Moraes (2010) Caracterização Estimativas e Bifurcações Da Região de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Não Lineares

5/21/2018 Moraes (2010) Caracterizao Estimativas e Bifurcaes Da Regio de Estabilidade de Sistemas Dinmicos No Lineares

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UNIVERSIDADE DE SO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

FABOLO MORAES AMARAL

Caracterizao, Estimativas e

Bifurcaes da Regio de

Estabilidade de Sistemas Dinmicos

No Lineares

So Carlos

2010


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FABOLO MORAES AMARAL

Caracterizao, Estimativas e

Bifurcaes da Regio de

Estabilidade de Sistemas Dinmicos

No Lineares

Tese de Doutorado apresentada Escola de En-

genharia de So Carlos da Universidade de So

Paulo, como parte dos requisitos para obteno

do ttulo de Doutor em Cincias, Programa Enge-nharia Eltrica.

rea de concentrao: Sistemas Eltricos de

Potncia.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Lus F. C. Alberto

So Carlos

2010


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AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTETRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO,PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalogrfica preparada pela Seo deTratamento

da Informao do Servio de Biblioteca EESC/USP

Amaral, Fabolo MoraesA485c Caracterizao, estimativas e bifurcaes da regio de

estabilidade de sistemas dinmicos no lineares/ FaboloMoraes Amaral ; orientador Lus Fernando Costa Alberto. - So Carlos, 2010.

Tese (Doutorado-Programa de Ps-Graduao em

Engenharia Eltrica e rea de Concentrao em SistemasEltricos Potncia) - Escola de Engenharia de So Carlosda Universidade de So Paulo, 2010.

1. Sistemas no lineares. 2. Regio de estabilidade.3. Bacia de atrao. 4. Fronteira da regio deestabilidade. 5. Estimativas da regio de estabilidade.6. Bifurcao sela-n. I. Ttulo.


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Porque o Senhor ama o seu povo, e d aos humildes a honra da

vitria.

Salmo 149, versculo 4.


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DEDICATRIA

Dedico este trabalho s minhas avs, aos meus avs, a minha me, ao meu pai e a

minha esposa.


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AGRADECIMENTOS

A Deus.

A minha filha Vitria Teixeira Moraes Amaral pela sua existncia.

Aos meus pais Relma Moraes Firmo Amaral e Orlando Jos Amaral Melo pelos ensi-namentos e apoio incondicional ao longo da minha vida.

A minha esposa Renata Teixeira Moraes Amaral pelo seu amor e dedicao.

Aos meu irmos Fabola Moraes Amaral e Thiago Moraes Amaral pela amizade.

Ao orientador Lus Fernando Costa Alberto pela oportunidade de crescimento profis-

sional e pela confiana a mim depositada.

Aos meus tios e primos pelo carinho.

Aos colegas de laboratrio pelas oportunidades de trabalho em conjunto e descon-

trao.Aos professores do programa de ps-graduao em engenharia eltrica da Escola de

Engenharia de So Carlos.

Ao Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia da Bahia, pelo apoio finan-

ceiro para a realizao desta pesquisa.


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RESUMO

Estimar a regio de estabilidade de um ponto de equilbrio assintoticamente estvel

importante em aplicaes tais como sistemas de potncia, economia e ecologia. A com-

preenso da estrutura qualitativa da fronteira da regio de estabilidade fundamental paraestimar com eficincia a regio de estabilidade. Caracterizaes topolgicas e dinmicas

da fronteira da regio de estabilidade foram desenvolvidas ao longo das ltimas dcadas.

Estas caracterizaes foram desenvolvidas sob hipteses de hiperbolicidade dos pontos

de equilbrio na fronteira e transversalidade. Para sistemas que dependem de parmet-

ros, a condio de hiperbolicidade pode ser violada em pontos de bifurcaes. Estaremos

interessados em estimar a regio de estabilidade, para sistemas sujeitos a variaes de

parmetros, onde ocorre a violao da condio de hiperbolicidade dos pontos de equi-

lbrio na fronteira da regio de estabilidade devido ao aparecimento de uma bifurcaosela-n do tipo zero nesta fronteira. Apresentaremos neste trabalho uma caracterizao

completa da fronteira da regio de estabilidade na presena de um ponto de equilbrio no

hiperblico sela-n do tipo zero. Motivados tambm em oferecer um algoritmo conceitual

para obter estimativas da regio de estabilidade perturbada via conjunto de nvel de uma

dada funo energia na vizinhana de um parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero,

buscaremos exibir resultados que permitam compreender o comportamento da regio de

estabilidade e de sua fronteira sob a influncia das variaes do parmetro, incluindo

variaes do parmetro prximo a um parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero.

Palavras-chave: Sistemas no lineares, regio de estabilidade, bacia de atrao, fron-

teira da regio de estabilidade, estimativas da regio de estabilidade, bifurcao sela-

n.


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ABSTRACT

Estimating the stability region of an asymptotically stable equilibrium point is funda-

mental in applications such as power systems, economy and ecology. The knowledge of

the qualitative structure of the stability boundary is essential to estimate with efficiencythe stability region. Topological and dynamical characterizations of the stability bound-

ary have been developed over the past decades. These characterizations were developed

under assumptions of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary and

transversality. For systems that depend on parameters, the condition of hyperbolicity

can be violated at points of bifurcations. We will be primarily interested in estimating

the stability region, for systems subjected to parameter variations, when the condition

of hyperboli-city of equilibrium points on the stability boundary is violated due to the

appearance of a type-zero saddle-node bifurcation on the stability boundary. We will de-velop in this work, a complete characterization of the stability boundary in the presence of

a type-zero saddle-node non-hyperbolic equilibrium point. Also, motivated to providing

a conceptual algorithm to obtain estimates of the perturbed stability region via level sets

of a given energy function in the neighborhood of a type-zero saddle-node bifurcation pa-

rameter, we offer results that explain the behavior of the stability region and its boundary

under the influence of parameter variations, including variations of the parameter close to

a type-zero saddle-node bifurcation parameter.

Keywords: Nonlinear systems, Stability region, Basin of attraction, Stability bounda-ry, Estimates of the stability region, Saddle-node bifurcation.


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SUMRIO

LISTA DE ILUSTRAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

LISTA DE SMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Estimativas da regio de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Caracterizao da fronteira da regio de estabilidade. . . . . . . . . . . 2

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Contribuies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Organizao do texto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Espao Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.4 Conjuntos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.5 Conjuntos Contrteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.6 Espaos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.7 Distncia entre dois conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Equaes Diferenciais Ordinrias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Teoria Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Conjuntos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Comportamento Assinttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.4 Equilbrios e Estabilidade Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Variedades Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Propriedade genrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


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3 REGIO DE ESTABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Conjuntos Atrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Caracterizao topolgica da regio de estabilidade . . . . . . . . . . . 35

4 CARACTERIZAO DA FRONTEIRA DA REGIO DE ESTABILIDADE 45

4.1 Pontos de equilbrio na fronteira da regio de estabilidade . . . . . . . . 45

4.2 Estrutura dos pontos de equilbrio na fronteira da regio de estabilidade 49

5 CARACTERIZAO DA FRONTEIRA DA REGIO DE ESTABILIDADE

NA PRESENA DE UM PONTO DE EQUILBRIO SELA-N DO TIPO

ZERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Ponto de equilbrio sela-n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 -Lema e equilbrio sela-n do tipo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Lemas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Ponto de equilbrio sela-n do tipo zero na fronteira da regio de esta-

bilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6 Regio de estabilidade fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 PERSISTNCIA DA REGIO DE ESTABILIDADE . . . . . . . . . . . 736.1 Persistncia dos pontos de equilbrio hiperblicos na fronteira da regio

de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 BIFURCAO A UM PARMETRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1 Estabilidade Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Bifurcao sela-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2.1 Bifurcao sela-n do tipo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8 BIFURCAO SELA-N DO TIPO ZERO NA FRONTEIRA DA REGIO

DE ESTABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.1 Comportamento da fronteira da regio de estabilidade na presena de

um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2 Exemplos e Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9 ESTIMATIVAS DA REGIO DE ESTABILIDADE COM BIFURCAES

SELA-N DO TIPO ZERO NA FRONTEIRA . . . . . . . . . . . . . . . 1039.1 Funo energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.2 Estimativas da regio de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


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9.3 Funo energia e a caracterizao da fronteira da regio de estabilidade

na presena de um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero . . . . . . . . 106

9.4 Estimativas da regio de estabilidade na presena de um ponto de equi-

lbrio sela-n do tipo zero na fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.5 Comportamento das estimativas da regio de estabilidade prximo a

um parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero . . . . . . . . . . . . . 113

10 CONCLUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


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LISTA DE ILUSTRAES

Figura 1.1: Classificao dos mtodos para estimar a regio de estabilidade. . . . 2

Figura 2.1: p um ponto -limite e o conjunto -limite da soluo (t,x). 18Figura 2.2: Conjunto-limite desconexo e ilimitado. . . . . . . . . . . . . . . . 20

Figura 2.3: Soluo estvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Figura 2.4: Soluo assintoticamente estvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 2.5: Ponto de equilbrio estvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 2.6: Ponto de equilbrio atrativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 2.7: Ponto de equilbrio assintoticamente estvel. . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 2.8: Variedade estvel Ws

e variedade instvelWu

. . . . . . . . . . . . . . 25Figura 2.9: Retrato de fase do sistema (2.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 2.10: CurvasMe Nem R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 2.11: Ilustrao do Exemplo 2.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 2.12: Variedades no transversais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 3.1: Vizinhana atrativa U= U1 U2do conjunto atrativoH=H1 H2dosistema (3.1) onde H1 um ciclo limite estvel e H2= {(0;0)}um

ponto de equilbrio instvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 3.2: Vizinhana atrativaUdo conjunto atrativoH= [1,1] {0} do sis-

tema (3.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 3.3: Ponto de equilbrio atrativo do sistema (3.3). . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 3.4: Vizinhana atrativaU= U1U2do conjunto atrativoH= {(1;0), (1;0)}do sistema (3.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 3.5: Conexidade por caminho da regio de estabilidade. . . . . . . . . . . 38

Figura 4.1: Retrato de fase do sistema (4.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 4.2: Retrato de fase do sistema (4.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 4.3: Retrato de fase do sistema (4.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


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Figura 5.1: As variedades locaisWc+

loc (p)e Ws

loc(p)so nicas, ao passo que ex-

istem infinitas escolhas para Wc

loc (p). Trs possveis escolhas para

Wc

loc (p)so indicadas nesta figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 5.2: VizinhanaUde um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero pdo

sistema (2.1). A parte cinza da figura corresponde ao conjuntoU. . 54

Figura 5.3: Ilustrao do Lema 5.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 5.4: Ilustrao do Lema 5.2.2 e Corolrio 5.2.2. A parte cinza da figura

corres-ponde ao conjunto t0(t,Ds). . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 5.5: Ilustrao do Lema 5.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 5.6: O retrato de fase do sistema (5.1). A fronteira da regio de estabili-

dade constituda pela unio da variedade estvel do ponto de equi-

lbrio hiperblico do tipo um(1;0), a curva em azul, com a variedade

estvel do ponto de equilbrio sela-n do tipo zero (0;1), a curvaem vermelho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 5.7: Um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero pna fronteira da regio

de estabilidade de um ponto de equilbrio assintoticamente estvelxs.

A componente instvel Wc+

(p) da variedade central Wc(p) intercepta

a regio de estabilidade A(xs

), ao passo que Ws

(p)est contida nafronteira da regio de estabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 5.8: Exemplo de um sistema dinmico onde a variedadeWc+

(p)e a var-

iedade estvel Ws(p)de um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero p

no satisfazem a condio de transversalidade na fronteira da regio

de estabilidade de um ponto de equilbrio as-sintoticamente estvel xs. 66

Figura 5.9: O retrato de fase do sistema (5.2). A fronteira da regio de estabil-

idade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel (1,1547;0)

formada pela variedade estvel do ponto de equilbrio sela-n do tipozero(0,5774;0), a curva em azul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 5.10: O retrato de fase do sistema (5.3). A fronteira da regio de estabil-

idade fraca S(0;0,25) forma pela unio da variedade estvel do

ponto de equilbrio sela-n do tipo zero (0;0,25), a curva em ver-

melho, com a variedade estvel do ponto de equilbrio (1,11;0,25),

a curva em azul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 6.1: Retrato de fase do sistema (6.2) para=0. O ponto de equilbrioinstvelx1 =1 pertence fronteira da regio de estabilidade doponto de equilbrio assintoticamente estvelxs =0. . . . . . . . . . 76


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Figura 6.2: Retrato de fase do sistema (6.2) para= 0,01. O ponto de equilbrio

instvel perturbado x1 =0,980 pertence fronteira da regio deestabilidade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel xs=0.

E o novo ponto de equilbrio instvelx2=6,044 tambm pertence fronteira da regio de estabilidade A(0). . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 6.3: Retrato de fase do sistema (6.3) para=0,9. A fronteira da regio

de estabilidade perturbada A(0,9487)do ponto de equilbrio ass-intoticamente estvelxs= 0,9487 constituda pelo ponto de equi-lbrio hiperblico perturbadox1=0,9487. . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 6.4: Retrato de fase do sistema (6.3) para= 1. A fronteira da regiode estabi-lidade A(1) do ponto de equilbrio assintoticamente

estvelxs = 1 constituda pelo ponto de equilbrio hiperblico

x1 =1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 6.5: Retrato de fase do sistema (6.3) para=1,1. A fronteira da regio

de estabilidade perturbada A(1,0488)do ponto de equilbrio ass-intoticamente estvelxs= 1,0488 constituda pelo ponto de equi-lbrio hiperblico perturbadox1=1,0488. . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 6.6: Retrato de fase do sistema (6.4) para =0,1. A fronteira daregio de estabilidade perturbadaA(2,0488;1,0162) a unio

das variedades estveis dos pontos de equilbrio (2,0488;2,0162),(0,0488;0,0514)e(0,0488;0,9485), as curvas em azul. . . . . . . . 79

Figura 6.7: Retrato de fase do sistema (6.4) para= 0. A fronteira da regiode estabi-lidadeA(2;1) a unio das variedades estveis dospontos de equilbrio(2;2),(0;1)e(0;0), as curvas em azul. . . . . 79

Figura 6.8: Retrato de fase do sistema (6.4) para= 0,1. A fronteira da regio de

estabilidade perturbadaA(1,9487;0,9828) a unio das var-iedades estveis dos pontos de equilbrio (1,9487;1,98282),(0,0513;0,0489)

e(0,0513;1,0489), as curvas em azul. . . . . . . . . . . . . . . . . 80Figura 7.1: Retrato de fase dos campos vetoriais feg. . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 7.2: Retratos de fase do sistema (7.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Figura 7.3: Retrato de fase do sistema (7.1) na vizinhanaNdo Teorema 7.2.2

para (0 ,0+ ). Para 0, o sistema (7.1) no tem ponto de equilbrio em N. . . . . . . 85Figura 7.4: Vizinhana Ude um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero x0para


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Figura 8.1: Comportamento da vizinhanaUde um ponto de equilbrio sela-n

do tipo zerox0que est na fronteira da regio de estabilidade de um

ponto de equilbrio assintoticamente estvelxs0 . . . . . . . . . . . . 88

Figura 8.2: Regio de estabilidade do sistema (7.1) para 0. O ponto de equi-

lbrio hiperblico do tipo um xque pertencia a fronteira da regiode estabilidade deyspara< 0agora pertence a fronteira da regio

de estabilidade dexs. O ponto de equilbrioxs

"herda" toda a regio

de estabilidade do ponto de equilbrioys, que desapareceu. . . . . . . 94

Figura 8.5: O retrato de fase do sistema (8.1) para= 1,02. A regio de esta-bilidade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel (0,99;0,02) representada pela rea em cinza. A fronteira da regio de estabili-

dade constituda pela unio da variedade estvel do ponto de equi-

lbrio hiperblico instvel (0,2;0,97), originado da bifurcaosela-n do tipo zero, a curva em vermelho, com a variedade estvel

do ponto de equilbrio hiperblico(0,99;0,02), a curva em azul. . . 98

Figura 8.6: O retrato de fase do sistema (8.1) para0= 1. A regio de estabil-idade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel(1;0) rep-resentada pela rea em cinza. A fronteira da regio de estabilidade

constituda pela unio da variedade estvel do ponto de equilbrio

sela-n do tipo zero (0;1), a curva em vermelho, com a variedadeestvel do ponto de equilbrio hiperblico (1;0), a curva em azul. . . 98

Figura 8.7: O retrato de fase do sistema (8.1) para= 0,98. A regio de esta-bilidade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel (

0,99;0,01)

representada pela rea em cinza. A fronteira da regio de esta-bilidade constituda pela variedade estvel do ponto de equilbrio

hiperblico(0,99;0,01), a curva em azul. . . . . . . . . . . . . . . . 99


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Figura 8.8: O retrato de fase do sistema (8.2) para=0,2. A regio de estabil-

idade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel(1,09;0,2)representada pela rea em cinza escuro. A regio de estabilidade do

ponto de equilbrio hiperblico assintoticamente estvel (0,2;0,2),originado da bifurcao sela-n do tipo zero, representada pela rea

em cinza claro. A fronteira da regio de estabilidade A(1,09;0,2) constituda pela variedade estvel do ponto de equilbrio hiper-

blico instvel(0,2;0,2), originado da bifurcao sela-n do tipozero, a curva em vermelho. A fronteira da regio de estabilidade

A(0,2;0,2) constituda pela unio da variedade estvel do ponto

de equilbrio(0,2;0,2), com a variedade estvel do ponto de equi-

lbrio hiperblico(1,09;0,2), a curva em azul. . . . . . . . . . . . . 99

Figura 8.9: O retrato de fase do sistema (8.2) para 0= 0,25. A regio de estabil-

idade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel (1,11;0,25) representada pela rea em cinza escuro. A regio de estabilidade

fraca de(0;0,25) representada pela rea em cinza claro. A fronteira

da regio de estabilidadeA0(1,11;0,25) constituda pela var-iedade estvel do ponto de equilbrio sela-n do tipo zero(0; ,0,25),

a curva em vermelho. A fronteira da regio de estabilidade fraca

S0(0;0,25) constituda pela unio da variedade estvel do pontode equilbrio sela-n do tipo zero, com a variedade estvel do ponto

de equilbrio hiperblico(1,11;0,25), a curva em azul. . . . . . . . . 100

Figura 8.10: O retrato de fase do sistema (8.2) para =0,3. A regio de esta-

bilidade do ponto de equilbrio hiperblico assintoticamente estvel

(1,13;0,3) representada pela rea em cinza escuro. A fronteirada regio de estabilidade A(1,13;0,2) constituda pela var-

iedade estvel do ponto de equilbrio hiperblico instvel(1,13;0,3),a curva em azul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Figura 8.11: Diagrama de bifurcao do sistema (8.3). Este grfico descreve a

componentex1dos pontos de equilbrio de (8.3) como uma funo da

entrada I1. A linha tracejada corresponde a coordenada dos pontos

de equilbrio do tipo um enquanto a linha contnua indica os pontos

de equilbrio assintoticamente estveis. Uma bifurcao sela-n do

tipo zero ocorre emI1=0,418. Se o parmetroI1cresce lentamente,

ento, para o valor de entrada 0,418, a sada da rede salta rapidamentedo ponto de equilbrio sela-n do tipo zero (1,44;0,51)para oponto de equilbrio assintoticamente estvel(3,69;0,95). . . . . . . . 101


26/161

Figura 8.12: O retrato de fase do sistema (8.3) para I1 = 0,4. A regio de esta-

bilidade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel(3,66;0,95)

representada pela rea em cinza. A fronteira da regio de estabili-

dade constituda pela variedade estvel do ponto de equilbrio hiper-blico instvel (1,17;0,42), originado da bifurcao sela-n dotipo zero, a curva em azul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Figura 8.13: O retrato de fase do sistema (8.3) paraI1= 0,418. A regio de estabil-

idade do ponto de equilbrio assintoticamente estvel (3,69;0,95)

representada pela rea em cinza. A fronteira da regio de estabilidade

constituda pela variedade estvel do ponto de equilbrio sela-n do

tipo zero(1,44;0,51), a curva em azul. . . . . . . . . . . . . . . 102Figura 8.14: O retrato de fase do sistema (8.3) paraI1=0,43. O ponto de equi-

lbrio(3,71;0,95) globalmente assintoticamente estvel. . . . . . . 102

Figura 9.1: O retrato de fase do sistema (9.1). A regio de estabilidade do ponto

de equilbrio assintoticamente estvel (0,2;0) representada pelarea em cinza claro. A componente conexaD(0,39)do conjunto de

nvel {(x,y) R2 : V(x;y)


27/161

Figura 9.5: O retrato de fase do sistema (9.3). A regio de estabilidade do ponto

de equilbrio assintoticamente estvel (0,31;0) representada pela

rea em cinza claro. A componente conexa D(0) do conjunto de

nvel {(x,y) R2 : V(x;y)


28/161

Figura 9.11: O retrato de fase do (9.5) para0= 0,49. A regio de estabilidade

do ponto de equilbrio assintoticamente estvel (3,43;0,49) rep-resentada pela rea em cinza claro. A componente conexa D(1,55)

do conjunto de nvel{(x,y)R2 : V0(x;y)


29/161

LISTA DE SMBOLOS

0 Parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero

xs Ponto de equilbrio assintoticamente estvel

A(xs) Regio de estabilidade dexs

A(xs) Fecho da regio de estabilidade dexs

A(xs) Fronteira da Regio de estabilidade

S(p) Regio de estabilidade fraca de um ponto de equilbrio sela-n do tipo zerop

S(p) Fronteira da regio de estabilidade fraca de um ponto de equilbrio sela-n do

tipo zero p

E Conjunto dos pontos de equilbrio

(L) Conjunto de nvelL

Bu Domnio fundamental da variedade instvel

Nu Vizinhana fundamental da variedade instvel


30/161


31/161

1

1 INTRODUO

1.1 Estimativas da regio de estabilidade

Pontos de equilbrio assintoticamente estveis de sistemas dinmicos autnomos no

lineares no so, em geral, globalmente estveis. Na maioria dos casos, existe um subcon-

junto de condies iniciais, chamado de regio de estabilidade, cujas trajetrias, iniciando

dentro deste conjunto, tendem para o ponto de equilbrio assintoticamente estvel quando

o tempo tende ao infinito. O problema de determinar a regio de estabilidade de um

ponto de equilbrio assintoticamente estvel para um sistema dinmico autnomo no li-

near relevante em diversas aplicaes no campo da engenharia, incluindo problemas de

estabilidade em sistemas eltricos de potncia, (EL-ABIAD; NAGAPPAN, 1966), (YU;VONGSURIYA, 1967), (SARKAR; RAO, 1971), (N. KAKIMOTO; HAYASHI, 1978),

(VARAIYA; WU; CHEN, 1985), (CHIANG; WU; VARAIYA, 1987), (PAI, 1981), (CHI-

ANG; WU; VARAIYA, 1992), (COUTINHO; PAGANO; TROFINO, 2004), (COUTINHO

et al., 2004), (COUTINHO; SOUZA; TROFINO, 2009), (DEMARCO; CANIZARES,

1992), (SILVA et al., 2009), (SILVA et al., 2005), (GUEDES; ALBERTO; BRETAS,

2005), anlise dinmica em reatores qumicos (E. NOLDUS J. SPRIET; CAUWEN-

BERGHE, 1974), tcnicas de otimizao global via sistemas dinmicos (LEE; CHIANG,

2000) e em outras reas tais como ecologia (MAY, 1973; GATTO; RINALDI, 1975) eeconomia (ARROW; HAHN, 1971). Os inmeros mtodos, propostos na literatura, para

estimar a regio de estabilidade de um ponto de equilbrio assintoticamente estvel po-

dem ser grosseiramente divididos em duas classes (GENESIO; TARTAGLIA; VICINO,

1985): aqueles que usam funo escalares tais como funes de Lyapunov ou funes en-

ergia, e aqueles que no usam funes escalares, ver Figura 1.1. A maioria dos mtodos

que utilizam funes escalares baseada nos resultados de LaSalle que estendem a teoria

de Lyapunov (LASALLE, 1960a,b; LASALLE; LEFSCHETZ, 1961). Funes escalares

podem fornecer estimativas da regio de estabilidade por meio de conjuntos de nvel,

onde estes so determinados por um nmero escalar. Sua utilizao como estimativa tem

a vantagem de ser simples, permitindo verificar se um ponto est dentro da regio de esta-

bilidade apenas verificando uma desigualdade entre nmeros reais. Porm, os conjuntos


32/161

1. Introduo 2

de nvel podem ser uma estimativa bastante conservadora da regio de estabilidade, isto

, na maioria dos casos somente um subconjunto da verdadeira regio de estabilidade.

Outro mtodo que utiliza funes do tipo Lyapunov o mtodo de Zubov (ZUBOV, 1962,

1964, 1967). Teoricamente, este mtodo fornece a verdadeira regio de estabilidade viaa soluo de uma equao diferencial parcial. Na prtica, este mtodo pode ser invivel

devido a convergncia no uniforme do algoritmo, alm disso ele requer um grande es-

foro computacional, como descrito no trabalho de Genesio, Tartaglia e Vicino (1985).

Para sistemas planares, mtodos que no se baseiam em funes escalares foram desen-

volvidos, ver por exemplo (JOCIC, 1982) e (INFANTE; CLARK, 1964). Os mtodos

que no se baseiam em funes escalares, usualmente empregam o mtodo da trajetria

reversa. Neste mtodo, a estimativa da regio de estabilidade sintetizada a partir de

um certo nmero de trajetrias do sistema obtido pela integrao numrica das equaesdo sistema para tempos negativos (GENESIO; TARTAGLIA; VICINO, 1985; GENESIO;

VICINO, 1984). A desvantagem deste mtodo que para sistemas de ordem elevada

exige-se um grande esforo computacional associado s rotinas de integrao numrica

do algoritmo, porm para sistemas de ordem reduzida, o mtodo vivel oferecendo um

estimativa quase exata da regio de estabilidade como descrito no trabalho de Genesio,

Tartaglia e Vicino (1985). No trabalho de M. Loccufier e E. Noldus (2000), um novo

mtodo de trajetria reversa foi proposto.

Neste trabalho, os mtodos que sero utilizados para estimar a regio usam funes

escalares.

Figura 1.1: Classificao dos mtodos para estimar a regio de estabilidade.

1.2 Caracterizao da fronteira da regio de estabilidade

Muitos mtodos foram propostos na literatura com o objetivo de estimar a regio de

estabilidade. Esses mtodos comearam a ser largamente estudados na dcada de 60,

motivados pelos estudos de estabilidade transitria em sistemas eltricos de potncia,

ver por exemplo (GLESS, 1966; EL-ABIAD; NAGAPPAN, 1966; WILLEMS, 1968). A

maioria dos mtodos usados na anlise de estabilidade transitria em sistemas eltricos de

potncia, baseavam-se no Princpio de Invarincia de LaSalle (LASALLE, 1960b) e no

exploravam a estrutura qualitativa da fronteira da regio de estabilidade. Alm de serem

bastantes conservadores, estes mtodos eram heursticos, e consequentemente sujeitos a


33/161

1. Introduo 3

erros.

Motivados em compreender a fronteira da regio de estabilidade para obter estima-

tivas timas da regio de estabilidade na anlise de estabilidade transitria em sistemas

eltricos de potncia, Tsolas, Arapostathis e Varaiya (1985) propem na literatura umaprimeira caracterizao dinmica da fronteira da regio de estabilidade de um ponto de

equilbrio assintoticamente estvelxs, para um sistema dinmico autnomo no linear

x=f(x) (1.1)

onde f : Rn Rn um campo vetorial de classe C1.No trabalho de Tsolas, Arapostathis e Varaiya (1985), foi mostrado, sob algumas

condies, que a fronteira da regio de estabilidade a unio do fecho das variedades

estveis de todos os pontos de equilbrio do tipo 1 que pertencem fronteira da regio de

estabilidade.

Chiang, Wu e Varaiya (1987) apresentaram uma fundamentao terica de mtodos

diretos para efetuar a estimativa da regio de estabilidade. Esta fundamentao tem por

base uma nova caracterizao dinmica da fronteira da regio de estabilidade de um ponto

de equilbrio assintoticamente estvel que generaliza a caracterizao proposta por Tsolas,

Arapostathis e Varaiya (1985). No trabalho de Chiang, Wu e Varaiya (1987), mostrou-se

sob as condies

(A1) Todos pontos de equilbrio na fronteira da regio de estabilidade so hiperblicos.

(A2) As variedades estveis e instveis dos pontos de equilbrio na fronteira da regio de

estabilidade satisfazem a condio de transversalidade.

(A3) Toda trajetria na fronteira da regio de estabilidade se aproxima de um ponto de

equilbrio quandot +,

que a fronteira da regio de estabilidade a unio das variedades estveis de todos os pon-tos de equilbrio na fronteira. Alm disso, foram dadas condies necessrias e suficientes

para um ponto de equilbrio hiperblico pertencer fronteira da regio de estabilidade.

Um pouco mais tarde, no trabalho de Chiang, Hirsch e Wu (1988) foi apresentada

uma caracterizao mais completa da fronteira da regio de estabilidade de um ponto de

equilbrio assintoticamente estvel que generaliza a caracterizao proposta por Chiang,

Wu e Varaiya (1987). Naquele trabalho, sob as condies

(B1) Todos pontos de equilbrio(e/ou rbitas fechada) na fronteira da regio de estabili-

dade so hiperblicos.

(B2) As variedades estveis e instveis dos pontos de equilbrio(e/ou rbitas fechada) na

fronteira da regio de estabilidade satisfazem a condio de transversalidade.


34/161

1.3 Objetivos 4

(B3) Toda trajetria na fronteira da regio de estabilidade se aproxima de um ponto de

equilbrio (e/ou rbitas fechada) quandot +,

mostrou-se que a fronteira da regio de estabilidade a unio das variedades estveis detodos os pontos de equilbrio (e/ou rbitas fechadas) na fronteira da regio de estabilidade.

Alm disso, foram dadas condies necessrias e suficientes para um ponto de equilbrio

(e/ou rbitas fechadas) pertencer fronteira da regio de estabilidade.

Chiang, Wu e Varaiya (1988) apresentaram uma caracterizao da fronteira da regio

de estabilidade para duas classes de sistemas dinmicos: sistemas gradientes genera-

lizados e sistemas descritos por uma equao diferencial vetorial de segunda ordem. A

caracterizao para estas duas classes especficas de sistemas foi a mesma dada por Chi-

ang, Wu e Varaiya (1987), porm, para estes sistemas, apenas a hiptese(A2)foi utilizadapara a caracterizao da fronteira. Alm disso, para estes sistemas particulares, mostrou-

se que os pontos de equilbrio hiperblicos na fronteira da regio de estabilidade persistem

na fronteira sob pequenas pertubaes do campo vetorial.

Mais tarde, no trabalho de Chiang e Chia-Chu (1995), foram mostrados, sob as su-

posies (A1) (A3), para sistemas dinmicos autnomos mais gerais, que os pontosde equilbrio hiperblicos na fronteira da regio de estabilidade de um ponto de equi-

lbrio assintoticamente estvel tambm persistem na fronteira sob pequenas pertubaes

do campo vetorial.

1.3 Objetivos

As suposies(A1) (A3)so fundamentais na caracterizao da fronteira da regiode estabilidade de um ponto de equilbrio assintoticamente estvel proposta por Chiang,

Wu e Varaiya (1987). Mas, para sistemas que dependem de parmetros, muito comum a

violao da suposio(A1)devido ao aparecimento de bifurcaes na fronteira da regio

de estabilidade. Na anlise de estabilidade de tenso em sistemas eltricos de potncia,

por exemplo, verificou-se a existncia de bifurcaes sela-n na fronteira da regio deestabilidade, violando assim a suposio (A1)(GUEDES; ALBERTO; BRETAS, 2005).

Em vista disto, com o intuito de entender o comportamento da regio de estabilidade de

um ponto de equilbrio assintoticamente estvel e sua fronteira quando a suposio(A1)

violada pela ocorrncia de bifurcaes na fronteira da regio de estabilidade, estuda-se

neste trabalho o sistema de equaes diferencias dependente de um parmetro escalar

x=f(x,) (1.2)

comx Rn, R e f : Rn R Rn sendo um campo vetorial de classeC1.Como o sistema (1.2) est sujeito a variao do parmetro , bifurcaes locais podem

ocorrer na fronteira da regio de estabilidade e consequentemente pontos de equilbrio


35/161

1.4 Contribuies 5

no hiperblicos podem aparecer na fronteira da regio de estabilidade violando assim a

hiptese(A1). Como queremos entender o comportamento da regio de estabilidade e

de sua fronteira para propor estimativas da regio de estabilidade quando ocorrem estas

bifurcaes, buscaremos responder duas perguntas importantes: (i)pode-se ainda obteruma caracterizao da fronteira da regio de estabilidade em termos das variedades es-

tveis dos pontos de equilbrio que esto na sua fronteira, incluindo o ponto de equilbrio

no hiperblico? (ii) como a regio de estabilidade e sua fronteira se comportam sob

pequenas variaes do parmetrona ocorrncia de uma bifurcao local na fronteira?

Neste trabalho, o objetivo responder a estas perguntas para um caso especfico de bi-

furcao local, que a bifurcao sela-n do tipo zero, e propor um algoritmo conceitual

para obter estimativas da regio de estabilidade perturbada, via conjunto de nvel de uma

dada funo energia, na vizinhana de um parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero.

1.4 Contribuies

Neste trabalho, supondo a existncia de um ponto de equilbrio no hiperblico sela-

n do tipo zero na fronteira da regio de estabilidade, apresentaremos uma caracterizao

completa da fronteira em termos das variedades estveis dos pontos de equilbrio que

esto na fronteira, incluindo o ponto de equilbrio no hiperblico sela-n do tipo zero.

Mostraremos tambm que, mesmo com a presena de um ponto de equilbrio sela-n do

tipo zero na fronteira da regio de estabilidade, os pontos de equilbrio hiperblicos nafronteira da regio de estabilidade persistem sob a influncia de pequenas variaes dos

parmetros. Resultados que descrevem o comportamento da fronteira da regio de esta-

bilidade na vizinhanas de um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero sero apresentados.

Alm disso, obteremos uma caracterizao global da fronteira da regio de estabilidade

nas vizinhanas de um parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero. E por fim, oferece-

remos uma estimativa da regio de estabilidade, via conjunto de nvel de uma dada funo

energia, na presena de um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero na fronteira da regio

de estabilidade e exibiremos resultados que permitem entender o comportamento destaestimativa na vizinhana de um parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero.

1.5 Organizao do texto

Os prximos captulos deste texto esto organizados da seguinte forma:

No Captulo 2, uma reviso de alguns conceitos e resultados na rea de topologia e

equaes diferencias ordinrias apresentada.

No Captulo 3, o conceito de conjunto atrativo e atrator introduzido e algumas

discusses desses conceitos so apresentadas. Alm disso, exibimos uma caracte-

rizao topolgica da regio de estabilidade e de sua fonteira.


36/161

1.5 Organizao do texto 6

No Captulo 4, uma breve reviso sobre a teoria existente da caracterizao dinmica

da fronteira da regio de estabilidade apresentada.

No Captulo 5, o conceito de ponto de equilbrio sela-n do tipo zero apresentado,exibiremos uma verso do -Lema para ponto de equilbrio sela-n do tipo zero,

forneceremos condies necessrias e suficientes para que um ponto de equilbrio

sela-n do tipo zero pertena fronteira da regio de estabilidade de um ponto

de equilbrio assintoticamente estvel e desenvolvemos resultados que permitem

caracterizar a fronteira da regio de estabilidade em termos das variedades estveis

dos pontos de equilbrio que pertencem a fronteira, incluindo o ponto de equilbrio

sela-n do tipo zero. Alm disso, definiremos o conceito de regio de estabilidade

fraca e exploraremos algumas de suas propriedades.

No Captulo 6, discute-se a persistncia da regio de estabilidade e da caracteriza-

o de sua fronteira sob a infuncia de pequenas variaes do parmetro.

No Captulo 7, uma breve reviso sobre a teoria de bifurcao para uma famlia de

equaes diferenciais dependendo de um parmetro escalar apresentada.

No Captulo 8, mostraremos o comportamento da fronteira da regio de estabilidade

na vizinhana de um ponto de equilbrio sela-n do tipo zero. Com a informao

deste comportamento local, verificaremos que mudanas drsticas podem ocorrerna regio de estabilidade e na fronteira da regio de estabilidade sob a infuncia de

pequenas variaes do parmetro. Exibiremos tambm uma caracterizao global

da fronteira da regio de estabilidade para valores de parmetros prximos a um

parmetro de bifurcao sela-n do tipo zero.

No Captulo 9, a definio de funo energia e uma reviso dos resultados rela-

cionados a estimativas da regio de estabilidade via conjunto de nvel de uma dada

funo energia so apresentadas. Apresentaremos tambm estimativas da regio de

estabilidade via conjunto de nvel de uma dada funo energia na presena de umponto de equilbrio sela-n do tipo zero na fronteira. Exibiremos tambm resul-

tados que permitem entender o comportamento destas estimativas sob a influncia

das variaes do parmetro, incluindo variaes prximas a um parmetro de bifur-

cao sela-n do tipo zero.


37/161

7

2 PRELIMINARES

Este captulo tem como finalidade rever alguns conceitos e resultados na rea de

topologia e equaes diferencias ordinrias que sero usados ao longo do texto. Ini-ciaremos com uma discusso sobre a topologia do espao euclidiano. Posteriormente,

discutiremos alguns tpicos da teoria de equaes diferencias ordinrias.

Ao leitor familiarizado com os conceitos de topologia e equaes diferencias or-

dinrias a leitura deste captulo pode ser dispensada, retornando ao mesmo conforme a

necessidade.

2.1 Espao Euclidiano

Nesta seo, exibiremos alguns resultados sobre a topologia do espao euclidianoque sero explorados ao decorrer do trabalho. Para maiores esclarecimentos/detalhes dos

assuntos aqui tratados ver (LIMA, 2006) e (MUNKRES, 2000).

2.1.1 Norma

Seja n um nmero natural. O espao euclidiano ndimensional o produto de nfatores iguais a R:

Rn = RR ...R.

Os pontos de Rn so todas as nlistas x= (x1,...,xn) cujas coordenadas x1,...,xn sonmeros reais.

conhecido da lgebra linear que Rn com as operaes usuais de soma e multipli-

cao tem estrutura de espao vetorial de dimensonsobre o corpo dos reais.

Um produto internonum espao vetorial real E uma aplicao, :EE Rque faz corresponder a cada par de vetores x,y Eum nmero real, indicado porx,y,de tal modo que, para quaisquer x,z,y Ee R, valham as seguintes propriedades:(P1.)

x,y

=

y,x

; (Comutatividade)

(P2.)x +z,y = x,y+ z,y ; (Superposio)(P3.)x,y =.x,y = x,y ; (Homogeneidade)(P4.)x =0= x,x >0.(Positividade)


38/161

2.1 Espao Euclidiano 8

Um exemplo de produto interno em Rn, e o mais importante, o produto interno

cannico, o qual dado por

x,y =x1.y1+ ...+xn.yn,

ondex= (x1,...,xn)ey= (y1,...,yn).

Dado xRn, escreveremosx=x,x, onde, o produto interno cannico.

Assim,

x =

x21+ ...+x2n.

O nmeroxchama-senorma euclidiana. A norma euclidiana goza das seguintespropriedades, ondex,y

Rn,

R e

|

|indica o valor absoluto do nmero real:

(N1.) x +y x +y; (Desigualdade triangular)(N2.) .x = ||.x; (Homogeneidade)(N3.)x =0= x >0.(Positividade)

De um modo geral, uma normanum espao vetorial E qualquer funo real:E Rque cumpra as condies (N1), (N2) e (N3) acima. H uma infinidade de nor-mas que se podem considerar no espao euclidiano . Quando no dissermos explicita-

mente qual a norma que estamos considerando em Rn, fica subentendido que se trata da

euclidiana.

Uma norma num espao vetorialEd origem a uma noo de distncia em E. Dados

x,y E, adistnciadexay definida por

d(x,y) = x y.

Verifica-se facilmente que a distncia goza das seguintes propriedades, parax,y,z Equaisquer:

(D1.)d(x,y) d(x,y) + d(y,z); (Desigualdade triangular)

(D2.)d(x,y) =d(y,x); (Comutatividade)(D3.)x =y= d(x,y)>0.(Positividade)

A primeira dessas propriedades chamada desigualdade triangular. Neste texto, estare-

mos considerando no espao euclidiano Rn a distncia proveniente da norma euclidiana,

salvo meno contrria.

2.1.2 Conjuntos Abertos

Antes de definirmos o que um conjunto aberto em Rn, introduziremos o conceito de

bolas.

Abola abertade centro num ponto a Rn e raior> 0 o conjunto dos pontosx Rncuja distncia ao ponto a menor que r. Usaremos a notaoB(a; r)para indicar esse


39/161


conjunto. Assim,:

B(a; r) = {x Rn ;x a 0 tal quex a 0 tal queB(x; r) X. Assim, X abertoint X= X.

Uma bola abertaB(a; r) Rn um exemplo de conjunto aberto em Rn, assim como oconjuntoX=Rn B[a; r] tambm aberto emRn. Uma outra informao sobre conjuntosabertos que para todo conjunto XRn,int X um conjunto aberto.

Teorema 2.1.1. (LIMA, 2006) Os conjuntos abertos do espao euclidiano Rn

gozam dasseguintes propriedades:

1) O conjunto vazio /0e o espao Rn so abertos;

2) A interseo A=A1 ...Akde um nmero finito de conjuntos abertos A1,...,Ak umconjunto aberto;

3) A reunio A= LA de uma famlia qualquer(A)L de conjuntos abertos A um conjunto aberto.

Fixemos um conjunto X Rn. Um subconjunto A Xdiz-se aberto em X quando,

para cadaa Aexister>0 tal queB(a; r) XA. Em outras palavras, para cada a Aexister>0 tal que os pontos x, pertencentes aX, que cumprem a condiox a 0, a

bola abertaB(a; r)contm algum ponto de X.

A fim de que o ponto a seja aderente ao conjunto X, necessrio e suficiente que o

pontoaseja limite de uma sequncia de pontos desse conjunto.


40/161


O conjunto dos pontos aderentes a Xchama-sefechodeXe indicado com a notao

X.

Pelo que vimos acima, a fim de que um ponto b Rn no pertena ao fecho de X, necessrio e suficiente que exista uma bola aberta de centrobque no contenha pontos de

X. Em outros termos: b Rn X r>0; B(b; r) X=/0.Como toda bola aberta um conjunto aberto e todo aberto que contm um ponto

contm tambm uma bola aberta com centro nesse ponto, as condies acima podem ser

reformuladas com abertos, em vez de bolas:

1) Tem-sea Xse, e somente se, todo aberto que contmaintersecta o conjuntoX. (Isto, seA aberto ea A= entoA X=/0.)2) Tem-se b / Xse, e somente se, existe um aberto contendo bdisjunto de X. (Isto ,

existeAaberto comb AeA X= /0.)Como exemplo, o fecho de uma bola aberta B(a; r) a bola fechadaB[a; r]. SeX= Qn

o conjunto dos pontos de Rn cujas coordenadas so nmeros racionais, ento X= Rn.

Um conjuntoXRn chama-sefechadoquando contm todos seus pontos aderentes,isto , quandoX=X.

Por exemplo, uma bola fechada B[a; r] um subconjunto fechado de Rn, assim como

tambm fechado a esferaS[a; r].

Sexk aquandok +,xkXpara todokN eA um conjunto fechado, entoa

X.

Dados um conjuntoXe um ponto a Rn, h trs possibilidades que se excluem mu-tuamente: oua int X, oua int(Rn X)ou ento toda bola aberta de centroacontmpontos de Xe pontos do complementar de X. Os pontos com esta ltima propriedade

constituemX, que chamaremos afronteiradeX. Em outras palavras,X= XRn X.Os prximos dois teoremas, cujas demonstraes foram tiradas de (LIMA, 2006),

permitem concluir que a fronteira de um conjunto XRn um conjunto fechado.

Teorema 2.1.2. (LIMA, 2006) Para todo X Rn, o complementar do fecho de X umconjunto aberto.

Demonstrao. ConsidereA =Rn X. Para todoa A, exister> 0 tal queB(a; r)X=/0. Afirmamos queB(a; r) A. De fato, sez B(a; r), entoB(a; r) um aberto contendoze disjunto deX, logoz Rn X= A.

Teorema 2.1.3. (LIMA, 2006) Um conjunto fechado no Rn se, e somente se, seu com-

plementar aberto no Rn.

Demonstrao. (=

)SeX

Rn fechado, temos queX=X, em particular, Rn

X=

Rn Xe pelo teorema anterior podemos afirmar que o complementar deX aberto.(=)SeXRn tal queA =Rn X um conjunto aberto entoz/Ximplica emz A.Como A aberto por hiptese existe r>0 tal que B(z; r) A, ou seja, B(z; r) X= /0,


41/161


consequentementezno aderente aX. Assim, todo ponto aderente aXdeve pertencer a

Xe portantoX fechado.

Os dois teoremas anteriores garantem que o fecho de qualquer conjunto um conjunto

fechado. Como a fronteira a interseo de dois conjuntos fechados, por consequncia,

a fronteira de todo conjunto XRn um conjunto fechado. O seguinte resultado umaconsequncia imediata do Teorema 2.1.1 e do Teorema 2.1.3.

Teorema 2.1.4. (LIMA, 2006) Os conjuntos fechados do espao euclidianoRn gozam das

seguintes propriedades:

1) O conjunto vazio /0e o espao Rn so fechados;

2) A unio F=F1 ... Fkde um nmero finito de conjuntos fechados F1,...,Fk um

conjunto fechado;3) A interseo F= LFde uma famlia qualquer(F)L de conjuntos fechados F um conjunto fechado.

O conjunto formado pela unio infinita de conjuntos fechados pode no ser fechado.

De fato, para cada ponto x Q R, o conjunto{x} fechado em R. O conjunto Qunio dos seus pontos, isto , Q = xQ{x}e o mesmo no fechado em Rvisto queQ = R.

Fixemos um conjuntoX Rn. Um subconjuntoFXdiz-se fechado emXquandose temF= X GondeG um conjunto fechado em Rn.

SeXRn fechado, ento um subconjuntoFX fechado emXse, e somente se, fechado em Rn.

DadosY X Rn, podemos tambm definir o fechode Y relativamentea Xcomosendo o conjuntoYX, dos pontos aderentes aYque pertencem ao conjunto X.

Sejam YXRn. Dizemos que YdensoemXquando YX= X, ou seja,XY.

2.1.4 Conjuntos Conexos

Umacisode um conjuntoXRn

uma decomposioX= AB, ondeA B=/0 eos conjuntosA,Bso ambos abertos emX. As condiesX=ABeAB =/0 equivalema dizer queA=XBeB=XA. Por conseguinte, numa ciso X= A B, os conjuntos

A,Bso abertos e fechados emX.

Todo conjuntoXRn admite pelo menos a ciso trivial X=X/0. Um exemplo deciso no trivial R{0} = (,0) (0,+).

Um conjuntoXRn chama-seconexoquando no admite outra ciso alm da trivial.Assim, quandoX conexo,X= A B, comA,Bdisjuntos e abertos em X, implicaA=/0ouB=/0.

Quando existir uma ciso no-trivial X= A B, diremos queXdesconexo.A imagem de um conjunto conexo por uma aplicao contnua um conjunto conexo.

Um subconjuntoXR conexo se, e somente se, um intervalo. Uma outra propriedade


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importante que a unio de uma famlia de conjuntos conexos com um ponto em comum

um conjunto conexo.

A definio de conjunto conexo proposta acima a expresso matemtica da ideia de

conjunto formado por um s pedao. Outra maneira de exprimir a conexidade dizer quese pode passar de qualquer um dos seus pontos para outro por um movimento contnuo,

sem sair do conjunto. Isto nos leva noo de espao conexo por caminhos.

Sejamx,y Rn. Osegmento de retade extremosx,y o conjunto

[x,y] = {(1 t)x + ty; 0 t 1}.

Um subconjunto X Rn diz-se convexoquando contm qualquer segmento de retacujos extremos pertenam aX, ou seja: x,y

X=

[x,y]

X.

Todo espao vetorialERn convexo, assim como toda bolaB Rn convexa.Um caminhonum conjunto X Rn uma aplicao contnua f :I X, definida

num intervaloI.

Diremos que os pontos a,bX podem ser ligados por um caminho em Xquandoexiste uma caminho f:IXtal quea,b f(I).

Um conjuntoXRn diz-seconexo por caminhosquando dois pontos quaisquera,b Xpodem ser ligados por um caminho emX.

Por exemplo, seX

Rn convexo, dois pontos quaisquer a,b

Xpodem ser ligados

por um caminho emX, a saber o caminho retilneo f(t) = (1t)a +tbpara todo t [0,1].Portanto, conjuntos convexos so casos particulares de conjuntos conexos por caminhos,

entretanto, existem conjuntos conexos por caminhos que no so convexos. O conjunto

Rn {0}, comn>1, por exemplo, conexo por caminho mas no convexo.Se f,g : [0,1] Xso caminhos emX, com f(1) = g(0), ento definimos ocaminho

justaposto h= fg:[0,1] Xfazendoh(t) = f(2t)se 0 t 12e h(t) =g(2t1)se12 t 1. Estas duas expresses definem o mesmo valor de h(

12 ). Como f|[0, 12 ]e g|[ 12 ,1]

so contnuas, segue-se queh contnua.

Sejama,b,cpontos do conjuntoX Rn. Sea,bpodem ser ligados por um caminhoemXeb,ctambm podem ser ligados por um caminho em X, ento existe um caminho

em X ligando aa c. Basta tomar caminhos f,g:[0,1] Xcom f(0) =a, f(1) =b,g(0) =b, g(1) =c e por h= f g. Ento h(0) =a e h(1) =c. Essa propriedade de

caminho descrita acima costumeiramente chamada de transitiva.

Teorema 2.1.5. (LIMA, 2006) Se um conjunto XRn conexo por caminho, ento X conexo.

Demonstrao. Suponhamos por contrapositiva queX=A

B fosse uma ciso no-trivial

de X. Tomemos a Ae b B. Por hiptese, existiria um caminho f :[0,1] X talque f(0) = a, f(1) =b. Ento[0,1] = f1(A) f1(B)seria uma ciso de [0,1], com0 f1(A)e 1 f1(B), o que um absurdo, pois o intervalo[0,1] conexo.


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A recproca do Teorema 2.1.5 no verdadeira. Como exemplo considere X R2o grfico da funo f :[0,+) R, dada por f(x) =cos( 1x )se x>0 e f(0) =0. OconjuntoX conexo mas no conexo por caminho, para maiores detalhes ver (LIMA,

2006). Esse exemplo junto com o Teorema 2.1.5 nos permite afirmar que o conceito deconexidade por caminho mais forte do que o conceito de conexidade definida por meio

de ciso.

2.1.5 Conjuntos Contrteis

Sejam os conjuntos X,Y Rn e f,g: X Yaplicaes contnuas, dizemos quef homotpica gquando existe uma aplicao contnua H: X [0,1] Y tal queH(x,0) = f(x)eH(x,1) =g(x)para todox X.

A aplicaoH umahomotopiaentre fege, denotada por f g.Como exemplo, seX,Y R2 eY convexo, ento todas as aplicaes contnuas de

XemYso homotpicas, pois dados f,g:X Ybasta definirmosH: X [0,1] YporH(x, t) = t f(x) + (1 t)g(x).

A relao de homotopia compatvel com composio de funes, ou seja, dadas

as aplicaes contnuas f,f

:X Y e g,g :YZtais que f f e gg entog f g f .

Um conjuntoXRn contrtilse a aplicao identidadeidX:XX homotpicaa uma aplicao constante.

Todo subconjunto convexo de Rn contrtil. Alm disso, todo conjunto contrtil X

conexo por caminho, mas a recproca no verdadeira j que R2 {0} conexo porcaminho e no contrtil.

2.1.6 Espaos Normais

SejaXum espao topolgico. Dizemos que X um espao normal se para cada par

A, Bde conjuntos fechados disjuntos de X, existem abertos disjuntos contendo Ae B,

respectivamente.O resultado a seguir nos garante que o Rn um espao normal.

Teorema 2.1.6. (MUNKRES, 2000) Rn um espao normal.

Demonstrao. Sejamx0 Rn,r> 0 nmero real positivo eB(x0,r) ={x Rn : d(x,x0)0 tal que B(a,a)

Rn

B, isto , B(a,a)no intercepta

B. Similarmente, para cadab Bexisteb>0 tal queB(b,b)no interceptaA. Defina

U= aAB(a, a2) e V= bBB(b,b2

)


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EntoUeVso subconjuntos abertos contendo Ae B, respectivamente. Afirmamos que

UeVso disjuntos. De fato; sez UVento

z B(a,a2) B(b,

b2)

para alguma Ae para algumb B. Usando a desigualdade triangular podemos afirmarqued(a,b) d(a,z)+ d(z,b) < a2 +

b2. Se a bentod(a,b) 0, existemx Sey Ttais que x y 0, existe yT tal qued(x,y)


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2.2 Equaes Diferenciais Ordinrias 15

Um outro resultado importante que envolve distncia que a funo f : Rn R,definida por f(x) =d(x,T), uniformemente contnua.

2.2 Equaes Diferenciais Ordinrias

Neste trabalho, estamos interessados em estudar sistemas dinmicos no lineares mo-

delados por equaes diferenciais ordinrias (EDO) autnomas no lineares do tipo:

x=f(x) (2.1)

onde f : Rn Rn um campo vetorial de classe C1. Comearemos a seo apresen-tando um resultado de existncia e unicidade de equaes diferenciais ordinrias autno-

mas. Na Seo 2.2.2, introduziremos o conceito de conjunto invariante. Nas Sees 2.2.3,

2.2.4 e 2.2.5 exploraremos estabilidade local e comportamento assinttico de solues de

equaes diferenciais ordinrias autnomas. Para complemento ou maiores detalhes das

definies e resultados expostos nesta seo ver (SOTOMAYOR, 1979), (HALE, 1969),

(SMALE; HIRSCH, 1974), (WIGGINS, 2003), (PERKO, 1991), (ALBERTO, 2006),

(SMALE, 1967), (HIRSCH; PUGH; SHUB, 1970), (GUCKENHEIMER; HOLMES, 1983)

e (SHUB, 1987).

2.2.1 Teoria GeralSejam f:Rn Rn um campo vetorial de classe C1 eIum intervalo no degenerado

da reta, isto , um subconjunto conexo de R no reduzido a um ponto.

Definio 2.2.1. Uma funo diferencivel: I Rn uma soluo da equao dife-rencial ordinria

x= f(x)

no intervalo I se

ddt

(t) = f((t)) para todo tI.

Se uma condio inicial conhecida, o problema de encontrar a soluo (t), satis-

fazendo essa condio inicial conhecido como problema de valor inicial (PVI):

x= f(x); x(0) =x0

O teorema de existncia e unicidade, demonstrado em (SOTOMAYOR, 1979) e apresen-

tado a seguir, estabelece condies suficientes sobre o campo vetorial fpara garantir a

existncia e a unicidade das solues.

Teorema 2.2.1. (SOTOMAYOR, 1979) Sejam f: Rn Rn um campo vetorial de classe


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C1 e x0 Rn. Ento existe um>0tal que o problema de valor inicial

x= f(x); x(0) =x0

tem uma nica soluo(t)no intervalo[,].

Supondo ainda que as hipteses do teorema anterior estejam satisfeitas, ento, para

cadax0 Rn, existe uma nica soluo maximal(.,x0)de

x= f(x); x(0) =x0

definida num intervalo maximal de existncia ((x0),+(x0)).Um outro aspecto importante da teoria de equaes diferenciais ordinrias a con-

tinuidade das solues com relao s condies inicias apresentada no seguinte teorema:

Teorema 2.2.2. (SOTOMAYOR, 1979) Seja f : Rn Rn um campo vetorial de classeC1 . Considere(t,x0)a soluo do PVI

x= f(x); x(0) =x0

definida no seu intervalo maximal de existncia. Ento

D= {(t,x0) : x0 Rn, t ((x0),+(x0))}

aberto em RRn e contnua em D.

Alm da continuidade com relao s condies inicias, a soluo de uma EDO

autnoma satisfaz as seguintes propriedades:

(1)(0,x) =xpara todox Rn.(2) (t+s,x) =(t,(s,x)) para todox Rn e todos t,s R tais que t+s (w(x),w+(x))et

(w

((s,x)),w+((s,x))).

Observao 2.2.1. A aplicao t(t,x0) de (w(x0),w+(x0)) em Rn define umacurva em Rn, passando por x0 a qual denomina-se trajetria ou rbita passando por

x0 e que denotaremos pelo conjunto{(t,x0); t (w(x0),w+(x0))}. A unicidade dassolues garante que as trajetrias no se interceptam. Dado A um subconjunto de Rn e

tR, defini-se o conjunto(t,A) = {(t,x) : x A}.

2.2.2 Conjuntos Invariantes

O conceito de invarincia que ser proposto nesta seo de fundamental importncia

para anlise de sistemas dinmicos, isto porque, dado um conjunto S Rn, em certasocasies, importante saber quando dada uma condio inicial nesse conjunto a soluo

que passa por essa condio inicial permanece no respectivo conjunto para todo o tempo,


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para tempos positivos ou negativos, respectivamente. Esses conjuntos com tais pro-

priedades so chamados na literatura de conjuntos invariantes, positivamente invariantes e

negativamente invariantes, respectivamente. A fim de formalizar matematicamente esses

conceitos, apresentamos as seguintes definies:

Definio 2.2.2. Um conjunto S Rn invariante com relao ao sistema (2.1) se, paraqualquer x0 S temos(t,x0) S para todo tR.Definio 2.2.3. Um conjunto SRn positivamente (negativamente) invariante comrelao ao sistema (2.1) se, para qualquer x0S temos (t,x0)S para todo t 0(t 0).

Um exemplo trivial de conjunto invariante a rbita de uma dada condio inicial x0

do sistema (2.1). Alm disso, sem maiores dificuldades, pode-se verificar que a unio deconjuntos invariantes tambm um conjunto invariante.

2.2.3 Comportamento Assinttico

Dado uma condio inicial do sitema (2.1) podemos nos perguntar o que acontece

com a trajetria que passa por x0 quando o tempo tende para +ou. Usualmenteessas trajetrias se aproximam de equilbrios, ciclos limites, rbitas quasi-peridicas, r-

bitas caticas ou at mesmo unio de um certo conjunto de rbitas. Todos esses conjuntos

mencionados acima, para onde a trajetria pode se aproximar, so chamados de conjun-

tos limites cuja definio matemtica e algumas de suas propriedades sero exploradas a

seguir.

Definio 2.2.4. Um ponto p Rn um ponto limite da soluo (t,x0) de (2.1)se existir uma sequncia{tj}, com tj+ quando j+ tal que (tj,x0)p quando j+. O conjunto de todos os pontoslimite de (t,x0) chamadoconjuntolimite da soluo(t,x0), ou simplesmente,limite de x0, e denotado

por(x0).

Exemplo 2.2.1. Considere um campo vetorial no plano com uma rbita fechada global-mente atrativa , como mostrado na Figura 2.1. Para cada ponto p , podemos en-contrar uma subsequncia {tj} tal que (tj,x), x R2 se aproxima de p quando j +.Portanto, p um ponto-limite e o conjunto-limite da soluo(t,x).

O comportamento assinttico das solues quando t , os chamados conjuntoslimite dado a seguir.Definio 2.2.5. Um ponto p Rn um ponto limite da soluo (t,x0) de (2.1)se existir uma sequncia

{tj}, com tj

quando j

+ tal que (tj,x0)

p quando j+. O conjunto de todos os pontoslimite de (t,x0) chamadoconjuntolimite da soluo(t,x0), ou simplesmente,limite de x0, e denotado

por(x0).


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Figura 2.1: p um ponto-limite e o conjunto-limite da soluo(t,x).

No decorrer da seo, exploraremos alguns teoremas1 sobre o conjuntolimite. Oprimeiro teorema nos d uma maneira alternativa para definir o conjunto limite.

Teorema 2.2.3. (LASALLE, 1976)(x0) = 0


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ondem = 1,2,..., ento para cada inteirom, existe nmero real m> 0 e um inteiroM> 0

(dependendo dem) tal que (tM,x0)p< me portanto (,(tM,x0))(,p) 0 e

tn> Tntal qued((tn,x0),(x0))>para todon=1,2,3,.... Como(tn,x0) uma se-

quncia limitada em Rn, ento possui subsequncia convergente, ou seja, existe p Rn esubsequncia {tnj} de {tn} tal que (tnj ,x0) pquandonj +. Mas por definio,p (x0), portanto chegamos a uma contradio provando o que se queria. Resta-nosprovar que o conjunto (x0) conexo. Suponha que (x0) desconexo, ou seja,(x0)

pode ser escrito como sendo a unio de dois conjuntos, fechados e no vazios. Sejam,A1e A2estes conjuntos. Como eles so disjuntos e Rn um espao normal, existem aber-

tos disjuntosU1e U2tal queA1

U1e A2

U2. Comod((t,x0),(x0))

0 quando

t +, ento existeT> 0 tal que (t,x0) U1 U2para todo t> T. Como a aplicaot (t,x0) contnua eU1eU2so disjuntos, conclui-se que(t,x0)pertence apenasa um dos abertos para todot> T. Suponha sem perda de generalidade que(t,x0) U1para todo t>T. Ento, necessariamente A2 um conjunto vazio. Isto nos leva a uma

contradio e portanto o conjuntolimite conexo.A limitao da soluo um pr-requisito fundamental para demonstrar o resultado

anterior. A Figura 2.2 mostra um exemplo de uma soluo ilimitada que possui um con-

junto

limite desconexo. Mas precisamente, o conjunto

limite constitudo pela

unio de duas retas disjuntas. O conjuntolimite ilimitado e ainda, dado T>0 arbi-trariamente grande e>0, existet> Ttal qued((t,x0),(x0))> , ou seja, a soluo

no se aproxima do conjuntolimite quando o tempo tende ao infinito.


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Figura 2.2: Conjunto-limite desconexo e ilimitado.

2.2.4 Equilbrios e Estabilidade Local

Na literatura existem diversas definies de estabilidade, nesse texto utilizaremos a

definio de estabilidade no sentido de Lyapunov.

A grosso modo, uma soluo(t)do sistema (2.1) estvel quando toda soluo com

valores iniciais prximos aos de(t)est definida para todot 0 e permanece prxima

de(t)para todot 0. Formalmente temos a seguinte definio:

Definio 2.2.6. (Estabilidade) Seja(t)um soluo de (2.1) definida para t 0. Diz-se

que(t) estvel se para todo >0 existir>0 tal que se(t) soluo de (2.1) e

(0) (0)


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Figura 2.4: Soluo assintoticamente estvel.

Se xRn um ponto de equilbrio do sistema (2.1), ento a soluo de (2.1)iniciando emxno tempot=0 a funo constante, ou seja, (t) =xpara todotR.Sem maiores dificuldades, pode-se verificar que o ponto de equilbrio um conjunto

invariante de (2.1).

Os conceitos propostos abaixo caracterizam a estabilidade de pontos de equilbrio.

Definio 2.2.8. Um ponto de equilbrio x de (2.1) estvel se, para cada >0, exis-

tir um >0 tal que, para toda condio inicial x0 satisfazendox0 x< tem-se(t,x0) x


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Definio 2.2.10. Um ponto de equilbrio x do sistema (2.1) atrativo se existir>0tal que

x0 B(x;) = (t,x0) x quando t +.A Figura 2.6 ilustra a Definio 2.2.10. Solues iniciando dentro da bola de raio

tendem para o ponto de equilbrioxquando o tempot +. Observe que as soluesiniciando dentro da bola de raio podem se afastar do ponto de equilbrio x quando otempo cresce, inclusive as solues podem sair de dentro da bola de raio , mas retornam

e se aproximam do ponto de equilbrio quando o tempot +.

Figura 2.6: Ponto de equilbrio atrativo.

Estabilidade no implica em atratividade e atratividade tambm no implica em esta-

bilidade.

Combinando as Definies 2.2.8 e 2.2.10 temos o conceito de estabilidade assinttica.

Definio 2.2.11.Um ponto de equilbrio de (2.1) assintoticamente estvel se for estvel

e atrativo.

A Figura 2.7 ilustra a Definio 2.2.11. Solues iniciando dentro da bola de raio

no saem de dentro da bola de raio e tendem para o ponto de equilbrio x

quando o

tempot +. Em outras palavras, as solues iniciando prximo a x, no podem seafastar do ponto de equilbrio xe obrigatoriamente se aproximam dexquando o tempot +.

Em algumas situaes, deseja-se que no apenas o ponto de equilbrio seja assintoti-

camente estvel mas que todas as solues tendam para este equilbrio quando o tempo

tende ao infinito. Para isto, define-se o conceito de estabilidade global assinttica.

Definio 2.2.12. Um ponto de equilbrio de (2.1) globalmente assintoticamente estvel

se ele estvel e para todo x0 Rn

,(t,x0) x quando t +.Da definio anterior, pode-se concluir que sex um ponto de equilbrio globalmente

assintoticamente estvel de (2.1) ento ele nico.


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Figura 2.7: Ponto de equilbrio assintoticamente estvel.

Uma classe importante de pontos de equilbrio so os pontos de equilbrio hiperbli-

cos. Sejaxum ponto de equilbrio do sistema (2.1) e considere o sistema linearizado emtorno dex:

z=J(x)z (2.2)

ondez:=x xe J(x) a matriz Jacobiana de f(x)calculada no ponto de equilbrio x.

Definio 2.2.13. Um ponto de equilbrio xde (2.1) hiperblico se todos os autovaloresda matriz Jacobiana do sistema linearizado associado(2.2)possuem parte real no nula.

Os pontos de equilbrio hiperblicos tem uma propriedade importante que decorre do

teorema de Hartman & Grobman (PERKO, 1991), isto , o comportamento do sistema

(2.1), prximo a um ponto de equilbrio hiperblico x qualitativamente equivalente aodo sistema linearizado associado. Portanto, do ponto de vista local, a anlise do com-

portamento dinmico do sistema (2.1) resume-se, sob certas condies, autoanlise do

sistema linearizado associado.

Como consequncia direta do Teorema da Funo Inversa (LIMA, 2006), tem-se que

pontos de equilbrio hiperblicos so necessariamente pontos de equilbrio isolados, isto

, existe uma vizinhana do equilbrio hiperblico que no contm outro ponto de equi-

lbrio.

Definio 2.2.14. Um ponto de equilbrio x do sistema (2.1) do tipo k se a matrizJacobiana J(x) do sistema linearizado associado possui k autovalores com parte realpositiva e n k autovalores com parte real negativa.

Um resultado que pode ser encontrado em (PERKO, 1991) que, se x um pontode equilbrio estvel de (2.1), ento nenhum autovalor da matiz JacobianaJ(x)tem partereal positiva. Equivalentemente, se a Jacobiana de um ponto de equilbrioxde (2.1) tempelo menos um autovalor com parte real positiva entox instvel. Para o caso particular

de pontos de equilbrio hiperblicos tem-se o seguinte resultado.

Teorema 2.2.6. (PERKO, 1991) Um ponto de equilbrio hiperblico x de (2.1) assin-toticamente estvel se, e somente se, do tipo0.


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Pelo Teorema 2.2.6 e observao anterior, podemos concluir que um ponto de equi-

lbrio hiperblicoxde (2.1) ou assintoticamente estvel ou instvel.

2.2.5 Variedades InvariantesNesta seo, daremos continuidade a seo anterior no que diz respeito ao estudo do

comportamento dinmico nas vizinhanas de pontos de equilbrio. O resultado principal

que exploraremos a existncia de variedades invariantes nas vizinhanas de um ponto

de equilbrio que so fundamentais para o estudo da estabilidade e tambm para a carac-

terizao da fronteira da regio de estabilidade.

Dado x um ponto de equilbrio de (2.1) e J(x)a Jacobiana do sistema linearizadoassociado (2.2), o espao Rn pode ser decomposto como soma direta de trs subespaos

denotados porEs

(x),Eu

(x)eEc

(x)que so invariantes com relao a (2.2):

Es(x) = [e1,...,es],

Eu(x) = [es+1,...,es+u], s + u + c=n

Ec(x) = [es+u+1,...,es+u+c],

onde{e1,...,es}so os autovetores generalizados de J(x)correspondentes aos autova-lores de J(x)com parte real negativa,

{es+1,...,es+u

}so os autovetores generalizados

de J(x)correspondentes aos autovalores de J(x)com parte real positiva e o conjunto{es+u+1,...,es+u+c} so os autovetores generalizados deJ(x)correspondentes aos auto-valores deJ(x)com parte real nula. Es(x), Eu(x)eEc(x)so chamados de subespaoestvel, instvel e central, respectivamente.

Observao 2.2.2. O subespao vetorial gerado pelo autovetores {e1,...,es} denotadopor[e1,...,es].

Todas as solues de (2.2) que comeam no subespao estvel Es(x)de (2.2) per-

manecem em Es(x)para todote se aproximam da origem quando t +, e todas assolues de (2.2) que comeam no subespao instvelEu(x)de (2.2) permanecem em

Eu(x)para todote se aproximam da origem quando t . Para o sistema no linear(2.1), continuam existindo, nas vizinhanas do ponto de equilbrio, conjuntos invariantes

com relao a (2.1). Estes conjuntos invariantes no tem estrutura de espaos vetoriais,

mas estrutura de variedades, como veremos nos prximos teoremas.

O teorema a seguir, conhecido por Teorema da Variedade Estvel, um resultado

clssico na teoria de equaes diferenciais ordinrias, que demonstra a existncia de va-

riedades invariantes nas vizinhanas de um ponto de equilbrio hiperblico.

Teorema 2.2.7. (PERKO, 1991) Seja x um ponto de equilbrio hiperblico de (2.1) dotipo k. Ento existe uma variedade local Wuloc(x

), kdimensional de classe C1, tangente


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ao subespao instvel Eu(x) em x, tal quet(Wuloc(x)) Wuloc(x) para todo t 0 e

para todo x0 Wuloc (x),lim

t

t(x0) =x

;

e existe uma variedade local Wsloc (x), (n k)dimensional de classe C1, tangente ao

subespao estvel Es(x)em x, tal quet(Wsloc(x)) Wsloc(x)para todo t 0 e para

todo x0 Wsloc(x),lim

t+t(x0) =x.

O Teorema 2.2.7 demonstra a existncia das variedades Wsloc(x)e Wuloc(x

)apenasem uma vizinhana do equilbrio x, por isso so chamadas variedades locais estvel einstvel, respectivamente. Definimos a seguir variedade global estvel e instvel dex, ou

simplesmente, a variedade estvel e instvel de x.Definio 2.2.15. As variedades estvel e instvel de um ponto de equilbrio hiperblico

x do sistema (2.1) so definidas por:

Ws(x) =t0

t(Ws

loc(x)) e Wu(x) =

t0

t(Wu

loc (x)),

respectivamente.

Figura 2.8: Variedade estvelWs e variedade instvelWu.

A variedade estvel Ws(x) e a variedade instvel Wu(x) do ponto de equilbrio hiper-blico x so nicas e invariantes com relao a (2.1). Alm disso, tambm podem serescritas como

Ws(x) = {x0 Rn : (t,x0) xquandot +} (2.3)

e

Wu(x) = {x0 Rn : (t,x0) xquandot }, (2.4)


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respectivamente, ver Figura 2.8.

No Teorema 2.2.7, o ponto de equilbrioxfoi considerado hiperblico. Para o caso dexno hiperblico, exibiremos a seguir um teorema que tambm garante a existncia de

variedades locais invariantes. Para detalhes e demonstrao deste teorema ver (HIRSCH;PUGH; SHUB, 1970).

Teorema 2.2.8. (HIRSCH; PUGH; SHUB, 1970) Seja x um ponto de equilbrio nohiperblico de (2.1). Ento existem variedades locais invariantes Wsloc(x

), Wcsloc(x),

Wcloc(x), Wuloc (x

)e Wculoc(x)de classe C1, tangentes a Es(x), Ec(x) Es(x), Ec(x),

Eu(x)e Ec(x) Eu(x)em x, respectivamente.

As variedades Wsloc(x), Wcsloc(x), Wcloc (x), Wuloc(x) e Wculoc(x) so chamadas va-riedades locais estvel, centro estvel, central, instvel e centro instvel, respectivamente.

Solues iniciando emWsloc(x)tendem paraxquandot + e solues iniciando em

emWuloc(x)tendem para xquandot . As variedades local estvel e instvel so

nicas, mas a variedade local centro estvel, central e centro instvel no precisam ser.

Um exemplo que mostra a no unicidade da variedade local central, o seguinte sis-

tema

x=x2y=y (2.5)

ondexeyso nmeros reais.

Parax0,

a nica trajetria que se aproxima da origem o eixo-x, ver Figura 2.9. Podemos obter

a variedade central juntando qualquer trajetria no lado esquerdo do plano com a metade

positiva do eixo-x, portanto, a variedade central no nica.

Figura 2.9: Retrato de fase do sistema (2.5).


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2.3 Transversalidade 27

2.3 Transversalidade

Nesta seo, apresentaremos o conceito de transversalidade, que ser usado com fre-

quncia ao longo do texto para a caracterizao da fronteira da regio de estabilidade.

Para complemento ou maiores detalhes das definies e resultados expostos nesta seo

ver (WIGGINS, 2003) e (GUILLEMIN; POLLACK, 1974).

Definio 2.3.1. Seja p Rn. Duas variedades M e N emRn de classe Cr (r 1) sotransversais em p se p /MN; ou se p MN, ento Tp(M) + Tp(N) = Rn, ondeTp(M) e Tp(N) denotam o espao tangente de M e N, respectivamente, no ponto p. M

e N satisfazem a condio de transversalidade se elas so transversais em cada ponto

p Rn.

A Figura 2.10 mostra duas curvasMeNem R2. A figura esquerda mostra as curvas

Me Ntendo interseo transversal em um ponto p MN, e a figura direita mostra ascurvasMe Ntendo interseo no transversal em um ponto p MN.

Figura 2.10: CurvasMe Nem R2.

Um resultado que envolve dimenso e interseo transversal de variedades ser exi-

bido no prximo lema.

Lema 2.3.1. (WIGGINS, 2003) Se duas variedades M e N em Rn

de classe C

r

(r

1) teminterseo no vazia, ou seja, MN= /0, e satisfazem a condio de transversalidadeento

dim(MN) =dimM+ dimN n.

A mais importante caracterstica da transversalidade que esta persiste sob peque-

nas pertubaes (WIGGINS, 2003). Esta propriedade de persitncia da transversalidade

sob pequenas pertubaes ser bastante explorada ao longo deste trabalho. Exibiremos a

seguir um exemplo para ilustrar esta caracterstica da condio de transversalidade.

Exemplo 2.3.1. Sejam M a reta de equao y=1em R2 e N o grfico da funo f(x) =

x2, ver Figura 2.11. Ento M e N se interceptam transversalmente nos pontos q = (1,1)e p= (1,1). Perturbando a reta M e a funo f com relao a um parmetro escalar


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2.4 Propriedade genrica 28

, ou seja, M reta perturbada de equao y = 1 + e N o grfico da funo

perturbada f(x) =x2 +, temos ainda que Me Nse interceptam transversalmente nos

pontos q= (1,1 +)e p= (1,1 +).

Figura 2.11: Ilustrao do Exemplo 2.3.1.

A seguir um exemplo onde a condio de transversalidade violada apresentada.

Exemplo 2.3.2. Sejam M o eixo-x em R2 e N o grfico da funo f(x) = x3, ver Figura

2.12. Ento M e N se interceptam na origem emR2, mas elas no se interceptam transver-

salmente na origem, pois o espao tangente de M apenas o eixo-x e o espao tangente

de N gerado pelo vetor(1,0), logo T(0,0)N= T(0,0)M e, portanto, T(0,0)N+T(0,0)M=R2.

Figura 2.12: Variedades no transversais.

2.4 Propriedade genrica

Nesta seo discutiremos o conceito de propriedade genrica que aparecer ao longo

do trabalho. Maiores detalhes a respeito dos tpicos aqui desenvolvidos so encontrados

em (WIGGINS, 2003; PALIS; MELO, 1977; PEIXOTO, 1967). Comearemos a seo

com a definio de conjunto residual.


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2.4 Propriedade genrica 29

Definio 2.4.1. Sejam X um espao topolgico e U um subconjunto de X. U chamado

um conjunto residual se este contm uma interseo enumervel de conjuntos abertos e

densos em X.

A seguir, apresenta-se a definio de propriedade genrica.

Definio 2.4.2. Seja X um espao topolgico. Dizemos que uma propriedade genrica

em X se o conjunto dos pontos de X que satisfazem esta propriedade contm um subcon-

junto residual.

Grosseiramente falando, uma propriedade genrica em um espao se esta propriedade

satisfeita para quase todos os pontos do espao.

Exemplos interessantes de propriedade genrica podem ser encontrados com detalhes

em (PEIXOTO, 1967). Dentre os campos vetoriais de classeCr (r 1), as seguintes

propriedades so genricas:

(1) Todos pontos de equilbrio so hiperblicos.

(2) A interseo das variedades estveis e ins

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Moraes (2010) Caracterização Estimativas e Bifurcações Da Região de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Não Lineares