Movimentos Pendulares Ouvi dizer a um homem instruiacutedo [Eratoacutestenes] que o tempo natildeo eacute mais que o movimento do sol Por que natildeo seria antes o movimento de todos os corpos Se os astros parassem e continuasse a mover-se a roda do oleiro deixaria de haver tempo para medirmos as suas voltas - Santo Agostinho em Confissotildees O Atractor desenvolveu u m conjunto de aplicaccedilotildees interactivas sobre diversos t ipos de sistemas dinacircmicos oscilatoacuterios A s versotildees mais elementares satildeo o oscilador harmoacutenico e o pecircndulo simples N o primeiro u m a bola de massa m estaacute sujeita apenas agrave acccedilatildeo de u m a mola

se a localizaccedilatildeo da bola for descrita relativamente agrave posiccedilatildeo de repouso da mola a forccedilaexercida para cada posiccedilatildeo x sobre a bola eacute a de distensatildeo ou compressatildeo da mola e tem o sinal oposto ao de x Supondo-a proporcional ao deslocamento teremos f(x) = -kx (kgt0) A equaccedilatildeo do movimento seraacute pois -k x = m x o u x = -km x equaccedilatildeo diferencial de 2a

ordem equivalente ao sistema de equaccedilotildees de l a

ordem x=yy=-km x

A cada soluccedilatildeo da equaccedilatildeo corresponderaacute no plano xy uma curva (dita de fase) tangente em cada ponto (xy) ao vector (y -km x) O applet1 permite variar os paracircmetros m e k e seguir em simultacircneo o movimento da bola e do ponto (xy) no plano de fase as variaccedilotildees das energias cineacutetica e potencial e o graacutefico do movimento N o segundo exemplo do pecircndulo simples 2 a bola de massa m move-se n u m plano por acccedilatildeo da gravidade g mantendo-se l igada a u m ponto por u m a haste riacutegida (de comprimento L eventualmente com atrito q e suposta sem massa)

A posiccedilatildeo da bola eacute descrita pelo acircngulo x da haste com a posiccedilatildeo de equiliacutebrio (na vertical) e haacute que estudar as forccedilas que actuam sobre a bola O applet permite analisar em tempo real o movimento e velocidade da bola as variaccedilotildees da energia o espaccedilo de fase e graacuteficos do movimento e ainda as forccedilas que nela actuam

httpwwwatractorptmatpendulososcilador zhttpwwwatractorptmatpendulospenduloRigido

C a d e r n o l

quarta-feira 19 de Agos to de 2009 165852

Atractor [Movimentos Pendulares]

Nas figuras em cima o vector peso na vertical decompotildee-se numa componente tangencial (-p Sen x) e noutra radial e em movimento surge ainda uma componente radial de forccedila centriacutefuga a resultante das componentes radiais (azul escuro) eacute equilibrada pela reacccedilatildeo da haste (azul claro) pelo que a resultante radial f inal eacute sempre nula A uacutenica componente relevante para o movimento do pecircndulo eacute a tangencial (-p Senx) e a equaccedilatildeo seraacute-p Senx = mx ou -mg Sen x = m x ou ainda x = -g Sen x equivalente ampx =y y = -g Sen x Aleacutem daqueles dois exemplos foram programados outros applets

1 Pecircndulo simples de fio3 cuja dinacircmica eacute distinta da anterior porque a componente radial soacute seraacute anulada pela reacccedilatildeo do fio se essa componente radial apontar para fora com o fio a compensar com u m a forccedila para dentro de grandeza igual Se a componente radial apontar para dentro o fio natildeo a compensa e o movimento deixa de ser pendular a posiccedilatildeo da bola eacute agora descrita por dois paracircmetros e a bola entra em queda livre com movimento paraboacutelico ateacute o fio esticar de novo

^ttpwwwatractorptmatpendulospenduloFio httpwwwatractorptmatpendulos2pendulos ^ttpVwwwatractorptmatpendulospenduloEsferico

O applet trata este caso admitindo choque inelaacutestico no esticatildeo com a consequente perda de energia e permite a observaccedilatildeo de comportamentos muito interessantes a alternacircncia entre os dois tipos de movimento pendular e de queda livre com gradual perda de energia

2 D o i s p ecirc n d u l o s r iacute g i d o s 4 m o v e n d o - s e s i m u l t a n e a m e n t e p e r m i t i n d o a s s i m f a z e r verificaccedilotildees experimentais - se natildeo houver atrito o periacuteodo natildeo depende da massa para pequenas oscilaccedilotildees quase natildeo depende da amplitude inicial e se aleacutem disso o comprimento de u m aumentar por u m factor fc2 (4 na figura) o periacuteodo aumenta por u m factor k

3 Pecircndulo esfeacuterico

Caderno_1

quarta-feira 19 de Agos to de 2009 165859

Atractor [Movimentos Pendulares]

4 P ecirc n d u l o d u p l o 6 c o m o s c o n h e c i d o s comportamentos de tipo caoacutetico e em que se pode tambeacutem ver em tempo real a trajectoacuteria do movimento no toro que eacute o espaccedilo de configuraccedilotildees associado

1 n 5 Pecircndulo cicloidal7 (ou tautoacutecrono) cuja frequecircncia natildeo depende da amplitude das oscilaccedilotildees o que pode ser ver i f i cado experimentalmente c o m 6 Dois pecircndulos cicloidais8 A independecircncia da frequecircncia consegue-se com u m a curva de encosto para o fio do pecircndulo o comprimento uacutetil do pecircndulo vai diminuindo agrave medida que a amplitude cresce C o m u m a forma adequada para essa curva consegue-se que os efeitos (contraacuterios) dessas variaccedilotildees (maior

a m p l i t u d e i n i c i a l -gt m a i o r periacuteodo e menor comprimento menor periacuteodo) se compensem prova-se que a soluccedilatildeo eacute u m a cicloacuteide

7 Pecircndulos acoplados9 em que haacute agora cinco tipos di ferentes de energ ia e u m a (quase) to ta l transferecircncia alternada da energia de u m para o outro pecircndulo bem visiacutevel pela proacutepria simulaccedilatildeo pelo graacutefico (de barras) da energia pelos dois graacuteficos do movimento e pela alternacircncia com que as oacuterbitas aparecem em direcccedilotildees quase perpendiculares no espaccedilo de configuraccedilotildees (toro) 8 Pecircndulo excitado10

com os fenoacutemenos de ressonacircncia associados e

9 Ressonacircncia de ponte em que eacute evocado u m episoacutedio de ressonacircncia 1 1 da ponte DLuiacutes (Porto-Gaia) ocorrido em A b r i l de 1931 aquando do funeral de u m estudante de Medic ina que morrera ao ser perseguido pela poliacutecia E3

6httpwwwatractorptmaf7pendulospenduloDuplo 7httpwwwatractorptmaf7pendulospenduloCicloidal 8httpwwwatractorptmaf7pendulos2pendulosQcloidais 8httpwwwatractorptmatpendulospendulosAcoplados deghttpwwwatractorptmatpendulospenduloExcitado nhttpwwwatractorptmatpendulososciladorPonte

Caderno_1

quarta-feira 19 de Agosto de 2009 165904