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Movimento Circular
o movimento circular uniforme o força centrípeta o movimento circular não uniforme
Movimento circular uniforme
Quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, dizemos que ela descreve um movimento circular uniforme.
Neste caso, não existe um componente da aceleração paralelo (tangente) à trajetória; caso houvesse, o módulo da velocidade seria variável.
O vetor da aceleração é perpendicular (normal) à trajetória e, portanto, orientado para dentro (nunca para fora!) em direção ao centro da trajetória circular.
Isso faz com que a direção da velocidade varie sem mudar a velocidade escalar.
Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91
Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.
Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo
0 !vS 0
v1=
!sR
ou 0 !vS 0 =v1
R !s
O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,
am =0 !vS 0
!t=
v1
R !s!t
O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
a = lim!t S 0
v1
R !s!t
=v1
R lim!t S 0
!s!t
Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,
(3.27)Velocidade escalar do objeto
Raio da trajetória circular do objeto
Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R
v2arad =
Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).
Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).
aS
vS
aS
vS
aS
vS
(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular
Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro
Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média
m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.
vS
Estes dois triângulos são semelhantes.
A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.
R
P2
P1
R
O
(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.
!f
!s
O
(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.
!f
(c) A aceleração instantânea
R
O
Sarad
v1S
v2S
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!vS
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Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM
Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91
Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.
Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo
0 !vS 0
v1=
!sR
ou 0 !vS 0 =v1
R !s
O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,
am =0 !vS 0
!t=
v1
R !s!t
O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
a = lim!t S 0
v1
R !s!t
=v1
R lim!t S 0
!s!t
Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,
(3.27)Velocidade escalar do objeto
Raio da trajetória circular do objeto
Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R
v2arad =
Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).
Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).
aS
vS
aS
vS
aS
vS
(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular
Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro
Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média
m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.
vS
Estes dois triângulos são semelhantes.
A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.
R
P2
P1
R
O
(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.
!f
!s
O
(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.
!f
(c) A aceleração instantânea
R
O
Sarad
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Como os dois triângulos indicados na figura são semelhantes, temos:
O módulo am da aceleração média durante o intervalo ︎𝛥t é, portanto,
Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91
Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.
Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo
0 !vS 0
v1=
!sR
ou 0 !vS 0 =v1
R !s
O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,
am =0 !vS 0
!t=
v1
R !s!t
O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
a = lim!t S 0
v1
R !s!t
=v1
R lim!t S 0
!s!t
Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,
(3.27)Velocidade escalar do objeto
Raio da trajetória circular do objeto
Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R
v2arad =
Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).
Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).
aS
vS
aS
vS
aS
vS
(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular
Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro
Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média
m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.
vS
Estes dois triângulos são semelhantes.
A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.
R
P2
P1
R
O
(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.
!f
!s
O
(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.
!f
(c) A aceleração instantânea
R
O
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O módulo 𝑎 da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expressão quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
Se o intervalo ︎𝛥t é curto, ︎𝛥s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva.
Portanto, o limite ︎𝛥s/︎𝛥t é a velocidade escalar v1 no ponto P1.
Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91
Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.
Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo
0 !vS 0
v1=
!sR
ou 0 !vS 0 =v1
R !s
O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,
am =0 !vS 0
!t=
v1
R !s!t
O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
a = lim!t S 0
v1
R !s!t
=v1
R lim!t S 0
!s!t
Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,
(3.27)Velocidade escalar do objeto
Raio da trajetória circular do objeto
Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R
v2arad =
Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).
Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).
aS
vS
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vS
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vS
(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular
Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro
Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média
m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.
vS
Estes dois triângulos são semelhantes.
A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.
R
P2
P1
R
O
(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.
!f
!s
O
(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.
!f
(c) A aceleração instantânea
R
O
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Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v1 a velocidade escalar em qualquer ponto. Logo,
Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91
Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.
Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo
0 !vS 0
v1=
!sR
ou 0 !vS 0 =v1
R !s
O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,
am =0 !vS 0
!t=
v1
R !s!t
O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
a = lim!t S 0
v1
R !s!t
=v1
R lim!t S 0
!s!t
Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,
(3.27)Velocidade escalar do objeto
Raio da trajetória circular do objeto
Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R
v2arad =
Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).
Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).
aS
vS
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vS
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vS
(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular
Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro
Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média
m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.
vS
Estes dois triângulos são semelhantes.
A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.
R
P2
P1
R
O
(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.
!f
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O
(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.
!f
(c) A aceleração instantânea
R
O
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Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM
Capítulo 3 – Movimento em duas ou três dimensões 91
Podemos achar uma expressão simples para o módulo da aceleração no mo-vimento circular uniforme. Começamos com a Figura 3.28a, que mostra uma partícula se movendo com velocidade escalar constante ao longo de uma circun-ferência de raio R com centro em O. A partícula se move a uma distância !s de P1 a P2 em um intervalo !t. A variação do vetor velocidade ! durante esse inter-valo é indicada na Figura 3.28b.
Os ângulos designados por !f nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 1 é perpendicular à linha OP1 e 2 é perpendicular à linha OP2. Portanto, os triân-gulos nas figuras 3.28a e 3.28b são semelhantes. As razões entre lados correspon-dentes são iguais, logo
0 !vS 0
v1=
!sR
ou 0 !vS 0 =v1
R !s
O módulo am da aceleração média durante o intervalo !t é, portanto,
am =0 !vS 0
!t=
v1
R !s!t
O módulo a da aceleração instantânea no ponto P1 é o limite dessa expres-são quando o ponto P2 tende a se superpor ao ponto P1:
a = lim!t S 0
v1
R !s!t
=v1
R lim!t S 0
!s!t
Se o intervalo !t é curto, !s é a distância que a partícula se move ao longo de sua trajetória curva. Portanto, o limite !s/!t é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Além disso, P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior (subscrito) e designar por v a velocidade escalar em qual-quer ponto. Logo,
(3.27)Velocidade escalar do objeto
Raio da trajetória circular do objeto
Módulo da aceleração de um objeto no movimento circular uniforme R
v2arad =
Introduzimos um índice inferior “rad” para lembrar que a direção da acelera-ção instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo (em direção ao seu centro; ver figuras 3.27a e 3.28c). Portanto, no movimento circular uniforme, o módulo arad da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a e aponta para dentro do círculo ao longo do raio (Figura 3.29a).
Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular (compare com a Figura 3.12).
aS
vS
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vS
aS
vS
(b) Um carro aumenta a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(c) Um carro reduz a velocidade ao longo de uma trajetória circular
(a) Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular
Para o centro do círculoComponente de aceleração perpendicular àvelocidade: altera a direção do carro
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
A aceleração é exatamente perpendicular à velocidade: nenhum componente paralelo
Componente de aceleração paralelo à velocidade: altera a velocidade escalar do carro
Componente de aceleração perpendicular à velocidade: altera a direção do carro
Figura 3.28 Achando a variação da velocidade ! , a aceleração média
m e a aceleração instantânea rad para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.
vS
Estes dois triângulos são semelhantes.
A aceleração instantânea em movimento circular uniforme é sempre orientada para o centro do círculo.
R
P2
P1
R
O
(a) Um ponto percorre uma distância !s a uma velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular.
!f
!s
O
(b) A variação correspondente em velocidade e aceleração média.
!f
(c) A aceleração instantânea
R
O
Sarad
v1S
v2S
v1S
!vS
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Book_SEARS_Vol1.indb 91 02/09/15 6:29 PM
Aceleração'Centrípeta:'Aceleração'direcionada'para'o'centro'da'curvatura'Força'Centrípeta:'Força'causadora'do'movimento'circular,'direcionada'para'o'centro'de'um'círculo'
!Fr =m
!ac!ac = −
v2
rr̂ ⇒
!Fr = −
mv2
rr̂
∴ Fr =mv2
r
Força$centrípeta$
v = Fr rm
Aceleração'Centrípeta:'Aceleração'direcionada'para'o'centro'da'curvatura'Força'Centrípeta:'Força'causadora'do'movimento'circular,'direcionada'para'o'centro'de'um'círculo'
!Fr =m
!ac!ac = −
v2
rr̂ ⇒
!Fr = −
mv2
rr̂
∴ Fr =mv2
r
Força$centrípeta$
v = Fr rm
AceleraçãoCentrípeta:Aceleraçãodirecionadaparaocentrodacurvatura.
ForçaCentrípeta:Forçacausadoradomovimentocircular,direcionadaparaocentrodeumcírculo.
Força Centrípeta
Fr =mv2
r→ v =
Frrm
v = 50×1,50,5
→ v =12,2 m/s
Aplicação:$tração$máxima$Uma'bola'de'massa'0,500'kg'está'presa'na'ponta'de'uma'corda'de'1,50'm'de'comprimento.'Se'a'tração'máxima'que'a'corda'suporta'antes'de'arrebentar'é'de'50,0'N,'qual'a'velocidade'com'que'a'bola'sai'quando'a'corda'arrebenta?'
Exemplo 1
Fr = fs
Fr =mv2
rfs = µsn = µsmg
mv2
r= µsmg
v = µsgr→ v = 0,5×9,8×35
v =13 m/s
Aplicação:$trajetória$circular$horizontal$Qual'a'velocidade'máxima'com'que'um'carro'de'1500'kg'pode'fazer'uma'curva'de'35'm'de'raio?'Considere'que'o'coeficiente'de'atrito'estáOco'entre'os'pneus'e'a'pista'é'0,5.'''
Exemplo: Curva com atrito
v = 36km h → v = 36 1000 m3600 s
"
#$
%
&'=10 m s
!FR =
!Fg +!n
!FR = Frr̂ + Fvv̂!Fg = −mg v̂!n = −nsenθ r̂ + ncosθ v̂!FR = −nsenθ( ) r̂ + ncosθ −mg( ) v̂
Fv = 0⇒ ncosθ −mg = 0→ n = mgcosθ
Fr =mgcosθ
senθ =mg tgθ
Fr =mv2
r⇒mv2
r=mg tgθ
tgθ = v2
rg→ tgθ = 102
50×10
θ =11!
v̂
r̂
Aplicação:$curva$inclinada$Qual'deve'ser'o'ângulo'de'inclinação'da'pista'para'que'um'automóvel'com'velocidade'de'36'km/h'possa'fazer'uma'curva'com'raio'de'curvatura'de'50'm'se'o'coeficiente'de'atrito'estáOco'for'nulo?'Use'g=10m/s2.'
Módulos!!!$
Exemplo: Curva inclinada
! !AULA!8!!
o A!2a!Lei!de!Newton!e!o!movimento!circular!não!uniforme!o Forças!dependentes!da!velocidade!
• A!aceleração!e!a!força!têm!componentes!tangenciais!
• Fr!produz!a!aceleração!centrípeta!• Ft!produz!a!aceleração!tangencial!
Movimento!circular!não!uniforme!Movimento circular não uniforme
• A!força!gravitacional!tem!uma!componente!tangencial!e!uma!radial.!A!segunda!lei!de!Newton!na!direção!radial!diz!que:!!
!• A!tensão!em!qualquer!ponto!é:!
T =m v2
R+ g cosθ
!
"#
$
%&
Círculo!ver7cal!com!velocidade!não!uniforme!
T −mg cosθ =m v2
R
A!tensão!no!fundo!do!círculo!é!máxima!A!tensão!no!topo!é!mínima!
Se!Ttopo!=!0,!então,!a!lei!de!Newton!fica:!!!!
vtopo = gR
“Topo”!e!“fundo”!do!círculo!
0+mg =m v2
R
!!
Círculo vertical com velocidade não uniforme
