24
Movimento Circular Uniforme

Movimento Circular Uniforme. v1v1 v4v4 v3v3 v2v2 v5v5 v6v6 v7v7 v8v8 v 1 = v 2 = v 3 =... = v 8 v 1 v 2 v 3... v 8 mas 2

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Movimento Circular

Uniforme

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v1

v4

v3

v2

v5

v6

v7

v8M

ovi

men

to C

ircu

lar

Un

ifo

rme

v1 = v2 = v3 = ... = v8 v1 v2 v3 ... v8 mas 2

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Per

íod

o e

Fre

qu

ênci

aPeríodo (T) : tempo para que ocorra uma volta completa.

unidades: segundo (SI), minutos, horas, etc

Frequência (f) : número de voltas na unidade de tempo.

unidades: voltas por segundo Hertz (HZ) (SI)

rotações por minuto (rpm)

Exemplo1

Um ponto na periferia de um disco numa vitrola dá 495 voltas em 15 minutos. Determine, em minutos e rpm, o período e a frequência deste movimento.

495 voltas ----- 15 minutos

1 volta ----- T minutos

15 1 T = = minutos

495 333

495 voltas ----- 15 minutos

f ----- 1 minuto

495 f = = 33 rpm

15

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4

Per

íod

o e

Fre

qu

ênci

aExemplo2Calcule o período e a frequência, em segundos e hertz, do movimento da garrafinha localizada no ponteiro dos segundos do relógio ao lado.

1 volta ----- 60 segundos

1 volta ----- T segundos

T = 60 segundos 1 volta ----- 60 segundos

f ----- 1 segundo

1 f = Hz

60

1T

f

Observação

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5

Per

íod

o e

Fre

qu

ênci

a

Determine o número de pedaladas, por segundo, necessárias para que ele percorra essa distância em 30s, considerando o movimento uniforme.

Exemplo3

Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre monociclo.

O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20cm, e o movimento do equilibrista é retilíneo.O equilibrista percorre, no início de sua apresentação, uma distância de 24 metros.

comprimento da roda

2 2 .0,2 0,4

24 30

0,4

0,4 .300,5

24

L

L R metros

s

T

T s

1 1

2 pedaladas /0,5

f f segundoT

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6

Vel

oci

dad

e ta

ng

enci

al,

linea

r o

u e

scal

arv

vR

R

t +t

t

dd

Vt

numa volta completa, tem-se:

2 e d R

t T

logo, 2 R

VT

2 1, mas , logo

RV T

T f

Observações:

2 V R f

1) unidades: m/s (SI)

2)

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7

a) 60 m/sb) 60 km/sc) 6,3 km/sd) 630 m/se) 1,0 km/s

(Fuvest) Um farol marítimo projeta um facho de luz contínuo, enquanto gira em torno do seu eixo à razão de 10 rotações por minuto. Um navio, com o costado perpendicular ao facho, está parado a 6km do farol. Com que velocidade um raio luminoso varre o costado do navio?

Exemplo

10 10 1

min 60 6

12 2 3,14 6 6,28 /

66,3 /

rotações rotaçõesf Hz

uto segundos

V Rf km s

V km s

X

Vel

oci

dad

e ta

ng

enci

al,

linea

r o

u e

scal

ar

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8

O q

ue

é o

rad

ian

o

numa volta completa (360º), em qualquer circunferência, tem-se:

6,28 2 rad rad

(graus) (radianos)

360º 2

180º

90º

60º

45º

30º

2

3

4

6

R

s(em radianos)

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9

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

t +tv

R

t

v

R

t

numa volta completa, tem-se:

2 e

t T

2

T

2 1, mas , logoT

T f

Observações:

2 f

logo,

1) unidades: rad/s (SI)

2)

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10

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

a) 0,05 e /5b) 0,05 e /10c) 0,25 e /5d) 4,0 e /5e) 4,0 e /10

(Uel) Um ciclista percorre uma pista circular de raio igual a 20m, fazendo um quarto de volta a cada 5,0s. Para esse movimento, a freqüência em Hz, e a velocidade angular em rad/s são, respectivamente

Exemplo 1

1 volta ---- 5s

4 ---- 1s

10,05

20

f

f Hz

22

2 .0,05

rad/s10

fT

significa que a cada segundo o ciclista varre

um ângulo de 18º.

X

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11

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

Exemplo 2

a) 2 e b) 2 e 4 c) /30 e /15d) /30 e /60e) /60 e 2

(Uel) Um antigo relógio de bolso tem a forma mostrada na figura a seguir, com o ponteiro dos segundos separado dos outros dois. A velocidade angular do ponteiro dos segundos, cujo comprimento é 0,50cm, em rad/s, e a velocidade linear de um ponto na extremidade de tal ponteiro, em cm/s, são respectivamente, iguais a

60

2 2/

60 30

segundosT s

rad sT

2 2 .0,50/

60 60

RV cm s

T

X

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12

Rel

ação

en

tre

V e

2 R

VT

2

T

V R

a) 60 b) 50c) 40 d) 30e) 20

Exemplo

( PUC-RIO) Um ciclista pedala em uma trajetória circular de raio R = 5 m, com a velocidade de translação v = 150 m/min. A velocidade angular do ciclista em rad/min é:

.

15030 / min

5

VV R

R

rad

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A a

cele

raçã

o n

o M

.C.U

.R C ta a a

No MCU, tem-se:

13

at = 0, porque em um movimento

uniforme o (módulo) valor da velocidade

não varia.v1

v4

v3

v2

v5

v6

v7

v8

at = 0

ac

ac 0

ac

ac

ac

ac

ac

ac

ac

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14

A a

cele

raçã

o c

entr

ípet

at +t

v

ac

t

v

ac

ac

2

C

Va

R

mas

2( )c

V R

Ra

R

2Ca R

então,

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15

Ace

lera

ção

cen

tríp

eta

Exemplo 1

Um móvel realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5 m/s.Sendo a aceleração centrípeta igual a 10 m/s2, determine o raio de sua trajetória.

2 25 2510 2,5

10C

Va R R m

R R

a) 0 m/s2

b) 5 m/s2

c) 10 m/s2

d) 20 m/s2

e) 3,6 m/s2

(FEI) Uma automóvel realiza uma curva de raio 20m com velocidade constante de 72km/h. Qual é a sua aceleração durante a curva?

Exemplo 2

2 22

72 / 20 /

2020 /

20C C C

V km h m s

Va a a m s

R

X

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16

Aco

pla

men

to d

e p

oli

as,

rold

anas

, en

gre

nag

ens,

dis

cos,

etc

. : caso da bicicleta ou engrenagem de relógio1º Caso

2

1 2

1

V1 = V2

Conseqüentemente: 1 2>

f1 f2>

T1 T2<ac1 ac2>

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17

Aco

pla

men

to d

e p

oli

as,

rold

anas

, en

gre

nag

ens,

dis

cos,

etc

.

(vídeo 1)

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18

Aco

pla

men

to d

e p

oli

as,

rold

anas

, en

gre

nag

ens,

dis

cos,

etc

.

(vídeo 2)

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19

Aco

pla

men

to d

e p

oli

as,

rold

anas

, en

gre

nag

ens,

dis

cos,

etc

. : polias coaxiais2º Caso

1 = 2

Conseqüentemente: V1 V2<

f1 f2=

T1 T2=ac1 ac2<

2

1

2

1

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20

b) A aceleração centrípeta de um ponto da periferia da polia A.

As polias indicadas na figura se  movimentam em rotação uniforme, ligadas por um eixo fixo. Sabendo que a velocidade angular da polia A é 8 rad/s e que o Raio de A é 80 cm e o Raio de B é 40 cm, calcule:

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

Exemplo 1

a) A velocidade escalar de um ponto da periferia da polia B;

como V= .R 80,40

8 .0,40 3,2 / 10,1 /

B BA B A

B

B B B

V V

R

V V m s V m s

22 2

2 2

. 8 .0,8 64. .0,8

51,2. /

C C C

C

a R a a

a m s

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21

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

b) O tempo t que a polia menor leva para dar uma volta completa.

Duas polias de raios a e b estão acopladas entre si por meio de uma correia, como mostra a figura adiante. A polia maior, de raio a, gira em torno de seu eixo levando um tempo T para completar uma volta. Supondo que não haja deslizamento entre as polias e a correia, calcule:

Exemplo 2

a) O módulo V da velocidade do ponto P da correia.

2P A B P

aV V V V

T

2 2A B

a b bV V t T

T t a

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22

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

(PUCRS) Um motor aciona o eixo 1, imprimindo a este uma velocidade angular constante de módulo w . As polias B e C estão ligadas através de uma correia e as polias A e B estão ligadas por um eixo.

Exemplo 3

Com relação aos sistema, podemos afirmar que as velocidades periféricas tangenciais de módulo v e angulares de módulo w de cada polia são

a) vB > vC e w B = w A b) vB = vC e w B = w A c) vB = vC e w B > w A d) vB < vC e w B > w A e) vB < vC e w B = w A

X

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23

Vel

oci

dad

e an

gu

lar

a) 1 > � 2 > 3.b) 1 < 2 < 3.c) 1 = 2 = 3.d) 1 = � 2 > 3.e) 1 > � 2 = 3.

Exemplo 4

Pode-se afirmar que, quando a baiana roda, a relação entre as velocidades angulares () respectivas aos bambolês 1, 2 e 3 é

Para dar o efeito da saia rodada, o figurinista da escola de samba coloca sob as saias das baianas uma armação formada por três tubos plásticos, paralelos e em forma de bambolês, com raios aproximadamente iguais a r1 = 0,50 m, r2 = 0,75 m e r3 = 1,20 m.

X

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Vel

oci

dad

e an

gu

lar

Exemplo 5(UFPE) A polia A' de raio r‘A=12cm é concêntrica à polia A, de raio rA=30cm , e está rigidamente presa a ela. A polia A é acoplada a uma terceira polia B de raio rB=20cm pela correia C, conforme indicado na figura. Qual deve ser o raio da polia B', concêntrica a B e rigidamente presa a ela, de modo que A' e B' possam ser conectadas por uma outra correia C', sem que ocorra deslizamento das correias?

''

'

''

'

1

20 20

B BB B

B B

B BB B B

B

V V

R R

V VV R V

R

''

'

''

2

30 12 5

A AA A

A A

A AA A

V V

R R

V VV V

' '

2 1

5 2040

85

A B A B B

A B B

V V V R V

V V R cm