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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO PARA PROFESSORES DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO MONOGRAFIA RAZÃO ÁUREA BELO HORIZONTE - 2008

Monografia - Razão Áurea

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Page 1: Monografia - Razão Áurea

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO PARA PROFESSORES DO ENSINO

FUNDAMENTAL E MÉDIO

MONOGRAFIA

RAZÃO ÁUREA

BELO HORIZONTE - 2008

Page 2: Monografia - Razão Áurea

ALUNO:

Jurandir Jacques de Carvalho

PROFESSOR ORIENTADOR

Renato José de Moura

Page 3: Monografia - Razão Áurea

Sumário

Introdução ................................................................................................................................... 3 Desenvolvimento ........................................................................................................................ 9

Razão áurea.............................................................................................................................9Calculando o número áureo....................................................................................................9Construindo o segmento áureo por meio de régua e compasso............................................10Construção do retângulo áureo a partir do menor lado.........................................................13Triângulo áureo.....................................................................................................................14Aplicações do Teorema.........................................................................................................15O pentagrama de Pitágoras (V séc. aC. )..............................................................................16Retângulo áureo....................................................................................................................16Um problema curioso sobre congruência de triângulos........................................................19A seqüência de Fibonacci e o número áureo.........................................................................23Limite de uma seqüência.......................................................................................................24Seqüências de Cauchy...........................................................................................................25

Curiosidades .............................................................................................................................. 27 Bibliografia .............................................................................................................................. 30

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IntroduçãoA contagem, certamente, sempre fascinou a espécie humana. Os “números”, por exemplo, para

os pitagóricos (nome dado aos componentes da sociedade secreta fundada por Pitágoras) regia o

universo. Inclusive o lema dos pitagóricos era “tudo é número”.

Pitágoras nasceu em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso, mas se estabeleceu em Crotona,

local chamado de Magna Grécia, hoje Itália.

A escola pitagórica era extremamente conservadora, tendo no bojo um código de conduta rígido

e inflexível. Existem relatos dos quais se atribuem que seus membros eram vegetarianos.

Não há documentos explícitos daquela época, por isso Pitágoras continua sendo uma figura

enigmática e obscura, muito embora fossem muitas as obras escritas sobre Pitágoras, inclusive umas de

Aristóteles, mas se perderam.

Ao transcrever a obra geométrica de Tales, Proclo diz que:

Pitágoras, que veio depois dele, transformou essa ciência numa forma liberal de instrução, examinando seus

princípios desde o início e investigando os teoremas de modo imaterial e intelectual. Descobriu a teoria das proporcionais

e a construção de figuras cósmicas.[Boyer, 1996,p. 33]

Aceitando ou não essa afirmação, é notável que os pitagóricos desempenhassem um papel

importante, talvez imprescindível, na história da matemática. No Egito e Mesopotâmia a aritmética e a

geometria, pouco intelectualizadas, eram praticadas com um caráter um tanto prático e experimental

para resolver problemas específicos e potencializados, referenciados às pirâmides ou herança de terras

(sentido genérico). Pouco parecido com aquilo que se pretendiam os pitagóricos.

Veja por exemplo o que faziam os pitagóricos ao construir o pentagrama ou pentágono

estrelado. Começamos com um pentágono regular: (Fig. 1) traçando em seguida as cinco

diagonais, essas se interceptam em pontos , que formam outro pentágono regular.

Observem que os triângulos e são isósceles e semelhantes, observe também que há vários

pares de triângulos congruentes. Mas, o mais notável e belo é que os pontos , dividem

as diagonais de forma surpreendente. Cada ponto divide a diagonal em dois segmentos diferentes, tais

que a razão da diagonal para o maior dos segmentos é igual à deste para o segmento menor. Essa

partição das diagonais é a chamada e bem conhecida como “secção áurea” de um segmento, embora

esse nome viesse a ser usado quase dois mil anos depois. Mais ou menos na época Kepler escrevia em

lírica:

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A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em

média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia

preciosa. [Boyer, 1996, p.35].

Uma das propriedades mais interessante da secção é que, ela se auto propaga.

Veja o que isso significa.

Dado um segmento (Fig. 2) e sobre este um ponto , sendo que divide em média e

extrema razão, isto é, está para assim como está para . Se sobre o segmento maior, aqui

refiro a , marcamos um ponto tal que , então o segmento por sua vez ficará

subdividido em média e extrema razão pelo ponto (isso será demonstrado no desenvolvimento da

monografia). Esse processo pode ser repetido indefinidamente, o que caracteriza a autopropagação.

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Não se sabe, até onde os pitagóricos foram com este processo, ou se pelo menos fora observado

por eles, ou se tiraram conclusões concernentes ao mesmo. Não se tem conhecimento se os pitagóricos

de cerca de 500 a.C. sabiam dividir um segmento em média e extrema razão, não se deve responder

com segurança, embora, fosse muito provável que sim.

A construção e a divisão de um segmento em média e extrema razão, equivale à resolução de

uma equação do segundo grau. Observe que podemos chamar o segmento , e

. Então pela definição da secção áurea e multiplicando médios e extremos

temos a equação .

Essa equação já havia sido resolvida pelos babilônios e Pitágoras poderia ter aprendido com

eles como resolver algebricamente esta equação. No entanto, se é um número racional, não existe um

número racional que satisfaça a equação. Pitágoras teria percebido isso? Certamente que não.

Possivelmente os pitagóricos tenham usado, no lugar do método algébrico utilizado pelos babilônios,

algo parecido com aquilo que Euclides usou em: Os elementos II,11 e VI,30; um processo geométrico

para dividir um segmento de reta AB em média e extrema razão. Euclides construía um quadrado

(Fig. 3) sobre o segmento . Em seguida “bissectava” pelo ponto , traçava e

prolongava a reta até tal que . Em seguida completava o quadrado e o ponto

era então encontrado. Veja que o problema estava resolvido, (que será mostrado no

desenvolvimento da monografia).

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Se fosse possível conhecer a solução que os pitagóricos adotavam para o problema da secção

áurea, certamente muitas respostas teríamos e com bastante êxito no avanço e esclarecimento no que

diz respeito ao nível e características da matemática pré-socrática.

Segundo Boyer (1996, p. 50), “a essência de tudo, na geometria como nas questões práticas e

teóricas da vida do homem, pode ser explicada em termos de arithmos, ou das propriedades intrínsecas

dos inteiros e suas razões, era um artigo de fé fundamental do pitagorismo”. Certamente os pilares do

fundamentalismo e rigor da escola pitagórica, começaram a ruir quando eles perceberam que os

inteiros eram insuficientes para descrever até mesmo algumas das propriedades mais simples e

rudimentares, como por exemplo, comparar a diagonal de um quadrado ou de um cubo ou de um

pentágono com seu respectivo lado. Tais segmentos são incomensuráveis, não importa quão pequeno

ou quão grande seja a unidade de medida. Como ou quando foram feitas essas descobertas não se tem

notícias, ou não se sabem, mas muito se escreveu em decorrência e apoio de uma ou outra hipótese.

Não há fundamentação teórica para a primeira descoberta da incomensurabilidade pelos hindus, nem

mesmo que Pitágoras conhecesse tamanho problema, provavelmente essa descoberta fora feita por

pitagóricos em meados de 410 a. C. Alguns dizem que foi Hipasus de Metaponto no fim do quinto

século a. C, outros dizem que foi meio século depois.

Se construirmos um pentágono regular e traçarmos as cinco diagonais, elas formam um

pentágono regular menor (Fig. 4) e as diagonais do segundo formam um terceiro pentágono regular,

que é menor ainda. Podemos continuar a traçar diagonais e teremos sempre um pentágono cada vez

menor, isso ocorre indefinidamente, assim podemos concluir que a razão da diagonal para o lado num

pentágono regular não é racional. A irracionalidade dessa razão fora mostrada na (Fig. 2), que

argumenta sobre a autopropagação da secção áurea. Talvez esta tenha sido a descoberta da propriedade

que levou a revelação por Hipasus, da incomensurabilidade? Não há documentos que provam isso, mas

a sugestão é aceitável. Então não seria mas que primeiro revelou a existência de medidas

incomensuráveis, pois a solução da equação nos leva a como sendo a razão entre o

lado de um pentágono regular e a diagonal.

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Neste trabalho, propomo-nos a estudar a questão sobre secção áurea, organizamos o trabalho da

seguinte forma:

Conceituamos a razão áurea, calculando o número áureo e construindo o segmento áureo por

meio de régua e compasso.

Construção do retângulo áureo a partir do menor lado, através do teorema de Pitágoras.

Demonstramos o teorema que mostra que o triângulo isósceles com ângulos de é

áureo. A partir deste, construímos o decágono regular e o pentágono regular.

Vemos ainda o pentagrama de Pitágoras. O retângulo áureo com outros retângulos embutidos e

a relação entre seus lados e a seqüência de Fibonacci. Algumas curiosidades (aplicações).

Finalmente a seqüência de Fibonacci e o número áureo. Calculando inclusive o limite que nos

leva a este número.

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Desenvolvimento

Razão áurea

Dizemos que um ponto divide um segmento em média e extrema razão significa que este fora

seccionado de forma notável. Dando origem a dois segmentos desiguais. Partindo desses segmentos

temos a razão áurea, ou seja, a relação que a define como:

da figura ao lado,

Calculando o número áureo

Basta chamar e ou ainda . Fazendo as substituições

teremos:

logo , com , segue que .

Definindo obtemos a seguinte equação de segundo grau, cujas

soluções são , mas e (Fig. 5) são positivos, logo rejeitamos e

consideramos a outra solução que é chamado de número áureo (segundo

Boyer).

Vamos deixar claro aqui a escolha deste número , como sendo

Muito embora, há escolas que consideram como .

Não importa qual deles seja escolhido, o que nos interessa é a razão áurea. Mas, segundo Boyer

(pág.50), optamos por considerar o número áureo por .

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Ao longo desta monografia teremos a oportunidade de verificar diversas aplicações nas quais

este número aparecerá “naturalmente”.

Construindo o segmento áureo por meio de régua e compasso

Dado um seguimento qualquer, obtemos o ponto médio de da seguinte maneira, com

centro do compasso em e em traçamos circunferências que se interceptam como mostra a figura

abaixo, ligando os pontos onde os arcos interceptaram (visto em vermelho).

Usando régua e compasso, traçamos uma reta perpendicular a , pelo ponto com metade do

comprimento de ;

Veja o traçado:

Com o compasso faça centro em , traçando uma circunferência que intercepte a perpendicular

no ponto de raio .

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O novo segmento é perpendicular a medindo a metade de . Unindo os pontos e

obtemos um triângulo ;

Com o centro do compasso em abrindo até , marcamos um novo ponto em (hipotenusa)

do triângulo;

Finalmente com o centro do compasso no vértice , abrindo até marcamos em o ponto

. Este é o ponto que divide o segmento em média e extrema razão, ou ainda, a maior parte de é

... vezes a menor parte de .

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De fato, sendo , mostraremos que .

Como o é retângulo pelo teorema de Pitágoras obtemos

, cujas soluções são

, o que nos dá que é o número desejado.

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Construção do retângulo áureo a partir do menor lado

é perpendicular a e

é o ponto médio do segmento . Com o centro em traçamos o arco , sendo que

pertence a reta e é interno ao segmento .

Como , podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo e obtemos

Definição: Um triângulo é chamado isósceles se pelo menos dois de seus lados forem

congruentes.

Teorema: Em um triângulo isósceles com ângulos de , a bissetriz interna de um dos ângulos de divide o lado oposto em média e extrema razão.

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Demonstração:

Considere o triângulo ABC com tais propriedades, tal que

. Então temos que .

Seja a interseção da bissetriz de com o lado .

Afirmamos que o ponto divide o segmento em

média e extrema razão.

De fato, sejam .

Se é bissetriz do ângulo , então obteremos dois novos triângulos isósceles,

e (veja a figura acima), este por sua vez é semelhante ao .

De fato, observe que seus ângulos internos e correspondentes são respectivamente congruentes.

Do (isósceles) temos .

Como o ponto está em , então: .

Do temos , logo , mas, da

semelhança dos triângulos .

fazendo ,

obtemos . Concluímos então que o ponto divide o segmento em média e

extrema razão.

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Triângulo áureoVeja que no triângulo isósceles acima, podemos construir vários triângulos embutidos

semelhantes ao primeiro, estes triângulos são chamados de triângulos áureos, abaixo temos uma ilustração sobres estes triângulos.

Aplicações do Teorema

Através do teorema acima podemos construir diversas figuras geométricas relacionadas ao

triângulo acima, como o decágono regular e o pentágono regular.

Com o centro do compasso em traçamos a circunferência de raio

, mas, o ângulo é igual a , logo ao longo

da circunferência marcamos os pontos (com auxilio do compasso) na qual

. Ligando os pontos temos o decágono regular.

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Podemos construir também o pentágono através do Teorema anterior da seguinte forma:

A partir do ponto B, ligando os pontos de maneira intercalada, teremos o pentágono regular.

O pentagrama de Pitágoras (V séc. aC. )

O pentágono regular, certamente, era para os pitagóricos a figura mais importante, pois suas

diagonais dão origem ao pentagrama, também chamado de pentágono regular estrelado que era o

símbolo da escola dos pitagóricos.

Dado um pentágono regular e suas diagonais teremos triângulos congruentes onde cada um

deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, dividindo qualquer uma delas em média e

extrema razão.

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Retângulo áureo

Definição: Um retângulo é chamado áureo se possui a seguinte propriedade: se

extrairmos um quadrado , o retângulo , será semelhante ao primeiro retângulo dado

Ou seja, se e são os lados do retângulo , então com base na definição acima é

válida a relação

Afirmamos agora que o retângulo também é um retângulo áureo. Veja a demonstração.

De fato, como .

Assim .

Concluímos que o retângulo de lados e é áureo.

Usando o mesmo raciocínio podemos afirmar que os retângulos de lados e de

lados são áureos.

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Dizemos ainda, dados dois números positivos e , que satisfaça a relação , podemos

formar a seqüência:

em que

Generalizando, temos:

que é a seqüência:

Mais adiante voltaremos a estudar esta seqüência de números.

Este raciocínio nos garante, que quaisquer dois elementos consecutivos desta seqüência nos dão

um retângulo áureo e que o processo de retirarmos quadrados de retângulos áureos nos levam a uma

seqüência infinita de retângulos áureos, com tamanhos cada vez menores tendendo a zero.

Veja:

Euclides em Os elementos II. 11 e novamente em VI.30, como base em um diagrama, que é

visto em muitos livros hoje em dia, para “ilustrar”(Boyer) a propriedade interativa da secção áurea. Ao

Gnômon marcamos o ponto , para completar o retângulo , e dentro do retângulo

menor , (Boyer, p. 76) semelhante ao retângulo maior , com , construímos outro

Gnômon . Os retângulos , , , e são semelhantes e são

retângulos áureos. Quanto aos gnomos são todos semelhantes entre si. Continuando a construir gnomos

indefinidamente, teremos uma seqüência infinita de retângulos encaixantes semelhantes, que tende a

um ponto limite . Veja que é o ponto de intercecção das retas (diagonais) e é também o pólo

de uma espiral logarítmica segundo Boyer (Pág.76) tangente aos lados dos retângulos nos postos

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A espiral não tangencia, veja o site:

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20rectangle/goldenrec%26logspiral

Os pontos e são aqueles que dividem os lados dos retângulos em média e

extrema razão (secção áurea). As diagonais e são perpendiculares.

Um problema curioso sobre congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se puderem ser sobrepostos por meio de translações, rotações

ou simetrias axiais. Se os seus três lados e seus três ângulos respectivamente correspondentes forem

iguais, eles são congruentes. São os casos de congruência conhecidos: ,

sendo que é o lado do triângulo, é um ângulo interno e é um ângulo oposto pelo vértice.

Existe um problema bastante interessante sobre congruência de triângulos que é o seguinte: é

possível encontrarmos pares de triângulos que possuem cinco elementos congruentes, mas estes

triângulos não são congruentes?

A resposta a esta questão é sim, como podemos ver sua solução a seguir.

Note que os triângulos não podem ter três lados respectivamente congruentes, pois, sendo

assim, eles seriam congruentes. Baseado nessa premissa, concluímos que os elementos que compõem

os dois triângulos estão dispostos da seguinte maneira: três ângulos congruentes e dois lados também

congruentes.

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Isso indica que os triângulos são semelhantes e, portanto seus lados são proporcionais.

Sejam dois triângulos e seus lados respectivamente. (as letras aqui indicam

lados e medidas de seus lados)

Como fora dito, eles são semelhantes, logo, seus lados correspondentes são proporcionais, no

entanto, nem todas as correspondências são possíveis. Como se segue:

Lados iguais não podem ser correspondentes, se assim o fosse, teríamos:

e os triângulos seriam congruentes.

A correspondência não seria plausível pois implicaria , ou seja,

que nos leva a concluir que eles seriam congruentes.

Então, o lado correspondente a tem que ser ou . Suponhamos que seja o lado . Isso nos

leva a seguinte proporção:

, implicando que: , com .

Em outras palavras, se dois triângulos não congruentes com cinco elementos respectivamente

congruentes, os lados de um dos triângulos serão formados pela Progressão Geométrica e

os lados do outro, a Progressão Geométrica .

Há uma propriedade na formação de um triângulo que diz que o lado maior será menor que a

soma dos outros dois lados.

Para satisfazer essa propriedade tomamos um dos triângulos com os números , no qual:

ou

Da primeira condição:

dividindo os termos da inequação por , resultar em e

.

Calculando as raízes:

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Logo:

Para a segunda condição, veja a equivalência, calculando as

raízes:

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Logo:

Juntando os dois resultados, para que sejam lados de um triângulo é preciso que

ou seja, deve estar entre os números de ouro.

Observe a figura abaixo: começando com o triângulo de lado , cada par de triângulos com

um lado em comum satisfaz as condições do problema.

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A seqüência de Fibonacci e o número áureo

A seqüência de Fibonacci é concebida por Em outras palavras o termo

posterior é a soma dos dois números antecessores, que é sempre igual ao sucessor aos dois aqui

referidos, estes números são chamados também de números de Fibonacci. Verifica-se que tomando

como definição dessa seqüência temos para todo natural, que: ,

.

Essa seqüência não é limitada superiormente, contudo existe um fato interessante: tomando as

razões de cada termo pelo seu antecessor, obtemos outra seqüência numérica cujo termo geral é dado

por:

que é uma seqüência limitada conforme veremos abaixo. Considerado a seqüência de Fibonacci como

um conjunto da forma e a razão de cada número pelo seu antecessor, obtemos

outra seqüência:

Percebe-se facilmente o que ocorre quando colocamos essas razões sucessivas (altura) em um

gráfico, onde, o eixo horizontal é a seqüência de Fibonacci:

As razões vão se aproximando de um valor já conhecido por nós, como o número de ouro

(número áureo), que é representado pela letra grega . Aliás, quando n tende para o infinito, o limite é

exatamente o número áureo .

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Algumas considerações sobre seqüências

Definição: Uma seqüência de números reais é uma função , definida no conjunto

dos números naturais e tomando valores no conjunto dos números reais.

Representação:

é chamado de termo de ordem .

Diz-se que a seqüência é limitada, quando existem números reais tais que

para todo . Que significa que todos os termos da seqüência pertencem ao intervalo . (Elon,

vol.1, pág. 101)

Limite de uma seqüência

Definição: Diz-se que o número real é limite da seqüência de números reais, e escreve-se

, quando para cada número real , dado arbitrariamente, for possível obter um

inteiro tal que , sempre que . (Elon, vol.1 pág.107)

Simbolicamente temos:

Quando , dizemos que a seqüência converge para ou tende para e indicamos

. Se uma seqüência possui limite, ela é chamada convergente.

Teorema 1: Toda seqüência convergente é limitada (ver demonstração em Elon, vol.1, pág. 110)

Observação: A recíproca é falsa: a seqüência é limitada mas não é convergente porque

possui limites diferentes.

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Seqüências de Cauchy

Veremos agora que o critério usado por Cauchy nos dará uma condição, suficiente e também

necessária, para a convergência de uma seqüência de números reais.

Seja uma seqüência de números reais. é uma seqüência de Cauchy se:

Dado um número real , pode-se obter tal que e implica .

Isto significa dizer que seus termos , , para valores suficientemente grandes dos índices

se aproximam arbitrariamente uns dos outros.

Teorema 2: Toda seqüência convergente é de Cauchy. (Demonstração, ver Elon vol.1, pág.126)

Lema: Toda seqüência de Cauchy é limitada. ( Demonstração, ver Elon vol.1, pág.126,127)

Teorema 3: Toda seqüência de Cauchy de números reais é convergente.(Demonstração, ver Elon vol.1,

pág. 127)

Mostremos agora que a seqüência , sendo que dada pela seqüência de

Fibonacci, converge, e converge para o número , isto é , que é o número áureo. Para

isso, mostraremos que é uma seqüência de Cauchy e, portanto, pelo Teorema 3, a seqüência

converge.

Seja dado. Devemos mostrar que existe tal que se , então

.

Como é estritamente crescente, é possível encontrarmos tal que

. (*)

Usaremos alguns fatos:

segundo fato é a definição da Seqüência de Fibonacci

Assim, se , temos,

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Suponhamos que .mn > Por II, temos que

Portanto, substituindo na igualdade acima, e prosseguindo indutivamente, conforme a expressão II

acima,

Pelo fato e aplicando a desigualdade triangular na última expressão temos:

sendo que na última passagem usamos (*) acima.

Portanto a seqüência é de Cauchy.

Logo existe um tal que

Agora, como

concluímos que

Resolvendo a equação , chegamos ao número

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Curiosidades

As aplicações da secção áurea são datadas de anos antes de Cristo. No

Egito antigo, por exemplo, em muitos hieróglifos tem proporções áurea.

Na figura acima, a letra (h) é na verdade uma espira dourada. Os egípcios quando usavam os

pés e as mãos como hieróglifos, demonstravam um cuidado especial, sobre o corpo, como razão áurea

em suas proporções. Veja que o (p) e o (sh) são retângulos áureos .

O escaravelho é um símbolo egípcio muito importante. Ele pode ser redesenhado em um

retângulo áureo. Se for desenhado a partir do centro do inseto, o retângulo pode ser dividido.

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O olho de Rá, outro símbolo importante do Egito antigo. Ele simboliza o rei Sol Rá, o mais

importante deus egípcios. Este símbolo é notado nos sarcófagos dos mortos. Pode ser desenhado como

retângulo áureo.

Muitas foram as aplicações da secção áurea, nos seus templos religiosos, em suas pirâmides.

Também a razão áurea foi muito aplicada na Grécia antiga.

Um dos mais antigos momentos já visto é o Partenon Grego (entre 447 e 433 aC), templo

representativo do século de Péricles, contém a razão de ouro no retângulo que contem a fachada

( largura/altura ), isso nos revela a preocupação de realizar uma obra de alta beleza e harmonia. O

arquiteto e construtor dessa obra foi Fídias. Como já sabemos, a inicial do nome do arquiteto é a letra (

) que é designada para denotar o número áureo.

Tem destaque também, à época do Renascimento, em especial com Da Vinci. Em suas obras de

arte, usou muito, da razão áurea, chamada por ele, de, a divina proporção. Leonardo, homem de uma

criatividade exuberante, era um gênio de pensamento original e usou exaustivamente os conhecimentos

matemáticos que possuía, em suas obras. Um, exemplo é a tradicional representação do homem em

forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos estrelados regulares

inscritos na circunferência.

Na Monaliza, observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, no seu rosto,

pode-se construir vários retângulos áureos.

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Na natureza, está repleta de seres vivos contendo essas dimensões, “secção áurea”, por isso, nos

fascinam tanto. Em algumas plantas, por exemplo, a avelã, cassis e faia.

No corpo humano, essas dimensões tem sido estudadas com veemência. As secções áureas no

corpo humano estão representadas a seguir:

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Bibliografia

LIMA, Elon Lages. Curso de Análise.Vol.1, 11.ed. Rio de Janeiro:Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2006.

BOYER, Carl B. História da matemática/Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F.

Gomide – 2.ed. São Paulo: Edgard Blücler,1996.