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  TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A PROBLEMAS DA FÍSICA Sinop/MT 2010

Monografia Tarcis Santos Edo Laplace

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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS

APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A

PROBLEMAS DA FÍSICA

Sinop/MT

2010

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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS

APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A

PROBLEMAS DA FÍSICA

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado à Banca Examinadora do

Departamento de Matemática -

UNEMAT, Campus Universitário de

Sinop, como requisito parcial para a

obtenção do título de Licenciado em

Matemática.

Orientador: 

Prof. MSc. Rogério dos Reis Gonçalves

Co-orientador: 

Prof. Dr. André Luis Christoforo

Sinop/MT

2010

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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS

APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A

PROBLEMAS DA FÍSICA

BANCA EXAMINADORA:

__________________________________

Prof. MSc. Rogério dos Reis GonçalvesProfessor Orientador

Unemat - Campus Universitário de Sinop

__________________________________

Profª. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano DiasProfessora Avaliadora

Unemat - Campus Universitário de Sinop

__________________________________

Prof. Emerson Claudio Gentilin AdãoProfessor Avaliador

Unemat - Campus Universitário de Sinop

__________________________________

Prof. MSc. Odacir Elias Vieira MarquesPresidente da Banca

Unemat - Campus Universitário de Sinop

SINOP

15 de Novembro de 2010.

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“A mente que se abre a novas ideias jamais

voltará ao seu tamanho original.”

Albert Einstein

“O que sabemos é insignificante, o que não

sabemos é imenso.”

Pierre Simon Laplace

O trabalho poupa-nos de três grandes males:

tédio, vício e necessidade.

Voltaire

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha amada mãe, a quem este tem significado igual para mim,

senão maior; e a minha esposa Elisângela, a quem devo os estímulos que me impulsionaram abuscar vida nova a cada dia, meus agradecimentos por ter aceitado se privar de minhacompanhia pelos estudos, concedendo a mim a oportunidade de me realizar ainda mais.

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AGRADECIMENTO

Agradeço primeiramente a Deus, por dar-me a aptidão e a oportunidade de concluir um cursode Graduação.

Aos meus pais, pelo empenho que tiveram em garantir a base sólida para minhas conquistas.

Aos professores do Departamento de Matemática, por contribuírem direta ou indiretamentecom o aprendizado necessário à conclusão deste trabalho. Em especial aos professores eorientadores Rogério dos Reis Gonçalves e André Luis Christoforo por seu apoio e inspiraçãono amadurecimento dos meus conhecimentos e conceitos que me levaram a execução econclusão desta monografia

Aos meus amigos, por compartilharem os momentos bons que tive durante a Graduação.

E agradeço a minha esposa Elisângela, que além de compartilhar os momentos bons, tambémestava presente durante os não tão bons, me apoiando e dando forças, sempre.

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RESUMO

SANTOS, Tarcis A. O.  Aplicações da Transformada de Laplace na Resolução de Equações  Diferenciais de Primeira Ordem Lineares Referentes a Problemas da Física. Trabalho deConclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Faculdade de Ciências Exatas.Universidade do Estado de Mato Grosso. Campus Universitário de Sinop, 2010.

Neste trabalho abordam-se dois métodos de resolução de Equações Diferenciais:Método do Fator Integrante e Método da Transformada de Laplace. O principal objetivo desteestudo é criar um texto didático, com conceitos gerais, que apresente os dois métodosaplicados a problemas modelo resultantes de experimentos físicos, dando ênfase à resoluçãodestes por meio da Transformada de Laplace. Para tanto, descrevem-se ambos os métodos e

os modelos, com as demonstrações e definições que se fazem necessárias ao bomentendimento do assunto. Na exposição dos dois problemas, os mesmos serão resolvidos pelométodo do Fator Integrante, comumente aplicado nos cursos de Graduação e, posteriormenteserão resolvidos pelo Método da Transformada de Laplace, para que fique evidenciada suafuncionalidade.

Palavras-chave: Transformada de Laplace. Fator Integrante. Equações Diferenciais.Cálculo Diferencial e Integral.

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ABSTRACT

SANTOS, Tarcis A. O. Applications of Laplace Transform in Solving Differential Equationsof First Order Linear Related to Problems of Physics. End of Course Work (Graduate inMathematics) - Faculty of Exact Sciences. University of Mato Grosso. Sinop, 2010.

This work deals with two methods of solving Differential Equations: Method of Integrating Factor and Method of Laplace Transform. The main objective of this study is tocreate a teaching text, with general concepts, which makes the two methods applied to modelproblems arising from physical experiments, with emphasis on addressing these through theLaplace Transform. To this end, will be described both methods and models, withdemonstrations and definitions that are necessary for the proper understanding of the subject.

In the exposition of the two problems, they will be solved by the Method of IntegratingFactor, commonly used in undergraduate courses, and later will be solved by LaplaceTransform Method, so that its functionality is highlighted.

Key-words: Laplace Transform. Integrating  Factor. Differential Equations. Differential andIntegral Calculus.

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SUMÁRIO

1  INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1 

2  PRELIMINARES ........................................................................................................ 3 

2.1  EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ...................................................... 3 2.1.1 Breve Histórico das Equações Diferencias Ordinárias ................................... 32.1.2 Conceitos e Definições ...................................................................................... 6

2.1.3 Classificação por tipo ....................................................................................... 72.1.4 Classificação por ordem ................................................................................... 82.1.5 Classificação por linearidade ........................................................................... 82.1.6 Problemas de Valor Inicial (PVI) ..................................................................... 92.1.7 Método do Fator Integrante ............................................................................. 9

2.2  A TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................. 11 2.2.1 Definição da Transformada de Laplace......................................................... 122.2.2 Transformada Inversa.................................................................................... 142.2.3 Transformada de Derivadas .......................................................................... 162.2.4 Translação Sobre o Eixo s .............................................................................. 17 

3  PROBLEMAS MODELO.......................................................................................... 18 

3.1 QUEDA DE CORPOS CONSIDERANDO A RESISTÊNCIA DO AR ................ 183.2  RESOLUÇÃO DO PROBLEMA MODELO 1 SEGUNDO O MÉTODO DOFATOR INTEGRANTE .................................................................................................. 19 3.3 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON .......................................................... 213.4  RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2 SEGUNDO O MÉTODO DO FATORINTEGRANTE ................................................................................................................ 21 

4  RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS MODELO SEGUNDO O MÉTODO DATRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................. 24 

4.1  QUEDA DE UM CORPO EM MEIO À RESISTÊNCIA DO AR ......................... 24 4.2  LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON .......................................................... 26 

5  CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 28 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 29

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1.  INTRODUÇÃO

O estudo do Cálculo Diferencial e Integral é de suma importância para o

desenvolvimento das ciências naturais e tecnológicas. Newton (1643-1727) foi capaz de

resolver diversos problemas de sua época através da esquematização de suas teorias referentes

à Mecânica. Da mesma forma deu-se o desenvolvimento das teorias sobre as Equações

Diferenciais para a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento que até então

não podiam ser respondidas.

Equações Diferenciais são encontradas na Física na resolução de problemas como

resfriamento de corpos (Lei de Resfriamento de Newton), o experimento de queda livre de

corpos considerando a resistência do ar (Resistência em Fluidos). Na Engenharia Civil, em

particular, na mecânica dos materiais, destacam-se os problemas de Deflexão de Vigas, que

resultam em EDO’s Lineares de Segunda Ordem, além de diversas outras aplicações nas mais

diversas áreas do conhecimento humano.

Para a resolução de tais problemas recorre-se comumente a técnicas de resolução de

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s), propostas e esquematizadas por diversos autores,

que podem ser de forma analítica ou numérica. Por forma analítica de resolução de EDO’s

entendem-se métodos convencionais de resolução de EDO’s, elaborados através de

desenvolvimentos minuciosos na álgebra linear, compreendendo os métodos presentes na

maioria dos cursos de Graduação de Ciências Exatas, onde são apresentados métodos

específicos para cada tipo de EDO. Através destes podem-se encontrar famílias de soluções

que, quando se tratar de Problema de Valor Inicial (PVI), são reduzidas a uma função como

resolução do problema. Na forma numérica encontra-se uma solução de valor aproximado,

com certa segurança, do real valor que poderia ser encontrado através do método analítico,

mas podendo ser aplicado a equações cujo método analítico não apresenta solução.

Além dos métodos analíticos convencionais do cálculo, destaca-se a Transformada de

 Laplace como alternativa a resolução de problemas que levam a EDO’s. Este trabalho tem por

objetivo apresentar uma abordagem alternativa no estudo da Transformada de Laplace,

aplicando-a na resolução de EDO’s lineares de primeira ordem referentes a problemas da

Mecânica de maneira a apresentar em conjunto às soluções comumente utilizadas do Cálculo

(Técnica do Fator Integrante), objetivando-se motivar o leitor ao estudo do tema.

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Para tanto no capítulo 2 será destinado a uma retomada de assuntos pontuais como a

história do Cálculo Diferencial e Integral e das Equações Diferenciais, que apesar de

superficial, terá o intuito de mostrar em qual época surgiram os teoremas estudados hoje, bem

como definições e teoremas necessários para o bom entendimento deste trabalho.

No capítulo 3 serão apresentados os problemas Modelo, provenientes de experimentos

da Física, que serão tratados através do método do Fator Integrante, a fim de estabelecer uma

solução particular para cada modelo numa situação pertinente a este trabalho.

No capítulo 4 pretende-se apresentar a solução analítica dos dois modelos através do

método da Transformada de Laplace, uma Transformada Integral desenvolvida por um dos

maiores matemáticos que estudaram as equações diferenciais, Pierre Simon Laplace.

No capítulo 5 será apresentado breve comentário sobre os resultados obtidos, na formadas considerações finais, sem o interesse da discussão acerca da validade de cada método, já

que ambos são válidos e comprovados há quase um século.

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2.  PRELIMINARES

Os resultados que se seguem são apenas abordados superficialmente, por isso

recomenda-se para maiores detalhes Boyce e Di Prima (1994) e Zill (2003), os quais foram

consultados para escrever esta seção. Apesar dos métodos analíticos serem validados pelas

teorias da Álgebra, e se farão presentes durante este trabalho, não é um dos principais

objetivos o estudo minicioso do tema pela abordagem da Álgebra. Desta forma, para maiores

informações sobre o assunto, os leitores devem consultar Boldrini (1980) e Steinbruch (1987).

2.1  EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

As equações diferenciais foram muito estudadas após a organização do Cálculo

Diferencial e Integral, engendrada principalmente por Newton e Leibniz, e do Teorema

Fundamental do Cálculo. Mesmo hoje me dia ainda é um assunto bastante dinâmico com

várias questões interessantes em aberto.

Para que se possa entender um pouco mais sobre as equações diferenciais antes de

focar as atenções em métodos para encontrar suas soluções, será apresentado um breve

histórico do surgimento das teorias que envolvem as equações diferenciais, algumas

definições importantes, que por si só se fazem necessárias e, a solução de uma equação

diferencial de primeira ordem.

2.1.1  Breve Histórico das Equações Diferencias Ordinárias

O cálculo, apoiado na geometria analítica, foi o maiorinstrumento matemático descoberto no séc. XVIII. Ele semostrou notavelmente poderoso e eficiente para atacarproblemas inexpugnáveis em tempos anteriores. Foi suaampla e surpreendente aplicabilidade que atraiu o grossodos pesquisadores em matemática da época, resultandodaí uma profusão de artigos pouco preocupados com o

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resultado bastante insatisfatório dos fundamentos doassunto. (EVES, 462).

Pode-se dizer que os estudos das equações diferenciais começaram com os esforços de

Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz de organizar os pensamentos por vezes

desencontrados de seus antecessores no que hoje conhecemos como Cálculo Diferencial e

Integral.

Newton nasceu em Woolsthorpe, Inglaterra, em 1642. Era filho de agricultores pobres,

mas devido à sua excelência em experimentos mecânicos desde cedo sua educação foi

fortemente apoiada, principalmente por sua mãe. Aos dezoito anos de idade já estudava no

Trinity College, Canbridge. A partir daí começou a estudar profundamente a matemática e

desenvolveu suas teorias.

Suas maiores e notáveis conquistas estão no campo da gravitação celeste e na óptica.

Na óptica obteve grande sucesso na teoria das cores e com algumas suposições inquietantes

foi capaz de movimentar o interesse e as discussões em sua época. No campo da gravitação,

com sua primazia no estudo das equações, desenvolveu a lei da gravitação que leva seu nome.

De seus estudos de equações formulou um método de resolução que chamou de Método dos

Fluxos, conhecido hoje como Cálculo Diferencial, sendo esta uma das maiores contribuições

feita para a matemática moderna. Mesmo em seu tempo seu trabalho foi reconhecido por

vários matemáticos famosos.

[...] sua grandeza foi reconhecida por juízes de elevadoquilate científico, como Leibniz, que lhe prestou umtributo dizendo: “Tomando a Matemática desde o iniciodo mundo até a época em que Newton viveu, o que elefez foi, em grande escala, a metade melhor”. (EVES,441)

Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig, em 1464. Desde pequeno aprendeuoutras línguas, filosofia e matemática. Como autodidata aos doze anos de idade já dominava

todo o conhecimento corrente de matemática e as leis publicadas pelos textos da época.

Trabalhou quase que sua vida toda no trabalho diplomático e entre 1673 e 1676 já havia

inventado o seu Cálculo.

Apesar de Newton ter desenvolvido o Cálculo Diferencial, sua notação gerava certo

desconforto e embaraço ao ser utilizada. Leibniz introduziu então a maior parte da simbologia

empregada no Cálculo atual. Foi o primeiro a utilizar o símbolo de Integral, um s alongado, emesmo a notação de variação conhecida hoje por dy/dx, surgiu de seus trabalhos.

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Outra enorme contribuição é o teorema Fundamental do Cálculo, cuja notação e

muitas fórmulas de diferenciação já haviam sido escritas ate 1676, quando se mudou de Paris

para Hanover. Também se deve a ele o método de separação de variáveis, a redução de

equações homogêneas em equações separáveis em 1691 e o procedimento para resolver

equações diferenciais lineares de primeira ordem em 1694.

Por volta de 1700 o Cálculo como é conhecido hoje já estava escrito, mas foi Leonard

Euler que trouxe enormes avanços a teoria das equações diferenciais. Coube a ele dar inicio

ao emprego do Fator Integrante na resolução destas equações, já que ele introduziu a idéia do

número e, base dos logaritmos naturais. Também foi ele quem apresentou o método

sistemático de resolução de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, muito

usado até hoje, e a distinção entre Equações Diferenciais Lineares Homogêneas e Não-Homogêneas.

A partir desta época surge a questão da resolução de problemas apresentados por

questões advindas principalmente da Mecânica e da Astronomia. Segundo EVES, as

contribuições matemáticas dos grandes cátedras que seguiram com estudos matemáticos no

séc. XVIII se devem à grandes nomes como a Família Bernoulli, Lagrange, Laplace, dentre

outros, porém, estes estudos não foram basicamente matemáticos. Os teoremas e esquemas de

resolução apresentados por eles são obras construídas para derrubar paradigmas da época decada um destes estudiosos, principalmente nos campos da Mecânica e Astronomia. Para

EVES “... foi só no séc. XIX que a pesquisa matemática se emancipou dessas balizas

científicas” (EVES, 463).

Mesmo com os resultados obtidos não podendo ser considerados friamente corretos,

ainda assim os resultados obtidos na utilização de tais métodos eram surpreendentes e não

restava dúvida de que tal teoria matemática renderia bons frutos em sua pesquisa.

Com esta lacuna crescente no estudo da formalidade dos métodos até então utilizados,a maioria dos problemas que podiam já ser resolvidos geravam grandes discussões pela

validade do método utilizado. E quanto mais as discussões se intensificavam e agravavam,

mais se mostrava nítida a necessidade de transpor a fragilidade dos métodos.

Foi então que as atenções voltaram-se para a Análise Matemática, com o intuito de

esclarecer os fundamentos teóricos do Cálculo Diferencial e Integral e procurar por métodos

de estudos das equações diferenciais que não a sua solução explícita.

Um dos grandes nomes que se destacou nesta época foi Augustin-Louis Cauchy. Foi

graças aos seus estudos na área de Análise que se tem até hoje algumas de suas contribuições

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nos livros de Cálculo. Deve-se a ele a abordagem com que se trabalham os conceitos do

Cálculo nos cursos de Ensino Superior de hoje, sendo ele quem definiu a derivada de uma

função ( ) y f x= em relação a  x como o limite, quando ∆ →0, da razão

∆= lim

∆→

 (+∆) − ()

∆ 

Cauchy também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números

complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para

equações diferenciais.

Contemporaneamente outro nome que se destaca é o de Gauss. Suas contribuições

foram inúmeras e dentre as mais importantes destaca-se que ele usou equações diferenciais

para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss ainda estabeleceu a teoriado potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria das

funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados

necessários em equações diferenciais aplicadas.

A partir do séc. XX as técnicas numéricas de encontrar solução de equações

diferenciais foram aprimoradas, da mesma maneira que novas teorias surgiram. Muitos

matemáticos deste século trabalharam com equações e sistemas de equações diferenciais não

lineares. Um dos grandes nomes que trouxe grandes progressos foi Henry Poincaré,conseguindo resultados bastante expressivos em no estudo do movimento de muitos corpos,

especialmente a descoberta do comportamento caótico das soluções para sistemas de três

corpos. Dentre outras de suas descobertas estão estudos sobre óptica, eletricidade, telegrafia,

capilaridade, elasticidade, termodinâmica, mecânica quântica, teoria da relatividade e

cosmologia.

Mesmo hoje as pesquisas no campo das equações diferenciais ainda podem evoluir

muito. Muitos dos campos onde as equações diferenciais parciais e sistemas de equaçõesdiferenciais são aplicados ainda possuem pouco interesse de pesquisadores ou necessitam de

mais avanços no campo tecnológico. Desta maneira a história das equações diferenciais ainda

está sendo escrita, e não há como prever um fim para estas pesquisas.

2.1.2  Conceitos e Definições

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Uma equação diferencial é uma igualdade que envolve uma função incógnita de uma

ou mais variáveis, suas variáveis independentes e suas derivadas até determinada ordem. Uma

EDO pode ser encontrada em aplicações como reações químicas, decaimento radioativo e

corpos em queda. No entanto, nem toda equação diferencial ordinária apresenta solução

analítica. A este tipo de equações diferenciais são aplicados comumente métodos numéricos

de resolução, que proporcionam uma solução aproximada da que se encontraria caso utilizado

um método analítico.

Dentre as EDO’s que possuem solução analítica podem-se destacar inúmeros métodos

de resolução, cada um deles levando-se em consideração a classificação da equação

diferencial em análise. As equações diferenciais podem ser classificadas quanto à ordem da

derivada encontrada na equação e à família de equações diferenciais de acordo com o métodocom o qual comumente são encontradas suas soluções. Para o trabalho proposto serão

analisadas as equações diferenciais lineares de primeira ordem, resultantes do estudo de

Resfriamento de Corpos e Queda de Corpos meio a Resistência do Ar.

Para tal serão apresentadas a seguir as principais classificações que uma EDO pode

assumir.

2.1.3  Classificação por tipo

Como já foi dito uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função

incógnita e suas derivadas. A classificação por tipo destas equações se dá pela quantidade de

variáveis independentes presentes na função incógnita. Se tal função for de apenas uma

variável, então uma equação que a contenha será uma equação diferencial ordinária, por setratar da derivada de apenas uma variável. Se tal função possuir mais de uma variável

independente, então suas derivadas serão parciais, então uma equação que contenha tal função

será uma equação diferencial parcial ou uma equação de derivadas parciais.

Equação Diferencial Ordinária

22

22 1 y d y dy

edx dx

 + =    

 

Equação Diferencial Parcial

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8

2 2

2 24 0

 x x

 y t 

∂ ∂− =

∂ ∂  

2.1.4  Classificação por ordem

A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem das derivadas que

estão presentes na equação. A ordem é determinada pela maior derivada presente:

Equação Diferencial de Primeira Ordem

5 3dy

 xdx

= +  

Equação diferencial de Segunda Ordem

7 223

23 5

d y dy dy y y x

dx dx dx

   + + =        

 

Equação Diferencial de Terceira Ordem

( )3 2

3 24 5 0d y d ysenx xy

dx dx  + + =      

2.1.5  Classificação por linearidade

Uma Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n pode ser descrita como sendo

da forma:

)()()()()( 011

1

1  xg y xadx

dy xa

dx

 yd  xa

dx

 yd  xa

n

n

nn

n

n =++++ −

− K  

Esta equação é composta de uma função f(x,y), onde y depende somente de x, a única

variável independente. As funções de x, ( )1 2 1 0, ,..., , , ,n na a a a a g x− são ditas funções arbitrárias

conhecidas da equação diferencial, e dependem exclusivamente de x. Quando alguma destas

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funções não depender apenas de x, ou se a equação não puder ser expressa desta forma a

equação diferencial deixa de ser linear e se diz que é uma equação não-linear .

Pretende-se estudar, no trabalho proposto, os supracitados problemas encontrados na

grande área da Física, que resultam em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de

Primeira Ordem (EDOL’s). Considerando as funções arbitrárias de x, 1 2, ,...,n na a a− , sendo

iguais à zero, uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Primeira Ordem pode ser descrita

como sendo da forma:

)()()( 01  xg y xadx

dy xa =+  

2.1.6  Problemas de Valor Inicial (PVI)

Em geral deseja-se encontrar a solução de uma equação diferencial sujeita a

determinadas condições pré-definidas, condições estas que são impostas à solução

desconhecida ( ) y y x= e suas derivadas. Quando a solução da equação diferencial for

relevante somente se esta solução contiver determinado ponto, esta equação é dita fazer parte

de um Problema de Valor Inicial (PVI). 

Supondo-se que ( ) y x represente uma solução do problema de valor inicial, os

seguintes três conjuntos da reta real podem não ser os mesmos: o domínio da função ( ) y x , o

intervalo I sobre o qual a solução está definida e o intervalo Φ de existência e unicidade.

Considera-se geralmente como intervalo I de definição para este problema de valor

inicial o maior intervalo contendo 0 x , sobre o qual a solução ( ) y x está definida. O intervalo

I depende de ( ), f x y e da condição inicial ( )0 0 y x y= .

2.1.7  Método do Fator Integrante

A equação diferencial a ser resolvida é do tipo:

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10

)()()()()( 011

1

1  xg y xadx

dy xa

dx

 yd  xa

dx

 yd  xa

n

n

nn

n

n =++++ −

− K 

Sabendo que a equação em questão é de grau 1, temos uma equação do tipo:

)()()( 01  xg y xadx

dy xa =+

 

Definição: Chama-se Solução de uma Equação Diferencial uma função que verifica

identicamente esta equação.

Toda função y, definida em um intervalo I que tem ao menos n derivadas contínuas em

 I , as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária reduzem a mesma à

identidade, é denominada solução da equação diferencial no intervalo  I .

Uma solução de equação diferencial ordinária de ordem n é uma função y que tem ao

menos n derivadas e que, para todo x pertencente ao intervalo I , assume o valor

( ) ( ) ( )( ), , ´ ,..., 0nF x y x y x y x =  

Considerando a equação diferencial linear de primeira ordem

)()()( 01  xg y xadx

dy xa =+  

Que pode ser escrita como

( ) ( ) ( ) ( )’ y x P x y x Q x+ =  

apenas dividindo a equação pelo coeficiente 1( )a x .

( ) ( ) ( )dy

 p x y x q xdx

+ =  

multiplicado ambos os termos da equação por ( )U x , temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )’ y x U x U x p x y x U x q x+ =  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )’ ’U x y x U x q x y x U x U x p x y x= = +  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’U x y x U x y x y x U x U x p x y x U x q x+ = + =  

( ) ( ) ( ) ( ) ( )’U x y x U x p x y x=  

multiplicando por( )

1

 y x, com ( ) 0 y x ≠ , obtemos

( ) ( ) ( )’U x p x U x=  

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11

multiplicando por( )

1

U x, com ( ) 0U x ≠ , temos

'( )

( )( )

U x

 p xU x =  

integrando a equação, obtemos

'( )( )

( )

U xdx p x dx

U x=∫ ∫   

ln | ( ) | ( )U x p x dx= ∫   

ln ( ) ( )U x p x dx= ∫   

aplicando a função inversa de ln, obtemos

( )ln ( )  p x dxU xe e∫ =  

( )( )

 p x dxU x e∫ =  

Esta equação é chamada de fator integrante da Equação Diferencial Linear.

)().()]'().([  xQ xU  x y xU  = , integrando ambos os membros da equação, obtém-se

[ ( ). ( )]' ( ). ( )U x y x dx U x Q x dx=∫ ∫   

1( ). ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ). ( )

( )U x y x U x Q x dx y x U x Q x dx c

U x = ⇒ = + ∫ ∫   

Sendo1

( ) . ( ). ( )( )

 y x U x Q x dx cU x

= + ∫  a solução genérica de Equações Diferenciais

Lineares de primeira ordem.

2.2  A TRANSFORMADA DE LAPLACE

Existem várias técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, dentre elas

destaca-se as transformadas integrais. Uma transformada integral é uma relação com a

forma

( ) ( ) ( )∫ = β

αdt t  f t sK sF  , (1)

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onde  f  é uma função dada que se transforma em outra função F  mediante uma integral. A

função F  é a transformada de  f  e a função K  é o núcleo da transformação. Muitos

problemas que envolvem equações diferenciais lineares podem, muitas vezes, ser facilmenteresolvido com uma escolha conveniente do núcleo K  e dos limites de integração α e β ,

isto é, diversas transformadas integrais são muito usadas, cada qual apropriada a certo tipo de

problema.

Para definir a Transformada de Laplace, precisa-se da noção de integral imprópria e

esta pode ser vista em Stweart (2006). Será definida agora a lei matemática que rege a

operação Transformada de Laplace.

2.2.1  Definição da Transformada de Laplace

Definição 1: Seja a aplicação [ ): 0, n f  +∞ → ¡ . A Transformada de Laplace da

 função ( )t  f  é denotada e definida por:

( ){ } ( ) ( )0

st  f t F s e f t dt  ∞ −= = ∫ L (2)

para todos os valores de s para os quais a integral imprópria converge.

Para simplificar, representaremos a função original por uma letra minúscula e a sua

variável por t , e a sua Transformada de Laplace pela letra correspondente maiúscula e a sua

variável por s .

Conforme (2) pode-se ver que o núcleo da Transformada de Laplace ést e−

. Como as

soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes se baseiam em funções

exponenciais, a Transformada de Laplace é particularmente útil para resolver equações desse

tipo. Ainda, se a integral acima converge, ela converge para uma função F  de s e isto fica

claro, pois o integrando da integral imprópria contém o parâmetro s adicionalmente à

variável de integração t .

Considera-se o seguinte exemplo. Toma-se ( ) 1=t  f  para 0≥t  . Usando a

definição (1) obtêm-se

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13

{ }0

0

11 st st  

e dt es

∞∞ − −

=

= = − ∫ L  

=

+− −

∞→ se

ssb

b11lim ,

e, portanto,

{ }1

1s

=L para 0>s  

É importante notar que o limite calculado acima não existiria se 0<s . Por isso

{ }1L é definido apenas para 0>s . Isto é típico das transformadas de Laplace; o domíniode uma transformada é normalmente da forma as > para algum número a .

O Teorema a seguir, mostra de modo generalizado transformadas de Laplace de

algumas funções elementares importantes que podem ser úteis na resolução dos problemas

propostos e não serão apresentadas suas demonstrações. De agora em diante não se deve

preocupar-se com as restrições impostas sobre s , já que s está suficientemente restrito para

garantir a convergência da Transformada de Laplace apropriada.

Teorema 1: Transformada de algumas funções elementares

(a) { } 1

!nn

nt 

s +=L ,

K,2,1,0=n  

(b) { }

1t es a

=−

L  

(c) { }

1kt es k 

− =+

L  

(d) { }

( )

11 kt e

s s k −− =

+L  

(e) ( ){ } 2 2

k sen kt  

s k =

+L  

(f) ( ){ } 2 2

coss

kt s k 

=+

L  

(g)  (h) 

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( ){ } 2 2

k senh kt  

s k =

−L   ( ){ } 2 2

coshs

kt s k 

=−

L  

Teorema 2: para [ ): 0, n f  +∞ → ¡  ,  L é uma transformação linear  

Com efeito, usando propriedades da integral imprópria, segue que

( ) ( )[ ] ( ) ( )dt t gedt t  f edt t gt  f e st st st  ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ −∞ − +=+000

βαβα  

sempre que ambas as integrais convergirem para cs > .

Assim,

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } f t g t f t g t  α β α β+ = +L L L  

É um fato familiar do cálculo que se g é contínua por partes no intervalo limitado

[ ]ba, a integral ( )dt t gb

a∫  existe. O teorema a seguir dará condição suficiente da existência

da Transformada de Laplace de uma função, mas antes precisa-se da seguinte definição.

Definição 2: (Ordem exponencial) Dizemos que uma função  f  é de  ordem

exponencial c  se existem constantes c , 0> M  e 0>T  de forma que ( ) ct  Met  f  ≤. 

Teorema 3: Condições suficientes para a Existência

Se ( )t  f  é contínua por partes no intervalo [ )∞,0 e de ordem exponencial c para

T t > , então ( ){ }t  f  L existe para cs > .

A fim de resolver problemas envolvendo equações diferenciais precisa-se de alguns

conhecimentos preliminares importantes sobre as transformadas de Laplace de derivadas e

ainda, inverter o operador Transformada de Laplace. Além disso, é necessário que o operador

inverso seja linear e isso é garantido em virtude da Transformada de Laplace ser uma

transformação linear. Começa-se primeiro pela transformada inversa de Laplace ou, mais

precisamente, pela inversa de uma Transformada de Laplace  ( )sF  .

2.2.2  Transformada Inversa

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Uma transformada inversa de Laplace de uma função ( )sF  , designada por

( ){ }1

F s−

L , é outra função ( )t  f  que goza da propriedade ( ){ } ( ) f t F s=L .

A ideia é a partir da função ( )sF  determinar a função ( )t  f  tal que

( ){ } ( ) f t F s=L . Sendo assim, surge de modo natural o seguinte questionamento. A

função de s que encontramos tem apenas uma transformada inversa de Laplace que poderia

ser a solução desejada?

Duas funções contínuas por partes, de ordem exponencial, com a mesma

Transformada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuidade isolados.Isso não é importante na maioria das aplicações práticas. Logo, pode-se considerar as

transformadas inversas de Laplace como sendo essencialmente únicas. Em particular, duas

soluções de uma equação diferencial devem ambas ser contínuas, e por isso devem ser a

mesma solução se tiverem a mesma Transformada de Laplace.

É frequente que a Transformada de Laplace  ( )sF  seja expressa como a soma de

diversos termos,

( ) ( ) ( ) ( )sF sF sF sF  n+++= L21  

Suponha que ( ) { } ( ) { }1 11 1 n nf t F (s) , , f t F (s)− −= =KL L . Então, pela

linearidade da transformada inversa, a função

( ) ( ) ( ) ( )t  f t  f t  f t  f  n+++= L21  

tem a Transformada de Laplace  ( )sF  . Pela propriedade de unicidade não há outra função

contínua  f  com a mesma transformada. Então( ){ } { } { } { }1 1 1 1

1 2( ) ( ) ( )nF s F s F s F s− − − −= + + +LL L L L ;

ou seja, a Transformada de Laplace inversa também é um operador linear.

É importante salientar que há uma fórmula geral para a Transformada de Laplace 

inversa, mas o seu emprego exige o conhecimento da teoria das funções de variável complexa

e esta não será considerada nessa exposição e para evitar o estudo das variáveis complexas

pode-se recorrer a propriedades importantes da Transformada de Laplace e resolver muitos

problemas interessantes.

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16

2.2.3  Transformada de Derivadas

A propriedade fundamental que permite a aplicação da Transformada de Laplace na

resolução de equações diferenciais é a da derivada, a qual transforma equações diferenciais

em algébricas, e é dada pela seguinte relação:

( )( ){ } ( ) ( ) ( )0 0

df t s f t f sF s f  

dt 

= − = −

L L (3)

onde ( )t  f  é contínua e ( ) dt t df   /  é contínua por partes para 0≥t  . Esta propriedade

permite que se avalie a transformada da derivada de ( )t  f  como uma função de ( )sF  . No

caso de ( ) dt t df   /  ser contínua, a prova da Equação (3) segue diretamente da definição,

bastando apenas que se faça a integração por partes.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )00 0

0st st st t  t 

df t df t  e dt s e f t dt f t e sF s f  

dt dt  

∞ ∞− − − =∞=

= = + = −

∫ ∫ L

 Aplicando-se procedimento análogo para a derivada segunda, obtemos

( )( ) ( ) ( )

22

20 ' 0

d f t s F s sf f  

dt 

= − −

L (4)

É possível deduzir uma expressão para a transformada da enésima derivada( )n f  ,

mediante aplicações sucessivas deste teorema. Veja:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 10 0 0 0n

n n n nnn

d f t  s F s s f s f sf f  dt 

− − − − = − − − − −

LL

 

Como( )n

n

d f t 

dt 

L , 1>n depende de ( )t  f  e de suas 1−n derivadas no ponto

0=t  , a Transformada de Laplace é apropriada para problemas lineares de valor inicial com

coeficientes constantes e é este o caso que será analisado nos problemas modelo. Mas

primeiramente deve-se enunciar um importante teorema que pode poupar trabalho na

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determinação da Transformada de Laplace de um múltiplo exponencial de uma função  f   

desde que se conheça sua transformada.

2.2.4  Translação Sobre o Eixo s 

Muitas vezes precisa-se encontrar a Transformada de Laplace de um múltiplo

exponencial de uma função  f  e ela pode ser determinada a partir da Transformada de

 Laplace de  f  sem aplicar a definição (1). Para isso, pode-se recorrer ao seguinte teorema:

Teorema 4: (Primeiro Teorema do Deslocamento) Se ( ){ } ( ) f t F s=L e a for 

um número real qualquer, então

( ){ } ( )at e f t F s a= −L  

Prova: A prova é imediata, pois pela Definição 1,

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0 0

s a t at st at  e f t e e f t dt s e f t dt F s a∞ ∞ − −−= = = −∫ ∫ L  

O teorema acima é conhecido como Teorema da Translação sobre o eixo s.

Com a exposição dos teoremas e definições necessárias, pode-se então partir para os

problemas propostos e suas soluções. A seguir serão apresentados problemas oriundos de

experimentos da física, bastante comentados durante o Ensino Médio e a disciplina que

trabalha Equações Diferenciais nos cursos de Ensino Superior, bem como sua resolução

através do Método do Fator Integrante.

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18

3.  PROBLEMAS MODELO

Como citado anteriormente, este trabalho tem o interesse de propiciar fonte de dados

relativos à resolução de dois problemas da Física: queda de um corpo em meio à resistência

do ar e a Lei de resfriamento de Newton.

3.1  QUEDA DE CORPOS CONSIDERANDO A RESISTÊNCIA DO AR

Um dos principais exemplos de movimento uniformemente acelerado estudado

durante o Ensino Médio é o experimento de queda livre. Devido à distância dos corpos a

Terra ser pequena, a aceleração gravitacional é sempre considerada constante, auxiliando

assim os estudos da Física. Com o aparecimento das teorias das equações diferenciais, tornou-

se possível adicionar mais fatores ao modelo até então estudado.

Durante o Ensino Médio, quando se estudava a queda livre, para que os estudosfossem condizentes com o nível de conhecimento exigido dos alunos a resistência do ar era

desprezada, tornando o experimento uma ocorrência um tanto quanto longe do que ocorre

realmente próximo à superfície da Terra. Com a consideração de mais um fator durante a

queda de um corpo, os experimentos aproximaram-se da realidade cotidiana e tornam este

assunto relevante novamente durante o Ensino Superior, no que tange o estudo de Equações

Diferenciais.

Toma-se então, um corpo de massa m, abandonado no ar sob influência da forçagravitacional de intensidade g. O seguinte esquema representa as forças aplicadas sobre o

corpo no instante em que é abandonado.

Figura 1 - Forças atuantes sobre o corpo

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No instante em que o corpo é abandonado, há duas forças atuantes neste sistema. A

força  RF →

, que é contrária ao sentido do movimento, e varia de acordo com a variação da

velocidade do corpo, pela função ( )v t 

, e a força peso P

, constante, e que é influenciada pela

massa do corpo e a aceleração gravitacional g→

.

Sabe-se, pela Segunda Lei de Newton, da Mecânica, que

1

.n

ii

F m a→ →

=

=∑  

Como a aceleração atuante no corpo é a variação da velocidade, tem-se

( ) ( )´v t a a v t  t 

→ → →∆= ⇒ =∆

 

Conhecendo a aceleração como variação da velocidade e as forças atuantes no corpo,

pode-se escrever a seguinte equação diferencial, que representa a variação da velocidade do

corpo em função do tempo.

( ) ( )´m g kv t mv t  →

− =  

3.2  RESOLUÇÃO DO PROBLEMA MODELO 1 SEGUNDO O MÉTODO DO FATOR

INTEGRANTE

Reescrevendo a equação ( ) ( )´m g kv t mv t  →

− = na forma

( ) ( ) ( ) ( )´ y x p x y x q x+ =  Obtém-se,

( ) ( )´k 

v t v t gm

+ = 

Com a equação na forma diferencial e com

( ) ( );k 

 p t q t gm

= =  

Aplica-se o método do fator integrante. Desta forma, tem-se

( )k k kt  

dt dt  m m mu t e e e∫ ∫ = = =  

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20

( )( )

( ) ( )1

v t u t q t dt cu t 

= + ∫   

( )

kt kt  

m m

v t e e gdt c

= + ∫   

Aplicando o método de substituição para resolver a integral, tem-se

kt k mw dw dt dt dw

m m k = ⇒ = ⇒ =  

( )kt 

wmmg

v t e e dw ck 

− = + ∫   

( )

kt wm

mgv t e e c

= +  

( )kt kt  m mmg

v t e e ck 

− = +

 

( )kt 

mmg

v t cek 

−= + , sendo esta a solução geral para o modelo de queda livre, pelo

método do fator integrante.

Tomando-se como valores iniciais

( )0 0 0t t v t v= ⇒ =  

Tem-se

( )}0

0

`

0

vk 

t m

mgv t ce

−= +  

0

0

k t 

mmg

ce vk 

−= −  

00

1k t m

mg

c v k e

 = −     

0

0

k t 

mmgc v e

k   = −    

, sendo este o valor da constante arbitrária proveniente da

integração. Substituir o valor da constante na solução geral resulta em

( )0

0

kt k t 

m mmg mgv t e v e

k k 

−  = + −    

 

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( )( )0

0

k t t 

mmg mgv t v e

k k 

−  = + −    

, sendo esta a solução particular do problema de valor

inicial para o modelo de queda livre considerando resistência do ar, pelo método do fator

integrante, quando as condições iniciais são  ( )0 0 0;t t t = Τ = Τ .

Considerando o tempo inicial como 0 0t  = , obtém-se a seguinte solução particular

( ) 0

kt 

mmg mg

v t v ek k 

−  = + −    

 

3.3  LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

Isaac Newton estudou a troca de energia em forma de calor entre corpos e o meio

ambiente, concluindo que a variação da temperatura do corpo com o tempo é proporcional à

diferença de temperatura entre o corpo e o meio onde este está inserido. Newton descreveu

este fato segundo leis matemáticas que expressam a temperatura do corpo em função do

tempo e a temperatura ambiente sendo constante. Vale lembrar que este Modelo criado por

Newton é válido somente se a diferença de temperatura entre o corpo e o meio não forem

muito elevadas.

A seguinte equação diferencial representa a variação de temperatura no decorrer do

tempo

( )( )( )m

d t k t 

dt 

Τ= − Τ − Τ

 

Onde T(t ) é a função que representa a temperatura do corpo, Tm a temperatura do meio

em que o corpo está presente e k é uma constante positiva de proporcionalidade. Para que esta

constante assuma valor positivo no caso de resfriamentos, onde a temperatura inicial do corpo

seja maior que a do meio onde ele se encontra, na equação foi adicionado um sinal negativo. 

3.4  RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2 SEGUNDO O MÉTODO DO FATOR

INTEGRANTE

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Considerando a equação anterior, pode-se aplicar o Método do fator integrante para

encontrar uma solução geral e uma específica para o caso do Modelo da Lei de Resfriamento

de Newton. Dada a equação

( )( )( )m

d t k t 

dt 

Τ= − Τ − Τ

 

Basta colocar esta equação na forma

( ) ( ) ( )p .y qdy

 x x xdx

+ =  

De forma que se possa aplicar o método em questão

Assim:

( ) ( )( )md t  k t 

dt Τ = − Τ − Τ

 

( )( ) ( ) ( )´m m

d t k t k t k t k  

dt 

Τ= − Τ + Τ ⇒ Τ + Τ = Τ

 

Onde

( ) ( ); m p t k q t k  = = Τ 

Desta forma:

( ) ( ) ( )kdt k dt   kt u t e u t e u t e∫ ∫ = ⇒ = ⇒ = 

Conhecendo o fator integrante:

( )( )

( ) ( )1

t u t q t dt cu t 

Τ = + ∫  

( ) kt kt  mt e e k dt c− Τ = Τ + ∫ 

 

( ) kt kt  mt e k e dt c− Τ = Τ + ∫ 

 Utilizando a técnica de substituição para resolver a integral:

1w kt dw kdt dt dw

k = ⇒ = ⇒ =  

( ) kt wmk t e e dw c

k − Τ Τ = + ∫   

( ) ( )kt wmt e e c−Τ = Τ +  

( ) ( )kt kt  mt e e c−Τ = Τ +  

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( ) kt mt ce−Τ = Τ + , sendo esta a solução geral para o modelo de resfriamento de

Newton. Tomando

( )0 0 0;t t t 

= Τ = Τ 

Tem-se

( )}0

00

kt mt ce

Τ

−Τ = Τ +  

00

kt mce− = Τ −Τ  

( )0 0

1mkt 

ce−= Τ − Τ  

( )0

0

kt 

mc e= Τ − Τ , sendo este o valor da constante arbitrária resultante da integração.Substituindo este valor na solução geral temos:

( ) ( ) 00

kt  kt m mt e e−Τ = Τ + Τ − Τ  

( ) ( ) ( )0

0k t t 

m mt e −Τ = Τ + Τ − Τ , que é a solução particular do PVI, quando

( )0 0 0;t t t = Τ = Τ , são as condições iniciais.

Considerando o tempo inicial como 0 0t  = , obtém-se a seguinte solução particular

( ) ( )0kt 

m mt e−Τ = Τ + Τ − Τ  

Com as soluções particulares dos problemas modelo definidas, parte-se então para a

exposição do Método das Transformadas de Laplace para encontrar a solução de Equações

Diferenciais Lineares de Primeira Ordem.

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24

4.  RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS MODELO SEGUNDO O MÉTODO DA

TRANSFORMADA DE LAPLACE 

4.1  QUEDA DE UM CORPO EM MEIO À RESISTÊNCIA DO AR

Sabe-se que a equação que expressa a força resultante que atua sobre um corpo em

queda em meio à resistência do ar é da forma

1

.n

i

i

F m a→ →

=

=

∑, sendo que as forças que atuam sobre o corpo são

P m g→ →

= e ( )1F kv t  →

= − , substituindo na equação da força resultante, obtém-se

( ) ( )´mg kv t mv t  − = , então a equação diferencial que representa a velocidade do corpo

em queda é

( ) ( )´k 

v t v t gm

+ =  

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação anterior,

obtém-se

( ) ( ) ( )´k 

v t v t gm

+ =

L L  

Pela linearidade de L :

( ){ } ( ){ } ( )´ 1k 

v t v t gm

+ =L L L  

Supondo ( )0 0 00;t t v t v= = = e tomando a Transformada de Laplace da derivada e da

constante 1, segue que:

( ){ } ( ) ( ){ }1

0k 

s v t v v t gm s

− + =L L  

( ){ } 0

1k s v t v g

m s  + − =    

L  

( ){ } 0

1k s v t v g

m s  + = +    

L  

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25

( ){ } 0 1 1vv t g

k k ss sm m

= ++ +

L  

( ){ } 0 1vv t gk  k s s sm m

= +  + +    

L  

Aplicando o método das frações parciais no termo1

k s s

m  +    

, obtém-se

1  A Bk k  s ss smm

= +   ++  

 

 

1k 

 A s Bsm

 = + +    

 

Para o valor de 0s =  

11

k  A A

k mm

 = ⇒ =    

 

Para o valor dek 

s

m

= −  

11

k  B B

k mm

 = − ⇒ = −    

 

Desta maneira, segue que

( ){ } 0

1 1 1mg mgv t v

k k k s k s sm m

= + −+ +

L  

Aplicando a Transformada Inversa e o primeiro Teorema do Deslocamento, segue que

( ) 0

kt kt  m mmg mg

v t v e ek k 

− −= + −  

( ) 0

kt mmg mg

v t v ek k 

−  = + −    

, que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo método

do Fator Integrante, para o Modelo de Queda de Corpos em Meio à Resistência do Ar.

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26

4.2  LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

Sabe-se que a equação que expressa a temperatura de um corpo, exposto a diferenças

de temperatura como o meio, em função do tempo é da forma

( )( )( )m

d t k t 

dt 

Τ= − Τ − Τ , que pode ser expressa na forma diferencial, como segue

( )( ) m

d t k t k 

dt 

Τ= − Τ + Τ  

( ) ( )´ mt k t k  Τ + Τ = Τ  

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação anterior,

obtém-se

( ) ( ){ } { }´ mt k t k  Τ + Τ = ΤL L  

Pela linearidade de L :

( ){ } ( ){ } ( )´ 1mt k t k  Τ + Τ = ΤL L L  

Supondo ( )0 0 00;t t t = = Τ = Τ ; e tomando a Transformada de Laplace da derivada e da

constante 1, segue que:

( ){ } ( ) ( ){ }1

0 ms t k t k  s

Τ − Τ + Τ = ΤL L  

( ) ( ){ } 0

1ms k t k  

s+ Τ − Τ = ΤL  

( ) ( ){ } 0

1ms k t k  

s+ Τ = Τ + ΤL  

( ){ } ( )0 mk 

t  s k s s k  

Τ Τ

Τ = ++ +L

 

( ){ }( )

0

1 1mt k 

s k s s k  

 Τ = Τ + Τ    + +  

L  

Aplicando o método das frações parciais no termo( )

1

s s k +, obtém-se

( )

1  A B

s s k s s k  = +

+ + 

( )1  A s k Bs= + +  

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Para o valor de 0s =  

11  Ak A

k = ⇒ =  

Para o valor de s k = −  

( )1

1  B k Bk 

= − ⇒ = −  

Desta maneira, segue que

( ){ } 0

1 1 1 1 1mt k 

s k k s k s k    Τ = Τ + Τ ⋅ − ⋅  + +  

L  

( ){ } 0

1 1 1m mt 

s k s s k  Τ = Τ + Τ − Τ

+ +L  

Aplicando a Transformada Inversa e o primeiro Teorema do Deslocamento, segue que

( ) 0kt kt  

m mt e e− −Τ = Τ + Τ − Τ  

( ) ( )0kt 

m mt e−Τ = Τ + Τ − Τ , que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo método

do Fator Integrante, para o Modelo da Lei de Resfriamento de Newton.

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5.  CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao se desenvolver este trabalho, uma pesquisa bibliográfica sobre a resolução de

equações diferenciais lineares utilizando o método da Transformada de Laplace, ressaltam-se

alguns pontos interessantes. Em primeiro lugar, o conhecimento adquirido durante o curso de

Graduação. Em segundo, os resultados obtidos, a partir do objetivo deste trabalho, exposto no

projeto de pesquisa.

Durante a concretização deste trabalho, a principal intenção tornou-se criar um

documento introdutório, didático e de fácil entendimento, sobre a Transformada de Laplace.

Para tanto, ressalta-se a importância e a contribuição do Cálculo Diferencial e Integral e daÁlgebra. Com o surgimento de tais teorias, a quantia de teóricos dispostos a resolver mais

problemas cresceu assustadoramente, culminando na criação de inúmeros Métodos de

resolução de equações diferenciais, bem como novos campos a serem pesquisados.

Em contrapartida tais métodos não se preocupavam com a formalidade matemática,

especialmente na época em que foram introduzidos seus resultados. Desta maneira, a Álgebra

teve papel fundamental no desenvolvimento matemático na formalização dos métodos, tanto

do cálculo como das equações diferenciais, e hoje, faz-se notória nas matrizes curriculares doscursos superiores das áreas exatas.

A Transformada de Laplace mostra-se então ferramenta indispensável na pesquisa das

teorias que envolvem equações diferenciais. Não porque se mostrou um método melhor que

os outros, mas sim pela sua versatilidade. Apesar de, neste trabalho, terem sido estudadas

apenas equações de primeira ordem, a Transformada de Laplace pode ser aplicada na

resolução de equações diferenciais de ordem n.

Não foi o interesse deste trabalho apenas a comparação entre dois métodos deresolução de equações diferenciais. O principal interesse mostra-se, então, ser apresentar

novos rumos que os acadêmicos dos cursos de Matemática e Engenharia Civil podem trilhar e

que ainda não haviam sido abordados na matriz curricular dos mesmos. Talvez essa

abordagem inicial se apresente futuramente como um caminho interessante, instigando nos

outros acadêmicos um maior desenvolvimento de seu estudo ou servindo como propulsora

para que novos temas, aparentemente desconhecidos no curso de Licenciatura Plena em

Matemática, possam começar a ser discutidos e trabalhados.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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BOYER, Carl B.; História da Matemática / Revista por Uta C. Merzback; tradução Elza F.Gomide. 2ª Edição. São Paulo: Edgar Blücher, 2003.

BRONSON, Richard. Moderna introdução às Equações Diferenciais; tradução de AlfredoAlves de Farias, revisão técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill, 1977.

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 Books, 1994.

EVES, Howard. Introdução a Historia da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues.Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo; Volume 4; 5ª Edição. Rio de Janeiro:RJ. LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear . 2ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill,

1987 

STEWART, James. Cálculo; Vol. 1, 5ª Edição. São Paulo, SP: Pioneira Thomson Learning,2006.

ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 1ª Ed. São Paulo:Thomson, 2003.

SILVA, João Assumpção Da. Aplicação da Transformada de Laplace na Resolução deEquações Diferenciais Ordinárias. 2010. Monografia (Graduação). Universidade do Estadode Mato Grosso. Campus Universitário de Sinop. Sinop – MT.

Santos, Reginaldo J. Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias. Belo Horizonte:Imprensa Universitária da UFMG, 2010. Disponível em:<http://www.mat.ufmg.br/~regi/eqdif/iedo.pdf > Acesso em: 11 de novembro de 2010.