Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes

UM PROGRAMA DE GEOMETRIA a PARA A 7 SRIEE RELATO DE UMA EXPERINCIA COM UMA TURMA NA ESCOLA MUNICIPAL ISAURA VILELA BRASILEIRO EM BOTELHOS NO ANO 2000

Aluno: Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes Monografia: Um programa de Geometria para a 7a Srie e Relato de Uma Experincia com uma Turma na Escola Municipal Isaura Vilela Brasileiro em Botelhos no Ano 2000 Curso: Ps Matemtica Graduao Lato Sensu em

Faculdade: Faculdade de Filosofia Cincias e Letras de Guaxup MG Orientador: Profa. Luciane Marostegan (Mestre / UNICAMP) Aparecida

Local e Data: Muzambinho, 30 de Agosto de 2001

S sei que nada sei Scrates

DedicatriaDedico esta monografia aos meus pais Profa. Josefina Camargo Sales de Magalhes e Prof. Jos Sales de Magalhes Filho, que me deram a primeira oportunidade de aprender e ensinar. Tambm dedico para todos os meus alunos, em especial aos alunos da 7a Prata do ano 2000 e da 8a Prata do ano 2001 na Escola Municipal Isaura Vilela Brasileiro Dedico tambm minha primeira aluna experimental, que muito me auxiliou na luta pela Educao Matemtica, Luana Nuevo dos Santos; e minha exprofessora do Ensino Mdio, a incansvel batalhadora por um ensino melhor Profa. Carmem Laura da Silveira Santiago. Dedico especialmente para Mrian Freire Tavares, minha ex-aluna, noiva e companheira de minha vida. Tambm dedico minha orientadora Luciane Aparecida Marostegan, por todo apoio que me d, e por retomar minha vontade de prosseguir nos estudos. Mas dedico principalmente, para quem me abriu muitas portas para a minha evoluo no meio matemtico, meu ex-professor Jos Carlos de Souza Kiihl.

SUMRIOPREFCIO. INTRODUO. CAPTULO I O ENSINO TRADICIONAL DA GEOMETRIA NA 7A SRIE E OS CAMINHOS PARA O ENSINO IDEAL. CAPTULO II DOS OBJETIVOS DO ENSINO DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL. CAPTULO III UM PLANO CURRICULAR PARA A GEOMETRIA NA 7A SRIE. CAPTULO IV SUGESTES DE COMO DESENVOLVER CADA UNIDADE DO PLANO SUGERIDO. CAPTULO V ALGUMAS IDIAS COMPLEMENTARES PARA O CURSO DE GEOMETRIA. CAPTULO VI A REPERCUSO ENTRE OS ALUNOS DA 7A PRATA COMENTRIOS. CAPTULO VII A APRESENTAO DOS ALUNOS EM GUAXUP OBSERVAES. CAPTULO VIII SUGESTES PARA CONTINUIDADE NA 8A SRIE. CAPTULO IX SUGESTES PARA A FORMAO DO PROFESSOR DE MATEMTICA. APNDICE 1 OS ALUNOS DA 7A PRATA 2000 E 8A PRATA 2001. APNDICE 2 A MINHA HISTRIA COMO PROFESSOR. APNDICE 3 TEXTO UM NOVO ENSINO DA MATEMTICA. BIBLIOGRAFIA.

PREFCIO Muito estranha esta necessidade que temos de escrever um prefcio para um texto extenso que parece por si s, completo, sem necessidade de explicaes. Talvez pelo fato do prefcio no fazer parte do texto. Preferi, no incio do texto, fazer uma introduo que d razo lgica ao texto, e depois escrever este prefcio, quando termino a produo, para deixar claro o que eu fiz. Este texto um trabalho de monografia para um curso de ps-graduao. Diferentemente da maioria das produes monogrficas, a experincia que eu relatarei foi concluda antes da monografia sequer ser idealizada. O trabalho que relatarei, com uma turma de classe mdia baixa, da pequena cidade rural de Botelhos, foi um trabalho expontneo e dirigido pelo meu bom senso e pela minha responsabilidade com o aprendizado daquelas crianas. A minha monografia um relato do trabalho que realizei, de forma espontnea, e, ainda uma forma de aperfeioar este trabalho e transmiti-lo para outras pessoas, alm de deixar ele registrado neste documento. Talvez este trabalho monogrfico sirva mais ao trabalho realizado do que este ao trabalho monogrfico. Na leitura do texto, talvez, o profissional de educao matemtica possa encontrar imprecises histricas ou fatuais, estas, eu peo para que me comuniquem para que eu possa realizar as devidas correes. A maioria dos fatos citados foram retirados da minha memria, e a minoria foi retirada de fontes escritas. Tambm peo desculpas se fui parcial em alguns julgamentos, e talvez tenha compreendido mal algumas idias. Procurei ser imparcial, mas, isto praticamente impossvel num tipo de texto como este, onde se faz uma crtica ao sistema tradicional de ensino. Talvez, devido ao meu modo de me expressar, possa causar algum desconforto no leitor, e este pode pensar que estou querendo exaltar a minha pessoa. Se isto parecer para algum, peo desculpas, pois jamais tenho esta inteno, e tenho conscincia das minhas limitaes. Devo lembrar que sou um simples professor que tudo que sabe devido poucas aulas na graduao e aos livros de estudo autodidticos. No tenho autoridade nenhuma e pouqussima experincia no meio acadmico, tanto na rea de Matemtica, quanto na rea de Educao Matemtica, e tudo que aprendi de relevante foi por minha conta, portanto, impregnado de imprecises e erros. Insisto: tudo que aprendi foi dando cabeadas, e quase sempre, sem orientao. Espero que a leitura do texto contribua de algum modo para que se tirem algumas idias sobre o ensino da Geometria na 7a srie e para o ensino da Matemtica. Matemticos profissionais ou pesquisadores de Educao Matemtica podem at reprovar o meu amadorismo, mas, este trabalho e esta monografia tiveram apenas o auxlio de livros. Eu fiz tudo sozinho, sem equipe, sem consultar opinies alheias, sem apoio de autoridades, sem consultar os outros e sem ler muito sobre pesquisas atuais em Educao Matemtica. Alis, eu me formei sozinho, e por isso no sei muito ou erro muito. (Veja o apndice 2, onde relato a minha vida profissional). *** A introduo d um perfil geral sobre o que vou falar sobre o meu plano de curso de7a srie, que eu testei e funcionou. Situa no espao e no tempo este plano de curso e traa as diretrizes gerais.

O captulo I fala sobre o Ensino da Matemtica atravs dos tempos e da necessidade de uma mudana, situando que, o meu trabalho atualizado com os PCNs e com as novas idias mundiais sobre Educao Matemtica. H vrios aspectos destas mudanas. O captulo II fala sobre os objetivos do ensino da Geometria na 7a e 8a sries do Ensino Fundamental. O captulo III introduz as idias fundamentais sobre o plano de Curso de Geometria a na 7 srie. O captulo IV descreve o meu plano de curso, unidade por unidade. o captulo mais importante da obra. O captulo descreve o trabalho como foi realizado na 7a Prata em 2000, com pouqussimos itens acrescentados. Tambm fala-se em materiais utilizados, estratgias de ensino, objetivos e relato de observaes de alunos (algumas prolas). O captulo V cita mais algumas idias para um plano de curso de 7a srie de Geometria. O captulo VI uma enorme lista de comentrios que os alunos fizeram, elogiando o meu trabalho. Este captulo importante para perceber que o meu trabalho, no mnimo, agradou os alunos. O captulo VII o relato da apresentao do meu trabalho de geometria de 7a srie na Faculdade de Guaxup, no curso que eu fao e que motivou esta monografia. O captulo VIII o esboo do que seria um plano de curso de geometria para a 8a srie. Talvez motive uma outra monografia, quando tiver oportunidade de coloc-lo em prtica. Precisarei de no mnimo mais dois anos, visto que, o trabalho que realizei com a 7a prata no pode ser continuado neste ano, pois a professora mais velha da casa quis a turma, e no tive oportunidade de continuar o trabalho. Agora terei que pegar uma turma desde a 7a srie para depois chegar na 8a. O captulo IX uma introduo aos principais aspectos da Matemtica no Brasil. uma lista de objetos, incluindo livros, softwares, obras, sociedades, eventos, etc, que todo professor de matemtica deve pelo menos saber que existe. Os vrios aspectos de muitos destes objetos, muito me auxiliaram na minha formao autnoma. O apndice 1 d a lista dos alunos envolvidos; o apndice 2 conta a minha histria, com total falta de humildade e o apndice 3 a cpia de um excelente texto. Talvez a minha formao deficiente tenha impedido de fazer uma monografia melhor, mas, tentei caprichar ao mximo. O trabalho que realizei com a 7a Prata foi maravilhoso, e isto o que eu gostaria que o leitor percebesse durante o texto. Aos alunos da 7a Prata, espero que esta monografia sirva para que eles percebam a importncia e a grandeza daquele trabalho maravilhoso que foi realizado com eles, no ano 2000, em Botelhos, apesar de todos os problemas polticos que rondavam a escola. Espero que aquele trabalho sirva, para toda a vida, para aqueles alunos. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes Muzambinho, 4 de Agosto de 2001

INTRODUO O presente trabalho tem como objetivo apresentar um programa de ensino de Geometria, de 6 meses, intercalados ou contnuos, na 7a srie do Ensino Fundamental, que sirva tanto para alunos que nunca tiveram contato com a geometria, quanto queles que tenham uma slida base geomtrica, sem perder qualidade. Este programa concilia a modernizao do currculo com o rigor conceitual e das propriedades. Esto igualmente presentes no programa a conceituao, a manipulao e as aplicaes. No um programa que infantiliza a geometria, ensinando-a de forma ldica apenas ou prtica apenas (aplicaes), mas um programa que ensina a geometria como um saber, de forma cientfica e rigorosa, usando exemplos concretos e prticos da vida real que possam levar compreenso do conceito. O programa centrado nas idias, e, propriedades baseando na intuio. O Raciocnio Formal levemente trabalhado, mas no explorado de maneira profunda, deixando este trabalho fundamental para a 8a srie. Tambm, em todo o programa se procura seguir o seguinte esquema de aprendizado: do concreto ao abstrato, do intuitivo para o formal, do particular para o geral, sempre observando o desenvolvimento cognitivo do aluno, e compreendendo que foi com a ordem acima relacionada que a humanidade compreendeu os conceitos de todas as cincias, e, que esta ordem a ideal para o desenvolvimento da criana e do adolescente. Durante todo o programa procurou usar diversas estratgias, como uso de jogos, resoluo de problemas1, modelagens, abordagens etnomatemticas, abordagens histricas e o uso de computadores. O programa tambm procurou englobar, sempre que possvel, e sem fugir da seqncia lgica, contextualizar temas transdisciplinares e interdisciplinares e apresentar aplicaes prticas. A nfase dada ao programa foi feita na geometria por si prpria, portanto, exerccios como os de livros tradicionais de matemtica de nosso pas foram suprimidos, tais como aqueles exerccios famigerados, onde camos em equaes, sistemas de equaes, produtos notveis, fraes, propores, porcentagens e outros problemas algbricos e aritmticos, pois acredito que estes exerccios so muito mais algbricos do que geomtricos, e, num curso de geometria, alm do raciocnio formal, o mais importante so os conceitos, idias e propriedades, alm da manipulao dos objetos geomtricos e de suas aplicaes diretas. Entre os instrumentos de uso em geometria, foram amplamente utilizados o tangram, o geoplano, o pentamin, como objetos fundamentais para incrementao de conceitos. Tambm foram utilizadas construes geomtricas, com dobraduras, recortes, papel quadriculado, rgua e compasso, rgua e esquadro e transferidor. Alm do trabalho de montagem de slidos atravs de planificaes, formas soltas, canudinhos, varetas, etc... Tambm procurei introduzir neste curso uma cultura matemtica, trabalhando com muitas curiosidades como a faixa de Mbius e a garrafa de Klein. Apresentei problemas motivadores clssicos, raramente apresentados para alunos desta idade, como primeiro problema da Teoria dos Grafos: O Problema das Sete Pontes de Knigsberg, apresentado por Euler, o que serviu para trabalhar sobre as idias deste matemtico, incluindo a sua famosa relao de Euler para poliedros convexos, e, apartir da, passar1

Dando nfase Arte de Resolver Problemas, de George Plya.

para a apresentao de muitos outros matemticos, na montagem de uma galeria de matemticos2. Alm, de apresentar textos, como o Poesia Matemtica, do poeta Millr Fernandes, e O Homem Que Calculava, do professor de matemtica Malba Tahan, alm de vdeos, como o animado desenho Donald no Pas da Matemgica, de Walt Dysney. Alm disso podem ser sugeridos ttulos interessantes para leitura, como o atual e novo livro Tio Petrus e a Conjectura de Goldbach, romance que conta a histria de um matemtico que largou tudo e foi procurar a demonstrao da Conjectura de Goldbach, que diz que todo nmero pode ser escrito como a soma de dois nmeros primos. Todo o programa trabalhado atravs de dedues por inferncia plausvel e contemplao, procurando-se tornar visvel o invisvel. *** A parte do uso dos computadores, a cada ano ser mais importante no ensino de Geometria, e, na 7a Srie do Ensino Fundamental ser mais importante ainda. O programa Geometriks, traduzido e comercializado no Brasil pela Editora da Unesp um programa muito rico para um curso de 7a srie, e, pode ser usado com bastante sucesso e tem a vantagem de ser barato, fcil de usar, e de fcil acesso. Porm, o programa ideal, para um curso ideal de Geometria de 7a srie, o Cabri Geomtre II, programa mundialmente conhecido, com verso em portugus, porm, os seus custos so muito altos, o que pode dificultar o seu uso em escolas de comunidades com maior dificuldade econmica. O Cabri II fundamental para que um curso de Geometria no sculo XXI seja completo. *** O programa que apresento neste trabalho j foi realizado, com bastante sucesso, uma vez por mim, e, est sendo repetido, no presente momento em duas sries. Os originais deste programa, foram sendo montados num curso que ministrei, no ano 2000, na Escola Municipal Isaura Vilela Brasileiro, na pequena cidade de Botelhos MG, 20 km de Poos de Caldas e 70 km de Guaxup, onde trabalho at hoje. A turma que trabalhei era a 7a Prata, turma de melhores alunos selecionados, numa escola com graves problemas sociais e polticos, sem computadores, sem professores e sem uma estrutura pedaggica montada, onde muito destes alunos tinham tido aulas durante a 5a e 6a srie apenas com professores no habilitados. O trabalho da 7a Prata logrou muitos sucessos, apesar de todos os problemas que a escola passava, devido ao fato de ser municipal, e muito prejudicada politicamente pelo ento prefeito, que a usava como instrumento eleitoral e para vinganas pessoais, influenciando at nos contedos que os professores trabalhavam dentro de sala de aula.Esta galeria tinha fotos, nome completo, pas onde fez a maior parte de sua pesquisa, data de nascimento e morte. Constaram da primeira galeria, montada para os alunos: Pitgoras, Euclides, Arquimedes, Al-Karismi, Fibonacci, Galileu, Kepler, Pascal, Descartes, Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Abel, Galois, Riemann, Cantor, Poincar, Hilbert e Russel; alm de uma galeria de mulheres matemticas, incluindo Hipatia, Marquesa de Chtelet, Maria Agnesi, Sophie Germain, Mary Somerville, Condessa de Lovelace, Sofia Kovalesvskaya e Emmy Noether.2

Este ano, ainda nesta escola, repito o trabalho, agora, com turmas de nvel econmico e cultural inferior quelas (no so as turmas dos melhores alunos), uma turma de 8a srie do turno da manh, e outra de 7a srie do turno da noite. O trabalho dos contedos de 7a srie na 8a srie se justifica ao fato destes jamais terem tido contato com a geometria em srie alguma, e, este programa apresentado tambm, sob este ngulo, poder ser utilizado na 8a srie. O trabalho que foi realizado na 7a Prata, e este ano se realiza na 8a srie, foi apresentado, comigo e com os 23 dos meus alunos de Botelhos, no dia 30 de junho, no ltimo dia de aula do curso de ps graduao da Faculdade de Filosofia Cincias e Letras de Guaxup, sob a coordenao da Prof. Luciane Aparecida Marostegan, professora de Matemtica do curso e do professor Reginaldo Arthus, diretor acadmico da Fundao Educacional de Guaxup. A apresentao foi a mesma desta monografia. importante ressaltar que esta monografia foi feita para exatamente este curso de ps graduao. *** O programa foi inspirado em trs objetos: na prtica de 6 anos como professor voluntrio, no contato dia dia com os alunos e no plano de Geometria da 5a, 6a e 7a srie da coleo Matemtica Atual3, da Atual Editora, escrito pelo professor Antnio Jos Lopes Bigode, por mim, considerado, o melhor programa de Geometria de 7a Srie de todos os livros didticos do Brasil. Vrios tpicos j haviam sido trabalhados em vrias experincias isoladas, e amadurecidos nestas oportunidades, e com o tempo, foram incrementados e burilados. O programa, obviamente, no completo, no nico, e tem muitas falhas, e, com o decorrer de minha prtica, ano a ano, ir sendo aperfeioado e complementado. Ele apenas serve como uma referncia de um programa rigorosamente cientfico que aplica todos os princpios exigidos, e muito coerentemente exigidos, nos nossos Parmetros Curriculares Nacionais. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes Muzambinho, 26 de Maio de 2001

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Hoje, com nova edio, Matemtica Hoje Se Ensina Assim, da FTD. De mesma qualidade.

CAPTULO I O ENSINO TRADICIONAL DA GEOMETRIA NA 7A SRIE E OS CAMINHOS PARA O ENSINO IDEAL A nossa geometria de 7a srie tinha um plano de curso tradicionalmente utilizado mais de 80 anos, com poucas modificaes4, e foram os PCNs que procuraram modificar este plano de curso que no levava o aluno a lugar nenhum, e, fazia com que ele odiasse a geometria. O plano de curso de geometria da 7a srie, comeava com a idia de ponto, reta e plano, conceitos absolutamente abstratos, e partia para os conceitos mais concretos, cada vez mais, desconsiderando o aprendizado cognitivo do aluno, e a evoluo do conhecimento na humanidade o programa nem sequer falava em conceitos simples e concretos como o de bloco retangular ou de esfera. Este plano tradicional foi motivado num movimento mundial, do incio dos anos 60, chamado Matemtica Moderna, que se iniciou com a tentativa de formalizar a Matemtica ensinada nas escolas, trabalhando-a com um rigor excessivo, tentando transformar o ensino da Matemtica em ensino da cincia Matemtica5. Na poca do incio de movimento trabalhava-se exageradamente com a linguagem de conjuntos, propriedades estruturais, funes, e, at chegou-se a ensinar na 5a srie, conceitos como o de monide, semigrupo, grupo, anel (at mesmo no anel dos polinmios (!)) e corpo, apenas acessvel a alunos de 2o ou 3o ano de graduao na rea de Matemtica ou mesmo na ps graduao. A partir deste movimento ningum mais aprendeu matemtica de maneira satisfatria, e este fato deixou seqelas at os dias de hoje, como tambm alguns benefcios, como alguns aplicaes teis da idia dos conjuntos e ensino de algumas propriedades estruturais que passavam despercebidas. No incio dos anos 80, o NCTM National Council of Teachers of Mathematics (Conselho Nacional de Professores de Matemtica) dos Estados Unidos percebeu oficialmente que a Matemtica Moderna no funcionava, e, decidiu dar incio a uma srie de mudanas no ensino da Matemtica nos ensinos que aqui valem como Fundamental e Mdio, dando nfase idias, resoluo de problemas, aplicaes, e, dando incio aos conceitos matemticos, do concreto ao abstrato, do particular ao geral e do intuitivo ao formal, exatamente ao contrrio do sistema utilizado na Matemtica Moderna, mas aproveitando de alguns benefcios deste movimento, como a valorizao do aspecto cientfico da matemtica e dos valores histricos desta cincia. O Brasil percebeu um pouco mais tarde estas idias, que aos poucos foram sendo introduzidas no pas, atravs de matemticos e educadores matemticos. O primeiro brasileiro que comeou a batalhar por uma melhor educao matemtica foi o professor universitrio e matemtico paulista Omar Catunda, que foi um dos fundadores da primeiraMesmo as mudanas, da Matemtica Raiz para a Matemtica Moderna para o Back to Basics e para a Matemtica ps a lei 5692/72 tiveram pouqussimas variaes no ensino da Geometria, apenas eliminando alguma quantidade de teoremas demonstrados e acrescentando exerccios manipulativos que usavam conceitos da lgebra e da aritmtica. 5 Este movimento foi impulsionado pela corrida espacial, quando o cosmonauta russo Iuri Gagrim foi mandado em rbita, e os Estados Unidos perceberam que no possua cientistas em nmero suficiente para a conquista do espao, e, decidiu comear a produzi-los atravs da preparao de crianas, atravs de ensino de Cincias de modo formal e aplicvel ao objetivo deles.4

sociedade cientfica brasileira, meados dos anos 506, a Sociedade Paulista de Matemtica, que mais tarde virar a SBM. Entidades como a SBM Sociedade Brasileira de Matemtica, atravs da RPM Revista do Professor de Matemtica, foram pioneiras em mostrarem e divulgarem as idias da importncia na mudana no ensino, que comeou, efetivamente a ser realizada no Brasil, no incio dos anos noventa, atravs de manuais didticos, revistas, artigos e livros de apoio. Destaca-se nesta sociedade a produo da CPM Coleo do Professor de Matemtica, com obras do professor Elon Lages Lima, de aperfeioamento do Ensino Mdio e Superior. Tambm foi criada, em 1980 no Brasil, a Sociedade Brasileira de Educao Matemtica SBEM, com o intuito de colaborar com o progresso da Educao Matemtica no Brasil, congregando os professores, educadores, matemticos, psiclogos e outros profissionais da educao para pesquisarem e discutirem sobre os rumos da Educao Matemtica no pas. Entre as aes desta Sociedade est a realizao do ENEM Encontro Nacional de Educao Matemtica, realizado trienalmente, sendo o ltimo deles, realizado no ms de julho de 2001, na Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, onde tive a oportunidade de participar. Esta sociedade tambm colaborou com realizao de projetos governamentais para progresso da Educao Matemtica, como a criao dos PCN de Matemtica do Ensino Fundamental e a avaliao dos livros didticos, o PNLD. O primeiro livro didtico que ousou mudar foi o Matemtica Atual, de Antnio Jos Lopes Bigode, lanado em 1994, que modificou totalmente a ordem e a nfase do ensino da Matemtica no Ensino Fundamental. Era o nico livro que era diferente, todos os outros eram idnticos. Mesmo o livro Matemtica e Vida, da Editora tica, que se dizia renovador, no apresentava muitas mudanas as mudanas neste livro eram muito sutis, e no contemplavam abordagens didticas satisfatrias para a mudana do ensino. Em 1997 surgiu o livro, que se tornou a melhor coleo de livros didticos at hoje lanada no Brasil, o Matemtica Imenes & Llis, de Lus Mrcio Imenes e Marcelo Llis, pela Editora Scipione, que, muito mais do que Bigode, modificava totalmente o plano de curso e dava uma revoluo no ensino da Matemtica no Ensino Fundamental. O livro foi o nico que at hoje tirou, em todos os seus exemplares, nota mxima em todas avaliaes feitas pelo MEC e por outras entidades. O livro trabalha com as idias de mudana do NCTM, e, segue perfeitamente os padres para um bom ensino da Matemtica. Os professores Imenes & Llis em breve lanaro nova edio de seu livro, e tambm trabalham na criao de uma coleo renovada para o Ensino Mdio7. O respaldo para estes livros veio logo em seguida, com a publicao dos Parmetros Curriculares Nacionais PCNs, e, estes livros, que j estavam prontos, contemplavam perfeitamente as idias dos PCNs, que nada mais do que uma verso adaptada para o Brasil, das idias de renovao do NCTM. Os PCNs, os livros de Bigode e dos professores Imenes & Llis, alm de muitos paradidticos, representaram uma grande evoluo no ensino da Matemtica no Ensino Fundamental, e, abriram as portas para o fim da Matemtica Moderna.

Foi tambm nesta poca que se comearam as primeiras reunies para discutir o ensino da Matemtica. Eles j produziram um excelente artigo sobre a Matemtica no Ensino Mdio, que foi publicada na Educao Matemtica em Revista da SBEM, onde do as idias iniciais para o incio das mudanas.7

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Infelizmente, nos dias de hoje, de todos os livros de Ensino Fundamental, apenas 5 ou 6 ousaram mudar, e, todos os outros continuam com aquele sistema e ordem de ensino tradicionais, que desconsideram a evoluo do aluno e o aspecto humano do saber, impregnado de idias arcaicas, ainda da Matemtica Moderna. Muitos destes livros, camuflam em exemplos prticos e pseudo-aplicaes, que esto mudando, ludibriando muitos professores8. Os nicos livros que realmente mudaram, e, foram coerentes e felizes em suas mudanas, e, conseguiram inovar, foram os livros que j falei acima, o do Bigode (que fez uma nova verso do livro: Matemtica Hoje Se Faz Assim, FTD) e dos professores Imenes & Llis, alm de um novo livro da Editora do Brasil, chamado Matemtica na vida e na escola9 (de Ana Lcia Bordeaux, Cla Rubinstein, Elizabeth Frana, Elizabeth Ogliari e Gilda Portela), que so completamente diferentes entre si. Quanto ao ensino da Geometria, o livro do Bigode mais praticvel em turmas que no tiveram o ensino ideal desde o primrio. Os trs livros citados, com nota mxima na atual avaliao do PNLD Programa Nacional do Livro Didtico. Infelizmente, os nossos professores, por comodismo ou falta de atualizao, apesar dos livros e da orientao dos PCNs e do PNLD, em nada mudaram o plano de curso tradicional, e, ainda seguem aqueles planos clssicos, herana da Matemtica Moderna. Alguns seguem at hoje, os clssicos Castrucci capa rosa, que o modo mais fcil de dar aula e mais improvvel de conseguir ensinar alguma coisa para crianas hoje em dia. Talvez muitos no percebam que este ltimo livro citado timo para quem j adulto10 e j aprendeu muito de Matemtica, bem, ou mal, mas, para uma primeira abordagem, altamente prejudicial, alm de altamente incompleto, maante e d apenas uma pequena face da Matemtica. E s para piorar a situao: quase todas as apostilas de sistemas de ensino para escolas particulares usa o sistema tradicional, alguns, altamente conceituados, ainda usam idias da Matemtica Moderna ou idias arcaicas, que pesquisas j provaram que no geram frutos pedaggicos positivos. Talvez o ensino fundamental melhore quando nossos professores se convencerem que o plano que ele deve seguir depende dos seus alunos, e, que ele no deve mais usar os nossos antigos manuais, e no deve continuar ensinando como ele aprendeu, e deve inovar, e, este programa para 7a srie visa orientar o professor de como ele pode mudar, como ele pode evoluir e dar valor Geometria, que, nos programas tradicionais ficava para o fim do ano, que, nos programas tradicionais era trabalhada como um estanque completamente separado da lgebra, que nos programas tradicionais era trabalhada como um amontoado de demonstraes e teoremas, alm das frmulas mirabolantes que caem do cu.

Esta tese, felizmente, sustentada oficialmente, com a avaliao do PNLD. O guia do PNLD faz as crticas aos livros de todos os contedos. No ensino da Matemtica existem crticas e recomendaes sobre cada livro no Brasil. Para confirmar a tese, basta observar a sutileza com que as obras so tratadas pelos avaliadores, no guia. 9 Este livro trabalha todos os conceitos atravs de atividades, sendo uma metodologia um pouco diversa das outras, porm, com a mesma filosofia. Esta coleo livros foi lanada no mercado aps o incio dos meus trabalhos, e, curiosamente, podemos notar presente nela, muitas das minhas idias. 10 Num E-mail, que recebi recentemente do prof. Marcelo Llis, ele diz que no devemos cair em tentao, pois alguns temas que para ns podem ser super interessantes e motivadores, para os alunos podem ser vazios e sem sentido.

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O programa renovado feito para seis meses, pois a Geometria to importante quanto a lgebra e a Aritmtica. No podemos deixar a Geometria de lado. *** Vou listar o programa tradicional da Geometria na 7a srie, em quase todos os nossos manuais, desde os clssicos da poca da Matemtica Moderna com verses mais atualizadas (Ary Quintela, Osvaldo Sangiorgi, Scipione, Benedito Castrucci)11, quanto os um pouco mais recentes (Giovanni e Giovanni Jr, Iracema Mori, Edwaldo Bianchini, Gelson Iezzi, Oscar Guelli, grupo Matemtica e Vida) e at algumas edies muito atuais, algumas at mesmo de Marcelo Llis. Apesar de desatualizado, este o programa proposto por quase todas as escolas do pas: 1. Ponto, Reta e Plano. 2. Postulados de Euclides. 3. Noes sobre Demonstraes. 4. ngulos 5. Tringulos 6. Quadrilteros 7. Polgonos 8. Crculo e Circunferncia Cada livro com suas modificaes e complementaes. Muitos com erros conceituais (Ex: tangente uma curva a reta que toca a curva num ponto). Outras com excessivo algebrismo (Ex: determine o valor de x se 3x+4y e 2x-3y so suplementares e 3x-2y e 2x-y so opostos pelo vrtice ou calcule 22o3020x52). Alguns livros jamais apresentando as figuras em outras formas. Raros falando em Tangram ou dobraduras, e, na maioria, uma grande pobreza de aspectos histricos e prticos. Este no o plano que quero apresentar. *** Poderamos ficar horas analisando todas as falhas no programa tradicional (apesar deste j no ser mais oficial), e tambm as falhas do livros didticos. Porm, estas anlises poderiam gastar captulos e mais captulos, e, no meu objetivo entrar nestes detalhes. As falhas do Ensino Tradicional e a justificativa das mudanas no ensino da matemtica podem ser encontradas nos PCNs, na RPM, no manual do professor dos livros Imenes & Llis, e no Bigode, alm de muitos livros de Educao Matemtica e Paradidticos. Vale a pena ressaltar que a nossa nfase exatamente ao contrrio da tradicional. Ns vamos comear da Geometria Espacial e partir para a plana, pois, para todos, a idia de Bloco Retangular mais fcil e prtica de ser compreendida pela intuio do que a idia de Ponto.11

Alguns livros anteriores, como a obra do professor Euclides Roxo, de 1929, no podem ser considerados nesta lista. A coleo do engenheiro e professor do Colgio Dom Pedro I, do Rio de Janeiro, prof. Roxo, uma obra que, mesmo nos dias de hoje, pode ser considerada como atual. Naquele tempo, ele j usava nomes como bloco retangular em lugar de paraleleppedo retngulo, ele j trabalhava com simetrias, grficos estatsticos, alm de conter longos textos, com capsulas histricas, e comear do intuitivo para depois partir para o formal.

CAPTULO II DOS OBJETIVOS DO ENSINO DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL O Ensino Fundamental, diferentemente das outras modalidades de ensino, em nosso pas esto, em nvel de Educao Matemtica, com excelente parmetros curriculares e selees de contedos. A Matemtica, e a sua metodologia, a ideal e oficial, esto totalmente explicadas, com clareza de detalhes nos atuais PCNs, que so, uma revoluo total, em termos de Educao Matemtica. O governo reconheceu oficialmente nestes documentos o que matemticos e professores tanto pregavam. E mais: em Matemtica, temos trs colees de bons livros para o Ensino Fundamental, o que no acontece em nenhuma outra disciplina, e em nenhum outro nvel (exceto por uma nica coleo de Histria do Ensino Fundamental, de acordo com o PNLD). Por mais que no parea, o ensino da Matemtica, no Brasil, principalmente no Ensino Fundamental, melhora. Melhora, pois antes, em sua quase totalidade, o ensino da Matemtica era maante, enfadonho, e, ningum aprendia nada, mas, devido ao rigor dos professores, ao fato de que poucas pessoas (e justamente aquelas que tinham mais respaldo financeiro e familiar) estavam na escola e ao fato de que a nossa escola pblica de antigamente era apenas para uma elite, e no para todos, muitos falam: Escola boa era a do meu tempo a gente aprendia muita coisa. Isto discurso ideolgico no verdade outrora, o ensino era para poucos e poucos destes poucos retinham o conhecimento para o resto da vida, e poucos dos poucos entre estes poucos tinham satisfao em que faziam. Ou seja, era um ensino elitizado, no um ensino para a cidadania, no um ensino para a formao, no, um ensino democrtico. Hoje, houve a democratizao do saber, permitida e fundamentada na Constituio de 1988 e nas diversas leis que regulamentam a educao, como a nossa brilhante Lei de Diretrizes e Bases da Educao, 9394/96. Alm dos nossos PCNs, e outros documentos que tornam o ensino melhor. *** De acordo com os nosso Parmetros Curriculares, so os seguintes, os Conceitos e procedimentos para o ensino do espao e forma (Geometria), no Ensino Fundamental: 5A E 6A SRIES 1- Interpretar, a partir de situaes-problema (leitura de plantas, croquis, mapas), da posio de pontos e seus deslocamentos no plano e pelo estudo das rpresentaes em um sistema de coordenadas cartesianas. 2- Distino, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo algumas de suas caractersticas, estabelecendo relaes entre elas e utilizando nomenclatura prpria. 3- Classificao de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critrios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e no-regulares; prismas, pirmides e outros poliedros; crculos, polgonso e outras figuras; nmero de lados dos polgonos; eixo de simetria de um polgono; paralelismo de lados, medida de ngulos e de lados.

4- Composio e decomposio de figuras planas. 5- Identificao de diferentes planificaes de alguns poliedros. 6- Transformao de uma figura no plano por meio de reflexes, translaes e rotaes e identificao de medidas que permanecem invariantes nessas transformaes (medidas dos lados, dos ngulos, da superfcie). 7- Ampliao e reduo de figuras planas segundo uma razo e identificao dos elementos que no se alteraram (medidas de ngulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do permetro e da rea). 8- Quantificao e estabelecimento de relaes entre o nmero de vrtices, faces e arestas de prismas e pirmides, da relao desse nmero com o polgono da base e identificao de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses slidos, em funo desses nmeros.12 9- Construo da noo de ngulo associada idia de mudana de direo e pelo seu reconhecimento em figuras planas. 10- Verificao de que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180o. Somente o item 7 no se faz necessrio neste curso para a 7a srie, deve ser trabalhado na 8a srie e antes, talvez na 6a srie. 7A E 8A SRIES 1- Representao e interpretao do deslocamento de um ponto num plano cartesiano por um segmento de reta orientado. 2- Seces de figuras tridimensionais por um plano e anlise das figuras obtidas. 3- Anlise em poliedros da posio relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares e reversas) e de duas faces (paralelas e perpendiculares). 4- Representao de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecimento da figura representada por diferentes vistas. 5- Diviso de segmentos em pares proporcionais e construo de retas paralelas e retas perpendiculares com rgua e compasso. 6- Identificao de ngulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais. 7- Estabelecimento da razo aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferncia e seu dimetro. 8- Determinao da soma dos ngulos internos de um polgono convexo qualquer. 9- Verificao da validade da soma dos ngulos internos de um polgono convexo para os polgonos no-convexos. 10- Resoluo de situaes-problema que envolvam a obteno da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ngulo, de retas paralelas e de alguns ngulos notveis, fazendo uso de instrumentos como rgua, compasso, esquadro e transferidor. 11- Desenvolvimento do conceito de congruncia de figuras planas a partir de transformaes (reflexes em retas, translaes, rotaes e composies destas), identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ngulos, da superfcie). 12- Verificar propriedades de tringulos e quadrilteros pelo reconhecimento dos casos de congruncia de tringulos. 13- Identificao e construo das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um tringulo utilizando rgua e compasso.12

O que curioso que, muito antes de ter lido os PCNs, eu j trabalhava com estes conceitos e procedimentos e defendia a sua importncia.

14- Desenvolvimento da noo de semelhana de figuras planas a partir de ampliaes ou redues, identificando as medidas que no se alteram (ngulos) e as que se modificam (dos lados, da superfcie e permetro). 15- Verificaes experimentais e aplicaes do teorema de Tales. 16- Verificaes experimentais, aplicaes e demonstrao do teorema de Pitgoras. No foram includos no programa os itens: 11, 12, 14 e 15, deixados para a 8a srie. Obviamente, o nosso curso se respalda nestes conceitos, e, so eles que devem ser o eixo central do ensino da Geometria em qualquer nvel, no Ensino Fundamental.

CAPTULO III UM PLANO CURRICULAR PARA A GEOMETRIA NA 7A SRIE Ao criar o ttulo deste captulo, tomei o cuidado para escrever um ao invs de o. Justamente para deixar claro que este plano apenas uma sugesto, que pode ser modificada, mas, deu certo, no ano de 2000, com a 7a Prata, e esta dando certo este ano com outras turmas. Antes, de apresentar o programa, quero citar sobre os modos de conceber o ensino da Matemtica, de acordo com o livro do ano 2000 do NCTM: 1- Resoluo de Problemas, Clculo e Raciocnio Formal 2- Modo de Saber 3- Modo Criativo 4- Aplicaes importante ressaltar que, todos estes tipos de nfase foram includos no programa curricular. A Resoluo de Problemas, Clculo e Raciocnio Formal e as Aplicaes so os objetivos da Matemtica conhecidos por todos. O Modo de Saber a matemtica como meio de conhecimento e cultura. O Modo Criativo um modo de ver o desconhecido exemplos que citarei no corpo do texto ilustram bem isto. *** Sero as seguintes unidades trabalhadas: I SLIDOS II GEOMETRIA DOS RECORTES III DESENHO GEOMTRICO IV NGULOS V- POLGONOS VI CIRCUNFERNCIA VII - TRINGULOS VIII - QUADRILTEROS IX ISOMETRIAS X MOSAICOS XI TEOREMA DE PITGORAS O Curso comea do que mais concreto e palpvel: O Slido Geomtrico, a Forma Espacial. Absurdo seria comear um curso para adolescentes falando de ponto, reta e plano. Formas nada sedutoras, e altamente abstratas. interessante falar do que eles podem enxergar: cones, primas, pirmides, cilindros, esferas, cubos, blocos retangulares e toros. Figuras palpveis e facilmente compreensveis. Aps, parte-se para a construo do raciocnio geomtrico plano, atravs de recortes, atravs da manipulao de objetos. Com isto os alunos podero explorar muito melhor, de maneira dinmica, as formas planas. Aps os recortes, abstrai-se um pouquinho, aprendendo, de modo um pouco formal, as construes geomtricas planas. Em seguida, passam-se a trabalhar com cada um dos entes geomtricos, explorandoos de forma concreta e experimental, descobrindo suas propriedades, suas relaes, seus aspectos mais ntimos.

ngulos, Polgonos, Circunferncia, Tringulos, Quadrilteros. Estudando cada um destes objetos, o aluno comea a compreender quem so os objetos que ele vai trabalhar e como eles so. Em seguida, o aluno vai trabalhar com duas coisas presentes na natureza e nas artes: Mosaicos e Simetrias, sempre fora de nossos currculos, mas fundamentais para a concretizao da Matemtica como Modo Criativo, como uma matemtica contemplativa. Contedos extremamente importantes, tanto para a criao da sensibilidade esttica, quanto para o desenvolvimento do raciocnio geomtrico atravs da contemplao. Alunos que aprendem sobre mosaicos, enxergam propriedades geomtricas nestes. O trabalho de simetrias, se estende para o trabalho geral de isometrias, com diversas transformaes no plano, sem mudar as suas medidas. Isometrias de rotao, reflexo e translao. Num eventual curso de continuao de 8a srie, seriam trabalhadas as homotetias. E, poderamos relacionar congruncia com isometria (excetuando a de reflexo), e semelhana com homotetia. Em seguida, finalizando o curso, uma das idias mais bonitas da cincia: o Teorema de Pitgoras. Trabalhado apenas atravs da comparao de reas, sem usar relaes mtricas, frmulas e bl-bl-bls, que sempre se usam no ensino deste contedo. Trabalhar com o Teorema de Pitgoras pode ser brilhante, e aqui, os alunos podem conhecer a beleza da geometria. Aps, pode-se generalizar este teorema, com o Teorema de Plya que diz que a soma da rea de dois polgonos semelhantes cada um com um lado coincidente com cada um dos catetos, igual a rea de um polgono semelhante estes dois, com um dos lados coincidente com a hipotenusa (perdoem-me os abusos de linguagem). O Curso ideal, e contempla as idias do PCN, e, em cursos mais avanados, pode incluir Semelhana e Congruncia, Teorema de Tales e reas (que tambm podem ser trabalhadas com lgebra).

CAPTULO IV SUGESTES DE COMO DESENVOLVER CADA UNIDADE DO PLANO SUGERIDO Antes de entrar no plano, vou comentar sobre uma das principais idias veiculadas no livro do ano 2000 do NCTM, Aprendendo e Ensinando Matemtica para o Sculo XXI: CONCEPES DO ENSINO DA MATEMTICA PARA O SCULO XXI: 1234Raciocnio Formal, Clculo e Resoluo de Problemas Modo de Saber Modo Criativo Aplicaes *** Neste captulo vou fazer as sugestes de trabalho, e vou citar algumas observaes e prolas que surgiram no desenvolvimento destes. UNIDADE I -INTRODUO GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Contedos Trabalhados: Bloco Retangular e suas vistas Faces, vrtices e arestas do Bloco Cubo como caso particular do Bloco Polgonos: noo elementar ngulo: noo elementar Retas paralelas: noo elementar Tringulo, Quadriltero, Pentgono e Hexgono Classificao dos polgonos quanto ao nmero de lados Prismas: noo, elementos e classificao pela base Pirmides: noo, elementos e classificao pela base Prismas e pirmides retos e oblquos Troncos de prismas e de pirmides Clculo de vrtices, faces e arestas em prismas e pirmides Poliedros Convexos e no convexos Frmula de Euler para Poliedros Convexos Nmero de vrtices, faces e arestas em prismas e pirmides de base com n lados Demonstrao da validade da Frmula de Euler para Prismas e Pirmides Poliedros e Nomenclatura Poliedros Regulares e Poliedros de Plato Diferenciao de Formas Planas e Espaciais Retas paralelas, perpendiculares e reversas em blocos retangulares Dimenses

Vistas de poliedros Reconhecimento de poliedros vistos em vrias posies Mximo de vrtices, faces e arestas que podem ser vistos ao mesmo tempo num poliedro Noes de lgica de classificao. Ex: Todo cubo bloco retangular, mas a recproca no verdadeira, etc... Montando poliedros apartir de suas planificaes Identificando poliedros apartir de suas planificaes Identificao de faixas opostas Slidos de Revoluo: Cone, Cilindro, Esfera e Toro.13 Elementos da Esfera Cone e Cilindro oblquos Troncos de cone e cilindro Formao de slidos de revoluo apartir de polgono gerador Clculo de vrtices, faces e arestas de poliedros de muitos lados conhecendo apenas o nmero de polgonos que os compem, o nmero de lados dos polgonos e o nmero de vrtices nos ngulos slidos. Clculo de vrtices, faces e arestas nos poliedros regulares. O poliedro bola de futebol e o clculo do nmero de vrtices, faces e arestas dele. Clculo do nmero da face oposta de dados de RPG (abordagem etnomatemtica). Desenho de pilhas de blocos retangulares em papel quadriculado Desenho de pilhas de blocos retangulares em malha triangular e hexagonal Desenho de slidos no papel quadriculado, malha triangular e malha hexagonal Desenhos rudimentares em perspectiva14

Outros conceitos Faixa de Mbius Diviso da Faixa de Mbius em 2 e 3 partes iguais (como curiosidade) A misteriosa Garrafa de Klein A faixa Mbius Strip II do pintor MC Escher Maurits Cornelis Escher A Histria da Geometria Materiais Utilizados Poliedros j montados apartir de planificaes (usados em todas as aulas) Planificaes de poliedros Malhas quadriculadas, triangulares e hexagonais Caixas variadas Xerx de apostila Dados de RPG13 14

Mostre slidos como o copo de Yakult, garrafas, vidros, potinhos de filmes, etc... Voc pode fazer uma montanha, com um sol no horizonte e uma estrada caminhando para o horizonte, e, esta estrada, voc desenha ela como duas retas convergentes. E mostra que as retas so paralelas, mas este desenho um desenho que tem que respeitar a quadro negro, que plano, e no podemos furar o quadro. Portanto um desenho em perspectiva.

Faixas de Mbius Gravura da Mbius Strip II Xerx de duas pginas de livro sobre MC Escher

Atividades Experimentais Generalizao do nmero de vrtices, faces e arestas de prismas e pirmides de base n, por inferncia plausvel, mostrando, em conseqncia, a relao de Euler.15 Montagem de poliedros apartir de planificaes, em casa Clculo dos vrtices, faces e arestas dos poliedros regulares e do poliedro bola Numa folha de sulfite ou de caderno, traar 10 riscos de um canto ao outro. Colorir os tringulos de uma cor, os quadrilteros de outra, os pentgonos de outra, e assim sucessivamente. Descobrir qual o polgono com maior nmero de lados que pode ser construdo. Avaliaes Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Argio Oral sobre nomenclatura, faces, vrtices e arestas. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio Correo em sala de aula da Avaliao Escrita PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO O Aluno Lus Fernando imaginou uma MONTANHA RUSSA na forma de uma Faixa de Mbius. O mesmo aluno questionou: Quantos tetraedros regulares cabem num icosaedro regular onde as faces tm o mesmo tamanho? O aluno Tiago observou em excurso ao Walter World, parque de diverses em Poos de Caldas, um tronco de pirmide sobre um cilindro em uma das torres. A aluna Vanessa trouxe uma porca de parafuso na forma de um prisma octogonal OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: Compreenso dos conceitos bsicos e nomenclatura de Geometria Plana e Espacial, bem como a diferenciao das duas, como meio de saber e meio criativo. Compreenso sobre a classificao das formas, e que uma forma pode ser classificada de vrias maneiras. Desenvolvimento do raciocnio espacial, da esttica e da percepo visual.

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Magnfico momento para os alunos fazerem uma demonstrao: A Validade da Relao de Euler para prismas e pirmides. Poder ser a primeira demonstrao da vida deles. Ressalte isto.

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Concepo de propriedades, atravs da verificao, como por exemplo Frmula de Euler e atravs da intuio como a propriedade da existncia de apenas 5 poliedros regulares. Treino da Generalizao por Inferncia Plausvel atravs do Clculo de Vrtices, Faces e Arestas de Prismas e Pirmides. Mostrar situaes em que a intuio se engana, como a decomposio da Faixa de Mbius e a existncia da Garrafa de Klein. Reconhecimento de Formas atravs de vistas, planificaes e formas geradoras. Resoluo de situaes problemas, como o clculo de vrtices, faces e arestas de poliedros com muitas faces.

UNIDADE II GEOMETRIA DOS RECORTES Contedos Trabalhados: Conceituao do significado de Geometria. Noo de ponto, reta, plano, segmento de reta, semi-reta, retas paralelas e secantes, perpendiculares e oblquas, notao. Noo de ngulo, elementos, tipos de ngulo (reto, agudo, obtuso, raso, nulo e de volta inteira), medida de ngulos (graus, minutos e segundos), ngulos complementares e suplementares, bissetriz. Noo de polgonos, elementos, polgonos regulares, polgonos convexos, classificao dos polgonos quanto aos lados. Noo de tringulo, elementos, classificao quanto aos lados e ngulos. Noo de quadriltero, elementos, classificaes, paralelogramos, trapzios, quadrados, retngulos e losango. Noo de crculo e circunferncia. Atividades com o Geoplano. Classificao de polgono convexo e no convexo no Geoplano. Exerccios com Tetramins e Pentamins. Decompondo o Quadrado em outras figuras. Exerccios que envolvem recortes. Noo de Diagonal como um corte que vai de um vrtice ao outro de um polgono. Diagonais de um Pentgono e o Pentagrama. Abordagem histrica: o Pentagrama como smbolo dos pitagricos. Montagem de um quadrado apartir de um retngulo, atravs de dobradura e recorte. Concluso de que os lados dos retngulos so paralelos dois a dois e os ngulos internos so iguais. Concluso de que o quadrado um caso especial do retngulo. Concluso que se um corte for paralelo aos lados de um retngulo, o retngulo cortado se transformar em dois outros retngulos diferentes. Tringulos Issceles e Retngulos e explorao do Tringulo Retngulo Issceles. O Tangram. A lenda do Tangram e estudo das peas do Tangram. Montagem de figuras com o Tangram: aspectos ldicos e aspectos formadores de idias geomtricas.

Identificao de ngulos e lados congruentes nas peas do Tangram. Formao de figuras planas com as peas do Tangram. Noo de reas, usando como unidade o tringulo pequeno do Tangram. Resoluo de problemas envolvendo divises de figuras planas. Dividindo um terreno na forma de um L em 4 partes congruentes (situao problema clssica). Decomposio de figuras levando idia intuitiva do Teorema de Pitgoras. Definio de tringulos issceles, equilteros, escalenos e retngulos. Definio de quadrado e retngulo. Todo retngulo tem duas diagonais.

Materiais Utilizados Tabuleiro de pinos (Geoplano). Papel e tesoura (muito papel e tesoura). Quadrados de papel. Retngulos de papel. Livro Matemtica Atual de Antnio Jos Lopes Bigode, da 5a srie. Tangram . Pentamin. Atividades Experimentais Montagem de figuras no Geoplano. Identificao de figuras montadas no Geoplano atravs de propriedades (Jogo). Obteno de todas as decomposies de um quadrado ou de um retngulo apartir de um nico corte. Obteno de um quadrado apartir de um retngulo atravs de dobraduras e recortes. Montagem de formas com peas do Tangram. Trabalho para casa com 4 problemas de decomposio, todos comentados e resolvidos em sala de aula. Avaliaes Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio. OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: Reconhecer, compreender e definir as principais figuras planas, atravs de exploraes concretas. Compreender que a nomenclatura da figura independe de sua posio. Desenvolver o raciocnio relativo composio e decomposio de figuras. Compreender, intuitivamente, a noo de figuras com a mesma rea. Deduzir, atravs da verificao e manipulao idias bsicas e fundamentais sobre alguns polgonos.

Durante a realizao deste trabalho com recortes, surpresas aparecem com a genialidade dos alunos. Se o trabalho for feito fielmente, como sugere o livro do Bigode, o sucesso garantido. UNIDADE III DESENHO GEOMTRICO Contedos Trabalhados: 16

Diferena de Desenho Geomtrico Clssico (Euclides Rgua e Compasso) do Desenho Geomtrico Moderno. Introduo ao uso do material de desenho e sua conservao. Lpis, traado correto, ponta, dureza da mina (de 6B at 9H). Borracha, como apagar, conservao. Rgua, conservao. Compasso, traado, ponta-seca, chanfro, como lixar o compasso, tipos de compasso. Transferidor, limbo, centro, linha de f, tipos de transferidor. Esquadros de 60o e 45o, utilidades e conservao. Outros materiais de desenho geomtrico interessantes: pantgrafo, elipsgrafo, espirgrafo, escalmetro, etc... Desenhando segmentos de reta com a rgua graduada. Desenhando circunferncias com o compasso: Raio e dimetro. Transporte de segmentos de reta com o compasso. O nmero pi conceito, histria do clculo do pi, o pi como nmero irracional16, aplicaes do pi, curiosidades sobre o pi, mtodos para memorizar algumas casas decimais do pi (curiosidade). Traados de retas paralelas e perpendiculares com o esquadro. Desenho de ngulos de 30o, 45o, 60o e 90o com o esquadro. Desenho de ngulos mltiplos de 15o com o esquadro (atravs da combinao de pontas dos esquadros). Combinaes artsticas de crculos. Rosceas . Traado de ngulos agudos, retos e obtusos. Feixes de paralelas cortadas por uma transversal desenho. Noo informal de ngulos correspondentes. Retas secantes, tangentes e externa a circunferncia. Traado de ngulos com o transferidor. Traados de ngulos maiores de 180o com qualquer transferidor . Circunferncias cocntricas, excntricas, externas, tangentes externas, tangentes internas e secantes. Elementos da circunferncia: raio, dimetro, flecha, corda, arco. Zona, Setor, Segmentos, Semicrculo, Coroa, Trapzio e Lnula Circulares. Desenho da bissetriz.

A um timo momento se os alunos ainda no aprenderam o que um nmero irracional, deste conceito ser ensinado, faz mais sentido.

Desenho da mediatriz. Desenho de retas paralelas com rgua e compasso. Desenho de retas perpendiculares com rgua e compasso. Desenho do hexgono regular com rgua e compasso. Desenho do tringulo equiltero com rgua e compasso. Desenho do quadrado com rgua e compasso. Desenho do dodecgono regular, do octgono regular, do polgono regular de 24 lados, do polgono regular de 16 lados, com rgua e compasso. Desenho do pentgono regular com rgua e compasso. Desenho do heptgono regular com rgua e compasso. Desenho do enegono regular. Desenho do decgono regular, do icosgono regular, do polgono regular de 14 lados, do polgono regular de 28 lados, do polgono regular de 18 lados, do polgono regular de 36 lados, com rgua e compasso. Desenho do pentgono de Drer . Desenho de polgonos dadas as medidas dos lados. Aprendendo a usar o compasso na lousa. Aprendendo a usar os materiais de desenho na lousa. Construes impossveis: a trisseo do ngulo e a duplicao do cubo. Gauss e o polgono regular de 17 lados .

Outros contedos Cdigo ZENIT - POLAR . Filme: Donald no Pas da Matemgica. Montagem de formas planas no geoplano. Apresentao de brinquedos (que podem ser amplamente explorados, mas no nosso plano, isto dever acontecer na 8a srie): Circogram, Trigram, Hexagram, Cubossauro, Pentacubo e Trs ao Cubo. Materiais Utilizados Caderno de Desenho. Rgua, Compasso, Esquadros, Transferidor para cada aluno ou dupla. Rgua, Compasso, Esquadros, Transferidor para quadro negro. Pelo menos um instrumento diferente . Lixa de unhas ou bisel para apontar o compasso. Flanela para limpar o material. Lpis de vrias durezas diferentes para mostrar aos alunos. Vrios tipos de compasso para os alunos perceberem as diferenas. Filme Donald no pas da matemgica. Geoplano. Brinquedos didticos . Avaliaes Caderno de Desenho com todas as atividades (capricho e preciso). Avaliao Escrita, para verificar se os alunos sabem fazer os traados corretos .

PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO Eu havia pedido que me trouxessem os polgonos regulares de 12 e 24 lados, feitos atravs da bisseo de ngulos. O aluno Marcelo, no outro dia, me trouxe, sem eu ter pedido, um polgono regular de 48 lados e outro de 96 lados. No esprito competitivo, no outro dia, Guilherme trouxe, desenhado, um polgono regular de 192 lados. O Aluno Ronaldo, observou que na moeda de R$ 0,25 h um heptgono regular inscrito numa circunferncia. (E usou este termo exatamente). O Aluno Elias disse que quanto mais lados tivesse um polgono ele mais se pareceria com uma circunferncia. Compreendeu uma noo rudimentar de limite. OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Aprender a manusear, nomear e conservar o material de desenho geomtrico. - Aprender a fazer o traado manual das principais figuras geomtricas planas. - Compreender a nomenclatura de diversos objetos geomtricos, incluindo posies relativas de circunferncias e polgonos regulares. - Compreender o uso do par de esquadros para o traado de retas paralelas, perpendiculares e de ngulos mltiplos de 15o . - Aprender a desenhar e medir ngulos com o transferidor. - Aprender a desenhar bissetrizes e mediatrizes, e justificar o traado. - Aprender a desenhar polgonos regulares de diversos lados. - Compreender o desenho geomtrico euclidiano, e entender que em seu trabalho s era permitido o uso de rgua sem graduao e compasso e mais nenhum outro instrumento. - Entender que a razo entre a circunferncia e o dimetro de qualquer circunferncia a mesma, ou seja, igual pi. - Compreender a importncia do desenho geomtrico para preciso do traado de figuras planas. UNIDADE IV NGULOS Contedos Trabalhados: 17 18

ngulos: medidas em graus, grados e radianos (justificativas).17 Conceitos sobre ngulos. Elementos dos ngulos. Classificao dos ngulos. ngulos: graus, minutos e segundos.18 ngulos no Tangram. A origem do grau. Retas perpendiculares.No aconselhvel mandar os alunos fazer transformaes de medidas de ngulos neste nvel. Evite a babaquice, como por exemplo, fazer aquelas operaes absurdas com graus, minutos e segundos.

Construo de alguns ngulos atravs de dobraduras. Medio de ngulos com transferidor. Medio de alguns ngulos com dobraduras. Bissetriz. Construo da bissetriz atravs de dobraduras. Soma dos ngulos internos no tringulo. Verificao que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180o . Construo de ngulos de 225o e 315o e outros atravs de dobraduras. ngulos Alternos Internos, Alternos Externos, Correspondentes, Colaterais Internos e Colaterais Externos e Propriedades. ngulos complementares, suplementares e replementares e propriedades. ngulos opostos num paralelogramo. ngulos inscritos numa semicircunferncia (Teorema Pequeno de Tales). Tales de Mileto. ngulos opostos pelo vrtice. ngulos relacionados giros, inclinaes e orientao. A inclinao de telhados e ruas observaes. Rosa dos ventos. ngulos e a natureza e ngulos e arquitetura ruas de Barcelona, abelhas, etc...

Materiais Utilizados Papel Transferidor Tangram Atividades Experimentais Descobrindo que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180o, recortando um tringulo de papel, marcando os ngulos, cortando-o, e verificando que os ngulos juntos formam um ngulo raso. o o o o Construo de ngulos de 135 , 225 , 315 e 67,5 e outros ngulos atravs de dobraduras apenas. Descobrindo que ngulos alternos internos so iguais atravs de medies e inferncia plausvel. Descobrindo que ngulos correspondentes so iguais atravs de medies e inferncia plausvel. o Descobrindo que ngulos complementares somados resultam 90 atravs de medies e inferncia plausvel. o Descobrindo que ngulos suplementares somados resultam 180 atravs de medies e inferncia plausvel. Verificando atravs de medies, que ngulos opostos pelo vrtice so iguais. Verificando atravs de medies, que ngulos opostos no paralelogramo so iguais e ngulos colaterais so suplementares. Verificando que todo ngulo inscrito numa semicircunferncia reto, atravs de medies e inferncia plausvel. Verificando, com transferidor, a soma dos ngulos internos do tringulo. Descobrindo a medida de todos os ngulos do Tangram.

Numa folha, fazer 10 riscos de borda at borda, e, nos encontros, assinalar de uma cor os ngulos agudos, de outra cor, os retos, e de outra cor, os obtusos. (Todas as atividades descobrindo e verificando, no se deve contar ao aluno qual o resultado que se deve chegar. O Aluno deve ser questionado: quanto ser que d a soma tal, que relao tem tal com tal e coisas assim, e eles mesmo devem descobrir. Aps a descoberta por parte de alguns alunos, em voz alta, pea para que os alunos verifiquem, e aps, mande anotarem a concluso).

Avaliaes Observao dos alunos realizando as atividades experimentais. Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio. PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO O aluno Lus Fernando, trouxe, durante este estudo, o texto A Lenda do Xadrez e se mostrou interessado em desenvolver um teatro com o tema. A aluna Josiane comentou que viu na televiso um jogador de futebol dizendo que deu um giro de 360o (veja bem: ouviu falar um giro de 360o e no um ngulo mostra que ngulos no so associados apenas aberturas). OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Compreenso da idia de ngulo, atravs da associao com giros, inclinaes e orientaes. - Compreenso do sistema de medio em graus, minutos e segundos utilizado para medir ngulos, sem calculismo . - Compreenso de propriedades fundamentais dos ngulos tais como as relacionadas com ngulos alternos internos, complementares, suplementares, correspondentes, opostos pelo vrtice, internos de um paralelogramo e inscritos numa semicircunferncia. Compreenso que a soma dos ngulos internos num tringulo 180o. UNIDADE V POLGONOS Contedos Trabalhados:

Polgonos: conceitos fundamentais, elementos e nomenclatura Noo de polgonos convexos e no convexos Polgonos regulares Mosaicos poligonais Mosaicos Regulares: Triangulares, Quadrados, Hexagonais Mosaicos Semi-regulares Mosaicos Irregulares Decomposio de um polgono em tringulos Descobrindo a soma dos ngulos internos de um polgono convexo Soma dos ngulos internos de um polgono frmula

ngulo interno de um polgono regular ngulos em torno de um ponto Ladrilhamento perfeito (Tesselation) Polgonos regulares inscritos na circunferncia Desenho de polgonos regulares com rgua e compasso Mosaicos de Escher ngulos de viso de animais

Outros Contedos Problemas da Pontes de Knigsberg a impossibilidade da resoluo Problema da gua, Luz e Telefone Euler um pouco de sua histria Introduo s tcnicas de resoluo de problemas Gravuras e Iluso de ptica Poesia Matemtica de Millr Fernandes Livro: O Homem Que Calculava de Malba Tahan Inaugurao da Galeria dos Gnios da Matemtica, com a foto de 21 gnios da Matemtica (comece colando uma foto de Euler na parede, quando falar dele)19 Atividades Experimentais Atravs da decomposio de polgonos em tringulos, descobrir a frmula do soma dos ngulos internos de polgonos Descoberta atravs de experimentos de ngulos em torno de um ponto, que, somente tringulos equilteros, quadrados e hexgonos regulares, entre todos os polgonos regulares, podem fazer um ladrilhamento perfeito. Outras envolvendo ngulos internos e soma de ngulos internos. Materiais Utilizados Polgonos regulares de papel (opcional) a Livro Matemtica Atual de 6 Srie O Livro O Homem que Calculava Cartazes sobre Euler Cartazes sobre Iluso de ptica Fotos, cada uma em uma folha, sobre os principais gnios da matemtica Mosaicos de MC Escher 20 Poesia Matemtica de Millr Fernandes AvaliaesColando estes personagens da histria na parede, toda vez que voc falar em qualquer matemtica, os alunos vo o procurar na parede. Tambm, muitas vezes os alunos o perguntaro sobre os matemticos, e ser um momento timo para voc contar um pouco de histria, e chamar um pouquinho de matemtica, o que vai dar um tom de seriedade no conhecimento matemtico. Outro aspecto positivo a familiarizao com os nomes. 20 Muitos destes materiais eu tenho cpias, algumas chupinhadas da Internet, outras, cpias de livros. Ilegais para comercializao ou para uso com os alunos. Mas podem ser mostradas aos alunos. Disponibilizo a enviar estas cpias aos interessados.19

Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio

PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO Este foi o momento mais rico de todo o curso com a 7a Prata. Era ms de maio, e o entusiasmo dos alunos nesta poca foi ao mximo, principalmente quando falava sobre problemas e quando montava a galeria. Os alunos estavam com o mximo de interesse e surgiram muitas prolas. Foi neste momento que apareceu a moeda de R$0,25 e foi dada a idia da montanha russa. A aluna Simone foi quem apresentou aos alunos o livro do Malba Tahan, O Homem Que Calculava. O aluno Elias criou uma pergunta assim: O Smbolo do So Paulo um polgono regular? Vrios alunos perceberam que as ruas principais de Botelhos eram mosaicos regulares hexagonais. OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Compreenso da noo de polgono - Compreenso da existncia de apenas trs mosaicos regulares e justificar isto experimentalmente - Aprender a compreender mosaicos atravs da contemplao - Encontrar uma frmula para o clculo da soma dos ngulos internos de qualquer polgono e outra para cada ngulo interno de um polgono regular - Compreender que se um polgono de n lados tem soma de ngulos internos igual x, um polgono de n+1 lados tem soma de ngulos internos igual x+180o. - Aprender tcnicas de resolver problemas e saber que alguns deles no tem soluo - Conhecer os mosaicos de MC Escher - Compreender que a matemtica foi uma construo humana atravs dos sculos - Conhecer alguns aspectos da histria da matemtica - Conhecer algumas maneiras de apresentao da matemtica na literatura. UNIDADE VI CIRCUNFERNCIA Contedos Trabalhados: Crculo e Circunferncia A Circunferncia na Arte Raio e Centro Definio de Circunferncia Arco Dimetro

Cordas Concluso que o dimetro a maior das cordas Concluso de que todos os dimetros dividem uma circunferncia em duas partes iguais nmero pi, raios e dimetros Propriedades elementares da circunferncia e de seus elementos Posies relativas entre ponto e circunferncia Posies relativas entre reta e circunferncia Posies relativas entre duas circunferncias e relaes entre os centros das duas Encontrando o centro de um crculo atravs de dobraduras Quadrantes na circunferncia ngulos na circunferncia ngulo inscrito e ngulo central de uma circunferncia Descoberta de relaes entre o ngulo inscrito e o central de uma circunferncia ngulo Inscrito numa Semicircunferncia A circunferncia nas coisas Polgonos inscritos e circunscritos Desenhando livremente polgonos circunscritos Desenho de polgonos regulares com rgua e compasso (novamente) Elipses A construo da elipse com alfinete e barbante Propriedades das elipses Obteno de uma elipse atravs do estiramento de uma circunferncia Outras curvas O Ovo Mgico Construo de circunferncia com rgua apenas Vrias maneiras de traar uma circunferncia Construo de uma circunferncia com rgua e compasso dados trs pontos

Outros conceitos Galeria das Mulheres Matemticas Materiais Utilizados Livro Matemtica Atual 7a Srie Fotos de Mulheres Matemticas Compasso e Rgua Transferidor Barbante Atividades Experimentais Atividades que levem a concluses sobre posies relativas entre ponto e circunferncia, entre reta e circunferncia e entre duas circunferncias Descobrindo o centro da circunferncia atravs de dobraduras Atravs de medies concluir que o ngulo central o dobro de um inscrito numa circunferncia, se pegarmos os mesmos pontos na circunferncia

Atravs de recortes e dobraduras concluir que o ngulo central o dobro do ngulo inscrito (desenhar dois ngulos inscritos, nos mesmos pontos, e colocar sobre o central, depois de recortados). Descobrindo todas as posies relativas entre tringulo e circunferncia. Depois entre quadriltero e circunferncia.

Avaliaes Observao dos alunos realizando as atividades experimentais Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO Nesta parte que trabalhei com a 7a Prata na construo de polgonos regulares com rgua e compasso. Como estava no fim do semestre, aproveitei para ensinar alguma coisa sobre baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, e coisas assim. A prova foi prtica, e durou 3 aulas. O aluno Neilton elaborou a seguinte questo: O que o Otvio usa que uma circunferncia?. A resposta era, o culos! (Contemplao) OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Compreenso da diferena entre crculo e circunferncia - Classificao e compreenso de propriedades entre formas geomtricas e circunferncias - Encontrar o centro de uma crculo atravs de vrios processos, apenas conhecendo a circunferncia - Definir corretamente circunferncia como o conjunto de pontos uma distncia fixa de um ponto chamado centro. - Compreender que dados dois pontos, o ngulo central relacionado com estes pontos tem o dobro da medida do ngulo inscrito relacionado aos mesmos pontos - Compreender o que so polgonos inscritos e circunscritos e seu traado - Conhecer a elipse, seu traado e suas propriedades fundamentais UNIDADE VII TRINGULOS Contedos Trabalhados: Explorando tringulos atravs da dobradura de tringulos de papel Bissetrizes de um tringulo Encontrando a bissetriz de um tringulo atravs de rgua e compasso, e de dobraduras Incentro do tringulo Descobrindo que o incentro o centro da circunferncia inscrita no tringulo Mediatrizes de um tringulo Encontrando a mediatriz de um tringulo atravs de rgua e compasso, e de dobraduras

Circuncentro do tringulo Descobrindo que o circuncentro o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo Alturas de um tringulo Encontrando a altura de um tringulo atravs de rgua e compasso e de dobraduras Ortocentro do tringulo Medianas de um tringulo Encontrando a mediana de um tringulo atravs de rgua e compasso e de dobraduras Baricentro de um tringulo Baricentro como centro de gravidade do tringulo Pontos notveis no tringulo equiltero: coincidncia Pontos notveis no tringulo issceles: colinearidade: Reta de Euler Definio de ceviana Desigualdade Triangular A rigidez do tringulo (nico polgono com esta propriedade), que pode ser verificada. Construes de tringulos com canudinhos e rgua e compasso Classificao dos tringulos quanto aos ngulos Classificao dos tringulos quanto aos lados O baricentro fica mais prximo do circuncentro do que do incentro e fica entre estes dois.

Materiais Utilizados Papel Livro Matemtica Atual de 7a Srie Compasso Rgua Canudinhos Atividades Experimentais Fundamental: encontrar atravs de dobraduras e de rgua e compasso todos os 4 pontos notveis do tringulo. Verificar que o baricentro o centro de gravidade do tringulo, equilibrando-o num lpis Verificar que num tringulo issceles todos os 4 pontos notveis esto alinhados Verificar que num tringulo equiltero todos os 4 pontos notveis coincidem Atravs de experincias com canudinhos, verificar que nenhum lado do tringulo pode ser superior ou igual soma dos outros dois (desigualdade triangular) D trs medidas de lados e mande a sala construir tringulos com canudinhos. Faa o mesmo com 4 medidas de lados e mande a sala construir quadrilteros. Mostre que, no ser pela posio, todos tringulos so iguais, e, quase impossvel surgir dois quadrilteros iguais. Apartir deste momento conceitue a rigidez do tringulo. Avaliaes Observao dos alunos realizando as atividades experimentais Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio

Argio Oral, com questes de nomenclatura Os alunos elaboraram questes para serem perguntadas para outros alunos

OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Conhecimento dos pontos notveis do tringulo e de seu traado - Incentro como centro da circunferncia inscrita e Circuncentro como centro da circunferncia circunscrita um tringulo. - Compreenso de propriedades relacionadas aos pontos notveis do tringulo - Compreenso da desigualdade triangular - Compreenso que o tringulo o nico polgono com a propriedade da rigidez UNIDADE VIII QUADRILTEROS Contedos Trabalhados: Definies e Elementos Verificando que a soma dos ngulos internos 360o, que ele tem duas diagonais e 4 lados, 4 vrtices e 4 ngulos Classificando quadrilteros atravs do eixo de simetria, nmero de ngulos retos, convexidade ou no, lados paralelos ou no e pares de lados iguais. Desenhando quadrilteros dadas as propriedades Bumerangues Retngulos Losangos Quadrados Paralelogramos Trapzios Relaes entre os diversos quadrilteros Descobrindo relaes entre as diagonais dos diversos quadrilteros Tipos de Trapzios Classificao (convexo ou no; nmero de ngulos retos; nmeros de lados paralelos; nmero de eixos de simetria). (c;r;p;s). Relaes entre os vrios quadrilteros Construo de quadrilteros em malhas quadriculadas e triangulares

Materiais Utilizados Rgua Esquadros Livro Matemtica Atual de 7a Srie Papel Quadriculado e Malha Triangular Atividades Experimentais Jogos de adivinha com o geoplano, usando as propriedades eixo de simetria, ngulos retos, ser ou no ser convexos, ter ou no ter lados paralelos, ou ter ou no ter lados iguais

Atravs dos jogos de adivinha, chegar classificao de quadrilteros Desenhar um polgono de cada tipo e verificar, se as diagonais so congruentes, se so perpendiculares e se cortam-se no ponto mdio. Verificar cada uma destas propriedades para cada tipo de quadriltero: quadrado, retngulo, losango, paralelogramo, trapzio issceles, trapzio retngulo e trapzio escaleno.

Avaliaes Observao dos alunos realizando as atividades experimentais Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Compreenso dos diversos critrios de classificao dos quadrilteros - Compreenso de como so classificadas formas geomtricas, atravs de quais parmetros - Compreenso que a classificao dos quadrilteros independe da posio deles - Conhecer as propriedades das diagonais dos quadrilteros - Familiarizar-se com as formas geomtricas de 4 lados - Compreender as principais propriedades dos quadrilteros UNIDADE IX ISOMETRIAS Contedos Trabalhados: Noo de Simetria Etimologia da palavra Simetria Simetria e Arte (mostrar vrias gravuras) Simetria e Natureza A Simetria do Ser Humano Simetria de Reflexo Simetrias nas formas geomtricas Isometrias - conceito Isometria de Reflexo Isometria de Rotao Isometrias de Rotao de vrios ngulos Isometria de Translao Motivos Frisas Logotipos e Isometrias Linhas Gregas Construindo Frisas com os Pentamins Rotaes, Translaes e Reflexes com dobraduras e recortes Rotaes, Translaes e Reflexes com rgua e compasso

Os itens abaixo so opcionais eu mesmo os criei, e testei, e deram certo:

Isometrias de Rotao de 90o, 180o, 270o e 360o Identificao do tipo de Isometria, dadas formas variadas, e rotao variadas Mdulo, distncia e sentido numa isometria de Translao Transformaes Geomtricas: conceitos Movimentos Rgidos Isometrias de Rotao em polgonos regulares Simetria Radial Isometrias, Rigidez do Tringulo e a Criao da Trigonometria Soma de Isometrias de Rotaes Comutatividade de Isometrias de Rotao e Reflexo Rotaes no Espao Desenhando isometrias de uma forma dada Eu criei uma lista com cerca de 25 exerccios sobre Isometria, todos desenvolvendo aplicaes deste contedo to escasso em nosso livros didticos. Apliquei-a em tpicos como pontos notveis do tringulo. Materiais Utilizados - Livro Matemtica Atual de 7a Srie - Folha complementar de exerccios, feitas no Microsoft Word, usando e abusando de rotaes e reflexes - Papel quadriculado - Rgua - Figuras com bastantes isometrias - Pentamin Atividades Experimentais Verificando os eixos de simetrias em todas as letras do nosso alfabeto Construindo toalhinhas de papel atravs de recortes (dobrando o papel em oito partes) Procurar isometrias em logotipos (atividade difcil se os alunos no tiverem acesso logotipos, isto voc deve disponibilizar para eles). Desenhando figuras simtricas Mandar os alunos desenhar frias, com motivos selecionados Desenhando frisas com os pentamins Avaliaes Observao dos alunos realizando as atividades experimentais Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO Surgiam toalhinhas muito bem elaboradas

O aluno Fredy encontrou diversas simetrias numa das escolas de Botelhos (E. E. Ernesto Santiago) Os alunos encontraram muitas simetrias, e, todos os dias falavam nelas. OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Compreender os diversos tipos de isometria e as suas principais propriedades e os seus traados - Entender a importncia da simetria na esttica, e suas aplicaes geomtricas - Fazer transformaes geomtricas no plano - Aguar a sensibilidade esttica - Desenvolver o raciocnio dinmico na geometria, em contrapartida com o raciocnio esttico visto por muitos - Inter-relacionar a arte, a natureza e a arquitetura com a matemtica, mostrando a beleza das simetrias - Mostrar as profundezas do raciocnio geomtrico atravs das isometrias UNIDADE X MOSAICOS Contedos Trabalhados: Conceito de Mosaicos Mosaicos de Escher Padres e Mosaicos Ladrilhando ou pavimentando com polgonos Ladrilhamento perfeito Mostrando que possvel apenas trs mosaicos regulares Descobrindo a existncia dos 8 mosaicos Semi-regulares (Teorema de Kepler) Caleidoscpios Ladrilhamentos simtricos e assimtricos Construo de mosaicos dado o padro Pavimentando com pentamins Pavimentando com moldes Construindo mosaicos escherianos

Materiais Utilizados Livro Matemtica Atual de 7a Srie Caleidoscpio Rgua Compasso Polgonos regulares recortados em cartolina Pentamins Tesoura Vrias gravuras de mosaicos, incluindo quadros de M. C. Escher

Atividades Experimentais Verificar a existncia de apenas trs mosaicos regulares atravs da medida dos ngulos internos de um polgono regular Descobrir que existem exatamente 8 mosaicos Semi-regulares. ( uma tarefa dura e importante, que exige muito tempo, pacincia e dedicao a mais difcil de ser concretizada por falta de tempo, eu consegui, na 7a prata, concretiz-la com pouqussimos alunos). Construo de mosaicos com pentamins, com moldes, e mosaicos escherianos Avaliaes Observao dos alunos realizando as atividades experimentais Argio diria e constante, para verificao do conhecimento. Avaliao Escrita, com questes para raciocnio PROLAS QUE SURGIRAM NA REALIZAO DO TRABALHO: A MATEMTICA COMO MEIO CRIATIVO Os alunos passaram a encontrar mosaicos em todos os lugares foi incrvel. A Flaviane me relatou vrios mosaicos hexagonais regulares. Alguns alunos notaram que alguns calamentos so mosaicos com combinaes de hexgonos A aluna Vanessa comentou que na casa de sua av, o cho pavimentado com mosaicos pentagonais no regulares. Foi uma discusso bacana! Ela no se conformava que os pentgonos no eram regulares, mas se convenceu. OBJETIVOS ESTABELECIDOS E ATINGIDOS: - Compreender que existem apenas 3 mosaicos regulares, mas existem 8 mosaicos semiregulares (Teorema de Kepler) - Aguar a sensibilidade esttica dos mosaicos - Aprender a contemplando os mosaicos observar propriedades angulares, entre outras - Compreender a tcnica usada por Maurits Cornelis Escher na construo de seus mosaicos UNIDADE XI TEOREMA DE PITGORAS21 Contedos Trabalhados: A construo de tringulos retngulos de lados 3, 4 e 5 com barbantes pelos egpcios. Construindo tringulos com rgua e compasso, dadas as medidas e verificando quando eles so retngulos pela observao

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Antes de trabalhar com este contedo legal ler o livro Matemtica Atual de 7a Srie, pg 197. O livro faz uma stira com aquela histria: A Soma dos Quadrados dos Catetos Igual ao Quadrado da Hipotenusa. Os alunos falam que no entenderam nada. Os meus tambm falaram, riram, e compreenderam que se eu falasse daquela maneira ningum ia compreender, e, com o tempo, tudo ficou claro.

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Noo de catetos e hipotenusas Observao que a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa igual a soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos num tringulo retngulo Verificar que a igualdade no vale nos outros tringulos (acutngulo e obtusngulo) Conceituar Teorema de Pitgoras, pela relao a2=b2+c2, sem aplicar a frmula, apenas levando os alunos sua compreenso Ternas Pitagricas Verificando se as ternas dadas so pitagricas, usando o Teorema de Pitgoras Verificando que sendo (a,b,c) pitagrica, (ka,kb,kc) tambm pitagrica. Histria da Vida de Pitgoras: Filsofo, Matemtico, Poltico e Lder Religioso Pitgoras dizia Os nmeros governam o mundo! Os Pitagricos e a Escola de Crtona O Teorema de os babilnios, egpcios, chineses. As vrias celebridades que demonstraram o teorema: Abu I-Wafa, Bhaskara, Leonardo da Vinci e at o ex-presidente dos Estados Unidos: Abram Garfield22 O livro de Elisha Scott Loomis que publicou uma coletnea com 370 demonstraes do Teorema, que foi para o Guiness Book o Livro dos Recordes, como o Teorema demonstrado de mais maneiras diferentes As infinitas demonstraes do educador matemtico moambicano, Paulus Gerdes, baseadas na cultura dos povos africanos A decomposio de quadrados e o Teorema de Pitgoras. (Aqui pode-se falar no produto notvel (a+b)2=a2+2ab+b2, que tambm fica claro aqui). Dividindo um quadrado de lado a+b em um quadrado axa, outro bxb e quatro tringulos de catetos axb. Pegando estes quatro tringulos e colocando em outro quadrado, com as hipotenusas para dentro, formando um quadrado interior, apartir da, verificar que este quadrado (quadrado da hipotenusa) igual soma dos quadrados axa e bxb, que o quadrado da hipotenusa. (A mais elegante prova do Teorema de Pitgoras, feita pelo prprio Pitgoras) Outras maneiras de decompor quadrados e provar o Teorema de Pitgoras Verificao que em um tringulo acutngulo a soma dos quadrados dos catetos inferior ao quadrado da hipotenusa e a recproca verdadeira Verificao da propriedade acima, atravs de construo de quadrados Verificao que em um tringulo obtusngulo a soma dos quadrados dos catetos superior ao quadrado da hipotenusa e a recproca verdadeira Verificao da propriedade acima atravs de construo de quadrados. Classificao de tringulos quanto aos lados e aos ngulos apenas dadas as medidas dos lados Verificao que a soma da rea de tringulos retngulos issceles construdos sobre os catetos de tringulos retngulos igual a rea de tringulo retngulo issceles construdo sobre a hipotenusa. Verificao de que esta mesma propriedade vale para tringulos equilteros Falar que a propriedade da soma de reas de figuras semelhantes construdas sobre catetos igual a rea de figura semelhante construda sobre a hipotenusa.

Aqui legal falar de algumas celebridades (algumas negativas) que conheciam bem matemtica, como Benjamim Constant, Napoleo Bonaparte, etc...

Construo de rgua pitagricas Tpicos sobre ternas pitagricas e o encontro destas tambm podem ser trabalhadas, com xito. Materiais Utilizados Barbante Rgua Compasso Livro Matemtica Atual de 7a Srie Papel Tesoura Calculadora23 Atividades Experimentais Atravs de barbantes e ns, verificar que tringulos de lados 3, 4 e 5 em diversas unidades so retngulos Verificar, experimentalmente, que a rea dos quadrados sobre os lados do tringulo de medidas 3, 4 e 5 coerente com o Teorema de Pitgoras Verificar o Teorema de Pitgoras, decompondo quadrados, atravs da prova de Pitgoras. Outras demonstraes do Teorema atravs da decomposio de reas Verificar que se a2>b2+c2, o tringulo obtusngulo e se a2