Monografia Tarcis Santos Edo Laplace

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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS APLICAES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A PROBLEMAS DA FSICA Sinop/MT 2010 ii TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS APLICAES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A PROBLEMAS DA FSICA TrabalhodeConclusodeCurso apresentadoBancaExaminadorado DepartamentodeMatemtica- UNEMAT,CampusUniversitriode Sinop,comorequisitoparcialparaa obtenodottulodeLicenciadoem Matemtica. Orientador: Prof. MSc. Rogrio dos Reis Gonalves Co-orientador: Prof. Dr. Andr Luis Christoforo Sinop/MT 2010 iii TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS APLICAES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A PROBLEMAS DA FSICA BANCA EXAMINADORA: __________________________________ Prof. MSc. Rogrio dos Reis Gonalves Professor Orientador Unemat - Campus Universitrio de Sinop __________________________________ Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano Dias Professora Avaliadora Unemat - Campus Universitrio de Sinop __________________________________ Prof. Emerson Claudio Gentilin Ado Professor Avaliador Unemat - Campus Universitrio de Sinop __________________________________ Prof. MSc. Odacir Elias Vieira Marques Presidente da Banca Unemat - Campus Universitrio de Sinop SINOP 15 de Novembro de 2010. iv A mente que se abre a novas ideias jamais voltar ao seu tamanho original. Albert Einstein O que sabemos insignificante, o que no sabemos imenso. Pierre Simon Laplace O trabalho poupa-nos de trs grandes males: tdio, vcio e necessidade. Voltaire v DEDICATRIA Dedico este trabalho minha amada me, a quem este tem significado igual para mim, seno maior; e a minha esposa Elisngela, a quem devo os estmulos que me impulsionaram a buscarvidanovaacadadia,meusagradecimentosporteraceitadoseprivardeminha companhia pelos estudos, concedendo a mim a oportunidade de me realizar ainda mais. vi AGRADECIMENTO Agradeo primeiramente a Deus, por dar-me a aptido e a oportunidade de concluir um curso de Graduao. Aos meus pais, pelo empenho que tiveram em garantir a base slida para minhas conquistas. AosprofessoresdoDepartamentodeMatemtica,porcontriburemdiretaouindiretamente comoaprendizadonecessrioconclusodestetrabalho.Emespecialaosprofessorese orientadores Rogrio dos Reis Gonalves e Andr Luis Christoforo por seu apoio e inspirao noamadurecimentodosmeusconhecimentoseconceitosquemelevaramaexecuoe concluso desta monografia Aos meus amigos, por compartilharem os momentos bons que tive durante a Graduao. E agradeo a minha esposa Elisngela, que alm de compartilhar os momentos bons, tambm estava presente durante os no to bons, me apoiando e dando foras, sempre. vii RESUMO SANTOS, TarcisA. O. Aplicaes da Transformada de Laplace na Resoluo de Equaes DiferenciaisdePrimeiraOrdemLinearesReferentesaProblemasdaFsica.Trabalhode ConclusodeCurso(GraduaoemMatemtica)FaculdadedeCinciasExatas. Universidade do Estado de Mato Grosso. Campus Universitrio de Sinop, 2010. Nestetrabalhoabordam-sedoismtodosderesoluodeEquaesDiferenciais: Mtodo do Fator Integrante e Mtodo da Transformada de Laplace. O principal objetivo deste estudocriarumtextodidtico,comconceitosgerais,queapresenteosdoismtodos aplicadosaproblemasmodeloresultantesdeexperimentosfsicos,dandonfaseresoluo destes por meio da Transformada de Laplace. Para tanto, descrevem-se ambos osmtodos e osmodelos,comasdemonstraesedefiniesquesefazemnecessriasaobom entendimento do assunto. Na exposio dos dois problemas, os mesmos sero resolvidos pelo mtodo do Fator Integrante, comumente aplicado nos cursos de Graduao e, posteriormente seroresolvidospeloMtododaTransformadadeLaplace,paraquefiqueevidenciadasua funcionalidade. Palavras-chave:TransformadadeLaplace.FatorIntegrante.EquaesDiferenciais. Clculo Diferencial e Integral. viii ABSTRACT SANTOS, Tarcis A. O. Applications of Laplace Transform in Solving Differential Equations ofFirstOrderLinearRelatedtoProblemsofPhysics.EndofCourseWork(Graduatein Mathematics) - Faculty of Exact Sciences. University of Mato Grosso. Sinop, 2010. ThisworkdealswithtwomethodsofsolvingDifferentialEquations:Methodof IntegratingFactorandMethod ofLaplaceTransform.Themainobjectiveofthisstudyisto create a teaching text, with general concepts, which makes the two methods applied to model problemsarisingfromphysicalexperiments,withemphasisonaddressingthesethroughthe LaplaceTransform.Tothisend,willbedescribedbothmethodsandmodels,with demonstrations and definitions that are necessary for the proper understanding of the subject. Intheexpositionofthetwoproblems,theywillbesolvedbytheMethodofIntegrating Factor,commonlyusedinundergraduatecourses,andlaterwillbesolvedbyLaplace Transform Method, so that its functionality is highlighted. Key-words:LaplaceTransform.IntegratingFactor.DifferentialEquations.Differentialand Integral Calculus. ix SUMRIO 1INTRODUO ............................................................................................................ 1 2PRELIMINARES ........................................................................................................ 3 2.1EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS ...................................................... 3 2.1.1Breve Histrico das Equaes Diferencias Ordinrias ................................... 3 2.1.2Conceitos e Definies ...................................................................................... 6 2.1.3Classificao por tipo ....................................................................................... 7 2.1.4Classificao por ordem ................................................................................... 8 2.1.5Classificao por linearidade ........................................................................... 8 2.1.6Problemas de Valor Inicial (PVI) ..................................................................... 9 2.1.7Mtodo do Fator Integrante ............................................................................. 9 2.2A TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................. 11 2.2.1Definio da Transformada de Laplace......................................................... 12 2.2.2Transformada Inversa.................................................................................... 14 2.2.3Transformada de Derivadas .......................................................................... 16 2.2.4Translao Sobre o Eixo s .............................................................................. 17 3PROBLEMAS MODELO.......................................................................................... 18 3.1QUEDA DE CORPOS CONSIDERANDO A RESISTNCIA DO AR ................ 18 3.2RESOLUO DO PROBLEMA MODELO 1 SEGUNDO O MTODO DO FATOR INTEGRANTE .................................................................................................. 19 3.3LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON .......................................................... 21 3.4RESOLUO DO PROBLEMA 2 SEGUNDO O MTODO DO FATOR INTEGRANTE ................................................................................................................ 21 4RESOLUO DOS PROBLEMAS MODELO SEGUNDO O MTODO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................. 24 4.1QUEDA DE UM CORPO EM MEIO RESISTNCIA DO AR ......................... 24 4.2LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON .......................................................... 26 5CONSIDERAES FINAIS ..................................................................................... 28 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .............................................................................. 291 1.INTRODUO OestudodoClculoDiferencialeIntegraldesumaimportnciaparao desenvolvimentodascinciasnaturaisetecnolgicas.Newton(1643-1727)foicapazde resolver diversos problemas de sua poca atravs da esquematizao de suas teorias referentes Mecnica.Damesmaformadeu-seodesenvolvimentodasteoriassobreasEquaes Diferenciais para a resoluo de problemas de diversas reas do conhecimento que at ento no podiam ser respondidas. EquaesDiferenciaissoencontradasnaFsicanaresoluodeproblemascomo resfriamentodecorpos(LeideResfriamentodeNewton),oexperimentodequedalivrede corposconsiderandoaresistnciadoar(ResistnciaemFluidos).NaEngenhariaCivil,em particular,namecnicadosmateriais,destacam-seosproblemasdeDeflexodeVigas,que resultam em EDOs Lineares de Segunda Ordem, alm de diversas outras aplicaes nas mais diversas reas do conhecimento humano. Paraaresoluodetaisproblemasrecorre-secomumenteatcnicasderesoluode Equaes Diferenciais Ordinrias (EDOs), propostas e esquematizadas por diversos autores, quepodemserdeformaanalticaounumrica.PorformaanalticaderesoluodeEDOs entendem-semtodosconvencionaisderesoluodeEDOs,elaboradosatravsde desenvolvimentosminuciososnalgebralinear,compreendendoosmtodospresentesna maioriadoscursosdeGraduaodeCinciasExatas,ondesoapresentadosmtodos especficosparacadatipodeEDO.Atravsdestespodem-seencontrarfamliasdesolues que, quando se tratar de Problema de Valor Inicial (PVI), so reduzidasa umafuno como resoluodoproblema.Naformanumricaencontra-seumasoluodevaloraproximado, comcertasegurana,dorealvalorquepoderiaserencontradoatravsdomtodoanaltico, mas podendo ser aplicado a equaes cujo mtodo analtico no apresenta soluo. Alm dos mtodos analticos convencionais do clculo, destaca-se a Transformada de Laplace como alternativa a resoluo de problemas que levam a EDOs. Este trabalho tem por objetivoapresentarumaabordagemalternativanoestudodaTransformadadeLaplace, aplicando-anaresoluodeEDOslinearesdeprimeiraordemreferentesaproblemasda Mecnica de maneira a apresentar em conjunto s solues comumente utilizadas do Clculo (Tcnica do Fator Integrante), objetivando-se motivar o leitor ao estudo do tema. 2 Para tantonocaptulo2se