% seru% %3ul &e al3% cua&ra%"e e% -ar"icular. Es &ecir5 si K L arc se% 2

e%"%ces resul"a ue 2 L se% K. E%"%ces5 e%"re \W ( ( ] "e%&remsue: si 2 L W* L ⇒ K L W ( si W * X 2 X ) L⇒ W( X K X ) L⇒ K ∈ I# si 2 L ) L⇒ K L ) si ) X 2 X * L⇒ ) X K X ( L⇒ K ∈ Isi 2 L * L⇒ K L ( *! ATENCI=N U"iliza%& las relaci%es e%c%"ra&asa%"erirme%"e5 cua%& es"u&iams la re&ucci0% al -rimer cua&ra%"erelaci%es *(5 *7 / *85 -&ems e%c%"rar ls 6alres &e K ∈ \) ( uesa"is1ace% K L arc se%2. si 2 L W* L ⇒ K L 7 ( si W * X 2 X ) L⇒ X K X 7 ( k 7 ( X K X ( L⇒ K ∈ III k K ∈ I# si 2 L) L⇒ K L ) k K L si ) X 2 X * L⇒ ) X K X ( k ( X K X L⇒ K ∈ I k K∈ II si 2 L * L⇒ K L ( *+ De au? ue e%"re \) ( siem-re "e%&rems&s sluci%es5 e2ce-" cua%& se%K L * se%K L W*. 7) Fu%ci0%arccse%: Se &e1i%e cm: Dmarc cs L \W* *] Imarc

cs L \) ] 12 L arc cs 2 Ahra si cs K L 2 e%"%ces5 arc cs\cs K] L Kcs\arc cs 2] L 2 E% las calcula&ras %rmalme%"e es"a 1u%ci0% se &e%"acm csW* . De-e%&ie%& &el si3% &el ar3ume%" la ima3e% ser u%%3ul &e al3% cua&ra%"e e% -ar"icular. Si K L arc cs 2 e%"%ces resul"aue 2 L cs K. E%"%ces5 e%"re \) ] "e%&rems ue:

si 2 L W* L ⇒ K L si W * X 2 X ) L⇒ ( X K X L⇒ K ∈ II si 2L ) L⇒ K L ( si ) X 2 X * L⇒ ) X K X ( L⇒ K ∈ I si 2 L * L⇒ K L ) *7* ATENCI=N U"iliza%& las relaci%es e%c%"ra&as a%"erirme%"e5cua%& es"u&iams la re&ucci0% al -rimer cua&ra%"e relaci%es *(5 *7 /

*85 -&ems e%c%"rar ls 6alres &e K ∈ \) ( ue sa"is1ace% K L arccs2. si 2 L W* L ⇒ K L si W * X 2 X ) L⇒ ( X



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LA TRIGONOMETRIA

K X k X K X 7 ( L⇒ K ∈ II k K ∈ III si 2 L ) L⇒ K L ( k K L 7 ( si ) X 2 X * L⇒ ) X K X ( k 7 ( X K X ( L⇒ K ∈ I k K ∈ I# si 2 L *L⇒ K L ) *; De au? ue e%"re \) ( siem-re "e%&rems &s sluci%es5e2ce-" cua%& csK L * csK L W*. Fu%ci0% arc"a%3e%"e: Se &e1i%ecm: Dmarc"a% L R Imarc"a% L WZ( Z( 12 L arc"a%

2 Ahra si "a% K L 2 e%"%ces5 arc"a%\"a% K] L K "a%\arc"a% 2] L 2 7( E%las calcula&ras %rmalme%"e es"a 1u%ci0% se &e%"a cm "a%W* .De-e%&ie%& &el si3% &el ar3ume%" la ima3e% ser u% %3ul &e al3%cua&ra%"e e% -ar"icular. Si K L arc"a% 2 e%"%ces resul"a ue 2 L "a% K.E%"%ces5 e%"re W ( ( "e%&rems ue: si 2 X ) L ⇒ W (X K X ) L⇒ K ∈ I# si 2 L ) L⇒ K L ) si ) X 2 L⇒ ) X K X ( L⇒ K ∈ I *<ATENCI=N U"iliza%& las relaci%es e%c%"ra&as a%"erirme%"e5 cua%&es"u&iams la re&ucci0% al -rimer cua&ra%"e relaci%es *(5 *7 / *85-&ems e%c%"rar ls 6alres &e K ∈ \) ( ue sa"is1ace% K L arc"a%2.

si 2 X ) L ⇒ ( X K X k 7 ( X K X ( L⇒ K∈ II k K ∈ I# si

2 L ) L⇒ K L ) k K L si ) X 2 L⇒ ) X K X ( k X K X 7 ( L⇒ K ∈ I kK ∈ III () De au? ue e%"re \) ( siem-re "e%&rems &s sluci%es.E,em-ls: #ams a resl6er ecuaci%es &%&e la i%c03%i"a es el %3ul5u"iliza%& las 1u%ci%es "ri3%m"ricas i%6ersas: E,em-l *: Su-%3amsue uerems hallar u% %3ul K "al ue su se% sea i3ual a *Z(. $aecuaci0% ue uerems resl6er es: se% K L * ( E%"%ces -ara &es-e,ar%ues"ra i%c03%i"a &e la ecuaci0% a-licams la 1u%ci0% arcse% e% ambsmiembrs. se% K L * ( arc se%\se% K] L arc se% * ( K L arc se% * ( 77Ahra5 cm se% K Y ) "e%ems e%"%ces ue K ∈ I 0 K ∈ II. De acuer& alas relaci%es e%c%"ra&as e% *+ / a ls resul"a&s e%c%"ra&s e% ele,ercici a%"erir5 "e%&rems ue las sluci%es5 e% \) ( 5 ser% K* L Z+

/ K( L W K* L ! + . E% el cas e% el ue las sluci%es % es"%res"ri%3i&as a u% i%"er6al -ar"icular5 e%"%ces las sluci%es s% &e la1rma K* L Z+ ( / K( L ! + ( 5 c% ∈ [. E,em-l (:Su-%3ams ue uerems hallar u% %3ul "al ue su cse% sea i3ual aW*Z(. $a ecuaci0% ue uerems resl6er es: cs L W * ( E%"%ces -ara&es-e,ar %ues"ra i%c03%i"a &e la ecuaci0% a-licams la 1u%ci0% arccse%e% ambs miembrs. cs L W * ( arc cs\cs ] L arc cs W * ( L arccs W * ( Ahra5 cm cs X ) "e%ems e%"%ces ue ∈ II 0 ∈ III.E%"%ces5 &e acuer& a las relaci%es *; / a ls resul"a&s e%c%"ra&s e%el e,ercici a%"erir5 las sluci%es5 e% \) ( 5 ser% * L ( 7 / ( L ( W* L 8 7 . E% el cas &e ue las sluci%es % es"% res"ri%3i&as a u%i%"er6al -ar"icular5 e%"%ces las sluci%es s% &e la 1rma * L ( 7 ( / ( L 8 7 ( 5 c% ∈ [. E,em-l 7: Su-%3ams ue ueremshallar u% %3ul f "al ue su "a%3e%"e sea i3ual a W*. $a ecuaci0% ueuerems resl6er es: "a% f L W* E%"%ces -ara &es-e,ar %ues"ra i%c03%i"a&e la ecuaci0% a-licams la 1u%ci0% arc"a%3e%"e e% ambs miembrs. "a%f L W* arc"a%\"a% f] L arc"a%W * f L arc"a%W*.!. Resluci0% &e "ri%3uls.9 U%a a-licaci0% &e la "ri3%me"r?a es la resluci0% &e "ri%3uls. Es" c%sis"e e% &e"ermi%ar ls la&s /Z ls %3uls i%"erires a u%"ri%3ul c%cie%& al3u%s &a"s &el mism.

Para resl6er es"e "i- &e -rblemas5 a&ems &e -&er u"ilizar larelaci%es 1u%&ame%"ales 6is"as a%"erirme%"e i&e%"i&a&es ; / las



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LA TRIGONOMETRIA

relaci%es *+5 *; / () 6ams a u"ilizar &s "eremas / las relaci%es e%"rels %3uls i%"erires &e u% "ri%3ul. Terema &el se% El "erema &else% &ice ue &a& cualuier "ri%3ul &e la&s a5 b / c5 / cu/s %3ulsi%"erires s% K5 1rma& -r ls la&s b / c 5 1rma& -r ls la&s a /c / f5 1rma& -r ls la&s a / b5 se cum-le ue: se% K a L se% b L se% fc (* Dems"raci0% Para &ems"rar es"e "erema ha/ ue 6er ue larelaci0% (* se cum-le -ara "&s ls "ri%3uls5 -r l ue 6ams a&ems"rarl -ara ls "ri%3uls acu"%3ul5 b"us%3ul / rec". 7!Tri%3ul acu"%3ul: Si e% el "ri%3ul "razams la al"ura h "ma%& alla& c cm base -&ems escribir ue: se% K L h b se% L h a L⇒ h L b se% K h L a se% $ue35 i3uala%& las &s e2-resi%es &e he%c%"rams ue: b se% K L a se% se% K a L se% b Si ahra "razams laal"ura h J "ma%& al la& a cm base -&ems escribir ue: se% L h J cse% f L h J b L⇒ h J L c se% h J L b se% f $ue35 i3uala%& las&s e2-resi%es &e h J e%c%"rams ue: c se% L b se% f se% b L se% f c

Fi%alme%"e5 e%c%"rams ue cm se% K a L se% b / se% b L se% f c&ems"rams ue el "erema &el se% se cum-le -ara ls "ri%3ulsacu"%3uls. Tri%3ul b"us%3ul: Es"a &ems"raci0% si3ue la mismame"&l3?a ue lle6ams a cab a%"erirme%"e. Trazams la al"ura h"ma%& al la& c cm base. E%"%ces5 7+ se% K L h b se% W L se% Lh a L⇒ h L b se% K h L a se% Pr l "a%"5 se% K a L se% b Siahra "razams la al"ura h J "ma%& al la& b cm base -&emsescribir ue: se% K L h J c se% f L h J a L⇒ h J L c se% K L a se%f L⇒ se% K a L se% f c Fi%alme%"e5 e%c%"rams ue cm se% K a L se% b/ se% K a L se% f c &ems"rams ue el "erema &el se% se cum-le -ara ls"ri%3uls b"us%3uls. Tri%3ul rec"%3ul: Es"a &ems"raci0% es u%

-c ms sim-le -rue ahra L Z( e%"%ces se% L *. 7 se% K L a b bse% K L a b se% K L a se% 6ale -rue se% L * se% K a L se% bA%l3ame%"e "e%ems ue: se% f L c b b se% f L c b se% f L c se% se% f cL se% b Fi%alme%"e5 e%c%"rams ue cm se% K a L se% b / se% b Lse% f c &ems"rams ue el "erema &el se% se cum-le -ara ls "ri%3ulsrec"%3uls. De es"e m& hems &ems"ra& ue el "erema &el se% 6ale-ara cualuier "ri%3ul. Terema &el cse% El "erema &el cse% &iceue &a& cualuier "ri%3ul &e la&s a5 b / c5 / cu/s %3uls i%"eriress% K5 1rma& -r ls la&s b / c 5 1rma& -r ls la&s a / c / f51rma& -r ls la&s a / b5 se cum-le ue: a ( L b ( c ( W ( b c cs K b (L a ( c ( W ( a c cs c ( L a ( b ( W ( a b cs f (( 7; Dems"raci0%

Nue6ame%"e es"e "erema ha/ ue &ems"rarl -ara "&s ls "ri%3uls.Tri%3ul acu"%3ul: Si e% el "ri%3ul "razams la al"ura h "ma%& alla& c cm base -&ems escribir ue: se% K L h b L⇒ h L b se% K cs K Lc* b L⇒ c* L b cs K c L c* c( L⇒ c( L c W c* L c W b cs K Pr el "erema&e Pi"3ras "e%ems ue: a ( L h ( c ( ( $ue35 reem-lazams ue h L bse% K / c( L c W b cs K5 a ( L h ( c ( ( L b se% K ( c W b cs K ( L b (se%( K c ( W ( c b cs K b ( cs( K L b ( se%( K cs( K c ( W ( b ccs K L b ( c ( W ( b c cs K De es"e m& e%c%"rams ue a ( L b ( c (W ( b c cs K. Ahra ha/ ue e%c%"rar las "ras &s i3ual&a&es. Es" sehace &e 1rma a%l3a. se% L h a L⇒ h L a se% cs L c( a L⇒ c( L a

cs c L c* c( L⇒ c* L c W c( L c W a cs 7< Pr el "erema &ePi"3ras "e%ems ue: b ( L h ( c ( * L a se% ( c W a cs ( L a (



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LA TRIGONOMETRIA

se%( c ( W ( c a cs a ( cs( L a ( se%( cs( c ( W ( a ccs L a ( c ( W ( a c cs -ara e%c%"rar la l"ima i3ual&a&"razams la al"ura h J / lue3 hacems l si3uie%"e: se% f L h J b L⇒ h J L bse% f cs f L a* b L⇒ a* L b cs f a L a* a( L⇒ a( L a W a* L a W b cs fPr el "erema &e Pi"3ras "e%ems ue: c ( L h J ( a ( ( L b se% f ( a W b cs f ( L b ( se%( f a ( W ( a b cs f b ( cs( f L b ( se%( f cs( f a ( W ( a b cs f L a ( b ( W ( a b cs f Fi%alme%"e5 e%c%"ramsue -ara u% "ri%3ul acu"%3ul se cum-le ue: a ( L b ( c ( W ( b c csK b ( L a ( c ( W ( a c cs c ( L a ( b ( W ( a b cs f Tri%3ulb"us%3ul: Es"a &ems"raci0% es bas"a%"e similar a la a%"erir.Trazams la al"ura h "ma%& al la& c cm base -&ems escribir ue:8) se% K L h b L⇒ h L b se% K cs K L c* b L⇒ c* L b cs K c* L c c( L⇒c( L c* W c L b cs K W c Pr el "erema &e Pi"3ras "e%ems ue: a ( L h ( c ( ( L b se% K ( b cs K W c ( L b ( c ( W ( b c cs K Para el la& bhacems l mism: se% W L se% L h a L⇒ h L a se% cs W L W

cs L c( a L⇒ c( L W a cs c* L c c( L⇒ c* L c W a cs Pr el"erema &e Pi"3ras "e%ems ue: b ( L h ( c ( * L a se% ( c W acs ( L a ( c ( W ( a c cs -ara el la& c "razams la al"ura h J . se%f L h J a L⇒ h J L a se% f cs f L b( a L⇒ b( L a cs f b L b* b( L⇒ b* Lb W a cs f 8* Pr el "erema &e Pi"3ras "e%ems ue: c ( L h J ( b (* L a se% f ( b W a cs f ( L a ( b ( W ( b c cs f De es"e m&&ems"rams ue el "erema &el cse% 6ale -ara "ri%3uls b"us%3uls.Tri%3ul rec"%3ul: Es"a &ems"raci0% es ms sim-le -rue e% es"ecas L Z( -r l ue cs L ). E%"%ces5 -r el "erema &e Pi"3ras"e%ems ue: b ( L a ( c ( Per cm cs L ) resul"a e%"%ces ue W( ac cs L ). Pr l "a%"5 b ( L a ( c ( W ( a c cs Ahra5 -ara hallar la

se3u%&a i3ual&a&5 &es-e,ams a ( &e la e2-resi0% b ( L a ( c ( /sumams / res"ams c ( e% el se3u%& miembr: a ( L b ( W c ( L b ( W c ( c ( W c ( L b ( c ( W ( c ( De la 1i3ura "e%ems ue: 8( cs K L c b L ⇒ cL b cs K $ue3 -&ems escribir ue: c ( L c . c L c b cs KReem-lazams es" e% la e2-resi0% &e a ( / b"e%ems ue: a ( L b ( c (W ( c ( L b ( c ( W ( b c cs K Para hallar la l"ima i3ual&a&5 hacems elmism -rce&imie%" ue hicims -ara a ( 5 -er ahra "e%ie%& e%cue%"a ue cs f L a b L⇒ a L b cs f. E%"%ces5 c ( L b ( W a ( L b ( W a ( a ( W a ( L b ( a ( W ( a ( L a ( b ( W ( a b cs f Fi%alme%"5e&ems"rams ue el "erema &el cse% se cum-le -ara cualuier %3ul.Ahra -&ems -e%sar al "erema &e Pi"3ras cm u% cas -ar"icular&el "erema &el cse%. j%3uls i%"erires &e u% "ri%3ulGem"ricame%"e se -ue&e &ems"rar5 u"iliza%& el "erema &e Thales7 5ue ls %3uls i%"erires &e u% "ri%3ul cualuiera suma% *;)H . 7El"erema &e Thales &ice ue cua%& &s rec"as seca%"es s% cr"a&as -r6arias rec"as -aralelas5 ls se3me%"s ue se 1rma% e% u%a &e las seca%"ess% -r-rci%ales a ls ue se 1rma% e% la "ra. El 3ru- musicalllama& $es $u"hiers hiz u%a ca%ci0% c% el e%u%cia& / la &ems"raci0%&el "erema5 ue l -ue&e% 6er e% au? h""-:ZZ./u"ube.cmZa"ch6LDsIh*mB92d. U%a a-licaci0% &e es"e "erema la -ue&e% e%c%"rar e%au? h""-:ZZ./u"ube.cmZa"ch6L8rbEdr. 87 K f L

*;)H (7 Resluci0% &e "ri%3uls Cm &i,ims al cmie%z &e es"asecci0%5 la i&ea &e resl6er "ri%3uls es -&er &e"ermi%ar ls la&s / ls



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LA TRIGONOMETRIA

%3uls i%"erires c%cie%& al3u%s &a"s &el "ri%3ul e% cues"i0%.Para -&er resl6er cm-le"ame%"e u% "ri%3ul se %ecesi"a% c%cer5 alme%s5 "res &e sus eleme%"s. De m& ue "e%&rems ! cass &i1ere%"es5-er s0l e2is"e% 8 cass &i1ere%"es -ara ls cules * la& siem-re serc%ci& / -r l "a%" -&rems resl6er el -rblema. Se c%ce% ls "res%3uls: E% el cas &e ue % se c%zca %i%3u% &e ls la&s5 % se -&rresl6er el -rblema &ebi& a ue e2is"e% i%1i%i"s "ri%3uls seme,a%"es.88 Se c%ce% ls "res la&s: Su-%3ams ue c%cems las l%3i"u&es &els la&s a5 b / c &e u% "ri%3ul / uerems hallar sus %3uls i%"erires.Para resl6er el -rblema 6ams a u"ilizar el "erema &el cse%. a ( L b ( c ( W ( b c cs K L⇒ cs K L b ( c ( W a ( ( b c b ( L a ( c ( W ( a c cs L⇒ cs L a ( c ( W b ( ( a c K f L *;)H L⇒ f L *;)H W K W As? e%c%"rams ls "res %3uls ue buscbams: K L arc cs b ( c ( W a ( (b c L arc cs a ( c ( W b ( ( a c f L *;)H W K W E% es"e cas5 cm ls%3uls i%"erires a u% "ri%3ul s% me%res ue *;)H 5 si el cse% es

-si"i6 -er"e%ece% al -rimer cua&ra%"e5 mie%"ras ue si es %e3a"i6-er"e%ece% al se3u%&. Si la suma &e &s &e ls %3uls i%"erires esma/r a *;)H 5 % e2is"e el "ri%3ul. Se c%ce% u% la& / &s %3uls:Su-%3ams ue c%cems la l%3i"u& &el la& b / la am-li"u& &e ls%3uls K / f &e u% "ri%3ul / uerems hallar sus eleme%"s res"a%"es.Para resl6er el -rblema 6ams a u"ilizar el "erema &el se%. 8! K f L *;)H L⇒ L *;)H W K W f se% K a L se% b L⇒ a L b se% K se% se% f cL se% b L⇒ c L b se% f se% As? e%c%"rams ls &s la&s / el %3ulue buscbams: L *;)H W K W f a L b se% K se% c L b se% f se% Sec%ce% &s la&s / el %3ul cm-re%&i&: Su-%3ams ue c%cemslas l%3i"u&es &e ls la&s a / b5 / la am-li"u& &el %3ul f &e u% "ri%3ul

/ uerems hallar sus eleme%"s res"a%"es. Para resl6er el -rblema6ams a u"ilizar el "erema &el cse%. 8+ c ( L a ( b ( W ( a b cs f L⇒ cL - a ( b ( W ( a b cs f a ( L b ( c ( W ( b c cs K L⇒ cs K L b ( c ( Wa ( ( b c K f L *;)H L⇒ L *;)H W K W f As? e%c%"rams el la& / ls%3uls ue buscbams: c L - a ( b ( W ( a b cs f K L arc cs b ( c (W a ( ( b c L *;)H W K W f E% es"e cas se mi"e el &ble si3% cua%&&es-e,ams c5 -rue cm es u%a l%3i"u& es" bli3a& a ser -si"i6. Sec%ce% &s la&s / u% %3ul % cm-re%&i&: Su-%3ams uec%cems las l%3i"u&es &e ls la&s a / b5 / la am-li"u& &el %3ul K &eu% "ri%3ul / uerems hallar sus eleme%"s res"a%"es. Para resl6er el-rblema 6ams a u"ilizar el "erema &el se% / &el cse%. se% K a L se% b L⇒ se% L b a se% K E% es"e cas5 cm se% Y ) "e%ems &ssluci%es: ( ∈ I / * L W ( ∈ II. Pr l "a%" "e%&rems &s"ri%3uls -sibles5 u% -ara cua%& ∈ II: 8 K * f* L *;)H L⇒ f* L*;)H W K W * c ( * L a ( b ( W ( a b cs f* L⇒ c* L - a ( b ( W ( a b csf* "r -ara cua%& ∈ I: K ( f( L *;)H L⇒ f( L *;)H W K W ( c (( L a ( b ( W ( a b cs f( L⇒ c( L - a ( b ( W ( a b cs f( Es"e es el%ic cas e% el ue "e%ems &s sluci%es. * L W ( * ∈ II f* L *;)HW K W * c* L - a ( b ( W ( a b cs f* ( L arc se% b a se% K ( ∈ I f( L*;)H W K W ( c( L - a ( b ( W ( a b cs f( 8; E,em-l: Prblema &eEra"0s"e%es Era"0s"e%es %aci0 e% C/re%e Ac"ualme%"e $ibia e% el a4

(+ a. C. Fue as"r0%m5 his"ria&r5 3e03ra15 1il0s15 -e"a5 cr?"ic"ea"ral5 ma"em"ic / "ambi% 3ra% ami3 &e Aru?me&es. Es"u&i0 e%



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LA TRIGONOMETRIA

Ale,a%&r?a / A"e%as. Alre&e&r &el a4 (!! a. C 1ue el "ercer &irec"r &e laBibli"eca &e Ale,a%&r?a. Traba,0 c% -rblemas &e ma"em"icas5 cm la&u-licaci0% &el cub / %mers -rims. Escribi0 muchs librs &e lscuales s0l se "ie%e% %"icias -r re1ere%cias bibli3r1icas &e "rsau"res. Se c%si&era ue Era"0s"e%es 1ue el -rimer e% me&ir5 c% u%m"& cie%"?1ic5 la l%3i"u& &e circu%1ere%cia &e la Tierra. Para ellu"iliz0 la "ri3%me"r?a. Es"u&ia%& ls -a-irs &e la bibli"eca5 e%c%"r0u% escri" ue le llam0 la a"e%ci0%: >e% Sie%a h/ Asu%5 e% E3i-" el &?a&el sls"ici &e 6era% ls b,e"s % -r/ec"a% smbra al3u%a / la luz &elsl alumbra el 1%& &e ls -zs@. De au? l &e&u, ue la ciu&a& es"abasi"ua&a ,us"ame%"e sbre la l?%ea &el "r0-ic el "r0-ic &e C%cer / sula"i"u& era i3ual a la &e la ecl?-"ica8 ue /a c%c?a. Era"0s"e%es5su-%ie%& ue Sie%a / Ale,a%&r?a "e%?a% la misma l%3i"u& realme%"e&is"a% 7 H / ue el sl se e%c%"raba "a% ale,a& &e la Tierra ue susra/s -&?a% su-%erse -aralels5 bser60 ue e% Ale,a%&r?a el mism &?a

&el sls"ici &e 6era% al me&i&?a ls b,e"s s? -r/ec"aba% smbra. Es"eresul"a& 1ue mu/ im-r"a%"e -ara la -ca5 /a ue &ems"raba ue laTierra era es1rica! . Mi&ie%& la l%3i"u& &e &icha smbra e%c%"r0 uela ciu&a& &is"aba *Z!) -ar"e &e la circu%1ere%cia5 es &ecir5 H *(J &eAle,a%&r?a. Ps"erirme%"e5 mi&i0 la &is"a%cia e%"re ambas ciu&a&es.E2is"e% &is"i%"as 6ersi%es sbre c0m 1ue ue mi&i0 es"a &is"a%cia.Al3u%s &ice% ue c%"ra"0 u% re3imie%" &e sl&a&s ue &iera -ass &e"ama4 u%i1rme / ls c%"ara. O"rs a1irma% ue u"iliz0 la &is"a%ciaes"ima&a -r las cara6a%as ue cmerciaba% e%"re ambas ciu&a&es.Tambi% ha/ uie%es cree% ue -u& b"e%er el &a" e% la -r-iaBibli"eca &e Ale,a%&r?a. Fi,a%& la &is"a%cia e%"re las ciu&a&es e% !.)))

es"a&is5 -u& calcular la circu%1ere%cia &e la Tierra resul"a%& &e(!).))) es"a&is5 &e m& ue a ca&a 3ra& eui6ale5 a-r2ima&ame%"e5 a)) es"a&is+ . Si su-%ems ue Era"0s"e%es us0 el es"a&i eui6ale%"e a*;! m5 resul"a ue la l%3i"u& &e 8Se llama ecl?-"ica al -la% ue c%"ie%eal sl / a la Tierra. El Ecua&r "ie%e u%a i%cli%aci0% &e (7H (J c%res-ec" a la Ecl?-"ica. !S0l &s -ers%as ue 6i6ier% a%"es &eEra"0s"e%es hab?a% su3eri& la i&ea &e es1erici&a& &e la Tierra. El -rimer1ue Pi"3ras5 -er su i&ea se basaba e% ue la es1era era la 1i3ura3em"rica -er1ec"a / -r l "a%" la Tierra5 -ara ser -er1ec"a5 &eb?a seres1rica. El se3u%& 1ue Aris"0"eles5 su c%clusi0% se basaba e% &scues"i%es: la -rimera era ue ls 6ia,ers ue 6ia,aba% hacia el sur 6e?a%

las c%s"elaci%es &e ese hemis1eri subir su -sici0% e% el hriz%"e. Ess0l es -sible si &ich hriz%"e se e%cue%"ra 1rma%& u% %3ul c%res-ec" al hriz%"e &e al3uie% ubica& ms al %r"e. Pr l "a%"5 la1rma &e la Tierra % -&?a ser -la%a. $a se3u%&a era ue el br&e &e lasmbra &e la Tierra e% la $u%a &ura%"e la 1ase -arcial &e u% ecli-se lu%arsiem-re es circular5 si% im-r"ar cua% al"a es" la $u%a sbre el hriz%"e.$a %ica 1i3ura 3em"rica cu/a smbra -r/ec"a&a e% cualuier&irecci0% es circular5 es la es1era. +Qacie%& clic au? -&rs 6er u% 6i&e&%&e se cue%"a es"a his"ria. h""-:ZZ./u"ube.cmZa"ch6LQ!R[&s-8 8< circu%1ere%cia &e la Tierra es &e 8+(!) m. Si%embar35 si su-%ems u"iliz0 el es"a&i e3i-ci eui6ale%"e a 7)) c&s&e !(58 cm5 la circu%1ere%cia calcula&a es &e 7<7)) m. El ra&iecua"rial "erres"re es &e +7* m5 -r l "a%"5 la l%3i"u& &e



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LA TRIGONOMETRIA

circu%1ere%cia sbre el Ecua&r es i3ual a 8))7) m. Es" si3%i1ica ue lsclculs &e Era"0s"e%es 1uer% mu/ e2ac"s c%si&era%& ue ls hiz hacems &e (()) a4s. Resluci0% &e -rblemas Prblema *: Calcular: se%2 se% W 2 cs7 W 2 cs 2 secW( W2 cscW( W 2 L Pararesl6er es"e -rblema &ebems u"ilizar las relaci%es 1u%&ame%"ales / suscrlaris 1u%ci%es "ri3%m"ricas &el %3ul -ues"5 &el %3ul &ble/ &el %3ul mi"a&. A%alicems 1ac"r -r 1ac"r. se%2 se%2 Lse%2 cs cs2 se% L se%2 W* cs2 ) L W se%2 !) se% W 2se% W 2 L se% cs2 W cs se%2 L ) cs2 W W* se%2 L se%2cs7 W 2 cs7 W 2 L cs7 cs2 se%7 se%2 L cs( cs2 se%( se%2 L cs cs2 se% se%2 L W* cs2 )se%2 L W cs2 cs 2 cs 2 L cs cs2 W se% se%2 L W*cs2 W ) se%2 L W cs2 secW( W 2 secW( W 2 L \secW 2]W( L * csW2 W( L \csW 2]( L \cs2]( L cs( 2 cscW( W 2 cscW( W 2 L \cscW 2]W( L * se% W 2 W( L \se% W 2]( L \se% cs2 W cs se%2]( L

\) cs2 W W* se%2]( L \se%2]( L se%( 2 !* Ahra ,u%"ams "&s lsresul"a&s / resl6ems: se%2 se% W 2 cs7 W 2 cs 2 secW( W2 cscW( W 2 L L W se%2 se%2 W cs2 W cs2 cs( 2 se%( 2 L L W

se% 2 se% 2 ❳W❳cs❳❳2❳ ❳W❳cs❳❳2❳ cs( 2 se%( 2 L L W* . * * L L ) !( Prblema (: Clau&i / Da%ieles"% a !7 me"rs u% &e "r. Clau&i5 &es&e su -sici0%5 6e u% c1re-ira"a5 e i%me&ia"ame%"e mi&e el %3ul ue el mism 1rma c% la-sici0% &e Da%iel5 resul"a%& &e 7H . Da%iel5 al a&6er"irl5 mi&ee%se3ui&a el %3ul ue 1rma el c1re c% Clau&i5 resul"a%& &e 88H .Calcular ui% &e ls &s se halla ms cerca &el c1re. E% es"s -rblemasha/ &s -u%"s im-r"a%"es a "e%er e% cue%"a: u% es hacer el 3r1ic &e la

si"uaci0% crrec"ame%"e5 / el "r es su resluci0%. E% el 3r1ic 6ams allamar C a la -sici0% &e Clau&i5 D a la -sici0% &e Da%iel / c a la-sici0% &el c1re. due&a clar ue s"s ser% ls 6r"ices &el "ri%3ul.$ue3 ha/ ue rec%cer ls %3uls ue crres-%&e% a ls &a"s &el-rblema. U% es el %3ul ue mi&e Clau&i5 ue es el %3ul ue el c1re1rma c% Da%iel. Es" uiere &ecir ue el 6r"ice &el %3ul ser Clau&i.El "r %3ul es el me&i& -r Da%iel5 -r l "a%" ser el %3ul cu/6r"ice es D. Para -&er saber ui% es" ms cerca &el c1re ha/ uecalcular las l%3i"u&es &e ls se3me%"s Cc / Dc. A es"as &is"a%cias lasllamarems 2 e / res-ec"i6ame%"e. Fi%alme%"e5 %ues"r esuema &el-rblema es el si3uie%"e: Ahra -ara resl6er el -rblema5 -rimer 6ams

hallar la am-li"u& &e %3ul res"a%"e5 ue llamarems . Es" l hacemsu"iliza%& el hech &e ue ls %3uls i%"erires suma% *;)H . 7H 88HL *;)H L *;)H W 7H W 88H L <<H $ue35 -ara &e"ermi%ar ls 6alres &e 2e / 6ams a usar el "erema &el se%. Primer busuems 2. !7 se% !7 mL se% 88H 2 2 L !7 m se% 88H se% 2 L !7 m se% 88H se% <<H 2 ≃ 75(; mAhra hacems el mism -rce&imie%" -ara halla el 6alr &e /. se% !7m L se% 7H / / L !7 m se% 7H se% / L !7 m se% 7H se% <<H / ≃ 7(5(< mFi%alme%"e5 e%c%"rams ue el ue es" ms cerca &el c1re es Da%iel /aue se e%cue%"ra a u%a &is"a%cia &e a-r2ima&ame%"e 7(5(< m5 mie%"rasue Clau&i se e%cue%"ra a u%a &is"a%cia &e ∼ 75(; m. !8 PRjCTICA !*.



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LA TRIGONOMETRIA

I#. CONC$USIONES

Se l3r0 i&e%"i1icar las 6ariables ue &escribe% el m6imie%". Se a-lic0 ls c%ce-"s / &e1i%ici%es 3e%erales &el m6imie%" circular.

Ahra se l3ra &i1ere%ciar e%"re el &es-lazamie%" a%3ular / el&es-lazamie%" a l lar3 &e la "ra/ec"ria.

Se -ue&e &i1ere%ciar e%"re la 6elci&a& a%3ular / la 6elci&a& li%eal. Se c%ce ms acerca &e la aceleraci0% e% el m6imie%" c% 6elci&a&

u%i1rme.



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LA TRIGONOMETRIA

#. REFERENCIASBIB$IOGRAFICAS

e6i%.()*+. >El M6imie%"@ \E% li%ea] E&. A Dis-%ible e%:

h""-s:ZZes.scrib&.cmZ&cZ(8+++(8ZM6imie%" #isi"a& (8Z)8Z*+ 7:)) -m U%i6ersi&a& Cesar #alle,.()*+. >El M6imie%"@ \E% li%ea] Dis-%ible e%:

h""-:ZZ,c-i%"es.e%.eresmas.cmZCCTB*).-&1 #isi"a& (8Z)8Z*+ 7:)) -m

https://es.scribd.com/doc/246766724/Movimiento

http://jcpintoes.en.eresmas.com/CCTB10.pdf

http://jcpintoes.en.eresmas.com/CCTB10.pdf

https://es.scribd.com/doc/246766724/Movimiento



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LA TRIGONOMETRIA

#I. ANEOS

Fi3ura (Fi3ura *

Fi3ura 8Fi3ura 7



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LA TRIGONOMETRIA

Fi3ura +Fi3ura !

Fi3ura *

Fi3ura

Fi3ura <

Fi3ura ;



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LA TRIGONOMETRIA

Documents

Monografia 2016 1 Trigonometria